Conceitos Basicos Metodos Quantitativos (1)

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Conceitos Básicos – Métodos Quantitativos.
Conceitos Iniciais
Trabalhando com Indicadores
Trabalhando com percentual (%)
Trabalhando com Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais.
O QUE SÃO INDICADORES?
Os indicadores são instrumentos de medição que fornecem informações sobre o resultado da execução de uma estratégia, comunicando o alcance das metas e sinalizando a necessidade de ações corretivas sendo, portanto, um teste permanente da validade de uma estratégia.
Exemplos:
IDEB = Índice de Desenvolvimento da Educação Básica
Inflação = Indicador Econômico
IDH = Indicador de Desenvolvimento Humano
Um indicador pode ser um número puro (sem uma grandeza), pode ser um percentual, pode ser uma grandeza.
Trabalhando com percentual (%)
Vocês sabem como trabalhar com percentual?
O que é um percentual?
Imagine uma pizza gigante
Agora imagine que essa pizza foi cortada em 100 pedaços exatamente iguais.
Cada pedacinho dessa pizza corresponderia a 1 por cento da pizza.
Por quê?
Porque pegamos a pizza inteira e dividimos ela por 100 (1 por 100 ou 1/100 na forma fracionária ou ainda 0,01 na forma decimal).
Assim quando falamos em porcentagem, estamos falando de um valor FRACIONADO por 100 de um inteiro qualquer.
15% do meu salário eu gasto com alimentação  Isso quer dizer que eu peguei meu salário, dividi por 100 e dessas 100 partes aloquei 15 para gastar com alimentação.
15% do Salário = Salário x (15 /100) ou Salário x 0,15
O dono de uma loja compra um produto e quer revender com 35% de lucro. Sendo o Preço do Produto (PP) e o Preço de Venda (PV) teríamos:
PV = PP + Lucro  PV = PP + PP x (35/100)  PV =PP x 1,35
Denise fez um regime e conseguiu reduzir 12% do seu peso.
Peso Atual = Peso Anterior – Peso Anterior x (12/100) 
Peso Atual = Peso Anterior x (1-12/100)  Peso Anterior x 0,88
Jorge investiu R$ 25.000,00 em um fundo de ações e depois de 12 meses teve uma rentabilidade de 28,85%. Tirando o IR de 15% de quanto foi o rendimento Líquido de Jorge?
Valor Investido: 25.000,00
Rentabilidade: 28,85%
IR: 15%
Rendimento Líquido em R$:?
Valor Final = Valor Investido + Rentabilidade Bruta
Valor Final = Valor Investido + Valor Investido x Rentabilidade em %
Valor Final = 25.000,00 + 25.000,00 x (28,85/100) ou
Valor Final = 25.000,00 + 25.000,00 x (28,85/100) ou
Valor Final = 25.000,00 + 25.000,00 x 0,2885/100 ou
Valor Final = 25.000,00 x 1,2885/100
Valor Final = 32.212,50
Imposto incide sobre a Rentabilidade
Rentabilidade = Valor Final – Valor Investido  
Rentabilidade = 32.212,50 – 25.000,00 = 7.212,50 
Imposto: 7.212,50 - 7.212,50 x (15/100) ou 7.212,50 - 7.212,50 x 0,85 ou 7.212,50 x 0,15
Imposto: 1.081,87
Rendimento Líquido (RL)
RL = Rentabilidade – Imposto  RL = 7.212,50 – 1.081,87  RL = 6.130.63
Atividades
Começando com os simples:
1) 25 representa quantos por cento de 200?
2) 30 representa 15% de qual número?
3) Convertendo a fração      em uma fração centesimal, qual o resultado em porcentagem? 
4) Observe a figura abaixo e responda: a fração do desenho que não está pintada corresponde a que porcentagem?
Questões nível médio
Em um concurso, 520 candidatos se inscreveram. No dia da prova apenas 364 candidatos compareceram. Neste caso, qual foi a porcentagem dos candidatos que faltaram a prova?
Em uma indústria, o setor de qualidade constatou que um lote com 4500 peças, 180 apresentavam algum defeito. Para um lote ser aprovado é necessário que o número de peças com defeito seja inferior a 3%. Neste caso, o lote foi aprovado ou reprovado?
Em uma empresa, para cada 280 contatos de vendas, 78 se transformam em vendas. Qual a taxa de conversão entre contatos e vendas? 
Os dados do World in Data demonstram que o total de mortes no Brasil por Covid 19 até 26/02/2023 foi de 698.928 casos, dado que a população do Brasil atualmente é aproximadamente de 207.750.291 habitantes, qual o rate (percentual) de mortes por Covid no Brasil?
Segundo um estudo publicado, a vacina Pfizer Covid foi apenas 12% eficaz contra a variante omicron em crianças de 5 a 11 anos. Se a população nessa faixa etária corresponde a 29% da população brasileira (veja o dado no exercício anterior), quantas crianças estariam efetivamente protegidas da variante omicrom?
https://www.cnbc.com/2022/02/28/pfizer-covid-vaccine-was-just-12percent-effective-against-omicron-in-kids-5-to-11-study-finds.html
Um lojista comprou um lote de um produto por um determinado valor. Ele desejava um lucro de 50% na venda desse produto. Depois de 6 meses encalhado, ele resolveu dar um desconto de 50% no preço da etiqueta do produto. Esse lojista teve lucro ou prejuízo? De quanto (em %) foi o prejuízo?
Trabalhando com Grandezas
Consideramos grandeza algo que pode ser medido. Não confunda a grandeza com o objeto em si, mas sim com a sua medida. Largura, peso, distância, velocidade, entre outros, dinheiro, são todas considerados grandezas.
Nos podemos relacionar grandezas umas com outras (desde que faça sentido) e quando isso ocorre é importante saber como essas grandezas se relacionam.
Quer dizer, verificar se quando aumentamos uma grandeza, a outra também aumenta ou diminui.
Trabalhando com Grandezas
Se aumentamos uma grandeza e a outra também aumenta dizemos que essas grandezas são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS.
Se aumentamos uma grandeza e a outra em vez de aumentar, DIMINUI, dizemos que essas grandezas são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.
Trabalhando com Grandezas
Exemplo de Grandeza Diretamente Proporcional
VALOR de um produto em relação aos seu PESO:
PESO PREÇO DO PRODUTO 
Exemplo de Grandeza Inversamente Proporcional
VELOCIDADE de um automóvel em relação ao TEMPO de viagem
VELOCIDADE TEMPO de viagem
Trabalhando com Grandezas
Em uma atividade ou problema que envolva grandezas a primeira coisa que fazemos é verificar como essas grandezas se relacionam entre si. 
Podemos ter problemas que envolvam duas grandezas (problemas simples) assim como podemos ter problemas que relacionam três ou mais grandezas (problemas complexos).
Problemas Simples, resolvemos com regra de três simples.
Problemas Complexos, resolvemos com regra de três composta.
Regra de Três Simples
A regra de três simples é uma proporção entre duas grandezas, por exemplo: velocidade e tempo, venda e lucro, mão de obra e produção…
Para resolver uma regra de três simples, escrevemos a proporção entre as razões das grandezas, com uma letra para representar o valor desconhecido, desta forma:
Regra de Três Simples
O segredo na resolução de problemas de Regra de Três é fazer com que a relação (proporcionalidade) tenha o mesmo sentido. 
Veja os exemplos:
Para fazer o bolo de aniversário utilizamos 300 gramas de chocolate. No entanto, faremos 5 bolos. Qual a quantidade de chocolate que necessitaremos?
Para a resolução vamos primeiramente montar um sistema com as informações e depois determinar a relação “Quantidade de Chocolate x Quantidade de Bolos” é diretamente ou inversamente proporcional.
Regra de Três Simples
Montamos o seguinte sistema:
Bolo Chocolate
1 Bolo 300g
5 Bolos x g
Agora você deve perguntar: Se eu preciso de 300g de chocolate para fazer um bolo, para fazer 5 bolos vou precisar de mais ou menos chocolate?
Se a resposta for “mais chocolate” isso indica que:
 
Se Bolo  Chocolate 
Assim, a relação entre Quantidade de Bolo x Quantidade de Chocolate é Diretamente Proporcional, nosso sistema teria a seguinte característica:
Bolo Chocolate
1 Bolo 300g
5 Bolos x g
Como são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, basta então multiplicar em X
Bolo Chocolate
1 Bolo 300g
5 Bolos x g
Assim teríamos:
1x = 5 x 300  x = 1500 g
Mas e se for INVERSAMENTE PROPORCIONAL?
Vejamos agora o seguinte problema:
Para chegar em São Paulo, Lisa demora 3 horas numa velocidade de 80 km/h. Assim, quanto tempo seria necessário para realizar o mesmo percurso numa velocidade de 120 km/h?
Para a resolução vamos primeiramente montar um sistema com as informações edepois determinar a relação “Tempo x Velocidade” é diretamente ou inversamente proporcional.
Velocidade Tempo
80 km/h 3 h 
120 km/h X h
Agora você deve perguntar: Se a VELOCIDADE de 80 km/h Lisa demora 3h para chegar a SP se ela viajar a 120 km/h ela vai gasta mais ou menos TEMPO para chegar a SP?
A resposta é que ela irá gastar MENOS Tempo, ou seja, AUMENTA a Velocidade, DIMINUI o Tempo, logo essas grandezas (TEMPO e VELOCIDADE) são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.
Nosso sistema ficaria assim:
Velocidade Tempo
80 km/h 3 h 
120 km/h X h
NESTE CASO, antes de resolver o problema, devemos reorganizar a setas de forma que ambas fiquem para CIMA, e fazemos isso invertendo as variáveis do TEMPO.
Regra de Três Simples
Velocidade Tempo
120 km/h 3 h 
80 km/h x h
Veja que o X que estava em BAIXO, agora está em CIMA.
Agora podemos resolver, multiplicando em X
Velocidade Tempo
120 km/h 3 h 
80 km/h x h
Teríamos: 120 x = 30 x 3  120x = 240  x = 240/120  x = 2h
Vamos Praticar
Para alimentar o seu cão, uma pessoa gasta 10 kg de ração a cada 15 dias. Qual a quantidade total de ração consumida por semana, considerando que por dia é sempre colocada a mesma quantidade de ração?
Uma torneira enche um tanque em 6 h. Quanto tempo o mesmo tanque levará para encher, se forem utilizadas 4 torneiras com a mesma vazão da torneira anterior?
Na pandemia de covid-19, uma confecção se dedicou à fabricação de máscaras de tecido.  Quando a confecção tinha 8 funcionários, o total de máscaras produzidas diariamente era de 184 máscaras. Com o objetivo de atingir uma produção de 500 máscaras diárias, quantos funcionários no mínimo devem ser contratados a mais?
Para realizar uma reforma em larga escala em um condomínio fechado, contratou-se uma empreiteira que planejou essa reforma de acordo com a quantidade de funcionários disponíveis na empresa. Na primeira proposta, seriam necessários 15 funcionários para realizar a reforma em 10 dias, porém, durante a reunião de condomínio, decidiram que o prazo deveria ser de no máximo 6 dias para a conclusão da obra. Buscando atender à solicitação do condomínio, qual deve ser a quantidade de funcionários a mais que devem ser contratados?
Durante o ano de 2020, devido à pandemia de COVID-19, o mundo viu-se dependente da criação de uma vacina para imunizar a população. No Brasil não foi diferente, e a corrida por uma vacina eficaz só terminou no ano de 2021. A primeira delas foi a Coronavac, produzida pelo Instituto Butantan, que anunciou que a vacina possui 78% de eficácia em casos leves. Isso significa que, se 100 pessoas forem vacinadas, 78 pessoas não terão sintoma algum e 22 pessoas terão sintomas leves. A partir desse anúncio, iniciou-se a campanha de imunização. Supondo-se que a cidade de Abadia de Goiás (próxima da capital Goiânia) tenha conseguido vacinar toda a sua população, que é de 8.950 habitantes, e considerando-se que toda ela tenha contato com o vírus e que essa proporção seja mantida, Qual a quantidade de pessoas que terão sintomas leves nessa população?
A água é um dos recursos mais importantes para a manutenção da vida. Infelizmente, ela nem sempre é bem cuidada, o que tem gerado grandes contaminações de água potável em nossa sociedade. Um dos meios de contaminação é o descarte incorreto de óleo de cozinha, em que 1 litro de óleo contamina 25 mil litros de água que poderia ser potável. Preocupado com essa situação, o síndico de um condomínio resolveu colocar na área comum um tanque para descarte correto desse  óleo. Ao final do mês, ele coletou um total de 135,6 litros. Caso esse volume de óleo fosse jogado fora de maneira incorreta, o volume de água contaminada seria de:
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Para resolver problemas envolvendo regra de três composta, precisamos seguir alguns passos. Esses passos SEMPRE serão os mesmos, não importando a quantidade de GRANDEZAS envolvidas na problema. Esses passos são:
1º passo: identificação das grandezas e construção do sistema.
2º passo: analisar as proporção existentes entre a grandeza que contém a incógnita e as demais.
3º passo: caso exista alguma grandeza inversamente proporcional à grandeza que contém a incógnita devemos inverter a razão (sentido da seta); caso não exista, ir direto para o passo quatro.
4º passo: montar a equação, deixando a grandeza que possui incógnita no primeiro membro da igualdade e calcular o produto entre as demais, que ficarão no segundo membro.
Vamos ver um exemplo:
Regra de Três Composta
"Uma construtora foi contratada para realizar a reforma de todas as escolas do município de Cocalzinho, em Goiás. As escolas são construídas com formato e tamanho padrão nessa cidade, logo o muro externo possui a mesma medida. Sabendo que 4 pintores levariam 8 dias para pintar 6 escolas, quanto tempo 8 pintores levariam para pintar 18 escolas?
1º a incógnita é o nº de dias, e as outras grandezas são nº de pintores e nº de escolas.
Assim o sistema ficaria:
Dias Pintores Escolas
 8 4 6
 X 8 18 
Colocamos a seta para cima onde tem a incógnita
Dias Pintores Escolas
 8 4 6
 X 8 18 
E ai verificamos como as demais grandezas se relacionam com a grandeza DIAS de forma INDIVIDUAL.
Dias/Pintores – se 4 pintores demoram 8 dias para fazer uma obra, 8 pintores vão gastar mais ou menos dias para fazer a mesma obra?
Resposta: Menos dias
Dias/Escolas – Para fazer uma obra em 6 escolas foram gastos 8 dias, para fazer a mesma obra em 18 escolas, vão ser gastos mais ou menos dias?
Resposta: Mais dias
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Note que a relação Dias/Pintores é INVERSAMENTE PROPORCIONAL, se aumenta o nº de pintores, diminui o nº de dias.
Já a relação Dias/Escolas é DIRETAMENTE PROPORCIONAL se aumenta o nº de escolas, também aumenta o nº de dias.
Assim o sistema com as setas ficaria:
Dias Pintores Escolas
 8 4 6
 X 8 18 
Agora devemos reorganizar o sistema de forma que as SETAS fiquem todas para CIMA.
Dias Pintores Escolas
 8 8 6
 X 4 18 
Agora passamos para a resolução
 8 8 6
 X 4 18 
 8 48
 X 72
48X = 72 x 8  48X = 576  X = 576/48  X = 12 dias
=
x
x
EXEMPLO 2
Em uma fábrica de peças para caminhão, para produzir uma determinada peça, sabemos que 3 máquinas, trabalhando durante 5 dias, ligadas durante 4 horas, conseguem produzir 4.000 peças, que é a demanda mensal da fábrica. Durante o processo, uma das máquinas estragou, o que fez com que a fábrica decidisse por aumentar a quantidade de dias de produção para 6 dias, e o tempo de trabalho das máquinas para 8 horas. Qual será a quantidade de peças produzidas nessa situação?
1º a incógnita é o nº de peças, e as outras grandezas são nº de máquinas e nº de dias e nº de horas ou seja, temos 4 GRANDEZAS.
Peças Maquinas Dias Horas
 4000 3 5 4
 X 2 6 8
Peças Maquinas Dias Horas
 4000 3 5 4
 X 2 6 8
Com 3 máquinas em um período eu produzo 4000 peças, com 2 máquinas no mesmo período eu produzo mais ou menos peças?
Resposta: Menos (Diminui as máquinas, diminui a produção)
Em 5 dias eu produzo 4000 peças, em 6 dias nas mesmas condições eu produzo mais ou menos peças?
Resposta: Mais (Aumenta os dias, aumenta a produção)
Trabalhando 4 horas por um período eu produzo 4000 peças, trabalhando 8 horas no mesmoperíodo, eu produzo mais ou menos peças?
Resposta: Mais (Aumenta as horas, aumenta a produção)
Logo, TODAS AS GRANDEZAS SÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Peças Maquinas Dias Horas
 4000 3 5 4
 X 2 6 8
Como todas as setas tem o mesmo sentido, basta resolver o sistema
4000 3 5 4
 X 2 6 8
4000 60
 X 96
=
x
x
x
x
=
4000 60 
 X 96
60X = 4000 x 96
x = 38400 / 60
x = 6400 peças
=
Exercícios
(Enem 2013) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m³. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente. Qual a quantidade de ralos do novo reservatório?
(Enem 2015 – segunda aplicação) Uma confecção possuía 36 funcionários, alcançando uma produtividade de 5 400 camisetas por dia, com uma jornada de trabalho diária dos funcionários de 6 horas. Entretanto, com o lançamento da nova coleção e de uma nova campanha de marketing, o número de encomendas cresceu de forma acentuada, aumentando a demanda diária para 21 600 camisetas. Buscando atender essa nova demanda, a empresa aumentou o quadro de funcionários para 96. Ainda assim, a carga horária de trabalho necessita ser ajustada. Qual deve ser a nova jornada de trabalho diária dos funcionários para que a empresa consiga atender a demanda?
Para realizar o acabamento de um condomínio fechado, 2 pedreiros foram contratados. Sabendo que eles conseguiram fazer o reboco de 48 m² por dia, trabalhando 6 horas diárias, qual seria a produtividade se fossem contratados mais 4 pedreiros para trabalhar 4 horas por dia?
A quantidade de ração utilizada para alimentar 10 cachorros em um canil, durante 15 dias, é de 60 kg. Caso cheguem mais 8 cachorros no canil, quantos dias 80% dessa ração duraria aproximadamente?
(Enem 2009) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e, nos primeiros 10 dias, trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, Qual será a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado?
Trabalhando 6 horas por dia, um grupo de 8 enfermeiras conseguem atender com qualidade um grupo de 30 pacientes internados. Dado uma situação de calamidade publica, a Prefeitura autorizou as enfermeiras trabalharem 8 horas e vai contratar mais algumas enfermeiras, Quantas enfermeiras deverão ser contratadas visto que a demanda de pacientes aumentou para 90 pacientes internados?