LIVRO CONTROLE MULTIVARIÁVEL

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PROFESSOR
Esp. Daniel Rodrigues Cardoso
Controle 
Multivariável
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/12628
FICHA CATALOGRÁFICA
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. 
Núcleo de Educação a Distância. CARDOSO, Daniel Rodrigues.
Controle Multivariável. Daniel Rodrigues Cardoso. Maringá - 
PR.: Unicesumar, 2021. 
208 p.
ISBN: 978-65-5615-750-4
“Graduação - EaD”. 
1. Controle 2. Multivariável. EaD. I. Título. 
Impresso por: 
Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679 Pró Reitoria de Ensino EAD Unicesumar
Diretoria de Design Educacional
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
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Aumentada Maicon Douglas Curriel, Matheus Alexander de Oliveira Guandalini Fotos Shutterstock. 
CDD - 22 ed. 621 
Tudo isso para honrarmos a 
nossa missão, que é promover 
a educação de qualidade nas 
diferentes áreas do conhecimento, 
formando profissionais 
cidadãos que contribuam para o 
desenvolvimento de uma sociedade 
justa e solidária.
Reitor 
Wilson de Matos Silva
A UniCesumar celebra os seus 30 anos de 
história avançando a cada dia. Agora, enquanto 
Universidade, ampliamos a nossa autonomia 
e trabalhamos diariamente para que nossa 
educação à distância continue como uma das 
melhores do Brasil. Atuamos sobre quatro 
pilares que consolidam a visão abrangente do 
que é o conhecimento para nós: o intelectual, o 
profissional, o emocional e o espiritual.
A nossa missão é a de “Promover a educação de 
qualidade nas diferentes áreas do conhecimento, 
formando profissionais cidadãos que contribuam 
para o desenvolvimento de uma sociedade 
justa e solidária”. Neste sentido, a UniCesumar 
tem um gênio importante para o cumprimento 
integral desta missão: o coletivo. São os nossos 
professores e equipe que produzem a cada dia 
uma inovação, uma transformação na forma 
de pensar e de aprender. É assim que fazemos 
juntos um novo conhecimento diariamente.
São mais de 800 títulos de livros didáticos 
como este produzidos anualmente, com a 
distribuição de mais de 2 milhões de exemplares 
gratuitamente para nossos acadêmicos. Estamos 
presentes em mais de 700 polos EAD e cinco 
campi: Maringá, Curitiba, Londrina, Ponta Grossa 
e Corumbá), o que nos posiciona entre os 10 
maiores grupos educacionais do país.
Aprendemos e escrevemos juntos esta belíssima 
história da jornada do conhecimento. Mário 
Quintana diz que “Livros não mudam o mundo, 
quem muda o mundo são as pessoas. Os 
livros só mudam as pessoas”. Seja bem-vindo à 
oportunidade de fazer a sua mudança! 
Aqui você pode 
conhecer um 
pouco mais sobre 
mim, além das 
informações do 
meu currículo.
Esp. Daniel Rodrigues Cardoso
Olá, alunos(as)! Meu nome é Daniel. Sou Engenheiro Eletri-
cista, especialista em Sistemas de Automação e Controle, 
atuo na área elétrica já há um bom tempo, estando presente 
em diferentes ramificações da área. Antes de me formar 
como engenheiro, trabalhei como técnico, passando por 
construções de obras verticais, sistemas elétricos industriais 
e sistemas de energias renováveis. Hoje, além de desenvolver 
projetos, encontro-me atuando, principalmente, no setor 
industrial, no ramo alimentício, ramo este que apresenta 
diversos desafios, e eu amo um desafio.
Fora do mundo profissional, gosto muito de tocar violão, 
mas sempre me bate aquela saudade da época em que era 
baixista. Gosto muito de rock, dark country, jazz e música 
instrumental, porém gosto, também, de ouvir outros estilos, 
às vezes, me pego ouvindo uma música diferente. Gosto, 
também, de jogos eletrônicos e um bom livro. Não posso 
deixar de falar que sou casado com uma pessoa que eu amo 
muito e tenho uma filha que é o meu mundo!
Espero que aprecie este material que foi feito para você. 
Também espero que o entendimento dos assuntos aborda-
dos traga um retorno para a qualidade dos futuros projetos 
de controle que você fará.
http://lattes.cnpq.br/1869009080404342
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Ao longo do livro, você será convidado(a) a refletir, questionar e transformar. Aproveite 
este momento.
PENSANDO JUNTOS
EU INDICO
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os assuntos de maneira interativa usando a tecnologia a seu favor.
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possibilidades de interação de cada objeto.
REALIDADE AUMENTADA
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PÍLULA DE APRENDIZAGEM
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RODA DE CONVERSA
EXPLORANDO IDEIAS
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assunto discutido, de forma mais objetiva.
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CONTROLE MULTIVARIÁVEL
Quando falamos de controle multivariável, estamos falando de sistemas que, muitas vezes, são 
mais complexos e exigem de técnicas de controle diferentes, visando o domínio total da resposta de 
um sistema. O problema é que, com o aumento do número de variáveis, as equações matemáticas 
se tornam mais extensas e, para fazer a análise, se faz necessário um método que as deixe mais 
compactadas. Será que existe este método?
Existe uma diferença entre o controle multivariável e o controle monovariável. Além, logicamente, 
da utilização de um número maior de variáveis presentes no sistema, é a utilização das variáveis de 
estado, ou seja, variáveis que mudam a sua situação entre um período de tempo e outro.
Olhando deste ponto de vista, analisar os sistemas por meio dos chamados espaços de estados 
é muito mais eficiente, mas somente a análise por meio deles não atende aos diversos modelos de 
problemas de controle que podem aparecer no cotidiano. Outras técnicas de respostas aos problemas 
precisam ser estudadas, como situações envolvendo realimentação, controle e observação de sistemas, 
observadores de estado e análises diversificadas de diferentes maneiras de representação entre outros.
Tomemos como exemplo um automóvel. Você já parou para pensar em quantosvalores o con-
trole de um veículo precisa fazer para que tudo esteja em perfeita harmonia enquanto o motorista 
dirige? Tente fazer esta observação em um veículo.
Um automóvel precisa controlar valores que modificam a todo momento com o passar de determi-
nado tempo, e seu sistema precisa ser capaz de prever como estes valores vão se comportar. Você já 
pensou em como é possível fazer este controle? Como o controlador do carro enxerga este sistema?
A análise de sistema feita por meio das variáveis de estado atua como um facilitador, pois, as-
sim, podemos determinar se é possível controlar ou observar tal sistema em sua totalidade. Além 
disso, no chamado controle moderno, onde a análise por meio das variáveis de estado é um dos 
seus pilares, capacita-nos a desenvolver sistemas complexos, apresentando respostas satisfatórias 
aos desafios que apareceram com o avanço da tecnologia. Embora, mesmo com a adoção de uma 
análise feita por meio variáveis de estado, muitos sistemas de controle ainda podem apresentar 
diversos problemas que, ao longo das unidades, aprenderemos a lidar com eles.
No decorrer das unidades desta disciplina, você conhecerá conceitos, como equações de estado, 
controlabilidade, observabilidade e observador de estado. O domínio sobre os assuntos que serão 
estudados lhe oferecerá a capacidade de fazer projetos de múltiplas variáveis de estado, de modo 
estável e controlado, que é o que se espera de um bom projeto de controle.
Ao final do conteúdo, você estará apto a interpretar, projetar e corrigir sistemas de controle 
multivariáveis pela realização de análises feitas por meio dos espaços de estados.
Convido você a adentrar o conteúdo de Controle Multivariável, pois todos os sistemas de controle 
atuais sejam hospitalares, automotivos, industriais, telecomunicações sejam espaciais, de alguma 
forma, relacionam-se com este assunto. Bem-vindo aos Sistemas de Controle Moderno!
3
1 2
4
5 6
APRENDIZAGEM
CAMINHOS DE
9
47
27
67
METODOLOGIA DE 
ANÁLISE E PROJETO 
DE SISTEMAS 
DE CONTROLE 
MULTIVARIÁVEL
105
CONCEITO DE 
ESTIMADOR 
DE ESTADO. 
OBSERVADORES 
RELAÇÃO ENTRE 
REPRESENTAÇÃO 
POR VARIÁVEIS 
DE ESTADO E 
MATRIZ FUNÇÃO DE 
TRANSFERÊNCIA
CONTROLABILIDADE, 
OBSERVABILIDADE E 
FORMAS CANÔNICAS
POLOS E ZEROS 
MULTIVARIÁVEIS
REALIMENTAÇÃO 
DE ESTADOS
85
7 8
9
123 143
INTRODUÇÃO AO 
CONCEITO DE 
COMPENSAÇÃO 
DINÂMICA
CONTROLE USANDO 
REALIMENTAÇÃO DO 
ESTADO ESTIMADO. 
TEOREMA DA 
SEPARAÇÃO
161
APLICAÇÃO A 
PROCESSOS FÍSICOS 
TIPICAMENTE 
MULTIVARIÁVEIS
1
Nesta unidade, você terá a oportunidade de aprender sobre con-
ceitos gerais de projetos de sistema de controle multivariável e 
como seus estudos podem afetar sistemas de controle. Também 
adentraremos no estudo das variáveis de estado por meio de pro-
blematização, envolvendo o tema e os conceitos abordados. Você 
também verá questões matemáticas aderidas, sendo de uso para 
questões presentes e futuras. Além disso, você conseguirá associar 
os estudos desta unidade com problemas de projetos com exemplos 
que abordam questões reais que podem ser aplicadas da indústria. 
Metodologia de 
Análise e Projeto de 
Sistemas de Controle 
Multivariável
Esp. Daniel Rodrigues Cardoso
10
UNICESUMAR
Em uma análise de sistemas, diversas variáveis são analisadas para que se tenham 
os resultados esperados. Em muitos destes sistemas, condições são mudadas, com o 
passar do tempo, normalmente, causada pela realização de alguma ação. Se pararmos 
para pensar, em sistemas dinâmicos, algumas variáveis não ficam com o valor estático 
com o passar do tempo. Tais modificações na condição dos sistemas têm uma relação 
direta com as variáveis que oscilam. 
Vamos supor que você fará um projeto de sistemas para um laticínio. O sistema em 
que você está trabalhando consiste em sistema automático para corte do queijo feito 
por dois carros, em um tanque de acidificação. Para tanto, você precisa fazer a análise 
das variáveis envolvidas no projeto, e isso requer que você saiba como trabalhar com 
elas para se atingir o resultado esperado. Dentro das variáveis que o processo oferece 
para você trabalhar, encontram-se a posição dos carros e sua velocidade. Agora eu lhe 
pergunto: como trabalhar com tais variáveis em um sistema de processo? Além das 
variáveis de entradas e saídas, como podemos trabalhar em uma análise de processo 
com variáveis que apresentam valores oscilantes no tempo?
Na atuação de um engenheiro de controle, certas habilidades se fazem necessárias 
para que ele se sobressaia em sua profissão. A capacidade de analisar e projetar sistemas 
pode e deve ser considerada uma delas. Um sistema de controle pode ser considerado 
um sistema de componentes que, de certa maneira, trabalha com algum tipo de relação, 
com um propósito de controlar o sistema para se atingir o resultado desejado. O estudo de 
sistema multivariável faz-se necessário uma vez que cada vez mais os processos tornam-se 
complexos com n variáveis atuando e gerando respostas que conversam entre si, e, as quais 
são, simultaneamente, afetadas pelas inúmeras características existentes no processo.  
No projeto voltado para o lacticínio, citado anteriormente, exemplifica-se, dentro 
da situação abordada, a necessidade de trabalhar com variáveis de estado. Assim, 
situações, como do projeto do laticínio, como em outras situações, valores de tempo 
e espaço são variáveis significativas dentro do contexto de variáveis de estado. 
Quando você estiver desenvolvendo sistemas, dificilmente, trabalhará com um 
sistema parado, sempre haverá algum movimento de valores. Por meio do estudo 
sobre sistema de corte, trabalharemos algumas ações específicas, de modo que você 
possa entender como trabalhar com estas variáveis. 
Como já foi dito, sistemas multivariáveis quando são levados para uma planta 
industrial, normalmente, são complexos. É importante ressaltar que a prática de 
análise de sistemas pode ser aplicada a qualquer situação industrial em que se julgue 
necessário, como circuitos eletrônicos, sistemas de negócios, sistemas biológicos 
entre outros. Estes sistemas são considerados de alta complexidade com n variáveis 
de entrada e de saídas, com diversos tipos de relações entre elas, por isso, acabam 
elevando as construções matemáticas que se tornam igualmente complexas. Assim, 
o estudo do espaço de estado vem com a intenção de facilitar estas expressões.  
11
UNIDADE 1
Neste momento, desafio você a pôr a mão na massa e participar da construção do 
seu aprendizado. Proponho um desafio: busque uma indústria de sua preferência, 
independentemente do porte, pode ser de processos pequenos, por exemplo, e mar-
que uma visita. Antes de iniciar a visita, faça um esboço de como você acredita que é 
o processo dela. Durante a visita, analise os processos existentes. Por exemplo, tente 
evidenciar quais as variáveis existentes no processo, busque distinguir as variáveis de 
entrada, como atuadores, e de saídas, que podem ser o produto em si. Ainda, procure 
analisar quais são os elementos que fazem mudança de valor após uma entrada, em 
um carro parado que inicia seu trajeto após a entrada de um sinal. Identifique uma 
variável que pode sofrer uma mudança, por exemplo, a velocidade ou o espaço. Esta 
atividade facilitará sua visão para o andamento do conteúdo. No Diário de Bordo a 
seguir, registre sua experiência. 
Após verificar as variáveis existentes no processo e refletir sobre elas, pense sobre 
a relação que estes valores possuem um com o outro. Pare para pensar no caminho 
que o processo percorreu, de certo momento ao seu passo seguinte. Quais foram as 
mudanças que você registrou? Quais variáveis tiveram seu valor aumentado e quais 
tiveram seu valor reduzido para que o processo fosse de um ponto a outro? Anote 
suas reflexões no espaço Diário de Bordo e, no decorrer desta unidade, você poderá 
resgatar estes pontos à medida que construir seu conhecimento.
DIÁRIO DE BORDO
12
UNICESUMAR
Quando o sistema de controle precisa lidar comdiversos tipos objetos tendo n dife-
rentes saídas de atuação, onde todas as variáveis afetam o processo, faz-se necessário 
um sistema de controle de multivariável para fazer o devido equilíbrio das atividades 
ao mesmo tempo. A Figura 1 demonstra um exemplo de controle multivariável.
Entradas
u1(t)
u2(t)
u3(t)
SISTEMA
Condição inicial
y1(t) 
y2(t)
y3(t)
Saídas
Estado x(t)
Figura 1 - Sistema de controle multivariável / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a imagem apresenta uma elipse central com a palavra sistema dentro dela; existem 
setas apontando em direção a esta elipse. No lado esquerdo da elipse, há a palavra entrada com três setas 
no sentido esquerdo-direito, apontadas para a elipse central. Existem três setas saindo da elipse, no sentindo 
esquerdo-direito, com a palavra Saídas. Há uma seta na porção superior da imagem, apontando para baixo, 
em direção à elipse, escrito Condição Inicial e outra seta na porção inferior da figura, apontando para cima, 
em direção à elipse escrito Estado x(t).
13
UNIDADE 1
De acordo com Ogata (2011), enquanto a teoria conhecida como controle con-
vencional é baseado em na relação entrada-saída, a teoria de controle moderno 
é baseada na descrição de um sistema de equações em termos de n equações 
diferenciais de primeira ordem, na qual podem ser expressas em uma equação 
diferencial vetorial-matricial.
Quando a saída de um sistema ocorre de forma constante em consequência de 
sinais de entrada de tempo continuo, diz-se que o sistema é um sistema continuo. O 
sistema também pode ser baseado em sinais que são discretos no tempo, feito por 
meio da amostragem de uma variável que existe ao longo tempo. Neste caso, é con-
siderado um sistema amostrado. Para análise e construção destes sistemas, quando 
são mais robustos e sofisticados faz-se necessário o estudo do conceito de estado. 
Quando é de conhecimento o estado de excitação e o estado presente do 
sistema, pode-se por meio das variáveis de estado, prever o futuro do mesmo. 
Um exemplo de variável de estado pode ser exemplificado utilizando a lógica 
da explicação dada por Dorf e Bishop (1988), por meio de uma válvula, como 
mostra a Figura 2. A válvula nos sistemas sempre se encontrará na situação de 
estar acionada ou desacoimada, ou seja, a condição da válvula pode assumir dois 
diferentes valores. Se você tiver conhecimento do estado em que se encontra a 
válvula no momento, ou seja, em t0, e for aplicada uma entrada, você conseguirá 
determinar o estado futuro.
Título: Engenharia de Controle Moderno
Autor: Katsuhiko Ogata
Editora: Pearson Universidades
Sinopse: o livro Engenharia de Controle Moderno abor-
da a análise de sistemas, trazendo diversos exemplos 
de aplicações. Dentro de seu conteúdo são abordadas 
questões envolvendo transformada de Laplace, análise 
matricial e vetorial, análise de circuitos, mecânica e 
introdução à termodinâmica.
Comentário: o livro de Katsuhiko Ogata é bem completo, trazendo abor-
dagem histórica, exemplos com o Matlab e definições que partem dos con-
ceitos de sinais.
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UNICESUMAR
SENSOR
VAPOR
VÁLVULA
SENSOR
MONITORAMENTO E CONTROLE
73° 80L
Figura 2 - Sistema de controle / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: na figura há um cilindro com triângulos azuis em séries dentro dela; o fundo deste 
cilindro é azul, tem o desenho de uma escada em sua face esquerda, tem um cano passando por ele com uma 
saída contendo uma válvula entrando, diretamente, nele; na parte inferior deste cilindro, há um cano menor 
que termina entrando nele, onde está escrito Sensor; existe a figura de um computador com o mesmo desenho 
deste cilindro dentro dele e, embaixo, está escrito Monitoramento e Controle.
Título: Sistemas de Controle Moderno 
Autor: Richard C. Dorf e Robert H. Bishop 
Editora: LTC
Sinopse: abordando de maneira bastante ampla o con-
teúdo relacionado a sistemas, traz exemplos de problemas 
encontrados nos mais diversos campos da engenharia e 
têm como um dos seus principais propósitos abordar a 
teoria de sistemas com retroação.
Comentário: o livro de Richard C. Dorf e Robert H. Bishop traz uma visão 
moderna sobre os assuntos abordados e apresenta, também, conceitos histó-
ricos além de diversos exemplos de projetos que podem lhe inspirar e agregar 
muito, profissionalmente.
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UNIDADE 1
A descrição espaço de estado é composta pelas equações de estado e de saída. 
Equação de estado
Equação de saída
x t Ax t Bu t
y t Cx
'( ) ( ) ( )
( ) (tt Du t) ( )
Sendo:
x Vetor de estado, matriz coluna.
x’ Derivada do vetorr de estado em relação ao tempo.
y Conjunto de sinais de saía da.
A Matriz da dinâmica do sistema(
B Matriz de ent
n n).
rrada(
C Matriz de resposta ou de saída.
Matriz de tr
n b
D
).
aansmissão.
Vamos observar o circuito RCL a seguir: 
+
-V
R
C
L
Figura 3 - Circuito RCL 01 / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: circuito contendo em série símbolos do capacitor, indutor e resistor e um círculo com 
indicação de mais e menos, para cada símbolo, uma letra está do seu lado: R para resistor, C para capacitor, L 
para indutor e V para a fonte. O V da fonte encontra-se à esquerda do desenho, na parte superior, no centro, 
encontra-se o R, na direita, o C, e inferior a outras figuras, mais no centro, o L.
16
UNICESUMAR
A partir do momento em que o circuito tem uma tensão de entrada, quais valores 
sofrem uma variação que determinará o estado futuro do sistema? Poderíamos afir-
mar que o estado do sistema poderia ser calculado por meio da tensão e da corren-
te elétrica no capacitor?  
Em um sistema, principalmente nos mais robustos, existe mais de uma escolha de 
variáveis para determinar os estados do sistema. Se considerarmos a corrente e a tensão 
no capacitor como variáveis de estado, teríamos as equações representando as malhas: 
Vin Ri L di
dt
Vc� � �
Vc idt� �
Aplicando a equação de estado, teríamos no resultado, representado o estado do 
sistema na forma matricial: 
Equação de estado
'( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t= +
x
R
L L
C
x L u' �
� ��
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1 0
1
0
Analisamos, agora, o seguinte caso: o circuito RCL, tendo como variáveis de estado 
a corrente e a tensão no capacitor. Assim, demonstre a equação de estado no modelo 
matricial, tendo R � �1 , L = 0 5, Hz e C F= 20µ .
Aplicar a equação de estado tendo as variáveis de estado já estabelecidas pelo 
enunciado do exercício.
x Ax Bu' � �
x x x i vc= =( , ) ( , )1 2
u t� ensão de entrada
Substituindo as variáveis na equação:
u Rx L dx
dt
x� � �1 1 2
x x dt2 1� �
1 1 11 2dx R x x u
dt L L L
= − + +
dx
dt C
x2 1 1=
17
UNIDADE 1
Escrevendo a equação diferencial de estado e fazendo as devidas substituições, obtemos:
x
R
L L
C
x L u' �
� ��
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1 0
1
0
x x u'
, .
,
,�
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
1
0 1
1
0 5
1
0 00002
0
1
0 5
0
Embora ocorram diversas ramificações de como fazer a montagem da matriz, cada questão precisa 
ser analisada quanto ao que se pede e em qual situação se contextualiza o modelo. A seguir, pode ser 
considerado um exemplo para enxergar, de maneira clara, esta extração. Aqui, vemos uma matriz para 
um sistema com duas entradas.
x
x
a a
a a
x t
b
b
u
y t C C
'
'
( )
( )
1
2
11 12
21 22
11
22
11
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� 112 11��
�
� �
�
�
�
�x t d t( ) ( )
Vamos analisar outro caso:
Para um sistema representado pela equação diferencial onde
dy
dx
dy
dx
dy
dx
y u t³
³
²
²
( )� � � �2 2 3
por definição, podemos afirmar que:
x x
x x
'
'
1 2
2 3
=
=
Isolando:
3 3 2 1' 2 2 3 ( )x x x x u t+ + + =
x x x x u t' ( )3 1 2 31 2 2 3� � � � �
Escrevendo a equação de estado na forma matricial, temos:
x x u�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 1 0
0 0 1
1 2 2
0
0
3
18
UNICESUMAR
No início do conteúdo, eu lhe fiz algumas perguntas, você recorda? Perguntei como trabalhar com 
valores, como velocidade e espaço,em um sistema de processo. Além das variáveis de entradas e 
saídas, como trabalhar com valores variantes no tempo em uma análise de processo? Agora, você 
já se acha capaz de responder estas questões?
Voltando para o projeto do cortador de queijo do laticínio (Figura 4).
Título: Sinais e Sistemas
Autor: Simon Haykin e Barry Van Veen
Editora: Bookman
Sinopse: o livro Sinais e Sistemas aborda análises matemáticas para sis-
temas digitais e de controle. As quatro representações de Fourier são 
abordadas no livro, por meio de exemplos aplicados.
Comentário: o livro é interessante por abordar conceitos de sistemas, 
partindo de definições de sinais e se aprofundando no assunto durante o 
livro. Trata, também, de conceitos de análises de sistemas por meio do uso do software Matlab.
Figura 4 - Sistema de corte de queijos 
com dois carros / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: retângulo representando um tanque; dois quadrados com dois cilindros cada localizados no centro do retân-
gulo, um à esquerda e outro à direita de cada um, representando os carros; uma escada, na lateral do tanque, no lado direito da figura, 
uma rampa saindo do tanque à esquerda do centro, uma parte de uma esteira mais à esquerda; no fundo do tanque um cano sobre 
ele, com a boca aberta; dentro do tanque, entre os carros, um sistema de molas para puxar os carros, passando por quase toda a figura.
https://www.estantevirtual.com.br/livros/simon-haykin-e-barry-van-veen?busca_es=1
19
UNIDADE 1
Como elaborar a equação diferencial em variáveis de estado? Vamos considerar que 
não há atrito nas rodas. Se pararmos para analisar, o sistema pode ser considerado mala, 
mola e amortecedor. Ressaltamos, também, que estamos trabalhando com estas variáveis 
pensando no tanque vazio. Precisamos, primeiro, definir estas variáveis:
k
B
�
�
Coeficiente de elasticidade da mola .
Coeficiente de amortecimento do amortecedor.
Massa.
f(t) Força que excita
m �
� o sistema.
Deslocamento da massa.y t( )�
A equação diferencial que modela o sistema mola-massa-amortecedor pode ser 
dada como:
M d y t
dt
B dy t
dt
ky t f t² ( )
²
( )
( ) ( )� � �
Na questão envolvendo os carros:
f t u t( ) ( )=
Adaptando a equação para o nosso exercício, as equações de força de equilíbrio 
ficariam neste formato:
Equação 01 m1 1 1
d x
dt
b dx
dt
dq
dt
k x q u t²
²
( ) ( )
Equação 02 m2 1 1
d x
dt
b dx
dt
dq
dt
k x q u t²
²
( ) ( )
Nossas variáveis de estado serão a posição e a velocidade:
x x x x x x dx
dt
q dq
dt
= =( , , , ) ( , , , )1 2 3 4
Substituindo as variáveis na equação, temos:
 m1 1 2 1 1 1 3
d x
dt
b x x k x x u t² ( ) ( ) ( )� � � � �
 m2 4 4 2 1 3 1 2 3 2 41
d x
dt
b x x k x x k x b x u t² ( ) ( ) ( )� � � � � � �
Determinando o valor de x:
20
UNICESUMAR
2
1dx x
dt
=
 (a)
dx
dt
x3 4= (b)
Rearranjando as equações para encontrar x’2 e x’4:
2 1 1
1 3 2 4
1 1 1
2 1 1 1 1
1 2 3 4
1 1 1 1 1
1 ( ) ( ) ( )
1 ( )
dx k bx x x x u t
dt m m m
dx k b k bx x x x u t
dt m m m m m
= − − − − + =
= − − + + +
 (c)
 
 
dx
dt
k
m
x x b
m
x x k
m
x b
m
x
dx
dt
k
m
4 1
2
3 1
1
2
4 2
2
2
3
2
2
4
4 1
2
0� � � � � � � �
�
( ) ( )
xx b
m
x k k
m
x b b
m
x1 1
2
2
1 2
2
3
1 2
2
4 0� �
�
�
�
�( ) ( )
 
 (d)
Tendo em mãos as equações a, b, c e d, conseguimos montar a equa-
ção matricial:
x
k
m
b
m
k
m
b
m
k
m
b
m
k k
m
b b
m
'
( ) ( )
�
� �
�
�
�
�
� 0 1 0 0
1
1
1
1
1
1
1
1
0 0 0 1
1
2
1
2
1 2
2
1 2
2��
�
�
�
�
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�
�
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�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
x m u t
0
1
0
0
( )
A análise de variáveis de estado pode ser utilizada em sistemas 
industriais envolvendo controle, sistemas digitais e telecomunica-
ções. Pode ser aplicada por projetistas de sistemas, desenvolvedo-
res eletrônicos e engenheiros que trabalhem com qualquer uma 
das áreas citadas. 
Espera-se que o conteúdo abordado até aqui tenha contribuído 
para melhor entendimento de qual diretriz tomar quando você 
estiver num ambiente profissional, com este tipo de situação-pro-
blema. Espera-se, também, que os conceitos de estado de uma 
variável venham agregar ao seu conhecimento, ajudando você a 
resolver problemas futuros e que tenha aumentado sua capacidade 
de visão de um sistema.
Vamos falar um pouco mais de 
projetos de sistemas? O que 
você acha de mergulhar no as-
sunto? Nesta roda da conversa, 
falaremos mais um pouco sobre 
projetos, como verificar possí-
veis erros no trajeto e nas eta-
pas que costumam seguir em 
uma produção.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10447
21
O que acha de fazer um Mapa Mental para criar anotações que lhe ajudem em sua percepção do 
que foi aprendido até o momento? Algumas palavras já estão nele para lhe ajudar, agora, é com 
você, este espaço é seu! 
Sistema de controle
de multivariáveis
Variáveis
Equações de estado
Projetos
Problematização
22
1. Tendo como variáveis de estado a corrente e a tensão no capacitor, demonstre a equa-
ção de estado no modelo matricial, tendo , L = 0 100, Hz e .
a) x x u' �
� ��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
100 10
10000 0
10
0
b) x x u' �
� ��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
100 10
10000 0
10
0
c) x x u' �
� ��
�
�
�
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�
�
�
�
�
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100 10
10000 0
10
0
d) x x u' �
� ��
�
�
�
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�
�
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�
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�
100 10
10000 0
10
0
e) x x u' �
� ��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
100 10
10000 0
10
0
2. “As variáveis de estado descrevem a resposta futura de um sistema, dado o estado pre-
sente, as excitações de entrada e as equações que descrevem a dinâmica” (DORF,1988). 
Em qual dos sistemas a seguir ocorre uma nova excitação de entrada para um sistema 
já em andamento?
a) Um sistema de monitoramento de temperatura cuja válvula de vapor é acionada, 
liberando vapor na água.
b) Sistema de monitoramento de temperatura.
c) Um operador faz o acionamento de uma esteira às oito horas da manhã, ele volta às 
18 horas para desligá-la.
d) Sistema de monitoramento de temperatura cuja temperatura se mantém estável.
e) Sistema de monitoramento de vazão de um tubo cuja vazão se mantém estável.
23
3. Texto A
Por causa do aumento da complexidade dos sistemas de controle e do interesse em 
obter um desempenho ótimo a importância da engenharia de controle cresceu na 
década passada. Além disso, como os sistemas se tornaram mais complexos, o inter-
-relacionamento de muitas variáveis controladas deve ser considerada na estrutura 
de controle (DORF, 1988).
Texto B
Sinal de controle ou variável manipulada é a grandeza ou a condição modificada pelo 
controlador, de modo que afete o valor da variável controlada. Normalmente, a variável 
controlada é a saída do sistema. Controlar significa medir o valor da variável controlada 
do sistema e aplicar o sinal de controle ao sistema para corrigir ou limitar os desvios 
do valor medido a partir de um valor desejado (OGATA, 2011).
Os textos apresentados enaltecem a importância de controle sobre as variáveis. Analisando 
um sistema contendo sensores para acionamento, um inversor de frequência é programado 
com três velocidades para um motor elétrico. Quais são as variáveis de entrada, saída e 
de estado, respectivamente, nesta ordem?
a) Sensores, motor e velocidade.
b) Velocidade, motor e sensores.
c) Pressão, motor e velocidade.
d) Motor, velocidade e vazão.
e) Motor, velocidade e sensores.
4. Observe a figura seguinte:
Representação genérica de um sistema de controle / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura mostra uma elipse com uma seta entrando nela, em que está escrito u1 sobre dela, e 
duas setas saindo com os escritos y1 e y2, duas setas entrando embaixo dela, em que está escrito x1 e x2, dentro da 
elipse encontra-se a palavra sistema.
24
Ela faz uma representação genérica de um sistema de controle, possuindo duas variáveis 
de estado, uma entrada e duas saídas. Diante disso, represente a equação de estado deste 
sistema na forma matricial.
a) 
y
y
a a
a a
x
x
b
b
u1
2
11 12
21 22
1
2
1
2
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�
��
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b) 
x
x
a a
a a
x
x
b
b
u1
2
11 12
21 22
1
2
1
2
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�
c) 
x
x
a a
a a
x
x
b
b
x1
2
11 12
21 22
1
2
1
2
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�
d) 
y
y
a a
a a
y
y
b
b
u1
2
11 12
21 22
1
2
1
2
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� �
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�
e) 
x
x
a a
a a
x
x
b
b
y1
2
11 12
21 22
1
2
1
2
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�
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5. Para um sistema representado pela equação diferencial:
Qual a forma matricial das variáveis de estado da equação?
a) x x u�
�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
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0 5 1
0 7 0
0 0 9
20
0
0
b) x x u�
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0 1 0
0 0 1
1 3 7
0
0
5
c) x x u�
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0 1 0
0 0 1
7 1 3
0
0
5
d) x x u�
� � �
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0 1 0
0 0 1
7 1 3
0
0
3
25
e) x x u�
�
� � �
�
�
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�
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�
�
�
�
7 1 0
1 0 1
7 1 3
0
0
5
6. Texto A
Um sistema é a combinação de componentes que agem em conjunto para atingir de-
terminado objetivo. A ideia de sistema não fica restrita apenas a algo físico. O conceito 
sistema pode ser aplicado a fenômenos abstratos dinâmicos, como aqueles encon-
trados na economia. Dessa maneira, a palavra ‘sistema’ pode ser empregada para se 
referir a sistemas físicos, biológicos, econômicos e outros (DORF, 1988).
Texto B
A descrição por variáveis de estado é usada em qualquer problema em que a estrutura 
de sistema interna precise ser considerada (HAYKIN, 2001).
Qual das alternativas a seguir está correta?
a) A primeira e a segunda afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
b) A primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa.
c) A primeira afirmação é falsa, e a segunda é verdadeira.
d) A primeira e segunda afirmações são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.
e) A primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa.
26
2
Nesta unidade, você terá a oportunidade de aprender sobre Contro-
labilidade e Observabilidade e será capaz de associar estes conheci-
mentos a sistemas de controle. Da mesma forma, você conseguirá 
relacionar os métodos de Controlabilidade e Observabilidade com 
os conceitos de variáveis de estado. Outro assunto abordado serão 
as formas canônicas de sistemas e qual sua destinação. Tendo ad-
quirido o aprendizado sobre controlabilidade, observabilidade e for-
mas canônicas, você estará dando mais um passo para se tornar um 
projetista de sistemas de controle. 
Controlabilidade, 
Observabilidade e 
Formas Canônicas
Esp. Daniel Rodrigues Cardoso
28
UNICESUMAR
Imagine que você já é um profissional, e a seguinte situação chegou 
até você: existe um sistema, contendo três câmaras: a primeira tra-
balha com aquecimento, e a outras duas com resfriamento, com a 
intenção de dar choques térmicos em embalagens. O contratante 
do projeto pediu para que fosse utilizado apenas um atuador, se 
possível. Como manter uma câmara quente e as outras geladas 
com apenas um atuador, tendo as três com passagem entre elas? 
Nesta situação, pode ser feito um controle? Neste caso, como em 
outros que lhe podem ocorrer, você precisa saber o que você pode 
controlar em um sistema. Como eu posso ter certeza se pode existir 
controle para determinado sistema? 
Os conceitos de Controlabilidade e Observabilidade fazem parte 
do contexto de análise de sistemas: em sua profissão, muitas vezes, 
você se deparará com situações em que estes conceitos serão neces-
sários para a resolução da situação. Em especial, utilizam-se os estu-
dos de controlabilidade e observabilidade em situações envolvendo 
sistemas no qual espaço dos estados são empregados. Pode acontecer 
de certas atividades não serem reconhecidas por meio das saídas do 
sistema. Muitas vezes, algumas variáveis de estado não serão acessí-
veis, portanto, é necessário pressupor estas variáveis. 
A possibilidade de saber se você pode controlar um sistema, 
principalmente quando se trata de sistemas multivariáveis, mostra-
-se útil na decisão de qual caminho percorrer, durante a construção 
de um projeto. Assim como a capacidade de observar um sistema 
por completo faz com que o resultado seja fidelizado à ideia origi-
nal, não havendo nenhum movimento despercebido pelo sistema. 
Dentro deste contexto, proponho a você uma atividade prá-
tica. Vamos lá? Sugiro que você busque identificar processos 
em uma indústria nas quais variáveis de estado podem não ser 
definidas no meio do processo, ou processos que você tenha 
alguma dúvida sobre a capacidade de controle do mesmo. Você 
pode utilizar o exemplo dado no início do conteúdo para lhe 
ajudar a identificar tais processos.
Após verificar um ou mais processos que não podem ser con-
trolados, utilize seu Diário de Bordo disponibilizado a seguir e 
faça um desenho de bloco do(s) processo(s) e escreva sua função 
transferência. Deixe estas funções transferências anotadas, e, 
após verificarmos os testes de controlabilidade e observabili-
dade, aplique nelas.
29
UNIDADE 2
Reflita comigo sobre a seguinte situação. Em sistemas envolvendo espaços de estado, escolheremos 
dois pontos para representá-lo, um deles chamaremos de x, o outro, y, sendo x a condição inicial do 
espaço de estado, e y a condição final. O sistema pode ser considerado controlável se for possível en-
contrar uma entrada que leve o sistema da condição inicial à condição final em determinado tempo. Se 
neste espaço de estado houver algum momento em que seu valor não leve, não se possa encontrar a 
condição inicial do sistema, é dito que ele não é controlável. 
Para verificar se um sistema é controlável, utiliza-se da matriz de controlabilidade, em que, se o 
determinante da matriz não corresponde a zero, o sistema é considerado controlável. Um sistema 
pode ser considerado controlável se todos os seus estados tiverem uma relação que possa ser mani-
pulada pelas entradas do sistema. 
Vamos, agora, fazer uma reflexão sobre um segundo caso. Imagine um sistema monovariável, 
apenas uma entrada e uma saída. Supondo que exista uma condição inicial, podemos chamá-la de 
x. Este sistema transcorre pelo tempo partindo de x até y. Então, pense comigo: tendo os valores de 
entradas e de saídas, seria possível achar a condição inicial? Se a resposta para esta pergunta for sim, 
podemos dizer que o sistema é totalmente observável, mas, se a reposta for não, podemos dizer, então, 
que ele não é totalmente observável, ou seja, um estado x será observável se suas características forem 
descritas na saída do sistema. 
Se em um sistema todos os estados que ele contém possam ser estimados pelos valores conhecidos 
da saída por meio da relação existente entre eles, o sistema pode ser considerado observável. Para a 
análise da observabilidade, seu cálculo leva em consideração a matriz de observabilidade.
DIÁRIO DE BORDO
30
UNICESUMAR
Podemos considerar um sistema como controlável se, de alguma 
forma, por meio de um vetor no qual não existe uma limitação 
pudermos passar qualquer estado para outro estado, em um pe-
ríodo de tempo finito. Segundo nos diz Ogata (2011), os conceitos 
de observabilidade e controlabilidade foram instituídos por Ru-
dolf Kalman, e estes conceitos nos apresentam soluções para pro-
blemas envolvendo sistemas de controle. Por meio deles, podemos 
estabelecer se existe a possibilidade de haver um controle completo 
no sistema e se suas ações são todas observáveis. 
Tendo, então, para caso contínuo de ordem n:
x t Ax t Bu t'( ) ( ) ( )� �
Então, podemos dizer que é controlável se sua matriz de controla-
bilidade é dada por: 
1 ... ... nCM B AB A
− = Β 
Para um caso discreto, um sistema de ordem n pode ser dado por: 
x kt t Ax kt Bu kt( ) ( ) ( )� � �
Para definirmos se o sistema é controlável, aplica-se o testede con-
trolabilidade. Tendo a matriz MC, podemos considerar contro-
lável MC=n. 
O posto de uma matriz pode ser dado pelo número de linhas 
independentes de M, pelo número de colunas linearmente de M. A 
matriz de controlabilidade pode ser expressada pela equação:
1 ... ... nCM B AB A
− = Β 
Vamos analisar o seguinte caso: 
Tendo uma matriz: 
x
a a a
a a a
a a a
x
b
b
b
u' �
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1 2 3
4 5 6
7 8 9
1
2
3
Resolução.
A matriz controlabilidade pode ser dada por:
M B AB AC
n� ��
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� ...... 1B
31
UNIDADE 2
Sendo:
B
b
b
b
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3
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a a a
a a a
a a a
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4 5 6
7 8 9
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a a a
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b
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1 2 3
4 5 6
7 8 9
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1
2
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A
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
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1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 2 3
4 5 6
7 8 9
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m m m
m m m
m m m
1 2 3
4 5 6
7 8 9
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m m m
m m m
b
b
b
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h2
1 2 3
4 5 6
7 8 9
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1
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3h
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�
Tendo os valores calculados, fazemos a respectiva substituição na matriz de contro-
labilidade.
Mc
b n h
b n h
b n h
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 1
2 2 2
3 3 3
Vamos analisar o seguinte exemplo:
Após analisar a representação do sistema a seguir, construa a matriz de contro-
labilidade.
x x u' �
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1 0 0
1 0 0
2 2 0
5
0
3
32
UNICESUMAR
Como vimos, a matriz controlabilidade pode ser expressada por:
1 ... ... nCM B AB A
− = Β 
Sendo:
B �
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5
0
3
A �
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2 2 0
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0
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5
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1 0 0
2 2 0
1 0 0
1 0 0
2 2 0
1 0 0
1 0 0
4 0 0
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A B2
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1 0 0
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�
�
�
A matriz de controlabilidade, neste caso, fica sendo:
Mc �
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
5 5 5
0 5 5
3 10 20
Depois de conseguir montar a matriz, você pode fazer a verificação se ela é, ou não, 
controlável, para isso, utilizaremos a determinante da matriz.
Mc �
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
5 5 5
0 5 5
3 10 20
5 5
0 5
3 10
250det
Podendo considerar a matriz como uma matriz singular, ela é totalmente controlável.
33
UNIDADE 2
Assim como precisamos, por exemplo, de um binóculo para enxergar lugares que 
não são enxergáveis (Figura 1), a observabilidade ajudará a testar a capacidade do 
sistema de ser enxergado. 
Figura 1- Ajuda para visualização / Fonte: Wikimedia Commons (2004).
Descrição da Imagem: a imagem consiste em um homem com um binóculo grande ocupando boa parte da 
imagem, atrás dele existem muitas plantas da mesma cor da blusa do homem do centro, ao fundo da imagem 
existem muitas casas. 
Para definirmos se o sistema é observável, aplicam-se teste de observabilidade. 
Tendo a matriz MO.
2
3
1n
C
CA
CA
Mo
CA
CA −
 
 
 
 
 =
 
 
 
  

O sistema na qual a matriz pode ser considerada observável se posto MO=n.
Vamos analisar o seguinte caso:
Tendo uma matriz:
34
UNICESUMAR
x
a a a
a a a
a a a
x
b
b
b
u' �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1
2
3
y t y y y( ) � � �1 2 3 Resolução.
A matriz observabilidade pode ser dada por:
2
3
1n
C
CA
CA
Mo
CA
CA −
 
 
 
 
 =
 
 
 
  

Temos, então:
C y y y� � �1 2 3
A C y y y
a a a
a a a
a a a
n n n* * �� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�1 2 3
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 2 3
A
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
2
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 2 3
4 5 6
7 8 9
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
�
�
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*
��
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
m m m
m m m
m m m
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A C y y y
m m m
m m
m m m
h h hm2 1 2 3
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 2 3* * �� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
Tendo os valores calculados, faz-se a respectiva substituição na matriz de observabilidade.
Mo
y y y
n n n
h h h
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 3
2 2 3
1 2 3
35
UNIDADE 2
Vamos analisar este seguinte exemplo onde, por meio da representação do sistema a 
seguir, pode-se construir a matriz de observabilidade.
x x u' �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 1 1
1 0 3
2 2 1
1
2
2
[ ]( ) 0 1 9y t =
Sendo: C � � �0 1 9
A �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 1 1
1 0 3
2 2 1
A2
0 1 1
1 0 3
2 2 1
0 1 1
1 0 3
2 2 1
3 2 4
6 7 4
4 4 9
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
*
��
�
�
�
[ ] [ ]2
3 2 42
* 0 1 9 * 6 7 50 14 15 22
4 4 53
A C
 
 = = 
  
A C* *� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �0 1 9
0 1 1
1 0 3
2 2 1
5 4 5
A matriz de observabilidade fica sendo:
Mo �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 0 9
5 4 5
14 15 22
Para verificar se o sistema é totalmente observável, utilizaremos o determinante 
da matriz onde:
1 0 9 1 0
5 4 5 5 4
14 15 22 14 15
det 184
Mo
 
 =  
  
=
36
UNICESUMAR
Considerando-a como uma matriz singular, podemos considerar este sistema como 
totalmente observável.
Título: Controle Discreto 
Ano: 2019
Sinopse: o livro tem como abordagem principal o con-
trole discreto, aborda temas, como controlabilidade e 
observabilidade além de métodos de desratização apli-
cadas a funções de transferência.
Comentário: os estudos nestes livros completam os 
assuntos abordados até o momento, trazendo sempre 
um olhar para sistemas discretos. 
A forma canônica diagonal é uma maneira na qual você tem de demostrar o sistema 
em espaço de estado, de maneira que você tenha como fazer a análise da estabilidade 
do sistema. Ela tem como objetivo obter os polos da função de transferência do sis-
tema. Se os polos forem de valores negativos, o sistema é considerado estável. Se um 
dos polos for considerado positivo, o sistema é considerado instável. Se o polo for 
zero, ele é considerado estável, mas no limite do que se pode ser considerado estável.
Função de transferência para polos diferentes: 
Y s
U s
b s b s b s bn
s p s p s p
n n
n
n
( )
( )
...
( )( )...( )
�
� � �
� � �
�
�0 1
1
1
1 2
Forma Canônica Diagonal:
( )1 1 0( ) ... ( )ny t c c c x t b u t = + 
x t
x t
x t
p
p
p
x t
x
n
n
' ( )
' ( )
' ( )
( )1
2
1
2
1

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
22
1
1
1
( )
( )
( )
t
x t
u t
n


�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Outra forma de representar o sistema é pela forma canônica de Jordan. Esta forma 
tem como objetivo obter uma matriz na qual contenha os polos da função de trans-
ferência sendo utilizada para os polos repetidos. 
Função transferência para polos iguais: 
37
UNIDADE 2
1
0 1 1
3
1 4
...( )
( ) ( ) ( ) ...( )
n n
n
n
b s b s b s bnY s
U s s p s p s p
−
−+ + +=
− − −
Forma Canônica de Jordan:
x t
x t
x t
x t
x t
p
p
n
' ( )
' ( )
' ( )
' ( )
' ( )
1
2
3
4
1 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11
1
4
1
2
3
4
1
p
p
p
x t
x t
x t
x t
x tn n
� �
�
�
�
�
�
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�
�
�
�
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( )
( )
( )
( )
( )
��
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
0
1
1
1
�
u t( )
( )1 1 0( ) ... ( )ny t c c c x t b u t = + 
Na representação canônica de Jordan, ao colocar os polos na diagonal da matriz A, o 
número 1 sempre virá do lado do polo. Se este for polo repetido, não se aplicando ao 
último. Para a matriz B, vocêdeve colocar o valor de zero até o último polo repetido.
Se, no caso de termos a matriz A contendo n autovalores e exemplificando tivermos 
n-3 valores diferentes, a forma canônica de Jordan de A ficaria sendo:
j
n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
l
l
l
l
l
l
l
1
1
1
4
4
6
1 0 0
0 1
0 0
1
0
0

A estas submatrizes que encontramos dentro da matriz dá-se o nome de blocos de Jordan.
Para sistemas observáveis você pode aplicar a forma canônica observável, esta 
segue muitas ideias semelhantes à forma canônica diagonal. 
1
0 1 1
1
1 1
...( )( )
( ) ...
n n
n
n n
n
b s b s b s bnY sG s
U s s a s a s an
−
−
−
−
+ + +
= =
+ + +
38
UNICESUMAR
Diferente da forma canônica diagonal, a função de transferência anali-
sa o polinômio denominador. Os valores do coeficiente do polinômio 
do denominador são colocados na última coluna da matriz A, o resto 
da matriz A é feita, inicialmente, com uma linha de 0 e seguida de uma 
matriz identidade.  Na matriz B, será considerado o número e o deno-
minador ao mesmo tempo, fazendo uma relação entre os elementos. 
Para a matriz de saída, você tem os valores de zero e, por último, 1. 
Forma Canônica Observável:
x t
x t
x t
x t
a
n
n
n' ( )
' ( )
' ( )
' ( )
1
2
1
0 0 0
1 0 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�aa
a
a
x t
b a b
bn
n
n n
n�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�1
2
1
0
1
0 0 1
� � �
� � � �
�
aa b
b a b
u t
n�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 0
1 1 0
�
�
( )
[ ]
1
2
0
1
( ) 0 0 0 1 ( )
n
n
x
x
y t b u t
x
x
−
 
 
 
 =
 
 
  


Para a forma canônica controlável, a sua matriz A terá, em sua úl-
tima linha, os coeficientes do denominador da sua função de trans-
ferência, já a matriz C conterá os coeficientes do numerador da 
função de transferência. 
Forma Canônica Controlável:
x t
x t
x t
x t
n
n
' ( )
' ( )
' ( )
' ( )
1
2
1
0 1 0 0
0 0 1 0
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
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�
�
�
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� �� � �
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�
�
0 0 0 1
1 2
1
2
1
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
a a a a
x t
x t
x
n n n n
n
( )
( )
(tt
x t
u t
n
)
( )
( )
�
�
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�
�
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�
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�
�
�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
0
0
1
�
0 1 1 0 1 1 0 0( ) ... ( ) ( )n n n ny t b a b b a b b a b x t b u t− − = − − − + 
No Podcast desta unidade, fare-
mos um resumo dos conceitos 
que nós aprendemos sobre Ob-
servabilidade e Controlabilidade. 
Além disso, traremos um pouco 
de discussão sobre a  importân-
cia dos assuntos abordados. 
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10448
39
UNIDADE 2
Vamos voltar para a situação descrita no iní-
cio deste conteúdo. No sistema contendo três 
câmaras, a primeira trabalha com aquecimento 
e a outras duas com resfriamento com a inten-
ção de dar choques térmicos em embalagens, 
o contratante para o projeto pediu para que 
fosse utilizado apenas um atuador, se possível. 
Como manter uma câmara quente e outras gela-
das com apenas um atuador, tendo as duas com 
passagem entre elas? Nesta situação, pode ser 
feito um controle? Neste caso como em outros 
que lhe podem ocorrer, você precisa saber o que 
você pode controlar em um sistema. Como eu 
posso ter certeza de que pode haver controle 
para determinado sistema? 
Estes sistemas de câmaras para as embalagens 
possuem quatro fluxos de calor, onde eles podem 
ser modelados como sistemas. 
O primeiro fluxo é uma temperatura externa 
que definiremos como zero. O segundo fluxo é 
de saída. Sua entrada é negativa, e temos, então, a 
variação de temperatura causada por um atuador, 
que é a entrada u. 
Título: Princípios de Mecatrônica 
Ano: 2004
Sinopse: com conceitos aplicados a profissionais e estudantes da área, o 
conteúdo abordado enfatiza a área da automação da manufatura e é divi-
dido em três partes, que trazem assuntos como - integração de sistemas 
automatizados, sensores industriais, aspectos construtivos de manipula-
dores robóticos e sistemas de supervisão em automação.
Comentário: esse livro é muito interessante por abordar diversos concei-
tos de mecatrônica. É interessante que você expanda seus conhecimentos até para conseguir 
associar os sistemas estudados. O capítulo 5, sobre remodelagem, pode agregar muito neste 
momento de seu estudo.
Figura 2 - Câmaras para choque térmico / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: da parte inferior para a superior, pe-
quenos cilindros espaçados entre pequenos espaços segui-
dos de três cubos em série; abaixo de cada cubo há as letras 
na ordem A1, A2, A3. No primeiro cubo, há a representação 
de um cilindro passando pela sua lateral e entrando dentro 
dele; entre os cubos, existem flechas indicando para a figura 
geométrica seguinte, sendo que, ao final, existem pequenos 
cilindros espaçados por pequenos espaços igual no início.
40
UNICESUMAR
a a a a u1 1 1 20' [ ] [ ]� � � � �
Na segunda área, a mudança de temperatura depende da entrada do fluxo 2, menos 
o fluxo de saída. 
a a a a a2 1 2 2 3' [ ] [ ]� � � �
Na terceira área, a mudança de temperatura depende da entrada do fluxo 3, menos 
o fluxo de saída. 
a a a a3 2 3 3 0' [ ] [ ]� � � �
Então, a representação dos sistemas das câmaras internas da máquina ficaria: 
a a a a u1 1 1 20' [ ] [ ]� � � � �
a a a a a2 1 2 2 3' [ ] [ ]� � � �
a a a a3 2 3 3 0' [ ] [ ]� � � �
Adequando as equações:
a a a u
a a a a
a a a
1 1 2
2 1 2 3
3 2 3
2
2
2
'
'
'
� � � �
� � �
� �
Passando estas equações para forma matricial, temos:
x x u' �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 1 0
1 2 1
1 2 0
1
0
0
41
UNIDADE 2
Sendo:
B �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
0
0
A B* �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
1
1
A B2
5
5
4
* � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Montando a matriz de controlabilidade, temos:
Mc �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 5
0 1 5
0 1 4
9det
Sendo det=9 da matriz de controlabilidade e considerando que é diferente de zero, 
significa que, mesmo com um atuador, é possível fazer o controle total do sistema. Em 
posse desta informação, o responsável pelo projeto pode dar continuidade, sabendo 
que poderá fazer controle de seu sistema. Na prática, isso pode agregar diminuição do 
orçamento já que foi possível verificar que é comum número mínimo de atuadores 
possível chegar ao controle total.
Conforme visto no exemplo, o conhecimento da controlabilidade e da observabi-
lidade do sistema faz com que você consiga fazer certas economias, ou evitar esforços 
desnecessários na construção de um projeto de controle. Estes mesmos conceitos são 
necessários para implementação de técnicas futuras que serão vistas em nosso conteúdo.
O aprendizado desta unidade pode ser aplicado nos mais diferentes tipos de 
projetos de sistemas, sejam eles aplicados a circuito eletrônicos, projetos de controle 
industriais, sistemas de automação, sejam pesquisas acadêmicas.
42
O que acha de fazer um Mapa Mental para criar anotações que lhe ajudem em sua percepção do 
que foi construído até o momento? Algumas palavras-chave já estão lá para lhe ajudar. Você deve 
dar continuidade ao preenchimento, observando a sequência lógica de conceitos e respeitando 
a ligação entre as palavras. 
 
Finalidade da controlabilidade Experimentação
Jordan Controlabilidade Observabilidade
Modos
Canônicos
Modos
Canônicos
43
1. Das alternativas a seguir, qual(is) melhor se associa(m) ao conceito de um sistema to-
talmente controlável? 
I) Um sistema x possui as entradas n1 e n2, todas as variáveis de estado deste sistema 
são afetadas pelas suas duas entradas. 
II) Um sistema x possui as entradas n1 e n2, os sistemas possuem variáveis de estado 
x1, x2 e x3, sendo as variáveis x1 e x2 afetadas pôr n1, enquanto x3 é afetada por n2. 
III) Um sistema x possui as entradas n1 e n2 e n3, o sistema possui as variáveis de estado 
x1 e x2, sendo x1, podendo ser influenciada por n1 e n2, e x2 não podendo ser afetadapelas entradas. 
Assinale a alternativa correta.
a) I e II.
b) I.
c) I e III.
d) II e III.
e) I, II e III.
2. Baseado em seus conhecimentos adquiridos sobre Controlabilidade e Observabi-lida-
de, analise as afirmativas que seguem assinalando (V) para verdadeira e (F) para falsa:
I) Um sistema pode ser considerado totalmente observável se os valores pertencentes 
as variáveis de estado puderem ser definidas através das variáveis de entrada e de 
saída do sistema. 
II) Um sistema pode ser considerado, totalmente, observável se os valores pertencentes 
às variáveis de estado puderem ser definidas somente pelas variáveis de entrada 
de um sistema, não tendo relação com sua saída. 
III) Um sistema pode ser considerado, totalmente, controlável se seus estados não 
sofrerem influência pelas entradas no sistema.
IV) A matriz de observabilidade serve para definir se o sistema é observável, já a matriz 
de controlabilidade não tem como função definir se o sistema e controlável, isso 
cabe a outro tipo de matriz. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
a) V, V, V, V.
b) V, F, V, F.
c) F, F, F, F.
d) F, F, V, V.
e) V, F, F, V.
44
3. Após analisar a representação do sistema a seguir, construa a matriz de controlabilidade.
x x u' �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3 0 0
1 0 0
8 16 0
20
0
8
Assinale a alternativa correta.
a) 
20 60 190
0 20 50
8 160 700
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
b) 
30 60 190
5 20 50
8 160 700
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
c) 
20 60 180
0 20 60
8 160 800
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
d) 
20 60 180
0 20 50
8 160 800
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
e) 
20 60 180
1 20 50
8 160 700
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4. Analise as matrizes a seguir:
I) 
8 0 0
16 0 1
0 0 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
II) 
8 1 0
0 0 2
0 0 3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
III) 
8 1 2
0 2 1
1 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
45
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a matriz 1 representa um sistema totalmente controlável.
b) Somente a matriz 2 representa um sistema totalmente controlável.
c) Somente a matriz 3 representa um sistema totalmente controlável.
d) Somente as matrizes 1 e 2 representam um sistema totalmente controlável.
e) Somente as matrizes 2 e 3 representam um sistema totalmente controlável.
5. Analisando a representação do sistema a seguir, construa a matriz de controlabilidade.
x x u' �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 1 8
5 0 2
3 2 5
1
2
7
y t( ) � � �0 1 2
Assinale a alternativa correta.
a) 
0 1 3
12 4 12
56 35 157
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
b) 
0 1 3
13 4 12
56 35 156
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
c) 
0 1 3
11 4 12
56 32 157
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
d) 
0 1 2
11 4 12
56 35 156
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
e) 
0 1 3
11 4 12
56 35 157
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
46
6. Analise as matrizes a seguir:
I) 
5 1 1
3 0 0
2 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
II) 
8 7 0
2 3 2
6 5 3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
III) 
0 2 0
1 0 1
8 1 8
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a matriz 1 representa um sistema totalmente observável.
b) Somente a matriz 2 representa um sistema totalmente observável.
c) Somente a matriz 3 representa um sistema totalmente observável.
d) Somente as matrizes 1 e 2 representam um sistema totalmente observável.
e) Somente as matrizes 2 e 3 representam um sistema totalmente observável.
3
nesta unidade, discutiremos sobre os conceitos envolvendo a re-
lação entre a função de transferência com as variáveis de estado e 
analisaremos a descrição do que é cada uma e como estes conceitos 
se afetam. Por fim, você, também, aprenderá sobre a representação 
de sistemas como um todo. 
Relação entre 
Representação por 
Variáveis de Estado 
e Matriz Função de 
Transferência
Esp. Daniel Rodrigues Cardoso
Podemos representar um sistema considerado 
dinâmico por duas maneiras. Dependendo do 
que você pretende fazer ou qual a necessidade 
que faz o seu projeto, a transferência entre elas 
pode ser necessária. Vamos supor que você te-
nha um sistema mecânico envolvendo massa e 
mola na qual você consegue escrever o sistema 
na forma de estado. Como passar esse sistema na 
forma de estado para função de transferência?
Por meio da função de transferência, nós 
podemos descrever o comportamento do sis-
tema “a” e podemos estabelecer uma relação 
matemática entre a entrada e a saída. Isso nos 
proporciona saber se o ganho na saída de de-
terminado sistema nos atende em que deseja-
mos para eles. Então, ter a representação de um 
sistema pela função de transferência mostra-se 
de extrema importância. Mas pode acontecer 
como a questão mencionada e relacionada ao 
sistema mecânico, de você ter as variáveis de 
estado de determinado sistema, mas precisa 
construir a função de transferência. Para resol-
ver esta questão, é necessário entender a relação 
matemática que existe entre ela para, por meio 
disto, conseguir montar a função desejada.
A necessidade de descrever a relação da 
função de transferência fazendo a relação de 
entradas e saídas dos sistemas faz com que pos-
samos visualizar e entender a relação existente 
entre elas de modo que você possa visualizar 
o sistema representado como um todo. Assim, 
além da visualização nítida adquirida, é possí-
vel fazer ajustes que se tenha achado necessá-
rio para se obter o resultado desejado. 
48
UNICESUMAR
Vamos imaginar que você, como projetista de uma empresa, foi chamado para 
fazer projetos de melhorias para os sistemas de controle de uma indústria, em deter-
minados pontos do processo. Para se ter uma resposta mais eficiente, você percebe 
que precisa aumentar a velocidade da resposta, mas como entender esta relação de 
entradas, velocidades dos processos e saídas? Utilizando o conhecimento adquirido 
até o momento, busque por processos industriais que envolvam variáveis de estado 
ou por processos que você tenha conhecimento e tente representar o processo a partir 
das equações de estado, após isso, tente representar a relação entre estas variáveis, por 
meio de expressão matemática. Anote as dificuldades e dúvidas.
Dependendo do que você está fazendo ou para que possa ter sido contratado a 
fazer, seu projeto, talvez, necessite expressar a relação de saída e de entrada, por meio de 
uma expressão matemática. Quando nós analisamos sistemas que envolvam variáveis 
de estado, assim como foi pedido para você observar, existe uma relação existente 
entre a função de transferência, que nada mais é do que a relação da entrada com a 
saída expressa, como uma expressão matemática e as equações de estado.
Esta relação entre entrada e saída, que fica evidente com a construção da fun-
ção de transferência, pode ser utilizada, por exemplo, para se achar o ganho de 
instrumentos de medição industriais. Aquele ajuste que damos em controladores, 
sensores, medidores entre outros, nada mais é do que a necessidade visível para 
a estabilidade expressa na função.
DIÁRIO DE BORDO
49
UNIDADE 3
Basicamente, o estudo de matrizes de transferência 
e sua relação com as equações de estado consiste 
em entender a relação entre estas duas maneiras 
de expressar a representação dos sistemas e como 
podemos trabalhar para partir de uma delas para 
conseguimos expressar a outra. Sobre os estudos 
das relações e os resultados das representações 
dos sistemas, a função de transferência é muito 
utilizada na verificação de estabilidade, sendo que 
obtê-la por outro modelo de representação é de 
suma importância.
Considerando que temos:   
Equação de estado
Equação de saída
x t Ax t Bu t
y t Cx
'( ) ( ) ( )
( ) (tt Du t) ( )
e o sistema apresentado corresponde ao sistema 
na forma de estado, como, então, podemos fazer 
para achar a função transferência?
Podemos utilizar mais de uma maneira dife-
rente para obter a função de transferência, por 
exemplo, utilizando a Transformada de Laplace 
para a equação, teremos:
EQUAÇÕES
DE ESTADO
FUNÇÃO DE
TRANSFERÊNCIA
FUNÇÃO DE
TRANSFERÊNCIA
L x t L Ax t But{ '( )} { ( ) ( )}� �
Então, teremos, desde que considere a condição inicial igual a zero:
sX t L Ax s BU s( ) { ( ) ( )}� �
Fazendo a devida derivada da equação, podemos escrever:
( ) ( ) ( )sI A X s BU s� �
Isolando X(s), obtemos:
X s sI A BU s( ) ( ) ( )� � �1
50
UNICESUMAR
Para a equação de saída, temos:
L y t L Cx t Du t{ ( )} { ( ) ( )}� �
Y s CX t DU t( ) { ( ) ( )}� �
Fazendo as devidas substituições, obteremos:
Y s C sI A BU s DU s
Y s C sI A B D U s
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ) ( )
� � �
� � �
�
�
1
1
Considerando que a função de transferência pode ser representada como:
G s Y s
U s
( )
( )
( )
=
ou seja, a relação entre a saída e a entrada, então, teremos:
G s C sI A B D( ) ( )� � ��1
É importante observar:
G s Matriz de transferencia
p número de saidas
n número de
 
 
 
.
.
 entradas.
Máxima – Software livre com licença pública, 
trata-se de um sistema de álgebra de alto nível, 
na qual você pode trabalhar com análise de sis-
temas e sinais, gráficos e matrizes entre alter-
nativas de trabalho. Criado partir do Macsyma, 
o sistema de álgebra computacional foi criado 
pelo final da década de 19 60 pelo MIT. Você 
pode acessá-lo por meio do QR Code a seguir.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
51
UNIDADE 3
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/12216
Conforme nos apresenta Dorf e Bishop (1988), considerando que 
( )
( )
( )
sI A
X s
BU s� � 
e que [ ] ( )sI A s� ��1 f , temos, então, X s s BU s( ) ( ) ( )= f . Com estas informações, 
se fizermos estas substituições em cima da equação de saída de um sistema SISO 
representado por Y s CX s( ) ( )= , teremos, então:
Y s C s BU s( ) ( ) ( )= f
Tendo que a função de transferência será G s
Y s
U s
( )
( )
( )
= , onde G(s) fica sendo:
G s C s B( ) ( )= f
Outra maneira de se calcular a função de transferência para um sistema é pelo uso 
de determinantes, conforme equação a seguir:
Gij s
sI A Bj
Ci Dij
sI A
( )
det
det
�
� ��
�
�
�
�
�
�� �
C
B
D
i
j
ij
�
�
�
Linha i da matriz C
Coluna j da matriz B
Elementos ij da matriz D 
Matriz linha
Matriz coluna
C
B
�
�
Determinantes e Matriz Inversa
Inversa de uma matriz:
A
a a
a a
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11 12
21 22
( )sI A
s a a
a s a
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 11 12
21 22
1
que equivale a:
52
UNICESUMAR
1
11 22 12 21[( )( )s a s a a a− − −
1
11 22 12 21
22 12
21 11[( )( )s a s a a a
s a a
a s a� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Cálculo de determinantes:
det �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
a a
a a
a a a a11 12
21 22
11 22 21 12
Considerando uma matriz 3x3 com regra de Sarrus:
det
a a a
a a a
a a a
a a a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 22 33 12 23
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� aa a a a a a a a a a a a a31 21 13 32 31 22 13 11 23 32 21 12 33� � � �
Vamos verificar um exemplo. Observe as matrizes a seguir:
A
a a a
B
C C C C
D
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
� �
1 2 3
1 2 3
10 0 0
0 10 0
1
0
0
0��
A função transferência pode ser obtida utilizando a equação:
Gij s
sI A Bj
Ci Dij
sI A
( )
det
det
�
� ��
�
�
�
�
�
�� �
Aplicando a equação para as matrizes de estado, podemos obter:
53
UNIDADE 3
G s
s a a a
s
s
C C C
( ) det�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 3
1 2 3
1
2 0 0
0 3 0
0
Considerando:
A Dij
i j
ij� �
�
( ) det1
Para o cálculo do numerador:
( )( ) det ( )� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � ��1 1
2 0
0 3 2 61 4
1 2 3
1 2 3
s
s
C C C
s sC C C
Para o cálculo do denominador:
det ( )
s a a a
s
s
s s a a a
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
1 2 3
2
1 2 32 0
0 3
2 6
G s s sC C C
s s a a a
( )
( )
( )
�
� �
� �
1 2 3
2
1 2 3
2 6
2 6
Vamos analisar o exemplo, em que obteremos a função de transferência a partir do 
sistema:
2
2
2 3
1 2 3 0
1 0
det
0 1 0
0 3 0
( )
1
det 1 0
0 1
s
s b
s
C
Gij s
s a a
s
s
+ 
 − − 
 −
 
 =
 +
 − 
 − 
Para conseguir o numerador e o denominador, utilizamos:
54
UNICESUMAR
det ( )
det
s
s
s
s s s
s
s
C
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
1 2 3
1 0
0 1
2 3
1 2 3
0 1
0 3
2
2
��
�
�
�
�
�
� � � � �3 32s s C C( )
Então, a montagem da função de transferência fica sendo:
G s s s C C
s s s
( )
( )
( )
�
� � � �
� � �
3 3
2 3
2
2
Vamos analisar o terceiro caso que tem como característica ser a passagem para função 
de transferência de um sistema, considerado de múltiplas entradas e múltiplas saídas. A 
montagem é parecida com os exemplos anteriores, mas, por se tratar de um sistema mais 
complexo, o processo se repete até se conseguir montar a matriz de transferência no final.
A
a a a
B
b
b
C
C
C
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 3
1
2
1
10 0 0
0 10 0
0
0
0 0
2 0
0 0 22
0 0
0 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�D
Neste modelo, ocorrerá mais de uma saída e mais de uma entrada.
Gij s
sI A Bj
Ci Dij
sI A
( )
det
det
�
� ��
�
�
�
�
�
�� �
55
UNIDADE 3
Utilizando a equação anterior, obtemos para saída 1 e entrada 1:
Gij s
s a a b
s
s
C
s a
( )
det
det
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1
10 0 0
0 10 0
2 0 0
1
2 3
1
22 3
10 0
0 10
a
s
s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( )( ) det
( )
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�b
s
s
C
b s C s
1
1 4
1
1
2
1
1
10 0
0 10
2 0
100 20
det
( )
s a a
s
s s s a a
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
1
10 0
0 10 0
10 100
2 3
2
2 3
G s b s C s
s s s a a
( )
( )
( )
�
� �
� � �
1
2
1
2
2 3
100 20
10 100
Para entrada 1 e saída 2:
Gij s
s a a
s b
s
C
s a
( )
det
det
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 0
10 0
0 10 0
2 0 0
1
2 3
2
1
22 3
10 0
0 10
a
s
s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
56
UNICESUMAR
( )( ) det� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�b
s a a a
s
C
a sC s sa
2
2 4
1 2 3
1
2 1
2
1
1 0 10
2 0
2 2 100 3 1a C
G s a sC s sa a C
s s s a a
( )
( )
�
� � �
� � �
2 1
2
1 3 1
2
2 3
2 2 10
10 100
Para entrada 2 e saída 1:
Gij s
s a a b
s
s
C
s a
( )
det
det
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
10 0 0
0 10 0
0 0 0
1
2 3 1
2
22 3
10 0
0 10
a
s
s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( )( ) det� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�b
s a a a
s
C
1
1 4
1 2 3
2
1 0 10
0 0
G s s a C
s s s a a
( )
( ) _
( )
�
� �
� � �
10 10
10 100
1 2
2
2 3
Para entrada 2 e saída 2:
Gij s
s a a b
s
s
C
s a
( )
det
det
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
10 0 0
0 10 0
0 0 0
1
2 3 1
2
22 3
10 0
0 10
a
s
s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
57
UNIDADE 3
( )( ) det� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�b
s
s
C
1
1 4
2
1
10 0
0 10
0 0
G s b C
s s s a a
( )
( )
�
� � �
1 2
2
2 3
100
10 100
O resultado fica sendo:
G s
b s C s
s s s a a
s a C
s s
( )
( )
( )
( ) _
(
�
� �
� � �
� �
�
1
2
1
2
2 3
1 2
2
100 20
10 100
10 10
ss a a
a sC s sa a C
s s s a a
b
� �
� � �
� � �
10 100
2 2 10
10 100
100
2 3
2 1
2
1 3 1
2
2 3
1
)
( )
CC
s s s a a
2
2
2 310 100( )� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Por meio destes métodos apresentados, podemos obter a função de transferência 
de sistemas apor meio das matrizes de estado, e o mesmo processo pode ser feito 
de maneira inversa. Supondo que você tenha a função e transferência e precise das 
matrizes de estados, elas podem ser obtidas. Vamos analisar um exemplo, caso, em 
seu estudo, você tenha a seguinte função:
G s s
s s
( )
( )
�
�
� �
9
7 362
Sendo assim, a partir do denominador, podemos considerar que:
X s
U s s s
( )
( )
�
� �
1
7 362
Vamos fazer uma multiplicação entre os termos:
U s s s X s( ) ( ) ( )� � �2 7 36
Após multiplicarmos os termos, extraímos a matriz inversa, com isso, obtemos:
x t x t x t u t''( ) '( ) ( ) ( )� � �7 36
Agora, analisaremos o numerador, sendo:
Y s
X s
s( )
( )
� �9
58
UNICESUMAR
Seguindo os mesmos passos do observador, temos:
Y s s X s
Y s x t x t
( ) ( ) ()
( ) '( ) ( )
� �
� �
9
9
Sendo assim, a partir do cálculo feito em cima do denominador e do numerador, obtemos:
x t x t x t u t
x
x
''( ) '( ) ( ) ( )
'
''
� � � �
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
7 36
7 36
1 0
1
0��
� � � �� ��
�
�
�
�
�
u t
Y s x t x t
x t
x t
( )
( ) '( ) ( )
'( )
( )
9 1 9
A relação entre estas duas maneiras de representar o sistema, além da possível necessi-
dade de análise de casos que podem vir a lhe acompanhar, também, pode ser utilizada 
a partir de escolhas pessoais, como a construção de um diagrama. Pode ser mais fácil 
construir a partir de uma ou outra perspectiva, a obtenção da função transferência 
em sistemas com variáveis de estado pode ser utilizada, também, no meio de outros 
processos, como a obtenção dos zeros dos sistemas, buscando a estabilidade deles.
No Podcast desta unidade, conheceremos alguns 
softwares para cálculos, manipulações de siste-
mas e diagramas que podem ser utilizados e apli-
cados em sistemas de controle. Venha conhecer!
Matlab – Software voltado para cálculos envol-
vendo, entre outras, análises de sistemas e sinais, 
gráficos, matrizes e cálculo numéricos em geral. 
Muito utilizado por engenheiros e pesquisadores, 
tem alta performance, e o campo de aplicação é 
gigantesco. Considerado uma ferramenta essen-
cial para análise de sistemas. 
59
UNIDADE 3
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10449
Refaço a pergunta do início do conteúdo. Vamos supor que você tenha um sistema eletrô-
nico RCL no qual você consegue escrever o sistema na forma de estado. Como passar esse 
sistema na forma de estado para função de transferência? Considere um sistema RCL sendo:
x x u t'
*
* *
*
( )�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
0 1
9 10
1
1 10
100
1 10
1
9 10
2
2 2
2
YY s x( ) � � �0 100
considerando que:
R
C
L
�
�
� �
10
1
9 10 2*
A determinante do denominador fica sendo:
det(denominador)=s R L s LC
2 1+ +
,
utilizando a equação 
Gij s
sI A Bj
Ci Dij
sI A
( )
det
det
�
� ��
�
�
�
�
�
�� �
assim, temos a função de transferência do circuito RLC:
0
1
1
1
1
1 1
2 2
2 2
R
s R L
s R L s LC s
R
L s LC
s R L s LC
s
s R L s LC
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��
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�
�
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�
�
�
1
0
C
Montando a função e fazendo as devidas substituições, obtemos a função transferência 
do um circuito RLC. Sendo assim, ficaria:
0 9
111 11 1 112
,
, ,s s+ +
60
UNICESUMAR
A função de transferências do sis-
tema obtida por meio da matriz 
de transferência é de suma impor-
tância para o desenvolvimento de 
projetos de sistemas, estabelecendo 
uma relação entre as entradas e as 
saídas dos sistemas, fazendo com 
que possam ser projetadas e mani-
puladas as variáveis no processo.
A representação utilizando 
matrizes, conforme aprendemos 
na unidade, pode ser aplicada em 
um sistema de processo industrial, 
por exemplo. As atividades pro-
postas têm o objetivo de expandir 
sua capacidade enxergar sistemas 
e representá-los de modo que pos-
sa trabalhar com seus valores seja 
por sistemas de blocos, estado seja 
de transferência. 
Cabe, muitas vezes, a você que 
está lidando com os sistemas decidir 
qual a melhor maneira de lidar com 
ele. Pode acontecer de as informa-
ções que você possui serem suficien-
tes para montar um ou outro tipo de 
representação, mas com a capacida-
de de enxergar a relação existente 
entre elas. Você pode manipular os 
dados para ter a representatividade 
que quiser desde que consiga repre-
sentar de alguma forma.
61
UNIDADE 3
62
O que acha de fazer um Mapa Mental para criar anotações que lhe ajudem em sua percepção 
sobre o que foi ensinado até o momento? Algumas palavras estão lá para lhe ajudar, agora é com 
você, este espaço é seu! 
Matriz de Transferência
Função de Transferência
Experimentação
Podcast:
63
1. Observe, atentamente, as afirmações a seguir, assinalando (V) para verdadeiro e (F) 
para falso: 
I) A função de transferência é uma representação matemática da relação existente 
em um sistema de sua entrada e suas saídas. 
II) A função de transferência é a representação matemática do sistema, abordando 
suas saídas e somente a relação entre elas. 
III) A função de transferência é a representação matemática do sistema, abordando a 
relação somente de suas entradas. 
IV) A função de transferência é a representação por meio de blocos e diagrama dos 
sistemas. 
V) A função de transferência é a representação de entrada expressada por gráficos. 
Marque a alternativa que apresenta a sequência correta.
a) V, V, V, V, V.
b) V, F, V, F, F
c) V, F, F, F, F.
d) V, F, F, V, V.
e) V, V, V, V, F.
2. Observe a afirmação: Existe mais de uma maneira de representar um sistema dinâmi-
co. Ele pode ser______ ou pode_______, existindo uma ________ entre as representações. 
A partir desta afirmação qual das alternativas contém as palavras, na ordem, que com-
pletam, de maneira correta, a frase?
a) Espaço de estados - Função de transferência - Relação. 
b) Função de transferência – Observabilidade - Relação.  
c) Relação - Função de transferência - Espaço de Estados. 
d) Observabilidade - Função de transferência – Relação. 
e) Relação - Observabilidade - Espaço de estado. 
64
3. Defina a matriz de transferência, tendo os sistemas na forma de estado. 
A
a a a
B
C C C
D
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65
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1 2
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0 9 0
2 0
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6 0
0 9
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G s
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�
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�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 3
1 3
1
6 0 0 0
0 9 0 0
2 0
4. Tendo a matriz de transferência a seguir, ache a função de transferência que repre-
sente o sistema.
Gij s
s a a
s b
s
C
s a a
( )
det
det
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�
�
�
�
�
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�
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�
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�
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1 0
8 0
0 8 0
0 2 0
1
2 3
2
2
2 33
8 0
0 8
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�
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s
s
a) G s s C s C a
s s a a a
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( )
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� � � �
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9 9 8 64
2
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2 1
2
2 1 3
b) G s s C s a C a
s s a a
( )
( )
( )
�
� � � �
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8 8
9 8 8
2
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1 2 1
3
2 1
c) G s s C s a C a
s s a a a
( )
( )
( )
�
� � � �
� � � �
8 8
9 8 8 64
2
2
1 2 1
2
2 1 3
d) G s s C s a C a
s s a a a
( )
( )
( )
�
� � � �
� � � �
9 9
8 8 8 72
2
2
1 2 1
2
2 1 3
e) G s s C s a C a
s s a a a
( )
( )
( )
�
� � � �
� � � �
9
9 8 8 64
2
2
1 2 1
2 2
2 1 3
66
5. Marque a alternativa que completa, corretamente, as afirmações. A função de trans-
ferência pode ser obtida por meio da matriz de transferência representada por______. 
Utilizando determinantes, a matriz de transferência pode ser obtida por_________. As 
duas expressões têm o mesmo______.
a) G s C sI A B C( ) ( )� � ��1 ,Gij s
sI A Bj
Ci Dij
sI A
( )
det
det
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� ��
�
�
�
�
�
�� � ,determinante.
b) Gij s
sI A Bj
Ci Dij
sI A
( )
det
det
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�� � ,
Gij s
sI A Bj
Ci Cij
sI A
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det
det
�
� ��
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�
�� � , objetivo
c) G s C sI B B D( ) ( )� � ��1 ,Gij s
sI A Bj
Ci Dij
sI A
( )
det
det
�
� ��
�
�
�
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�� � , radical.
d) Gij s
sI A Bj
Ci Dij
sI A
( )
det
det
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� ��
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�
�� � ,
Gij s
sI A Bj
Ci Dij
sI B
( )
det
det
�
� ��
�
�
�
�
�
�� � , determinante
e) G s C sI A B D( ) ( )� � ��1 ,Gij s
sI A Bj
Ci Dij
sI A
( )
det
det
�� ��
�
�
�
�
�
�� � , objetivo.
4
Nesta unidade, falaremos sobre polos e zeros aplicados a siste-
mas multivariáveis. Entenderemos a diferença para zero de um 
sistema monovariável e veremos a importância do estudo para 
a análise de um sistema. Trataremos, também, do conceito e da 
aplicação do zero de transmissão. 
Polos e Zeros 
Multivariáveis
Esp. Daniel Rodrigues Cardoso
68
UNICESUMAR
A resposta que um sistema fornece pode ser considerada, de um 
ponto de vista, a junção de duas respostas, sendo uma delas de 
forma que exista o controle, e outra de uma forma considerada 
mais naturalmente. Para a análise do sistema, muitas técnicas mate-
máticas podem ser aplicadas para que se tenha êxito na saída, mas 
o uso de análise de polos e zeros e seus efeitos sobre a resposta faz 
com que a análise, dependendo do caso, seja mais fácil e rápida.
Um dos principais objetivos da análise de sistemas dinâmicos 
é a busca por estabilidade. Podemos resumir, então, que utiliza-
mos a análise para conhecer os polos e os zeros de um sistema 
para observar o comportamento dele. Quando trabalhávamos 
com sistemas com apenas uma entrada e uma saída, os zeros, 
talvez, pudessem ser encontrados de uma maneira mais sim-
ples, mas ocorre um novo problema com sistemas que possuem 
múltiplas entradas e saídas. Devido à existência de uma matriz 
composta, existirá mais de uma função de transferência. Mesmo 
tendo todos os denominadores iguais, os numeradores serão di-
ferentes entre eles, sendo possível acharmos os zeros das funções, 
mas não especificamente o zero do sistema.
Sendo assim, teria uma relação da estabilidade de um sistema 
com análise de polos e zeros? E seria possível achar zeros para 
sistemas com as múltiplas entradas e saídas?
O estudo e a busca da análise de sistemas têm a sua relação 
ligada à saída e ao controle e como obter as respostas desejadas 
e ter controle. Para isso, faz-se necessário o conhecimento sobre 
ele. Os zeros existentes no sistema aparecem em ações internas 
que resultam em uma saída nula, mesmo que a entrada não seja 
zero. É de suma importância a busca pelos valores de polos e 
zeros para que se entenda o efeito que ele pode causar no sistema, 
impactando a resposta dele.
Vamos verificar a matriz de transferência a seguir cuja prática 
pode ser realizada com outra matriz desde que tenha as mesmas 
características destas.
G s
s s
s s
s
s s
s s
s
s s
( ) �
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�
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� �
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2
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2 2
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16
2 10
5
2 10
9
2 10
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
69
UNIDADE 4
Utilizar o software Matlab para calcular os zeros des-
tes sistemas, mas você pode utilizar outro software 
matemático de sua preferência. Acesse o QR Code 
que direcionará você para um cadastro. Após realizar 
seu cadastro, será liberado uma licença teste para uso. 
É liberado, também, para utilização de modo online. 
Nosso teste será com a versão online. Na opção Open 
Matlab online, ele abrirá sem a necessidade de insta-
lação. No ambiente do Matlab, no espaço em branco com o indicador será 
onde trabalharemos. 
No ambiente do Matlab escreva:
Tf ([],[])
- Para o sistema entender que se trata de uma função de transferência.
- Dentro da primeira chave, você coloca os valores do numerador.
- Dentro da segunda chave, você coloca os valores do denominador.
[ 1 5 10] [1 2 10]
Atribua um nome para a função:
Fuc=if([ 1 5 10],[1 2 10])
O comando roots é utilizado para capturar os zeros:
zeros= roots(fuc.num{1})
Para achar os polos:
Polos=roots(fuc.den{1})
Para segunda função:
Tf ([-5],[ 1 2 10])
Fuc2=if([ 5 ],[1 2 10])
zeros= roots(fuc2.num{1})
Polos=roots(fuc2.den{1})
Faça os mesmos passos para as outras funções de transferência.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/12276
70
UNICESUMAR
Reflita comigo, aluno(a), sobre a atividade desenvolvida dentro do Matlab. O uso de um software 
matemático ajuda-nos muito na vida profissional, e a escolha de um software passa, muitas vezes, 
por opiniões, até pessoais, do projetista de sistemas. Sobre os resultados obtidos, foram encontra-
dos diversos zeros para o sistema. Estes valores são os zeros das funções de transferência, mas não 
satisfazem as exigências para que possam ser considerados zeros de um sistema com múltiplas 
entradas e saídas, pois existem pontos que precisam ser satisfeitos.
Quando tratávamos de sistemas com uma entrada e uma saída, estes zeros obtidos pela função 
de transferência eram iguais, conforme foram obtidos na atividade. Para sistemas MIMO, os zeros 
ganham o nome de zero de transmissão. Este processo é devido ao sistema ter várias funções de 
transferência dentro de uma matriz.
DIÁRIO DE BORDO
71
UNIDADE 4
Começaremos relembrando as definições de SISO e MIMO, pois estes termos serão muito utilizados 
nesta unidade.
Considerando que a função 
de transferência é formada 
por uma razão de polinô-
mios, os polos contidos nela 
correspondem a valores que, 
aplicados ao sistema, tornam a 
função de transferência infini-
ta, enquanto os zeros tornam a 
função de transferência igual a 
zero. Os polos e zeros têm uma 
grande importância na análi-
se de sistemas, por meio dele 
podemos definir se o sistema 
vai, ou não, oscilar, podemos 
verificar a estabilidade dele, se 
ele é estável ou instável.
Para melhor entendimento 
dos efeitos dos polos, sabe-se que polos em uma função de entrada geram uma saída forçada, e 
um polo em uma função de transferência gera uma saída de forma natural. Os polos e os zeros de 
uma função de transferência criam um valor de efeito sobre qualquer tipo de resposta do sistema.
Segundo OGATA (2011), em uma abordagem convencional, para construir um sistema mono-
variável, criamos um controlador (compensador), e os polos dominantes de malha fechada têm um 
coeficiente de amortecimento z desejado e uma frequência natural não amortecida. Nesta abor-
dagem, a ordem do sistema pode ser aumentada em 1 ou 2, a menos que ocorram cancelamentos 
de polos e zeros. Nesta situação, aceitamos que os efeitos na resposta dos polos não dominantes 
de malha fechada sejam descartáveis. Em vez de atuar por meio dos polos dominantes de malha 
fechada (abordagem pelo projeto convencional), a abordagem especifica que queremos utilizar 
todos os polos de malha fechada. 
ZERO
Sinal de entrada
Sistema
A palavra SISO vem de single-input single-output, ou seja, consiste em um sistema com 
uma entrada e uma saída. Já o MIMO vem de mutiple-input and mutiple-output, ou seja, 
consiste em representar sistemas de múltiplas entradas e múltiplas saídas.
72
UNICESUMAR
Existe, porém, certo custo trabalhar desta forma, pois, para a alocação de todos os polos de malha 
fechada, requer que todas as variáveis de estado possam ser medidas com êxito, ou, então, requer a 
inclusão de um observador de estado aplicado ao sistema. Também existe uma situação com relação 
ao sistema para que os polos de malha fechada sejam livremente alocados em posições definidas pelo 
projetista. Esta condição é que o sistema seja de estado completamente controlável. 
Filme: O homem que viu o infinito
Ano: 2015
Sinopse: a história de Srinivasa Ramanujan, matemático indiano que fez 
importantes contribuições para o mundo da matemática, bem como a 
teoria dos números, a série e as frações contínuas.
Comentário: como estamos em um ponto do estudo bastante voltado 
para o cálculo em si, fica, aqui, esta indicação deste filme que demonstra 
o amor de um homem pelos números.
Vamos verificar o exemplo a seguir:
G s k s s
s s s s
( )
( )( )
( )( )( )
�
� �
� � �
6 8
2 3 10 2
Zeros são os valores de s que fazem G(s)=0 
k s s
s
s
( )( )� �
� �
� �
6 8
6
8
Os polos são os valores de s que fazem com que G(s) tenda ao infinito.
s s s s
s
s
s
s
( )( )( )� � �
�
� �
� �
�
2 3 10
0
3
10
10
2
73
UNIDADE 4
Em um sistema considerado SISO, dentro de uma função de transferência, os polos e zeros podem ser 
obtidos por meio de suas raízes. Podemos considerar a saída do sistema com zero, se a função G(s) for 
iguala zero, e s como saída do polinômio do numerador da função. Estes zeros de G(s) fazem deter-
minado bloqueio da emissão do sinal.
Para sistemas MIMO, os zeros podem ser considerados números complexos que podem anular, 
simultaneamente, todas as saídas do sistema. Fazendo análise em sistemas MIMO, faz-se necessário 
analisar cada elemento contido dentro da matriz. Neste caso, observa-se que, devido às múltiplas va-
riáveis existentes no sistema, a definição destes polos é mais difícil de determinar.
A complexidade dos cálculos de zero para sistemas MIMO pode ser exemplificada no caso de a 
matriz de transferência conter diversas funções de transferência para o mesmo sistema. A técnica para 
o cálculo dos zeros da função de transferência ainda se mantém a mesma, porém os zeros da função 
de transferência não são os mesmos do sistema. Para que seja considerado zero do sistema, ele precisa 
satisfazer algumas condições.
GeoGebra é um software com acesso livre voltado para matemática. 
A utilização de figuras empregadas por ele ajuda na percepção dos 
cálculos para uma visão estendida além dos números. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Título: Controle Automático 
Autor: Plinio Benedicto de Lauro Castrucci, Anselmo Bittar e Roberto Sales
Editora: LTC
Sinopse: o livro contém exercícios com diversos graus de complexidade, 
aborda sistemas de controle como um todo, exemplificando por meio de 
situações em usinas químicas, térmicas, de cimento, petroquímicas, máqui-
nas operatrizes, robôs, aeronaves, metrôs, entre outros. É um livro muito 
indicado para cursos, como Engenharia Elétrica, Engenharia Controle e Automação e Engenharia 
de Telecomunicações.
Comentário: o livro tem um valioso material dedicado ao controle multivariável, sendo a pesquisa, 
nele, inclusive, sobre a análise de polos e zeros extremamente indicados.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/12218
74
UNICESUMAR
Os zeros para sistemas MIMO recebem o nome de zeros de transmissão e podem 
ser considerados uma variável da transformada de Laplace, tendo como a resposta no 
domínio do tempo igual a zero, e tem como uma de suas principais características a 
capacidade de bloquear determinado sinal. Por isso, dependendo da literatura, pode 
ser encontrado com o nome zero de bloqueio.
Podemos afirmar que Z de zero da função G(z) pode ser considerado um zero de 
transmissão, contudo, é essencial satisfazer uma das condições a seguir:
• Condição 1 – O posto normal de G(z) é idêntico a q, sendo a existência de um 
vetor V de modo G(Z0)V=0.
• Condição 2 – O posto normal de G(z) é igual a r, e existe um vetor o qual 
podemos chamar de w, sendo wG(Z0)=0.
• Condição 3 – G(Z) é quadrado e determinante de G(Z0)=0.
 Posto Normal – É considerado posto normal o maior posto de G(z). Exemplo:
G z
z
z
z
( ) �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
2 2
4 4
Para este caso, temos posto=4, sendo o posto normal igual ao número de linhas e 
colunas, ou seja, para que a linha G(z) seja independente, diz-se que o posto é um 
posto completo.
Analisando um sistema dinâmico, observe o exemplo a seguir:
'( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x t Ax t Bu t
y t Cx t Du t
= +
= +
Uma condição ligada ao valor de zero de transmissão se dá quando o vetor de entra-
da possui frequência igual ao valor de zero. Se pararmos para pensar que a situação 
inicial pode ser atribuída como X0, então, temos:
u t u e
x t u e
y t
zt
zt
( )
( )
( )
=
=
=
0
0
0
Se estabelecermos a relação de um sistema com as condições iniciais propostas, 
obteremos, na forma matricial:
75
UNIDADE 4
s I A B
X
U
0
0
0
0���
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Tendo a saída do sistema como zero, a frequência propagada do zero, na equação de 
saída, obtemos na forma matricial:
C D
X
U
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�0
0
0
Escrevendo estas duas matrizes em uma, obtemos:
det
zI A B
C D
X
U
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�0
0
0
Vamos, agora, verificar um exemplo:
A partir da função na forma de espaço de estado:
x x t u t
y t x t
' ( ) ( )
( ) ( )
�
� ��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� � �
8 7
1 0
1
0
1 10
Considerando o valor de -2 para o zero da função de transferência, podem ser cal-
culados os zeros de transmissão a partir da determinante da matriz:
det
zI A B
C D
� ��
�
�
�
�
�
O s passa ser escrito como z para reforçar que vem do cálculo do zero da função.
Substituindo os valores devidos, temos:
det
z
Z
Z
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
8 7 1
1 0
1 10 0
10
76
UNICESUMAR
Tendo o zero de transmissão igual a -10, precisamos achar a direção sendo:
det
det
z
Z
X
X
Uz
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
8 7 1
1 0
1 10 0
2 7
10
01
02
0
��
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
��
1
1 10 0
1 10 0
2 7
10
01
02
0
01 02
z
X
X
U
X X �� �
� � �
� �
� �
�
� �
U
X X
X X
X
X
U
0
01 02
01 02
01
02
0
0
10 0
10 0
20
200
540
Considerando um sistema que poderia ter dado origem à questão e fazendo as devidas 
substituições, a saída dos sistemas ficaria sendo:
Yf s s
s s s
( ) �
�
� � �
10
8 7
2
5402
Neste resultado, pode-se observar, na saída, a inexistência do valor dinâmico rela-
cionado à sua entrada, assim, entende-se que ouve um bloqueio do zero do sistema 
à sua entrada (е2t.).
Considerando X0 como:
X
X
X
X
0
01
02
0
20
200
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��
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E considerando a saída como:
Y t Ce Xh
At( ) = 0
77
UNIDADE 4
a transformada de Laplace deste Yh(t) fica sendo:
y s C sI A X
s
s
Yf s
h ( ) ( ) det
( )
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�
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�
��
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1
0
1
1 10
8 7
1
20
200
��
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��
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8 7
1
7 8
20
200
1 10
8 7
2
2
s s
s
s
Yf s
s s
( )
220 200
140 200 1600
20 200 1400 2000 1600
s
s
Yf s s s
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�
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�
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�
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( )
00
8 7
2020 17600
8 7
2
2
s s
Yf s s
s s
� �
�
� �
� �
( )
A saída que representa o sistema contendo a condição inicial e a entrada ocorrida 
ficaria sendo a soma de ambas, ou seja:
Yf s s
s s s
s
s s
( ) �
�
� � �
�
� �
� �
10
8 7
2
540
2020 17600
8 72 2
Ainda sobre os zeros, existem os que recebem o nome de zero invariante que são 
definidos pela matriz:
sI A B
C D
� ��
�
�
�
�
�
Se l for um número complexo, ele pode ser considerado um zero invariante desde 
que satisfaça a seguinte situação:
posto de posto normal
lI A B
C D
sI A B
C D
� ��
�
�
�
�
� �
� ��
�
�
�
�
�
.
O número complexo λ é um zero invariante de (A, B, C, D) se, e só se, pelo menos, 
uma das duas condições se mantêm:
• λ é um autovalor da parte não observável de (A, C, B, D). 
• Existem dois vetores 0 x B e u0 ≠ 0 tal que a saída forçada de (A, C, B, D) correspon-
dente à entrada u(t) = u0 e ,t ≥ 0 λt e estado inicial 0 x é, identicamente, zero para t≥0.
Bem, como vimos, a condução da resposta do sistema está ligada aos polos e aos zeros 
dele. Assim como existe esta relação da direção que o sistema toma, entende-se que a 
estabilidade dele tem total ligação com estes conceitos. Esta estabilidade de sistemas 
contém variáveis de estado por meio da função de transferência, a partir da análise 
do denominador.
78
UNICESUMAR
A análise de zeros e polos, na função de transferência que foi trabalhada no MATLAB, não servem 
para análise de sistemas MIMO. Como pode ser observado, o zero de um sistema considerado MIMO 
parte de outra análise, ou seja, o zero de transmissão. De acordo com Dorf e Bichop (1988), um sistema 
pode ser considerado estável sendo um sistema dinâmico com uma resposta considerada limitada a 
uma entrada limitada. A importância da análise de polos e zeros tem muito a ver com a estabilidade 
de um sistema, uma vez que, pela análise, entende-se que, ao receber algum estímulo, a sua saída volta 
ao valor de zero.
Do ponto de vista da análise de polos e zeros, o sistema pode ser considerado estável. Além disso, os 
polos e zeros tem efeito direto sobre o comportamento dos sistemas,como oscilações iniciais podem 
ser aumentadas ou diminuídas por meio da manipulação dos mesmos. A aplicação dos conhecimentos 
adquiridos sobre e polos e zeros serão utilizados nos próximos conteúdos, podem ser utilizados na 
construção de projetos de controle, assim como auxiliam nas avaliações de sistemas existentes.
Faz-se necessário observar que citações ligadas às variações da busca dos valores de zeros podem 
acontecer, é preciso uma busca por melhor entendimento destas situações para que o profissional seja 
capaz de estabelecer, estipular os polos e zeros, independentemente do sistema analisado.
Título: Sistemas Realimentados
Autor: Luís Antônio Aguirre
Editora: Blucher
Sinopse: o livro traz os conceitos de realimentação de sistemas do ponto 
de vista e contextualiza os principais engenheiros e pesquisadores que 
atuaram na área com o passar das décadas.
Comentário: neste livro, escrito por Luís Antônio Aguirre, temos uma per-
cepção do ponto de vista histórico da análise de controle e conhecemos 
os nomes por trás dos cálculos que estudamos.
Vamos adentrar mais nos conceitos de polos e zeros por meio deste 
podcast? Aqui, veremos a relação de polos e zeros com autovalores 
e a estabilidade do sistema. Aguardo você em mais este encontro 
para disseminarmos conhecimento.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10450
79
Finalizando esta unidade, proponho a você desenvolver um Mapa Mental para ajudar em sua 
percepção do que foi ensinado até o momento. Vamos lá? Algumas palavras já estão no mapa 
para ajudar. Agora é com você, este espaço é seu! 
ZERO DE TRANSMISSÃO ZERO INVARIANTE
MIMO
POLOS E ZEROS 
SISO EXPERIÊNCIA COM AS INDICAÇÕES
80
1. Os zeros de uma função de transferência têm uma relação direta com a estabilidade 
de um sistema. Sabendo da importância deste conceito e de acordo com as afirmações 
a seguir, marque (V) para verdadeiro e (F) para falso:
 ) ( Os zeros de transmissão podem ser considerados como uma variável da transformada 
de Laplace.
 ) ( A transformada de Laplace com resposta no domínio do tempo igual a zero é carac-
terística do zero de transmissão.
 ) ( Os zeros da função de transferência são os mesmos zeros que satisfazem um sistema 
MIMO.
 ) ( Zeros de transmissão satisfazem condições em sistemas SISO e MIMO.
 ) ( A forma natural utilizada para calcular os zeros de transmissão dá-se por:
det
zI A B
C D
X
U
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�0
0
0
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
a) V, V, V, V, V.
b) V, F, V, V, V.
c) V, V, F, V, V.
d) V, V, V, F, V.
e) V, F, V, F, V.
2. Zeros de transmissão é o termo utilizado para descrever um zero presente em sistemas 
multivariáveis, porém, para o zero ser considerado um zero de transmissão, existem 
condições específicas a que ele deve atender. Quais destas condições são necessárias 
para afirmar que o zero de G(z) é considerado um zero de transmissão?
I) O posto normal de G(z) é idêntico a q, sendo a existência de um vetor V de modo 
G(Z0)V=0.
II) O posto normal de G(z) é idêntico a q, sendo a existência de um vetor V de modo 
G(Z0)V=1.
III) O posto normal de G(z) é igual a r. Existe um vetor o qual podemos chamar de w, 
sendo wG(Z0)=0.
IV) G(Z) é quadrado e determinante de G(Z0)=0.
V) G(Z) não é quadrado e determinante de G(Z0)=0.
81
É correto o que se afirma em: 
a) I, II, III e V.
b) I, III e IV.
c) II, IV e V.
d) II, III e IV.
e) I e IV.
3. O conceito de polos e zeros é essencial para o entendimento de definições mais com-
plexas que vão surgindo, conforme se analisa sistemas cada vez mais robustos. Sendo 
assim, qual das alternativas melhor explica o conceito de polos e zeros?
 ) ( Os polos contidos em uma função de transferência correspondem a valores que, 
aplicados ao sistema, resultam em uma função de transferência no valor de zero, 
enquanto os zeros contidos na função levam a função de transferência ao infinito.
 ) ( Os polos contidos em uma função de transferência correspondem a valores que, apli-
cados ao sistema, torna a função de transferência infinita enquanto os zeros contidos 
na função levam a função de transferência ao valor de zero.
 ) ( Os zeros são encontrados no numerador de uma função de transferência, enquanto 
os polos no denominador.
 ) ( Os polos contidos em uma função de transferência correspondem a valores que, apli-
cados ao sistema, torna a função de transferência finita, enquanto os zeros contidos 
na função levam a função de transferência aos valores iniciais.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
a) F, F, F, F, F.
b) F, F, V, V, F.
c) V, V, V, F, F.
d) F, V, V, F, V.
e) F, F, F, V, F.
4. Temos, na função de transferência, uma forma de representação do sistema e por meio 
de seus polos e zeros, podemos direcionar o resultado que desejamos a ele. A partir 
desta afirmação, determine os zeros e os polos da função: 
G s s
s s s
( )
( )( )( )
�
�
� � �
6
8 5 100 2
82
Assinale a alternativa que corresponde à sequência correta.
a) Zero sendo -3 e polos sendo -8, -5.-100 e 100.
b) Zero sendo -6 e polos sendo -8, -13, 100.
c) Zero sendo -4 e polos sendo -8, -13.-100 e 100.
d) Zero sendo -6 e polos sendo -8, -5.-100 e 100.
e) Zero sendo 6 e polos sendo -8, -5.-100 e 100.
5. Sabendo da capacidade de se determinar a direção do sistema, por meio de seus zeros, 
e considerando que a extração deles de diferentes formas de representação de um 
sistema pode aumentar as possibilidades de resolver questões envolvendo estabilida-
de e controle, encontre o(s) zeros de transmissão das equações na forma de estado: 
x x t u t
y t x t
' ( ) ( )
( ) ( )
�
� ��
�
�
�
�
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�
�
�
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� � �
2 1
1 0
1
0
1 5
Assinale a alternativa que apresenta a resposta correta.
a) 5 e 0.
b) -5.
c) -5 e 5.
d) 5. 
e) 5 e 1.
6. Conforme estudamos sistemas mais complexos, conceitos que são considerados bases 
para um bom entendimento de um sistema sofrem mudanças para conseguir atender 
às novas situações que vão surgindo. Baseado em seus conhecimentos adquiridos até 
o momento, escreva, com as suas palavras, seu entendimento sobre zero e zero de 
transmissão.
83
7. Quando falamos de zero e zeros de transmissão, espera-se de uma pessoa que se 
propõe a desenvolver projetos de sistemas de controle que se tenha o entendimento 
em situações em que o zero pode ser considerado um zero de transmissão. Leia, aten-
tamente, as afirmações sobre as condições para podermos considerar o zero como 
zero de transmissão:
 ) ( Em uma abordagem convencional, para construir um sistema monovariável, criamos 
um controlador (compensador), sendo que os polos dominantes de malha fechada têm 
um coeficiente de amortecimento z desejado e uma frequência natural não amortecida.
 ) ( Os zeros para sistemas MIMO recebem o nome de zeros de transmissão. Estes zeros 
podem ser considerados uma variável da transformada de Laplace, tendo como res-
posta no domínio do tempo igual a zero.
 ) ( Em uma abordagem convencional para construir um sistema monovariável, criamos 
um controlador (compensador), sendo que os zeros dominantes de malha fechada têm 
um coeficiente de amortecimento z desejado e uma frequência natural amortecida.
 ) ( Os zeros para sistemas MIMO recebem o nome de zeros de transmissão. Estes zeros 
podem ser considerados como não variável da transformada de Laplace, tendo como 
resposta no domínio do tempo igual a um.
 ) ( Se l for um número complexo, ele pode ser considerado um zero invariante, desde 
que satisfaça a seguinte situação:
posto de posto normal
lI A B
C D
sI A B
C D
� ��
�
�
�
�
� �
� ��
�
�
�
�
�
.
Marque a alternativa que contenha a sequência correta.
a) F, F, F, F, F.
b) V, F, F, F, F.
c) V, V, V, F, F.
d) F, V, V, F, V.
e) F, F, F, V, F.
84
5
Nesta unidade, discutiremos sobre os conceitos de sistemas com 
realimentação feitos por meio das variáveis de estado. Falaremos 
sobre a realocação de polos tratando de sistemasMIMO e qual 
condição se faz preciso para executar esta ação. Também demons-
traremos exemplos práticos de se aplicar o conhecimento adquirido.
Realimentação de 
Estados
Esp. Daniel Rodrigues Cardoso
86
UNICESUMAR
Você já ouviu falar de realimentação de estado? Vamos imaginar uma situação hipotética em que 
você, projetista de controles, foi chamado novamente para integrar a equipe de projetos que estava 
desenvolvendo sistemas para um laticínio. O projeto em questão envolve um sistema autônomo para 
filagem de queijo. A parte na qual você trabalhará envolve três variáveis de estado fazendo uma rea-
limentação, porém, a partir de determinado momento, o sistema em si ficou instável. Diante de um 
sistema com realimentação de estado que se torna instável depois de determinado período, o que você 
como projetista de controles pode fazer a respeito?
Desenvolver e lidar com sistemas que possuem realimentação de estados é de suma importância. 
Veja que tais sistemas são encontrados em diversos ambientes com que você possa a vir trabalhar, 
como empresas de automação, indústrias em um contexto geral e pesquisas. Além do mais, sistemas 
industriais modernos dificilmente são aceitáveis para os padrões de hoje sem ter algum tipo de retor-
no automático. Estes sistemas que apresentam certas vantagens sobre outros tipos podem gerar uma 
desestabilização em determinado momento, por isso, faz-se necessário efetuar a devida correção.
Sistemas com realimentação, normalmente, são sistemas automáticos que se iniciam com, pelo 
menos, uma ação. Você conhece alguns sistemas que sejam assim? Gostaria que você procurasse re-
conhecer um sistema autônomo em que ocorra uma realimentação, de preferência, procure sistemas 
que envolvam algum tipo de controlador, tente observar e anotar as variáveis de estado presentes, se 
houver, assim como tente anotar todas as suas observações e dúvidas sobre o sistema e o represente, 
graficamente, seja em diagrama de bloco, função de transferência seja na forma de equação de estado. 
Anote, depois, se existe uma realimentação de estado no sistema.
É de suma importância que você comece a associar estes sistemas envolvendo realimentação que 
existem no dia a dia de quem trabalha com controle. É interessante que se analise um sistema automá-
tico que tenha um controlador, pois as características deste tipo de sistema se enquadram no conteúdo 
e se trata de um exemplo que tem realimentação de estado e um sistema de controle sobre a resposta 
do sistema. A representação de sistemas, graficamente, e a busca por observações de polos do sistema o 
ajudam a enxergar o sistema por trás das expressões e dos números, tudo isso vem com a única intenção 
de agregar à sua visão o conteúdo que abordaremos.
DIÁRIO DE BORDO
87
UNIDADE 5
Vamos pensar um pouco sobre sistemas automáticos. Sistemas envolvendo realimentação tem uma 
ligação muito forte com este tema, afinal, o retorno do sinal realimentando o sistema é uma caracte-
rística do sistema automático, embora nem toda realimentação em um sistema caracteriza um sistema 
automático, a realimentação é um critério para existência dele.
O primeiro sistema envolvendo realimentação de estado feito na Europa foi criado por um inven-
tor chamado Cornelis Drebbel, cabe a ele a invenção do termostato. Ele criou um tipo de controle de 
temperatura, por volta do ano de 1620, com o propósito de fazer o controle de temperatura de uma 
incubadora de frangos. Já o primeiro sistema automático aplicado na indústria foi desenvolvido por 
James Watt, por volta de 1769, e sua invenção tinha o propósito de fazer um controle de velocidade de 
uma máquina de vapor, conforme a figura.
88
UNICESUMAR
Esfera metálica
Velocidade medida
Regulador
Eixo de saída
Máquina a vapor
Válvula
Vapor
Caldeira
Figura 1 - Sistema desenvolvido por James Watt / Fonte: Dorf e Bishopp (1988).
Descrição da Imagem: a figura mostra um sistema de controle de velocidade de uma máquina a vapor. De baixo para cima, temos 
uma roda com um cilindro saindo no centro dela indo à esquerda; neste cilindro sai uma conexão que liga a um equipamento com 
uma base rolante, este equipamento faz uma ligação a uma bomba, e desta sai uma mangueira que liga a um cilindro, deste sai uma 
haste de metal ligando no centro da roda.
89
UNIDADE 5
Segundo Dorf e Bishopp (1988), antes da Segunda Guerra, o estudo e a pesquisa de siste-
mas de controle tomou um caminho dividido em duas frentes. Um deles foi nos Estados 
Unidos, que aplicaram os estudos da realimentação de sistemas em sistemas telefônicos 
e amplificadores eletrônicos por meio de Bode, Nyquist e Bode, enquanto, na União 
Soviética e no leste Europeu, dominaram o campo da teoria dos sistemas de controle.
Os sistemas de controle automático ganharam importância e foram necessários 
na Segunda Guerra, devido à precisão de construir pilotos automáticos. Com o 
surgimento do Sputnik e do início da pesquisa envolvendo engenharia espacial, a 
engenharia de controle recebeu uma nova dimensão de necessidades, estas que só 
crescem conforme a tecnologia avança e exigem que o estudo de sistemas acompanhe 
para fornecer as respostas que a demanda da necessidade exige.
Vamos iniciar falando sobre realimentação de estados, o efeito que estes polos 
podem vir a ter sobre o sistema e em que condição estes polos podem ser realocados.
Analisando o sistema da Figura 2:
U
SISTEMAS
K1 K2
Figura 2 - Sistema 01 / Fonte: o autor (2021).
Descrição da Imagem: a figura apresenta um sistema que se inicia com uma seta para a direita indicando 
a entrada com a descrição “u”; em seguida, um retângulo preto com a descrição “sistema”. Deste retângulo, 
saem duas setas, uma seta curva no sentido horário em direção para baixo dá continuidade ao fluxo, e uma 
seta apontando para a direita para fora da figura. Na parte inferior, a flecha curva está apontando para dois 
quadrados em série, o primeiro com a descrição “K2”, após ele, uma seta para a esquerda e o outro quadrado 
“K1”; saindo dele tem uma seta apontando para a esquerda saindo do sistema.
Considerando o sistema como G(z) pode se verificar que a figura representa um 
sistema de malha aberta, ela tem como uma de suas características que os polos de 
G(z) não são afetados pelos valores de K, ou seja, independente de K o sistema pode 
ser ou não estável, ou seja, o K não proporciona uma mudança em G(z).
90
UNICESUMAR
Observe, agora, esta outra figura:
r u
K1 K2
SISTEMAS
Figura 3 - Sistema 02 / Fonte: o autor (2021).
Descrição da Imagem: a figura apresenta um sistema que tem início por uma seta na entrada, com a descrição “r” apontando para a 
direita; logo após, temos um círculo e uma seta saindo dele (continuando na direção para a direita) está apontando para um retângulo 
em que está escrita a palavra Sistema. Deste retângulo, saem duas setas, uma seta curva em sentido horário em direção para baixo dá 
continuidade ao fluxo, e a outra seta apontando para a direita para fora da figura. Na parte inferior, a flecha curva está apontando para 
dois quadrados em série, o primeiro com a descrição “K2”, após ele, uma seta para a esquerda e o outro quadrado “K1”. Saindo deste 
quadrado, uma seta curva em sentido horário está apontando para o círculo do início com um sinal de negativo.
Neste caso, K1 E K2 passam a influenciar G(z), pois passam a fazer parte do denominador da 
função. A realimentação dos estados do sistema é aplicada para exercer um controle ao sistema 
dinâmico no espaço dos estados. Este controle por realimentação de estados possui vantagens se 
compararmos com um controle no qual a sua realimentação acontece pela saída.
A realimentação por meio de estado é pertencente ao controle moderno, enquanto a realimentação 
por meio da saída pertence ao controle clássico. Se fizermos uma análise visando à comparação entre 
estas duas alimentações, podemos imaginar um mecânico que, diariamente, aperta uma porca que se 
solta, sendo assim, ele atua em cima do mesmo problema, e podemosassociar este tratamento como 
controle clássico. Mas, se este mecânico resolvesse atuar utilizando conceitos do controle moderno, 
ele iria, primeiramente, identificar a causa e atuaria em cima do motivo que vem causando este afrou-
xamento constante da porca. Um controle por realimentação de estados tem uma eficiência maior se 
compararmos com a realimentação indicada no controle clássico, talvez a dificuldade relacionada a ele 
e o fato de os estados do sistema precisarem ser mensuráveis, ou seja, precisam se cabíveis de medição.
Quando pensamos em controle, ou seja, uma maneira de se fazer o controle do processo em 
análise, seja qual for, ele pode ser considerado como regulador de sistemas ou cervo. O regulador 
de estado tem o objetivo de estabelecer todo o sistema em uma condição estática do processo, e o 
sistema cervo tem como objetivo que sua saída percorra o caminho que o direcione.
91
UNIDADE 5
Em um sistema considerado regulador de estado ocorre em uma malha 
fechada onde rt0, ou seja, as indicações para suas saídas serão zero.
Tendo um sistema:
x t Ax t Bu t
y t Cx t Du t
'( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
� �
� �
Entendendo que k é a matriz de ganho:
( ) ( )u t Kx t= −
Um controlador por realimentação dos estados, a matriz que é responsável pelo 
ganho, multiplica os estados do sistema, visando fornecer a entrada. Fazendo a 
substituição do ganho nos sistemas, obtemos:
x t A BK x t
y t Cx t
'( ) ( ) ( )
( ) ( )
� �
�
Este resultado foi possível considerando que AB é controlável, e AC é observável.
De acordo com Katsuhiko (2011), em uma análise tradicional, pensando em 
um projeto para sistemas com uma entrada e uma saída, por tratar de um projeto 
de controlador, tal que os polos dominantes de malha fechada tenham um coefi-
ciente de amortecimento z e uma frequência natural não amortecida, a ordem do 
sistema pode ser aumentada em 1 ou 2, a não ser que aconteçam cancelamentos 
de polos e zeros. Nesta situação, entendemos que os efeitos na resposta dos polos 
não dominantes de malha fechada sejam insignificantes. Analisando de outra 
forma a presente abordagem específica, em todos os polos de malha fechada 
existe uma condição com relação ao sistema, sendo assim, para que esses polos 
sejam, arbitrariamente, alocados em posições escolhidas, ele precisa ser de estado 
completamente controlável.
Como foi dito, a realimentação de estado pode ser dado por u(t)=-Kx(t).
Exemplo de uma matriz K.
K
k k k k
k k k k
k k k km m m m
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11 12 13 14
21 22 23 24
1 2 3 4
: : : :
92
UNICESUMAR
Para um sistema MIMO, ocorre a existência de mais graus de liberdade do que realmente se faz pre-
ciso, e, para a matriz K, existe mais parâmetros de que não se tem conhecimento de equações para 
se definir. Diante disso, pode-se definir, também, que, visando achar os polos de maneira arbitraria, 
é preciso apenas n elementos da matriz. Definida a existência de graus a mais, podemos direcionar 
valores para certos elementos de k, querendo obter um número específico de valores de que não se 
tenha conhecimento. Podemos, por exemplo, dar às colunas da matriz k valores iguais a zero, desta 
forma, estas colunas já não são atribuídas ao controle, assim como se dermos zero a uma ou mais 
linha da matriz, as entradas em questão ficam dispensáveis ao controle. Conforme dito, existe uma 
condição necessária para podermos fazer uma condição arbitrária de polos. Se o sistema não for de 
estado controlável, os valores presentes em A-Bk não podem receber um controle, quando se trata de 
um caso de realimentação de estado.
D
B + S X +
A
-K
u
Figura 4 - Sistema 03 / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura apresenta um sistema. Na esquerda, temos um pequeno quadrado com a letra “u”, saindo deste quadrado 
uma seta curva em sentido horário indica, acima, outro quadrado maior com a letra “B”. Logo depois, temos um fluxo retilíneo com as 
setas apontando para o lado direito; a primeira aponta para um círculo com o sinal de positivo “+”, saindo do círculo, outra seta aponta 
um quadrado com a letra “s”, a próxima aponta um quadrado com a letra “x”, e a outra seta saindo deste último quadrado e aponta para 
um círculo com o sinal de positivo “+”. Entre o quadrado com a letra “s” e o quadrado com a letra “x”, temos uma seta; abaixo dela, outra 
seta com sentido para cima, e, para a esquerda, aponta um quadrado com a letra “A”; saindo deste quadrado, ao lado esquerdo, outra 
seta com sentido para a direita, e, para cima, aponta para o círculo inicial com o sinal de positivo “+”. Existe, também, outra seta abaixo do 
quadrado com a letra “X” apontando para ele, e a outra extremidade indicando outro quadrado na parte inferior com a letra “-k”. Saindo 
deste quadrado, uma seta curva do lado esquerdo, em sentido horário, contorna toda a figura apontando para um quadrado, na parte 
superior, com letra “D”. Em seguida, ao lado direito deste quadrado, tem uma seta apontando para ele mesmo, e a outra extremidade 
aponta para o quadrado da letra “X” e o círculo com sinal de positivo “+”.
93
UNIDADE 5
Neste caso, o posto da matriz de controlabilidade será menor que n ou:
Posto B AB A B q nn� ��
�
� � �
�... 1
Isso significa que existem colunas, linearmente, independentes.
Vamos chamar estes vetores colunas de l1 l2 .. lq e escolher n-q vetores mais, vq+1, 
vq+2, vq+n, de maneira que:
P l l l v v vq q q n� ��
�
�� �1 2 1 2... ...
Então, podemos mostrar que:
 P AP
a a
a
B P B b
K K
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �1 11 12
22
1 11
1
0 0
,
sendo:
k=kP= 22
1
1
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� �� � � � ��� ��
� � �
�
� �
Entª o temos:
sI A Bk P sI A Bk P
sI P AP P
( )
( 11
11 12
22
11
1 2
0 0
BkP
sI A Bk
sI
a a
a
b k kq
�
�
�
�
� � �� �
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���
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� ��sI A B k sI Aq n q11 2211 0
Considerando o sistema regulador mostrado, vejamos o exemplo 1:
x Ax Bu
A
B
' � �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
�
�
�
�
0 1 0
0 0 1
1 5 6
0
0
1
94
UNICESUMAR
Considerando u=-Kx, se escolhermos os polos desejados de malha fechada em:
s j
s j
s
� � �
� � �
� �
2 4
2 4
10
esta escolha pode ser feita, pois já se tem o entendimento de que a resposta será aceitável.
Fazendo a verificação da controlabilidade do sistema:
M B AB A B
M
M
� ��
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
�
� �
�
2
0 0 1
0 1 6
1 6 31
1
3
Sendo o sistema totalmente controlável e sua alocação arbitraria aceitável.
Na Figura 5, resolveremos este sistema:
B + S
u
A
-K
Figura 5 - Sistema 04 / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura apresenta um sistema que tem início no canto superior esquerdo, com um quadrado cinza e a letra “B” 
dentro. Logo após, temos um fluxo retilíneo para a direita, onde uma seta verde sai do quadrado inicial e aponta para um círculo com o 
sinal de positivo “+”; saindo do círculo, outra seta verde aponta para um quadrado com a letra “S”, e, por fim, uma seta grande verde aponta 
para fora da figura. Uma seta laranja, abaixo do círculo com “+”, aponta para ele mesmo e para um quadrado à direita com a letra “A”. Ao 
lado direito deste quadrado, outra seta laranja aponta para ele mesmo e para a seta grande verde. No canto inferior direito, temos uma 
seta em 90º apontando para cima, em direção à seta grande, e para a esquerda, que indica um quadrado com a letra “-K”. E, por último, 
uma seta em 90º no canto inferior direito aponta para este quadrado e para o primeiro com a letra “B”.
95
UNIDADE 5
Temos os valores de a definidos pela equação:
( )sI A
s
s
s
s as a s a
a
a
a
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
1 0
0 1
1 5 6
0
6
5
1
3 2
2 3
1
2
3
Para a equação que nós desejamos, temos:
s j s j s s s s s s s� �� � � �� � �� � � � � � � � � � �
�
2 4 2 4 10 14 60 200 03 2 3 1
2
2 3
1
a a a
a 114
60
200
2
3
a
a
�
�
Se nós utilizarmos a equação:
k a a a� � � ���
�
�a a a3 3 2 2 1 1
Considerando T=I,pois a equação de estado é controlável.
k � � � �� � � � �200 1 60 5 14 6 199 55 8
Outro método que pode ser utilizado é apostando a diferença de ganho:
k k k k� ��
�
�1 2 3
SI A BK
s
s
s
� �� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 0
0 0
0 0
0 1 0
0 0 1
1 5 6
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
0
1
1 2 3K K K
SI A BK
s
s
s
K K K� �� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
1 0
0 1
1 5 6
0
0
1
1 2 3
ss
s
K K K s
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 0
0 1
1 5 61 2 3
96
UNICESUMAR
E chegaremos no mesmo resultado:
1
2
3
199
55
8
k
k
k
=
=
=
Analisaremos, agora, a locação de polos aplicado a um servo sistema que pode ser con-
siderado um dispositivo que tem análise de ganho –K, ou seja, faz a detecção do erro 
para correção e, a partir disso, tem um acionamento de algum dispositivo mecânico.
Analisaremos um projeto envolvendo um servo sistema em uma situação que 
envolve um integrador. Podemos defini-lo como:
x t Ax Bu
y t Cx
'( )
( )
� �
�
Agora, vamos supor que a planta possui um integrador, sendo assim, y=x1, r=função 
degrau.
O sistema de controle de realimentação de estado fica sendo:
2 3 1 1 10 ... ( )Nu K K K K r x Kx K r = + − = − + 
Considerando:
K k k k= [ ]1 2 3
Aplicaremos uma função degrau em t=0, esta ação afetaria as relações existentes no 
sistema que poderia ser descrito como:
1' ( )x Ax Bu A Bk x Bk r= + = − +
Teremos a dinâmica do erro descrito como:
e A BK e' ( )� �
Considerando no regime permanente, podemos definir x e u tendendo ao infinito 
por meio de:
1
1
1
( ) ( )
( ) ( ) 0
x A Bk Bk r
u Kx k r
−∞ = − −
∞ = − ∞ + =
97
UNIDADE 5
u +
-
+
-
K1 X’=Ax+Bu Y=Cx
Y=X1
K2K2
K3
Kn
Figura 6 - Exemplo de servossistema / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: na figura, temos um exemplo de servossistema. Iniciando da esquerda para direita, temos uma seta com 
a letra u em cima dela apontando para um círculo, este tem um x cruzando o centro dele, com um sinal positivo à esquerda, e 
um sinal negativo; embaixo deste círculo, sai outra seta apontando para um quadrado escrito K1; deste, sai outra seta apontando 
para outro círculo igual ao círculo anterior, deste, ainda, seguindo da esquerda para direita, sai outra seta apontando para um 
retângulo; dentro do retângulo está escrito a equação x derivado é igual a Ax mais Bu. Deste retângulo, saem quatro setas; de cada 
uma delas saem outras setas curvas cada uma para um quadrado; neles, está escrito K2, K3 e Kn. De todos os quadrados saem 
setas indicando a parte de baixo do segundo círculo. As setas que saem do retângulo apontam para outro segundo retângulo; 
neste está escrito Y igual a Cx, deste sai um para outra seta e, nesta seta, está escrito, em cima dela, Y igual a X1; debaixo desta 
seta, sai outra seta curva contornando toda a imagem por baixo e entrando debaixo do primeiro círculo.
Concluímos a unidade entendendo que, se o sistema não for de estado completamente controlável, 
mas estabilizável, então, existe a possibilidade de tornar todo o sistema estável alocando os polos de 
malha fechada nas posições na qual desejamos.
Neste momento, convido você a conhecer a história dos sistemas 
realimentados e adentrar mais nos conceitos deste tema, por meio 
deste Podcast. Vamos lá? Aguardo você em mais este encontro para 
disseminarmos conhecimento.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10451
98
UNICESUMAR
A partir do exemplo problematizado no início do conteúdo, podemos exemplificar a utilização do 
estudo da realimentação de estado com um exemplo prático. Retomando o questionamento feito a 
você: diante de um sistema com realimentação de estado que se torna instável depois de determinado 
período, o que você pode fazer a respeito? Quais os valores de polos é preciso estabelecer para que 
meu sistema seja estável?
Supondo um sistema em série, que contém um motor que move as formas da máquina com um 
controlador e um sensor de contagem, podemos, a partir dos exemplos dados por Dorf e Bishop (1988) 
definir este sistema representado como:
G s k
s s b
j
s Rf
Lf
( ) �
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
onde:
k k k
jl
a m
f
=
Vamos supor que:
b
j
R
L
f
f
= =1 5 e 
Filme: Tempos Modernos.
Ano: 1936
Sinopse: um operário de uma linha de montagem, que testou uma “má-
quina revolucionária” para evitar a hora do almoço, é levado à loucura 
pela “monotonia frenética” do seu trabalho. Após um longo período em 
um sanatório, ele fica curado de sua crise nervosa, mas desempregado. 
Ele deixa o hospital para começar sua nova vida, mas encontra uma crise 
generalizada e, equivocadamente, é preso como um agitador comunista, 
que liderava uma marcha de operários em protesto. 
Comentário: antigo, mas muito atual, sistemas de realimentação, muitas vezes, nos remetem à 
automação das máquinas. Este filme, entre muito assuntos interessantes, leva-nos a refletir, em 
determinado momento, sobre a relação do homem com a máquina e do homem com automação 
de tarefas.
99
UNIDADE 5
Estes sistemas possuirão três variáveis de estado, sendo: velocidade, posição e corrente de campo. 
G s k
s s s
( )
( )( )
�
� �1 5
Este sistema torna-se instável a partir de K=30.
Representando o sistema a partir de:
H s k s k k
k
s
k
G s H s M s qs
( )
( ) ( )
( ( /
� �
��
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�
�
��
�
� �
3
2 3 2
3 3
2
1
1 kk
s s s
M kk
Q k k
k
3
3
3 2
3
1 5
)
( )( )
( )
� �
�
�
�
Sendo que k3 e K2 podem sofrer ajuste, você pode selecionar a posição dos zeros de G(s) e H(s).
Devemos escolher os zeros de GH(s), visando o cancelamento dos polos.
H s k s Qs
k
k s s
G s M s s
s s
( ) ( )( )
( )
( )( )
(
� � �
�
�
��
�
�
�� � � �
�
� �
�
3
2
3
3
1 1 5
1 5
1))( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( )( )
s
Y s
H s
s
G s H s
k
s s s M
�
�
� �
�
� � �
5
6
1 1 5
Faz-se necessário, então, que K3=1/5 e Q=6, tendo M=k3, ou seja, a resposta deste sistema desejada passa 
pelos polos em s=-1 e s=-5. Assim, os polos foram escolhidos com a intenção de garantir que o sistema 
possa ser considerado estável. Sistemas realimentados por variáveis de estado têm mais eficiência do 
que sistemas realimentados por saídas. A locação de polos pode trazer soluções simples para sistemas 
envolvendo realimentação em busca de estabilidade.
Este tipo de sistema pode ser encontrado em diversos ambientes de trabalho, seus conhecimentos 
podem ser de grande utilidade para engenheiros, projetistas de sistemas, desenvolvedores eletrônicos 
e pesquisadores, e muito utilizado, especificamente, no desenvolvimento de sistemas de controle e 
desenvolvimento de controladores industriais. Sistemas que se enquadram no conteúdo deste capítulo 
podem apresentar certa instabilidade, a partir de determinado momento. Espero que o conhecimento 
adquirido até aqui ajude você a lidar com estas situações no percurso da carreira.
100
O que acha de fazer um Mapa Mental para criar anotações que lhe ajudem em sua percepção do 
que foi ensinado até o momento? Algumas palavras já deixei para lhe ajudar, mas, agora, é com 
você. Este espaço é seu! 
REALIMENTAÇÃO
DE ESTADO
PRÁTICA
ALOCAÇÃO DE
POLOS MIMOS
CONDIÇÃO PARA
ALOCAÇÃO
101
1. De acordo com o conteúdo, responda assinalando as alternativas com V para verda-
deiro e F para falso:
I) O sistema regulador de Estado tem o objetivo de estabelecer todo o sistema em 
uma condição estática do processo, e o sistema servo tem como objetivo que a saída 
percorra o caminho indicado. Estas duas afirmações falam sobre classificação para 
sistemas de controle envolvendo realimentação.
II) Os sistemas considerados reguladores de estado são considerados sistemas de 
malha fechada.
III) Sistemas considerados reguladores de estado são considerados sistemas de malha 
fechada.
IV) A realimentação por controle de estado embora eficiente ainda é considerada des-
vantajosa se comparado com uma realimentação feita por saída.
V) Sendou t Kx t( ) ( )� � ,K é considerado a matriz de ganho.
Assinale a alternativa com a sequência correta.
a) V, V, V, V, V.
b) V, F, V, F, V.
c) V, F, F, F, F.
d) V, V, V, F, V.
e) F, F, F, F, F.
2. Vimos que, para mudarmos, arbitrariamente, os polos de uma função, é necessário 
que haja uma condição. Qual seria ela? Assinale a alternativa correta.
a) Que ela seja controlável.
b) Que ela seja observável.
c) Que ela seja observável e controlável.
d) Que a inversa da matriz de entrada seja igual à sua saída.
e) Que seus zeros sejam valores positivos.
102
3. Leia o texto a seguir e complete com as palavras corretas para as afirmações:
Em um controlador por realimentação de estado, a matriz que é responsável pelo________ 
multiplica os estados do sistema, visando fornecer a entrada. Mas nem sempre se faz 
precisão de todos os elementos dá_______ para achar o ganho. Você pode dar o valor 
de_______ a uma coluna ou uma linha, dispensando, assim, aquele espaço para influên-
cia sobre o________.
a) Zero, matriz, ganho, controle.
b) Matriz, zero, controle, ganho.
c) Ganho, matriz, zero, controle.
d) Controle, ganho, controle, matriz.
e) Ganho, matriz, um, matriz, controle.
4. Baseado no sistema MIMO a seguir, responda: sendo o sistema controlável, obtenha a 
função que caracteriza o sistema de malha fechada em referência à função de ganho.
x t x t u t'( ) ( ) ( )� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
1 1
1 2
1 0
0 1
a) 
( )( ) ( )( )s k s k k k� � � � � � � � �3 2 1 111 22 12 21 .
b) 
( )( ) ( )( )s k s k k k� � � � � � � � �2 1 1 111 21 21 21 .
c) 
( )( ) ( )( )s k s k k k� � � � � � � � �1 2 1 111 22 12 21 .
d) 
( )( ) ( )( )s k s k k k� � � � � � �1 2 1 111 22 12 21 .
e) 
( )( ) ( )( )s k s k k k� � � � � � � � �1 2 1 111 22 12 21 .
5. Tendo como equação característica do sistema:
( )( )s s s s� � � � �2 3 3 62
a) Compare esta equação com a equação obtida no exercício anterior e obtenha K11 e K12.
b) Obtenha, a partir do resultado da letra a, a matriz de malha fechada Amf.
103
6. Leia, atentamente, as afirmativas:
I) O retorno do sinal realimentado de um sistema é considerado uma característica 
de um sistema automático.
II) O sistema automático é considerado um sistema no qual o processo de modo au-
tomático repete a mecânica por meio de determinado sinal.
a) As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
b) A duas afirmações são falsas.
c) A primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa.
d) A primeira afirmação é falsa, e a segunda é verdadeira.
e) As duas afirmações são verdadeiras, mas a segunda não justifica a primeira.
7. A partir do sistema a seguir, calcule a matriz K.
x Ax Bu
A
B
' � �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 1 0
0 0 1
2 2 2
0
0
1
Considerando:
a
a
a
1
2
3
14
60
200
=
=
=
Encontre a matriz K a partir da matriz SI A BK� �� � , e assinale a alternativa correta.
a) [199 60 11]K =
b) K = [ ]198 54 12
c) [198 12 5]K =
d) K = [ ]60 11 198
e) [198 60 8]K =
104
6
Nesta unidade, você aprenderá sobre análise de sistema a partir da 
estimação de estados. Você conhecerá, também, os observadores 
de estado, seus significados e como obtê-lo. Por meio de exemplos, 
mostraremos mais de uma maneira como chegar ao resultado 
desejado.
Conceito de 
Estimador de Estado. 
Observadores 
Esp. Daniel Rodrigues Cardoso
106
UNICESUMAR
Em muitos sistemas, você não terá o conhecimento preciso de uma variável de estado, mas pode ser neces-
sário que se faça uma realimentação por meio dele, dependendo da necessidade do projeto e das escolhas do 
projetista. Mas, se você não conhece o valor de estado, como fazer a realimentação dele? Como proceder?
A estimação de estados é necessária para se conseguir trabalhar com variáveis com que, de alguma 
forma, não se tem acesso, sendo assim, você precisa estimar estes valores para conseguir trabalhar com 
eles. Por meio dos observadores, termo diretamente associado à estimação de estado, você pode construir 
algoritmos, por exemplo, que, junto a outras informações, que você dispõe e pode reproduzir ou prever o 
sinal em determinado momento.
Vamos considerar que você está fazendo uma pesquisa sobre o fluxo de determinado ônibus urbano. Na 
estação inicial, com o ônibus vazio, entraram 30 passageiros. Considerando que o ônibus faz duas paradas 
e chega na estação final com dezesseis passageiros agora, você saberá quantos passageiros desce em cada 
parada? E nesta parada, mais passageiros entram? Estime um número de passageiros que descem e embar-
cam em cada parada, de modo que o número de passageiros bata com o número de passageiros que chegam 
ao ponto final. Você perceberá que esta atividade tem muita relação com o conteúdo que será abordado. 
 Mas o que o ônibus e seus passageiros têm a ver com nosso conteúdo? Você consegue ver alguma relação? 
A passagem do ônibus, pelo seu percurso, se assemelha ao que um ou mais sinais fazem em um sistema. Na 
experimentação, por exemplo, você não sabe exatamente quantos passageiros desceram em cada ponto, ou 
quantos entraram no meio do caminho. 
O estudo envolvendo estimativa de estado não é tão diferente do que você acabou de fazer. Muitas vezes, 
em um sistema você pode não ter acesso a um valor de estado em determinado momento, por isso, faz-se 
necessário estimar este valor para poder utilizá-lo, seja para uma mudança seja para saber, em tempo real, 
o que está acontecendo com o sistema. 
Além do ônibus, você consegue pensar em outro exemplo que se assemelha ao percurso dos sinais em 
um sistema? Utilize o Diário de Bordo para suas anotações. 
DIÁRIO DE BORDO
107
UNIDADE 6
U Y
Observador de Estado
Sistema
Figura 2 - Representação de um observador de estado
Fonte: Wikimedia Commons (2014).
Dentro de determinado sis-
tema, pode ocorrer de se ter 
conhecimento apenas de sua 
saída, seja por uma situação 
que impeça a leitura de uma 
variável em um determinado 
momento seja por algum mo-
tivo econômico. Pode acon-
tecer de não ser justificável 
investir em um processo para 
visualização do valor requeri-
do daquele momento, sendo 
assim, este é o único valor que 
eu consigo utilizar para uma 
realimentação, então, é neces-
sário que se faça uma estima-
tiva do estado a partir do valor 
que temos na saída. 
Descrição da Imagem: da esquerda para a direita, uma seta apontando para um 
retângulo com a letra u em cima dela; dentro do retângulo está escrito sistema, e, do 
retângulo, sai uma seta apontando para a direita; do meio desta seta sai outra seta 
curva para baixo apontando para a imagem de um homem com chapéu utilizando um 
binóculo; embaixo dele está escrito observador de estado; dele, sai outra seta apon-
tando para debaixo da primeira seta. 
O desenvolvimento de um 
observador de estado, confor-
me Figura 2, tem como seu 
principal objetivo diminuir 
ao máximo o erro entre os va-
lores reais e os observáveis. Os 
processos de estudo para o ob-
servador podem ser feitos por 
meio de análise da malha 
aberta ou fechada. Uma exem-
plificação de observador de es-
tado em malha aberta pode ser 
dada pela Figura 3.
108
UNICESUMAR
Sistema Real
Modelo
de Estados Y’(t)
U(t)
Y(t)
Figura 3 - Observador de estado em malha aberta / Fonte: o autor.
Podemos fazer uma análise de um observador de estado, verificando as equações:
x t Ax t Bu t
x t A x t B u t
'( ) ( ) ( )
( *) '( ) * ( ) * ( )
� �
� �
 (1)
 (2))
O erro possível em um caso de estimação de estado pode ser expressado como:
*** ( ) ( ) ( ) x t x t x t= = −
Espera-se que, em um sistema, a equação de erro seja zero, ou seja:
x** = 0
Descrição da Imagem: temos dois quadrados, um na parte superior da imagem e, nele, está escrito Sistema 
real, e outro na parte inferior, onde está escrito Modelo de estados. Entre eles, temos três setas juntas, uma 
aponta para o quadrado de cima, outra para o quadrado de baixo, e a última aponta para o lado esquerdo. 
No lado esquerdo, temos um quadrado pequeno onde está escrito u(t). Noquadrado de cima, lado direito, há 
uma seta saindo dele que aponta para um quadrado menor onde está escrito Y(t). No quadrado de baixo, lado 
direito, tem outra seta saindo dele apontando para um quadrado menor onde está escrito Y’(t).
109
UNIDADE 6
Subtraindo a equação 1 pela 2 e considerando que o erro existente entre as matrizes 
é insignificante, temos:
*(
 
'( ) ( *) '( ) ( ( ) * *( )) ( ( ) * ( ))
' ) ( *) ' ( ( ) ( ))
( **) '( ) **( )
− = − + −
− = −
=
x t x t Ax t A x t Bu t B u t
x t x A x t x t
x t Ax t
 
 
Se nós tomamos conhecimento de x(0), neste caso x**=0, esta situação nos leva a crer 
que x**(t)=0. Este caso leva o nome de situação não realista, mas, se não tivermos 
conhecimento de x(0), automaticamente x**(t)=0. Dessa maneira, se a matriz A tiver 
os polos estáveis, podemos ter x**(t) tendendo a zero para t, tendendo ao infinito. 
Pelo que vimos até o presente momento, podemos definir o erro de estimação para 
a saída como:
y y t y t** ( ) *( )� � 
Considerando que:
( ) ( ) ( ) y t Cx t Du t= +
e considerando:
y t C x t D u t*( ) * *( ) * ( )� � 
podemos afirmar, então:
**( ) ( ( ) * *( )) ( ( ) * ( )) 
 
y t Cx t C x t Du t D u t= − + −
Considerando que entre C*D* e entre CD existem erros que podem ser considerados 
descartáveis, temos:
y t Cx t x t x**( ) ( ( ) *( )) **� � � (t) 
Entende-se que, por meio da realimentação presente no modelo de sistema, pode- 
se obter uma melhora de erro, melhorando, assim, a estimativa do vetor de estado.
110
UNICESUMAR
Sistema
real
Sistema
real
Modelo de
estado
L +
-
U(t)
Figura 3 - Observador de estado em malha fechada / Fonte: o autor.
Podemos definir essa interação do observador de estado como:
( *) '( ) * *( ) * ( ) **
( *) '( ) * *( ) * ( )
= + +
= +
x t A x t B u t Ly
y t C x t D u t
 
 
L – Matriz de ganho do observador.
Faz-se necessário ponderar algumas questões, como: você, projetista ou planejador dos sistemas, 
pode escolher, arranjar a matriz L, visando obter mais resultado para o observador. Para que se possa 
projetar o observador, é necessário que o sistema seja observável. Considerando que o sistema é ob-
servável, o conceito para o cálculo de L não difere muito para os métodos utilizados para o cálculo de 
ganho que foi utilizado para o regulador de estado. Considerando que, em um sistema:
( )A LC A L Ct t t t� � � 
se compararmos:
( ) com (A-Bk ) t t t t
t
t
t
A LC A L C
A A
B B
k L
− = −
=
=
=
Descrição da Imagem: uma seta apontando para um círculo; em cima da seta está escrito u(t) e, de cima do círculo, sai uma seta 
azul que leva a um quadrado; neste quadrado está escrito sistema real, dele, sai uma seta azul indicando outro quadrado e, nele, está, 
também, escrito sistema real. Sai uma seta deste segundo quadrado e outra seta apontando para baixo em direção a um outro círculo 
com um sinal de (+) e outro de (-), em seguida, sai uma fina seta apontando para um quadrado com a letra L; este quadrado tem uma 
seta ligando ele a um outro, onde está escrito Modelo de estado; deste quadrado em que está escrito modelo de estado sai uma seta 
para fora e outra que retorna ao círculo inicial.
111
UNIDADE 6
Utilizaremos um processo que podemos considerar semelhante ao cálculo de ganho k, para calcular 
o ganho do observador. Exemplo:
Tendo o sistema:
x t x t u t
y t
`( ) ( ) ( )
( )
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� � �
2 1
1 2
1
0
1 0 
considerando que o sistema é observável e que:
( *) '( ) ( ) *( ) ( ) ( )
*= Cx *(t) 
x t A LC x t Bu t Ly t
y
= − + +
para calcular a matriz característica do observador sendo um sistema de malha fechada, consideramos:
A A LC
l
l
A
l
l
mf
mf
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
� �
� �
�
�
�
2 1
1 2
1 0
2 1
1 2
1
2
1
2
 
��
�
�
�
�
Sendo:
1
2
2 1
det( ) det
1 2
 
mf
l
l A
l
λ
λ
λ
 + + −
− =  − + + 
Remanejando:
 
1 2
2
1 1 2
2
1 1 2
2
1 1 2
( 2 ) ( 2) 1
2 2 4 2 1
4 3 2
(4 ) (3 2 )
 
l l
l l l
l l l
l l l
λ λ
λ λ λ λ
λ λ λ
λ λ
+ + + + − +
+ + + + + − +
+ + + + +
+ + + + +
Se escolhermos os polos como 4 e 2, λ1=1 e λ1=1, a equação desejada ficaria desta maneira:
( ) ( )l l l� � � � � �4 2 6 82 y
Comparando as equações:
112
UNICESUMAR
1
1 2
4 6
3 2 8
l
l l
+ =
+ + =
l
l
1
2
6 4 2
8 2 3 3
� � �
� � � �
A matriz de malha fechada fica sendo:
[ ]11
2
1
2
2 1
1 0
1 2
 
2 1
1 2
0 1
2 2
mf
mf
mf
ll
A
l
l
A
l
A
  − −
= −   −   
 − −
=  − − 
 
=  − − 
Quando pensamos em alocação de polos, seus estudos partem do entendimento de 
que todas as variáveis estão visíveis para nós, mas, se pensarmos em casos reais, elas, 
normalmente, não estão, daí vem a necessidade de se estimar estar variáveis. Este ato de 
se estimar uma variável leva o nome de observação. Conforme nos diz Ogata (2011), 
um dispositivo que observa esta variável de estado pode ser chamado observador de 
estados. Uma forma de definirmos o modelo matemático do observador pode ser 
dado como:
( **) ' ( ** ( **)
( ) **
x Ax Bu L y Cx
A LC x Bu Ly
� � � �
� � � � 
 
O erro existente do observador pode ser definido como a diferença que há entre o 
estado inicial e o estado inicial que é estimado, onde x** é considerado o estado esti-
mado, e Cx** a saída que é estimado. Observe que a matriz L será a matriz de ganho 
que representa o observador. Tendo o vetor de erro:
'e x x= −
podemos definir como:
e A LC e' ( )� �
113
UNIDADE 6
Se considerarmos A-LC como matriz estável, o erro tende a zero, independentemente 
da saída do erro inicial, ou seja, se conseguirmos definir os autovalores de A-LC de 
maneira que o vetor de erro seja estável, qualquer vetor do erro será zero e com a 
velocidade desejada.
Considerando que o sistema é observável, definimos a matriz L de maneira que 
A-LC possam ter os seus valores definidos e podemos utilizar a matriz K para de-
finirmos A-LC que queremos. No projeto de um observador, existe uma questão 
relacionada à matriz L, onde precisamos que L satisfaça as condições da equação de 
maneira que as relações resultantes das equações nos forneçam respostas estáveis e 
de velocidade que atenda à resposta. Esta relação de K com L é explicada por Ogata 
(2011), considerando um sistema definido por:
' 
 
y Ax Bu
y Cx
= +
=
Podemos fazer as seguintes considerações para resolver problemas envolvendo alo-
cação de polos:
z A z C v
n B z
' * *
*
� �
�
 
Considerando:
v Kz= −
Sendo o sistema controlável, podemos definir k, considerando A-KC.
sI A KC( ) (s- )(s- )...µ µ1 2
 
Já que os valores de A-KC e ALC são iguais, definimos L (matriz de ganho) do ob-
servador do sistema por meio da relação:
L k=
Outra forma de se obter o observador é pelo Teorema de Ackmam. Considerando:
x Ax Bu
y Cx
' � �
�
 
conforme nos diz Ogata (2011), a expressão de Ackermann pode ser dada por:
[ ] 110 0 ... 0 1 ... ( )nk B AB A B Aφ−− =  
114
UNICESUMAR
Tendo para sistemas dual:
z A z C v
n B z
' * *
*
� �
�
 
A fórmula de Ackermann adpatada para alocação de polos fica:
[ ] 110 0 ... 0 1 * * * ... ( *) * ( )nk C A C A C Aφ−− =  
Sendo K igual a L, podemos definir como:
L A
C
CA
CA
CA
n
n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f : :
2
1
1
0
0
0
1
Observe que o sinal de realimentação que passará pela matriz L serve de sinal de 
corelação com o modelo do sistema, assim, se certas incertezas da planta tiverem 
grandes proporções, o sinal que passa pela matriz L precisa ter uma grande propor-
ção também. Podemos ter a definição da fórmula de Ackermann da determinação 
da matriz de ganho do observador como:
1 1
2 2
1 1
0 0
0 0
: :: :
0 0
1 1
t
n n
n n
C C
CA CA
L k A A
CA CA
CA CA
φ φ
− −
− −
− −
      
      
      
      = = =
      
                  
Sendo que fs é o polinômio que queremos obter para o observador de estado.
φ µ µ µ
µ µ µ
s s s s n
n
� � � �( )( )...( )
, ...
1 2
1 1
Pensando na produção de um projeto de observador de estado, é aconselhavel ter 
várias matrizes de ganho L e trabalhar com simulações para verificar qual o melhor 
resultado a se utilizar. O s próximos exemplos se utilizarão do seguinte sistema, onde:
115
UNIDADE 6
x Ax Bu
y Cx
' � �
�
 
[ ]0 12 0 0 1
1 0 1
 
A B C   = = =   
   
tendo a realimentação por estado observado definido como:
u t Kx t( ) ( )� �
Vamos projetar um observador considerando que os autovalores da matriz do obser-
vador seja µ1 18� � e µ2 18� � . Resumidamente, um projeto considerado obser-
vador de estado pode ser definido como a obtenção de L do observador. Lembrando 
que L é a matriz de ganho, vamos considerar o sistema como observável, lembrando 
que o status de observável é necessário para a construção do observador, sendo o 
sistema observável, podemos, então, definir a matriz de ganho.
Método 1. O primeiro método que podemos utilizar para resolver esta questão é a 
partir da equação que caracteriza o sistema.
sI A
s
s
s s a s a
a
a
�� � � �
�
�
�
�
�
�
�
� � � � � �
�
�
12
1
12 0
0
12
2 2
1 2
1
2
 A equação que desejamos é:
( )s s s
s s s a s a
� � � �
� � � � �
�
�
18 16 64
16 64
16
64
2 2
2 2
1 2
1
2
a
a
Deste modo, a matriz de ganho L do observador pode ser obtida com a equação:
2 2
1 1
1 0 64 12 76
0 1 16 0 16
a
L
a
α
α
 −      
= = =       −       
116
UNICESUMAR
Método 2. Podemos utilizar a seguinte equação que caracteriza o observador.
sI A LC =0
Então, é necessária a definição de:
L
L
L
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
Substituindo os termos na equação, obtemos:
s
s
L
L
s L
s L
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �
� �
�
�
�
0
0
0 12
1 0
0 1
12
1
1
2
1
2��
�
�
�
�
� � � �s sL L2 2 112
Lembrando que a equação a que buscamos é:
s s2 16 64+ +
fazendo a devida comparação das duas equações, temos:
L sL
L
1 2
2
12 64
16
� � �
�
L � �
�
�
�
�
�
76
16
Método 3. Utilizando a fórmula de Ackermann:
1 0
1
C
L A
CA
φ
−
   
=    
   
sendo:
φ µ µs s s s� � � � � �( )( )1 2
2 16 64
117
UNIDADE 6
então,
fA A A I
L A A I
� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
1
16 64
16 64
0 1
1 0
0
1
( )
A B C� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � � �
0 12
1 0
0
1
0 1
A2
0 12
1 0
12 0
0 12
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
16
0 12
1 0
0 192
16 0
64
1 0
0 1
64 0
0 64
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
( )A A I2 16 64
72 192
16 72
� � �
�
�
�
�
�
�
L A A I� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( )2
1
16 64
0 1
1 0
0
1
72 192
16 72
0 1
1 0��
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
0
1
72
16
Nos três casos estudados, L teve o mesmo resultado. Importante ressaltar que os 
casos 1 e 3 são recomendados quando todo processo é feito por algum compu-
tador, enquanto no segundo caso se faz necessária uma ação humana direta por 
precisar de cálculos feitos, manualmente.
Ressalto alguns pontos em que se deve prestar atenção na construção de ob-
servadores de estado, como a saturação nos observadores. Este é um ponto com 
que você não deve se preocupar, pois o observador tende a existir somente den-
tro do computador. Outro ponto é quanto aos ruídos que existem nos sinais dos 
sensores. Se você for utilizar algum sinal gerado por sensor, deve se atentar a isto. 
Por fim, dependendo do que você precisa, você terá que escolher entre um ou 
mais sensores ou o observador de estado. 
118
UNICESUMAR
Os estudos abordados são utilizados todas as vezes que você precisar estimar estados, são aplicáveis 
em desenvolvimento de produtos, construção e análise de circuitos eletrônicos, em determinados 
sistemas elétricos e sistemas de controle industriais. Os observadores de estado podem ser utilizados 
para melhorar o desempenho do sistema, isso pode acontecer, por exemplo, se utilizarmos o estudo 
do observador para atuar em cima do sinal do sensor. Os custos no projeto do sistema podem ser 
diminuídos, drasticamente, e, em casos raros, pode, até mesmo, se verificar a não necessidade de um 
sensor no local, ponto desejado anteriormente.
Falaremos, neste Podcast, sobre alguns conceitos que Luenberger 
estabeleceu, assim como, também, sobre o próprio David Luenber-
ger. Aperte o play, aguardo você em mais este encontro para disse-
minarmos conhecimento.
Livro: Sensores Industriais
Autor: Daniel Thomazini e Pedro Urbano Braga de Albuquerque
Editora: Saraiva
Sinopse: o livro apresenta sensores que são muito utilizados na indústria, 
conceitos e aplicações. Apresentam os sensores de fim de curso de chave, 
de nível por radiação, de posição, acelerômetros, de presença, ópticos, de 
velocidade, temperatura, pressão entre outros.
Comentário: muitos conhecimentos vêm com o intuito de agregar na 
formação. O entendimento de sensores se faz, muitas vezes, necessário ao de sistemas de controle 
para que determinados sistemas sejam desenvolvidos, como foi citado nesta unidade sobre a 
possibilidade de o observador de estado estar, até mesmo, em casos raros substituindo o sensor.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10452
119
Chegamos ao momento da nossa avaliação. O que acha de fazer um Mapa Mental para criar 
anotações que lhe ajudem em sua percepção sobre o que foi ensinado até o momento? Algumas 
palavras estão lá para lhe ajudar, mas, agora, é com você. Este espaço é seu! 
Observador de
Estado
Realimentação
Experimentação
120
1. Tendo o sistema:
' x Ax Bu
y Cx
= +
=
A B C� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � � �
0 17
1 0
0
1
0 1
 
Projete o observador de estado para o sistema, tendo os autovalores da matriz defini-
dos como µ1 9eµ2 9, e assinale a alternativa correta.
a) L �
�
�
�
�
�
�
76
81
.
b) L �
�
�
�
�
�
�
98
18
.
c) L �
�
�
�
�
�
�
81
16
.
d) L �
�
�
�
�
�
�
76
16
.
e) L �
�
�
�
�
�
�
81
18
.
121
2. Tendo o sistema:
' x Ax Bu
y Cx
= +
=
A B C� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � � �
0 2
1 0
0
1
0 1
 
Projete um observador utilizando a equação de Ackmann, considerando µ1 3 e 
µ2 3, e assinale a alternativa correta.
a) L �
�
�
�
�
�
�
3
16
.
b) L �
�
�
�
�
�
�
45
30
.
c) L �
�
�
�
�
�
�
30
15
.
d) L �
�
�
�
�
�
�
2
15
.
e) L �
�
�
�
�
�
�
30
2
.
3. Qual das alternativas pode ser considerada como o principal motivo para desenvolver 
um observador de estado? Assinale a alternativa correta.
a) Diminuir ao máximo possível o erro entre os valores reais e os observáveis.
b) Diminuir ao máximo possível o erro entre dois sistemas de saídas parecidas.
c) Diminuir ao máximo possível os valores de estado, se comparados aos valores de entrada.
d) Diminuir ao máximo possível os valores de entrada se comparado aos valores da saída.
e) Diminuir ao máximo possível o erro entre os valores reais e os valores atribuídos à saída. 
122
4. Leia atentamente as afirmativas:
I) Condição do sistema para que se possa construir a ele um observador de estado.
II) O ato de estimar um valor atribuído a uma variável.
III) O sinal dele serve, também, como sinal de correlação com o modelo do sistema.
IV) Diferença existente entre do estado inicial e o estado inicial estimado.
V) Por meio dele pode haver uma melhora em relação ao erro.
Seguindo a ordem das afirmativas, assinale a alternativa que apresenta as palavras 
que melhor se associam a elas.
a) Observador de estado, Observável, Realimentação, Erro, Realimentação e Observador 
de estado.
b) Observável, Observador de estado, Realimentação, Realimentação e Observador de 
estado, Erro.
c) Realimentação e Observador de estado, Observável, Observador de estado, Realimen-
tação, Erro.
d) Observável, Observador de estado, Erro, Realimentação e Observador de estado,Realimentação.
e) Observável, Observador de estado, Realimentação, Erro, Realimentação e Observador 
de estado.
5. Leia, atentamente, as afirmações a seguir referentes às matrizes de ganho.
I) A matriz de ganho pode ser manipulada em um projeto com o objetivo de se obter 
o melhor resultado.
II) Os conceitos da matriz de ganho não diferem muito dos conceitos que foram utili-
zados para regulador de estado.
Assinale a alternativa correta.
a) A primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa.
b) As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
c) As duas afirmações são verdadeiras, mas a segunda não justifica a primeira.
d) As duas afirmações são falsas.
e) A primeira afirmação é falsa, e a segunda é verdadeira.
7
Nesta unidade, você verá sistemas envolvendo realimentação com 
os observadores de estado, entenderá conceitos, como o teorema 
da separação. Também verá que os sistemas que possuem estas 
características que estudaremos nesta unidade podem ser de ordem 
completa ou mínima. Com o conteúdo abordado, você aprenderá 
mais sobre a importância do observador no estudo de controle e 
que o conhecimento adquirido agregará em sua vida profissional.
Controle Usando 
Realimentação do 
Estado Estimado. 
Teorema da Separação
Esp. Daniel Rodrigues Cardoso
124
UNICESUMAR
Projetos de controle automático são considerados essenciais em 
sistemas de controle industriais, tome como exemplo a neces-
sidade de controlar a pressão nível e a temperatura, em geral, 
representações físicas existindo no processo. Imagine que você 
é um profissional da área e está à frente de um projeto no qual 
existe a necessidade de se fazer realimentação de estados e é 
preciso que todas as variáveis estejam visíveis. Porém, ao iniciar 
o projeto, você percebe que nem todas as variáveis estão visíveis. 
Neste caso, o que aconteceu? É normal algumas variáveis não 
estarem disponíveis? 
Sabemos que nem sempre teremos todas as variáveis de es-
tado em um processo, isso permanece em sistemas nos quais 
precisamos fazer a realimentação a partir das variáveis de estado. 
Para isso, utilizamos o observador de estado nos sistemas reali-
mentados, de modo que possamos estimar valores e atender aos 
sistemas. Conforme nos diz Ogata (2011), o observador de estado 
é um modelo dual, igualmente o modelo da planta, a menos de 
um termo que incorpora o erro de estimação para compensar 
certas incertezas que possam existir nas matrizes e, talvez, na 
ausência de um erro inicial.
 A utilização de variáveis de estado é de uso comum em sis-
temas de controle, a demanda por velocidade, a precisão e a 
automação dos processos industriais exigidos nos dias atuais 
necessitam que os sistemas de controle atendam a esta demanda, 
sendo assim, sistemas realimentados são essenciais para atender 
à demanda do mercado. Em se tratando de variáveis de estado, 
sendo ela qual for, existem certas peculiaridades sobre seu con-
trole. Sendo assim, técnicas foram desenvolvidas para se obtê-lo, 
tal como o observador de estado. Em geral, todo o estudo vem 
com o objetivo de que você seja capaz de desenvolver sistemas 
de controle que atendam a esta demanda.
Para iniciar esta unidade, proponho a você pesquisar sobre 
equipamentos que fazem controle de variáveis de estado. Va-
mos lá? Para esta prática, procure por equipamentos que fazem 
este tipo de controle, quais são as marcas mais utilizadas no 
mercado, busque por manuais e esquemas eletrônicos para 
entender como é seu funcionamento interno. Você também 
pode pesquisar por controladores automáticos de temperatura, 
velocidade, pressão, vazão, a lista é imensa. Opte por procurar 
125
UNIDADE 7
modelos capazes de lidar com múltiplas variáveis de estado, 
como exemplo, para ajudar, temos o controlador de temperatura 
INV-54101 ou T-775, ou, ainda, o temporizador T-307. Anote 
seus resultados no Diário de Bordo.
Para melhorar o entendimento sobre estes sistemas de con-
trole, esta experimentação vem com o objetivo de fazer você 
conhecer os controladores disponíveis no mercado que são 
multivariáveis e lidam com variáveis de estado, sendo neces-
sário para construção, aferição e êxito observadores de estado. 
Dependendo do projeto, pode ser necessário projetar um novo, 
utilizar um existente, ou, se o projeto for robusto, muitas vezes, é 
comum a necessidade de desenvolver sistemas de controle, com 
controladores industriais presentes no meio do projeto, isso tudo 
depende da análise de viabilidade e custos.
Sistemas de controle como os presentes nestes controladores 
tendem a utilizar realimentação de estado em seu processo de 
controle. Você sabe qual a relação de sistemas de realimentação 
de estado com os sistemas de controle?
DIÁRIO DE BORDO
Observador
Tr
an
sf
or
m
aç
ão
Ganho
Planta
B
A
C+-
126
UNICESUMAR
No estudo de alocação de polos, imaginamos que o estado 
real x esteja disponível para utilizarmos em uma realimenta-
ção, mas nós sabemos que, quando se trata de casos reais, o estado 
pode não ser mensurável. Para resolver esta situação, utilizamos um 
observador na realimentação e um estado observado.
A construção de um projeto que envolve realimentação utilizando 
observadores terá duas etapas, sendo a primeira determinar a matriz de 
ganho K, que terá como objetivo projetar a equação que desejamos, e a 
segunda matriz de ganho L. O controlador que será responsável por levar 
o estado para zero, conforme a necessidade momentânea, é o responsável 
por fazer determinado controle do erro realizado na observação a que 
damos o nome de observador, são considerados duais.
Como foi, brevemente, citado na unidade anterior, procuramos buscar 
as matrizes de ganho sendo identificadas como K e L que levam o erro para zero. Este sistema que cha-
mamos de Dual foi elaborado por Kalman, que desenvolveu um sistema no qual colocava no mesmo 
patamar de relação os observadores e os controladores, com isso, é possível utilizar, praticamente, as 
mesmas ferramentas tanto no primeiro quanto no segundo.
Em um caso em que o sistema contém uma realimentação envolvendo um observador de estado 
com ordem plena, a locação de polos e o observador de estado são considerados independentes entre 
eles. Ao se projetar um sistema realimentado com observação, pode-se fazer o projeto do controlador 
ignorando a existência do observador, assim como se é possível projetar um observador ignorando 
que pode utilizar o estado que será observado para realimentação. Após o projeto separado, faz-se a 
união de ambos. Você já se perguntou como sabemos se realmente funcionará? 
127
UNIDADE 7
 Existe um teorema ao qual se dá o nome de teorema da separação. Este afir-
ma que podemos fazer um projeto do controlador e do observador independente 
um do outro. Seus polos resultantes de malha fechada independente, sendo, agora, 
uma dinâmica maior na qual temos o observador na mesma ordem que da planta 
existente, sendo ele considerado de ordem completa ou mínima, em que ele vai se 
utilizar as medições disponíveis nas saídas.
Analisaremos o impacto de uso de um estado observado em vez de uso de um 
estado real, pensando na equação característica que representa determinado sistema 
de controle, tendo o sistema como controlável e observável, que pode ser definido 
pelas seguintes equações:
x Ax Bu
y Cx
' � �
�
Tendo u = -K*
*' * ( ) ( )x Ax Bkx A Bk x Bk x x= − = − + −
Lembrando a definição de erro como:
e t x t x t( ) ( ) *( )� �
Vamos considerar:
L Ke=
Ficando a equação de estado após a substituição do erro:
x Ax Bkx A Bk x Bk x x' * ( ) ( )*� � � � � �
Agregando a definição de erro à equação, temos:
' ( )x A Bk x BL= − +
Representando o sistema na forma matricial:
x
e
A Bk Bk
A LC
x
e
`
`
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�0
e a equação descreve a dinâmica do sistema de controle por meio do estado observado:
128
UNICESUMAR
sI A Bk Bk
A LC
x
e
ou
sI A Bk sI A LC
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� � � �� �
0
Observeque os polos de malha fechada do sistema de controle realimentado por estado 
observado são os resultantes do projeto por alocação de polos e daqueles decorrentes do 
projeto isolado do observador. Isso demonstra como o projeto da alocação de polos e 
o projeto do observador são independentes entre si. Eles podem ser conduzidos, sepa-
radamente, e combinados para formar o sistema de controle realimentado por estado 
observado. A função de transferência do controlador/observador pode ser dada como:
1( ) numerador [ ]( ) denominador
U s K sI A LC BkY s
−= = − + +−
Note que, se a planta tiver uma ordem n, então, o observador terá a mesma ordem e 
a equação que caracteriza o sistema.
Título: Controle Linear de Sistemas Dinâmicos
Autor: José C. Geromel e Rubens H. Korogui
Editora: Blucher
Sinopse: o livro trata de sistemas automáticos em pro-
cesso dinâmicos. Além de toda a teoria, traz mais de cem 
exercícios com resolução, no final do livro.
Comentário: este livro traz diversos exercícios resolvi-
dos, situações envolvendo controle, que, agregados ao 
conhecimento do leitor, podem deixá-lo mais preparado para desafios profis-
sionais que possam encontrar.
Vamos analisar o exemplo, considerando o seguinte sistema:
x Ax Bu
y Cx
A B C
' � �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � � �
0 1
17 0
0
1
1 0 0
129
UNIDADE 7
Consideraremos que os polos desejados de malha fechada para esse sistema estejam em:
( )1 1 2 1, 2 , – 1,8 2, 4 – 1,8 – 2, 4.s i onde j e jµ µ µ= = = + =
A matriz de ganho K de realimentação de estado, nesse caso, resulta em:
K � � �29 6 3 6, ,
A expressão do observador e a expressão para o erro tendem a ir a zero, devido às 
constantes de tempo, que são menores que as constantes quando se trata da instalação.
Escolheremos os polos do observador para estar em:
1 23 =3s s=
Agora, para este exemplo, obteremos a matriz de ganho L e faremos o desenho do 
diagrama de bloco por meio do observador e, por fim, obteremos a função transfe-
rência do sistema.
sI A
s
s
s s a s a
a
a
�� � � �
�
�
�
�
�
�
� � � � � �
�
� �
1
17
17
0
17
2 2
1 2
1
2
O polinômio que desejamos fica:
1 2
2 2
1 2
1
2
( )( ) ( 3)( 3)
6 9
6
9
s s s s
s s s a s a
a
a
µ µ− − = + +
+ + = = +
=
=
Para determinarmos a matriz de ganho L, utilizamos:
L WN
a a
a a
Tendo
W
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�( *) 1 2 2
1 1
0 1
1 0
130
UNICESUMAR
0 1 1 0 9 17
1 0 0 1 6 0
0 1 26
1 0 6
6
26
L
L
L
  +     
=       −      
   
=    
   
 
=  
 
Tendo como a expressão do observador:
( *) ' ( ) *x A LC BK x Ly� � � �
Sendo assim, a equação do observador fica sendo:
( )
( ) [ ] [ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
* ' *0 1 6 0 6
1 0 29,6 3,6
* ' *17 0 26 1 26
* ' *0 1 6 0 0 0 6
* ' *17 0 26 0 29,6 3,6 26
* ' 6 1 0 0
* ' 9 0 29,6 3,6
x x
y
x x
x x
y
x x
x
x
           
= − − +           
           
           
= − − +           
           
   −   
= −     −    
( )
( )
( )
( )
( )
( )
* 6
* 26
* ' *6 1 6
* ' *38,6 3,6 26
x
y
x
x x
y
x x
   
+     
    
   −   
= +      
      
Assim, a função de transferência fica sendo:
U s
Y s K sI A LC BK L
U s
Y s
s
s
( )
( )
( )
( )
( )
, ,
,
� � � � �
� � � �
� �
� �
�1
29 6 3 6
6 1
38 6 3,,
( )
( )
6
6
26
1356 7628
5 12 301
1
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
� �
�
U s
Y s
s
s s
A exemplificação do sistema em diagrama de blocos pode ser vista na Figura 2, e a 
função transferência em diagrama de bloco pode ser vista na Figura 3.
131
UNIDADE 7
0
1
B
+
+
+
+
+
+
+
X
1 0
Y
C
U
0 1
17 0
0 1
17 0
A
X*
29,6 3,6
-K
0
1
1 0
C
6
26
B
-
Figura 2 - Representação do sistema em diagrama de blocos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: na figura, temos uma representação do sistema em diagramas de blocos. No canto superior esquerdo, um retân-
gulo com uma matriz dentro dele e com os números 1 e 0, e, embaixo deste retângulo, a letra B; dele sai uma linha para um círculo com 
um x no meio do círculo e um sinal de positivo; na parte inferior, no lado esquerdo do círculo sai uma linha à direita chegando a outro 
quadrado com o símbolo da integral; deste sai uma linha, em cima desta linha encontra-se a letra x; esta linha vai a outro retângulo com 
uma matriz dentro dele e com os números 1 e 0, e a letra C embaixo do retângulo; deste sai, à direita, uma seta com a letra y em cima 
dela. Debaixo da linha com o x, sai uma seta indicando outro retângulo que se encontra debaixo do quadrado que contém o símbolo 
da integral; dentro deste retângulo se encontra uma matriz com duas linhas e duas colunas; na primeira linha, há os números 1 e 0, e, 
na segunda, os números 17 e 0; deste retângulo sai outra seta em direção ao sinal positivo inferior do círculo, antes do quadrado com 
a integral. Voltando à seta que possui a letra y, dela sai outra seta mais fina em direção a um círculo para baixo, o círculo 2; este círculo 
se encontra no centro, à direita do desenho; dele sai uma seta fazendo curva para baixo indicando outro retângulo, na parte inferior 
de toda a figura; este retângulo possui uma matriz coluna dentro dele com dois números, sendo 6 e 26; outra seta liga ele a um círculo 
na parte superior, o círculo 4, que tem uma linha à direita e uma à esquerda; a linha direita do círculo 4 leva a um outro círculo que 
chamaremos de círculo 3, e deste círculo sai uma linha à direita, levando a um quadrado como símbolo da integral; deste quadrado sai 
uma linha à direita que leva a um retângulo que contém uma matriz linha com os números 1,0 e letra C embaixo dele; deste retângulo 
sai, à direita, uma seta indicando o lado esquerdo do círculo 2. Na linha entre o quadrado da integral e o retângulo da letra C, saem duas 
setas, uma para cima e outra para baixo, a de baixo vai a outro retângulo com uma matriz quadrada com os números 0,1,17 e 0; deste 
retângulo sai outra seta em direção à parte de baixo do círculo 3. A seta décima da linha vai a outro retângulo em cuja entrada há um 
x comum, símbolo de asterisco; dentro do retângulo, há uma matriz linha com os números 29,6 e 3,6; deste retângulo, sai outra seta 
com a letra u em direção a uma grande seta curva que leva à entrada do primeiro retângulo que tem a letra B embaixo dele. Do lado 
esquerdo do círculo 4, sai uma linha ligando a um retângulo com uma matriz coluna dentro dele com os números 1 e 0; deste retân-
gulo sai uma grande seta curva indicando para cima, ligando com a seta u e indicando a entrada do primeiro retângulo com a letra B.
132
UNICESUMAR
A representação da função transferência fica sendo:
Figura 3 - Função de transferência / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: da esquerda para direita, uma seta indica um círculo; a seta tem o número zero em cima dela, o círculo possui 
um x no meio dele, dividindo-o em quatro partes, tem o sinal positivo, à esquerda, e o sinal negativo, na parte inferior; dele sai outra 
seta com –Y(s) em cima dele, e esta seta indica um retângulo com a função transferência; saindo dele há uma seta curva indicando 
outro retângulo, dentro dele uma fração tendo no numerador 1 e s ao quadrado menos 17 no denominador; deste retângulo, sai outra 
seta, desta seta outra seta curva indicando a parte inferior do círculo com sinal negativo. 
O Simulink é uma ferramenta que pode ser 
integrada ao MATLAB. Ela consiste em uma 
ferramenta de reprodução de sistemas de 
controle, talvez a mais popular conhecida 
e, provavelmente, em se tratando de proje-
tos de controle, será a mais utilizada em sua 
vida profissional. Tem como grande caracte-
rística a possibilidade de trabalhar junto ao 
MATLAB, é utilizado para simular sistemas de controle, sinais e robótica. Pode ser adquirido 
junto ao MATLAB, possui uma versão para teste gratuita de 30 dias.
133
UNIDADE7
Quando pensamos em sistemas de controle envolvendo uma realimentação, a qual 
chamaremos de ordem mínima, podemos, também, considerar que os polos e o obser-
vador são independentes, tendo como sua equação que o representa definido como:
[ ] 0bb absI A Bk sI A LA − + − + = 
 6.
Nós podemos definir os polos que fazem o controle de ordem mínima aplicado 
a um sistema com realimentação de estado, como os polos de malha fechada re-
ferentes à locação de polos, e os polos de malha fechada referentes ao observador 
de estado sendo, respectivamente A-BK e Abb-LAab L.
Devido à questão da dualidade, utilizamos a mesma lógica para resolver ques-
tões envolvendo alocação de polos e para observadores de estado. Vamos analisar 
o seguinte exemplo, tendo o sistema:
A B C�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
0 1 0
0 1
6 11 6
0
0
1
1 0 00�
Então, vamos supor que nós queremos fazer alocação de polos do sistema em 
malha fechada em:
s j s j s1 2 32 2 3 2 2 3 6� � � � � � � = 
Tendo como resultado de K a matriz [ 90 29 4], realizaremos o projeto de um 
observador de ordem mínima. Para este exemplo, faremos a suposição de que 
sua saída possa ser medida com precisão, assim, não precisará ser estimada. Os 
polos que desejamos serão:
s=-5 e s=-5
Utilizando a equação de ordem mínima, temos:
1 2
2
( )( )
( 5)( 5)
10 25 0
bb absI A LA s s
s s
s s
µ µ − + = − − 
= + +
+ + =
Utilizando a fórmula de Ackermann, podemos definir:
L A
A
A B
A A A I
ab
ab bb
bb bb
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
f
f
1
2
0
1
10 25
134
UNICESUMAR
Temos, então:
[ ]
0
1 0
0
6
0 1
11 6
0
0
1
aa
ab
ba
bb
a
b
A
A
A
A
B
B
=
=
 
=  − 
 
=  − − 
=
 
=  
 
Temos como resultado de L:
L �
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�0 1
11 6
10
0 1
11 6
25
1 0
0 1
1 0
0 1
2 2
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
0
1
0 1
11 6
11 6
66 25
10
0 1
11 6
2
��
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
10
11 6
66 25
0 60
110 250
25
1 0
0 1
25 0
0 25
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�L
11 6
66 25
0 60
110 250
25 0
0 25 ��
�
�
�
�
�
�
�
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�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 0
0 1
0
1
14 60
176 300
1 0
0 1
0
1
L
L �� �
�
�
�
�
�
66
300
A equação para um observador de ordem mínima é expressa como:
( *) ' ( ) * ( ) ( )bb ab bb ab ba aa b aA LA A LA L A LA y B LB uη η  = − + − + − + − 
Ficando:
135
UNIDADE 7
h* ** **� � � �x Ly x Lxb b 1
Tendo o conhecimento que:
A LAbb ab� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�� � �
0 1
11 6
66
300
1 0
66
300
1 0 66
66*
00 1
11 6
0 66
726 396�
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
A equação de ordem mínima fica sendo:
h
h
h
h
2
3
2
3
0 66
726 396
0 66
726 396
*
*
*
*
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
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�
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� �
�
�
�
�
�
� �
66
300
0
6
66
300
0
0
1
y
666
300
0 66
726 396
2
3
2
3
�
�
�
�
�
�
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�
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h
h
h
h
*
*
*
*
��
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� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
19800
166716
0
6
0
1
66
30
y
00
0 66
726 396
2
3
2
3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
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u
h
h
h
h
*
*
*
*
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
19800
166716
66
299
y u
Onde: 
* * * *
2 2 2 2
1* * * *
3 3 3 3
 ou 
x x
Ly Lx
x x
η η
η η
       
= − = +       
       
Se nós utilizarmos a realimentação de estado, o sinal de controle u terá como resultado:
u Kx K
x
x
x
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
* *
*
 
1
2
3
136
UNICESUMAR
Sendo este K a matriz de ganho de realimentação de estado.
Faremos uma análise das seguintes equações com intuito de chegar à definição 
da função de transferência, a partir do observador de ordem mínima. Temos, então, 
para definir um observador de ordem mínima, a seguinte equação.
( *) ' ( ) * ( ) ( )bb ab bb ab ba aa b aA LA A LA L A LA y B LB uη η  = − + − + − + − 
Sendo que:
A A LA
B A L A LA
F B B L
bb bb ab
ba aa
b a
^
^ ^
^
� �
� � �
� �
Então, podemos utilizar as seguintes definições para se determinar um observador 
de ordem mínima:
^( *) ' * * *
( *) *
*
b
n A n B y F u
n x Ly
u Kx
= + +
= −
= −
Sendo que estas mesmas equações podem ser reescritas como:
( *) ' ** *
* * *
h h
h
� �
� �
A B y
u C D y
Tendo as equações de ordem mínima definidas, consideraremos a saída u e –y como 
entrada, a partir disso U pode ser descrito como:
* * 1 * *
* * 1 * *
( ) [ ( ) ] ( )
[ ( ) ] [ ( )]
U s C sI A B D Y s
C sI A B D Y s
−
−
= − − +
= − + −
Você pode reparar que, neste caso, a entrada do controlador/observador é –Y(s), e 
não Y(s). Levando isso em consideração, temos como função de transferência:
U s
Y s C sI A B D
( )
( )
[ ( ) ]* * * *� � �� � � �
�numerador
denominador
1
137
UNIDADE 7
Sistemas com realimentação são comuns em sistemas industriais. A realimentação a partir de variáveis 
de estado é algo presente nos mais diversos cenários possíveis, a necessidade de controlar as variáveis 
vem junto à demanda crescente do setor e a melhoria constante deste controle, é algo exigido cada vez 
mais pelo mercado. Sendo assim, como vimos durante a unidade, estes sistemas tendo realimentação 
como característica necessita dos observadores de estado uma vez que as variáveis precisam ser mo-
nitoradas o tempo todo.
Estes sistemas de controle que possuem estas características contidas nesta unidade, ou seja, a rea-
limentação de estado com os observadores pode ser encontrada em circuitos eletrônicos presentes 
dentro de equipamentos de controle, em sistemas industriais mais complexos, são muito utilizados, 
também, para a pesquisa em desenvolvimento de novos controladores.
Podemos considerar como exemplo um controlador industrial que faz um controle de temperatura 
de diversos tanques e atual, conforme a informação é atualizada a todo o momento, ou um sistema de 
controle envolvendo um banco de velocidade que um carro industrial possa estar trabalhando.
Título: Controle de Processos Industriais – Estratégias Modernas
Autor: Claudio Garcia
Editora: Blucher
Sinopse: o livro trata do controle de processos industriais, principal-
mente, de controle envolvendo fluidos, tendo destaque para o preditivo 
multivariável.
Comentário: o livro é interessante para estudantes de controle nesta etapa 
do conteúdo, pois focando, principalmente, em técnicas de controle para 
fluidos, acaba lidando com variáveis de estado o tempo todo. É interessante para o aluno que 
pode se familiarizar melhor com o uso destas variáveis em sistemas industriais.
No Podcast desta unidade, abordaremos possíveis aplicações para 
realimentação envolvendo observadores. Vem comigo! 
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10453
138
O que acha de fazer um Mapa Mental para criar anotações que lhe ajudem em sua percepção 
do que foi ensinado até o momento? Algumas palavras já foram incluídas para lhe ajudar. Você 
pode usar este espaço para escrever, também, sobre sua experimentação proposto no início da 
unidade. Este espaço é seu!
MATRIZ DE GANHO SISTEMA DUAL FUNÇÃOTRANSFERÊNCIA
ORDEM COMPLETA ORDEM MÍNIMA
REALIMENTAÇÃO
DE ESTADOS
139
1. Considerando as seguintes afirmações, responda quais das alternativas são verdadeiras 
e quais são falsas:
I) Em casos reais, temos os estados sempre mensuráveis.
II) Quando analisamos a construção de um projeto envolvendo realimentação com ob-
servadores, podemos dividir esta construção em duas etapas.
III) Um controlador e um observador podem ser considerados duais.
IV) Kalmam foi o responsável por propor o sistema dual.
V)Um sistema dual, a partir do controle e observações, tem que estar em patamares 
diferentes.
a) V, V, V, V, F.
b) F, F, F, V, V.
c) V, F, V, F, V.
d) F, V, V, V, F.
e) F, V, V, F, F.
2. Observe as duas afirmações: 
I) Pelo teorema da separação, podemos calcular o observador e o controlador sepa-
rados.
II) O observador pode ser calculado separado desde que esteja existindo na mesma 
ordem da planta.
A partir das afirmações qual das alternativas abaixo está correta?
a) As duas afirmações são verdadeiras.
b) As duas afirmações são falsas.
c) A primeira é verdadeira, e a segunda é falsa.
d) A primeira é falsa, e a segunda é verdadeira.
e) As duas são verdadeiras, e a segunda é uma característica da primeira.
140
3. Em se tratando de um sistema de ordem completa tendo:
[ ]8 2
2
16
k
L
=
 
=  
 
e tendo o resultado da expressão do observador dada pela matriz:
��
�
�
�
�
�
3 3
12 7
qual das alternativas representa a expressão característica da função de transferência 
de um sistema com os dados apresentados:
a) 
[ ]
13 3 8( ) 2 16( ) 12 7 2
sU s
Y s s
−+ −   
=    − − −   
b) 
U s
Y s
s
s
( )
( )� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
8 2
3 3
12 7
2
16
1
c) 
[ ]
13 3 2( ) 8 2( ) 12 7 16
sU s
Y s s
−+ −   
=    − − −   
d) 
U s
Y s
s
s
( )
( )� � � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 16
3 3
12 7
2
8
1
e) 
[ ]
13 3 2( ) 8 2( ) 12 7 8
sU s
Y s s
−−   
=    − − −   
141
4. Tendo a1 = 0 e a2= 5 e = 9 2m = 9, calcule o ganho L, considerando:
( *)
( *)
2 21
1 1
1 0 1 1 0
1 0 0 1
−
−
 −
=  
 − 
    
=     
    
a a
L WN
a a
Tendo
WN
a) 
81
18
�
�
�
�
�
�
b) 
81
23
 
 
 
c) 23 81� �
d) 
18
86
 
 
 
e) 23
81
�
�
�
�
�
�
5. Para este exercício, faça um diagrama de bloco, no qual será construída a represen-
tação de um sistema envolvendo realimentação com observadores de estado. Você é 
livre para imaginar detalhes do mesmo, assim, como os números não são o objetivo 
desta questão, então, podem ser aleatórios, desde que façam sentido na lógica que 
você desenvolverá.
142
8
Nesta unidade, nós falaremos sobre Compensação Dinâmica e 
aprenderemos sobre o papel dos controladores PID neste processo. 
Trabalharemos um pouco mais sobre projetos de controle e fare-
mos uma breve revisão a respeito de alguns conceitos de sistemas 
de controle. Além disso, falaremos sobre pré compensadores, das 
técnicas para compensação através do controlador Anti-Windup e 
por fim, sobre a compensação para sistemas não lineares.
Introdução ao 
Conceito de 
Compensação 
Dinâmica
Esp. Daniel Rodrigues Cardoso
144
UNICESUMAR
Os sistemas que possuem certas ações que modificam com o passar de um 
tempo são chamados sistemas dinâmicos. Muitas vezes, certas defasagens 
ocorrem ao resultado esperado nestes sistemas pelos mais variados moti-
vos. Existem, hoje, diferentes ideias que possam ser aplicadas em sistemas 
dinâmicos com a intenção de fazer correções necessárias. Considerando que, 
em sistemas de controle, os resultados precisam ser corretos e estáveis, mas, 
por diferentes motivos, mesmo o projeto estando correto, certas variações 
indesejadas podem aparecer, como filtrar estes erros de modo que os sistemas 
façam a devida compensação?
O sinal de saída de sistemas de controle, por diferentes motivos que nós 
veremos nesta unidade, pode apresentar erros indesejados no processo, e eles 
precisam ser corrigidos e previstos de alguma forma. Para fazer a correção 
destes erros, utilizamos a compensação de modo a filtrá-los para que tenha-
mos um sinal excelente na saída. As técnicas de compensação são diversas, 
portanto, quanto maior a diversidade de conhecimento do projetista, mais 
opções ele terá para solucionar o problema.
Por isso, convido você a realizar uma simulação envolvendo um contro-
lador. Para isso, é necessário que você faça o download do software SCILAB, 
acessando o QR Code a seguir: 
Após instalar o SCILAB, siga os seguintes passos:
• na área de trabalho do programa, clique no 
ícone azul, na aba superior escrito ”XCOS”. 
Será aberto um modulo contendo diversos 
blocos. 
• Vá para a paleta de sistemas contínuos e ar-
raste para a tela de simulação, dois blocos 
em que está escrito “CRL”. São estes blocos 
que utilizamos para escrever a função de transferência do sistema. 
• Após isso, vá para a aba “receptores” e arraste o bloco “SCOPE”, vamos 
utilizá-lo para a montagem de gráficos. 
• Na aba “fonte”, arraste para a tela o bloco “CLOK E STEP FUNCTION”.
• Na aba “roteamento de um sinal”, pegaremos o bloco escrito “MUX”.
• Em “operações”, arrastaremos o bloco “SUMMATION”. 
• na aba “sistema de tempo continuo”, arraste o bloco “PID”. 
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/12278
145
UNIDADE 8
Tendo arrastado todos os blocos, precisamos fazer a ligação entre eles, para isso siga o exemplo da Figura 1.
Figura 1 - Esquema de ligação / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: da esquerda para a direita, temos um a quadrado com a simbologia do degrau, e, dele, sai uma seta em dire-
ção a um retângulo; neste retângulo temos o símbolo da somatória, de onde sai outra seta em direção a um quadrado, em que está 
escrito PID; do quadrado sai uma seta em direção a um retângulo, e nele consta uma função transferência; na parte superior, temos K, 
no denominador da fração, temos t1s mais 1 e t2s mais 1; deste retângulo sai outra seta em direção a um pequeno retângulo escrito 
mux, deste retângulo mux sai uma seta em direção a outro com um símbolo de uma senoide, no meio dele; em cima deste retângulo 
encontra-se um quadrado com um símbolo semelhante aos ponteiros de um relógio; deste quadrado sai uma seta em direção ao 
retângulo da senoide. No meio da primeira seta, entre o quadrado com o degrau e o retângulo da somatória, sai outra seta do meio 
dela que vai em direção ao pequeno retângulo escrito mux. Do meio da seta do retângulo com a função de transferência e o retângulo 
escrito mux, sai uma seta para baixo em direção a um quadrado, e este quadrado tem uma função; na função, temos, o numerador 
1 e, no denominador 1, mais s, deste quadrado, voltando à direita, sai uma seta em direção ao retângulo com símbolo da somatória.
Observe que, no bloco da função de transferência inferior, é preciso clicar com o botão direito e ir em 
editar e espelhar. Esta construção é um modelo padrão bem simples de um controlador.
Vamos, agora, achar nossas variáveis. Vá à aba superior onde está escrito “simulação”, “definir contex-
tos” e, ao fazer isso, declare dentro do bloco que abrirão as seguintes informações: K=2, T1=20 e T2=10.
Modifique a função de transferência do bloco superior, clicando em cima dela, no numerador, 
digita “K” e, no denominador, digite “T1*s+1” mais “T2*s+2”. No sinal de entrada, digite, clicando no 
bloco, valor inicial 1, tempo de passo 1 e final 2, após isso, clique em “iniciar”. Observe o gráfico gerado.
Atente-se ao fato de que, ainda, não fizemos a regulagem do controlador. Vamos simular a função 
controlador? Para isso, clique no bloco do controlador e digite, para proporcional 3, integra 0,01 e 
derivativo 4, e, após isso, simule novamente o gráfico. Você verá o resultado da atuação do controlador 
em cima do resultado da saída do sistema.
146
UNICESUMAR
Você conseguiu observar a diferença que a atuação de um controlador pode oferecer à resposta de 
um sistema? Como estas técnicas de compensação funcionam em um controlador? Você pode observar, 
nos gráficos resultantes, a diferença que a atuação de um controlador aplicado em um sistema com 
uma regulagem adequada pode oferecer à saída de um sistema. 
As técnicas de compensação implementadas nos controladores são exemplificação de uma com-
pensação ocorrendo em um sistema dinâmico. Fica perceptível, também, como utilizar a compensa-
ção pode agregar ao resultado do sistema de controle. A compensação dos possíveis desvios do sinal 
acaba passando impercebívelaos olhos de quem vê o resultado de um sistema de compensação bem 
elaborado na prática. 
DIÁRIO DE BORDO
147
UNIDADE 8
A construção de sistemas em que se faz uso de controle existe com a intenção de realizar um 
propósito, especificamente, sendo assim, as necessidades para que o controle atinja o sucesso 
podem ser chamadas de especificações para desempenho. Estas especificações podem ser obtidas 
por meio de reações transitórias e de requisitos em regime estacionário, ou, ainda, por meio de 
respostas obtidas pela frequência.
 Conforme nos diz Ogata (2011), as necessidades envolvendo os sistemas devem ser apresentadas 
antes de se dar o início ao projeto de controle. Para problemas repetitivos, estas especificações envol-
vendo a resposta do projeto, como precisão, estabilidade entre outras, podem ser fornecidas por valores 
numéricos. Considerando casos em que certas especificações do projeto tenham valor qualitativo, de-
ve-se levar em consideração que estes valores podem sofrer modificações durante o desenvolvimento 
do projeto de controle. Existe a possibilidade de o valor específico desejado nunca ser atingido, ou 
pode levar à necessidade de um sistema de controle com autovalor sendo considerado insustentável.
Importante considerar que, na análise, para resultado de controle, caso a precisão ocorrida por 
meio do estado estacionário seja algo de extrema necessidade, não podemos fazer uso destas especi-
ficações de uma forma rígida na resposta, pois as especificações exigirão componentes de alto custo. 
No momento em que estiver projetando ou manipulando o sistema, tenha em mente que o propósito 
do projeto deve ser que o desempenho dele seja ótimo para o objeto para o qual foi criado. Refletindo 
sobre a busca de um bom resultado para os sistemas, chegamos no termo ganho. Se pensarmos bem, 
o bom controle dele tem ligação direto com um resultado satisfatório do sistema. 
Vamos relembrar a determinação de alguns conceitos antes de continuarmos, pois usaremos ao 
decorrer da unidade. 
148
UNICESUMAR
• Sistema: pode ser considerado como uma junção de elementos com ligação 
entre eles em que a saída dele sofre alterações, devido às entradas de controle.
• Sistema Dinâmico: um sistema no qual existe, pelo menos, alguma variável 
de saída depende de outra variável que sofreu alguma passagem de tempo 
e tem influência sobre ela.
• SISO: (Single-Input Single-Output) Sistema contendo uma entrada e 
uma saída.
• MIMO: o (Multi-Input Multi-Output). Sistema contendo várias entradas 
e várias saídas.
• Sistemas Dinâmicos Lineares: são considerados sistemas lineares quando 
satisfazem (k1 e k2 Ɛ R).
• Sistemas Dinâmicos Não Lineares: todo sistema que não é linear. Importan-
te ressaltar que nenhum sistema físico pode ser considerado totalmente linear.
• Ganho: é o valor em resposta do erro, representa uma compensação 
necessária.
Dentro das diversas possibilidades de construção e análise de sistemas, o ajuste 
e o controle do ganho pode não ser o suficiente para alcançarmos a resposta que 
queremos, sendo isso algo completamente normal e, em muitos casos, esperados. Se 
pararmos para fazer uma reflexão, podemos considerar que o aumento do ganho 
desenvolve uma resposta melhorada quando pensamos no regime estacionário, 
mas pode, paralelo a isso, criar uma instabilidade.
Uma vez que o projeto do sistema é criado, e a resposta que se espera não atinge 
o que se deseja, faz-se necessário que este sistema sofra certas modificações que 
o alterem de forma estrutural, ou ocorra a adição de componentes que melho-
rem o resultado. Este ato de projetar, ou seja, agregar modificações nos sistemas 
para melhor resposta é conhecido como compensação. Aos equipamentos que 
agregamos nos sistemas com o objetivo de fazer qualquer tipo de compensação 
dá-se o nome de compensador. Uma exemplificação do termo pode ser conferida 
conforme a Figura 2, sendo o sistema a gangorra, e, buscando o equilíbrio, faz-se 
necessário agregar diversas caixas para compensar a diferença de peso da pequena 
caixa pesada. A diferença entre um peso de um lado e de outro é como o erro do 
sistema, ou seja, o valor a ser compensado.
Na construção do projeto de controle a utilização de tentativa e erro pode ser 
considerado um caminho comum, sendo que após a agregação de compensadores 
as definições do projeto podem se encontrar até em uma situação diferente da 
que se iniciou-se.
149
UNIDADE 8
Quando nós pensamos sobre o uso destes com-
pensadores, muito disso vem da necessidade de 
que o sistema tem em fazer com que a saída seja 
insensível a fatores externos que possam influen-
ciar, de alguma forma, o sistema, sendo que uma 
das formas que o projetista tem para confrontar 
este problema está na utilização de uma pré com-
pensação. A utilização de uma pré compensação 
consiste em, após você ter o conhecimento das 
perturbações existentes e do sistema em si, você 
projeta a realimentação do sistema de modo a 
compensar a nova necessidade do sistema.
Conforme podemos ver na Figura 2, aplicando 
o controlador a uma planta, que está sofrendo 
de perturbações externas w(t), o sistema que está 
utilizando variáveis de estado utiliza as mesmas 
equações da realimentação de estado para com-
pensar estes distúrbios.
Controlador Planta
e(t) u(t)
W(t)
Y(t)
Figura 2 - Aplicação do controlado na planta / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: da esquerda para direita, uma seta apontando para um círculo; seguindo da esquerda para direita sai outra 
seta em direção a um retângulo, em cima desta seta está a letra e, e a letra t vem entre parênteses; dentro do retângulo está escrito 
controlador, outra seta sai em direção a outro retângulo em que está escrito planta dentro dele; em cima desta seta encontra-se a 
letra u com a letra t entre parênteses; este retângulo tem uma seta em cima apontando para ele com a letra w e com a letra t entre 
parênteses do lado; saindo dele, para a direta, temos outra seta, em cima dela temos a letra y com o t ao lado entre parênteses; debaixo 
desta seta sai uma outra seta fazendo uma curva e apontando para parte de baixo do círculo inicial.
REALIDADE
AUMENTADA
Acesse o QR Code a seguir e veja na Realidade 
Aumentada uma Introdução ao Conceito de 
Compensação Dinâmica.
150
UNICESUMAR
No controle aplicado a processos dinâmicos, como os industriais, o atraso pode vir a exis-
tir na indústria de alimentos, na indústria petroquímica, em sistemas envolvendo algum 
tipo de fusão entre outros processos existentes na malha industrial, conforme Figura 3.
Figura 3 - Ambientes industriais onde se pode encontrar sistemas dinâmicos / Fonte: Pixabay (2016).
Descrição da Imagem: ambiente industrial, iluminação industrial na parte superior da imagem, à esquerda 
da figura se encontra cilindros de inox, ao fundo diversos equipamentos industriais interligados por tubos, a 
direita temos um tanque de inox com uma pequena pá pendurada nele.
Este atraso pode ser encontrado em diversos pontos dos sistemas de controle, 
normalmente, ele está associado à passagem da matéria do ponto da medição 
do sensor ao ato do atuador, ou seja, este tempo entre a medição e a atuação. 
Importante ressaltar que uma resposta do atuador pode ser modificada sem que 
o sensor tenha feito a leitura. Considerando que o controlador receba a resposta 
com determinado atraso, ele pode continuar a aplicação de correções até a mu-
dança esperada da variável existente no processo. 
Os controladores conhecidos por ações proporcional, integral e derivativa são 
extremamente populares no meio industrial. Astrom e Hagglund (1995) afirmam 
que mais de 90% de todas as malhas de controle das indústrias são do tipo PID. 
Este tipo de controlador tem como vantagem o fácil manuseio e a capacidade de 
se adequar a diversos modelos de processos além de atenderem sistemas SISO e 
sistemas MIMO.
151
UNIDADE 8
Desenvolvida por diferentes empresas e sendo a solução de diversas dificuldades 
que possam vir a existir no processo, os controladoresPID, também, podem ser 
desvantajosos em determinadas situações, sendo que em alguns casos, outra escolha 
de compensação pode ser mais adequada. Existe, por exemplo, um compensador 
chamado Corretor de Smith, que pode ser considerado, talvez, um controlador muito 
mais eficiente quando se trata de processos envolvendo grande número de atrasos. 
O controlador PID pode ser definido pela função de transferência:
Ge s K K
s
K s( ) � � �1 2 3
O controlador PID tem três parâmetros para se determinar, sendo eles o ganho inte-
gral, o proporcional e o derivativo. Vamos tentar entender a compensação feita pelo 
controlador PID por meio da análise dos seus termos.
-20 -20
Figura 4 - Controle de câmara / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: da esquerda para direita, temos um pequeno quadrado com um desenho de uma 
trinca; dentro dele, outros dois quadrados: no quadrado da esquerda está escrito menos 20; à direita deste 
quadrado, temos um desenho muito maior de um cubo; na parte do fundo dele, temos desenho de hélice 
dentro de círculos.
Conforme a Figura 4, pensaremos em uma câmara de congelamento que precisa de uma 
temperatura a - 20ºc, e o ar frio controlado por um controlador PID. Este ar frio é injetado 
na câmara de modo a baixar a temperatura até o ponto em que se deseja. Se a temperatura 
baixar mais que o esperado, o controlador desliga o ar gelado para a temperatura voltar a 
subir. Quando esta temperatura passar os -20ºc, por exemplo, quando estiver em -18º, o 
controlador utilizará a injeção de ar gelado de maneira proporcional para voltar aos -20ºc. 
Quando passarmos pelo setpoint desejado, esta mesma ação será realizada novamente.
152
UNICESUMAR
A ação integral tem como objetivo diminuir a variação entre os valores acima e 
abaixo do setpoint desejado, ela tentará diminuir esta varrição acima e abaixo do 
setpoint, tentando dar uma estabilidade no valor por meio de uma ação mais suave.
A ação derivativa é utilizada para corrigir um erro da ação integral, deixando 
o valor estabilizado no setpoint. Vamos analisar o exemplo:
2 2
3 1 2 3 3 1 22
1 3
( ) ( )( )( ) K s K s K K s as b K s z s zKGe s K K s
s s s s
+ + + + + +
= + + = = =
Vamos considerar que a=K1 /K3 e b=K2/K3. Sendo assim, o controlador terá um 
polo na origem e dois zeros que podemos posicionar na esquerda do plano. Se-
gundo Dorf (1988), se utilizarmos um controlador PID com zeros complexos, 
podemos planejar o sistema. À medida que o ganho do K3 for aumentando, estas 
raízes tendem a ir em direção a zero.
Ge s
s s
( )
( )( )
�
� �
1
3 4
3 1 2
2 1
3
2
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 ( ) ( ) ( )( ) ( *)
( )
( )
e p
e p
P
G s G s G s K s z s zc
G s G s s r s r s r
K G sT s
s r
+ +
=
+ + + + +
=
+
Isso pode acontecer porque os zeros e as raízes complexas são quase iguais. Se 
fizermos Gp =1:
T s K
s r
K
s K
( )
( ) ( )
�
�
�
�
3
2
3
3
Se tivermos K3 com um valor alto, por exemplo 100, temos uma resposta muito 
rápida e um erro quase que inexistente, sem contar a diminuição dos efeitos da 
perturbação. Ou seja, podemos concluir que o controlador PID é muito útil para 
redução do erro e melhora da resposta.
153
UNIDADE 8
Abordando controladores PID para sistemas multivariáveis, precisamos considerar que, no domínio 
da frequência, o diagrama de nyquist ainda é uma das ferramentas mais utilizadas quando pensamos 
em análise de uma malha fechada. Conforme nos diz Maciejowski (2001), por meio da definição dos 
critérios de Nyquist é possível fazer o entendimento de estudos para sistemas multivariáveis.
Se pensarmos em um sistema com mais de uma entrada e uma saída, sendo que a função que repre-
senta a malha tem um controlador proporcional, K pode ser dada por KG(s). Para cada valor de K, as 
mudanças ocasionadas nos lugares geométricos sofrem modificações de modo semelhante. Se tivermos 
uma mudança no valor de K, os valores geométricos podem, da mesma forma, se tornar instáveis. Este 
comportamento também ocorre para sistemas memoriáveis e leva o nome de limiar da estabilidade.
Quando nós temos, nos sistemas, o limiar da estabilidade, ocorrem certas oscilações no sistema de 
malha fechada que tem como característica principal a matriz de ganho Ke. e frequência considerada, 
de certa forma, crítica, expressa por ωe.
Com a utilização da técnica de DRF (The Decentralized Relay Feedback), podemos achar a localização de 
pontos específicos em que ocorre ganhos considerados críticos. Como em sistemas MIMO, podem existir 
muitos pontos considerados críticos. Quando pensamos na construção do controlador, ainda se pode con-
siderar uma questão aberta, e muitas das decisões sobre isso cabem a uma opinião do projetista do sistema.
Quando se aplica a técnica de identificação por meio de relé, para um caso MIMO, pode-se fazer 
a análise sob três pontos de vista diferentes. O primeiro é quanto à utilização de caso SISO, de uma 
maneira independente, ou seja, fazer a análise de um separado dos demais, sem levar em consideração 
os efeitos que a relação das variáveis tem entre elas quando estiverem dentro de uma malha fechada. O 
segundo é a experimentação sequencial, e, para este caso, segue-se a sequência do esquema do projeto 
e se leva em consideração para este os efeitos causados pelas relações das variáveis presentes no projeto 
de controle. O terceiro é o chamado experimento decentralizado DRF, onde se faz análise de toda a 
malha de maneira que seja simultânea.
Título: Advanced PID Control
Autor: Karl J. Astrom e Tore Hagglund 
Editora: ISA
Sinopse: este livro tem como principal tema o controlador PID. Apresenta 
como operar, entender e desenvolver o PID para sistemas, desde os parâ-
metros mais básicos até os mais avançados.
Comentário: considerado, no mercado, como um dos melhores livros 
sobre PID, é excelente para que você possa se especializar no assunto.
https://www.amazon.com.br/s/ref=dp_byline_sr_book_1?ie=UTF8&field-author=Karl+J+Astrom&text=Karl+J+Astrom&sort=relevancerank&search-alias=stripbooks
https://www.amazon.com.br/s/ref=dp_byline_sr_book_2?ie=UTF8&field-author=Tore+Hagglund&text=Tore+Hagglund&sort=relevancerank&search-alias=stripbooks
154
UNICESUMAR
Em todo tipo de sistema haverá uma hora em que o atuador apresentará uma 
falha. Todo equipamento de atuação possui vida útil e a qualquer hora sofrerá uma 
saturação. Vamos imaginar que a existência de um valor do tipo degrau provoque 
esta saturação em um controlador do tipo Proporcional Integral, o erro continuará 
a ser integrado pelo integrador (windup) ao sistema, e o valor de controle conti-
nuará a crescer. Sendo assim, o valor de u(t) ficará preso em seu valor máximo, 
transformando a malha em uma malha aberta. O valor de u(t) ficará travado até 
que o valor de saída ultrapasse o valor de referência. Quando isso ocorrer, devido 
ao efeito da acumulação do integrador, é revertido (Anti-Windup).
Para casos como este, mesmo que você tente fazer uma alteração no valor de 
controle, não será possível, pois o sinal está travado. Sendo assim, é preciso um 
erro negativo, consideravelmente grande, e uma resposta transitória, relativamente 
deteriorada, para acontecer o erro Anti-Windup que se faz preciso para trazer o 
sinal de controle uc(t) de volta à normalidade do atuador.
A resolução para este cenário é a utilização de um controlador chamado An-
ti-Windup, que desligará a integral quando o atuador saturar. A utilização deste 
modelo de controle é considerada necessária para a atuação integral em um 
controlador e, ao escolher não utilizar esta técnica, pode levar à deterioração do 
desempenho do sistema. A existência do controlador Anti-Windup é devido, então, 
à necessidade de ativar uma malha em que ocorre uma realimentação em torno 
do integrador. Assim, quando ocorre algum tipo de saturação, o controle será 
estabilizado, e o efeito acumulativo do integrador será revertido (Anti-Windup).
Como pudemos ver até o momento, diversas técnicas são utilizadas para fazer 
a compensação em sistemas dinâmicos. Falaremos, agora,sobre a compensação 
em sistemas dinâmicos não lineares, que são estáticos. Determinado sistema 
pode ser considerado estático se tivermos a saída z(t) do sistema em si, no exato 
momento de tempo t dependente, exclusivamente, de x(t). A representação desta 
relação pode ser expressa por
( ) ( ( )).z t f x t=
O efeito da não linearidade estática pode ser observada na saturação de atuadores 
ou em histereses, por exemplo. Podemos fazer a anulação dos efeitos de determi-
nada não linearidade estática, a partir da utilização de um atuador que faça uma 
compensação considerada não linear. Conforme vemos na Figura 5, o escopo de 
um sistema possui um compensador de não linearidade estática.
155
UNIDADE 8
Sinal Compensador Não linearidade
Inverso pela direita
ProcessoScope
Figura 5 - Compensador não linear / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: da esquerda para direita, temos uma elipse, dentro dela, um risco horizontal em zig zag 
e, em cima, está escrito (Sinal). Saindo dela, temos uma seta indicando um retângulo, em cima deste retângulo 
está escrito (compensador), debaixo deste retângulo está escrito (inverso pela direita). Uma seta sai deste re-
tângulo, apontando para um outro retângulo e, em cima, está escrito (não linearidade). Abaixo deste retângulo 
sai outra seta apontando para outra elipse e, dentro desta elipse, está escrito (processo). Desta elipse, sai uma 
última seta apontando para a esquerda em direção a um retângulo menor, e, dentro dele, está escrito (scope).
Podemos exemplificar a compensação não linear com o seguinte exemplo: tendo uma 
região considerada morta de atuação do motor, pode ser considerada como uma não 
linearidade estática descrita pela função: 
f R R: →
Sendo definido por:
0, x
( ) , x>
, x<
se
z f x x se
x se
ς
ς ς
ς ς
≤ 
 = = − + 
 − 
O efeito da zona morta pode ser compensado pelo compensador de não linearidade, 
utilizando uma inversa à direita de f:
x f z
z se
z se
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�1( )
V
V
 z 0
 z <0
156
UNICESUMAR
Analisamos diversos métodos de compensação que podemos aplicar em sistemas, as diferentes técnicas 
existentes são necessárias para as mais variadas citações encontradas, levando sempre em consideração 
as particularidades de cada uma de modo que se faz preciso o conhecimento das mesmas para que as 
dificuldades encontradas sejam supridas pela sua análise.
A compensação é utilizada toda vez que você precisa compensar certas desestabilizações causadas 
pelos mais inúmeros fatores. Os conceitos envolvendo compensação podem ser aplicados na construção 
de controladores. Para isso, você pode construir controladores já conhecidos, como é o caso do PID, 
ou, até mesmo, por meio do conhecimento que você tem sobre compensação de sistemas, desenvolver 
novos tipos de controladores.
Controladores que usam compensação são utilizados, em quase todos os tipos de indústria, como 
no ramo de metal, mecânica, petroquímica, alimentícia entre outras. Os conceitos sobre eles, também, 
farão com que você enxergue de uma outra maneira certos problemas encontrados em processos, de 
modo que você possa encontrar a solução de uma nova maneira.
Neste Podcast, traremos o contexto histórico à aplicação multivariá-
vel do controlador PID. Vem comigo!
Livro: Predictive Control with Constraints 
Autor:  Jan Maciejowski
Editora: Prentice Hall
Sinopse: o controle preditivo é indispensável para estudos de sistemas de 
controle na indústria. O livro de Jan Maciejowski oferece um curso sobre 
o assunto.
Comentário: caso queira se aperfeiçoar no estudo e na análise de sistemas 
voltados para indústria, fica a indicação do livro Predicativo Controlo switch 
Constraints, a leitura dele acrescentará muito em sua vida profissional.
https://www.amazon.com.br/s/ref=dp_byline_sr_book_1?ie=UTF8&field-author=Jan+Maciejowski&text=Jan+Maciejowski&sort=relevancerank&search-alias=stripbooks
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10454
157
O que acha de fazer um Mapa Mental e criar anotações que lhe ajudem em sua percepção do que 
foi ensinado até o momento? Algumas palavras já estão aí para lhe ajudar, agora, escreva dentro 
das elipses o seu entendimento sobres os conceitos aprendidos.
PID MIMO
PID
Pré compensador
Derivativo
Integral
Proporcional
CompensaçãoAntiwindup
Compensação dinâmica
158
1. Refletindo sobre a construção de sistemas e seus propósitos apresentados no conteúdo, 
analise as afirmativas seguintes:
 ) ( A construção de sistemas de controle tem um propósito específico sendo que as 
necessidades para que o controle atinja o sucesso podem ser chamadas de especi-
ficações de desempenho.
 ) ( Pensando na construção de projetos, temos a necessidade deles percebidas após sua 
construção, e as respostas dos sistemas representados, por meio de valores empíricos.
 ) ( Uma forma de resposta rígida não é recomendada para sistemas que necessitam de 
precisão para o estado estacionário.
 ) ( Em se tratando de projetos de estabilidades, pode ser expressado por valores numéricos.
 ) ( As necessidades do projeto podem ser obtidas, mas não, exclusivamente, por meio 
de reações transitórias.
Assinale a a alternativa que, corretamente, corresponde às afirmações.
a) V, V, V, V, V.
b) V, F, V, V, V.
c) F, V, F, V, F.
d) V, V, V, V, F.
e) F, F, F, V, F. 
2. Leia o texto a seguir e complete as lacunas.
__________ podem ser considerados como uma junção de elementos com certa relação 
entre eles, tendo sua saída recebendo alterações, devido a entradas que executam 
o controle. Quando o sistema é considerado_________, algumas __________ de saídas 
dependem de alguma outra que sofreu uma passagem de tempo. Estes sistemas men-
cionados podem ser considerados__________ quando satisfazem K1 E K2 E R, e, quando 
não satisfaz esta situação é considerado_________.
Assinale a alternativa que corresponde às respostas corretas. 
a) Sistemas, Sistemas Dinâmicos, Variável, Sistemas Dinâmicos não lineares, Sistemas 
Dinâmicos Lineares.
b) Sistemas Dinâmicos, Variável, Sistemas Dinâmicos Lineares, Sistemas Dinâmicos não 
lineares, Sistemas.
c) Sistemas, Sistemas Dinâmicos, Variável, Sistemas Dinâmicos Lineares, Sistemas Dinâ-
micos não lineares.
159
d) Sistemas, Sistemas Dinâmicos, Sistemas Dinâmicos Lineares, Sistemas Dinâmicos não 
lineares, Variável.
e) Sistemas Dinâmicos Lineares, Sistemas, Sistemas Dinâmicos, Variável, Sistemas Dinâ-
micos não lineares.
3. Leia, atentamente, as afirmações a seguir:
I) O ato de modificar os sistemas para melhorar a resposta aplica-se ao conceito de 
compensação.
II) A compensação diminui o erro existente e melhora resultado.
Assinale a alternativa que corresponde, corretamente, às afirmações:
c) A primeira afirmação está correta, e a segunda é falsa.
d) A primeira afirmação é falsa, e a segunda está correta.
e) As duas afirmações são falsas.
f) As duas afirmações estão corretas, e a segunda justifica a primeira.
g) As duas afirmações estão corretas, mas segunda não justifica a primeira.
4. Leia, atentamente, as afirmações:
 ) ( A ação integral tem como objetivo minimizar o espaço de atuação do setpoint.
 ) ( A ação derivativa estabiliza o valor no setpoint.
 ) ( A ação integral estabiliza o valor no setpoint.
 ) ( A ação derivativa tem como objetivo minimizar o espaço de atuação do setpoint.
 ) ( A ação proporcional consiste em controlar a porcentagem de atuação, conforme a 
necessidade.
Marque a alternativa correta.
a) V, V, V, V, F.
b) V, F, V, V, F.
c) V, V, V, V, V.
d) V, F, V, V, F.
e) V, V, F, F, V.
160
5. Se pensarmos na construção de controladores para compensação em sistemas multi-
variáveis, a análise de pontos críticos pode ser vista de três maneiras diferentes. Diante 
disso, qual das alternativas corresponde, de maneira correta, a estas possibilidades?
a) Utilização de caso SISO, Proporcional Integral, Experimento decentralizado.
b) Lugares Geométricos, Proporcional Integral, Experimento decentralizado.
c) Utilizaçãode caso SISO, Lugares Geométricos, Experimento decentralizado.
d) Utilização de caso SISO, Experimentação sequencial, Experimento decentralizado.
e) Utilização de caso SISO, Proporcional Integral, Lugares Geométricos.
6. Por meio do conhecimento adquirido com o conteúdo, qual das alternativas descreve 
a função de um controlador antwindup.
a) Desligar a integral quando o atuador saturar.
b) Desligar a integral quando o atuador desligar.
c) Religar a integral quando o atuador saturar.
d) Amaciar o sinal de atuação.
e) Acelerar o atuador.
7. Certa empresa faz o controle da temperatura do produto por meio de um registrador 
gráfico mecânico, e pequenas variações de temperatura estão aparecendo neste gráfico. 
O controle de qualidade da empresa pediu ao engenheiro responsável que resolva este 
problema. Levando em consideração que estas pequenas varrições são interferências 
externas, qual a melhor técnica entre as citadas a seguir pode ser utilizada de modo a 
ter um valor estável na temperatura?
a) Compensador com ajuste de tensão.
b) Compensador PID.
c) Pré Compensador.
d) Compensador Analítico.
e) Compensador com ajuste térmico.
9
Nesta unidade, nós discutiremos um pouco sobre os aspectos do 
controle multivariável. A unidade dá ênfase na utilização de téc-
nicas de controle aplicadas a sistemas físicos. Para isso, faremos 
uma análise da aplicação de controle a uma torre de destilação, 
sendo esta objeto em que aplicaremos técnicas de controle que 
estudamos durante as unidades. Além disso, para demostrar o 
assunto abordado, utilizaremos um exemplo envolvendo esteira e 
um Servomotor. Por fim, visitaremos alguns comandos do Matlab 
e discutiremos um pouco sobre a importância da utilização de soft-
ware nos cálculos de controle.
Aplicação a Processos 
Físicos Tipicamente 
Multivariáveis
Esp. Daniel Rodrigues Cardoso
162
UNICESUMAR
Aprendemos, nas unidades anteriores, sobre representação por 
meio de matrizes de estado, a relação da função transferência 
com as matrizes de estado, a observabilidade, a controlabilidade 
e a realimentação de estado. Conseguiria aplicar estes conhe-
cimentos em sistemas físicos? Vamos supor que você precise 
projetar sistemas envolvendo servomotores, correias, sensores, 
válvulas entre outros. Saberia como aplicar os controles estuda-
dos para estas situações?
A aplicação de análise de variáveis de estado a sistemas físicos 
tem o objetivo de aumentar a visibilidade das aplicações a siste-
mas que você pode encontrar em seu futuro ambiente 
profissional. É embutida, neste processo, a necessida-
de de conhecimento de certas características sistêmi-
cas e industriais que lhe ajudarão a desenvolver sua 
capacidade de projetar sistemas. A aplicação 
das técnicas aprendidas até o momento em 
ambientes profissionais permite que você 
aumente a sua percepção sobre como pode-
rá aplicar seu conhecimento na construção 
de projetos de sistemas de controle.
Nesta última unidade, convido você a 
colocar a mão na massa e buscar alguns 
equipamentos ou ambientes característicos 
em ambientes profissionais. Vamos lá? Esta 
prática consiste em uma pesquisa, na inter-
net, para que possa conhecer certos equipamen-
tos e ambientes profissionais que você possa 
vir a frequentar, no futuro. Para isso, busque 
vídeos que envolvam torre de destilação, ser-
vomotores industriais, sensores, válvulas e até 
satélites. Faça as devidas anotações sobre as prin-
cipais características que observou e achou mais 
importante. Tente observar a relação existente entre 
o conteúdo estudado e estes equipamentos, como entram 
os testes de observabilidade e controlabilidade, como a ação 
dos sistemas envolvendo estes equipamentos pode ser descrita 
por matrizes de estado, situação em que pode ser necessário 
estimação de estado e sistemas com realimentação, assim como 
observadores de estado. Para isso, utilize seu diário de bordo. 
163
UNIDADE 9
A visualização dos vídeos vem com o propósito de, ao considerarmos que, muitas vezes, uma 
visualização real pode ser de difícil acesso para enxergar os equipamentos atuando na prática, estes 
vídeos tendem a apresentar os equipamentos caso ainda não tenha um melhor conhecimento sobre 
os assuntos. Assim sendo, a pesquisa aumenta a visualização dos equipamentos que, de certa forma, 
direta ou indiretamente, será abordada nesta unidade.
É importante ressaltar que considerando o estudo e a análise de sistemas multivariáveis, seja por 
meio de circuitos eletrônicos seja sistemas industriais, automatizados ou não, as características dos 
componentes e como eles atuam em resposta às ações de outros equipamentos ou algum evento, é que 
decidirá como o sistema em si se comporta. Toda representação gráfica ou matemática é uma repro-
dução de um meio físico, então, podemos considerar que é de extrema importância o conhecimento 
das peças que compõem um sistema no campo. Você consegue visualizar como o entendimento sobre 
o funcionamento destes equipamentos impacta a construção de um sistema?
DIÁRIO DE BORDO
164
UNICESUMAR
Quando pensamos em engenharia, talvez, podemos afirmar que consiste em uma 
modelagem do que a natureza oferece de modo a proporcionar benefício para 
as pessoas. Segundo Dorf e Bishop (1988), podemos considerar a engenharia de 
sistemas de controle como o controle à sua volta a proporcionar produtos úteis 
e econômicos para a sociedade. Sendo assim, o principal desafio para um enge-
nheiro de sistemas de controle é a modelagem de sistemas robustos, inteligentes 
e tecnológicos, como sistemas robóticos e químicos com o envolvimento de 
diferentes variáveis no processo.
Durante nossos estudos referentes ao controle multivariável, foram apresen-
tados os conceitos de variáveis e matrizes de estado, suas funções e necessida-
des. Vimos, também, a relação da representação das matrizes de estados com as 
funções de transferência. Foram apresentados os conceitos de observabilidade e 
controlabilidade assim como os testes que podemos fazer para saber se nossos 
sistemas podem ser tanto observáveis como totalmente controlados. Aprendemos 
sobre realimentação de estado e sobre como montar um observador de estado. 
Vamos, a partir destes conceitos estudados, analisar aplicações para os mesmos.
Com o intuito de verificar a aplicação de controle por meio de análise de estado 
aplicado a casos reais, usaremos como exemplo um motor CC aplicado a uma 
esteira com um sensor de detecção de produto, conforme Figura 1.
165
UNIDADE 9
Figura 1- Exemplo de esteira industrial / Fonte: Pixabay (2015, on-line).
Descrição da Imagem: na figura temos uma esteira; da parte superior à esquerda, saem inúmeros roletes em série fazendo uma curva 
no centro superior da imagem, os roletes se encerram em determinado momento, dão continuidade a um tipo de superfície lisa em 
série com os roletes fazendo uma caída do centro da imagem até a parte inferior à esquerda. Do lado da esteira, na parte superior 
da imagem, é possível ver um motor ligado a ela. No canto inferior, à direita, é possível ver outro trecho da esteira mais abaixo com 
roletes e caixas passando por ela.
O objetivo deste estudo, além da verificação do motor CC em projeto de controle por meio da análise 
de estado, é determinar o efeito da mola K em uma pequena esteira de lona, fazer a devida relação dos 
parâmetros mais apropriados para a roldana, o controlador e o motor. Atribuiremos ao efeito mola da 
esteira o valor de K, o raio da roldana será considerado r, consideraremos a rotação angular do motor 
como q , e a rotação angular da roldana como q p. A massa do pacote que passará pela esteira é m, e, 
para sua posição, consideraremos y(t), o sensor de posição é utilizado para medir y, e a saída do sensor 
é uma tensão elétrica e podemos considerar V1=K1y. A tensão do controlador é V2, assim, podemos 
considerar V2 como uma função de V1. Sabendo que V2 está conectado ao campo do motor, entende-se 
que a relação linear de V2 pode ser descrito como:
166
UNICESUMARV K dV
dt
K V2 2 1 3 1� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
Faz-se, então, a escolha:
2
3
0,1
0
K
K
=
=
Para este exemplo, consideramos a inércia do motor como J e, para nosso propósito, 
utilizaremos um motor de 1CV. Assim, temos J=0,01, a resistência de campo é de 10 
Ohm, a constante do motor Kn=2Nm/A e atrito do motor e da roldana, b=0,25N-ms/
rad. O raio da roldana é 0,15m.
Primeiramente, precisamos escrever as equações de movimento para o sistema.
Tendo:
y r p= q
Temos como tensão Ti.
1T ( ) ( )pk r r k r yθ θ θ= − = −
A tensão T2 fica sendo:
T2 � �( )y rq
A tensão aplicada à massa é:
2
1 2 2
1 2
1 2 1
T T
T T ( ) ( )
T T 2 ( ) 2
d ym
dr
k r y k y r
k r y kx
θ θ
θ
− =
− = − − −
− = − =
Temos, aqui, a 1° variável de estado sendo representada por X1, onde:
X r y1 � �( )q
A segunda variável que teremos é X2, onde:
2
dyX
dt
=
167
UNIDADE 9
Consideramos, assim:
dx
dt
k
m
x2 1
2
=
Temos a primeira derivada de X1 descrita como:
1
3 2
dx rd dy rx x
dt dt dt
θ
= − = −
Quando relacionamos uma terceira variável de estado, neste caso, representado por 
X3, sendo X3:
x d
dt3
=
q
Faz-se necessário, então, uma equação que descreva a rotação do motor. Se temos 
L=0, a corrente de campo i e o torque de motor do motor são definidos como:
2
2
logo,
m
m
Vi
n
Tm K i
KTm v
R
=
=
=
O torque do motor fornece a força para acionar a correia que se soma a possíveis 
perturbações, sendo que:
Tm T Td� �
O torque T aciona o eixo das polias, então, teremos: 
2
1 22 ( )
d dT J b r t t
dt dt
θ θ
= − + −
Podemos entender que:
dx
dt
d
dt
3
2
2=
q
E, assim,
168
UNICESUMAR
dx
dt
T T
J
b
J
x kr
J
xm d3 3 1
2
�
�
� �
( )
Sendo que:
Tm K
R
v
v k k dy
dt
k kx
m�
� � � �
2
2 1 2 1 2
A partir destas definições, teremos:
dx
dt
K k k
J
b
J
x kr
J
x T
J
m d3 1 2
3 1
2
�
�
� � �
Agora que temos todas as equações diferenciais que descrevem os sistemas, podemos 
montar matriz de estado que fica sendo:
x
r
k
m
kr
J
K k k
JR
b
J
x
Jm
' �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 1
2 0 0
2
0
0
1
1 2
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�Td.
O nosso objetivo é que, construindo estes sistemas, tenhamos uma redução na per-
turbação causada por Td.
X s
Td s
1 ( )
( )
Utilizaremos esta função de transferência para tentarmos reduzir o efeito da pertur-
bação do torque Td.
X s
Td s
r
J
s
L L L L L L
1
2
1 2 3 4 1 21
( )
( ) ( )
�
�
� � � � �
�
As incógnitas desta equação podem ser representadas por:
169
UNIDADE 9
L b
J
s
L k
m
s
L kr s
J
L kKmK K r s
mJR
1
1
2
2
3
2 2
4
1 2
3
2
2
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Então, temos:
X s
Td s
r
J
s
s b
J
s k
m
kr
J
s kb
J
1
3 2
22 2 2
( )
( )
�
��
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� � �
�
�
��
�
�
�� � mm
kKmK K r
JmR
�
�
�
��
�
�
��
2 1 2
Fazendo a substituição, temos:
X s
Td s
s
s s k k
1
3 2
2
0 15
0 01
0 25
0 01
2
1
2 0 15
( )
( )
,
,
,
,
,
�
��
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� � � 00 01
2 0 25
0 01
2 0 25 2 1 0 15
0 01
2
,
,
,
, * ( * ) ,
,
�
�
��
�
�
�� � �
�
�
��
�
�
��s
k k K
X s
Td s
s
s s ks k k
1
3 2
2
15
25 6 5 1
4
200 0 15
( )
( )
, ,
�
�
� � � �� �
Agora, queremos a constante de mola K e um ganho atribuído a K2 de uma maneira 
que a variável de estado X1 tenha uma queda rápida quando houver uma perturbação. 
Considerar uma perturbação Td(s)=a/s, sendo X1 =rq -y. O que buscamos é um 
valor para X1 de modo que y será igual ao valor que queremos de rq . Se nós tivermos 
uma esteira com uma rigidez K tendendo ao infinito, temos, então, y=rq . Conside-
rando um degrau de perturbação, temos:
X s s
s s ks k k
1
3 2
2
15
25 6 5 1
4
200 0 15
( )
, ,
�
�
� � � �� �
Utilizando o seguinte teorema para podermos obter o valor final, consideramos:
170
UNICESUMAR
lim ( ) lim ( )x t sx st s1 0 1 0�� �� �
Sendo assim, consideramos o valor de estado para X1 (t) como zero. Considerar um 
valor que se aproxime melhor da realidade, k=20 e k=0,1, então, fica:
( )
( )
, * * , * ,
1
3 2
15
125 6 5 20 20 200 0 15 0 1
4
−
=
+ + + +
aX s
s s s
X s a
s s s
Consideramos
X s
1 3 2
1
15
25 130 100 075
100 075 100
( )
,
:
,
(
�
�
� � �

)) �
�
� � �
15
25 130 1003 2
a
s s s
Utilizando a expansão das frações parciais, temos:
1 3 2
1 2
1
2
1
2
15( )
25 130 100
15( )
( 15)( 8,66 66,66)
( )
15 ( 8,66 66,66)
Onde temos:
125A=-
1348
8,81862-
115
0,09210
( ) 125 0,09210 0.587908
1348( 15) ( 8,66 66,66)
aX s
s s s
aX s
s s s
X s A Bs C
a s s s
C
B
X s s
a s s s
−
=
+ + +
−
=
+ + +
+
= +
+ + +
=
=
+
= − +
+ + +
Dos valores obtidos, descartamos A e B. Esses valores descartáveis, devido ao seu 
baixo valor, não impacta C. Fica somente C com a seguinte equação:
X s
a s s
X s
a s
1
2
1
2 2
0 587908
8 66 66 66
0 587908
4 33
( ) .
( , , )
( ) .
( , )
�
�
� �
�
�

�� ( , )6 92 2
171
UNIDADE 9
Utilizando o modelo da transformada de Laplace:
F s
s a
e sen tat
( )
( )
 f(t)
 w
w
w
� �
�
2 2
Temos:
X s
a s s
1
2 2 2 2 2
0 587908
4 33 6 92
0 08495 6 92
4 33
( ) .
( , ) ( , )
,
,
( , )
�
�
� �
� �
� � (( , )
, ,
( )
,
,
6 92
0 08495 6 92
0 08495
2
4 33
1
e sen t e sen t
X t
a
e
at t� �
�
� �
� �
w
44 33 6 92, ,t sen t
Podemos ver a representação da resposta final calculada na Figura 2 em que vemos 
a perturbação sendo diminuída até um valor insignificante.
x(t)/a pertubação
tempo
Figura 2 - Perturbação do sistema / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura consiste em um retângulo; da esquerda para a direita, dentro dele, temos uma 
linha subindo e descendo, e, conforme esta linha avança para a direita, a diferença de espaço entre o maior 
e o menor ponto diminui até quase ficar uma linha reta no final; embaixo do retângulo está escrito tempo, à 
direita está escrito perturbação, e, à esquerda, x(t) sobre a.
172
UNICESUMAR
Agora, analisaremos outro tipo de aplicação ao 
meio físico utilizando os conceitos de controle 
multivariável. Veremos um caso envolvendo uma 
torre de destilação. A coluna, ou torre de destilação, 
é um meio muito utilizado para fazer separação de 
produtos encontrados na indústria petroquímica. 
Como sua função é a separação de produto, muitas 
vezes, pode acontecer de ela ser responsável pelo 
travamento da produção industrial. Se houver al-
gum problema com esta estrutura, por exemplo: 
necessidade de aperfeiçoamento dela, ou, ainda, 
houver problemas na sintonia dos controladores, 
pode ser necessária a construção de um projeto que 
melhore seu sistema de controle.
A coluna de destilação pode agir, por exemplo, por 
meio da execução do contato entre o vapor controla-
do pelas válvulas e o líquido no interior da coluna. Na 
Figura 3, temos um exemplo de torre de destilação.
REALIDADE
AUMENTADA
Acesse o QR Code e veja, por meio de uma Realidade 
Aumentada, uma torre de destilação em três 
dimensões.
Figura 3 - Torres de destilação / Fonte: Pixabay (2014, on-line).
Descrição da Imagem: a imagem contém diversas torres de metal por toda ela, as torres possuem escadas em espiral subindo em 
volta delas, ao fundo da imagem o azul mostra que as torres estão ao ar livre.
173
UNIDADE 9
A separação do produto pode ser dividida em várias linhas, e cada uma com suas 
características próprias. Por isso, faz-se necessário um controle fino, devido à neces-
sidade de uma grande precisão na atividade. Ressalto que, em muitos processos exis-
tentes, teremos múltiplos estados estacionários e, dependendo das entradas existentes 
na planta, mais de um estado pode ser afetado. Então, as saídas do processo podem 
acabar sendo diferentes, inclusive, para uma mesma entrada, como o contrário desta 
situação também pode acontecer.
A partir do entendimento do que se faz necessário para a coluna manter seu 
equilíbrio dentro dela e fazer a devida separação esperada, é preciso que se tenha um 
controle sobre o processo. Para a construção de um sistema de controle de uma torre 
de destilação,assim como para outros diversos tipos de sistemas de controle, é neces-
sária a escolha de equipamentos que façam as devidas medição e atuação. Por isso, é 
importante que o projetista saiba fazer a escolha correta dos sensores e das válvulas.
Título: Válvulas Industriais
Autor: José Osmar Leite da Silva (2010.
Resumo: o livro apresenta ao leitor um vasto conheci-
mento característico sobre as válvulas industriais, além 
de mostrar a importância da utilização de cada modelo 
e seu fator de confiabilidade para cada aplicação.
Comentário: os estudos de sistemas de controle po-
dem ser aplicados a diferentes assuntos, cenários e situações. No vasto campo 
industrial, é um dos ambientes em que mais temos a possibilidade e a neces-
sidade de aplicação de controle de sistemas. Para isso, o conhecimento dos 
agentes operacionais que se encontram na indústria precisa ser divulgado. 
Este livro não só fala de válvulas industriais como de atuadores de modo geral.
É interessante ao leitor saber que, na construção de um sistema envolvendo coluna 
de destilação, a utilização de sensores virtuais pode ser considerada uma escolha 
que, embora rara, é totalmente adequada. A partir da equação a seguir, podemos ver 
a exemplificação de uma equação que faz a medição de temperatura e pressão de 
um prato de uma coluna.
1 t t u tX β β∆ = ∆ + ∆
174
UNICESUMAR
Uma das principais dificuldades de um processo químico é a de visualizar e contro-
lar determinada variável. Neste caso, é feito o controle de alguma outra variável que, 
de certa forma, afeta a variável que tem dificuldade de ser controlada, pois há uma 
relação entre elas.
Como vimos nas unidades anteriores, o uso do filtro de Kalman pode ser utilizado 
para estimar outra variável, a partir do conhecimento que se tem do sistema.
A partir do modelo da coluna de destilação apresentado por Wood e Berry (1973), 
faremos a análise de um sistema MIMO sendo representado por uma coluna de 
destilação com a função de fazer a separação de metanol e água, que pode ser repre-
sentada pela equação a seguir:
Y s
Y s
e
s
e
s
e
s s
s
1
2
3
7
12 8
16 7 1
18 9
21 1
6 6
10 9
( )
( )
.
.
.
.
.
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
� �
�
ss
e
s
U s
U ss
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
1
19 4
14 4 1
3
1
2.
.
( )
( )
Temos as saídas controladas Y1 (s) e Y2 (s) as quais são a composição do produto 
superior e inferior. As entradas manipuladas u1 e u2 são a taxa de fluxo do valor do 
refluxo e a taxa de fluxo do valor do refervedor. A partir da equação a seguir, temos 
a representação de uma maneira genérica do modelo de coluna de destilação.
Y s
Y s
g s g s
g s g s
U s
U
1
2
11 12
21 22
1
2
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� (( )s
�
�
�
�
�
�
�
�
Sendo as expressões atribuídas para g11, g12, g21, e g22:
g s
s s11
12 8 0 5 1
16 7 1 0 5 1
�
� �
� �
, ( , )
( , )( , )
 
g s
s s12
18 9 1 5 1
21 1 1 5 1
�
� � �
� �
, ( , )
( )( , )
 
g s
s s21
6 6 3 5 1
10 9 1 3 5 1
�
� �
� �
, ( , )
( , )( , )
 
g s
s s22
19 4 1 5 1
14 4 1 1 5 1
�
� � �
� �
, ( , )
( , )( , )
 
A partir de agora, que temos toda a representação do sistema por meio das funções 
de transferência, vamos passá-la para as matrizes de estado. Então, temos:
175
UNIDADE 9
x’=Ax+Bu
y=Cx 
A �
� �
� �
2 06 0 479 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 25 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 378 0 210 0 0 0 0
0 0
, ,
,
, ,
00 125 0 0 714 0 127 0 0
0 0 0 0 0 25 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 736 0 185
, , ,
,
, ,
� �
� �
00 0 0 0 0 0 0 25 0,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
B= 
2 0
0 0
1 0
0 0
0 2
0 0
0 2
0 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
C= 
� �
� �
�
�
�
�
�
�
0 383 3 066 0 0 0 45 1 2 0 0
0 0 0 606 1 384 0 0 0 674 1 796
, , , ,
, , , ,
 
A otimização de espaço de H tendendo ao infinito é adequado para sistemas que 
contenham muitas incertezas em suas dinâmicas e distúrbios.
Podemos considerar W2 como um filtro de passagem com o objetivo de dimi-
nuir oscilações, e W1 é um filtro passa-baixa, tendo as saídas de desempenho que 
queremos minimizar a partir de z= z z1 2,��
�
� como podem ser visto nas expressões:
W (s)=
We (s)
We (s)
 
W (s)=
Wy (s)
Wy (s)
1
1
2
2
1
2
0
0
0
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
 
176
UNICESUMAR
Z = 
= 
1 1 2
2 1 2
Ze Ze
Z Zy Zy
,
,
�
�
�
�
�
�
�
�
 Neste cenário, os valores dos filtros podem ser obtidos pelas expressões:
W (s)= 
W (s)= 
W (s)=
1
2
1
0 1
0 2
0 1
0 3
0 01 0 1
2
,
( , )
,
( , )
, ( , )
(
s
s
s
sy
+
+
+
+ ))
, ( , )
( )
 
W (s)= y
s
s2
0 01 0 1
3
+
+
Para fazer o devido controle do sistema, aplicamos um controlador para a malha, 
que pode ser representado como:
U KYtc =
Onde:
Tzw
W s
W t
td �
�
� 1
2
Considerando Xg como um vetor de estado generalizado, e tendo a representação 
de z1 e z2 com:
X A X B U B Wtg tg tg tu tu tw td' � � � �
1 1 11 12t tg t tC t tdZ C X D U D W= + +
Z C X D U D Wt tg t tC t td2 2 21 22� � �
Agora, aplicando o modelo do controlador nas equações, temos:
' ( )tg tg tu tg tw tdX A B KCt X B W= + +
Z C D KCt X D Wt t tg t td1 1 11 12� � �( )
2 2 21 22( )t t tg t tdZ C D KCt X D W= + +
177
UNIDADE 9
O ganho do controlador é obtido pela equação:
k �
�
�
�
�
�
�
�
�
0 8145 0 6059
0 22 0 3025
, ,
, ,
Onde temos:
Tzwtd �
� 0 498,
Uma comparação dos polos de malha aberta com os de malha fecha-
da, obtida pelas matrizes de estado, pode ser conferida na Tabela 1:
Malha Aberta Malha fechada
-0,0599 -0,9807-1.1092i
-0,2857 -0,2763+0,2829i
-0,0917 -0,2763+0,2829i
-0,6662 -0,6662
-0,0694 -0,0405
-0,0476 -0,0998+0,0395i
Tabela 1- Comparativo dos polos / Fonte: Wood e Berry (1973).
REALIDADE
AUMENTADA
Ao acessar a Realidade Aumentada, 
por meio do QR Code, você verá um 
exemplo de controlador digital de 
múltiplas funções.
A aplicação do controlador estabiliza os sistemas de malha fechada. Esta metodologia de aplicação do 
controlador é considerada um método genérico e pode ser aplicado a qualquer sistema multivariável 
que tenha seus polos instáveis. Os projetos de sistemas multivariáveis podem ser complexos. Mesmo 
que se tenha o conhecimento de como se chegar ao final desejado, quando temos uma complexidade 
muito grande e uma repetição de passos mudando apenas suas variáveis, não temos um retorno do 
tempo atribuído à aplicação. 
Se observarmos que, no mundo de hoje, existem diferentes ferramentas para nos ajudar com pro-
jetos de sistemas, a partir do entendimento que, em um mercado competitivo, a negação do uso de 
tecnologias que estão aí para nos ajudar acaba resultando em prejuízos de tempo e, por consequência, 
financeiro, ressalto a necessidade de se entender, estudar e saber aplicar tais ferramentas. 
Mais uma vez enfatizo que sistemas multivariáveis podem se tornar extremamente complexos, 
dependendo do tamanho do projeto. Imagine um sistema com n entradas, n saídas e tendo a necessi-
dade de vários controladores em paralelo para realizar seu controle. Pois bem, estes sistemas existem, 
e a necessidade de saber fazer o devido controle deles é importante. O campo de estudo aplicado ao 
controle multivariável é muito vasto e em evolução, por isso, é necessário um estudo contínuo. Profis-
sionais que dominam o estudo de controle de sistemas possui espaço garantido em um mercado cada 
vez mais competitivo e desafiador. 
Na Tabela 2, temos os principais comandos que você pode utilizar no software do Matlab, na apli-
cação de sistemas multivariáveis.
178
UNICESUMAR
Comando Descrição
Num=[] Identifica os números do numerador
Den=[] Identifica os números do denominador
Tf2ss Matriz de estado
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) Monta as matrizes de estado A,B,C,D
Ss2tf Função de transferência
[A,B,C,D]=ss2tf(num,den) Monta as funções de transferência A,B,C,D
Acker Matriz K – ganho
Initial Exibe as curvas de resposta do sistema
Ctrb(..)Verificação de controlabilidade
Obsv(...) Verificação de observabilidade
Disp Escreve frase
if “se” condição para executar uma ação
else “outro” aciona uma ação caso a primeira condição 
não seja atendida
end Encerra o programa 
Tabela 2 - Comandos básicos para controle multivariável / Fonte: o autor (2021).
Exemplo:
Tendo as matrizes:
0 0 0
0 0 0
1 5 6
0
0
1
A
B
 
 =  
 − − − 
 
 =  
  
Por meio do controle n por realimentação u=-Ku, pretende-se obter os polos de 
malha fechada tendo:
µ
µ
µ
1
2
3
2 4
2 4
10
j
j
O programa para obter a matriz K fica sendo:
A=[0 1 0; 0 0 1; -1 -5 -6]
B=[0; 0; 1]
J=[-2+J*4; -2-J*4;-10]
K=acker[A,B,J]
K=[199 55 8] 
179
UNIDADE 9
Utilizando, agora, a abordagem apresentada por Dorf e Bishop (1988), verificare-
mos a utilização de aplicação de um programa com Matlab aplicada a uma situação 
envolvendo um satélite. Veja na Figura 4.
U(r)
U(t)
Figura 4 - Satélite / Fonte: adaptada de Pixabay (2015, on-line).
Descrição da Imagem: da esquerda para a direita, temos o Planeta Terra visto do espaço com o Sol saindo 
ao fundo; mais à direita da imagem, temos um satélite todo prateado, e duas setas saindo dele, na primeira, 
tem escrito do lado dela a letra u e a letra r entre parênteses, a outra tem a letra u e a letra t entre parênteses.
Considerando as funções ”ctrb” e “obsv”, responsáveis pela verificação da observabi-
lidade e controlabilidade, tendo Pc e Q como matriz de controlabilidade e matriz de 
observabilidade.
PC=ctrb (A,b)
Q= (A,d)
Tendo como exemplo um satélite que está em órbita há, aproximadamente, 500 km 
acima da superfície, temos o movimento do satélite descrito por um modelo de 
variáveis de estado.
2
0 1 0 0 0 0
3 0 0 0 1 0
'
0 0 0 1 0 0
0 2 0 0 0 1
r tx x u u
ω
ω
     
     
     = + +
     
     −     
180
UNICESUMAR
O vetor de estado x retrata as perturbações a partir da órbita equatorial. Vamos considerar ur como uma 
entrada que ocorre por causa de um propulsor radial; ut será a entrada devido a um propulsor tangencial 
e consideraremos w = 0,0011 rad/s (uma órbita a cada 90 minutos, aproximadamente) que é a velocidade 
que o satélite possui na altitude em que ele se encontra. Se não tivermos nenhuma perturbação, a sua órbita 
fica em um estado de órbita equatorial circular nominal. Porém, se tivermos uma perturbação, conhecida 
como arrasto aerodinâmico, podem ocasionar um desvio na normalidade da trajetória do equipamento 
em questão. Devido a esta possível situação, faz-se necessário a construção de um controlador que consiga 
fazer o comando dos propulsores de maneira que a sua órbita permaneça próximo à orbita que se deseja.
Como já dito anteriormente, para a execução de um projeto, é preciso que se verifique a contro-
labilidade. Para isso, utilizaremos os propulsores de uma maneira independente. Vamos supor que 
ocorra uma falha no propulsor tangencial, ou seja, temos ut= 0, neste caso, só podemos contar com o 
propulsor radial. A pergunta que você tem que fazer é: o satélite pode ser controlado somente como 
ur? Construindo um teste com o Matlab, podemos ter esta resposta. Observe que o determinante da 
matriz Pc é zero, nesta situação, não temos o total controle do satélite. O programa ficaria sendo:
w=0.001
A=[0 1 0 0;3*w^2 0 0 2*w;0 -2 w 0 0]
b1=[0;1;0;0]
Pc=ctrb(A,b1)
n=det(Pc)
if abs(n) < eps
disp (‘Não existe um controle total a este satélite’)
else
disp(‘É possível fazer o controle total sobre o satélites nestas condições’)
end
Agora, imagine que o oposto ocorra, que falhe o propulsor radial, mas temos o tangencial funcionando 
em perfeito estado. Seria possível fazer um controle total do satélite? Na mesma linha de raciocínio 
do outro programa, podemos concluir que, desta vez sim, é possível exercer um controle ao satélite 
mesmo com a falha do propulsor.
O programa ficaria sendo:
w=0.0011
A=[0 1 0 0;3*w^2 0 0 2*w;0 -2 w 0 0]
B2=[0;0;0;1]
 Pc=ctrb(A,b2)
n=det(Pc)
if abs(n) < eps
disp (‘Não existe um controle total a este satélite’)
else
disp (‘É possível fazer o controle total sobre os satélites nestas condições’)
end
181
UNIDADE 9
Por meio dos testes, possíveis situações podem ser evitadas e, utilizando a programação um projetista, 
ganha-se tempo, além de facilitar na construção da lógica do sistema.
Livro: Multivariable Control
Sinopse: o livro apresenta a história da teoria de controle, partindo desde 
os princípios de Newton até sua história moderna, trazendo a aplicação 
de sistemas, por meio do uso das técnicas de Laplace, além de análises de 
diversas técnicas aplicadas a sistemas de controle multivariável.
Comentário: o livro é interessante por focar apenas em sistemas mul-
tivariáveis. Diferente da maioria de livros, aqui, ele é o principal assunto 
e é indicado para quem quer aprofundar e refinar o seu conhecimento 
sobre controle multivariável.
O uso da teoria de controle aplicada a meios físicos é considerado essencial ao desenvolvimento 
profissional de um projetista de sistemas. Como foi mencionando durante o conteúdo, o avan-
ço relacionado a esta área está muito ligado ao conhecimento que o desenvolvedor possui dos 
equipamentos que comporão o sistema físico. O conhecimento destes equipamentos somado ao 
conhecimento de análise e desenvolvimento de sistemas de controle fará com que o desenvolvedor 
consiga realizar projetos cada vez melhores. Os ambientes profissionais tendem a ter variação na 
complexidade e nos valores, muitas vezes, imperfeitos, situação que é normal quando se trata de 
um cálculo aplicado a um meio físico.
O conhecimento do conteúdo aplicado a esta unidade pode ser utilizado por projetistas de sis-
temas de controle, tecnólogos e engenheiros de automação. Além disso, são aplicáveis em sistemas 
industriais, sistemas de telecomunicação e sistemas eletrônicos.
Neste Podcast, abordaremos a aplicação de técnicas MIMO a satéli-
tes e faremos a conclusão da nossa disciplina. Vamos juntos!
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10455
182
O que acha de fazer um Mapa Mental para criar anotações que lhe ajudem em sua percepção 
do que foi ensinado até o momento? Algumas palavras estão lá para lhe ajudar, você pode usar 
este espaço para escrever, também, sobre a sua experiência proposta no início da unidade. Este 
espaço é seu! 
Sistemas de Controle
Utilização de Softwares
para Sistemas
Aplicação de Técnicas de
Controle
Aplicadas a Meios Físicos
Propósito de um
Engenheiro de Controle
Técnicas de Controle Aplicadas
a Torres de Destilação
183
1. A partir de um sistema contendo um servo motor, uma correia e um acionamento feito 
por um sensor, considere a inércia do motor como J=0,01, a resistência de campo de 2 
Ohm, a constante do motor Kn=2Nm/A e o atrito do motor e da roldana b=0,25N-ms/
rad. O raio da roldana é 0,15.m. Obtenha a constante de mola K e um ganho atribuído 
a K2 de uma maneira que a variável de estado X1(t) tenha uma queda rápida quando 
houver uma perturbação.
Tendo a matriz de estado que representa o sistema dado por:
x
r
k
m
kr
J
K k k
JR
b
J
x
Jm
' �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 1
2 0 0
2
0
0
1
1 2
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�Td.
Considere para K1 = 20 e K2 = 0,1. Qual das alternativas a seguir é a resposta correta?
a) 
X t
a
e sen tt1 1 220 00587 10 28( ) , ,,� � �
b) 
X t
a
e sen t1 0 00787 1 28( ) , ,� �
c) 
X t
a
e sen tt1 5 220 50 19 28( ) , ,,� � �
d) 
X s
a
e sen tt1 1 220 0452 98 76( ) , ,,� � �
e) 
X t
a
e sen tt1 1 220 00287 15 28( ) , ,,� � �
184
2. Observe, atentamente, o programa:
 (1) A=[a 1 0; 0 0 1; -1 -5 -6].
 (2) B=[0; 0; 1].
 (3) J=[-2+J*4; -2-J*4;-10]. 
 (4) K=acker[A, B, J].
 (5) K=[199 55 8].
A partir do conhecimento que você possui e das instruções sobre comando do Matlab 
nesta unidade, verifique qual das alternativas melhor descreve cada linha do programa.
a) (1) Soluciona a matriz A.
 (2) Soluciona a matriz B.
 (3) Polos desejados de malha fechada.(4) Comando para montar a matriz K em cima das matrizes A e B.
 (5) Expressa resultado da matriz K.
b) (1) Declara as variáveis da matriz A.
 (2) Declara as variáveis da matriz B.
 (3) Polos desejados de malha fechada.
 (4) Monta as matrizes A e B e polos desejados.
 (5) Expressa resultado da matriz K.
c) (1) Monta a matriz A.
 (2) Monta a matriz B.
 (3) Mostra o resultado da multiplicação das matrizes.
 (4) Comando para montar a matriz K em cima das matrizes A e B e polos desejados.
 (5) Expressa resultado da matriz K.
d) (1) Declara as variáveis da matriz A.
 (2) Declara as variáveis da matriz B.
 (3) Polos desejados de malha fechada.
 (4) Comando para montar a matriz K em cima das matrizes A e B e polos desejados.
 (5) Expressa resultado da matriz K.
e) (1) Declara as variáveis da matriz A
 (2) Declara as variáveis da matriz B.
 (3) Polos desejados de malha fechada.
 (4) Comando para montar a matriz K em cima das matrizes A e B e polos desejados.
 (5) Expressa resultado da matriz K multiplicado pelas matrizes A e B.
185
3. Uma das principais dificuldades de um processo químico pode ser considerada a difi-
culdade de visualizar e controlar determinada variável. Qual a melhor maneira de se 
fazer o controle desta variável incontrolada?
a) Fazer controle de alguma outra que de certa forma afeta a variável sem controle devido 
a uma possível relação entre as duas.
b) Aplicar um sinal degrau que pode ser controlada independente da relação entre este 
sinal e a variável sem controle.
c) Fazer controle de alguma outra variável de saída do processo desde que não haja uma 
relação com esta variável de saída e variável sem controle.
d) Aumentar o tempo de reposta dela, assim, ela deve se estabilizar sozinha e, então, 
pode-se fazer seu devido controle.
e) Pelo teste de observabilidade de outra variável que tenha alguma relação com ela, 
contudo não é preciso exercer devido controle sobre nenhumas delas, neste caso.
4. A partir de seu entendimento até o momento baseado no conteúdo apresentado nesta 
unidade qual das alternativas melhor explica a aplicação de controle multivariável para 
meios físicos
a) A utilização de técnicas de controle como por exemplo o uso de simplificadores aplicado 
a sistemas perfeitos com diversas variáveis de entrada e de saída.
b) A utilização de técnicas de controle como por exemplo o uso de controladores aplicado 
a sistemas considerados SISO.
c) A utilização de técnicas de controle como por exemplo o uso de controladores aplicado 
a sistemas reais com diversas variáveis de entrada e de saída.
d) A utilização de técnicas de observação como por exemplo o uso de controladores 
aplicado a sistemas perfeitos com diversas variáveis de entrada e de saída.
e) A utilização de técnicas de controle como por exemplo o uso de controladores apli-
cado a sistemas impossíveis com diversas variáveis de entrada e de uma única saída.
186
5. Leia atentamente as afirmações a seguir:
 ) ( O propósito de um filtro de passagem no sistema de controle é diminuir as oscilações.
 ) ( O propósito de um filtro de passagem no sistema de controle é diminuir as saídas.
 ) ( O propósito de um filtro de passagem no sistema de controle é mudar o rumo do controle.
 ) ( O propósito de um filtro de passagem no sistema de controle é aumentar o erro do 
sistema.
 ) ( O propósito de um filtro de passagem no sistema de controle é um bloqueio total do sinal.
Considerando o objetivo que define as saídas de uma torre de destilação, qual das 
alternativas a seguir está correta sobre estas afirmações?
a) V, V, V, V, V.
b) V, F, F, F, F.
c) V, F, F, V, F.
d) V, V, V, V, F.
e) V, F, V, V, F.
187
188
189
UNIDADE 1 
HAYKIN, S.; VEEN, B. V. Sinais e Sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001.
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Moderno. Rio de Janeiro: LTC, 1988.
OGATA, K. Engenharia de Controle. São Paulo: Pearson, 2011.
UNIDADE 2 
OGATA, K. Engenharia de Controle. São Paulo: Pearson, 2011.
WIKIMEDIA COMMONS. Binoculars. 2004, 1 fotografia. Disponível em: https://commons.wiki-
media.org/wiki/File:Binoculars_25x100.jpg. Acesso em: 23 nov. 2021.
UNIDADE 3
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Moderno. Rio de Janeiro: LTC,1988.
UNIDADE 4
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Moderno. Rio de Janeiro: LTC, 1988.
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. São Paulo: Pearson, 2011.
UNIDADE 5
AGUIRRE, L. A. Sistemas Realimentados. São Paulo: Blucher, 2020.
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Moderno. Rio de Janeiro: LTC,1988.
HAYKIN, S.; VEEN, B. V. Sinais e Sistemas. Porto Alegre: Bookman,2001.
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. São Paulo: Pearson, 2011.
UNIDADE 6
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. São Paulo: Pearson, 2011.
WIKIMEDIA COMMONS. Binoculars. 2014, 1 figura. Disponível em: https://commons.wikimedia.
org/wiki/File:Binoculars2_(PSF).jpg. Acesso em: 6 dez. 2021.
UNIDADE 7
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. São Paulo: Pearson, 2011.
UNIDADE 8
ASTRÔM, K. J.; HUGGLUND, T. Pid Controllers: Theory, Design and Tuning. Research Triangle 
Park: ISA, 1995.
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Moderno. Rio de Janeiro: LTC,1988.
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binoculars_25x100.jpg
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binoculars_25x100.jpg
190
MACIEJAJOWSKI, M. J. Predictive Control with Constraints. New Jersey: Prentice Hall, 2001.
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. São Paulo: Pearson, 2011.
PIXABAY. Fabricação de queijos. Pixabay, 14 agosto 2016. Disponível em: https://pixabay.com/pt/
photos/f%c3%a1brica-de-queijo-2895522/. Acesso em: 6 dez. 2021. 
UNIDADE 9
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Moderno. Rio de Janeiro: LTC,1988.
PIXABAY. [Sem título]. 2014. 1 fotografia. Disponível em: https://pixabay.com/pt/photos/cuida-
dos-hospital-quarto-cama-novo-928653/. Acesso em: 8 dez. 2021.
PIXABAY. [Sem título]. 2015. 1 fotografia. Disponível em: https://pixabay.com/pt/photos/f%-
c3%a1brica-plantar-sal%c3%a3o-industrial-1137993/. Acesso em: 8 dez. 2021.
PIXABAY. [Sem título]. 2017. 1 fotografia. Disponível em: https://pixabay.com/pt/photos/sat%-
c3%a9lite-soyuz-nave-espacial-2771128/. Acesso em: 8 dez. 2021.
WOOD, R. K. BERRY, M. W. Terminal composition of a binary distillation column. Chemical. En-
gineering Sciences, 1973.
https://pixabay.com/pt/photos/f%c3%a1brica-de-queijo-2895522/
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https://pixabay.com/pt/photos/sat%c3%a9lite-soyuz-nave-espacial-2771128/
https://pixabay.com/pt/photos/sat%c3%a9lite-soyuz-nave-espacial-2771128/
191
UNIDADE 1
1. Por meio da análise de um circuito RCL em série, a questão exige que o aluno demonstre como 
chegar na equação de estado no modelo matricial, para isso, faz-se necessário:
1º passo
Montar a equação que representa a malha em um circuito RCL em série:
Vin Ri L di
dt
Vc� � �
Vc idt� �
2º Passo
Aplicar a equação de estado tendo as variáveis de estado já estabelecidas pelo enunciado do 
exercício:
x Ax Bu' � �
x x x i vc= =( , ) ( , )1 2
u t= ensª o de entrada
3º Passo
Substituindo as variáveis na equação:
u Rx L dx
dt
x� � �1 1 2
x x dt2 1� �
dx
dt
R
L
x
L
x
L
u1 1 1 2 1� � � �
4º Passo
Derivando:
2 1 1dx x
dt C
=
5º Passo 
Escrevendo a equação diferencial de estado:
x
R
L L
C
x L u' �
� ��
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1 0
1
0
192
6º Passo
Fazer as substituições de valores:
x x u'
, .
,
,�
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
10
0 1
1
0 1
1
0 0001
0
1
0 1
0
x x u' �
� ��
�
�
�
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100 10
10000 0
10
0
2. A. Um sistema de monitoramento de temperatura onde a válvula de vapor é acionada, liberando 
vapor na água.
Feedback: A questão tem o intuito de fazer o aluno refletir sobre diferentes situações de con-
trole e verificar qual se enquadra no que pede a questão. Também leva o aluno a se familiarizar 
ainda maiscom o conceito de excitação de entrada, ressaltando que o exercício pede uma nova 
excitação de entrada para um sistema já em andamento.
3. A. Sensores, motor e velocidade.
Feedback: A questão tem o intuito de fazer o aluno aperfeiçoar sua capacidade de analisar 
variáveis e num sistema e as classificar, levando-o a melhor absorção do conceito de variável 
de estado.
4. B.
x
x
a a
a a
x
x
b
b
u1
2
11 12
21 22
1
2
1
2
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Feedback: Para fazer a análise, o aluno fará uso dos conceitos de variáveis de estado. Faz-se 
necessária a utilização da equação de estado.
Equação de estado
x t Ax t Bu t'( ) ( ) ( )
5. B. x x u�
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0 1 0
0 0 1
1 3 7
0
0
5
Feedback: O exercício exige que aluno aplique o conceito de análise de equação de estado e 
aperfeiçoe a capacidade de ele trabalhar com equações de estado, a partir de equações dife-
renciais. Para isso:
4 28 12 4 20dy
dx
dy
dx
dy
dx
y u t³
³
²
²
( )� � � �
O número de equações de estado é igual ao número de equações diferenciais.
193
1
2
²3
²
x y
dyx
dt
d yx
dt
=
=
=
Pela definição das variáveis de estado, pode-se afirmar que:
x x
x x
'
'
1 2
2 3
=
=
Isolando:
3 3 2 14 ' 28 12 4 20 ( )x x x x u t+ + + =
x x x x u t' ( )3 1 2 31 3 7 5� � � � �
Escrevendo a equação de estado na forma matricial, temos:
x x u�
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�
0 1 0
0 0 1
1 3 7
0
0
5
6. D. A primeira e segunda afirmações são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.
Feedback: O exercício tem como objetivo que o aluno reflita sobre as afirmações, levando a 
enfatizar a definição de sistemas e variáveis de estado.
UNIDADE 2
1. A. Para que ocorra um controle, as variáveis de estado precisam sofrer influência pelas entradas. 
2. B. 
I é Verdadeiro – pois a afirmação descreve com exatidão uma necessidade para que o sistema 
seja considerado observável.
II é Falsa – o fato de você ter os valores de entrada e de saída não garantem que você consiga 
observar o que ocorre no sistema.
III é Falsa – para que um sistema seja considerado controlável é necessário 
 que ele sofra influência pelas suas entradas. 
IV é Falsa – a matriz de controlabilidade serve para definir se o sistema é controlável. 
3. C. A matriz de controlabilidade pode ser dada por:
194
1 ... ... nCM B AB A
− = Β 
Sendo:
B �
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20
0
8
A �
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3 0 0
1 0 0
8 16 0
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3 0 0
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8
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160
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A2
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1 0 0
8 16 0
3 0 0
1 0 0
8 16 0
9 0 0
3 0 0
40
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A B2
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3 0 0
40 0 0
20
0
8
180
60
800
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Mc �
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�
20 60 180
0 20 60
8 160 800
4. C. Primeiramente, calcula-se a determinante das matrizes:
I- 
8 0 0
16 0 1
0 0 0
�
�
�
�
�
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II- 
8 0 0
16 0 1
0 0 0
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
=0 
195
Pelas propriedades das determinantes, se uma das linhas tiver valor de zero seu resultado será 0.
8 1 0
0 0 2
0 0 3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
=0
 Utilizando a regra de sarrus temos:
8 1 0
0 0 2
0 0 3
8 1
0 0
0 0
8 0 3 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 8 3 0
�
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III- 
8 1 2
0 2 1
1 0 1
13
�
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�
�
�
�
�
�
� ;
Sendo determinante igual a 0, temos, pelo menos, algum estado não controlável, sendo determi-
nante diferente de zero, temos todos os estados controláveis, então, analisando as alternativas, 
a letra que se enquadra nas condições que ela diz é a alternativa c. 
5. D. A matriz de observabilidade pode ser obtida, conforme modelo a seguir:
Mo
C
CA
CA
CA
CAn
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�
�
�
�
�
�
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2
3
1

Sendo:
[ ]0 1 2C =
A �
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0 1 8
5 0 2
3 2 5
A2
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5 0 2
3 2 5
0 1 8
5 0 2
3 2 5
29 16 42
6 9 50
25 13 5
�
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33
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196
A C2 0 1 2
29 16 42
6 9 50
25 13 53
56 35 156* *� � �
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11 4 12
Mo �
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0 1 2
11 4 12
56 35 156
6. D. Primeiramente, calcula-se a determinante das matrizes. Sendo determinante igual a 0, temos, 
pelo menos, algum estado não observável, sendo determinante diferente de zero, temos todos 
os estados observáveis, então, analisando as alternativas, a letra que se enquadra nas condições 
que ela diz é a alternativa d. 
Resolução: Primeiramente, calcula-se a determinante das matrizes:
I- 
5 1 1
3 0 0
2 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
=-3
Utilizando a regra de sarrus, temos:
5 1 1
3 0 0
2 0 1
5 1
3 0
2 0
5 0 1 1 0 2 1 3 0 1 3 1 5 0 0 1 0
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II- 
8 7 0
2 3 2
6 5 3
34
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�
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�
�
�
�
�
�
�
Utilizando a regra de sarrus, temos:
II- 
8 7 0
2 3 2
6 5 3
8 7
2 3
6 5
8 3 3 7 2 6 0 2 5 7 2 3 8 2 5 0 3
�
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197
III- 
0 2 0
1 0 1
8 1 8
0
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�
�
�
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�
Utilizando a regra de sarrus, temos:
III- 
0 2 0
1 0 1
8 1 8
0 2
1 0
2 1
0 0 8 2 1 2 0 1 1 2 1 8 0 1 1 0 0
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UNIDADE 3
1. C. Objetivo: enaltecer o conceito da definição de função transferência.
2. A. Objetivo: enaltecer as formas de representação de sistemas e estabelecer que existe uma 
relação entre elas. 
3. D. G s
s a a a
s
s
C C
s a a a
( )
det
det
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1 2 3
1 3
1 2
6
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0 9 0
2 0
33
6 0
0 9
�
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�
s
s
Objetivo: exercer a capacidade de montar a matriz.
Resolução: tendo as matrizes de estado, utiliza-se o modelo de matriz de transferência.
Gij s
sI A Bj
Ci Dij
sI A
( )
det
det
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4. C.G s
s C s a C a
s s a a a
( )
( )
( )
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8 8
9 8 8 64
2
2
1 2 1
2
2 1 3
Objetivo: enaltecer a capacidade do aluno de resolver a matriz de transferência.
198
Resolução:
Gij s
s a a
s b
s
C
s a a
( )
det
det
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1 0
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1
2 3
2
2
2 33
2 3
2
8 0
0 8
1
8 0
0 8
9 8
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2
2
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s a a
s
C
s C s a C a11
2
2
1 2 1
2
2 1 3
8 8
9 8 8 64
G s s C s a C a
s s a a a
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5) E. G s C sI A B D( ) ( )� � ��1 ,Gij s
sI A Bj
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sI A
( )
det
det
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� ��
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Objetivo: enaltecer ao aluno que existe mais de uma maneira de extrair a matriz de transferência.
UNIDADE 4
1. C. Feedback: somente a afirmativa 3 está errada, pois, conforme explicado no conteúdo, os 
zeros da função de transferência não satisfazem as condições de um sistema MIMO, existe outra 
maneira de se chegar ao zero que satisfaça o sistema. O exercício tem o propósito de reforçar 
conceitos e fazer o leitor refletir sobre as afirmações realizadas.
2. B. Feedback: somente as afirmações 2 e 5 são falsas, como a função do zero é levar o sistema 
ao valor de zero, por lógica, ele não pode ser igual a 1, conforme afirma a 2; a afirmação cinco 
contradiz a afirmação 4, então, uma das duas não pode estar correta; a 5 está incorreta, pois uma 
das condições, conforme foi mostrado no conteúdo, é que o sistema seja quadrado. O exercício 
vem com intuito de reforçar estas condições abordadas para que se enalteça as condições para 
podermos classificar um zero de transferência.
199
3. B. Feedback: somente as afirmações3 e 4 estão corretas; a opção 3 está correta, pois explica, 
corretamente, a definição de polos e zeros, diferente das opções 1 e 2 e 5, que os definem com 
afirmações errôneas sobre elas, enquanto a afirmação 4 é precisa sobre o local em que polos e 
zeros se encontram. Esta questão vem com objetivo de fazer com que o leitor reflita sobre polos e 
zeros, embora, de uma maneira mais simples, enaltece o que são e onde se encontram de modo 
que tal conhecimento agregado e aplicado é utilizado em questões matemáticas mais complexas.
4. D.
G s s
s s s
( )
( )( )( )
�
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6
8 5 100 2
zero sendo -6, e polos sendo -8,-5, -100 e 100.
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� � �
� � �
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6 6 0
8 8 0
5 5 0
100 100 0
100 100 0
Feedback: embora o contexto da unidade vise ao cálculo de zero de transmissão, saber calcular 
o zero das funções de transferência ainda se faz necessário, pois não apenas serve para enxergar 
as diferenças de ambos, como ainda se utiliza dos mesmos passos, em determinado momento, 
quando tentamos calcular a saída total correspondente de um sistema.
5. D. Feedback: o exercício do cálculo serve para enaltecer a forma como o leitor pode estar 
obtendo o zero de transmissão.
x x t u t
y t x t
z
z
' ( ) ( )
( ) ( )
det
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1 0
1
0
1 5
2 1 1
1 0
11 5 0
5
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� �z
6. Feedback: esta é uma questão aberta, mas se espera que a resposta seja algo parecido, ou que 
tenha resposta semelhante a: os zeros da função de transferência são valores que, atribuídos ao 
denominador da função, levam a resposta do sistema igual a zero, já os zeros de transmissão 
se equivalem aos zeros da função de transferência em questão de propósito, mas são aplicados 
para sistemas MIMO.
Os zeros de transmissão precisam levar certas questões em consideração para poder dizer que 
é um zero do sistema MIMO, por exemplo:
Condição 1 – o posto normal de G(z) é idêntico a q sendo a existência de um vetor V, de modo 
G(Z0)V=0.
200
Condição 2 – o posto normal de G(z) é igual a r; existe um vetor na qual podemos chamar de 
w, sendo wG(Z0)=0.
Condição 3 – G(Z) é quadrado e determinante de G(Z0)=0.
7. D. Feedback: o exercício aborda conceitos envolvendo polos dominantes, zeros invariantes e 
polos e zeros para sistemas MIMO. Dentro das afirmações, os textos I e IV estão incorretos, pois 
contradizem as afirmações explicadas no conteúdo. Por meio dos exercícios, espera-se que o 
aluno revise certos conceitos no conteúdo.
UNIDADE 5
1. D. Feedback: de todas as alternativas, somente a quarta é considerada falsa, pois nos diz que 
a  realimentação de estado é  desvantajosa, mas é exatamente o oposto, ela tem vantagens 
sobre a realimentação de saída. As alternativas vêm com a motivação de se fazer refletir sobre 
as afirmações além de reforçar conceitos aprendidos. 
2. A. Feedback: o exercício vem com intenção de enfatizar uma propriedade importante para que 
seja feita a locação de polos.
3. C. Feedback: enaltecer conceitos sobre o conteúdo, abordando características de realimentação 
de estados.
4. D. Resolução:
x t x t u t'( ) ( ) ( )� �
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1 1
1 2
1 0
0 1
11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22
1 1 1 0 1 1 1 1
1 2 0 1 1 2 1 2mf
k k k k k k
A
k k k k k k
     − −     
= − = − =           − −          
det( ) detsI A
s k k
k s k
mf� �
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�
1 1
1 2
11 12
21 22
Feedback: exercitar a capacidade do aluno de obter a equação da malha fechada, uma vez que tal 
conhecimento é necessária para a construção de sistemas realimentados.
5. a) Resolução:
( )( ) ( )( )
( ) (
s k s k k k
s s k k k
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� � � � � �
1 2 1 1
3 1 2
11 22 12 21
2
11 22 111 22 12 21 11 22 12 21� � � � �k k k k k k k )
201
( )( )
( ) (
s s s s
s s k k k k k k k
� � � � �
� � � � � � � � � �
2 3 3 6
3 1 2
2
2
11 22 11 22 12 21 11kk k k s s22 12 21
2 3 6� � � �)
( )( )
( ) (
s s s s
s s k k k k k k k
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2 3 3 6
3 1 2
2
2
11 22 11 22 12 21 11kk k k s s
k
k k
k
k
22 12 21
2
11
11 12
11
12
3 6
3 5
1 2 6
23
6
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b) Resolução.
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1 1
1 2
4 22
1 2
11 12
21 22
Feedback: Exercitar o aluno a obter o ganho, comparar as equações.
6. A. As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
Feedback: o exercício vem com uma proposta de verificar se ouve o entendimento do conceito 
de sistema automático e sua associação com sinal realimentado.
7. B.
[198 54 12]K =
Resolução:
SI A BK
s
s
s
� �� � �
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0 0
0 1 0
0 0 1
2 2 2
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0
0
1
1 2 3K K K
SI A BK
s
s
s
K K K� �� � �
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�
1 0
0 1
2 2 21 2 3
202
Já que temos:
a
a
a
1
2
3
14
60
200
=
=
=
Então:
K
K
K
K
3
2
1
14 2
60 2
200 2
198 54 12
� �
� �
� �
� � �
Feedback: Praticar, verificar se ouve entendimento da utilização adequada do conteúdo sobre 
a construção da matriz K a partir de um sistema em forma de estado fornecido.
UNIDADE 6
1. B.
L � �
�
�
�
�
�
98
18
Objetivo do exercício: Exercitar a obtenção do observador de estado a partir de determinado 
sistema.
Resolução:
sI A
s
s
s s a s a
a
a
�� � � �
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17
1
17 0
0
17
2 2
1 2
1
2
 
2 2
2 2
1 2
1
2
2 2
1 1
( 9) 18 81
18 81
18
81
1 0 81 17 98
0 1 18 0 16
s s s
s s s a s a
a
L
a
α
α
α
α
+ = + +
+ + = + +
=
=
+ −      
= = =       −       
203
2. D.
L � �
�
�
�
�
�
2
15
Objetivo do exercício: Exercitar a obtenção do observador de estado a partir da equação de 
Ackmann.
Resolução:
fA A A I
L A A I
� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
1
3 9
3 9
0 1
1 0
0
1
( )
A B C� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � � �
0 2
1 0
0
1
0 1
A2
0 2
1 0
2 0
0 2
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
6
0 2
1 0
0 12
6 0
9
0 2
1 1
0 18
9 0
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
( )A A I2 16 64
2 30
15 2
� � �
�
�
�
�
�
�
L A A I� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( )2
1
16 64
0 1
1 0
0
1
2 30
15 2
0 1
1 0
0
11
2
15
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
3. A. Diminuir ao máximo que for possível o erro entre os valores reais e os observáveis.
4. E. Observável, Observador de estado, Realimentação, Erro, Realimentação e Observador de 
estado.
5. As duas afirmações são verdadeiras, mas a segunda não justifica a primeira.
204
UNIDADE 7 
1. D. F, V, V, V, F. A resposta correta é a letra D, pois, a primeira afirmação nos diz que, em casos 
reais, os estados são mensuráveis, sendo que é exatamente ao contrário, em casos reais, muitas 
vezes, os estados não são mensuráveis; a última afirmação nos diz que, em um sistema dual, o 
controle e a observação tem que estar em patamares diferentes, pois, na realidade, o sistema 
dual trata de que podemos aplicar o método de cálculo para ambos desde que eles estejam 
no mesmo patamar.
2. E. As duas são verdadeiras, e a segunda é uma característica da primeira.
A resposta correta é a letra E, pois as duas afirmações são verdadeiras, e a primeira define o 
teorema da separação enquanto a segunda nos diz sobre uma condição do observador que se 
enquadra dentro do teorema proposto na primeira.
3. C. 
[ ]
13 3 2( ) 8 2( ) 12 7 16
sU s
Y s s
−+ −   
=    − − −   
O exercício pede para montar a expressão característica da função de transferência, a partir 
das características propostas, para isso, utilizamos a equação:
U s
Y s K sI A LC BK L
( )
( )
( )� � � � �
�1
, para isso, basta ele alocar valores e fazer certos 
ajustes, conforme mostradono conteúdo.
4. D. 
18
86
�
�
�
�
�
�
A resposta correta é letra D, o polinômio que desejamos fica:
1 2
2 2
1 2
1
2
( )( ) ( 9)( 9)
18 81
18
81
s s s s
s s s a s a
a
a
µ µ− − = + +
+ + = = +
=
=
Para determinarmos a matriz de ganho L, utilizamos:
L WN
a a
a a
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�( *) 1 2 2
1 1
205
0 1 1 0 81 17
1 0 0 1 18 0
0 1 86
1 0 18
18
86
L
L
L
  +     
=       −      
   
=    
   
 
=  
 
5. O exercício é bem livre, mas podemos considerar, como exemplo do que é pedido, a figura a seguir:
Figura 1 - Diagrama de bloco / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: da esquerda para a direita, um retângulo com uma matriz coluna dentro dele com número zero 
em cima e o número 2 embaixo; dele sai uma reta ligando a um círculo, da reta sai outra reta ligando a um quadrado; 
dentro dele, o símbolo da integral; deste quadrado sai outra reta com x em cima, ligando a um retângulo; dentro dele, 
uma matriz linha com os números 1 e 0 e escrito a letra c embaixo dele; do meio da esquerda para a direita, sai uma 
seta, debaixo da seta,  temos a letra y e outra seta apontando para baixo em direção a outro círculo, o círculo 2. Da seta 
que tem a letra x em cima dela, sai uma seta curva apontando para baixo em direção a um retângulo, dentro dele se 
encontra uma matriz quadrado com os números 0,3,12 e 0; saindo do retângulo, da esquerda para a direita, temos outra 
seta curva apontando para o primeiro círculo. No centro do desenho, temos outro retângulo, da esquerda para a direita, 
temos uma linha ligando a um círculo, do círculo sai outra reta ligando a um pequeno quadrado com o símbolo da integral; 
deste quadrado, sai outra reta a um retângulo com uma matriz linha dentro dele com os números 1 e 0; deste retângulo, 
sai uma seta em direção ao círculo 2. O primeiro retângulo na linha do centro tem uma seta curva saindo da direita para 
a esquerda, ligando no primeiro retângulo do início da descrição. Um desenho pode conter menos componentes, mas 
precisa mostrar o bloco da planta, o observador de estado, a realimentação e estar dentro de uma malha fechada.
206
UNIDADE 8
1. B. V, F, V, V, V. A única afirmação falsa é a II, conforme apresentado no conteúdo, as necessidades 
do projeto devem ser verificadas antes da construção dele.
2. C. Sistemas, Sistemas Dinâmicos, Variável, Sistemas Dinâmicos Lineares, Sistemas Dinâmicos 
não lineares. A alternativa C é a única alternativa que corresponde às explicações constadas 
no conteúdo.
3. D. As duas afirmações estão corretas e a segunda justifica a primeira. Sendo as duas questões 
verdadeiras, a primeira afirmação nos diz o que a compensação faz como sistema, a segunda 
nos afirma o ganho que temos ao utilizá-lo, sendo que as duas afirmações se completam.
4. E. V, V, F, F, V. Somente a terceira e a quarta afirmação são falsas. Não cabe à ação integral a esta-
bilização final do setpoint, assim como não cabe à ação derivativa minimizar o espaço no setpoint.
5. D. Utilização de caso SISO, Experimentação sequencial, Experimento decentralizado. A alterna-
tiva correta aborda as técnicas abordadas no conteúdo para compensador em sistemas MIMO.
6. A. Desligar a integral quando o atuador saturar.
7. B. Compensador PID. Das alternativas existentes, a melhor que se enquadra é o compensador 
PID, devido às técnicas de estabilização que ele utiliza.
UNIDADE 9 
1. E. 
X t
a
e sen tt1 1 220 00287 15 28( ) , ,,� � �
Resolução:
X s
Td s
r
J
s
L L L L L L
1
2
1 2 3 4 1 21
( )
( ) ( )
�
�
� � � � �
�
207
L b
J
s
L k
m
s
L kr s
J
L kKmK K r s
mJR
1
1
2
2
3
2 2
4
1 2
3
2
2
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
X s
Td s
r
J
s
s b
J
s k
m
kr
J
s kb
J
1
3 2
22 2 2
( )
( )
�
��
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� � �
�
�
��
�
�
�� � mm
kKmK K r
JmR
�
�
�
��
�
�
��
2 1 2
X s
Td s
s
s s ks k k
1
3 2
2
15
25 14 5 1000 0 25 0 15
( )
( ) , , ,
�
�
� � � �� �
lim ( ) lim ( )x t sx st s1 0 1 0�� �� �
Conforme o enunciado, temos k=20 e k=0,1, então:
X s a
s s s1 3 2
15
25 290 5300
( ) �
�
� � �
1 3 2
1 2
15( )
25 290 5300
15( )
( 22,56)( 2,44 234,93)
A=-0,0218
0,4381
0,0218
aX s
s s s
aX s
s s s
C
B
−
=
+ + +
−
=
+ + +
= −
=
208
Dos valores obtidos, descartamos A e B, que são descartáveis devido ao seu baixo valor não 
impactar C. Somente fica C com a seguinte equação:
X s
a s
1
2 2
0 4381
1 22 15 28
( ) .
( , ) ( , )
�
�
� �
Utilizando o modelo da transformada de Laplace:
F s
s a
e sen tat
( )
( )
 f(t)
 w
w
w
� �
�
2 2
Temos:
X s
a s
X t
a
e sent
1
2 2
1 1 22
0 4381
1 22 15 28
0 00287 1
( ) .
( , ) ( , )
( )
, ,
�
�
� �
� � � 55 28, t
2. D. 
3. A.
4. C.
5. B.
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