Teorema_de_Castigliano_Objetivos_Calcula

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Teorema de Castigliano
�Objetivos
�Calcular os deslocamentos de uma estrutura a partir do 
Teorema de Castigliano
� Como vimos o método do Trabalho Virtual nos permite
determinar os deslocamentos de uma estrutura utilizando
uma carga virtual de valor unitário.
� O teorema de Castigliano, na permite calcular esses
deslocamentos com uma carga qualquer.
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Teorema de Castigliano
Teorema de Castigliano
� Principio do Teorema de Castigliano
� Alberto Castigliano foi um engenheiro de ferrovias italiano
� Em 1879 publicou um livro onde relacionava os deslocamentos das
estruturas à derivada parcial de primeira ordem da energia de deformação
no corpo em relação a uma força que age no ponto e na direção do
deslocamento
� De modo semelhante relacionou a inclinação da tangente de um ponto
em um corpo igual à derivada parcial de primeira ordem da energia de
deformação no corpo com relação ao um momento que age no ponto e na
direção do ângulo de inclinação
� Esse método, denominado segundo teorema de Castigliano, aplica-se 
somente a corpos que tenham temperatura constante e cujo material 
tenha comportamento linear elástico.
Teorema de Castigliano
�Matemática do Teorema de Castigliano
� Como já vimos nos capítulos anteriores podemos calcular a energia de 
deformação provocada por um momento por: �� � � ����	 
�
�
� Segundo Castigliano para uma carga � temos: ∆� ��� �
��
��	 
�
�
� Mas é mais fácil diferenciar antes da integração então: ∆� � ��
��
�� �
�	 
�
�
� E para um ângulo podemos escrever: � � � ��
��
����
�	 
�
�
Teorema de Castigliano
� Teorema de Castigliano
� Como para o trabalho virtual, 
para cada tipo de esforço há 
uma equação a ser aplicada 
conforme tabela ao lado
Deformação 
causada por
Energia de 
deformação
Trabalho virtual 
interno
Carga axial N � �
�
2�� 
�
�

 �
� ����
�� 
�
�
Cisalhamento V � -./
�
20� 
�
�

 �
-./��/���
0� 
�
�
Momento Fletor M � 2
�
2�3 
�
�

 �
2��2�� �
�3 
�
�
Momento de torção T � 5
�
206 
�
�

 �
5��5���
06 
�
�
Teorema de Castigliano
� Procedimento:
� 1º) Identificamos se a treliça, viga ou pórtico é isostático ou hiperestático.
� 2º) No ponto onde queremos calcular o deslocamento se houver uma carga concentrada, 
substituímos por uma carga de valor “P”, se não houver aplicamos uma carga de valor “P”.
� 2º) Se isostático calculamos as reações nos apoios utilizando as equações da estática. Se 
hiperestático, primeiro determinamos a reação redundante e depois as demais.
� 3º) Para vigas e pórticos calculamos o momento fletor para cada uma das vigas causados pelas forças 
e pelas reações nos apoios.
� 4º) Para treliças, calculamos a força normal atuante em cada uma das vigas
� 5º) Calculamos a derivada parcial das forças normais aplicadas às barras para as treliças
� 6º) Calculamos a derivada parcial de cada um dos momentos aplicados às vigas para vigas e pórticos
� 7º) Tanto para treliças como para vigas e pórticos calculamos a cargas normais e momentos fletores 
simplesmente substituindo P por seu valor se houver
� 8º) Para treliça utilizamos a tabela e a expressão de cálculo apresentada acima 
� 9º) Para vigas e pórticos utilizamos a tabela e expressão da deformação para esse tipo de elemento
Teorema de Castigliano
� Castigliano aplicado a treliças
� Como em treliças só temos forças normais e mais fácil utilizar o somatório do 
que a integral então a expressão fica
� Nessa expressão,
� Δ= deslocamento da articulação da treliça
� P = força externa de intensidade variável aplicada a uma articulação de treliça 
na direção de Δ 
� N = força axial interna em um elemento provocada por ambas, a força P e as 
cargas sobre a treliça
� L = comprimento de um elemento
� A = área da seção transversal de um elemento
� E = módulo de elasticidade do material
∆� Σ
� ���� 9
�� 
�
Teorema de Castigliano
� Exercícios
� Determine o deslocamento 
horizontal da articulação C da 
treliça de aço mostrada na 
figura. A área da seção 
transversal de cada elemento 
é indicada na figura. 
Considere: �:ç< � 210 0�?
1
.2
5
0
 m
m
2
Teorema de Castigliano
� Solução
� Substituímos a carga de 40 kN por
uma de valor P e calculamos a treliça
� Primeiro calculamos as reações nos
apoios
� Depois o carregamento em cada uma
das barras como mostra a figura ao
lado
Teorema de Castigliano
�Solução
�Montamos a tabela com os valores encontrados
Barra � ��
��
� �� � 40A�� 9 � ���� 9
AB 0 0 0 4,0 0
BC 0 0 0 3,0 0
AC 1,67P 1,67 66,67 5,0 556,7
CD -1,33P -1,33 53,33 4,0 283,7
Teorema de Castigliano
• Solução
– Aplicamos os valores na expressão: ∆� Σ
� ���� 9
�� 
�
ΔBC �
556,7 A�. I �10J III �
625 II� ∗ 210 A�II�
L 283,7A�. I �10
J III �
1250II� ∗ 210 A�II�
ΔBC � 4,24 L 1,08 → ΔBC � P, QR SS
Teorema de Castigliano
� Exercício
�Determine o deslocamento vertical da articulação C da treliça de 
aço mostrada na figura. A área da seção transversal de cada 
elemento é � � 400 II� e �:ç< � 200 0�?.
Teorema de Castigliano
� Solução
� Aplicamos a carga de P no ponto
onde queremos os deslocamento e
calculamos a treliça
� Primeiro calculamos as reações nos
apoios
� Depois o carregamento em cada uma
das barras como mostra a figura ao
lado
Teorema de Castigliano
�Solução
�Montamos a tabela com os valores encontrados
Barra � ��
��
� �� � 0A�� 9 � ���� 9
AB -100 0 -100 4,0 0
BC 141,4 0 141,4 2,828 0
AC -141,4-1,414P -1,414 -141,4 2,818 565,7
CD 200+P 1 200 2,0 400
Σ 965,7
Teorema de Castigliano
• Solução
– Aplicamos os valores na expressão: ∆� Σ
� ���� 9
�� 
�
ΔBC �
965,7A�. I �10J III �
400 II� ∗ 200 A�II�
ΔBC � UR, VWU XX 
Teorema de Castigliano
�Aplicação em Vigas
� Em vigas temos além da flexão o cisalhamento, mas como já foi dito em 
vigas compridas e esbeltas o cisalhamento pode ser desprezado
� A expressão de cálculo para a deformação à flexão é: Δ � � ��
��
�� �
�	 
�
�
� Para o ângulo de deformação a expressão é: � � � ��
��
����
�	 
�
�
Teorema de Castigliano
�Exercícios:
�Determine o deslocamento elo ponto B sobre a 
viga mostrada na figura. EI é constante.
Teorema de Castigliano
� Solução:
� Aplicamos a carga P no ponto onde queremos calcular a deformação e 
calculamos os momentos que ocorrem na viga utilizando o método 
das seções. Σ2 � 0; 2 L �� L Z� �2 � 0
2 � [�� [ Z �
�
2�2
�� � [x
Para � � 0� 2 � [Z ]��
Teorema de Castigliano
� Solução
� Substituindo na equação temos:
Δ � � 2�
�2
�� �
�3 
� → : Δ � �
�[Z ��2 ��[��
�3 
� → Δ � �
Z�J
2
�3 
� → Δ �
Z�^
8�3
�
_90 → Δ �
Z9^
8�3
�
�
Teorema de Castigliano
� Exercícios
� Determine a inclinação no ponto B da viga mostrada na figura. EI é 
constante.
Teorema de Castigliano
�Solução
�Aplicamos ao ponto onde queremos o ângulo um 
momento 2’, e calculamos os momentos que ocorrem na 
viga utilizando o método das seções.
Σ2 � 0; [2a [ ��a � 02a � [��a�2
�2b � 0
Para 2b � 0�2a � [��a
Σ2 � 0; [2� L 2b [ ��92 L ��� � 0
2� � 2b [ ��92 L ����2
�2b � 1
Para 2b � 0�2� � [���� L ���
Teorema de Castigliano
� Solução
� Substituindo na equação temos
� � � 2�
�2
�2b�
�3 
�
�/�
→ � � � �[��a��0��3 
�
�/�
L � �[�
9
2 L �� � �1�
�3 
�
�/�
� � � �[�
9
2 L �� � 
�3 
�
�/�
→ � � � [
�9
2 [ ��� � 
�3 
�
�/�
→ θ �
[�9�
2 [
���
2
�3 _
9/2
0
θ � [
�9�
4 [
�9�
8
�3 → θ � [
3�9�
8�3
Teorema de Castigliano
� Exercícios
� Determine o deslocamento vertical do ponto C da viga de aço 
mostrada na figura. Considere � � 200 0�? 3 � 125�10e�II^
Teorema de Castigliano
� Solução:
� Substituímos a carga pontual existente no ponto C pela 
carga P, calculamos as reações dos apoios e os momentos 
na viga. Σ2 � 0; 2a [ 9 L 0,4� �a L 23 �a ∗
�a
2 ∗
�a
3 � 0
2a � 9 L 0,4� �a [ �
3a
9
Σ2 � 0; [2� L 18 [ 3 L 0,6� �� � 0
2� � 18 L 3 L 0,6� ��
Teorema de Castigliano
• Solução
Trecho 2 
f
g
2 �� � 5A�� f�hfhg �
�a�0 i �a i 6) 9 L 0,4� �a [ �
3a
9 0,4�a 11�a [ 0,2�1
J 4,4�1� [ 0,044�1^
���0 i�� i 4) 18 L 3 L 0,6� �� 0,6�� 18 L 0,6�� 10,8�� L 3,6�2�
Teorema de Castigliano
• Solução
• Substituindo na equação temos:
Δ � � 2�
�2
�� �
�3 
� → : ∆Bj� �
4,4�1� [ 0,044�1^ 
�3 
� L
e
�
� 10,8�� L 3,6�2� �3 
�
^
∆Bj�
4,4�aJ3
�3
6
0 [
0,044�ak5
�3
6
0 L
10,8���2
�3
4
0 L
3,6��J3
�3
4
0
∆Bj� 316,18 [ 68,429 L 86,4 L 76,8�3 → ∆Bj�
410,951
200 ∗ 10e A�I� ∗ 125 ∗ 10leI^∆Bj� 0,164 I → ∆mn� Uo, p SS
Bibliografia
• HIBBELER, R.C. – Resistência dos Materiais
7 ed. –São Paulo - Pearson Education do 
Brasil – 2010 – 670 pg.