UNIDADE 1 CONTROLE DE SISTEMAS

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CONTROLE DE SISTEMASCONTROLE DE SISTEMAS
VISÃO GERAL DE UMVISÃO GERAL DE UM
SISTEMA DE CONTROLE ESISTEMA DE CONTROLE E
RESPOSTA TRANSITÓRIARESPOSTA TRANSITÓRIA
DE SISTEMAS DINÂMICOSDE SISTEMAS DINÂMICOS
Au to r ( a ) : Ma . S o f i a Ma r i a Amo r i m Fa l c o R o d r i g ue s
R ev i s o r : M e . Ed e r s o n Pa u l o Vo g e l
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Introdução
Olá, estudante! Tudo bem?
Iniciamos nossa jornada para entender como funcionam os sistemas de controle.
Para isso, você verá mais detalhes, numa visão geral, desses tipos de sistemas,
elementos que, frequentemente, estão presentes, como esses sistemas são
representados grá�ca e matematicamente e aprenderá a analisar o comportamento
dos sistemas reais na prática. Dessa forma, neste seu contato com os sistemas de
controle, você entenderá quais equipamentos são utilizados e terá uma visão geral de
como representar os sistemas reais, seja para o desenvolvimento do sistema de
controle ou mesmo para estudar o comportamento dos sistemas na prática. Além
disso, focaremos nossos esforços acerca do entendimento do comportamento
dinâmico, o que de�nimos como resposta transitória, até que o sistema se estabilize
em seu comportamento ao longo do tempo. Vamos lá?
Introdução ao
Controle de Sistemas
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Muito se fala sobre os avanços da Indústria 4.0, e, com certeza, você já se deparou
com esse termo, certo? Você sabia que uma das estratégias para colocar em prática
as premissas dessa nova forma é o desenvolvimento de sistemas automatizados,
que permitem o controle dos processos industriais desenvolvidos na indústria ou
parte desses? Entender como controlar um sistema na prática faz parte, inclusive, de
estratégias capazes de promover avanços tecnológicos à indústria, maior
competitividade frente a concorrentes, maior sustentabilidade e, até mesmo, vários
tipos de economias, de gastos em energia elétrica, por exemplo.
Começaremos nosso estudo reconhecendo os principais elementos de um sistema
de controle, considerando ainda a evolução tecnológica ao longo da história e
entendendo algumas das principais aplicações e con�gurações básicas.
Visão Geral
Entende-se como sistema de controle um conjunto de interconexão de componentes
em busca de se obter uma resposta desejada. Também é denominado sistema um
conjunto de partes conectadas e/ou relacionadas para formação de um todo,
podendo ser físico, econômico etc. Para análise, utilizamos fundamentos da Teoria
de Sistemas Lineares, por exemplo, caso seja possível considerar o comportamento
desse sistema como linear (que satisfaz as propriedades de superposição e
homogeneidade) ou linearizável. Aliás, um sistema que apresenta comportamento
linear possui resposta ao longo do tempo representada por uma função linear, e outra
questão importante a ser salientada é que o sistema de controle fará o controle de
um dado componente ou processo, industrial ou não.
Os sistemas de controle são uma parte integrante da sociedade moderna.
Inúmeras aplicações estão à nossa volta: os foguetes são acionados, e o
ônibus espacial decola para orbitar a Terra; envolta em jatos de água de
resfriamento, uma peça metálica é usinada automaticamente; um veículo
autônomo distribuindo materiais para estações de trabalho em uma o�cina
de montagem aeroespacial desliza ao longo do piso buscando seu destino.
[...] No interior de nossos próprios corpos existem inúmeros sistemas de
controle, como o pâncreas, que regula o nosso nível de açúcar no sangue
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(NISE, 2017, p. 28).
Além disso, observe que um sistema de controle poderá ser formado por outros
sistemas menores (ou mais simples), de�nidos como subsistemas, e mais de um
processo (ou planta). Na saída, espera-se obter uma resposta desejada, com também
um dado desempenho esperado, considerando uma entrada especi�cada.
Geralmente, inclusive, nos referimos ao controle de uma planta industrial. Veja, na
imagem adiante, a representação geral de um sistema de controle.
Figura 1.1 - Representação geral de um sistema de controle
Fonte: Nise (2017, p. 28).
#PraCegoVer: diagrama com uma seta apontando da esquerda para a direita com o texto
“Entrada; excitação, Resposta desejada”, seguido por um bloco com o texto “Sistema de
Controle” e, por �m, uma seta apontando da esquerda para a direita com o texto “Saída;
resposta, Resposta real”.
Como você pode imaginar, dadas essas premissas práticas, �ca relativamente claro
que existem diversas possíveis vantagens, em geral, de se utilizar um (ou mais)
sistema(s) de controle. Dentre elas, é possível elencar: possibilidade de ampli�car a
potência do sistema real ao qual o controle estará associado; realização do controle
de maneira remota (especialmente considerando os avanços tecnológicos ao longo
dos anos); estabelecimento de uma entrada numa dada forma mais conveniente;
atendimento a questões como a possibilidade de compensar possíveis perturbações
a que o sistema pode estar sujeito.
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Por �m, neste subtópico, podemos ressaltar pontos históricos gerais importantes
capazes de auxiliar você, estudante, acerca do porquê utilizamos certos tipos de
estratégias de controle, em especí�co, além de alguns equipamentos frequentemente
utilizados. Nesse sentido, é importante salientar que sistemas de controle com
retroação (também mais conhecidos como sistemas de controle com
realimentação), os quais veremos em mais detalhes a partir do próximo tópico,
possuem a primeira utilização datada de 300 anos antes da era cristã. Esses tipos de
sistemas, onde há a possibilidade de associação da saída junto à entrada,
basicamente, na ocasião, foram desenvolvidos com o objetivo de regular
mecanismos de uma boia para controle de nível de líquidos. Além disso, a forma de
controle mais próxima do que utilizamos, nos dias atuais, advém do que se conhece
como o primeiro controlador automático com realimentação, utilizado num processo
industrial, mais conhecido como regulador de esferas (veja a imagem adiante),
desenvolvido por James Watt para controlar máquinas a vapor, de funcionamento
totalmente mecânico.
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Figura 1.2 - Regulador de esferas
Fonte: Dorf (2018, p. 23).
#PraCegoVer: roda associada a uma máquina a vapor, que está conectada a uma caldeira
que envia vapor por meio de uma válvula. Essa caldeira está diretamente ligada a um
mecanismo regulador, com esferas metálicas e um ponto de medição de velocidade,
associado ao eixo de saída da roda.
Além disso, assim como muitas outras tecnologias, boa parte da evolução
tecnológica dos sistemas de controle está associada ao cenário de guerras,
especialmente da Segunda Guerra Mundial, por estratégias como o desenvolvimento
de pilotos automáticos para aviões. Em seguida, tem-se o desenvolvimento de teorias
acerca da estabilidade dos sistemas na prática, estratégias de otimização aplicadas
diretamente aos sistemas de controle,incorporação do comando numérico,
robotização, desenvolvimento de estratégias de�nidas como controle robusto,
incorporando necessidades a serem aplicadas por conta de variações vistas devido a
perturbações constantes, até chegarmos aos sistemas de automação, com a
incorporação de elementos como a interface homem/máquina, dentre outras
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possibilidades.
Fonte: peshkova / 123RF.
A seguir, apresento-lhe mais detalhes de um sistema de controle em dois sistemas
práticos: um sistema de controle manual de nível; um sistema de controle de direção
de automóvel.
Exemplos Práticos
Como primeiro exemplo prático, suponha que seja necessário, para controle do nível
de água num reservatório de um comércio, o desenvolvimento de um sistema de
Uso atual de sistemas de controle — visão
geral
Atualmente, sistemas de controle são utilizados ainda em estratégias como orientação, navegação e
controle de mísseis e para uso em veículos espaciais, aviões e navios. Além disso, existem sistemas de
controle aplicados em sistemas de automação residencial, e, cada vez mais, cresce mais a possibilidade de
uso fora da realidade industrial.
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regulação como o apresentado na próxima imagem. A observação do nível é feita por
um agente, operador, que consegue ter acesso ao reservatório.
Figura 1.3 - Exemplo de sistema de controle manual do nível de �uido de um
reservatório
Fonte: Dorf (2018, p. 28).
#PraCegoVer: a �gura apresenta a ilustração de um tanque com um cano para a entrada
de �uido, e outro cano para a saída deste, associado a uma válvula, controlada por uma
pessoa que visualiza o nível desse reservatório.
Observe que a entrada do sistema de controle é o nível de referência do �uido. Nesse
caso (ainda em especí�co da água), o controlador (pessoa responsável por operar o
sistema) deve atuar buscando atingi-lo, abrindo e fechando a válvula manual. Além
disso, com esse exemplo relativamente simples, perceba que muitos processos que
realizamos em nosso dia a dia podem ser partes de um sistema de controle.
Como segundo e último exemplo sobre esse ponto, considere o desenho da situação
prática, visto na �gura adiante, e o grá�co da resposta da direção de deslocamento ao
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longo do tempo. Deseja-se obter, para o cenário real, a direção a ser tomada pelo
veículo.
Figura 1.4 - Exemplo de sistema de controle da direção de um automóvel
Fonte: Adaptada de Dorf (2018, p. 28).
#PraCegoVer: do lado esquerdo, está a imagem de um veículo trafegando em uma
estrada, com a representação de duas trajetórias: a direção real do deslocamento e a
direção desejada de deslocamento. Do lado direito, está o grá�co de tempo e resposta da
direção de deslocamento, com as curvas do deslocamento desejado e do real, mostrando
as variações ao longo do tempo.
Veja também, no exemplo do carro, que um dos objetivos do sistema será promover a
segurança por parte do motorista, de forma que o veículo responda de maneira mais
rápida possível a comandos estabelecidos pelo motorista.
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Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Os sistemas de controle estão amplamente presentes em processos industriais, dados os
avanços tecnológicos e os incentivos e esforços da Indústria 4.0, entretanto, como já
visto, existem sistemas de controle que fazem parte de nosso dia a dia, incluindo alguns
sistemas de aplicação residencial, por exemplo.
Nesse sentido, é correto afirmar que:
a) um sistema de aquecimento de uma residência é um tipo de sistema de
controle simples, com controle do medidor de temperatura.
b) um sistema de resfriamento automático de uma residência pode ser um tipo
de sistema de controle, com controle do medidor de temperatura.
c) um sistema de regulação de nível da caixa d’água da residência é um tipo de
sistema de controle simples, com controle do medidor de nível.
d) um sistema de irrigação automática de jardim da residência é um tipo de
sistema de controle simples, com controle da válvula de água.
e) um sistema de regulação de temperatura da água do chuveiro é um tipo de
sistema de controle, com controle do medidor de temperatura.
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Veja, a seguir, os principais elementos utilizados num sistema de controle e as
representações e estratégias de modelagem matemática aplicáveis aos sistemas na
prática capazes de auxiliar, inclusive, no projeto dos controladores.
Daremos início à de�nição dos principais elementos utilizados em sistemas de
controle em geral, além de visualizarmos, com isso, uma das principais estratégias
utilizadas para fazer também o projeto dos sistemas de controle: a representação dos
sistemas na prática (matemática e grá�ca). Vamos lá?
Visão Geral
Matematicamente, um sistema pode ser considerado de primeira ordem, segunda
Elementos dos
Sistemas de Controle
e Representação
Gráfica de Sistemas
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ordem ou ordem superior, de acordo com questões como simplicidade, em termos
mais especi�camente de quantidade de equipamentos, por exemplo, de maneira geral
(veremos mais detalhes dessa classi�cação nos próximos tópicos). Assim, os
sistemas dinâmicos, sistemas cujo comportamento varia ao longo do tempo
(basicamente, o caso de qualquer sistema na prática), são modelados de acordo com
alguns passos gerais (DORF, 2018):
1. De�nição do que é o sistema a ser modelado e qual(is) é(são) seu(s)
componente(s).
2. Formulação do modelo matemático e possíveis hipóteses associadas a
seu comportamento.
3. Escrita da(s) equação(ões) diferencial(is).
4. Resolução dessa(s) considerando a(s) variável(is) de saída desejável(is).
5. Exame da(s) solução(ões) obtida(s) junto à(s) hipótese(s) inicialmente
levantada(s).
�. Caso necessário, repetir os passos anteriores para obter uma melhor
representação.
Geralmente, consideramos como base as variáveis físicas, o que pode ter
especi�cações especiais considerando o tipo de sistema. No caso de sistemas
elétricos, por exemplo, temos corrente, carga elétrica, diferença de potencial elétrico
(tensão elétrica), resistência elétrica e questões como �uxo e campo magnético. No
caso de sistemas mecânicos, de rotação, mais especi�camente, temos torque,
momento cinético, variação da velocidade angular e do deslocamento angular. No
caso de um sistema de translação, força, quantidade de movimento, diferença da
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De�nição do que é o sistema a ser modelado e qual(is) é(são) seu(s) componente(s).
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velocidade e do deslocamento. Num sistema com �uido, será interessante considerar
parâmetros como vazão volumétrica, volume, diferença de pressão e momento dessa.
Num sistema térmico, �uxo térmico, energia térmica, �uxo de calor, diferença de
temperatura e variações na pressão.
Outras estratégias muito comuns na modelagem matemática envolvem dois tipos
principais de representação: a função de transferência e a representação no espaço
de estados. A função de transferência de um sistema, capaz de ser representada
numa equação diferencial linear invariante no tempo, por exemplo, é de�nida com
base na transformada de Laplace da entrada e da saída desse sistema, com
condições iniciais nulas (OGATA, 2010). A seguir, equação diferencial genérica, por
exemplo, com y sendo a saída e x sendo a entrada do sistema.
 (1)
Com n m, tem-se a função de transferência, G(s):
função de transferência = G(s) = L(saída)/L(entrada)       (2)
Ainda:
 (3)
Com essa representação, conseguimos representar a dinâmica do sistema de
maneira mais simpli�cada e caracterizar sua ordem de acordo com o polinômio
obtido no denominador (OGATA, 2010). Daí surge, efetivamente, a classi�cação para
um sistema de primeira, segunda ou ordem superior.
Já a representação no espaço de estados, amplamente utilizada em estratégias de
controle robusto, por exemplo, parte do princípio de o estado de um sistema dinâmico
ser o menor conjunto de variáveis (de estado), que pode ser estabelecido para
determinar o comportamento do sistema para qualquer instante além do tempo
inicial, que pode ser o instante t = 0 s. Além disso, as variáveis de estado não
precisam ser necessariamente quantidades físicas mensuráveis ou observáveis, o
que é, inclusive, uma possível vantagem de se utilizar tal representação, embora seja
y + y+. . . + + y  =a(n)0 a
(n−1)
1 an−1y
′ an
  x + x + + x   b(m)0 b
(m−1)
1 bm−1x
′ bm
≥
G (s)   =           +  +...+ s+b0s
m b1s
m−1 bm−1 bm
+ +...+ s+a0sn a1sn−1 an−1 an
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mais fácil representar partindo de variáveis passíveis de medição no sistema. O
espaço de estados, por sua vez, permite a representação das n variáveis, e a(s)
equação(ões) no espaço de estados correlaciona(m) as variáveis de entrada, de saída
e de estado (OGATA, 2010). Esses conceitos �carão mais claros a seguir. Como
exemplo, considere um sistema de r entradas e m saídas, relacionadas a n
integradores. As entradas são do tipo ; as saídas,
, com as n saídas dos integradores sendo
. Podemos descrever o sistema como:
 (4)
As saídas podem ser dadas por:
 (5)
Caso se de�na matricialmente, tem-se ainda que:
x’(t) = f(x, u, t) e y(t) = g(x, u, t)                                   (6)
A representação na forma matricial será conveniente especialmente considerando o
projeto de controladores robustos. Caso o sistema seja do tipo não linear, podemos
fazer a representação na forma linearizada.
(t) ,   (t) ,  . . . ,   (t)u1 u2 ur
(t) ,   (t) ,  . . . ,   (t)y1 y2 ym
(t) ,   (t) ,  . . . ,   (t)x1 x2 xn
x (t)   =   ( ,   ,  . . . ,   ;   ,   ,  . . . ,   ,  t)     ′1 f1 x1 x2 xn u1 u2 ur
x (t)   =   ( ,   ,  . . . ,   ;   ,   ,  . . . ,   ,  t)′2 f2 x1 x2 xn u1 u2 ur
                                           ⋮
x (t)   =   ( ,   ,  . . . ,   ;   ,   ,  . . . ,   ,  t)′n fn x1 x2 xn u1 u2 ur
(t)   =   ( ,   ,  . . . ,   ;   ,   ,  . . . ,   ,  t)   y1 g1 x1 x2 xn u1 u2 ur
(t)   =   ( ,   ,  . . . ,   ;   ,   ,  . . . ,   ,  t)y2 g2 x1 x2 xn u1 u2 ur
                                           ⋮
(t)   =   ( ,   ,  . . . ,   ;   ,   ,  . . . ,   ,  t)yn gm x1 x2 xn u1 u2 ur
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Em termos do sistema de controle mais especi�camente, temos os sistemas em
malha aberta e/ou fechada, de acordo com a disposição dos elementos de controle e
de uma possível ligação existente (ou não) da saída.
SAIBA MAIS
Quer rever como calcular a transformada de Laplace
(tanto direta quanto inversa)? Assista à videoaula a
seguir, na qual são apresentados os processos feitos,
passo a passo, com exemplos práticos, demonstrando
como podemos utilizar essa poderosa ferramenta no
contexto.
Para saber mais, acesse:
ASS I S T I R
Perturbação
Erro
Conceitos importantes e tipos de sistemas de
controle
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#PraCegoVer: o infográ�co interativo, intitulado “Conceitos importantes e tipos de
sistemas de controle”, apresenta sete botões interativos alinhados verticalmente. À
esquerda dos botões, há uma ilustração de um velocímetro com alguns grá�cos ao redor.
O primeiro botão interativo, intitulado “Perturbação”, ao ser clicado, apresenta o texto “sinal
de presença controlada, não controlada ou parcialmente controlada, capaz de afetar de
maneira adversa o sistema a ser controlado. Pode ser interno ao sistema ou externo”. O
segundo botão interativo, intitulado “Erro”, ao ser clicado, apresenta o texto “diferença
matemática entre a saída do sistema controlado e a referência”. O terceiro botão interativo,
intitulado “Controlador”, ao ser clicado, apresenta o texto “elemento que desempenha a(s)
ação(ões) tomada(s) para obtenção da saída desejável (referência do sistema)”. O quartobotão interativo, intitulado “Variável controlada”, ao ser clicado, apresenta o texto
“grandeza ou uma dada condição medida no sistema e controlada por este”. O quinto
botão interativo, intitulado “Variável manipulada”, ao ser clicado, apresenta o texto
“também conhecida como sinal de controle, é uma grandeza ou uma dada condição no
sistema, modi�cada por parte do controlador, a �m de afetar o valor da variável
controlada”. O sexto botão interativo, intitulado “Resposta transitória”, ao ser clicado,
apresenta o texto “parcela de transição, até o comportamento permanente do sistema, na
resposta dinâmica deste, que pode ocorrer até a ação completa do controlador, ou
Controlador
Variável controlada
Variável manipulada
Resposta transitória
Resposta em regime permanente
Fonte: srum / 123RF.
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carregar comportamentos variados, de curta duração, de um sistema não controlado, por
exemplo”. O sétimo botão interativo, intitulado “Resposta em regime permanente”, ao ser
clicado, apresenta o texto “parcela do comportamento do sistema ao longo do tempo,
após a ação completa do controlador, ou ainda durante o período, após possíveis
instabilidades da ligação de equipamentos, por exemplo”.
Além disso, é importante observarmos, sobre esse ponto, que existirão basicamente
duas estruturas principais de sistemas de controle: o sistema em malha aberta e o
sistema em malha fechada. Um sistema em malha aberta, a ser visto na Figura 1.5, é
incapaz de realizar compensações, por possuir a associação em série da entrada,
controlador e planta, sem interligação com a saída.
Figura 1.5 - Sistema em malha aberta
Fonte: Nise (2017, p. 36).
#PraCegoVer: na �gura, há um diagrama de blocos com entrada ou referência, seguido por
um bloco de transdutor de entrada, por um controlador e por um ponto para adição de
perturbação, por meio de uma junção de soma. Em seguida, há o processo ou planta e um
segundo ponto de junção de soma, para adição de outra perturbação, até chegar à saída
ou à variável controlada.
Já um sistema em malha fechada, visto na Figura 1.6 a seguir, é um tipo de sistema
de controle com conexão da saída junto à entrada do controlador (estrutura de
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realimentação), que permite a compensação de possível(is) perturbação(ões).
Figura 1.6 - Sistema em malha fechada
Fonte: Nise (2017, p. 36).
#PraCegoVer: na �gura, há um diagrama de blocos com a entrada ou referência, seguida
pelo transdutor de entrada, um ponto de junção de soma para seguir para o erro ou sinal
de atuação, que está conectado ao bloco controlador. Em seguida, há outra junção de
soma com a perturbação 1, o processo ou planta, outra junção de soma com a
perturbação 2 e a saída. Além disso, junto à saída e interligada com a entrada, está a
realimentação, no primeiro ponto de junção de soma, com a conexão do bloco transdutor
de saída ou sensor.
Assim, como você pode imaginar, o uso de um sistema de controle em malha fechada
pode trazer vantagens como a possibilidade de, mediante realimentação, trazer
menor sensibilidade (ou quase nenhuma) a distúrbios externos e possíveis variações
de parâmetros, internos no sistema. Todavia, sistemas de controle em malha fechada
podem ser opções mais interessantes considerando custos e possível maior
simplicidade de funcionamento, também geralmente estando menos sujeitos a
perturbações na estabilidade. Na prática, este último acontece devido a ações de
correção de erro que levam a oscilações na resposta do sistema. A decisão de uso
por um tipo de sistema ou outro deverá considerar essas questões sob a perspectiva
prática.
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Exemplos Práticos
Tomaremos como exemplo a representação pautada na modelagem matemática,
como sistemas de primeira ordem, segunda ordem e ordem superior.
Com relação à representação e à análise envolvendo a utilização do computador, é
possível notar alguns passos comuns na prática. Veja, no diagrama de blocos a
seguir, quais seriam as etapas para análise e projeto fundamentados num modelo do
sistema prático.
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Figura 1.7 - Visão geral da análise e projeto dada a modelagem de um sistema, com o
auxílio de um computador
Fonte: Dorf (2018, p. 77).
#PraCegoVer: na �gura, há um diagrama de blocos com o sistema físico, que, adicionado
de hipóteses, permite obter o modelo matemático, sujeito à análise matemática e à
simulação em computador, para a obtenção de resposta do modelo. Com isso, tem-se a
previsão, com as respostas esperadas do modelo físico. Assim, permite-se decidir, ou não,
por estratégias, como aumentar a estrutura do sistema e/ou modi�car parâmetros do
sistema.
Dentre as vantagens de utilização do computador, é possível destacar questões
como: possibilidade de observação mais completa do sistema analisado sob todas
as condições concebíveis; extrapolação de possíveis resultados com a simulação,
pelo modelo, para previsão; diminuição de custos, ao �nal, para empresa ou indústria,
por conta da minimização de gastos com testes, dentre outras. Ademais, é possível
utilizar programas e linguagens de programação, como o MATLAB e o SCILAB, opção
gratuita, que contam inclusive com toolboxes (conjuntos de ferramentas) especí�cas
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da área de controle. Entretanto existem outras opções gratuitas, como é o caso do
Python, com várias bibliotecas da área. Todas essas opções possuem
documentações on-line e vídeos no YouTube.
Retomando os exemplos de sistemas de controle, você se lembra do sistema de
controle do automóvel, citado nosubtópico sobre exemplos práticos acerca da
introdução ao controle de sistemas? Poderíamos desenvolver um sistema de controle
semelhante à representação a seguir, um sistema em malha fechada contando com
utilização de um mecanismo de direção, medição de erro e processo de medição
visual e táctil.
Figura 1.8 - Sistema de controle de direção de um automóvel
Fonte: Dorf (2018, p. 28).
#PraCegoVer: na �gura, há um diagrama de blocos com a entrada, que é o rumo de viagem
desejado, com sinal positivo em um somador, seguida pela entrada de um erro no bloco
representado pelo motorista, que está em série com outros dois: o mecanismo de direção
e o automóvel. Em seguida, aparece o rumo de viagem real na saída e a realimentação
com medição visual e táctil.
Podemos destacar o fato de muitos carros contarem com sistemas assistidos, de
direção e de freios — nesses, basicamente, é realizado algo muito semelhante à
estrutura desse sistema. Perceba que o rumo desejável é comparado com o que está
sendo seguido, na realidade, pelo carro. Isso gera uma medida de erro �sicamente
coletada com base na medição visual e táctil, e espera-se que o carro passe a seguir
o desejável ou o mais próximo possível disso.
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Considerando os avanços tecnológicos nos últimos anos, podemos destacar a forma
geral com a qual o computador é inserido num sistema de controle em malha
fechada, por exemplo. Veja, a seguir.
Figura 1.9 - Controle em malha fechada, computadorizado
Fonte: Ogata (2010, p. 30).
#PraCegoVer: na �gura, há um diagrama de blocos com entrada de referência. Em
seguida, aparece o erro, o bloco computador, a entrada u(t), o atuador, o processo e a
saída. Da saída, tem-se a realimentação com a medição, conectada à entrada e antes do
erro.
Ademais, como exemplos de sistemas de controle em malha aberta, podemos citar
equipamentos elétricos domésticos, como uma torradeira, e sistemas industriais que
se aproximem de um sistema massa-mola-amortecedor. Além disso, veja que tanto o
caso do regulador de nível quanto o do automóvel (apresentados no subtópico sobre
exemplos práticos acerca da introdução ao controle de sistemas) são exemplos de
sistemas de controle em malha fechada.
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Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Num sistema de controle em malha fechada, alguns elementos são necessários, como o
uso de um elemento para conexão da saída do sistema controlado junto ao controlador
utilizado, também conhecida como conexão de realimentação do sistema.
Nesse sentido, acerca desses tipos de sistemas, é correto afirmar que:
a) um transdutor de saída será responsável pela medição da entrada para o
entendimento do controlador acerca do que precisa ser feito para controlar o
sistema.
b) a compensação de possíveis perturbações, às quais o sistema que está
controlado pode estar sujeito, nesse caso, é feita por meio do controlador.
c) a possível diferença existente entre o que se deseja para processo ou planta e
a resposta obtida é corrigida pelo sinal de referência.
d) um sistema desse tipo realiza a compensação de perturbações pela medição
da resposta de saída fazendo a realimentação dessa medida.
e) a adição da realimentação, num sistema em malha fechada, permite maior
estabilidade na resposta e menos sensibilidade a possíveis perturbações.
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Caro(a) estudante, daremos um passo importante no desenvolvimento de sistemas
de controle, estudando as características da resposta dos sistemas dinâmicos, mais
especi�camente através da resposta transitória. A�nal, como já deve ter �cado claro,
o entendimento de como o sistema a ser controlado funciona na prática é essencial
no desenvolvimento de um sistema de controle efetivo. Começaremos com uma
visão geral, englobando os principais conceitos da análise e, após, veremos exemplos
práticos mais especí�cos. Vamos lá?
Visão Geral
Trataremos, para estudo, da resposta considerando a entrada sendo caracterizada
por um sinal aperiódico, mais especi�camente sinais como uma entrada degrau,
rampa, aceleração e impulso ao longo do tempo.
Análise da Resposta
Transitória de
Sistemas Dinâmicos
— Parte 1
Consideraremos a ordem do sistema analisado e,
dessa forma, começaremos efetivamente pelo
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Esse sistema pode ser, por exemplo, um circuito formado por um resistor e um
capacitor, cuja relação entrada e saída pode ser dada por esta função de
transferência:
A resposta a uma dada entrada é obtida inserindo-a junto à função, mais
especi�camente sua transformada de Laplace. Assim, para um degrau unitário, tem-
se:
Pela decomposição em frações parciais (manipulação matemática conveniente
nesses tipos de análises), obtemos:
O próximo passo é realizar a transformada inversa de Laplace para obter o
comportamento ao longo do tempo. Nesse caso, obtém-se:
, com 
Caso t = T, com T sendo a constante de tempo do sistema, de acordo com a
atenuação da resposta, ao longo do tempo e devido a aproximações das condições
iniciais, tem-se que . Ou seja, quando t = T, o sistema
alcançou 63,2% de sua variação total. Na verdade, ao plotar a resposta desse sistema
ao longo do tempo, é fácil perceber que se trata de um sistema com curva de
Fonte: fotomy / 123RF.
estudo de um sistema de primeira ordem, que pode
ser um sistema elétrico, mecânico, térmico, en�m,
qualquer tipo de sistema físico real, desde que seja
possível a representação, considerada a quantidade
de parâmetros a serem analisados, por exemplo.
  =  C(s)
R(s)
1
Ts+1
C (s)   =   1
s
1
Ts+1s
C (s)   =   − = −1
s
T
Ts+1
1
s
1
s+(1/T)
c (t)   =  1 − e−t/T t ≥ 0
c (t)   =  1  −   = 0, 632e−1
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comportamento exponencial; assim, a partir de t = 5T, o sistema tenderá a manter sua
resposta em 100%. Veja a próxima imagem.
Figura 1.10 - Resposta do sistema analisado ao degrau unitário
Fonte: Ogata (2010, p. 148).
#PraCegoVer: na �gura, há um grá�co do tempo e da função de resposta c(t),
, com as marcações de tempo de 0 até 5T, e, no eixo y, de 0 até 1, com 0,632.
No ponto A, com tempo T, o sistema tem resposta com amplitude de 63,2%; em 2T, de
86,5%; em 3T, de 95%; 4T, de 98,2%; em 5T, de 99,3%. Além disso, está plotada no grá�co a
reta de inclinação 1/T.
Nesse caso, percebemos que a resposta transitória perdura até um dado tempo,
in�nito, entretanto, na prática, estabelecemos, geralmente para esse tipo de caso, que,
a partir de quatro constantes de tempo T, o sistema já está funcionando em regime
permanente. Adicionalmente, a mesma análise é feita para qualquer entrada. Caso
seja uma rampa unitária, sendo a transformada de Laplace 1/s², obtém-se, ao �m da
expansão por frações parciais, que:
 1 − e−(t/T)
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Isso gera uma resposta de:
, para 
Mais ainda, cabeobservarmos que o erro (e(t)) será:
E esse tende a T (para ). Já a resposta ao impulso unitário, sendo R(s) = 1,
será:
No domínio do tempo, obtém-se que:
 para 
Além disso, é importante enfatizar que, basicamente, qualquer tipo de sistema pode
ser analisado como um sistema de primeira ordem, desde que seja possível
aproximá-lo como tal. Você já deve imaginar que em muitos casos essa aproximação
não será válida e temos outra opção de modelagem que pode ser su�ciente para a
simpli�cação: a representação por meio de um sistema de segunda ordem.
C (s)   =   − +1
s2
T
s
T 2
Ts+1
c (t)   =  t  −  T + Te−t/T t ≥ 0
e (t)   =  r (t)   −  c (t)   =  T (1 − )e−t/T
t  → ∞
C (s)   =   1
Ts+1
c (t)   =   e
−t/T
T
t ≥ 0
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A seguir, serão apresentados exemplos de sistemas de primeira ordem, incluindo
sistemas físicos reais, para que você possa se inspirar durante sua atuação
pro�ssional e consiga ter uma ideia de qual caminho seguir. Vamos lá?
Exemplos Práticos
Os sistemas de nível de líquido podem ser exemplos bastante comuns, inclusive no
dia a dia pro�ssional, de sistemas representados como modelos de primeira ordem.
Nesse sentido, considere como exemplo que: Q seja a vazão em volume durante o
regime permanente (em m³/s); qi, um pequeno desvio devido a alguma perturbação,
na vazão da entrada do sistema (em m³/s); qo, o mesmo, porém em relação à saída;
H, a altura do nível em regime permanente (em m); h, um pequeno desvio nesse
(também em m). Sendo esse sistema linear ou linearizado, a seguinte equação é
válida.
Onde, em função da resistência R, tem-se a variação da saída igual a:
REFLITA
Dado o contexto, você consegue imaginar situações
que podem levar a um sistema físico, real, a ser
representado por um sistema de segunda ordem, não
um sistema de primeira ordem? Uma possibilidade é a
quantidade de elementos, como indutores e
capacitores, no caso de um sistema como um circuito
elétrico.
Fonte: Elaborado pela autora.
Cdh  =   ( − ) dtqi qo
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Isso faz com que esta relação seja válida:
Pela transformada de Laplace, com condições iniciais nulas tem-se que:
                
Sendo qi a entrada, e h, a saída, a função de transferência do sistema será:
É possível fazer outra consideração para de�nir a relação entrada/saída, como
considerar que a variação da vazão de saída seja a entrada, por exemplo. Na prática,
uma dada função de transferência obtida não será a única opção de representação do
sistema. A ideia central é buscar sempre uma possível representação matemática
mais conveniente para manipulações matemáticas necessárias.
praticar
Vamos Praticar
Como mencionado, a representação pautada numa função de transferência não é única,
e isso pode ser facilmente visualizado na prática. Nesse sentido, considere novamente o
sistema do exemplo prático anterior, de um sistema de controle de nível. Caso
adotássemos qo como a saída e a entrada permanecesse a mesma, a variação de altura,
= h/Rqo
RC + h = Rdh
dt
qi
(RCs + 1)H(s) = RQi(s)
=H(s)
(s)Qi
R
RCs+1
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qual seria a função de transferência capaz de representar o sistema?
Até este ponto, nos pautamos na possibilidade de modelar matematicamente o
sistema físico real mediante um sistema de primeira ordem, entretanto sabemos que
isso pode não ser su�ciente. Dessa forma, neste último tópico, nosso objetivo será
modelar matematicamente os sistemas como modelo de segunda ordem, com mais
exemplos práticos ao �nal. Vamos lá?
Visão Geral
Como exemplo, considere o seguinte servossistema (formado por um controlador e
elementos para a representação da inércia e do atrito viscoso), cujo objetivo é
controlar a posição de saída (c) a partir de uma dada entrada (r).
Análise da Resposta
Transitória de
Sistemas Dinâmicos
— Parte 2
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Figura 1.11 - Servossistema
Fonte: Ogata (2010, p. 150).
#PraCegoVer: painel com três diagramas de bloco. No primeiro, tem-se o servossistema,
com a entrada r e o erro, associado ao bloco K, que está em série com o elemento J e o
elemento B, realimentados de maneira unitária. A saída é c. Em seguida, tem-se o
diagrama de blocos do sistema em si, com R(s) de entrada, o bloco K, de saída T(s), e em
série com o bloco 1/s(Js+B), realimentados unitariamente — sendo a saída igual a C(s).
Por �m, tem-se o diagrama de blocos simpli�cado, com a entrada R(s), o bloco K/s(Js+B)
e a saída C(s).
Para as condições e de�nições dadas, com T sendo o torque produzido pelo
controlador, de ganho K, tem-se o possível equacionamento:
Jc’’ + Bc’ = T
Aplicando a transformada de Laplace, tem-se:
Js²C(s) + BsC(s) = T(s)
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Isso gera a seguinte função de transferência:
Porém é mais conveniente representarmos em função da entrada, logo, tem-se que:
A resposta do sistema em malha fechada (considere o terceiro diagrama — Figura
1.9) pode ser obtida também, e o resultado será:
Escrito dessa forma, com base nas raízes do polinômio do denominador, �ca fácil
perceber algumas características importantes, que nos auxiliarão a analisar a
resposta do sistema e, inclusive, no projeto de um controlador para este, futuramente.
Essas raízes são chamadas de polos, e esses são complexos conjugados caso B² -
4JK < 0 e reais se o contrário ou igual a zero. Para analisarmos a resposta transitória,
mais especi�camente, de�niremos alguns fatores importantes: atenuação ( ),
frequência natural não amortecida ( ) e coe�ciente de amortecimento do sistema
( ). A atenuação mostrará basicamente o comportamento da resposta ao longo do
tempo, sendo matematicamente, nesse caso, de�nida por esta relação:
   (7)
A frequência natural não amortecida à frequência da oscilação vista na resposta
nesse período é de�nida por:
   (8)
O coe�ciente de amortecimento é a relação entre amortecimento devido a
características reais do sistema (dado por B) e seu valor crítico (Bc), de forma que:
   (9)
=C(s)
T(s)
1
s(Js+B)
= =C(s)
R(s)
K
J +Bs+Ks2
K/J
+(B/J)s+K/Js2
= =C(s)
R(s)
K
J +Bs+Ks2
K/J
[s+ + ][s+ − ]B
2J
−( )B
2J
2
K
J
√ B
2J
−( )B
2J
2
K
J
√
σ
ωn
ς
= 2ς = 2ςB
J
ωn
= K/Jω2n
ς  =   =B
Bc
B
2 JK√
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Um sistema de segunda ordem possui, por conta desses três fatores, esta forma
padrão:
   (10)
Como o comportamento dinâmico pode ser representado principalmente a partir do
coe�ciente e da frequência, o sistema será:
• Subamortecido, caso a resposta transitória seja oscilatória, estando dentro da
faixa de .
• Se , a resposta transitória não decai.
• Criticamente amortecido, caso .
• Superamortecido, caso .
Outro ponto de atenção: no caso de um sistema subamortecido, os polos de malha
fechada do sistema serão do tipo complexo e conjugados, localizados, gra�camente,
no semiplano esquerdo do plano s. Além disso, denominamos um novo parâmetro
para entender o comportamento oscilatório durante a resposta transitória nesses
casos: a frequência natural amortecida ( ), que é aquela com a qual o sistema
oscila nesse ponto.
Assim como �zemos para o sistema de primeira ordem, analisaremos, como exemplo
acerca desse ponto, qual seria a resposta aodegrau unitário. Para isso, mais
especi�camente, considere o seguinte sistema de segunda ordem, apresentado pelo
próximo diagrama de blocos.
=C(s)
R(s)
ωn
2
+2ς s+s2 ωn ωn2
0  < ς  <  1
ς = 0
ς = 1
ς > 1
ωd
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Figura 1.12 - Sistema de segunda ordem de exemplo
Fonte: Ogata (2010, p. 151).
#PraCegoVer: diagrama de blocos com R(s) de entrada, E(s) de erro, em entrada com o
bloco (ômega n ao quadrado, sobre s, vezes s, mais 2 vezes csi, vezes ômega n).
Além disso, a saída é C(s), e a realimentação é unitária.
Sendo o sistema subamortecido, a função de transferência se torna a seguinte, com
:
Tem-se, ainda, que a frequência das oscilações será:
    (11)
Com a entrada, mais efetivamente, a saída será:
Ou, ainda, pela transformada de Laplace:
ωn
2
s(s+2ς )ωn
0  < ς  <  1
=C(s)
R(s)
ωn
2
(s+ς +j )(s+ς −j )ωn ωd ωn ωd
  =  ωd ωn 1  −  ς2
− −−−−−√
C (s)   =   ωn
2
( +2ς s+ )ss2 ωn ωn2
C (s)   =   − =1
s
s+2ςωn
+2ς s+s2 ωn ωd2
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A resposta será, no domínio do tempo:
para 
Caso o sistema seja, por outro lado, criticamente amortecido (o que, na prática,
equivale aos dois polos serem iguais), tem-se que a saída é, considerando a
transformada de Laplace:
No domínio do tempo, obtém-se que:
, para 
Por �m, para o caso superamortecido (como no caso em que dois polos sejam reais,
negativos e diferentes), obtém-se com a transformada de Laplace:
No domínio do tempo, obtém-se:
, para 
Com e , a resposta incluirá
termos do tipo exponenciais decrescentes. Na próxima �gura, é possível ver a
resposta desse sistema escolhido como exemplo para aplicação do degrau unitário
na entrada.
− −1
s
s+ςωn
(s+2ς ) +ωn 2 ωd2
ςωn
(s+ς ) +ωn 2 ωd2
c (t)   =  1 − sen ( t + t ( ))e−ς tωn
1−ς 2√
ωd g
−1 1−ς
2√
ς
t ≥ 0
C (s)   =   ωn
2
(s+ ) sωn 2
c (t)   =  1 − (1 + t)e− tωn ωn t ≥ 0
C (s)   =   ωn
2
(s+ς + )(s+ς − )sωn ωn −1ς 2√ ωn ωn −1ς 2√
c (t)   =  1 + ( − )ωn
2 −1ς 2√
e− ts1
s1
e− ts2
s2
t ≥ 0
= (ς + )s1 ς − 12
− −−−−√ ωn = (ς − )s2 ς − 12
− −−−−√ ωn
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Figura 1.13 - Resposta ao degrau unitário do sistema analisado
Fonte: Ogata (2010, p. 154).
#PraCegoVer: grá�co de (ômega n, vezes t) e c(t), com diferentes curvas,
considerando a variação de (csi), de 0 até 2. Para 0, as oscilações são as de maiores
amplitudes; para 0,1, a amplitude diminui, e isso vai acontecendo até 0,6, quando a
resposta passa a ter um pico só, que vai diminuindo de amplitude até atingir a menor, em
2.
Quanto menor o coe�ciente de amortecimento, maior a amplitude da oscilação vista,
ao passo que quando esse, no caso apresentado, for igual a 2, por exemplo, a
oscilação já não existirá. Todavia, é importante salientar que a melhoria na resposta
transitória vai muito além de trabalhar somente com esse coe�ciente. Nesse sentido,
para as especi�cações de um sistema de controle para um sistema dessa natureza,
estabelecemos os seguintes parâmetros (OGATA, 2010):
tωn
ς
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A próxima �gura apresenta esses parâmetros plotados junto à resposta grá�ca do
sistema. É apresentada, inclusive, uma possível tolerância aceitável; sobretudo, é
importante observar que, para alguns tipos de sistemas em especí�co, isso pode ser
modi�cado.
Tempo de atraso (td): tempo gasto até o momento que a resposta
alcança metade de seu valor �nal, pela primeira vez.
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Figura 1.14 - Visualização dos parâmetros de interesse para controle de um sistema de
segunda ordem
Fonte: Ogata (2010, p. 155).
#PraCegoVer: grá�co de tempo e c(t), com a curva de um dado sistema de segunda ordem
apresentado. Nessa curva, estão marcados o tempo de atraso, de 0 até 0,5; o tempo de
subida, de 0 até 1, e o tempo de acomodação, de 0 até 0,02 de tolerância (sendo que está
de 0,05 ou 0,02). Além disso, mostra-se o sobressinal, de 1 até o pico máximo da resposta.
Por �m, veremos, adiante, em visão geral, exemplos práticos de sistemas físicos que
podem ser modelados por meio de sistemas de segunda ordem, bem como utilizados
para parâmetros de controle, esses tempos e sobressinal vistos.
Exemplos Práticos
Tomando como exemplo, inicialmente, sistemas mecânicos, como vimos, existem
certos tipos de sistemas do tipo massa-mola que podem ser modelados por meio de
um sistema de primeira ordem. Entretanto, considerando especi�camente modelos
massa-mola ainda, observa-se que quando precisamos considerar parâmetros
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simultaneamente, como as forças às quais está sujeito um sistema em
deslocamento, um sistema de segunda ordem pode ser utilizado. Quer ver como?
Imagine ser necessário modelar matematicamente um sistema formado por um
sistema massa-mola-amortecedor localizado numa plataforma que se locomove, um
carro, por exemplo. Considerando o princípio de se tratar de um sistema translacional,
podemos utilizar como base a Segunda Lei de Newton e obter o modelo matemático
com base no somatório das forças, igualado à massa do conjunto vezes a aceleração
desse. A função de transferência, ao �nal, embora ainda dependa de quem
consideramos como entrada e saída nesse sistema, será dada em função de
parâmetros como coe�ciente de atrito, elasticidade da mola e massa.
Considerando como exemplo prático um sistema elétrico, mais precisamente um
circuito, observamos que um circuito RLC, ou seja, um circuito formado por resistores
e, ao menos, um indutor e um capacitor, é um exemplo relativamente comum de
sistema real modelado como um sistema de segunda ordem. Inclusive, se necessário
considerar mais elementos conectados, pode ser conveniente analisar o sistema por
meio de impedâncias complexas, a �m de simpli�car a análise e, consequentemente,
o modelo matemático obtido ao �nal.
praticar
Vamos Praticar
Os circuitos elétricos, presentes nos mais diversos tipos de equipamentos, são exemplos
relativamente comuns de sistemas físicos reais para os quais, frequentemente,
precisaremos considerar o uso de um modelo de segunda ordem para a modelagem
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matemática. Nesse sentido, considere o circuito elétrico a seguir.
Circuito elétrico a ser analisado
Fonte: Ogata (2010, p. 64).
#PraCegoVer: circuito série com tensão de entrada ei, um indutor de indutância
L, um resistor de resistência R e um capacitor de capacitância C, sendo i a
corrente da malha, e eo, a tensão de saída, nesse capacitor.
Qual seria uma possível função de transferência a ser utilizada por um controlador
projetado para esse sistema? Para facilitar, considere que algumas informações são
conhecidas e que o sistema estava inicialmente desligado, o que permite considerar
condições iniciais como nulas.
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Ademais, é importante ressaltar, como brevemente mencionado, que, em alguns
casos, será necessário utilizar um modelo matemático de ordem superior.
Especialmente nesses casos, que representam a maior parte dos sistemas na prática,
sem simpli�cações, o uso do computador nas análises será primordial.
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Material
Complementar
WEB
Sistemas de controle (aula 4) sistemas de
primeira ordem
Canal: Eng. Luis Cesar Emanuelli
Comentário: nessa videoaula, é possível aprender mais detalhes,
incluindo alguns exemplos práticos, de como representamos
sistemas físicos como sistemas de primeira ordem, o que é uma
aproximação válida em muitos casos.
ACESSAR
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https://www.youtube.com/watch?v=2oOTkSRnaG4
https://www.youtube.com/watch?v=2oOTkSRnaG4
L IVRO
Controle de processos industriais: princípios
e aplicações
Autor: Claiton Moro Franchi
Editora: Érica; Saraiva
Capítulo: 2
Ano: 2011
ISBN: 9788536818282
Comentário: esse livro é destinado ao estudo de como são feitos
os principais tipos de sistemas destinados ao controle de
processos industriais. Sugere-se a leitura do capítulo 2, onde é
possível estudar mais detalhes acerca das principais
características dinâmicas identi�cadas em sistemas reais e
como trabalhamos com sistemas de primeira ordem.
Disponível na Biblioteca Virtual.
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Bem, vê-se que sistemas de controle, especialmente considerando avanços tecnológicos e
questões como a promoção das iniciativas da Indústria 4.0, têm se tornado cada vez mais
comuns, independentemente do porte da indústria. Portanto, é fundamental para o
exercício da pro�ssão entender como esses sistemas funcionam. Tivemos uma visão geral
do que são e como funcionam os sistemas de controle, quais são as estratégias para
representação desses, incluindo o estudo de quais são os elementos mais comuns que
fazem parte, e, por �m, iniciamos, nos dois últimos tópicos, um ponto igualmente
importante: o entendimento sobre como os sistemas em geral se comportam na prática.
Relembre, sobretudo com relação à última parte, que, em alguns casos, será possível
realizar algumas aproximações e desconsiderar variações do sistema ao longo do tempo,
por exemplo.
Referências
DORF; R. C. Sistemas de controle
moderno. 13. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2018.
FRANCHI; C. M. Controle de processos
industriais: princípios e aplicações.
São Paulo: Érica; Saraiva, 2011.
(Disponível na Biblioteca Virtual).
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Conclusão
GRINGS - transformada de Laplace - aula 1. [S. l.: s. n.], 2016. 1 vídeo (20 min). Publicado
pelo canal omatematico.com. Disponível em: https://www.youtube.com
/watch?v=s0JR9JchSqs&list=PLE6qFDd4x9w--UTAIL5Qw23Dm_ZxaRUzF. Acesso em: 18
mar. 2022.
NISE; N. S. Engenharia de sistemas de controle. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
OGATA; K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
(Disponível na Biblioteca Virtual).
SISTEMAS de controle (aula 04) sistemas de primeira ordem. [S. l.: s. n.], 2017. 1 vídeo (12
min). Publicado pelo canal Eng. Luis Cesar Emanuelli. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=2oOTkSRnaG4. Acesso em: 18 mar. 2022.
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https://www.youtube.com/watch?v=s0JR9JchSqs&list=PLE6qFDd4x9w--UTAIL5Qw23Dm_ZxaRUzF
https://www.youtube.com/watch?v=s0JR9JchSqs&list=PLE6qFDd4x9w--UTAIL5Qw23Dm_ZxaRUzF
https://www.youtube.com/watch?v=s0JR9JchSqs&list=PLE6qFDd4x9w--UTAIL5Qw23Dm_ZxaRUzF
https://www.youtube.com/watch?v=s0JR9JchSqs&list=PLE6qFDd4x9w--UTAIL5Qw23Dm_ZxaRUzF
https://www.youtube.com/watch?v=2oOTkSRnaG4
https://www.youtube.com/watch?v=2oOTkSRnaG4