Livro 1 - Mat e Nat-145-150

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134
MateMática e suas tecnologias Matemática V
Anual – Volume 1
E) f(x) = – cos x
x
y
0
1
–1
2π
Período: 2π
Imagem: [–1, 1]3
2
π
2
π π
02. Construa o gráfi co da função f x(x) cos= ⋅ −



3
4
π
no intervalo
0 < x < 2π:
Resolução:
Tabelando a função, teremos:
x − π
4
x cos x −




π
4
f x(x) = −



3cos
π
4
0
π
4
1 3
π
2
3
4
π
0 0
π
5
4
π
–1 –3
3
2
π 7
4
π
0 0
2π
9
4
π
1 3
Dessa forma, temos o esboço do gráfi co da função:
x
y
0
3
–3
3
4
π
5
4
π
9
4
π7
4
π
4
π
03. Determine k para que exista o arco que satisfaz a igualdade:
2cos x k= + 7
Resolução:
Devemos ter:
–1 < cos x < 1
–2 < 2 cos x < 2
Substituindo, temos:
− ≤ + ≤ ⇒ + ≤− ≤ +{2 7 2 72 7k k zk (I)(II)
Dessa maneira, em (I), temos:
k + 7 < 2∴ k < –5
Em (II), temos:
–2 < k + 7
k + 7 > –2
k ≥ – 9
Na reta real:
–9
–9
(I)
(II)
–5
–5
Fazendo (I) ∩ (II) obtemos:
Por conseguinte, o conjunto-solução é dado por:
S = {k ∈ R; –9 < k < –5} = [–9, –5]
04. A equação cos x = x2 apresenta
A) uma solução.
B) duas soluções.
C) três soluções.
D) quatro soluções.
E) mais de quatro soluções.
Resolução:
Esboçando os gráfi cos das funções y = cos x e y = x2 no mesmo 
sistema de eixo cartesiano ortogonal, teremos:
x
1
y
–1
0 2π–2π
π–π
Pelo gráfi co, temos 2 pontos comuns.
Resposta: B
05. Quais os valores máximo e mínimo que a função
f
x
(x) cos= + ⋅ −



8 3
2
7 4
π pode assumir?
Resolução:
Sabemos que: –1 < cos x < 1
Desta maneira:
− ≤ −



≤
− ≤ ⋅ −



≤
− + ≤ + ⋅ −
1
2
7 4
1
3 3
2
7 4
3
3 8 8 3
2
7
cos
cos
cos
x
x
x
π
π
ππ
π
4
3 8
5 8 3
2
7 4
11




≤ +
≤ + −



≤· cos x
135
MateMática e suas tecnologiasMatemática V
Anual – Volume 1
Substituindo, obtemos:
5 11≤ ≤f(x)
Logo:
• Valor máximo = 11
• Valor mínimo = 5
06. Determine y, sabendo que y = cos2x + cos4x + ... + cos2nx + ... 
em que x ≠ kπ k ∈ Z.
Resolução:
A sequência cos2x, cos4x, ...., cos2nx, é uma progressão 
geométrica infi nita; logo, o limite da soma será:
lim
cos
cos
cos
n
nS
a
q
x
x
x
sen x→∞
=
−
=
−
= =1
2
2
2
21 1
cotg x2
07. Calcule o domínio da função y x= −


cos
π
3
 no universo, 
0
3
2≤ − ≤x π π.
Resolução:
Para que a raiz exista, devemos ter: se cos ,x −



≥π
3
0 tem-se
 no ciclo:
x
y
0 ≅ 2π
3
2
π
2
π
π
Temos:
0
3 2
3
2 3
2
≤ − ≤
≤ − ≤






x
x
π π
π π π
(I)
(II)
De (I), temos:
• x x− ≥ ∴ ≥
π π
3
0
3
• x x− ≥ ∴ ≤π π π
3 2
5
6
De (II), temos:
• x x− ≥ ∴ ≥π π π
3
3
2
11
6
• x x− ≤ ∴ ≤π π π
3
2
7
3
Portanto: S x x ou x= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤




R;
π π π π
3
5
6
11
6
7
3
08. O gráfi co que melhor representa a função f(x) = 1 + 2cos x no 
intervalo [–π, π] é:
x
3
A) B)
1 1
x0 0
–1
y
2
y
π
π– π
– π
x
3
C)
E)
D)
1 1
– 1
x0
0
0
–1
y
2
1
y
y
π
xπ
π– π
– π
– π
2
π
2
π
2
π
2
–π
2
π
2
–π
2
–π
2
–π
2
π
2
–π
Resolução:
Note que a função f(x) = 1+ 2cos x satisfaz todas as condições 
no gráfi co, pois:
• f(0) = 3
• f f
π π
2 2
1




= −



=
• f(π) = f(– π) = –1
Resposta: A
09. Esboce o gráfi co da função y = sen x + cos x no intervalo
0 < x < 2π. Qual é o valor máximo de sen x + cos x? E o valor 
mínimo?
Resolução:
Fazemos o gráfi co do seno e do cosseno e para cada x somamos 
as ordenadas dos pontos desses dois gráfi cos. O valor máximo 
de sen x + cos x é 2 (que ocorre para x =
π
4
) e o valor mínimo 
é − 2 (que ocorre para x = 5
4
π
). Então o esboço da função 
será:
2
π
4
π
–1
– 2
2πx0
y
y = sen x + cos x
y = sen x
y = cos x
xπ3
4
π 3
2
π 7
4
π5
4
π
2
136
MateMática e suas tecnologias Matemática V
Anual – Volume 1
Fatos que ajudam (Não esqueça!)
Modifica
o período
Deslocamento
no eixo y
f(x) = a + b · cos(cx + d)
Modifica a
amplitude do gráfico
Deslocamento no eixo
x através da expressão dc
Exercícios de Fixação
01. Um menino brinca de balançar uma corda para cima e para 
baixo conforme mostra a fi gura.
Suponha que esse gesto seja equivalente ao de uma onda 
harmônica cuja função é dada por d t(t) sen .= + ⋅ ⋅ −



60 10
2
π
π
Considere t o tempo em segundos e d o deslocamento vertical 
(em cm) da onda. A amplitude e o período dessa onda 
respectivamente correspondem a:
A) 20 cm e 2 s. B) 10 cm e π s.
C) 20 cm e 2π s. D) 60 cm e 1 s.
E) 10 cm e 2 s.
02. (UFSM) Uma gráfi ca que confeccionou material de campanha 
determina o custo unitário de um de seus produtos, em reais, de 
acordo com a lei C(t) = 200 + 120 · sen (π · t)/2, com t medido 
em horas de trabalho. Assim, os custos máximos e mínimos 
desse produto são
A) 320 e 200 B) 200 e 120
C) 200 e 80 D) 320 e 80
E) 120 e 80
03. Um inseto, no período de reprodução, emite sons cuja intensidade 
sonora oscila entre o valor mínimo de 20 decibéis até o máximo 
de 40 decibéis, sendo t a variável tempo em segundos. Entre as 
funções a seguir, aquela que melhor representa a variação da 
intensidade sonora y com o tempo t é
A) y t= + 



10 30
6
cos
π
 B) y t= − 



20 30
6
cos
π
C) y t= + 



30 10
6
cos
π
 D) y t= − 



40 20
6
cos
π
E) y t= + 



50 10
6
cos
π
04. Um biólogo observa o nível de água de um rio que recebe 
influência direta da marés. A altura do rio, segundo o 
pesquisador, pode ser dada pela função:
h
t
(t) cos= + ⋅



3
2 6
π em que:
• t é o medido em horas e 0 < t < 24;
• h é medida em metros.
Assim o biólogo pode inferir que:
A) às 3 h o nível do rio atinge altura mínima.
B) às 9 h o nível do rio está descendo.
C) a média entre os níveis máximo e mínimo atingidos pelo rio 
é de 2 m.
D) imediatamente após as 18 h o nível do rio começa a diminuir.
E) às 21 h o nível do rio está subindo. 
05. Uma pista de corrida que tem seu início em I e término em F, 
tem a forma do gráfi co da função y sen x= ⋅ 



2
4
π
.
Sabendo-se que houve um acidente no ponto A e que o posto 
de atendimento médico se encontra no ponto B, desprezando-
se a largura da pista, a medida do segmento AB é um número 
D que satisfaz:
2
I
P
A
–2
Q
M F
x
y
A) 1 < D < 2 
B) 2 < D < 3
C) 3 < D < 4 
D) 4 < D < 5
E) 5 < D < 6
Exercícios Propostos
01. (Vunesp-Modifi cada) A temperatura, em graus Celsius (oC),
de uma câmara frigorífi ca, durante um dia completo, de 0 hora 
às 24 horas, é dada aproximadamente pela função:
f(t) = cos cos
π π
12 6
t t




− 



, 0 ≤ t ≤ 24, com t em horas.
Atemperatura da câmara frigorífi ca às 2 horas é, aproximadamente, 
igual a:
A) 0,29 ºC 
B) 0,33 ºC
C) 0,37 ºC 
D) 0,43 ºC
E) 0,47 ºC
137
MateMática e suas tecnologiasMatemática V
Anual – Volume 1
02. (Unesp) Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo 
tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor 
de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de 
reais, respectivamente, pelas funções:
C x
x
( ) cos= − 



2
6
π
e V(x) = 3 2
12
0 6⋅ 



≤ ≤sen
x
x
π
,
O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é
A) 500 B) 750
C) 1 000 D) 2 000
E) 3 000
03. (UFSCar–Adaptada) O número de turistas de uma cidade pode 
ser modelado pela função f(x) = 2,1 + 1,6 sen π x
6




, onde x
representa os meses do ano de 2018. (1 para janeiro, 2 para 
fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e f(x) o número 
de turistas no mês x (em milhares).
 Os meses daquele ano em que a cidade recebeu um total de 
1300 turistas foram:
A) Junho e Outubro. B) Julho e Novembro.
C) Maio e Setembro. D) Março e Julho.
E) Abril e Agosto.
04. (UFSM) Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso 
pelos veículos causam graves problemas a toda população. 
Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar na 
atmosfera, favorecendo o surgimento de doenças respiratórias.
Suponha que a função N x x( ) = − −( )

180 54 6
1cos
π
represente o número de pessoas com doenças respiratórias 
registrado em um Centro de Saúde, com x = 1 correspondendo 
ao mês de janeiro,x = 2 ao mês de fevereiro e assim por diante. 
A soma do número de pessoas com doenças respiratórias 
registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho é igual a:
A) 693 B) 720
C) 747 D) 774
E) 936
05. (PUC-RS) A figura a seguir representa um esboço do 
gráfi co de uma função y = A + Bsen
x
4




 que é muito útil 
quando se estudam fenômenos periódicos, como, por exemplo, 
o movimento de uma mola vibrante.
5
–2
0
2
1
3
4
5
y
–1
10 15 20 25 X
Então, o produto das constantes A e B é:
A) 6 B) 10
C) 12 D) 18
E) 50
06. (UFPR) Suponha que o horário do pôr do sol na cidade de 
Curitiba, durante o ano de 2009, possa ser descrito pela função
f(t) = 18,8 – 1,3 sen 
2
365
π
t




, sendo t o tempo dado em dias e
t = 0 o dia 1º de janeiro. Com base nessas informações, 
considere as seguintes afi rmativas:
I. O período da função anterior é 2π;
II. Foi no mês de abril o dia em que o pôr do sol ocorreu mais 
cedo;
III. O horário em que o pôr do sol ocorreu mais cedo foi 17 h 
30 min.
Assinale a alternativa correta.
A) Somente a afi rmativa III é verdadeira.
B) Somente as afi rmativas I e II são verdadeiras.
C) Somente as afi rmativas I e III são verdadeiras.
D) Somente as afi rmativas II e III são verdadeiras.
E) As afi rmativas I, II e III são verdadeiras.
07. (Uerj–Adaptada) Uma população P de animais varia, 
aproximandamente, segundo a equação a seguir.
P sen t= − +( )



800 100 3
6
π
 Considere que t é o tempo medido em meses e que 1º de 
janeiro corresponde a t = 0.
No período de 1º de janero a 1º de dezembro de um mesmo 
ano, o(s) mês(es) no(s) qual(quais) a população de animais 
atinge seu número mínimo corresponde(m) a:
A) somente janeiro B) somente fevereiro
C) fevereiro e dezembro D) somente dezembro
E) janeiro e dezembro
08. (PUC-PR) Um terremoto de magnitude 8 graus da escala Richter 
atingiu, em setembro de 2009, a região de Samoa. O terremoto 
causou ondas de até 3 metros. A maré alta neste local ocorreu 
à meia-noite. Suponha que o nível de água na maré alta era de
3 metros; mais tarde, na maré baixa, era de 3 cm. Supondo 
que a próxima maré alta seja exatamente ao meio-dia e que 
a altura da água é dada por uma curva seno ou cosseno, qual 
das alternativas a seguir corresponde à formula para o nível da 
água na região em função do tempo?
A) 1,515 + 1,485 · cos 
π
6
t




B) 1,515 + 1,485 · sen 
π
6
t




C) 1,485 · cos
π
6
t




D) 1,485 · sen 
π
6
t




E) 1,485 + 1,515 · cos (πt)
138
MateMática e suas tecnologias Matemática V
Anual – Volume 1
09. Observe o gráfi co da função senoidal a seguir.
y
xO
M
π__
16
7π__
16
;7
f(x)
; –1Q
Qual das opções a seguir corresponde à lei de f(x)?
A) f x x( ) sen= + +



3 4
8
3 3
π
B) f x x( ) sen= + −



3 4
8
3 16
π
C) f x x( ) sen= + −



3 4
4
3 16
π
D) f x
x
( ) sen= + +



3 4
4
3 3
π
E) f x
x
( ) sen= + −



3 4
4
3 3
π
10. Um pêndulo descreve um movimento harmônico segundo a 
equação horária
h t sen t( ) ,= + ⋅ ⋅ +



10 3
2
π
π
em que t é o tempo transcorrido em segundos e h é a altura 
em relação ao solo em centímetros.
I
II
III
h
Solo
O tempo mínimo necessário para que o pêndulo parta de uma 
dada posição e retorne ao ponto de partida é:
A) 2 s 
B) 2,5 s
C) 3 s 
D) 3,5 s
E) 4 s
Seção Videoaula
Funções Seno e Cosseno – Parte I
Aula 05: 
Função Seno e Cosseno
Parte II
Exercícios de Fixação
01. Um pequeno compressor de ar fornece oxigênio para o cilindro 
de um respirador mecânico (Figura 1) de acordo com a lei 
V t t( ) , , cos= + ⋅ ⋅



2 5 0 5
2
3
π
 mostrada no gráfi co (Figura 2), 
onde V representa o volume de ar, em litros, em função do 
tempo t, em segundos.
3
2
a b
Figura 1 Figura 2
P
Q
V(�)
t (s)0
Sabendo-se que P e Q são pontos de ordenada máxima da 
função, o valor de b é:
A) π s B) 2 s
C) 2π s D) 3π s
E) 3 s
02. Suponha que uma revista publicou um artigo no qual era 
estimado que, no ano de 2015 + x, com x ∈ {0, 1, 2, ..., 9, 10}, 
o valor arrecadado dos impostos incidentes sobre as 
exportações de certo país, em milhões de dólares, poderia ser 
obtido pela função f x x( ) cos .= + ⋅



250 12
3
π
Caso essa previsão 
se confi rme, então, relativamente ao total arrecadado a cada 
ano considerado, é correto afi rmar que:
A) O valor máximo ocorrerá apenas em 2021.
B) Atingirá o valor mínimo somente em duas ocasiões.
C) Poderá superar 300 milhões de dólares.
D) Nunca será inferior a 250 milhões de dólares.
03. Na fi gura, está representada um roda gigante de um parque de 
diversões. Um grupo de amigos foi andar nessa roda. Depois de 
todos estarem sentados nas cadeiras, a roda começou a girar. 
Uma das meninas sentou na cadeira número 1, que estava na 
posição indicada na fi gura, quando a roda começou a girar. 
A roda gira no sentido contrário ao dos ponteiros dos relógios 
e leva um minuto para dar uma volta completa.
5
4
3
6
7
8
1
2
sentido
positivo
C-5 H-19, 20
C-18 H-18, 20
H-21
H-18, 20
Aula
05
139
MateMática e suas tecnologiasMatemática V
Anual – Volume 1
Seja d a função que expressa a distância da cadeira 1 ao solo 
t segundos depois que a roda começou a girar. O gráfi co que 
representa parte da função d é:
A)
150
d
30 45 60 75 90 t
B)
150
d
30 45 60 75 90 t
C)
150
d
30 45 60 75 90 t
D)
150
d
30 45 60 75 90 t
E)
0 30 60 90 120 150 180 t
d
04. (Enem) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do 
mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A fi gura representa 
um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa 
uma de suas cadeiras.
Solo Solo
OO AA
Disponível em: <http://en.wikipedia.org>. 
Acesso em: 22 abr. 2014. Adaptado.
A partir da posição indicada, em que o segmento OA se 
encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a High 
Roller no sentido anti-horário, em torno do ponto O. Sejam 
t o ângulo determinado pelo segmento OA em relação à sua 
posição inicial, e f a função que descreve a altura do ponto A, 
em relação ao solo, em função de t.
Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfi co:
f (metro)
168
88
0 π/2 2π t(radiano)4π
A expressão da função altura é dada por
A) f(t) = 80 sen(t) + 88
B) f(t) = 80 cos(t) + 88
C) f(t) = 88 cos(t) + 168
D) f(t) = 168 sen(t) + 88 cos(t)
E) f(t) = 88 sen (t) + 168 cos(t)
05. Um modelo matemático é uma representação ou interpretação 
simplifi cada de formas do mundo real ou uma interpretação 
de fragmentos de um sistema, segundo uma estrutura de 
conceitos (mentais ou experimentais). Os modelos matemáticos 
são utilizados praticamente em todas as áreas do conhecimento 
científi co. Então, certa doença viral tem comportamento cíclico 
conforme o modelo V t t( ) = −3 2 5
6
cos
π
, sendo t o tempo 
em hora, decorrido do momento em que o medicamento é 
administrado e v(t) a contagem de vírus em milhares por cm3
de sangue. De quanto em quanto tempo a contagem de vírus 
atinge o valor mínimo?
A) 2 h 12 min
B) 1 h 24 min
C) 2 h 24 min
D) 1 h 12 min
E) 1 h 14 min