O Princípio de Cavalieri

Prévia do material em texto

GEOMETRIA ESPACIAL PARTE II 
 
O Princípio de Cavalieri 
 
No início do século XVII, os métodos deixados pelos gregos para cálculos de áreas e volumes, apesar de sua beleza e 
rigor mostravam-se cada vez menos adequados a um mundo em franco progresso científico. Pois faltavam a eles 
operacionalidade e algoritmos para implementá-los. E como não havia ainda condições matemáticas de obter esses 
requisitos, os métodos então surgidos eram sempre passíveis de críticas - como o mais famoso deles, a geometria dos 
indivisíveis, de Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647). 
O milanês Cavalieri foi um dos matemáticos mais influentes de sua época. De família nobre, Cavalieri seguiu 
paralelamente a carreira religiosa e a atividade científica. Discípulo de Galileu Galilei (1564 - 1642), por indicação deste, 
ocupou desde 1692 a cátedra de matemática da Universidade de Bolonha, ao mesmo tempo que era o superior do 
monastério de São Jerônimo. Cavalieri foi também astrônomo, mas se ainda é lembrado, isso se deve em grande parte 
ao método dos indivisíveis que desenvolveu a partir de 1626. 
Cavalieri não definia, em suas obras sobre o assunto, o que vinha a ser os indivisíveis. Segundo ele, porém, uma figura 
plana seria formada por uma infinidade de cordas paralelas entre si e uma figura sólida por uma infinidade de secções 
planas entre si - a essas cordas e a essas secções chamava-os de indivisíveis. Num de seus livros, "explicava" que um 
sólido é formado de indivisíveis, assim como um livro é composto de páginas. Do ponto de vista lógico, essas idéias 
envolviam uma dificuldade insuperável. Como uma figura com extensão finita poderia ser formada de uma infinidade de 
indivisíveis, tanto mais que estes não possuem espessura ? 
O Princípio de Cavalieri ainda bastante usado no ensino de geometria métrica no espaço, facilita bastante a aceitação da 
ideia de indivisível: 
“Sejam A e B dois sólidos. Se qualquer plano horizontal secciona A e B segundo figuras planas de mesma área, então 
estes sólidos têm volumes iguais.” 
 
Foram tantas as críticas que Cavalieri recebeu pelo seu método, embora este funcionasse, que certa vez disse: "O rigor 
é algo que diz respeito à Filosofia e não à Matemática". 
Que os matemáticos atuais não leiam essa frase!!! 
 
PRISMAS 
 
1. Elementos 
 
Considere o prisma: 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 15 – Prof. Raul Brito 
 
2 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
A figura abaixo mostra um prisma hexagonal regular reto planificado. 
 
 
 
 
2. Classificação 
 
 Quanto a perpendicularidade das arestas laterais 
 
- Prisma Reto: As arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases, ou seja a altura do prisma é igual a 
aresta lateral (h = aL). Como exemplo temos a figura acima. 
- Prisma Oblíquo: As arestas laterais são oblíquas (inclinadas) em relação aos planos das bases, ou seja, a aresta 
lateral é maior do que a altura do prisma (aL > h). 
 
 Quanto ao polígono da base 
 
- Prisma Regular: É um prisma reto cuja base é um polígono regular. 
- Prisma Irregular: É um prisma reto ou oblíquo, cuja base é um polígono irregular. 
 
 Quanto ao número de lados do polígono da base 
 
N
o
 de Lados Nomenclatura 
3 Prisma Triangular 
4 Prisma Quadrangular 
5 Prisma Pentagonal 
6 Prisma Hexagonal 
7 Prisma Heptagonal 
8 Prisma Octogonal 
9 Prisma Eneagonal 
10 Prisma Decagonal 
11 Prisma Undecagonal 
12 Prisma Dodecagonal 
15 Prisma Pentadecagonal 
20 Prisma Icosagonal 
 
3. Áreas 
 
As fórmulas abaixo são apresentadas para os prismas regulares. 
 
 
 Área da Base (AB)  nB apA  
 
onde 
p  semi-perímetro do polígono 
an  apótema do polígono 
 
 
 
3 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
 Área Lateral (AL)  f aceL AnA  
 
n  quantidade de lados do polígono da base 
 
haA bf ace  
onde 
ab  aresta da base 
h  altura do polígono (lembrete: h = aL) 
 
 
 Área Total (AT)  BLT A2AA  
 
 
4. Volume 
hAV B  
 
Formulário Auxiliar 
 
 
 
 
PRISMAS ESPECIAIS 
 
1. Paralelepípedo 
 
 
 
 Paralelepípedo Reto Retângulo ou Ortoedro 
 
É um paralelepípedo reto cujas faces são retângulos. 
 
 
 
4 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
Diagonal: 
222 cbaD  
 
Área Total:  bcacab2AT  
 
Volume: cbaV  
 
 
2. Cubo ou Hexaedro Regular 
 
Quando as três dimensões de um paralelepípedo reto - retângulo são iguais, ou seja, a = b = c, o paralelepípedo é 
denominado cubo. 
 
 
 
Diagonal: 3aD  
 
Área Total: 
2
T a6A  
 
Volume: 
3aV  
 
 
PIRÂMIDES 
 
1. Elementos 
 
 
- Base: polígono regular 
- Aresta Lateral: 
LaVC...VFVAVB  
- Aresta da Base: 
baFA  
- Apótema da Base: m 
- Raio da Circunferência Circunscrita: RAO 
- Altura: hVO  
- Apótema da Pirâmide: 
paVM  (altura do  da face) 
 
 
 
5 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
2. Relações Importantes 
 
 
 
3. Classificação 
 
 Quanto ao polígono da base 
- Pirâmide Regular: É uma pirâmide reta cuja base é um polígono regular. 
- Pirâmide Irregular: É uma pirâmide reta ou oblíqua, cuja base é um polígono irregular. 
 
 Quanto ao número de lados 
 
N
o
 de Lados Nomenclatura 
3 Pirâmide Triangular 
4 Pirâmide Quadrangular 
5 Pirâmide Pentagonal 
6 Pirâmide Hexagonal 
 
 
4. Áreas 
 
As fórmulas abaixo são apresentadas supondo que a pirâmide é regular. 
 
 Área da Base (AB)  mpAB  
 
p = n.ab/2  semiperímetro da base 
m  apótema da base 
 
 
 Área Lateral (AL)  f aceL AnA  
 
n  quantidade de lados do polígono da base 
 
 
2
aa
A
pb
f ace

 
 
ab  aresta da base 
ap  apótema da pirâmide 
 
 
6 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
 Área Total (AT)  BLT AAA  
 
 
5. Volume 
 
hA
3
1
V B  
 
 
CASOS ESPECIAIS 
 
1. Tetraedro Regular 
 
É uma pirâmide em que todas as faces são triângulos equiláteros, logo, todas as arestas são iguais. 
 
 
 
 Elementos Importantes 
 
- Aresta: a 
- Apótema do Tetraedro: 
2
3a
g  
- Centro do Triângulo da Base: H (baricentro) 
 
 
 
 
Atenção !!! 
g
3
1
MH  g
3
2
HB  
 
 
 Formulário 
 
Altura: 
3
6a
h  ou g
3
22
h  
 
Área da Base: 
4
3a
A
2
B  
 
Área Total: 3aA
2
T  
 
Volume: 
12
2a
V
3
 
 
 
 
 
7 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
Importante!!! 
 
O centro do tetraedro se encontra a uma distância de h/4 de qualquer face e a uma distância de 3h/4 de qualquer 
vértice. 
 
2. Octaedro Regular 
 
É um sólido formado por duas pirâmides que possuem todas as arestas congruentes entre si e cuja superfície é 
constituída de 8 triângulos equiláteros. 
 
 
 
 
 Formulário 
 
Altura: 2ah  
 
 
Área Total: 3a2A
2
T  
 
 
Volume: 
3
2a
V
3
 
 
 
3. Tronco de Pirâmide 
 
 
 
Faces: Trapézios Isósceles 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
 Elementos 
 
B = AB  área da base maior 
b = Ab  área da base menor 
h  altura da pirâmide AXYZW 
d  altura da pirâmide AX'Y'Z'W' 
k  altura do tronco 
V1  volume da pirâmide AXYZW 
V2  volume da pirâmide AX'Y'Z'W' 
f  apótema do tronco 
l1  lado do polígono da base maior 
l2  lado do polígono da base menor 
 
 Propriedades 

AO2E ~ AO1M AX'Y' ~ AXY 
 
 

d
h
a
a
m
m
l
l
2
1
p
p
2
1
2
1 2
b
B
A
A
 3
menor
pirâmide
maior
pirâmide
V
V
 
 
  razão de semelhança 
 
 
 Áreas 
 
Área Lateral (AL): f aceL AnA  
 
 
Área Total (AT): bBLT AAAA  
 
 
 Volume 
V = Vmaior –Vmenor 
 bbBB AAAA
3
k
V 
 
 
9 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
PROBLEMAS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
A água de um reservatório, na forma de um paralelepípedo 
retângulo, de comprimento 30m e largura 20m, atingia a 
altura de 10m. Com a falta de chuvas e o calor, 1800 metros 
cúbicos da água do reservatório evaporaram. A água 
restante no reservatório atingiu a altura de: 
a) 2m 
b) 3m 
c) 7m 
d) 8m 
e) 9m 
 
Questão 02 
Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas 
medindo 10cm e 6cm, são levados juntos à fusão e, em 
seguida, o alumínio líquido é moldado como um 
paralelepípedo reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de 
x é: 
a) 16m 
b) 17m 
c) 18m 
d) 19m 
e) 20m 
 
Questão 03 
Usando uma folha de latão, deseja-se construir um cubo 
com volume de 8dm
3
. A área da folha utilizada para isso 
será, no mínimo: 
a) 20cm
2
 
b) 40cm
2
 
c) 240cm
2
 
d) 2000cm
2
 
e) 2400cm
2
 
 
Questão 04 
A área total de um ortoedro é 720cm2, a diagonal de uma 
face mede 20cm e a soma de suas dimensões 34cm. 
Calcular as dimensões. 
a) 16cm, 12cm e 6m 
b) 17cm, 18cm e 19cm 
c) 15cm, 16cm e 17cm 
d) 19cm, 20m e 21cm 
e) 13cm, 15cm e 17cm 
 
Questão 05 
Considere o sólido resultante de um paralelepípedo 
retângulo de arestas medindo x, x e 2x, do qual um prisma 
de base quadrado de lado 1 e altura x foi retirado. O sólido 
está representado pela parte escura da figura. 
 
O volume desse sólido, em função de x, é dado pela 
expressão: 
a) 2x
3
 – x
2 
d) 2x
3
 – 2x
2
 
b) 4x
3
 – x
2 
e) 2x
3
 – 2x 
c) 2x
3
 – x 
 
 
10 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
Questão 06 
Uma pirâmide e um prisma, ambos de bases quadradas, 
têm o mesmo volume. Sabendo-se que o lado do quadrado 
da base da pirâmide tem medida 2m e que o lado do 
quadrado da base do prisma tem medida m, a razão entre 
as alturas da pirâmide e do prisma, nesta ordem, é igual a: 
a) 3cm 
b) 
3
m
 
c) 
3
4
 
d) 
3
2
 
e) 
1
4
 
 
Questão 07 
Em cada um dos vértices de um cubo de madeira, recorta-
se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos 
médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se V é o 
volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao tirar as 8 
pirâmides é igual a: 
 
a) 
1
2
V 
b) 
3
4
V 
c) 
2
3
V 
d) 
5
6
V 
e) 
3
8
V 
 
Questão 08 
Uma folha de papel colorido, com a forma de um quadrado 
de 20cm de lado, será usado para cobrir todas as faces e a 
base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de 
12cm e apótema da base medindo 5cm. Após se ter 
concluído essa tarefa, e levando-se em conta que não 
houve desperdício de papel, a fração percentual que 
sobrará dessa folha de papel corresponde a: 
a) 20% 
b) 16% 
c) 15% 
d) 12% 
e) 10% 
 
 
 
 
 
 
 
M
P
A
N
 
11 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
Questão 09 
O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à 
prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado 
sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto 
maciço, como mostra a figura. 
 
 
 
Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3m e 
que a altura da pirâmide será de 4m, o volume de concreto 
(em m
3
) necessário para a construção da pirâmide será: 
a) 36 
b) 27 
c) 18 
d) 12 
e) 4 
 
Questão 10 
A figura representa o brinquedo Piramix. Ele tem a forma de 
um tetraedro regular, com cada face dividida em 9 triângulos 
equiláteros congruentes. Se, a partir de cada vértice, for 
retirada uma pirâmide regular cuja aresta é 
1
3
 da aresta do 
brinquedo, restará um novo sólido. A razão entre as 
superfícies totais desse sólido e do Piramix equivale a: 
 
 
a) 
4
9
 
b) 
5
9
 
c) 
7
9
 
d) 
8
9
 
e) 
10
9
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
PROBLEMAS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma 
contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na 
Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e 
elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é 
indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são 
um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e 
uma delas pode ser observada na imagem. 
 
 
 
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15º 
e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a 
área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço 
a) menor que 100m
2
. 
b) entre 100m
2
 e 300m
2
. 
c) entre 300m
2
 e 500m
2
. 
d) entre 500m
2
 e 700m
2
. 
e) maior que 700m
2
. 
 
Questão 02 
Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam 
passar por um processo de resfriamento. Para que isso 
ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como 
mostrado na figura. 
 
 
 
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no 
tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm
3
? 
a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm 
de altura. 
b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de 
altura. 
c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de 
altura. 
d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. 
e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. 
 
13 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
Questão 03 
Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu 
vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens 
apresentadas estão as planificações dessas caixas. 
 
 
 
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a 
partir dessas planificações? 
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
c) Cone, tronco de pirâmide e prisma. 
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. 
e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 
 
Questão 04 
A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos 
maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita 
nessa companhia tem o formato de um paralepípedo 
retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura 
que segue. 
 
 
 
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria 
na medida da grandeza 
a) massa. 
b) volume. 
c) superfície. 
d) capacidade. 
e) comprimento. 
 
Questão 05 
Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de 
paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As 
arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo 
medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de 
espessura. 
Analisando as características das figuras geométricas 
descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o 
formato de cubo é igual a 
a) 5 cm. 
b) 6 cm. 
c) 12 cm. 
d) 24 cm. 
e) 25 cm. 
 
 
 
 
14 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
 
Questão 06 
Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, 
seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro e 
vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo 
menor, que e interno, mede 8 cm. 
 
 
 
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto 
foi de 
a) 12 cm
3
. 
b) 64 cm
3
. 
c) 96 cm
3
. 
d) 1 216 cm
3
. 
e) 1 728 cm
3
. 
 
Questão 07 
Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, 
utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para 
transportá-las. 
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm
3
, então 
o número máximo de esferas que podem ser transportadas 
em uma caixa é igual a 
a) 4. d) 24. 
b) 8. e) 32. 
c) 16. 
 
Questão 08 
Um artesão construiu peças de artesanato interceptando 
uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer 
um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele 
concluiu que uma delaspoderia ter uma das faces 
pentagonal. 
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do 
artesão? 
a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e 
a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas 
arestas laterais. Assim, esses pontos formam um 
polígono de 4 lados. 
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares 
e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide 
cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos 
polígonos tem 4 lados. 
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a 
interseção de uma face com um plano é um segmento de 
reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o 
polígono obtido nessa interseção tem 5 lados. 
d) O número de lados de qualquer polígono obtido como 
interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao 
número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 
faces, o polígono tem 5 lados. 
e) O número de lados de qualquer polígono obtido 
interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao 
número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide 
tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados. 
 
 
15 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
Questão 09 
Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide 
quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta 
da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma 
altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 
pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre 
eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à 
base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro 
passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a 
figura. 
 
 
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, 
retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de 
aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele 
passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? 
a) 156 cm
3
. 
b) 189 cm
3
. 
c) 192 cm
3
. 
d) 216 cm
3
. 
e) 540 cm
3
. 
 
Questão 10 
Uma eclusa é um canal que, construído em águas de um rio 
com grande desnível, possibilita a navegabilidade, subida 
ou descida de embarcações. No esquema a seguir, está 
representada a descida de uma embarcação, pela eclusa do 
porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná até o nível 
da jusante. 
 
 
 
 
 
16 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 
200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da água 
durante o esvaziamento da câmara é de 34.200 m por 
minuto. Assim, para descer do nível mais alto até o nível da 
jusante, uma embarcação leva cerca de 
a) 2 minutos. 
b) 5 minutos. 
c) 11 minutos. 
d) 16 minutos. 
e) 21 minutos. 
 
Questão 11 
Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor 
pretende construir um reservatório fechado, que acumule 
toda a água proveniente da chuva que cair no telhado de 
sua casa, ao longo de um período anual chuvoso. 
As ilustrações a seguir apresentam as dimensões da casa, 
a quantidade média mensal de chuva na região, em 
milímetros, e a forma do reservatório a ser construído. 
 
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao 
acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana 
horizontal de um metro quadrado, a profundidade (ñ) do 
reservatório deverá medir 
a) 4 m 
b) 5 m 
c) 6 m 
d) 7 m 
e) 8 m 
 
Questão 12 
Uma editora pretende despachar um lote de livros, 
agrupados em 100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 30 cm. A 
transportadora acondicionará esses pacotes em caixas com 
formato de bloco retangular de 40 cm x 40 cm x 60 cm. A 
quantidade mínima necessária de caixas para esse envio é: 
a) 9 
b) 11 
c) 13 
d) 15 
e) 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
 
GABARITO 
 
Resposta da questão 1: 
[E] 
Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa. 
 
Do triângulo ABC, obtemos 
BC BC
tgB AC tg15
114AB
BC 114 0,26
BC 29,64 m.
   
  
 
 
 
Portanto, como a base é um quadrado, segue-se que sua área é aproximadamente igual a 
 
2 2 2BC (29,64) 878,53 m .  
 
Resposta da questão 2: 
[C] 
 
O nível da água subiria 
2400
2cm,
40 30


 fazendo a água ficar com 25 5 2 22cm   de altura. 
 
Resposta da questão 3: 
[A] 
 
De acordo com as planificações, Maria poderá obter, da esquerda para a direita, um cilindro, um prisma de base 
pentagonal e uma pirâmide triangular. 
 
Resposta da questão 4: 
[B] 
 
Multiplicando as dimensões temos o valor de seu volume em m
3
. 
 
Resposta da questão 5: 
[B] 
 
Sendo a a aresta do cubo, temos: 
a
3
 = 4.18.3 
a
3
 = 216 
a = 6 
 
Resposta da questão 6: 
[D] 
 
V = volume do cubo maior – volume do cubo menor 
V = 12
3
 - 8
3
 
V = 1728 – 512 
 
18 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
V = 1216 
Resposta da questão 7: 
[B] 
 
a
 3 
 = 13.824  a = 24cm. Diâmetro da esfera = 12cm 
 
No comprimento do cubo podemos colocar 2 esferas 
Na largura do cubo podemos colocar 2 esferas 
Na altura do cubo podemos colocar 2 esferas 
Logo o número de esferas será 2.2.2 = 8 
 
 
 
Resposta da questão 8: 
[C] 
 
Apenas a alternativa C reflete a figura a seguir. 
 
 
 
Resposta da questão 9: 
[B] 
 
322 1924.5,1.
3
1
16.6
3
1
4
6
5,1
16
cmVolume
h
h


 
 
 
 
Resposta da questão 10: 
[D] 
 
 
 
19 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 15 – Prof. Raul Brito GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 – Prismas e Pirâmides 
O volume de água a ser escoado da câmara é de 3200 17 20 68.000 m .   Logo, como a vazão de escoamento é 
34.200 m por minuto, segue que uma embarcação leva cerca de 
68000
16
4200
 minutos para descer do nível mais alto até 
o nível da jusante. 
Resposta da questão 11: 
[D] 
 
Acumulado de chuva (mm) = 100 + 100 + 300 + 100 + 50 + 50 = 700 mm 
Em 1m
2
 o acumulado é de 700L 
No telhado da casa = 700.8.10 = 56 000 L = 56m
3
 
 
Volume do reservatório = 2.4.p = 8p 
8p = 56, portanto p = 7m 
 
Resposta da questão 12: 
[C] 
 
Total de pacotes por caixa. 2(largura).2.(comprimento).2(altura) = 8 pacotes 
Número de caixas = 100/8 = 12,5 
Portanto, a empresa precisará de 13 pacotes.