Concreto armado III

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Sobre o autor 
Nome do professor 
 
Arthur Almeida Tavares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O autor do caderno de estudos é o Engenheiro Civil Arthur Almeida Tavares, 
natural de Itaperuna/RJ, Bacharel em Engenharia Civil pela UniRedentor (2015), 
Especialista em Docência do Ensino Superior pela FAVENI (2018), Especialização 
em andamento em Estruturas de Concreto e Fundações (UNIP). Atua como 
Engenheiro Civil projetista, especificamente em projetos de estruturas de concreto 
armado em um escritório especializado em projetos e responsável técnico de obras 
privadas, é professor de curso de aperfeiçoamento em softwares de cálculo 
estrutural e softwares em estrutura BIM, atua como orientador externo da 
UniRedentor em Trabalhos de Conclusão de Curso (TCC), na área de cálculo 
estrutural. 
 
 
 
 
 
 
Apresentação 
 
 
 
 
 
Olá querido aluno (a), seja muito bem-vindo (a)! 
 
Continuando os estudos do concreto armado. Tendo em vista que já foi 
estudado o concreto armado I e II, onde nós vimos as generalidades desse material, 
vimos o comportamento do mesmo nas estruturas, dimensionamos elementos a 
flexão simples, cisalhamento de vigas, Torção, Escadas, Rampas, Aderência e 
Ancoragem dos elementos de concreto, os Estados Limites de Serviço, 
Reservatórios e começamos os estudos dos pilares. Continuaremos a aprofundar 
nossos conhecimentos sobre esse incrível material que é o Concreto Armado! 
Neste caderno especificamente, iremos dar continuidade aos estudos dos 
pilares, agora fazendo o dimensionamento propriamente dito, incluindo os 4 métodos 
de dimensionamento e suas peculiaridades, vamos ver ainda sobre a estabilidade do 
edifício, o dimensionamento de pilares e vigas paredes, o efeito da fadiga, e o 
dimensionamento das lajes planas (cogumelos) e das lajes nervuradas. 
Este caderno foi desenvolvido em concordância com todas as normas 
vigentes e atualizadas dos órgãos competentes, e as melhores bibliografias 
disponíveis. 
 
. 
. 
. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
Objetivos 
 
 
 
 
A disciplina de Concreto Armado III, tem por finalidade a continuação dos 
estudos de um dos materiais mais difundidos nos canteiros de obras de todo o 
mundo, o estudo dos pilares, os pilares e as vigas paredes, os conceitos de 
estabilidade global, lajes nervuradas, lajes lisas (cogumelo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este caderno de estudos tem como objetivos: 
 
➢ Considerações sobre a estabilidade global dos pilares 
(Edificações); 
➢ Dimensionamento dos pilares; 
➢ Dimensionamento de pilares e vigas parede; 
➢ Dimensionamento de lajes nervuradas; 
➢ Dimensionamento de lajes cogumelo. 
 
 
 
Sumário 
 
 
AULA 01 - PILARES - PARTE I 
1 PILARES – PARTE I ......................................................................................... 13 
1.1 Introdução ................................................................................................... 13 
1.2 Métodos de cálculo ................................................................................... 13 
1.2.1 Método geral .............................................................................................. 13 
1.2.2 Pilar padrão ................................................................................................. 15 
1.2.3 Método da curvatura aproximada .......................................................... 17 
1.2.4 Método da rigidez K aproximada ............................................................. 17 
1.3 Cálculo simplificado .................................................................................. 18 
1.3.1 Flexão composta normal ........................................................................... 18 
1.3.2 Flexão composta oblíqua .......................................................................... 20 
 
AULA 02 - PILARES - PARTE II 
2 PILARES – PARTE II ........................................................................................ 41 
2.1 Introdução ................................................................................................... 41 
2.2 Disposições construtivas ............................................................................ 41 
2.2.1 Cobrimento das armaduras ...................................................................... 41 
2.2.2 Armaduras longitudinais ............................................................................ 42 
2.2.3 Limites da taxa de armadura longitudinal ............................................... 42 
2.2.4 Número mínimo de barras ......................................................................... 43 
2.2.5 Espaçamento das barras longitudinais .................................................... 43 
2.2.6 Armaduras transversais .............................................................................. 44 
2.2.7 Espaçamento máximo dos estribos .......................................................... 46 
2.2.8 Estribos suplementares ............................................................................... 46 
 
AULA 03 - CONSIDERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES - PARTE I 
3 CONSIERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES – PARTE 1 ................... 54 
3.1 Introdução ................................................................................................... 54 
3.2 Estruturas indeslocáveis ou de nós fixos ................................................... 55 
3.3 Processos simplificados para a consideração dos efeitos de segunda 
ordem .......................................................................................................... 62 
3.4 Consideração da fluência do concreto ................................................... 68
 
 
 
AULA 04 - CONSIDERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES - PARTE II 
4 CONSIERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES – PARTE 2 ................... 79 
4.1 Introdução ................................................................................................... 79 
4.2 Efeito de segunda ordem nos pilares-parede ......................................... 79 
4.3 Flambagem local das lâminas dos pilares-parede ................................ 80 
4.4 Dimensionamento de pilares-parede incluindo os efeitos da 
flambagem local ........................................................................................ 92 
4.5 Imperfeições geométricas localizadas em pilares-parede ................... 97 
 
AULA 05 - CÁLCULO DOS PILARES CONTRAVENTADOS - PARTE I 
5 CÁLCULO DOS PILARES CONTRAVENTADOS – PARTE I ............................ 110 
5.1 Introdução ................................................................................................. 110 
5.2 Situações de projeto dos pilares ............................................................. 110 
5.3 Situações de cálculo dos pilares ............................................................ 113 
5.3.1 Pilares intermediários ................................................................................ 113 
5.3.2 Pilares de extremidade ............................................................................ 116 
5.3.3 Pilares de canto ........................................................................................ 119 
 
AULA 06 - CÁLCULO DOS PILARES CONTRAVENTADOS - PARTE II 
6 CÁLCULO DOS PILARES CONTRAVENTADOS – PARTE II ........................... 132 
6.1 Introdução ................................................................................................. 132 
6.2 Exemplos de dimensionamentos ............................................................ 132 
6.3 Simplificações para os pilares contraventados dos edifícios .............. 132 
 
AULA 07 - ANÁLISE DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO 
7 ANÁLISE DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO ............................. 161 
7.1 Introdução ................................................................................................. 1617.2 Processo simplificado para repartição das forças horizontais ............. 162 
7.2.1 Sistemas isostáticos ................................................................................... 164 
7.2.2 Sistemas hiperestáticos ............................................................................ 165 
7.3 Imperfeição geométricas globais dos edifícios .................................... 169 
 
 
 
 
 
AULA 08 - REVISÃO AV2 
8 EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA AV1 ........................................................ 182 
 
AULA 09 - VIGAS-PAREDE E CONSOLOS 
9 VIGAS-PAREDE E CONSOLOS ................................................................... 189 
9.1 Introdução ................................................................................................. 189 
9.2 Tensões em vigas-parede ....................................................................... 190 
9.3 Critérios de dimensionamento das vigas-parede de concreto armado .. 
.................................................................................................................... 192 
9.3.1 Cálculo da armadura do banzo tracionado ........................................ 193 
9.3.2 Armadura de suspensão .......................................................................... 195 
9.3.3 Verificação das tensões de compressão nos apoios ........................... 196 
9.4 Consolos curtos ......................................................................................... 200 
 
AULA 10 - LAJES NERVURADAS 
10 LAJES NERVURADAS .................................................................................. 222 
10.1 Introdução ................................................................................................. 222 
10.2 Prescrições da NBR6118: 2014 ................................................................. 224 
10.3 Cálculo dos esforços em lajes nervuradas ............................................ 225 
 
AULA 11 - LAJES COGUMELO 
11 LAJES COGUMELO ..................................................................................... 246 
11.1 Introdução ................................................................................................. 246 
11.2 Cálculo dos esforços pelo método dos pórticos virtuais ...................... 248 
11.3 Lajes lisas com vigas de borda ............................................................... 256 
 
AULA 12 - PUNÇÃO 
12 PUNÇÃO .................................................................................................... 274 
12.1 Introdução ................................................................................................. 274 
12.2 Procedimento de cálculo ........................................................................ 274 
12.3 Armadura de flexão superior .................................................................. 284 
 
AULA 13 - FUNDAÇÕES - PARTE I 
13 FUNDAÇÕES – PARTE I ............................................................................... 295 
13.1 Introdução ................................................................................................. 295 
 
 
13.2 Tipos de estruturas de fundação ............................................................. 296 
13.3 Distribuição das pressões de contato ..................................................... 300 
13.4 Sapatas rígidas sob paredes ................................................................... 305 
 
AULA 14 - FUNDAÇÕES - PARTE II 
14 FUNDAÇÕES – PARTE II .............................................................................. 325 
14.1 Sapatas rígidas isoladas .......................................................................... 325 
14.2 Sapatas contínuas sob pilares ................................................................. 330 
14.3 Vigas de equilíbrio .................................................................................... 333 
 
AULA 15 - FUNDAÇÕES - PARTE III 
15 FUNDAÇÕES – PARTE III ............................................................................. 347 
15.1 Blocos rígidos sob estacas ....................................................................... 347 
15.2 Blocos de concreto massa ...................................................................... 362 
15.3 Sapatas e blocos flexíveis........................................................................ 367 
15.4 Vigas e placas sobre base elástica ........................................................ 371 
 
AULA 16 - REVISÃO AV2 
16 EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA AV2 ........................................................ 379 
 
 
 
 
 
Iconografia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pilares – Parte I 
Aula 1 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula daremos continuidade aos estudos dos pilares, tendo em vista que 
uma pequena parcela de pilares já foi estudada no concreto armado II, iremos partir 
da aula de número 14 do concreto armado II. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Entender os diferentes tipos de modelos de cálculos de pilares e 
saber a correta utilização de cada um deles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 13 
 
 
Olá Aluno! Vamos estudar um pouco mais sobre os pilares? 
Nesta daremos continuidade aos estudos que foram iniciados no 
concreto armado II. 
Vamos lá? 
1 PILARES – PARTE I 
1.1 Introdução 
Na aula de número 14 do concreto armado II, demos início aos estudos dos 
pilares, lá foi visto toda a parte de cargas nos pilares, as características geométricas 
nos pilares, as dimensões mínimas, o comprimento equivalente, Raio de giração, 
índice de esbeltez, as classificações dos pilares quando sua posição na edificação, 
classificação quanto a esbeltez, a excentricidade inicial dos pilares, a excentricidade 
acidental (locais e globais), excentricidade de forma, excentricidade suplementar, 
esbeltez limite e a excentricidade de segunda ordem. A partir de agora 
continuaremos os estudos, mais focados nos dimensionamentos. 
1.2 Métodos de cálculo 
Apresentam-se conceitos do método geral de dimensionamento, do pilar 
padrão e dos métodos simplificados, indicados pela NBR 6118 (2014). 
1.2.1 Método geral 
O método geral consiste em estudar o comportamento da barra à medida que 
se dá o aumento do carregamento ou de sua excentricidade. É aplicável a qualquer 
tipo de pilar, inclusive nos casos em que as dimensões da peça, a armadura ou a 
força aplicada são variáveis ao longo do seu comprimento. A utilização desse 
método se justifica pela qualidade dos seus resultados, que retratam com maior 
precisão o comportamento real da estrutura, pois considera a não-linearidade 
geométrica, de maneira bastante precisa. Considere-se o pilar da Figura 1 
engastado na base e livre no topo, sujeito à força excêntrica de compressão Nd. 
 
 
P á g i n a | 14 
 
 
Figura 1: Pilar sujeito à compressão excêntrica. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
Sob a ação do carregamento, o pilar apresenta uma deformação que, por sua 
vez, gera nas seções um momento incremental Nd. y, provocando novas 
deformações e novos momentos (Figura 2). Se as ações externas (Nd e Md) forem 
menores que a capacidade resistente da barra, essa interação continua até que seja 
atingido um estado de equilíbrio para todas as seções da barra. Tem-se, portanto, 
uma forma fletida estável (Figura 2.a). Caso contrário, se as ações externas forem 
maiores que a capacidade resistente da barra, o pilar perde estabilidade (Figura 2.b). 
A verificação que se deve fazer é quanto à existência da forma fletida estável. 
Figura 2: Configurações fletidas. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
P á g i n a | 15 
 
 
A estabilidade será atingida quando o pilar parar numa forma deformada 
estável, como mostra a Figura 3, de flecha a, com equilíbrio alcançado entre 
esforços internos e externos, respeitada a compatibilidade entre curvaturas,deformações e posições da linha neutra, assim como as equações constitutivas dos 
materiais e sem haver, na seção crítica, deformação convencional de ruptura do 
concreto ou deformação plástica excessiva do aço. 
Figura 3: Deformada estável. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
1.2.2 Pilar padrão 
Como o método geral é extremamente trabalhoso, tendo em vista o número 
muito grande de operações matemáticas, torna-se inviável a utilização desse método 
sem o auxílio do computador. 
A NBR 6118 (2014) permite a utilização de alguns métodos simplificados, 
como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado, cujas aproximações são 
relativas às não-linearidades física e geométrica. Por definição, pilar padrão é um 
pilar em balanço com uma distribuição de curvaturas que provoque na sua 
extremidade livre uma flecha a dada por: 
 
P á g i n a | 16 
 
 
𝑎 = 0,4. (
𝑙²
𝑟
)
𝑏𝑎𝑠𝑒
= 
𝑙²𝑒
10
 . (
1
𝑟
)
𝑏𝑎𝑠𝑒
 
 
A elástica do pilar, indicada na Figura 4, é admitida senoidal, dada pela 
equação abaixo: 
Figura 4: Elástica do pilar padrão 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
𝑦 = −𝑎. 𝑠𝑒𝑛. (
𝜋
𝑙
 . 𝑥) 
Nessas condições, tem-se: 
 
𝑦′ = −𝑎.
𝜋
𝑙
 . 𝑐𝑜𝑠. (
𝜋
𝑙
 . 𝑥) 𝑦" = 𝑎. (
𝜋
𝑙
)
2
. 𝑠𝑒𝑛. (
𝜋
𝑙
. 𝑥) 
 
Como: 
1
𝑟
 ≅ 
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
 
 
Para a seção média, tem-se: (
1
𝑟
)
𝑥=𝑙/2
= (𝑦")𝑥=𝑙/2 = 𝑎. (
𝜋
𝑙
)
2
 
 
Assim, a flecha máxima pode ser: 𝑎 = 
𝑙2
𝜋2
 . (
1
𝑟
)
𝑥=𝑙/2
 
 
Para o caso do pilar em balanço, tem-se: 𝑎 = 
𝑙²𝑒
10
 . (
1
𝑟
)
𝑏𝑎𝑠𝑒
, em que 𝜋2 ≅ 10. 
 
P á g i n a | 17 
 
 
Obtendo-se a flecha máxima, pode-se obter também o momento total, já que 
o momento de 2º ordem pode ser obtido facilmente pela equação a seguir. 
 
𝑀2,𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑁. 𝑎 
 
𝑀2,𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑁.
𝑙²𝑒
10
 . (
1
𝑟
)
𝑏𝑎𝑠𝑒
 
1.2.3 Método da curvatura aproximada 
O método do pilar padrão com curvatura aproximada é permitido para pilares 
de seção constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo e λ ≤ 
90. A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se 
que a configuração deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é 
levada em conta através de uma expressão aproximada da curvatura na seção 
crítica. 
A excentricidade de 2a ordem e2 é dada por: 𝑒2 = 
𝑙²𝑒
10
 .
1
𝑟
 
 
1/r é a curvatura na seção crítica, que pode ser avaliada pela expressão: 
1
𝑟
= 
0,005
ℎ(𝑣 + 0,5)
 ≤ 
0,005
ℎ
 
 
H é a altura da seção na direção considerada; 
V = Nsd/(Ac.Fcd) é a força normal adimensional. 
 
Assim, o momento total máximo no pilar é dado por: 𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = (∝𝑏 . 𝑀1𝑑,𝑎 +
 𝑁𝑑 .
𝑙²𝑒
10
 .
1
𝑟
) ≥ 𝑀1𝑑,𝐴 
1.2.4 Método da rigidez K aproximada 
O método do pilar padrão com rigidez κ aproximada é permitido para λ ≤ 90 
nos pilares de seção retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo 
do comprimento. A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, 
P á g i n a | 18 
 
 
supondo-se que a deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é 
levada em conta através de uma expressão aproximada da rigidez. 
O momento total máximo no pilar é dado por: 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 
𝛼𝑏 .𝑀1𝑑,𝐴
1 − 
𝜆²
120. 𝜅/𝜗
 ≥ 𝑀1𝑑,𝐴 
 
Onde, 𝜅 é o valor da rigidez adimensional, dado aproximadamente por: 
 
𝜅 = 32. (1 + 5.
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡
ℎ.𝑁𝑑
) . 𝜈 
 
Observa-se que o valor da rigidez adimensional κ é necessário para o cálculo 
de Md,tot, e para o cálculo de κ utiliza-se o valor de Md,tot. Assim, a solução pode 
ser obtida por tentativas. Usualmente, poucas iterações são suficientes. 
1.3 Cálculo simplificado 
A NBR6118: 2014, no item 17.2.5, apresenta processos aproximados para o 
dimensionamento à flexão composta normal e à flexão composta oblíqua. 
1.3.1 Flexão composta normal 
O cálculo para o dimensionamento de seções retangulares ou circulares com 
armadura simétrica, sujeitas a flexo-compressão normal, em que a força normal 
reduzida (ν) seja maior ou igual a 0,7, pode ser realizado como um caso de 
compressão centrada equivalente, em que: 
𝑁𝑠𝑑,𝑒𝑞 = 𝑁𝑠𝑑 . (1 + 𝛽.
𝑒
ℎ
) e 𝑀𝑠𝑑,𝑒𝑞 = 0 
 
𝜈 = 
𝑁𝑠𝑑
𝐴𝑐.𝐹𝑐𝑑
 
𝑒
ℎ
= 
𝑀𝑠𝑑
𝑁𝑠𝑑.ℎ
 
 
𝛽 = 
1
(0,39 + 0,01. 𝛼) − 0,8
𝑑′
ℎ
 
 
P á g i n a | 19 
 
 
Sendo o valor de 𝛼 dado por: 
𝛼 = − 
1
𝛼𝑠
, 𝑠𝑒 𝛼𝑠 < 1 𝑒𝑚 𝑠𝑒çõ𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 
𝛼 = 𝛼𝑠, 𝑠𝑒 𝛼𝑠 > 1 𝑒𝑚 𝑠𝑒çõ𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 
𝛼 = 6, 𝑠𝑒 𝛼𝑠 < 6 𝑒𝑚 𝑠𝑒çõ𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 
𝛼 = −4, 𝑒𝑚 𝑠𝑒çõ𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 
 
Supondo que todas as barras sejam iguais, 𝛼𝑠 é dado por: 𝛼𝑠 = 
(𝑛ℎ−1)
(𝑛𝑣−1)
 
 
O arranjo de armadura adotado para o detalhamento (figura 5) deve ser fiel 
aos valores de 𝛼𝑠 e 
𝑑′
ℎ⁄ pressupostos. 
Figura 5: Arranjo de armadura caracterizado pelo parâmetro 𝜶𝒔 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
P á g i n a | 20 
 
 
1.3.2 Flexão composta oblíqua 
Nas situações de flexão simples ou composta oblíqua, pode ser adotada a 
aproximação dada pela expressão de interação: 
 
[
𝑀𝑟𝑑,𝑥
𝑀𝑟𝑑,𝑥𝑥
]
𝛼
+ [
𝑀𝑟𝑑,𝑦
𝑀𝑟𝑑,𝑦𝑦
]
𝛼
= 1 
 
MRd, x; MRd, y são as componentes do momento resistente de cálculo em 
flexão oblíqua composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y, da seção 
bruta, com um esforço normal resistente de cálculo NRd igual à normal solicitante 
NSd. Esses são os valores que se deseja obter; 
MRd, xx; MRd, yy são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um 
dos referidos eixos em flexão composta normal, com o mesmo valor de NRd. Esses 
valores são calculados a partir do arranjo e da quantidade de armadura em estudo; 
α é um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o valor da 
força normal, a forma da seção, o arranjo da armadura e de suas porcentagens. Em 
geral pode ser adotado α = 1, a favor da segurança. No caso de seções 
retangulares, pode-se adotar α = 1,2. 
 
Exercício Resolvido – Dimensionamento de pilar pelo 
método da curvatura aproximada e pelo método da rigidez 
K aproximada. 
Será feito o dimensionamento do pilar P5 (figura 6 e 7), 
utilizando-se o método da curvatura aproximada e pelo método da rigidez K 
aproximada, segundo a norma NBR6118: 2014. 
Dados: 
• aço CA-50 
• 𝑓𝑐𝑘 = 25 Mpa; 
• 𝐶𝑛𝑜𝑚 = 25 mm e d’=4 cm; 
• 𝑁𝑘 = 650 𝑘𝑛; 
• Comprimento do pilar: 290 cm (Figura 2); 
• Seção transversal: 15x45 cm; 
P á g i n a | 21 
 
 
• Carga total na viga Pk = 24 kn/m. 
Figura 6: Planta de Forma. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 22 
 
 
Figura 7: Corte. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
Resolução: Como a menor dimensão do pilar é inferior a 19 cm, no 
dimensionamento deve-se multiplicar as ações por um coeficiente adicional γn, 
indicado na Tabela abaixo da apostila de concreto armado II, na qual b é a menor 
dimensão da seção transversal do pilar. Dessa forma, tem-se: 
 
𝛾𝑛 = 1,20. (𝑏 = 15𝑐𝑚) → 𝑁𝑑 = 𝛾𝑓 . 𝛾𝑛 . 𝑁𝑘 = 1,4.1,2.650 = 1092 𝑘𝑛 
 
𝜈 = 
𝑁𝑑
𝑏. ℎ. 𝑓𝑐𝑑
= 
1092
15.45.
2,5
1,4
= 0,91 
 
1. Comprimento equivalente, raio de giração e índice de esbeltez 
Vamos calcular agora o comprimento equivalente do pilar que deve ser o 
menor entre os seguintes valores: 
 
𝑙𝑒 ≤ {
𝑙0 + ℎ = 250 + 15 = 265𝑐𝑚
𝑙 = 290𝑐𝑚
 
 
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O valor de Le é o comprimento do pilar entre as vigas, h é a altura do pilar no 
plano do corte, analisando o plano nós estamos verificando que o pilar está com sua 
menor direção voltada para o cálculo (b). 
 
Vamos calcular agora o raio de giração e o índice de esbeltez, só substituir os 
valores na formulação. 
 
𝑖 = 
ℎ
√12
= 
15
√12
= 4,33 𝑐𝑚 
 
𝜆 = 
𝑙𝑒
𝑖
= 
265
4,33
= 61,2 
 
Podemos observar que o valor encontrado para o índice de esbeltez 
encontrado,é de um pilar abaixo dos 90, portanto um pilar robusto. 
2. Excentricidade inicial 
Para o cálculo da excentricidade inicial, devem ser definidas algumas 
grandezas. 
 
A. Vão efetivo da viga 
O vão efetivo da viga V6 é calculado conforme a figura abaixo. 
Figura 8: Vão efetivo da viga. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
P á g i n a | 24 
 
 
𝐿𝑒𝑓 = 𝑙0 + 𝑎1 + 𝑎2 
 
𝑎1 ≤ {
1
2⁄ . 𝑡1 = 
15
2⁄ = 7,5 𝑐𝑚
1
2⁄ . ℎ = 
40
2⁄ = 20 𝑐𝑚
→ 𝑎1 = 7,5 𝑐𝑚 
 
𝑎2 ≤ {
1
2⁄ . 𝑡2 = 
45
2⁄ = 22,5 𝑐𝑚
1
2⁄ . ℎ = 
40
2⁄ = 20 𝑐𝑚
→ 𝑎2 = 20 𝑐𝑚 
 
 
𝐿𝑒𝑓 = 𝑙0 + 𝑎1 + 𝑎2 = 462,5 + 7,5 + 20 = 490 𝑐𝑚 
 
Observe que o valor de 462,5 cm vem da seguinte forma: a planta de forma 
nos apresenta um valor de 492,5 cm porém essa medida é dos eixos d nossa viga, 
precisamos encontrar o valor entre os pilares, não é difícil de se conhecer tal valor, 
vamos lá: primeiro vamos pegar o valor de 492,5 cm e diminuir a metade da viga que 
passa pelo P5, ou seja, 492,5 cm – 7,5 cm = obtemos um valor de 485 cm, agora 
com esse valor nós diminuímos metade do pilar P8, tendo em vista que a viga V3 
passa pelo centro dele, 485 cm - 22,5 cm = 462,5 cm com isso temos o valor entre 
os pilares, agora fica fácil de se obter o valor do vão efetivo da nossa viga. 
 
B. Momento na ligação viga-pilar 
Para o cálculo dos momentos na ligação viga-pilar, será considerado o 
esquema apresentado na figura abaixo. Portanto, para o caso em estudo, temos: 
(figura 9). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 25 
 
 
Figura 9: Esquema estático para cálculo do momento de ligação viga-pilar. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
Figura 10: Esquema estático para o pilar em estudo. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
𝑟𝑠𝑢𝑝 = 𝑟𝑖𝑛𝑓 = 
𝐼
𝑙𝑒
= 
45.15³
12
265
2
= 
12656,25
132,5
= 95,5𝑐𝑚³ 
 
P á g i n a | 26 
 
 
𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 = 
𝐼𝑣𝑖𝑔𝑎
𝑙𝑒𝑓
= 
15.40³
12
490
=
80000
490
= 163,3 
 
𝑀𝑒𝑛𝑔 = 
𝑃. 𝑙²
12
= 
24.4,90²
12
= 48,02 𝑘𝑛.𝑚 
𝑀𝑠𝑢𝑝 = 𝑀𝑒𝑛𝑔 .
3 . 𝑟𝑠𝑢𝑝
3 . 𝑟𝑠𝑢𝑝 + 4 . 𝑟𝑣𝑖𝑔 + 3 . 𝑟𝑖𝑛𝑓
= 48,02 .
3. 95,5
3 . 95,5 + 4 . 163,3 + 3 . 95,5
= 11,22 𝑘𝑛.𝑚 
𝑀𝑖𝑛𝑓 = 𝑀𝑒𝑛𝑔 .
3 . 𝑟𝑖𝑛𝑓
3 . 𝑟𝑖𝑛𝑓 + 4 . 𝑟𝑣𝑖𝑔 + 3 . 𝑟𝑠𝑢𝑝
= 48,02 .
3. 95,5
3 . 95,5 + 4 . 163,3 + 3 . 95,5
= 11,22 𝑘𝑛.𝑚 
𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝑀𝑠𝑢𝑝 + 𝑀𝑖𝑛𝑓 = 11,2 + 11,2 = 22,44 𝑘𝑛.𝑚 
 
O momento total no topo e base do pilar em estudo resulta em: 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑝𝑜 = − 𝑀𝑑,𝑏𝑎𝑠𝑒 = 1,4 . 1,2 . 11,22 = 18,85 𝑘𝑛.𝑚 = 1885 𝑘𝑛. 𝑐𝑚 
 
C. Excentricidade inicial no topo e na base do pilar 
Vamos calcular agora a excentricidade inicial do pilar, tanto no topo, quanto 
na base, tendo em vista que o pilar tem a mesma seção em todo o lance. 
 
𝑒𝑖 = 
𝑀𝑑
𝑁𝑑
= 
1885
1092
= 1,73𝑐𝑚 
 
D. Momento mínimo 
Vamos calcular agora o momento mínimo nesse pilar. 
 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑁𝑑 . (0,015 + 0,03 . ℎ) = 1,4 . 1,2 . 650 . (0,015 + 0,03 . 0,15) = 21,29 𝑘𝑛.𝑚 
 
E. Verificação de dispensa dos efeitos de 2ª ordem 
Vamos verificar se é possível dispensar a verificação do pilar para efeitos de 
2ª ordem. Para pilares bi apoiados sem cargas transversais e sendo os momentos 
de 1ª ordem nos extremos do pilar 𝑀𝑎 = − 𝑀𝑏 = 18,85 𝑘𝑛.𝑚 < 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 =
21,29 𝑘𝑛.𝑚, tem-se segundo o item 15.8.2 da NBR 618:2014. 
𝛼𝑏 = 1,00 
P á g i n a | 27 
 
 
 
Considerando 𝑒1 = 0, resultamos: 
𝜆1 = 
25 + 12,5 .
𝑒′
ℎ⁄
𝛼𝑏
= 
25
1
= 25 
35 ≤ 𝜆1 ≤ 90 → 𝜆1 = 35 
 
Como 𝜆 = 61,2 > 𝜆1 = 35 → Devem ser considerados os efeitos de 2ª 
ordem. 
Como não podemos desconsiderar os cálculos dos efeitos da 2ª ordem, 
teremos que partir para os métodos da curvatura aproximada ou da rigidez K 
aproximada. Iremos realizar os dois cálculos e fazer um breve comparativo. 
 
F. Método da curvatura aproximada 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑁𝑑 . (0,015 + 0,03 . ℎ) = 1,4 . 1,2 . 650 . (0,015 + 0,03 . 0,15) = 21,29 𝑘𝑛.𝑚 
(𝑀1𝑑,𝐴 = 18,85 𝑘𝑛.𝑚) < (𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 21,29 𝑘𝑛.𝑚), 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑀1𝑑,𝐴 = 21,29 𝑘𝑛.𝑚 
1
𝑟
= 
0,005
ℎ(𝜈 + 0,5)
 ≤
0,005
ℎ
 
1
𝑟
= 
0,005
0,15(0,91 + 0,5)
= 0,0236 
0,005
ℎ
= 
0,005
0,15
= 0,033 
0,0236 < 0,033, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 
1
𝑟
= 0,0236 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 𝛼𝑏 .𝑀1𝑑,𝐴 + 𝑁𝑑 .
𝑙²𝑒
10
 .
1
𝑟
= 1,0 . 21,29 + 1,4 . 1,2 . 650 .
2,65²
10
 . 0,0236
= 39,39 𝑘𝑛.𝑚 
𝑒𝑡𝑜𝑡 = 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡
𝑁𝑑
= 
39,39
1,4 . 1,2 . 650
= 3,61𝑐𝑚 
𝜇 = 
𝜈 . 𝑒𝑡𝑜𝑡
ℎ
= 
0,91 . 3,61
15
= 0,22 
𝑑′
ℎ
=
4
15
= 0,27 ≅ 0,25 
 
 Vamos utilizar o ábaco A-5 de Venturini (1987), para achar o valor de 𝜛, com 
os dados já calculados anteriormente. Para usar a tabela de Venturini é muito 
P á g i n a | 28 
 
 
simples, basta você utilizar o valor de 
𝑑′
ℎ
 para encontrar qual tabela vai utilizar, como 
no nosso caso o valor foi de 0,25 iremos utilizar a tabela A-5, depois precisamos dos 
valores de 𝜇 = 0,22 e o valor de 𝜈 = 0,91 ≅ 0,90, com isso vamos encontrar qual a 
curva 𝜔 que iremos utilizar, no nosso caso encontramos o valor de 𝜔 = 0,90, com 
isso é só substituir na formula da área de aço, segue: 
𝐴𝑠 = 
𝐴𝑐 . 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 . 𝜛 = 
15.45.
2,5
1,4
50
1,15
. 0,9 = 27,72 . 0,9 = 24,95 𝑐𝑚² 
 
Vamos verificar agora, se com essa área de aço encontrada nosso pilar 
obedece a taxa de armadura imposta pela norma. 
Taxa de armadura: 𝜌 = 
𝐴𝑠
𝐴𝑐
= 
24,95
15.45
= 3,70% < 8% → ok! 
 
Vamos detalhar nosso pilar agora, com 24,95 cm² podemos adotar a bitola de 
16 mm, cujo cada barra tem um valor de área de aço de: 2 cm². Com isso 12 barras 
dariam 24 cm², ficando um pouco fora do calculado, então, vamos adotar, 14 barras 
de 16 mm, com um total de 28 cm². Outra alternativa é subir a bitola, podemos 
adotar a barra de 20 mm cuja área é de 3,15 cm², utilizaremos então: 𝑁𝑏 = 
24,95
3,15
=
7,92 ≈ 8 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠. 8 barras de 20 mm nos proporcionam uma área de 25,2 cm², 
gastando menos aço que as 14 barras de 16 mm. Fica a critério do projetista. No 
nosso exercício utilizaremos as 8 barras de 20 mm. 
 
G. Estribos 
Vamos dimensionar agora os estribos para o nosso pilar. 
 
1. Diâmetro 
∅𝑡 ≥ {
∅𝑙
4⁄ = 
20
4⁄ = 5 𝑚𝑚
5 𝑚𝑚
, portanto o diâmetro será de 5mm. 
2. Espaçamento 
∅𝑡 ≤ {
15 𝑐𝑚 (𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟)
12 . ∅𝑙 = 12 . 2 = 24 𝑐𝑚
20 𝑐𝑚
, portanto iremos adotar 15cm 
3. Estribo suplementar 
20. ∅𝑡 = 10 𝑐𝑚 
P á g i n a | 29 
 
 
 
Vamos entender como funciona os estribos suplementares, o valor 
encontrado dá-se referência à distância a partir das faces dos pilares, descontado 
seu cobrimento, observe a imagem a baixo para o melhor entendimento. 
Figura 11: Detalhe Tipo. 
 
Fonte: o autor. 
Podemos observar que as medidas estão em milímetros para melhor 
entendimento. Vamos observar ainda, que os 10 cm de proteção dos estribos não 
conseguem atingir as barras centrais, portanto teremos que adotar estribos 
suplementares para as quatro barras centrais. Esse estribo suplementar tanto pode 
ser o gancho, como poderia ser dois estribos no lugar apenas de um, como foi feito 
na imagem acima, neste exemplo utilizaremos o gancho, e logo a seguir segue um 
exemplo com dois estribos. 
 
 
 
 
P á g i n a | 30 
 
 
Figura 12: Detalhe Tipo. 
 
Fonte: o autor. 
Exemplo com a utilização de dois estribos ao invés de utilizar os ganchos 
como estribos suplementares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 31 
 
 
Figura 13: Detalhe Tipo. 
 
 Fonte: o autor 
H. Método da rigidez K aproximada 
Vamos partir para o segundo método de dimensionamento deste mesmo pilar, 
no final faremos um pequeno comparativo entre os dois métodos. Para isso vamos 
relembrar as formulações do método da rigidez K aproximada. 
 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 
𝛼𝑏 .𝑀1𝑑,𝐴
1 − 
𝜆²
120 . 𝜅 𝜈⁄
 ≥ 𝑀1𝑑,𝐴 
 
𝜅 = 32 . (1 + 5 .
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡
ℎ . 𝑁𝑑
) . 𝜈 
 
P á g i n a | 32 
 
 
 Vamos observar que o valor da rigidez adimensional 𝜅 é necessário para o 
cálculo de 𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 e parao cálculo de 𝜅 utiliza-se do valor de 𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡. Dessa forma, só 
se obtém o valor através de iterações (tentativas). 
• 1ª iteração 
Será adotado para a primeira iteração, o valor do momento total do método 
anterior. 
 
(𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡)1.0 = 39,39 𝑘𝑛.𝑚 → (
𝜅
𝜈⁄ )1.0 = 32 . (1 + 5 .
39,39
0,15 .1,2 .1,4 .650
) = 70,48 
(𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡)1.1 = 
1,0 . 21,29
1 − 
61,20²
120 . 70,48
= 38,21 𝑘𝑛.𝑚 
 
Para a segunda iteração, podemos adotar como estimativa razoável a média 
entre os dois valores anteriores: 
 
(𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡)2.0 = 
39,39 + 38,21
2
= 38,80 𝑘𝑛.𝑚 
 
• 2ª iteração 
(𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡)2.0 = 38,80 𝑘𝑛.𝑚 → (
𝜅
𝜈⁄ )2.0 = 32 . (1 + 5 .
38,80
0,15 .1,2 .1,4 .650
) = 69,90 
(𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡)2.1 = 
1,0 . 21,29
1 − 
61,20²
120 . 69,90
= 38,47 𝑘𝑛.𝑚 
 
Adotando a média dos dois últimos valores, temos: 
 
(𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡)3.0 = 
38,80 + 38,47
2
= 38,64 𝑘𝑛.𝑚 
 
Podemos parar por aqui, você pode continuar as iterações para convergir 
para melhores os resultados, porém podemos perceber que os valores encontrados 
estão bem próximos entre eles. 
 
𝑒𝑡𝑜𝑡 = 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡
𝑁𝑑
= 
38,64
1,4 . 1,2 . 650
= 0,0354 = 3,54 𝑐𝑚 
P á g i n a | 33 
 
 
 
𝜇 = 
𝜈 . 𝑒𝑡𝑜𝑡
ℎ
= 
0,91 . 3,54
15
= 0,21 
 
 Utilizando o ábaco A-5 de Venturini (1987), obtém-se: 
 
𝜔 = 0,88 → 𝐴𝑠 = 
𝐴𝑐 . 𝐹𝑐𝑑
𝐹𝑦𝑑
 . 𝜔 = 
15 . 45 .
2,5
1,4
50
1,15
 . 0,86 = 27,7 . 0,88 = 24,39 𝑐𝑚² 
 
Taxa de armadura: 𝑝 = 
24,39
15 𝑥 45
= 3,61 % (2 % menor que o anterior) 
 
 
 
 
 
 O dimensionamento também pode ser feito usando 
programas computacionais, como por exemplo os encontrados 
gratuitamente no site: 
 
www.cesec.ufpr.br/concretoarmado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ Os métodos de cálculo dos pilares de concreto armado, segundo a 
norma vigente; 
✓ Os métodos de cálculo simplificados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este vídeo de operários armando um pilar de concreto 
armado: 
https://www.youtube.com/watch?v=4cdpRrriAbU. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 1 
Exercícios 
 
 
 
 
 
 
Dimensione o pilar P8 (figura 14 e 15), utilizando-se o 
método da curvatura aproximada, segundo a norma NBR 6118 
(2014). 
Dados: 
• aço CA-50 
• 𝑓𝑐𝑘 = 25 Mpa; 
• 𝐶𝑛𝑜𝑚 = 25 mm e d’=4 cm; 
• 𝑁𝑘 = 650 𝑘𝑛; 
• Comprimento do pilar: 290 cm; 
• Seção transversal: 15x45 cm; 
• Carga total na viga Pk = 24 kn/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 38 
 
 
Figura 14: Exercício. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 39 
 
 
Figura 15: Exercício. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
 
 
 
 
Pilares – Parte II 
Aula 2 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula daremos continuidade aos estudos dos pilares, vamos agora 
estudar as prescrições normativas ao detalhamento do pilar. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Entender as disposições construtivas dos pilares e armar 
corretamente esse pilar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 41 
 
 
2 PILARES – PARTE II 
2.1 Introdução 
Veremos agora as disposições construtivas para os pilares impostas pela 
NBR 6118 (2014). 
2.2 Disposições construtivas 
Serão considerados o cobrimento das armaduras dos pilares e alguns 
aspectos relativos às armaduras longitudinais e às transversais. 
2.2.1 Cobrimento das armaduras 
O cobrimento das armaduras é considerado no item 7.4.7 da NBR 6118 ( 
2014). Cobrimento mínimo é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo 
o elemento considerado. Para garantir o cobrimento mínimo (cmin), o projeto e a 
execução devem considerar o cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento 
mínimo acrescido da tolerância de execução (∆c). Assim, as dimensões das 
armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais, 
estabelecidos na Tabela 1, para ∆c = 10 mm. 
 
𝐶𝑛𝑜𝑚 = 𝐶𝑚𝑖𝑛 + Δ𝑐 
Tabela 1: Valores de Cnom em pilares de concreto armado para 𝚫𝒄 = 𝟏𝟎𝒎𝒎. 
Classe de 
agressividade 
𝐶𝑛𝑜𝑚 (𝑚𝑚) 
I II III IV 
25 30 40 50 
Fonte: NBR 6118 (2014) 
Nas obras correntes, o valor de ∆c deve ser maior ou igual a 10 mm. Quando 
houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da 
variabilidade das medidas durante a execução, pode ser adotado o valor ∆c = 5 mm, 
mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. 
Permite-se, então, redução de 5 mm dos cobrimentos nominais prescritos na Tabela 
1. Os cobrimentos são sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral 
P á g i n a | 42 
 
 
à face externa do estribo. O cobrimento nominal deve ser maior que o diâmetro da 
barra. A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado não pode 
superar em 20% o cobrimento nominal, ou seja: 
𝑑𝑚𝑎𝑥 ≤ 1,2. 𝑐𝑛𝑜𝑚 
2.2.2 Armaduras longitudinais 
A escolha e a disposição das armaduras devem atender não só à função 
estrutural como também às condições de execução, particularmente com relação ao 
lançamento e adensamento do concreto. Os espaços devem permitir a introdução do 
vibrador e impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior 
do pilar (item 18.2.1 da NBR 6118 2014). As armaduras longitudinais colaboram para 
resistir à compressão, diminuindo a seção do pilar, e também resistem às tensões de 
tração. Além disso, têm a função de diminuir as deformações do pilar, especialmente 
as decorrentes da retração e da fluência. O diâmetro das barras longitudinais não 
deve ser inferior a 10 mm e nem superior a 1/8 da menor dimensão da seção 
transversal (item 18.4.2.1 da NBR 6118 2014): 
 
10 𝑚𝑚 ≤ ∅𝑙 ≤ 
𝑏
8⁄ 
2.2.3 Limites da taxa de armadura longitudinal 
Segundo o item 17.3.5.3 da NBR 6118 (2014), a armadura longitudinal 
mínima deve ser: 
 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛= 0,15.
𝑁𝑑
𝑓𝑦𝑑
 ≥ 0,004 . 𝐴𝑐 
 
O valor máximo da área total de armadura longitudinal é dado por: 𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑥 =
8%. 𝐴𝑐. 
A maior área de armadura longitudinal possível deve ser 8% da seção real, 
considerando-se inclusive a sobreposição de armadura nas regiões de emenda. 
P á g i n a | 43 
 
 
2.2.4 Número mínimo de barras 
A ABNT NBR 6118 (2014), no item 18.4.2.2, estabelece que as armaduras 
longitudinais devem ser dispostas de forma a garantir a adequada resistência do 
elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em 
cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do 
perímetro. A Figura abaixo apresenta o número mínimo de barras para alguns tipos 
de seção. 
Figura 16: Número mínimo de barras. 
 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
2.2.5 Espaçamento das barras longitudinais 
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido 
no plano da seção transversal, fora da região de emendas, deve ser igual ou 
superior ao maior dos seguintes valores (Figura abaixo): 
 
𝑎 ≥ {
20 𝑚𝑚
∅𝑙
1,2. 𝑑𝑚á𝑥 (𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑜 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜)
 
 
Esses valores se aplicam também às regiões de emenda por transpasse 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 44 
 
 
Figura 17: Espaçamento entre as barras da armadura longitudinal 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
Quando estiver previsto no plano de execução da concretagem o 
adensamento através de abertura lateral na face da fôrma, o espaçamento das 
armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador. O 
espaçamento máximo sl entre os eixos das barras deve ser menor ou igual a duas 
vezes a menor dimensão da seção no trecho considerado, sem exceder 40 cm, ou 
seja: 
 
𝑆𝑙 ≤ {
2. 𝑏
40𝑐𝑚
 
 
Para Leonhardt e Mönnig (1978) esse espaçamento máximo não deve ser 
maior do que 30 cm. Entretanto, para pilares com dimensões até 40 cm, basta que 
existam as barras longitudinais nos cantos. 
2.2.6 Armaduras transversais 
A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o 
caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, 
sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes (item 
18.4.3 da ABNT NBR 6118 (2014). Os estribos devem ser fechados, geralmente em 
torno das barras de canto, ancorados com ganchos que se transpassam, colocados 
em posições alternadas. 
P á g i n a | 45 
 
 
Os estribos têm as seguintes funções: 
a) garantir o posicionamento e impedir a flambagem das barras longitudinais; 
b) garantir a costura das emendas de barras longitudinais; 
c) confinar o concreto e obter uma peça mais resistente ou dúctil. 
 
De acordo com a ABNT NBR 6118 (2014), o diâmetro dos estribos em pilares 
não deve ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro 
equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal, ou seja: 
 
∅𝑡 ≥ {
5𝑚𝑚
∅𝑙
4⁄
 
 
Em pilares com momentos nas extremidades (portanto, nos pilares em geral), 
e nos pré-moldados, Leonhardt e Mönnig (1978) recomendam que se disponham, 
nas suas extremidades, 2 a 3 estribos com espaçamento igual a st/2 e st/4 (Figura 
abaixo). 
Figura 18: Estribos adicionais nos extremos e ganchos alternados. 
 
Fonte: LEONHARDT; MONNING (1978) 
Fusco (1994) ainda comenta que, de modo geral, nos edifícios, os estribos 
não são colocados nos trechos de intersecção dos pilares com as vigas que neles se 
P á g i n a | 46 
 
 
apoiam. Isso decorre do fato de a presença de estribos nesses trechos dificultar 
muito a montagem da armadura das vigas. A NBR 6118 (2014) deixa claro que é 
obrigatória a colocação de estribos nessas regiões. 
2.2.7 Espaçamento máximo dos estribos 
O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, 
deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores: 
 
𝑆𝑡 ≤ {
20 𝑐𝑚
𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜
12∅𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎ç𝑜 𝐶𝐴 − 50
25∅𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎ç𝑜 𝐶𝐴 − 25
 
 
Permite-se adotar o diâmetro dos estribos ∅𝑡 < ∅𝑙/4, desde que as 
armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite 
também a limitação (fyk em MPa): 
 
𝑆𝑚á𝑥 = 90.000 . (
∅2𝑡
∅2𝑙
) .
1
𝑓𝑦𝑘
 
2.2.8 Estribos suplementares 
Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras da armadura, 
situadas junto à superfície, devem ser tomadas precauções para evitá-la. A NBR 
6118 (2014, item 18.2.4) considera que os estribos poligonais garantem contra 
flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles 
abrangidas, situadas no máximo à distância de 20φt do canto, se nesse trecho de 
comprimento 20φt não houver mais de duas barras, não contando a do canto (Figura 
abaixo). 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 47 
 
 
Figura 19: Proteção contra a flambagem das barras longitudinais. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
Quando houver mais de duas barras no trecho de comprimento 20φt ou 
barras fora dele, deve haver estribos suplementares. Se o estribo suplementar for 
constituído por uma barra reta, terminada em ganchos, ele deve atravessar a seção 
do pilar e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal. 
Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida junto à extremidade 
do estribo suplementar, seu gancho deve envolver um estribo principal em um ponto 
junto a uma das barras, o que deve ser indicado no projeto de modo bem destacado, 
como indicado na Figura abaixo. Essa amarra garantirá contra a flambagem essa 
barra encostada e mais duas no máximo para cada lado, não distantes dela mais de 
20φt. No caso da utilização dessas amarras, para que o cobrimento seja respeitado, 
é necessário prever uma distância maior entre a superfície do estribo e a face do 
pilar. 
Figura 20: Estribos suplementares e ganchos. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
É oportuno comentar que a presença de estribos suplementares pode 
dificultar a concretagem. Uma alternativa seria concentrar as barras nos cantos, para 
evitar os estribos suplementares. 
P á g i n a | 48 
 
 
A ABNT NBR 6118 (2014) comenta ainda que, no caso de estribos curvilíneos 
cuja concavidade esteja voltada para o interior do concreto, não há necessidade de 
estribos suplementares. Se as seções das barras longitudinais se situarem em uma 
curva de concavidade voltada para fora do concreto, cada barra longitudinal deve ser 
ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto de um estribo poligonal 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ As disposições construtivas normativas; 
✓ Os detalhamentos pertinentes aos pilares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este artigo de comparação entre pilares de 
concreto e pilares de aço: 
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2006/inic/inic/07/INIC00
0071ok.pdf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio deJaneiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 2 
Exercícios 
 
 
 
 
 
 
1) Quais os modelos de cálculo disponíveis para os pilares e qual sua 
utilização individualmente? 
 
2) Quais as principais medidas que devemos nos preocupar para o correto 
dimensionamento dos estribos dos pilares? 
 
3) Pensando na seção geométrica dos pilares, quais os números mínimos de 
barras para cada tipo de seção geométrica? 
 
4) Quais as preocupações no correto espaçamento entre as barras 
longitudinais? O que pode acarretar no mau dimensionamento desse espaçamento? 
Qual a finalidade dos estribos suplementares? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideração sobre o cálculo dos 
pilares – Parte I 
Aula 3 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula continuaremos a estudar sobre os pilares, agora iremos fazer 
várias considerações sobre os cálculos, vendo principalmente sobre os critérios 
normativos. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Entender o que são estruturas de nós fixos e de nós móveis; 
➢ Entender a consideração sobre os efeitos de segunda ordem nos 
pilares; 
➢ Entender como é a consideração da fluência nos pilares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 54 
 
 
3 CONSIERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES – PARTE 1 
Olá Aluno! Vamos continuar estudando sobre os pilares de 
concreto armado? Nesta aula iremos analisar várias considerações 
que fazemos nos cálculos dos pilares. Vamos lá? 
3.1 Introdução 
Os pilares podem ser classificados como curtos, moderadamente esbeltos e 
esbeltos. Os pilares curtos são aqueles para os quais não há necessidade de se 
considerar os efeitos de segunda ordem. Para esses pilares, os esforços solicitantes 
obtidos na configuração deformada (teoria de segunda ordem) são 
aproximadamente iguais aos esforços calculados na configuração indeformada 
(teoria de primeira ordem). Em geral, admite-se que os efeitos de segunda ordem 
possam ser desprezados quando esses causam um acréscimo nos esforços 
solicitantes de no máximo 10%. 
Para os pilares moderadamente esbeltos, os efeitos de segunda ordem são 
importantes e não podem ser desprezados. Entretanto, esses efeitos podem ser 
considerados através de processos simplificados. Em geral, nesses processos, 
arbitra-se uma configuração deformada para o eixo do pilar e calcula-se o máximo 
momento fletor solicitante ao longo do eixo. Com o momento máximo e com o 
esforço normal, admite-se a seção transversal do pilar em flexo-compressão. 
Nos pilares esbeltos, os efeitos de segunda ordem são tão importantes que 
não se pode admitir o emprego de processos simplificados. Para esses pilares é 
exigida uma análise rigorosa, que leva em conta a não linearidade física decorrente 
do comportamento mecânico dos materiais, bem como a não linearidade geométrica. 
De um modo geral, a maioria dos pilares dos edifícios se enquadra nas 
categorias de pilares curtos ou moderadamente esbeltos. Somente em poucos casos 
especiais é que eles devem ser considerados como pilares esbeltos. 
Quanto à sua principal função na estrutura, os pilares podem ser classificados 
como pilares contraventados e pilares de contraventamento. Esses últimos fazem 
parte da subestrutura de contraventamento. A subestrutura de contraventamento é 
uma parte da estrutura cuja principal função é resistir às ações horizontais. Na 
verdade, todas as partes da estrutura oferecem resistência às ações horizontais. 
P á g i n a | 55 
 
 
Entretanto, é conveniente separar aqueles elementos que, devido à sua elevada 
rigidez, absorvem maior parte desses esforços. Como exemplo de elementos 
estruturais de contraventamento, tem-se as paredes estruturais e os pilares-parede 
das caixas dos elevadores e das escadas dos edifícios. 
O contraventamento deve possuir uma rigidez suficiente para garantir que os 
deslocamentos horizontais da estrutura sejam pequenos. Se este não for o caso, a 
estrutura como um todo deve ser analisada considerando-se os efeitos de segunda 
ordem. Essa análise é bastante complexa e exige técnicas numéricas apropriadas 
para a consideração das não linearidades físicas e geométrica. 
Por outro lado, se a rigidez de contraventamento é suficiente, admite-se que a 
estrutura seja indeslocável (ou de nós fixos). Rigorosamente falando, a estrutura é 
“quase indeslocável”. Neste caso, os esforços solicitantes podem ser obtidos a partir 
de uma análise de primeira ordem (linearidade geométrica). Como uma 
aproximação, despreza-se, também, a não linearidade física. 
Em uma estrutura indeslocável, os efeitos de segunda ordem nos pilares são 
localizados. Eles serão considerados ou não, conforme o pilar seja classificado como 
esbelto, moderadamente esbelto ou curto. Dessa forma, consegue-se uma 
significativa simplificação nos cálculos. 
Sempre que possível, devem-se tomar as providências necessárias para 
garantir que a estrutura possa ser considerada indeslocável. Segundo Leonhardt, 
“somente um engenheiro sem habilidade arcaria com as preocupações deixando 
para o proprietário os problemas de custos que surgem em sistemas de pórticos 
deslocáveis de vários andares”. A seguir, apresenta-se um critério para verificar se 
uma estrutura pode ser considerada indeslocável. O restante da aula é dedicado às 
considerações teóricas relativas ao cálculo dos esforços solicitantes nos pilares 
contraventados. 
3.2 Estruturas indeslocáveis ou de nós fixos 
Uma estrutura aporticada de edifício pode ser considerada indeslocável 
quando, sob a ação de forças horizontais, seus nós sofrem deslocamentos 
pequenos, que não chegam a introduzir esforços globais de segunda ordem 
significativos. Entretanto, os esforços de primeira ordem, provocados pelas forças 
horizontais, devem sempre ser calculados considerando-se a deslocalibilidade da 
P á g i n a | 56 
 
 
estrutura. Apenas os esforços locais de segunda ordem é que podem ser obtidos na 
hipótese de que a estrutura é indeslocável. 
Assim, efetuada a análise linear (teoria de primeira ordem), considera-se cada 
pilar como uma barra isolada e articulada nas extremidades, onde são aplicados os 
esforços obtidos na análise linear. 
Para garantir a indeslocabilidade, pode ser necessário projetar elementos 
estruturais especiais, como paredes estruturais ou pilares-parede. A necessidade 
desses elementos depende basicamente da altura do edifício e de suas cargas. 
Edifícios baixos e leves podem dispensar os elementos especiais de 
contraventamento, pois a própria estrutura aporticada principal é suficiente para 
garantir a indeslocabilidade. Entretanto, deve-se ter uma atenção especial quando a 
estrutura é projetada em laje cogumelo. Nesse caso, em virtude da ausência das 
vigas, não há a formação dos verdadeiros pórticos e a rigidez fica reduzida. A falta 
das alvenarias de vedação pode agravar ainda mais o problema. 
O grande problema das estruturas deslocáveis é relativo a instabilidade 
global, já que os deslocamentos horizontaisnos vários andares criam 
excentricidades crescentes da força normal nos pilares. Na figura abaixo, 
apresentam-se duas situações distintas. 
Observando a figura abaixo-a, verifica-se que os momentos fletores nos 
pilares crescem sensivelmente à medida que se aproxima das fundações. 
Acrescentando um elemento rígido ao pórtico, os deslocamentos horizontais no nível 
dos pisos podem ser desprezados, como indicado na figura abaixo-b. Neste caso, os 
pilares podem ser analisados isoladamente, andar por andar, como se eles fossem 
engastados elasticamente nos nós e os efeitos de segunda ordem são localizados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 57 
 
 
Figura 21: Efeito da deslocabilidade horizontal 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
De acordo com o CEB/78, podem ser consideradas indeslocáveis as 
estruturas para as quais as seguintes desigualdades são atendidas: 
∝ = ℎ𝑡𝑜𝑡. √
𝐹𝑣
𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐
 ≤ 0,2 + 0,1𝑛 , 𝑠𝑒 𝑛 ≤ 3 
 
∝ = ℎ𝑡𝑜𝑡 . √
𝐹𝑣
𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐
 ≤ 0,6 , 𝑠𝑒 𝑛 ≥ 4 
 
Onde: 
∝ = parâmetro de instabilidade; 
𝑛 = número de pavimentos; 
ℎ𝑡𝑜𝑡 = altura total da edificação, medido do topo da fundação ou de um nível 
indeformável; 
𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐 = soma das rigidezes à flexão das ações dos elementos verticais na 
direção considerada; 
𝐹𝑣 = soma de todas as cargas verticais de serviço. 
 
P á g i n a | 58 
 
 
Segundo a NBR6118: 2014, o limite 0,6 deve ser usado quando o 
contraventamento é formado pela associação de pórticos e pilares-parede. Ele pode 
ser aumentado para 0,7 quando o contraventamento for constituído exclusivamente 
por pilares-parede. Por outro lado, esse limite deve ser reduzido para 0,5 quando o 
contrraventamento for constituído apenas por pórticos. 
As equações anteriores limitam os efeitos globais de segunda ordem a um 
máximo em torno de 10% dos respectivos efeitos de primeira ordem na estrutura. 
Dessas equações verifica-se que, quanto mais alto for o edifício e quanto maiores 
forem as cargas verticais, maior rigidez de contraventamento será necessária para 
garantir a indeslocabilidade. 
Para o cálculo do momento de inércia 𝐼𝑐, adotam-se apenas as seções 
transversais de concreto sem a inclusão das armaduras. O módulo de deformação 
longitudinal secante, 𝐸𝑐𝑠, pode ser obtido empregando-se a relação 
 
𝐸𝑐𝑠 = 0,85 . 21500 . (
𝑓𝑐𝑘 + 8
10
)
1
3⁄
 , 𝑀𝑝𝑎 
 
Quando a rigidez do pilar de contraventamento varia ao longo do seu eixo, é 
necessário determinar uma rigidez equivalente. O mesmo deve ser feito quando o 
contraventamento é constituído por pórticos. 
Usualmente, considera-se que a rigidez equivalente seja a rigidez de um pilar 
de seção constante, engastado na base e livre no topo, da mesma altura que a 
estrutura real, que, submetido ao carregamento horizontal da estrutura, apresente o 
esmo deslocamento horizontal no topo. O valor da rigidez equivalente, determinado 
desta maneira, depende do tipo de carregamento usado na análise. 
Para calcular a rigidez equivalente de um pórtico ou de um pilar se seção 
variável, pode-se aplicar uma força horizontal 𝐹ℎ no topo do pilar ou do pórtico, como 
sugerido pelo CEB. Se U representa o deslocamento obtido na direção da força a 
rigidez equivalente, 𝐸𝐼𝑒𝑞, é dada por: 
 
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 
𝐹𝐻 . ℎ𝑡𝑜𝑡
3
3 . 𝑈
 
 
Onde, ℎ𝑡𝑜𝑡 é a altura do pórtico ou do pilar de seção variável. 
P á g i n a | 59 
 
 
Alternativamente, o pórtico pode ser carregado com uma carga horizontal p, 
uniformemente distribuída ao longo de sua altura. Para a análise do pórtico, essa 
carga uniforme é substituída por um conjunto de forças horizontais concentradas nos 
níveis das lajes. Se U presenta o deslocamento horizontal no topo do pórtico, a 
rigidez equivalente é dada por: 
 
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 
𝑝 . ℎ𝑡𝑜𝑡
4
8 . 𝑈
 
 
➢ Procedimento recomendado 
➢ A NBR6118 (2014) também apresenta um segundo critério para a 
verificação da indeslocabilidade horizontal dos edifícios, o qual é baseado na 
avaliação de um coeficiente de amplificação de momentos, denominado de 
coeficiente 𝛾𝑧. Por esse critério, a estrutura pode ser considerada indeslocável (ou 
de nós fixos, segundo a nomenclatura utilizada na norma) se resultar 𝛾𝑧 ≤ 1,10. 
 
A. Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito por paredes 
estruturais e/ou pilares-parede. Se o contraventamento é constituído exclusivamente 
por paredes estruturais e/ou pilares-parede, a estrutura é considerada indeslocável 
quando: 
 
𝛼 = ℎ𝑡𝑜𝑡 . √
𝐹𝑣
𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐
 ≤ 𝛼𝑙𝑖𝑚 
 
Onde 𝐸𝑐𝑠 é o módulo secante do concreto, 𝐼𝑐 é o momento de inércia da 
seção de concreto simples e 𝛼𝑙𝑖𝑚 é função do número de andares n do edifício e do 
estado de fissuração do elemento de contraventamento. 
 
As expressões de 𝛼𝑙𝑖𝑚 são as seguintes, conforme o caso: 
• Para elementos não fissurados: 
 
𝛼𝑙𝑖𝑚 = 0,67 . √1 − 
0,60
𝑛
 
Highlight
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• Para elementos fissurados 
 
𝛼𝑙𝑖𝑚 = 0,47 . √1 − 
0,60
𝑛
 
 
Observa-se que o valor de 𝛼𝑙𝑖𝑚 depende do estado de fissuração da parede 
ou do pilar-parede de contraventamento. As tensões de tração no concreto, para as 
cargas horizontais e as cargas verticais de cálculo que atuam no elemento estrutural, 
podem ser determinadas como para um material elástico linear submetido à flexo-
compressão. Comparando a tensão de tração máxima em cada andar com a 
resistência à tração característica inferior do concreto, 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓, determina-se o estado 
de fissuração do elemento estrutural. A princípio, pode-se fazer uma interpolação 
linear entre os valores dados nas equações anteriores, com base no tamanho do 
trecho do pilar-parede que se encontra fissurado. 
B. Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito por pórticos 
Se o contraventamento é feito exclusivamente por pórticos, é necessário 
determinar sua rigidez equivalente 𝐸𝐼𝑒𝑞. Neste caso, recomenda-se o emprego da 
equação: 
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 
𝑝 . ℎ𝑡𝑜𝑡
4
8 . 𝑈
 
 
Na análise dos pórticos para cálculo do deslocamento horizontal U, considera-
se a rigidez 𝐸𝐼 = 0,70 . 𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐, para os pilares, e 𝐸𝐼 = 0,35 . 𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐, para as vigas. A 
estrutura é considerada indeslocável se: 
𝛼 = ℎ𝑡𝑜𝑡 . √
𝐹𝑣
𝐸𝐼𝑒𝑞
 ≤ 𝛼𝑙𝑖𝑚 
 
Onde: 
𝛼𝑙𝑖𝑚 = 0,66 . √1 − 
0,39
𝑛
 ≤ 0,62 
 
P á g i n a | 61 
 
 
C. Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito pela associação 
de pórticos com paredes e/ou pilares parede 
A rigidez equivalente da associação é obtida como para os pórticos. A 
príncipio, considera-se 𝐸𝐼 = 0,70 . 𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐 para uma parede ou pilar-parede. Porém, se 
ficar comprovado que esse elemento está fissurado para as cargas de cálculo, deve-
se repetir a análise do conjunto considerando 𝐸𝐼 = 0,35 . 𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐 para o mesmo. 
Uma vez determinada a rigidez equivalente, emprega-se a equação 
𝛼 = ℎ𝑡𝑜𝑡 . √
𝐹𝑣
𝐸𝐼𝑒𝑞
 ≤ 𝛼𝑙𝑖𝑚, para comprovar a indeslocabilidade. Neste caso, a 
expressão de 𝛼𝑙𝑖𝑚 é dada por: 𝛼𝑙𝑖𝑚 = 0,74 . √1 − 
0,53
𝑛
 ≤ 0,72 
 
Na tabela 1, indicam-se os valores de 𝛼𝑙𝑖𝑚 calculados com as expressões 
anteriores em função do número n de andares do edifício. 
Tabela 1: Valores limites para o parâmetro de instabilidade (𝜶𝒍𝒊𝒎) 
 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
P á g i n a | 62 
 
 
Não deve ser esquecido que as alvenarias de vedação, as quais não são 
incluídas no cálculo. Dão uma contribuição muito importante para a rigidez da 
estrutura. Dessa forma, resultará uma margem adicional de segurança em relação à 
indeslocabilidade horizontal da estrutura. 
3.3 Processos simplificados para a consideração dos efeitos de segunda 
ordem 
Diversos processos simplificados para a consideração dos efeitos de segunda 
ordem têm sido apresentados nas normas de projeto. Na maioria desses processos, 
admite-se uma configuração deformada para o eixo do pilar e arbitra-se ovalor da 
curvatura última da seção mais solicitada. Em geral, os processos são limitados aos 
pilares de seção transversal constante ao londo do eixo, inclusive a armadura. Seja 
o pilar da figura abaixo, submetido a uma força normal de cálculo 𝐹𝑑e aos momentos 
de primeira ordem 𝑀1𝑑 aplicados nos seus extremos. 
Figura 22: Deformada do eixo do pilar 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
P á g i n a | 63 
 
 
Para a deformada do eixo do pilar, pode-se admitir a função senoidal: 
 
𝑤 (𝑥) = 𝑒2 . 𝑠𝑒𝑛 .
𝜋𝑥
𝑙
 
 
Onde 𝑒2 é o deslocamento transversal máximo em 𝑥 = 
𝑙
2⁄ . 
A curvatura aproximada do eixo do pilar, 𝜒 , é dada por: 
𝜒 = − 
𝑑2 𝑊
𝑑𝑥2
 
 
Introduzindo a expressão de W e diferenciado, resulta: 
𝜒 = 
𝜋2
𝑙2
 . 𝑒2 . 𝑠𝑒𝑛 .
𝜋𝑥
𝑙
 
 
A curvatura máxima 𝜒𝑢 ocorre na seção central e vale: 
𝜒𝑢 = 
𝜋2
𝑙2
 . 𝑒2 
 
Dessa equação, pode-se obter a excentricidade de segunda ordem, 𝑒2, em 
função da curvatura última. Considerando 𝜋2 ≅ 10, chega-se a: 
𝑒2 = 
𝑙2
10
 . 𝜒𝑢 
 
Assim, o momento fletor de segunda ordem, 𝑀2𝑑, é dado por: 
𝑀2𝑑 = 𝐹𝑑 . 𝑒2 
 
E o momento total é 𝑀𝑑 = 𝑀1𝑑 + 𝑀2𝑑. 
Com o esforço normal 𝑁𝑑 = 𝐹𝑑 e com o momento fletor 𝑀𝑑, dimensiona-se a 
seção transversal em flexo-compressão. 
A seguir, são apresentadas as expressões para a curvatura última fornecidas 
pela NBR 6118 e pelo CEB. 
 
A. Expressão da NBR 6118 
De acordo com a NBR 6118, a curvatura última é dada por: 
 
P á g i n a | 64 
 
 
𝜒𝑢 = 
0,005
(𝜐0 + 0,5). ℎ
 
 
𝜐0 = 
𝐹𝑑
𝐴𝑐 . 𝑓𝑐𝑑
 
 
Sendo 𝐴𝑐 a área da seção de concreto e h a sua altura na direção 
considerada. Para o emprego da expressão: 
𝜒𝑢 = 
0,005
(𝜐0 + 0,5). ℎ
 
 
Quando 𝜐0 < 0,5, deve-se adotar o valor 𝜐0 = 0,5. 
 
B. Expressão do CEB 
De acordo com o CEB, a curvatura última é dada por: 
 
𝜒𝑢 = 
3,5 ‰+ 
𝑓𝑦𝑑
𝐸𝑠
⁄
 ℎ
 , 𝑠𝑒 𝜐0 ≤ 0,425 
 
𝜒𝑢 = 
3,5 ‰+ 
𝑓𝑦𝑑
𝐸𝑠
⁄
(
𝜐0
0,425⁄ ) . ℎ
 , 𝑠𝑒 𝜐0 > 0,425 
 
Na figura abaixo, apresentam-se as variações da curvatura última em função 
do esforço normal reduzido 𝜐0, de acordo com essas duas normas. Para o emprego 
da formulação do CEB, admite-se que o aço é o CA-50. 
Observa-se pela figura que a expressão da NBR 6118 fornece um maior valor 
para a curvatura última, desde que 𝜐0 ≥ 0,5. Uma vez que o momento de segunda 
ordem é diretamente proporcional à curvatura, conclui-se que o processo da NBR 
6118 fornece mais armadura que o processo do CEB, para 𝜐0 ≥ 0,5. Se 𝜐0 < 0,5, 
obtém-se maior armadura com o processo do CEB. Resta comparar essas 
armaduras com aquela teoricamente extra. A armadura exata é obtida empregando-
se algum algoritmo que leva em conta, de forma rigorosa, as não linearidade físicas 
e geométricas. 
P á g i n a | 65 
 
 
Figura 23: Variações da curvatura última. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
De acordo com os critérios da NBR 6118, as armaduras devem ser calculadas 
empregando-se os coeficientes parciais de segurança 𝛾𝑐 = 1,4, 𝛾𝑠 = 1,15, 𝛾𝑓 = 1,4. 
De acordo com o CEB, as resistências de cálculo dos materiais são dadas 
por: 
𝑓𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑛 . 𝛾𝑐
 
𝑓𝑦𝑑 = 
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑛 . 𝛾𝑠
 
 
Onde, 𝛾𝑐 = 1,5, 𝛾𝑠 = 1,15 e 𝛾𝑛 = 1,2. 
 
Observa-se que para o emprego do processo simplificado do CEB, o fator de 
minoração da resistência à compressão do concreto passa para 1,8 e o fator de 
minoração da tensão de escoamento do aço é igual a 1,38. Isto fará com que a 
armadura calculada por esse processo seja bem superior àquela que é considerada 
exata dentro dos padrões de segurança da NBR 6118. Assim, para evitar a adoção 
de padrões de segurança diferentes em cada processo simplificado, os mesmos são 
comparados adotando-se sempre 𝛾𝑐 = 1,4, 𝛾𝑠 = 1,15, 𝛾𝑓 = 1,4. 
P á g i n a | 66 
 
 
Nas tabelas 2 e 3, comparam-se as taxas mecânicas de armadura obtidas 
através dos processos aproximados com as taxas exatas. Nessas tabelas, 𝜔 
representa a taxa exata enquanto 𝜔1 e 𝜔2 são os valores encontrados empregando-
se o processo na NBR 6118 e o processo do CEB, respectivamente. O pilar é 
birrotulado e possui a seção transversal indicada na figura abaixo. 
Figura 24: Seção transversal e situação de projeto dos pilares 
 
Fonte: Araújo (2014) 
Analisando as tabelas conclui-se que, em geral, os dois processos fornecem 
uma solução satisfatória. Para pequenos valores da excentricidade relativa de 
primeira ordem, ambos os processos fornecem uma solução a favor da segurança. 
Para valores altos da excentricidade de primeira ordem, os dois processos ficam 
contrários à segurança. Porém, o erro é pequeno e essa não é uma situação muito 
frequente nos pilares dos edifícios. 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 67 
 
 
Tabela 2: Comparação dos processos aproximados com a solução “exata” - 𝝀 = 𝟒𝟓. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Tabela 3: Comparação dos processos aproximados com a solução “exata” - 𝝀 = 𝟕𝟓. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A NBR 6118 apresenta, também, um segundo processo simplificado para a 
consideração dos efeitos de segunda ordem, o qual é derivado do “método do 
momento majorado” do ACI. Nesse segundo processo, denominado na NBR 6118 
de “método do pilar-padrão com rigidez Κ aproximada”, o momento total é obtido a 
partir de uma amplificação do momento de primeira ordem. 
P á g i n a | 68 
 
 
A precisão dos dois processos adotados pela NBR 6118 é equivalente. 
Entretanto, o processo apresentado anteriormente é mais simples e já tem o seu uso 
consagrado no meio técnico. Além disso, o denominado “método do pilar-padrão 
com rigidez Κ aproximada” só é permitido para seções retangulares. Por isso, o 
método adotado será empregado o processo da NBR 6118, definido pelas equações 
a seguir para pilares com índice de esbeltez 𝜆 ≤ 90. 
 
𝑒2 = 
𝑙2
10
 . 𝜒𝑢 
 
𝜐0 = 
𝐹𝑑
𝐴𝑐 . 𝑓𝑐𝑑
 
3.4 Consideração da fluência do concreto 
A fluência do concreto pode ter uma importância significativa na capacidade 
resistente dos pilares. Em virtude da fluência, os deslocamentos transversais do eixo 
dos pilares crescem com o tempo, aumentando os momentos fletores solicitantes. 
Na análise estrutural, a fluência pode ser considerada adequadamente com o 
emprego de modelos reológicos. Esses modelos são obtidos pela associação de 
molas e amortecedores, o que permite simular as parcelas das deformações 
elásticas e viscoelásticas do concreto. Em geral, adotam-se os modelos básicos de 
Maxwell ou de Kelvin, ou uma associação dos mesmos, o que dá origem às 
denominadas cadeias reológicas. 
Adotando o modelo de Maxwell para representar o comportamento 
viscoelástico do concreto e considerando um pilar birrotulado, sem carga transversal 
nem momentos nas extremidades, mas possuindo uma imperfeição inicial do eixo 
descrita por uma função senoidal, é possível demonstrar que a fluência causa uma 
excentricidade adicional dada por: 
𝑒𝑐 = 𝑒1 . [𝑒
𝜑∞ .𝐹𝑔
𝑃𝑒− 𝐹𝑔 − 1] 
 
P á g i n a | 69 
 
 
Onde, 𝑒𝑐 = excentricidade adicional de fluência, 𝑒1 = excentricidade de 
primeira ordem da força normal de longa duração 𝐹𝑔, 𝑒 = base do logaritmo 
neperiano, 𝜑∞ = coeficiente final de fluência, 𝑃𝑒 = carga de flambagem de Euler. 
 
A carga de Euler é dada por: 
 
𝑃𝑒 = 
𝜋2 . 𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐
𝑙𝑒
2 
 
Onde: 𝐸𝑐𝑠 é o módulo de deformação longitudinal secante do concreto, 𝐼𝑐 é o 
momento de inércia das seções do pilar, sem a inclusão das araduras, e 𝑙𝑒 é o 
comprimento de flambagem. 
A expressão: 
 
𝑒𝑐 = 𝑒1 . [𝑒
𝜑∞ .𝐹𝑔
𝑃𝑒− 𝐹𝑔 − 1] 
 
é adotada pelo CEB/78, sendo mantida no CEB/90. Essa expressão também 
foi incluída na NBR 6118. Entretanto, a NBR 6118 só exige a consideração da 
fluência nos casos em que 𝜆 > 90, sendo, inexplicavelmente, omissa quanto aos 
critérios para sua dispensa. Não se deve, de forma alguma, considerar que a 
fluência possa ser desprezada se 𝜆 < 90. 
De acordocom o CEB/78, pode-se dispensar a consideração da fluência no 
dimensionamento dos pilares em qualquer um dos seguintes casos: 
a) Índice de esbeltez pequeno: 𝜆 ≤ 50; 
b) Excentricidade relativa de primeira ordem alta: 
𝑒1
ℎ
 ≥ 2 
c) Carga predominante de curta duração: 𝐹𝑔 ≤ 0,2 . 𝐹𝑘 
 
Em qualquer outra situação, é obrigatória a consideração da fluência. 
Nos pilares dos edifícios, em geral, a força normal de longa duração, 𝐹𝑔, é 
muito próxima da força total de serviço, 𝐹𝑘, . Nessas condições, o item C nunca será 
atendido. Além disso, nas situações correntes, a excentricidade relativa de primeira 
ordem, 
𝑒1
ℎ
, é bem inferior a 2, o que indica que o item B não deve ocorrer nos pilares 
P á g i n a | 70 
 
 
de edifícios. Dessa forma, pode-se simplificar o critério e desprezar a fluência 
somente quando 𝜆 ≤ 50. Como outra simplificação a favor da segurança, pode-se 
admitir que 𝐹𝑔 = 𝐹𝑘, o que é coerente com as condições usuais de carregamento 
dos edifícios. Essas simplificações são empregadas ao longo do caderno. 
 
Exercício Resolvido 01 
Verificar se o pilar-parede da figura abaixo é suficiente 
para garantir a indeslocabilidade de um edifício de 8 andares, 
cuja altura total desde a fundação é igual a 25 m. A soma de 
todas as cargas verticais de serviço é igual a 25.000 kN e o 
concreto possui 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑝𝑎. 
Figura 25: Pilar-parede de contraventamento. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Resolução: 
O Primeiro passo é encontrar as coordenadas do centroide da 
peça: 
𝑥𝑐 = 2 𝑚 ; 𝑦𝑐 = 0,63 𝑚 
 
 
P á g i n a | 71 
 
 
Agora, os momentos de inércia: 
𝐼𝑥 = 3,02 𝑚
4 (𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑦); 𝐼𝑦 = 0,54 𝑚
4 (𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑥) 
 
 
O módulo de elasticidade (deformação) secante: 
𝐸𝑐𝑠 = 0,85 𝑥 21500 (
20 + 8
10
)
1
3⁄
 ≅ 25760 𝑀𝑝𝑎 
𝐸𝑐𝑠 = 25760𝑥10
3 𝑘𝑁/𝑚2 
 
Como o contraventamento é constituído somente pelo pilar-parede, a 
indeslocabilidade será garantida se a equação 
𝛼 = ℎ𝑡𝑜𝑡 . √
𝐹𝑣
𝐸𝑐𝑠 .𝐼𝑐
 ≤ 𝛼𝑙𝑖𝑚, conforme o estado de fissuração do pilar-parede. 
Substituindo n = 8 na equação, obtemos: 
• Pilar-parede não fissurado: 𝛼𝑙𝑖𝑚 = 0,64 
• Pilar-parede fissurado: 𝛼𝑙𝑖𝑚 = 0,45 
 
Vamos verificar primeiro a direção x do pilar. 
𝛼 = ℎ𝑡𝑜𝑡 . √
𝐹𝑣
𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐
 = 25 . √
25000
25760𝑥10³ . 3,02
 = 0,45 
Logo, o pilar-parede sozinho é suficiente para garantir a indeslocabilidade 
nesta direção, independentemente do seu estado de fissuração. 
 
Vamos verificar primeiro a direção y do pilar. 
𝛼 = ℎ𝑡𝑜𝑡 . √
𝐹𝑣
𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐
 = 25 . √
25000
25760𝑥10³ . 0,54
 = 1,06 
 
Logo, o pilar-parede sozinho não é suficiente para garantir a indeslocabilidade 
na direção y deste pilar, mesmo que ele se encontre não fissurado. 
 
 
 
 
P á g i n a | 72 
 
 
Exercício Resolvido 02 
Determinar a rigidez equivalente do pórtico da figura 
abaixo. O pórtico possui 15 pavimentos com 4 m de altura. A 
altura total da estrutura é de 60 m. O concreto possui 𝑓𝑐𝑘 =
25 𝑀𝑝𝑎, com um módulo secante 
𝐸𝑐𝑠 = 27200 𝑀𝑝𝑎. Considerar a rigidez 𝐸𝐼 = 0,70𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐, para os pilares e 𝐸𝐼 =
0,35𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐, para as vigas. 
Figura 26: Pórtico de contraventamento. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Resolução: 
Para determinar a rigidez equivalente, é necessário resolver o pórtico com um 
programa para análise linear de pórticos planos (PACON). No modelo de carga 
concentrada, aplica-se uma força horizontal no topo e calcula-se 𝐸𝐼𝑒𝑞 com a fórmula 
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 
𝐹𝐻 .ℎ𝑡𝑜𝑡
3
3 .𝑈
. No modelo de carga distribuída, o pórtico é carregado com uma 
carga horizontal uniforme e emprega-se a equação 
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 
𝑝 .ℎ𝑡𝑜𝑡
4
8 .𝑈
 para o calculo de 𝐸𝐼𝑒𝑞. 
Os resultados, para o exemplo são os seguintes: 
P á g i n a | 73 
 
 
Modelo de carga concentrada: 𝐸𝐼𝑒𝑞 = 27,34𝑥10
6 𝑘𝑁𝑚² 
Modelo de carga uniforme: 𝐸𝐼𝑒𝑞 = 21,90𝑥10
6 𝑘𝑁𝑚² 
Observa-se que o modelo de carga uniforme fornece uma rigidez equivalente 
menor. Ao usar o procedimento recomendado anteriormente, deve-se empregar o 
modelo de carga uniforme, pois os valores de 𝛼𝑙𝑖𝑚 foram obtidos com base nesse 
modelo. A rigidez dos três pilares isoladamente é de apenas 3𝑥0,70𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐 =
0,12𝑥106 𝑘𝑁𝑚², o que mostra a grande influência das vigas na rigidez do conjunto. 
O eurocode 2 e a norma espanhola EHE adotam a seguinte expressão para 
𝛼𝑙𝑖𝑚, sem distinguir o tipo de elemento de contraventamento: 
• Para elementos não fissurados 
 
𝛼𝑙𝑖𝑚 = (√
0,62𝑛
𝑛 + 1,6
) 
 
• Para elementos fissurados 
 
𝛼𝑙𝑖𝑚 = (√
0,31𝑛
𝑛 + 1,6
) 
 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ As estruturas deslocáveis e indeslocáveis; 
✓ O comportamento dos pilares devido a fluência; 
✓ Os efeitos de segunda ordem nos pilares. 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este artigo de comparação entre pilares de 
concreto e pilares de aço: 
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2006/inic/inic/07/INIC00
0071ok.pdf. 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 3 
Exercícios 
 
 
 
 
 
Verificar se o pilar-parede da figura abaixo é suficiente 
para garantir a indeslocabilidade de um edifício de 10 andares, 
cuja altura total desde a fundação é igual a 30 m. A soma de 
todas as cargas verticais de serviço é igual a 28.000 kN e o concreto possui 𝑓𝑐𝑘 =
30 𝑀𝑝𝑎. 
Figura 27: Pilar Parede 
 
Fonte: autor. 
 
 
 
 
Consideração sobre o 
cálculo dos pilares – Parte II 
Aula 4 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula continuaremos a estudar sobre os pilares, agora iremos fazer 
várias considerações sobre os pilares-parede. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Entender como acontece a flambagem local das lâminas dos pilares-
parede; 
➢ Estudar o dimensionamento dos pilares-parede; 
➢ Entender como é as imperfeições geométricas locais nos pilaresparede. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 79 
 
 
4 CONSIERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES – PARTE 2 
4.1 Introdução 
Dando sequência na aula anterior, agora iremos estudar sobre a estabilidade 
dos pilares-parede. 
4.2 Efeito de segunda ordem nos pilares-parede 
Os pilares de seção transversal composta por retângulos de pequena 
espessura são, usualmente, denominados de pilar-parede. As faces laterais do pilar 
são constituídas por placas, dispostas na vertical. Trata-se, portanto, de um pilar 
com seção de parede fina, que pode ser aberta ou fechada, conforme indicado na 
figura abaixo. 
Figura 28: Seções típicas dos pilares-parede 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Normalmente, os pilares-parede são encontrados nas caixas das escadas e 
dos elevadores dos edifícios altos e possuem uma seção transversal aberta. Esses 
elementos, quando existentes, fazem parte da subestrutura de contraventamento do 
edifício. Os pilares paredes de seção fechada, do tipo caixão, são encontrados nas 
pontes, podendo possuir uma ou mais células. 
Em virtude da pequena espessura das paredes, em relação às dimensões 
totais da seção transversal, consegue-se obter um elemento estrutural de grande 
rigidez com um peso próprio pequeno, quando comparado com a solução em seção 
maciça. Essa redução no peso próprio, devido à redução no consumo de concreto, 
repercute também nas fundações, que ficam submetidas a uma carga vertical 
menor. Por outro lado, os pilares-parede exigem um maior consumo de armadura e 
P á g i n a | 80 
 
 
formas. Desse modo, o emprego de pilares-parede só apresentará vantagens em 
edifícios altos e em pilares de pontes com altura mínima da ordem de vinte metros. 
O dimensionamento dos pilares-parede segue o procedimento padrão 
apresentado para os demais pilares. Em uma análise global, onde se considera a 
geometria da seção transversal como um todo, incluem-se os efeitos de segunda 
ordem, as imperfeições geométricas do eixo do pilar e os efeitos da fluência do 
concreto, da maneira que foi apresentada anteriormente. Entretanto, como o pilar-
parede está submetido à flexo-torção, os efeitos de segunda ordem podem ser bem 
maiores do que nos pilares de seção maciça. 
Os efeitos de segunda ordem nos pilares-parede crescem com o aumento de 
suas rotações de torção. Assim, é sempre conveniente que esses pilares fiquem 
submetidos a momentos torçores de pequena intensidade, o que se consegue 
fazendo sua associação com pórticos de contraventamento. 
Por outro lado, nos pilares-parede há problemas localizados nas diversas 
lâminas que compõem, os quais podem ser determinantes para o dimensionamento. 
Desse modo, além da análise global do pilar, é necessário verificar a possibilidade 
de flambagem local das lâminas que compõem o pilar-parede. 
De um modo geral, as normas de projeto, como a NBR 6118, passam a 
classificar os pilares como pilares-parede unicamente em função da relação entre os 
lados da seção transversal. Segundo a NBR 6118, os pilares da figura acima são 
classificados como pilares-parede quando 𝑏 > 5. 𝑡. Essa é uma classificação 
puramente geométrica, que não leva em conta a importância dos efeitos localizados 
descritos acima. 
Deve-se observar que, para um pilar de seção retangular simples (um único 
retângulo), os efeitos localizados se confundem com os efeitos globais. As 
imperfeições geométricas e os efeitos de segunda ordem são considerados quando 
da análise do pilar como um todo. Além disso, a influência da torção sobre os efeitos 
de segunda ordem pode ser desprezada. Neste caso, quando 𝑏 > 5. 𝑡, o mais 
indicado é denominar o elemento de parede estrutural. 
4.3 Flambagem local das lâminas dos pilares-parede 
O problema da flambagem local nos pilares com seção de parede fina tem 
sido bastante estudado para os pilares de aço. Entretanto, poucos estudos teóricos e 
P á g i n a | 81 
 
 
experimentais têm sido feitos com o objetivo de analisar a ocorrência de flambagem 
local nos pilares de concreto armado. 
De fato, esse problema não deveria ocorrer com a maioria dos pilares-parede 
que foram projetados no passado, quando se empregava concretos de resistência 
relativamente baixa. Em vista dessa baixa resistência do concreto, as paredes 
tinham uma espessura razoável, resultando um pequeno índice de esbeltez para as 
lâminas do pilar. A carga de flambagem de cada lâmina isoladamente era bem 
superior à carga máxima que nela atuava, não havendo possibilidade de flambagem 
local. Entretanto, com o advento dos concretos de alta resistência, tem sido possível 
projetar e executar pilares de grande altura, com paredes de pequena espessura. A 
partir de então, a flambagem local se tornou crítica no projeto de diversos pilares de 
ponte de seção vazada. No caso dos edifícios, o problema da flambagem local pode 
ser importante, principalmente para as lâminas que possuem um bordo livre, nos 
pilares-parede de seção aberta. Para analisar a flambagem local em um pilar-
parede, considera-se uma lâmina típica do pilar, como indicado na figura abaixo. A 
seção transversal da lâmina possui uma espessura t e tem m camadas de armadura, 
cada uma com uma área de aço 𝐴𝑠𝑖. A distância de uma camada genérica até o 
centro da lâmina é 𝑍𝑖. A área total do aço na seção é: 𝐴𝑠 = ∑ 𝐴𝑠𝑖
𝑚
𝑖=1 . 
Na figura abaixo, representa-se o caso usual com duas camadas de 
armadura. A lâmina tem uma largura b e uma altura real l. Os lados 1-2 e 3-4, 
situados no topo e na base da lâmina, respectivamente, são considerados 
simplesmente apoiados. No caso dos edifícios, esses lados correspondem às lajes 
de piso, sendo l a distância de piso a piso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 82 
 
 
Figura 29: Lâmina típica de pilar parede 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Ao longo dos lados verticais 1-3 e 2-4 tem-se um engastamento parcial na 
lâmina vizinha. Em virtude da dificuldade de quantificar esse grau de engastamento, 
e a favor da segurança, considera-se que esses lados também sejam simplesmente 
apoiados. Quando se tratar de uma lâmina de extremidade, nos pilares de seção 
aberta, um dos lados verticais corresponderá a um bordo livre, pela inexistência da 
lâmina vizinha. Uma vez definidas as condições de contorno ao longo dos lados 
verticais, pode-se obter o comprimento de flambagem 𝑙𝑒 da placa. Esse 
comprimento é fornecido na NBR 6118 e tem as seguintes expressões: 
a) Lâmina com os dois lados verticais simplesmente apoiados 
 
𝑙𝑒 = 
𝑙
1 + (
𝑙
𝑏
)
2 , 𝑠𝑒 𝑙 ≤ 𝑏 
 
𝑙𝑒 = 
𝑏
2
 , 𝑠𝑒 𝑙 > 𝑏 
 
b) Lâmina com um lado vertical simplesmente apoiado e outro em bordo livre: 
 
𝑙𝑒 = 
𝑙
1 + (
𝑙
3𝑏
)
2 ≥ 0,3 . 𝑙 
 
P á g i n a | 83 
 
 
Da equação: 
 
𝑙𝑒 = 
𝑏
2
 , 𝑠𝑒 𝑙 > 𝑏 
 
Verifica-se que o comprimento de flambagem da lâmina simplesmente 
apoiada nos quatro lados, com 𝑙 > 𝑏, depende da largura b e independe da altura l. 
O índice de esbeltez 𝜆 de cada lâmina do pilar-parede é dado por: 
 
𝜆 = 
𝑙𝑒 . √12
𝑡
 
 
A título de exemplo, considera-se o pilar-parede representado na figura 
abaixo. A altura l de piso a piso é igual a 4 m. Os comprimentos de flambagem das 
lâminas que formam o pilar são obtidos com o emprego das expressões anteriores. 
Figura 25: Pilar-parede de edifício 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
• Lâmina 1: Como 𝑙 > 𝑏, emprega-se a equação 
 
𝑙𝑒 = 
𝑏
2
= 
200
2
= 100 𝑐𝑚 
P á g i n a | 84 
 
 
𝜆 = 
𝑙𝑒 . √12
𝑡
= 
100 . √12
20
= 17 
 
• Lâmina 2: Emprega-se a equação 
 
 
𝑙𝑒 = 
𝑙
1 + (
𝑙
3𝑏
)
2 ≥ 0,3 . 𝑙 = 
400
1 + (
400
3 . 210)
2 = 285 ≥ 0,3 . 400 = 285 ≥ 120 = 285 𝑐𝑚 
𝜆 = 
𝑙𝑒 . √12
𝑡
= 
285 . √12
20
= 49 
 
Como se observa, as lâminas de borda (lâminas 2) possuem um índice de 
esbeltez elevado e poderão sofrer flambagem local. De acordo com a NBR 6118, 
esses efeitos localizados devem ser verificados sempre que 𝜆 > 35. 
Os comprimentosde flambagem apresentados anteriormente foram obtidos a 
partir do estudo da flambagem das placas elásticas. Essa análise pode ser 
encontrada em bibliografia específica, como na referência. Quando o pilar-parede é 
parcialmente fechado por meio de lintéis situados nos níveis dos pisos, o 
comprimento de flambagem das lâminas com um bordo livre é reduzido. Neste caso, 
pode-se empregar a equação: 
 
𝑙𝑒 = 
𝑙
1 + (
𝑙
3𝑏
)
2 ≥ 0,3 . 𝑙 
 
Sendo que no lugar de l, adota-se (𝑙0 + 𝑡) no lugar de l. Essa situação é 
representada na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 85 
 
 
Figura 30: Pilar-parede sem e com lintéis de fechamento 
 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para os diversos casos de condições de contorno, a carga crítica da lâmina, 
𝑃𝑐𝑟, pode ser escrita na forma compacta: 
 
𝑃𝑐𝑟 = 
𝜋2 . 𝐷
𝑙𝑒
2 
 
Onde 𝑙𝑒 é o comprimento de flambagem, por analogia com a teoria de 
flambagem dos pilares, e D é a rigidez à flexão da placa. 
 
Para o caso elástico linear, tem-se: 
 
𝐷 = 
𝐸𝑏 . 𝑡
3
12 . (1 − 𝜈2)
 
 
Onde b é a largura e t é a espessura da lâmina, E é o módulo de elasticidade 
e 𝜈 é o coeficiente de Poisson do material. 
 
Para uma placa de concreto armado, devem-se considerar o módulo tangente 
do concreto 𝐸𝑐𝑡 e o módulo de elasticidade do aço 𝐸𝑠. Esses módulos são obtidos a 
partir dos diagramas tensão-deformação representados na figura abaixo. 
P á g i n a | 86 
 
 
Figura 31: Diagramas tensão-deformação para os materiais 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para o concreto, emprega-se o diagrama parábola-retângulo. A tensão 𝜎𝑐, 
para 𝜀𝑐 ≤ 𝜀0, é dada por: 
 
𝜎𝑐 = 𝜎𝑐𝑑 . [1 − (1 − 
𝜀𝑐
𝜀0
)
𝑛
] 
 
Onde 𝜎𝑐𝑑 = 0,85 . 𝑓𝑐𝑑 
 
Derivando a expressão anterior, obtém-se o módulo tangente: 
 
𝐸𝑐𝑡 = 
𝑛 . 𝜎𝑐𝑑
𝜀0
 . (1 − 
𝜀𝑐
𝜀0
)
𝑛−1
 
 
O módulo tangente do aço é 𝐸𝑠𝑡 = 𝐸𝑠, se 𝜀𝑠 < 𝜀𝑦𝑑 = 
𝑓𝑦𝑑
𝐸𝑠
⁄ e 𝐸𝑠𝑡 = 0, se 
𝜀𝑠 ≥ 𝜀𝑦𝑑. Considerando apenas o aço CA-50, tem-se 𝜀𝑦𝑑 = 2,174 ‰. Observa-se 
que, para os concretos do grupo I, 𝜀𝑦𝑑 > 𝜀0 = 2 ‰, ou seja, o aço não escoa 
enquanto 𝜀𝑐 ≤ 𝜀0. Porém, para os concretos do Grupo II, 𝜀𝑦𝑑 < 𝜀0, o que indica que 
o aço escoa antes da plastificação total do concreto. Neste caso, o módulo tangente 
do aço se anula, ou seja, 𝐸𝑠𝑡 = 0. Considerando a seção transversal indicada na 
figura acima, obtém-se a rigidez tangente da placa de concreto armado, 
 
𝐷 = 
𝐸𝑐𝑡 . 𝑏 . 𝑡
3
12 . (1 − 𝜈2)
+ 𝐸𝑠𝑡 .∑𝐴𝑠𝑖 . 𝑍𝑖
2
𝑚
𝑖=1
 
P á g i n a | 87 
 
 
O esforço normal N que solicita a lâmina é dado por: 𝑁 = 𝑏 . 𝑡 . 𝜎𝑐 + 𝐴𝑠 . 𝜎𝑠 
 
Onde 𝐴𝑠 é a área total de aço na seção transversal e 𝜎𝑐 é a tensão no 
concreto, dada em: 
 
𝜎𝑐 = 𝜎𝑐𝑑 . [1 − (1 − 
𝜀𝑐
𝜀0
)
𝑛
] 
 
A tensão no aço é dado por: 𝜎𝑠 = 𝐸𝑠 . 𝜀𝑠 ≤ 𝑓𝑦𝑑 
 
Onde 𝜀𝑠 = 𝜀𝑐 pela condição de compatibilidade. 
 
Desse modo, dada a deformação 𝜀𝑠 = 𝜀𝑐, pode-se empregar a equação: 
 
𝑁 = 𝑏 . 𝑡 . 𝜎𝑐 + 𝐴𝑠 . 𝜎𝑠 
 
Para obter o esforço normal solicitante N. Substituindo: 
𝐷 = 
𝐸𝑐𝑡 . 𝑏 . 𝑡
3
12 . (1 − 𝜈2)
+ 𝐸𝑠𝑡 .∑𝐴𝑠𝑖 . 𝑍𝑖
2
𝑚
𝑖=1
 
 
Em: 𝑃𝑐𝑟 = 
𝜋2 .𝐷
𝑙𝑒
2 
 
Obtém-se a carga crítica da placa, 𝑃𝑐𝑟. Se 𝑁 < 𝑃𝑐𝑟, significa que não ocorre 
flambagem da lâmina. Aumentando o valor da deformação, aumenta o valor do 
esforço normal N e diminui o valor da carga crítica 𝑃𝑐𝑟. 
Interessa determinar a deformação 𝜀𝑐𝑟, tal que 𝑁 = 𝑃𝑐𝑟. Para isto, basta fazer 
𝑁 − 𝑃𝑐𝑟 = 0 e substituir as expressões anteriores, ficando-se com a equação: 
𝑏 . 𝑡 . 𝜎𝑐 + 𝐴𝑠 . 𝜎𝑠 + 𝐴𝑠 . 𝜎𝑠 − 
𝜋2
𝑙𝑒
2 . [
𝐸𝑐𝑡 .𝑏 .𝑡
3
12 .(1− 𝜈2)
+ 𝐸𝑠𝑡 . ∑ 𝐴𝑠𝑖 . 𝑍𝑖
2𝑚
𝑖=1 ] = 0 
 
Ao empregar a equação anterior, deve-se substituir 𝜀𝑐 por 𝜀𝑐𝑟 nas expressões 
de 𝜎𝑐 e 𝐸𝑐𝑡. Analogamente, nas expressões de 𝜎𝑠 e 𝐸𝑠𝑡 deve-se substituir 𝜀𝑠 por 𝜀𝑐𝑟. 
P á g i n a | 88 
 
 
A equação anterior pode ser resolvida iterativamente para determinação da 
deformação crítica 𝜀𝑐𝑟. Considerando apenas os concretos do Grupo I, para os quais 
𝑛 = 2, substituindo as expressões: 
 
𝜎𝑐 = 𝜎𝑐𝑑 . [1 − (1 − 
𝜀𝑐
𝜀0
)
𝑛
] 
E: 
𝐸𝑐𝑡 = 
𝑛 . 𝜎𝑐𝑑
𝜀0
 . (1 − 
𝜀𝑐
𝜀0
)
𝑛−1
 
 
Na equação: 
𝑏 . 𝑡 . 𝜎𝑐 + 𝐴𝑠 . 𝜎𝑠 + 𝐴𝑠 . 𝜎𝑠 − 
𝜋2
𝑙𝑒2
 . [
𝐸𝑐𝑡 . 𝑏 . 𝑡
3
12 . (1 − 𝜈2)
+ 𝐸𝑠𝑡 .∑𝐴𝑠𝑖 . 𝑍𝑖
2
𝑚
𝑖=1
] = 0 
 
Lembrando que 𝜎𝑠 = 𝐸𝑠 . 𝜀𝑐𝑟 já que 𝜀𝑦𝑑 > 𝜀0 = 2 ‰, resulta a equação do 
segundo grau: 
𝜀𝑐𝑟
2 − (𝐴 + 2. 𝜀0 + 𝐵𝜌). 𝜀𝑐𝑟 + [𝐴. 𝜀0 + 6. 𝐴. 𝐵. (1 − 𝜈
2).∑𝜌𝑖 . 𝛽𝑖
2
𝑚
𝑖=1
] = 0 
 
Onde: 
 
𝐴 = 
2 .𝜋2
𝜆2 .(1− 𝜈2)
; 𝐵 = 
𝐸𝑠 .𝜀0
2
𝜎𝑐𝑑
 
𝜌 = 
𝐴𝑠
𝑏.𝑡
; 𝜌𝑖 = 
𝐴𝑠𝑖
𝑏.𝑡
; 𝛽𝑖 = 
𝑧𝑖
𝑡
; 
 
A equação de segundo grau anterior pode ser resolvida analiticamente para 
obter a deformação crítica 𝜀𝑐𝑟. Se resultar 𝜀𝑐𝑟 < 𝜀0, significa que a ruína da lâmina 
ocorre por flambagem e não por ruptura do concreto. Se resultar 𝜀𝑐𝑟 > 𝜀0, a ruína 
ocorre por ruptura, não havendo flambagem. O índice de esbeltez crítico, 𝜆𝑐𝑟, é 
aquele para o qual resulta 𝜀𝑐𝑟 = 𝜀0. Assim, se 𝜆 < 𝜆𝑐𝑟, a ruína ocorre ppor ruptura, 
sem flambagem. Se 𝜆 > 𝜆𝑐𝑟, a ruína ocorre por flambagem, sem ruptura do 
concreto. Fazendo 𝜀𝑐𝑟 = 𝜀0 na equação de segunda grau anterior, obtém-se a 
expressão do índice de esbeltez crítico para os concretos do grupo I, 
P á g i n a | 89 
 
 
𝜆𝑐𝑟 = √
12 . 𝜋2 . 𝜎𝑠𝑑2 . ∑ 𝜌𝑖 . 𝛽𝑖
2
𝜀0 . (𝜌 . 𝜎𝑠𝑑2 + 𝜎𝑐𝑑)
 
 
Onde 𝜎𝑠𝑑2 = 𝐸𝑠 . 𝜀0 é a tensão no aço para uma deformação igual a 𝜀0. 
 
Particularizando para a seção transversal da figura acima, com armadura 
simétrica em duas camadas, e substituindo 𝜀0 = 0,002, chega-se a: 
 
𝜆𝑐𝑟 = 243 . (0,5 − 𝛿). √
 𝜌 . 𝜎𝑠𝑑2
𝜌 . 𝜎𝑠𝑑2 + 𝜎𝑐𝑑
 
Onde 𝛿 = 𝑑′ 𝑡⁄ . 
 
Conforme se observar, o índice de esbeltez 𝜆𝑐𝑟 diminui com o aumento da 
resistência do concreto. Logo, pode-se concluir que os problemas de flambagem 
local serão mais importantes nos pilares-parede executados com concreto de alta 
resistência. Nas figuras abaixo, apresentam-se as curvas 𝜀𝑐𝑟 − 𝜆 para duas classes 
de resistência do concreto. Na elaboração dessas figuras, considerou-se uma lâmina 
com duas camadas de armadura, como na figura 24, e os seguintes dados: 𝐸𝑠 =
200 𝐺𝑝𝑎; 𝜈 = 0,2; 𝛿 = 0,2. Admitindo que 𝜌 = 0,1%, resulta 𝜆𝑐𝑟 = 36, para 𝑓𝑐𝑘 =
20 𝑀𝑝𝑎, e 𝜆𝑐𝑟 = 27, para 𝑓𝑐𝑘 = 40 𝑀𝑝𝑎. Logo, o pilar-parede da figura abaixo 
apresenta problema de flambagem local nas lâminas de número 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 90 
 
 
Figura 32: Deformação crítica de flambagem (Fck = 20 Mpa) 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Figura 33: Deformação crítica de flambagem (Fck = 40 Mpa) 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
P á g i n a | 91 
 
 
No caso dos pilares de seção caixão, utilizados nas pontes, o comprimento de 
flambagem das lâminas do pilar é obtido com o emprego das equações: 
 
𝑙𝑒 = 
𝑙
1 + (
𝑙
𝑏
)
2 , 𝑠𝑒 𝑙 ≤ 𝑏 
 
𝑙𝑒 = 
𝑏
2
 , 𝑠𝑒 𝑙 > 𝑏 
 
Considerando o caso usual em que 𝑙 > 𝑏, tem-se 𝑙𝑒 = 
𝑏
2
 e o índice de 
esbeltez é dado por: 
 
𝜆 = 
𝑙𝑒 . √12
𝑡
= 
𝑏. √12
2 . 𝑡
 
 
Considerando 𝜆𝑐𝑟 = 27 (limite válido para 𝑓𝑐𝑘 = 40 𝑀𝑝𝑎 e 𝜌 = 1%) e impondo 
a condição 𝜆 ≤ 𝜆𝑐𝑟, resulta 
𝑏
𝑡⁄ ≤ 15. Por isso, no projeto desse tipo de pilar é 
prática corrente desconsiderr a flambagem local sempre que 𝑏 𝑡⁄ ≤ 15. 
O mesmo procedimento pode ser usado para determinar a esbeltez máxima 
das lâminas com um bordo livre, bastando empregar a expressão: 
 
𝑙𝑒 = 
𝑙
1 + (
𝑙
3𝑏
)
2 ≥ 0,3 . 𝑙 
 
Para o comprimento de flambagem. Os resultados são apresentados na figura 
abaixo, onde foi considerado o índice de esbeltez crítico é 𝜆𝑐𝑟 = 27. 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 92 
 
 
Figura 34:Esbeltez máxima das lâminas com um bordo livre para ser desconsiderada a 
flambagem local 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
4.4 Dimensionamento de pilares-parede incluindo os efeitos da flambagem 
local 
Uma vez identificado o problema da flambagem local, quando λ > λ𝑐𝑟 para 
uma determinada lâmina do pilar-parede, é necessário incluir esse efeito nos 
procedimentos de projeto. Há diversas maneiras de se considerar esse fenômeno, 
mas, em geral, desconsidera-se a interação entre as diversas lâminas do pilar. 
Desse modo, considera-se o menor valor da deformação crítica de flambagem local 
𝜀𝑐𝑟, obtido para todas as lâminas do pilar-parede. Numa primeira opção de projeto, 
podem-se limitar as deformações na seção transversal do pilar, de modo que 𝜀 ≤ 𝜀𝑙𝑖𝑚 
em todos os pontos da seção. A deformação limite 𝜀𝑙𝑖𝑚 é dada por: 
 
𝜀𝑙𝑖𝑚 ≤ {
𝜀𝑜
𝜀𝑐𝑟
 
 
P á g i n a | 93 
 
 
onde 𝜀𝑐𝑟 é a menor deformação crítica, considerando todas as lâminas do 
pilar-parede. 
 
A deformação crítica, 𝜀𝑐𝑟 é obtida resolvendo-se a equação: 
 
𝑏 . 𝑡 . 𝜎𝑐 + 𝐴𝑠 . 𝜎𝑠 + 𝐴𝑠 . 𝜎𝑠 − 
𝜋2
𝑙𝑒
2 . [
𝐸𝑐𝑡 .𝑏 .𝑡
3
12 .(1− 𝜈2)
+ 𝐸𝑠𝑡 . ∑ 𝐴𝑠𝑖 . 𝑍𝑖
2𝑚
𝑖=1 ] = 0 
 
Interativamente. 
Para os concretos do Grupo I, pode-se obter 𝜀𝑐𝑟 diretamente da equação: 
 
𝜀𝑐𝑟
2 − (𝐴 + 2. 𝜀0 + 𝐵𝜌). 𝜀𝑐𝑟 + [𝐴. 𝜀0 + 6. 𝐴. 𝐵. (1 − 𝜈
2).∑𝜌𝑖 . 𝛽𝑖
2
𝑚
𝑖=1
] = 0 
 
Desse modo, a deformação máxima de compressão na seção transversal é 
limitada para evitar a ocorrência de flambagem local. Para empregar essa solução, é 
necessário alterar os domínios de dimensionamento para respeitar a condição 𝜀 ≤ 
𝜀𝑙𝑖𝑚. Os domínios modificados são representados na equação: 
 
𝜀𝑙𝑖𝑚 ≤ {
𝜀𝑜
𝜀𝑐𝑟
 
 
Considerando os domínios da equação anterior, procede da maneira 
inteiramente análoga ao que foi apresentado nos capítulos 2 a 5. Observa-se que os 
limites de definição dos domínios ficam alterados, além de haver uma alteração 
conhecida está situado, sempre, na borda mais comprimida da secção. Não há mais 
o ponto fixo situado a kh, como no capítulo 2. Além disso, como 𝜀𝑙𝑖𝑚 pode ser muito 
menor que 𝜀𝑜, o emprego do diagrama retangular para o concreto pode ficar 
prejudicado. Nesse caso, o mais indicado é realizar o dimensionamento com o 
diagrama parábola-retângulo. 
 
 
 
P á g i n a | 94 
 
 
Figura 35: Domínios de dimensionamento modificados para levar em conta a flambagem 
local. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Numa segunda alternativa, mais fácil de ser implementada na fase de projeto, 
procura-se reforçar apenas as lâminas que apresentam problemas de flambagem 
local. Para isto, pode-se determinar o fator de redução de capacidade 𝜓, decorrente 
da flambagem local. Uma vez determinada a deformação crítica 𝜀𝑐𝑟, através da 
equação: 
 
𝑏 . 𝑡 . 𝜎𝑐 + 𝐴𝑠 . 𝜎𝑠 + 𝐴𝑠 . 𝜎𝑠 − 
𝜋2
𝑙𝑒2
 . [
𝐸𝑐𝑡 . 𝑏 . 𝑡
3
12 . (1 − 𝜈2)
+ 𝐸𝑠𝑡 .∑𝐴𝑠𝑖 . 𝑍𝑖
2
𝑚
𝑖=1
] = 0 
 
Ou, 
 
𝜀𝑐𝑟
2 − (𝐴 + 2. 𝜀0 + 𝐵𝜌). 𝜀𝑐𝑟 + [𝐴. 𝜀0 + 6. 𝐴. 𝐵. (1 − 𝜈
2).∑𝜌𝑖 . 𝛽𝑖
2
𝑚
𝑖=1
] = 0 
 
Conforme o grupo do concreto, calculam-se as tensões no concreto e no aço, 
 
𝜎𝑐 = 𝜎𝑐𝑑 [1 − (1 −
𝜀𝑐𝑟
𝜀𝑜
)
𝑛
] ≤ 𝜎𝑐𝑑 
𝜎𝑠 = 𝐸𝑠𝜀𝑐𝑟 ≤ 𝑓𝑦𝑑 
 
P á g i n a | 95 
 
 
Esforço normal solicitante, no momento da flambagem, é: 
 
𝑁 = (𝜎𝑐 + 𝜌𝜎𝑠)𝑏𝑡 
 
O maior esforço normal que pode ser aplicado a lâmina, sem considerar a 
flambagem local, é dado por: 
 
𝑁𝑑,𝑚𝑎𝑥 = (𝜎𝑐𝑑 + 𝜌𝑓𝑦𝑑)𝑏𝑡 
 
Onde 𝜌 é a taxa de armadura na lâmina considerada, obtida do 
dimensionamento do pilar-parede sem levar em conta a flambagem local. 
O fator de redução da capacidade é definido por: 
 
𝜓 =
𝑁
𝑁𝑑,𝑚𝑎𝑥
=
𝜎𝑐 + 𝜌𝜎𝑠
𝜎𝑐𝑑 + 𝜌𝑓𝑦𝑑
 
 
Nas equações, 
𝜎𝑐 = 𝜎𝑐𝑑 [1 − (1 −
𝜀𝑐𝑟
𝜀𝑜
)
𝑛
] ≤ 𝜎𝑐𝑑 
𝜎𝑠 = 𝐸𝑠𝜀𝑐𝑟 ≤ 𝑓𝑦𝑑 
 
Apresentam-se as variações do fator de redução de capacidade 𝜓 com o 
índice de esbeltez 𝜆 para duas classes de concreto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 96 
 
 
Figura 36: Fator de redução de capacidade para fck=20 MPa. 
 
 Fonte: ARAÚJO (2014) 
Figura 37: Fator de redução de capacidade para fck=70 Mpa. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
P á g i n a | 97 
 
 
Se 𝜓 = 1, significa que a ruína da lâmina ocorre por ruptura, não havendo 
glambagem local. Se resultar 𝜓 < 1, há necessidade de reforçar a lâmina do pilar-
parede de modo a garantir que 𝜓 = 1. Nesse caso, a taxa da armadura deve ser 
aumentada para 𝜌 por 𝜌𝑛𝑒𝑐 no numerador da equação: 
 
𝜓 =
𝑁
𝑁𝑑,𝑚𝑎𝑥
=
𝜎𝑐 + 𝜌𝜎𝑠
𝜎𝑐𝑑 + 𝜌𝑓𝑦𝑑
 
 
E fazendo 𝜓 = 1, resulta: 
 
𝜌
𝑛𝑒𝑐
=
𝜌𝑓
𝑦𝑑
+ 𝜎𝑐𝑑 − 𝜎𝑐
𝜎𝑠
 
Onde 𝜎𝑐 e 𝜎𝑠 são obtidas das equações: 
 
𝜎𝑐 = 𝜎𝑐𝑑 [1 − (1 −
𝜀𝑐𝑟
𝜀𝑜
)
𝑛
] ≤ 𝜎𝑐𝑑 
𝜎𝑠 = 𝐸𝑠𝜀𝑐𝑟 ≤ 𝑓𝑦𝑑 
 
A equação, 
𝜌
𝑛𝑒𝑐
=
𝜌𝑓
𝑦𝑑
+ 𝜎𝑐𝑑 − 𝜎𝑐
𝜎𝑠
 
Pode ser empregada para calcular a taxa de armadura necessária nas 
lâminas do pilar-parede quando 𝜓 < 1, ou seja, quando há risco de flambagem local. 
4.5 Imperfeições geométricas localizadas em pilares-parede 
De acordo com a NBR 6118, as imperfeições geométricas dos pilares dos 
edifícios podem ser classificadas em imperfeições globais e imperfeições locais. As 
imperfeições globais do desaprumo do edifício como um todo e devem ser 
consideradas no projeto dos pilares de contraventamento. As imperfeições locais 
entre dois andares sucessivos e são consideradas no projeto dos pilares 
contraventados, através de uma excentricidade acidental. Nesses dois casos, a 
imperfeição geométrica se refere ao eixo do pilar. 
P á g i n a | 98 
 
 
No caso dos pilares-parede, ainda pode ser necessário considerar as 
imperfeições geométricas localizadas em uma ou mais lâminas que o compõem. 
Neste caso, considera-se a imperfeição geométrica de uma lâmina entre dois pisos 
sucessivos. Essas três situações são representadas na figura abaixo: 
Figura 38: Imperfeições geométricas dos pilares. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
O efeito das imperfeições localizadas pode ser analisado pela teoria de 
placas. Entretanto, como as lâminas do pilar-parede estão comprimidas, deve-se 
considerar os efeitos de segunda ordem. Na figura abaixo, apresenta-se uma placa 
simplesmente apoiada nos quatro lados, submetida a um esforço normal 𝑁𝑥 por 
unidade de comprimento. Admite-se que a placa possui uma imperfeição inicial 
representada pelos deslocamentos transversais: 
 
𝑊𝑜 = ℯ1𝑠𝑒𝑛
𝜋𝑥
𝑎
𝑠𝑒𝑛
𝜋𝑦
𝑏
 
 
Onde ℯ1 é o valor máximo da imperfeição, que ocorre no centro da placa. 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 99 
 
 
Figura 39: Placa imperfeita simplesmente apoiada no contorno. 
 
 Fonte: ARAÚJO (2014) 
Devido ao esforço normal 𝑁𝑥, as deflexões da placa sofrerão um acréscimo 
W=W(x,y) que pode ser escrito na forma: 
 
𝑊 = ℯ2𝑠𝑒𝑛
𝜋𝑥
𝑎
𝑠𝑒𝑛
𝜋𝑦
𝑏
 
 
O acréscimo ℯ2 da flecha no centro da placa é dado por: 
ℯ2 =
ℯ1𝑁𝑥
𝜋2𝐷
𝑎2
(1 +
𝑎2
𝑏2
)
2
− 𝑁𝑥
 
 
Onde D é a rigidez à flexão da placa. 
 
Desprezando as armaduras e considerando a fluência do concreto, pode-se 
escrever: 
𝐷 = (
𝐸𝑐𝑠
1 + 𝜑
)
𝑡3
12(1 − 𝑣2)
 
 
P á g i n a | 100 
 
 
Onde t é a espessura da placa, 𝐸𝑐𝑠, 𝜑 e v são o módulo secante, o coeficiente 
de fluência e o coeficiente de Poisson do concreto, respectivamente. 
 
Uma vez determinada a expressão de W(x, y), podem-se calcular os 
momentos fletores. O momento fletor na direção vertical é de menor interesse, pois o 
seu efeito é distribuído por toda seção transversal. Em outras palavras, a seção 
transversal do pilar como um todo deverá resistir a esse momento adicional, 
decorrente da imperfeição localizada em lâmina. Em geral, esse efeito é pequeno, 
não havendo necessidade de sua consideração. 
Por outro lado, as lâminas devem ser dimensionadas para o momento fletor 
horizontal decorrente da imperfeiçãolocalizada. O valor máximo do momento 
horizontal ocorre no centro da placa e vale: 
 
𝑀𝑦 = 𝐷𝜋
2ℯ2 (
1
𝑏2
+
𝑣
𝑎2
) 
 
Admitindo que a lâmina do pilar atue o esforço normal de cálculo 𝑁𝑑,𝑚𝑎𝑥 dado 
na equação: 
𝑁𝑑,𝑚𝑎𝑥 = (𝜎𝑐𝑑 + 𝜌𝑓𝑦𝑑)𝑏𝑡 
 
O esforço normal 𝑁𝑥 por uniadde de comprimento é dado por: 
𝑁𝑥 = (𝜎𝑐𝑑 + 𝜌𝑓𝑦𝑑)𝑡 
 
Onde os termos são os mesmos definidos anteriormente. Assim, as 
armaduras horizontais do pilar-parede podem ser dimensionadas com base no 
seguinte procedimento: 
- adotar um valor máximo para a imperfeição geométrica ℯ1; 
- calcular 𝑁𝑥 com o emprego da equação anteior em função da espessura t e 
da taxa de armadura longitudinal 𝜌 na lâmina; 
- calcular a flecha máxima ℯ2 com o emprego da equação ℯ2 =
ℯ1𝑁𝑥
𝜋2𝐷
𝑎2
(1+
𝑎2
𝑏2
)
2
−𝑁𝑥
; 
- calcular o momento horizontal 𝑀𝑦 dado em 𝑀𝑦 = 𝐷𝜋
2ℯ2 (
1
𝑏2
+
𝑣
𝑎2
); 
P á g i n a | 101 
 
 
- dimensionar a placa para esse momento e obter a taxa 𝜌𝑡 da armadura 
transversal. 
 
Para a imperfeição geométrica ℯ1 pode-se adotar: 
 
ℯ1 ≥ {
𝑎/400
𝑏/400
 
 
Na equação acima, monstram-se as variações de 𝜌𝑡 em função de 𝜌 e da 
relação b/t, obtidas com esse procedimento. Na elaboração dessa figura, adotou-se 
𝜑=2,5, v=0,2 e 𝛿=0,2. O concreto possui fck=20Mpa e o aço é o CA-50. No 
dimensionamento não foi verificada a armadura mínima de flexão. 
A taxa de armadura horizontal necessária, 𝜌𝑡, em cada face das lâminas do 
pilar-parede é inferior a 0,10% até para paredes com b/t=15. Essa é a taxa de 
armadura de pele, normalmente empregada para as vigas-parede. Essa armadura 
também é inferior àquela que é necessária para limitar as fissuras provocadas pela 
retração e por variações de temperatura. Para concretos de maior resistência, pode-
se empregar a expressão: 
 
𝜌𝑡 = 0,10 + 0,05 (
𝑓𝑐𝑘
20
− 1) 
 
Com fck em MPa e 𝜌𝑡 em porcentagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 102 
 
 
Figura 40: Taxa de armadura horizontal para considerar imperfeições localizadas. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Desse modo, pode-se concluir que o problema das imperfeições localizadas 
nos pilares-parede é de importância secundária. Nesses pilares, a principal função 
das armaduras pelo impedimento da retração e/ou das deformações de origem 
térmica. Se o pilar-parede estiver submetido a esforços cortantes elevados, a 
armadura horizontal também possui a função de resistir a esses esforços, devendo 
ser convenientemente dimensionada para esse fim. 
 
Exercício Resolvido 01 
Na figura a seguir, apresenta-se a seção transversal de 
um pilar-parede, armado com 40 barras de 20 mm. A taxa de 
armadura é 𝜌 = 1,01%. Essa é a solução obtida do 
dimensionamento do pilar-parede sem levar em conta a 
flambagem local. O concreto possui resistência 𝑓𝑐𝑘 = 40 𝑀𝑝𝑎. 
P á g i n a | 103 
 
 
Figura 41: Seção transversal do pilar-parede sem considerar a flambagem local. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Empregando a equação: 
𝜆𝑐𝑟 = 243 . (0,5 − 𝛿). √
 𝜌 .𝜎𝑠𝑑2
𝜌 .𝜎𝑠𝑑2+ 𝜎𝑐𝑑
, obtém-se o índice de esbeltez crítico de 
𝜆𝑐𝑟 = 27,5. Conforme foi mostrado anteriormente, esse pilar-parede apresenta 
problema de flambagem local nas lâminas de borda, pois essas lâminas possuem 
um índice de esbeltez 𝜆 = 49. Portanto, essas duas lâminas deverão ser reforçadas. 
Empregando a equação: 
𝜀𝑐𝑟
2 − (𝐴 + 2. 𝜀0 + 𝐵𝜌). 𝜀𝑐𝑟 + [𝐴. 𝜀0 + 6. 𝐴. 𝐵. (1 − 𝜈
2). ∑ 𝜌𝑖 . 𝛽𝑖
2𝑚
𝑖=1 ] = 0, obtém-se 
a deformação crítica 𝜀𝑐𝑟 = 0,00166. Com esse valor, calcula-se o fator de redução de 
capacidade Ψ = 0,9385. Observa-se que, como Ψ < 1, haverá necessidade de 
reforçar as duas lâminas de borda. 
Como o concreto é do grupo I, tanto faz comparar 𝜆 com 𝜆𝑐𝑟, quanto verificar 
se Ψ é menor que do que 1, para saber se haverá flambagem local. Porém, a 
equação que fornece 𝜆𝑐𝑟 só é válida para os concretos do grupo I. Portanto, para os 
concretos do Grupo II, a verificação deve ser feita através do fator de redução de 
capacidade Ψ. Substituindo 𝜀𝑐𝑟 = 0,00166 nas equações: 
P á g i n a | 104 
 
 
𝜎𝑐 = 𝜎𝑐𝑑 [1 − (1 −
𝜀𝑐𝑟
𝜀𝑜
)
𝑛
] ≤ 𝜎𝑐𝑑 
𝜎𝑠 = 𝐸𝑠𝜀𝑐𝑟 ≤ 𝑓𝑦𝑑 
 
Obtêm-se as tensões 𝜎𝑐 e 𝜎𝑠. Finalmente substituindo na equação: 
𝜌𝑛𝑒𝑐 =
𝜌𝑓𝑦𝑑+𝜎𝑐𝑑−𝜎𝑐
𝜎𝑠
, obtém-se 𝜌𝑛𝑒𝑐 = 1,54%. 
 
Assim, o acréscimo de armadura nas duas lâminas de borda, em decorrência 
da flambagem local, é de 1,54/1,01 = 1,52, ou seja, 52%. Na figura a seguir, 
apresentam-se as armaduras na seção do pilar-parede, considerando os efeitos da 
flambagem local. 
Figura 42: Seção transversal do pilar-parede com consideração da flambagem local. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ Os efeitos locais da flambagem das lâminas dos pilares-parede; 
✓ O dimensionamento dos pilares-parede; 
✓ As imperfeições geométricas locais em pilares-parede. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este artigo de comparação entre pilares de 
concreto e pilares de aço: 
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2006/inic/inic/07/I
NIC000071ok.pdf. 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 4 
Exercícios 
 
 
 
 
 
Na figura a seguir, apresenta-se a seção transversal de 
um pilar-parede, armado com 30 barras de 16 mm. Essa é a 
solução obtida do dimensionamento do pilar-parede sem levar 
em conta a flambagem local. O concreto possui resistência 
𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑝𝑎. 
Figura 43: Exercício. 
 
Fonte: (EXERCÍCIO..., 2018) 
 
 
 
 
 
Cálculo dos pilares 
contraventados – Parte I 
Aula 5 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula continuaremos a estudar sobre os pilares, agora veremos sobre as 
situações dos projetos e situações de cálculo. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Entender como é a disposição dos pilares em projetos; 
➢ Entender como é a disposição dospilares no dimensionamento dos 
pilares. 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 110 
 
 
5 CÁLCULO DOS PILARES CONTRAVENTADOS – PARTE I 
5.1 Introdução 
Conforme foi salientado no capítulo anterior, em uma estrutura podem-se 
distinguir duas subestruturas que têm finalidades distintas. A primeira, denomina 
subestrutura de contraventamento, é aquela formada por elementos de maior 
rigidez, cuja função principal é resistir às ações horizontais. Evidente, a subestrutura 
de contraventamento também resiste a uma parcela do carregamento vertical. 
A subestrutura de contraventamento, além de absorver as ações horizontais 
que atuam na estrutura, deve possuir uma rigidez suficiente para garantir a 
indeslocabilidade, conforme o critério apresentado no capítulo anterior. 
A outra subestrutura, denominada subestrutura contraventada, resiste apenas 
ao carregamento vertical. Os pilares dessa subestrutura, denominados de pilares 
contraventados, podem ser calculados como se eles fossem apoiados nos níveis das 
lajes. Assim, os efeitos de segunda ordem nesses pilares são localizados. 
Nesse capítulo, são representadas as situações de cálculo dos pilares 
contraventados submetidos às cargas verticais. Para cada categoria de pilar é feito 
um exemplo de dimensionamento. Os mesmos critérios de projeto podem ser 
empregados para o dimensionamento dos pilares de contraventamento. Entretanto, 
para os pilares de contraventamento, os momentos iniciais são determinados 
levando-se em conta as cargas verticais e a ação do vento. 
5.2 Situações de projeto dos pilares 
Dependendo do seu posicionamento na estrutura, os pilares podem ser 
classificados como pilares intermediários, pilares de extremidade ou pilares de 
canto. A figura abaixo esclarece essa classificação: 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 111 
 
 
Figura 44: Classificação dos pilares quanto à situação de projetos 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Os pilares intermediários são assim denominados por corresponderem a 
apoios intermediários para vigas. Considerando apenas o carregamento vertical 
atuante nas vigas, verifica-se que os momentos que são transmitidos a esses pilares 
são pequenos e, em geral, podem ser desprezados. Quando os vãos da viga, 
adjacentes ao pilar, forem muito diferentes entre si, ou quando há significativa 
diferença no carregamento desses vãos, pode ser necessário considerar os 
momentos iniciais transmitidos pela viga. Para isso, pode se empregar o modelo da 
figura abaixo, considerando um tramo de viga opera cada lado do pilar. 
Dessa forma, um pilar intermediário contraventado está em uma situação de 
projeto de compressão centrada, a menos que, por razões construtivas, a força de 
compressão não atue no seu eixo. Isto pode ocorrer quando há uma variação nas 
dimensões da seção transversal do pilar ou quando as vigas são excêntricas em 
relação ao seu eixo. Os pilares de extremidade correspondem a apoios de 
extremidade para vigas. Neste caso, os momentos transmitidos pelas vigas devem 
ser considerados e a situação de projetos é de flexo-compressão normal. 
Esses momentos são obtidos resolvendo-se o pórtico ao qual pertencem o 
pilar e as vigas que nele terminam. Entretanto, a ABNT NBR-6118 permite que se 
P á g i n a | 112 
 
 
faça um cálculo aproximado, adotando-se a seguinte distribuição de momentos nos 
nós do pórtico: 
 
- pilar inferior ao nó: 𝑀𝑖𝑛𝑓 = 𝑀𝑒𝑛𝑔
𝑟𝑖𝑛𝑓
𝑟𝑖𝑛𝑓+𝑟𝑠𝑢𝑝+𝑟𝑣𝑖𝑔
 
 
- pilar superior ao nó: 𝑀𝑠𝑢𝑝 = 𝑀𝑒𝑛𝑔
𝑟𝑠𝑢𝑝
𝑟𝑖𝑛𝑓+𝑟𝑠𝑢𝑝+𝑟𝑣𝑖𝑔
 
 
Onde 𝑀𝑒𝑛𝑔 é o momento de engastamento perfeito e 𝑟 = 𝛼𝐼/𝑙 é o coeficiente 
de rigidez, sendo 𝐼 o momento de inércia da seção transversal e 𝑙 o vão. 
 
Os coeficientes de rigidez das barras são obtidos com o modelo indicado na 
figura abaixo. Quando a viga possuir um único vão, o engaste perfeito deve ser 
substituído por um apoio simples. Neste caso, o coeficiente de rigidez da viga é 
𝑟𝑣𝑖𝑔 = 3𝐼𝑣𝑖𝑔/𝑙𝑣𝑖𝑔. 
Figura 45: Modelo para o cálculo dos momentos no pilar. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Quando a extremidade oposta do pilar for engastada, o momento fletor nessa 
extremidade pode ser calculado com uma das expressões anteriores e dividindo por 
(-2). Na figura abaixo, apresenta-se a destruição dos momentos para os pilares de 
extremidade. 
P á g i n a | 113 
 
 
Figura 46: Momentos iniciais nos pilares de extremidade. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para os pilares de canto a situação de projetos é de flexo-compressão 
oblíqua, já que devem ser considerados os momentos transmitidos por ambas as 
vigas que nele terminam. A expressões (figuras acima) podem ser empregadas para 
duas direções. 
5.3 Situações de cálculo dos pilares 
5.3.1 Pilares intermediários 
Conforme foi visto anteriormente, a situação de projeto dos pilares 
intermediários é de compressão centrada, já que os momentos transmitidos pelas 
vigas podem ser desprezados. Dessa forma, admite-se que a força normal de 
cálculo 𝐹𝑑 atue no centroide das seções transversais de concreto. Entretanto, a 
ABNT NBR-6118, assim como as demais normas de projeto, exige a consideração 
de uma excentricidade acidental em todos os casos. Essa excentricidade tem por 
objetivo levar em conta possíveis imperfeições no eixo do pilar, com o consequente 
desvio desse eixo em relação à posição vertical. 
De acordo com o CEB/90, a excentricidade acidental a ser considerada para 
os pilares contraventados é dada por: 
𝑒𝑎 =
𝑎𝑎𝑙𝑒
2
 
P á g i n a | 114 
 
 
 
Onde, 
𝑎𝑎 =
1
100√𝑙
≤
1
200
 
 
Nessas expressões, 𝑙 é o comprimento real do pilar em metros, 𝑙𝑒 é o 
comprimento de flambagem e 𝑎𝑎 é a inclinação do eixo do pilar em relação à vertical. 
Adotando o máximo valor para a inclinação 𝑎𝑎 = 1/200, resulta uma 
excentricidade acidental: 
 
𝑒𝑎 =
𝑙𝑒
400
 
 
A ABNT NBR-6118 adota a mesma formulação do CEB/90 para a 
consideração das imperfeições geométricas. Porém ela exige a consideração de 
uma excentricidade de primeira ordem mínima, 𝑒1,𝑚𝑖𝑛, dada por: 𝑒1,𝑚𝑖𝑛 = 1,5 + 0,03ℎ 
 
Onde h é a altura da seção transversal do pilar na direção considerada, em 
centímetros. 
 
A expressão acima foi extraída do código de projeto do ACI. Assim, mesmo 
estando em uma situação de projeto de compressão centrada, os pilares 
intermediários devem ser dimensionados à flexo-compressão. 
Na figura abaixo-a, indica-se a situação de projetos dos pilares intermediários, 
onde x e y são duas direções principais para as quais o pilar deve ser dimensionado. 
Os pilares intermediários devem ser dimensionados considerando-se a força 
normal aplicada no eixo x e eixo y, com excentricidades 𝑒𝑥 e 𝑒𝑦 , conforme é 
indicada na figura abaixo (casos b e c). A armadura a ser adotada é a maior obtida 
nos dois dimensionamentos, ou seja, não é feita a superposição das armaduras. 
A excentricidade 𝑒𝑥 é dada por: 𝑒𝑥 = 𝑒1𝑥 + 𝑒2𝑥 + 𝑒𝑐𝑥 
 
Onde 𝑒1𝑥 = excentricidade de primeira ordem, 𝑒2𝑥 = excentricidade de 
segunda ordem e 𝑒𝑐𝑥 = excentricidade de fluência na direção x. 
P á g i n a | 115 
 
 
Figura 47: Situação de projeto e situações de cálculo dos pilares intermediários 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A excentricidade acidental 𝑒𝑎𝑥 é obtida da relação: 𝑒𝑐𝑥 =
𝑙𝑒𝑥
400
 
 
Onde 𝑙𝑒𝑥 é o comprimento de flambagem do pilar na direção x. 
 
A excentricidade de primeira ordem mínima é dada por 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 = 1,5 + 0,03ℎ𝑥. 
Logo, na equação deve-se adotar para 𝑒1𝑥 o maior valor entre 𝑒𝑎𝑥 e 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 (𝑒1𝑥 =
𝑒𝑎𝑥 ≥ 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛). A excentricidade de segunda ordem, 𝑒2𝑥, é dada por: 
 
𝑒2𝑥 = 
𝑙𝑒𝑥
2
10
0,005
(𝑣𝑜 + 0,5)ℎ𝑥
 
 
 
 
O parâmetro 𝑣𝑜 é dado por: 𝑣𝑜 =
𝐹𝑑
𝐴𝑐𝑓𝑐𝑑
≥ 0,5 
 
Onde 𝐴𝑐 = ℎ𝑥ℎ𝑦 é a área da seção transversal e 𝑓𝑐𝑑 é a resistência à 
compressão de cálculo do concreto. 
 
P á g i n a | 116 
 
 
A excentricidade de fluência 𝑒𝑐𝑥, é dada por:𝑒𝑐𝑥 = 𝑒1𝑥 [𝑒
𝜑∞𝐹𝑔
𝑃𝑒𝑥−𝐹𝑔
−1
] 
 
Onde 𝑃𝑒𝑥 =
𝜋2𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐𝑥
𝑙𝑒𝑥
2 é a carga Euler na direção x. 
 
Como uma simplificação a favor da segurança, pode-se adotar 𝐹𝑔 = 𝐹𝑘. 
Na expressão acima (excentricidade de fluência), adota-se 𝑒1𝑥 = 𝑒𝑎𝑥, sem 
necessidade de respeitar a excentricidade mínima. Com o esforço normal de cálculo 
𝑁𝑑 = 𝐹𝑑 e com o momento fletor de cálculo 𝑀𝑑 = 𝐹𝑑𝑒𝑥, dimensiona-se a seção em 
flexo-compressão normal na direção x. Para a direção y considera-se a 
excentricidade: 
 
𝑒𝑦 = 𝑒1𝑦 + 𝑒2𝑦 + 𝑒𝑐𝑦 
 
Onde 𝑒1𝑦, 𝑒2𝑦 e 𝑒𝑐𝑦 são obtidas de forma análoga. 
 
Em ambos os casos, pode-se desprezar a excentricidade de fluência quando 
o índice de esbeltez for menor ou igual a 50. Evidentemente, o pilar deve possuir um 
índice de esbeltez máximo igual a 90, já que além deste limite o pilar é considerado 
esbelto. 
5.3.2 Pilares de extremidade 
Para os pilares de extremidade, a situação de projeto é a indicada na figura 
abaixo-a, onde se admite que a força normal de cálculo atue no eixo x com uma 
excentricidade inicial 𝑒𝑖𝑥. Essa excentricidade é devida aos momentos fletores 
transmitidos pelas vigas, os quais podem ser calculados com o emprego das 
equações anteriores -pilar inferior ao nó e pilar superior ao nó-. O diagrama de 
excentricidades iniciais na direção x é apresentado na figura 49, em concordância 
em a distribuição triangular dos momentos fletores. O pilar deve ser dimensionado 
para as duas situações de cálculo indicadas na figura abaixo (casos b e c). 
P á g i n a | 117 
 
 
Figura 48: Situação de projeto e situações de cálculo dos pilares de extremidade 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Figura 49: Excentricidades iniciais nos pilares de extremidade 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
1) Dimensionamento segundo a direção x 
Em virtude da forma triangular do diagrama de momentos iniciais, não se 
sabe a priori qual é a seção do pilar que é a mais solicitada. Por isso, nessa direção 
P á g i n a | 118 
 
 
devem ser feitos dois dimensionamentos: um para a seção do extremo com a maior 
excentricidade inicial e outro para uma seção intermediária. 
- Seção de extremidade: Admitindo-se que 𝑒𝑖𝑎 seja positiva e 𝑒𝑖𝑎 ≥ |𝑒𝑖𝑏|, 
sendo 𝑒𝑖𝑏 negativa se elas forem de sentidos opostos, o dimensionamento da seção 
do extremo “a” deve ser feito com a excentricidade 𝑒𝑥 dada por: 
 
𝑒𝑥 = 𝑒𝑖𝑎 + 𝑒𝑎𝑥 ≥ 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 
 
Onde 𝑒𝑎𝑥 é a excentricidade acidental dada na equação 𝑒𝑎𝑥 =
𝑙𝑒𝑥
400
 e 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 =
1,5 + 0,03ℎ𝑥. 
 
Nesta seção, não são consideradas as excentricidades de segunda ordem e 
de influência já que, por hipótese, o pilar é indeslocável nos seus extremos (o 
deslocamento transversal é impedido). 
- Seção intermediária: A excentricidade inicial, 𝑒𝑖𝑥, a ser adotada para uma 
seção intermediária considera-se é o maior dos valores: 
𝑒𝑖𝑥 ≥ {
0,6𝑒𝑖𝑎 + 0,4𝑒𝑖𝑏
0,4𝑒𝑖𝑎
 
 
Assim, em uma seção intermediária considera-se a excentricidade: 𝑒𝑥 = 𝑒1𝑥 +
𝑒2𝑥 + 𝑒𝑐𝑥 
 
Onde 𝑒1𝑥 = 𝑒𝑎𝑥 ≥ 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛. 
 
A excentricidade de fluência, 𝑒𝑐𝑥, é calculada através da equação 
𝑒𝑐𝑥 = 𝑒1𝑥 [𝑒
𝜑∞𝐹𝑔
𝑃𝑒𝑥−𝐹𝑔
−1
], considerando a excentricidade de primeira ordem verdadeira 
𝑒1𝑥 = 𝑒𝑖𝑥 + 𝑒𝑎𝑥, sem respeitar a excentricidade mínima. 
O dimensionamento segundo a direção x é feito como maior valor de 𝑒𝑥, 
resultante das equações 𝑒𝑥 = 𝑒𝑖𝑎 + 𝑒𝑎𝑥 ≥ 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 e 𝑒𝑥 = 𝑒1𝑥 + 𝑒2𝑥 + 𝑒𝑐𝑥. 
Se os efeitos decorrentes dos deslocamentos transversais do eixo do pilar são 
pequenos (𝑒2𝑥 𝑒 𝑒𝑐𝑥 são pequenos), a maior excentricidade será a da equação 𝑒𝑥 =
 𝑒𝑖𝑎 + 𝑒𝑎𝑥 ≥ 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛, indicando que o pilar é curto e que a ruína ocorrerá na seção de 
P á g i n a | 119 
 
 
extremidade. Em caso contrário, quando o pilar for moderadamente esbelto, a 
equação 𝑒𝑥 = 𝑒1𝑥 + 𝑒2𝑥 + 𝑒𝑐𝑥 fornecerá um valor maior para 𝑒𝑥. Esse procedimento 
de projeto fornece bons resultados, ficando a solução a favor da segurança. 
 
2) Dimensionamento segundo a direção y 
Para esta direção, considera-se a excentricidade 𝑒𝑦 = 𝑒1𝑦 + 𝑒2𝑦 + 𝑒𝑐𝑦, onde: 
 
𝑒𝑦 ≥ {
𝑒𝑎𝑦
𝑒1𝑦,𝑚𝑖𝑛 = 1,5 + 0,03ℎ𝑦
 
 
A excentricidade de fluência 𝑒𝑐𝑦 é calculada como para os pilares 
intermediários, ou seja, considerando 𝑒1𝑦 = 𝑒𝑎𝑦. 
Observa-se que a seção do pilar é dimensionada à flexo-compressão normal 
nas duas situações de cálculo. A eventual consideração de flexão oblíqua em uma 
segunda situação de cálculo é desnecessária, pois, em geral, o dimensionamento 
predominante corresponde à primeira situação de cálculo. 
5.3.3 Pilares de canto 
Nos pilares de canto, devem-se considerar os momentos iniciais transmitidos 
pelas vigas que nele terminam, segundo as duas direções. Dividindo esses 
momentos pela força normal, obtêm-se os diagramas de excentricidades iniciais 
representados na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 120 
 
 
Figura 50: Pilar de canto com excentricidades iniciais segundo as duas direções. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Observa-se que todas as seções transversais do pilar estão submetidas à 
flexo-compressão oblíqua, como uma condição inicial. Neste caso, os 
dimensionamentos devem ser feitos sempre à flexo-compressão oblíqua. De um 
modo geral, devem ser adotadas seis situações de cálculo: duas para a seção do 
topo, duas para a seção da base e duas para uma seção intermediária do pilar. 
1) Situações de cálculo na seção de topo do pilar 
A situação de projeto na seção de topo do pilar é apresentada na fig. abaixo-
a, onde 𝑒𝑖𝑥,𝑡 e 𝑒𝑖𝑦,𝑡 são as excentricidades iniciais nas duas direções. As duas 
situações de cálculo para essa seção correspondem aos casos b e c da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 121 
 
 
Figura 51: Situação de projeto e situações de cálculo para a seção de topo do pilar de canto 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Situação de cálculo 1: 
 
𝑒𝑥 = 𝑒1𝑥 ; 𝑒𝑦 = 𝑒𝑖𝑦,𝑡 
Onde: 
𝑒1𝑥 = 𝑒𝑖𝑥,𝑡 + 𝑒𝑎𝑥 ≥ 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 
 
Situação de cálculo 2: 
 
𝑒𝑥 = 𝑒𝑖𝑥,𝑡 ; 𝑒𝑦 = 𝑒1𝑦 
Onde: 
𝑒1𝑦 = 𝑒𝑖𝑦,𝑡 + 𝑒𝑎𝑦 ≥ 𝑒1𝑦,𝑚𝑖𝑛 
 
2) Situações de cálculo na seção da base do pilar 
A situação de projeto na seção da base do pilar é apresentada na fig. abaixo-
a, onde e são as excentricidades iniciais nas duas direções, consideradas em valor 
absoluto, pois se admite que a seção do pilar possui dupla simetria. Para uma seção 
transversal genérica, é necessário considerar o sinal negativo das excentricidades. 
As duas situações de cálculo para essa seção correspondem aos casos b e c da 
figura. 
P á g i n a | 122 
 
 
Figura 52: Situação de projeto e situações de cálculo para a seção da base do pilar de 
canto 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Situações de cálculo 3: 
 
𝑒𝑥 = 𝑒1𝑥 ; 𝑒𝑦 = 𝑒𝑖𝑦,𝑏 
Onde: 
𝑒1𝑥 = 𝑒𝑖𝑥,𝑏 + 𝑒𝑎𝑥 ≥ 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 
 
Situações de cálculo 4: 
 
𝑒𝑥 = 𝑒𝑖𝑥,𝑏 ; 𝑒𝑦 = 𝑒1𝑦 
Onde: 
𝑒1𝑦 = 𝑒𝑖𝑦,𝑏 + 𝑒𝑎𝑦 ≥ 𝑒1𝑦,𝑚𝑖𝑛 
 
 
3) Situações de cálculo na seção intermediária do pilar 
A situação de projeto na seção intermediária do pilar é apresentada na figura 
abaixo-a, onde e são as excentricidades iniciais nas duas direções. As duas 
situações de cálculo para essa seção correspondem aos casos b e c da figura. 
P á g i n a | 123 
 
 
Figura 53: Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária do pilar de 
canto 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
As excentricidades iniciais na seção intermediária são dadas por: 
 
𝑒𝑖𝑥 ≥ {
0,6𝑒𝑖𝑥,𝑡 + 0,4𝑒𝑖𝑥,𝑏
0,4𝑒𝑖𝑥,𝑡
 ; 𝑒𝑖𝑦 ≥ {
0,6𝑒𝑖𝑦,𝑡 + 𝑜, 4𝑒𝑖𝑦,𝑏
0,4𝑒𝑖𝑦,𝑡
 
 
Onde se admite que as maiores excentricidades, em valor absoluto, ocorrem 
na seção do topo. Como se trata da seção intermediária, devem-se considerar as 
excentricidades de segunda ordem e de fluência. 
Situações de cálculo 5: 
𝑒𝑥 = 𝑒1𝑥 + 𝑒2𝑥+ 𝑒𝑐𝑥 ; 𝑒𝑦 = 𝑒𝑖𝑦 
 
Onde: 
𝑒1𝑥 = 𝑒𝑖𝑥 + 𝑒𝑎𝑥 ≥ 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 
 
Situações de cálculo 6: 
𝑒𝑥 = 𝑒𝑖𝑥 ; 𝑒𝑦 = 𝑒1𝑦 + 𝑒2𝑦 + 𝑒𝑐𝑦 
 
P á g i n a | 124 
 
 
Onde: 
𝑒1𝑦 = 𝑒𝑖𝑦 + 𝑒𝑎𝑦 ≥ 𝑒1𝑦,𝑚𝑖𝑛 
 
Observa-se que, em uma situação geral, devem-se realizar seis 
dimensionamentos há flexo-compressão oblíqua para saber qual é a situação de 
cálculo crítica. Quando esses dimensionamentos são feitos com o emprego de 
algum software, obtém-se a solução final com relativa facilidade. 
Entretanto, o projeto dos pilares de canto pode ficar extremamente trabalhoso, 
quando o dimensionamento é feito por meio de tabelas. Nesses casos, é 
conveniente analisar a ordem de grandeza das excentricidades antes da realização 
do dimensionamento, para eliminar aquelas situações de cálculo visivelmente 
irrelevantes. Isto é feito no exemplo 3, apresentado a seguir. Determinar os 
momentos fletores que a viga VX transmite ao pilar PY da figura a seguir. A viga é 
solicitada por uma carga uniformemente distribuída igual a 8 kN/m. 
Figura 54: Determinação dos momentos iniciais no pilar PY. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Resolução: O Primeiro passo é encontrar o momento de engastamento 
perfeito: 
𝑀𝑒𝑛𝑔 =
𝑝𝑙𝑣𝑖𝑔𝑎
2
12
 = 
8𝑥4,08²
12
= 11,10 𝑘𝑁𝑚 
P á g i n a | 125 
 
 
 
Onde 𝑙𝑣𝑖𝑔𝑎 = 4,08 𝑚 é o vão de cálculo da viga. 
 
O próximo passo é calcularmos o coeficiente de rigidez da viga: 
𝐼𝑣𝑖𝑔𝑎 =
𝑏ℎ3
12
 = 
12𝑥40³
12
= 64000 𝑐𝑚4 ; 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 = 
4𝐼𝑣𝑖𝑔𝑎
𝐼𝑣𝑖𝑔𝑎
= 
4𝑥64000
408
= 627 𝑐𝑚³ 
 
Agora vamos repetir o cálculo, porém para os pilares, ou seja, rigidez dos 
pilares: 
𝐼𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 =
𝑏ℎ3
12
 = 
60𝑥20³
12
= 40000 𝑐𝑚4 ; 𝑟𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 
4𝐼𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
𝐼𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
= 
4𝑥40000
300
= 800 𝑐𝑚³ 
 
Vamos encontrar agora, os momentos iniciais no pilar: 
No andar tipo 
 
𝑀𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 𝑀𝑒𝑛𝑔 .
𝑟𝑝
2𝑟𝑝 + 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎
= 11,10 .
800
2𝑥800 + 627
= 3,99 𝑘𝑁𝑚 
 
No topo 
 
𝑀𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 𝑀𝑒𝑛𝑔 .
𝑟𝑝
𝑟𝑝 + 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎
= 11,10 .
800
800 + 627
= 6,22 𝑘𝑁𝑚 
 
Podemos observar que, no topo, não existe o pilar superior, ocorrendo um 
aumento do momento fletor no pilar. Por esse motivo, pode haver um acréscimo de 
armadura do pilar na passagem do penúltimo para o último pavimento. O diagrama 
de momentos é mostrado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 126 
 
 
Figura 55: Diagrama de momentos iniciais no pilar PY. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ As situações de projeto dos pilares; 
✓ As situações de dimensionamento dos pilares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este artigo de comparação entre pilares de 
concreto e pilares de aço: 
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2006/inic/inic/07/I
NIC000071ok.pdf. 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 5 
Exercícios 
 
 
 
 
 
Determinar os momentos fletores que a viga V5 
transmite ao pilar P2 da figura a seguir. A viga é solicitada por 
uma carga uniformemente distribuída igual a 10 kN/m. 
Figura 56: Exercício. 
 
Fonte: (EXERCÍCIO..., 2018) 
 
 
 
 
Cálculo dos pilares 
contraventados – Parte II 
Aula 6 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula continuaremos a estudar sobre os pilares, agora iremos 
dimensionar alguns pilares contraventados. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Entender como é o dimensionamento dos pilares contraventados; 
➢ Entender como são as simplificações para os pilares contraventados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6 CÁLCULO DOS PILARES CONTRAVENTADOS – PARTE II 
6.1 Introdução 
Continuando os estudos de pilares contraventados, veremos agora alguns 
exemplos de dimensionamento. 
6.2 Exemplos de dimensionamentos 
Em todos os exemplos apresentados a seguir, são fixados os seguintes 
dados: 
 
𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑃𝑎 ; Aço CA-50 (𝑓𝑦𝑘 = 𝑘𝑁/𝑐𝑚
2); 
𝜑∞ = 2,5 ; 𝑙𝑒 = 4 m nas duas direções; 
𝛾𝑓 = 1,4; 𝛾𝑐 = 1,4; 𝛾𝑠 = 1,15; 
𝐹𝑘 = 857𝑘𝑁  𝐹𝑑 = 1,4 𝐹𝑘 = 1200 𝑘𝑁 
 
Cálculos preliminares: 
 
𝑓𝑐𝑑 =
2
1,4
≅ 1,4 𝑘𝑁/𝑐𝑚2; 𝑓𝑦𝑑 =
50
1,15
= 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
𝐸𝑐𝑠 = 0,85.21500 (
𝑓𝑐𝑘 + 8
10
)
1
3
= 25760𝑀𝑃𝑎 
𝐸𝑐𝑠 = 25760 𝑘𝑁/𝑐𝑚
2 
𝑒𝑎𝑥 = 𝑒𝑎𝑦 = 
𝑙𝑒
400
=
400
400
= 1 𝑐𝑚 (excentricidade acidentais) 
6.3 Simplificações para os pilares contraventados dos edifícios 
De um modo geral, o projeto dos pilares contraventados dos edifícios pode 
ser bastante simplificado, em virtude dos pequenos valores dos momentos iniciais. 
Além disso, quase sempre o índice de esbeltez 𝜆 é menor do que 50, podendo-se 
desprezar a consideração da fluência do concreto. Os momentos iniciais nos pilares, 
decorrentes do carregamento vertical atuante nas vigas, pode ser obtido através do 
modelo representado na figura. Ao longo dos andares tipo, os pilares possuem 
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alturas iguais 𝑙𝑠𝑢𝑝 = 𝑙𝑖𝑛𝑓 = 𝑙. Admitindo que a seção transversal do pilar permaneça 
constante no trecho considerado, tem 𝑟𝑠𝑢𝑝 = 𝑟𝑖𝑛𝑓 = 𝑟𝑝. Consequentemente, os 
momentos transmitidos ao pilar inferior, 𝑀𝑖𝑛𝑓, e ao pilar superior, 𝑀𝑠𝑢𝑝, são iguais. 
Na figura abaixo apresentam-se o modelo de cálculo e o diagrama de 
momentos fletores iniciais correspondente. 
Figura 57: Modelo de cálculo e momentos iniciais nos pilares de extremidade 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Empregando as equações 𝑀𝑖𝑛𝑓 = 𝑀𝑒𝑛𝑔
𝑟𝑖𝑛𝑓
𝑟𝑖𝑛𝑓+𝑟𝑠𝑢𝑝+𝑟𝑣𝑖𝑔
 e 𝑀𝑠𝑢𝑝 =
𝑀𝑒𝑛𝑔
𝑟𝑠𝑢𝑝
𝑟𝑖𝑛𝑓+𝑟𝑠𝑢𝑝+𝑟𝑣𝑖𝑔
, obtém-se o momento fletor inicial 𝑀𝑖 nas extremidades dos pilares. 
 
𝑀𝑖 = 𝑀𝑒𝑛𝑔 (
𝑟𝑝
2𝑟𝑝 + 𝑟𝑣𝑖𝑔
) 
 
Onde 𝑀𝑒𝑛𝑔 é o momento de engastamento perfeito 𝑟𝑝 é o coeficiente de 
rigidez dos pilares e 𝑟𝑣𝑖𝑔 é o coeficiente de rigidez da viga. O momento fletor na viga 
é dado por: 
 
𝑀𝑣𝑖𝑔 = 𝑀𝑒𝑛𝑔(
𝑟𝑝
2𝑟𝑝 + 𝑟𝑣𝑖𝑔
) 
 
Comparando as duas últimas equações, verifica-se que: 𝑀𝑖 =
𝑀𝑣𝑖𝑔
2
 
P á g i n a | 134 
 
 
A equação acima mostra que o momento que é transmitido aos pilares é igual 
à metade do momento fletor na extremidade da viga, independentemente da rigidez 
desses elementos. Portanto, os momentos iniciais no pilar dependem basicamente 
da capacidade resistente da viga junto ao apoio de extremidade. Na figura abaixo, 
apresentam-se dois exemplos típicos de ligação da viga com os pilares de 
extremidade dos edifícios. O maior momento fletor de serviço 𝑀𝑣𝑖𝑔 que pode atuar 
na extremidade da viga, no estado limite último, é o momento fletor de ruína 
característico 𝑀𝑢𝑘 da sua seção transversal. Na tabela 4, apresentam-se os 
momentos de ruínas das duas seções típicas consideradas. 
Figura 58: Armaduras usuais na ligação de viga com pilar de extremidade contraventado 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
 
 
 
 
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Tabela 4: Tabela de momento fletor de ruína para seções das vigas 𝑴𝒖𝒌 (valores de 
serviço) 
Seção da viga 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑝𝑎 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑝𝑎 
20 x 40 11,2 11,5 
20 x 60 26,6 27,1 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Quando o momento na viga atinge o momento de ruína, ocorre o escoamento 
da armadura situada na face superior, formando-se uma rótula plástica na 
extremidade da viga, A partir desse estágio, mesmo que o carregamento na viga 
seja aumentado, a seção de extremidade não é capaz de suportar nenhum 
acréscimo de momento fletor. A viga passa a funcionar como rotulada no pilar de 
extremidade, para os acréscimos de carga. Desse modo, nenhum momento fletor 
adicional poderá ser transferido para os pilares. 
Entretanto, enquanto a viga estiver no estádio 1, sua seção transversal é 
capaz de suportar um momento fletor que pode ser maior do que 𝑀𝑢𝑘, pois o 
concreto tracionado colabora para a resistência da seção. O momento de fissuração 
𝑀𝑟 = 𝑏ℎ
2𝑓𝑐𝑡/6 é o maior momento fletor que pode ocorrer no estádio 1. 
Na tabela 5, apresentam-se os momentos de fissuração das 
duas seções típicas consideradas. Esses valores foram calculados com a resistência 
média à tração do concreto, isto é, 𝑓𝑐𝑡 = 𝑓𝑐𝑡𝑚. 
Tabela 5: Momento de fissuração para as seções das vigas Mr (valores de serviço em kNm) 
Seção da viga 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑝𝑎 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑝𝑎 
20 x 40 11,9 15,5 
20 x 60 26,7 34,9 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Comparando as duas últimas imagens, verifica-se que 𝑀𝑟 > 𝑀𝑢𝑘 para as duas 
seções indicadas na tabela, pois as armaduras dispostas na face superior não 
respeitam as armaduras mínimas. Conclui-se que os momentos iniciais nos pilares 
diminuem após a fissuração da viga. 
A pior situação para os pilares irá ocorrer se a viga permanecer no estádio 1 
até a carga de cálculo 1,4𝑝𝑘. No limite, o momento de cálculo 1,4𝑀𝑣𝑖𝑔 será igual ao 
momento de fissuração 𝑀𝑟. Assim, considerando apenas o maior valor de 𝑀𝑟 da 
tabela, chega-se ao valor máximo para momento de serviço na viga 𝑀𝑣𝑖𝑔 =
34,9
1,4
≅
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25 kNm. Substituindo esse valor na equação 𝑀𝑖 =
𝑀𝑣𝑖𝑔
2
, resulta o momento 
inicial no pilar 𝑀𝑖=12,5 kNm. Esse valor pode ser considerado como um valor 
máximo, que só irá ocorrer se a viga permanecer no estádio 1 até a carga de cálculo 
1,4𝑝𝑘. As excentricidades iniciais nas extremidades do pilar são dadas por: 
 
𝑒𝑖𝑎 = −𝑒𝑖𝑏 =
𝑀𝑖
𝐹𝑘
 
 
Onde 𝐹𝑘 é a força normal de serviço no pilar. 
 
A excentricidade inicial na seção intermediária é 𝑒𝑖 = 0,4𝑒𝑖𝑎, conforme a 
equação 𝑒𝑖𝑥 ≥ {
0,6𝑒𝑖𝑎 + 0,4𝑒𝑖𝑏
0,4𝑒𝑖𝑎
. Logo, considerando o momento inicial 
𝑀𝑖=12,5 kNm, resulta uma excentricidade inicial 𝑒𝑖 = 500/𝐹𝑘 cm, na seção 
intermediária do pilar. 
Para uma altura padrão do pilar 𝑙 = 280 cm, a excentricidade acidental é 𝑒𝑖𝑎 =
𝑙
400
= 0,7𝑐𝑚. Assim, a excentricidade de primeira ordem é dada por: 
 
𝑒1 = 0,7 +
500
𝐹𝑘
, 𝑐𝑚 
 
Onde 𝐹𝑘 é a força normal de sérvio no pilar, em kN. 
 
Na figura abaixo, apresentam-se os cinco exemplos de pilares de extremidade 
que serão analisados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 59: Seções consideradas para os pilares de extremidade 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Na análise, consideram-se dois valores para o esforço normal reduzido, 𝑣𝑜 =
 𝐹𝑑
 𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑
 , onde 𝐹𝑑 = 1,4 𝐹𝑘 é o valor da força normal de cálculo no pilar. 
Na tabela 6, apresentam-se os valores da força normal de 
serviço nos pilares. 
Tabela 6: força normal de serviço 𝑭𝒌 (em kN) 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
P á g i n a | 138 
 
 
A partir dos valores de 𝐹𝑘, podem-se determinar as excentricidades de 
primeira ordem com o emprego da equação 𝑒1 = 0,7 +
500
𝐹𝑘
, 𝑐𝑚 . Esses valores são 
indicados na tabela 7. 
Tabela 7: Excentricidades da primeira ordem máximas na seção intermediária do pilar 𝒆𝟏 
(cm) 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
As excentricidades de primeira ordem mínimas, obtidas com o emprego da 
equação 𝑒1,𝑚𝑖𝑛 = 1,5 + 0,03ℎ, são indicadas na tabela 8. 
Tabela 8: Excentricidades de primeira ordem mínimas 𝒆𝟏,𝒎𝒊𝒏 (cm). 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Comparando as tabelas acima, conclui-se que a excentricidade de primeira 
ordem mínima é maior que a excentricidade de primeira ordem calculada, em quase 
todos os casos. Apenas para os pilares de dimensões muito reduzidas e com uma 
força normal muito baixa é que resulta 𝑒1>𝑒1,𝑚𝑖𝑛. Entretanto, para esses casos, o 
dimensionamento deverá indicar armadura mínima. 
P á g i n a | 139 
 
 
Conclui-se que, para os pilares contraventados dos edifícios, pode-se adotar 
sempre a excentricidade de primeira ordem mínima, 𝑒1,𝑚𝑖𝑛, necessidade de 
determinação dos momentos iniciais e da excentricidade acidental. Além disso, 
como em geral 𝜆 < 50, pede se considerar a excentricidade de fluência. Assim, para 
os pilares intermediários e para os pilares de extremidade, podem-se considerar as 
duas situações de cálculo simplificadas, representadas na figura tabela. Os dois 
dimensionamentos são feitos em flexo-compressão normal. Na primeira situação de 
cálculo, considera-se a excentricidade: 
 
𝑒𝑥 = 𝑒1,𝑚𝑖𝑛 + 𝑒2𝑥 
 
Onde 𝑒2𝑥 é a excentricidade de segunda ordem, dada na equação 
𝑒2𝑥 = 
𝑙𝑒𝑥
2
10
0,005
(𝑣𝑜+0,5)ℎ𝑥
, e 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 é a excentricidade de primeira ordem mínima, dada na 
equação 𝑒1,𝑚𝑖𝑛 = 1,5 + 0,03ℎ com ℎ𝑥 = ℎ. 
 
Na segunda situação de cálculo, considera-se a excentricidade: 𝑒𝑦 = 𝑒1𝑦,𝑚𝑖𝑛 +
𝑒2𝑦 
Figura 60: Situações de cálculo simplificadas para os pilares intermediários e para os 
pilares de extremidade 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
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As situações de cálculo dos pilares de canto são indicadas na figura 60. 
Figura 61: Situações de cálculo simplificadas para os pilares de canto 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
As duas situações de cálculo em flexo-compressão oblíqua são representadas 
pelos pontos 1 e 2 na figura 60. As excentricidades para o dimensionamento são as 
seguintes: 
Ponto 1: {
𝑒𝑥 = 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 + 𝑒2𝑥
𝑒𝑦 = 𝑒1𝑦,𝑚𝑖𝑛
 
Ponto 2: {
𝑒𝑥 = 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛
𝑒𝑦 = 𝑒1𝑦,𝑚𝑖𝑛 + 𝑒2𝑦
 
 
O dimensionamento à flexo-compressão oblíqua pode ser feito com o 
emprego das tabelas em anexo. 
Como uma simplificação adicional para os pilares de seção retangular, 
podem-se considerar as duas situações de cálculo em flexo-compressão normal, 
representadas pelos pontos 1a e 2ª na figura 60. Nesse caso, adotam-se as 
excentricidades equivalentes: 
 
𝑒′𝑥 = (𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 + 𝑒2𝑥) + 𝑒1𝑦,𝑚𝑖𝑛 (
ℎ𝑥
ℎ𝑦
) 
P á g i n a | 141 
 
 
𝑒′𝑦 = (𝑒1𝑦,𝑚𝑖𝑛 + 𝑒2𝑦) + 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 (
ℎ𝑦
ℎ𝑥
) 
 
As expressões acima são derivadas do processo simplificado de Montoya e 
ficam a favor da segurança, mas podem levar a uma solução antieconômica. 
Deve-se ressaltar que as simplificações apresentadas só podem ser adotadas 
para pilares contraventados. Para ospilares de contraventamento, é necessário 
empregar as situações de cálculo da seção 3.3. Nesses casos, os momentos iniciais, 
decorrentes da ação do vento e das cargas verticais atuantes nas vigas, não são 
cobertos pela excentricidade mínima. 
 
Exercício resolvido 01: Dimensionar o pilar intermediário da figura abaixo: 
Figura 62: Seção transversal do pilar intermediário. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Resolução: Vamos iniciar o dimensionamento do pilar pela direção de maior 
esbeltez: 
1. Dimensionando segundo a direção x do pilar 
a) Índice de esbeltez 
P á g i n a | 142 
 
 
 
𝜆𝑥 =
𝑙𝑒𝑥
√𝐼𝑐𝑥 𝐴𝑐
⁄
 =
𝑙𝑒𝑥√12
ℎ𝑥
 =
400√12
20
= 69 
 
b) Excentricidade de segunda ordem 
Como 𝜆𝑥 ≤ 90, o pilar é moderadamente esbelto, podendo-se empregar o 
processo simplificado da NBR-6118: 2014. 
𝜈0 = 
𝐹𝑑
𝐴𝑐𝑓𝑐𝑑
= 
1200
20𝑥50𝑥1,4
= 0,86 
 
Como 𝜈0 > 0,50, adota-se o valor calculado 𝜈0 = 0,86 
𝑒2𝑥 = 
𝑙𝑒𝑥
2
10
 .
0,005
(𝜈0 + 0,5)ℎ𝑥
 
𝑒2𝑥 = 
400²
10
 .
0,005
(0,86 + 0,5)20
= 2,94 𝑐𝑚 
 
c) Excentricidade de fluência (𝜆𝑥 > 50) 
𝐼𝑒𝑥 = 
ℎ𝑦ℎ𝑥
3
12
= 
50𝑥20³
12
= 33.333 𝑐𝑚4 
𝑃𝑒𝑥 = 
𝜋2𝐸𝑐𝑠𝐼𝑒𝑥
𝐼𝑒𝑥2
= 
𝜋2𝑥2576𝑥33.333
400²
= 5297 𝑘𝑛 
𝑒𝑐𝑥 = 𝑒𝑎𝑥 [𝑒
𝜑∞𝐹𝑔
𝑃𝑒𝑥−𝐹𝑔 − 1] = 1 [𝑒
2,5𝑥857
5297−857 − 1] = 0,62 𝑐𝑚 
 
d) Excentricidade mínima 
𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 = 1,5 + 0,03ℎ𝑥 = 2,1 𝑐𝑚 
 
e) Situação de cálculo 
𝑒1𝑥 ≥ {
𝑒𝑎𝑥 = 1,0
𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 = 2,1
→ 𝑒1𝑥 = 2,1 𝑐𝑚 
 
A excentricidade total na direção x é: 
 
𝑒𝑥 = 𝑒1𝑥 + 𝑒2𝑥 + 𝑒𝑐𝑥 
P á g i n a | 143 
 
 
𝑒𝑥 = 2,1 + 2,94 + 0,62 = 5,66 𝑐𝑚 
 
A situação de cálculo é indicada na figura abaixo. 
Figura 63: Primeira situação de cálculo do pilar. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
De forma inicial, podemos escolher uma disposição de barras de duas 
camadas. Os esforços de cálculo para o dimensionamento à flexo-compressão 
normalmente são os seguintes: 
𝑁𝑑 = 𝐹𝑑 = 1200 𝑘𝑁 
𝑀𝑑 = 𝑁𝑑𝑒𝑥 = 1200𝑥5,66 = 6792 𝑘𝑁𝑐𝑚 
 
O dimensionamento à flexo-compressão normalmente é feito com as tabelas 
que estão disponibilizadas no anexo. Observa-se que, para o dimensionamento à 
flexo-compressão normal segundo esta direção, a largura da seção transversal é 
b=50 cm e a altura é h = 20 cm. 
f) Dimensionamento 
 
𝜎𝑐𝑑 = 0,85𝑓𝑐𝑑 = 1,2 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
P á g i n a | 144 
 
 
𝜈 = 
𝑁𝑑
𝑏ℎ𝜎𝑐𝑑
= 
1200
50𝑥20𝑥1,2
= 1,0 
𝜇 = 
𝑀𝑑
𝑏ℎ²𝜎𝑐𝑑
= 
6792
50𝑥202𝑥1,2
= 0,28 
𝛿 = 
𝑑′
ℎ
= 
4
20
= 0,20 
 
Para uma seção com duas camadas de armadura e com 
𝛿 = 0,20, a tabela correspondente é a tabela A1.4 do anexo. Entretanto nessa 
tabela, obtém-se a taxa de armadura 𝜔 = 0,93. A área total da armadura é: 
 
𝐴𝑠 = 
𝜔𝑏ℎ𝜎𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
= 
0,93𝑥50𝑥20𝑥1,2
43,48
= 25,67 𝑐𝑚² 
 
Empregando a tabela A3.2, verifica-se que essa área é obtida adotando-se 8 
barras de 20 mm. A disposição das armaduras para atender ao dimensionamento na 
direção x é indicada na figura abaixo. 
Figura 64: Solução obtida no dimensionamento para a direção X. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
2. Dimensionamento segundo a direção y 
As excentricidades são calculadas de maneira análoga, resultando: 
P á g i n a | 145 
 
 
 
𝑒𝑎𝑦 = 1 𝑐𝑚; 𝑒1𝑦,𝑚𝑖𝑛 = 3 𝑐𝑚 → 𝑒1𝑦 = 3 
𝑒2𝑦 = 1,18 𝑐𝑚; 𝑒𝑐𝑦 = 0 𝑐𝑚 (𝑝𝑜𝑖𝑠 𝜆𝑦 = 28 < 50 
 
Logo, 𝑒𝑦 = 3 𝑐𝑚 + 1,18 = 4,18 𝑐𝑚. 
A segunda situação de cálculo é indicado na figura abaixo. 
Figura 65: Segunda situação de cálculo do pilar. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Observa-se que, para essa direção, é necessário dimensionar uma seção 
transversal com 4 camadas de armadura. Isso pode ser feito com o emprego da 
tabela A1.10 do anexo. Deve-se observar que, agora, a largura da seção é b=20 cm 
e a altura é h = 50 cm. Os esforços para dimensionamento são: 
 
𝑁𝑑 = 1200 𝑘𝑁; 𝑀𝑑 = 1200𝑥4,18 = 5016 𝑘𝑁𝑐𝑚 
 
Procedendo da forma usual, obtém-se a taxa mecânica de armadura 𝜔 = 0,21 
e a área de aço necessário é: 
 
P á g i n a | 146 
 
 
𝐴𝑠 = 
𝜔𝑏ℎ𝜎𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
= 
0,21𝑥20𝑥50𝑥1,2
43,48
= 5,80 𝑐𝑚² 
 
Como na seção já existe uma armadura com área de 25,13 cm², exigida pelo 
dimensionamento segundo a direção x, conclui-se que essa armadura satisfaz com 
bastante folga as exigências para a direção y. Portanto, a 
direção x é mais crítica. 
 
Exercício resolvido 02: Dimensionar o pilar de 
extremidade da figura abaixo. O diagrama de momentos iniciais 
de serviço no pilar também é indicado na figura. 
Figura 66: Seção transversal do pilar de extremidade e momentos iniciais de serviço. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Resolução: Vamos iniciar o dimensionamento do pilar pela direção de maior 
esbeltez: 
1. Dimensionando segundo a direção x do pilar 
a) Índice de esbeltez 
 
𝜆𝑥 =
𝑙𝑒𝑥
√𝐼𝑐𝑥 𝐴𝑐
⁄
 =
𝑙𝑒𝑥√12
ℎ𝑥
 =
400√12
20
= 69 
P á g i n a | 147 
 
 
 
b) Excentricidades iniciais 
Para obter as excentricidades iniciais, basta dividir os momentos iniciais de 
serviço pela força normal de serviço. 
𝑒𝑖𝑎 = 
2000
857
= 2,33 𝑐𝑚 ; 𝑒𝑖𝑏 = − 
1500
857
= −1,75 𝑐𝑚 
 
a) Excentricidade mínima 
𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 = 1,5 + 0,03ℎ𝑥 = 1,5 + 0,03𝑥20 = 2,1 𝑐𝑚 
 
Seção de extremidade 
𝑒𝑥 ≥ {
𝑒𝑖𝑎 + 𝑒𝑎𝑥 = 2,33 + 1 = 3,33 𝑐𝑚
𝑒𝑖𝑥,𝑚𝑖𝑛 = 2,1 𝑐𝑚
→ 𝑒𝑥 = 3,33 𝑐𝑚 
 
b) Excentricidade inicial na seção intermediária 
𝑒𝑖𝑥 ≥ {
0,6𝑒𝑖𝑎 + 0,4𝑒𝑖𝑏 = 0,6𝑥2,33 + 0,4(−1,75) = 0,70 𝑐𝑚
0,4𝑒𝑖𝑎 = 0,4𝑥2,33 = 0,93 𝑐𝑚
→ 𝑒𝑖𝑥 = 0,93 𝑐𝑚 
 
c) Excentricidade de segunda ordem 
Como 𝜆𝑥 ≤ 90, o pilar é moderadamente esbelto, podendo-se empregar o 
processo simplificado da NBR-6118:2014. 
𝜈0 = 
𝐹𝑑
𝐴𝑐𝑓𝑐𝑑
= 
1200
20𝑥50𝑥1,4
= 0,86 
 
Como 𝜈0 > 0,50, adota-se o valor calculado 𝜈0 = 0,86 
𝑒2𝑥 = 
𝑙𝑒𝑥
2
10
 .
0,005
(𝜈0 + 0,5)ℎ𝑥
 
𝑒2𝑥 = 
400²
10
 .
0,005
(0,86 + 0,5)20
= 2,94 𝑐𝑚 
 
d) Excentricidade de fluência (𝜆𝑥 > 50) 
𝐼𝑒𝑥 = 
ℎ𝑦ℎ𝑥
3
12
= 
50𝑥20³
12
= 33.333 𝑐𝑚4 
𝑃𝑒𝑥 = 
𝜋2𝐸𝑐𝑠𝐼𝑒𝑥
𝐼𝑒𝑥2
= 
𝜋2𝑥2576𝑥33.333
400²
= 5297 𝑘𝑛 
P á g i n a | 148 
 
 
𝑒𝑐𝑥 = (𝑒𝑖𝑥 + 𝑒𝑎𝑥). [𝑒
𝜑∞𝐹𝑔
𝑃𝑒𝑥−𝐹𝑔 − 1] = (0,93 + 1) [𝑒
2,5𝑥857
5297−857 − 1] = 1,20 𝑐𝑚 
 
Seção intermediária: 
𝑒1𝑥 ≥ {
𝑒𝑖𝑥 + 𝑒𝑎𝑥 = 0,93 + 1 = 1,93 𝑐𝑚
𝑒𝑖𝑥,𝑚𝑖𝑛 = 2,1 𝑐𝑚
→ 𝑒1𝑥 = 2,1 𝑐𝑚 
 
𝑒𝑥 = 𝑒1𝑥 + 𝑒2𝑥 + 𝑒𝑐𝑥 = 2,1 + 2,94 + 1,20 = 6,24 𝑐𝑚 
 
Logo, devemos dimensionar a seção intermediária com uma excentricidade 
𝑒𝑥 = 6,24 𝑐𝑚. A situação de cálculo é análoga à situação do primeiro cálculo, 
portanto vamos utilizar duas camadas de armadura. Os esforços de cálculo são: 
𝑁𝑑 = 𝐹𝑑 = 1200 𝑘𝑁 
𝑀𝑑 = 𝑁𝑑𝑒𝑥 = 1200𝑥6,24 = 7488 𝑘𝑁𝑐𝑚 
 
e) Dimensionamento 
𝜎𝑐𝑑 = 0,85𝑓𝑐𝑑 = 1,2 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝜈 = 
𝑁𝑑
𝑏ℎ𝜎𝑐𝑑
= 
1200
50𝑥20𝑥1,2
= 1,0 
𝜇 = 
𝑀𝑑
𝑏ℎ²𝜎𝑐𝑑
= 
7488
50𝑥202𝑥1,2
= 0,312 
𝛿 = 
𝑑′
ℎ
= 
4
20
= 0,20 
 
Para uma seção com duas camadas de armadura e com 
𝛿 = 0,20, a tabela correspondente é a tabela A1.4 do anexo. Entretanto nessa 
tabela, obtém-se a taxa de armadura 𝜔 = 1,05. A área total da armadura é: 
 
𝐴𝑠 = 
𝜔𝑏ℎ𝜎𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
= 
1,05𝑥50𝑥20𝑥1,2
43,48
≅ 29,00 𝑐𝑚² 
 
Empregando a tabela A3.2, verifica-se que essa área é obtida adotando-se 10 
barras de 20 mm. A disposição das armaduras para atender ao dimensionamento é 
indicada na figura abaixo. 
 
P á g i n a | 149 
 
 
Figura 67: Solução obtida no dimensionamento para a direção X. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
2. Dimensionamento segundo a direção y 
As excentricidades são calculadas de maneira análoga, resultando: 
 
𝑒𝑎𝑦 = 1 𝑐𝑚; 𝑒1𝑦,𝑚𝑖𝑛 = 3 𝑐𝑚 → 𝑒1𝑦 = 3 
𝑒2𝑦 = 1,18 𝑐𝑚; 𝑒𝑐𝑦 = 0 𝑐𝑚 (𝑝𝑜𝑖𝑠 𝜆𝑦 = 28 < 50 
 
Logo, 𝑒𝑦 = 3 𝑐𝑚 + 1,18 = 4,18 𝑐𝑚. 
 
A segunda situação de cálculo é indicado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 150 
 
 
Figura 68: Segunda situação de cálculo do pilar. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014)Observa-se que, para essa direção, é necessário dimensionar uma seção 
transversal com 5 camadas de armadura. Isso pode ser feito com o emprego da 
tabela A1.10 do anexo. Os esforços para dimensionamento são: 
 
𝑁𝑑 = 1200 𝑘𝑁; 𝑀𝑑 = 1200𝑥4,18 = 5016 𝑘𝑁𝑐𝑚 
 
Procedendo da forma usual, obtém-se a taxa mecânica de armadura 𝜔 = 0,22 
e a área de aço necessário é: 
 
𝐴𝑠 = 
𝜔𝑏ℎ𝜎𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
= 
0,22𝑥20𝑥50𝑥1,2
43,48
= 6,07 𝑐𝑚² 
 
Como na seção já existe uma armadura com área de 31,42 cm², exigida pelo 
dimensionamento segundo a direção x, conclui-se que essa armadura satisfaz com 
bastante folga as exigências para a direção y. Portanto, a direção x é mais crítica. 
 
 
 
P á g i n a | 151 
 
 
Exercício resolvido 03: Na figura abaixo, indica-se a 
seção do pilar de canto e os momentos iniciais de serviço nas 
duas direções. 
Figura 69: Seção transversal do pilar de canto e momentos 
iniciais de serviço. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Resolução: Vamos iniciar o dimensionamento do pilar, encontrando as 
excentricidades iniciais. 
a) Excentricidades iniciais 
No topo: 𝑒𝑖𝑥,𝑡 =
2000
857
= 2,33 𝑐𝑚; 𝑒𝑖𝑦,𝑡 = 
4000
857
= 4,66 𝑐𝑚 
Na base: 𝑒𝑖𝑥,𝑏 =
− 1500
857
= −1,75 𝑐𝑚; 𝑒𝑖𝑦,𝑏 = 
− 2000
857
= −2,33 𝑐𝑚 
Na seção intermediária: 𝑒𝑖𝑥 ≥ {
0,6𝑥2,33 − 0,4𝑥1,75 = 0,70 𝑐𝑚
0,4𝑥2,33 = 0,93 𝑐𝑚
→ 𝑒𝑖𝑥 =
0,93 𝑐𝑚 
𝑒𝑖𝑦 ≥ {
0,6𝑥4,66 − 0,4𝑥2,33 = 1,86 𝑐𝑚
0,4𝑥4,66 = 1,86 𝑐𝑚
→ 𝑒𝑖𝑦 = 1,86 𝑐𝑚 
 
b) Excentricidades mínimas 
𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 = 1,5 + 0,03𝑥25 = 2,25 𝑐𝑚 
𝑒1𝑦,𝑚𝑖𝑛 = 1,5 + 0,03𝑥50 = 3,00 𝑐𝑚 
 
c) Situação de cálculo 1 (no topo) 
P á g i n a | 152 
 
 
𝑒1𝑥 ≥ {
𝑒𝑖𝑥,𝑡 + 𝑒𝑎𝑥 = 2,33 + 1,00 = 3,33 𝑐𝑚
𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 = 2,25 𝑐𝑚
→ 𝑒1𝑥 = 3,33 𝑐𝑚 
 
Logo, o dimensionamento à flexo-compressão deve ser feito com as 
excentricidades 
𝑒𝑥 = 3,33 𝑐𝑚; 𝑒𝑦 = 4,66 𝑐𝑚 
 
d) Situação de cálculo 2 (no topo) 
𝑒1𝑦 ≥ {
𝑒𝑖𝑦,𝑡 + 𝑒𝑎𝑦 = 4,66 + 1,00 = 5,66 𝑐𝑚
𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 = 3,00 𝑐𝑚
→ 𝑒1𝑥 = 5,66 𝑐𝑚 
 
Logo, o dimensionamento à flexo-compressão deve ser feito com as 
excentricidades 
𝑒𝑥 = 2,33 𝑐𝑚; 𝑒𝑦 = 5,66 𝑐𝑚 
 
e) Situação de cálculo 3 (na base) 
𝑒1𝑥 ≥ {
𝑒𝑖𝑥,𝑏 + 𝑒𝑎𝑥 = 1,75 + 1,00 = 2,75 𝑐𝑚
𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛 = 2,25 𝑐𝑚
→ 𝑒1𝑥 = 2,75 𝑐𝑚 
 
Logo, o dimensionamento à flexo-compressão deve ser feito com as 
excentricidades 
𝑒𝑥 = 2,75 𝑐𝑚; 𝑒𝑦 = 2,33 𝑐𝑚 
 
f) Situação de cálculo 4 (na base) 
 
𝑒1𝑦 ≥ {
𝑒𝑖𝑦,𝑏 + 𝑒𝑎𝑦 = 2,33 + 1,00 = 3,33 𝑐𝑚
𝑒1𝑦,𝑚𝑖𝑛 = 3,00 𝑐𝑚
→ 𝑒1𝑥 = 3,33 𝑐𝑚 
 
Logo, o dimensionamento à flexo-compressão deve ser feito com as 
excentricidades 
𝑒𝑥 = 1,75 𝑐𝑚; 𝑒𝑦 = 3,33 𝑐𝑚 
 
 
 
P á g i n a | 153 
 
 
g) Situação de cálculo 5 (na seção intermediária) 
𝑒1𝑥 ≥ {
𝑒𝑖𝑥 + 𝑒𝑎𝑥 = 0,93 + 1,00 = 1,93 𝑐𝑚
𝑒1𝑦,𝑚𝑖𝑛 = 2,25 𝑐𝑚
→ 𝑒1𝑥 = 2,25 𝑐𝑚 
 
Índice de esbeltez: 𝜆𝑥 = 
𝑙𝑒𝑥√12
ℎ𝑥
= 
400√12
25
= 55 
Excentricidade de segunda ordem: 
𝜈0 = 
𝐹𝑑
𝐴𝑐𝑓𝑐𝑑
= 
1200
25𝑥50𝑥1,4
= 0,69 
 
Como 𝜈0 > 0,5, adota-se o valor calculado 𝜈0 = 0,69. 
𝑒2𝑥 = 
𝑙𝑒𝑥
2
10
 .
0,005
(𝜈0 + 0,5)ℎ𝑥
= 
400²
10
 .
0,005
(0,69 + 0,5)25
= 2,69 𝑐𝑚 
 
Excentricidade de fluência: 
𝑃𝑒𝑥 = 
𝜋²𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐𝑥
𝑙𝑒𝑥2
= 10345 𝑘𝑁 
𝑒𝑐𝑥 = (𝑒𝑖𝑥 + 𝑒𝑎𝑥). [𝑒
𝜑∞𝐹𝑔
𝑃𝑒𝑥−𝐹𝑔 − 1] = (0,93 + 1) [𝑒
2,5𝑥857
10345−857 − 1] = 0,49 𝑐𝑚 
𝑒𝑥 = 𝑒1𝑥 + 𝑒2𝑥 + 𝑒𝑐𝑥 = 2,25 + 2,69 + 0,49 = 5,43 𝑐𝑚 
 
Logo, o dimensionamento à flexo-compressão deve ser feito com as 
excentricidades 
𝑒𝑥 = 5,43 𝑐𝑚; 𝑒𝑦 = 1,86 𝑐𝑚 
 
h) Situação de cálculo 6 (na seção intermediária) 
 
𝑒1𝑦 ≥ {
𝑒𝑖𝑦 + 𝑒𝑎𝑦 = 1,86 + 1,00 = 2,86 𝑐𝑚
𝑒1𝑦,𝑚𝑖𝑛 = 3,00 𝑐𝑚
→ 𝑒1𝑥 = 3,00 𝑐𝑚 
 
Índice de esbeltez: 𝜆𝑦 = 
𝑙𝑒𝑦√12
ℎ𝑦
= 
400√12
50
= 27 < 50 
Excentricidade de segunda ordem: 
 
P á g i n a | 154 
 
 
𝑒2𝑦 = 
𝑙𝑒𝑦
2
10
 .
0,005
(𝜈0 + 0,5)ℎ𝑦
= 
400²
10
 .
0,005
(0,69 + 0,5)50
= 1,34 𝑐𝑚 
 
Excentricidade de fluência: (𝑒𝑐𝑦 = 0, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝜆 < 50) 
𝑒𝑦 = 𝑒1𝑦 + 𝑒2𝑦 + 𝑒𝑐𝑦 = 3,00 + 1,34 + 0,00 = 4,34 𝑐𝑚 
 
Logo, o dimensionamento à flexo-compressão deve ser feito com as 
excentricidades 
𝑒𝑥 = 0,93 𝑐𝑚; 𝑒𝑦 = 4,34 𝑐𝑚 
Na tabela abaixo apresentam-se as excentricidades obtidas para as seis 
situações de cálculo: 
Tabela 9: Excentricidades para o dimensionamento. 
 
Situação de 
Cálculo 
Excentricidades (cm) Excentricidades relativas 
𝑒𝑥 𝑒𝑦 
𝑒𝑥
ℎ𝑥
⁄ 
𝑒𝑦
ℎ𝑦
⁄ 
1 3,33 4,66 0,1332 0,0932 
2 2,33 5,66 0,0932 0,1132 
3 2,75 2,33 0,1100 0,0466 
4 1,75 3,33 0,070 0,0666 
5 5,43 1,86 0,2172 0,0372 
6 0,93 4,34 0,0372 0,0868 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
i) Dimensionamento das armaduras para a situação de cálculo 5, obtêm-se 
os esforços para o dimensionamento: 
 
𝑁𝑑 = 1200 𝑘𝑁 
𝑀𝑥𝑑 = 𝑁𝑑𝑒𝑥 = 1200𝑥5,43 = 6516 𝑘𝑁𝑐𝑚 
𝑀𝑦𝑑 = 𝑁𝑑𝑒𝑥 = 1200𝑥1,86 = 2232 𝑘𝑁𝑐𝑚 
 
O dimensionamento à flexo-compressão oblíqua pode ser realizado 
empregando-se as tabelas do anexo. Para isto, devem ser feitos os seguintes 
cálculos: 
𝜎𝑐𝑑 = 0,80𝑓𝑐𝑑 = 0,80𝑥1,4 = 1,12 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝐴𝑐 = ℎ𝑥ℎ𝑦 = 25𝑥50 = 1250 𝑐𝑚² 
𝜈 = 
𝑁𝑑
𝐴𝑐𝜎𝑐𝑑
= 
1200
1250𝑥1,12
= 0,86 
P á g i n a | 155 
 
 
𝜇𝑥 = 
𝑀𝑥𝑑
𝐴𝑐ℎ𝑥𝜎𝑐𝑑
= 
6516
1250𝑥25𝑥1,12
= 0,19 
𝜇𝑦 = 
𝑀𝑦𝑑
𝐴𝑐ℎ𝑦𝜎𝑐𝑑
= 
2232
1250𝑥50𝑥1,12
= 0,03 
 
Entrando na tabela A2.3 no anexo e fazendo as devidas interpolações, obtêm-
se a taxa de armadura 𝜔 = 0,44. A área de aço é dada por: 
𝐴𝑠 = 
𝜔𝐴𝑐𝜎𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
= 
0,44𝑥1250𝑥1,12
43,48
= 14,17 𝑐𝑚² 
 
Consultando a tabela A3.2, verifica-se que é possível adotar uma solução com 
8 barras de 16 mm, que corresponde a uma área de aço igual a 16,08 cm². A 
solução é representada na figura abaixo: 
Figura 70: Solução para o pilar de canto. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ As simplificações para pilares contraventados; 
✓ Exemplos de dimensionamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este artigo de comparação entre pilares de 
concreto e pilares de aço: 
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2006/inic/inic/07/I
NIC000071ok.pdf. 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica.Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 6 
Exercícios 
 
 
 
 
 
Com os dados a seguir, dimensione o pilar da imagem: 
𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 ; Aço CA-50 (𝑓𝑦𝑘 = 𝑘𝑁/𝑐𝑚
2); 
𝜑∞ = 2,5 ; 𝑙𝑒 = 3,10 m nas duas direções; 
𝛾𝑓 = 1,4; 𝛾𝑐 = 1,4; 𝛾𝑠 = 1,15; 𝐹𝑘 = 925 𝑘𝑁 
Figura 71: Exercício. 
 
Fonte: (EXERCÍCIO..., 2018) 
 
 
 
 
 
Análise das estruturas de 
contraventamento 
Aula 7 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula continuaremos a estudar sobre os pilares, agora iremos estudar a 
análise das estruturas de contraventamento. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Entender como é a repartição das forças horizontais; 
➢ Entender como é a imperfeição geométricas globais dos edifícios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 161 
 
 
7 ANÁLISE DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO 
7.1 Introdução 
A determinação dos esforços solicitantes nas estruturas de contraventamento, 
para um carregamento dado, é feita empregando-se os métodos convencionais da 
análise estrutural. Deve ser lembrado que, mesmo nas estruturas consideradas 
indeslocáveis, os esforços de primeira ordem, decorrentes das ações horizontais, 
devem ser calculados considerando-se a deslocabilidade da estrutura de 
contraventamento. 
A grande dificuldade da análise estrutural frente às ações horizontais (ação do 
vento e de sismos) consiste na repartição das cargas para os elementos de 
contraventamento. Isto ocorre pela natureza tridimensional do problema. De fato, em 
um procedimento rigoroso deve-se levar em conta a interação entre os diversos 
andares da estrutura, analisando-se o movimento relativo das várias lajes do edifício. 
Esse procedimento é necessário quando a subestrutura de contraventamento é 
formada pela associação de elementos de comportamentos distintos, como pórticos 
e paredes estruturais ou pilares-parede. Nestes casos, a resposta da estrutura é 
fortemente influenciada pelas forças de interação que surgem para compatibilizar os 
deslocamentos dos diversos elementos componentes. 
Entretanto, quando o contraventamento é formado por elementos que se 
comportam de forma idêntica, pode-se empregar um processo simplificado. Isto 
ocorre quando o contraventamento é constituído exclusivamente por pórticos, ou 
exclusivamente por paredes estruturais. 
No procedimento simplificado, despreza-se a interação entre os diversos 
níveis de lajes, adotando-se para os elementos de contraventamento uma rigidez 
equivalente determinada para um andar característico. Admite-se, ainda, que as 
lajes sejam extremamente rígidas no seu próprio plano, de forma que nenhum 
movimento relativo ocorre neste plano. Além disso, considera-se que os painéis de 
contraventamento (formados apenas por pórticos ou apenas por paredes estruturais) 
só recebem cargas no seu plano vertical, apresentando rigidez nula na direção 
normal a este plano. A rigidez à torção também é desprezada. 
P á g i n a | 162 
 
 
Na seção seguinte, apresenta-se o processo simplificado, o qual é válido 
quando o contraventamento é constituído por elementos do mesmo tipo; só pórticos 
ou só paredes estruturais. 
7.2 Processo simplificado para repartição das forças horizontais 
Suponha uma subestrutura de contraventamento formada por n painéis 
dispostos em linha, como indicado na figura abaixo. Os painéis são do mesmo tipo: 
ou todos são pórticos, ou todos são paredes estruturais. 
Figura 72: Subestrutura de contraventamento 
 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
As lajes de piso são consideradas rígidas no plano horizontal. Isto é 
representado por meio das barras bi-rotuladas mostradas em elevação. Essas 
barras apenas indicam que os deslocamentos horizontais dos painéis, em um 
determinado piso, são iguais. Admitindo a formulação do meio contínuo, o equilíbrio 
de cada painel pode ser representado através de uma equação diferencial. Como 
todos os painéis são do mesmo tipo, a equação diferencial é a mesma para todos 
eles. Supondo, por exemplo, um comportamento similar ao de uma viga engastada 
na base e livre no topo, a equação diferencial de equilíbrio do painel J, com rigidez à 
flexão constante, é dada por: 
 
𝐸𝐼𝑗 .
𝑑4 . 𝑢 . 𝑗
𝑑. 𝑧4
= 𝑞𝑗 
 
Onde 𝑢𝑗 = 𝑢𝑗 (𝑧) é o deslocamento horizontal, 𝐸𝐼𝑗 é a rigidez à flexão e 𝑞𝑗 é a 
parcela do carregamento que é transferida para o painel j. 
 
P á g i n a | 163 
 
 
A solução da equação diferencial permite escrever: 𝑞𝑗 = 𝐸𝐼𝑗 . 𝑢𝑗 . 𝑓(𝑧) 
 
Onde 𝑓(𝑧) é a função da ordenada z. 
 
A carga total aplicada à estrutura de contraventamento é 𝑞 = ∑ 𝑞𝑗
𝑛
𝑗=1 e sua 
rigidez total é 𝐸𝐼 = ∑ 𝐸𝐼𝑗
𝑛
𝑗=1 . Uma vez que as lajes são rígidas o suficiente para 
compatibilizar os deslocamentos horizontais, tem-se que 𝑢𝑗 = 𝑢; 𝑗 = 1, ..., n. 
Logo, aplicando o somatório em ambos os membros da equação 
𝑞𝑗 = 𝐸𝐼𝑗 . 𝑢𝑗 . 𝑓(𝑧), pode-se escrever: 
𝑞 = 𝐸𝐼 . 𝑢 . 𝑓(𝑧) → 𝑢 = 
𝑞
𝐸𝐼 . 𝑓(𝑧)
 
 
Essa equação fornece a variação dos deslocamentos horizontais ao longo da 
altura da estrutura. Substituindo 𝑢𝑗 = 𝑢 na equação: 
𝑞𝑗 = 𝐸𝐼𝑗 . 𝑢𝑗 . 𝑓(𝑧), obtém-se: 
𝑞𝑗 = 𝑞 .
𝐸𝐼𝑗
𝐸𝐼
 
 
Conforme se observa, cada painel recebe uma parcela 𝑞𝑗 da carga 
diretamente proporcional à sua rigidez. Isto ocorre porque todos os painéis puderam 
ser representados pela mesma equação diferencial. Neste caso, não há interação 
entre os diversos andares da estrutura: a equação anterior indica que a fonna como 
o carregamento horizontal é repartido independe da ordenada z. 
Desse modo, a análise pode ser feita para um andar de referência, aplicando-
se à laje a força horizontal do vento correspondente à sua faixa de influência. 
Existem situações em que a repartição das ações horizontais aos diversos 
painéis de contraventamento pode ser determinada sem o conhecimento das suas 
rigidezes (neste caso o problema é isostático). Em problemas hiperestáticos, é 
necessário o conhecimento da rigidez equivalente de cada painel e a solução pode 
ser obtida empregando-se o método da rigidez. 
P á g i n a | 164 
 
 
7.2.1 Sistemas isostáticos 
Considere-se, por exemplo, a estrutura de contraventamento indicado na 
figura abaixo, formada por dois paneis e submetida à força horizontal 𝑃𝑦 no nível da 
laje. 
Figura 73: Estrutura de contraventamento (dois painéis) 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para o caso da figura acima, é evidente que as forças transmitidas aos dois 
painéis são dadas por 𝐹1 = 
𝑏
𝑙
 . 𝑃𝑦 ; 𝐹2 = 
𝑎
𝑙
 . 𝑃𝑦 
Uma resposta imediata também é encontrada para o sistema da figura 55, 
formado por três painéis de contraventamento. Neste caso, as forças em cada painel 
são dadas por: 
 
𝐹1 = 𝑃𝑦 ; 𝐹2 = 𝐹3 = 
𝑎
𝑏
 . 𝑃𝑦 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 165 
 
 
Figura 74: Estrutura de contraventamento (três painéis). 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
7.2.2 Sistemas hiperestáticos 
Nos sistemas hiperestáticos, é necessário calcular a rotação e os 
deslocamentos da laje no seu próprio plano, para a obtenção das forças em cada 
painel de contraventamento. Uma vez que cada painel só pode receber cargas no 
seu plano vertical, ele pode ser representado por uma mola de rigidez K, A rigidez de 
cada painel de contraventamento é definida como a força horizontal que deve ser 
aplicada em um determinado nível, na direção de sua maior rigidez, para provocar 
um deslocamento unitário, se o topo da estrutura for escolhido como referência para 
a aplicação da força, como é usual, a rigidez K é dada por: 
 
𝐾 = 
3𝐸𝐼𝑒𝑞
ℎ𝑡𝑜𝑡
3 
 
Onde, 𝐸𝐼𝑒𝑞 é a rigidez equivalente, e ℎ𝑡𝑜𝑡 é a altura totalda edificação. 
 
P á g i n a | 166 
 
 
Se o painel de contraventamento for formado por um pórtico ou por um pilar-
parede de seção variável, emprega-se um programa para análise de pórticos planos 
para a obtenção de 𝐸𝐼𝑒𝑞. Considera-se agora, a estrutura de contraventamento da 
figura abaixo, onde x-y é um sistema de eixos cartesianos escolhido arbitrariamente. 
O número de painéis de contraventamento é igual a n. 
Figura 75: Estrutura de contraventamento com n painéis 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Um painel genérico i, inclinado de um ângulo 𝛼𝑖 em relação ao eixo x, é 
representado por uma mola de rigidez 𝐾𝑖 no plano da laje, conforme é indicado na 
figura acima. O ponto 𝑃𝑖, onde se concentra a mola, corresponde ao centro do 
painel. 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 167 
 
 
Figura 76: Painel de contraventamento genérico 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Se o movimento de corpo rígido da laje for representado pelos deslocamentos 
𝑢0 e 𝜈0 nas direções x e y, respectivamente, e por uma rotação 𝜃 em torno da origem 
do sistema de eixos, os deslocamentos do ponto 𝑃𝑖 serão dados por: 
𝑢𝑖 = 𝑢0 − 𝑦𝑖𝜃 
𝜈𝑖 = 𝜈0 − 𝑥𝑖𝜃 
 
É interessante escrever as equações anteriores na forma matricial: 
 
𝑢𝑖 = 𝑁𝑈0 
 
Onde, 
 
𝑢𝑖 = {
𝑢𝑖
𝜈𝑖
} ; 𝑁 = [
1 0 − 𝑦𝑖
0 1 𝑥𝑖
] ; 𝑈0 = {
𝑢0
𝜈0
𝜃
} 
 
O deslocamento 𝑢𝑖
′ , na direção da mola, é obtido por uma simples rotação de 
eixos, resultando: 
𝑢𝑖
′ = 𝑢𝑖 . cos 𝛼𝑖 + 𝜈𝑖 . 𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑖 
 
Essa equação pode ser escrita na forma: 
𝑢𝑖
′ = 𝑅𝑢𝑖 = 𝑅𝑁𝑈0 
P á g i n a | 168 
 
 
Onde: 
𝑅 = [cos 𝛼𝑖 , 𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑖] 
 
A força 𝐹𝑖 que é transmitida ao painel é dada por: 
𝐹𝑖 = 𝐾𝑖 . 𝑢𝑖
′ 
 
E introduzindo a equação: 
𝑢𝑖
′ = 𝑅𝑢𝑖 = 𝑅𝑁𝑈0 
 
Resulta: 
𝐹𝑖 = 𝐾𝑖 . 𝑅𝑁𝑈0 
 
Na figura abaixo, indica-se a força 𝐹𝑖 atuando no painel e suas componentes 
nas direções X e Y. 
Figura 77: Decomposição da força no painel 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
As componentes de 𝐹𝑖 são: 
𝐹𝑥𝑖 = 𝐹𝑖 . cos 𝛼𝑖 ; 𝐹𝑦𝑖 = 𝐹𝑖 . 𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑖 
 
E o momento em relação à origem do sistema de eixos é: 
𝑀𝑖 = 𝐹𝑦𝑖𝑋𝑖 − 𝐹𝑥𝑖𝑌𝑖 
P á g i n a | 169 
 
 
 
É fácil verificar que: 
𝐹𝑖 = (𝑅𝑁)
𝑇𝐹𝑖 
 
Onde: 
𝐹𝑖 = {
𝐹𝑥𝑖
𝐹𝑦𝑖
𝑀𝑖
} 
 
E o superíndice T indica transposição de matriz. Introduzindo a equação 𝐹𝑖 =
 𝐾𝑖 . 𝑅𝑁𝑈0 em 𝐹𝑖 = (𝑅𝑁)
𝑇𝐹𝑖 , resulta: 
𝐹𝑖 = 𝐾𝑖𝑈𝑜, onde 𝐾𝑖 = 𝐾𝑖(𝑅𝑁)
𝑇 (𝑅𝑁) é a matriz de rigidez do painel i. 
 
O vetor de forças externas aplicadas à laje é dado por: 
𝑃 = {
𝑃𝑥
𝑃𝑦
𝑃𝑦𝑃𝑥 − 𝑃𝑥𝑒𝑦
} 
 
Em conformidade com a figura acima. Aplicando as equações de equilíbrio e 
computando as forças em todos os N painéis de contraventamento, resulta o sistema 
de três equações incógnitas: 
𝑃 = 𝐾𝑈0 = (∑𝐾𝑖
𝑛
𝑖=1
)𝑈0 
 
A solução deste sistema permite a obtenção dos deslocamentos de corpo 
rígido da laje, contidos no vetor 𝑈0. Encontrando 𝑈0, calculam-se as forças nos 
vários painéis de contraventamento com o emprego da equação 𝐹𝑖 = 𝐾𝑖 . 𝑅𝑁𝑈0. 
7.3 Imperfeição geométricas globais dos edifícios 
Assim como foi feito para os pilares contraventados, o dimensionamento das 
estruturas de contraventamento deve levar em conta possíveis desvios da posição 
vertical. De acordo com o CEB/90, deve-se considerar uma inclinação do eixo da 
estrutura dada por: 
P á g i n a | 170 
 
 
𝛼𝑎 = 
1
100√𝑙
 ≤ 
1
200
 
 
Onde l é a altura da estrutura em metros. 
 
Na figura abaixo, indica-se o funcionamento básico das estruturas de 
contraventamento. O pilar contraventado é representado com uma rótula na base, 
para indicar que ele não precisa absorver nenhuma carga horizontal nem os efeitos 
de imperfeições globais da estrutura. 
Figura 78: Funcionamento das estruturas de contraventamento 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Dessa forma, para assegurar a estabilidade do pilar contraventado, é 
necessário que o pilar de contraventamento seja capaz de suportar a força 
horizontal: 
∆𝐻 = 𝑢𝐹𝑣𝑏/𝑙 
 
Onde 𝐹𝑣𝑏 é a carga horizontal do pilar contraventado e 𝑢 = 𝛼𝑎𝑙 é o 
deslocamento horizontal devido à inclinação da estrutura. 
 
A viga e/ou a laje do pavimento devem ser capazes de transferir essa força 
para o pilar de contraventamento. O momento solicitante na base do pilar de 
contraventamento é dado por: 
P á g i n a | 171 
 
 
𝑀𝐴 = 𝑢𝐹𝑉𝐴 + 𝑙∆𝐻 
 
E substituindo a expressão de ∆𝐻, resulta: 
𝑀𝐴 = 𝐹𝑉𝑢 
 
Onde 𝐹𝑉 = 𝐹𝑉𝐴 + 𝐹𝑉𝐵 é a carga total. 
 
Portanto, a estrutura de contraventamento deve suportar todo o efeito das 
imperfeições globais. Os pilares contraventados devem ser dimensionados apenas 
para suas imperfeições locais, como foi feito anteriormente pela consideração de 
uma excentricidade acidental. Na figura abaixo, indica-se uma estrutura de 
contraventamento de n andares apresentando uma imperfeição geométrica. 
Figura 79: Estrutura de contraventamento desaprumada 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Conforme está indicado na figura acima, a força vertical total introduzida no 
pavimento i é 𝐹𝑣𝑖. Essa força é dada por 𝐹𝑣𝑖 = 𝑝𝐴𝑖, onde 𝐴𝑖 é a área do pavimento e 
p é uma carga uniforme equivalente para o pavimento i. Como uma boa 
aproximação para os edifícios residenciais e de escritórios, pode-se adotar p = 12 
P á g i n a | 172 
 
 
kn/m², para as lajes de piso, e p = 10 kn/m², para a laje de forro. Esses são os 
valores característicos, ou seja, não incluem o coeficiente parcial de segurança 𝛾𝑓. 
A força 𝐹𝑣𝑖 provoca um momento fletor na base da estrutura igual a: ∆𝑀𝑖 =
 𝐹𝑣𝑖𝑢𝑖 = 𝐹𝑣𝑖𝛼𝑎ℎ𝑖 
 
Onde, 𝑢𝑖 e ℎ𝑖 representam o deslocamento horizontal e a altura do andar i. 
 
Esse momento equivale a uma força horizontal aplicada n andar i, dada por: 
Δ𝐻𝑖 = 𝛼𝑎𝐹𝑣𝑖 
 
Logo, tudo se passa como se em cada andar da estrutura de 
contraventamento atuasse uma força horizontal adicional igual a Δ𝐻𝑖. Essas forças 
horizontais equivalentes ao desaprumo do edifício constituem uma ação permanente 
indireta. Logo, elas devem ser consideradas sempre. A repartição dessas forças 
horizontais para os diversos painéis de contraventamento é feita com a formulação 
apresentada anteriormente, se for o caso. Quando a subestrutura de 
contraventamento é formada por pórticos, a inclinação 𝛼𝑎 pode ser multiplicada pelo 
fator de redução 𝛼𝑛 < 1, dado por: 
𝛼𝑛 = √
1 + 1 𝑛⁄
2
 
 
Onde n é o número de pilares do pórtico plano. 
 
De acordo com a NBR6118/2014, para edifícios com predominância de lajes 
lisas ou cogumelo, deve-se considerar 𝛼𝑛 = 1. Segundo a NBR6118/2014, a 
inclinação 𝛼𝑎deve respeitar o valor mínimo 𝛼𝑎 ≥ 
1
300⁄ , para estruturas reticuladas 
e imperfeições locais. Nas combinações entre as cargas de vento e de desaprumo, 
essas limitações de valores mínimos para 𝛼𝑎 não precisam ser respeitadas, ou seja, 
considera-se o valor obtido da equação: 
𝛼𝑎 = 
1
100√𝑙
 ≤ 
1
200
 
 
 
P á g i n a | 173 
 
 
Exercício resolvido 1 
Determinar a parcela da força horizontal 𝑃𝑦 que é transmitida a 
cada um dos painéis de contraventamento da figura abaixo: 
Figura A: Contraventamento com três painéis paralelos 
 
Fonte: ARAÚJO, 2014. 
Os dados de cada painel são apresentados na tabela a seguir 
Tabela A: Características dos painéis de contraventamento 
 
Fonte: ARAÚJO, 2014. 
Este problema em particular, pode ser resolvido de forma mais imediata, 
aplicando-se duas equações de equilíbrio e uma equação de compatibilidade. 
P á g i n a | 174 
 
 
Entretanto, a título de exemplo, será utilizada a formulação geral que foi 
apresentada. 
Painel 1: 
𝑁 = [
1 0 −4
0 1 2
] ; 𝑅 = [0,1]; 𝑅𝑁 = [0,1,2] 
𝐾1 = 𝐾1(𝑅𝑁)
𝑇(𝑅𝑁) → 𝐾1 = [
0 0 0
0 2 4
0 4 8
] 
Painel 2: 
𝑁 = [
1 0 −4
0 1 8
] ; 𝑅 = [0,1]; 𝑅𝑁 = [0,1,8] 
𝐾2 = [
0 0 0
0 1 8
0 8 64
] 
Painel 3: 
𝑁 = [
1 0 −4
0 1 14
] ;𝑅 = [0,1]; 𝑅𝑁 = [0,1,14] 
𝐾3 = [
0 0 0
0 1 14
0 14 196
] 
 
 
 
Matriz de rigidez global: 
𝐾 = ∑𝐾𝑖
3
𝑖=1
 
𝐾 = [
0 0 0
0 4 26
0 26 268
] 
Vetor de cargas: 
𝑃 = {
𝑃𝑥
𝑃𝑦
𝑃𝑦𝑒𝑥 − 𝑃𝑥𝑒𝑦
} = {
0
1000
8000
} 
Solução: 
𝑃 = 𝐾𝑈0 → 𝑈0 = {
𝑢0
15000/99
1500/99
} 
Observa-se que o deslocamento 𝑢0 é indeterminado porque todos os painéis 
estão na direção Y. O sistema de contraventamento não é capaz de suportar 
P á g i n a | 175 
 
 
nenhuma força horizontal na direção X. Obviamente, em uma situação real, é 
necessário incluir alguns elementos de contraventamento nessa direção. 
Força nos painéis: 
𝐹𝑖 = 𝐾𝑖(𝑅𝑁)𝑈0 
𝐹1 = 363,64 
𝐹2 = 272,72 
𝐹3 = 363,64 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ Os processos simplificados para a repartição das forças horizontais; 
✓ As imperfeições geométricas globais dos edifícios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este artigo de comparação entre pilares de 
concreto e pilares de aço: 
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2006/inic/inic/07/I
NIC000071ok.pdf. 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 7 
Exercícios 
 
 
 
 
 
Exercício proposto: Determinar a parcela da força 
horizontal 𝑃 que é transmitida a cada um dos painéis de 
contraventamento da figura abaixo: 
Figura 80: Contraventamento com dois painéis paralelos 
 
Fonte: o autor. 
 
P á g i n a | 180 
 
 
Tabela 10: Características dos painéis de contraventamento 
 
Fonte: o autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão AV1 
Aula 8 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula continuaremos a estudar sobre os pilares, agora iremos praticar 
tudo que vimos até o momento. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Revisar e fixar o conteúdo que foi visto até o momento; 
➢ Revisar o conteúdo para a AV1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 182 
 
 
8 EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA AV1 
Exercício proposto 01 – Pilares: Será feito o 
dimensionamento do pilar P10, utilizando-se de todos os 
métodos permitidos pela norma ABNT NBR 6118 (2014). 
Dados: 
• aço CA-50 
• 𝑓𝑐𝑘 = 30 Mpa; 
• 𝐶𝑛𝑜𝑚 = 25 mm e d’=4 cm; 
• 𝑁𝑘 = 970 𝑘𝑛; 
• Comprimento do pilar: 320 cm; 
• Seção transversal: 20x50 cm; 
• Carga total na viga Pk = 37 kn/m. 
Figura 81: Pilares. 
 
 
Exercício proposto 02 – Pilares-parede: Determinar a 
rigidez equivalente do pórtico da figura abaixo. O pórtico possui 
15 pavimentos com 3 m de altura. A altura total da estrutura é de 
45 m. O concreto possui 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑝𝑎, com um módulo secante 
𝐸𝑐𝑠 = 27200 𝑀𝑝𝑎. Considerar a rigidez 𝐸𝐼 = 0,70𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐, para os 
pilares e 𝐸𝐼 = 0,35𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐, para as vigas. 
 
 
P á g i n a | 183 
 
 
Figura 82: Pilares-parede. 
 
Fonte: o autor. 
Exercício proposto 03 – Análise de estruturas 
constraventadas: Determinar a parcela da força horizontal 𝑃 que é 
transmitida a cada um dos painéis de contraventamento da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 184 
 
 
Figura 83: Contraventamento com dois painéis paralelos 
 
Fonte: o autor. 
Tabela 11: Características dos painéis de contraventamento 
 
Fonte: o autor.
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ Exercícios de fixação e de revisão para AV1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este artigo de comparação entre pilares de 
concreto e pilares de aço: 
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2006/inic/inic/07/I
NIC000071ok.pdf. 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
Vigas-parede e consolos 
Aula 9 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula estudaremos os consolos (vigas curtas) e as vigas-parede. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Entender as distribuições das tensões nas vigas-parede; 
➢ Entender os critérios dedimensionamento das vigas-parede; 
➢ Entender e conceituar os consolos (vigas curtas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 189 
 
 
Olá Aluno! Vamos continuar estudando sobre o concreto 
armado? Agora, nesta aula iremos ver sobre as vigas parede e 
os consolos curtos. Vamos lá! 
 
9 VIGAS-PAREDE E CONSOLOS 
9.1 Introdução 
As placas são estruturas planas solicitadas por cargas perpendiculares ao seu 
plano médio. Por outro lado, as chapas são estruturas planas solicitadas em seu 
próprio plano. Quando as chapas possuem apoios descontínuos como as vigas, eles 
são denominados de vigas-parede. 
As vigas-parede são encontradas nos reservatórios superiores dos edifícios 
ou nos reservatórios inferiores (enterrado) com idênticas condições de apoio. 
Nesses casos, além do funcionamento como placas, as paredes laterais do 
reservatório se comportam como vigas-parede. Essas estruturas também são 
encontradas, com frequência, nas fachadas dos edifícios, de onde origina o nome 
viga-parede. A delimitação entre vigas-parede e vigas esbeltas é feita de acordo com 
a relação l/h, sendo l o vão de cálculo e h a altura da viga. Os limites de esbeltez 
convencionados para as vigas-parede são os seguintes: 
• vigas bi apoiadas: 𝑙 ℎ⁄ < 2; 
• vigas de dois vãos: 𝑙 ℎ⁄ < 2,5; 
• vigas contínuas com mais de dois vãos: 𝑙 ℎ⁄ < 3. 
 
Os consolos são vigas curtas em balanço com 𝑙 ℎ⁄ ≤ 1. 
No caso das vigas-parede, não mais se aplica a clássica hipótese das seções 
planas de Navier-Bernoulli, em virtude das grandes distorções sofridas pela 
estrutura. Em consequência disto, as deformações normais 𝜀𝑥 não apresentam uma 
variação linear ao longo da altura da viga. Assim, mesmo para um material elástico 
linear, as tensões normais 𝜎𝑥, não variam linearmente, como ocorre nas vigas 
esbeltas. Dessa forma, as vigas-parede devem ser analisadas como um problema 
bidimensional de tensões. No caso de um material elástico linear, podem-se obter 
P á g i n a | 190 
 
 
algumas soluções analíticas com o emprego de função de tensões de Airy. Soluções 
numéricas com o emprego do método dos elementos finitos são disponíveis, 
inclusive considerando o comportamento não linear e a fissuração do material. 
9.2 Tensões em vigas-parede 
Os esforços solicitantes nas vigas-parede são calculados da mesma maneira 
como é feito para as vigas esbeltas. Entretanto, nas vigas hiperestáticas deve-se dar 
uma atenção especial aos recalques de apoio, pois os mesmos podem alterar 
significativamente os esforços solicitantes, em virtude da grande rigidez dessas 
estruturas. Além disso, os momentos nos vãos são maiores do que nas vigas 
esbeltas. Nos apoios intermediários ocorre o inverso, ou seja, os momentos fletores 
são menores do que os obtidos para as vigas esbeltas. 
O ponto de aplicação do carregamento e o tipo de apoio têm grande influência 
sobre as tensões nas vigas-parede. Assim, para o dimensionamento e a disposição 
das armaduras, devem-se distinguir os casos de carregamento superior e inferior, 
apoio direto e apoio indireto. Na figura abaixo, indica-se a distribuição das tensões 
normais 𝜎𝑥 no meio do vão de uma viga-parede com relação l/h = 1, submetida a 
uma carga uniformemente distribuída, aplicada na face superior. 
Conforme se observa na figura, as tensões não possuem uma variação linear 
como ocorre nas vigas esbeltas. Além disso, o braço de alavanca Z, formado pela 
resultante das tensões de compressão Rc e pela resultante das tensões de tração 
Rt, difere do obtido para as vigas esbeltas, que é igual a 0,67h. 
Quando 𝑙 ℎ⁄ < 1, o braço de alavanca diminui ainda mais, mas o momento 
resistente permanece aproximadamente constante. Isto indica que apenas a parte 
inferior da parece, com uma altura aproximadamente igual a l, colabora na 
resistência e que a parte superior atua como uma carga uniformemente distribuída. 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 191 
 
 
Figura 84: Tensões em viga-parede com l/h = 1. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Assim, é usual definir uma altura efetiva ℎ𝑒 para a viga-parede, dada por: 
 
ℎ𝑒 ≤ {
𝑙
ℎ
 
 
Na figura abaixo, apresentam-se as variações das tensões normais 𝜎𝑥 no 
meio do vão para diferentes relações l/h, obtidas com o emprego do método dos 
elementos finitos. Nessa figura são mostradas as relações 
𝜎𝑥
𝜎0⁄ , onde 𝜎0 =
 6𝑀
𝑏ℎ²
⁄ é a tensão máxima obtida para vigas esbeltas, sendo M o momento fletor na 
seção central. Conforme se observa, para 𝑙 ℎ⁄ ≥ 2 a distribuição das tensões se 
aproxima daquela obtida para as vigas esbeltas (variação linear de 𝜎𝑥 ao longo da 
altura da viga). Para relações 𝑙 ℎ⁄ < 2, a distribuição das tensões se afasta daquela 
obtida para as vigas esbeltas. Observa-se, também, que a tensão máxima de tração 
na borda inferior da viga é maior que 𝜎0, quando 
𝑙
ℎ⁄ < 2. Isto terá influência sobre o 
momento de fissuração e, consequentemente, sobre as taxas de armadura mínima. 
 
 
P á g i n a | 192 
 
 
Figura 85: Variação das tensões normais nas vigas-parede 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
9.3 Critérios de dimensionamento das vigas-parede de concreto armado 
Os ensaios realizados em vigas-parede de concreto armado indicam os 
seguintes modos de ruptura: 
• escoamento da armadura longitudinal do banzo tracionado; 
• ruptura da ancoragem da armadura longitudinal do banzo tracionado; 
• ruptura da armadura de suspensão para as cargas penduradas. 
 
 
Assim, o cálculo e o detalhamento das armaduras devem ser feitos de acordo 
com os modelos que levem em conta esses possíveis tipos de rupturas. O cálculo 
pode ser feito empregando-se modelos elásticos, modelos não lineares ou modelos 
do tipo biela-tirante. A seguir, são apresentados os usuais critérios de projeto das 
vigas-parede de concreto armado. 
P á g i n a | 193 
 
 
9.3.1 Cálculo da armadura do banzo tracionado 
A área da armadura longitudinal de tração, 𝐴𝑠, é obtida com o emprego da 
expressão: 
𝐴𝑠 = 
𝑀𝑑
𝑍𝑓𝑦𝑑
 
 
Onde 𝑀𝑑 é o momento fletor de cálculo, determinado como nas vigas 
esbeltas, 𝑓𝑦𝑑 é a tensão de escoamento de cálculo do aço e Z é o braço de 
alavanca. 
Para o braço de alavanca, adotam-se os seguintes valores: 
 
1. Viga -parede biapoiada 
𝑍 = 0,15ℎ(3 + 𝑙 ℎ⁄ ), 𝑠𝑒 1 < 
𝑙
ℎ⁄ < 2 
 
𝑍 = 0,6𝑙, 𝑠𝑒 𝑙 ℎ⁄ ≤ 1 
 
2. Viga-parede de dois vãos 
𝑍 = 0,10ℎ(2,5 + 2 𝑙 ℎ⁄ ), 𝑠𝑒 1 < 
𝑙
ℎ⁄ < 2,5 
𝑍 = 0,45𝑙, 𝑠𝑒 𝑙 ℎ⁄ ≤ 1 
 
3. Viga-parede contínua com mais de dois vãos 
Para os vãos extremos e para os primeiros apoios intermediários, adotam-se 
os valores dados nas equações da viga-parede de dois vãos. Para os demais vãos e 
apoios, tem-se: 
𝑍 = 0,15ℎ(2 + 𝑙 ℎ⁄ ), 𝑠𝑒 1 < 
𝑙
ℎ⁄ < 3 
𝑍 = 0,45𝑙, 𝑠𝑒 𝑙 ℎ⁄ ≤ 1 
Nas vigas-parede de um só vão, a armadura do banzo deve ser distribuída em 
uma altura de 0,15ℎ𝑒 a 0,2ℎ𝑒, conforme está indicado na figura abaixo. Essa 
armadura deve ser levada de apoio a apoio sem escalonamento e deve ser 
ancorada, na zona do apoio, para uma força 𝑅𝑠𝑑 ≥ 0,8𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑. No caso de apoios 
curtos, a ancoragem pode ser feita por meio de ganchos fechados deitados, ou por 
P á g i n a | 194 
 
 
placas de ancoragem. Não devem ser usados ganchos no plano vertical, para 
reduzir os riscos de fissuração. 
Figura 86: Distribuição da armadura do banzo tracionado 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para as vigas-parede contínuas, deve-se dispor a armadura da banzo inferior 
corrida ao longo de todo o comprimento da parede. Se houver necessidade, essa 
armadura pode ser emendada por transpasse em cima dos apoios intermediários. A 
ancoragem de extremidade e a distribuição da armadura na zona tracionada são 
feitas como para as vigas-parede de um só vão. 
A armadura sobre os apoios intermediários deve ser distribuída nas faixas 
indicadas na figura 64. Pelo menos a metade dessa armadura deve ser prolongada 
por todo o comprimento da parede. A outra metade pode ser interrompidaa uma 
distância de 0,4he das faces do apoio intermediário. 
A armadura negativa é distribuída apenas em uma faixa de altura 0,8ℎ𝑒. Na 
faixa superior com 0,2ℎ𝑒 de altura, coloca-se a fração 0,5 (
𝑙
ℎ𝑒
⁄ − 1) ≥ 0,25 da 
armadura calculada e o restante é distribuído na faixa de 0,6ℎ𝑒. Na parte superior 
restante, quando ℎ > 𝑙, deve-se colocar uma malha ortogonal com preponderância 
de barras horizontais. 
 
 
 
 
P á g i n a | 195 
 
 
Figura 87: Distribuição das armaduras sobre os apoios intermediários 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
9.3.2 Armadura de suspensão 
Se a viga-parede for solicitada por uma carga de cálculo 𝑃𝑑 distribuída 
uniformemente ao longo do vão l e aplicada na face inferior, deve-se empregar uma 
armadura de suspensão formada por estribos verticais. Esses estribos devem 
envolver a armadura longitudinal inferior e devem alcançar uma altura não inferior a 
ℎ𝑒. A área da armadura de suspensão necessária é 𝐴𝑠 = 
𝑃𝑑
𝑓𝑦𝑑
⁄ (em cm²/m). 
No caso de cargas concentradas elevadas, como ocorre em uma parede 
apoiada indiretamente, podem-se empregar estribos verticais ou a combinação de 
estribos com barras dobradas. Nesse último caso, as barras dobradas devem ter 
uma inclinação entre 50° e 60° em relação à horizontal e devem absorver no máximo 
60% da carga concentrada. A área das barras dobradas é calculada com a 
expressão: 
 
𝐴𝑠 = 
𝐹′𝑑
2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑓𝑦𝑑
 
P á g i n a | 196 
 
 
Onde 𝐹′𝑑 ≤ 0,6𝐹𝑑 é a parcela da força a ser levantada pelas barras dobradas 
e 𝛼 é o ângulo de inclinação dessas barras. A solução com estribos e barras 
dobradas é indicada na figura abaixo. 
Figura 88: Armadura de suspensão para cargas indiretas concentradas. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A região restante da parede deve ter uma armadura de pele em malha, em 
ambas as faces, com espaçamentos não maiores que duas vezes a espessura da 
parede nem que 30 cm. A taxa geométrica dessa armadura deve ser no mínimo 
igual a 0,10% em cada face, nas duas direções. 
9.3.3 Verificação das tensões de compressão nos apoios 
Conforme já foi salientado, o cálculo das vigas-parede de concreto armado 
também pode ser feito com o emprego de modelos do tipo biela-tirante. Na figura 66, 
indica-se o modelo de cálculo para uma viga-parede biapoiada submetida a uma 
carga uniformemente distribuída. A reação de apoio de cálculo é 𝑅𝑑 = 𝑃𝑑
𝑙
2⁄ , onde 
𝑃𝑑 é a carga de cálculo uniformemente distribuída. Do modelo da figura abaixo, 
pode-se escrever a equação de equilíbrio: 
𝑅𝑠𝑑𝑍 = 𝑅𝑑
𝑙
4
 
P á g i n a | 197 
 
 
 
Onde Z é o braço de alavanca dado nas expressões: 
 
𝑍 = 0,15ℎ(3 + 𝑙 ℎ⁄ ), 𝑠𝑒 1 < 
𝑙
ℎ⁄ < 2 
𝑍 = 0,6𝑙, 𝑠𝑒 𝑙 ℎ⁄ ≤ 1 
Figura 89: Modelo biela-tirante para a viga-parede biapoiada 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Substituindo a força no tirante, 𝑅𝑠𝑑, por 𝐴𝑠𝐹𝑦𝑑 e observando que 𝑀𝑑 = 𝑅𝑑
𝑙
4⁄ 
é o momento fletor de cálculo na seção central, conclui-se que a equação 
𝑅𝑠𝑑𝑍 = 𝑅𝑑
𝑙
4
 é igual à equação 𝐴𝑠 = 
𝑀𝑑
𝑍𝑓𝑦𝑑
, usada para o cálculo da armadura do 
banzo inferior da viga. Do modelo da figura acima, verifica-se que a inclinação e a 
força de compressão na biela de concreto são dadas por 
𝑡𝑔 𝜃 = 
4𝑍
𝑙
; 𝐹𝑐 = 
𝑅𝑑
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
P á g i n a | 198 
 
 
Para evitar o esmagamento do concreto, é necessário limitar as tensões de 
compressão na região dos apoios. Essas tensões de compressão são obtidas 
através da análise do nó de apoio do modelo, conforme indicado na figura abaixo. 
Na figura abaixo, c representa a largura do apoio e d’ é a distância do 
centroide das armaduras do banzo tracionado até a face inferior da viga-parede. A 
altura do nó de apoio é 𝑢 = 2𝑑′. As dimensões 𝑐1 𝑒 𝑐2, indicadas na figura abaixo, 
são dadas por: 
𝑐1 = 𝑐 + 𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 
𝑐2 = (𝑐 + 𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃)𝑠𝑒𝑛 𝜃 
Figura 67: Tensões de compressão em apoios de extremidade. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A tensão 𝜎𝑑 no apoio é: 
𝜎𝑑 = 
𝑅𝑑
𝑏𝑐
 
 
Onde 𝑅𝑑 é o valor de cálculo da reação e b é a largura da viga-parede. 
A tensão 𝜎2𝑑 na biela inclinada é dada por: 
 
P á g i n a | 199 
 
 
𝜎2𝑑 = 
𝐹𝑐
𝑏𝑐2
 
 
Substituindo as expressões da 𝐹𝑐 e de 𝑐2, resulta: 
 
𝜎2𝑑 = 
𝑅𝑑
𝑏 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
 
As tensões 𝜎𝑑 e 𝜎2𝑑 devem ser limitadas, para evitar o esmagamento do 
concreto na região do apoio. Para levar em conta a redução da resistência à 
compressão do concreto provocada pelas tensões de tração transversais (na região 
de ancoragem das armaduras do banzo), com possibilidade de fissuração do 
concreto, deve-se considerar um valor reduzido para a resistência à compressão do 
concreto. 
Desse modo, deve-se garantir que: 
𝜎𝑑 ≤ 𝑓𝑐𝑑𝑟 𝑒 𝜎2𝑑 ≤ 𝑓𝑐𝑑𝑟 
 
Onde 𝑓𝑐𝑑𝑟 é dada por: 
𝑓𝑐𝑑𝑟 = 0,60 (1 − 
𝑓𝑐𝑘
250
) 𝑓𝑐𝑑 = 0,6𝛼𝑣𝑓𝑐𝑑 
 
Com 𝑓𝑐𝑘 em Mpa. 
Comparando as equações 𝜎𝑑 = 
𝑅𝑑
𝑏𝑐
 e 𝜎2𝑑 = 
𝑅𝑑
𝑏 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝜃
, verifica-se que 𝜎2𝑑 ≤ 𝜎𝑑 
sempre que 𝑢 ≥ 𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃, deve-se verificar a tensão na biela inclinada, pois esta é 
mais solicitada. Conclui-se que, para melhorar a segurança da biela inclinada, a 
armadura longitudinal do banzo tracionado deve ser distribuída em uma faixa de boa 
altura, adotando-se barras em várias camadas. Em geral, a faixa indicada na figura 
68 é suficiente para garantir a segurança das bielas inclinadas. 
Desse modo, nos apoios de extremidade das vigas-parede, devem ser feitas 
as seguintes verificações: 
𝑠𝑒 𝑢 ≥ 𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 → 𝜎𝑑 ≤ 𝑓𝑐𝑑𝑟 
𝑠𝑒 𝑢 < 𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 → 𝜎2𝑑 ≤ 𝑓𝑐𝑑𝑟 
 
P á g i n a | 200 
 
 
Nos apoios internos das vigas-parede contínuas, as bielas de compressão 
produzem um estado de compressão biaxial, conforme indicado na figura abaixo. 
Neste caso, basta garantir que 
𝜎𝑑 ≤ 0,85𝑓𝑐𝑑 
Figura 90: Apoio interno de viga-parede contínua. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
9.4 Consolos curtos 
Os consolos são vigas curtas em balanço, com 0,5𝑑 ≤ 𝑎 ≤ 𝑑, sendo 
dimensionados através do modelo de treliça representado na figura 69. As cargas de 
cálculo 𝑃𝑑 e 𝐻𝑑 são transmitidas ao pilar através de uma biela comprimida, com a 
força 𝐹𝑐, e de um tirante, com a força 𝑅𝑠𝑑. Consolos muito curtos, com 𝑎 < 0,5𝑑, 
podem ser dimensionadas considerando uma altura efetiva 𝑑𝑒𝑓 < 𝑑. O caso em que 
𝑎 > 𝑑 é tratado como viga em balanço e não mais como consolo. 
Os resultados teóricos e experimentais indicam que a região à direita da biela 
de compressão fica isenta de tensões, não contribuindo para a resistência do 
consolo. Assim, a forma econômica de um consolo submetido a uma carga 
concentrada é a forma indicada na figura abaixo, tendo uma área útil sob o ponto de 
aplicação da carga de no mínimo 𝑑 2⁄ . Entretanto, por razões de aparência e de 
P á g i n a | 201 
 
 
facilidade de execução, é usual adotarem-se consolos retangulares, com altura útil d 
constante. 
Figura 91: Modelo de cálculo dos consolos curtos 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Em todo o comprimento a, as tensões de tração são praticamente constantes, 
indicando que o esforço 𝑅𝑠𝑑 permanece com o mesmo valor, desde o ponto de 
aplicação da carga até a seção de engastamento. As forças no tirante, 𝑅𝑠𝑑, e na 
biela comprimida, 𝐹𝑐, são obtidas fazendo o equilíbrio de momentos em relação aos 
pontos A e B da figura acima. 
A. Equilíbrio de momentos em relação ao ponto B: 
 
𝑅𝑠𝑑𝑍 = 𝑃𝑑𝑎 + 𝐻𝑑(𝑍 + 𝑒) 
 
De onde resulta a força no tirante: 
𝑅𝑠𝑑 = 
𝑃𝑑𝑎
𝑍
+ 𝐻𝑑(1 +
𝑒
𝑍
) 
 
P á g i n a | 202 
 
 
A área da armadura necessária do tirante, 𝐴𝑠, é dada por: 
𝐴𝑠 = 
𝑅𝑠𝑑
𝑓𝑦𝑑
, em cm² 
 
B. Equilíbrio de momentos em relação ao ponto A: 
 
𝐹𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑎 = 𝑃𝑑𝑎 + 𝐻𝑑𝑒 
 
De onde resulta a força de compressão na biela: 
𝐹𝑐 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 (𝑃𝑑 + 𝐻𝑑
𝑒
𝑎
) 
 
Na figura abaixo, encontram-se representadas as dimensões da biela de 
compressão.De acordo com a figura abaixo, a inclinação da biela é dada por: 
𝑡𝑔 𝜃 = 
𝑑−𝑑′
𝑎+ 𝑐 2⁄
 
 
Onde c é a largura do aparelho de apoio. 
 
As dimensões 𝑐1 e 𝑐2 indicadas na figura abaixo são dadas por: 
𝑐1 = 𝑐 + 𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 
𝑐2 = (𝑐 + 𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃)𝑠𝑒𝑛 𝜃 
Com 𝑢 = 2𝑑′. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 203 
 
 
Figura 92: Biela de compressão no consolo 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Logo, a dimensão Z para o emprego da equação 
𝑅𝑠𝑑 = 
𝑃𝑑𝑎
𝑍
+ 𝐻𝑑(1 +
𝑒
𝑍
) é 𝑍 = 𝑑 − 
𝑐2
(2 cos 𝜃) = 𝛼 𝑡𝑔 𝜃⁄ . 
A tensão 𝜎𝑑 no apoio é: 
𝜎𝑑 = 
𝑃𝑑
𝑏𝑐
 
 
Onde b é a largura do consolo. 
 
A tensão 𝜎2𝑑 na biela inclinada é dada por: 𝜎2𝑑 = 
𝐹𝑐
𝑏𝑐2
 
 
Substituindo a expressão de 𝐹𝑐, resulta: 
𝜎2𝑑 = 
𝑃𝑑,𝑒𝑓
𝑏𝑐2𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
𝑃𝑑,𝑒𝑓 = 𝑃𝑑 + 
𝑒
𝑎
 𝐻𝑑 
 
P á g i n a | 204 
 
 
Para evitar o esmagamento do concreto, deve-se garantir que: 𝜎𝑑 ≤
 𝑓𝑐𝑑𝑟 𝑒 𝜎2𝑑 ≤ 𝑓𝑐𝑑𝑟 
 
Onde 𝑓𝑐𝑑𝑟 é a resistência à compressão reduzida pelos efeitos da fissuração, 
dada na equação 
𝑓𝑐𝑑𝑟 = 0,60 (1 − 
𝑓𝑐𝑘
250
) 𝑓𝑐𝑑 = 0,6𝛼𝑣𝑓𝑐𝑑 
 
Observa-se que o procedimento para verificar a segurança contra a ruptura do 
concreto é inteiramente análogo ao que foi apresentado para as vigas-parede. 
Para consolos concretados monoliticamente com o pilar de sustentação, 
deve-se garantir que 𝑡𝑔 𝜃 ≤ 1,4, conforme indicado na norma espanhola EHE. 
Desse modo, para os consolos muito curtos podem-se empregar as equações 
anteriores, impondo a condição 𝑡𝑔 𝜃 ≤ 1,4. Observando a equação 𝑡𝑔 𝜃 = 
𝑑−𝑑′
𝑎+ 𝑐 2⁄
, 
verifica-se que esse procedimento consiste em considerar apenas a altura efetiva 
𝑑𝑒𝑓, dada por: 
𝑑𝑒𝑓 = 1,4 (𝑎 + 
𝑐
2
) + 𝑑′ 
 
A parte inferior do consolo é desconsiderada no dimensionamento. Nessa 
região, adota-se apenas uma armadura de pele mínima, constituída por estribos 
horizontais. A armadura do tirante pode ser distribuída em várias camadas a partir 
do bordo superior, conforme está indicado na figura abaixo. Essa armadura deve ser 
ancorada em laço no lado da carga, como indicado na figura pelas barras N1. 
Alternativamente, pode-se soldar uma barra transversal de igual diâmetro à 
armadura do tirante, após a região de aplicação da carga. A ancoragem da 
armadura do tirante na peça que suporta o consolo é garantida por meio do 
comprimento de ancoragem 𝑙𝑏. 
A posição e as dimensões do aparelho de apoio devem ser adotadas de 
forma a permitir que o tirante abrace a biela. 
Os estribos verticais N3, representados na figura abaixo, servem apenas para 
enrijecer a armadura. Já os estribos horizontais de costura N2 aumentam a 
capacidade resistente das bielas de compressão, quando dispostos com pequeno 
P á g i n a | 205 
 
 
espaçamento, e servem para garantir uma ruína mais dúctil. Esses estribos devem 
possuir uma área maior ou igual à metade da área da armadura do tirante. 
Figura 93: Detalhamento da armadura 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Quando o consolo é carregado indiretamente a carga deve ser levantada 
através da armadura de suspensão formada por estribos verticais. Esses estribos 
devem ser distribuídos apenas na zona de cruzamento do consolo com a viga que 
transmite a carga. Se a carga aplicada é grande, pode ser conveniente o emprego 
de barras inclinadas. Na figura abaixo, indica-se um consolo servindo de apoio para 
uma viga (carga indireta) e os modelos de cálculo da armadura do tirante e da 
armadura inclinada. 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 206 
 
 
Figura 94: Modelos para consolos com carregamento indireto 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Conforme se observa na figura, pode-se considerar que 60% da reação da 
viga sejam levantados para a parte superior do consolo por meio da armadura de 
suspensão. Assim, a armadura de suspensão, constituída por estribos verticais, 
deve ser dimensionada para uma força igual a 0,6𝑃𝑑. A armadura do tirante do 
consolo deve ser dimensionada para uma carga vertical de 0,6𝑃𝑑, com o emprego 
das equações: 
𝑅𝑠𝑑 = 
𝑃𝑑𝑎
𝑍
+ 𝐻𝑑(1 +
𝑒
𝑍
) e 𝐴𝑠 = 
𝑅𝑠𝑑
𝑓𝑦𝑑
. Além disso, considera-se ainda que 60% 
da reação de apoio sejam aplicados na parte inferior, sendo absorvidos através de 
uma armadura inclinada, com uma força 𝑅𝑠𝑑2, e uma biela comprimida horizontal, 
com uma força 𝐹𝑐2. 
Equilibrando as forças da figura abaixo, resulta: 𝑅𝑠𝑑2 = 
0,6𝑃𝑑
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
 
Assim, a área da armadura inclinada será: 𝐴𝑠,𝑖 = 
𝑅𝑠𝑑2
𝑓𝑦𝑑
 
 
Na figura abaixo, indica-se o detalhamento da armadura, quando barras 
inclinadas e estribos verticais são usados como armaduras de suspensão. 
 
 
 
 
P á g i n a | 207 
 
 
Figura 95: Armadura de suspensão (estribos e barras inclinadas) 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Os dentes Gerber são prolongamentos que se projetam nas extremidades das 
vigas, com o objetivo de apoiá-las em consolos criados nas faces dos pilares ou em 
outros apoios. Usualmente, o consolo e o dente Gerber tem altura um pouco menor 
que a metade da altura da viga. As mesmas limitações geométricas apresentadas 
para os consolos são válidas para os dentes Gerber. 
Na figura abaixo, apresenta-se um trecho de viga apoiado em um consolo. 
Os dentes Gerber têm um comportamento estrutural semelhante ao dos 
consolos, podendo ser empregado o modelo de cálculo apresentado anteriormente. 
As diferenças mais importantes são as seguintes: 
A. Geralmente, a biela do dente Gerber é mais inclinada, porque ela deve se 
apoiar a armadura de suspensão dentro da viga; 
B. A armadura principal do dente Gerber deve penetrar na viga, procurando 
ancoragem nas bielas de cisalhamento na viga; 
C. A armadura de suspensão deve ser calculada para a força total 𝑃𝑑. 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 208 
 
 
Figura 96: Dente Gerber para apoio de viga em consolo. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Na figura abaixo, representa-se o modelo para cálculo dos dentes Gerber. 
Figura 97: Modelo para cálculo dos dentes Gerber. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para o cálculo da armadura principal do tirante e para a verificação da 
compressão na biela, empregam-se as mesmas expressões deduzidas para os 
consolos. O ângulo 𝜃 de inclinação da biela deve ser obtido em conformidade com a 
figura acima. 
P á g i n a | 209 
 
 
A armadura de suspensão deve ser, preferencialmente, constituída por 
estribos colocados na altura completa da viga e concentrados na sua extremidade, 
conforme figura acima. A armadura principal do tirante deve ser ancorada a partir do 
seu cruzamento coma primeira biela de cisalhamento da viga, na sua altura 
completa. A armadura de flexão inferior da viga deve ser bem ancorada no trecho 
em que se coloca a armadura de suspensão. Se esse trecho não for suficientemente 
grande, a ancoragem pode ser feita por meio de barras transversais soldadas. 
 
Exercício resolvido 01 – Viga-Parede: Dimensionar a 
viga-parede indicada na figura abaixo. Nessa mesma figura, 
encontram-se indicadas as cargas de serviço atuantes na viga. 
Figura 98: Geometria e carregamento da viga. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Resolução: O Primeiro passo é encontrar os esforços solicitantes: 
 
a) Cargas e esforços solicitantes 
O peso próprio da viga é dado por: 
P á g i n a | 210 
 
 
𝑃𝑘3 = 25𝑥0,15𝑥2 = 7,5 𝑘𝑁/𝑚 
 
E a carga total de serviço é: 
𝑃𝑘 = 𝑃𝑘1 + 𝑃𝑘2 + 𝑃𝑘3 ≅ 34 𝑘𝑁/𝑚 
 
Na figura a seguir, indica-se o modelo de cálculo da viga 
Figura 99: Modelo de cálculo. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
O momento fletor de serviço na seção central e as reações de apoio são 
dados por: 
𝑀𝑘 = 
𝑃𝑘𝑙²
8
= 
34𝑥3²
8
= 38 𝑘𝑁𝑚 
𝑅𝑘 = 
𝑃𝑘𝑙
2
= 
34𝑥3
2
= 51 𝑘𝑁 
 
A relação entre vão e a altura é 𝑙 ℎ⁄ = 
3
2⁄ = 1,5 < 2. Portanto, a estrutura é 
classificada como uma viga-parede. 
 
b) Armadura longitudinal 
Empregando-se o aço CA50, tem-se 𝑓𝑦𝑑 = 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚². 
𝑀𝑑 = 1,4𝑀𝑘 = 1,4𝑥38= 53,2 𝑘𝑁𝑚 
𝑍 = 0,15ℎ (3 + 
𝑙
ℎ
) = 0,15𝑥2𝑥 (3 + 
3
2
) = 1,35 𝑚 
𝐴𝑠 = 
𝑀𝑑
𝑍𝑓𝑦𝑑
= 
53,2
1,35𝑥43,48
= 0,91 𝑐𝑚² 
 
P á g i n a | 211 
 
 
Para área de aço mínima: 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,0015. 𝐴𝑐 = 0,0015𝑥200𝑥15 = 4,5 𝑐𝑚² 
 
Portanto, devemos adotar a área de aço mínima. Consultando a tabela A3.2, 
verificamos que se pode adotar 4Ø12,5 mm, que nos dá uma área de aço de 4,91 
cm². 
 
c) Tensão dos apoios 
𝑅𝑑 = 1,4𝑅𝑘 = 1,5𝑥51 = 71,4 𝑘𝑁 
 
A inclinação da biela é dada por: 
𝑡𝑔 𝜃 = 
4𝑍
𝑙
= 
4𝑥1,35
3
= 1,8 → 𝜃 ≅ 61° 
 
Admitindo-se um cobrimento de 2,5 cm e estribos de 5 mm, tem-se d’ = 5,25 
cm, já que a armadura do banzo será disposta em duas camadas. A altura do nó de 
apoio é 𝑢 = 2𝑑′ = 10,5 𝑐𝑚. Como 𝑢 = 2𝑑′ = 10,5 𝑐𝑚 é menor que 𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 = 11,1 𝑐𝑚, 
deve-se garantir que 𝜎2𝑑 ≤ 𝑓𝑐𝑑𝑟. 
𝜎2𝑑 = 
𝑅𝑑
𝑏(𝑐 + 𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃)𝑠𝑒𝑛²𝜃
= 
71,4
15 (20 + 10,5𝑥
1
1,8) 0,874²
= 0,24
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 2,4 𝑀𝑃𝑎 
 
Para um concreto com 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑝𝑎, tem-se 𝑓𝑐𝑑𝑟 = 7,9 𝑀𝑝𝑎. Portanto 𝜎2𝑑 ≤
 𝑓𝑐𝑑𝑟, ficando garantida a segurança contra o esmagamento da biela. 
 
d) Ancoragem da armadura de flexão 
Consultando a tabela A3.4, obtém-se o comprimento básico de ancoragem 
com gancho 0,7𝑙𝑏 = 0,38. A força a ser ancorada é igual a 0,8𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑, ou seja, a 
armadura calculada 𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐 nos apoios é: 
 
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐 = 0,8𝐴𝑠 = 0,8𝑥0,91 = 0,73 𝑐𝑚² 
 
Logo, o comprimento de ancoragem com gancho é: 𝑙𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,7𝑙𝑏
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠𝑒
=
38𝑥
0,73
4,91
≅ 5,6 𝑐𝑚 
P á g i n a | 212 
 
 
 
Esse valor é inferior aos limites 6 cm e 𝑅 + 5,5∅ = 10 𝑐𝑚. Como os pilares de 
apoio têm uma largura igual a 20 cm, verifica-se que é possível fazer a ancoragem 
com gancho. 
 
e) Armadura de suspensão 
 
𝑃𝑑 = 1,4𝑝𝑘2 = 1,4𝑥23 = 32,2 𝑘𝑁/𝑚 
𝐴𝑠 = 
𝑃𝑑
𝑓𝑦𝑑
= 
32,2
43,48
= 0,74 𝑐𝑚2 → 0,37
𝑐𝑚2
𝑚
𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 
 
f) Armadura de pele 
𝐴𝑠,𝑝𝑒𝑙𝑒 = 0,0010𝑥𝐴𝑐 = 0,0010𝑥15𝑥200 = 3 𝑐𝑚
2 → 1,5 𝑐𝑚2/𝑓𝑎𝑐𝑒 
 
Como a armadura de suspensão é menor do que a armadura de pele, deve-
se adotar a armadura de pele tanto na vertical quanto na horizontal. Consultando a 
tabela A3.1 com a área 𝐴𝑠 = 1,5 𝑐𝑚
2/𝑚, obtém-se a solução ∅5.0𝑐. 13𝑐𝑚. O restante 
do detalhamento das armaduras é feito com o auxílio das tabelas A3.5 e A3.7. 
Na figura abaixo, encontra-se o detalhamento das armaduras da viga-parede. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 213 
 
 
Figura 100: Detalhamento das armaduras. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Exercício resolvido 02 – Consolo 
Projetar o consolo indicado na figura a seguir: 
Dados: Carga 𝑃𝑘 = 100 𝑘𝑁 → 𝑃𝑑 = 1,4𝑥𝑃𝑘 = 140 𝑘𝑁 
Concreto: 𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎 → 𝑓𝑐𝑑𝑟 = 0,60 (1 − 
𝑓𝑐𝑘
250
) 𝑓𝑐𝑑 =
9,6 𝑀𝑃𝑎 
 Aço CA50: 𝑓𝑦𝑑 = 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 214 
 
 
Figura 101: Dimensões do consolo. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
a) Inclinação da biela de compressão 
 
𝑡𝑔 𝜃 = 
𝑑 − 𝑑′
𝑎 + 𝑐 2⁄
= 
25 − 5
10 + 
10
2
= 1,33 
 
Como resultou 𝑡𝑔 𝜃 < 1,4, pode-se considerar toda a altura útil d=25 cm como 
efetiva. Logo: 𝑡𝑔 𝜃 = 1,33; 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0,80; 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0,60; 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 = 0,75 
 
b) Largura da biela 
𝑢 = 2𝑑′ = 10 𝑐𝑚 
𝑐2 = (𝑐 + 𝑢𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃)𝑠𝑒𝑛 𝜃 = (10 + 10𝑥0,75)0,80 = 14 𝑐𝑚 
 
 
P á g i n a | 215 
 
 
c) Tensão no apoio 
 
𝜎𝑑 = 
𝑃𝑑
𝑏𝑐
= 
140
20𝑥10
= 0,70
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 7 𝑀𝑃𝑎 
 
Como 𝜎𝑑 < 𝑓𝑐𝑑𝑟, a largura do aparelho de apoio é satisfatória. 
 
d) Tensão a biela de compressão 
 
𝑃𝑑,𝑒𝑓 = 𝑃𝑑 + 
𝑒
𝑎
𝐻𝑑 = 140 𝑘𝑁, pois 𝐻𝑑 = 0 
𝜎2𝑑 = 
𝑃𝑑,𝑒𝑓
𝑏𝑐2𝑠𝑒𝑛 𝜃
= 
140
20𝑥14𝑥0,80
= 0,63
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 6,3 𝑀𝑃𝑎 
 
Como 𝜎2𝑑 < 𝑓𝑐𝑑𝑟 , não há risco de esmagamento da biela. 
 
e) Armadura do tirante 
 
𝑍 = 𝑎𝑡𝑔𝜃 = 10𝑥1,33 = 13,3 𝑐𝑚 
𝑅𝑠𝑑 = 
𝑃𝑑𝑎
𝑍
+ 𝐻𝑑 (1 + 
𝑒
𝑍
) = 
140𝑥10
13,3
= 105,26 𝑘𝑁 
𝐴𝑠 = 
𝑅𝑠𝑑
𝑓𝑦𝑑
= 
105,26
43,48
= 2,42 𝑐𝑚² 
 
Consultando a tabela A3.2, verifica-se que podem ser empregados 2 grampos 
de 10 mm. A área dos 4 ramos dessa armadura é igual a 3,14 cm². 
 
f) Armadura de costura 
 
𝐴𝑠𝑐 = 
𝐴𝑠
2
= 
2,42
2
= 1,21 𝑐𝑚² 
 
Da tabela A3.2, verifica-se que podem ser empregados 3 estribos de 5 mm. A 
área dos 6 ramos desses estribos é de 1,18 cm². 
 
 
P á g i n a | 216 
 
 
Figura 102: Armação do consolo. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ As tensões nas vigas parede; 
✓ Os critérios de dimensionamento para os consolos e vigas-parede; 
✓ Os consolos curtos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este artigo de comparação entre pilares de 
concreto e pilares de aço: 
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2006/inic/inic/07/I
NIC000071ok.pdf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 9 
Exercícios 
 
 
 
 
 
Projetar o consolo indicado na figura a seguir: 
Dados: Carga 𝑃𝑘 = 187 𝑘𝑁 
Concreto: 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 → 𝑓𝑐𝑑𝑟 = 0,60 (1 − 
𝑓𝑐𝑘
250
) 𝑓𝑐𝑑 
 Aço CA50: 𝑓𝑦𝑑 = 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
Figura 103: Exercício. 
 
Fonte: (EXERCÍCIO..., 2018) 
 
 
 
Lajes nervuradas 
Aula 10 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula estudaremos as lajes nervuradas. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Entender como são os esforços nas lajes nervuradas; 
➢ Entender os critérios de dimensionamento das lajes nervuradas; 
➢ Entender as prescrições normativas das lajes nervuradas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 222 
 
 
10 LAJES NERVURADAS 
Olá Aluno! Vamos estudar sobre as lajes nervuradas. 
Vamos lá? 
10.1 Introdução 
Usualmente, os pisos dos edifícios de concreto armado são projetados em 
lajes maciças. Entretanto, quando os vãos são grandes, esta soluçãopode ser 
antieconômica, em virtude da elevada espessura da laje. Nesses casos, a solução 
em laje maciça pode exigir espessuras tão grandes que a maior parte do 
carregamento passa a ser constituída por seu peso próprio. 
Para reduzir o peso próprio da estrutura, pode-se adotar a solução em lajes 
nervuradas. Nessas lajes, a zona de tração é constituída por nervuras entre as quais 
podem ser colocados materiais inertes, de forma a tornar plana a superfície externa. 
Os materiais inertes devem ter peso específico reduzido em comparação com o 
peso específico do concreto, podendo ser empregados tijolos cerâmicos furados, 
blocos de concreto leve, blocos de isopor, cubetas de polietileno, outros. 
Alternativamente, os espaços entre as nervuras podem ser preenchidos com formas 
industrializadas que, após sua retirada, deixam a mostra as nervuras da laje. 
Na figura, indica-se um corte transversal em uma laje nervurada, onde um 
material inerte foi colocado na zona de tração. 
Figura 104: Laje nervurada com superfície plana 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Na laje nervurada da figura abaixo, as nervuras ficam aparentes após a 
retirada das formas. 
P á g i n a | 223 
 
 
Figura 105: Laje nervurada com nervuras aparentes 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
No caso usual de lajes nervuradas com nervuras inferiores, como indicado 
nas figuras, as nervuras funcionam como vigas T para momentos fletores positivos. 
Se a laje for contínua, torna-se necessário que as faixas próximas aos apoios 
intermediários sejam maciças, conforme indicado na figura abaixo. 
Figura 106: Laje nervurada contínua 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Em geral, as lajes nervuradas exigem uma espessura total h cerca de 50% 
superior à que seria necessária para as lajes maciças. Entretanto, o peso próprio da 
laje nervurada (e o consumo de concreto) é inferior ao da laje maciça, resultando em 
uma solução mais econômico para vãos acima de 8 metros, aproximadamente. 
P á g i n a | 224 
 
 
10.2 Prescrições da NBR6118: 2014 
De acordo com a NBR6118: 2014, as lajes nervuradas podem ser calculadas 
como as lajes maciças, através de processos elásticos, desde que sejam 
respeitadas as prescrições apresentadas a seguir. 
A. A distância S entre os eixos das nervuras não deve ultrapassar 110 cm, 
isto é, 
 
𝑆 = 𝑙0 + 𝑏𝑤 ≤ 110 𝑐𝑚 
 
B. A largura das nervuras não deve ser inferior a 5 cm e a espessura da mesa 
não deve ser menor que 4 cm nem que 1/15 da distância entre nervuras, ou seja, 
 
𝑏𝑤 ≥ 5 𝑐𝑚 
ℎ𝑓 ≥ {
4 𝑐𝑚
𝑙0
15
⁄
 
 
O valor mínimo de 4 cm para a espessura da mesa passa para 5 cm, quando 
existirem tubulações embutidas de diâmetro menor ou igual a 10 mm. Para 
tubulações com diâmetro ∅ > 10 𝑚𝑚, esse valor mínimo passa ∅ + 4 𝑐𝑚, ou 2∅ +
4 𝑐𝑚 se houver cruzamento de tubulações. 
C. Não é permitido o uso de armadura de compressão em nervuras de largura 
inferior a 8 cm. 
D. A resistência da mesa à flexão deverá ser verificada sempre que a 
distância S entre eixos de nervuras for maior que 65 cm. Nestes casos, a armadura 
da mesa deve ser calculada como para uma laje maciça de espessura ℎ𝑓 
simplesmente apoiada nas nervuras. Se a distância entre eixos de nervuras for 
menor ou igual a 65 cm, pode-se adotar uma armadura mínima para a mesa, sem a 
necessidade do dimensionamento. 
E. Se a distância entre eixos de nervuras for maior que 65 cm, elas deverão 
ser verificadas ao cisalhamento como vigas. Nesses casos, as nervuras deverão ter 
estribos, obrigatoriamente. Se essa distância for menor ou igual a 65 cm, as 
nervuras podem ser verificadas ao cisalhamento com os critérios de lajes. Neste 
último caso, os estribos poderão ser dispensados desde que 𝜏𝑤𝑑 ≤ 𝜏𝑤𝑢1. A 
P á g i n a | 225 
 
 
verificação como lajes também é permitida se 65 𝑐𝑚 < 𝑆 < 90 𝑐𝑚, desde que a 
largura média das nervuras seja maior que 12 cm. 
F. Os estribos das nervuras, quando necessários, devem ter um espaçamento 
máximo de 20 cm. 
 
Nas lajes armadas em uma só direção, sempre que houver cargas 
concentradas ou quando o vão teórico l for superior a 4 m, devem ser colocadas 
nervuras de distribuição, conforme indicado na figura abaixo. 
Figura 107: Nervura de distribuição em lajes armadas em uma só direção 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para garantir adequada rigidez à torção das lajes nervuradas, algumas 
normas limitam a altura máxima das nervuras. No EC2, por exemplo, a altura das 
nervuras abaixo da mesa não deve ser maior que 4𝑏𝑤. 
10.3 Cálculo dos esforços em lajes nervuradas 
Uma vez obedecidas as prescrições da NBR 6118 (2014), o cálculo dos 
esforços na laje nervurada pode ser feito como se a mesma fosse uma laje maciça 
de espessura equivalente. Isto é permitido porque, nos casos correntes de pisos de 
edifícios sujeitos a cargas distribuídas de valor moderado, as espessuras mínimas 
exigidas são suficientes para conferir à mesa uma rigidez capaz de assegurar o seu 
funcionamento conjunto com as nervuras. Dessa forma, ficam restabelecidas as 
P á g i n a | 226 
 
 
hipóteses da teoria de placas de Kirchhoff, o que permite substituir a laje nervurada 
por uma laje maciça de mesma rigidez à flexão. 
Nos casos de cargas distribuídas elevadas ou de cargas concentradas 
importantes, é necessário adotar espessuras superiores às mínimas recomendadas. 
Quando o espaçamento entre eixos de nervuras for maior que 110 cm, a 
mesa deve ser projetada como uma laje maciça apoiada na grelha de vigas. Neste 
caso, as espessuras mínimas da mesa são aquelas específicas para lajes maciças. 
O engenheiro civil e professor Doutor José Carlos de Araújo realizou um 
amplo sobre o comportamento das lajes nervuradas de concreto armado, onde 
foram analisados os seguintes aspectos: comportamento não linear das lajes 
nervuradas decorrente da fissuração; consideração da fluência do concreto; 
avaliação da rigidez à torção das lajes nervuradas; determinação da espessura 
equivalente das lajes nervuradas através de diferentes métodos. 
Do estudo realizado, conclui-se que as lajes nervuradas podem ser calculadas 
como lajes maciças, desde que sua espessura equivalente seja determinada 
corretamente. Em geral, as lajes nervuradas apresentam fissuras para as cargas de 
serviço, ao contrário do que ocorre com as lajes maciças. Assim, rigorosamente 
falando, as lajes nervuradas se encontram no estádio II, quando submetidas às 
cargas normais de utilização. Entretanto, as flechas finais da laje, incluindo a fluência 
do concreto, podem ser calculadas no estádio I, como se faz para as lajes maciças. 
Isto é possível porque os efeitos da fluência são superavaliados com o cálculo 
realizado no estádio I, o que compensa os efeitos desfavoráveis da fissuração. 
A maneira correta de se determinar a laje maciça equivalente é baseada na 
equivalência da energia de deformação. Para efeito de projeto, pode-se determinar a 
espessura equivalente da laje nervurada por dois processos simplificados: pela 
igualdade da rigidez média; pela igualdade do momento de inércia das seções T 
formadas pelas nervuras e pela mesa. Na figura abaixo, representa-se uma laje 
nervurada com as dimensões das nervuras nas duas direções. 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 227 
 
 
Figura 108: Laje nervurada ortotrópica 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A rigidez da laje na região das nervuras, D1, e a rigidez da região da mesa, 
D2, são dadas por: 
 
𝐷1 = 
𝐸𝑐𝑠ℎ
3
12(1 − 𝜈2)
 ; 𝐷2 = 
𝐸𝑐𝑠ℎ𝑓
3
12(1 − 𝜈2)
 
 
Onde h é a espessura total da laje, ℎ𝑓 é a espessura da mesa e 𝜈 = 0,2 é o 
coeficiente de Poisson do concreto. A rigidez equivalente 𝐷𝑒 da laje nervurada é 
dada por 
 
𝐷𝑒 = (1 − 𝜉)𝐷1 + 𝜉𝐷2 ; 𝜉 = 
𝑙0𝑥𝑙0𝑦
𝑆𝑥𝑆𝑦
 
 
A rigidez equivalente pode ser escrita na forma usual: 
 
𝐷𝑒 = 
𝐸𝑐𝑠ℎ𝑒
3
12(1 − 𝜈2)
 
P á g i n a | 228 
 
 
 
Onde ℎ𝑒 é a espessura da laje maciça equivalente à laje nervurada. 
Considerandoas equações: 
 
𝐷1 = 
𝐸𝑐𝑠ℎ
3
12(1 − 𝜈2)
 ; 𝐷2 = 
𝐸𝑐𝑠ℎ𝑓
3
12(1 − 𝜈2)
 
 
𝐷𝑒 = (1 − 𝜉)𝐷1 + 𝜉𝐷2 
 
𝐷𝑒 = 
𝐸𝑐𝑠ℎ𝑒
3
12(1 − 𝜈2)
 
 
Resulta em: 
 
ℎ𝑒 = [(1 − 𝜉)ℎ
3 + 𝜉ℎ𝑓
3]
1/3
 
 
Desse modo, os esforços e a flecha da laje nervurada podem ser calculadas 
como se a mesma fosse uma laje maciça de espessura ℎ𝑒. Para isso, utilizam-se as 
tabelas em anexo. Empregando-se essas tabelas, obtêm-se os momentos fletores 
por unidade de comprimento. Para encontrar os momentos correspondentes a cada 
uma das nervuras, basta multiplicar os valores obtidos pelos espaçamentos 𝑆𝑥 𝑒 𝑆𝑦 
entre os eixos das nervuras. Conhecidos os momentos por nervura, calculam-se as 
armaduras longitudinais através do dimensionamento à flexão simples das seções T. 
Para isto, é preciso determinar a largura efetiva da mesa, 𝑏𝑓. 
A largura efetiva da mesa da seção T, para uma direção genérica, é dada por 
𝑏𝑓 = 𝑏𝑤 + 2𝑏1 
 
Onde: 
𝑏1 ≤ {
0,1𝑎
0,5𝑙𝑜
 
 
Sendo a dependente do vão. 
Limitando 𝑙0 ≤ 100 𝑐𝑚 e considerando que 𝑎 > 5 𝑚 em praticamente todos 
os casos para os quais se emprega a solução em laje nervurada, verifica-se que 
P á g i n a | 229 
 
 
𝑏1 = 0,5𝑙0. Logo, pode-se garantir que toda a laje colabora como mesa de 
compressão das vigas T. Assim, nos casos correntes, tem-se 𝑏𝑓 = 𝑆. 
As reações de apoio da laje também podem ser obtidas com o emprego das 
tabelas em anexo. Uma vez que essas reações são dadas por unidade de 
comprimento, elas devem ser multiplicadas pelos espaçamentos 𝑆𝑥 𝑒 𝑆𝑦, para a 
obtenção das reações correspondentes a cada nervura. Com esses valores, verifica-
se a resistência das nervuras ao esforço cortante. 
 
Exercício resolvido 01 – Laje Nervurada 
Projetar a laje nervurada indicada na figura abaixo, com 
os espaços entre nervuradas preenchidos com blocos de isopor. 
A laje é o piso de um conjunto de salas de escritórios e sobre a 
mesma há uma carga correspondente ao peso das paredes 
divisórias de 1,0 kN/m². As vigas laterais de apoio têm 20 cm de largura. O concreto 
possui uma resistência 𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎 e o aço é o CA50. 
Figura 109: Dimensões da laje. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
 
P á g i n a | 230 
 
 
Resolução: O Primeiro passo é fazer um pré-dimensionamento: 
a) Pré-dimensionamento 
 
Vãos de cálculo: 𝑙𝑥 = 8,20 𝑚 ; 𝑙𝑦 = 10,20 𝑚 
Distância livre entre nervuras: 𝑙0𝑥 = 𝑙0𝑦 = 50 𝑐𝑚 (𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜) 
Estimativa da espessura: 𝑑 = 
𝑙𝑥
30
= 
820
30
= 27 𝑐𝑚 
Altura total adotada: ℎ = 30 𝑐𝑚 
Na figura abaixo, indicam-se as dimensões da seção adotadas para as duas 
direções da laje. 
Figura 110: Seção da laje. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
b) Cargas 
O peso próprio da laje pode ser calculado considerando-se a área de 60 cm x 
60 cm, correspondente às distâncias entre os eixos das nervuras nas duas direções. 
O peso do enchimento pode ser desprezado. 
Área = 0,60² = 0,36 m² 
Volume de concreto = 0,36x0,30-0,50²x0,25 = 0,0455 m³ 
Peso total = 25x0,0455 = 1,1375 kN 
Peso próprio = 1,1375/0,36 = 3,16 kN/m² 
 
Observação importante: A laje nervurada em estudo neste exercício, tem 
um peso próprio igual ao de uma laje maciça de 12,6 cm de espessura! 
• Carga permanente (g) 
P á g i n a | 231 
 
 
Peso próprio = 3,16 kN/m² 
Paredes = 1,0 kN/m² 
Revestimento = 1,0 kN/m² 
Carga total = 5,16 kN/m² 
 
• Carga acidental (q) 
 
Carga acidental (q) = 2,00 kN/m² 
 
• Carga total 
P = g + q = 7,16 kN/m² 
 
c) Verificação da flecha 
A espessura equivalente da laje nervurada é calculada com o emprego das 
seguintes equações: 
𝜉 = 
𝑙0𝑥𝑙0𝑦
𝑆𝑥𝑆𝑦
= 
50𝑥50
60𝑥60
= 0,694 
ℎ𝑒 = [(1 − 𝜉)ℎ
3 + 𝜉ℎ𝑓
3]
1
3⁄ = [(1 − 0,694)303 + 0,694𝑥5³]
1
3⁄ = 20,3 𝑐𝑚 
 
Observação importante: A laje pesa como uma laje maciça de 12,6 cm de 
espessura, mas possui rigidez de uma laje maciça de 20,3 cm de espessura. 
O módulo de deformação longitudinal (módulo de elasticidade) do concreto é: 
𝐸𝑐𝑠 = 0,85𝑥21500𝑥 (
𝑓𝑐𝑘 + 8
10
)
1
3⁄
 𝑀𝑃𝑎 = 27208 𝑀𝑃𝑎 = 2720 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
Considerando o coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,2, obtém-se a rigidez a flexão da 
laje: 
𝐷 = 
𝐸𝑐𝑠ℎ𝑒
3
12(1 − 𝜈2)
= 
2576𝑥20,3³
12(1 − 0,22)
= 19751870 𝑘𝑁𝑐𝑚 = 19751 𝑘𝑁𝑚 
 
A flecha é calculada para a combinação quase permanente do carregamento 
𝑃0 = 𝑔 + Ψ2𝑞, onde Ψ2 = 0,4 para edifícios de escritórios. 
𝑃0 = 𝑔 + Ψ2𝑞 = 5,16 + 0,4𝑥2 = 5,96 𝑘𝑁/𝑚² 
P á g i n a | 232 
 
 
 
Para o cálculo da laje, pode-se empregar a teoria de placas ou a teoria das 
grelhas. Entretanto, como se trata de uma laje com vãos grandes, é mais econômico 
realizar o cálculo pela teoria de placas e adotar as armaduras de canto necessárias 
na face superior da laje. Além disso, deve-se garantir que as vigas de apoio 
possuem rigidez suficiente para que os seus deslocamentos transversais não 
aumentem significativamente os momentos fletores e a flecha da laje. Caso essas 
condições não sejam atendidas, a laje pode ser calculada pela teoria das grelhas. 
A seguir, apresenta-se o cálculo da laje por meio da teoria de placas. 
𝑙𝑥
𝑙𝑦
= 
8,2
10,2
= 0,80 → 𝑤𝑐 = 6,03 (𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝐴2.1) 
 
Flecha inicial: 
𝑊0 = 0,001𝑤𝑐
𝑝0𝑙𝑥
4
𝐷
= 0,001𝑥6,03𝑥
5,96𝑥8,24
19751
= 0,0082 𝑚 
 
Flecha final: 
Considerando um coeficiente de fluência 𝜑 = 2,5, a flecha final é dada por 
𝑊∞ = (1 + 𝜑)𝑊0 = (1 + 2,5)0,82 = 2,87 𝑐𝑚 
 
Flecha admissível: 
𝑊𝑎𝑑𝑚𝑖 = 
𝑙𝑥
250
=
820
250
= 3,28 𝑐𝑚 
 
Como resultou 𝑊∞ < 𝑊𝑎𝑑𝑚𝑖, significa que as dimensões adotadas são 
satisfatórias. 
 
d) Cálculo da armadura longitudinal 
Para o cálculo dos momentos fletores e das reações de apoio, deve-se 
considerar a totalidade das cargas de serviço, ou seja, a carga 𝑝 = 7,16 𝑘𝑁/𝑚². 
Entrando na tabela A2.1 com a relação 
𝑙𝑥
𝑙𝑦
= 0,80, obtêm-se os momentos fletores por 
unidade de comprimento. 
𝑀𝑥 = 30,19 𝑘𝑁𝑚/𝑚 ; 𝑀𝑦 = 21,47 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
P á g i n a | 233 
 
 
Os momentos fletores correspondentes a cada nervura são: 
𝑀𝑥 = 30,19𝑥0,60 = 18,11 𝑘𝑁𝑚 (𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑋) 
𝑀𝑦 = 21,47𝑥0,60 = 12,88 𝑘𝑁𝑚 (𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑌) 
 
Na figura abaixo, indica-se a seção T para o dimensionamento das armaduras 
Figura 111: Seção T para o dimensionamento. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Dimensionando a seção T para os momentos fletores 𝑀𝑥 = 18,11 𝑘𝑁𝑚 e 𝑀𝑦 =
12,88 𝑘𝑁𝑚, resultam as armaduras. 
𝐴𝑠𝑥 = 2,25
𝑐𝑚2
𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎
→ 2∅12,5 (𝐴𝑠𝑥 = 2,45 𝑐𝑚
2) 
𝐴𝑠𝑦 = 1,59
𝑐𝑚2
𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎
→ 2∅10,0 (𝐴𝑠𝑥 = 1,57 𝑐𝑚
2) 
 
e) Armadura da mesa 
Como a distância entre os eixos das nervuras não é superior a 65 cm, basta 
colocar uma malha com armadura mínima na mesa. A área de aço em cada direção 
é igual a: 𝐴𝑠 = 0,15ℎ𝑓 = 0,15𝑥5 = 0,75𝑐𝑚
2/𝑚, já que 𝜌𝑚𝑖𝑛 = 0,15% é a taxa mínima 
de armadura. Solução: 𝜙 4.2 𝑐. 18 𝑐𝑚 
 
f) Verificação da resistência ao esforço cortante 
Consultando a tabela A2.1 com a relação 
𝑙𝑥
𝑙𝑦
= 0,80, obtêm-se as reações de 
apoio por unidade de comprimento. 
P á g i n a | 234 
 
 
𝑅𝑥 = 15,32
𝑘𝑁
𝑚
; 𝑅𝑦 = 17,09 𝑘𝑁/𝑚 as reações por nervura são: 
𝑅𝑥 = 0,60𝑥15,32 = 9,19 𝑘𝑁/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
𝑅𝑦 = 0,60𝑥17,09 = 10,25 𝑘𝑁/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
 
Na figura abaixo, indicam-se as armaduras das nervuras nas duas direções e 
as reações de apoio correspondentes. 
Figura 112: Esforços cortantes nas nervuras. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Como a distância entre os eixos das nervuras não é superior a 65 cm, a 
resistência ao esforço cortante é verificada como em lajes. Se resultar 𝜏𝑤𝑑 ≤ 𝜏𝑤𝑢𝑙, 
não será necessário colocar estribos nas nervuras. 
• Verificação para as nervuras da direção X 
𝑉𝑘 = 10,25 𝑘𝑁 ; 𝐴𝑠 = 2,45 𝑐𝑚
2; 𝑉𝑑 = 1,4𝑉𝑘 = 14,35 𝑘𝑁 
𝜏𝑤𝑑 = 
𝑉𝑑
𝐵𝑤𝑑
= 
14,35
10𝑥26,5
= 0,054
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
→ 0,54 𝑀𝑃𝑎 
𝜌1 = 
𝐴𝑠
𝑏𝑤𝑑
= 
2,4510𝑥26,5
= 0,0092 
𝜏𝑟𝑑 = 0,0375(𝑓𝑐𝑘)
2
3⁄ = 0,32 𝑀𝑃𝑎 
𝑘 = 1,6 − 𝑑 = 1,6 − 0,265 = 1,34 > 1 → 𝑘 = 1,34 
P á g i n a | 235 
 
 
𝜏𝑤𝑢𝑙 = 𝑘(1,2 + 40𝜌1)𝜏𝑟𝑑 
𝜏𝑤𝑢𝑙 = 1,34(1,2 + 40𝑥0,0092)𝑥0,32 = 0,67 𝑀𝑃𝑎 
 
Como resultou 𝜏𝑤𝑑 ≤ 𝜏𝑤𝑢𝑙, dispensa-se o uso de estribos nas nervuras da 
direção X. 
• Verificação para as nervuras da direção Y 
 
𝑉𝑘 = 9,19 𝑘𝑁 ; 𝐴𝑠 = 1,57𝑐𝑚
2 
 
Para essas nervuras resulta 𝜏𝑤𝑑 = 0,49 𝑀𝑃𝑎 e 𝜏𝑤𝑢𝑙 = 0,67 𝑀𝑃𝑎, não sendo 
necessário o uso de estribos. 
 
g) Ancoragem das armaduras nos apoios 
A armadura calculada nos apoios é dada por 𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐 = 
𝑎𝑙
𝑑
 .
𝑉𝑑
𝑓𝑦𝑑
, onde 𝑎𝑙 = 1,5𝑑 
para lajes sem armadura de cisalhamento. É fácil verificar que resulta o comprimento 
mínimo de ancoragem com gancho nas duas direções. Assim, basta introduzir as 
barras dentro das vigas de apoio, deixando o cobrimento e fazendo os ganchos. 
 
h) Armaduras de canto 
Consultando a tabela A2.1 com a relação 
𝑙𝑥
𝑙𝑦
= 0,80, obtém-se o coeficiente 
𝑚𝑥𝑦 = 44,6, com o qual se calcula o momento torçor nos cantos 𝑀𝑥𝑦 = 21,47
𝑘𝑁𝑚
𝑚
.O 
momento torçor correspondente a cada nervura é: 𝑀𝑥𝑦 = 0,60𝑥21,47 = 12,88 𝑘𝑁𝑚 
Observa-se que esse momento é exatamente igual ao menor momento fletor 
no centro da laje. Logo, as armaduras de flexão são suficientes para resistir ao 
momento principal positivo 𝑀1 = 𝑀𝑥𝑦 que atua nos cantos da laje. Uma armadura 
adicional deve ser dimensionada para o momento principal negativo 𝑀2 = − 𝑀𝑥𝑦 nos 
cantos da laje. Entretanto, como a mesa está tracionada, o dimensionamento é igual 
ao de uma seção retangular com largura b=10 cm e a altura útil d = 26,5 cm. 
Dimensionando a seção T para o momento 𝑀2 = − 12,88 𝑘𝑁𝑚, resulta 𝐴𝑠 =
1,73 𝑐𝑚². Dividindo essa área de aço pela largura da mesa, obtém-se a armadura de 
canto superior: 𝐴𝑠 = 
1,73
0,60
= 2,88
𝑐𝑚2
𝑚
→ 𝜙6,3 𝑐. 10 𝑐𝑚. 
P á g i n a | 236 
 
 
 
O quadrado onde a armadura será situada tem lados iguais a 0,2𝑙 =
0,2𝑥820 = 164 𝑐𝑚. Logo, o número de barras em cada direção é 𝑛 =
164
10
=
16 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠. As barras devem penetrar dentro das vigas o comprimento de ancoragem 
com gancho 𝑙𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 17 𝑐𝑚. Solução: malha com 15 𝜙 6.3 𝑐. 10 𝑐𝑚 em cada direção. 
 
i) Disposição das nervuras na laje 
De um modo geral, o vão livre da laje não é múltiplo do espaçamento S entre 
as nervuras em determinada direção. Assim, é necessário definir uma disposição 
para as nervuras, de modo a vencer todo o vão livre. Isto pode ser feito de diversas 
formas. 
 
• Opção 1 
Neste caso, emprega-se sempre o mesmo espaçamento livre 𝑙0 entre as 
nervuras. Para acertar o vão livre 𝐿0 da laje, utilizam-se as abas laterais maciças de 
largura a. Essa opção é vantajosa, quando são utilizadas formas de dimensões 
padronizadas e com nervuras aparentes. 
Da figura a seguir, pode-se escrever: 𝐿0 = 𝑛𝑏𝑤 + (𝑛 + 1)𝑙0 + 2𝑎 
 
Onde n é o número de nervuras. 
 
Inicialmente, admite-se que a= 0 e calcula-se o número de nervuras: 𝑛 =
 
𝐿0− 𝑙0
𝑏𝑤+ 𝑙0
 
 
Se resultar um número inteiro, significa que não há necessidade das abas 
laterais. Em caso contrário, adota-se para n o número inteiro imediatamente inferior 
e calcula-se a largura das abas. 
𝑎 = 
𝐿0 − 𝑛𝑏𝑤 − (𝑛 + 1)𝑙0
2
 
 
 
 
 
P á g i n a | 237 
 
 
Figura 113: Alternativas para a disposição das nervuras. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
• Opção 2 
Neste caso, o espaço livre entre as nervuras em uma das extremidades é 𝑐 <
 𝑙0. Da figura anterior, pode-se escrever: 
𝐿0 = 𝑛(𝑏𝑤 + 𝑙0) + 𝑐 
 
O número de nervuras é calculado com a equação 
𝑛 = 
𝐿0− 𝑙0
𝑏𝑤+ 𝑙0
. Se resultar um valor inteiro, significa que 𝑐 = 𝑙0. Em caso contrário, 
adota-se para n o primeiro número inteiro imediatamente superior e obtém-se c da 
equação anterior. 
• Opção 3 
Neste caso, o espaço livre entre as nervuras nas duas extremidades é 𝑑 <
 𝑙0. Da figura anterior, pode-se escrever: 
𝐿0 = 𝑛𝑏𝑤 + (𝑛 − 1)𝑙0 + 2𝑑 
 
P á g i n a | 238 
 
 
O número de nervuras é calculado com a equação 𝑛 = 
𝐿0− 𝑙0
𝑏𝑤+ 𝑙0
. Se resultar u 
valor inteiro, significa que 𝑑 = 𝑙0. Em caso contrário, adota-se para n o segundo 
número inteiro imediatamente superior e obtém-se d da equação anterior. 
 
➢ Aplicação à laje do exemplo: 
j) Nervuras da direção Y: 
 
𝐿0 = 800 𝑐𝑚 ; 𝑏𝑤 = 10 𝑐𝑚 ; 𝑙0 = 50 𝑐𝑚 
 
• Opção 1: 
 
𝑛 = 
𝐿0 − 𝑙0
𝑏𝑤 + 𝑙0 
= 
800 − 50
10 + 50
= 12,5 → 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 𝑛 = 12 
𝑎 = 
𝐿0 − 𝑛𝑏𝑤 − (𝑛 + 1)𝑙0
2
= 
800 − 12𝑥10 − (12 + 1)50
2
= 15 𝑐𝑚 
 
• Opção 2: 
 
𝑛 = 
𝐿0 − 𝑙0
𝑏𝑤 + 𝑙0 
= 
800 − 50
10 + 50
= 12,5 → 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 𝑛 = 13 
𝑐 = 𝐿0 − 𝑛(𝑏𝑤 + 𝑙0) = 800 − 13(10 + 50) = 20 𝑐𝑚 
 
• Opção 3: 
 
𝑛 = 
𝐿0 − 𝑙0
𝑏𝑤 + 𝑙0 
= 
800 − 50
10 + 50
= 12,5 → 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 𝑛 = 14 
𝑑 = 
𝐿0 − 𝑛𝑏𝑤 − (𝑛 − 1)𝑙0
2
= 
800 − 14𝑥10 − (14 − 1)50
2
= 5 𝑐𝑚 
 
k) Nervuras da direção X: 
 
𝐿0 = 1000 𝑐𝑚 ; 𝑏𝑤 = 10 𝑐𝑚 ; 𝑙0 = 50 𝑐𝑚 
 
 
P á g i n a | 239 
 
 
• Opção 1: 
 
𝑛 = 
𝐿0 − 𝑙0
𝑏𝑤 + 𝑙0 
= 
1000 − 50
10 + 50
= 15,8 → 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 𝑛 = 15 
𝑎 = 
𝐿0 − 𝑛𝑏𝑤 − (𝑛 + 1)𝑙0
2
= 
1000 − 15𝑥10 − (15 + 1)50
2
= 25 𝑐𝑚 
 
• Opção 2: 
 
𝑛 = 
𝐿0 − 𝑙0
𝑏𝑤 + 𝑙0 
= 
1000 − 50
10 + 50
= 15,8 → 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 𝑛 = 16 
𝑐 = 𝐿0 − 𝑛(𝑏𝑤 + 𝑙0) = 1000 − 16(10 + 50) = 40 𝑐𝑚 
 
• Opção 3: 
 
𝑛 = 
𝐿0 − 𝑙0
𝑏𝑤 + 𝑙0 
= 
1000 − 50
10 + 50
= 15,8 → 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 𝑛 = 17 
𝑑 = 
𝐿0 − 𝑛𝑏𝑤 − (𝑛 − 1)𝑙0
2
= 
1000 − 17𝑥10 − (17 − 1)50
2
= 15 𝑐𝑚 
 
l) Desenho de armação da laje 
Nas figuras a seguir, apresentam-se os desenhos de armação da laje, onde 
foi empregada a opção 2, já que os blocos de isopor podem ser cortados nas 
dimensões c = 20 cm e c = 40 cm o contorno da laje. Além disso, a face inferior da 
laje será revestida, não havendo necessidade de manter a simetria da opção 3. Se o 
projeto fosse com nervuras aparentes, utilizando-se formas padronizadas, pode-ser-
ia empregar a opção 1 com vantagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 240 
 
 
Figura 114: Desenho de armação da laje nervurada. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ As prescrições normativas quanto as lajes nervuradas; 
✓ O cálculo dos esforços nas lajes nervuradas; 
✓ O dimensionamento da laje nervurada. 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este artigo de comparação entre pilares de 
concreto e pilares de aço: 
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2006/inic/inic/07/I
NIC000071ok.pdf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M.Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 10 
Exercícios 
 
 
 
 
 
Projetar a laje nervurada indicada na figura abaixo, com 
os espaços entre nervuradas preenchidos com blocos de 
isopor. A laje é o piso de um prédio residencial e sobre a 
mesma há uma carga correspondente ao peso das paredes divisórias de 2,0 kN/m². 
As vigas laterais de apoio têm 20 cm de largura. O concreto possui uma resistência 
𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 e o aço é o CA50. 
Figura 115: Exercício. 
 
Fonte: (EXERCÍCIO..., 2018)
 
 
Lajes cogumelo 
Aula 11 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula estudaremos as lajes cogumelos, lajes maciças com apoio 
diretamente sobre os pilares. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Entender as generalidades das lajes cogumelo (lajes lisas); 
➢ As prescrições normativas da NBR6118: 2014 sobre as lajes 
cogumelo; 
➢ Entender o procedimento para obtenção dos esforços nas lajes lisas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 246 
 
 
Olá Aluno! Preparado para continuar os estudos sobre 
concreto? Nessa aula vamos estudar sobre as lajes cogumelo. 
Vamos lá! 
11 LAJES COGUMELO 
11.1 Introdução 
Lajes cogumelo são as lajes apoiadas diretamente em pilares, sem a 
presença de vigas, que possuem capitéis. A denominação “lajes lisas” é empregada 
para as lajes que apoiam diretamente sobre pilares sem capitéis. 
Em geral, a capacidade resistente das lajes cogumelo é determinada pelas 
tensões tangenciais de punção que ocorrem no entorno dos pilares de apoio. Para 
reduzir essas tensões de cisalhamento, podem-se alargar as seções de topo dos 
pilares, o que dá origem aos capitéis, conforme indicado na figura abaixo. As 
espessuras mínimas exigidas pela ABNT NBR 6118 (2014) também são indicadas 
nessa figura. 
Figura 116: Lajes lisas e lajes cogumelo 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
P á g i n a | 247 
 
 
Conforme se observa na figura acima, a laje também pode ser nervurada. 
Entretanto, na região dos pilares ela deve ser maciça. 
Geralmente, os capitéis são projetados com a forma tronco-cônica ou tronco-
piramidal. Eles podem ser projetados isoladamente ou podem vir acompanhados por 
um engrossamento da laje na região do apoio, como na figura acima. 
Atualmente, tem-se evitado o emprego de lajes com capitéis, devido às 
dificuldades de execução das formas. Desse modo, empregam-se lajes lisas, as 
quais são projetadas com uma espessura suficiente para garantir a sua resistência à 
punção e à flexão. Entretanto, com o objetivo de simplificar a apresentação deste 
capítulo, o termo “laje cogumelo” será empregado indistintamente para identificar 
todas as lajes que são apoiadas diretamente sobre pilares, possuindo ou não 
capitéis. As bordas das lajes cogumelo pode ser livres, podem estar apoiadas em 
pilares ou em apoios contínuos, como vigas de borda ou paredes. Entretanto, do 
ponto de vista da segurança, é sempre recomendável que sejam projetadas vigas de 
apoio nas bordas das lajes cogumelo, pois estas são regiões críticas. 
Dentre as principais vantagens das lajes cogumelo, em relação ao tradicional 
piso com lajes e vigas, podem ser citadas: 
• geralmente, é uma solução mais econômica do que a solução tradicional, 
para cargas de grande intensidade; 
• permite a redução do pé-direito e facilita a passagem de dutos sob sua face 
inferior; 
• as formas são mais simples e econômicas; 
• facilidade de armação e concretagem; 
• menores prazos de execução; 
• maior ventilação e iluminação, pela ausência das vigas; 
• maior liberdade para a disposição de paredes divisórias. 
 
Geralmente, as lajes cogumelo são contínuas, sendo capazes de vencer 
grandes vãos e suportar cargas de maior intensidade. Sempre que possível, os 
pilares devem ser dispostos em filas ortogonais, de maneira regular e com vãos 
pouco diferentes, o que simplifica o cálculo dos esforços, além de melhorar o 
comportamento estrutural. 
P á g i n a | 248 
 
 
Apesar das vantagens citadas as lajes cogumelo não devem ser empregadas 
em qualquer situação. No caso dos edifícios residenciais, normalmente não há uma 
disposição regular dos pilares e a solução em laje cogumelo pode ser 
antieconômica. Além disso, deve-se lembrar que a ausência das vigas torna a 
estrutura muito deformável frente às ações horizontais, o que é um sério problema 
em edifícios altos. Nesses casos, é necessário projetar elementos de 
contraventamento, como paredes estruturais ou pilares-parede nas caixas dos 
elevadores, para garantir a indeslocabilidade horizontal. 
11.2 Cálculo dos esforços pelo método dos pórticos virtuais 
O cálculo dos esforços nas lajes cogumelo pode ser feito com o emprego de 
métodos numéricos, como o método dos elementos finitos. Tabelas para o cálculo 
dos esforços são disponíveis apenas em alguns casos muito particulares. Entretanto, 
em algumas situações, pode-se efetuar um cálculo simplificado. 
De acordo com a ABNT NBR 6118 (2014), quando os pilares estiverem 
dispostos em filar ortogonais, de maneira regular e com vãos pouco diferentes, os 
esforços podem ser calculados considerando-se pórticos múltiplos (de vários pisos) 
em cada direção. Para isto, admite-se que a laje esteja dividida em duas séries 
ortogonais de vigas, como indicado na figura abaixo. Para cada pórtico assim 
formado, considera-se a carga total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 249 
 
 
Figura 117: Definição dos pórticos múltiplos 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
De acordo com a figura acima, o pórtico da direção X recebe a carga 
distribuída 𝑝𝑏𝑦, onde 𝑝 é a carga por unidade de área sobre a laje e 𝑏𝑦 =
 
(𝑙𝑦1 + 𝑙𝑦2)
2
⁄ . O pórtico da direção Y recebe a carga 𝑝𝑏𝑥, onde 𝑏𝑥 = 
(𝑙𝑥2 + 𝑙𝑥3)
2
⁄ . 
Esse método simplificado só é permitido quando os vãos 𝑙𝑥𝑖 e 𝑙𝑦𝑖 dos diversos 
painéis da laje são aproximadamente iguais. Em geral o método não deve ser 
utilizado quando a diferença entre o maior e menor de todos os vãos da laje 
ultrapassar 30%. A inércia das barras horizontais de cada pórtico é calculada 
considerando-se a largura da faixa limitada pela metade da distância entre duas 
linhas de pilares (larguras 𝑏𝑥 e 𝑏𝑦 indicadas na figura acima). A altura dessas barras 
é igual à espessura h da laje. Havendo capitéis e/ou engrossamento da laje junto 
aos pilares, pode-se considerar uma espessura equivalente nesses trechos. Nesses 
casos, as barras horizontais do pórtico possuirão inércia variável. O 
contraventamento das estruturas com lajes lisas ou com lajes cogumelo deve ser 
P á g i n a | 250 
 
 
feito, preferencialmente, por meio de paredes estruturais e/ou pilares-parede. 
Nesses casos, a laje não é considerada como parte integrante do sistema de 
contraventamento, ficando responsável por suportar apenas o carregamento vertical. 
Caso a laje cogumelo seja considerada como parte integrante do sistema de 
contraventamento, pode-se fazer a análise dos pórticos equivalentes considerando a 
altura total do edifício. Os pórticos ficam submetidos ao carregamento vertical e às 
forças horizontais devidas ao vento. Neste caso, entretanto, deve-se considerar uma 
rigidez reduzida para as barras horizontais dopórtico, para levar em conta os efeitos 
desfavoráveis da fissuração. Isto pode ser feito, de maneira aproximada, 
considerando a metade das larguras 𝑏𝑥 e 𝑏𝑦 definidas anteriormente. Em virtude da 
baixa rigidez dos pórticos equivalentes, aliada às dificuldades de detalhamento das 
ligações laje-pilar para um adequado funcionamento como pórtico, é conveniente 
não contar com a laje para a resistência às cargas horizontais. Isto deve ser feito 
pelas paredes estruturais e/ou pilares-parede, ficando a laje cogumelo responsável, 
apenas, pela transmissão das cargas verticais para os pilares. 
Considerando apenas o carregamento vertical, pode-se fazer a análise de 
cada andar engastando-se os pilares nos andares vizinhos. Desse modo, o cálculo 
do pórtico fica reduzido ao cálculo de uma viga contínua equivalente com 
engastamento elástico nos apoios, como indicado na figura abaixo. 
Figura 118: Modelos simplificados para o carregamento vertical 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
As constantes de mola G são dadas por: 
𝐺 = 𝐸𝑐𝑠 (
4𝐼𝑠𝑢𝑝
𝑙𝑠𝑢𝑝
+ 
4𝐼𝑖𝑛𝑓
𝑙𝑖𝑛𝑓
) 
Onde: 
 𝑙𝑠𝑢𝑝 𝑒 𝐼𝑠𝑢𝑝 são o lance do pilar superior e inercia do mesmo, respectivamente; 
P á g i n a | 251 
 
 
𝑙𝑖𝑛𝑓 𝑒 𝐼𝑖𝑛𝑓 são o lance do pilar inferior e inercia do mesmo, respectivamente. 
 
Se as ligações elásticas com os pilares internos forem desprezadas, basta 
considerar o modelo da figura abaixo, para o caso de lajes sem vigas de borda. 
Neste caso, os momentos transmitidos aos pilares de extremidade são iguais a 𝐺𝜃, 
onde 𝜃 é a rotação na extremidade da viga equivalente. 
Por outro lado, se a rigidez G for reduzida, por exemplo, devido a deficiências 
de detalhamento das ligações laje-pilar de extremidade, os momentos positivos nos 
vãos extremos da laje serão maiores. Assim, por prudência, é conveniente realizar 
um cálculo considerando G=0 e adotar os maiores momentos positivos obtidos nos 
dois cálculos. Havendo vigas de borda, com rigidez adequada, pode-se empregar o 
modelo da figura abaixo, desprezando os momentos transmitidos aos pilares de 
extremidade. 
Figura 119: Modelos sem ligação com os pilares internos 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para todos os modelos representados na figura acima, é conveniente realizar 
um segundo cálculo engastando os apoios internos. As armaduras dos vãos devem 
ser dimensionadas para os maiores momentos positivos, obtidos como viga contínua 
e considerando os apoios internos engastados. 
No caso de grandes sobrecargas, é necessário estudar as posições mais 
desfavoráveis das mesmas, de forma idêntica ao que é feito para as vigas contínuas. 
P á g i n a | 252 
 
 
Após o cálculo dos momentos fletores nas barras horizontais dos pórticos, ou 
na viga contínua equivalente, conforme o modelo de cálculo empregado, deve-se 
fazer a distribuição dos mesmos em faixas de laje. Para isto, os painéis da laje, com 
os cantos correspondendo aos pilares, são divididos nas três faixas representadas 
na figura 85 para a direção X. Observa-se que a faixa interna tem o dobro da largura 
das faixas externas. 
De acordo com a ABNT NBR 6118 (2014), a distribuição dos momentos 
fletores nas faixas da laje é feita da seguinte maneira: 
a) 45% dos momentos positivos Mx para a faixa interna; 
b) 27,5% dos momentos positivos Mx para cada uma das faixas externas; 
c) 25% dos momentos negativos Mex para a fixa interna; 
d) 37,5% dos momentos negativos Mex para cada uma das fixas externas. 
Figura 120: Divisão da laje em faixas segundo a direção x 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Definindo 𝑚𝑥 = 
𝑀𝑥
𝑙𝑦
⁄ e 𝑚𝑒𝑥 = 
𝑀𝑒𝑥
𝑙𝑦
⁄ como sendo os momentos por 
unidade de comprimento, verifica-se que sua distribuição é feita da seguinte forma: 
Momentos positivos: 
Faixa interna: 
0,45𝑀𝑥
0,5𝑙𝑦
= 0,9 𝑚𝑥 
Faixa externas: 
0,275𝑀𝑥
0,25𝑙𝑦
= 1,1 𝑚𝑥 
P á g i n a | 253 
 
 
Momentos negativos: 
Faixa interna: 
0,25𝑀𝑥
0,5𝑙𝑦
= 0,5 𝑚𝑒𝑥 
Faixa externas: 
0,375𝑀𝑥
0,25𝑙𝑦
= 1,5 𝑚𝑒𝑥 
 
Na figura 121, apresentam-se as variações reais dos momentos fletores 𝑚𝑥 e 
𝑚𝑒𝑥 em um painel de laje, juntamente com a distribuição simplificada obtida com os 
percentuais acima. Observa-se que, de acordo com esse procedimento, aceitam-se 
algumas plastificações localizadas na laje, especialmente nas regiões de momentos 
negativos. 
Figura 121: Variação dos momentos fletores 𝒎𝒙 e 𝒎𝒆𝒙 na direção transversal y 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Os momentos negativos obtidos com esse método são os valores que devem 
ser usados para o dimensionamento, não sendo permitido o arredondamento do 
diagrama de momentos fletores sobre os apoios. 
Do exposto anteriormente conclui-se que, quando a laje não fizer parte do 
sistema de contraventamento, pode-se efetuar um cálculo simplificado como viga 
contínua de largura unitária para a determinação dos momentos fletores 𝑚𝑥 e 𝑚𝑒𝑥, 
P á g i n a | 254 
 
 
os quais são distribuídos conforme figura 86. O mesmo procedimento é repetido 
para a direção y. 
Na figura abaixo, apresenta-se a distribuição dos momentos fletores 𝑚𝑥 e 
𝑚𝑒𝑥 para uma laje com seis painéis. Conforme se observa, a mesma distribuição é 
repetida para todos os painéis da direção y, independentemente dos vãos 
𝑙𝑦1, 𝑙𝑦2 𝑒 𝑙𝑦3. Essa simplificação só é aceitável se o número de painéis é grande (no 
mínimo três painéis na direção transversal à direção considerada) e se suas 
dimensões são aproximadamente iguais. Se essa condição não se verifica, o 
processo não deve ser utilizado. Para esses casos, é recomendável o emprego do 
método dos elementos finitos. 
Figura 122: Distribuição dos momentos em uma laje de seis painéis 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Na figura abaixo, apresenta-se a distribuição dos momentos fletores 𝑚𝑥 e 
𝑚𝑒𝑥 para o caso em que a laje é simplesmente apoiada em todo o contorno. Esse 
apoio pode ser feito em paredes ou em vigas de borda de grande rigidez à flexão. 
P á g i n a | 255 
 
 
Para encontrar as forças normais nos pilares, pode-se adotar a média entre 
os valores obtidos considerando-se os dois pórticos aos quais pertence o pilar em 
estudo (um pórtico em cada direção). Essa força será utilizada para verificar a 
resistência da laje à punção. Calculando as vigas com largura unitária segundo as 
direções x e y, obtêm-se as reações 𝑅𝑥 e 𝑅𝑦 em um determinado pilar, 
respectivamente. A força transmitida ao pilar é estimada como 0,5(𝑏𝑦𝑅𝑥 + 𝑏𝑥𝑅𝑦), 
onde 𝑏𝑦 e 𝑏𝑥 são as larguras dos pórticos equivalentes, como é indicado na figura 
abaixo. Deve-se observar que essas larguras podem diferir de um pórtico para outro 
em uma mesma direção. 
Figura 123: Distribuição dos momentos para laje apoiada em vigas de borda ou em paredes 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A flecha máxima no centro de cada painel da laje cogumelo pode ser obtida, 
de madeira aproximada, a partir do cálculo dos pórticos ou das vigas contínuas 
segundo as duas direções. Para sito, procede-se do seguinte modo: 
- do cálculo para a direção X, obtém-se a flecha máxima 𝑊𝑜𝑥 no vão 
correspondente ao painel em estudo; 
P á g i n a | 256 
 
 
- do cálculo para a direção Y, obtém-se a flecha máxima 𝑊𝑜𝑦 no vão 
correspondente ao mesmo painel considerado; 
- a flecha total no painel é dada por 𝑊0 = 𝑊0𝑥 + 𝑊0𝑦. 
 
Deve-se observar que no cálculo da flecha 𝑊0 não foram incluídos os efeitos 
da fluência e da fissuração do concreto. Se a laje estiver no estádio I, a flecha final 
𝑊∞ pode ser avaliada como 𝑊∞ = (1 + 𝜑)𝑊0, onde 𝜑 é o coeficiente de fluência do 
concreto. Se os momentos fletores ultrapassarem os momentos de fissuração em 
uma boa extensão da laje, é necessário levar em conta os efeitos da fissuração. 
11.3 Lajes lisas com vigas de borda 
Conforme foi salientado anteriormente, é sempre recomendável que sejam 
projetadas vigas de apoio nas bordas das lajes cogumelo. Essas vigas suportam 
todo o peso das paredesde fachada do edifício, evitando-se a aplicação de uma 
carga linear ao longo dos bordos livres da laje. Além disso, dependendo das 
dimensões da viga, evitam-se os problemas de punção nos pilares de borda e canto, 
os quais se constituem em regiões críticas nesse aspecto. Assim, sempre que 
possível, devem-se projetar vigas enrijecidas em todo o contorno das lajes cogumelo 
e, especialmente, das lajes lisas. 
Admitindo-se que a laje lisa seja apoiada em todo o contorno, pode-se 
encontrar a solução do problema pelo método de Navier, como descrito nas aulas 
anteriores. Neste caso, obtém-se a solução exata de acordo com a teoria das 
placas. Além disso, nenhuma restrição é feita quanto ao alinhamento dos pilares ou 
quanto aos vãos, como no caso do método dos pórticos virtuais. A solução geral 
será válida para um caso geral de laje lisa retangular, simplesmente apoiada em 
pilares. Essa solução deve ser aplicada com reservas para as lajes cogumelo, pois a 
presença dos capitéis ocasiona um aumento de rigidez no entorno dos pilares, com 
o consequente aumento dos momentos negativos. 
Na figura abaixo, apresenta-se uma laje lisa, simplesmente apoiada em todo o 
contorno e em n pilares localizados arbitrariamente em seu interior. Um pilar 
genérico, localizado no ponto de coordenadas (𝑥𝑖, 𝑦𝑖), possui seção retangular com 
dimensões 𝑐𝑖 e 𝑑𝑖. 
P á g i n a | 257 
 
 
Figura 124: Laje lisa apoiada em todo o contorno 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A flecha 𝑤(𝑥, 𝑦) de um ponto genérico da laje pode ser escrita na forma da 
série dupla: 
𝑤(𝑥, 𝑦) = ∑∞𝑚=1 ∑ 𝑤𝑚𝑛𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥
𝑎
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏
∞
𝑛=1 
𝑊𝑚𝑛 = 
𝑃𝑚𝑛
𝐷𝜋4 [(𝑚
2
𝑎2⁄ ) + (
𝑛2
𝑏2⁄ )]
2 
 
E D é a rigidez da laje. 
 
Os coeficientes 𝑃𝑚𝑛 são obtidos da expansão da carga em série de Fourier. 
Para a carga uniforme P que atua sobre a laje, obtêm-se os coeficientes 𝑃𝑚𝑛
0 na 
forma. 
𝑃𝑚𝑛
0 = 
16𝑝
𝜋2𝑚𝑛
; 𝑐𝑜𝑚 𝑚, 𝑛 = 1,3,5… 
 
Neste caso, 𝑃𝑚𝑛
0 = 0 se m ou n são pares. 
Admite-se que as reações de apoio 𝑅𝑖 sejam uniformemente distribuídas nas 
áreas 𝑐𝑖𝑑𝑖 da seção de cada pilar. Considerando que 𝑅𝑖 = 1, os coeficientes 𝑃𝑚𝑛
𝑖 da 
expressão em série Fourier são dados por: 
𝑃𝑚𝑛
𝑖 =
16
𝜋2𝑚𝑛𝑐𝑖𝑑𝑖
𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥𝑖
𝑎
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦𝑖
𝑏
𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑐𝑖
2𝑎
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑑𝑖
2𝑏
, com m, n = 1,2,3,4... 
 
P á g i n a | 258 
 
 
Empregando o método das forças, calcula-se a flecha 𝛿𝑗𝑖 na posição do pilar j 
devida à carga unitária 𝑅𝑖 = 1, aplicada na posição do pilar i. Da equação 𝑤(𝑥, 𝑦) =
 ∑∞𝑚=1 ∑ 𝑤𝑚𝑛𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥
𝑎
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏
∞
𝑛=1 
 
Onde 𝑊𝑚𝑛
𝑖 é obtido da equação: 
𝑊𝑚𝑛 = 
𝑃𝑚𝑛
𝐷𝜋4[(𝑚
2
𝑎2
⁄ )+(𝑛
2
𝑏2
⁄ )]
2, considerando 𝑃𝑚𝑛 = 𝑃𝑚𝑛
𝑖 . 
 
A flecha 𝛿𝑗0 na posição do pilar j, devido à carga uniforme, é dada por: 
 
𝛿𝑗0 = ∑∑𝑊𝑚𝑛
0
∞
𝑛=1
𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑦𝑗
𝑎
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦𝑗
𝑏
∞
𝑚=1
 
 
Onde 𝑊𝑚𝑛
0 é obtido da equação anterior, considerando 𝑃𝑚𝑛 = 𝑃𝑚𝑛
0 . 
 
Fazendo a superposição, obtém-se a flecha 𝑊𝑗 na posição do pilar j na forma: 
 
𝑊𝑗 = 𝛿𝑗0 − ∑𝛿𝑗𝑖𝑅𝑖
𝑛𝑝
𝑖=1
 
 
Onde se observa que o sinal negativo é introduzido porque as reações 𝑅𝑖 são 
consideradas positivas quando dirigidas para cima, enquanto a flecha é positiva 
quando dirigida para baixo. Fazendo 𝑊𝑗 = 0 para j=1,...,np, resulta o sistema de 
equações algébricas lineares: 
SR=Q 
 
Onde S é a matriz de flexibilidade, R é o vetor de reações incógnitas e Q é o 
vetor de termos independentes. 
 
Os elementos do sistema de np equações são 𝑆𝑗𝑖 = 𝛿𝑗𝑖 e 𝑄𝑗 = 𝛿𝑗0, cuja 
solução fornece as reações 𝑅𝑖 nos np pilares internos. Após a solução do sistema de 
P á g i n a | 259 
 
 
equações, calculam-se os coeficientes 𝑃𝑚𝑛 devidos ao carregamento total, composto 
pela carga P e pelas cargas − 𝑅𝑖, 
𝑃𝑚𝑛 = 𝑃𝑚𝑛
0 − ∑𝑃𝑚𝑛
𝑖 𝑅𝑖
𝑛𝑝
𝑖=1
 
 
Substituindo 𝑃𝑚𝑛 nas equações primárias obtém-se a flecha 𝑤(𝑥, 𝑦) em 
qualquer ponto da laje. Os momentos fletores segundo as direções x e y são dados 
por: 
𝑀𝑥 = 𝜋
2𝐷 ∑ ∑[(
𝑚
𝑎
)
2
+ 𝜈 (
𝑛
𝑏
)
2
]
∞
𝑛=1
∞
𝑚=1
𝑊𝑚𝑛𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥
𝑎
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏
 
𝑀𝑦 = 𝜋
2𝐷 ∑∑[(
𝑛
𝑏
)
2
+ 𝜈 (
𝑚
𝑎
)
2
]
∞
𝑛=1
∞
𝑚=1
𝑊𝑚𝑛𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥
𝑎
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏
 
 
Assim como ocorre nas lajes maciças, as reações não são uniformemente 
distribuídas ao longo das vigas de borda, devido à presença dos momentos torçores. 
Entretanto, como uma primeira aproximação, pode-se considerar um carregamento 
uniformemente distribuído nessas vigas. As reações uniformes nas vigas de 
contorno têm as seguintes expressões: 
Reações nos lados X = 0 e x = a: 
𝑅𝑥 = − 𝐷 ∑∑𝑊𝑚𝑛 (
𝑚
𝑎𝑛
) [(
𝑚𝜋
𝑎
)
2
+ (
𝑛𝜋
𝑏
)
2
] (𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋 − 1)𝑐𝑜𝑠
𝑚𝜋𝑥
𝑎
∞
𝑛=1
∞
𝑚=1
 
Reações nos lados Y = 0 e y = b: 
𝑅𝑦 = − 𝐷 ∑ ∑𝑊𝑚𝑛 (
𝑛
𝑏𝑚
) [(
𝑚𝜋
𝑎
)
2
+ (
𝑛𝜋
𝑏
)
2
] (𝑐𝑜𝑠𝑚𝜋 − 1)𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑦
𝑏
∞
𝑛=1
∞
𝑚=1
 
 
Exercício resolvido 01 – Laje Lisa 
Na figura abaixo, apresenta-se uma laje lisa apoiada em 
doze pilares, possuindo um balanço em todo o contorno. A 
altura dos pilares, de piso a piso, é 𝑙0 = 400 𝑐𝑚. 
A espessura da laje pode ser estimada como ℎ =
𝑙𝑚𝑎𝑥
30
≥
16 𝑐𝑚, onde 𝑙𝑚á𝑥 = 700 𝑐𝑚 é o maior vão da laje. Empregando-se essa regra, pode-
se adotar h = 24 cm. 
P á g i n a | 260 
 
 
Para as dimensões mínimas dos pilares, adotam-se as seguintes regras 
práticas: 
𝑎 ≥ {
30 𝑐𝑚
𝑙0
15
⁄ = 400 15⁄ = 27 𝑐𝑚
𝑙𝑥
20⁄ =
700
20⁄ = 35 𝑐𝑚
→ 𝑎 ≥ 35 𝑐𝑚 
𝑏 ≥ 
{
 
 
30 𝑐𝑚
𝑙0
15
⁄ = 400 15⁄ = 27 𝑐𝑚
𝑙𝑦
20
⁄ = 600 20⁄ = 30 𝑐𝑚
→ 𝑏 ≥ 30 𝑐𝑚 
 
Para o cálculo da laje, consideram-se as seguintes cargas: 
- peso próprio = 25h = 25x0,24 = 6,0 kN/m² 
- revestimento = 1,0 kN/m² 
- paredes divisórias = 1,0 kN/m² 
- carga acidental = 2,0 kN/m² 
 
- Carga permanente = 𝑔 = 8 𝑘𝑁/𝑚² 
- Carga acidental = 𝑞 = 2 𝑘𝑁/𝑚² 
- Carga total = 𝑝 = 10 𝑘𝑁/𝑚² 
Figura 125: Laje lisa com bordas em balanço 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
P á g i n a | 261 
 
 
A seguir, apresenta-se o cálculo dos momentos fletores segundo a direção X 
de acordo com os três modelos: pórticos com pilares engastados nos andares 
vizinhos, viga contínua com ligação elástica apenas nos pilares de extremidade, viga 
contínua sem ligação elástica com os pilares. 
A. Modelo 1: Cálculo como pórtico 
Na figura B, apresenta-se o pórtico tipo segundo a direção X e a viga 
equivalente com as molas de rigidez rotacional G. 
Conforme se observa pela figura A, os dois pórticos laterais têm uma largura 
𝑏𝑦1 = 100 + 
600
2⁄ = 400 𝑐𝑚 e o pórtico central tem uma largura 𝑏𝑦2 = 600 𝑐𝑚. 
Logo, para ser rigoroso, esses pórticos deveriam ser calculados separadamente. 
Entretanto, como se trata de um processo simplificado, pode-se fazer um 
cálculo único, distribuindo a rigidez dos pilares segundo a direção transversal y e 
fazendo um cálculo para uma viga de largura igual a 1 m. Para esse cálculo, admite-
se que os pilares possuam seção quadrada com 40 cm de lado. 
Figura 126: Pórticos segundo a direção X. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014). 
- Inércia da viga de largura unitária b = 100 cm: 
𝐼𝑣𝑖𝑔𝑎 = 
𝑏ℎ3
12
= 
100𝑥243
12
= 115200 𝑐𝑚4/𝑚 
- Inércia dos pilares para uma faixa de 100 cm: 
𝐼𝑠𝑢𝑝 = 𝐼𝑖𝑛𝑓 = 
3𝑥44
12𝑥14
= 45714 𝑐𝑚4/𝑚 
- Constantes de mola para módulo 𝐸𝑐𝑠 = 1: 
P á g i n a | 262 
 
 
𝐺 = 4(
𝐼𝑠𝑢𝑝
𝑙𝑠𝑢𝑝
+ 
𝐼𝑖𝑛𝑓
𝑙𝑖𝑛𝑓
) = 4𝑥2𝑥
45714
400
= 914 𝑐𝑚3/𝑚 
 
Logo, a análise do pórtico é equivalente à análise da viga contínua indicada 
na figura 126, submetida a uma carga 𝑝 = 10 𝑘𝑁/𝑚². Os momentos fletores obtidos 
já são dados por unidade de comprimento (em kNm/m). 
Na figura abaixo, apresenta-se o diagrama de momentos fletores na viga, 
obtido com esse modelo. 
Figura 127: Diagrama de momentos do modelo 1 
 
Fonte:ARAÚJO (2014). 
B. Modelo 2: Viga com ligação elástica só nos pilares de extremidade 
Neste caso, consideram-se as molas apenas nos dois pilares de extremidade. 
Após a análise da viga contínua, realiza-se um novo cálculo engastando os apoios 
internos e adotam-se os maiores momentos positivos nos vãos. O diagrama de 
momentos obtido com esse modelo é apresentado na figura 128. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 263 
 
 
Figura 128: Diagrama de momentos do modelo 2 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
C. Modelo 3: Viga sem ligação elástica com os pilares 
Neste caso, desprezam-se totalmente as ligações com todos os pilares. Após 
a análise da viga contínua, realiza-se um novo cálculo engastando os apoios 
internos e adotam-se os maiores momentos positivos nos vãos. O diagrama de 
momentos obtido com esse modelo é apresentado na figura E. 
Figura 129: Diagrama de momentos do modelo 3 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Comparando os diagramas anteriores, verifica-se que há pouca diferença 
entre os três modelos de cálculo. O modelo de viga contínua (modelo 3) fornece os 
maiores momentos na laje ficando a favor da segurança. Os momentos obtidos com 
esse modelo, mais o momento negativo de – 27,4 kNm/m sobre os pilares de 
extremidade, são distribuídos nas faixas da laje. 
Na figura F, indicam-se os momentos fletores para o dimensionamento das 
armaduras da laje, segundo a direção X. Apenas alguns valores foram indicados, 
aproveitando-se a simetria. 
P á g i n a | 264 
 
 
Na figura G, apresentam-se as variações do momento fletor positivo na seção 
S1, obtidas com o MEF e com o processo simplificado. Conforme se observa, o 
processo simplificado concorda com o MEF, além de fornecer uma solução a favor 
da segurança. 
Figura 130: Momentos fletores segundo a direção X obtidos com o processo dos pórticos 
virtuais (Modelo 3) 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 265 
 
 
Figura 131: Variação do momento positivo na seção S1 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Na figura H, apresentam-se as variações dos momentos fletor negativo na 
seção S2. O processo simplificado também concorda com o MEF e fornece uma 
solução a favor da segurança para os momentos negativos. Neste caso, o MEF 
mostra um pico de momentos negativos sobre o apoio central, porque o apoio foi 
localizado em um único nó da malha de elementos finitos (apoio pontual). 
Considerando-se a largura real do apoio, obtém-se um diagrama arredondado com a 
redução do pico de momentos negativos. De todo modo, o valor absoluto do 
momento negativo correto é maior que 72 kNm/m, indicando que o dimensionamento 
efetuado com o processo simplificado levará a alguma plastificação sobre os apoios 
internos da laje. 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 266 
 
 
Figura 132: Variação do momento negativo na seção S2 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
No exemplo anterior, houve uma boa concordância entre o processo 
simplificado dos pórticos virtuais e o método dos elementos finitos porque a estrutura 
é simétrica e os painéis da laje são aproximadamente quadrados. Entretanto, 
dependendo da disposição dos pilares, o processo simplificado poderá fornecer uma 
distribuição inadequada para os momentos fletores. 
Para mostrar o efeito da assimetria da estrutura, considera-se a mesma laje 
da figura A, adotando-se os vãos 𝑙𝑦1 = 400 𝑐𝑚 e 𝑙𝑦2 = 800 𝑐𝑚. Observa-se que, de 
acordo com as recomendações dadas anteriormente, o processo simplificado não 
deveria ser empregado, pois a relação entre os vãos dos painéis na direção Y é 
800/400 = 2 > 1,3. Na figura I, apresentam-se as variações do momento fletor 
positivo na seção S1, onde se observa que o processo simplificado fornece uma 
distribuição de momentos totalmente equivocada para os painéis inferiores (de vão 
𝑙𝑦1 = 400 𝑐𝑚). 
 
 
P á g i n a | 267 
 
 
Figura 133: Momentos na seção S1 para laje sem simetria. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para verificar a indeslocabilidade horizontal do edifício com a planta da figura 
A, determina-se o parâmetro de instabilidade 𝛼. Para isto, considera-se um concreto 
com 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑝𝑎 e 𝐸𝑐𝑠 = 28517 𝑀𝑃𝑎. O peso do edifício é calculado considerando-
se a carga de 10 kN/m², desprezando o peso dos pilares. O parâmetro de 
instabilidade é calculado com o modelo de carga uniforme. 
Na análise do pórtico segundo a direção X, consideram-se os pilares com 
seção 40 x 40 cm e rigidez à flexão 𝐸𝐼 = 0,70𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐. As vigas fictícias do pórtico têm 
uma largura igual a 1400 cm e altura igual a 24 cm. Para as vigas, considera-se 𝐸𝐼 =
0,35𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐. Na tabela abaixo, apresentam-se os resultados obtidos para diversas 
alturas do edifício. 
 
 
 
 
P á g i n a | 268 
 
 
Tabela 12: Parâmetro de instabilidade segundo a direção X 
 
Fonte: ARAÚJO, 2014 
Conforme se observa, para garantir que 𝛼 ≤ 𝛼𝑙𝑖𝑚, o edifício não poderia ter 
mais do que 4 andares. Desse modo, no caso de edifícios mais altos, projetados 
com laje lisa ou laje cogumelo, é imprescindível que o contraventamento seja 
garantido por meio de paredes estruturais e/ou pilares-parede. 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ Cálculo dos esforções em lajes lisas; 
✓ Procedimento de dimensionamento para lajes lisas com vigas de 
borda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este artigo de comparação entre pilares de 
concreto e pilares de aço: 
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2006/inic/inic/07/INIC00
0071ok.pdf. 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 11 
Exercícios 
 
 
 
 
 
 
Exercício proposto 01 – Laje Lisa: Calcule o pórtico do 
exemplo resolvido agora com a altura dos pilares, de piso a 
piso, é 𝑙0 = 300 𝑐𝑚. 
Figura 134: Laje lisa com bordas em balanço 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
 
 
 
 
 
Punção 
Aula 12 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula estudaremos sobre a punção nas lajescogumelo. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ O procedimento de cálculo do capitel; 
➢ O dimensionamento das armaduras do capitel. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 274 
 
 
12 PUNÇÃO 
Olá Aluno! Vamos estudar sobre o fenômeno da punção, 
que geralmente acontece em lajes planas. Vamos lá? 
12.1 Introdução 
Punção é o estado limite último por cisalhamento o entorno de forças 
concentradas (cargas ou reações). Sua análise é diferente daquela realizada para o 
estado limite último por força cortante, sendo de fundamental importância no caso 
das lajes lisas e cogumelo. A ruptura por punção se dá com a propagação de 
fissuras inclinadas através da espessura da laje, com uma inclinação média da 
ordem de 26º, como indicado na figura abaixo. 
12.2 Procedimento de cálculo 
A seguir, apresenta-se a formulação do CEB/90 para o problema. Essa 
formulação também foi incluída na NBR6118/2014. Algumas simplificações 
introduzidas na norma espanhola EHE e no EC2 também são consideradas. 
Figura 135: Ruína por punção em laje cogumelo 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A resistência das lajes submetidas a forças concentradas é verificada 
empregando-se uma tensão de cisalhamento nominal em uma superfície crítica 
P á g i n a | 275 
 
 
concêntrica à região carregada. Essas tensões tangenciais atuando na superfície 
crítica não têm significado físico, mas esse procedimento empírico permite 
representar satisfatoriamente os resultados experimentais disponíveis. 
A superfície crítica é definida a uma distância igual a 2d do contorno da área 
de aplicação da força e deve ser construída de maneira a minimizar o seu perímetro 
𝑢1. A altura útil da laje, d, é considerada constante e dada por: 
 
𝑑 = 
(𝑑𝑥 + 𝑑𝑦)
2
⁄ 
 
Onde 𝑑𝑥 𝑒 𝑑𝑦 são as alturas úteis nas duas direções ortogonais x e y, 
respectivamente. 
 
Na figura abaixo, são apresentados os perímetros críticos para cargas 
concentradas ou pilares de apoio situados no interior da laje. Conforme está indicado 
na figura 136, havendo uma abertura na laje situada a menos de 6d da face do pilar, 
não se considera para o cálculo do perímetro crítico 𝑢1 o trecho situado entre duas 
retas que passam pelo centro do pilar e tangenciam o contorno da abertura. Se o 
contorno da área carregada apresentar reentrâncias (seção L da figura abaixo), o 
perímetro crítico é determinado a partir do polígono convexo circunscrito ao contorno 
da região carregada. 
Figura 136: Perímetro crítico em pilares internos 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
P á g i n a | 276 
 
 
Na figura abaixo, indicam-se os perímetros críticos para os pilares situados 
em uma borda livre e em um canto da laje. Observa-se que o perímetro crítico não é 
contado até as bordas da laje. 
Figura 137: Perímetro crítico em pilares de borda e de canto 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Na figura abaixo, encontram-se representados os esforços transmitidos ao 
pilar em uma união com a laje. No caso dos pilares internos, quando a força de 
compressão é suposta centrada, os momentos 𝑀𝑑1 e 𝑀𝑑2 são nulos. 
Figura 138: Esforços atuando no pilar 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
P á g i n a | 277 
 
 
A força concentrada 𝐹𝑠𝑑 que produz punção na laje é 𝐹𝑠𝑑 = 𝐹𝑑2 − 𝐹𝑑1 e o 
momento 𝑀𝑠𝑑 transferido para o pilar é 𝑀𝑠𝑑 = 𝑀𝑑1 + 𝑀𝑑2. 
Para a verificação das tensões tangenciais na superfície crítica, admite-se que 
uma fração do momento 𝑀𝑠𝑑 seja transmitida ao pilar por flexão e o que a fração 
restante, igual a 𝑘𝑀𝑠𝑑, seja transferida através de tensões tangenciais ao longo da 
superfície crítica. O coeficiente k é dada na tabela abaixo, em função da relação 
entre as dimensões da seção do pilar. 
Tabela 13: Coeficiente K 
𝑐1
𝑐2⁄ 
0,5 1,0 2,0 3,0 
K 0,45 0,60 0,70 0,80 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Ao utilizar a tabela anterior, deve-se observar o seguinte: 
a) 𝑐1 é a dimensão do pilar paralela à excentricidade da carga; 
b) 𝑐2 é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da carga; 
c) Para os pilares de borda, entrar na tabela com a relação 
𝑐1
2𝑐2
⁄ . 
 
Admite-se que a força normal 𝐹𝑠𝑑 produza tensões de cisalhamento uniformes 
𝜏𝑠𝑑,1 = 
𝐹𝑠𝑑
(𝑢1𝑑)
⁄ na superfície crítica de área 𝑢1𝑑. As tensões de cisalhamento 𝜏𝑠𝑑,2, 
devidas ao momento 𝐾𝑀𝑠𝑑, são distribuídas conforme é indicado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 278 
 
 
Figura 139: Distribuição das tensões de cisalhamento devidas ao momento 𝑲𝑴𝒔𝒅 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
De acordo com a figura, a equação de equilíbrio do momento 𝐾𝑀𝑠𝑑 é escrita 
na forma: 
𝐾𝑀𝑠𝑑 = ∫ 𝜏𝑠𝑑,2 𝑑 𝑟 𝑑𝑙
𝑢1
0
 
Onde r é a distância do segmento infinitesimal dl, tomado ao longo do 
perímetro crítico, ao eixo que passa pelo centro do pilar e em torno do qual atua o 
momento fletor 𝑀𝑠𝑑. Admitindo que a tensão 𝜏𝑠𝑑,2 seja uniforme, resulta: 
 
𝜏𝑠𝑑,2 = 
𝐾𝑀𝑠𝑑
𝑑𝑊1
 
 
Onde 𝑊1 = ∫ 𝑟 𝑑𝑙
𝑢1
0
 é um parâmetro do perímetro crítico 𝑢1. 
 
Para um pilar interno de seção retangular é fácil mostrar que: 
𝑢1 = 2(𝑐1 + 𝑐2) + 4𝜋𝑑 
𝑊1 = 
𝑐1
2
2
+ 𝑐1𝑐2 + 4𝑐2𝑑 + 16𝑑
2 + 2𝜋𝑑𝑐1 
 
P á g i n a | 279 
 
 
Onde 𝑐1 e 𝑐2 são as dimensões da seção do pilar, conforme está indicado na 
figura. A tensão de cisalhamento total é dada por 𝜏𝑠𝑑 = 𝜏𝑠𝑑,1 + 𝜏𝑠𝑑,2. Essa tensão 
pode ser escrita na forma 𝜏𝑠𝑑 = 
𝐹𝑠𝑑,𝑒𝑓
(𝑢1𝑑)
⁄ , onde 𝐹𝑠𝑑,𝑒𝑓 é a força de puncionamento 
efetiva, levando em conta o efeito do momento transferido da laje para o pilar. 
Considerando as expressões anteriores, chega-se a: 
𝐹𝑠𝑑,𝑒𝑓 = 𝐹𝑠𝑑 (1 + 𝑘
𝑀𝑠𝑑
𝐹𝑠𝑑
.
𝑢1
𝑊1
) 
 
A expressão anterior pode ser escrita na forma 𝐹𝑠𝑑,𝑒𝑓 = 𝛽𝐹𝑠𝑑, onde: 
𝛽 = 1 + 𝑘𝑒
𝑢1
𝑊1
 
 
Sendo 𝑒 = 
𝑀𝑠𝑑
𝐹𝑠𝑑
⁄ . 
O coeficiente 𝛽 é igual a 1,0 quando não existem momentos transmitidos ao 
pilar, ou seja, quando e = 0. 
 
Na tabela abaixo, indicam-se alguns valores de coeficientes 𝛽, em função das 
relações 𝑒 𝑐1⁄ e 
𝑑
𝑐1⁄ para os pilares internos de seção quadrada 𝑐1 = 𝑐2. 
Tabela 14: Coeficiente 𝜷 para pilares de seção quadrada 
𝑒
𝑐1⁄ 
Espessura da laje/lado da seção do pilar: 𝑑 𝑐1⁄ 
0,20 0,40 0,60 0,80 
0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 
0,20 1,19 1,13 1,10 1,08 
0,40 1,37 1,27 1,21 1,17 
0,60 1,56 1,40 1,31 1,25 
0,80 1,74 1,53 1,41 1,34 
1,00 1,93 1,66 1,52 1,42 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Como uma simplificação, é usual adotar os seguintes valores aproximados: 
𝛽 = 1,15 para pilares internos; 𝛽 = 1,40 para pilares de borda; 𝛽 = 1,50 para pilares 
de canto. Uma vez determinada a força de puncionamento efetiva, 𝐹𝑠𝑑,𝑒𝑓, deve-se 
verificar o cumprimento da restrição: 
𝜏𝑠𝑑0 = 
𝐹𝑠𝑑,𝑒𝑓
𝑢0𝑑
 ≤ 0,27𝛼𝑣𝑓𝑐𝑑 
P á g i n a | 280 
 
 
 
Onde 𝑢0 é o perímetro de verificação junto às faces do pilar, como indicado na 
figura 95, e 𝛼𝑣 = 1 − 
𝑓𝑐𝑘
250
⁄ , com 𝑓𝑐𝑘 em Mpa. 
 
A verificação indicada na equação anterior deve ser feita tanto para lajes sem 
armadura de punção, quanto para lajes com essa armadura. Para um pilar interno, 
𝑢0 é o perímetro da seção transversal do pilar. Para os pilares situados em uma 
borda da laje, tem-se: 
𝑢0 = 𝑐𝑥 + 3𝑑 ≤ 𝑐𝑥 + 2𝑐𝑦 
 
E para os pilares de canto: 
𝑢0 = 3𝑑 ≤ 𝑐𝑥 + 𝑐𝑦 
 
Onde 𝑐𝑥 𝑒 𝑐𝑦 são as dimensões da seção do pilar. 
Figura 140: Perímetro crítico 𝒖𝟎. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A armadura de punção é desnecessária quando: 
𝜏𝑠𝑑 ≤ 𝜏𝑟𝑑1 
 
Onde 𝜏𝑠𝑑 é a tensão tangencial no perímetro crítico 𝑢1, dada por: 
𝜏𝑠𝑑 = 
𝐹𝑠𝑑,𝑒𝑓
𝑢1𝑑
 
P á g i n a | 281 
 
 
 
De acordo com a NBR6118/2014, a tensão resistente 𝜏𝑟𝑑1 é dada por: 
𝜏𝑟𝑑1 = 0,13𝜉(100𝜌𝑓𝑐𝑘)
1
3⁄ , Mpa 
 
Onde: 
𝜉 = 1 + √20 𝑑⁄ ≤ 2,0, com d em centímetros 
𝜌 = √𝜌𝑥𝜌𝑦 
 
Na expressão anterior, 𝜌𝑥 𝑒 𝜌𝑦 são as taxas de armaduras de flexão dalaje 
nas duas direções ortogonais x e y. A taxa a ser considerada e cada direção é 
calculada em função da armadura existente em uma largura igual à dimensão do 
pilar, acrescida de 3d para cada lado (ou até a borda da laje, se esta estiver mais 
próxima). Se 𝜏𝑠𝑑 > 𝜏𝑟𝑑1, é necessário colocar armadura transversal de punção no 
entorno da região de aplicação da carga. A área 𝐴𝑠𝑤 da armadura de punção em 
cada perímetro concêntrico ao pilar, ou à região de aplicação da carga, é dada por: 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 
(𝜏𝑠𝑑 − 0,75𝜏𝑟𝑑1)𝑢1
1,5𝑓𝑦𝑑𝑠𝑒𝑛 𝛼
 
 
Onde 𝛼 é o ângulo de inclinação da armadura de punção em relação ao plano 
da laje e 𝑠 ≤ 0,75𝑑 é o espaçamento radial entre os perímetros concêntricos de 
armadura, como indicado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 282 
 
 
Figura 141: Disposição da armadura de punção. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A armadura de punção deve ser estendida em contornos paralelos ao 
perímetro crítico até que, no contorno de perímetro 𝑢𝑛,𝑒𝑓, não seja mais necessária 
armadura, ou seja, até que a equação a seguir seja verificada. 
Ao empregar a equação anterior, a tensão de escoamento da armadura 
transversal, 𝑓𝑦𝑑, deve ser limitada ao valor máximo de 300 Mpa. 
Conforme indicado na figura 96, nas regiões de pilares de borda e de canto, a 
armadura de punção deve ser distribuída até as linhas tracejadas, marcadas a partir 
das faces internas dos pilares. Entre essas linhas e as bordas das lajes, deve-se 
colocar uma armadura adicional com o mesmo espaçamento da armadura calculada. 
Se a laje for considerada como parte integrante do sistema de 
contraventamento, deve-se prever armadura de punção, mesmo que resulte 𝜏𝑠𝑑 <
 𝜏𝑟𝑑1. Essa armadura deve possuir uma área mínima de 0,5
𝐹𝑠𝑑
𝐹𝑦𝑑
⁄ . 
Para a zona exterior à armadura de punção, definida pelo perímetro crítico 
𝑢𝑛,𝑒𝑓 indicado na figura 96, deve-se comprovar que não é necessária a colocação de 
armadura transversal. 
 
P á g i n a | 283 
 
 
Logo, deve-se garantir que: 
 
𝜏𝑠𝑑𝑛 = 
𝐹𝑠𝑑,𝑒𝑓
𝑢𝑛,𝑒𝑓𝑑
 ≤ 𝜏𝑟𝑑1 
 
Onde 𝐹𝑠𝑑,𝑒𝑓 é obtida com o emprego da equação 
𝐹𝑠𝑑,𝑒𝑓 = 𝐹𝑠𝑑 (1 + 𝑘
𝑀𝑠𝑑
𝐹𝑠𝑑
.
𝑢1
𝑊1
), substituindo 𝑢1 por 𝑢𝑛,𝑒𝑓 e 𝑊1 por 𝑊𝑛,𝑒𝑓. 
 
Uma vez que essa verificação é feita a uma maior distância do pilar, pode-se 
supor que o efeito do momento transferido por tensões tangenciais tenha 
desaparecido. Assim, pode-se adotar 𝐹𝑠𝑑,𝑒𝑓 = 𝐹𝑠𝑑 para o emprego da equação: 
 
𝜏𝑠𝑑𝑛 = 
𝐹𝑠𝑑,𝑒𝑓
𝑢𝑛,𝑒𝑓𝑑
 ≤ 𝜏𝑟𝑑1. 
 
O espaçamento radial da armadura de punção não deve exceder 0,75d. Essa 
armadura deve ser constituída, preferencialmente, por três ou mais linhas de 
conectores tipo pino com extremidades alargadas (ou barras verticais de pequeno 
diâmetro soldadas em chapas de aço horizontais). Com isso, garante-se que a 
armadura ficará na posição vertical e bem ancorada através das chapas soldadas, o 
que é fundamental para a resistência à punção conforme verificado 
experimentalmente. No caso de lajes espessas, a armadura de punção pode ser 
constituída por estribos verticais. 
Na figura abaixo, indicam-se os espaçamentos e o detalhe da armadura 
composta por conectores tipo pino. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 284 
 
 
Figura 142: Detalhe da armadura de punção em corte 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
12.3 Armadura de flexão superior 
A armadura de flexão é obtida a partir dos momentos fletores resultantes do 
cálculo como pórticos múltiplos, ou de processos mais rigorosos, como a formulação 
em série de Fourier ou o método dos elementos finitos. O dimensionamento dessa 
armadura segue os procedimentos apresentados para as lajes maciças e para as 
lajes nervuradas, conforme seja o caso. 
A ABNT NBR 6118 (2014) exige que, para garantir a ductilidade local e a 
consequente proteção contra o colapso progressivo, a armadura de flexão inferior 
que atravessa o contorno da seção do pilar deve ser ancorada além do contorno 
crítico 𝑢1, seja conforme indicado na figura abaixo. 
A soma de todas as áreas das barras que cruzam cada uma das faces do 
pilar, 𝐴𝑠, deve ser tal que 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑 ≥ 1,5𝑓𝑠𝑑. 
Figura 143: Armadura contra colapso progressivo 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
P á g i n a | 285 
 
 
Nas lajes sem vigas, maciças ou nervuradas, calculadas pelo processo dos 
pórticos múltiplos, devem ser respeitadas as disposições apresentadas nas figuras 
143 e figura 144 para o detalhamento das armaduras de flexão. 
Na figura abaixo, 𝐴𝑠 (cm²/m) representa a área da armadura obtida para o 
momento positivo por unidade de comprimento 𝑚𝑥 (kNm/m). 
Figura 144: Disposição da armadura inferior 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Na figura 145, 𝐴𝑠1 e 𝐴𝑠2 representam as áreas de armadura por unidade de 
comprimento (cm²/m) obtidas para os momentos negativos sobre os apoios, 𝑀𝑒𝑥1 e 
𝑀𝑒𝑥2 (kNm/m). A distribuição dessas armaduras nas faixas concorda com a 
distribuição dos momentos fletores indicados na figura abaixo. 
Segundo a ABNT NBR 6118 (2014), pelo menos duas barras inferiores devem 
passar continuamente sobre os apoios, respeitando-se também a armadura contra 
colapso progressivo. Em lajes com capitéis, as barras inferiores interrompidas, além 
de atender as prescrições da figura abaixo, devem penetrar pelo menos 30 cm ou 
24∅ no capitel. 
 
 
P á g i n a | 286 
 
 
Figura 145: Disposição da armadura superior 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
 
 
Exercício resolvido 01 – Punção 
Verificar a resistência à punção dos pilares da laje lisa 
indicada na figura A. Os seguintes dados foram usados no 
exemplo de cálculo apresentado para essa laje: 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 287 
 
 
Figura 146: laje lisa com vigas de borda 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Figura 147: Reações de Apoio 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Dados: 
- seção do pilar: 𝑐1 = 𝑐2 = 40 𝑐𝑚 
- concreto: 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 
- espessura da laje: h = 24 cm; d = 20 cm 
- força de punção na laje: 𝐹𝑘 = 326,9 𝑘𝑁 (figura B) 
 
P á g i n a | 288 
 
 
Calculando os esforços na laje pela formulação em série de Fourier, resultam 
os seguintes momentos negativos sobre os pilares: 𝑀𝑥 = −59,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 e 𝑀𝑦 =
 −50,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚. Dimensionando a armadura longitudinal para esses momentos, 
resultam 𝐴𝑠𝑥 = 10,20 𝑐𝑚
2/𝑚 e 𝐴𝑠𝑦 = 8,53 𝑐𝑚
2/𝑚. As taxas de armadura segundo 
as duas direções são 𝜌𝑥 = 0,0051 e 𝜌𝑦 = 0,0043. Logo, 𝜌 = √𝜌𝑥𝜌𝑦 = 0,0047. 
 
A. Força de punção efetiva 
 
𝐹𝑠𝑑 = 1,4𝐹𝑘 = 1,4𝑥326,9 = 458 𝑘𝑁 
𝛽 = 1,15 (𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠) 
𝐹𝑠𝑑,𝑒𝑓 = 𝛽𝑓𝑠𝑑 = 1,15𝑥458 = 527 𝑘𝑁 
 
B. Verificação junto ao pilar 
 
𝑢0 = 2(𝑐1 + 𝑐2) = 2(40 + 40) = 160 𝑐𝑚 
𝜏𝑠𝑑0 = 
𝐹𝑠𝑑,𝑒𝑓
𝑢0𝑑
= 
527
160𝑥20
= 0,165
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 1,65 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
1,4
= 
30
1,4
= 21,43 𝑀𝑃𝑎 
0,27𝛼𝑣𝑓𝑐𝑑 = 0,27 (1 − 
30
250
) 𝑥21,43 = 5,09 𝑀𝑃𝑎 
 
Como resultou 𝜏𝑠𝑑0 ≤ 0,27𝛼𝑣𝑓𝑐𝑑 , fica garantida a segurança contra o 
esmagamento do concreto junto ao pilar. 
 
C. Verificação da necessidade de armadura de punção 
 
𝑢1 = 2(𝑐1 + 𝑐2) + 4𝜋𝑑 = 2(40 + 40) + 4𝜋𝑥20 = 411 𝑐𝑚 
𝜏𝑠𝑑 = 
𝑓𝑠𝑑,𝑒𝑓
𝑢1𝑑
= 
527
411𝑥20
= 0,064
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 0,64 𝑀𝑃𝑎 
𝜉 = 1 + √
20
𝑑
= 1 + √
20
20
= 2 ; 𝜉 ≤ 2 → 𝑜𝑘! 
𝜏𝑟𝑑1 = 0,13𝜉(100𝜌𝑓𝑐𝑘)
1
3⁄ = 0,13𝑥2(100𝑥0,0047𝑥30)
1
3⁄ = 0,62 𝑀𝑃𝑎 
 
P á g i n a | 289 
 
 
Como 𝜏𝑠𝑑 > 𝜏𝑟𝑑1 , há necessidade de armadura de punção. 
 
D. Cálculo da armadura de punção 
 
Usando armadura vertical, 𝛼 = 90° e 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 1. Para o cálculo dessa 
armadura, considera-se 𝑓𝑦𝑑 = 300 𝑀𝑃𝑎. 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 
(𝜏𝑠𝑑 − 0,75𝜏𝑟𝑑1)𝑢1
1,5𝑓𝑦𝑑𝑠𝑒𝑛 𝛼
= 
(0,64 − 0,75𝑥0,62)411
1,5𝑥300𝑥1
= 0,16 𝑐𝑚2/𝑐𝑚 
Adotando s = 0,75d = 15 cm, resulta 𝐴𝑠𝑤 = 2,40 𝑐𝑚² em cada perímetro 
concêntrico ao pilar. Essa armadura pode sercoberta por 8𝜙6,3 (área igual a 2,49 
cm²). Na figura C, indica-se a disposição da armadura, onde foram usadas 8 chapas 
com 3𝜙6,3, soldados em cada uma (área total de aço = 7,48 cm²). 
Figura 148: Disposição da armadura de punção 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
E. Verificação na zona exterior à armadura de punção 
 
Raio do perímetro 𝑢𝑛,𝑒𝑓 ∶ 𝑅 = 95 𝑐𝑚 (𝑣𝑒𝑟 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝐶) 
𝑢𝑛,𝑒𝑓 = 2𝜋𝑅 = 2𝑥𝜋𝑥95 = 597 𝑐𝑚 
𝜏𝑠𝑑𝑛 = 
𝐹𝑠𝑑
𝑢𝑛,𝑒𝑓𝑑
= 
458
597𝑥20
= 0,038
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 0,38 𝑀𝑃𝑎 
 
Como 𝜏𝑠𝑑𝑛 < 𝜏𝑟𝑑1, fica concluído o dimensionamento. 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ O procedimento de cálculo da punção; 
✓ O cálculo das armaduras do capitel. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este artigo de comparação entre pilares de 
concreto e pilares de aço: 
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2006/inic/inic/07/INIC00
0071ok.pdf. 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 12 
Exercícios 
 
 
 
 
 
Exercício proposto 01 – Punção 
Verificar a resistência à punção dos pilares da laje lisa 
indicada na figura A. Os seguintes dados foram usados no 
exemplo de cálculo apresentado para essa laje: 
Figura 149: laje lisa com vigas de borda 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Dados: 
- seção do pilar: 𝑐1 = 𝑐2 = 50 𝑐𝑚 
- concreto: 𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎 
- espessura da laje: h = 26 cm; d = 22 cm 
- força de punção na laje: 𝐹𝑘 = 453,4 𝑘𝑁 
 
 
 
 
Fundações – Parte I 
Aula 13 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula estudaremos a primeira parte sobre as fundações. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Os tipos de estruturas de fundações; 
➢ A distribuição das pressões no solo de contato; 
➢ As sapatas rígidas sob paredes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 295 
 
 
Olá Aluno! Preparado para continuar os estudos sobre 
concreto? Nessa aula vamos estudar a primeira parte sobre as 
fundações! Vamos lá! 
 
13 FUNDAÇÕES – PARTE I 
13.1 Introdução 
O estudo das fundações é uma das etapas de maior complexidade dentro do 
projeto de um edifício. A escolha do tipo adequado de fundação envolve estudos 
relativos às características do solo, tais como sua deformabilidade e resistência. 
Além disso, essa escolha deve ser compatível com características da superestrutura, 
como sua capacidade de acomodação plástica e cargas atuantes. 
De um modo geral, uma boa fundação deve satisfazer os seguintes requisitos: 
- deve se situar a uma profundidade adequada, para evitar danos caudados 
por escavações ou por futuras construções na sua vizinhança; 
- deve ser segura contra a ruptura do solo; 
- seus recalques deve ser compatíveis com a capacidade de acomodação da 
estrutura, especialmente os requalques diferenciais. 
 
A análise desses requisitos é objeto de estudos da Mecânica dos Solos, 
devendo-se recorrer a bibliografia especializada. As fundações podem ser 
classificadas em superficiais e profundas. As sapatas e as placas de fundação são 
exemplos de fundações superficiais, enquanto estacas são fundações profundas. As 
sapatas são indicadas quando o terreno apresenta, já na sua superfície, resistência 
satisfatória para as cargas da estrutura e é suficientemente homogêneo para evitar 
recalques diferenciais importantes. As placas de fundação são empregadas quando 
o solo é menos resistente ou menos homogêneo, ou para estruturas mais pesadas e 
com menor capacidade de acomodação. Com essa solução, consegue-se aumentar 
a área de contato com o solo e reduzir os recalques diferenciais. As placas são 
indicadas quando a fundação deve se situar abaixo do nível do lençol freático, para 
suportar a subpressão. De um modo geral, a solução com placa de fundação 
(também denominada “radier”) é mais econômico do que a solução com sapara, se a 
área total destas ultimas for superior à metade da área do edifício em planta. 
P á g i n a | 296 
 
 
As estacas são empregadas quando o solo é pouco resistente até uma 
grande profundidade. Elas também são usadas quando a fundação deve resistir a 
ações horizontais importantes. O objetivo desta aula é o dimensionamento dos 
elementos estruturais de fundação, com ênfase nos aspectos relacionados ao 
concreto armado. Apresentam-se os procedimentos de projeto de sapatas, vigas de 
equilíbrio, blocos sobre estacas e placas de fundação. Os aspectos geotécnicos 
envolvidos no projeto das fundações não fazem parte desta aula, devendo-se 
recorrer à bibliografia pertinente. 
13.2 Tipos de estruturas de fundação 
Na figura abaixo, estão representados alguns tipos de sapatas usualmente 
empregadas nos edifícios. As sapatas isoladas suportam um único pilar. Quando os 
pilares estão alinhados e próximos entre si, adota-se a solução e sapata contínua 
sob pilares. As sapatas corridas sob parede são projetadas para suportarem paredes 
e muros. De acordo com sua forma, as sapatas poder ser retangulares, quadradas, 
circulares, poligonais, etc. Elas podem ser piramidais, como indicado na figura 150, 
ou podem ser retas ou em degraus. Em função de suas dimensões, as sapatas 
podem ser classificadas em rígidas e flexíveis, conforme está indicado na figura 151. 
Esse conceito de rigidez é relativo ao elemento estrutural e não pressupõe nenhum 
comportamento específico quanto às distribuições de tensões no terreno. 
As sapatas flexíveis têm a vantagem do menor consumo de concreto e, por 
serem mais leves, são mais adequadas em um solo de menor capacidade de carga. 
Por outro lado, elas exigem um maior consumo de armadura. As sapatas rígidas têm 
a vantagem do menor consumo de aço, além de ser possível o emprego de concreto 
de menor resistência. Por se tratar de uma sapata mais pesada, ela é mais 
econômica em solos de melhor qualidade. 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 297 
 
 
Figura 150: Tipos usuais de sapatas 
 
Fonte: ARAÚJO (2014)P á g i n a | 298 
 
 
Figura 151: Sapatas rígidas e sapatas flexíveis 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Quando uma sapata estiver situada na divisa do terreno, a carga transmitida 
pelo pilar é excêntrica em relação a sapata. As maiores pressões no solo ocorrem 
nas proximidades do terreno vizinho, onde há possibilidade de serem realizadas 
escavações para construções futuras. Neste caso, é conveniente projetar uma viga 
de equilíbrio capaz de deslocar a carga para o centro do terreno, onde é colocada a 
sapata. Essas duas situações são representadas na figura abaixo. 
Figura 152: Sapata excêntrica e viga de equilíbrio 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
P á g i n a | 299 
 
 
As fundações em placas são estruturas flexíveis, podendo ser de dois tipos: 
pilares que se apoiam diretamente em uma laje maciça ou pilares que se apoiam em 
um sistema de vigas, as quais estão ligadas a uma laje maciça. Essa segunda 
situação é representada na figura abaixo. 
A forma dos bolos de fundação é determinada pela disposição das estacas, 
podendo ser retangulares, quadrados, triangulares, etc. Eles podem estar apoiados 
em uma ou em várias estacas. Assim como as sapatas, os blocos sobre estacas 
podem ser classificados em rígidos e flexíveis, com indicado na figura 153. 
Figura 153: Fundação em placas (radiers) 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Figura 154: Blocos rígidos e blocos flexíveis 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
P á g i n a | 300 
 
 
13.3 Distribuição das pressões de contato 
A pressão que atua entre a superfície inferior da sapata e o terreno de 
fundação é a pressão de contato. O conhecimento de sua distribuição é importante, 
tanto para verificar as tensões no solo, quanto para o cálculo da própria sapata. 
A distribuição das pressões no terreno sob uma sapata depende do tipo de 
solo e da rigidez da própria sapata. A análise deste problema é bastante complexa, 
com resultados que, em um grande número de vezes, só dão uma informação 
qualitativa sobre a verdadeira distribuição das pressões no terreno. 
Do ponto de vista do projeto estrutural, pode-se admitir que as pressões sob a 
sapata se distribuam de maneira uniforme ou com uma variação linear. Na figura 
abaixo, representam-se as distribuições usualmente empregadas, em função do tipo 
de terreno e da rigidez da sapata. 
Figura 105: Distribuições aproximadas das pressões de contato 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Assim, exceto para o caso de fundação sobre rocha, as reações do terreno 
sob a base de uma sapata rígida podem ser consideradas uniformes, quando a 
carga é centrada, ou com uma variação linear, quando a carga é excêntrica, 
conforme está indicado na figura abaixo. Nessa figura, representa-se uma sapata 
sorrida sob parede. 
P á g i n a | 301 
 
 
Figura 155: Reações do solo sob uma sapata rígida 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para o caso de carga centrada, deve-se verificar que: 
 
𝑝 = 
𝑁𝑘 + 𝑊𝑘
𝐴
 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚 
 
Onde Nk e Wk representam a carga aplicada e o peso próprio da sapata por 
unidade de comprimento, ambos com os seus valores característicos, e 𝜎𝑎𝑑𝑚 é a 
pressão admissível no solo. 
 
Da equação anterior, obtém-se a largura A da sapata. Se a força normal Nk 
atua simultaneamente com o momento Mk e com a força horizontal Vk, a distribuição 
das pressões no solo é trapezoidal. A pressão máxima no solo é dada por: 
 
𝑝 = 
𝑁𝑘 + 𝑊𝑘
𝐴
(1 + 
6𝑒
𝐴
) 
𝑒 = 
𝑀𝑘 + 𝑉𝑘ℎ
𝑁𝑘 + 𝑊𝑘
 ≤ 
𝐴
6
 
 
Deve-se garantir que 𝑝 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚. 
P á g i n a | 302 
 
 
Se a excentricidade 𝑒 for mais que 
𝐴
6
, obtém-se a distribuição triangular de 
pressões indicada na figura abaixo, já que não é possível haver tensões de tração 
sob a sapata. Neste caso, a pressão máxima no bordo da sapata é dada por: 
 
𝑝 = 
4
3
(𝑁𝑘 + 𝑊𝑘)
(𝐴 − 2𝑒)
 
 
Essa expressão deve ser limitada a 𝑝 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚. Além disso, deve-se se 
garantir que a área comprimida seja pelo menos igual a 2/3 da área total da base da 
sapata, ou seja, 1,5(𝐴 − 2𝑒) ≥ 2𝐴/3. Isso equivale a limitar a excentricidade a 𝑒 ≤
0,28𝐴. 
Figura 107: Reações do solo sob sapata rígida quando 𝒆 > 𝑨 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
As considerações anteriores podem ser estendidas para o caso de sapata 
isolada sob um pilar. Se a sapata for rígida, as pressões no solo serão consideradas 
P á g i n a | 303 
 
 
uniformes e com variação linear, conforme a carga seja concentrada ou excêntrica, 
na figura abaixo, apresenta-se o caso de uma sapata isolada submetida a uma carga 
centrada. 
Figura 156: Sapata rígida sob pilar com carga centrada 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A área da base da sapata é determinada fazendo 𝑝 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚, de onde resulta: 
 
𝐴𝐵 ≥ 
𝑁𝑘 + 𝑊𝑘
𝜎𝑎𝑑𝑚
 
 
Se a carga for excêntrica, procede-se como no caso da sapata corrida sob 
parede. Para as sapatas contínuas sob pilares, pode-se fazer a análise de uma viga 
sobre base elástica, como indicado na figura abaixo. Neste vaso, admite-se que o 
solo é elástico, reagindo com uma força proporcional ao recalque da viga. O 
coeficiente de proporcionalidade K é o módulo de reação do solo. Os esforços na 
viga e as reações do solo são obtidos em função do coeficiente K e da rigidez à 
flexão EI da viga. 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 304 
 
 
Figura 157: Viga de fundação sobre base elástica 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Se a viga é rígida (com vãos pequenos em relação à altura) e o solo é muito 
deformável, pode-se admitir que as pressões sob a viga se distribuam em trechos 
uniformes, como indicado na figura abaixo. Se a viga for flexível e o solo é pouco 
deformável, podem-se admitir as distribuições triangulares indicadas na mesma 
figura. 
Figura 158: Distribuições aproximadas das pressões no solo para sapatas contínuas sob 
pilares 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Observa-se que, em todos os casos, a largura da sapata é obtida 
considerando-se as cargas de serviço. O coeficiente de segurança é introduzido no 
valor da pressão admissível no solo. 
P á g i n a | 305 
 
 
Para o dimensionamento da sapata, consideram-se as reações do solo 
obtidas para as cargas transmitidas pela estrutura com os seus valores de cálculo, 
ou seja, para as cargas majoradas. 
13.4 Sapatas rígidas sob paredes 
Para as sapatas rígidas, distribuição de deformações em uma seção 
transversal é não linear e, portanto, não é aplicável a teoria de flexão de vigas. Neste 
caso, a sapata deve ser analisada através do modelo de bielas tirantes. 
Para reduzir o consumo de concreto e aliviar o peso da sapata, ela pode ser 
executada com a forma trapezoidal, indicada na figura abaixo. O ângulo de 
inclinação da face superior da sapata deve ser pequeno (𝛽 ≤ 30°), para evitar o 
emprego de formas nessas faces inclinadas. As sapatas devem se apoiar sobre uma 
camada de concreto magro, com consumo mínimo de 250 kg de cimento por metro 
cúbico. Essa camada deve possuir uma espessura mínima de 5 cm. 
Na figura abaixo, indica-se uma seção transversal da sapata. 
Figura 159: Sapata corrida sob parede 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para que a sapata possa ser considerada rígida, sua altura h deve ser 
superior à metade do balanço L. Em função da largura A da sapata e da espessura a 
da parede, essa condição é dada por: 
ℎ ≥ 
𝐴 − 𝑎
4
 
P á g i n a | 306 
 
 
A espessura ℎ0 nas extremidades da sapata deve obedecer aos limites: 
 
ℎ0 ≥ {
ℎ
3⁄
20 𝑐𝑚
 
 
Se a parede for de concreto armado, a altura da sapata deve permitir que as 
barras da armadura da parede possam ser ancoradas. Em virtude das bielas de 
compressão inclinadas que convergem para o topo da sapata, a ancoragem das 
armaduras da parede se dá na região superior da sapata. Neste caso, pode-se 
considerar um comprimento de ancoragem reduzido. Assim, a altura da sapata 
também deve respeitar a condição: 
 
ℎ ≥ 0,6𝑙𝑏 + 5 𝑐𝑚 
 
onde 𝑙𝑏 é o comprimento básico de ancoragem das armaduras verticais da 
parede.A armadura vertical da parede, ou do pilar se for o caso, deve ser prolongada 
até o fundo da sapata, apoiando-se sobre a armadura horizontal da sapata por meio 
de dobras (ganchos a 90°). Se a armadura estiver comprimida, ela será ancorada 
por aderência ao longo do trecho reto dentro da sapata. Se algumas barras da 
armadura estiverem tracionadas, de modo que a altura dada na equação anterior 
também será suficiente. Na figura abaixo, representa-se sapata submetida à carga 
de calculo 𝑁𝑑, a qual é transmitida até a base através de uma série de bielas 
inclinadas que se apoiam no tirante inferior representado pela armadura. Nessa 
figura, admite-se que as bielas mais distantes do eixo da parede possuam uma 
inclinação 𝜃𝑚 = 𝑡𝑔
−1 1
2⁄ , o que corresponde ao emprego de sapatas com a altura 
mínima dada na equação: 
 
ℎ ≥ 
𝐴 − 𝑎
4
 
 
Se a altura h da sapata for maior do que esse valor mínimo, a inclinação 
dessas bielas extremas será maior, o que fica a favor da segurança. 
P á g i n a | 307 
 
 
Figura 160: Modelo Biela s e tirantes. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A tensão 𝜎𝑑 aplicada no topo da sapata é dada por: 
 
𝜎𝑑 = 
𝑁𝑑
𝑎
= 
𝛾𝑓𝑁𝑘
𝑎
 
 
Onde 𝑁𝑑 é a força de cálculo transmitida pela parede, por unidade de 
comprimento da sapata, e 𝛾𝑓 = 1,4 nos casos usuais. 
 
No caso de paredes de alvenaria, essa tensão de contato é pequena e, em 
geral, não há risco de esmagamento das bielas de compressão. Nesses casos, a 
tensão 𝜎𝑑 é limitada pela resistência da alvenaria. Em se tratando de uma parede de 
concreto armado, a tensão 𝜎𝑑 pode ser superior à resistência do concreto da sapata, 
o que indica que a seção de contato não é capaz de absorver a força 𝑁𝑑 sem o 
auxílio das armaduras da própria parede. Neste caso, as bielas de compressão 
devem convergir para uma seção situada a uma profundidade X a partir do topo da 
sapata, onde as tensões de compressão no concreto já tenham sido reduzidas o 
P á g i n a | 308 
 
 
suficiente para que não seja necessário contar com a colaboração da armadura da 
parede. Essa seção é indicada na figura abaixo. 
Figura 161: Tensão normal em uma seção dentro da sapata. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Conforme se deduz da figura abaixo, a tensão de compressão 𝜎1𝑑, em um 
plano horizontal situado a uma distância X do topo da sapata, é dada por: 
 
𝜎1𝑑 = 
𝑁𝑑
𝑎 + 4𝑥
 
 
E considerando a equação: 
 
𝜎𝑑 = 
𝑁𝑑
𝑎
= 
𝛾𝑓𝑁𝑘
𝑎
 
 
Resulta em: 
 
𝜎1𝑑 = (
𝑎
𝑎 + 4𝑥
) 𝜎𝑑 
 
P á g i n a | 309 
 
 
Na figura abaixo, representam-se as tensões de compressão no plano 
horizontal e em uma biela com uma inclinação genérica 𝜃. A tensão 𝜎𝑐 na biela de 
compressão atua na área 𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝜃, onde L é a largura da biela medida na horizontal. 
A força de compressão na biela é dada por: 
 
𝐹𝑐 = 𝜎𝑐𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃 
Figura 162: Tensão de compressão na biela 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Igualando a componente vertical de 𝐹𝑐 à força vertical 𝜎1𝑑𝐿, obtém-se: 
 
𝐹𝑐𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝜎1𝑑𝐿 
 
Das equações anteriores, obtém-se a tensão de compressão na biela 
inclinada: 
 
𝜎𝑐 = 
𝜎1𝑑
𝑠𝑒𝑛2𝜃
 
 
Para não haver o esmagamento da biela de concreto, deve-se impor condição 
𝜎𝑐 ≤ 𝑓𝑐𝑑, onde 𝑓𝑐𝑑 é a resistência à compressão de cálculo do concreto da sapata. 
P á g i n a | 310 
 
 
Nessa verificação, pode-se considerar 𝑓𝑐𝑑 sem a redução do efeito Rusch, já que no 
topo da sapata, junto ao pilar, tem-se um efeito de compressão biaxial. Em sapatas e 
blocos sob pilares, o aspecto tridimensional das bielas proporciona uma compressão 
triaxial no concreto, o que permitiria considerar uma resistência superior a 𝑓𝑐𝑑. 
Porém, a favor da segurança, essa majoração da resistência não é aplicada. 
Considerando a equação anterior, resulta que: 
 
𝜎1𝑑 ≤ 𝑠𝑒𝑛
2𝜃𝑓𝑐𝑑 
 
Para a biela mais afastada do centro da sapata, 𝜃 = 𝑡𝑔−1 1 2⁄ e 𝑠𝑒𝑛
2𝜃 = 0,20. 
Logo, as bielas devem convergir para uma seção horizontal dentro da sapata 
onde a tensão de compressão foi reduzida a 0,20𝑓𝑐𝑑, para não haver risco de 
esmagamento das mesmas. Verifica-se, então, que as barras da armadura podem 
ser totalmente ancoradas nesta parte superior da sapata. 
Fazendo 𝜎1𝑑 ≤ 0,20𝑓𝑐𝑑 e considerando a equação 𝜎1𝑑 = (
𝑎
𝑎+4𝑥
)𝜎𝑑, obtém-se 
a profundidade dessa seção: 
 
𝑥 = 0,25𝑎 (
5𝜎𝑑
𝑓𝑐𝑑
− 1) ≥ 0 
 
Se a altura da sapata for determinada de acordo com a expressão 
ℎ ≥ 
𝐴−𝑎
4
, o valor de x será inferior a 0,15d, onde d é a distância da armadura inferior 
de tração até o topo da sapata (altura útil). Somente em casos extremos, quando a 
pressão admissível no solo é muito alta, obtém-se sapatas de pequena altura e x 
poderá superar o valor de 0,15d. Desse modo, para os casos correntes, o braço de 
alavanca Z = d – x pode ser considerado igual a 0,85d. 
Na figura abaixo, representa-se o modelo de cálculo para o caso de carga 
centrada. Do modelo de bielas e tirantes indicado na figura 115, pode-se escrever: 
 
𝑅𝑠𝑑𝑍 = 0,5𝑁𝑑(0,25𝐴 − 0,25𝑎) 
 
 
 
P á g i n a | 311 
 
 
De onde resulta a força de tração no tirante: 
 
𝑅𝑠𝑑 = 
𝑁𝑑(𝐴 − 𝑎)
8𝑍
 
Figura 163: Modelo para o cálculo da armadura 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Fazendo 𝑅𝑠𝑑 = 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑, onde 𝑓𝑦𝑑 é a tensão de escoamento da armadura, 
obtém-se a área de aço: 
 
𝐴𝑠 = 
𝑁𝑑(𝐴 − 𝑎)
8𝑍𝑓𝑦𝑑
 ≅ 
𝑁𝑑
0,85𝑑
(𝐴 − 𝑎)
8𝑓𝑦𝑑
 
 
Observando a figura acima, verifica-se que a equação 
𝑅𝑠𝑑𝑍 = 0,5𝑁𝑑(0,25𝐴 − 0,25𝑎) pode ser escrita na forma: 
 
𝑅𝑠𝑑 = 
𝑀𝑑
𝑍
 
 
Onde 𝑀𝑑 é o momento fletor em uma seção situada a uma distância 0,25ª à 
direita da face da parede, provocado pela resultante das reações do terreno à 
esquerda do eixo da parede. 
P á g i n a | 312 
 
 
Desse modo, quando a carga é excêntrica, as armaduras podem ser 
calculadas de acordo com o modelo da figura abaixo. 
Figura 164: Modelo para o caso de carga excêntrica 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para o modelo da figura acima, resulta: 
 
𝑅𝑠𝑑 = 
𝑅1𝑑(𝑥1 − 0,25𝑎)
𝑍
= 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑 
 
Onde 𝑅1𝑑 é a resultante das reações do terreno à esquerda do eixo da parede 
e 𝑥1 é a distância de 𝑅1𝑑 até esse eixo. 
 
A armadura principal de área 𝐴𝑠 deve ser prolongada sem redução de seção 
em toda a largura da sapata e ancorada com ganchos de extremidade. Para reduzir 
o risco de ruptura da aderência, devem-se adotar barras de pequeno diâmetro, 
pouco espaçadas. No sentido da parede, coloca-se uma armadura de distribuição 
capaz de absorver momentos longitudinais devidos a possíveis recalques 
P á g i n a | 313 
 
 
diferenciais. A área dessa armadura não deve ser inferior a 
𝐴𝑠
5⁄ . Em qualquer caso, 
o espaçamento das barras deve ser no máximo igual a 30 cm. Na figura abaixo, 
indica-se a disposição das armaduras da sapata. Em sapatas muito altas, com 
espessura média 0,5(ℎ + ℎ0) > 40 𝑐𝑚, recomenda-se empregar uma armadura de 
pele nas faces laterais e no topo, para controlar as aberturas das fissuras produzidas 
por choque térmico. A área dessa armadura deve ser em torno de 2,0 cm²/m em 
cada direção. 
Figura 165: Disposição das armaduras 
 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Quando houver aberturas na parede (portas) que interrompem a carga 
transmitida à sapata, esses trechos devem ser armados como uma viga. Os 
momentos fletores para o dimensionamento são indicados na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 314 
 
 
Figura 166: Armadura adicional em sapata corrida sob parede com abertura 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Não faz sentido calcular uma armadura mínima, como se faz para as vigas 
esbeltas, pois isto indicaria que, quanto mais alta fosse a sapata, maior teria que ser 
a área de aço. Caso esse procedimento fosse empregado, seria impossível projetar 
uma sapata de concreto simples, mesmo que se adotasse um valor muito grande 
para a altura h. Na figura abaixo, representa-seuma sapata de concreto simples, 
onde se indicam as tensões normais em uma seção na face da parede. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 315 
 
 
Figura 167: Sapata de concreto simples 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
O momento fletor de cálculo na seção da face da parede é: 
𝑀𝑑 = 
𝑝𝑑𝑙
2
2
 
 
e a tensão máxima de tração na base da sapata vale: 
𝜎𝑡𝑑 =
6𝑀𝑑
ℎ2
 
 
Fazendo 𝜎𝑡𝑑 ≤ 𝑓𝑐𝑡𝑑 e considerando a equação 
𝑀𝑑 = 
𝑝𝑑𝑙
2
2
 resulta: 
ℎ
𝑙
 ≥ √
3𝑝𝑑
𝑓𝑐𝑡𝑑
 
 
onde 𝑓𝑐𝑡𝑑 é a resistência à tração de cálculo do concreto e 𝑝𝑑 é o valor de 
cálculo da pressão no terreno. 
 
Como uma simplificação, considera-se que a equação 
ℎ
𝑙
 ≥ √
3𝑝𝑑
𝑓𝑐𝑡𝑑
 seja atendida se for adotada a relação ℎ 𝑙⁄ ≥ 2. 
P á g i n a | 316 
 
 
Assim, é possível projetar uma sapata de concreto simples, desde que a 
relação ℎ 𝑙⁄ ≥ 2. Por outro lado, para as sapatas flexíveis, com relação 
ℎ
𝑙⁄ < 0,5, 
deve-se respeitar a armadura mínima de vigas. Dessa forma, pode-se estabelecer o 
critério para as armaduras mínimas das sapatas como indicado na figura abaixo. 
Figura 168: Armaduras mínimas das sapatas 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para as sapatas armadas, a abertura das fissuras pode ser calculada como 
em um problema de flexão simples, com o momento de serviço 𝑀𝑘 = 
𝑀𝑑
1,4⁄ . Para a 
deformação de retração do concreto, pode-se adotar 𝜀𝑐𝑠 = 20𝑥10
−5, pois, em geral, 
a sapata estará coberta por solo úmido, o que reduz bastante a retração. O cálculo 
da abertura das fissuras é feito com a formulação apresentada na disciplina de 
Concreto Armado II, considerando 𝜀𝑐𝑛 = 𝜀𝑐𝑠 e 𝑅 = 0,5, já que não há grandes 
restrições ao movimento horizontal da sapata (exceto para sapata sobre rocha. 
Exercício resolvido 01 – Sapata corrida sob parede 
Projetar uma sapata corrida sob parede 
Dados: 
- Carga de serviço transmitida pela parede: 𝑁𝑘 =
300 𝑘𝑁/𝑚 
P á g i n a | 317 
 
 
- Pressão admissível no solo: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 0,20 𝑀𝑃𝑎 = 0,020 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
- Espessura da parede: 𝑎 = 25 𝑐𝑚 
- Concreto da sapata: 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑝𝑎 
- Tensão de escoamento do aço: 𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 (𝑎ç𝑜 𝐶𝐴50) 
 
1. Projeto Geométrico 
 
Estimando o peso próprio da sapata como 5% do valor da carga aplicada, 
tem-se 
𝑊𝑘 = 0,05𝑁𝑘 = 0,05𝑥300 = 15 𝑘𝑁/𝑚 
Carga total: 𝑁𝑘 + 𝑊𝑘 = 315
𝑘𝑁
𝑚
= 3,15 𝑘𝑁/𝑐𝑚 
Largura da sapata: 𝐴 ≥ 
𝑁𝑘+ 𝑊𝑘
𝜎𝑎𝑑𝑚
= 
3,15
0,020
 ≅ 158 𝑐𝑚 
Largura adotada: 𝐴 = 160 𝑐𝑚 
Altura: ℎ ≥ 
𝐴−𝑎
4
= 
160−25
4
≅ 34 𝑐𝑚 → 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 ℎ = 35 𝑐𝑚 
ℎ0 ≥ {
ℎ
3⁄ ≅ 12 𝑐𝑚
20 𝑐𝑚
→ 20 𝑐𝑚 
 
Na figura A,, indica-se a seção transversal da sapata 
Figura 169: Seção transversal adotada 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Verificação: Calculando a área da seção transversal da sapata (em m²) e 
multiplicando pelo peso específico do concreto armado (25 kN/m³), obtém-se o peso 
próprio da sapata: 𝑊𝑘 = 11,5 𝑘𝑁/𝑚. 
P á g i n a | 318 
 
 
Logo, 𝑁𝑘 + 𝑊𝑘 = 311,5
𝑘𝑁
𝑚
≅ 3,12 𝑘𝑁/𝑐𝑚. 
A pressão no solo é: 𝜌 = 
3,12
160
= 0,0195 < 𝜎𝑎𝑑𝑚. 
 
2. Verificação das tensões no concreto 
 
𝑁𝑑 = 1,4𝑁𝑘 = 420
𝑘𝑁
𝑚
= 4,2 𝑘𝑁/𝑐𝑚 
𝜎𝑑 = 
𝑁𝑑
𝑎
= 
4,2
25
≅ 0,17 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝑓𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
1,4
= 
20
1,4
= 14 𝑀𝑝𝑎 = 1,4 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
Como 𝜎𝑑 < 0,20𝑓𝑐𝑑 = 0,28 𝑘𝑁/𝑐𝑚², isso significa que as bielas de 
compressão podem convergir para a seção do topo da sapata, sem perigo de 
esmagamento. Neste caso, pode-se considerar o braço de alavanca igual a altura 
útil, ou seja 𝑍 = 𝑑 = 30 𝑐𝑚. 
3. Cálculo das armaduras 
 
𝑓𝑦𝑑 = 
50
1,15
= 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝐴𝑠 = 
𝑁𝑑(𝐴 − 𝑎)
8𝑍𝑓𝑦𝑑
= 
420(160 − 25)
8𝑥30𝑥43,48
= 5,40 𝑐𝑚2/𝑚 
 
Armadura mínima: 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 
0,15
100
𝑥100𝑥35 = 5,25 𝑐𝑚2/𝑚 
Relação ℎ 𝑙⁄ = 
35
67,5⁄ = 0,52 ; 𝜆 = 
2− ℎ 𝑙⁄
1,5
 ≅ 1 
Como 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛𝑆𝑃 = 𝜆𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 5,25 𝑐𝑚
2/𝑚 é menor do que a armadura 
calculada, prevalece a armadura calculada. 
Adotando 𝜙10𝑐. 14 𝑐𝑚, tem-se 𝐴𝑠 = 5,61 𝑐𝑚
2/𝑚. 
Armadura de distribuição: 𝐴𝑠𝑑 = 
𝐴𝑠
5⁄ = 1,13 𝑐𝑚
2/𝑚 
Solução: 7𝜙6.3𝑐. 25 𝑐𝑚 (𝐴𝑠𝑑 = 1,25
𝑐𝑚2
𝑚
) 
Na figura B, encontram-se representadas as armaduras. 
 
P á g i n a | 319 
 
 
Figura 170: Armaduras da sapata 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
4. Verificação da abertura das fissuras 
 
Momento de serviço: 𝑀𝑘 = 
𝑁𝑘(𝐴−𝑎)
8
= 
300(160−25)
8
= 5062,5
𝑘𝑁𝑐𝑚
𝑚
= 50,63 𝑘𝑁𝑚/
𝑚 
𝐴𝑠 = 5,61 𝑐𝑚
2; 𝑏 = 100 𝑐𝑚; ℎ = 35 𝑐𝑚; 𝑑 = 30 𝑐𝑚; 𝜙 = 10 𝑚𝑚; 𝜀𝑐𝑛 =
20𝑥10−5; 𝑅 = 0,5 (𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çã𝑜). 
 
Empregando a formulação do CEB/90, obtém-se a abertura das fissuras 𝑤𝑘 =
0,29 𝑚𝑚, o que é satisfatório até a classe de agressividade III. 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ Os tipos de fundação existentes; 
✓ As distribuições de pressão no solo; 
✓ As sapatas rígidas sob paredes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
 
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complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Revise os tópicos abordados nesta aula em bibliografia presentes na 
Biblioteca Digital e material complementar. Veja mais sobre o tema de 
estádios de cálculo na ABNT NBR 6118 (2014), entender sobre isso é de 
extrema importância para um bom dimensionamento de uma peça de 
concreto armado, tornar uma estrutura segura, eficiente e econômica é 
tudo que precisamos. Estude sobre isso, vai lá! 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 13 
Exercícios 
 
 
 
 
 
Exercício Proposto 01 – Sapata corrida sob parede 
Projetar uma sapata corrida sob parede 
Dados: 
- Carga de serviço transmitida pela parede: 𝑁𝑘 = 500 𝑘𝑁/𝑚 
- Pressão admissível no solo: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 0,15 𝑀𝑃𝑎 = 0,015 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
- Espessura da parede: 𝑎 = 30 𝑐𝑚 
- Concreto da sapata: 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑝𝑎 
- Tensão de escoamento do aço: 𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 (𝑎ç𝑜 𝐶𝐴50) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fundações – Parte II 
Aula 14 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aulaestudaremos a segunda parte sobre as fundações. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ As sapatas rígidas isoladas; 
➢ As sapatas contínuas sob pilares; 
➢ As vigas de equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14 FUNDAÇÕES – PARTE II 
14.1 Sapatas rígidas isoladas 
O cálculo das sapatas rígidas segue um procedimento idêntico ao que foi 
apresentado para as sapatas corridas sob parede. A principal diferença é que, neste 
caso, as armaduras são calculadas para as duas direções. 
Na figura abaixo, indicam-se as dimensões da sapata sob um pilar. 
Figura 171: Sapata rígida sob pilar 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A área da base da sapata, 𝑆 = 𝐴𝐵, é determinada conforme a seção 9.3 
deste caderno. Se a carga é centrada, emprega-se a equação 𝐴𝐵 ≥ 
𝑁𝑘𝑊𝑘
𝜎𝑎𝑑𝑚
 . 
Conhecida a área S, deve-se fixar uma relação entre os lados A e B. Por 
exemplo, pode-se adotar: 
𝐴
𝑎
= 
𝐵
𝑏
 
 
onde a e b são as dimensões da seção do pilar. 
Com essa restrição, resulta: 
𝐴 = √
𝑎
𝑏
𝑆; 𝐵 = √
𝑏
𝑎
𝑆 
 
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Para a sapata ser considerada rígida, a altura h deve obedecer aos limites: 
ℎ ≥ 
𝐴−𝑎
4
 e ℎ ≥ 
𝐵−𝑏
4
 
Além disso, deve-se garantir que ℎ ≥ 0,6𝑙𝑏 + 5 𝑐𝑚 para permitir a ancoragem 
da armadura longitudinal do pilar. 
A altura ℎ0 na borda deve respeitar os limites 
ℎ
3⁄ e 20 cm. 
Quando o lado A da sapata for superior a 2B, recomenda-se colocar uma 
nervura central, como na figura abaixo. Nesse caso, o cálculo na direção do lado B é 
idêntico ao de uma sapata corrida sob parede. A nervura é calculada como uma viga 
em balanço submetida às reações do terreno. 
Figura 172: Sapata alongada 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A tensão 𝜎𝑑 aplicada no topo da sapata é dada por: 
𝜎𝑑 = 
𝑁𝑑
𝑎𝑏
 
 
onde 𝑁𝑑 é a força normal de cálculo do pilar. 
 
Se resultar 𝜎𝑑 ≤ 0,20𝑓𝑐𝑑, onde 𝑓𝑐𝑑 é a resistência à compressão de cálculo do 
concreto da sapata, as bielas podem convergir para a seção do topo da sapata, sem 
que ocorra esmagamento. Neste caso, o braço de alavanca é 𝑍 = 𝑑, onde d é a 
altura útil da sapata junto às faces do pilar. 
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Se 𝜎𝑑 > 0,20𝑓𝑐𝑑, as bielas devem convergir para uma seção situada a uma 
distância x do topo da sapata. A área dessa seção é mostrada na figura abaixo. 
Figura 173: Seção a uma distância x do topo da sapata 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A tensão normal nesse plano horizontal é: 
𝜎𝑙𝑑 = 
𝑁𝑑
(𝑎 + 4𝑥)(𝑏 + 4𝑥)
 
 
Introduzindo 𝜎𝑑 = 
𝑁𝑑
𝑎𝑏
 e fazendo 𝜎𝑙𝑑 ≤ 0,20𝑓𝑐𝑑, resulta: 
𝜎𝑙𝑑 = 
𝑎𝑏
(𝑎 + 4𝑥)(𝑏 + 4𝑥)
𝜎𝑑 ≤ 0,20𝑓𝑐𝑑 
 
Essa equação fornece a profundidade x da seção para onde as bielas devem 
convergir. O braço de alavanca é 𝑍 = 𝑑 − 𝑥. 
Na figura abaixo, indicam-se as duas seções transversais para cálculo dos 
momentos e dimensionamento das armaduras. 
 
 
 
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Figura 174: Seções de referência para cálculo das armaduras 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Se 𝑅1𝑑 é a resultante das reações do terreno que atuam à direita da seção 
que passa pelo eixo do pilar e é paralela à seção I e se 𝑥1 é a distância de 𝑅1𝑑 até o 
eixo do pilar, a área de aço necessária segundo a direção x é: 
𝐴𝑠𝑥 = 
𝑅1𝑑(𝑥1−0,25𝑎)
𝑍𝑓𝑦𝑑
, cm² 
 
Analogamente, a área de aço segundo a direção y é dada por: 
𝐴𝑠𝑦 = 
𝑅2𝑑(𝑦1−0,25𝑏)
𝑍𝑓𝑦𝑑
, cm² 
onde 𝑅2𝑑 é a resultante das reações do terreno que atuam acima da seção 
que passa pelo eixo do pilar e é paralela à seção II e 𝑦1 é a distância de 𝑅2𝑑 até o 
eixo do pilar. 
 
Nas equações abaixo, subentende-se que as seções I e II sejam tomadas no 
sentido das maiores pressões no terreno. Se a carga é centrada, as armaduras são 
calculadas com as expressões: 
𝐴𝑠𝑥 = 
𝑁𝑑(𝐴−𝑎)
8𝑍𝑓𝑦𝑑
, cm² 
𝐴𝑠𝑦 = 
𝑁𝑑(𝐵−𝑏)
8𝑍𝑓𝑦𝑑
, cm² 
 
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Na figura abaixo, indica-se o detalhamento das armaduras da sapata. 
Observa-se que a armadura do pilar, incluindo os estribos, é colocada até o fundo da 
sapata. A espera deixada sobre a sapata tem o comprimento de ancoragem 𝑙𝑏. 
Figura 175: Disposição das armaduras na sapata 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Nas sapatas apoiadas em rocha, ou em solo muito resistente, quando a 
pressão no terreno for 𝑝 > 5𝑀𝑃𝑎, deve-se dispor uma armadura horizontal contra o 
fendilhamento. Essa armadura, constituída por estribos horizontais, deve ser 
dimensionada para o maior valor das forças de fendilhamento 𝐹𝑠𝑑𝑥 e 𝐹𝑠𝑑𝑦, dadas por: 
𝐹𝑠𝑑𝑥 = 0,25 (1 − 
𝑎
ℎ𝑥
)𝑁𝑑 
𝐹𝑠𝑑𝑦 = 0,25 (1 − 
𝑎
ℎ𝑦
)𝑁𝑑 
 
onde 𝑁𝑑 é a força normal e cálculo do pilar, a e b são as dimensões da seção 
do pilar e: 
ℎ𝑥 ≤ {
𝐴
ℎ
 ; ℎ𝑦 ≤ {
𝐵
ℎ
 
 
Na figura abaixo, indicam-se as disposições da armadura contra o 
fendilhamento para uma sapata com ℎ𝑥 = ℎ𝑦. Observa-se que no caso das sapatas 
muito altas, a armadura de fendilhamento não vai até a base da sapata. 
 
 
 
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Figura 176: Armadura contra o fendilhamento em sapatas sobre rocha 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
14.2 Sapatas contínuas sob pilares 
Esse tipo de sapata deve estar sempre associado a uma viga central de 
grande rigidez, capaz de distribuir as cargas concentradas dos pilares. A sapata, 
propriamente dita, pode ser rígida ou flexível. Na figura abaixo, representa-se uma 
sapata contínua sob três pilares, possuindo uma viga central. O grande problema 
relativo ao cálculo de sapatas contínuas sob pilares consiste na determinação da 
distribuição das reações do solo no sentido longitudinal da sapata. Conforme foi 
mostrado na seção 9.3 deste caderno, esse problema pode ser resolvido 
considerando-se a sapata como uma viga sobre base elástica. Na prática, podem-se 
considerar, também, as distribuições uniformes e triangulares indicadas na figura. A 
distribuição uniforme fornece os maiores momentos fletores longitudinais e, portanto, 
é a favor da segurança para o cálculo da viga. Porém, se a viga é flexível e o solo é 
pouco deformável, deve-se adotar uma distribuição triangular para verificar a 
pressão no solo. 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 177: Sapata contínua sob três pilares 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Em geral, adota-se para a viga uma altura H entre 1 6⁄ e 
1
9⁄ do maior vão 
entre pilares. Com essa rigidez da viga, pode-se admitir que as reações do terreno 
sejam uniformes ou variem linearmente ao longo do comprimento da sapata. O 
cálculo da sapata na direção transversal é idêntico ao da sapata sob parede, 
apresentado anteriormente. Para a sapata ser considerada rígida, ela deve ter uma 
altura: 
ℎ ≥ 
(𝐴 − 𝑎)
4⁄ . 
 
Se a resultante R das cargas dos pilares passar pelo centro da sapata (carga 
centrada), a distribuição de pressões no solo é uniforme. Se essa resultante for 
excêntrica, a distribuição de pressões é trapezoidal, conforme indicado na figura 
abaixo. Neste último caso, a diferença de pressão sob os pilares poderá causar 
recalques diferenciais importantes, o que provocará o surgimento de esforços 
adicionais na superestrutura. Por isso, sempre que possível, deve-se evitar a sapata 
com carga excêntrica. 
 
 
 
 
 
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Figura 178: Reações do solo sob a sapata 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para centralizar a resultante das cargas dos pilares, pode-se projetar a sapata 
com balanços desiguais ou uma sapata trapezoidal, conforme está indicado na figura 
abaixo. Em ambos os casos, a resultante R das cargas dos pilares deve passar pelo 
centroide da sapata (ponto O da figura). 
Figura 179: Centralização da carga na sapata 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para a sapata sob dois pilares e com balanços desiguais, pode-se escrever: 
𝑅 = 𝑁1 + 𝑁2 
𝑅
1
2
= 𝑁1𝑙1 + 𝑁2(𝑙1 + 𝑙2) 
 
onde 𝑁1 e 𝑁2 são as cargas transmitidas pelos pilares. 
Observando que 𝑙 = 𝑙1 +𝑙2 + 𝑙3 e introduzindo: 
𝑅 = 𝑁1 + 𝑁2 em: 
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𝑅
1
2
= 𝑁1𝑙1 + 𝑁2(𝑙1 + 𝑙2), obtém-se: 
𝑙1 = 𝑙3 + (
𝑁1 − 𝑁2
𝑁1 + 𝑁2
) 𝑙2 
 
Essa equação permite calcular o balanço 𝑙1, a partir de um valor escolhido 
para o balanço 𝑙3. 
14.3 Vigas de equilíbrio 
Conforme foi salientado na seção 9.2, quando uma sapata estiver na divisa do 
terreno, a carga transmitida pelo pilar será excêntrica em relação ao centro da 
sapata. As maiores pressões no solo ocorrem nas proximidades do terreno vizinho, 
onde há a possibilidade de serem realizadas escavações futuras. Nesses casos, é 
sempre recomendável projetar uma viga de equilíbrio para deslocar a carga para o 
centro da sapata. Dessa forma. Pode-se considerar que as pressões no solo se 
distribuam uniformemente sob a sapata da divisa. Na figura abaixo, indica-se a 
geometria da viga de equilíbrio e o carregamento atuante. A carga de serviço do pilar 
situado na divisa é 𝑁1. No pilar interno, ao qual a viga de equilíbrio está ligada, a 
carga de serviço é 𝑁2. A pressão no solo sob a sapata da divisa é igual a p. Na 
figura 160, representa-se o modelo de cálculo da viga de equilíbrio. Para levar em 
conta o peso próprio da sapata e da viga, a carga do pilar da divisa é acrescida em 
10%. Aplicando a equação de equilíbrio de forças, tem-se: 
𝑝𝐴𝐵 + 𝑅 − 1,1𝑁1 = 0 
 
A equação de equilíbrio de momentos em relação ao apoio interno é escrita 
na forma: 
𝑝𝐴𝐵 (𝑙 + 
𝐵
2
) − 1,1𝑁1 (𝑙 + 𝐵 − 
𝑏
2
) = 0 
 
Da equação acima, obtém-se: 
 
𝑝 = 
1,1𝑁1(2𝑙 + 2𝐵 − 𝑏)
𝐴𝐵(2𝑙 + 𝐵)
 
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Figura 180: Sapata de divisa com viga de equilíbrio 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Figura 181: Modelo de cálculo da viga de equilíbrio 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Fazendo 𝑝 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚, podem-se determinar as dimensões A e B da sapata da 
divisa. Entretanto, como o vão l não é conhecido, o problema deve ser resolvido por 
tentativas. Para isto, escolhe-se um valor para a dimensão B, com o qual fica 
definido o vão l. Escrevendo 𝑝 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚, obtém-se a dimensão A e verifica-se se esse 
valor é satisfatório. Caso isto não ocorra, deve-se alterar o valor de B e repetir os 
cálculos, até que as dimensões sejam compatíveis com o espaço disponível para a 
localização da sapata. 
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Substituindo: 
𝑝 = 
1,1𝑁1(2𝑙+2𝐵−𝑏)
𝐴𝐵(2𝑙+𝐵)
 em: 
𝑝𝐴𝐵 + 𝑅 − 1,1𝑁1 = 0, resulta: 
𝑅 = − 
1,1𝑁1(𝐵 − 𝑏)
(2𝑙 + 𝐵)
 
 
que é a reação no apoio interno. 
 
Observa-se que essa reação é negativa, ou seja, dirigida para baixo. Dessa 
forma, haverá um alívio de carga na sapata interna. Por prudência, considera-se 
apenas um alívio de 𝑅 2⁄ , ou seja, a sapata interna é projetada para a carga 𝑁2 −
0,5𝑅. Para o dimensionamento da viga, considera-se a carga 𝑁1 do pilar, sem a 
inclusão do peso da sapata. Então, a reação do terreno 𝑝′ = 𝑝𝐴, por unidade de 
comprimento, é dada por: 
𝑝′ = 
𝑁1(2𝑙 + 2𝐵 − 𝑏)
𝐵(2𝑙 + 𝐵)
 
 
Assim, a sapata de extremidade é dimensionada de modo idêntico a uma 
sapata corrida sob parede. A armadura principal, colocada na direção do lado A, é 
calculada para a carga 𝑁𝑑 = 1,4𝑝′ com o emprego da equação: 
𝐴𝑠 = 
𝑁𝑑(𝐴−𝑎)
8𝑍𝑓𝑦𝑑
 ≅ 
𝑁𝑑
0,85𝑑
(𝐴−𝑎)
8𝑓𝑦𝑑
. 
 
Para o cálculo dos esforços na viga de equilíbrio, considera-se a carga 𝑁1 do 
pilar distribuída uniformemente ao longo do lado b, como indicado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 182: Carregamento na viga 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A reação 𝑅𝑂 no apoio interno é dada por: 
𝑅𝑂 = 
𝑁1(𝐵 − 𝑏)
(2𝑙 + 𝐵)
 
 
com o sentido para baixo, como indicado na figura acima. 
 
O esforço cortante em uma seção situada a uma distância x da face da sapata 
é: 
𝑉(𝑥) = 𝑅𝑂 − 𝑝′𝑥 
 
e o seu máximo, em valor absoluto, ocorre na face interna do pilar, quando 
𝑥 = 𝐵 − 𝑏. O esforço cortante nessa seção é dado por: 
𝑉𝑚𝑎𝑥 = 𝑅𝑂 − 𝑝
′(𝐵 − 𝑏) = −(𝑁1 − 𝑝
′𝑏) 
 
O momento fletor na seção situada a uma distância x da face da sapata é 
dado por 
𝑀(𝑥) = −𝑅𝑂(𝑙 − 𝑥) + 𝑝′
𝑥2
2
 
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e o seu máximo, em valor absoluto, ocorre em 𝑥 = 
𝑅𝑂
𝑝′⁄
. 
Substituindo 𝑥 = 
𝑅𝑂
𝑝′⁄
 em: 
𝑀(𝑥) = −𝑅𝑂(𝑙 − 𝑥) + 𝑝′
𝑥2
2
, obtém-se: 
𝑀𝑚𝑎𝑥 = −𝑅𝑂 (𝑙 + 0,5
𝑅𝑂
𝑝′
) 
 
Na figura abaixo, encontram-se representados os diagramas de momentos 
fletores e de esforços cortantes na viga de equilíbrio. 
Figura 133: Esforços solicitantes da viga 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Exercício resolvido 01 – Sapata isolada 
Projetar uma sapata isolada. 
Dados: 
- Carga de serviço do pilar: 𝑁𝑘 = 300 𝑘𝑁/𝑚 
- Pressão admissível no solo: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 0,20 𝑀𝑃𝑎 =
0,020 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
- Seção do pilar: 𝑎 = 30 𝑐𝑚 ; 𝑏 = 20 𝑐𝑚 ; 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝜙 = 10 𝑚𝑚 
- Concreto da sapata: 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑝𝑎 
- Tensão de escoamento do aço: 𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 (𝑎ç𝑜 𝐶𝐴50) 
 
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1. Projeto geométrico 
 
Estimando o peso próprio da sapata como 5% do valor da carga aplicada, a 
área S da base é dada por: 
𝑆 = 
1,05𝑁𝑘
𝜎𝑎𝑑𝑚
= 
1,05𝑥300
0,020
= 15750 𝑐𝑚² 
𝐴 = √
𝑎
𝑏
𝑆 = √
30
20
𝑥15750 = 153,7 𝑐𝑚 
𝐵 = √
𝑎
𝑏
𝑆 = √
20
30
𝑥15750 = 102,5 𝑐𝑚 
 
Valores adotados: A = 160 cm; B = 110 cm 
Altura da sapata: ℎ ≥ 
𝐴−𝑎
4
= 
160−30
4
= 32,5 𝑐𝑚 ; ℎ ≥ 
𝐵−𝑏
4
= 
110−20
4
= 22,5 𝑐𝑚 
Ancoragem das barras do pilar 𝑙𝑏 = 44 𝑐𝑚 
ℎ ≥ 0,6𝑙𝑏 + 5 = 31,4 𝑐𝑚 
Altura adotada: h = 35 cm 
ℎ0 ≥ {
ℎ
3⁄ ≅ 12 𝑐𝑚
20 𝑐𝑚
→ 20 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 183: Dimensões adotas 
 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Após calcular o peso da sapata com as dimensões adotadas, verifica-se que a 
pressão no solo é 𝑝 ≅ 0,18 𝑀𝑃𝑎 < 𝜎𝑎𝑑𝑚. 
2. Verificação das tensões no concreto 
 
𝑁𝑑 = 1,4𝑁𝑘 = 1,4𝑥300 = 420 𝑘𝑁 
𝜎𝑑 = 
𝑁𝑑
𝑎𝑏
= 
420
30𝑥20
= 0,7 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝑓𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
1,4
= 
20
1,4
= 14 𝑀𝑃𝑎 = 1,4 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
Como 𝜎𝑑 > 0,2𝑓𝑐𝑑 = 0,28 𝑘𝑁/𝑐𝑚², significa que as bielas de compressão 
devem convergir para um plano horizontal situado abaixo do topo da sapata. A 
profundidade X desse plano é obtida resolvendo-se a equação 
𝜎𝑙𝑑 = 
𝑎𝑏
(𝑎+4𝑥)(𝑏+4𝑥)
𝜎𝑑 ≤ 0,20𝑓𝑐𝑑. Feito isto, resulta x = 3,5 cm. 
Logo, o braço de alavanca é: 
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𝑍 = 𝑑 − 𝑥 = 30 − 3,5 = 26,5 𝑐𝑚 
 
Observa-se que esse valor é bem próximo de 0,85d = 25,5 cm. 
 
3. Cálculo das armaduras 
 
𝑓𝑦𝑑 = 
50
1,15
= 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝐴𝑠𝑥 = 
𝑁𝑑(𝐴 − 𝑎)
8𝑍𝑓𝑦𝑑
 ; 𝐴𝑠𝑦 = 
𝑁𝑑(𝐵 − 𝑏)
8𝑍𝑓𝑦𝑑
 
𝐴𝑠𝑥 = 
𝑁𝑑(𝐴 − 𝑎)
8𝑍𝑓𝑦𝑑
= 
420(160 − 30)
8𝑥26,5𝑥43,48
= 5,92 𝑐𝑚² 
𝐴𝑠𝑦 = 
𝑁𝑑(𝐵 − 𝑏)
8𝑍𝑓𝑦𝑑
= 
420(110 − 20)
8𝑥26,5𝑥43,48
= 4,10 𝑐𝑚² 
 
Armaduras mínimas. 
Na direção X. 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 
0,15
100
𝑥110𝑥35 = 5,78 𝑐𝑚² 
ℎ
𝑙⁄ = 
35
65⁄ = 0,54 ; 𝜆 =
2 − ℎ 𝑙⁄
1,5
= 0,97 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛𝑆𝑃 = 0,97𝑥5,78 = 5,61 𝑐𝑚² 
 
Como 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛𝑆𝑃 < 𝐴𝑠𝑥 = 5,92 𝑐𝑚², prevalece 𝐴𝑠𝑥 = 5,92 𝑐𝑚². 
Na direção Y. 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 
0,15
100
𝑥160𝑥35 = 8,40 𝑐𝑚² 
ℎ
𝑙⁄ = 
35
45⁄ = 0,78 ; 𝜆 =
2 − ℎ 𝑙⁄
1,5
= 0,81 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛𝑆𝑃 = 0,81𝑥8,40 = 6,80 𝑐𝑚² 
Como 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛𝑆𝑃 > 𝐴𝑠𝑦 = 4,10 𝑐𝑚², deve-se adotar 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛𝑆𝑃 = 6,80 𝑐𝑚². 
Solução: 
Direção X: 8∅10 (𝐴𝑠𝑒 = 6,28 𝑐𝑚
2) 
Direção y: 14∅8 (𝐴𝑠𝑒 = 7,04 𝑐𝑚
2) 
Na figura B, encontram-se representadas as armaduras. 
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4. Abertura de fissuras 
 
Direção X: 
𝑀𝑘 = 
𝑁𝑘(𝐴 − 𝑎)
8
= 
300(160 − 30)
8
= 48,75 𝑘𝑁𝑚 
𝐴𝑠 = 6,28 𝑐𝑚
2; 𝑏 = 110 𝑐𝑚 ; ℎ = 35 𝑐𝑚 ; 𝑑 = 30 𝑐𝑚 ; ∅ = 10 𝑚𝑚 ; 𝜀𝑐𝑛 = 20𝑥10
−5 ; 𝑅
= 0,5 (𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çã𝑜); 𝑊𝑘 = 0,16 𝑚𝑚 (𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑜, 30 𝑚𝑚 → 𝑜𝑘!) 
 
Direção Y: 
𝑀𝑘 = 
𝑁𝑘(𝐵 − 𝑏)
8
= 
300(110 − 20)
8
= 33,75𝑘𝑁𝑚 
𝐴𝑠 = 7,04 𝑐𝑚
2; 𝑏 = 160 𝑐𝑚 ; ℎ = 35 𝑐𝑚 ; 𝑑 = 30 𝑐𝑚 ; ∅ = 8 𝑚𝑚 ; 𝜀𝑐𝑛 = 20𝑥10
−5 ; 𝑅
= 0,5 (𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çã𝑜); 𝑊𝑘 = 0,02 𝑚𝑚 (𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑜, 30 𝑚𝑚 → 𝑜𝑘!) 
Figura 184: Armaduras da sapata isolada 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ As sapatas rígidas isoladas; 
✓ As contínuas sob pilares; 
✓ As vigas de equilíbrio. 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este artigo de comparação entre pilares de 
concreto e pilares de aço: 
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2006/inic/inic/07/INIC00
0071ok.pdf. 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 14 
Exercícios 
 
 
 
 
 
 
Exercício proposto 01 – Sapata isolada 
Projetar uma sapata isolada. 
Dados: 
- Carga de serviço do pilar: 𝑁𝑘 = 500 𝑘𝑁/𝑚 
- Pressão admissível no solo: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 0,15 𝑀𝑃𝑎 = 0,015 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
- Seção do pilar: 𝑎 = 40 𝑐𝑚 ; 𝑏 = 20 𝑐𝑚 ; 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝜙 = 12,5 𝑚𝑚 
- Concreto da sapata: 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑝𝑎 
- Tensão de escoamento do aço: 𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 (𝑎ç𝑜 𝐶𝐴50) 
 
 
 
 
 
 
 
Fundações – Parte III 
Aula 15 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula estudaremos a terceira parte sobre as fundações. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Os blocos rígidos sob estacas; 
➢ Os blocos de concreto massa; 
➢ As sapatas e blocos flexíveis; 
➢ As vigas e placas sobre base elástica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15 FUNDAÇÕES – PARTE III 
15.1 Blocos rígidos sob estacas 
O dimensionamento dos blocos rígidos sobre estacas é feito através do 
modelo de bielas e tirantes. Entretanto, não há um consenso quanto à altura mínima 
necessária para garantir esse comportamento, muito menos em relação aos demais 
parâmetros geométricos do bloco. 
A altura mínima é especificada apenas para que as deformações do bloco 
possam ser desprezadas, quando da determinação das cargas transmitidas às 
estacas. Se o bloco for rígido, pode-se admitir uma distribuição plana das cargas nas 
estacas, como é feito a seguir. A necessidade ou não de uma altura maior do que a 
mínima vai depender das tensões de compressão no concreto junto às estacas. 
A norma espanhola EHE, por exemplo, classifica como rígidos os blocos cuja 
altura h é maior ou igual a 0,5𝑙𝑂,𝑚𝑎𝑥, onde 𝑙𝑂,𝑚𝑎𝑥 é a distância do eixo da estaca mais 
afastada até a face do pilar. Essa classificação é coerente com aquela adotada para 
as sapatas, bem como com o procedimento de cálculo das lajes à punção, onde se 
admite a ocorrência de fissuras inclinadas com um ângulo 𝜃 = 26,6°, ou seja, 𝑡𝑔𝜃 =
 1 2⁄ (ver aula 8 deste caderno). 
Entretanto, como se demonstra mais à frente, para garantir que as bielas de 
compressão tenham uma inclinação mínima 𝑡𝑔𝜃 ≥ 1 2⁄ , é necessário adotar a 
relação 𝑑 ≥ 𝑟 1,7⁄ , onde d é a altura útil do bloco e r é a distância da estaca mais 
afastada até um ponto O situado dentro do pilar, de onde se supõe que a biela parte 
em direção à estaca. Admite-se que o ponto O possua coordenadas 𝑥 = 0,25𝑎 e 𝑦 =
0,25𝑏 em relação ao sistema de eixos 𝑥 − 𝑦 com origem no eixo do pilar, sendo a e b 
as dimensões do pilar segundo as direções x e y, respectivamente. 
Na figura abaixo, são indicadas as regras práticas para a determinação da 
geometria da geometria dos blocos, com a modificação sugerida para a altura útil d. 
Deve-se salientar que a adoção de valores maiores para a altura do bloco é sempre 
favorável, tanto na redução das armaduras, quanto na segurança das bielas de 
compressão, como se verifica pelo desenvolvimento apresentado a seguir. 
 
 
P á g i n a | 348 
 
 
Figura 185: Geometria dos blocos rígidos. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para determinar a carga em cada estaca, pode-se admitir que elas funcionem 
como birrotuladas, o que consiste em desprezar os esforços de flexão provocados 
pelo engastamento das estacas no bloco e no terreno. Essa hipótese é válida, desde 
que as estacas sejam flexíveis, o que ocorre na maioria das vezes. Nesses casos, 
os esforços normais são determinantes para o dimensionamento da estaca. 
Nos casos de estaqueamentos isostáticos, a carga em cada estaca é obtida 
pela simples aplicação das equações de equilíbrio. Se o problema for hiperestático, 
admite-se que o bloco seja infinitamente rígido e aplica-se a equação de 
compatibilidade de deslocamentos. Nesse caso, o problema é análogo ao da 
determinação das tensões normais em uma seção submetida à flexão composta. 
P á g i n a | 349 
 
 
Na figura abaixo, encontra-se representado um bloco sobre várias estacas, 
submetido à força normal 𝑁𝑑 com as excentricidades 𝑒𝑥 e 𝑒𝑦 em relação ao sistema 
de eixos que passa pelo centroide c do estaqueamento. 
Figura 186: Determinação da carga em cada estaca. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A carga 𝐹𝑑𝑖 em uma estaca genérica situada na posição (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) é dada por: 
𝐹𝑑𝑖 = 𝑁𝑑 (
1
𝑛
+ 
𝑒𝑥
𝐼𝑥
𝑥𝑖 + 
𝑒𝑦
𝐼𝑦
𝑦𝑖) 
 
onde n é o número de estacas, 𝐼𝑥 = ∑ 𝑥
2𝑗𝑛𝑗=1 , 𝐼𝑦 = ∑ 𝑦
2𝑗𝑛𝑗=1 . 
 
Havendo, também, uma força horizontal 𝐻𝑑, basta inclinar algumas estacas 
de um ângulo 𝛼, como indicado na figura acima. A componente vertical 𝐹𝑑 da carga 
na estaca é calculada com o emprego da equação 
𝐹𝑑𝑖 = 𝑁𝑑 (
1
𝑛
+ 
𝑒𝑥
𝐼𝑥
𝑥𝑖 + 
𝑒𝑦
𝐼𝑦
𝑦𝑖). Portanto, a força normal na estaca é 𝑁𝑑𝑒 = 
𝐹𝑑
𝑐𝑜𝑠𝛼⁄ . A 
componente horizontal da carga é 𝐹𝑑𝑡𝑔𝛼. Logo, pode-se projetar um determinado 
número de estacas inclinadas para satisfazer a equação de equilíbrio. 
∑𝐹𝑑𝑖𝑡𝑔𝛼𝑖 = 𝐻𝑑 
 
Quando a força horizontal atuar em várias direções, é necessário determinar 
um arranjo para as estacas inclinadas capaz de garantir o equilíbrio. Se as forças 
horizontais são devidas exclusivamente à ação do vento e não ultrapassam 3% das 
cargas verticais, não é necessário projetarestacas inclinadas. 
P á g i n a | 350 
 
 
Conforme foi visto anteriormente, para garantir a segurança contra o 
esmagamento das bielas de concreto junto ao topo do bloco, as armaduras do banzo 
tracionado devem ser calculadas considerando-se o braço de alavanca 
𝑍 = 𝑑 − 𝑥 ≅ 0,85𝑑, onde d é a altura útil do bloco. Por outro lado, é necessário 
verificar se não há perigo de esmagamento do concreto junto às estacas, na base do 
bloco. Para isto, considera-se que as tensões normais 𝜎𝑑𝑒 no topo da estaca se 
propaguem até um plano horizontal no nível da armadura, conforme indicado na 
figura abaixo. 
Figura 187: Verificação das tensões na base do bloco 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A tensão de cálculo na estaca é dada por: 
𝜎𝑑𝑒 = 
𝐹𝑑
𝐴𝑒
= 
1,4𝐹𝑘
𝐴𝑒
= 1,4𝜎𝑘𝑒 
 
onde 𝐴𝑒 é a área da seção da estaca e 𝜎𝑘𝑒 é a tensão de compressão na 
estaca para as cargas de serviço. 
 
A tensão 𝜎1𝑑 no nível das armaduras é obtida em função da área ampliada da 
seção da estaca, 𝐴𝑎𝑚𝑝 = 𝑘𝐴𝑒, onde 𝑘 > 1 depende da distância d’. Para estacas de 
seção circular, tem-se 𝑘 = (
∅𝑎
∅𝑒
⁄ )2, onde ∅𝑎 = ∅𝑒 + 2𝑑′. Logo, 
P á g i n a | 351 
 
 
𝑘 = (1 + 
2𝑑′
∅𝑒
) ² 
 
A expressão acima pode ser usada para estacas de seção quadrada, 
bastando considerar ∅𝑒 como sendo o lado da seção da estaca. 
Assim, a tensão 𝜎1𝑑 = 
𝐹𝑑
𝐴𝑎𝑚𝑝
⁄ pode ser escrita na forma: 
𝜎1𝑑 = (
1,4
𝑘
) 𝜎𝑘𝑒 
 
Garantindo o equilíbrio entre a força 𝐹𝑐 na biela e a reação 𝐹𝑑 da estaca, 
resulta: 
𝜎𝑐 = 
𝜎1𝑑
𝑠𝑒𝑛2𝜃
 
 
onde 𝜃 é o ângulo de inclinação da biela. 
 
Para não haver o esmagamento da biela, deve-se limitar 𝜎𝑐 ≤ 𝑓𝑐𝑑𝑟, onde 𝑓𝑐𝑑𝑟 
é a resistência à compressão de cálculo do concreto do bloco, reduzida para levar 
em conta a possibilidade de fissuração do concreto na região de ancoragem da 
armadura do banzo tracionado. A situação é semelhante àquela verificada nos 
apoios de extremidade das vigas-parede (ver figura 67). A resistência reduzida é 
𝑓𝑐𝑑𝑟 = 0,60𝛼𝑣𝑓𝑐𝑑, como na equação 𝑓𝑐𝑑𝑟 = 0,60 (1 − 
𝑓𝑐𝑘
250
) 𝑓𝑐𝑑 = 0,60𝛼𝑣𝑓𝑐𝑑. 
Lembrando que 𝑓𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
1,4⁄ e considerando as expressões: 
𝜎1𝑑 = (
1,4
𝑘
) 𝜎𝑘𝑒 e: 
𝜎𝑐 = 
𝜎1𝑑
𝑠𝑒𝑛2𝜃
, pode-se escrever: 
𝜎𝑘𝑒 ≤ 0,30𝛼𝑣𝑘𝑠𝑒𝑛
2𝜃𝑓𝑐𝑘 
 
onde o coeficiente k é dado na equação: 
𝑘 = (1 + 
2𝑑′
∅𝑒
) ². 
Logo, para não ocorrer o esmagamento das bielas na base do bloco, deve-se 
limitar a tensão de serviço nas estacas conforme a expressão 
𝜎𝑘𝑒 ≤ 0,30𝛼𝑣𝑘𝑠𝑒𝑛
2𝜃𝑓𝑐𝑘. Caso essa equação não seja atendida, pode-se aumentar a 
P á g i n a | 352 
 
 
altura do bloco, o que faz com que o ângulo 𝜃 também aumente. Observa-se que a 
altura h do bloco, como definida na figura abaixo, serve apenas para o pré-
dimensionamento. A altura definitiva vai depender da verificação da equação 
𝜎𝑘𝑒 ≤ 0,30𝛼𝑣𝑘𝑠𝑒𝑛
2𝜃𝑓𝑐𝑘. 
Na figura abaixo, indica-se o modelo de bielas e tirantes para o caso de um 
bloco sobre duas estacas. Nessa figura, admita-se que o pilar não transmite 
momentos fletores ao bloco. Assim, a força em cada estaca é 0,5𝑁𝑑, sendo 𝑁𝑑 a 
carga de cálculo do pilar. 
Figura 188: Modelo de bielas e tirantes para bloco sobre duas estacas 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para não haver o esmagamento das bielas de compressão no topo do bloco, 
deve-se considerar a altura 𝑍 = 0,85𝑑. 
O ângulo de inclinação das bielas é dado por: 
𝑡𝑔𝜃 = 
𝑍
𝑙 − 0,25𝑎
 
 
como se deduz da figura acima. 
Considerando 𝑍 = 0,85𝑑, substituindo 𝑟 = 𝑙 − 0,25𝑎 e impondo a restrição 
𝑡𝑔𝜃 ≥ 1 2⁄ , resulta 𝑑 ≥ 
𝑟
1,7⁄ , como foi sugerido na figura 134. 
P á g i n a | 353 
 
 
Para não haver esmagamento das bielas junto às estacas, deve-se verificar a 
equação 𝜎𝑘𝑒 ≤ 0,30𝛼𝑣𝑘𝑠𝑒𝑛
2𝜃𝑓𝑐𝑘, onde 𝜎𝑘𝑒 =
0,5𝑁𝑑
(1,4𝐴𝑒)
⁄ é a tensão de serviço nas 
estacas. O peso próprio do bloco pode ser dividido pelas duas estacas e incluído no 
cálculo da tensão 𝜎𝑘𝑒. 
Do modelo da figura acima, pode-se escrever: 
𝑅𝑠𝑑𝑍 = 0,5𝑁𝑑(𝑙 − 0,25𝑎) 
 
onde a é a largura da seção do pilar e l é a distância do eixo da estaca até o 
eixo do pilar. 
 
Da equação acima, obtém-se a força de tração no tirante: 
𝑅𝑠𝑑 = 
0,5𝑁𝑑(𝑙 − 0,25𝑎)
𝑍
 
 
Fazendo 𝑅𝑠𝑑 = 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑, resulta a área de aço: 
𝐴𝑠 = 
0,5𝑁𝑑(𝑙 − 0,25𝑎)
𝑍𝑓𝑦𝑑
 
 
Essa equação pode ser escrita como: 
𝐴𝑠 = 
𝑀𝑑
𝑍𝑓𝑦𝑑
 
 
onde 𝑀𝑑 é o momento fletor em uma seção situada a 0,25𝑎 da face do pilar, 
provocado pela reação da estaca. 
 
Se as estacas estiverem desigualmente carregadas, devido à excentricidade 
da força 𝑁𝑑, deve-se considerar aquela que provoca o maior valor de 𝑀𝑑. 
O modelo pode ser utilizado para o cálculo da armadura em bloco apoiados 
sobre várias estacas. Para isto, basta calcular a carga em cada estaca e determinar 
o momento fletor máximo na seção situada a 0,25𝑎 da face do pilar. Esse momento 
é calculado considerando-se as cargas de todas as estacas situadas do mesmo lado 
da seção analisada. Se algumas estacas estiverem tracionadas, surgirá um 
momento negativo, o qual exigirá armadura na face superior do bloco. Além disso, 
P á g i n a | 354 
 
 
deve-se garantir que as barras das estacas sejam ancoradas no topo do bloco para 
suspender essas reações negativas. 
Na figura abaixo, indicam-se as seções para o cálculo das armaduras em 
duas direções ortogonais de um bloco sobre várias estacas. 
Figura 189: Seções de referência para o cálculo das armaduras 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
As armaduras da direção x são calculadas considerando-se o momento fletor 
na seção I, provocado pelas reações de todas as estacas situadas à direita dessa 
seção. Se o conjunto de estacas do lado esquerdo produzir um momento maior, 
deve-se considerar a seção I situada a 0,25𝑎 a partir da face do pilar situada nesse 
lado. As armaduras da direção y são calculadas para o momento fletor na seção II, 
provocado pelas reações das estacas acima dessa seção (admitindo-se que esse é 
o maior momento nessa direção). 
A armadura principal inferior deve ser prolongada, sem redução de seção, ao 
longo de todo o comprimento do bloco. Essa armadura deve ser ancorada, sobre as 
estacas, com ganchos de extremidade ou por meio de barras transversais soldadas, 
a partir de planos verticais que passem pelas faces das estacas mais afastadas do 
pilar. Uma vez que essa armadura se encontra comprimida na direção vertical, o 
esforço a ser ancorado pode ser considerado igual a 80% do esforço máximo 𝑅𝑠𝑑. 
A armadura principal deve ser concentrada sobre as estacas, conforme 
indicado na figura abaixo. Caso resulte um espaçamento entre barras muito 
pequeno, é melhor dispor a armadura em várias camadas do que deixar uma parte 
das barras fora das estacas. 
 
P á g i n a | 355 
 
 
Figura 190: Disposição da armadura principal do bloco 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Em todos os casos indicados na figura acima, as áreas da armadura principal 
podem ser obtidas com o mesmo procedimento indicado para o bloco sobre duas 
estacas. Seja, por exemplo, um bloco sobre três estacas colocadas nos vértices de 
um triângulo equilátero, com o pilar situado no centroide do triângulo. A distância do 
centro de cada estaca até o eixo do pilar é 𝑙 √3 3
⁄ , conforme indicado na figura 
abaixo. 
Figura 191: Força na armadura – bloco sobre três estacas. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
P á g i n a | 356 
 
 
Se 𝐹𝑑 é a reação da estaca mais solicitada, a força 𝑇𝑑 no tirante inclinado é 
dada por: 
𝑇𝑑 = 
𝐹𝑑
𝑍
(
𝑙√3
3
− 0,25𝑎) 
 
por analogia com a equação: 
𝑅𝑠𝑑 = 
0,5𝑁𝑑(𝑙 − 0,25𝑎)
𝑍
. 
 
Decompondo a força 𝑇𝑑 nas direções das armaduras, tem-se: 
𝑇𝑑 = 2𝑅𝑠𝑑𝑐𝑜𝑠30° → 𝑅𝑠𝑑 = 
𝑇𝑑
√3
⁄ 
 
A área de aço é obtida da relação 𝐴𝑠 = 
𝑅𝑠𝑑
𝑓𝑦𝑑
⁄ , de onde resulta: 
𝐴𝑠 = 
𝐹𝑑
𝑍𝑓𝑦𝑑√3(
𝑙√3
3
− 0,25𝑎) 
 
Analogamente, para o bloco sobre quatro estacas indicado na figura 139, as 
áreas das armaduras são dadas por: 
𝐴𝑠𝑥 = 
𝐹𝑑
𝑍𝑓𝑦𝑑
(0,5𝑙𝑥 − 0,25𝑎) 
𝐴𝑠𝑥 = 
𝐹𝑑
𝑍𝑓𝑦𝑑
(0,5𝑙𝑦 − 0,25𝑏) 
 
onde 𝐹𝑑 é a reação da estaca mais solicitada e a e b são as dimensões da 
seção do pilar nas direções dos vãos 𝑙𝑥 e 𝑙𝑦, respectivamente. 
 
No caso dos blocos sobre duas estacas, deve-se ainda dispor uma armadura 
secundária, para prever possíveis excentricidades construtivas das estacas ou um 
momento fletor transversal ao bloco transmitido pelo pilar. Essa armadura adicional é 
constituída de: 
- uma armadura longitudinal superior estendida ao longo de todo o 
comprimento do bloco, com área mínima igual a 1 10⁄ da área da armadura principal 
inferior; 
P á g i n a | 357 
 
 
- estribos horizontais e verticais dispostos em malha nas faces laterais do 
bloco. 
 
Os estribos verticais devem enlaçar a armadura longitudinal superior e 
inferior. Os estribos horizontais devem enlaçar a armadura vertical. As barras dessa 
malha devem ter uma seção transversal com área mínima igual a 𝐴𝑠 = 0,002𝑏𝑆, 
onde b é a largura do bloco e S é o espaçamento dos estribos. Se a largura b do 
bloco for maior que a metade de sua altura h, deve-se adotar 𝑏 = ℎ 2⁄ para o cálculo 
dos estribos. Logo, se 𝐴𝑠 é a área da seção de cada barra dessa malha, o 
espaçamento das barras é calculado como 𝑆 = 
500𝐴𝑠
𝑏
⁄ . 
Na figura abaixo, indica-se o detalhamento das armaduras de um bloco sobre 
duas estacas. 
Figura 192: Armaduras de bloco sobre duas estacas 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Em geral, a armadura assim determinada é suficiente para resistir aos 
esforços de fendilhamento dos blocos sobre duas estacas. Entretanto, para blocos 
submetidos a cargas muito elevadas, pode ser necessário verificar o fendilhamento. 
Os esforços de fendilhamento surgem devido à expansão das bielas, as quais 
acompanham as trajetórias das tensões principais de compressão. Na direção 
normal às trajetórias das bielas de tensões principais de tração, como ilustrado na 
figura abaixo. Esses esforços de fendilhamento podem produzir fissuras nas faces 
do bloco, o que exige a colocação de uma armadura de pele. 
P á g i n a | 358 
 
 
De acordo com o ACI, o esforço de fendilhamento pode ser obtido a partir do 
modelo mostrado na figura abaixo, onde se admite um encurvamento das bielas 
numa inclinação 𝑡𝑔𝛽 = 1 2⁄ em relação ao eixo da resultante de compressão 𝐹𝑐. 
Do equilíbrio do nó sobre a estaca, tem-se que 𝐹𝑐 = 
𝐹𝑑𝑚
𝑠𝑒𝑛𝜃⁄ , onde 𝜃 é o 
ângulo de inclinação da biela principal e 𝐹𝑑𝑚 é a carga na estaca mais solicitada. 
Figura 193: Tensões de tração normais às bielas e esforço de fendilhamento. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
As forças 𝐹′𝑐, considerando o encurvamento das bielas, são dadas por: 
𝐹′𝑐 = 
𝐹𝑐
2𝑐𝑜𝑠𝛽
 
 
Do equilíbrio na direção transversal, obtém-se a força de fendilhamento: 
𝑇𝑑 = 𝐹′𝑐𝑠𝑒𝑛𝛽 
 
Substituindo: 
𝐹′𝑐 = 
𝐹𝑐
2𝑐𝑜𝑠𝛽
 na equação: 
𝑇𝑑 = 𝐹′𝑐𝑠𝑒𝑛𝛽 e lembrando que 𝑡𝑔𝛽 = 
1
2⁄ , resulta: 
𝑇𝑑 = 0,25𝐹𝑐 
Substituindo 𝐹𝑐 = 
𝐹𝑑𝑚
𝑠𝑒𝑛𝜃⁄ , tem-se 
P á g i n a | 359 
 
 
𝑇𝑑 = 
0,25𝐹𝑑𝑚
𝑠𝑒𝑛𝜃
 
 
Decompondo o esforço de fendilhamento nas direções vertical e horizontal, 
obtêm-se: 
𝑇𝑑𝑥 = 𝑇𝑑𝑠𝑒𝑛𝜃; 𝑇𝑑𝑦 = 𝑇𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
Substituindo a expressão de 𝑇𝑑, resulta: 
𝑇𝑑𝑥 = 0,25𝐹𝑑𝑚; 𝑇𝑑𝑦 = 0,25𝐹𝑑𝑚𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 
 
As armaduras nas faces verticais do bloco devem ter as áreas mínimas 
𝐴𝑠𝑥 = 
𝑇𝑑𝑥
𝑓𝑦𝑑
⁄ cm² e 𝐴𝑠𝑦 = 
𝑇𝑑𝑦
𝑓𝑦𝑑
⁄ cm². Essa armadura é constituída por estribos 
horizontais e estribos verticais, podendo-se contar com os dois ramos, de modo 
análogo ao que é feito para os estribos das vigas. 
Para blocos sobre duas estacas, deve-se respeitar a armadura mínima 
determinada anteriormente (com o emprego da relação 𝑆 =
500𝐴𝑠
𝑏
⁄ . Em geral, essa 
armadura é bem superior à armadura necessária para resistir aos esforços de 
fendilhamento. 
Os blocos sobre uma estaca transmitem a carga do pilar diretamente para a 
estaca, sem nenhum efeito de flexão. As armaduras são dispostas para prevenir 
possíveis excentricidades construtivas, causadas por um desvio do eixo da estaca 
em relação ao eixo do pilar. Essas armaduras são constituídas por estribos 
horizontais e verticais, formando uma gaiola. O espaçamento S das barras dessa 
malha pode ser calculado como para os blocos sobre duas estacas (malha com 𝑆 =
 
500𝐴𝑠
𝑏
⁄ em cada face do bloco). 
Para os blocos sobre uma estaca, o encurvamento das trajetórias das tensões 
de compressão provocam o esforço de fendilhamento 𝑇𝑑, como na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 360 
 
 
Figura 194: Fendilhamento dos blocos sobre uma estaca. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Do modelo da figura acima, obtém-se o esforço de fendilhamento 𝑇𝑑 =
0,25𝑁𝑑, o qual exige uma armadura horizontal com área 𝐴𝑠 = 
𝑇𝑑
𝑓𝑦𝑑
⁄ cm². Aqui 
também, deve-se respeitar a armadura mínima (armadura em gaiola com 
espaçamento 𝑆 = 
500𝐴𝑠
𝑏
⁄ , que, em geral, é predominante. 
Os blocos sobre uma e sobre duas estacas devem ser travados por vigas de 
amarração, obrigatoriamente. Para os blocos sobre uma estaca, há necessidade de 
duas vigas em direções ortogonais. Para os blocos sobre duas estacas, a viga de 
amarração deve ser perpendicular à direção das estacas. 
Para os blocos sobre várias estacas, deve-se adotar uma armadura 
secundária horizontal (armadura de pele) entre as faixas da armadura principal. A 
armadura secundária é disposta em malha na face inferior do bloco. A área dessa 
armadura, em cada direção, não deve ser inferior a 25% da área da armadura 
principal situada em cada uma das faixas. A área da armadura total existente na face 
inferior do bloco, em cada direção, consideradas as armaduras das faixas mais as 
armaduras secundárias, deve respeitar a armadura mínima das vigas. Para os 
blocos sobre duas estacas, essa regra se aplica segundo a direção principal. 
Quando a distância livre entre estacas for maior que três vezes o diâmetro da 
estaca, deve-se adotar uma armadura vertical de suspensão, envolvendo a 
P á g i n a | 361 
 
 
armadura principal das faixas. Essa armadura de suspensão é formada por estribos 
verticais e é calculada para a força
𝑁𝑑
(1,5𝑛)⁄ , onde 𝑛 ≥ 3 é o número de estacas. 
Na figura abaixo, indicam-se as armaduras da face inferior e a armadura de 
suspensão para um bloco sobre quatro estacas. 
Figura 195: Armadura da face inferior e armadura de suspensão para bloco sobre quatro 
estacas 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Nos blocos sobre várias estacas, o problema do fendilhamento não é tão 
crítico quanto nos blocos sobre duas estacas. Isto se deve ao fato de as bielas 
estarem mais afastadas das faces do bloco e serem confinadas por grandes 
cobrimentos de concreto. 
De acordo com o EC2, esses blocos podem ser construídos sem armadura 
nas faces laterais e na face superior, desde que não haja risco de fissuração do 
concreto. Em geral, esse risco não existe nos blocos de pequena altura, pois a 
retração e as variações de temperatura decorrentes da hidratação do cimento são 
aproximadamente uniformes, com pequeno gradiente entre o interior e a superfície 
do bloco. Assim, a restrição a essas deformações impostas ocorre apenas na face 
P á g i n a | 362 
 
 
inferior, devido à presença das estacas, onde já existe armadura suficiente para 
controlar as aberturas das fissuras. 
De todo modo, convém empregar uma armadura de pele adicional, nas faces 
laterais e na face superior do bloco, para prevenir possíveis fissuras devidas a 
choque térmico (aquecimento durante o dia sob o sol e resfriamento rápido da 
superfície à noite). Uma armadura da ordem de 2,0 cm²/m é o suficiente. Essa é a 
área da armadura de pele sugerida pelo ACI para as vigas. O espaçamentodessas 
barras deve ser limitado a 20 cm. Assim, podem-se adotar malhas com ∅6,3𝑐. 15𝑐𝑚 
ou ∅8𝑐. 20 𝑐𝑚. Por outro lado, para os blocos de grandes dimensões, deve-se 
empregar armadura de pele em todas as faces, devido à possibilidade de fissuração 
em consequência do calor de hidratação do cimento. Esse assunto é abordado na 
seção seguinte. 
15.2 Blocos de concreto massa 
Para blocos de grandes dimensões, devem-se ter os cuidados requeridos 
para o concreto massa. Devido ao grande volume de concreto, o interior do bloco 
pode atingir altas temperaturas, como consequência do calor de hidratação do 
cimento. Uma vez que a superfície do bloco resfria mais rapidamente que o interior, 
surgem tensões de tração nas camadas superficiais, o que pode provocar a 
fissuração das faces laterais e do topo do bloco. 
Na figura abaixo, ilustram-se as variações de temperatura na superfície e no 
centro de um bloco, em decorrência do calor de hidratação. A retração também não 
é uniforme, já que a secagem é maior junto à superfície em contato com a 
atmosfera. Assim, o bloco fica submetido a uma deformação imposta diferencial 
(retração mais queda de temperatura). O núcleo do bloco impõe uma restrição à 
contração das camadas superficiais, as quais ficam tracionadas e podem fissurar. 
 
 
 
 
 
 
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Figura 196: Variação de temperatura em bloco de concreto massa 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para minimizar esse problema, pode ser necessária a associação de um 
conjunto de medidas, como redução do consumo de cimento, emprego de cimentos 
pozolânicos, concretagem em camadas de menor altura, pré-refrigeração e/ou pós-
refrigeração do concreto, proteção do concreto para evitar um resfriamento muito 
rápido das superfícies, cura prolongada para retardar a retração, dentre outros. 
O emprego de armaduras adicionais não é capaz de eliminar o problema e 
evitar a fissuração das superfícies do bloco. Porém, elas podem reduzir as aberturas 
das fissuras, proporcionando o surgimento de um grande número de pequenas 
fissuras, em vez de uma fissura de grande abertura. 
Essas armaduras de pele adicionais devem ser dispostas em malha nas faces 
laterais e na face superior do bloco. Na face inferior, a armadura de pele deve ser 
distribuída entre as faixas da armadura principal, como indicado na figura 170. A 
armadura mínima total na face inferior do bloco é verificada como já foi explanado 
anteriormente. Normalmente, empregam-se armaduras em gaiola, como nas figuras 
172 e 173. 
 
 
P á g i n a | 364 
 
 
Figura 172: Armadura de pele para controle da fissuração – opção 1 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Figura 173: Armadura de pele para controle de fissura – opção 2 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
P á g i n a | 365 
 
 
As tensões no concreto, decorrentes do calor de hidratação, podem ser 
determinadas com o emprego do método dos elementos finitos, através de uma 
análise acoplada dos problemas de transferências de calor e de tensões. Nessa 
análise, consideram-se as propriedades térmicas do concreto, a curva de elevação 
adiabática de temperatura, as trocas de calor por convecção, bem como as 
propriedades mecânicas do concreto. 
Pode-se empregar a seguinte metodologia para o cálculo das armaduras de 
pele dos blocos de concreto massa: 
1. Dados: 
 
Dimensões do bloco: A, B (em planta) e h (altura) em metros. 
Concreto: resistência característica 𝑓𝑐𝑘 (Mpa) e consumo de cimento 𝑀𝑐 (
𝑘𝑔
𝑚3
). 
Na falta de uma informação mais precisa, o consumo de cimento pode ser 
estimado como 𝑀𝑐 = 164 + 6,6𝑓𝑐𝑚, kg/m³ 
Onde 𝑓𝑐𝑚 = 𝑓𝑐𝑘 + 8,8 MPa é a resistência média à compressão do concreto. 
2. Verificação do risco de fissuração térmica: 
 
Largura equivalente (m): 𝐿 = √
4𝐴𝐵
𝜋
 
Espessura equivalente (m): 𝐻𝑒 = 
𝐿𝐻
(1+ 𝛿)𝐿+2𝛿𝐻
, onde se pode adotar 𝛿 = 0,365. 
Diferença de temperatura máxima entre o centro e a superfície do bloco (º C): 
Δ𝑇 = 
(4760 + 90𝑀𝑐)
1000
𝐻𝑒 − 
(1840 + 9,8𝑀𝑐)
1000
𝐻𝑒
2 
Se o calor de hidratação do cimento, 𝑄ℎ∞, for diferente de 400𝐾𝑗/𝑘𝑔, utiliza-se 
o consumo equivalente 𝑀𝑐𝑒 = (𝑀𝑐𝑄ℎ∞)/400 no lugar de 𝑀𝑐. 
Diferença crítica de temperatura (º C): Δ𝑇𝑐𝑟 = 20 − 2𝐻𝑒 
Se Δ𝑇 < Δ𝑇𝑐𝑟, não há risco de fissuração térmica. Para evitar fissuras 
provocadas por choque térmico e/ou retração diferencial, pode-se adotar uma 
armadura de pele da ordem de 2,0 cm²/m nas faces do bloco. 
Se Δ𝑇 > Δ𝑇𝑐𝑟, há risco de fissuração térmica das superfícies do bloco. Nesse 
caso, deve-se prever uma armadura de pele para limitar as aberturas de fissuras. 
 
 
P á g i n a | 366 
 
 
 
3. Cálculo da armadura de pele: 
 
• Armadura mínima para suportar o esforço de fissuração: 
 
Elevação adiabática de temperatura: 
𝑇𝑎,𝑚á𝑥 = 
𝑄ℎ∞𝑀𝑐
𝑐𝜌
 
Onde 𝑄ℎ∞ é o calor de hidratação final por kg de cimento (em KJ/kg), 𝑀𝑐 
representa o consumo final de cimento por m³ de concreto (em kg/m³), c = 0,9 KJ/kg 
º C é o calor específico do concreto e 𝜌 = 2400 𝑘𝑔/𝑚³ é a massa específica do 
concreto. 
Espessura da camada superficial 
ℎ0 = 𝑒𝑥𝑝[7,75 − 1,35ln (𝑇𝑎,𝑚𝑎𝑥)] ≥ 10 𝑐𝑚 
Armadura mínima: 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 
100ℎ0𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑑
, 𝑐𝑚2/𝑚 
Onde 𝑓𝑐𝑡𝑚 é a resistência média à tração do concreto aos 28 dias de idade e 
𝑓𝑦𝑑 é a tensão de escoamento de cálculo do aço. 
• Armadura necessária para limitação das aberturas das fissuras: 
 
𝜌𝑠𝑒 = 
𝜙𝑅𝜀𝑐𝑛
3,6𝑤𝑘,𝑙𝑖𝑚
 
Onde 𝜙 é o diâmetro das barras em mm, 𝜀𝑐𝑛 = 𝛼∆𝑇 é a deformação térmica, 
𝛼 = 10−5 °𝐶−1 é o coeficiente de dilatação térmica do concreto, 𝑅 = 0,5 é o fator de 
restrição e 𝑤𝑘,𝑙𝑖𝑚 é a abertura limite das fissuras. 
Armadura: 𝐴𝑠 = 𝜌𝑠𝑒ℎ𝑒, onde ℎ𝑒 é a espessura da camada superficial que 
interessa para o cálculo da abertura das fissuras, dada por 
ℎ𝑒 = 2,5(𝑐 + 0,5𝜙) 
Onde c é o cobrimento nominal das barras de aço. 
Se 𝐴𝑠 < 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛, adota-se 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛. 
P á g i n a | 367 
 
 
15.3 Sapatas e blocos flexíveis 
Para as sapatas e blocos flexíveis, pode-se aplicar a teoria geral da flexão. As 
armaduras principais são obtidas através de um dimensionamento à flexão simples. 
A resistência às tensões tangenciais deve ser comprovada em relação ao esforço 
cortante e em relação ao puncionamento. A seguir, apresenta-se o procedimento de 
projeto recomendado pela norma espanhola EHE. 
Para o cálculo da armadura de flexão, define-se uma seção de referência 𝑆1, 
como indicado na figura 197. A altura útil d desta seção de referência é igual à altura 
útil da sapata ou do bloco na face do pilar ou da parede. Quando se tratar de muros 
ou paredes de alvenaria, recomenda-se que a seção 𝑆1 seja tomada a 0,25a da face 
do muro ou da parede. Em sapatas isoladas sob pilares, devem-se definir duas 
seções 𝑆1, uma para cada direção. 
Figura 197: Seção de referência para o cálculo do momento fletor 
 
Fonte: ARAÚJO, 2014. 
Com as reações do terreno à direita da seção 𝑆1, determina-se o momento 
fletor como para uma viga em balanço. Se a distribuição das reações não é 
uniforme, considera-se a seção 𝑆1 do lado que resulta o maior momento fletor. 
Analogamente, a seção de referência do bloco é considerada para o lado das 
estacas mais carregadas. A armadura principal é obtida através de um 
dimensionamento à flexão simples da seção de referência. 
Em sapatas e blocos flexíveis corridos fletindo em uma única direção (como 
as sapatas corridas sob paredes), a armadura principal pode ser distribuída 
uniformemente em toda a largura do elemento de fundação. O mesmo é válido 
quando o elemento de fundação é quadrado, com flexão em duas direções. 
P á g i n a | 368 
 
 
Em elementos de fundação retangulares, com flexão em duas direções, a 
armadura paralela ao lado maior (lado A) pode ser distribuída uniformemente em 
toda a largura B da base da fundação. A armadura paralela ao lado menor deveser 
distribuída de tal forma que a fração 2B’/(A + B’) da área total 𝐴𝑠 seja colocada 
uniformemente distribuída na faixa central de largura B’, definida na figura 175. O 
restante da armadura é distribuído uniformemente nas duas faixas laterais. 
Para simplificar o detalhamento, a armadura da direção B pode ser distribuída 
uniformemente ao longo de todo o lado A, desde que se adote uma área 𝐴𝑠𝑒 superior 
à área calculada 𝐴𝑠, dada por 
𝐴𝑠𝑒 = (
2𝐴
𝐴 + 𝐵′
)𝐴𝑠 
Figura 198: Faixas para distribuição da armadura na direção do lado menor em sapatas e 
blocos flexíveis retangulares 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A verificação ao esforço cortante é feita na seção de referência 𝑆2, definida na 
figura 176. Essa seção possui uma altura útil igual a 𝑑2 e sua largura 𝑏𝑤 é igual à 
largura total da sapata ou do bloco. O esforço cortante a ser considerado é igual à 
resultante das reações do terreno ou do grupo de estacas situadas à direita da 
seção 𝑆2 (considerado o lado desfavorável). 
 
 
P á g i n a | 369 
 
 
Figura 199: Seção de referência para cálculo do esforço cortante 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Para a dispensa de armadura transversal, deve-se garantir que: 
 
𝜏𝑤𝑑 = 
𝑉𝑑
𝑏𝑤𝑑2
 ≤ 𝜏𝑟𝑑1 
 
Onde 𝑉𝑑 é o esforço cortante de cálculo e 𝜏𝑟𝑑1 é a tensão limite. Considerando 
a taxa de armadura 𝜌 = 
𝐴𝑠
(𝑏𝑤𝑑2)
⁄ ≤ 0,02 em cada direção analisada. 
A armadura de punção é desnecessária quando: 
 
𝜏𝑠𝑑 = 
𝐹𝑠𝑑
𝑢1𝑑3
 ≤ 𝜏𝑟𝑑1 
Onde 𝑢1 é o perímetro crítico e 𝑑3 é a altura útil do elemento de fundação 
junto ao perímetro crítico. 
 
Para as sapatas, a força 𝐹𝑠𝑑 = 𝑁𝑑 − Δ𝐹𝑠𝑑, onde 𝑁𝑑 é a carga transmitida pelo 
pilar e Δ𝐹𝑠𝑑 é a reação do terreno dentro do perímetro crítico, conforme indicado na 
figura. 
 
 
 
 
P á g i n a | 370 
 
 
Figura 200: Força líquida de puncionamento em sapatas 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Se o pilar transmite um momento à sapata, deve-se considerar a força de 
puncionamento efetiva. Se as equações anteriores não forem atendidas, o elemento 
de fundação deve ser provido de armadura transversal. Em virtude dessas 
verificações, é conveniente que as sapatas e os blocos flexíveis possuam altura 
constante. 
No caso de blocos sobre estacas, deve-se verificar o puncionamento junto ao 
pilar e junto às estacas isoladas mais solicitadas. Quando várias estacas estão 
próximas, os seus perímetros críticos podem se superpor, como indicado na figura 
abaixo. Neste caso, consideram-se a envoltória dos perímetros críticos e a reação 
transmitida pelo grupo de estacas. 
Figura 201: Perímetro crítico para um grupo de estacas 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
 
P á g i n a | 371 
 
 
15.4 Vigas e placas sobre base elástica 
Conforme foi apresentado no item 14.2, as sapatas contínuas sob pilares 
podem ser calculadas de modo aproximado, admitindo-se que as reações do terreno 
se distribuam uniformemente. No caso mais geral, pode-se admitir que as pressões 
sob a sapata possuam distribuições uniformes ou triangulares por trechos. 
Uma análise mais coerente desse problema consiste em considerar a sapata 
apoiada em um solo elástico. No sentido transversal, a distribuição das reações do 
solo é uniforme. A distribuição das reações longitudinal é obtida através da análise 
de uma viga sobre base elástica. Na figura abaixo, representa-se uma viga com 
rigidez à flexão EI apoiada em um solo com módulo de reação K e submetida a uma 
carga genérica p(x). 
O módulo de reação 𝑘 = 𝑘𝑎𝐵, onde B é a largura da viga e 𝑘𝑎 é igual à 
pressão que é necessário aplicar ao solo para que o mesmo sofra um afundamento 
unitário. Por exemplo, se ao aplicar sobre o solo uma pressão igual a 2 kN/cm² o 
afundamento verificado for igual a 1 cm, o coeficiente 𝑘𝑎 será igual a 2 kN/cm³. Logo, 
o módulo de reação K é expresso em kN/cm². 
Figura 202: Viga sobre base elástica 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A equação diferencial de equilíbrio da viga sobre base elástica é dada por: 
 
𝐸𝐼
𝑑4𝑊
𝑑𝑥4
+ 𝑘𝑊 = 𝑝(𝑥) 
 
P á g i n a | 372 
 
 
A solução dessa equação diferencial, juntamente com as condições de 
contorno, fornece os deslocamentos transversais 𝑊 = 𝑊(𝑥) do eixo da viga. 
Encontrado W, obtêm-se os esforços solicitantes na viga por simples diferenciação. 
As reações do solo sob a viga são iguais a kW(x). Nos casos gerais de 
carregamento e condições de contorno, torna-se necessário o emprego de métodos 
numéricos, como o método das diferenças finitas e o método dos elementos finitos. 
Para levar em conta a base elástica, basta acrescentar o termo ∫ 𝑘𝑊𝛿𝑊 𝑑𝑥
𝐿
0
 à 
expressão do trabalho virtual interno. Desse modo, os termos correspondentes à 
base elástica são incorporados à matriz de rigidez da viga. No caso de uma 
fundação em placa sobre base elástica, a equação diferencial de equilíbrio é dada 
por: 
 
𝐷 (
𝜕4𝑊
𝜕𝑥4
+ 2
𝜕4𝑊
𝜕𝑥2𝜕𝑦2
+ 
𝜕4𝑊
𝜕𝑦4
) + 𝑘𝑎𝑊 = 𝑝(𝑥, 𝑦) 
 
Onde 𝑊 = 𝑤(𝑥, 𝑦) representa os deslocamentos transversais do plano médio 
da placa e D é sua rigidez à flexão. 
 
Novamente, para problemas muito particulares é possível obter soluções em 
forma de série de Fourier. Em situações mais gerais, torna-se necessário o emprego 
de métodos numéricos, como o método dos elementos finitos. 
 
Exercício resolvido 01 – Bloco de concreto massa 
Dados: 
- Dimensões do bloco: A = 1,60 m, B = 1,60 m, H = 0,70 
m 
- Concreto: 
Resistência característica: 𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎 
Calor de hidratação: 𝑄ℎ∞ = 400 𝐾𝐽/𝐾𝑔 
Calor específico: 𝑐 = 0,9 𝐾𝐽/𝐾𝑔°𝐶 
Massa específica: 𝜌 = 2400 𝑘𝑔/𝑚³ 
 
Estimativa do consumo de cimento: 𝑓𝑐𝑚 = 𝑓𝑐𝑘 + 8 𝑀𝑝𝑎 = 33 𝑀𝑝𝑎 
P á g i n a | 373 
 
 
𝑀𝑐 = 164 + 6,6𝑓𝑐𝑚 ≅ 380 𝑗𝑔/𝑚³ 
 
Largura equivalente: 𝐿 = √
4𝐴𝐵
𝜋
= 1,81 𝑚 
Espessura equivalente: 𝐻𝑒 = 
𝐿𝐻
(1+ 𝛿)𝐿+2𝛿𝐻
= 0,42 𝑚 
 
Diferença máxima de temperatura: 
Como 𝑄ℎ∞ = 400 𝐾𝐽/𝑘𝑔, trabalha-se com o consumo real de cimento. 
Δ𝑇 = 
(4760 + 90𝑀𝑐)
1000
𝐻𝑒 − 
(1840 + 9,8𝑀𝑐)
1000
𝐻𝑒
2 = 15,4 °𝐶 
 
Diferença de temperatura crítica: Δ𝑇𝑐𝑟 = 20 − 2𝐻𝑒 = 19,2 °𝐶 
Como Δ𝑇 < Δ𝑇𝑐𝑟 , não há risco de fissuração térmica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ Os blocos rígidos sob estacas; 
✓ Os blocos de concreto massa; 
✓ As sapatas e blocos flexíveis; 
✓ As vigas e placas sobre base elástica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este artigo de comparação entre pilares de 
concreto e pilares de aço: 
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2006/inic/inic/07/INIC00
0071ok.pdf. 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentosdo concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 15 
Exercícios 
 
 
 
 
 
 
Exercício Proposto 01 – Bloco de concreto massa 
Dados: 
- Dimensões do bloco: A = 4,00 m, B = 4,00 m, H = 1,60 
m 
- Largura equivalente: L = 4,51 m 
- Espessura equivalente: 𝐻𝑒 = 0,99 𝑚 
- Diferença máxima de temperatura: ∆𝑇 = 33,1 °𝐶 
- Diferença de temperatura crítica: ∆𝑇𝑐𝑟 = 18,0 °𝐶 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão AV2 
Aula 16 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula iremos praticar o que foi visto no conteúdo da AV2. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Praticar o conteúdo visto para a avaliação 2; 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 379 
 
 
16 EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA AV2 
Exercício proposto 01 – Viga-parede 
Dimensionar a viga-parede indicada na figura abaixo. 
Nessa mesma figura, encontram-se indicadas as cargas de 
serviço atuantes na viga. 
Figura 203: Viga-parede 
 
Fonte: o autor. 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 380 
 
 
Exercício proposto 02 – Consolo 
Projetar o consolo indicado na figura a seguir: 
Dados: Carga 𝑃𝑘 = 220 𝑘𝑁 
Concreto: 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 → 𝑓𝑐𝑑𝑟 = 0,60 (1 − 
𝑓𝑐𝑘
250
) 𝑓𝑐𝑑 
 Aço CA50: 𝑓𝑦𝑑 = 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
Figura 204: Consolo 
 
Fonte: o autor. 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 381 
 
 
Exercício proposto 03 – Laje Nervurada 
Projetar a laje nervurada indicada na figura abaixo, com 
os espaços entre nervuradas preenchidos com blocos de isopor. 
A laje é o piso de um conjunto de salas de escritórios e sobre a 
mesma há uma carga correspondente ao peso das paredes 
divisórias de 1,0 kN/m². As vigas laterais de apoio têm 20 cm de largura. O concreto 
possui uma resistência 𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎 e o aço é o CA50. 
Figura 205 
 
Fonte: o autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 382 
 
 
Exercício proposto 04 – Laje Plana 
Na figura abaixo, apresenta-se uma laje lisa apoiada em doze pilares, 
possuindo um balanço em todo o contorno. A altura dos pilares, de piso a piso, é 
𝑙0 = 400 𝑐𝑚. 
Figura 206: Laje Plana. 
 
Fonte: o autor. 
Exercício proposto 05 – Punção 
Verificar a resistência à punção dos pilares da laje lisa do exercício anterior. 
Os seguintes dados foram usados no exemplo de cálculo apresentado para essa 
laje: 
Dados: 
- seção do pilar: 𝑐1 = 𝑐2 = 40 𝑐𝑚 
- concreto: 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 
- espessura da laje: h = 24 cm; d = 20 cm 
- força de punção na laje: 𝐹𝑘 = 350 𝑘𝑁 
 
 
 
 
P á g i n a | 383 
 
 
Figura 207: Punção. 
 
Fonte: o autor. 
Exercício proposto 06 – Sapata isolada 
Projetar uma sapata isolada. 
Dados: 
- Carga de serviço do pilar: 𝑁𝑘 = 700 𝑘𝑁/𝑚 
- Pressão admissível no solo: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 0,15 𝑀𝑃𝑎 =
0,015 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
- Seção do pilar: 𝑎 = 50 𝑐𝑚 ; 𝑏 = 20 𝑐𝑚 ; 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝜙 = 12,5 𝑚𝑚 
- Concreto da sapata: 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑝𝑎 
- Tensão de escoamento do aço: 𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 (𝑎ç𝑜 𝐶𝐴50) 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ Exercícios de fixação e de revisão para AV2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este artigo de comparação entre pilares de 
concreto e pilares de aço: 
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2006/inic/inic/07/INIC00
0071ok.pdf. 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
 
 
 
 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool