Elementos da Teoria dos Aneis - Edgard de Alencar Filho

Prévia do material em texto

Elementos de teoria dos anéis 
Edgard de Alencar Filho 
Ex-professor de Geometria Analítica e Cálculo 
da Escola Militar do Realengo e de Matemática da Escola 
Preparatória de São Paulo 
Elementos de teoria dos anéis 
© 1992 Livraria Nobel S.A. 
Livraria Nobel S.A. 
Departamento Editorial 
Rua Maria Antônia, 108 - 01222 -- São Paulo - Fone: (0 11) 257-2744 
Fax (011) 34-7134 
Administração] Vendas 
Rua da Balsa, 559-02910— São Paulo - Fone: (0 11) 876-2822 
Telex: 1181092 LNOB BR 
Revisão: Aline De Maria 
Capa: Compupress 
Impressão: Lis Gráfica e Editora Ltda. 
Dados de Catalogação na Publicação (CIP) Internacional 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 
Alencar Filho, Edgard de, 1913 - 
Elementos de teoria dos anéis / Edgard de Alencar Filho. 
- São Paulo: Nobel, 1990. 
ISBN 85-213-0645-8 
1. Anéis (Álgebra) 2. Números - Teoria I. Título. 
CDD-512.4 
90-0308 	 -512.17 
Índices para catálogo sistemático 
1. Anéis: Teoria : Álgebra 512.4 
2. Teoria dos anéis : Álgebra 5 12.4 
3. Teoria dos numeros: 512.17 
É PROIBIDA A REPRODUÇÃO 
Nenhurra parte desta obra poderá ser reproduzida sem a permissão por escrito 
dos editores por quaisquer meios: xerox, fotocópia, fotográfico, fotomecânico. 
Tampouco poderá ser copiada ou transcrita, nem mesmo transmitida por 
meios eletrônicos ou gravações. Os infratores serão punidos pela lei 5988, de 
14 de dezembro de 1973, artigos 122-130. 
Impresso no Brasil/Printed in Brazil 
3 5 7 9 8 6 4 2 
93 95 97 99 98 96 94 92 
o 
PREFCIO. 
-'Esta monografia destina-se a estudantes e tambm a leitores que, 
par necessidade ou inclinaço,deaejam se iniciar na estuda de 
*TEORIA DOS 1NEIS,que 9 sem dúvida um ramo importante da 
BRR MSTRT". Nele sa estudados os tópicos fundamentais desse 
Teoria 0 como sejam nnka de diviso e fknis de integridades Sub.. 
pnia, Ideais , Anele-quocientes ,Homomarfismos e tsomorfismas de 
enia. 
-'Escrevendo esta monografia tive sempre e preocupaço de fazer 
d*is um instrumento Gtil de aprendizagem dos seus diferentes Ca-
pliuias com oZ!Ri*Q'de esforço. Piara issa,em cada Capftuio os 
conceitos so definidos com precise,aa prapoaiçes pertinentes 
so todas demonstradas com rigor,acompanhadas sempre 4 "Exem-
plas" esclarecedores e de "Exercicios propostas",numericos e teo-
ricos,diapostos por ardem crescente de dificuldade,cujas respos-
tas eo dadas no final da monogrefia,aa quais permitem completar 
a aprendizagem e,par vezes,complementar a texto ãa Cep(tulo cor-
respondente. 
EDGRD DE !LENCPR FILHO 
e 
1 ao 1 C E 
CAPITULO 
ANEIS. NOÇ&S FUNDAMENTAIS 
1.1 Conceito de anel 	 • 1 
1.2 Anel comutativo. Anel unitria 	 2 
1.3 Anel com as notações aditiva e multiplicativa .......2 
1,4 Anel nula ...........................................4 
1.5 Anta fundamentais ............... 	 .• 4 
1.6 Exemplos de anis .................. 5 
17 Anais finitos e infinitos. Ordem de um anel .........113 
1.8 Produto direta de ania .............................10 
Exercfcioe propostas ...............................12 
CAPITULO ! 
PROPRIEDADES DOS ANÉIS 
24 Propriedades elementares de um anel ....... 	16 
2.2 Propriedades fundamentais de um anel ............ 	17 
2.3 Elementos inveraveis de um anel 	............. 	20: 
2.4 Característica de um anel 	.................. 21 
Exerafaias propostas 	........................ 24 
CAPITULO 2 
e 
DIVISORES DE ZERO DE UM ANEL. ANEIS 
DE DIVISÃO. ANÉIS DE INTEGRIDADE 
3.1 Divisores de zero de um anel .......... ............. 
3.2 Anel de divtaa 	 ..,..... 30 
3.3 Anel de Integridade 	 32 
	
3.4 Exemples de anie de integridade ...... 32 	 V 
3.5 Propriedade* de. anela de integridade .............. 33 
3.6 Anéis de integridade ordenados 
3.7 Anila euclidianas 	 ................. e. 
Exercfciee propostos ........, 	.................. 41 
CAPÍTULO 
SUBANEIS 
4.1 Subanel .. 	............. •0 44 
4.2 Subanie prprtoe e Impróprias .................... 
4.3 Exempiss de eubania 	............. .,..•.• ......... 45 
4.4 Caracterizaçs doe iuben&ie ........................ 
4.5 Intereeçe de subanis ......................••• 	5t 
4.6 Centra de um anel .................................. 
Exercicios propostas 	...................... 	52 
CAPITULO 
IDEAIS 
591 Ideal ..............................., 	......... 55 
5.2 Ideais prprioe e i.priprias e .......e 	...... 55 
5.3 Exemplos de Ideais ................................56 
5.4 Propriedades doe ideais .......................... 
5.5 Interseçi. de ideais 	 58 
5.6 Ideais principais 
5.7 Ideais prime. . ........ . .. ........ .. . . . . .. . . 	80 
5.8 Ideais maximais ••• .........................•.• 61 
Exercicies propostos •• 	. ..... .. . .. . . . e 	63 
CAPITULO ! 
A1I6.QUOCIENTES 
6.1 Anel-quociente ...• ., • 
6.2 Exemplas de anie...quoctentes ...... e...... 69 
6.3 Propriedades das anela-quacientea 	 . 
Exercícios proposto. 
CAPITULO !' 
HOMOMORFISMOS DE ANEIS 
7.1 Komomorfieino •eeeees..eee.eeeeeese.eeeeeseeeee.e•eCe 75 
7.2 Exemplos de homomorfismos •.....,....... 	.....•. 78 
7.3 Imagem e nclee de um homamarfisma •.................. 78 
7.4 Monomarfisma 	 .79 
7.5 Epim.r?i.m. • .. ... .,• .•••. e... 	 ...e 81 
7 • 6 Endomurfiame . . ..•............. cc....., e..... 
7.7 Compoeiço de homomorftemoa .............. ............ 84 
Exercícios propostas •....... 	 85 
1 CAPITULO ! 
PROPRIEDADES DOS HOMOMORFISMOS 
o 
8.1 Imagens de elementos nstveis ...................... 88 
8.2 Caracterizaço doa monomorfiemaa ........•........•. 94 
8.3 Subsnis num hamamoriame ........................... 91 
894 Ideais num homemorfiams •...............,........... 93 
Exarc1so propostas 	97 
ãE CAPÍTULO 2. 
e 
ISOMORFISMO DE ANEIS 
9.1 Ioor?iomo 	 .98 
9,2 Exemplos de isomorflamao 	 98 
9.3 Ccmpustço delsomorfiemas •,•,•••,•••,•,,•••,•,••• 
9.4 leamorfiemo inverso ........ ............... 1011 
9.5 Automorfi orno • * •. 	 . * . 	. . . 	.• 
9.6 Exemplos de automorflamoe ........... .. 
9.7 Teorema fundamental do isomorfismo ........ .. xo 
Exercfcta propostos .................. .... IM 
e 
CAPITULO 10 
CORPOS. NOÇ&S FUNDAMENTAIS 
10.1 Coxpo ..........., ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,108 
10.2 Exemplos de carpas • .......................... 	108 
10.3 Propriedades elementares de um corpo .. 
10.1. Propriedades fundamenteis de um corpo 
10.5 quocientes num corpo .............................114 
10.6 Propriedades doa quocientes ......................115 
Exercícios propostas ...........e ............... 116 
RESPOSTAS DOS EXERCICIOS PROPOSTOS 
8 1 
 
9 L 1 0 O R A F 1 A 	 ............. 123 
1 J 	ANÉ 	NOÇ&S FUNDAMENTAIS aa =a 
1.1 CONCEITO DE ANEL 
.DefÏniço 1.1 Sejam O e 	operaçea num conjunta no vazio 
O terno ordenado (A # C) 9(D ) chema..ae um anel se e somente se são 
válidas as tz4s seguintes condiçea : 
(Cl) O par (A, O ) um grupo ebeliano,tsto é,9 operaço O pas 
sul ei quatro seguintes propriedades 
(gi) Associativa : 
(aDb)O c aD(bOc) • Va.b,cE.A 
(62) Admite elemento neutro a 
e O e e (Da a , VaEA 
((33) Toda elemento a de A é aimetrizve1 para a operação O : 
VaE A , 39 4 CA. 1 a O a' = a' O a = e 
(134) Comutativa : 
eObabOa ,Ve,b€A 
(C2) O par (A, 3) um igq,ieto é,11 operaço 
cietiva : 
(aEb)ec a a3(bc) 
(C3) A aperaçio 	d.ttributiva em relaço à operegia 0 ' 
[oe(bDc) a (a(D b)D(eec) 
(bOc)®e • (bea)o(cea) , 
Va,b,cEA 
.0 elemento neutro e para a operaça O ,ieto ,o elemento neutro 
e do arueg abeltena (A, O ),chame-se elemento neutro da anel (A. 
O,e). 
grupo abeliana (A, O) e o 	 (A, ) são denominados 
_____ e semi 'P° o, .!!is. (A, O. e). 
1.2 ANEL COMUTATIVO. ANEL UNITARIO 
.Oefinio 1.2 Seja (A g (D , ) um anel. Se a apereço ® 
tat3va s 
e eb - b ei , Ve,bEA 
diz-se que (A, O , ) um anel comutattva,e se a opereçe e ad.. 
mite elemento neutro ? : 
eEï3faf (De ..a ,VCE.A 
diz-es que (A, O , (D )*e um'anel unitrio. 
..Portento,nmunitrio (A,O ,),aeigrup...(A,e) um 
monide,e num anel comutativo unit&rto(A, O. 	30219rUPWN- 
é um monide comutativa. 
1.3 ANEL COM AS N0TACES ADITIVA E MULTIPLICATIVA 
-As operaces o e G da um anel (A, O , ®) aia geralmente Indica-
das palma notçies aditiva e multtpltceti.,respactivemeflte : O - 
• + ,.. . . Enta,a anel escreve-as (A, + , . ) .,portento : 
-.2.. 
(Ci) O par (A, + )à um grupo abelieno,isto ,a opereço de 
a(+) possui as quatro seguintes propriedades : 
(61) Associativa : 
(e+b)+c-a+(b+o) ,Va,b,cE.A 
(62) Admite elemento neutro indicado por DA ou apenas por O : 
a+OaO+sa ,Ve€A 
(63) Todo elemento a de A admite um gosto : 
VaE.A 1 3(.e)EA a + (..a) - (e) + e - O 
(64) Comutativa 
a + b - b + a , Va,b€A 
(C2) O par (A, • )é um5omiPTUDO,iato &,a operação de multipli-
caço(.) associativa : 
(a.b).c * e.(b.c) , V,b,c€A 
(0) 4 multiplicaço(.) & distributiva em relação à adtço(.) : 
Í e.(b + c) - e.b + 	
. \la,b,c€A 
(b + c).a = boa + c.e 
O elemento neutro O pare a operação de ediçio(+),iatca &,o elemen 
to neutro O do grupo abeliano (A, + ),chaa~ elemento zero ou ape- 
nas zerodo 	 + , • 
-O grupo abellena (A, + ) e o GEMERMO (A, • sa denominados 
grupo aditivo e Ã.CEIERER multiplicativo do anel (A, • , • 
-3- 
-Num anel comutativa (A, + , . )a Dperaço de multiplicaço(.) 
comutativa 
a.b b.e , Vag bEA 
-Num anel unttria (A, + , . ),a Ope?5ç0 de multiplicaçio(.) ad-
mite elemento neutra indicado por 1 ou apenas por 1 : 
8.1 ,= l,a = a , Ve€A 
que é denominado elemento unidade ou apenas unidade do anel (A, + , 
• ). 
1.4 ANEL NULO 
0 terno ({O}, 	),com 0+0.0 e 0.0-0 , um 	par- 
que o par ({O}, + ) um gupo abeliano,o par (.Ço}, . ) 	um 
eemi..q'up e e multtplice;a(.) distributiva em relaço 8% adiço 
(+) : 
0.0+0).0.0+0.0-0 
(O + 0.0 * 0.0 + 0.0 * O 
-Como e multiplicaço(.) é comutativa e admite elemento neutro 0, 
segue-se que o terno ({0}, + , . ) um anel comutativo 
mente unidade 0(1 - O),denominado anel 
-Note-se que no anel nulo o elemento zero e o elemento unidade co- 
incidp,sendo ~boa 0. 
1.5 AtIS FUNDAMENTAIS 
-0. terno. 
(Z, + , . ) , (Q, + , . ) • (R, 
onde . e • indicam as operações usuais de adiço e de mu1tip11caço, 
eo an4,pois,para cada um delea,se verificam as trs condições 
(Cl) Os pares (Z, • ),(Q, • ) e (R, • ) ao crup2e abelienoó 
(C2) Os perca (1., • ),(Q, . ) e (R, 
(0) A multiplicaço(.) em Z,Q eR distributiva em relaç 
adiço(+) em Z.Q e R. 
-Como e aperaço de multiplicaça(.) em 2 1' e R é comutativa ad- 
mite elemento neutro leegue-se que os ternos 
(2, + , • ) , (L, . , 	) 	(R, 
isso anis comutativos com elemento unidade - o inteiro 1,der nina-
doa,, respectivemente anel dos Inteiros anel dos racionais i 
doe reai5,e cão todos anis infinitos, 
1.6 	 Lif1S. 
-Exemplo 1.1 O terno M. + , . ),onde 22 denote o conjunto :10e 
Inteiros pares e + e • indicam as *pereço - es usuais de adiço 5 de 
multiplicaço,& um anel pois,ae verificam as condiçee 
(Cl) O par (22, + )é um grupo ebeliarto 
(C2) O par (22 9 • ) é um 
(0) A multipliceço(.) & distributiva em relação à adiço( 
-Como a multíplicaço(.) em 22 é comutatiy!,mes no admite ei 
to neutro,segue-se que o terno (2Z, + , . ) & um anel crnnutat 
sem elemento unidade. 
-Exemplo 1.2 Seja o conjunto Z(C3) ={a + bI3$ a,b€Z}. 0 ter- 
no (zc li), . , . )é um anel pala, a* verifacol as coadtçea t 
(Cl) O par (Z(ifi), • ) *e umQpØsbeliano ; 
(C2) O par (Z(J5), . ) ou um ________ 
(0) A mu1tipltceo(.) distributiva em retaçs adiça(.). 
'-Cama o aultiplicoço(.) em Z( ti) é comutativa e admite elemento 
neutro 1 • 1 + O.sfi€Z(fi).aegue.mae que a terno (Z(iJi.), 
& um .! 	comutativo coa elemento unidade 1. 
-Exeaplg 1.3 Sejam E. um conjunta nia vazio e P(E) o conjunto au-
joe elementos aio todos na aubcsrnjuntoe de E : P(E) {* 1 zct}.. 
O terna (P(E)" , fl) é um anal,polopse verificam as cardiçhs : 
(Cl) O par (P(E),) um grupo abelisna ; 	 1 
(C2) O par MO. n) um 
(C3) A interseciaM ao, dIstrIbutiva em relaçio à difereaçe 
m&trici(A). 
A1m disso 9 a operaçia de interseçio( fl) em P(E) & caaatstiva e - 
mite elemento neutro'- o conjunto E. Loga,o terno (P(E), 	n) 
um anel comutativo unit&rio. 
MUMENUM 
Exempla 1.4 O terna (Z, + , . ) 9 ande a inteiro m.1 e + e • In-
dicam as operaçies de adido mdu10 a e de multiplicadom&dulo , 
& um anel pela : 
(El) O par (Z,, +) um grupo sbeliano 
(C2) O par (Z, . )*a um $UIiZ1P$ ; 
(C3) A altiplicsçio m&dulo 
	
	& distributiva em relação a 
.6-' 
.Exrapla 165 Seja o conjunto A m {e.b,c} ,awddo das opeieçea 
O e 19 definida, pelas tábuas abaixo z 
nine 
ninano 
EIEGEE 
OIENDE 
minguei 
nine' 
nina, 
..O terno (A, O , 	um 	,prie : 
unidade a 
-Exemplo 1.6 Seja M2(R) o conjunto de todas as matrizes reais qua-
dradas de ordem 2. O terno (M2(R), + , . ),ande + e • indicam as 
operações de adi;o e de ip]icao de matrizes.e um anel,pote 
subsistem as tra seguintes condições : 
(Cl) O par 042(R), + )e um grupo abeliano ; 
(C2)Q par (N2(R), . ) umEUO; 
(0) A mu1t1211caç(.) &é distributiva em reiaço 1 sdiço(+). 
-A operação de multiplicaça(.) em M 2 (R)rr & cõmutetive,maa ad-
mite elemento neutra - a matriz identidade de ordem 2,12 
íl ol 
A.I M 1.A A 	VAE.M (R) e 1 2 	2 	 2 	
2 LO iJ 
-Lngo,o terno ( 2(R), + , • ) & 14 	um anel no comutativo cave elemen- 
to unidade - e matriz identidade de ordem 2.12. 
-Note-se que o zero desse anel é a matriz nula de ordem 2,0 : 
[a cl 
o.. 1 
ET 	
[.-C 
	i
e que o oposto de um elemento ab
J 	
-t
€M2(R) 	1. 
Lc d 	..dJ 
-De modo gerai,o terno (Pt(R), + , • ),com nl,onde • e • indi-
cam as conhecidas operações de adiço e de mutipltcaço de matrl-
zea,é um anel não comutativo com elemento unidade - a matriz Iden- 
tidade de ordem I.denominado anel das matrizes reais q%iadrede 
de ordem n 
-6- 
eExemplo 1,7 Seja R o conjunta de todas as fLrnçee numricaa 
R a{f 1 f : 
.O terno 	+ , . )onde e . indicam as operações de odiçio e 
de aultiplicaçie de funçea em R, 	pois aio v1idas as se - 
quintas condições : 
(Cl) O par (aR, + )a um grupo abeliano ; 
(C2) O paz (RR, . )é um-,aemirpç; 
o 
(0) A aultiplicaçio(.)a distributiva em relaçio à adiçia(+). 
sA aperaçio de multiplicaço(.) em RR a comutativa e admite elemen. 
te neutro a funçio numricá constante l : R—*R definida por 
do 
- 1 para toda x€R,denomineda funçiõ unidade em R. Portan_ 
teo terno (RR, + , ) & um anel comutativo com elemento unidade 
l,denominado anel dia funçes num éricas* 
O zero desse anel e a funcio numrica constante 0 	R—+R defi- 
nida por 0R (x) a O para toda x€R,denaainada funço zero em RROC 
a oposto de um elemento fER R é a funço numérica a? : R---R de.- 
finida par (-f)(x) a f(x) para toda x€R. 
.Exempla 1.8 Seja (A(3 ) um grupo abeliano com elemento neutr' 
e. Munindo o conjunto A com uma segunda operaçio T definida por 
C b a e 	Va,bE.A 
o terno (NO • T )*e um anel comutativo sem elemento unidade,por.. 
que o grupide (A g T )é um $0 
(aTb)Tc -e T c a e a aTe a aT(bTc) , 
'-9- 
e e operação T comutativa 	a b b a = e e distributiva 
em relação à operação O : 
a T (b Dc) = e e De = (a T b) O (a T c) • Va,b,c€A. 
1.7 ANEIS FINITOS E INFINITOS. ORDEM DE UM ANEL 
Mam anel (A, + , . ),se o conjunto A é finito diz-se que (A, + , 
) e um anel finito e a numero de elementos de A e a ordem do. 
anel,que se indica pela notaça o(A). No caso contrria,diz-se que 
(A, + • 	) é um anel .infinita e que e sua ordem é inftntta:o(A)= 
=ra 
18 PRODUTO DIRETO DE ANEIS 
-Sejam (A, + , . ) • (8, + , . ) dota anéib e A x 8 o produto car-
tesiana dos conjuntos A e 8 : 
A x 8 ={x,y x€A e y€8} 
...O terno (A x 8, + , . ),as operações de adiço (+) e de multtplica 
em A x 8 sendo definidas pelas igualdades 
(s,b) + (c,d) 	(a + c,b ' d) 
(a,b).(c,d) - (ac,bd) 
um enel , pois,coma fácil verificar : 
(Cl) O par (A * S. + )*e um grupo abeliana. 
(C2) O par (A x 8, • )é um 
(0) A multiplicação(.) distributiva em relaçio é adtçio(+). 
-O anel (A * a, + , . ), assim definido,chama-se produto direto dos-10= 
o 
anis (A, + , .. ) e (9, + 
..O elemento zero do anel (A x 9, + , • )e o par ordenado 
elemento neutro do grupo abeliano (A x S. • ),de modo que o aponto 
de um elemento qualquer (a,b)EA x 8 é o par ordenado (-a,-'b). 
-Quando (A, + , . ) e (8, + , . ) Ao an&is comutativos unit&rios, 
entc o produto direto (A x 8, + , . ) tarntm é um anel comutativo 
com elemento unidade o par ordenado (1A119)EA x 8,sendo 'A e 
os elementos neutros respectivos dos mon&idee comutativos (A, • ) 
e (0, • ), 
-11- 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
1. Mostrar que os seguintes ternos não anis comutativos unit ários* 
(e) (Q O 	) , es operações O e e em Q sendo definidas par 
sOb*a+b3 e aE?b*e+b.4a 
(b) (2, o 	) , se operaçes O e 	em 2 senda definidas por 
mDbae+b1 e aebas+b .. sb 
(c) (Z, O 	) , 
as operações 
O e e em z2 sendo definidas 
por 
(a,b) O (c,d) 	(e + c,b + 4) 
= (ao - bd,ed + bo) 
(4) (22, O , e) , es operações o e e em Z2 sendo definidas 
par 
(e,b) O (c,d) 	(a + c,b + 4) 
(a,b) El? (c,d) 	(ac,ad + bc) 
(e) (R2 , O , ®) , es operações o e 	em R2 senda definidas 
por 
(e,b)O (c,d) 	(a + c,b • 4) 
(a,b)e(c,d) * (ac,ad + bc + bd) 
(f) (21 x 2, O • ) , se operações O e e no produto cartesia-
na 22 x Z: sendo definidas por 
(s,b)O (0,4) - (a + c,b + 4) 
(a,b)El?(c,d) - (ec + ai + bc,bd) 
-12- 
2. Mostrar que o terna (22, O , )é um anel ceautatipas opera. 
çea O e 	em e sendo definidas par 
(a,b)O (C. d) - (a + c,b + d) 
(a,b)e(à,d) - (ac,O) 
3. Mostrar que o terno (22 x Z. . , . ) um anel comutativo sem o 
clemente unidade se aperaçea + e • no produto cartesiana 22 x 2 
sendo definidas por 
(a,b) + (c,d) - (a + c,b • d) 
(a,b).(c,d) 	(ac,bd) 
.. Mostrar que o terno ({O,1,2,3}, O 11 um 	que jnio w# 
comutativo nem unitrio,as opereçes O e 	em {0.1,2,3} senda 
definidas pelas tábuas abaixo : 
miffinew 
UINGUE 
GIEGUE aionan 
[Roeu 
ninada 
flIDfl, 
alunag 
5. Mostrar que o terno (Z, + . ) é um 25C1, 89 operaçea + e •. 
em Z3 senda definidas pelas igualdades : 
(a,b,c) • (d,e,f) - (a + d,b . e,c + f) 
- (sd,bd + ce,cf) 
Mostrar que o terna ({O.x,y,z}, + , . )é um anel comutativo, 
as opereçes , e . em {O,x,y,z} senda definidas pelas tbua: 
-13- 
aluna 
alienem 
ai ENG 
n1 num 
RIGEEN 
ai unun 
alongo 
7, Sejam (A, + , ) um !!!!k qualquer e O uma operaça em A assim 
definida 
e O b sob + boa , 
-Mostrar que o terno (A, + o 	um anel comutativo. 
8, Sejam (A, + , $ ) um anel qualquer e O uma opersça em A assim 
definida 
aDb*boa . ve w trea 
-Mostrar que o terno (A, + . O) & um anel,denominado anel reclpxo.e 
code (Al .,. ). 
9, Mostrar que os ternos Cl, 	, . ) , (Q, • , s ) e (R, . , + ) 
nao ano anela. 
10. Mostrar que os seguintes ternos no ao snts : 
(b) (bi 1 b€ R , 12 4}, 
(o) ({s + bfï. cs/i 1 a,b.cEZ}, • , . ) 
11, Seja (A, O) um grupo abeliano qualquer. Mostrar que o terno 
(A,0 , ®) n& é uma operaço E1) em A sendo definida por 
a b e , Va,b 
-14- 
12. Mostrar que a terno ({ a,b,cJ', o • (D) !i2. é Lm !' ape' 
raça.. O e 	em {a,b.c} senda definidas pelas tábuas abaixo 
MIGEIEI ninou 
aluna 
alega_ 
minem 
-In- 
aluna 
13.Os elemento. 2.,b e c de um anel (A, . , . ) com elemento unida.. 
delsia tela que sob 	a b.c.1. Mostrar que ac. 
14. Mostrar que na anel (16, + , . ) h quatro elementos x tais que 
z(x • 16) • 
15.Achar todas as soluçass no anel (Z 6, • , . ) de cada uma das 
seguintes squ çie. quadr&ticas : 
(a) *2 .3x.2-0 (b) x2 -3x+20 
(c) x2 -2x.2.0 (d) X2 +2x+4i0 
16.Achar todas as soluças. da equaço s 
(a) x2.Sx+6I.g na anel (Z12,+,. ) 
(b) 2x2 +4x+..O no anel (Z10,+,.) 
(o) x3 .2x2 3x.0 ns anel (Z121 +,.) 
l7. Mostrar que aequsçhquadrt1c. x2+2x+2.Ø nio tem sa... 
lucaes no anel (16, • , . 
.15- 
E 	1 
2 	 PROPRIEDADES DOS ANEIS 
MUMM=~==^ s* 
291 PROPRIEDADES ELEMENTARES DE UM ANEL 
-Seja (A, + , . ) um anel. Como o par (A, + )'é um grupo abelieno, 
temos as seguintes propriedades elementares pare o !i (A,.,.) : 
01) O zero(0) do anil (A, + , . ) é Gnica. 
(P2) Ceda elemento s€.A admite um ntco oposto -.a€A 
VaEA • 	I(as)€A 1 a + (-a) = (-a) + a a O 
03) Pare todo a€A : -(-e) - a. 
(Pd) Quaisquer que sejam os n .\ 2 elementos 	 : 
-(a1 + °2 	
+ 	 +(-8+age + (-.a) 
05) Todo elemento aEA simplificvsl para a opereço de j-. 
;ia(.) : 
a+b-a+c>b=c , Vb,c€A 
(P6) Quaisquer que sejam as elementos a,b€A,e equeço x + b - e 
admite uma nics aoluço em A 
* - o + (-b) a - b 
-Em particular : 
	
Ci) x + a - a 	a O 
(ti) x+aeO==>x--a 
-16- 
(P1) Os mia1tip1oa de um elemento a€ A segundo um inteira m são 
definidos pelas igualdades : 
(1) lOaS e ma-(mm.1)a+e , pare a 
(ti) (-.m)a m(-e) a ama , para m 
-Subsistem também as igualdades importantes 
(til) ma + na a (5 + 	na + ao , Vm,nZ 
(iv) n(ma) * (mn)a m(na) , Vm,n€z 
(P8) Quaisquer que sejam os elementos e,b€A e para todo intel.. 
ro positivo n 
n(a + b) a na + nb 
2.2 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DE UM ANEL 
-Teorema 2.1(jltijliceço 22L O) Num anel (A, + , . ),qualquer que 
seja o elemento aE 
8.0 a 0.5 a O 
-Demonatraçio : 
-Como amultiplicaçio(.) é distributiva em relaçio 8% adiçio(+) e 
O + O M O , temos : 
a/6 + 8.0 * a.(O + O) a 8.0 a/f3 + O 
ou,mimpltficando o elemento e.O€A e.O a 0. 
-Analogamente : 
(/
)@ + 0.0 a (O + 0).e* 0.8 a3143 + o 
ou,simplificando o elemento O.a€R 	0.e O 
-17.- 
-Portanta,em todo anel,0 produto Pr O & O. 
Tearema 2.2(Rera dos sinal* Nuai anel (A, + , . ),quaisquer que 
sejam os elementos e,bEA : 
(..).b - -(s o b) 
-Demanstrsça : 
-Cama a multiplicaçio(.) distributiva em relaçi, à adição(*) e 
(-b) + b - O , temo. 
a.(-b) + sob - aU(-b) + bJ a 8,0 a Q 
o que implica 	a.(-b) • 
-Analogamente : 
+ a.b- {(-a) + s].b a O.b a 
o que implica : (-a).b - -(e.b). 
-Em psrticular,num anel (A, + , . ) com elemento unidade 1 : 
s.(.1) • (al).e - -( Gol) - -a , Va€A.. 
*prol&rio 2.1 Num anel (A + • . ),quaisquer que sejam os elemen-
tos a,bEA : 
(-a).(-b) a s.b 
-Demonatreço : 
a[(.sm).b] -[(5.b)] a 84 
-Em particuler,num anel (A, + , . ) com elemento unidade 1 s 
(-1).(-l) * 1.1 • 1 
-18- 
-Teorema 2.3 t&im anel (A, + , . ).quaisquer que sejam os elemeri. 
toa a,b,cEA : 
(1) a.(b c) 	sob a.c 
(ii) (b - c).a - b.e.. coa• 
...Demonatraço : 
-Como a multipliraço(.) é distributiva em raleço à adjço(+ ), 
temos : 
a.(b 	a) M .[b + (.s.c)] 	..b + 
sob + ..(a.c)J a sob 	a.c 
-Analogamente : 
(b - a).. - [ia • (ac)],a 	ia.. + (-a).. 
-b.a+ [..(coa)j- boa _roa 
-Portanta,num anel (A, • , . ),a multiplicação(.) distributiva 
es relaça à eubtreço(.). 
-Teorema 2.4 fis anel nía nula (A, + , . )[A 1t{0}3 e cem ele-
mento unidade l,a elemento O it 1. 
-Damonatraço a 
-Par ser A ,tkO} ,existe a€A,cam •t O. Portante,.e O a l,.nto: 
s - gol - s.0 a 
que a usa &bvia contradiça. Logo , O ,t 1. 
-Observe-se que O - 1 implica : 
a - gol ..0 - O 
-19- 
o 
-Loo,A a{O} e (A, • , . ) a ({D), + , . )e o anel nulo. 
2.3 ELEMENTOS INVERSIVEIS DE UM ANEL 
-Seja (A, + , ) um anel com elemento unidade 1. Ento,a semi-gru- 
o 
(A, • )a um aonide e todo elemento invarsivel a€A deste 	a 
nide diz-se elemento inverelvel do anel (A, + , . ). 
-Pare todo elemento inveraf vai a€A do anel (A, + , . ) existe um 
ntco elemento inversa a4EA tal que 
	
- ami 	a 1 
-O elemento zero do anel (A, + , . ) no é .tnversybpois : 
O.aaa.O-O/l ' VeeA 
mas os elementos unit&rioa l 9-16A eo inversveia,pais : 
-Portent,o conjunto 1(A) de todos os elementos inversf veia do anel 
(A, + , . ) nunca j vazio : 4-1EI(A). 
-Cumpre notar que o par (1(A), • )e um grueo,denominado grupo das 
elementos inverslveie da anel (A, + ,. ),parque 1(A) & o conjunto 
de todos os elementos inveravets do monids (A, • ). 
-Exempla 2.1 Nos enis (Z, + , . ) , (Q, + , • ) e (R, . * • ), 
todos com elemento unidade l,te,aos : 
	
1(Z) {_i,i} , I() a 	, 1(R) * 
-Exemplo 2.2 Nos snts (Z5, + , • ) e (Z 2, + , . ),cujos ele- 
centos unidade respectivos aio as classes residuais l a e 112' te.aos 
a { 18' 3B' 58' 78 } 
1(Z12) - 
...Ezempls 2.3 a terno (12, + a . ), as operações de adiçe(+) e de 
multiplicsça(.) em Z2 sendo a ediçio e a multiplicaçio de pares 
ordenados : 
(a,b) + (c,d) a (a + c,b + d) 
(a,b).(c,d) a (cc,bd) 
um anal comutativo cujo elemento unidade é o par ordenado (1 9 1) 9 
tal que 
I(Z) a{l.1,_l,.el),(l,4),4.1,l} 
2.4 CARACTERISTICA DE UM ANEL 
..Definiçia 2.1 Chame-se característica de um anel (A, + , . ) o 
menor inteiro positivo n,ae exiete,tal que n.a - O para todo ele 
manto sEA. Se no existe tal inteiro positivoiato & na * O 
para todo elemento eEA implica ri - 0,diz.-se que o anel (A, + , 
tem caracteretica De 
.Indica-se que um anel (A, . , . ) tem caracteristica ti pele nota. 
çio a(A) o. 
.Exemplo 2.4 Cede um doa an&is : 
(Z, + o . ) , (Q, + , . ) , (R, + , . ) 
tem carecteristice O,pois 	n.l a ri 0 O ,qualquer que seja o in- 
teiro positivo n. 
-21- 
-Exe*plo 2.5 O anal (Z69 + , , ) tem cerectertettca 6 9 p01e 6 é a 
menor inteira poeitivo tal que 
6.s. 06 o V95Ez6 
..ExemplQ 2.6 O anel (P(E), t , fl) tem cerecterf atice 2,pote : 
2X:; M )()( 	 Vx€e€ 
_Teorema 295 Se um anel (, + , . ) com elemento unidade 1 tem cs 
racterlatice n 0,entio n.é a menor inteira positivo tal que n.la 
a ao 
«Deaanstraço $ 
-Suponhamos que a c(A) - n 0. Entis,pele definição 2.1 , no - O 
para todo elemento a€ v,pert.nta,em particular , n.l - O. 
-Por outro lado,** mal - O , com O.mLn , enta : 
me - m(le) • (m.l).a - 0.8 - O , VaA, 
e isto significa que a a(A) Á#La ,que é uma Dobvia cantradiçe. La. 
o menor inteiro positivo tal que n.l a 
-Teorema 2.6 Se (A l 4 , . ) um anel com elemento unidade 1 e se 
a é a menor inteira positiva tal que n.l a 0 , então a a(A) - n. 
.Demonstruca : 
-Suponhamos que n a o menor inteiro positivo tal que a. 1 - C. La. 
tio a c(A) 2à a. Mas, para toda elemento aE,A : 
... + a - a.l + a.l + ... + a.1 
-22- 
ou seja 
flCal(l+l+...+1)aC.(fl.l)a.OaQ 
e,partant.1c(A) a ri. 
.Carclria 292 Lenel (1,,, + , . ) tem caiecteratice no 
..Demanetreçlo : 
	
D elemento unidade do anel' 1m' , 	a 1 I a é o menor In- 
tetro positiva tal que gol - 
Coralrio 2.3 Se (A, + , . )í um amel com elemento unidade. 1 
e se a ordem de 1 no QiUno aditiva (A, + )é n,entiu a e(A) ali. 
-Demonatraca : 
.Suponhuaa que a o(l) a li no rupn aditiva (A, + ). Ento,n 
o menor inteiro positiva tal que n.l a O e,portanta,a e(A) - ri. 
	
Note-se que,se 1 tem ardem infinita 	a(l) - a ,na existe ira-. 
teira positiva a tal que ri.]. a O e,portanto,a e(A) a O. 	• 
-23- 
EXERC ÍCIOS PROPOSTOS 
1. Sejam apb l cpd elementos de um anel (A,,,* , • ). Demonstrar : 
(e) '(s+b)a—a'b 	e 	..(eb)*b... 
(b) 
(c) a —(b'.C)(eb)+C 
(d) (a-b)»cs»(b+c) 
(e) (a+b).(c+d).e.c+b,c+e.d+b.d 
2. Determinar o conjunta doa elementos inveref veia das seguintes 
en&is : 
(a) (z,,,+,.) 	 (b) (Z,+,.) 
(a) (Z6,+, . ) 	 (d) U109 • 
(e) (Z,+,.) 	 (1!) ({o},+,.)) 
3. O elemento do anel (A, + , • ) inversivel. Mostrar que e 
1 
elemento 	também e inversivel e achar o seu tnverea. 
1. Determinar a caracterlatica dos seguintes snts : 
(a) (5Z,+, • ) 	 (b) (Z9,+,. ) 
+ • ) 	 (d) ({06, 26,46}, 
S. Determinar a caracterfatica dos seguintes ante : 
(a) (Z2 1 + • ..) 	(b) (ZxZy + r • ) 
	
(c) (13 xZ,+,.) 	 Cd) (2xZ6,.,.). 
es operações de adiçs(.) a de multiplicaçia(..) em cada anel senda 
a edição e a multiplicação de pares ordenadas. 
6. Chama-se anel de BOOLE toda anel (A, + , . ) te] que a 	a para 
todo elemento sE A. Mostrar que os anela: 
	
(129 	9 	 a 	(P(E),t,fl) 
aio anela 	 BOOLE. 
7, Demonstrar que todo anel de BOOL.E é comutativo. 
8. Sejas e e b dois elementos quaisquer de um anel de BOOLE. De-
monetrer : 
	
(a) a.b+b.aO 	 O» a+a2a-O 
9. Mostrar que todo anel de BUCLE tem cara terlattca 26 
lo. Demonstrar que um anel (A, + ,.. 	comutativo se e comente 
se 
(a + b)2 - 2 + 2e .b + b2 , 
li. Seja (A, + , . ) um anel te] que o par (A, + ) uni grupo cf 
clico. Demonstrar que (A, + , . )é um anel comutativo. 
12. Ln elemento e de um anel (A, + , . ) diz-se 	poten 	se 
a2 - a. Achar todos os elementos idempotentes do anel (Z 12, + , 
-25- 
13. Mostrar que todos os elementos do anel (P(E), , , fl ) aio Idem 
pptentea. 
1. Determinar todos os elementos ideapotentes do anel (22, 
es opereçes de alço (+) e de multipltcaça(.) em 1 2 sendo a cdi-
ço e a multiplicação de pares ordenados. 
5. A matriz I 	] 	elemento idempotente do anel 
Determinar x. 
16. Um elemento a de um anel (A, + , . ) diz-se nilpoterite se e 
somente se existe um inteiro positiva !! tal que an O. Achar se 
elementos nilpotentes dos snis : 
(a) Q9 	) 	 ( b) 
(C) Qi29 • ) 	 (d) (220,+, • ) 
17.Determinar os elementos niltentes da anel (22 x Z, + , • 
es operações de adiça(+) e de multiplicaçi.(.)em 22 * Z, sendo 
a adiço e e multiplicaçs de pazs ordenados. 
[oia 
18.Mostrar que a matriz O O 	é elemento nilpotente do anel. 
3 ,+,. 
	 [p o o 
19.O elemento a de um anel (A, + , . )é nilpotente. Mostrar que 
e também é elemento nilpotente. 
-26. 
201. Os elementos a e b de um anel (A, + , . ) ao tais que a.b - 
- .b.a. Demonstrar : 
(a + 0 2 a (a 02 = a2 + b2 
21.Sejam !k e o elementos de um anel (A, + , . ) com elemento 
unidade. Demonstrar : 
(a) Se a é inversvel e a.b a.c , ento b c. 
(b)Sea2 -O, então a+l e al soinveralveia. 
(o) Se a e b aio invereveiento o produto a.b é inversivel. 
22.Da elementos a e b de um anel comutativo (A, + , . ) com ele-
mento unidade aio tais que o produto sob é invexel:vel. Demonstrar 
que a e b também aio inversiveis. 
23.O elemento a de um anel (A, + , . ) com elemento unidade é nil. 
potente. Demonstrar que os elementos a + 1 e a 1. aio inveraf. 
veia. 
2. O elemento a de um anel comutativo (A, + , • )é nilpotente. 
Demonstrar que,para todo elemento * de A,o produto x.a & nilpoten-
te. 
25.Demonstrar que a soma de dois elementos nilpotentes de um anel 
comutativo é nilpotente. 
26.Demonstrar que,num anel de BOOLE com elemento unidade, o anico 
elemento inverahei 1. 
—27. 
	
1 	 9 
	
3 1 	DIVISORES DE ZERO DE UM ArCL. AF€IS DE 
~ =uma ~ um* E*Z 
DIVIS$O, AhS DE INTEGRIDADE 
3.1 DIVISORES DE ZERO DE UM.ANEL 
..Definiçiø 3.1 Chama-se divisor de zero de um anel Ao nulo (A, 
• , . ) todo elemento a 1 O de A tal que existe um elemento blO 
de A tal que 
a,bO 	ou 	boaD 
.Portaato,num anel (A, +, • )em disores de2se e,bEA 
tais que a.b - O,entia a O ou b ia O. 
-Exemplo 3.1 No anel comutativa (Z, + , • ).,cujo elemento zero 
06 ,temaa : 
26.36 - 136 	3694 - 
..Laqo,os elementos 26,36, 6 E.Z6 so divisores de zero do anel 
(Z69 • , • ). 
-Exempla 3.2 t anel comutativo (Z, • , • ) nio possui diviaore 
de zero,porque no existem dais inteiros i e b,,diferentea de zero 
cuja produto sob - O : 
eu bota 
.Exemplo 3.3 Na anel comutativo (2 2, + , •. ),as operaçiea de edi. 
ço(+) e de multipliceço(.) em Z 2 senda a adiça e a multiplica. 
-28- 
çio de pares ordenados : 
(a,b) • (c,d) a (a + c,b + d) 
(a,b).(c,d) a (ac,bd) 
cujo elemento zero e o par ordenado (0 9 0),temos : 
-Loo,os pares ordenadas (190)9(09l)E22 não divisores de zero do 
anel (2 , + , . ). 
.De modo geral,todo par ordenado (a,0),com * ,t Né divisor de zero 
do anel (22, + , . ),porque para todo inteiro d # 0 : 
-Analogsmente,todo par ordenado (0,0,com b , 0,tsmbm é divisor 
de zero do anel (22, + , • ). 
-Exemplo 3• 1 No anel comutativo (P(E), 	, ( 1 ),cujo elemento neu-
tra & o conjunto vazio d? ,dois subconjuntos nao vazias quaisquer 
A e B do conjunto E tais que AflB a 	,diajuntsio divisores 
de zero do anel (P(E),A,C). 
..Exemplo 3.5 No .anal 40 comutativo (M2(R), . , . ),cuja elemen.. 
ío ol 
to zero e e matriz nula 	0J * temos : 
13] 	o] 
ro li 	íl 21 
..Logo,as matrizes lo oj e lo o] ao divisores de zero do 
anel (M2(R), + , . ). 
-29- 
.Teorema 3.1 Um anel (A, + , . ) no possui divisores de zero se 
e somente se todo elemento no nulo de A ésimpliftcvel para a 
operação de multiplicação(,)., 
(—) 
 
Suponhamos que o anel (A, + , . ) no possui divisores 
de zero e sejam wb.,5 elementos de A tais que a t O e sob • e.c. 
Ento : 
a.(b o) 	sob - a.c - O 
.Como a ,I O e o anel (A, + , . ) fio possui divisores de zero,ee-
que-seque bcaO e bc. 
..Anslaqemente,se boa - c.a , então : 
(b - o).a a boa c.a O 
e,partento, b a - O e b O. 
($==) Recipracsmente,euponhamos que no anel (A, + , . ) todo 
elemento não nula de A é eimpllflcve]. para a opereçio de multi-. 
plicaço(.) e sejam e e b elementos de A tais que a 0 O e e.b.mO. 
Entio : 
e b*D 
-Analagamente,se b jI O e sob * O , então : 
e e-O 
.Partanta,a anel (A, + , . ) não ppaaui divisores de zero. • 
.Demanatrsço 
3.2 ANEL DE DIVISÃO 
-.Defintç 3.2 Chame-as anel de diviao todo anel (A, + , . ) com 
elemento unidade e tal que todo elemento nio nula de A é inverti-
vel. 
-30. 
-Em outros termoa,anel de divisão todo anel (A, + , . ) tal que 
o par (**, . )é um grupo onde A" A 
.Exemplo 3.6 Os sn&ia (t, . , . ) e (N, . , 	) com elemento uni. 
dada 1 eia an&ie de divieio,poie,todo elemento não nulo de a e da 
R e inversvel. 
.Exemp,o 3.7 O anel (Z, . , . ) com elemento unidade 1 nio é u 
anel de divie,porque os unícos elementos mio nulos de Z inverul-
vete aio 1 e -16 
-Teorema 3.2 Um anel de divisão mio possui divisores de zero. 
-Dvmonstrao : 
-Sejam a , O e b elementos de um anel de diviso (A, + , . ) tais 
que sob O. Como a l O,existe o seu inverso a4,o que implica : 
b = l.b - ( 8"1 . 8).b 8"1.(a.b) 	&"l.O - O 
.Analoqemente,eejam a e b ,í O elementos de um anel de divisão (A, 
+ , • ) teia que s o b = O. Como b ,( O,existe o seu inverso b-1 Ia 
que implica : 
E ..1 = 8.(b.b4) '(8.b).b4 13.b4 a O 
-Logo,um anel de divisia (A, + , . ) mio possui divisores de zero. 
e 
-Corolário 3.1 Todo elemento mio nula de um anel de diviao (A, 
o 
+ , . ) & simplificvel par. a Opereçio de multiplic.ço(.). 
..Demonmtreçia : 
-31- 
-Canøequncta imediata doa teoremas 3.1 e 3.2. 
393 AEDL INTEGRIDADE 
..Defimiçio3.3 Cheme..óeanrel de itegridade todo anel comutativo 
(A, + , . )coo elemento • unidade e sem , divispres de 
..Ea outras teraoa,anel de integ!idade e toda anel comutativo (A, 
na qual & verdadeira a propoatço : 
sob 0 	- O - ou b * O , Va,b,c€A 
'Coao um anel de Integridade (A l + , . ) nía poamui divisores de 
zero,enta,pelo teorema 3.l,tado elemento no nulo de A é aimpli 
ficvel para e operaça de multipliceçio(.) : 
fi.c ===> b a , Va,b,CEA , e ,f O 
3*4 EXEMPLOS DE ANEIS DE INTEGRIDADE.. 
..Exemplo 3.8 Os ania (2, . 	. ) , (Q + , . ) e (R, + , . ) não 
exemplos clseicna de snie de integridade porque ao ania comute-
tivos coa elemento unidade 1 e sem divisores de zero : 
sob *boa , e.1*1.as 
[
sob *OeO ou 
quaisquer que sejam os elementos a,b,c€Z,Q,R. 
-Exemplo 3.9 Seja a conjunto : 
bi 1 a,b€Z e i2 
-32 
'O terno (ZU), + , . ),onde + e • indicam as operações de edico 
e de multipliceçio de nmeros complexas, é um anel de integridade, 
porque é um anel comutativo com elemento unidade 1 - 1 + 0.1 e 
divisores de 1era 1 denoainado anel dos inteiras de GAUSS. 
-Exemplo 3.10 O anel comutativo (64 + , ) fia é um anel de !.-
tegrtdeØ,parqua nin tem a elemento unidade : 
6n.e - Gn =,.e - l4: 6Z 
-Exemplo 3.11 Os anás (42(R), + , , ) e (P(E),L • fl ) i. ia 
anus de Integridade pola,ambos possuem divisores de ze ro(Exemplas 
3.4 e 3.5). 
0 
3.5 PROPRIEDADES DOS ANEIS DE INTEORIDADE. 
-Teorema 3.3 As Gnicee soluçee de equaçio x 2 - * num anel de 
integridade (A, + , . ) aio os seus elementos (Q) e unidade 
(1). 
-Demonstreçia s 
-Coa efeito,se aEA é•tal que e2 - e , ento i 
- 8-568- a.l - a.(a - 1) ma 
e come (A, . • . ) do tem divisores de zero ,seguisse que a - 
ou a-1-O,isto: ano ou al. 
-Teorsas 3.4 O anel (Z, + , . ) é um anel de integridsde se e 
a 	 a 
somente as e modula M e um primo - 2,3,5,7,11,...). 
-33- 
Demonstraçio : 
(==) Suponhamos o mcu1u o um primo. Cómo (Z • 	) & um 
!!i!L comutativo com elemento unidade 1,Cumpre somente mostrar que 
ele nia tem divisores de zero. Com efeito,aejem 0m e b,elementos 
tais que masba * O,,o que implica 
(a.b) a a Oa e mf s.b 
..Coao e é pria,segue.ae que aja ou mib e,portanta : 
aaO a ou 
..Logo,a anel Um + • . ) não tem divisores de zera,e como à 
o 
tativa coa elemento unidade l,& um anel de integridade. 
() Rectprocamente,suponhemos que + , . ) um anel de 
Integridade* Cumpre mostrar que o modula rn & um prima. Com efeito, 
se rn coaposto,ento existem inteiros rl e sl tais que o 
produto roa • e , o que Implica 
	
2 W 0 
' 5m 
o 	e 	r,.e - (r..) 5 a Do 
tato ;,rm e a so divisores de zero da anel de integridade (Z, 
+ , . ),o que é impoasivel. Lago,o a&lulo rn é um primo. 
..r O T A.- Sio divisores de zero da anel 2m' • o . ) todos os ele-
mentos a.EZm,com ema tela ,que a mdc(a,m) a d ( l,pois: e a di 
e a a de implica : 
nos 	dr.s 
	
a 	de 
-Portanto : 
am.sm a 
-314- 
e como a 	wffi e em 91 05 ,eegue..ae que a & divisar de zero do anel 
+ , . 
-Aaslm,p.ex.,tados os divisores de zero da anel (Z 12, + , . ) •o: 
212, 312.12,612* 812,912. 1012 
-Teorema 3.5 Sejam (A, + , . ) um anel de integridade, c(A) a sue 
característica e o(s) a ardem de um elemento qualquer no nulo 
de A no Qrpo aditivo (A, • ). Então : 
(1) o(a) a o(A) me c(A)_O 
(ii) o(a) •a se c(A) • O 
-Demonstração 
-Se a c(A) a n.\. G i então,pela definição 2.1 de caracteristica de 
um anel, todo elemento aio nulo e A tem ordem finita a L n no gru-
po aditivo (A, + ),e como 
negue-se que 9.1 - O,visto que o anel (A, + , . ) aio tem diviso-
res de zero. Por outro lado,n o menor inteiro positivo tal que 
n.l - O,de modo que a Lá. Portanto : 
mn e o(a)nc(A) 
-Se e c(A) a O,entio,nio existe inteiro positivo n tal que nos a O 
para todo elemento aio nulo a€A,o que implica o(a) 	• 
1 
-Teoreme 3.6 Se e caracteristica de um anel de integridade (A, 
)e Pentão a - O ou n é um primo(n a 29 39 59 7 9 119009)4 
-.35. 
-Demanstraça : 
Se n a O,a teorema é verdadeiro,e se n .1 o nao primo(copoe),, 
ento,exiatem inteiros positivos ti e k tais que 
nah.k , com 
-Como a c(A) n temos n.l a c • o que implica : O (h.k).l. 
Mas,temoe 
(h.k).l - h.(k.l) akol+ k.l + ... + k.l(h vázee) a 
a (1 + 1 + ... + l).(k.l) a (h.l).(k.l) 
-Portanto : (h.1).(k.l) - O , e como o anel (A, + , . ) na tem dl- 
visores de 	,segue-se que h.l a o ou k.l a Oc e isto significa 
que e o(A) 	ri do anel (A, + , . ) rio o o menor inteira positivo 
tal que n.l a O,00ia,os inteiros positivos ti e k ao ~boa menores 
que n,s que impcssvrl. Laga,n um 	 * 
3.6 AIIS DE INTEGRIDADE ORDENADOS 
Definiço 3.4 Seja (A, + , . ) um anel de integridade. Diz-se 
que (A, + , . )é um anel de integridade ordenado se e somente 
se o conjunto A contm um subconjunto A+ com es seguintes pro-
priedades 
(P1) Pé !.echado em relaço às operações de adiço(+) e de 
multiplicaço(.) 
a + bEA 	e 	s.bEM o Va,bEA 
(P2) Se o elemento oEA,entø 	uma a,daa seguintes rei.- 
çee necessariamente verdadeira : 
, sA, • 
..Os elementos de A, chsmpsise os elementos 	.!vae de A,e as ele.. 
mentos no nulos de A que na pertencem e A, chamam-se as elementos 
negativas de A. 
-Exemplo 3912 Obviemente,(Z, + , . )é um anel de tnteridade ar-
denedo,parque o conjunto 2 ={l,2,3,...} dos inteiros positivos 
um subconjunto do conjunto Z doe inteiros e Z, possui as propri.. 
ededes P1 e P2 da Definiçh 3.6. 
o 
-Outros &Ceia de integridade ordenados so (Q, + , . ) e (R, + , 
..De?inico 3.5 Seja (A, + , . ) um anel de integridade ordenada 
pata o qual A,é a conjunta dos elementos positivas de A. As re-
lações*maior que,denotada por ',',e menor qua',denotade por 
entre elementos • e b de A sa definidas par 
, sLb4=ib.a 
-Portanto 
e 
-Consoante as propriedades P1 e P2 da Definiçia 3.4 9 temas as se.. 
guintes propriedades para a relaçis 	em A 
(1) Se i 	e b.O , entia a + b.O e s.b..O.2, Se aEA , entio 	uma !j,das seguintes relações é neces- 
sariamente verdadeira : 
amo, , a..O , aLO 
-Portante,quaisquer que sejam os elementos s e b de A verifica-se 
sempre 	 ,daa trás seguintes relaçies : 
.37., 
a.bsO • a - b.O , a.bL-O 
ou seja : 
eb , ab • aLb 
quê é a propriedade de tricatomia da relaçs • 	em A. 
-Teorema 3.7 Seja (A, + , . ) um anel de integridade ordenada pa-
ra o qual A+ o conjunto doa elementos positivas de A. A relaço 
em A tem as seguintes prapriedmdes,qumiaquer que sejam as 
elementos !,b e c de A : 
(1) Se a 	, ento a + c 	+ c. 
(2) Se e 	e as c..O , ento ecAbc. 
(3) Se •..b e se cO , então bc.se, 
(4) Se sb e se b.c , enta ac. 
(5) Se a o , enta 
-Demonsis : 
(1) Se a b,enta e - b€A (Deftniço 3.5),e como 
(a + c) - (b + c) e - b 
segue-ai que 
(a + e) Cb + 
e tato significa que a + c.b + c. 
(2) Suponhamos a.ab e c.D. Ento a 	 e cE.A, , e 
como A é fechado Para . a opereço de multtpliceço(.) (Deftntçi 
3.4),o produto (a - b).cEA, , tato : se - bc€&, , e lata aig 
nifica que acbc. 
-38w 
(3)Suponhamos a.b e cO. Ento a b€A e cEA+ • e 
como 	fechado para a iperaço de multtplicaço(.) (De?tnlça 
3.4),o produto (a 	b).(-c)E.A~ , lato é t bc - ac€A4 ,e isto sig- 
nifica que bcac, 
(4)Suponhamos a - b e b.c. Ent 	a bE.A e b 
e como A.. 9 fechado para e aperçr i •dlço(+),a some 
(a.b).(b-c)€A, istn: eceA 
e lato stgnifica que a à c. 
(5)Se a O , ento e€A ou -e€A. Se aEA , entb a2 
* nuaA4 ,e se ..a€A+ ,ent;c, a 2 	 ,porque A. 
fechado para a operação de multiplica;o(.). Portanta,nos dais ca 
soa a2 A , e isto significa que 
-Corolário 3.2 Em qualquer anel de integridade ordenada (A,, + , . 
o elemento unidade lEA. 
.Demonstreço : 
-Com efeito 	io e 11.112eA. 	 a 
-NO T A,. Outras propriedades da relsça "- 	 entre elementos a 
de um anel de integridade ordenada (A, + , . ) aio 
(1) Se •.l , entio 
(ii) Se aab , enth ..b_-a 
(iii) Se a.b.SO , ente a2 -b2 
(iv) Se 	 coe ab..c , entia b..Sc 
cujas demonstrsçiea ficam como exercido. 
397 ANEIS EUCLIDIANO 
.Deftniç• 3,6 Chama-se anel auclidians toda anel de Integridade 
para e qual existe uma funça d 4 §o 	cem es se — 
quintos propriedades 
01) d(a) d'— d(a.b) , 
(P2) Va,b€.A,cam b f D,exiatam qpreA teia que e b.q + r , 
onde r O ou d(r)/. d(b). 
-Exemple 3.13 O anel de integridade (Z, + , . )e um anel eucli.-
diana,porque a funçe 
d : Z—*21 1 	d(n) = 1n1 	VnEZ 
tem a. propriedade. P1 e P2 da Definiço 3.6,pmis : 
(P1) lal 	ja.bf • ç/e,bZ 
(P2) Pele algoritmo da divisio,quaiequer que sejam as inteiras 
e b of O,existem inteiras q e r tal, que 
ab.q+r , onde 0 1.1r1Z4bI 
-Exemple 3.14 O anel de integridade (R, + , . )é um anel eucli-
diana, parque a funç. 
d(x) -1 
tem as propriedade. P1 e P2 de De?intçh 3.6,poi. : 
(PI) d(a) ,-e— d(a.b) , Va,bE.R , visto que 1 : 1 
(P2) Quaisquer que sejam os reais a e b 0 O,exiatem nua q e 
teu, que 
ab.q+r 9 onde q'ia.b 1 e r.O 
EXERCCIOS PROPOSTOS 
1. Achar todas as divisores de zero de cada um das seguintes anis: 
(a) (Z,.+,.) 	 (b) 
(a) (Zê,.,.) 	 (ii) (1 01 ., • ) 
(e) (Z129 • , . ) 
2. Achar todas as divisores de zero do anel (R2, 	),as apares. 
çes de adiia(.) e de multipliaaio(.) em R 2 senda definidas par 
(a,b) + (c,si) - (a + c,b + d) 
(a,b).(c,d) - (ac,sd + bc + bd) 
3, Mostrar qe todo ciiv1sore zero de um anel (Â,+,.) 
com elemento umidade no é inverafel. 
li. Pstrar que toda elemento niptente no nula de um anel 	um 
divisor de zero do anel. 
$. Seja (A, . , . ) um anal coa elemento unidade 1 e uma divisores 
de terno Demonstrar que a.b - 1 se a semenete se bem - l,qusis. 
quer que sejam as elementos s,bEA. 
6. Seja E um conjunto com mais de um elemento* Mostrar que todo 
subconjunto prprio dá L #é um divisor de zero do anel (P(E), 
(1). 
7. Sejam a um divisar de zero de um anel comutativo (A, . , . ) e 
um elemento de A tal que e.b ot O. Mostrar que a.b tsmb.s a o um di,* 
isor 	zero .do anel (A, + • • 
um jM1 de InteiLrIdada* Demonstrar z 
(a) Se a a a2 .i,enth mel au a....i 
(li) Se mEiA e m2 9 9 ento ano au s..l 
9. De*s*strar qie o elemeute unid.4e dó aswml de j*t... 
gridodeé o seu I*io* eLese*te ideapoteute AU unle 
10. Demonstrar que o rdcs elemento nilpotente de um amei de , 	- 
ridsde o seu elemento zero, 
li9 Nuotrar que o termo 
	
+, •o um anel de 
intearidade, 
12. Sejam !,bs e elementos quaisquer de um anel de intsorid.ds 
de caracteristica 2. Demonstrar i 
(a) (a+li) 2 -a2 +b2 	(li) (a.li) 4 'e4 +b4 
(c) (.+ li)5 - s + a'b + ah • li5 
(d) (a + li + 02 a 92 • li2 + 
(e) (a + li + 08 - 	+ 	• Ca 
133 Demonstrar que num anel de tnteridads (A, e , • ) de csractm. 
natio. 3 s (a + li)3.. a + li3 , Vm,bE*. 
-42. 
14.Sejam a e b elementos de um anel (A, + , . ). Demonstrar : 
(e) Se a +l e se a2 w l,ento a 1 e e + 1 so divisores 
de zero. 
(b) S2 o produto a.b fé um divisor de zero,ento a ou b é um di-
visor de zero. 
(o) Se a O no é um divisor de zero e se sob a.c,ento b-c0 
15.Os elementos a e b de um anel comutativo (A, + , . ) não tais 
que o produto e.b si O. Demonstrar que,ae a ou b e um divisor de 
Z9,ento sob também é um divisor de zero, 
16.Seja (A, + , . ) um anel de integridade finito no qual o con-
junto A tem 81 elementos. Mostrar que a caracterfatca desse anel 
e 3. 
1% a--anel de integridade finito (A, + , . ) tem carecterfatica no 
Demonstrar que n é um divisor da ordem de (A, + , . 
18.Determinar a caractersttca de um anel de integridade finito 
com 9 elementos. 
19. Mostrar que,se um elemento a de um anel de integridade & tal 
que e' w O ,sendo a um inteiro,ento e O. 
2U. Mostrar que um anel de diviso tem somente 	elementos 
es. 
-43-, 
L] o SUBANEIS um 
4.1 SUSANEL 
.Definiçia 16.1 Sejam (A, + , . ) um anel e 8 um subconjunto no 
vazia do conjunta A. O terna (8, + , . ) diz-se um aubenel do anel 
(A, + , . ) se e somente se 8 é fechada para as opereçies de mdi-
çio(+) e de *altiplicaço(.) do anel e (8, + , . ) temb&.. a um 
(m outros termos,subenel de um anel (A, + , . )é todo terno 0, 
que aetiafaz as duas seguintes candtçiea : 
(Cl) 8 é um subconjunto no vazio de A fechado para as opereçias 
de sdiço(+) e de eultipliceçia(.) da anel : 
a + bEB e 8.b€. 8 , 50€8 
(C2) O terno (8, + , . ) tambm um eneIMIsta & 
(a) O par (8 9 + ) & um grupo ebeliana ; 
(b)O par (8,. )um$eairIDG; 
(c) A aultipltceço(.) distributiva em relação à sdiçia(+). 
-Cana 8 & um subconjunto 
,
de A fechado para e operação de sultipli-
caça(.) do anel (A, + , . )peo ãbvlo que a eventual comutatividade 
desta opereça em A implica a sua camutatividada em 0 e,portenta, 
todo subanel de um anel comutativo (A, + , . )é um anel comutati- va* 
 
-O elemento zeroM do anel (A, . , . ) tuutb&a & o elemento zero 
(0) de todo subanel (8, + , . ) e a aponte de qualquer elemento b 
de 8 num eubanel (8, + , .) coincide com a seu aposto no anel (A, 
.164.- 
+ , . ),porque a par (B.,+ ) a 
ir 
um subgrupa do grupo abeliena 
s 	g 
4 92 SUSANEIS PROPRIOS E IMPROPRIOS 
.Todo anel 40 nula (A, + , . ) admite pela minam dois mubanim : 
o prprio anel (A, + , . ) e o anel nulo c{o}, + , . ), denominsuu. 
doe subanis triviais ou eub92811 1 RPEEIRE*4.9e demais eubanis 
de (A l + , . ),se .xi.tem,chem. 	euban& ..ae 	is prprtoa. 
9 3 EXEMPLOS .DE SUSAIIS 
-Exemplo
, 
 1..l Os anela (Z, . , . ) e (Q, + , . ) mao subanks do 
anel (R, + , . ). 
.E*ea1o.2 O terna (2Z,+,. )umeubaneldo anel (1,.,.) 
porque a conjunto 2Z doa inteiros parra um aubconjunta não vazio 
do conjunta 2 doa inteiros,fechado em reiaçao h operaçaes de mdi. 
çaa(.) e de aultipltaaça(.),e a terna (21, + , . ) tambo é um 
Exemple 1.1). 
.Iteu..se que o anel (4 + , . ) tem a elemento unidade l,aaa e seu 
subenel (22, . , . ) carece do elemento unidade. 
-Exemplo 3 Seja o conjunta Z(CS) a{a + bJif abEi}. o ter 
no (Z(fi), + , . )é um subanel de anel (R, + , . ),porque o colom 
junto 74 c3) & um aubconjunto nao vazia do conjuntoR das reais,. 
abada ar ieiaçao as operaçes de adiçao(+) e de multipltcaçao(.), 
pais: 
(a + bJi) + (a • dili) - (a + o) + (b • d)/3EZ(j5 
(a + bfi).(c + dfi) a (ac+3b0) + (bc + ad)iifi€Z(j) 
-45- 
-Alem dieso,o terno (Z(ï),., . ) tambm é um anel(Exemplc 1.2). 
-Note-se que a anel (R, + , . ) e o seu subanel (2(V13)9 • , . ) 
têm a mesmo elemento unidade o inteira 1. 
..Exempla 4.4 O terno ({O6. 26,46}, + , . ) um aubanel da anel 
(269 + • • ),porque a conjunto {o6,26, 1.6} um subcon.lunto no 
vazio de 26,fechada em re1.ço ia operaçea de adiço m6dulo 6 e 
de multiplicação mdula 6,como mostram se tbuss abaixo : 
IDU 
um 
[i 4 2 
E4
2 
0 2 4 
-Alm disso,o terno 	 + , . ) tembm à um anel pula: 
o 
o par ({06926946}, + )e um grupo abeliano,o par 
• ) 	m !.emiQrupa e a MUItIPIlcação m&dula 6 é diatributivi em 
releço à ediçio nódulo 6. 
..Nàte..ae que os elementos unidade do anel (26, + • ) e do meu 
eubenel ({O5, 26 ,1.6} , + , . ) aio respectivamente 16 e 46,disti' 
tom. 
4.4 CARACTERIZAÇkJ DOS SUBAII&IS 
-Teorema 4.1 Sejam (A, + , . ) um anel e B um subconjunto mia va 
zl.a de A. O terno (B, + , . )é um aubanel de (A, • , . ) se e so-
mente se eia v1idas as duas seguinte. condtçiee : 
(1) a - bEø , Va,b€.8 
-46- 
-'Denanatraçio g 
(==) Seja (a, . , . ) um subanel do anel (A, + , . ). Ento, 
8 & um subconjunto no vazio de A fechado pare se operaçeo de 
adiça(*) e de aultiplicaça(.) do anel (A, + , . ) e,portenta,a 
impltceça (ii) é verdadeira. 
-Paz outra parte,a par (8, + ) 09 um .Ègru a dogrupo abeltana 
(A, + ),a que implica : 
. + (.b) w e - bE8 , Va,bEa 
teto ,a Implicação (i) também é verdadeira. 
(4==) Seja 8 um eubconjunto no vazia de A verificando ao con-
dição* (i) e (ii). Enta,pele candiçc (ti),B é fechada pela a ope-
ração de multtpliceço(.) da anel,e pele condição (i),o paz (8 9 + 3 
e um eubqrupo do grupo abelieno (A, + ). togo,c terna (8, 
umeubaneldo anel (A,+, .). 
-Exepla 4.5 Seja o conjunto oZ. *{nk k€Z} de todos ao MU*ltl-
plow de inteiro n. O terna (oZ, + , . )e um subanel do anel 
(Z, + , . ),poie,quaiequer que sejam os elementos x,y€nZ: , temos 
* - ar e y - no , com r e s inteiroa,o que implica : 
z - y - (r - a)nEnZ 	e 	x.y m (nre)n€nZ 
-Exemplá 406 Seja a conjunta s -{e/? 1 a,n€Z} . O terna (Si 
09 um subanel do anel (Q, + , . ),pais,quaiaquer que sejam 
as elementos x,yES,temas * - a/0 e y = b/?,cam a,b,m,nEZ,o 
que implica : 
x - y o (a.3a - b.3n )/3n+m,.. S e x.y - (ab)/3 m €S 
-47- 
o 
-Exemplo ..7 O terno 	 + , • )e um euhanel, do 
anel (Z89 + , . ),pois,quaisquer que sejam os elementos 
temos : 
e - b€{08 ,28 ,l.8 ,68} 	e s.b 
conforme mostres as t ábuas abaixa : 
mingue, 
nionnu 
GIGEOffi ~ 
EIEGEE elenco 
ivaci 
fllu 
uiuu 
-Note-se que o subanel 	 + , . ) nø tem a alam~ 
to unidade enquanto que 18 a a elemento unidade da anel 
ír.i 
-Exemplo 1..8 Seja o conjunto A a <jJQ on o bez
} 
 . O terna 
(A, + , • ) & um aubsnel do anel (142(Z) 9 + , . ),pais,qusisqu.r 
que sejas as matrizes : 
e í 	bi 
	
É(3
l
xatp oj€* 	Ya 	oj 
temos : 
ís-c b-d] 	 íec cdl 
IEA 	e 
-48. 
.Exemplo 4.9 a terno (2 x{O, + , )e um aubanel da anel 
(1 x 2Z + , . ),produto direta doa ania (2, + , . ) e (22, + , 
),porque 1 x{O} e um subconjunto no vazio de 1 x 22 fecha 
da em relaço s operaçea de ediço(+) e de multiplicação(,) de 
pares ordenadoe,poia : 
(a,O) + (b,O) (a + b o a) €Z x{O} 
(e,O).(b,O) (ab,O)E 1 x{O} 
o 
~Alem diaao,o terno (2 x{O}, + , . )*e um 2nelpais,eo o 
to direto dos anela (Z. + . ) e ({O}, + 
-Observe—se que o anel (2 x 22, + , . ) no tem o elemento unida. 
de ,,mae o seu aubanel (2 x{O}, + , . ) tem o elemento unidade 
a par ordenada (l,O),pois : 
(a,O).(l,O) 	(l,O).(a,O) 	(a,O) , VaEZ 
..N O T A... Seja (0 9 + , . ) um subanel do anel (A, + , . ). Se 
tem elemento unidade 18 e me no existe o elemento 
unidade de (A, + , .) ou,ee existe o c# diferente de 1 8 ,ento l 
o 
um divisar de zero da anel (A, + , . ). Com efeito,neatas con 
diçee,exiete a€A tal que 1.1 9 a , e cama 
(8.1$).l9 a 50(18018).m 1.18 
segue—se que 
(a.18 - 	O 
—Par ler 1. 10 	O , esta igualdade mostra que 
o anel (A, + , . ) tem divisores de zero,e que um deles 
oca e o€oeancjc 
.A10 diaso s 
Va,bEaflc==»,b€a e 
, 	e (e-bEC , e.b€C) 
== e 	EaflCe 	.bEfiflC 
-Loe,e terra (øflC, + , . )e a eubenel do anel (A, 
.h O T L A pzspoeiçe an1oe pare e reunto de eubanie & 
poia,o terno (8UC 9 + , . ) nio é necessariamente um sUbSflel do 
snel(A,+, • ) õ 
-Se {(a, + , • ) lei} e uma tamflia no vazia de •oubanis do 
anel (A, . , • ),enta o terno n all + , • ) tbm 8# um suberiel 
tEr 
de • 
5o'. 
CO) { cA 1 c,z x.c , Vx€A} 
-O elemento zero O de qualquer anel (A, + , . ) pertence ao seu 
centro C(A),porque O.x a x.O para todo x€A,de modo que o con- 
-Se o elemento c€C(A),m igualdade c.x = x.c implica 
.ec,x 	-c,c 	x.(-c) 
a,portanto,tamb&m o elemento -c€C(A). 
—Ma anel (A, + , , ) coa elemento unidade l,temoe l.x a x.l a X 
para todo xEA, de modo que 1€C(A) e,pertanto,taabm 4F-C(A). 
-Teorema 4.3 Qualquer que seja o anel (A, + , . ),o terna (C(A), 
o 
+ , . )e um subenel de (A, + 
quaisquer que sejam os elementos a,b€C(A) e para todo *EA 
- b) a x.a - *.b a x.s + x.(-b) a a.x + (.b).x 
a.xab.xa (Em ab). 	; 
x.(e.b) 	(x.a),b - (a.x),b = a.(x.b) a a.(b.x) a (a,b).x 
e isto significa que a - b€C(A) a a.b€C(k), Partento,o terno 
(C(A), • , • ) é um subanel da anel (A, + , . 
-51- 
xa 	EXERCIdOS PROPOSTOS 
1. Determinar todos os euban&ie ppriaa das seguintes anela 
(a) (Z,+. ) 	(b) (Z, +. ) 	 (c) (212, 
• ) 	(e)(Z2 ,+, ) 
2. Mostrar que a terna (kOia. 2io , lo,6ia ,aia) , • , • ) um sub.' 
anel do anel UíOf+ , • ). 
3. Mostrar que a terno (P({e,b}), A , fl ) um subanel do anel 
(P({a,b,c}), Lx,, fl). 
1 • Sejam as conjuntos : 
II = {a + 3b1i1 a,b€Z 	e K ..{95 + 3bStI a,bEZ} 
.Mostrar que os ternas CM, + , . ) e (P4 9 + , . ) so subanie do 
anel (Z(Ii)_[a + bV'i a,b€Z, 
5. Sejam os conjuntos 
íí5 ai 	
PO 
Lii A 
- 	uj abEZj e 
	8. 	
bj 
..Mostrar que os ternas (A, + , . ) e (8 9 + , • ) aia subsn&is da 
anel (P42(Z), + , . 
. Seja o conjunto 5 í1h :j 1 a.b€R} . Mostrar que o terna 
(8, + , . ) & um subanel do anel (M 2(R) 9 + , . 
7.Mostrar que o anel (ZU), . , •dos inteiros de GALES um sub.. 
anel do anel (C, + , ) doa números complexos. 
8. Sejam (A, + , ) um anel a a um elemento de A. Mostrar que os 
ternos : 
(o.A a{a.x x€A}, + , . ) e (A.e *{X.. x€*}, + ,. ) 
aio aubenis de (A, + , . 
-Achar os aub.nis 	• , . ) e (36.26, • , . ) da anel (25$ 
9. Sejam (A, . , ) um anel seu. elemento de A. Mostrar que e 
terno (5(5) .{x€A 1 a.x - o), . , . )é um aubanel de (A,.,.). 
-Achar a subanel M5, 	, . ) da anel (Z15, 
10. Mostrar que os ternos z 
({(n,n) 1 n€Z),, + , . ) e (3Z x{0}, 
aia subanis do anel (229 + 
11* seja o conjunto s 
{[ 	
] 	
Mostrar que a ter.. 
no (99 + , . )é um subanel do anel (M2(Q), 
120 Sejem (8 9 + , . ) um abene1 do anel comutativa (A, + , . ) e 
a um elemento da A tal que a 2 * a. Mostrar que o terna 
({a.bIb€B}+..) 
eu.aubanelda anel (A,.,. ). 
130 Sejam (A, + 9 . ) um anel e 0 um aubconjunta no vazio de A 
fechado em releçia la aparações de adiço(.) e de aultiplicaçia 
(.) da anel e tal que a€B implica -a€8. Demonstrar que o ter-
no (99 + j, o ) é um nubanei de (A# + @ o )* 
11. Mostrar que o conjunto doa elementos nilpatertes de um anel 
comutativo (A, + , . )é um aubanel de (A, + , . ). 
15. Seja (A, + , . ) um anel comutativo de característica 2. Mas.. 
traz que o terna ({aE* 1 92 	+ , . ) e um aubanel de (A, 
+p e ). 
16. Determinar todos as suban&ia prpriaa do anel (P({a,b,c}), 
t, 
17. Seja (a + , . ) um subanél da anel finito (A:, + , . ). Demons-
trar que a ordem de (0 9 + , . ) divide e ordem de (A, 
fra ai 	1 
10. Mostrar que o terno 	j aEJ'. + , . ) um subanel 
do anel (M2(R), + 
19. Mostrar que o terno ({(x,x) 1 x€Z}, + , . )é um subenel da 
anel (Z2,+,0).2ø. 
 
Mostrar que o terna ({f€a!l f(3) .. f(4)} 	 é um 
aubanel do anel comutativo (RR, + , . ) das funçea numricae. 
21. Mostrar que a terna (Z(sfi), + , . )#e um aubanel da anel 
(R, + • ) dos remia. 
F 	1 	IDEAIS 
5.1 IDEAL 
.Deftniça 5.1 Chama-se i!a1 de um anel (A, + , . ) toda subenel 
(I, + , . ) desse anel tal que 
a.iEi 	e 	i.a€I 
quaisquer que sejam os elementos aEA e iE1. 
-Consoante esta definiço 5.1 e a toaram 4,1 9 99 1 um subcon.1u.' 
to no vazia de A,enta a terno (1, . , . )é um ideal do anel (A, 
• . ) se e somente se as duas seguintes candtçss s0 verifica-
das: 
(1) i JE1 , Vi,jEiI 
(2) 94EI e i.s€I , VaEa e VLEt 
o 
..Ido cano em que a anel (A, + , . )e camutstivo,besta que o produ- 
to a.iEI,porque 9.1 a i.s,quaisquer que sejam eEA e iE.I. 
5.2 IDEAIS PRUPRIOS E IMPRQPRIOS 
-Qualquer que seja o anel no nulo (A, + , . ),os sube!!! triviais 
+ , . ) e (A, + , . ) não ambos ideais de-(A o . , . ),deno. 
minados ideais triviais ou ideaió !!p!prio* Di demais ideais de 
(A, + • . ),.e exiatem,chamam-se ideaispraprios. 
-Um anel que ne possui ideaisprprias chame-se um anel simples. 
593 EXEL0S DE IDEAIS 
o5.1 Daubenel (2, .,, • ) do enelcamutativo (2, + 
um Ideal porque # qualequer que aejam a inteira vi e a inteira par 
2m,a produto n.(2m) a 2naum inteira 	: 
n,(2m) a 2nmE2Z , Vn€z e V(2m)G21 
-Exemplo 5.2 O aubanel ( { 06, 36}, + , . ) do anal comutativo (16, 
+ , , ) e um 1deal,po1aquaisuer eej.m $6€Z6 e 1 6E{06936}, 
a produto a6•i6€{O6 36} : 
0600 6 *06, 	0603 a 06 	16006 
 m a6 
1636 	6 	26006 m 06 	26436 
a 06 
3606 a o 	 36-36 a 36 	'6°6 a 
	
a 06 	 56006 a 
	 5636 o, 
-Exemplo 5.3 Seja o conjunto nl a{kfl 1 k1} de toda os intei-
roa que ao mltiploa de um inteira fixa n. O terna (vil, + , . ) & 
um ideal da anel comutativo (2, + • • ),paia,queiaquez' que sejam os 
Inteiras r e !,temos : 
rn an a (r - s)nEnZ 	e 	r(sn) a (rs)nnZ 
-Exemplo 5. Os subsnis (2, + , • ) e (4, + , • ) da 	L comuta.. 
tive (R, + , . )não não tdem,porque,p.ex. : 
e 3E2 , mas 	/ïz. 
e 5Q , mau .54i4Q 
-Portanto,ne* toda subanal de um anal & um Ideal 
-56- 
-Exemplo 5.5 Consideremos o anel comutativa (R, . , ) dos ? 
EI numericas e e subconjunto 1 de EI assim definido 
x4rERR 1 f(l) a u} 
.O terna (1 9 + , . )a um ideal do anel (EIR, + , . ), poie,queisquer 
que sejam es funções ?,gI e hER a , temos : 
(f 	)Cl) a f(l) g(l) aO O àO 
o que implica : 
fgEI 	e 	PI.?I 
5.4 PROPRIEDADES DOS IDEAIS 
-Teorema 5.1 Seja (1 9 + , . ) um ideal de um anel (A, e, .). En-
tão 
(e) O elemento zero de (A, + , . ) pertence a 1 : DEI. 
(b) Para todo eE.I,o oposto 
(c) Quaisquer que sejam a,bEI,a soma a + bEl. 
DemostrO: 
(a) Como 1 no é vazio,exístesEI e,portento : 
(b) Cama aEI(hiptese) e OEI(pela (a)),enta 
(c) Como e,b€i(hipteee),então m,.b€I e,partmnta t 
-.57.- 
a M (.b) a e + (.('b)) a e + b€I 
Iate ,I fechado para e aperaça de adlcia(.). 
Teorema 5.2 Seja (1 9 + , . ) um ideal de um anel (A, + , . ). com 
elemento unidade 1. Nestas condigam : 
(l)Sel€I,ando IaA. 
(2) Se aEA í inv.rafvrnl. e til que aI,ento 1 a 
-Demonstração 2 
(1)Supanhsaaa que lEI. Entio,paza todo aE,A : e.1 a sE.l e j. 
to significa que ACI,e cama ICA,aegue-ee que 1 aAo 
(2)Supomhamas que a€A é inveralvel e tal que mE.!. Enta,exis... 
te bA tal que 1 - b.a€I(b.eEI parque b€A e sEI) e, para 
toda xEA * * a x.l€I(*.l€I Porque *EA e 1EI),e lata signi-
fica que AC!,e come ICA,aegue-se que 1 a A. 
Coral&rlo 5.1 Se CI, + , . ) um ideal prpria de um anel (A, 
+ , . ) com elemento unidade l,enta 1 11 e nenhum elemento de 
1 inveralvel. 
595 INTERSECJEO DF. IDEAIS 
_Teorema 5.3 Se (1 9 + , ) e (], + , . ) não ideais de um anel 
(A, + , * ),ento a terna (Lfl.I + , . ) tambm #é um ideal de (A, 
.'Demanstraço : 
-Suponhamos que (I,+,.)e(J,+,. )Wii Ideais deumanel 
(A, + , . ). Ento,por ser O a elemento zero de (A, + , 
0€! e 
disso : 
ICA e 3CAIfl3CA 
-Laga, I.fl J é um aubconiunta não vazia de A. 
-Por outra lado,como CI, . , . ) e (J, + , . ) ao ideais 4 anel 
(A, + , . ),tema $ 
(1) V*,yEIfla==x,yI e x,y 
*-y€1 e 
(2) Va€A e Vx€Ifl==aEA e (xEI e x€J) 
=3(a€* e xEI) e (aEA e xEJ) 
==(a.x€I e x.a€I) e (a.xEJ e x.eE.» 
z=a.z€IflJ e x.a€xfla 
-Laga,o terna (I(17, . , . ) é um ideal do anel (A, + , . ). • 
5.6 IDEAIS PRINCIPAIS 
-Teorema 5.4 Sejam (A, . , . ) um anel comutativo com clemente 
unidade 1 e a um elemento fixo de A. Enta o terna : 
([a), + , . ) , onde (a) {a.x 1 x€k} 
um ideal do anel (A, + , . 
-Coma O - a.OE[a] j e - a.lECa],aegueuae que [a) é um 
-59- 
subconjunto !k vazlo.. de Ao 
outra le quelaquer que sejam e elementos a.z e ey de [e 3 
e para todo decente zE 
(1) ex ao¥ 0(* y)[ 3 P13?qU * yE* 
(2) (e.x).z 	 *.zEA 
j3 5C mi 	 tL! (Z12, + . ),a decente 412C2,2 
d tdd : 
[l2J { 412-11 1 "E~Z,2 	{012*412#812 } 
terna {12'12x2}' + . ) ; a Ideal principal de 
(z12, + , ) 112-02 PEL 412* 
5,7 IDEAI MOS 
3 Ch 	cc Ideal arima de - anel (Al + , . ) todo 
Ideal CI, . , ) cce cccl tal que,ee e e b eia decentes quais'. 
de A Cuje produto e.bE.I,eflta eel eu bEL 
.Exemplo 5.7 Seja puaprimo.O terno (pZ,.,.)wa Ideal 2!th' 
ao do anel (2 .,. ),paia 
a,bEpa==>pIa.b==pia ou pb==a€pZ ou bEpZ 
..Nate.ee que o ideal trivial ({Q}, +, • ) da anel (2, 
um ideal pztmo,paia : 
a.bE{}a.bamO=aO ou brø 
ou 
-Exemplo 5.8 O ideal ({O} *2, + • ) 	 2, 
um ideal prima pala : 
(a,b).(c.d)E{O}x Z(ac,bd)e{O)x z 
se 	a 	ou cO 
==(a,b)E{O}xI ou (c,d)e{Oi*Z 
.'.ExempiaS.9O Ideal (6Z,+,.)do anel (Z,,,.)nieum 
Ideal primo,paia 9 2 e 3 aio Inteiras cujo produto 2.36Z,msa 2 e 
3 nio pertencem ao conjunto 64 
5.8 IDEAIS PXIMAIS 
..Definiço 5.4 Chama-na ideal maxiaal de um anel (A, + , . ) toda 
Ideal (1 9 + , . ) dacca anel tal que o u#nico idee.que o cent 
o própria anel (A, + , . ). 
Em outras teraoa,ideal maximal de um anel (A, + , • ) todo 
il(I, +,, •) tal que aio exiete outro ideal (3 9 + , 	) que vert 
fique e condição ICJ. ,f A. 
.'.Exe*ploS.lO O Ideal (3Z,+ , . )do anal (Z,+, • )umLdeal 
maximal dease anel,poieae (3 + , • ) & um outro ideel tal que 
3ZC3,entio l€3 e 3 - 4 
-EXSMD1O 5.11 De ideal. 
e 	 ({ 012. 312. 612.912}. + , • ) 
+ . ) 
do anel (2129 + , . ) eo ideais maximala desce anel, 
-Exemple 5.12 O. Ideais ([2], + , . ) e ([3], + , . ) do anel 
(Z, + , e ) ee ideais meximeis desce anel. 
De modo geral,o terno ([ri], + ,o ) um ideal maximaldo anel 
(4 + , .. ) se e somente se ri #e primo. 
-62 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
1, Determinar todos as ideais prprias doa anela : 
(b)(Z121 +,.) 
2. Mostrar que a aubanel : 
+ , . ) da anel (Z 6, + , . ) & um ideal. 
(b) ({3(a + b(-2 1 a,b€}. + , . ) do anel (Z(ji), 
.rn ideal. 
3 Mostrar que o terna : 
(a)(6Z 9 + , . ) a um Ideal da anel (2Z, + , . 
(b)(R + , . ) um ideal do anel (R x Z, + • a ). 
li. Sejam CI, + , . ) um ideal da anel (A, + , • ) e J o conjunta 
assim definida : 
JO{GeA mel • o , VIEr} 
Demonstrar que o terna (3, + , . ) também e um ideal de 
5. Mostrar que as ternas (31 * {o}, + , . ) e (31 x Si, 
e0 ideai, da anel ( 2, + , • 
6. Achar o menor Ideal prprio do anel (2, + , . ) que conta as 
inteiros : 
(a)12 e 20 	 (b)2l,30e108 
1 
7. Seja (A, + , . ) um anel tal que o paz' (1 , . ) e um grupo. Mos-
trar que (A, + , . )*e um anel ,simples. 
S. Sejam (1 9 + , . ) e (31, + , , ) ideais de um anel (A, + , . ) 
tais que 1 fl3 {u} , Mostrar que o produto sob a O , quatsque 
que sejam os elementos sEI e b€JJ, 
9. Determinar a ideal principal da anel : 
(a) (Z, + , , ) qz'ada pelo elemento 4. 
(la) (Z, + , . )gerado pelo elemento 69 
lQ Determinar todos es ideaisprimos da anel (Z29 + , . ). 
11. Seja (A, + , . ) um anelsem divisares de zero. Mostrar que a 
terno ({O}, + , , ) um ideal primo de (A, 
129 Achar todos as ideais maxissia do anel (Z 0, + , • ) 
13. Mostrz' que os ternos a 
({(s,O) m€i}, +, • ) e ({(2m,m) j m,nEZ}, 
aia respectivamente um ideal gLimo e um ideal maximal do anel(Z2, 
l. Mostrar que a terno ({C4m,O) m€Z}, e um ideal da 
anel (Z2, 	e que a a Lu ideal 
150 Os ternos (S + , . ) e (Ir, . , . ) são respectivamente um 
aubanel e um ideal de um anel (A, + , . )., Demonstrar que o ter.. 
na (SflI, +, • )é um ideal de (S+, • 
16. Os ternos (, + , • ) e (3h + , • ) aio ideais de um anel 
e 1+ 31 é a conjunto : 
-Demonstrar que o terno (1 + 3, + , . ) também é um ideal do anel 
(A, + , . 
170 Sejam (Ir, + , • ) e (3, + , • ) ideais de um anel comutativo 
(A, + , • ) e 113 a conjunto : 
• 
-Demonstrar que o terna (1/3, + , • ) temb&m e# Um ideal do anel 
1. Seja L o conjunto de todos os elementos nllgotentea de um anel 
comutativa (A, + , • ). Demonstrar que o terna (1, + , • ) - 9 um 
Ideal de (A, + , , 
19. Dó ternos (1, . , • ) e (3, + , • ) mia ideais de um anel (A, 
tais que 1C3. Demonstrar que (1, + $ • )é um ideal de 
2D Mostrar que o terno (P({e,b}), L ,fl) é um ideal do anel 
(P({ab,c}),, n 
-65- 
L 6] 
	
o 
6.1 ANEL-QUOCIENTI 
-Seja (1, . 	• ) um ideal do anel (A, . , . .). O par CI, + ) & um 
subgrupo do grupo abeliano (A, + ) e,portanto.é um subgrupo normal 
de (A, + ). Denotemos o conjunto de todas as classes laterais de 
(1, • ) em (A, + ) por A/X : 
A/I { a + 1 1 a€A } 
sendo 
a + 1 ii 1 • a {a + 1 i€1 } 
-Posto isto,vamos definir operações de edição +) e de multiplica.. 
jj(.) de classes laterais no conjunto A/X. 
(a) Adiça em YI 
A igualdade 
(a+I)+(b+I)..(a+b),I • Va,b€-* 
define uma operação de edição +) de classes laterais na conjunta 
A/I. Com efeito,quaisquer que sejam as classes laterais a + 1 e 
b + 1 do conjunto A/I,a soma (a + b) • I€A/I. Por outra parte, 
esta operação de adiço(+) em A/X bem defintda,tsto ,rio de-
pende doa representantes escolhidos em A/I,pois,se 
a+I..a1 +I 	e 	b.I=b1 .I 
ento 
-66- 
e 	b.b1i2 ' 
* * portento : 
(a + b) (a1 + b1) a (a a) + (b b1 ) - i1 + 1 2 E.E 
o que implica : 
(a + b) + 1 - 'l + b1 ) + 1 
-Logo,para toda ideal (1 9 + ,.) de ,ms(A o + , . 	, o par 
(AIX, + ) é n grupide. 
(b) ftiltipltcaçio em A/X 
-A igualdade 
(a+I).(b+La.b+I 
define uma parsço de multiplicsc(.) de classes lateral ffi no con-
junta AIX. Com efeito,quaisquer que sejam as classes laterais a e 1 
• b + 1 da conjunto A/I,o produto sob + IE.A/L. Por outra parte, 
este opersça de multiplicaçio(.) em AIX & *bem defirsida°,isto &, 
no depende dos representantes escolhidos em A/I,poie,se 
a+Is.1 	e 
entia 
a-s1 at1 	e 	b-b1 i2 , 1912EIt 
e,portanta : 
sob e1.b1 - a.(b b1 ) + (a - a1 ).b1 - 	+ 
viste que as produtos a.i 2 e i1.b1 aio ambos elementos do conjunto 
X,e isto significa que 
s.b+Ia1.b1 .t 
-67- 
-Laga,pera toda ideal (1, . , . ) de um anel (A, + , . ) , a par 
(A/X, • ) é um grtspide. 
-Teorema 6.1 Seja CI, + , • )um ideal do anel (A, . , • ). O ter-
no (AIX, a , • ),onde + e • indicam as operação* de 	e de 
multiplicaçio de classes laterais no conjunto 	um 
-Demonetraçia : 
(1) O grupide (A/X, + )é um grupo abelisno. 
-Coa efeito, a apereçia da adiçio(a) em A/X possui es seguintes pro-
priedades : 
(a) Associativa : 
[(a + 1) + (b + 1)) (a + 1) a [(a + b) + i] + (c + 1) a 
a [(a + b) + a] + 1 a (a + (b + a)] + I a 
a (a + 1) + [(b + a) + xJ a (a + 1) + [(b + 1) + Cc + 1)) 
(b) Admite elemento neutro - a classe lateral O + 1 • 1 : 
(a + 1) + (O + 1) a (a + O) a a a + 1 
(O • 1) • (a + 1) a (O + a) + 1 a a. 1 
(c) Para cada classe lateral a + LEA/1 exista a classe late-
rei aposta -(a + 1)--e. IEA/I : 
laDa 11 
(d) Comutativa : 
-68- 
(a+ 1) + (b+ 1) 	(e+ b) + 1 
*t(ti .a),I 	(ti .I)+(e.I) 
(II)Ogrupide (A/I r • ) & um 	erniEo 
	
-Com efetto,e opereço de mu1ttp1icaço(,) em AIX 	associativa : 
[(e + I).(b + 	+ 	 + I).(c + 1) 
(e.b).c + 1 	a.(b.c) • 1 	(a • I),(b.c • 1) 
(a . I). 1(b + I). (C + 1)] 
(III) A tau1tip1iceço(.) é distributiva em reiaço 	adtçio(.) 
(a + 1). 1(b + 1) • (c + 1)] 	(o 	I). [(b + c) + 
- a.(b + c) + 1 u (a,b • •.c) + 1 	(e.b + 1) + (a.c • 1) 
(a + I).(b + 1) + (e + I).(c + 1) 
-Analogamente 
[(b + 1) + (c + I)).(a + 1) 	[(b + c) + I].(a + 0 - 
(b + c).a + 1 (b,a + c.a) + 	(b.a + 1) + (c.a + 1) - 
(b + I).(a + 1) + (c + I).(a + 1) 
Definia 6.1 O anel (A/I, + , . ) denominei-se anel-quociente do 
anel (A, + , • ) pelo ideal (1, 
6.2 EXEMPLOS DE ANEIS-QUOCIENTES 
Exempla 6.1 Coneideremas o ideal M. + , . ) do anel (2, ' , 
-69- 
dos inteiros. As classes laterais de M. + ) em (1 9 + ) . o pre-
cisamente as classes residuais ndulo 5 : 
ZI51 .' {5Z, 1. 5Z, 2. 5Z, 3+ 5Z, . s} a 
{o5,15,25,3,.5 } - 
-Portanto : 
(Z/54 + , . ) * ({O5,l5,25,35, 5}, + , . ) 
-Exemplo 6.2 Seja a ideal (1- 49 2 e + , . ) da anel(Z, + , 
• ). As classes laterais de (1 	 + ) em (Z, • ) •a : 
+ z 	 - 2 + 1 a 1 
+ i 	 - 3j& + x 
-Portanto : 
(Z/I, + o• ) - 	 + • ) 
-As t&buas das apareçass de ediço(.) e de aaltiplicaçia(.) neste 
anel.-quociente so dadas abaixo : 
{0 92} 
{l,3} 
{o,2} 
1 # 31 
{1,3} 
{0 92} 
• {0.2} 
{O# 2J1- 
{l,3} 
{o2} 
{o,2} 
{a,2}. 
{l3} 
-Exemplo 6.3 Seja a ideal CI 	 + , . ) do anel (16, 
+ , • ). 
 
As classes laterais de CI 	 + em as. • ) 
-7'- 
a{06,26$46} a 26 + 1 a 	6 + I * 
1 6 + 1*{169 36,56} M 36 + I M 56 + 
-Portanto : 
(Z6/I,.+ , . ) a ( {{06,26,46}.{16. 36, 56}}, 4: o • ) 
-As tsbuaa das ~rações de adiço (+) e de multiplicago(.) neste 
anel-nuociente aio dada. abaixo : 
4 1+1 
Ii: 1+1 
1+ 1+1 £ 
1+1 
1 1 
1+1 1 •1+L 
f 
693 PROPRIEDADES DOS ANEIS-QUOCIENTES 
.Teorema 692 Todo anel-quociente de um anel comutativa também 
comutativo. 
-De.onstracic : 
Seja (1, + , . ) um ideal do anel comutativo (A, + , . ). Então, 
quaisquer que sejam aa classes lateral* a + i. e b + 1 de AIX 
(a + I).(b + 1) - sob + £ a b.a + Is (b + £).(a + ID 	• 
-Teorema 60 Todo anel-quociente de um anel com elemento unidade 
tambm tem o elemento un 
-Demonstração g 
Seja CI, + , . ) um ideal do anel (A, + 9 . ) com elemento 
de 1. Ent:ualquer que neja a cla 	lateral a + lt€A/I : 
(a + I).(l + 1) 	ul . I. se a + 1 
i!.!!!. 6.4 Seja (1, + , 	) um ideal 
o 
 E2p10 de um anel (A, + ,, 
• ), Ento,(I, + , • ) é um ideal gLIMO na e somente se o 
ciente (AlI, + , ) no tem divisores de zero, 
a,b + E m 1===> 	 nel ou bEl 
=a+I.I ou b+II 
e iate siWdfice que e !aciante (AfL . , , ) nio tem diviso-
res da zero, 
(=) Reei procamente,suponhamaa que a anel-quociente (A/X, . , 
• ) no tem divisores de zero. Entia,qumlaquer que sejam as elemen.. 
s,bA tal ie e produto e,bE.I , temas : 
(a + I).(b + 1) M e.b. 1 . 11 
Implicai 
-- é um Ideal £Limo. 
.Teareme 6.5 Sejam (S, + e • ) um eubenel e (1, + , . ) a 
de um anel (A, + , . ) tala que ICL Eno,(S/I, + , 	) & 
anel do anelquoclents (A/t, + 
.Obvlaente,(I, + . ) & um ideal de (5, 
(a + 1) 	(t + 1) M (a t) + 
(a + I).(t + 1) 	a,t + IE.SII 
.Loo,(S/I, + , • )é um aubanel do 	- ociente (AIX, . , , 
EXERCCIDS PROPOSTOS 
1. Determinar o anel-quociente do anel (Z 2 , + , . ) pelo ideal 
(L 40129312961211912), 
2. Construir as t&buaa das operaçea de adiço(+) e de multiplica-
ço(.) no anel-quociente (2Z18Z, 
3. Achar todos os divisores de zero tio anel-quociente (Z/BZ, + 
4. Determinar o anel-quociente do anel (Z6, + , , ) pelo ideal 
(] 	 + , . ) e construir as tábuas das operações de adl- 
çao(+) e de multiplicaço(.) neste anel-quociente. 
S. Seja (t, + . ) um ideal do anel (A, + , • ). Demonstrar que 
o anel-quociente (A/L, + , . )é um anel de aoau ar e somente se 
- xEI para todo x€ ai. 
6. Determinar o numero de elementos do anel-quociente do anel 
(P({a,b,c}),A ,fl ) pelo ideal (P({a,b}),t 
7. Seja (L, + , . ) o ideal de todos os elementos nilpatentre de 
um anel comutativo (A, + , . ). Demonstrar que o nico elemento 
nilpotente doanel-quociente (A/L.., + , e ) e o seu elemento zero. 
8. Dterminar o anel-quociente do anel (1129 • , . ) pelo ideal 
C[412]1P + , . ) e construirei tbuee das operaçes de adiça 
(+) e de multiplicaço(.)teejj.anelquocjente. 
-74-o 
1 	HOMUMORFISMOS DE ANEIS 
791 HOMOMORFISMO 
-Definiça 7.1 Seja. (A, + , . ) e (a, + , . ) dois an&is. Chame-
me ho.omorfismo de (A, . , . ) em (8, + , . ) toda função f: A—øB 
tal que 
(1) ?(a + b) a f(a) + f(b) 
(ii) f(a.b) - f(a).f(b) 
quaisquer que sejam os elementos a e b de A. 
(a,b 	
^f(a).f Ob) 
-Note-'se que,pela (1),. funçio ? é um homomorfiama do grupo abe. 
]jano (A, + ) rio grupo abeliano (a, + ), o que implica : 
- 05 	e 	?(-a) - 4(e) ,vaca 
como a sabido da 'Teoria doa grupos',e pela (ii),a função f tam. 
bem & um homosorfiasio do aemt.grupo (A, • ) rio :$emXRr1 (a, • )• 
-Indica-se que a função f : A---øB um homomorfiamo de (A,.,. ) 
em (8 9 + , • ) pela notaçio 
f : (A, + , • )-4-(B, + , . ) 
-75- 
!a1a 7,2 Sejam os anela (Z + • ) doa Inteiras e (Zm 4 
doa Inteiras nódulo no 14. funço 
(a,b).(c,d) = (ac,bd) 
-A fwiçio 
f : Z—a22 definida por f(x) a (x,C) 
um homomarfiemo de (2, + , . ) mm (22,, + , . ),pote,queiequei 
que sejam em Inteiras e e b : 
f(e + b) 	(e + b,O) m (a,O) + (b,ø) = f(a) + f(b) 
f(a.b) a (e.b,D) a (a,O).(b,O) a f(m).f(b) 
-Exemplo 7.4 Sejam em anim (C, + , ) doe rsmaroe complexos 
(R, + , . ) dom nGmeroe reata. A função f : C--*-R definida por 
f(a + bi) a a na&umhomomorfiemade(Ç, • , ) em(, + , • 
pote: 
.Exeep1a 7.5 Sejam em enie (Z,, + , . ) e (22, + , . ). A fur 
f : 2--+Z ameia definida : 
f(04) a f(2) a 02• f(1) a f(3) a 
um homomorftamo de (Z,, + , . ) mm (229 + 0 . ), peie,quaiequer 
que sejam me decaem residuais e,bEZ : 
f(a + bg,) a f(e) + f(b 1,) 
a f(%).f(b) 
Aemim, p. ex. : 
f(1 + 2) 	 a 12 a 1.2 + 2 a f(1) + f(2) 
f(14.2) 
a f(2) • a 2 1200 2 f(l).f(2) , etc. 
-77- 
793 IlGEN E NUCL0 DE UM HOMOMORFISNU 
-Dsfintçjo 7.2 Seja? : (A, + , . )—*(8, + , . ) um homomorfim. 
aooChama-na imagem da hamomorfiama f o conjunta 
?(A) .{f(*)Eø 1 
teto ,a imagem de furo f : A-08 que define a homomorfiemo. 
Deintço 7.3 Chama-se nGcieo do homorfiama f o conjunto de to.. 
doe os elementos de A cujas imagens pele funço ? A—*9 eo a 
elemento zero 0 da anel (a, + , . ). 
A 
-Este conjunto indica-se pela no. 
taço 1(?). Portanto, sob forma 
aimblica : 
N(f) 	1 f(x) - o} 
..Obvtsmente,?(A) • 11(?) sa subconjuntos
,
respectIvamente dos con- 
juntoaBeAs 
	
?(A)C8 	• 	N(f)CA 
-te-.e que 1K?) tamb&a é o nclea da homomorfiema ? : A—+8 do 
grupo sbeliano (A, + ) na grupo ebeliano (8, + ). 
-Exemplo 7.6 A imagem e o núcleo do homamorfiama 
os conjuntos i 
?(l) a{ X5EZ5 x€Z} - ={85 
1(?) -{x€Z 1 *5 05 }a{x€iZ 1 *i'sSk, k€2}is 
-78.. 
-Exemplo 7.7 Sejam os .nàis W. + , . ) e (Z, + , . ). A funça 
f : Z Z definida por f(x,.y) x é um homomorfismp da primei-
ia anel no segunda. A imagem e o ri(icleo deste homomarfiamo sa os 
conjuntos : 
fU2 	XE Z. (x,y)€Z2}usZ 
{x,yEZ2 1 * - O } - {113,y 1 VEZ)- _{o} x - 
c Z2 
7,1 MONOMORFISPU 
-Definiça 7*4 Sejam (A, . , . ) e (5, + , . ) dais anais. Chame-
se manomorfiama de (A, + , . ) em (5 9 + , . ) toda funça injetara 
f : A—'8 tal que subsistem as igualdades 
f(a + b) a f(a) + f(b) 
f(a.b) 	f(a).f(b) 
quaisquer que sejam os elementos a e b do conjunto A. 
-Em outros termoa,monomorfismo de (A, + , . ) em (5 9 + , . ) & to-
do homomorfismo f : (A, + , . )(B, +., • ) tal que a funça 
& tnjetora(homomorfiamo Injetor). 
o 
-Exempla 7.B Sejam oeanela (Z, 	, + . )e(Z2,+, . )•O fl- 
morfiama(Exemplo 7.3) : 
f : (Z, + , . )-ø (Z2 , + , . ) 1 f(x) (x,O) , VxEz 
um monomorfiema de (Z, + , • ) em (12 + , . ),poia,a função f 
Injetara 
-79- 
o 
-Exemplo 79 Sejam as anela (C, + • 	 + , . ). A fun- 
ção 
[a -.bl 
aj 
o 
um manomarfiaina de (C g 	em (M2 (R) # + , . ),poia,queiequer 
que sejam ae nmeroe complexos a + bi e c + dl : 
f[(a+bi)+c+di)J Nt'[a+c)+(b+d)i]1uI r + a 	b d] 	Ia 	.b] 	[a 	'id] 
1-! 	+I 
+d 	a+cJ Lb 	aJ Ld 	cJ 
f(a+bi).f(a.di) ; 
f[(e + bi).(c + dl)] f[(ac bd) + (ad + bc)i) 
[aCed bd 	ad bc] [a 	.b][e
I 
 br. 	se bdJ 	b 	aJ Ld 	eJ 
- f(a + bi),f(C + di) 
--Além dtaea,e função ? injetar,paie : 
][c'i'id1 
f(a+bi)f(c+di)== [hab 
	
ajd 	e] 
==e_c e bad=4a+bi-c+di 
..O núcleo deste menomorfiema a conjunto 
f 	[x 	ía ali 
N(f)+ ytE.0 b 	xj Lo ojt 
m{G}CC. 
7.5 EPIMDRFISQ 
-2!!!&2. .5 Sejam (A, + , , ) e (8 9 + , . ) dois ente. Chame- - 
se epimor?isino de (A, + , . ) em (8, + • ) toda funço sobrejeta-
ra f : A—o 8 tal que subsistem as igualdade, 
f(e + b) a f(s) + ?(b) 
f(a,b) a f(e).f(b) 
quaisquer que sejam os elementos a e h do conjunto M 
-Em outros termos,eptmorfiemo de (A, + , • ) em (8 9 + , • ) & todo 
hoaomorfiamaft (A, • , . )—.(S, + , • ) tal que e funçe Z. 
aobrejetora : ?(A) a 8(homomorfismo sobre etor). 
-Exemplo 7.10 Sejam os snis (Z, + , . ) e (Z, + , • ),es opero-
Z2çes da diçe(+) e de 1tc(.) emsendo e adiç ão e a 
aultiplicaça de paras ordenados 
(a,b) 	(a,d) a (a + c,b + d) 
(a,b).(c,d) 	(sc,bd) 
.Q homamorfismo : 
f: (22,+,. )—.(Z,.,. ) f(x,y)ax , 
um apimorfiema 	 e , • ) em (2, + , . ),poie,a funçia f 
sobrajetara : qualquer que seja o inteiro z existe o par ordenada 
(z,1)€0 tal que ?(z,1) a z• 
-Exemplo 7011 Sejam os conjuntas A a{a,b,c,d} e 8 	 e 
os asie (P(A),690) e (P(S),ti,fl). A funçio 
f : P(A)—øP(S) 1 f(X) - xfls , VXEP(A) 
o um homamorfiesu de (P(A),A,í» e. (P(B),,fl),pois,queisquer 
que sejam os elementos X,Y6P(A) t 
?(Xt1Y) a (XtY)flB a (XflB)t(Yfl$) a f(X)Lf(Y) 
?(XíY) • (XíY)'B a (xCv)fl(eÇ'a) a 
(XflB)fl(YflB) - f(X)flf(Y) 
.Este homaeorfisaof& um episorfismo de (P(A),,,fl) em (P(B),A, 
(»,parque a funçio f & sabreletare :todo elemento de P(S) & e 
interseçia do conjunta 8 com um elemento de P(A). 
76 ENDOMORFISPQ 
...Definiç 7.6 Seja (A, + , . ) um anel. Chame-se endamorfiemo de 
(A, + , . ) toda funçia ? : A—+A tal que subsistem se tualdss' 
das s 
f(a + b) a f(a) + f(b) 
?(sob) a f(a)Mb) 
quaisquer que sejam os elementos a e b da conjunto A. 
..Em outros termos,endomorfiama de (A, + , . ) & todo homamarfiama 
de (1, . • . ) em ai 
-Exemplo 7.12 Seja a anel (Z 39 + , . ). A funçia ? : Z3 -0, Z3 de. 
firilda por f(x) a 	 um endomorfiama de (Z3, . , . ),pois,qua- 
isquer que sejam as classes residuais x3,y3EZ3 
-ae 
f(x3 + y3) = ^ X 
3
)+ f(y3 ) 	e 	?(x3.y3) - f(x3).f(y 3) 
..Asstm, p. ex. : 
?(1 3 + 23) a ?(o) .0 a 03 * 13 + 2 a 
1+2if(13)+f(23) ; 
f(13.23) a f(2) a 2 - 23 13.23 	- 
a 
-Exemplo 7.13 Seja o anel 
+ , , ) • senda Z(J3) a {a + b/i 1 s,bEZ} 
-A funço f : Z(\/3)—*Z(fi) 1 f(e + b/i) *5 bJï &umen. 
daaorfie de (Z(s/i), + , . ),pnis,qustequer que sejam oo eleinen.. 
te. e + b C3 e o + dsJi de Z( C3) : 
r[c. + b%/3) + (o + dJi)] a f[(a + o) + (b + d)V'i] a 
* (e + o) (b + d)fi a ( - b/ii) + ( o d/i) a 
f[(a + bVi).(c + dtf5)] a ?[(ac + 3bd) + (ad + bc)rfl 
• (ao + 3bd) a (5d + bc)fja (5 b\(i).(c dJi) 
f(a + bSf).?(o + dl-,f')) 
-Exemplo 7,14 A funça f : Z 2 w Z 2 tal que f(x,y) a (y,x) é um 
endomarfiama do ano1 (Z2 , . , . ),poi.,quaiequei que sejam os pa- 
ree ordenados (s o b) e (cd) de 
?[(e,b) + (c,d)) - ?(e + c,b + d) a (b + d,e + a) a 
(b,.) + (d,c) • f(e,b) + f(cd) ; 
• f(ecbd) a (bd,aa) a (b,e).(d,c) a 
- ?(a,b).f(c,d) 
7.7 COMPOSIaO DE HOMOMORFISNOS 
Tea?eme 7.1 Se em funções 
ma hamamozftmmoe,enta a Lun no composta : 
também é um homomorfismo. 
Oemonmtreçe s 
-Quetequer que sejam me elementos a e b da conjunta A 
( o f)(a + b) a g(f(a + b)) a g(f(a) + f(b)) a 
- (f(e)) • (?(b)) a (g a f)(a) +. ( o f)(b) ; 
( o f)(a.b) a g(f(e.b)) a q(f(e).f(b)) a g(f(s)),g(f(b)) a 
- ( o f)(8).(9 a f)(b) 
-Corolário 7.1 Se em funções ? e j mio manaaorftamoe(reap.,2. 
fismoe),entia a funçia Eomta 9 a 1' também é um manamarfiemo 
(reap. ,um epiffiorflamo), 
I 	EXERCCIOS PROPOSTOS 
19 Mostrar que ao homamorflamos de er&te ee seguintes funçea : 
(a) f : (215, • o. ) 	 + 9, ) 	f(x15) * *3 
-Determinar o nc1eo deste homnoorfiemo. 
(b) f (Z20 + 	)—*(Z4, + , . ) f(x2)= x4 
(2129 +, . 	+ • ) 	f(x12 ) 
Determinar a 	e o nc1eo deste homomarfiemo.(d) f : (Z + 9 	(2, + p é) 
2. Sejam (A l + , . ) e (8 9 + • a ) dota anele, Mostrar que a fun.' 
ço f : A x 8—*A definida por f(x,y) *x se um homomorfiamo de 
enel(*x 8, + , , ) no anel (A, 
3, Seja o conjunto A 	 1 G e bEa. 	mostrar que a funçia 
f 	
j 	
([,'e, 	
]) 	
(sob) 
um homomorfiemo do anal (A, + , . ) no anel (Q, + , • ): 
4. Achar todos cc homomorfiamoa entre os anais : 
o 
S. Achar todos os homamorfiemos entre os anela : 
(a) (Z8, + , . ) e (Z 29 + , . ) 
(b) (Z12, + , • ) e (Z89 + , . ) 
6. Mostrar que não monamorfiemos de an&ie as seguinte. funçea : 
(e) f : (Z, + , . ) - (Z6, + , . ) 	f(o) 	06 
íeOl 
(b)f:(R,+,e)_ 4e(M2(R).+ , . ) lf( e) _ Lo 	aj 
7. Mostrar que .o epimorfiemos de snts as seguintes funçe. s 
(a) f : ( 169 + , . )—..(Z, + , e ) 	f(0) 	 03 
f(1) 	- 1 , ?(26) - 	
- 23 
íse e é par 
)_+(Z29 +,e)I f (n)-< ' 
[12 se n e fmpar, 
(o)?: (R3, +, . )-4(R2,+. ) f(x,y,z)-(NO 
(d) Determinar as ncleos das eptmarfismaa (a) e (c). 
8. Achar todas os endomorfiemas dos seguintes anais $ 
(.) (16, + , e ) 	(b) (Zio, + , . ) 	Cc) (lii, + 	• ) 
(e) (2, + , . ) 	(?) (Z 29 
9. Mostrar que, se p e ian prip, ha somente dois endomortismas da 
- 
anel (Z. 1 • 
.86- 
vi 
104 Seja a um !n unto do conjunto P4 Mostrar que e função 
? : P(A)—sP(A) i f(X) 
um endomorfiamo do anel (P(A),ó.,fl) e determinar o seu nclea. 
11 
 
mostrar que e funço t : Z—Z 1 f(x) a 1x1 nioumendo 
morfiemo do anel (Z, 
12, Mostrar que no existe um monomorfiemo ? entre na enie (229 
e (Z, 
13, Determinar o nclea do hamomorfiamo de anela : 
f(x) - 
it.. Moetrer que e funço 
f : 1L—+R2 f f(e + bi) (a,b) 
jjhamomorftsmpentreoeenis(C, . , . ) e (R 2, 
15, Mostrar que e funço 
f R2—*M2(R) 	f(x,y) 
um homovorfismo entre na anela (R2, 	e (M2(R), + , . 
FA 
8 	 PROPRIEDADES Dos HOMOMORFISMOS 
aa 
8.1 IMAGENS D( ELEMENTOS NOTAVEI! 
-Teorema 8.1 I8im homomorfismo f : (A, + , . )—ø(8, • , . ),a 
pela funçofdo elemento zero a do anel (A, + , . ) & o e1e 
manto zero a do anel (8, + , . ) : 
.Deaonstraça : 
-Para todo a A: e+Oa,a que implica 
- f(s) 
ou seja : 
e 	0A0S 
.Teoree8.2 Ma hamomorfismo f : (A, + , . )—.(8 9 + , . ) , e 
Imagem pela funço f do aposta de qualquer elemento aA é o Ppos-
to de imagem de i: f(-a) • -f(a). 
-Demanstreço : 
~Para todo s A: 	 o que implica: 
f(a + (-a)) 	 O 
ou seja t 
-88 
o 
.Carolrio 8.1 Mimjprnorfi..o f : (A, e , • )—*(B, + , . ) , 
quaiequer que sejam os elementoes,b€A : 
b) - f(m) 	f(b) 
Demonetraça s 
f(e b) - f(a + (-b)) * f(e) + f(-b) - 
	
f(e) + (-.f(b)) - f(e) 	?(b) 
-Portanto,~ homomorfiemo preeervs aomae,diferençue e produtam. 
.Teorema 8.3 *a epimorfiamo f : (A, + , . )—+(8, +, • ),ee o 
anel (A, + , . ) tem elemento unidade 1*,entio o anel (8 9 e , e ) 
também tem elemento unidade la - 
..Demonstraça : 
-Suponhamos que o anel (A, + , . ) tem elemento unidade 1A, seja R- 
b um elemento qualquer do conjunta 8. Como a funça ? & eobrejetoai 
ré ser um epimorfiamo,extete aEA tal que f(a) * b,a que imiu. 
plica : 
- f(l*).f(e) * t1A 	- f(s) b 
b.f(lA) a f(a).f(lA) -f(a.1 a f(a) - b 
e isto significa que o anel (8, + , • ) tem elemento unidade l 
	
-Tearema,8,4 Fim epimorfiemo f : (A, + , • ) 	(8 9 + , . ),'ae o 
anel (A, + , • ) tem elemento unidade 1, , e se um elemento aE.* & 
inveratvel(existe e4),ento ?(e) também é inversfvel p f(e) 1 
s89. 
-Pela teorema anterior 8.3,o anel (3, + , . ) tem elemento unidade 
13 	 que implica : 
	
f(a).f'(a) 	f(a.a) 	 13 
1A 
e isto significa que f(a) é inverave1 e que o seu inverso f(a) M 
* f(a ). 
8.2 CARACTERIZAÇÃO DOS MONOMORFISNOS 
.Tecreme 8.5 Um homomorfiemo f : (A, e um 
inonomorfismo se e somente se o N(f) *{0A} • 
-DemonstraçU 
() Suponhamos que o N(?) a{OA}. Entio,se a e b são dois 
elementos de A tais que f(e) - f(b) , então : 
	
b) w f(a) 	?(b) 
a que implica 	a - bE.N(f) _{oA}. Portanto 
e - baOA 	E 	e - b 
o 
-Assim eendo,a funço f e injetora e,pela definiço 7.4 0 a hamamor-
flama 1' é um monomorfismo de (A, + , . ) em (8, + , . 
(4===1 Reei procamente,ee f : (A, + , . )—*(B, + , . ) é um 
mcrnomarfieina,ento a funça f é Injetora(Def*7. 4) e,portanto,para 
toda aEN(?) : 
f(e) - 0 - 
o que implica 	a 0A e N(f) ={DA} e 	 1 
8*3 SUaANIS NUM HOMUNORFISMO 
-Teareme 8.6 Mm homomorf'tama f : (A, + , 	)—s(8, + , e ),o ter- 
no (?(A), + , . ) um subanel da anel (a, + , . 
-Como f(0) a Q8,segue-se que 08e (A),de moda que f(A) um sub 
conjunto no vazio de S. 
-Par outra parte,quaiaquer que sejam os elementos a,bEf(A),existem 
elementos c,d€A tais que f(c) a a e f(d) - b,e como f í um ho-
momarfiamo,temos : 
a - b - f(c) - f(d) a f(c d)Çf(A) 
sob a f(C)ef(d) a f(c.d)Ef(*) 
-Laga,o terno (f(A), + , . )é um aubenel do anel (8 9 + , . ). • 
Teorema 8.7 Num homomorfiamo f : (A, + , . )—p(8, • , . ) , o 
terno (N(f), + , . )é um aubanel do anel (A, 
-Demanatreço : 
-Como 	0,aeque-ae que 0*EN(f),de modo que N(f) e um aub- 
conJunto no vazio de A. 
-Paz' outra parte,quaisquer que sejam os elementos e,bE,N(?),temos 
a) a ?(b) a 00,e como ? é um homomorfisma,taabm temos : 
f(a - b) a f(5) - ?(b) 0a 0 	0 	e a - bE*f) 
f(a.b) f(s).f(b) a 0. 0 a 08 	e 	a.b6N(f) 
.Logo,o terno (Mf), + , . )é um subenel do anel (A, . , • 
a 
.Teorema 8.8 Mim homomarfismo f : (A, + , . )-p(8 9 + , . ) , 5e 
. ) & um subanel do anel (A, + , . ),ento o terno (f(S), 
é um subanel do anel (8, + 
aDesonetraco : 
-Como O€S,segue_ee que 	- 05€f(S),d. modo que f(S) 	um 
subconjunto no vazio de 8. 
-Par outra perte,quaiaquer que sejam os elementos e,bEf(S).exis-
tem elementos c,d€S tais que f(c) a a e f(d) a b,e como f 
um homomorfiurno. temos : 
a b - f(c) - ?(d) a f(c d)Ef(S) 
e.b a f(c).f(d) f(c.d)€f(S) 
-Logo,o terna (f(S), + , . )é um subanel do anel (8, + 	
a 
-Teorema 8.9 Num homomorfismo f : (A, + , . )—*(8, + , . ) ,se 
(59 . , . ) & um aubanel do anel (8, • , . ),snto o terna 
(f(S), + , . ) , sendo f 1(S) s{x€A 1 f(x)€S} 
o 
um subanel do anel (A, 
-Oemonstraço : 
COMO ?(O*) a O8 S,segue.'se que OAEf(S),de modo que f(S) & 
um subconjunto no vazio de A. 
-Por outra parte,quaiequer que sejam os elementos a,b6f'4(S),te- 
moa f(a) - cES e f(b) w d€S,e por ser f um homornorfismo e (5, 
-92. 
+ , . ) um aubanel de (8, + , . ),tembm temos : 
f(a b) - ?(a) - f(b) a c dS 
f(a.b) a f(a).?(b) a c.dE.S 
o que implica : 
a b€f(S) 	e 	a.bEf"(S) 
.4.ogo,o terno (?(S), + , . ) um aubanel do anel (A, 
e 
8.4 IDEAIS MJM NOMI3MORFISMO 
-Teorema 8.10 *.m hamomorfiama ? : (A, + , . )—*(8, + , . 
terno (N(f), + , . ) um ideal do anel (A, 
-D.monetraço : 
-Pelo teorema 8.7,o terna (N(f), + , . ) um aubanel da anel (A, 
 
Alem diaao,quaiequer que aejam as elementos eE* e 
i £N(f),cama ! #e um homomorfiam,temaa : 
f(a).00 0B 	e.iN(t) 
f(i.a) f(t).f(a) a 	 a 0B 	i.aEN(f) 
-Logo,o terno (N(f), + , . ) é um ideal do anel (A, • , . 	
e 
.Coroliio 8.2 Mm homomorfiemo f : (A, + , . )—+(8, • , a ), 
o terna (A/N(f), + , . ) & o anel quociente de (A, + , . ) pelo 
Ideal (N(f), + 
-Teorema 8,11 r*im epimorf'iemo f : (A, . 9 . )—*( 8, + , 9 
+ , 	) é um ideal do anel (, + • . ),então o terno (?(I), + ,, 
. 	um ideal do anel (8, 
aDemotro: 
.0 Ideal (1 9 + , . )é um subanel,de (A, + , . ). Logo,pelo teore-
ma 8.8 9 0 terna (f(I), + 9,* ) 	um aubenel de (8 9 + , . ). Além 
diaao,quaiequer que sejam os elementos b8 e i€?(I),exiatem 
elementos aE.M e JEI tais que f(a) - b e f(j) a I c e como f 
& um epimorfiemtemo : 
b.i - f(a).1'(j) 	f(a.j) 
i.b 
M,s,o terna (1, + , . ) & um ideal de (A, + , . ),de modo que 
a.JEI e j.a€I,a que implica : 
b.t • f(a.j)Ef(I) 	e 	1.b a ?(j.e)E.?(I) 
-Loga,o terno (?(Z), + , . )é um ideal do anel (8 9 + , . ). 
Teorema 8.12 Num homomarfisma f (A, + , . )-0(8 9 + , e ),ee 
(1 9 + , . ) & um ideal do anel (8 9 + , . ), ento a terna (f(fl, 
+ , ) & um ideal do anel (A, + , . ). 
-Demonetreço : 
O ideal (1 9 + , . ) & um subanel de (8,+ , 	). Lago,pelo tear*- 
me 8.9,a terno (f(I), + , 	) & um subanel de (A, + , . ). Além 
dissa,qusiaquer que sejam os elementos a€A e tEr'(I),como 
& um hamomarftamo.teaos : 
vista que f(a)E8 , f(t)I e (1, + é um ideal de (8, + , 
o ),o que implica : 
e 
-Logo,o terna (f(i), + , . )é um ideal do anel (A, + , . ). • 
-N O T 	O terna ({o}, + , . ) & um ideal do anel (8 9 
..Loa,pelo teorema anterior 8.12 0 o terna 
( ?(OB)a + a • ) a ({zEA 1 f(x) 
o 
um ideal do anel (A, + , . ),que eir o teorema 8.10. 
-Toarem* 8.13 Seja CI, + , . ) um ideal da anel (A, 
funça 
f1 :AAli 1 f1(a)aa+I 
um RPImorfIsmo de (A, + , . ) no anel quociente (A/I, + , • ) 
cuja nicle. N(f 1) - 1. 
-.Dsaanatraçia : 
-A funiio t & um homamorfiema de (A, + , . )em (AIX, + , .) , 
patD,quaiaquer que sejam oa elementos a,bE.A : 
f1(a + b) a (a + b) + i. • (a + 1) + (b + 1) a f1(a) • f1(b) 
?1(a.b) w a.b + 1 w (a + I)(b + 1) -t1(a).f1(b) 
-Al&m diaeo,a funço f & aobrejetq,porque cada elemento de A/i 
uma classe lateral a + I[,ande a€A e f1(a) - a + 1. 
-0 elemento zero do anel quociente (AI!, + , . ) & a classe late-
ral 0 +1 a 1 e,portanta,o núcleo da epimarfiemo f & o conjun- 
-9.5.. 
to 
N(f1 ) 
-Ente ipimorfiemo f 1 denominado o epImorfiamo natural de (A, + , 
• )em (A/X, + , • ). 
.N O T LL- Pelo tecirema 8.10,a toda homomorfiama 
f : (A, . , • )—*(8, + , • ) 
está associado o ideal (N(f), + , • ),e recipracamente,pela teore-
ma 8.13 9 a todo ideal (I R + , • ) de ia anel (A, + , • ) está 
cilada um homomorfiemo 
f z (A1 + , • )—(B, + , • ) 
cuja ncleo N(f) - D Naturalmente,o anel (8 9 + , • )'é o anel 
ciente (AI!, + 9 • ) e o hamomorfisma 	o epimarfiama natural r. 
r. 	EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Sejam f : (A, + , . )—*(ø, . , . ). um !pimorfiemo cujo núcleo 
K. e (19 + , . ) um ideal da (A, + , • ) tal que ICI. De.. 
monatrar que o terno (f(I), + , . 	um ideal do anel (5, + , 
29 Demonstrar que,se o inteiro positivo n ímpar existe um mono 
morfismo de (Z21 + , . ) em (%.,. + , 
3. Aefunç5em f : (A,+,.)—±(B,+,.) e 9 : (8 9 + 9 0)—*(C,+ 9 0) ao 
homomorfiemos. Demonstrar : fKt)C tM(g o f). 
I. A funço f : (A, + , . )—.(S, + , . ) e um monomorfiamo de 
anis fjj- t13 com rn e n elementcisrespectivamente. Mostrar que rn 
divide n(mjn), 
5. A funça f : A—+A é um endomorfiemo do anel (A, + , . ) e 5 
o conjunta assim definido : 
5 ur{a€ $ f(a) a} 
—Demonstrar que o terno (5, . , . ) um aubanel de (A, + 
6. A funço f : (A, + , . )—+(B, + , . ) & um epimorfismo e 
C(A) & o centro do anel (A, + , . ). Demonstrar : 
(a)f(C(A)) C C(A). 
(b)Se o elemento .€M & nilpotente,antio e au» imagem f(a) 
clemente nilpotente da anel (8, 
'.97.. 
T ISOMORFISMOS DE ANÉIS 
= 
9.1 ISOMORFISMO 
.Deflniço 9.1 Sejam (A, + , . ) e (8, + , . ) dois an&ie. Chame-
se isomorfismo de (A, + , . ) em (8 9 + , . ) toda função bijetora 
f A—*B tal que 
+ b) = f(e) + f(b) 
f(a.b) 	f(a).f(b) 
quaisquer que sejam as elementos a e b do conjunta A. 
-Quando existe um tal Isomorfismo f : (A, + , )—(8, + , . ) 
também se diz que o anel (A. + , . ) & isomorfa ao anel (8, + , 
o que se indica pela notação (A, 
..Obviemente,todo isomorfismo & homomorfiama,monomarfiemo e epimar-
fi ama. 
9.2 EXEMPLOS DE ISONORFISMOS 
-Exemplo 9.1 Sejam os an&is (R,.+ , . ) e (R,(D , ®), as operaçes 
O e eem R sendo definidas por 
se) b=a+b+1 	e 	al3be'e+b+ab 
-A funço numrica ? R---R definida por f(x) = x - 1 é. um isa-
morfiama de (R, + , . )Lm (R, O • ® ),poie,queiaquer que sejam os 
reais a e b : 
-98. 
f(e)Of(b) (e - l)O(b -1) (e -1) + (b 1) + 1 
.a.b-1.f(e+b) 
f(a) 	f(b) - (a 	1) 	(b 1) a (e 1) + (b 1) ' 
. (a l)(b 1) - eb - 1 = f(e.b) 
e,alm disso,e funço f & Obviamente bijetora. Portanto , o anel 
(a, + , . ) é isomorfo ao anel 
-Exemplo 9.2 Sejam os anis (R, + , . ) e (A, + , . ),as opera-
çea de ediço(+) e de 4tiplicaço(.) no conjunto 
A .{(a,a) 1 aER} 
sendo definidas par 
(a,.) + (b,b) - (e + b o a + b) 
(a,e).(b,b) M (ab,ab) 
-A funço f : R—a* definida por f(x) - (x,x) é um isomorfiemo 
de (R, + , . ) em (A, + , . ),poia,queisquer que sejam os reais 
aeb: 
f(a + Li) - (a + b e m + b) - (a,.) + (b,b) - f(a) + f(b) 
f(a.b) - (abab) - (.,a).(b,b) - f(e).f(b) 
e,alm disso,. função ? í.obviamente biletora. Portanto, o anel 
iaomorfo ao anel (A, 
-Exemplo 9.3 Sejas as anis comutativos (P(A), A • () ) e (Z2, 
+ , . ),asnda A um conjunto unitrio : A m .aJ . A funçio 
-99- 
f : P(A)—+ 22 1 1.((P) 02 • f() 12 
um teomarfiama de (P(A),A fl) em+ • ),,Pele : 
?(4t4,) s f(') a02 - fk) + f1» 
f(46 A) f(A) 	12 	i» + 
f(AAA) - f(c) 02 w f(A) + f(A) 
E 
f(4fl4) * f(4) a 	a 
a o a f(4).f(*) 
f(ACA) a f(A) a 1 a f(A).f(A) 
..Além disco a funça ? a obviamente bijatore. 
9.3 COPÇOSICJIO DE IS0M0RFISø) 
,Teorema 9.1 
ea ieomorfiarno*ento a funço composta g o f : 
tambm & um iaomarftemo, 
upA funço campoetsg o f : (A,.,.)—*(C,i,.) & um hamamorfiq, 
pela Teorema 7.1. Alia dteao,esta funça g o f & bijetara por 
ser a compacta das funcee bijetoras f e j. Loga,g o f & um 
morfiamo* 
aSCQUfldO este teorema 9.1 : 
teta ** ,para o isaaorftsao de an&ts vale e propriedade transitiva. 
9• 1 ISOMORFISMO INVERSO 
-Teorema 9.2 Se a f'unçio ? : A—,.8 e um Isomorfismo de (A,.,.) 
em (B,+,.),ento e funço Inversa f 8—PA de f e um tsomor. 
fiamo de (8 9 . 9 .) em (A,.,.). 
-Demonstração : 
-As funçee f e f 1 ao bijetoree e,partento,queiequer que sejam 
ae elementos e dde 8 existem e ao Únicos 08 elementoaae b 
de A teia que f(a) c e f(b) a d,o que implica : 
a f(c) 	e b = 
.Por outra parte,eendo f um isomorfienio 
f(e+b)=f(a).f(b)=c+d 
f(El.b) 	f(e).f(b) 	c.d 
e,portanto : 
a + b = f'(c • d) 	e 	a.b 	f 1(c.d) 
ou seja 
+ d) = f 1 (c) + f(d) 
f(c).f(d) 
=Logo,a função inversa r' 8—øA de f & um hamomorfiemo 
(8 9 + , . )em (A, + , . ),e como cate funço & bijetonto & 
um isomorfiemo de (8 9 • , . ) em (A, + , . ),denominado isomorfie-
mc inverso do isomorfismo f A-0-9, 
'Segunda cate teorema 9.2 : 
(A, + , . )(B, + , . )(8, + . . 
- XUM- 
9.5 AUTOMORFISI4C 
...Definiço 9.2 Seja (A, + , • ) um anel. Chama-se automorfismo de 
(A, + , • ) toda função bijetora f : A—*A tal que subsistem es 
Igualdades : 
f(a + b) = f(e) + f(b) 
f(a.b) 	f(a).f(b) 
quaisquer que sejam os elementos a e b do conjunto A. 
Em outras termos,automarfismo de (A,+ , . )é toda isomorfismo 
de (A, + , . ) em si prpria. 
-Obviamente,toda automorfiemo e um endomorfismo. 
9.6 EXEMPLOS DE AUTOMORFISMOS 
-Exemplo 9.4 Seja (A, + , e ) um anel qualquer. A funça Idêntica 
de A visto é.a funço 1A : A —iA definida por L,(x) - * para to-
do xF_A9 é um automorfismo de (A, + , . ),denominado autasazftua 
trivial de (A, + , ),pois,quaiaquer que sejam as elementos .L • 
b do conjunto A : 
lACa + b) - a + b - 1A' + IA(b) 
IA(Ieb) - s.b - IA(a)eIA(b) 
e,alm disso,. funçia 1Le obviamente biletar.. 
Exemplo 9.5 Seja o anel (C, + , ) doe nmeroe complexos.A fun-
ao 
1 f(e+bi)-a-bi 
um automarfismo de (C, + , . ),poie,quaiaquex' que sejam os 
raie complexas e+bi e c+di: 
f[a + bi) + (c + di)] 	f[Ça + c) + (b. d)i] - 
a (a + c) (b + d)i = (a - bi) + (a di) a 
a?(+bi)+?(+di) 
fj38 + bi).(c + dl)] a ?[(ac bd) + (ad + bc)i] a 
a (mc bd) (ad + bc)i a (a bi).(c di) a 
a f(a + bi).f(c + di) 
97 TEOREMR FUNDAMENTAL DO ISOMORFISMO 
-Se f (A, + , . )—+-(8, + , . ) é um epimorfiamo,ento a anel 
quociente de (A, + , . ) pelo ideal (N(f), + , . ) Isomorfo ao 
anel (8, + , . ) : (A/N(f), + , . ) ^J (9 # ., • ). 
-Demonetraçio : 
.A funçio g : A/N(f)—*B definida par 
g(a + N(f)) - f(a) , VaCA 
um isomorfiamo de (A/N(f), + , . ) em (0, + , • ). Com efeito 
(i) A t'unçio g é um homomorfisma de (A/N(f), + , • ) em (B, + , 
),poie,quatsquer que sejam os elementos el + N(f) e 82 + N(f) 
de A/N(f) : 
+ N(?)) • (a2 • N(f))j a g3a1 + a + N(f)j a 
a 	
+ 	
a f() + f(s2) - 9(a1 . N(f)) + 9(82 + N(f)) ; 
+ N(f)).(82 + N(?))] a 9 1(e1•82) + N(f)] - f(a1 .a2 ) a- 9(81 + N(f)).9(52 + N(f)) 
(ii)A função ! é sobrejetora. De fato,para todo bEB existe 
aEA tal que f(a) w b,porque,por hiptese,a função 	sobrele-' 
tora. Portento : 
a + N(f)€ AMO e g(a + N(f)) a f(a) b 
(iii) A função 9 é injetora. De fato,sejam a 1 + N(f) e 82 + N(t) 
dais elementos de A/N(f) tais que g(a1 + N(f)) = 9(a 2 + N(f)) En-. 
to 	 '2 e,portanto : 
0B e f(a1 a2) 
o que implica : 
a1 -.e2 €N(f) e a1 +N(f)*a2 +N(f) 
-consoante (i),(tt) e (iii),a função IL é um teomorfiamo de (A/N(f), 
em (8, + , . ),e o 'Teorema fundamental do teomorfiama' fi-
ca demonstrada, 
...Corolrio 9.1 A funço h A—*A/N(f) tal que h(a) a + 
um homomorfismo de (A, + , . ) em (A/N(f), + , . 
-Demonatraço : 
-Quaisquer que sejam os elementos a,b€A : 
h(e + b) = (a + b) + N(f) 	(a + N(f)) + (b + N(f)) 	f(a)+f(b) 
h(a.b) * a.b + N(f) 	(a + N(f)).(b + N(f)) 	h(a).h(b) 	
a 
-Este homomorfiemo h é tal que g o h * f , pois : 
(9 O h)(a) g(h(a)) a g(a • N(f)) a f(a) 	VaEA 
à chama-se homomorfiamo cananico ou homomorfismo natural de (A, + , 
jLm e )(A/N(f),+, • ). 
A 
—No diagrama ao ledo estão visualizados o 
epimorfiamo L.° teomarfiemo g 	hamosor- 	h 
flama cannico h 
A/N(f) 
o 
—Exemplo 9.6 Sejam os snis (24, + , . ) e (Z2, + , . ). A.funo 
f : 14 —+Z2 assim definida : 
f(0) 	f(2) a 02 , ?(l) 	f(34) 	12 
um epimazfiamo de (241 + , • ) em ( 22, + , • ) cujo ncleo N(f)= 
e se classes laterais de (N(f), + ) em (24, + ) so : 
04 + N(f) ai {O.2} M 24 + N(f) 
+ N(f) - 	 • N(f) 
-Portanta,o anel quociente de (249 + • • ) pelo ideal (N(f),+,.) 
o terna : 
(Z4/N(f) 9 + , . ) M ({{0.2,.}.{l.3}}, + , • ) 
e,pelo •Teorema fundamental da iaamorfiema',temoe 
+ , . )(Z2,, • • ) 
ou seja : 
+ 9 • )({02912}9 
o ra 	EXERCCI0S PROPOSTOS 
1. Sejam os aria (Z2, + o . ) e ({a,b}. + , . ),as operações de 
adiça(+) e de multiplicaço(.) no segundo anel sendo definidas pe-
les tbuas abaixo : 
	
a b 	 [.Ja b 
	
I a b 	 a 
Eab b a 	 b 	b 
-Mostrar que a funço f : Z.__.h{a,b} tal que f(0 2) a a ' 
a b A um isomorfismo de(22, • , . ) em ({a,b}, + • 
2. Seja o anel (4(D , ), as operações O e 	em 2 sendo defini- 
das por 
aObaa+b+l 	e 	abaa+b+ab 
-Mostrar que (40,G)(2, + , • ). 
3. Mostrar que a funçio f : Z3 + 23 assim definida : 
f(03) a 03 , f(1 3) a 23 , f(23) = 13 
o 
um automorfiemo de (23, + , • ) e 
49 Mostrar que não não isomorfos os anela : 
(a) (22, + , . ) e (3Z, 
(b) (q(i). + , . ) e (q([5), . , 	) 
S. Mostrar que o inico autoinorfiemo do anel (2, + , 	) doe intei- 
ras é a funçio Idêntica de 2. 
ai"- 
6. Mostrar que a função f : C—*.M2 	definida par 
íe bi 
f(a+bt)[b a] 
o 
um isomorfismo de (C, + , . ) em (t4 2 (R), + , . 
7. Demonstrar : 
(a) (16/[26]. + , • )(Z2 , 
(b) (16/136), + , . )!(Z3. + , . ) 
(a) (Z/[5), + , . )(Z5, + , • ) 
8. Demonstrar: (22 x z2rn, + , . ) t'J(129'+ , . ) , ande a con-
junto 
9. Demonstrar: (P({l,2,33)/,,fl )Pi (P({l,2}), aofl) e 
ande a conjunto Ks 
10. O terna (A, + • )é um anel com elemento unidade e o elemen-
ta aCA #e tnversfvel. Mostrar que a funça f : A—*A definida 
par ?5(x) - axa um automorfismo de (A, + , . ). 
-lQ7- 
10 	 CORPOS. NOÇ&S FUNDAMENTAIS 
1 MU~M 
101 CORPO 
-Definiçio 1O1 Chama-se corpo todo anel (H, + , . ) tal que o par 
a $ {o}, . ) e um grupo abeliano. 
-Em outros termoe,corpa & todo anel comutativo (K, . , . ) com.' 
mento unidade e tal que todo elemento no nulo do conjunto $ 
versf vii. 
-Segundo esta deftniçio,num corpo (K, + , . ) as duas seguintes con-
diçies se verificam : 
(Cl) Os pares (II, + ) e (K ' , . ) aia grupos abelianas. 
(02) A multiplicação(*) & distributiva em relação 8% sdiça(.). 
-O conjunto N nio vazp,por ser o par (K, • ) um grupo abeltçno. 
de modo que todo corpo ($, + , . ) contem pelo menos um elemento !2, 
nula. 
-Os grupos abelienas ($, + ) e 	• ) chamam-se respectivamente 
grupo aditivo e qrupo multiplicativo do carpa (K, 
-Obviamente,todo anel de divido comutativo ($, + , . ) é um corpo. 
102 EXEMPLOS DE CORPOS. 
-Exemplo 10.1 Os anais 	+ • • ) , (R, + , . ) e (C, + , • ) aio 
corpaa pois : 
(01) Os pares ( 	+ ) e (Ç, • ) , ( R, + ) e (R, • ) ,-(C,..':) e 
-108- 
• ) são todos grupos abelienos. 
(C2) Em cada um dos conjuntos Q,R e C a multiplicação(,) 
tributiva em relação à ediçio(.). 
-Oe corpos (Q + , 	) , (R, +, • ) e (C, + , . 	não denomina- 
dos respectivamente corpo doa racionate,corpo das reate e corpo dos 
complexos. 
-Note-se que o anel (Z, + , • ) dos inteiros não é um coipp,pota,1 
e -1 eco os unicos elementos nau nulos de Z inveraiveis. 
Exemplo 10.2 O anel (Z, + , . ),com a um primo (m 
& um corporque os pares (Zm + ) e (Z, ) asa grupos abelia 
nos e no conjunto Za a multiplicaçio modula rn(. m) & distributiva 
em relação 1 adiço m&dulo(+m). 
-Exemplo 10.3 O anel comutativo (Q(sf5, + , . ) com elemento 
dade 1 1 + o./i & um corpa.pote,todo elemento nio nulo a + b6 
(a ti O ou b # O) do conjunto 	& invers!vel : 
1 	 a 	 -b 
a + b'IT 	2 - 3b2 + 2 - 3b2 
onde .2 - 3b2 i O , vista que a e b nio aio conjuntamente nulas. 
-Note-se que o anel (Z(/3), + • • ) um corpo,porque o ele-
mento 11(a + bji) não pertence necessariamente ao conjunto Z(fi). 
-Exemplo 10.4 O terno (R 2, + , . ),as operações de adtço(+) e de 
multiplicaça(.) em R2 sendo definidas por 
(a,b)+(c,d).w(a+c, b + d) 
-109- 
e 
(a,b).(c,d) 	(se - bd,ad + bc) 
o 
um corpo porque (R 2,é um anel comutativo com elemento 
unidade (1,0) e no qual todo elemento (a,b)CR 2,distinto do seu 
elemento zero (0.0),é inverefvel : 
	
(l,0)(ax - by,ey + bx) 	(1 9 0) 
zax-byl e ay+bx0 
	
a 	 -b 
	
Z=X 2 	peY2 	2 a +b 	a +b 
onde a2 + b2 1 0,porque a e b no eo conjuntamente nulos. 
-Portanto : 
-1 
(a,b) 	..____ 	-b *2 	2' 2 	2 
	
a +b 	a +b 
..N 0: T ,.. qualquer que seja o elemento (a,b)€R 21temoa : 
(s o b) = (e,0) + (b,0).(0,1) 
onde 
.2 
-Com a convença de representar todo par ordenado da raras (a,0) 
pelo seu primeiro elemento a e designar o par ordenado (0 9 1) pela 
letra j,obtemoa para todo par ordenado (e,b)€R2 a seguinte re-
preaenteço : 
(a,b)*a+bi , com i 2 --1 
-Nestas condiçee,o corpo (R2, 	do Exemplo l0. outra csi 
es no é que o corpo (G + , . ) doe complexos. 
110 
M3 PROPRIEDADES ELEMENTARES DE UM CORPO 
.Seju (14, + , . ) um carpa. Como o terno (14, + , . ) é um anel co. 
mutstiMO, temos se seguintes propriedades elementares pare o corpo 
(14, + , . ) * 
01) •..(-a) • a 
(P2) •.(a + b) 	(-a) + (-b) 
3) b a/+ c=b - 
4) x+b - ax.a - b 
(P5) a.O - 0.5 - O 
(P6) a.(.b) - (-e).b a -(a.b) 
(P7) (-e).(-b) • s.b 
08) e.(b-c)-a.b-a.c 
quaisquer que sejam os elementos a,b,cE14. 
10.4 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DE UM CORPO 
-Teorema 10.1 Um corpo (14 9 + , . ) na tem divisores de 
-Demonatraço : 
Sejam • e b dais elementos do 	(14, + , . ) teia que a.b a O. 
Cumpre demonstrar que a a O ou b - O. Com efeito,ae a • O,nada 
o 
ha que demonstrar,e se a 4 O,entia,pela de?intço de corpo ele-
mento no nula a€M é inverefvel,iato é,existe a inverso 
o que implica : 
b a 1.b a (a 1.a).b a a4.(ab) a âm1.0 a 011• 
-Teorema 10.2 Todo corpo (14, + , *.) , é um anel de integridade. 
-]131- 
-Demonstrapa : 
-Consoante a definição de corpo e o teorema interior 10.1,o terno 
+ , . ) é um anel comutativo com elemento unidade a sem divi-
sores de zero. Logo,pela definição 3.3,(IÇ, + , . )é um anal de 
Integridade. 
-Note-se que o Teorema reciproco é falso. Assim,p.ex.,(Z, + 
o 
um anel de integridade,mas no um corpo. 
o 
...Corol&rio 10.1 Todo elemento nio nulo a de um corpo ($, 
é.aimplIficavel , para a operaço de multipltcaço(.) 
71.b ./.c 
	
b c 
quaisquer que sejam os elementos a 1 O,b e c do conjunto W, 
-Demonetraço : 
..Conaequncta imediata do Teorema 3.1 
-Teorema 10.3 Todo anel de Integridade finito um corpo. 
-'Demonstraço : 
Seja o anel de Integridade finito (K, + , . ),onde o conjunto 
Ii - {'1"2'•••"fl} tem n elementos. 
-Para todo elemento no nulo aEI,osn produtos : 
a..1 , 
	•.. , 	' ,1 
não todos distintoa1 poie,aendo a 1 0,se a.a a soa,,ento 5j a. 
Assim senda,cada elemento de $ da forma a.a,e um de1es,diga 
moe a. a, 	o elemento unidade do anel ($, + , . ) a o s - l,e co 
ao a multipliceçio é comutativa : a.ak a a C E - 1 ,e isto signifi. 
cm que o elemento akE M & o inverso de 
-Fica assim demonstrado que todo elemento no nulo 9Ç é inver-
efvel e,portanto,o anel de integridade finito Os, + , . ) é um 
corpo. 
.-Teorema 10.4 Um corpo (K, + , . 	no tem ideais próprios. 
..Demonetraçio : 
o 
-Suponhamos que o corpo Os, + , . ) possui um ideal prprio (1, 
+ , . ),onde 1 e 1 0 Ii. Entu,existe aE.I,com a 0 0,e como 
aK,porque ICK,e Os, + , . )é um corpo,segue-se que a é inverel-
vel,isto e,existe o inverso 84EPi. Logo,pela definiço de ideal : 
a.a4 -l€I e IW 
o 
o que e uma cantradiçp,poia,L jt . Logia,o corpo Os, + , e ) nía 
tem ideais pr&prios,e o teorema 10 04 fica demonstrado. 
Teorema 10.5 Se (Al + , . )é um anel comutativo com elemento 
unidade e sem ideais prprio,ento (A, + , . )e um corpo. 
..Deaonetraga : 
-Seja (A, + , . ) um anel comutativo com elemento unidade e sem 
o Ideal* prprios. Cumpre demonstrar que todo elemento nía nula a 
desse anel & tnveralvel. 
-Consideremos i ideal principal de (A, + , . ) gerado pelo elemen-
to a ,I O : 
([a),., • ) , onde [a] .(a.x 1 x€a} 
-Como O 4 a - a.1€[a] e (A, + , . ) no tem Ideais prprioe, 
-li,-. 
segue-se que [a] A ,de modo que todo elemento de A. da forma 
a.x,com x€A. Em particular,exiate x0€A tal que 89X 1,e co-
mo a multiplicaça é comutativa : a.x5 - x0.a m 1.e iate eiqnift 
cc que o elemento x a e o inverso de a : x0 
-Fica assim demonstrado que todo elemento no nula a€A 	inver.. 
aivel eportantoo anel comutativa (A. + , . ),com elemento uni-
dade é um corpo. 
1005 QUOCIENTES NUM CORPO 
-Teorema 10.6 Num corpo (Ii, + , . ),a equaço com uma tncgnita 
b.xa , com a,bEIi e bO 
admite uma única aoluço no conjunto N x a.b. 
..Demonetraço : 
-Por ser b si O,existe 	 que implica g 
	
b 1 .(b.x) 	b.a 	ou 	(b.b).x 	a.b 
ou seja,por ser b4 .b w 1 : 
Lx - sob =i 	e 	x - a.b 
-Por outra parte,ae xE.K é outra soluço de equação b.x - a , 
então b.x0 w a , o que implica : 
e 	x0 x=a.b 
-O produto a.b,aoluçio única da equaçia b.x = a,tndica-se pelo 
símbolo . ou a/b,denominado quociente dea por b. Logo,por de-
finiçio 9.b4 - 
-11h- 
-A operaço : em K definida por a b a 	chama-se diviaia. 
10.6 PROPRIEDADES DOS QUOCIENTES 
-As propriedades mala Importantes doa quocientes de elementos , 
b 1 O,c,d 1 O de um corpo (Ii, + , . ) so as seguintes : 
(P1) 
c 	s.c (P3) 	- bod 
a.d + b.c 
02) +±+- b.d - 
(p1) (b)4 + 
-Demonstraço 
(P1) ab1 a c.d 1 4==a.b"1.b.d a c.d.b.d 
Ç.> a.(b' 3 .b)* d a c.(d.d).b$=3a.d - b.c 
(P2) + + - a.b 1 • c.d 1 
 a sob '1 .d.d4 + o.d4.b.b 1 a 
(a.d).(b" 1.d 1 ) • (b.c).(b 1.d 1) - 
'1 	e.d + b.c 
a (a.d + b.o).(b.d) 
b.d 
-1 
(P3) - a.b".c.d' 1 a (a.c).(b.d) a 
b.d 
(p1.) (bf 	(b.d'1) a h-'. (d-') a d. b"1 	ar 
-115— 
EXERCCI0S PROPOSTOS 
1. Mostrar que o terno (R, O 1) um cppq,aa operações O e e 
em R sendo definidas por 
eOba+b.l 	e 	aeb=a+b - ab 
2. Mostrar que o terno ({0.1},o ,) um corpo as operaçes 
e e sendo definidas pelas t&buas abaixo : 
JO 	o 	o liii li 	o 	o1I o] 	1 	ojij 
3. seja o conjunto . a{a + bï 1 a,b€Q}. Mostrar que o terno 
+ , • ) ruo & um corpo. 
4, Mostrar que o terno ({0,1 9 2}, + , . ) & um copq,as operações 
de adiçio(+) e de multiplicaço(.) sendo definidas pelas t&buas : 
+ O 1 2 
o 012 
1 120 
2 201 
• 012 
lia 21 
50 Seja o conjunta qJj) .Ça + bCpJ s,b€.Q} ,onde p é um 
me. Mostrar que o terno (QJ), + , . ) um corpg. 
6. Demonstrar que todo aubanel de um corpo , é um anel de integrida 
de. 
-116.. 
RESPOSTAS DOS EXERCICIOS PROPOSTOS 
umelajagem~ z* X~Mmm~ ~M ** 
9 
CAPITULO 
15. (a) 169 26969 56 	(b) 169 26,46,56 	(c) 4 6 	(d) 26 
16. (a) 212,312,612,1112 	(b) 1i0921o9610,710 
(c) 012, 312,512,812,912,1112 
9 
CAPITULO 
2. (a) {I.3} 	(b) 1' 1 2 3 4!; "1 	(C.) {1.5} 
(d) {1i0930,710,910} 	(e) { 
£*. (a)O 	(b)9 	(c)O. 	(d)3 
5. ()O 	(b) 0. 	(c)15 	(4)12 
12. 012 112 412 12 
14. (0 90 9 (1 91),(1,O),(O,1) 
15, x.O ou za1/2 
O 	(b) 0e9 28,489 6s 
17. CO2,04,),( 02, 24) 
(c) 13129612 (d) 020910 
-117- 
o 
CAPITULO 3 
1. (a) 2 	(b) 28,39 65 	(c) 
(d) 2iop lu* 5io.6io.8io (e) 2129 3129 612,6120812991291012 
2. (s,-e) • (O,b) 
18. 3 
e 
CAPITUL.0 
	
({09 2} 9 + , . ) 	(b) ({0 9,396}9 + , . ) 
Cc) ({O,6}, • , e ) , ({.a,,a), • , . ) 
+ , . ) , c{Ü,2,6.6,e.1a}. • . . ) 
(e) ({0,12}, • , . ) , i:{o,a,i}, • , • ) 
({O,6,12,18}, • , . ) , ([0,6,8,12,16,20).. . , . ) 
({0,2,6,6,8,10,12,16,16.18,20.22), + , • ) 
8. ({0,2,6}, + , . ) , 	+ , • ) 
9. 
16. (P({a,b}),t,fl) 
418.. 
o 
- CAPITULO 5 
(b) 
 
129 12j1-9 + 1 • ) 1 C{0129129812}, + 1 • ) 
+ , . ) 
({o121 2121120 6121a1211012}. • 1 • ) 
S. (a) (Z, + o • ) 	(b)(3Z,+, • ) 
9. (e) ({06. 2696. + , • ) 
(b) ({ 11159 3159 615.9159 1215}9 + ' 	) 
10. ({012, 312. 61r912}. + , • ) 
({o12, 212p12. 612a 812,1012}, + 1 • ) 
12. 	 + . ) 1 c{oiop2io.io, 6io, SILO} . + . ) 
— CAPITULO • 
1. 	+ • ) - ({I, 112 + I , 212 i}, 	' . 
- ({{ 012,312. 612,912}0 {112, 12. 712, 1o12} ,{ 212, 512, 812, 
1112}}, + 1 • ) 
-119- 
2. 
82 2+82. 4+82 6+82 
82 82 2+81 4+82 6+81 
2+81 2+82. 4+82 6+82 82 
4+82 .+8Z 6+81 81 2+81 
6+81 6+81 81 2+82 4+81 
O 81 2+81 4+82 6+81 
az 82 82 az az 
2+82 82 4+81 81 4+81 
4+82 8Z 82 81 82 
6+82 82 4+82 82 4+82 
3. 2+82 e 4+82 
4. (Z/I,+, e )a({i, 16+I 	26+I},+,'. )= 
+ 1 1+1 2+1 
1 1 •1+I 2+1 
1+! 1+1 2+1 1 
2+1 2+1 1 1+1. 
o 1 1+1 2+1 
1 1 
1+ 1 2+1 
2+1 1. 2+1 1+1 
6. 2 
8. (Z12/[412 3 , + ' ' 	 ç{[i.12) 	
12 
 [6J • 
212 + ['12] ' 12 + ['12)}' + • ) 
m 
(-{~ 012,4 12# 812} # {112 # 5129 912} 9 {2129"1291012} 'R{ 3129' 
712,hhl2>}. + , • ) 
[4) i+[t.J 2+[.] 3.[4] 
[43 .J 1 + [4) 2 + [4) 3 + [4) 
1 + [] 2 + [.J 3 + [4] [4] 
2 + i:'i 2 + 3 + 3.J [k] 1 + 14] 
3 + 4J 3+ 	.J 4J 1 + 41 2 + 
e [4] 1 +[i.] 2+[4] 3 + [iJ 
[.] 14] 
1.[4] [4] 1+(4J 2 +141 3+[4J 
2+[4). [4) 2+[43 [4] 
3+ [4] [4] 3+[43 	1 2+[4] 	1 i+[] 
o 
CAPITULO 
1. (e) N(f) 41,1593159615f9151p121.5,~ 
Ç 2 2) a{069261p46} . P(f) a{012.312,612,912} 
4. (e) f1(x) - 
(b) fi(x) - % , f2(x) a X6 o ?(x) - (3x)6 
(4x) 
(c) f(x) 	(0,0),(x,0) 9 (0,x),(x,x) 
S. (a) f(18) a 12 0 onde • a 0,9 
(b)f(112)a 6 , onde aaô 
7. (d) N(1') C06936} , N(f) a{(0,0,z) zER} 
S. (a) f(1 6) a 56 , onde a a 0 9 1 9 39 
(b) ^1 ia a 	 onde a 
a 0 9 1 9 5,6 
?(1JJ) a 	, ande • a 0,1 
(d) f(112) a a 	 , ande a a 0 9 1 9 4,9 
(e) ?(n) a 0. e g(n) a n , VnEz 
(f) f(x,y) a (x,y),(y,x),(x,x),(y,y) 
11. N(f) - P( - 8) 
13• N(f)a{kfllk€Z}aflZ 
—122 
BIBLIOGRAFIA 
1. ALLENBY,R. 
Ringe,Fielde and Uzoupe ; Arnold ; 1983 
2. BURTON,D. 
Ringa and Ideais ; Addison-Wesley ; 1968 
3. CONL, I. 
Modern Algebra ; Arnoid ; 1982 
4. GLJL.IC$,D. 
Abstrect Algebra ; Houghtan ; 1976 
S. GILBER1,W. 
Modern Algebre ; John Wiley ; 1976 
6. HIGI3INS,P. 
Abstiict Algebx'a ; %Jan Noetrand ; 1975 
7, LIttSTRUM,A. 
Abatract A]gebra ; laiden-Day ; 1967 
S. PINTERC. 
Abstzact Algebra ; NcGrwu ; 1982 
9. TPMPSON,R. 
Introduction ti Abstract Algebra ; Scatt ; 1970 
-123. 
DO. MESMO AUTOR 
= ==== === 
RITMITICA DOS INTEIROS 
A 
TEORIA DAS CONGIW.ENCIAS 
/ 
F1LWçO33 -, .ARITMETICÂS - NUME.O.S NOTÁVEIS 
TEORIA ELEMENTAR. DOS 1fJMBOS 
OPERÂÇOES BINÁRIAS 
TEORIA. Doa GRUPOS. 
REIAMS BINÁRIAS 
FU1ÇOES 13MRIS 
TEORIA ELEMENTAR DOS CONJUNTOS 
ELEMENTOS DE .LGEBRÁ ABSTRATL:., 
INICIAÇZ.O A LOGICÁ MATEMÁTICA. 
EXERCÍCIOS . GEOMETRIA PLANA 
Todos estes lios foram publicados pela 
EDITORk NOBEL. 
-L24 
A Editora Nobel tem como objetivo publicar obras com quali-
dade editorial e gráfica, consistência de informações, confia-
bilidade da tradução, clareza de texto, impressão, acabamento 
e papel adequados. 
Para que' você, nosso leitor, possaexpressar suas sugestões, 
dúvidas, críticas e eventuais reclamações, a Nobel mantém 
aberto um canal de comunicação. 
Entre em contato com: 
CENTRAL NOBEL DE ATENDIMENTO AO CONSUMIDOR 
Fone: (011) 257-2744 
End.: Rua Maria Antõnia, 108 - São Paulo/SP - CEP 01222 
Conheça o CBP - Catálogo t3rasileiro de Publicações 
Única bibliografia atualizada da produção editorial brasileira: 
• em forma de microfichas e listagens de computador; 
• segmentado por assunto, título, autor e editora, 
Informações e vendas: 
Fone: (011) 876-2822 (r. 60) 
cbp 
Uma divisão da Livraria Nobel S/A 
Livraria Nobel S.A. 
Editora 	Distribuidora 	Livrarias 
Rua da Balsa, 559 - CEP 02910 - São Paulo, SP 
Fone: (011) 876-2822 - Telex n? 1181092 LNOB BR 
Fax: (011) 876-6988 
Filial Rio: 
Av. 13 de Maio, 3318? - CEP 20031 - Rio de Janeiro, RJ 
Fone: (021) 220-4728 
Lojas (São Paulo): 	 .;.Á ... 
Centro - Rua da Consolação, 49— Fone: 231-0204 
Consolação - Rua Maria Antônia, 108 - Fone: 257-2144 
ltalm-131b11 - Rua Pedroso Alvarenga, 704 - Fone: 883-6040 
Brooklln - Rua Barão do Triunfo, 371 - Fone: 240-4197 
Pinheiros - Rua Deputado Lacerda Franco, 365 - Fone: 813-5761 
Atendemospelõ Reembolso Postal 
Rua da Balsa, 559 - CEP 02910 - São Paulo, SP 
Fone: (011) 876-2822