UNIDADE 2 CONTROLE DE SISTEMAS

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CONTROLE DE SISTEMASCONTROLE DE SISTEMAS
ESTABILIDADE, SIMULAÇÃOESTABILIDADE, SIMULAÇÃO
DE SISTEMAS DINÂMICOS EDE SISTEMAS DINÂMICOS E
CONTROLADORES PIDCONTROLADORES PID
Au to r ( a ) : Ma . S o f i a Ma r i a Amo r i m Fa l c o R o d r i g ue s
R ev i s o r : M S c . Ed e r s o n Pa u l o Vo g e l
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Introdução
Olá, estudante! Tudo bem?
Entender como analisar a estabilidade de sistemas reais, de comportamentos dinâmicos, é de
fundamental importância para o exercício da pro�ssão e para ações como o desenvolvimento
de um sistema de controle e automação. Além disso, o projeto de um sistema de controle
utilizará, geralmente, algumas estratégias gerais para obter a melhor con�guração possível do
sistema controlado.
Assim, no presente estudo, você entenderá o que é a estabilidade de um sistema dinâmico e
como efetuar análises para atestar tal propriedade, aplicadas a sistemas reais. Em seguida,
você verá como realizar simulações computacionais para visualizar o comportamento
dinâmico dos sistemas físicos. Por �m, encerraremos nossos estudos com dois tópicos
dedicados ao controlador proporcional, integral e derivativo (PID), que é o principal tipo de
controlador, nas mais diversas aplicações industriais, entendendo como este funciona e como
ajustá-lo.
Diante disso, eu te convido a embarcar nesta jornada de estudos, que contribuirá de forma
ampla para a sua formação. Vamos lá?
Estabilidade de
Sistemas de Controle
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Partimos do pressuposto de que existirão três requisitos principais para o projeto de um
sistema de controle: a atenção à resposta transitória, a estabilidade e possíveis erros em
regime permanente, quando esse sistema já apresenta seu comportamento estacionário.
Além disso, muitos pesquisadores e as próprias aplicações práticas convergem para uma ideia
principal de que a estabilidade é a especi�cação mais importante entre essas opções. Caso
um sistema seja instável, por exemplo, sua resposta transitória e os erros vistos, durante o
regime permanente, terão menos relevância frente a essa condição indesejada. Mais ainda,
percebe-se que um sistema instável não poderá ser projetado para atender a um determinado
tipo de resposta transitória especí�ca ou mesmo para atender a um outro requisito, de erro em
regime permanente, por exemplo.
Assim, iniciaremos com uma visão geral do que é a estabilidade e como avaliá-la, para
sistemas em geral. Na sequência, daremos ênfase a exemplos práticos da realização de
análises desse tipo. Vamos lá?
Visão Geral
A resposta total de um dado sistema, independente de outras questões práticas deste,
dependerá da soma entre a resposta forçada (solução da equação diferencial ou, ainda,
possíveis diferenças vistas para uma dada entrada, com condições iniciais nulas) e a resposta
natural (aquela referente às condições iniciais):
                                       (1)
E é partindo dessa ideia que conseguimos de�nir os três principais tipos de situações:
estabilidade, instabilidade e estabilidade marginal.
Um sistema linear invariante no tempo é estável se a resposta natural tende a zero à
medida que o tempo tende a in�nito. Um sistema linear invariante no tempo é
instável se a resposta natural aumenta sem limites à medida que o tempo tende a
in�nito. Um sistema linear invariante no tempo é marginalmente estável caso a
resposta natural não decaia nem aumente, mas permaneça constante ou oscile à
medida que o tempo tende a in�nito (NISE, 2017, p. 450).
c (t)   =   (t)   +   (t)cforada cnatural
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Assim, podemos observar que a presença da resposta forçada, à medida que a natural tenderá
a zero, está associada à própria de�nição de estabilidade de um sistema, embora seja
importante observar, também, a este ponto, que é difícil, em muitos casos, distinguir o que faz
parte da resposta natural do que compreende na resposta forçada do sistema. Nesse sentido,
é comum de�nir-se que um sistema será estável caso toda entrada limitada seja capaz de
levar a uma determinada saída, também limitada, o que nos leva a uma de�nição de um tipo de
sistema, em especí�co: os sistemas Bibo (do inglês, bounded-input, bounded-output).
De maneira similar, entende-se que um sistema será instável caso alguma entrada limitada
seja capaz de produzir uma dada saída ilimitada, que, junto com a de�nição de um sistema
estável anterior, poderá auxiliar no entendimento da estabilidade marginal. Um sistema, nesse
último caso, será estável para algumas entradas, limitadas, e instável para outras. Ou seja,
partindo da resposta total, um sistema será estável caso toda entrada limitada seja capaz de
produzir uma saída limitada e é instável se existir alguma entrada limitada capaz de gerar uma
saída ilimitada. Pode parecer confuso, a princípio, mas à medida que desenvolvermos os
critérios matemáticos para análise de estabilidade, esses conceitos apresentados �carão mais
claros.
Falando, então, em meios matemáticos e formas de se analisar a estabilidade, dado um
modelo matemático de um sistema, como sua função de transferência, é fundamental
citarmos o critério de Routh-Hurwitz, que vem de 1905 e é utilizado até hoje, a partir da
aplicação de dois passos básicos: a construção de uma tabela de dados (também conhecida
como tabela de Routh) e a interpretação desta. Basicamente, nesse último momento,
analisaremos quantos polos da função de transferência do sistema em malha fechada estão
localizados no semiplano esquerdo, no semiplano direito e no próprio eixo , no plano s. O
processo de construção da tabela de Routh é feito rotulando-se as linhas pelos valores das
potências de s, partindo das potências maiores do denominador da função de transferência do
sistema conectado em malha fechada, que, a partir de agora, chamaremos, simplesmente, de
função de transferência de malha fechada.
Em seguida, preencheremos com o coe�ciente de potência mais alta de s, ainda do polinômio
do denominador, e listaremos, horizontalmente e na primeira linha, os coe�cientes restantes,
pulando, ainda, um coe�ciente. Na segunda linha da tabela, listaremos, horizontalmente, a
partir da segunda maior potência de s vista naquele polinômio, incluindo os coe�cientes
saltados anteriormente e os demais elementos da tabela, não preenchidos, serão preenchidos
pelo negativo do determinante de elementos inscritos nas duas linhas anteriores, divididos
pelo elemento da primeira coluna, acima da linha analisada (NISE, 2017). Parece um pouco
complicado, mas com a visualização do sistema genérico a seguir e, em seguida, de sua tabela
correspondente, �cará mais fácil.
jω
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Figura 2.1: Preenchimento da tabela de Routh
Fonte: Nise (2017, p. 455).
#PraCegoVer: diagrama de blocos com R(s) na entrada, o bloco
 (N s sobre a 4 vezes s elevado à quarta, mais a 3 vezes s
elevado à terceira, mais a 2 vezes s elevado ao quadrado, mais a 1 vez s, mais a 0) e C(s) na saída.
Considerando a maior potência, 4, veja como �caria a tabela nesse caso genérico.
N (s) / + + + s +a4s4 a3s3 a2s2 a1 a0
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Levando em consideração, agora, o processo de interpretação, fundamental para �nalizarmos
Tabela 2.1: Tabela de Routh do exemplo genérico
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: tabela com 5 linhas mais 4 colunas. Na primeira linha, tem-se (s elevado
à quarta), , e . Na segunda, tem-se s³ (s elevado ao cubo), , e 0. Na terceira
linha, tem-se s² (s elevado ao quadrado), (menos determinante de a , a ,
a e a sobre a , igual a b ),   (menos determinante de a , a , a e 0, sobre
a , igual a b ) e (menos determinante de a , 0, a e 0, sobre a , igual a 0).
Na quarta, tem-se s¹ (s elevado a 1),  (menos determinante de a , a , b e
b , sobre b , igual a c ), (menos determinante de a , 0, b e 0, sobre b ,
igual a 0) e (menos determinante de a , 0, b e 0, sobre b , igual a 0). Na
quinta linha, tem-se (s elevado a 0), (menos determinante de b , b , c
e 0, sobre c , igual a d ), (menos determinante de b , 0, c e 0, sobre c ,
igual a 0) e (menos determinante de b , 0, c e 0, sobre c , igual a 0).
0
s4 a4 a2 a0
s3 a3 a1
s2 =
−
∣
∣
∣
a4
a3
a2
a1
∣
∣
∣
a3
b1 =
−
∣
∣
∣
a4
a3
a0
0
∣
∣
∣
a3
b2 = 0
−
∣
∣
∣
a4
a3
0
0
∣
∣
∣
a3
s1 =
−
∣
∣
∣
a3
b1
a1
b2
∣
∣
∣
b1
c1 = 0
−
∣
∣
∣
a3
b1
0
0
∣
∣
∣
b1
= 0
−
∣
∣
∣
a3
b1
0
0
∣
∣
∣
a3
s0
=
−
∣
∣
∣
b1
c1
b2
0
∣
∣
∣
c1
d1 = 0
−
∣
∣
∣
b1
c1
0
0
∣
∣
∣
c1
= 0
−
∣
∣
∣
b1
c1
0
0
∣
∣
∣
c1
s4
a4 a2 a0 a3 a1
=
−
∣
∣
∣
a4
a3
a2
a1
∣
∣
∣
a3
b1 4 2
3 1 3 1 =
−
∣
∣
∣
a4
a3
a0
0
∣
∣
∣
a3
b2 4 0 3
3 2 = 0
−
∣
∣
∣
a4
a3
0
0
∣
∣
∣
a3 4 3 3
=
−
∣
∣
∣
a3
b1
a1
b2
∣
∣
∣
b1
c1 3 1 1
2 1 1 = 0
−
∣
∣
∣
a3
b1
0
0
∣
∣
∣
b1
3 1 1
= 0
−
∣
∣
∣
a3
b1
0
0
∣
∣
∣
a3 3 1 1
s0 =
−
∣
∣
∣
b1
c1
b2
0
∣
∣
∣
c1
d1 1 2 1
1 1 = 0
−
∣
∣
∣
b1
c1
0
0
∣
∣
∣
c1 1 1 1
= 0
−
∣
∣
∣
b1
c1
0
0
∣
∣
∣
c1 1 1 1
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a análise de estabilidade, é possível observar, de antemão, que a tabela vista, até o momento,
nos permite analisar sistemas que possuem polos localizados nos semiplanos esquerdo e
direito. Todavia, caso seja necessário interpretar polos imaginários, por exemplo, será preciso
alguns passos a mais, que veremos mais adiante. Assim, como primeira regra, é possível
observar que a quantidade de raízes no semiplano direito corresponde à quantidade de
mudanças de sinal da primeira coluna da tabela. Nesse sentido, ainda, você poderá observar
que o sistema é estável, caso a função de transferência em malha fechada de um dado
sistema possuir todos os polos no semiplano esquerdo do plano s. Do contrário, estando
esses polos no semiplano direito, o sistema é instável.
Agora, para analisarmos inclusive alguns casos especiais, vamos à aplicação e à análise em
alguns exemplos. Considere, inicialmente, que desejamos analisar a estabilidade de um
sistema que possui a seguinte função de transferência em malha fechada:
Nesse caso, ao obtermos a tabela, como vimos até o momento, obteríamos uma divisão por
zero e, por conta disso, estabeleceremos uma constante, (épsilon), para substituir o zero na
primeira coluna. O resultado disso será:
G (s)   =  
10
+ 2 + 3 + 6 + 5s + 3s5 s4 s3 s2
ϵ
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Caso seja escolhido positivo, visualizaremos uma mudança de sinal da linha s³ para a s² e de
s² para s¹, o que permite concluir que existem dois polos no semiplano direito e, assim, trata-se
de um sistema instável. Por outro lado, se você escolhesse essa constante como um valor
negativo, por outro lado, a mesma conclusão seria obtida, porém a partir de um caminho
diferente.
Uma outra possibilidade é obter uma linha inteira com zeros, resultado de fatoração do
denominador quando há a presença de pelo menos um polinômio par, o que implicará novas
estratégias, diferentes do que vimos até o momento. Para entender, considere que um dado
sistema possui a seguinte função de transferência em malha fechada:
A construção da tabela, nesse caso, contará, também, com algumas manipulações
matemáticas, por conveniência, para facilitar a �nalização. Assim, na segunda linha,
multiplicam-se os coe�cientes por 1/7 e paramos na terceira linha, já que esta é a formada por
zeros. Agora, considerando especi�camente a diferença devido à terceira linha, orienta-se,
nesses casos, para retornar à linha imediatamente acima, da de zeros, e a partir desta
Tabela 2.2: Tabela de Routh do sistema analisado
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: tabela com 6 linhas e 4 colunas. Na primeira linha, tem-se (s elevado a
5), 1, 3 e 5. Na segunda linha, tem-se (s elevado à quarta), 2, 6 e 3. Na terceira linha,
tem-se s³ (s elevado ao cubo), (épsilon), 7/2 (7 sobre 2) e 0. Na quarta linha, tem-se s² (s
elevado ao quadrado), (6 vezes épsilon menos 7, sobre épsilon), 3 e 0. Na quinta
linha, tem-se s¹ (s elevado a 1), (42 vezes épsilon
menos 49 menos 6 vezes épsilon ao quadrado, sobre 12 vezes épsilon menos 14), 0 e 0.
Na sexta linha, tem-se (s elevado a zero), 3, 0 e 0.
1 3 5
2 6 3
7/2 0
3 0
0 0
3 0 0
s5
s4
s3 ϵ
s2 6ϵ − 7/ϵ
s1 (42ϵ − 49 − 6ϵ ) / (12ϵ − 14)2
s0
s5
s4
ϵ
6ϵ − 7/ϵ
(42ϵ − 49 − 6ϵ ) / (12ϵ − 14)2
s0
ϵ
G (s)   =  
10
+ 7 + 6 + 42 + 8s + 56s5 s4 s3 s2
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determinar um polinômio auxiliar, com coe�cientes a partir dessa linha acima, começando
com a potência de s da coluna da identi�cação correspondente e pulando uma potência de s.
Em nosso exemplo, o resultado será:
O próximo passo é o cálculo da derivada desse novo polinômio, em relação à s:
O resultado será utilizado, en�m, para preencher a linha zerada. Ao �nal, com esse exemplo
então, concluímos que não existem polos no semiplano direito e existe um padrão da
distribuição dos polos, nesses casos, que nos permitem concluir que (NISE, 2017):
A imagem a seguir traz um resumo dessa distribuição de raízes, capazes de gerarem
polinômios pares. A este ponto ainda é importante observar que, ao analisarmos a tabela de
Routh nestes casos, devemos analisar a situação dos polos do polinômio par (se há ou não
polinômios no semiplano da direita). Com isso, caso não existam polos no semiplano da
direita, por exemplo, não existirão no lado esquerdo também, por conta da simetria:
+ 6 + 8s4 s2
4s³ + 12s + 0
1) Polinômios pares só possuem raízes simétricas com relação à origem.
 
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Figura 2.2: Distribuição dos polos no caso de um polinômio par
Fonte: Nise (2017, p. 462).
#PraCegoVer: plano s com os pares de polos A, B e C, sendo os polos C localizados nas partes de
cima e de baixo, tanto no semiplano direito quanto no esquerdo; os polos A no eixo e os polos B no
eixo (j ômega).
Ademais, saiba que o critério de Routh-Hurwitz oferece, inclusive, uma prova facilmente
percebida de que mudanças no ganho de um sistema de controle, com realimentação, é capaz
de ocasionar diferenças na resposta transitória, pois haverá modi�cações nas posições dos
polos em malha fechada. Na próxima subseção, apresento alguns exemplos �nais, focando na
resposta que pode ser observada de acordo com a estabilidade (ou não) do sistema analisado,
trazendo um exemplo de como podemos estabelecer o ganho de um dado sistema real para
que este seja estável, instável ou marginalmente estável.
Exemplos Práticos
Bem, até o presentemomento, foi possível visualizar como analisar a estabilidade, porém
precisamos discutir, também, outro importante ponto: a�nal, o que a estabilidade, a
instabilidade ou mesmo a estabilidade marginal signi�cam no comportamento de um sistema
σ
jω
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físico, real? Tomando como exemplo a resposta, ao longo do tempo, ao degrau unitário de um
sistema estável, nota-se, em comparação a de um sistema instável, que as oscilações
tenderão a diminuir com o tempo. O seguinte sistema de controle representa um exemplo de
sistema estável, juntamente com a representação dos polos da função de transferência em
malha fechada e a resposta ao longo do tempo, denotando que, de fato, após cerca de 15
segundos, a amplitude das oscilações diminui consideravelmente, até praticamente zerar, em
torno de 25 segundos:
Figura 2.3: Sistema estável
Fonte: Adaptada de Nise (2017).
#PraCegoVer: na parte superior, tem-se o diagrama de blocos do sistema, com R(s) = 1/s (R s igual a
1 sobre s) na entrada, o erro E(s) (E s), o bloco 3/s(s+1)(s+2) (3 sobre s vezes s mais 1 vez s mais 2),
a saída C(s) (C s) e esta está, ainda, conectada à entrada pelo somador. Na parte de baixo, tem-se,
do lado esquerdo, os polos em malha fechada plotados no plano s, com -2,672; -0,164; j1,047 e
-j1,047. No lado direito, tem-se a resposta do sistema, c(t) (c t), ao longo do tempo, com as
oscilações maiores no início e a diminuição destas, sendo a resposta vista de 0 a 30 s.
Por outro lado, na próxima imagem, tem-se o exemplo de uma planta que representa um
sistema de controle em malha fechada, porém referente a um sistema instável. Note que, ao
invés da amplitude das oscilações diminuir, esta aumenta à medida que o tempo passa:
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Figura 2.4: Sistema instável
Fonte: Adaptado de NISE (2017, p. 453)
#PraCegoVer: na parte superior, tem-se o diagrama de blocos do sistema, com R(s) = 1/s (R s igual a
1 sobre s) na entrada, o erro E(s) (E s), o bloco 7/s(s+1)(s+2) (7 sobre s vezes s mais 1 vez s mais 2),
a saída C(s) (C s), estando esta conectada à entrada pelo somatório. Na parte de baixo, do lado
esquerdo, tem-se a plotagem dos polos de malha fechada no plano s, com os pontos 3,087; j1,505;
-j1,505 e 0,0434. Por �m, do lado direito, tem-se a resposta, c(t) (c t), ao tempo do tempo, em
segundos, demonstrando as oscilações que aumentam de amplitude, de 0 até 30 segundos.
Além disso, outro ponto importante que pode ser retomado aqui é que, em um sistema
marginalmente estável, a resposta vista, ao longo do tempo, será constante ou oscilatória.
Assim, as oscilações vistas inicialmente poderão permanecer com a mesma amplitude, por
exemplo. Os polos da função de transferência em malha fechada estarão, ainda, tanto no
semiplano da esquerda quanto localizados no eixo , podendo ser, ou não, múltiplos neste
último.
Agora, para encerrarmos este tópico, suponha que seja necessário determinar a faixa de
valores de ganho (K), para que o sistema de função de transferência a seguir, conectado em
malha fechada (unitária), seja estável, marginalmente estável e instável, para K > 0:
jω
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O primeiro passo será, é claro, obter a função de transferência em malha fechada
e, em seguida, é possível construir a tabela de Routh:
Como K > 0, os elementos, na primeira coluna, serão sempre positivos, com exceção ao
elemento de s¹, que pode ser tanto positivo quanto negativo ou, ainda, nulo, a depender do
valor de K. Agora, precisaremos considerar essas possibilidades. Com isso, se K < 1.386, de
fato, assim todos os termos serão positivos e, como não existirá mudanças de sinal, conclui-se
que o sistema analisado possui três polos no semiplano da esquerda. Logo, trata-se de um
sistema estável e essa é a restrição do ganho para que o sistema tenha estabilidade.
Todavia, perceba que para K > 1.386, o termo de s¹, da primeira coluna, será negativo, e como
haverá duas mudanças de sinal teremos dois polos no semiplano da direita e um polo no
semiplano da esquerda, o que permite concluir que o sistema, nessas condições, seria
instável.
Por �m, a última possibilidade é que o ganho K seja ajustado em 1.386, gerando uma linha
completa de zeros, o que implica que haveria polos no eixo e, assim, seria necessário
manipular matematicamente, como �zemos no último exemplo do subtópico 2.1.1.
G (s)   =  
K
s (s + 7) (s + 11)
G (s)   =  
K
+ 18 +  77s + Ks3 s2
Tabela 2.3: Tabela de Routh para o sistema de exemplo
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: tabela com 4 linhas e 3 colunas, sendo, na primeira linha, s³ (s elevado ao
cubo), 1 e 77; na segunda linha, s² (s ao quadrado), 18 e K; na terceira linha, s¹ (s elevado a
1), (1386-K)/18 (1.368 menos K sobre 18); e, na quarta linha, (s elevado a zero) e K.
1 77
18 K
(1.386-K)/18  
K  
s3
s2
s1
s0
s0
jω
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Retornaremos, nesse caso, à linha s², substituímos K pelo seu valor assumido e, assim, o
seguinte polinômio é criado,
cuja derivada é
e, utilizando-o para refazer a tabela de Routh para o caso, obtém-se:
Dessa forma, perceba que não haverá mudanças de sinal da linha s² (a partir do polinômio par
anterior), e isso permanece para a tabela inteira. O polinômio par possui duas raízes sobre o
eixo e, além disso, observa-se que essas raízes possuem multiplicidade unitária, que, junto
com os sinais constantes, permite observar que há uma raiz remanescente no semiplano
esquerdo do plano s e, assim, o sistema é marginalmente estável.
18s² + 1.386
36s + 0
Tabela 2.4: Tabela de Routh para o sistema, quando K = 1.368.
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: tabela com 4 linhas e 4 colunas. Na primeira linha, s³ (s elevado ao cubo)
salta a coluna 2, 1 e 77. Na segunda linha, s² (s ao quadrado) salta a coluna 2, 18 e 1.386.
Na terceira linha, (s elevado a 1), 0 (substituído) e 36. Na quarta linha, (s elevado a
zero) salta a coluna 2 e 1.386.
  1 77
  18 1.386
0 (substituído) 36  
  1.386  
s3
s2
s1
s0
s1 s0
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Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Um sistema físico pode ser modelado de diversas maneiras, entre elas como um sistema
linear, com resposta invariável ao longo do tempo. Já sua estabilidade pode ser avaliada
analisando o modelo matemático, mais precisamente a partir da posição no plano s dos
polos de malha fechada.
Considerando essas informações, assinale a alternativa correta.
a) Um sistema estável tem polos nos semiplanos esquerdo e direito do plano s.
b) Um sistema instável tem polos localizados no semiplano direito do plano s.
c) Um sistema marginalmente estável tem polos no semiplano direito do plano s.
d) Um sistema marginalmente estável tem polos no semiplano esquerdo e no eixo
jw.
e) Um sistema instável tem polos sobre o eixo jw, no plano s e no semiplano
esquerdo.
Simulação de Sistemas
Dinâmicos de Controle
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Seja na análise especí�ca acerca da estabilidade de um sistema dinâmico ou mesmo para
estratégias mais simples, como visualizar a resposta dinâmica de um dado sistema, a
utilização de software ou, ainda, de linguagens de programação, no desenvolvimento de
algoritmos, será fundamental. A crescente utilização dos próprios software ou do
desenvolvimento de algoritmos se dá especialmente quando ocorrem situações como a
impossibilidade de se considerar o sistema analisado como um modelo matemático linear ou
mesmo já partindo da complexidade adicionada, naturalmente, frente ao desenvolvimento
tecnológico dos últimos anos. Assim, a este ponto, teremos uma visão geral do papel dos
software, tomando como exemplo o Matlab, o Scilab e o Octave e, em seguida, alguns
exemplos práticos.
Visão Geral
O Matlab é um dos software mais utilizados no contexto para análise de sistemas dinâmicos e
de sistemas de controle, em geral, embora não seja uma opção gratuita. Neste, podemos
ressaltar o desenvolvimento de algoritmos, a partir de funções básicas ou que fazem parte de
outros conjuntos de funções mais especí�cos, entretanto o maior destaque deve ser dado para
as toolboxes — conjuntos de ferramentas —, destinadas, exclusivamente, para a análise de
sistemas de controle.
Dentre estas, está a Control System
Toolbox, que permite tanto analisar
quanto desenvolver sistemas de
controle em geral, com destaque,
ainda, para recursos grá�cos que
permitem o desenvolvimento facilitado
de diagramas de blocos, via Simulink.
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Fonte: monsitj / 123RF.
Por �m, tem-se um conjunto de funções nessa toolbox, destinado às análises lineares, em que
existirão ferramentas tanto no domínio do tempo quanto no da frequência.
O Scilab, por sua vez, é um software gratuito, bastante semelhante ao Matlab, de certa forma,
em termos da linguagem, tendo boa quantidade de recursos disponíveis. Além da
possibilidade de desenvolvimento de algoritmos, assim como no software anterior, aqui
podemos destacar a Xcos, um editor grá�co para o desenvolvimento de modelos de sistemas
dinâmicos variados, que permite a visualização completa da simulação, tanto no domínio do
tempo quanto em outros tipos de análises, com modelos já pré-estabelecidos de circuitos
mecânicos automotivos, dentre outros.
Por �m, o Octave é um tipo de linguagem computacional diretamente compatível com Matlab,
com grande quantidade de funções muito semelhantes, podendo ser utilizado para a
computação matemática, em geral, o que inclui a possibilidade de análise e simulação de
sistemas dinâmicos. Algumas das funções de controle em geral, vistas no Matlab, podem ser
utilizadas diretamente neste.
Exemplos Práticos
Tomando como exemplo então a utilização da toolbox Control System Toolbox, do Matlab,
suponha que nosso objetivo aqui fosse representar um sistema dinâmico, linear. A função tf
permite estabelecer a função de transferência do sistema físico analisado e, para utilizá-la,
fazemos
com num sendo a variável para apresentação do polinômio do numerador e den para a
apresentação do polinômio do denominador. Caso tivéssemos a seguinte função de
transferência,
então faríamos computacionalmente:
num = 1;
sys = tf(num,den)
G (s)   =  
1
2 + 3s + 4s2
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den = [2, 3, 4];
sys = tf(num,den)
Sem o ponto e vírgula, ao �nal do comando com a variável sys, será possível visualizar, na tela,
a função de transferência criada. Caso quiséssemos visualizar a resposta ao degrau unitário
do sistema com a função de transferência apresentada, o seguinte comando poderia ser dado:
Por outro lado, caso fosse desejável criar a representação pelo espaço de estados, o seguinte
comando deve ser utilizado:
com A, B, C e D sendo as representações dos coe�cientes no espaço de estados nas formas
matriciais, a partir de:
Agora, vamos considerar os mesmos processos vistos nesses exemplos práticos, porém
utilizando o software Scilab. De forma bastante similar ao Matlab, o primeiro passo será de�nir
matricialmente, ou por meio dos polinômios, o numerador e o denominador da função de
transferência desejada. Caso a função de transferência que representasse o modelo fosse
igual a
computacionalmente faríamos:
Outro ponto interessante é que aplicando essa variável criada, que representa a função de
transferência, à função plz(), tem-se o esboço dos polos e dos zeros dessa função. Já com
relação à representação no espaço de estados, semelhantemente também ao Matlab,
stepplot(sys)
sys = ss(A,B,C,D)
  =  Ax + Bux′
y  =  Cx + Du
G (s)   =  
7
+ 3 + 2s + 7s3 s2
num = 7;
den = s^3+(3*s^2)+2*s+7;
sys = syslin([], num, den)
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faremos:
Ademais, a utilização de bibliotecas em Python, como no exemplo citado anteriormente, vem
ganhando bastante espaço, seja pela pluralidade de funções já implementadas, mas,
especialmente, pelo fato de que se trata de documentações abertas, disponíveis on-line e de
fácil acesso. Um exemplo é a biblioteca python-control, uma biblioteca para análise e
desenvolvimento de sistemas de controle com realimentação, para análises no domínio da
frequência e por meio da representação no espaço de estados.
praticar
Vamos Praticar
[A,B,C,D] = abcd(sl)
SAIBA MAIS
Olá, estudante! A este ponto, convido você a visualizar o passo
a passo da simulação realizada por meio do Matlab, de um
tanque, com uma equação diferencial não linear, de primeira
ordem.
Para saber mais, acesse a seguir:
ASS I S T I R
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https://catalogcdns3.ulife.com.br/content-cli/ENG_CONSIS_22/unidade_2/ebook/index.html#
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Até o momento, �cou clara a importância da utilização da simulação na análise de sistemas
dinâmicos, incluindo a possibilidade de auxílio no projeto de sistemas de controle, certo?
Pensando nisso, acompanhe o pequeno estudo de caso a seguir.
Guilherme, estudante de Engenharia Elétrica, precisa analisar o comportamento dinâmico
não linear de um pêndulo simples, um clássico sistema estudado. Ele fará essa análise,
aproximando-o como um modelo linear, a ser processado pelo software Matlab,
disponibilizado por sua escola.
Considerando que você estivesse no lugar de Guilherme, com os seus conhecimentos até o
momento, qual estratégia você utilizaria?
Certo, mas a�nal de contas: como implementamos o agente que fará o controle em um
sistema controlado? A resposta dessa pergunta está em uma metodologia largamente
utilizada, inclusive em controladores industriais: o controlador proporcional, integral e
derivativo (mais conhecido como controlador PID).
Em 1922, a Sperry Gyroscope Company instalou um sistema automático de direção,
que utilizava elementos de compensação e controle adaptativo para melhorar o
Controladores
Proporcional, Integral e
Derivativo (PID)
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desempenho. [...] Foi seu desenvolvimento teórico aplicado à condução automática
de navios que levou ao que hoje chamamos de controladores proporcional, integral
e derivado (PID), ou controladores de três modos (NISE, 2017, p. 33).
Assim, veja que a utilização dos controladores PID contribuiu imensamente para tantos
avanços tecnológicos que vemosatualmente, em termos do controle e automação de
sistemas em geral, bem como das diversas possibilidades de implementar esses
controladores.
Dessa forma, a partir da próxima subseção, veremos mais detalhes, em uma visão geral, sobre
como funcionam os controladores PID e, em seguida, para �nalizar o tópico, analisaremos
exemplos práticos desses controladores aplicados a sistemas de controle com os mais
diversos tipos de sistemas reais. Vamos lá?
Visão Geral
Independentemente de como implementaremos o controlador PID, seja por meio de um
controlador com outras funções, como é o caso de um controlador lógico programável, ou por
REFLITA
A este ponto você deve estar se perguntando: Como é possível
implementar um controlador PID? Bem, veja que essa
pergunta pode ser respondida de mais de uma maneira, a
depender de características, inclusive, do sistema físico que
será controlado. Por exemplo: existe a possibilidade de utilizar
um controlador lógico programável (o famoso CLP) para
implementar o controlador PID de uma planta industrial e esta
é, inclusive, uma das soluções mais utilizadas.
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meio de um circuito eletrônico analógico, um controlador PID é, por essência, formado com
base em três tipos principais de ações em sua metodologia para controle do sistema: a
proporcional, a integral e a derivativa. Estas podem, inclusive, ser utilizadas separadamente, o
que nos gera ainda outros subtipos de controladores: os controladores P, de ação proporcional,
os controladores PI (proporcional e integral) e os controladores PD (proporcional e derivativo).
Figura 1.1 - Teste de descrição Laureate
Fonte: VG Educacional
#PraCegoVer: o infográ�co estático, intitulado “O controlador PID”, possui três caixas de texto
interligados ao título, à direita. A primeira caixa de texto, intitulada “Ganho proporcional”, apresenta o
texto “ajustável de forma que a relação entre a saída do controlador (u(t)) e o erro (e(t)) será
 (2) ou, ainda:  (3). Um controlador ajustado exclusivamente a partir
desse ganho será basicamente um ampli�cador de ganho ajustável (OGATA, 2010)”. A segunda
caixa de texto, intitulada “Ganho integral”, apresenta o texto “nesse caso, o valor da saída do
controlador será modi�cado a uma taxa de variação proporcional ao sinal de erro atuante (OGATA,
2010). Ou seja: (4). Isto equivale a: (5), sendo Ki um
ganho ajustável”. A terceira caixa de texto, intitulada “Ganho derivativo”, apresenta o texto “nesse
caso, a saída é de�nida de forma que, para um dado tempo (Td), chamado de tempo derivativo, tem-
se: (6)”.
u (t)   =   e (t)Kp =
U(s)
E(s)
Kp
= e (t)du(t)
dt
Ki u (t)   =   e (t)  dtKi ∫
t
0
u (t)   =  KpTd
de(t)
dt
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Como mencionado, existirão então os controladores P, de ação proporcional, de forma que a
saída será dada como apresentado pelas equações 2 e 3. Todavia, caso o controlador seja do
tipo PI, a resposta será
                                        (7)
o que gera a seguinte função de transferência ao controlador
                                                  (8)
sendo Ti o tempo integrativo. Caso, por outro lado, tenhamos um controlador do tipo PD, sua
resposta será
                                      (9)
com a seguinte função de transferência:
                                            (10)
E o controlador PID? Bem, a resposta será, nesse caso, igual ao conjunto das ações, de
maneira que se tem
 (11)
e a seguinte função de transferência:
                                         (12)
Perceba que, em todos os casos, o erro é considerado (diferença entre a saída do sistema e o
que de fato se desejava para este) e, a partir de três estratégias distintas, decide-se como
extingui-lo ou, ainda, ao menos atenuá-lo. Além disso, como você pode imaginar, em certos
casos, considerar a ampli�cação do erro ou a taxa de variação deste ou sua integral, não será
viável e, por esse motivo, utilizamos os controladores P, PI e PD.
Exemplos Práticos
Uma planta, independentemente do processo prático que esteja ocorrendo, pode ser
controlada em malha fechada de forma que seu sistema estará estruturado, em realimentação,
u (t)   =   e (t) + e (t) dtKp
Kp
Ti
∫ t0
= (1 + )U(s)
E(s)
Kp
1
sTi
u (t)   =   e (t) +Kp KpTd
de(t)
dt
= (1 + s)U(s)
E(s)
Kp Td
u (t)   =   e (t) + e (t) dt +                                      Kp
Kp
Ti
∫ t0 KpTd
de(t)
dt
= (1 + + s)U(s)
E(s)
Kp
1
sTi
Td
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como apresentado no seguinte diagrama de blocos, considerando, ainda, a utilização de um
controlador PID. O mesmo aconteceria para o uso de um controlador P, PI ou PD.
Figura 2.5: Controle em malha fechada com um controlador PID
Fonte: Ogata (2010, p. 522).
#PraCegoVer: diagrama de blocos com a entrada conectada a um somador, seguida pelo bloco
 (Kp vezes 1 mais 1 sobre Ti vezes s, mais Td vezes s), em série com o bloco
da planta, estando a saída conectada também ao somador, por uma realimentação unitária.
Além disso, a este ponto de estudo, na prática, é fundamental salientar que um controlador
lógico programável poderá ser con�gurado de forma a atuar como um controlador P, PI, PD ou
PID para essa planta. Por sua robustez e versatilidade, frente às outras necessidades de um
sistema automatizado, essa é uma opção muito utilizada em sistemas industriais.
(1 + + s)Kp 1sTi Td
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Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Um controlador PID, de ação proporcional, integral e derivativa, pode ser utilizado junto a
uma dada planta industrial, visando à melhoria de sua resposta transitória e em regime
permanente. Além disso, é importante observar que, em muitos casos, nem todas essas
ações serão utilizadas para o controle do sistema.
Considerando essas informações, assinale a alternativa correta.
a) A ação proporcional do controlador atua na saída junto à variação do erro do
sistema.
b) A ação proporcional do controlador atua na saída junto à integral do erro do
sistema.
c) A ação integral do controlador proporciona a saída junto à variação da integral do
erro do sistema.
d) A ação integral do controlador proporciona a saída correspondente à integral do
erro do sistema.
e) A ação derivativa do controlador proporciona a saída correspondente à variação
da integral do erro do sistema.
Métodos de Sintonia de
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Bem, agora, a este ponto, você verá como fazemos, a�nal, para ajustar os controladores PID,
em busca de obter o melhor desempenho de um sistema de controle. Para isso, iniciaremos
com uma visão geral sobre os métodos de sintonia clássicos, mais utilizados, além de
abordarmos uma outra questão importante: o estudo de formas de mensurar o desempenho
do sistema de controle. Por �m, encerraremos o estudo com exemplos práticos da utilização
de métodos de sintonia. Vamos lá?
Visão Geral
Começando pelos métodos de Ziegler-Nichols, nesse caso, será sugerido escolher os valores
para ajuste do controlador de acordo com parâmetros da resposta da planta ao degrau
unitário, em um primeiro momento, de forma que utilizamos a seguinte tabela,com T sendo a
constante de tempo e L, o atraso da resposta, para um dado valor de ganho do sistema, sendo
sua função de transferência
 (13)
e sua resposta grá�ca, ao longo do tempo:
Controladores PID
G (s)   =                                                                        Ke
−Ls
Ts+1
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Figura 2.6: Resposta ao degrau unitário do sistema da função de transferência anterior
Fonte: Ogata (2010, p. 523).
#PraCegoVer: grá�co de t e c(t) (c t), com L correspondendo de 0 até o início da contabilização da
constante de tempo T, que vai, por sua vez, até pouco antes de c(t) = K (c t igual a K), a partir da linha
tangente no ponto de in�exão da curva de resposta.
O atraso e a constante de tempo são determinados a partir da reta tangente, traçada no ponto
de in�exão da curva c(t), como visto no grá�co. Além disso, veja os ajustes sugeridos.
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Em um segundo momento, o método de Ziegler-Nichols terá a opção de os ajustes se
basearem em outros dois parâmetros: o ganho crítico (K ) e o período crítico (P ). O ganho
crítico é obtido considerando o aumento de K até um dado valor em que o sistema apresenta
oscilações sustentadas (ver no próximo grá�co), para controle do sistema sendo T ajustado
em in�nito e T em zero:
Tabela 2.5: Ziegler-Nichols para a resposta ao degrau unitário
Fonte: Ogata (2010, p. 524).
#PraCegoVer: tabela com 4 linhas e 4 colunas. Na primeira linha, tem-se tipo do
controlador, , e . Na segunda linha, tem-se P, T/L (T sobre L), (in�nito) e 0. Na
terceira linha, tem-se PI, 0,9T/L (0,9 vezes T sobre L), L/0,3 (L sobre 0,3) e 0. Na quarta
linha, tem-se 1,2T/L (1,2 vezes T sobre L), 2L (2 vezes L) e 0,5L (0,5 vezes L).
Tipo de controlador
P T/L 0
PI 0,9T/L L/0,3 0
PID 1,2T/L 2L 0,5L
Kp Ti Td
∞
Kp Ti Td ∞
cr cr
p
i
d
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Figura 2.7: Oscilação sustentada do sistema, para ajuste do controlador PID via Ziegler-Nichols
Fonte: Ogata (2010, p. 523).
#PraCegoVer: grá�co de t e c(t), com as oscilações da resposta vistas com período P .
Assim, utilizaremos a seguinte tabela para esse caso.
cr
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Uma outra possibilidade para a sintonia do controlador PID é o método CHR (Chien, Hrone e
Reswick), desenvolvido em 1952 como uma possível alternativa para resolver problemas vistos
a partir da resposta ao degrau, capaz de auxiliar no aumento da estabilidade do sistema (DORF,
2018).
Fonte: neoleo3d / 123RF.
Sem o sobressinal, fazemos o ajuste conforme a próxima tabela, caso tenhamos o sistema
Tabela 2.6: Ziegler-Nichols para ajuste a partir do ganho crítico e o período crítico
Fonte: Ogata (2010, p. 525).
#PraCegoVer: tabela com 4 linhas e 4 colunas. Na primeira linha, tem-se tipo de
controlador, , e . Na segunda linha, tem-se P, (0,5 vezes Kcr), (in�nito)
e 0. Na terceira linha, tem-se PI, (0,45 vezes Kcr), (Pcr sobre 1,2) e 0.
Na quarta linha, tem-se PID, (0,6 vezes Kcr), (0,5 vezes Pcr) e 
(0,125 vezes Pcr).
Tipo de controlador
P 0
PI 0
PID
Kp Ti Td
0, 5Kcr ∞
0, 45Kcr /1, 2Pcr
0, 6Kcr 0, 5Pcr 0, 125Pcr
Kp Ti Td 0, 5Kcr ∞
0, 45Kcr /1, 2Pcr
0, 6Kcr 0, 5Pcr 0, 125Pcr
Nesse sentido, consideraremos dois critérios como base para a sintonia, qual a resposta mais rápida possível sem
sobrevalor e qual poderia ser esta, considerando 20% de sobressinal, atendendo a tipos de situações práticas como a
presença de perturbação de carga, em sistemas de regulação e servo rastreamento.
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servo.
Considerando, por outro lado, 20% de sobressinal, teremos o seguinte:
Caso tenhamos ainda outro tipo de sistema, como um sistema regulador, algumas pequenas
mudanças são feitas do ponto de vista numérico, mas os mesmos tipos de parâmetros devem
Tabela 2.7: Método CHR para o sistema com servo, sem sobressinal
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: tabela com 4 linhas e 4 colunas. Na primeira linha, tem-se tipo de
controlador, , e . Na segunda linha, tem-se P, 0,3T/K.L (0,3 vezes T sobre K vezes
L), (in�nito) e 0. Na terceira linha, tem-se PI, 0,35T/K.L (0,35 vezes T sobre K vezes L),
1,16T (1,16 vezes T) e 0. Na quarta linha, tem-se PID, 0,6T/K.L (0,6 vezes T sobre K vezes
L), T e L/2 (L sobre 2).
Tipo de controlador
P 0
PI 1,16.T 0
PID T L/2
Kp Ti Td
0, 3T/K. L ∞
0, 35T/K. L
0, 6T/K. L
Kp Ti Td
∞
Tabela 2.8: Método CHR para o sistema com servo com 20% de sobressinal
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: tabela com 4 linhas e 4 colunas. Na primeira linha, tem-se tipo de
controlador, , e . Na segunda linha, tem-se P, 0,7T/K.L (0,7 vezes T sobre K vezes
L), (in�nito) e 0. Na terceira linha, tem-se PI, 0,6T/K.L (0,6 vezes T sobre K vezes L), T e
0. Na quarta linha, tem-se PID, 0,95T/K.L (0,95 vezes T sobre K vezes L), 1,357T (1,357
vezes T) e 0,437L (0,437 vezes L).
Tipo de controlador
P 0
PI T 0
PID 1,357T 0,437L
Kp Ti Td
0, 7T/K. L ∞
0, 6T/K. L
0, 95T/K. L
Kp Ti Td
∞
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ser considerados. O método CC, também conhecido como método Cohen-Coon, foi
estabelecido no ano de 1953, por sua vez, e pretende atender ajustes para o controlador PID
em casos e para sistemas do tipo da Equação 13. A tabela a ser seguida para ajuste, neste
caso, é:
Por �m, com relação aos métodos de sintonia, podemos citar ainda o IMC, Internal Model
Control (Modelo de Controle Interno), que é estabelecido a partir do modelo matemático do
sistema a ser controlado, gerado pela curva de reação, após a aplicação de um degrau na
entrada deste sistema estabelecido em malha aberta e, juntamente a uma especi�cação de
Tabela 2.9: Método de sintonia Cohen-Coon
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: tabela com 4 linhas e 4 colunas, sendo, na primeira linha, tipo de
controlador, , e . Na segunda linha, P, (1,03 mais 0,35
vezes L sobre T, vezes T sobre K vezes L, (in�nito) e 0. Na terceira linha PI,
 (0,9 mais 0,083 vezes L sobre T, vezes T sobre K vezes L),
 (0,9 mais 0,083 vezes L sobre T, sobre 1,27 mais 0,6 vezes L sobre T,
vezes L e 0. Na quarta linha PID, (1,35 mais 0,25 vezes L sobre
T, vezes T sobre K vezes L, (1,35 mais 0,25 vezes L sobre T, sobre
0,54 mais 0,33 vezes L sobre T, vezes L) e (0,5 vezes L, sobre 1,35 mais
0,25 vezes L sobre T).
Tipo de
controlador
P 0
PI 0
PID
Kp Ti Td
(1, 03 + 0, 35 ( ))L
T
T
K.L ∞
(0, 9 + 0, 083 ( ))L
T
T
K.L ( ) L0,9+0,083( )
L
T
1,27+0,6( )L
T
(1, 35 + 0, 25 ( ))L
T
T
K.L ( ) L1,35+0,25( )
L
T
0,54+0,33( )L
T
( )0,5L
1,35+0,25( )L
T
Kp Ti Td (1, 03 + 0, 35 ( ))LT
T
K.L
∞
(0, 9 + 0, 083 ( ))L
T
T
K.L
( ) L0,9+0,083( )LT
1,27+0,6( )L
T
(1, 35 + 0, 25 ( ))L
T
T
K.L
( ) L1,35+0,25( )LT
0,54+0,33( )L
T
( )0,5L
1,35+0,25( )L
T
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desempenho. Supondo que a função de transferência desejada seja
em que é um parâmetro de projeto do sistema, a ser escolhido de acordo com a dinâmica
deste. A tabela para ajustes do controlador, a ser utilizada no método, é apresentada a seguir,
de acordo com o modelo do sistema.
Já com relação à avaliação de desempenho dos controladores PID, podemosressaltar alguns
indicadores. O IAE (Integral de Erro Absoluto) é um exemplo desses indicadores e pode ser
calculado como,
(s)   =  Gdesejada
1
λs + 1
λ
Tabela 2.10: Método IMC para ajuste do controlador PID
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: tabela com 6 linhas e 4 colunas. Na primeira linha, tem-se modelo do
processo, , e . Na segunda linha, tem-se (K sobre tau vezes s mais 1), 
()tau sobre K vezes lambda), (tau) e 0. Na terceira linha, tem-se (K sobre
tau 1 vezes s mais 1, vezes tau 2 vezes s mais 1), (tau 1 mais tau 2, sobre K vezes
lambda), (tau 1 mais tau 2) e (tau 1 vezes tau 2, sobre tau 1 mais tau 2). Na
quarta linha, tem-se (K sobre tau ao quadrado vezes s ao quadrado, mais 2
vezes csi vezes tau vezes s, mais 1), (2 vezes csi vezes tau, sobre K vezes lambda),
 (2 vezes csi vezes tau) e (tau sobre duas vezes csi). Na quinta linha, tem-se K/s (K
sobre s), (1 sobre K vezes lambda), (in�nito) e 0. Na sexta linha, tem-se ,
 (1 sobre K vezes lambda), 0 e (tau).
Modelo do processo
0
K/s 0
0
Kp Ti Td
K
τs+1
τ
Kλ τ
K
( s+1)( s+1)τ1 τ2
( + )τ1 τ2
Kλ
+τ1 τ2
τ1τ2
+τ1 τ2
K
+2ςτs+1τ 2s2
2ςτ
Kλ
2ςτ τ2ς
1
Kλ
∞
K
s(τs+1)
1
Kλ
τ
Kp Ti Td
K
τs+1
τ
Kλ
τ K
( s+1)( s+1)τ1 τ2
( + )τ1 τ2
Kλ
+τ1 τ2
τ1τ2
+τ1 τ2
K
+2ςτs+1τ 2s2
2ςτ
Kλ
2ςτ τ2ς
1
Kλ
∞ K
s(τs+1)
1
Kλ
τ
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 (14)
sendo E(t) o erro absoluto como função do tempo (FRANCHI, 2011). Outro indicador também
frequente é o ITAE (Integral do Erro Ponderado no Tempo), que pode ser calculado como:
 (15)
Por �m, o Erro Quadrático Médio (ISE - Integral Square Error) é de�nido como
 (16)
e também servirá para avaliação do desempenho de um dado controlador PID. A seguir,
�nalizaremos nossos estudos, neste material, visualizando o ajuste de um controlador PID na
prática.
Exemplos Práticos
Vamos considerar agora, por �m, o projeto de um sistema de controle do início ao �m, na
prática, escolhendo como método de sintonia, o método de Ziegler-Nichols. Veja o sistema, a
seguir, com a representação, inclusive, da função de transferência da planta.
IAE  =   E (t)  dt                                                               ∫ ∞0
ITAE  =   E (t) . t  dt                                                              ∫ ∞0
ISE  =   (t)  dt                                                                 ∫ ∞0 E
2
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Figura 2.8: Sistema de controle de exemplo
Fonte: Ogata (2010, p. 526).
#PraCegoVer: diagrama de blocos com R(s) (r s) de entrada, um somador, em seguida o bloco do
controlador PID (Gc(s)) (Gc s), o bloco da planta, 1/s(s+1)(s+5) (1 sobre s vezes s mais 1 vezes s
mais 5), a saída C(s) (c s), que está conectada em realimentação unitária com o somador.
O primeiro passo é, a partir da escolha do método de sintonia, entender características que
possam nos orientar a ter êxito mais rapidamente no projeto do sistema de controle. Perceba
que há o fator 1/s, um integrador e, assim, isso pode ser um indicador para utilizarmos o
segundo método de Ziegler-Nichols. Assim, partimos fazendo Ti = 0 e Td = 0, com a seguinte
função de transferência em malha fechada sendo nossa referência,
e, assim, obtemos a seguinte tabela de Routh para entender a estabilidade e, em seguida,
projetar o controlador.
G (s)   =   = =
C (s)
R (s)
Kp
s (s + 1) (s + 5) + Kp
Kp
+ 6 + 5s +s3 s2 Kp
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Vendo a primeira coluna da tabela, as oscilações sustentadas ocorrem a um ganho Kp = 30, o
que nos permite concluir que Kcr = 30. Assim, a função de transferência torna-se:
Para encontrar o período das oscilações (Pcr), fazemos:
Logo, os ajustes para o controlador PID serão, neste caso:
Assim, a função de transferência do controlador é:
lembrando que, por conveniência, podemos representar essa função no bloco do controlador,
tornando mais claro, assim, o processo de simulação do sistema de controle. Caso a resposta
ao degrau unitário não seja satisfatória, considerando um sobressinal máximo de 20%, por
exemplo, outro método pode ser utilizado ou podemos, também, fazer um ajuste �no dos
Tabela 2.11: Tabela de Routh do exemplo
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: tabela com 4 linhas e 3 colunas. Na primeira linha, tem-se s³ (s elevado ao
cubo), 1 e 5. Na segunda linha, tem-se s² (s elevado ao quadrado), 6 e . Na terceira
linha, tem-se s¹ (s elevado a 1), (30 menos sobre 6) e na quarta (s
elevado a 0) e .
1 5
6
 
 
s3
s2 Kp
s1
30−Kp
6
s0 Kp
Kp
(30 − ) /6Kp Kp s0
Kp
G (s)   =  
30
+ 6 + 5s + 30s3 s2
+ 6 + 5 (jω) + 30  =  0(jω)3 (jω)2
= 5  →  ω = ⇒ = = 2, 809ω2 5–√ Pcr
2π
ω
= 0, 6 = 18;   = 0, 5 = 1, 405;   = 0, 125 = 0, 351Kp Kcr Ti Pcr Td Pcr
(s)   =   (1 + + s) = 18 (1 + + 0, 351s) =Gc Kp 1
sTi
Td
1
1, 405s
6, 322 (s + 1, 423) 2
s
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parâmetros do controlador PID.
praticar
Vamos Praticar
Suponha que obtivéssemos a resposta unitária do sistema de controle obtido anteriormente
e chegássemos à conclusão de que é necessário melhorar o sistema de controle, de maneira
a gerar uma resposta com menor sobressinal, por exemplo.
Qual seria sua estratégia nesse caso?
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Material
Complementar
WEB
Critério de estabilidade de Routh (ELT009,
ELT035)
Canal: Luis Antônio Aguirre
Comentário: Nesta videoaula, é apresentado o critério de estabilidade de
Routh, a partir da construção do arranjo de Routh, sem explicar a
matemática que suporta esse método, visto no Tópico 2.1 deste
material, juntamente com dois exemplos de aplicação.
Disponível em:
ACESSAR
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https://www.youtube.com/watch?v=NjyjJ6qtOMs
https://www.youtube.com/watch?v=NjyjJ6qtOMs
L IVRO
Controle automático
Autores: Plínio de Lauro Castrucci; Anselmo Bittar; Roberto Moura Sales
Editora: LTC
Capítulo: 7
Ano: 2018
ISBN: 9788521635611
Comentário: Neste livro, especialmente no capítulo 7, são apresentadas
várias estratégias, incluindo o uso do controlador PID, direcionadas ao
controle de processos industriais. Assim, com essa leitura, você
aprenderá alguns aspectos gerais que, normalmente, são considerados,
bem como questões especí�cas de alguns processos a partir de
exemplos práticos.
Fonte: Disponível na Biblioteca Virtual.
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Bem, tivemos a oportunidade de entender, a�nal, o que signi�ca um sistema ser estável,
marginalmente estável ou instável, e quais são as implicações práticas. Além disso, vimos como
aplicar as ferramentas e os recursos matemáticos mais utilizados nesses tipos de análises, que
podem preceder, por exemplo, o projeto do sistema de controle. Também podemos perceber, ao
longo desta unidade, o quanto a simulação de sistemas dinâmicos já faz parte da realidade, em
muitas situações práticas, e como essas ações podem facilitar o desenvolvimento do sistema de
controle. Por falar nesse último, vimos o quanto os controladores PID são frequentes em sistemas
de controle industriais bem como estratégias para sintonizá-los.
Espero que você tenha conseguido conectar-se com a prática, ao longo do conteúdo estudado, pois
questões como o entendimento da estabilidade de um sistema a ser controlado ou já controlado
bem como os recursos matemáticos utilizados, com frequência, para a obtençãode um efetivo
controlador para um dado processo ou planta, serão fundamentais para que você obtenha êxito em
muitas situações práticas. Até uma próxima oportunidade!
Referências
CASTRUCCI, P. de L.; BITTAR, A.; SALES, R. M.
Controle automático. Rio de Janeiro: LTC,
2018.
CONTROL systems. Scilab, [2020]. Disponível
em: https://www.scilab.org/software
/xcos/control-systems. Acesso em: 28 mar.
2022.
CONTROL system toolbox. Mathworks, [2022]. Disponível em: https://www.mathworks.com/products
E-book https://catalogcdns3.ulife.com.br/content-cli/ENG_CONSIS_22/unidad...
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https://www.scilab.org/software/xcos/control-systems
https://www.scilab.org/software/xcos/control-systems
https://www.scilab.org/software/xcos/control-systems
https://www.scilab.org/software/xcos/control-systems
https://www.mathworks.com/products/control.htm
https://www.mathworks.com/products/control.htm
Conclusão
/control.htm. Acesso em: 28 mar. 2022.
CRITÉRIO de Estabilidade de Routh (ELT009, ELT035). [S. l.: s. n.], 2018. 1 vídeo (14 min.). Publicado
pelo canal Luis Antonio Aguirre. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=NjyjJ6qtOMs.
Acesso em: 29 mar. 2022.
DORF, R. C. Sistemas de controle moderno. 13. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
FRANCHI, C. M. Controle de processos industriais: princípios e aplicações. São Paulo: Editora Érica,
2011.
NISE, N. S. Engenharia de sistemas de controle. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
SIMULAÇÃO de tanque (ELT009, ELT035, ELT016). [S. l.: s. n.], 2017. 1 vídeo (18 min.). Publicado pelo
canal Luis Antonio Aguirre. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=JUSfsLFt8tc. Acesso
em: 29 mar. 2022.
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https://www.mathworks.com/products/control.htm
https://www.mathworks.com/products/control.htm
https://catalogcdns3.ulife.com.br/content-cli/ENG_CONSIS_22/unidade_2/ebook/index.html#
https://catalogcdns3.ulife.com.br/content-cli/ENG_CONSIS_22/unidade_2/ebook/index.html#
https://www.youtube.com/watch?v=JUSfsLFt8tc
https://www.youtube.com/watch?v=JUSfsLFt8tc