Lista Complementar -Trigo-Mod8-Funções Trigonométricas

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios (Complementar) - Trigonometria - Módulo 8 
(Funções Trigonométricas) 
 
waldematica.com.br 
 
1. (UFSC) 
Entre as doenças causadas pelo uso de cigarros, 
estão o câncer e outras doenças cardiovasculares. 
Sendo Maria fumante, resolveu consultar um 
médico para verificar a existência de algum 
problema de saúde. Em sua primeira consulta, o 
médico recomendou que Maria realizasse vários 
exames, entre eles um que faz o mapeamento do 
volume de ar nos pulmões. 
 
Após Maria realizar esse exame, o especialista 
informou que o volume de ar V, em litros, nos 
pulmões de Maria variou em função do tempo t, em 
segundos, de acordo com a função 
13 2 2 t
V sen .
5 5 5
π 
= +  
 
 
 
 
 
a) Com base na função dada, determine, na forma 
decimal, os valores de máximo e de mínimo do 
volume de ar, em litros, dos pulmões de Maria. 
 
b) Com base na função dada, determine quanto 
tempo, em segundos, Maria leva para realizar um 
ciclo respiratório completo. 
 
c) Considerando o primeiro ciclo respiratório 
descrito na função dada, qual é o tempo, em 
segundos, que fornece o volume máximo de ar nos 
pulmões de Maria? (Expresse o resultado na forma 
decimal) 
 
d) Os exames de sangue de Maria revelaram a 
carência das seguintes vitaminas: A, B e C. Em um 
segundo momento, Maria consultou uma 
nutricionista, que definiu uma dieta diária contendo 
exatamente 15 unidades de vitamina A, 14 
unidades de vitamina B e 11 unidades de vitamina 
C. Essas vitaminas são encontradas em 
quantidades variadas em três alimentos: 1 2A , A e 
3A . . A tabela abaixo fornece o número de unidades 
das vitaminas A, B e C encontrado em cada um 
dos três alimentos. 
 
 1A 2A 3A 
A 1 2 3 
B 2 1 1 
C 1 2 1 
 
 
Determine as quantidades de cada tipo de alimento 
que a nutricionista deve incluir na dieta diária de 
Maria. 
 
2. (UFRGS 2019) 
Considere a função real de variável real 
f(x) 3 5 sen (2x 4).= − + Os valores de máximo, 
mínimo e o período de f(x) são, respectivamente, 
a) 2, 8, .π− b) 8, 2, .π− 
c) . 2, 8.π − d) , 8, 2.π − 
e) 8, , 2.π − 
 
3. (EsPCEx) 
Dentre as alternativas a seguir, aquela que 
apresenta uma função trigonométrica de período 
2 ,π cujo gráfico está representado na figura abaixo 
é 
 
 
a) f(x) 1 sen ( x).π= − − b) f(x) 1 cos ( x).π= + − 
c) f(x) 2 cos ( x).π= − + d) f(x) 2 sen ( x).π= − + 
e) f(x) 1 cos ( x).π= − − 
 
4. (UPF) 
Seja 𝑓: (−𝜋,  𝜋) → ℝ definida por 
x
f(x) cos ,
2
 
=  
 
 
então, é verdade que 
a) A função é crescente no intervalo ( , 0],π− 
decrescente no intervalo [0, )π e não possui raízes 
reais. 
b) A função é crescente no intervalo ( , 0],π− 
decrescente no intervalo [0, )π e possui duas raízes 
reais. 
Lista de Exercícios (Complementar) - Trigonometria - Módulo 8 
(Funções Trigonométricas) 
 
waldematica.com.br 
 
c) A função é decrescente no intervalo ( , 0],π− 
crescente no intervalo [0, )π e possui duas raízes 
reais. 
d) A função é decrescente no intervalo ( , )π π− e não 
possui raízes reais. 
e) A função é crescente no intervalo [0, )π e possui 
uma raiz real. 
 
5. (UECE) 
Considerando a função real de variável real definida 
por f(x) (cosx sec x 2) cosx,= + +  onde x é tal que 
cosx 0, é correto afirmar que a imagem de f (isto 
é, o conjunto de valores de f ) é 
a) [0, 4] {1}.− b) [0, 2] {1}.− 
c) [ 2, 2] {1}.− − d) [ 2, 4] {1}.− − 
 
6. (UERJ) 
O círculo a seguir tem o centro na origem do plano 
cartesiano xy e raio igual a 1. Nele, AP determina 
um arco de 120 . 
 
 
 
As coordenadas de P são: 
a) 
1 3
,
2 2
 
−  
 
 b) 
1 2
,
2 2
 
−  
 
 
c) 
3 1
,
2 2
 
−  
 
 d) 
2 1
,
2 2
 
−  
 
 
 
7. (UFSC) 
O dólar americano (US$) é moeda bastante usada 
em transações financeiras internacionais, mas, em 
decorrência de vários fatores, o seu preço pode 
variar bastante. Em um dia de forte variação, o 
preço, em reais, de venda e de compra de um dólar 
americano comercializado no Brasil foi descrito, 
respectivamente, pelas funções 
V(t) 3,8 0,4 sen t
4
π 
= +  
 
 
e C(t) 3,5 0,5 sen t ,
4
π 
= +  
 
 
nas quais t representa o tempo medido, em horas, 
sendo que 𝑡 ∈ ℝ e 8 t 17.  
01) Os valores máximo e mínimo do preço do dólar 
para venda foram de, respectivamente, R$ 3,80 e 
R$ 0,40. 
 
02) Apenas para t 13 h,= o preço de compra do 
dólar foi de R$ 3,30. 
 
04) Uma pessoa que comprou US$ 130,00 quando 
t 8 h= e vendeu essa quantia quando t 14 h= 
perdeu R$ 13,00. Contudo, se a venda fosse feita 
quando t 16 h,= obteria um lucro de R$ 39,00. 
 
08) Usando cartão de crédito, uma pessoa comprou 
um produto em um site americano ao preço de 
US$ 50,00. Considerando que a cobrança da fatura 
do cartão de crédito ocorre segundo o preço de 
compra sempre às 17 h, então o produto custou 
mais do que R$ 175,00. 
 
16) Para cada t pertencente ao intervalo {𝑡 ∈
ℝ;  12 < 𝑡 < 16}, a diferença entre o preço de venda 
e o preço de compra foi maior que US$ 0,30. 
 
8. (UECE) 
Seja 𝑓:ℝ → ℝ definida por 
3
f(x) .
2 sen x
=
+
 Se M e 
m são respectivamente os valores máximo e 
mínimo que a função f assume, o valor do produto 
M m é 
a) 2,0. b) 3,5. c) 3,0. d) 1,5. 
 
9. (Famerp) 
Observe os gráficos das funções reais f e g, 
definidas por senxf(x) 2= e cosxg(x) 4 .= 
 
 
 
Considere p pP(x , y ) um ponto comum aos gráficos 
das funções f e g tal que px , em radianos, é um 
ângulo do primeiro quadrante. Nessas condições, 
pcosx é igual a 
a) 
3
4
 b) 
2
3
 c) 
6
4
 d) 
5
5
 e) 
5
4
 
Lista de Exercícios (Complementar) - Trigonometria - Módulo 8 
(Funções Trigonométricas) 
 
waldematica.com.br 
 
10. (IMED) 
A atração gravitacional que existe entre a Terra e a 
Lua provoca, entre outros fenômenos, o da 
chamada maré astronômica, que se caracteriza pelo 
periódico aumento e diminuição do nível do mar. 
Medindo e tabulando essas variações, os 
estudiosos do assunto podem descrever 
matematicamente o comportamento do nível do mar 
em determinado local por meio de uma função. 
 
A fórmula a seguir corresponde a medições feitas na 
cidade de Boston, no dia 10 de fevereiro de 1990. 
 
h(t) 1,5 1,4 cos t
6
π 
= +   
 
 
 
Nessa função, h(t) (em metros) corresponde à 
altura do nível do mar, e t, ao tempo transcorrido 
desde a meia-noite (em horas). Com base nessas 
informações, quantas horas se passaram desde o 
início da medição até que o nível do mar tenha 
atingido 2,2 metros pela primeira vez? 
a) 2 horas b) 3 horas 
c) 4 horas d) 5 horas 
e) 6 horas 
 
11. (UEPG) 
Dadas as funções sen (x)f(x) 3= e cos (x)g(x) 3 ,= 
assinale o que for correto. 
01) A imagem da função f(x) é o intervalo 
1
, 3 .
3
 
 
 
 
 
02) A imagem da função g(x) é o intervalo [0, 3]. 
 
04) f g .
4 3
π π   
   
   
 
 
08) 
13 19
f g .
6 3
π π   
−    
   
 
 
16) Os períodos das funções f(x) e g(x) são iguais. 
 
12. (UEPG) 
Considerando a função real definida por 
f(x) a b sen (2bx),= + onde a e b são números 
reais não nulos, assinale o que for correto. 
 
01) Se a 2= e b 1,= f(x) tem período 2π e 
imagem [1, 3]. 
02) Se f(x) tem período 
3
π
 e imagem [ 4, 2]− então 
a 1= − e b pode assumir dois valores. 
04) Se a 1,= a imagem de f(x) é o intervalo [ 1, 3],− 
somente no caso do b 2.= 
 
08) Se b 2, f(x)= tem período ,
2
π
 independente do 
valor de a. 
 
16) Se b 2,= qualquer que seja o valor de a, o 
gráfico de f(x) sempre intercepta o eixo x. 
 
13. (UFRGS) 
Um ponto A, que se movimenta sobre uma 
circunferência, tem sua posição p(t),considerada 
na vertical, no instante t, descrita pela relação 
p(t) 100 20 sen (t),= − para t 0. Nesse caso, a 
medida do diâmetro dessa circunferência é 
a) 30. b) 40. c) 50. d) 80. e) 120. 
 
14. (Unioeste) 
Em uma área de proteção ambiental existe uma 
população de coelhos. Com o aumento natural da 
quantidade de coelhos, há muita oferta de alimento 
para os predadores. Os predadores com a oferta de 
alimento também aumentam seu número e abatem 
mais coelhos. O número de coelhos volta então a 
cair. Forma-se assim um ciclo de oscilação do 
número de coelhos nesta reserva. 
 
Considerando-se que a população p(t) de coelhos 
fica bem modelada por 
2 t
p(t) 1.000 250 sen ,
360
π 
= −  
 
 sendo t 0 a 
quantidade de dias decorridos, e o argumento da 
função seno é medido em radianos, pode-se afirmar 
que 
a) a população de coelhos é sempre menor ou igual 
a 1.000 indivíduos. 
b) em quatro anos a população de coelhos estará 
extinta. 
c) a população de coelhos dobrará em 3 anos. 
d) a quantidade de coelhos só volta a ser de 1.000 
indivíduos depois de 360 dias. 
e) a população de coelhos atinge seu máximo em 
1.250 indivíduos. 
 
15. (Enem 2017) 
Um cientista, em seus estudos para modelar a 
pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função 
do tipo P(t) A Bcos(kt)= + em que A, B e k são 
constantes reais positivas e t representa a variável 
tempo, medida em segundo. Considere que um 
batimento cardíaco representa o intervalo de tempo 
entre duas sucessivas pressões máximas. 
Ao analisar um caso específico, o cientista obteve 
os dados: 
Lista de Exercícios (Complementar) - Trigonometria - Módulo 8 
(Funções Trigonométricas) 
 
waldematica.com.br 
 
 
Pressão mínima 78 
Pressão máxima 120 
Número de batimentos cardíacos por 
minuto 
90 
 
A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar 
o caso específico foi 
a) P(t) 99 21cos(3 t)π= + 
b) P(t) 78 42cos(3 t)π= + 
c) P(t) 99 21cos(2 t)π= + 
d) P(t) 99 21cos(t)= + 
e) P(t) 78 42cos(t)= + 
 
16. (UFPR) 
Considere a função 
x
f(x) 4cos 3,
4
π 
= − 
 
 com 
x ( , ). − + 
 
a) Qual é o valor mínimo que a função f atinge? 
b) Para que valores de x temos f(x) 1?= − 
 
17. (UDESC) 
Considere a função f(x) cos (x) 3 sen (x),= + e 
analise as proposições. 
 
I. f(x) 2 sen (x a)= + para algum a 0,
2
π 
  
 
 
II. f possui uma raiz no intervalo 0,
2
π 
 
 
 
III. f tem período π 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a proposição II é verdadeira. 
b) Somente as proposições I e II são verdadeiras. 
c) Somente as proposições II e III são verdadeiras. 
d) Somente a proposição III é verdadeira. 
e) Somente a proposição I é verdadeira. 
 
18. (Mackenzie) 
Os valores de x (𝑥 ∈ ℝ), para os quais a função 
1
f(x) tg 3x
3 4
π 
= − 
 
 não é definida, são 
 
a) 𝜋 + 𝑘𝜋,  𝑘 ∈ ℤ 
b) 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋,  𝑘 ∈ ℤ 
c) 
3𝜋
4
+ 𝑘𝜋,  𝑘 ∈ ℤ 
d) 
𝜋
4
+ 𝑘𝜋,  𝑘 ∈ ℤ 
e) 
𝜋
4
+
𝑘𝜋
3
,  𝑘 ∈ ℤ 
19. (Enem 2017) 
Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um 
lago formando um ângulo x com a sua superfície, 
conforme indica a figura. 
Em determinadas condições, pode-se supor que a 
intensidade luminosa desses raios, na superfície do 
lago, seja dada aproximadamente por 
I(x) k sen(x)=  sendo k uma constante, e supondo-
se que x está entre 0 e 90 . 
 
 
 
Quando x 30 ,=  a intensidade luminosa se reduz a 
qual percentual de seu valor máximo? 
a) 33% b) 50% 
c) 57% d) 70% 
e) 86% 
 
20. (UEM) 
Usando conhecimentos sobre trigonometria, 
assinale o que for correto. 
 
01) Num triângulo isósceles, a base mede 10 e os 
ângulos da base medem, cada um deles, .
4
π
 
Portanto o perímetro desse triângulo é 10 10 2.+ 
 
02) Vale a igualdade 
2
sen .
6 3 2
π π 
+ = 
 
 
 
04) Se 
3 3
cotg cossec
2 2y
3
sen
2
π π
π
+
= e 
3
cos 0,
2
π
= 
então y 1.= 
 
08) Se tgx a= e cotgx b,= então a b 1. = 
 
16) Supondo que 
3
senx
4
= e 
1
tgx ,
2
= então 
1
sec x .
4
= 
 
21. (PUC-SP) 
Suponha que uma revista publicou um artigo no qual 
era estimado que, no ano de 2015 x,+ com 
x {0,1, 2, , 9,10}, o valor arrecadado dos 
impostos incidentes sobre as exportações de certo 
país, em milhões de dólares, poderia ser obtido pela 
Lista de Exercícios (Complementar) - Trigonometria - Módulo 8 
(Funções Trigonométricas) 
 
waldematica.com.br 
 
função f(x) 250 12cos x .
3
π 
= +  
 
 Caso essa 
previsão se confirme, então, relativamente ao total 
arrecadado a cada ano considerado, é correto 
afirmar que: 
a) o valor máximo ocorrerá apenas em 2021. 
b) atingirá o valor mínimo somente em duas 
ocasiões. 
c) poderá superar 300 milhões de dólares. 
d) nunca será inferior a 250 milhões de dólares. 
 
22. (FGV) 
O número de quartos ocupados em um hotel varia 
de acordo com a época do ano. 
Estima-se que o número de quartos ocupados em 
cada mês de determinado ano seja dado por 
Q(x) 150 30cos x
6
π 
= +  
 
 em que x é estabelecido 
da seguinte forma: x 1= representa o mês de 
janeiro, x 2= representa o mês de fevereiro, x 3= 
representa o mês de março, e assim por diante. 
Em junho, em relação a março, há uma variação 
porcentual dos quartos ocupados em 
a) 20%− b) 15%− 
c) 30%− d) 25%− 
e) 50%− 
 
23. (Insper) 
Leia o texto abaixo para responder à(s) 
questão(ões) a seguir. 
 
 
 
A figura acima representa os gráficos das funções 
- f(x) sen(x),= 
- g(x) cos(x),= 
- h(x) cos(2x),= 
definidas no intervalo [0, 2 ].π 
O valor máximo da função d(x) h(x) g(x)= − é 
a) 0,5.− b) 0. c) 1. d) 1,5. e) 2. 
 
24. (UFRGS) 
O número de interseções da função f(x) = sen 5x 
com o eixo das abscissas no intervalo [ 2 ,2π π− ] é 
 
a) 10. b) 14. c) 21. d) 24. e) 27. 
25. (UFPB) 
 
Um especialista, ao estudar a influência da variação 
da altura das marés na vida de várias espécies em 
certo manguezal, concluiu que a altura A das marés, 
dada em metros, em um espaço de tempo não muito 
grande, poderia ser modelada de acordo com a 
função: 
 
A(t) 1,6 1,4 sen t
6
 
= −  
 
 
 
Nessa função, a variável t representa o tempo 
decorrido, em horas, a partir da meia-noite de certo 
dia. Nesse contexto, conclui-se que a função A, no 
intervalo [0,12], está representada pelo gráfico: 
 
 
 
26. (UFPE) 
Considere a função f, com domínio e contradomínio 
o conjunto dos números reais, dada por 
( )f x 3 cosx sen x= − , que tem parte de seu 
gráfico esboçado a seguir. 
 
 
 
Analise a veracidade das afirmações seguintes 
acerca de f: 
( ) ( )f x 2 sen x
6
 
=  + 
 
π
, para todo x real. 
Lista de Exercícios (Complementar) - Trigonometria - Módulo 8 
(Funções Trigonométricas) 
 
waldematica.com.br 
 
( ) f é periódica com período 2π . 
( ) As raízes de f(x) são 2k
6
−
+
π
π , com k inteiro. 
( ) ( )f x 3 − , para todo x real. 
( ) ( )f x 2 , para todo x real. 
 
27. (UFSM) 
 
 
O gráfico mostra a quantidade de animais que uma 
certa área de pastagem pode sustentar ao longo de 
12 meses. Propõe-se a função Q (t) = a sen (b + ct) 
+ d para descrever essa situação. De acordo com 
os dados, Q (0) é igual a 
 
a) 100. 
b) 97. 
c) 95. 
d) 92. 
e) 90. 
 
28. (UFRGS) 
Traçando os gráficos das funções f e g definidas por 
( )f x sen x= e ( )g x cos x= , com x variando no 
conjunto dos números reais de 2−  a 2 , no 
mesmo sistema de coordenadas, o número de 
interseções é 
 
a) 7. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 10. 
e) 12. 
 
29. (FGV) 
a) Construa o gráfico das funções f(x) = 2 + sen x e 
g(x) = 2 + cos 2x para 0  x  2  . 
 
b) Admitaque f(x) e g(x) indiquem as cotações das 
ações das empresas F e G na bolsa de valores de 
São Paulo no intervalo de horas 0  x  2  
(x = 0 indica 12h00, e x = 2   6,28 indica, 
aproximadamente, 18h17). 
 
Determine algebricamente (equações e/ou 
inequações) o intervalo de horas, com 0  x  2  , 
em que a cotação das ações da empresa F foi maior 
ou igual à cotação das ações da empresa G. 
 
 
 
30. (Unesp) 
Em situação normal, observa-se que os sucessivos 
períodos de aspiração e expiração de ar dos 
pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem 
como na quantidade de ar inalada e expelida. A 
velocidade de aspiração e expiração de ar dos 
pulmões de um indivíduo está representada pela 
curva do gráfico, considerando apenas um ciclo do 
processo. 
 
 
Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de 
repouso, um ciclo de aspiração e expiração 
completo ocorre a cada 5 segundos e que a taxa 
máxima de inalação e exalação, em módulo, é 0,6 
1/s, a expressão da função cujo gráfico mais se 
aproxima da curva representada na figura é: 
a) ( )
2 3
V t sen t .
5 5
  
=  
 
 
b) ( )
3 5
V t sen t .
5 2
 
=  
 
 
c) ( )
2
V t 0,6cos t .
5
 
=  
 
 
d) ( )
2
V t 0,6sen t .
5
 
=  
 
 
e) ( ) ( )
5
V t cos 0,6t .
2
= 
 
 
Gabarito 
 
Resposta da questão 1: 
 
a) Teremos: 
V = 
13
5
+
2
5
 𝑠𝑒𝑛  (
2𝜋𝑡
5
) 
{
 
 
 
 
 
 
 
 𝑉𝑚í𝑛 ⇒ 𝑠𝑒𝑛  (
2𝜋𝑡
5
) = −1 ⇒ 
𝑉𝑚í𝑛 =
13
5
−
2
5
=
11
5
=
22
10
L ⇒
 𝑉𝑚í𝑛 = 2,2𝐿.
𝑉𝑚á𝑥 ⇒ 𝑠𝑒𝑛  (
2𝜋𝑡
5
) = 1 ⇒ 
𝑉𝑚á𝑥 =
13
5
+
2
5
=
30
10
L ⇒ 𝑉𝑚á𝑥 = 3,0𝐿.
 
Lista de Exercícios (Complementar) - Trigonometria - Módulo 8 
(Funções Trigonométricas) 
 
waldematica.com.br 
 
b) Analisando Fisicamente: Como é um processo 
periódico, a situação pode ser descrita como um 
movimento oscilatório. Assim, por comparação: 
{
𝑉 = 𝑉0 +𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
𝑉 =
13
5
+
2
5
𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋
5
𝑡)
⟩ ⇒ 𝜔 =
2𝜋
𝑇
=
2𝜋
5
 
⇒ 𝑇 = 5𝑠. 
 
Analisando Matematicamente: 
Para 
2
t 0 t 0.
5
π
=  = O primeiro ciclo completa-
se quando 
2
t 2
5
π
π= e o tempo é o período (T). 
Assim: 
2π
T 2
5
π= T 5s. = 
c) Sempre que 
2
sen t 1,
5
π 
= 
 
 ocorre um máximo. O 
primeiro é, então, para 
2 5
t t s t 1,25s.
5 2 4
π π
=  =  = 
 
O gráfico mostra o comportamento da função ( )V f t= 
para o primeiro ciclo. 
 
 
 
d) Teremos: 
 
 1A 2A 3A Total 
A 1a 2 b 3 c 15 
B 2 a 1b 1c 14 
C 1a 2 b 1c 11 
 
A nutricionista deve incluir a quantidade de 1A , b 
quantidade de 2A e c quantidade de 3A . Montando 
o sistema: 
a 2b 3c 15 (I)
2a b c 14 (II)
a 2b c 11 (III)
+ + =

+ + =
 + + =
 
 
Fazendo 
(𝐼) − (𝐼𝐼𝐼): 3𝑐 − 𝑐 = 4 ⇒ 𝑐 = 2. 
(𝐼) − (𝐼𝐼) + (𝐼𝐼𝐼): 3𝑏 + 3𝑐 = 12 ⇒ 3𝑏 + 3(2)
= 12 ⇒ 3𝑏 = 6 ⇒ 𝑏 = 2. 
(𝐼): 𝑎 + 2(2) + 3(2) = 15 ⇒ 𝑎 + 10 = 15 
⇒ 𝑎 = 5. 
 
Portanto, as quantidades dos alimentos deverão ser: 
 
1
2
3
A 5 
A 2
A 2
→
→
→
 
 
Resposta da questão 2: 
[B] 
 
Calculando: 
f(x) 3 5 sen (2x 4)
f(x) 3 5 8 máx
sen (2x 4) 1
f(x) 3 5 2 mín
2 2
Período
k 2
π π
π
= − +
= + = 
+ =   
= − = − 
 = =
 
 
Resposta da questão 3: 
[E] 
 
Sabemos que π é uma raiz desta função, portanto: 
[A] = − − = − =f( ) 1 sen ( ) 1 0 1π π π 
[B] = + − = + =f( ) 1 cos ( ) 1 1 2π π π 
[C] = − + = − =f( ) 2 cos ( ) 2 1 1π π π 
[D] = − + = − =f( ) 2 sen ( ) 2 0 2π π π 
[E] = − − = − =f( ) 1 cos ( ) 1 1 0π π π 
 
Logo, a opção [E] é a correta. 
 
Resposta da questão 4: 
[A] 
 
Calculando: 
𝑓: (−𝜋,  𝜋) → ℝ 
𝑓(−𝜋) = 𝑐𝑜𝑠   (
−𝜋
2
) = 0
𝑓(0) = 𝑐𝑜𝑠   (0) = 1
⟩ → 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑓(0) = 𝑐𝑜𝑠   (0) = 1
𝑓(𝜋) = 𝑐𝑜𝑠   (
𝜋
2
) = 0
⟩ → 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑐𝑜𝑠   (
𝑥
2
) = 0 → 𝑥 = ±𝜋 → 𝑥 ⊄ (−𝜋,  𝜋) 
 
Resposta da questão 5: 
[A] 
 
Como =
1
sec x ,
cosx
 segue que 
(2k 1)
x ,
2
π+
 com 
𝑘 ∈ ℤ. Ademais, temos 
 
2
2
f(x) (cosx sec x 2) cosx
cos x 2cosx 1
(cosx 1) .
= + + 
= + +
= +
 
 
Lista de Exercícios (Complementar) - Trigonometria - Módulo 8 
(Funções Trigonométricas) 
 
waldematica.com.br 
 
De acordo com a restrição, podemos concluir que 
(2k 1)
f 1
2
π+ 
= 
 
 não pertence ao conjunto imagem de 
f. Portanto, como−  1 cosx 1, segue que 
 + 0 cosx 1 2 e, assim, vem 20 (cosx 1) 4. +  
A imagem de f é −[0, 4] {1}. 
 
Resposta da questão 6: 
[A] 
 
Calculando: 
3
sen 120 sen 60
2
1
cos120 cos60
2
 =  =
 = −  = −
 
 
Resposta da questão 7: 
04 + 08 + 16 = 28. 
 
[01] Falsa. O valor mínimo ocorre quando 
sen t 1.
4
π 
= − 
 
 Logo, vem 
mínV (t) 3,8 0,4 ( 1) R$ 3,40.= +  − = 
 
Contradição. 
 
[02] Falsa. Tem-se que 
C(13) 3,5 0,5sen 13
4
3,5 0,5sen 3
4
2
3,5 0,5
2
3,15.
π
π
π
 
= +  
 
 
= + + 
 
= − 

 
 
[04] Verdadeira. Com efeito, pois 
C(8) 3,5 0,5sen 8 3,5
4
π 
= +  = 
 
 e 
V(14) 3,8 0,4sen 14
4
3,8 0,4sen 3
2
3,8 0,4
3,4.
π
π
π
 
= +  
 
 
= + + 
 
= −
=
 
 
Logo, a perda foi de (3,5 3,4) 130 R$13,00.−  = 
 
Por outro lado, sendo 
V(16) 3,8 0,4sen 16 3,8,
4
π 
= +  = 
 
 o lucro seria 
de 
(3,8 3,5) 130 R$ 39,00.−  = 
 
[08] Verdadeira. De fato, pois sendo 
C(17) 3,5 0,5sen 17
4
3,5 0,5sen 4
4
2
3,5 0,5
2
3,9,
π
π
π
 
= +  
 
 
= + + 
 
= + 

 
 
vem que o produto custou, aproximadamente, 
50 3,9 R$195,00. = 
 
[16] Verdadeira. Tem-se que 
3,8 0,4sen t 3,5 0,5sen t 0,3 0,1sen t .
4 4 4
π π π     
+ − − = −     
     
 
 
Daí, como 
t 16 3 t 4 ,
4 4 4
π π π
π π     
 
podemos concluir que, para cada t pertencente ao 
intervalo {𝑡 ∈ ℝ;  12 < 𝑡 < 16}, a diferença entre o preço 
de venda e o preço de compra foi maior do que R$ 0,30. 
 
Resposta da questão 8: 
[C] 
 
Calculando: 
máx
mín
3
f(x)
2 sen x
3M f (x) sen x 1 f(x) 3
1
M m 3 1 3
3m f (x) sen x 1 f(x) 1
3
=
+
=  = −  = =
  =  =
=  =  = =
 
 
Resposta da questão 9: 
[D] 
 
Calculando: 
𝑓(𝑥𝑝) = 𝑔(𝑥𝑝) ⇒ 2
𝑠𝑒𝑛𝑥𝑝 = 4𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑝 ⇒ 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑝 = 22⋅𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑝 
𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑝 = 2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑝 ⇒ 𝑡𝑔 𝑥𝑝 = 2 
𝑠𝑒𝑐2 𝑥 = 1 + 𝑡𝑔2𝑥 
𝑠𝑒𝑐2 𝑥𝑝 = 1+ 2
2 ⇒ 𝑠𝑒𝑐2 𝑥𝑝 = 5 ⇒
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑝
= 5 ⇒
𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑝 =
√5
5
 
 
Resposta da questão 10: 
[A] 
 
Calculando: 
ℎ(𝑡) = 2,2 = 1,5+ 1,4 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
6
⋅ 𝑡) ⇒ 1,4 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
6
⋅ 𝑡)
= 2,2 − 1,5 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
6
⋅ 𝑡) =
0,7
1,4
⇒ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
6
⋅ 𝑡) =
1
2
 
1º 𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 ⇒
𝜋
6
⋅ 𝑡 =
𝜋
3
⇒ 𝑡 = 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
 
 
Lista de Exercícios (Complementar) - Trigonometria - Módulo 8 
(Funções Trigonométricas) 
 
waldematica.com.br 
 
Resposta da questão 11: 
01 + 04 + 08 + 16 = 29. 
 
[01] Verdadeira. De fato, como 1 senx 1,−   segue que 
a imagem de f é o intervalo 
 
[02] Falsa. Sendo 1 cosx 1,−   podemos afirmar que a 
imagem de g é o intervalo 
1
, 3 .
3
 
 
 
 
 
[04] Verdadeira. Com efeito, pois 
2 1
cossen
34 2 2f 3 3 3 3 g .
4 3
ππ
π π   
= =  = =   
   
 
 
[08] Verdadeira. De fato, pois 
13
6 6
π π
−  − e 
19
3 3
π π
 
implicam em 
𝑓 (−
13𝜋
6
) = 𝑓 (−
𝜋
6
) = 3𝑠𝑒𝑛(−
𝜋
6
) = 3−
1
2 < 3
1
2 = 3𝑐𝑜𝑠
𝜋
3
= 𝑔 (
𝜋
3
) = 𝑔 (
19𝜋
3
). 
 
[16] Verdadeira. Com efeito, pois as funções seno e 
cosseno têm o mesmo período fundamental. 
 
 
Resposta da questão 12: 
02 + 08 = 10. 
 
Analisando as alternativas uma a uma: 
[01] INCORRETA. Calculando: 
𝑓(𝑥) = 2 + 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥) 
𝐼𝑚 =(2 − 1 ;  2 + 1) = (1 ;  3) 
𝑃 =
2𝜋
2
= 𝜋 
 
[02] CORRETA. Calculando: 
𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛 (2𝑏𝑥) 
𝑃 =
2𝜋
2𝑏
=
𝜋
3
⇒ 2𝑏 = 6 ⇒ 𝑏 = 3 
𝐼𝑚 ⇒{
𝑎 + 𝑏 = 2
𝑎 − 𝑏 = −4
⇒ 𝑎 = −1 ⇒ 𝑏 = ±3 
 
[04] INCORRETA. Calculando: 
𝑓(𝑥) = 1 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛 (2𝑏𝑥) 
𝐼𝑚 ⇒{
1 + 𝑏 = 3
1 − 𝑏 = −1
⇒ 𝑏 = ±2 
 
[08] CORRETA. Calculando: 
𝑓(𝑥) = 𝑎 + 2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (4𝑥) 
𝑃 =
2𝜋4
=
𝜋
2
 
 
[16] INCORRETA. Se a 3= e b 2= o gráfico da função 
não intercepta o eixo x. 
 
Resposta da questão 13: 
[B] 
 
De ( )p t 100 20sen t, t 0,= −  temos o gráfico abaixo: 
 
 
O diâmetro (d) da circunferência é dado pela diferença 
entre o máximo e mínimo da função, logo, 
d 120 80
d 40
= −
=
 
 
Resposta da questão 14: 
[E] 
 
[A] INCORRETA. A função seno varia de 1 a 1,− assim a 
população de coelhos poderá oscilar entre 750 e 
1250 indivíduos. 
 
[B] INCORRETA. Calculando: 
𝑝( 4 ⋅ 360) = 1.000− 250 𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋 ⋅ 4 ⋅ 360
360
) 
𝑝( 4 ⋅ 360) = 1.000− 250 𝑠𝑒𝑛 (
2880𝜋
360
)
= 1.000 − 250 𝑠𝑒𝑛(8𝜋)
= 1.000 − 250  ⋅ 4 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋) = 1000 
 
[C] INCORRETA. Calculando: 
𝑝( 3 ⋅ 360) = 1.000− 250 𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋 ⋅ 3 ⋅ 360
360
) 
𝑝( 3 ⋅ 360) = 1.000− 250 𝑠𝑒𝑛 (
2160𝜋
360
)
= 1.000 − 250 𝑠𝑒𝑛(6𝜋)
= 1.000 − 250  ⋅ 3 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋) = 1000 
 
[D] INCORRETA. Como sen 0,π = após 180 dias a 
população será igual a 1000 indivíduos. 
 
[E] CORRETA. A função seno varia de 1 a 1,− assim a 
população de coelhos poderá oscilar entre 750 e 1250 
indivíduos. 
 
Resposta da questão 15: 
[A] 
 
Calculando: 
𝑃(𝑡) = 𝐴 + 𝐵𝑐𝑜𝑠( 𝑘𝑡) 
{
𝐴 + 𝐵 ⋅ 𝑐𝑜𝑠( 𝑘𝑡) = 120
𝐴 − 𝐵 ⋅ 𝑐𝑜𝑠( 𝑘𝑡) = 78
⇒ 2𝐴 = 198 ⇒ 𝐴 = 99 
𝑃𝑚á𝑥 ⇒ 𝑐𝑜𝑠( 𝑘𝑡) = 1 
99 + 𝐵 = 120 ⇒ 𝐵 = 21 
90 𝑏𝑎𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
=
1
𝑇
⇒ 𝑇 =
6
9
𝑠 =
2
3
𝑠 
𝑘 =
2𝜋
𝑇
=
3
2
⋅ 2𝜋 = 3𝜋 
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚: 
𝑃(𝑡) = 99 + 21 ⋅ 𝑐𝑜𝑠( 3𝜋𝑡) 
1
, 3 .
3
 
 
 
Lista de Exercícios (Complementar) - Trigonometria - Módulo 8 
(Funções Trigonométricas) 
 
waldematica.com.br 
 
 
 
Resposta da questão 16: 
 a) O valor mínimo da função ocorre 
x
cos
4
π  
 
 
 assume 
seu valor mínimo, ou seja, 1.− Portanto, o valor 
mínimo da função será dado por: 
4 ( 1) 3 7. − − = − 
 
b) f(x) 1?= − 
4 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋 ⋅ 𝑥
4
) − 3 = −1 ⇔ 4 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋 ⋅ 𝑥
4
) = 2 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋 ⋅ 𝑥
4
)
=
1
2
⇒ 
𝜋 ⋅ 𝑥
4
=
𝜋
3
+ 𝑘 ⋅ 2 ⋅ 𝜋   𝑜𝑢   
𝜋 ⋅ 𝑥
4
=
5 ⋅ 𝜋
3
+ 𝑘 ⋅ 2 ⋅ 𝜋 ⇒ 
𝑥 =
4
3
+ 8𝑘   𝑜𝑢   𝑥 =
20
3
+ 8𝑘,    𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ ℤ 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 =
4
3
+ 8𝑘  𝑜𝑢  𝑥 =
20
3
+ 8𝑘,  𝑘 ∈ ℤ} 
 
Resposta da questão 17: 
[E] 
 
[I] VERDADEIRA. Calculando: 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠   (𝑥) + √3 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥)
= 2 ⋅ (
1
2
⋅ 𝑐𝑜𝑠   (𝑥) +
√3
2
 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)) ⇒ 
⇒ 𝑓(𝑥) = 2 ⋅ (𝑠𝑒𝑛 30° ⋅ 𝑐𝑜𝑠   𝑥+𝑐𝑜𝑠 30° 
⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑥()(30°+ 𝑥) [0, 
𝜋
2
]) 
 
[II] FALSA. Não há solução entre 0, .
2
π 
 
 
 Calculando: 
2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (30°+ 𝑥) = 0 ⇒ 𝑠𝑒𝑛 (30°+ 𝑥) = 0
⇒ {
30°+ 𝑥 = 0°⇒ 𝑥 = −30°
𝑜𝑢
30°+ 𝑥 = 180°⇒ 𝑥 = 150°
 
 
[III] FALSA. A função dada é uma função do tipo seno cujo 
período é 2 .π 
 
Resposta da questão 18: 
[E] 
 
Para que f esteja definida, deve-se ter 
3𝑥 −
𝜋
4
≠ 𝑘𝜋 +
𝜋
2
⇔ 3𝑥 ≠ 𝑘𝜋 +
𝜋
2
+
𝜋
4
 
 ⇔ 3𝑥 ≠ 𝑘𝜋 +
3𝜋
4
 
 ⇔ 𝑥 ≠
𝜋
4
+
𝑘𝜋
3
,  𝑘 ∈ ℤ. 
 
 
Resposta da questão 19: 
 [B] 
 
O seno de 30 é igual a 0,5, portanto: 
l(x) k sen(x) k sen(30 ) 0,5 k=  =   = 
 
Logo, a intensidade luminosa se reduz a 50%. 
 
 
Resposta da questão 20: 
01 + 04 + 08 = 13. 
 
[01] Verdadeiro. Sendo cada um dos ângulos da base 
igual a 45 ,
4
π =  logo o ângulo faltante mede 90 . 
Assim, traçando uma reta que divide o ângulo maior 
em dois iguais, até a base, dividindo-a também em 
duas partes iguais, pode-se dividir o triângulo 
isósceles em dois triângulos retângulos de catetos 
5. Ou seja: 
 
 
 
Por Pitágoras, pode-se concluir que a hipotenusa de 
cada um dos triângulos retângulos será igual a: 
2 2 2h 5 5 h 50 25 2 5 2= + → = =  = 
 
Assim, o perímetro do triângulo será: 
p 10 2 5 2 10 10 2= +  = + 
 
[02] Falso. Calculando: 
𝑠𝑒𝑛(
𝜋
6
+
𝜋
3
) = 𝑠𝑒𝑛(
𝜋 + 2𝜋
6
) = 𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋
6
) = 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
)
= 1 ≠
√2
2
 
 
[04] Verdadeiro. Calculando: 
𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2
= 0 
(𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
)
2
+ (𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2
)
2
= 1 → (𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
)
2
= 1 
𝑦 =
𝑐𝑜𝑡 𝑔
3𝜋
2 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐
3𝜋
2
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
=
𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
+
1
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
=
1
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
⋅
1
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
=
1
(𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2 )
2 → 𝑦
= 1 
 
[08] Verdadeiro. Calculando: 
1 1
cotgx tgx 1
tgx tgx
= →  = 
 
[16] Falso. Calculando: 
3
senx
4
3
senx 1 6 34tgx cos x
cos x cos x 2 4 2
1 2
sec x
cos x 3
=
= = = → = =
= =
 
 
Lista de Exercícios (Complementar) - Trigonometria - Módulo 8 
(Funções Trigonométricas) 
 
waldematica.com.br 
 
Resposta da questão 21: 
[B] 
 
O valor máximo para f(x) ocorre quando: 
𝜋 ⋅ 𝑥
3
= 0 + 𝑘 ⋅ 2𝜋 ⇒ {
𝑘 = 0 ⇒ 𝑥 = 0
𝑘 = 1 ⇒ 𝑥 = 6
 
 
O valor mínimo ocorre quando: 
𝜋 ⋅ 𝑥
3
= 𝜋 + 𝑘 ⋅ 2𝜋 ⇒ {
𝑘 = 0 ⇒ 𝑥 = 3
𝑘 = 1 ⇒ 𝑥 = 9
 
 
Portanto, f(x) atingirá seu valor mínimo em apenas duas 
ocasiões. 
 
Resposta da questão 22: 
[A] 
 
O número de quartos ocupados em junho é dado por: 
𝑄(6) = 150+ 30𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
6
⋅ 6) 
𝑄(6) = 150+ 30𝑐𝑜𝑠(𝜋) 
𝑄(6) = 150+ 30 ⋅ (−1) 
𝑄(6) = 120 
 
O número de quartos ocupados em março é dado por: 
𝑄(3) = 150+ 30𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
6
⋅ 3) 
𝑄(3) = 150+ 30𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2
) 
𝑄(3) = 150+ 30 ⋅ 0 
𝑄(3) = 150 
 
A variação porcentual pedida é dada por: 
𝑄(6) − 𝑄(3)
𝑄(3)
⋅ 100% 
120− 150
150
⋅ 100% 
−
30
150
⋅ 100% 
−20% 
 
 
Resposta da questão 23: 
[E] 
 
Do enunciado, 
𝑑(𝑥) = ℎ(𝑥) − 𝑔(𝑥) 
𝑑(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝑑(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝑑(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − (1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥) − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝑑(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 1 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝑑(𝑥) = 2 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1 
 
Como 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ≤ 1. 
 
Fazendo cosx t,= temos a função abaixo: 
2y 2t t 1, 1 t 1.= − − −   
O gráfico da função 
2y 2t t 1, 1 t 1= − − −   segue 
abaixo. 
 
Observando o gráfico, máximoy 2.= 
Assim, 
( )
máximo
d x 2.= 
 
Resposta da questão 24: 
[C] 
 
2
f(x) sen(5x) Período .
5
π
=  = 
 
 
 
Total: 21 intersecções com o eixo x. 
 
Resposta da questão 25: 
[A] 
 
Se t = 0, temos A(0) = 1,6 – 1,4.sen0 = 1,6; 
Se t = 3, temos A(3) = 1,6 – 1,4.sen
2
π 
 
 
 = 0,2; 
Se t = 6, temos A(6) = 1,6 – 1,4.sen π = 1,6; 
Se t = 9 temos, A(9) = 1,6 – 1,4.sen
3.
2
π 
 
 
 = 3,0. 
 
Portanto, o gráfico da alternativa [A] é o correto. 
 
Resposta da questão 26: 
F – V – F – F – V. 
Reescrevendo a lei de f obtemos 
 
f(x) 3 cos x senx
3 1
2 cos x senx
2 2
2 sen cos x senxcos
3 3
2 sen x 2 sen x .
3 6
= −
 
=  − 
 
  
=  − 
 
    
= −  −   +   
   
 
Conforme mostrado acima, a lei de f pode ser escrita sob 
a forma 
 
= −  − 
 
f(x) 2 sen x .
3
 Logo, 
f é periódica com período igual a 2 . 
 
Lista de Exercícios (Complementar) - Trigonometria - Módulo 8 
(Funções Trigonométricas) 
 
waldematica.com.br 
 
Fazendo =f(x) 0, segue que 
 
−2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 −
𝜋
3
) = 0 ⇔ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 −
𝜋
3
) = 𝑠𝑒𝑛0 
   ⇔ |
𝑥 =
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋
𝑥 =
4𝜋
3
+ 2𝑘𝜋
 
   ⇔ 𝑥 =
𝜋
3
+ 𝑘𝜋 ≠ −
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋,  𝑘 ∈ ℤ. 
 
A imagem de f é o intervalo −[ 2, 2]. Logo,  −f(x) 2 e 
f(x) 2, para todo x real. 
 
Resposta da questão 27: 
[C] 
 
De acordo com o gráfico, temos a = 
120 20
50
2
−
= 
D = 120 – 50 = 70 
 
2
12 c
c 6
π π
=  = 
 
Logo, Q(t) =50. sen(b + .t
6
π
) + 70, substituindo o ponto 
(2,120) na função, temos: 120 = 50. 𝑠𝑒𝑛(𝑏 +
𝜋.2
6
) + 70 ⇔
𝑏 =
𝜋
6
. 
 
Resposta da questão 28: 
[B] 
 
Considere a figura abaixo. 
 
 
Portanto, o número de interseções é 8. 
 
 
Resposta da questão 29: 
a) 
 
 
 
b) 
 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 
2 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≥ 2 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 
2 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≥ 2 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
𝑠𝑒𝑛𝑥 ≥ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
𝑠𝑒𝑛𝑥 ≥ 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 ≥ 0 
 
Resolvendo a inequação temos: 
 
 senx = -1 logo x = 3π /2 (16h e 43 min). 
 senx = 
1
2
 logo π /6  x  5π /6 
(12h e 31min  x  14h e 37 min). 
 
 
Resposta da questão 30: 
[D] 
O período da função é 
2 2
5 5
=
π π
.Como as taxas de inalação e exalação são 6, temos a 
função : 
2
y 0,6 sen .x
5
 
=   
 
π
. A função não poderia ser 
2
y 0,6 cos .x
5
 
=   
 
π
, pois, se x for zero, o y deveria ser 
0,6.