Lista Complementar-G E -Mod5-Aula 6 - Pirâmides

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Lista de Exercícios (Complementar) – Geometria Espacial 
Módulo 5 – Aula 6: Pirâmides 
 
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1. (Famerp 2018) A figura indica um prisma reto triangular 
e uma pirâmide regular de base quadrada. A altura desses 
sólidos, em relação ao plano em que ambos estão 
apoiados, é igual a 4 cm, como indicam as figuras. 
 
Se os sólidos possuírem o mesmo volume, a aresta da 
base da pirâmide, em centímetros, será igual a 
a) 
4 3
3
 b) 
3 3
2
 
c) 3 d) 3 3 
e) 
6 3
5
 
 
2. (Upf 2018) A medida de cada aresta do cubo da figura 
1 é 2 cm, e os pontos A, B e C são pontos médios de 
três arestas. Seccionando o cubo por um plano que passe 
por ABC, podemos retirar o sólido que se forma em seu 
vértice. Se repetirmos esse procedimento em todos os 
vértices do cubo, obtemos um cubo truncado, como 
mostra a figura 2. 
 
 
 
O volume do cubo truncado, em 3cm , é 
a) 
10
9
 b) 
16
3
 c) 
1
6
 d) 
47
6
 e) 
20
3
 
 
3. (Pucpr 2017) No cubo representado a seguir, cuja 
aresta mede 12 cm, qual a distância, em cm, do plano 
que passa pelos vértices AFC ao vértice D? 
 
a) 4 3 
b) 12 3 
c) 6 3 
d) 8 3 
e) 3 3 
 
4. (Enem 2016) É comum os artistas plásticos se 
apropriarem de entes matemáticos para produzirem, por 
exemplo, formas e imagens por meio de manipulações. 
Um artista plástico, em uma de suas obras, pretende 
retratar os diversos polígonos obtidos pelas intersecções 
de um plano com uma pirâmide regular de base quadrada. 
 
Segundo a classificação dos polígonos, quais deles são 
possíveis de serem obtidos pelo artista plástico? 
a) Quadrados, apenas. 
b) Triângulos e quadrados, apenas. 
c) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas. 
d) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros 
irregulares, apenas. 
e) Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros 
irregulares e pentágonos, apenas. 
 
 
5. (Unisc 2016) Em uma pirâmide regular, a base é um 
quadrado de lado q. Sabendo que as faces laterais dessa 
pirâmide são triângulos equiláteros, pode-se afirmar que 
o seu volume é 
a) 3q 2 b) 
3q 2
6
 
c) 
q 2
2
 d) 
3q 3
6
 
e) 
3q 3
3
 
 
6. (Enem PPL 2016) A cobertura de uma tenda de lona 
tem formato de uma pirâmide de base quadrada e é 
formada usando quatro triângulos isósceles de base y. A 
sustentação da cobertura é feita por uma haste de medida 
x. Para saber quanto de lona deve ser comprado, deve-
se calcular a área da superfície da cobertura da tenda. 
 
 
 
A área da superfície da cobertura da tenda, em função de 
y e x, é dada pela expressão 
a) 
2
2 y2y x
4
+ 
b) 
2
2 y2y x
2
+ 
c) 2 24y x y+ 
d) 
2
2 y4 x
4
+ 
e) 
2
2 y4 x
2
+ 
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7. (Ufsm 2015) Desde a descoberta do primeiro plástico 
sintético da história, esse material vem sendo 
aperfeiçoado e aplicado na indústria. Isso se deve ao fato 
de o plástico ser leve, ter alta resistência e flexibilidade. 
Uma peça plástica usada na fabricação de um brinquedo 
tem a forma de uma pirâmide regular quadrangular em 
que o apótema mede 10mm e a aresta da base mede 
12mm. A peça possui para encaixe, em seu interior, uma 
parte oca de volume igual a 378mm . 
O volume, em 3mm , dessa peça é igual a 
a) 1152. b) 1074. 
c) 402. d) 384. 
e) 306. 
 
8. (Insper 2014) Uma empresa fabrica porta-joias com a 
forma de prisma hexagonal regular, com uma tampa no 
formato de pirâmide regular, como mostrado na figura. 
 
 
 
As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado 
medindo 6 cm e a altura da tampa também vale 6 cm. A 
parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua 
tampa são revestidas com um adesivo especial, sendo 
necessário determinar a área total revestida para calcular 
o custo de fabricação do produto. A área da parte 
revestida, em cm2, é igual a 
a) 72(3 3).+ b) 36(6 5).+ 
c) 108(2 5).+ d) 27(8 7).+ 
e) 54(4 7).+ 
 
9. (Epcar (Afa) 2014) Considere uma pirâmide regular 
ABCDV de base ABCD. 
Sendo 2 2 cm a medida da aresta da base e 2 3 cm a 
medida da altura dessa pirâmide, a distância, em cm, de 
A à aresta lateral VC é 
a) 2 2 b) 2 3 c) 4 d) 3 
 
10. (Epcar (Afa) 2013) Uma pirâmide regular ABCV, de 
base triangular ABC, é tal, que sua aresta lateral AV 
mede 3 cm. 
Sendo 5 cm a altura de tal pirâmide, a distância, em cm, 
de A à face BCV é igual a 
a) 
30
2
 b) 7 c) 
26
2
 d) 2 2 
 
11. (Ufrgs 2012) Se duplicarmos a medida da aresta da 
base de uma pirâmide quadrangular regular e reduzirmos 
sua altura à metade, o volume desta pirâmide 
a) será reduzido à quarta parte. 
b) será reduzido à metade. 
c) permanecerá inalterado. 
d) será duplicado. 
e) aumentará quatro vezes. 
 
 
12. (Ufpe 2011) Na ilustração a seguir, temos um 
octaedro regular com área total da superfície 236 3 cm . 
Indique o volume do octaedro, em 3cm . 
 
 
 
 
13. (Unesp 2011) Há 4.500 anos, o Imperador Quéops 
do Egito mandou construir uma pirâmide regular que seria 
usada como seu túmulo. 
As características e dimensões aproximadas dessa 
pirâmide hoje, são: 
 
1.ª) Sua base é um quadrado com 220 metros de lado; 
2.ª) Sua altura é de 140 metros. 
 
Suponha que, para construir parte da pirâmide 
equivalente a 1,88 × 104 m3, o número médio de operários 
utilizados como mão de obra gastava em média 60 dias. 
Dados que 2,22 × 1,4 ≅ 6,78 e 2,26 ÷ 1,88 ≅ 1,2 e 
mantidas estas médias, o tempo necessário para a 
construção de toda pirâmide, medido em anos de 360 
dias, foi de, aproximadamente, 
a) 20. b) 30. c) 40. d) 50. e) 60. 
 
 
14. (Enem 2011) Uma indústria fabrica brindes 
promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida 
a partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de 
um cubo, No esquema, estão indicados o sólido original 
(cubo) e a pirâmide obtida a partir dele. 
 
 
 
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Os pontos A. B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os 
mesmos. O ponto O é central na face superior do cubo. 
Os quatro cortes saem de O em direção às arestas AD , 
BC , AB e CD , nessa ordem. Após os cortes, são 
descartados quatro sólidos. Os formatos dos sólidos 
descartados são 
a) todos iguais. b) todos diferentes. 
c) três iguais e um diferente. d) apenas dois iguais. 
e) iguais dois a dois. 
 
 
15. (Espcex (Aman) 2011) Na figura abaixo, está 
representado um sólido geométrico de faces, obtido a 
partir de um cubo e uma pirâmide. Sabendo que todas as 
arestas desse sólido têm medida , então as medidas da 
altura (distância do ponto à face ) e da 
superfície total desse sólido são, respectivamente, 
 
 
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
e) e 
 
Gabarito 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Calculando: 
2
prisma
2 2
pirâmide
6 4
V 3 36 cm
2
1
V b 4 36 b 27 3 3 cm
3

=  =
=   =  = =
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
O tetraedro VABC é um tetraedro trirretangular e seu 
volume VABCV é dado por: 

=  
=
VABC
VABC
1 1 1
V 1
3 2
1
V
6
 
 
Dessa forma, sendo V o volume do cubo truncado, 
temos: 
= − 
= − 
=
3
VABCV 2 8 V
1
V 8 8
6
20
V
3
 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
O plano AFC com o vértice D forma um tetraedro cuja 
base é um triângulo equilátero de lado12 2 e demais 
arestas medindo 12. 
 
 
 
Assim, os pontos DPA forma um triângulo retângulo 
cujo cateto AP equivale à dois terços da altura do 
triângulo equilátero AFC. Calculando: 
( )
22 2
2
2 12 2 3
AP 4 6
3 2
12 4 6 DP
DP 48 DP 4 3

=  =
= +
=  =
 
 
Resposta da questão 4: 
 [E] 
 
Supondoque quadriláteros irregulares e trapézios sejam 
polígonos distintos, tem-se que as possibilidades são: 
triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros 
irregulares e pentágonos, conforme as figuras abaixo. 
 
9
V ABCD
 +
  
 
2 2
2
+2( 3 4)
 +
  
 
2 2
2
+2( 3 5)
 +
  
 
3 2
2
 
+  
 
2 3 5
4
 
  
 
2
2
+2( 3 5)
 
  
 
3
2
 
+  
 
2 3 4
4
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Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
Desde que as faces laterais são triângulos equiláteros de 
lado q, segue que o apótema da pirâmide mede 
q 3
.
2
 
Em consequência, sendo a medida do apótema da base 
igual a 
q
,
2
 pelo Teorema de Pitágoras, segue que a 
altura da pirâmide mede 
q 2
.
2
 
 
Portanto, a resposta é 
 
3
21 q 2 q 2q .
3 2 6
  = 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Calculando: 
 
 
 
( )
2 2
2 2 2
2
2
lateral lateral
y y
g x g x
2 4
4 y g y
S S 2y x
2 4
 
= +  = + 
 
  
 =  =  +
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 7: 
 [E] 
 
 
 
Cálculo da altura da Pirâmide: 
mm8h106h 222 ==+ 
 
Volume da peça como diferença do volume da pirâmide 
e o volume da parte oca. 
peça pirâmide
2
peça
3
peça
V V 78
1
V 12 8 78
3
V 306mm
= −
=   −
=
 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
Considere a figura, em que V é o vértice da pirâmide, 
O é o centro da base e M é o ponto médio da aresta 
AB. 
 
 
 
Desse modo, como AB 6cm,= vem 
 
AB 6
OM OM 3 3 cm.
2tg30 3
2
3
=  = =


 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo OVM, 
encontramos 
 
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2 2 2 2 2 2VM OV OM VM 6 (3 3)
VM 3 7 cm.
= +  = +
 =
 
 
Portanto, o resultado pedido é dado por 
 
2 2
2
AB VM
6 AB 6 (6 3 3 7)
2
54(4 7)cm .
 
 + =  +  
 
 
= +
 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Com os dados do enunciado, pode-se desenhar: 
 
 
 
Analisando o triângulo VOC, pode-se escrever: 
( )
( )
2
22 2 2 2
VC 2 3 12 4 VC 4
2
 
 = + = +  =
 
 
 
 
Como o segmento AC também é igual a 4, conclui-se 
que o triângulo ACV é equilátero. Assim, a distância do 
ponto A à aresta lateral VC é igual a altura h de um 
triângulo equilátero de lado 4 (segmento azul da figura). 
 
Logo, 
4 3
h 2 3
2
=  
 
Resposta da questão 10: 
 [A] 
 
 
No triângulo VOM: 
22 2R 5 3 R 4 R 2+ =  =  = e a = 1 
 
No triângulo VOM: 
22 2m 5 1 m 6= +  = 
 
 
 
O triângulo AMV é isósceles de base VM (AM = AV = 3) 
Logo, 
2
2 26 6 30d 3 d 9 d
2 4 2
 
+ =  = −  =  
 
 
 
 
Resposta da questão 11: 
 [D] 
 
 
 
Pirâmide
Area da base Altura
V .
3

= 
 
Portanto: 
2
2 2
1 2
H
(2L)
L H L H2V e V 2 .
3 3 3
   
= = =   
 
 
 
Logo: 
 
2 1V 2 V=  (O dobro do volume inicial). 
 
 
Resposta da questão 12: 
 Sabendo que a área total de um octaedro regular é 
dada por 22a 3, em que a é a aresta do octaedro, 
segue que 
2 62a 3 36 3 a cm.
2
=  = 
Portanto, o volume do octaedro é dado por 
3
3
3
6
2
a 2 2
36cm .
3 3
 
 
 = = 
 
 
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Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
2 6 6
2 2 2 61 (2,2) .1,4.10 6,78.10V .(2,2.10 ) .1,4.10 2,26.10
3 3 3
= = = = m
3 
 
1,88.104 ------------------------ 60 dias 
2,26.106--------------------------x 
 
X = 
6
4
2,26.60.10
1,88.10
 =1,2.60.102 = 7200 dias = 20 anos. 
 
 
 
Resposta da questão 14: 
 [E] 
 
As peças descartadas são de dois tipos diferentes: 2 
pirâmides congruentes e 2 prismas congruentes (ver 
figura abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 15: 
 [B] 
 
Considere a figura abaixo, em que é o centro da base 
da pirâmide. 
 
 
 
Como segue que 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo 
obtemos 
 
 
 
Desse modo, a distância do ponto à face é 
 
 
 
A superfície total do sólido é dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
O
= =VE EF , =
2
OE .
2
VOE,
= −  = − =
2
2 2 2 2 2VO VE OE VO .
2 2
V ABCD
 +
+ =  
 
2 2 2
.
2 2
 +  =  + 
= +
2
2
2
3
4 (VEF) 5 (ABCD) 4 5
4
( 3 5).