Cópia de 004 Triâgulos I ENEM 2023

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PROJETO RUMO À UNIVERSIDADE 
Disciplina: Matemática (Geometria) 
Professor (es): Tio Sidney & Rahmés Stephanus 
Assunto: Triângulos 
Aluno (a):__________________________________________________________ 
 
TRIÂNGULOS 
 
Considere três pontos não colineares A, B e C. 
A união dos três segmentos de reta ( AB , AC e BC ) 
com extremidades nos três pontos é denominada 
triângulo ABC (indicação:  ABC). 
 
 
 
 
 
Vértices: A, B e C 
Lados: AB , AC e BC , de medidas a, b e c 
indicadas na figura. 
Postulados 
 
✓ Em todo triângulo ao maior lado se opõe o 
maior ângulo, ao menor lado se opõe o menor ângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
✓ A lados de medidas iguais se opõem ângulos de 
medidas iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
✓ Para construir um triângulo é necessário que a 
medida de qualquer um dos lados seja menor que a 
soma das medidas dos outros dois e maior que o valor 
absoluto da diferença entre essas medidas. 
| b - c | < a < b + c 
| a - c | < b < a + c 
| a - b | < c < a + b 
 
 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO 
 
I – Quanto aos lados: 
Escaleno: Os três lados são de 
medidas diferentes (AB  BC  
AC). 
 
 
 
Isósceles: Dois lados de 
medidas iguais (AB = AC) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os ângulos da base são congruentes. 
 
Equilátero: Os três lados são de mesma medida (AB = 
BC = AC). 
 
 
 
 
 
II – Quanto aos ângulos: 
Acutângulo: Os três ângulos são 
agudos, ou seja, menores que 90º. 
 
 
 
 
 
 
Obtusângulo: Um ângulo é obtuso, ou seja, maior que 
90º, e os outros dois são agudos. 
 
 
 
 
 
 
 
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Retângulo: Um ângulo é reto e os outros dois são 
agudos. 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema do ângulo externo 
 O prolongamento de um lado qualquer de um 
triângulo, determina com outro lado um ângulo chamado 
de externo. 
 
 
 
 
 
 
 
 Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo 
externo qualquer é igual à soma das medidas dos dois 
ângulos internos não adjacentes a ele. 
 
ºd = ºa + ºc 
 
 A soma dos ângulos externos de qualquer 
triângulo no plano é sempre 360°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Soma das medidas dos ângulos internos de um 
Triângulo 
 
 A soma das medidas dos ângulos internos de 
um triângulo é igual a 180o. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INFORMAÇÕES ADICIONAIS 
 
Linhas Notáveis de um Triângulo ou Cevianas 
Notáveis 
 
 Ceviana é qualquer segmento que une um 
vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento. 
 
I Mediana: A mediana de um triângulo é o segmento 
cujas extremidades são um vértice e o ponto médio do 
lado oposto. 
Todo triângulo possui três medianas que se 
encontram num mesmo ponto G chamado baricentro. 
 A 
 
 
 M3 M2 
 G 
 
 
 B M1 C 
M1 – Ponto médio de BC → AM1 é mediana. 
M2 – Ponto médio de AC → BM2 é mediana. 
M3 – Ponto médio de AB → CM3 é mediana. 
 
 O baricentro de um triângulo divide cada 
mediana na razão 2:1, a partir do vértice. 
 Assim, se G é o baricentro do triângulo ABC, 
AG/GM1= 2/1; BG/GM2= 2/1; CG/GM3= 2/1. 
 
II Altura: Se de um vértice, traçar o perpendicular ao 
lado oposto, o segmento dessa perpendicular, cujas 
extremidades são o vértice e a intersecção do lado 
oposto com a perpendicular, é a altura relativa a esse 
lado. 
 Todo triângulo tem três alturas (cada uma 
relativa a um lado). As retas que contém as três alturas 
se encontram num ponto H chamado ortocentro. 
 
 
 
 
 
 
 
Ha – Altura relativa ao lado A 
Hb – Altura relativa ao lado B. 
Hc – Altura relativa ao lado C. 
No triângulo retângulo o ortocentro é vértice do 
ângulo reto. 
 
 
 
 
 
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III Mediatriz: Mediatriz de um triângulo é a reta 
perpendicular a um dos lados, que passa pelo seu ponto 
médio. 
 
 
 
 
O ponto de intersecção das mediatrizes é o 
circuncentro (O). 
Colocando a ponta de um compasso no ponto 
circuncentro, poderemos traçar um circulo no exterior do 
triângulo, que chamamos de círculo circunscrito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O circuncentro dista igualmente dos três 
vértices do triângulo. 
IV Bissetriz Interna: Se traçarmos a bissetriz de um 
ângulo de um triângulo, o segmento dessa bissetriz 
cujas extremidades são os vértices do ângulo e a 
intersecção com o lado oposto é a bissetriz do ângulo 
desse triângulo. 
 Todo triângulo tem três bissetrizes que se 
encontram num ponto I chamado incentro. 
 Colocando a ponta de um 
compasso no ponto incentro, 
poderemos traçar um circulo no 
interior do triângulo, que chamamos 
de círculo inscrito. 
O incentro dista igualmente 
dos três lados do triângulo. 
 
V Bissetriz Externa: São semirretas que partindo do 
vértice 
divide o ângulo externo em dois outros ângulos 
adjacentes e congruentes 
 
 
 
 
 
As bissetrizes externas de um triângulo 
interceptam-se duas a duas em três pontos externos 
distintos denominados ex-incentro (E). 
Obs.: A mediana, a bissetriz, a mediatriz e a altura 
relativas à base do triângulo equilátero coincidem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1a) Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): 
( ) Todo triângulo isósceles é equilátero. 
( ) Todo triângulo equilátero é isósceles. 
( ) Um triângulo escaleno pode ser isósceles. 
( ) Todo triângulo isósceles é triângulo acutângulo. 
( ) Todo triângulo retângulo é triângulo escaleno. 
( ) Existe triângulo retângulo e isósceles. 
( ) Existe triângulo isósceles obtusângulo. 
( ) Todo triângulo acutângulo ou é isósceles ou é 
equilátero. 
 
2ª) (ENEM-2014) Uma criança deseja criar triângulos 
utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada 
triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo 
menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de 
exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com 
essas características. 
A quantidade máxima de triângulos não congruentes 
dois a dois que podem ser construídos é: 
 
 
 
 
 
 
 
a) 3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 
 
3ª)Uma escada de pedreiro, colocada sobre um piso 
plano e horizontal, está apoiada em uma parede 
vertical. A medida do ângulo agudo que a escada forma 
com o piso é o dobro da medida do ângulo agudo que a 
escada forma com a parede. Quanto mede o ângulo 
agudo que a escada forma com o piso? 
 
 
 
 
 
 
 
 
4ª) (ENEM-2018) A inclinação de uma rampa é 
calculada da seguinte maneira: para cada metro 
medido na horizontal, mede-se x centímetros na 
vertical. Diz-se, nesse caso, que a rampa tem 
inclinação de x%, como no exemplo da figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A figura apresenta um projeto de uma rampa de acesso 
a uma garagem residencial cuja base, situada a 2 
metros abaixo do nível da rua, tem 8 metros de 
comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Depois de projetada a rampa, o responsável 
pela obra foi informado de que as normas técnicas do 
município onde ela está localizada exigem que a 
inclinação máxima de uma rampa de acesso a uma 
garagem residencial seja de 20%. 
 Se a rampa projetada tiver inclinação superior a 
20%, o nível da garagem deverá ser alterado para 
diminuir o percentual de inclinação, mantendo o 
comprimento da base da rampa. 
 Para atender às normas técnicas do município, 
o nível da garagem deverá ser: 
 
a) elevado em 40 cm 
b) elevado em 50 cm 
c) mantido no mesmo nível 
d) rebaixado em 40 cm 
e) rebaixado em 50 cm. 
 
5ª) Se o  ABC é isósceles de base BC , determine x. 
 
6ª) Sabe-se que o triângulo  ABC é isósceles de 
base BC . 
 
É verdade que: 
a) x = 58º e y = 122º 
b) x = y = 67,5º 
c) x = 122º e y = 58º 
d) x = 85º e y = 50º 
e) x = 45º e y = 85º 
 
7ª) Triângulos e Congruência: Sabendo que AB = BD = 
DC nesta figura, calcule α e β 
 
 
 
 
 
 
8ª) (CEFET-SC) Num triângulo isósceles, cada ângulo 
da base mede o dobro da medida do ângulo do vértice. 
A medida do ângulo do vértice é: 
 
a) 36º b) 72º c) 50ºd) 40º 
e) 80º 
9ª) Um triângulo  ABC, com AB = AC, possui lado AB 
que mede 6 cm. Sabendo que o ângulo A mede 60°, 
qual é a medida da base BC desse triângulo? 
 
a) 4 cm 
b) 5 cm 
c) 6 cm 
d) 7 cm 
e) 8 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
Q R Q R Q R 
1ª) FVFFFVVF 4ª) A 7ª) α= 64º& β = 96º 
2ª) A 5ª) 12 8ª) A 
3ª) 60º 6ª) D 9ª) C 
 
 
 
 
 
1. (CEFET-MG) Na figura abaixo, AB = AC, D é o ponto 
de 
encontro das bissetrizes do 
triângulo ABC e o ângulo 
BDC é o triplo do ângulo A. 
Então, a medida do ângulo B é: 
 
a) 54° 
b) 60° 
c) 72° 
d) 84° 
 
2. (UPE SSA 1) A figura a seguir representa um 
quadrado ABCD em que o triângulo ABY é equilátero. 
 
Quanto mede o ângulo CŶD? 
 
a) 60° 
b) 122° 
c) 135° 
d) 143° 
e) 150° 
 
 
 
 
DESAFIO PRU!!! 
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3. Os triângulos podem ser classificados com relação 
aos seus ângulos ou com relação aos seus lados. Dois 
triângulos colocados lado a lado possuem as seguintes 
características: o primeiro possui um ângulo de 90°01' e 
o segundo possui três lados iguais. As classificações 
respectivamente corretas para esses triângulos são: 
a) Retângulo e isósceles 
b) Retângulo e escaleno 
c) Retângulo e equilátero 
d) Obtusângulo e escaleno 
e) Obtusângulo e equilátero 
 
4. Em um triângulo ABC, um ângulo interno é o dobro 
do ângulo em A e o outro ângulo interno é a metade do 
ângulo em A. 
 Portanto, o ângulo em A é: 
 
a) Maior que 65 graus. 
b) Maior que 60 e menor que 65 graus. 
c) Maior que 55 e menor que 60 graus. 
d) Maior que 50 e menor que 55 graus. 
e) Menor que 50 graus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
598 d. C. 
† 670 d. C. 
 
 
GABARITO 
 
Q R 
1. 
2. E 
3. D 
4. D