Curso de Concreto Armado - José Milton Vol 3

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<p>José Milton de Araújo CURSO DE CONCRETO ARMADO Volume 3</p><p>José Milton de Araújo é Civil formado em 1981 pela Universidade Federal do Espirito Em 1984 concluiu mestrado em Engenharia na Universidade Federal do Rio Grande do Sul e em 1995 defendeu sua tese de doutorado nessa mesma universidade. Ambas as teses foram dedicadas à análise de estruturas de concreto. Atualmente professor titular na Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio Grande - FURG, onde atua desde 1983. Suas pesquisas têm se concentrado na area de análise não linear de estruturas, em particular das estruturas de concreto armado. autor possui diversos trabalhos publicados em congressos nacionais e estrangeiros, além do livro Estrutural de de Concreto Armado.</p><p>CURSO DE CONCRETO ARMADO Volume 3</p><p>JOSE MILTON DE ARAÚJO Professor Titular - Escola de Engenharia da FURG Doutor em Engenharia CURSO DE CONCRETO ARMADO Volume 3 Editora DUNAS</p><p>CURSO DE CONCRETO ARMADO Copyright Editora DUNAS A663c Araújo, José Milton de Curso de concreto armado / José Milton de Araújo. - Rio Grande: Dunas, 2010. 3.ed. 1. Concreto I. Título CDU CDD 624.1834 ISBN do volume 3: 978-85-86717-11-6 ISBN da coleção: 978-85-86717-08-6 Editora DUNAS Rua Tiradentes, 105 - Cidade Nova 96211-080 RIO GRANDE - RS - Brasil e-mail: contato@editoradunas.com.br</p><p>APRESENTAÇÃO Este Curso de Concreto Armado é dirigido aos estudantes de graduação em Engenharia Civil e aos profissionais ligados à área de pro eto Para uma melhor apresentação, a obra foi dividida em quatro volumes, com uma sequência que nos parece apropriada do ponto de vista didático. Não é nossa intenção abordar todos os aspectos relativos ao tema, o que seria impraticável em virtude de sua abrangência. Nosso único objetivo é apresentar um curso completo e atualizado sobre os métodos de cálculo das estruturas usuais de concreto armado. Em particular, o Curso é dedicado ao projeto das estruturas dos edifícios. Nesta terceira edição de Curso de Concreto Armado, fizemos diversas alterações, além da inclusão de novos conteúdos e exemplos leitor irá constatar que novos procedimentos de projeto foram adotados, em relação à edição anterior. No volume 1, por exemplo, foram alterados os limites para o dimensionamento à flexão simples com armadura dupla, para garantir que as vigas tenham uma maior ductilidade no estado limite Diversas inovações sobre o cálculo de lajes lajes nervuradas e lajes cogumelo foram introduzidas nos volumes 2 e 4. No volume 3, incluímos novos conteúdos sobre o contraventamento dos e o dimensionamento dos No volume 4, acrescentamos um capítulo sobre o projeto estrutural em situação de incêndio. Além disso, foram incorporados ao texto os mais recentes resultados de nossas pesquisas relacionadas ao projeto das estruturas de concreto armado. esta edição sofreu uma completa reestruturação, tanto em termos de conteúdo, quanto em termos de procedimentos de projeto. Rio Grande, Setembro de 2010. José Milton</p><p>PLANO DA OBRA Volume 1: Propriedades dos materiais para concreto armado. Fun- damentos de segurança. Flexão normal simples: dimensionamento e verificação de seções retangulares e seções T. Esforço Ancoragem e emendas das armaduras. Volume 2: Cálculo de lajes Cálculo de vigas. Estados limites de utilização. Volume 3: Flexo-compressão normal e obliqua: dimensionamento e verificação de Cálculo de pilares curtos e moderadamente esbeltos. Pilares-parede. Pilares esbeltos. Ações horizontais nas estruturas de Volume 4: Dimensionamento à Flexo-tração. Escadas. Vigas-parede e consolos. Reservatórios. Lajes Lajes Fundações. Projeto em situação de</p><p>SUMÁRIO 1. CONSIDERAÇÕES SOBRE A ESTABILIDADE DOS PILARES 1 1.1 - A equação diferencial de equilíbrio dos pilares 1 1.2 - Condições de contorno 5 1.3 - Solução da equação diferencial 6 1.4 - Estabilidade dos pilares de concreto armado 10 1.5 - Hipóteses básicas do dimensionamento 12 2. DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL 15 2.1 - Apresentação do problema 15 2.2 - Seção retangular com armadura distribuida 18 2.3 - Cálculo das tensões nas armaduras 21 2.4 - Cálculo da resultante de compressão no concreto 26 2.5 - Equações de equilíbrio 27 2.6 - Cálculo da posição da linha neutra 31 2.7 - Elaboração do programa computacional 33 2.8 - Tabelas para dimensionamento 35 2.9 - Exemplos de dimensionamento 36 3. DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO NA FLEXO- COMPRESSÃO NORMAL 41 3.1 - emprego de diagramas de interação 41 3.2 - Obtenção dos diagramas de interação 42 3.3 - Armadura teoricamente desnecessária 44 3.4 - Fórmulas aproximadas de dimensionamento 45 3.5 - Escolha da disposição das barras 48 4. ANÁLISE DA FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA 51 4.1 - Apresentação do problema 51 4.2 - Equações de equilíbrio 52 4.3 - Rotação do sistema de 55</p><p>8. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 187 8.1 - Considerações gerais 187 8.2 - Dimensões mínimas das seções dos pilares 187 8.3 - Armadura longitudinal 188 8.4 - Armadura transversal 189 8.5 - Cobrimento da armadura 194 8.6 Proteção contra a flambagem das barras 195 8.7 Emendas das barras 197 8.8 Desenho de armação dos pilares 202 9. PILARES ESBELTOS 205 9.1 - Introdução 205 9.2 - Deslocamentos em barras esbeltas 207 9.3 - Relação 209 9.4 - principio dos trabalhos virtuais 210 9.5 - O método dos elementos finitos 212 9.6 - Implementação computacional do método dos elementos finitos 218 10. ANÁLISE DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO 223 10.1 - Introdução 223 10.2 - Processo simplificado para repartição das forças horizontais 224 10.3 - Imperfeições globais dos edificios 234 Análise de pórticos através do modelo contínuo 237 10.5 - Interação entre painéis de contraventamento com comportamentos distintos 242 10.6 - Processo rigoroso para repartição das forças horizontais 248 10.7 - Análise de uma subestrutura de contraventamento 258 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 267 APÊNDICE Tabelas para dimensionamento à flexo-compressão normal 271 APÊNDICE 2: Tabelas para dimensionamento à flexo-compressão obliqua 305</p><p>Capítulo 1 CONSIDERAÇÕES SOBRE A ESTABILIDADE DOS PILARES 1.1 - A equação diferencial de equilíbrio dos pilares Considere-se o pilar indicado na fig. 1.1.1, submetido a uma força normal P e a uma carga transversal Por hipótese, a força de compressão P é constante ao longo do eixo do pilar e a flexão ocorre no plano de simetria P Z W q P X Fig. 1.1.1 - Carregamento do pilar Com a aplicação do carregamento, a barra se deforma de modo que a flecha em uma seção transversal genérica é Nessa seção atuam a força de compressão o momento fletor M e a</p><p>2 Curso de Concreto Armado força transversal Q. Em uma seção vizinha, afastada de uma distância infinitesimal dx. o momento fletor e a força transversal sofrem variações A flecha da barra também sofre um incremento infinitesimal. Porém, a força P permanece inalterada, conforme indicado na fig. 1.1.2. z,W P M Q W dx Q+AQ o W+AW M+AM Fig. 1.1.2 - Forças em um elemento infinitesimal As variações dos esforços e da flecha, indicadas na fig. 1.1.2, são dadas per AM = dM dx; AW dW = dx (1.1.1) dx dx Fazendo o equilíbrio das forças na direção tem-se Q - qdx - dx dx =0 (1.1.2) onde foi substituída a expressão de dada na equação (1.1.1).</p><p>Considerações sobre a estabilidade dos pilares 3 - (1.1.3) dx Fazendo o de momentos fletores em torno do ponto e empregando as relações dadas em (1.1.1), tem-se M + P dx + - dM dx dx =0 (1.1.4) dx 2 Observa-se que o equilíbrio é garantido na configuração deformada eixo da barra. Por isso, a força de compressão P introduz um momento adicional na equação (1.1.4). termo onde aparece pode ser desprezado, por ser um infinitésimo de ordem superior. Eliminando os termos comuns, a equação (1.1.4) pode ser escrita como dM + (1.1.5) dx dx Diferenciando (1.1.5) em relação a obtém-se + P 2 dQ = 0 (1.1.6) dx2 dx já que a carga P é constante. Substituindo (1.1.3) na equação (1.1.6), chega-se a + P dx2 (1.1.7) que é a equação diferencial de equilíbrio do pilar. Essa equação é válida para qualquer material, elástico ou não, já que não foi feita nenhuma hipótese sobre a relação entre o momento fletor e a curvatura das seções transversais da barra.</p><p>4 Curso de Armado Se o material é elástico linear, a relação entre o momento fletor M e a curvatura é dada por (1.1.8) dx2 onde El é a rigidez à flexão das seções da barra, sendo E o módulo de elasticidade do material e I o momento de inércia. Subst.tuindo (1.1.8) na equação (1.1.7), obtém-se d2 = q (1.1.9) dx2 dx2 2 que é a equação diferencial de equilíbrio dos pilares constituídos por um material elástico linear. Se a rigidez à flexão El for constante ao longo de eixo da barra, essa equação toma a forma + P = 4 q (1.1.10) dx2 Essa equação pode ser escrita + k2 = q (1.1.11) dx4 dx2 onde P k = (1.1.12) El</p><p>Considerações sobre a estabilidade dos pilares 11 relacionada com as características mecânicas dos materiais, é dado o nome de "não linearidade No caso do concreto armado, a grande dificuldade para se obter a solução da equação diferencial consiste na determinação da rigidez à flexão das seções transversais do pilar. Isto ocorre porque a relação entre o momento fletor e a curvatura, para um dado valor do esforço normal, é não linear e pode ser obtida por pontos, através de um processo numérico. Assim, rigorosamente falando, a análise de um pilar de armado exige o emprego de técnicas numéricas apropriadas. Diversos métodos numéricos têm sido desenvolvidos para esse fim, estando os principais apresentados na referência [3]. Entretanto, do ponto de vista prático, é possível introduzir algumas simplificações que permitam resolver o problema de maneira aproximada. Dois tipos de processos simplificados podem ser empregados. Nos primeiros, resolve-se a equação diferencial de exata, arbitrando-se um valor convencional para a rigidez à flexão do pilar. Com isso, obtém-se o momento fletor solicitante máximo, que é igual ao momento de primeira ordem multiplicado por um fator de amplificação, como na equação (1.3.4). Em geral, o fator de amplificação pode ser aproximado por 1 B = (1.4.1) P 1 onde é a carga de flambagem do pilar, avaliada com uma rigidez aproximada Com o momento máximo M max e com o esforço normal dimensiona-se a seção transversal em flexo-compressão. Esse é o processo simplificado do também incluído na Em uma segunda classe de processos simplificados, arbitra-se uma função (x) para a deformada do eixo do pilar, bem como a curvatura de ruína das seções de concreto armado. Com isso, é calcular o deslocamento máximo, max em função da curvatura de momento de segunda ordem é dado por</p><p>12 Curso de Concreto Armado M2 = PW max o dimensionamento à flexo-compressão é feito com o esforço normal P e com o momento total M max , dado por M max = M (1.4.2) onde e o momento de primeira ordem. Esse procedimento é adotado pela e pelo Deve ser salientado que todos esses processos simplificados somente são permitidos se o pilar não é muito esbelto. Eles são permitidos apenas para os denominados pilares mode-adamente esbeltos. Se a esbeltez é elevada, deve-se analisar a ra através de um método numérico que leva em conta, de maneira rigorosa, as não linearidades física e Um método dessa natureza é apresentado no capítulo 9 deste livro, podendo-se consultar, também, as referências [3,8]. os pilares das estruturas de concreto armado podem ser classificados como esbeltos, na maioria dos casos, Dessa forma, é possivel dimensioná-los através de algum processo simplificado. Assim, considerando, por enquanto, apenas os pilares moderadamente esbeltos, o primeiro passo consiste em resolver o problema do dimensionamento de uma seção transversal de concreto armado submetida à flexo-compressão. As hipóteses admitidas no dimensionamento são revistas na seção seguinte. 1.5 - Hipóteses básicas do dimensionamento As hipóteses básicas admitidas no dimensionamento de uma seção transversal de concreto armado, submetida à flexão simples ou composta, são as seguintes: a) Hipótese das seções planas:</p><p>Considerações sobre a estabilidade dos pilares 13 Em consequência da hipótese das seções planas, resulta uma distribuição linear das deformações normais ao longo da altura das seções transversais. Assim, a deformação em uma fibra genérica da seção é diretamente proporcional à sua distância até a linha neutra. b) Aderência perfeita: Considera-se a existência de uma aderência perfeita entre o concreto e aço, ou seja, nenhum escorregamento da armadura é admitido. isso, as armaduras vão estar sujeitas às mesmas do concreto que as envolve. Logo, a deformação em um ponto da seção transversal será calculada de acordo com a hipótese independentemente de este ponto corresponder ao aço ou ao concreto. c) Concreto em tração: Despreza-se totalmente a resistência à tração do concreto. Dessa forma, todo o esforço de tração será resistido pelas armaduras. Para o concreto em compressão, pode-se adotar um dos diagramas tersão-deformação apresentados no Volume 1. Entretanto, para facilitar os cálculos, emprega-se diagrama retangular simplificado, indicado na fig. 1.5.1. X 0,8x h Fig. 1.5.1 - Distribuição das tensões no concreto Empregando o diagrama considera-se que a tensão no concreto é igual a desde a borda mais comprimida da seção até uma distância onde x é a profundidade da linha neutra.</p><p>à flexo-compressão normal 29 Definindo o esforço normal reduzido (2.5.4) introduzindo as expressões de Rcc (equação (2.4.2)) e de (equação (2.5.2)) e eliminando o termo comum resulta (2.5.5) que é a equação de das forças em termos adimensionais. Equilibrio de momentos: A equação de equilíbrio de momentos é dada por (ver fig. 2.5.1) d - + (2.5.6) momento fletor reduzido é definido como M (2.5.7) Substituindo todas as variáveis envolvidas na equação (2.5.6) pelos adimensionais correspondentes e eliminando o termo comum resulta - (2.5.8) que é a equação de equilíbrio de momentos em termos</p><p>30 Curso de Concreto Armado Da equação (2.5.5), obtém-se uma expressão para a taxa de armadura na forma (v-ro) (2.5.9) i=1 Analogamente, da equação (2.5.8) obtém-se (2.5.10) Em principio, tanto a equação (2.5.9), quanto a (2.5.10), podem ser empregadas para o cálculo da taxa mecânica de armadura. Entretanto, o problema ainda não está resolvido, já que a posição da linha neutra não é conhecida. De fato, a incógnita que caracteriza essa posição, está presente nos coeficientes (ver equações (2.4.4) e (2.4.5)). Além disso, as tensões dependem de já que elas são obtidas a partir das deformações (ver seção 2.3). Para encontrar pode-se subtrair a equação (2.5.9) da equação (2.5.10) e igualar o resultado a zero. Feito isto, resulta + (2.5.11) i=1 i=1 Observa-se que a equação (2.5.11) possui como única incógnita a variável Esta equação é da forma f(E)=0, ou seja, o problema estará resolvido após o conhecimento da raiz da função f(E). A solução procurada deve se situar no intervalo que abrange todos os domínios da flexo-compressão. deste</p><p>Dimensionamento à fiexo-compressão normal 31 Entretanto, esse procedimento não será adotado pelos motivos que já foram expostos. o valor de que satisfaz a equação (2.5.11) não pode ser encontrado de maneira a não ser em casos muito particulares. De um modo geral, a solução deste problema só pode ser encontrada Na seção seguinte, apresenta-se o utilizado para este fim. Depois de encontrada a posição da linha neutra que satisfaz a equação (2.5.11), pode-se calcular a taxa mecânica de armadura com emprego das expressões (2.5.9) ou (2.5.10). Entretanto, dependendo da situação, pode resultar uma divisão por zero (ou por um número muito próximo de zero) em uma dessas expressões. Assim, antes de empregar a expressão (2.5.9), por exemplo, deve-se avaliar o seu denominador. Se for constatado que ele é próximo de zero, deve-se a equação (2.5.10) para o cálculo de Se resultar um valor negativo para significa que a seção de concreto sozinha é capaz de absorver os esforços solicitantes. Neste caso, a armadura é teoricamente desnecessária e deve-se fazer No capítulo seguinte é demonstrada a existência da zona onde a armadura é teoricamente desnecessária. Após a obtenção de calcula-se o valor da área total da armadura, que deve ser adicionada à seção transversal. De acordo com a equação (2.2.6), essa área é dada por (2.5.12) yd 2.6 Cálculo da posição da linha neutra Conforme foi exposto, a posição da linha neutra, representada pelo adimensional é obtida resolvendo-se a equação (2.5.11). Assim, deve-se encontrar a raiz da função f(E) definida por + + (2.6.1)</p><p>32 Curso de Concreto Armado A solução procurada situa-se no intervalo que abrange todos os domínios da Este problema pode ser resolvido empregando-se o algoritmo iterativo da bissecante. Porém, antes de iniciar o processo iterativo, deve-se definir um intervalo finito no qual se encontra a solução, já que é impossível trabalhar numericamente com um intervalo que vai até o Isto pode ser feito da seguinte maneira: Inicialmente escolhe-se um intervalo finito onde = 0 e é um valor bem superior a 1, por exemplo, = - Empregando a equação avalia-se a função nos extremos do intervalo, ou seja, fo e fu = Calcula-se o produto Se resultar significa que a raiz da função encontra-se no intervalo escolhido. resultar p>0, deve-se redefinir o intervalo. Escolhe-se = como sendo o início do novo intervalo; para 511 pode-se adotar, por exemplo, o valor atual multiplicado por 10. - Repete-se o procedimento com o novo intervalo até que resulte Dessa forma, fica definido o intervalo no qual se encontra a solução do problema. A partir emprega-se o processo da bissecante, conforme é indicado esquematicamente na fig. A primeira aproximação para a raiz da função é tomada como a interseção da reta que passa pelos pontos e com o eixo das abscissas. valor de 51 é dado por (2.6.2) Em seguida, calcula-se o valor e testa-se a</p><p>Dimensionamento à flexo -compressão normal 33 preestabelecida, a convergência foi alcançada e é considerada a solução do problema. Em geral, é suficiente adotar tol = 0,001. Se a convergência não for deve-se reduzir o intervalo solução e iterar novamente. Para isto, avalia-se o produto Se resultar como na fig. 2.6.1, adotam-se devem-se fazer f(E) u 1 u 1 Fig. 2.6.1 - Processo da bissecante Com o novo intervalo, dessa vez menor que o anterior, repete- se o cálculo de com o emprego da equação (2.6.2) e assim, sucessivamente, até a convergência. Encontrada a solução aproximada para a raiz da função, isto é, o valor de quando da convergência do processo, pode-se calcular a taxa mecânica de armadura. 2.7 - Elaboração do programa computacional Um programa de computador para realizar o dimensionamento</p><p>34 Curso de Concreto Armado Programa principal: No programa principal são lidos os dados da seção transversal, as propriedades dos materiais e os esforços Dados da seção transversal: b,h,d' = n' = número de camadas da armadura; = número de barras de cada camada (i = Propriedades dos materiais: Ick = resistência característica à compressão do concreto; fyk = tensão de escoamento característica do aço; Esforços solicitantes: Nk = esforço normal de serviço; Mk= momento fletor de serviço. programa principal calcula as resistências de projeto = e os esforços de projeto ; Outros valores para os coeficientes parciais de segurança podem ser usados. o programa principal calcula, também, os adimensionais envolvidos na formulação: Em seguida, determina-se o intervalo solução do problema = 0 e emprega-se o processo da bissecante para encontrar E. Isto é feito chamando-se uma sub-rotina Encontrada a raiz programa calcula a taxa de armadura @ e a área total de aço Sub-rotinas auxiliares: Duas sub-rotinas auxiliares são Uma delas tem</p><p>Dimensionamento à flexo-compressão normal 35 sub-rotina é necessária para a determinação do intervalo solução do problema e para as iterações da bissecante. A mesma sub-rotina calcula os coeficientes (das equações (2.4.4) e (2.4.5)) e os somatórios envolvidos nas equações (2.5.9) e (2.5.10). Outra sub-rotina tem por finalidade calcular a tensão nas camadas da armadura para uma deformação Esi de entrada. Esse programa faz parte do PACON, desenvolvido pelo Autor [11], o qual contém diversos módulos auxiliares para o projeto das estruturas de concreto armado. software contempla a grande maioria dos temas abordados nos quatro volumes desta obra. 2.8 - Tabelas para dimensionamento Com o programa desenvolvido da forma indicada anteriormente, foram elaboradas as tabelas de dimensionamento à flexo-compressão normal constantes no Apêndice 1. Essas tabelas são válidas para seções retangulares com várias disposições das armaduras. Apenas o aço CA-50 foi considerado na elaboração das mesmas. Para identificar a tabela a ser utilizada, deve-se observar a disposição das barras indicadas nas mesmas. Além disso, é necessário calcular o parâmetro = d'/h para localizar a tabela. Os parâmetros de entrada são os esforços solicitantes reduzidos M (2.8.1) As tabelas fornecem a taxa mecânica com a qual se calcula a área total da armadura = (2.8.2)</p><p>36 Curso de Concrete Armado 2.9 - Exemplos de dimensionamento Exemplo 1: Dimensionar a seção transversal da fig. submetida a um esforço normal de serviço com uma e. N k e 40 C 20cm Fig. 2.9.1 - Seção transversal com duas camadas de armadura São dados problema: e=25 Aço MPa. Solução: = = = = 20</p><p>Dimensionamento à flexo-compressão normal 37 = = = = 50 = 1,15 1,15 N d 574 = = V 0,60 bho 20x40x1,2 M d 14350 = = = 0,37 = d' = 4 8 = 0,10 h 40 As tabelas A1.1 a A1.4 correspondem a esse tipo de seção transversal (seção com duas camadas de armadura). Como deve-se utilizar a tabela A1.2. Entrando na tabela A1.2 com e e interpolando linearmente, obtém-se = A área de aço é dada por = = 0,71x20x40x 1,2 = 43,48 Empregando a tabela A3.2 (Apêndice 3 do Volume 2), verifica-se que essa seção de aço é obtida adotando-se 4 barras de 16 mm em cada camada, ficando-se com uma área total igual a 16,08 A solução é apresentada na fig. 2.9.2.</p><p>38 Curso de Concreto Armado 16 40 20cm Fig. 2.9.2 - Solução possível - Exemplo 1 Exemplo 2: Dimensionar a seção transversal da fig. 2.9.3. N k e 40 C 20cm Fig. 2.9.3 - Seção transversal com quatro camadas de armadura Os demais dados são os mesmos do exemplo 1, ou seja, = 410 kN; e=25cm; = MPa;</p><p>Dimensionamento à flexo-compressão normal 39 Solução: Como as dimensões da seção transversal são as mesmas do exemplo anterior, tem-se Para esse tipo de seção (com quatro camadas de armadura) e para 8 = 0,10, deve-se empregar a tabela A1.10. Entrando na tabela e fazendo as interpolações, obtém-se = 1,13 A área de aço é dada por 1,2 = = = 43,48 Empregando a tabela (Apêndice 3 do Volume 2), verifica-se que essa área de aço é obtida adotando-se 4 barras de 20 mm em cada face lateral da seção, ficando-se com uma área total igual a 25,13 A solução é apresentada na fig. 2.9.4. 4620 40 4620 20cm Fig. 2.9.4 - Solução possível - Exemplo 2 Exemplo 3: Resolver os exemplos anteriores para diversos valores de Os resultados são apresentados na tabela 2.9.1.</p><p>40 Curso de Concreto Armado Tabela 2.9.1 - Área da armadura para diversos valores de Exemplo 1: Fig. 2.9.1 (MPa) 20 25 30 40 50 15,70 12,41 10,63 9,00 8,03 Exemplo 2: Fig. 2.9.3 Ick (MPa) 20 25 30 40 50 As 24,95 21,31 18,53 13,86 10,93 Conforme se observa, consegue-se uma redução significativa no consumo de armadura com o aumento da resistência à compressão do concreto, ao contrário do que foi verificado em flexão simples (ver capítulo 3 do Volume 1). Pode-se concluir que é vantajoso empregar um concreto de maior resistência nos pilares. Esse valor mais elevado de permitirá reduzir o consumo de armadura e/ou reduzir as dimensões da seção transversal do pilar.</p><p>Capítulo 3 DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO NA FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL 3.1 - emprego de diagramas de interação No capítulo anterior, foi apresentada a formulação para o dimensionamento à flexo-compressão normal de seções retangulares com armadura distribuída simetricamente ao longo do seu contorno. Apesar de as equações terem sido particularizadas para as seções retangulares, sua generalização para outras formas de seções é um trabalho relativamente simples. Isto feito, pode-se facilmente ampliar programa computacional. Admitindo-se como sendo válidas as hipóteses introduzidas na formulação, o desenvolvimento apresentado é matematicamente correto e leva a solução exata do problema. Evidentemente, essa solução só pode ser obtida iterativamente e, para isto, necessita-se de um programa de computador. A solução do problema também pode ser obtida quando se dispõe de tabelas para o dimensionamento imediato, como as tabelas apresentadas no Apêndice 1. Deve ser salientado que o único erro que, eventualmente, pode ser cometido ao se utilizar essas é o decorrente das interpolações que são feitas para o cálculo da Alternativamente, o dimensionamento pode ser feito com o emprego de diagramas de interação. Neste caso, o único erro cometido é decorrente da efetuada no diagrama. A opção por uma tabela de dimensionamento ou por um diagrama de interação é simplesmente uma questão de preferência. Um diagrama de interação é um conjunto de curvas representadas no sistema de eixos dos esforços reduzidos Cada curva, correspondendo a uma dada taxa mecânica de armadura o lugar dos pares de esforços que levam a seção ao estado limite</p><p>Análise da flexo-compressão obliqua 65 De posse de um diagrama de interação para uma determinada seção transversal e para um dado valor do esforço normal de cálculo, a verificação da segurança é imediata. Se o ponto, representando o par de momentos fletores solicitantes de cálculo, cair dentro da envoltória indicada na fig. 4.6.2, a segurança é garantida, pois os esforços solicitantes são inferiores aos esforços Nesse caso, a seção possui uma armadura superior à necessária. Por outro lado, se o ponto cair fora da envoltória, a segurança não é pois as solicitações são superiores aos esforços resistentes. Nesse caso, é necessário aumentar a área de aço da seção transversal. A situação ideal é aquela em que o ponto, correspondendo aos solicitantes, fica situado sobre a curva da fig. 4.6.2. Nesse caso, os esforços solicitantes igualam-se aos esforços resistentes no estado limite último. Variando a área total de aço na seção, pode-se obter um conjunto de curvas de maneira aráloga e completar o diagrama de interação. Agora, o diagrama de interação pode ser utilizado para o Para isto, basta entrar com os momentos solicitantes Mxd e M yd e ler a de aço necessária diretamente do diagrama. Deve ser salientado que o diagrama obtido só é válido para uma determinada seção, com uma distribuição de barras definida, e para valor do esforço normal ampliar o campo de utilização dos diagramas, é ente utilizar grandezas adimensionais. Isto pode ser feito através de uma adequada transformação das variáveis envolvidas na formulação. Seja, por exemplo, a seção retangular da fig. 4.6.3. A seguinte notação é empregada: = área da seção de concreto; V = = esforço normal reduzido; = Hy = = momentos fletores reduzidos; ed</p><p>66 Curso de Concreto Armado = mecânica de armadura; taxa = parâmetro geométrico. d' d'y y A y S h, Fig. 4.6.3 - Seção transversal retangular Em as equações (4.2.5) a (4.2.7) podem ser adimensionalizadas introduzindo essa notação. Entretarto, é mais simples trabalhar com as equações originais e ao final dos cálculos transformar os esforços resistentes obtidos em adimensionais. Para isto, podem-se escolher os valores para as dimensões hx e e entrar com uma área de aço igual a (4.6.2) A taxa mecânica de armadura será variada, manterdo-se fixos</p><p>Análise da flexo-compressão obliqua 67 Na fig. 4.6.4, representa-se um diagrama de interação para a seção retangular. Apenas um quadrante do diagrama foi representado, pois, como a seção possui dois eixos de simetria, a solução será a mesma em qualquer quadrante. Esse diagrama é válido para V = e para o aço CA-50. 0.40 v=1,0 @=1,0 0.30 @=0,8 Aço CA-50 0.20 0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 momento fletor reduzido Hx Fig. 4.6.4 - Diagrama de interação na flexo-compressão obliqua (seção retangular) Entrando no diagrama com os momentos fletores reduzidos de cálculo Hx e obtém-se a taxa mecânica de armadura e calcula-se a área total de aço com o emprego da equação (4.6.2).</p><p>Capítulo 5 DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA 5.1 - o problema do dimensionamento Conforme foi salientado no capítulo 4, na flexo-compressão obliqua não se conhece a priori a orientação da linha neutra. em casos particulares, o ângulo a de inclinação da linha neutra é conhecido de imediato (casos de flexo-compressão Dessa forma, para caracterizar a linha neutra é necessário conhecer sua profundidade e sua inclinação a em relação ao eixo No dimensionamento da seção, são fornecidos os esforços solicitantes de cálculo M xd e M yd e as incógnitas envolvidas nas três equações de equilibrio são a e Este problema só pode ser resolvido por tentativas. De fato, o que se pode fazer é uma sequência de verificações com diversos valores da área de aço Para cada valor de determina-se o terno de esforços resistentes ydr ). conforme foi apresentado no capítulo anterior. A armadura procurada é aquela que atende as igualdades e Na verdade, o processo é repetido até que as diferenças entre os momentos fletores resistentes os momentos de cálculo sejam menores do que uma tolerância preestabelecida. A sistematização do dimensionamento pode ser feita da seguinte maneira: a) Escolhe-se um valor inicial para a área de aço Com esse valor de devem-se encontrar a e</p><p>70 Curso de Concreto Armado b) Escolhe-se um valor para o ângulo a e resolve-se iterativamente a equação de equilíbrio de forças (equação (4.2.5)), para encontrar a profundidade da linha neutra c) Com a e calculam-se os momentos resistentes M e M empregando-se as equações e valor escolhido para a será satisfatório, se o vetor momento resistente tiver a mesma direção do vetor momento solicitante, ou seja, se M xdr = cM xd e M yd onde é um fator de proporcionalidade. Em caso contrário, deve-se redefinir a variável a e repetir o processo até que as direções dos dois vetores sejam aproximadamente iguais, d) Uma vez atendida a condição anterior, deve-se verificar se os momentos resistentes são aproximadamente iguais aos momentos solicitantes. Se isto não se verificar, deve-se variar a área de aço e repetir todo o processo desde o início. Observa-se, assim, que existem três ciclos iterativos no processo: um para variar a área de aço, um para variar a inclinação da linha neutra e mais um para encontrar sua profundidade. A grande dificuldade do dimensionamento consiste na elaboração de um algoritmo eficiente para resolver os ciclos iterativos. A rigor, o problema crítico consiste em encontrar o ângulo a de inclinação da linha neutra para uma seção transversal arbitrária. Dependendo da forma da seção, a direção do vetor momento resistente pode variar muito com uma pequena variação de a. Isto pode ocasionar uma forte instabilidade numérica. Entretanto, existem situações para as quais é relativamente simples desenvolver um algoritmo estável que permita encontrar as incógnitas e As. Isto ocorre quando a seção transversal possui dois eixos de simetria e quando as barras da armadura são distribuídas simetricamente em relação a esses Alguns exemplos de seções com dupla simetria são mostrados na fig. 5.1.1. Para as seções com dois eixos de simetria, o problema pode ser limitado a um dos quadrantes, já que o sinal dos momentos solicitantes é Assim, pode-se trabalhar com momentos positivos e limitar a solução ao primeiro quadrante. Dessa forma, o</p><p>Dimensionamento à flexe-compressão obliqua 71 y y, X y y X Fig. 5.1.1 - Seções com dois eixos de simetria capítulo, será um algoritmo para o dimensionamento à flexo-compressão de seções com dois eixos de simetria, como as seções indicadas na fig. Essas formas duplamente simétricas são encontradas com muita frequência em pilares de pontes e de de concreto armado. Assim, o algoritmo será capaz de resolver os principais problemas de interesse prático. De qualquer maneira, para outras formas de seção, pode-se fazer a verificação da capacidade resistente, conforme foi indicado no anterior. 5.2 - Determinação da inclinação da linha neutra Considere-se uma seção transversal com dois eixos de simetria e com uma dada área de aço. Em virtude da dupla simetria, pode-se limitar a análise ao primeiro quadrante, de forma que os momentos solicitantes Mxd e M yd serão sempre positivos. Na fig. 5.2.1,</p><p>72 Curso de Concreto Armado representa-se o diagrama de interação para a seção transversal com uma área de aço genérica y Ask d M xd Mx Fig. 5.2.1 - Inclinação do vetor momento solicitante Conforme está indicado na fig. o vetor momento solicitante está inclinado de um ângulo em relação ao eixo horizontal. Esse ângulo é dado por M M rd d ) (5.2.1) onde M d é o comprimento do vetor, dado por = + yd 2 (5.2.2) Se significa que M ou seja, o problema é de flexo-compressão normal segundo o eixo x. Neste caso, já se sabe que a linha neutra será perpendicular ao eixo x. Portanto, C ângulo a será igual a significa que e a flexão se dá</p><p>82 Curso de Concreto Armado Alguns desses processos fornecem soluções a favor da segurança, enquanto outros são contrários à mesma. Em várias situações, o erro cometido pode ser inaceitável. Um processo muito preciso é apresentado por , sendo válido para seções retangulares com o mesmo número de barras por face. Entretanto, trata-se de um processo iterativo e, por isso, muito trabalhoso para as aplicações práticas. Em os casos, o ideal é a implementação computacional do algoritmo apresentado neste capítulo. Alternativamente, podem-se empregar as tabelas do Apêndice 2.</p><p>6 CONSIDERAÇÕES SOBRE CÁLCULO DOS PILARES DE CONCRETO ARMADO 6.1 - Introdução Os pilares podem ser classificados como curtos, moderadamente esbeltos e esbeltos. Os pilares curtos são aqueles para os quais não há necessidade de se considerar os efeitos de segunda ordem. Para esses pilares, os esforços solicitantes obtidos na configuração deformada (teoria de segunda ordem) são aproximadamente iguais aos esforços calculados na configuração indeformada (teoria de primeira ordem). Em geral, admite-se que os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados quando eles causam um acréscimo nos esforços solicitantes de no máximo Para os pilares moderadamente esbeltos, os efeitos de segunda ordem são importantes e não podem ser desprezados. Entretanto, esses efeitos podem ser considerados através de processos simplificados. Em geral, nesses processos, arbitra-se uma configuração deformada para o eixo do pilar e calcula-se o máximo momento fletor solicitante ao longo do eixo. Com o momento máximo e com o esforço normal, dimensiona-se a seção transversal do pilar en Nos pilares esbeltos, os efeitos de segunda ordem são tão importantes que rão se pode admitir o emprego de processos simplificados. Para esses pilares é exigida uma análise rigorosa, que leva em conta a não linearidade física decorrente do comportamento mecânico dos materiais, bem como a não linearidade De um modo geral, a maioria dos pilares dos edifícios se enquadra nas categorias de pilares curtos ou moderadamente esbeltos. Somente em poucos casos especiais é que eles devem ser tratados como pilares esbeltos.</p><p>84 Curso de Concreto Armado Quanto à sua principal função na estrutura, os pilares podem ser classificados como pilares contraventados e pilares de contraventamento. Esses últimos fazem parte da subestrutura de contraventamento. A subestrutura de contraventamento é uma parte da estrutura cuja principal função é resistir às ações horizontais. Na verdade, todas as partes da estrutura oferecem resistência às ações horizontais. Entretanto, é conveniente separar aqueles elementos que, devido à sua elevada rigidez, absorvem a maior parte desses Como exemplos de elementos estruturais de contraventamento, têm- se as paredes estruturais e os pilares-parede das caixas dos elevadores e das escadas dos edifícios. deve possuir uma rigidez suficiente para garantir que os deslocamentos horizontais da estrutura sejam pequenos. Se este não for o caso, a estrutura como um todo deve ser analisada considerando-se os efeitos de segunda ordem. Essa análise é bastante complexa e exige técnicas numéricas apropriadas para a consideração das não linearidades física e (ver capítulo 9). Por outro lado, se a rigidez de contraventamento é suficiente, admite-se que a estrutura seja indeslocável (ou de nós fixos). Rigorosamente falando, a estrutura é "quase Neste caso, os esforços solicitantes podem ser obtidos a partir de uma análise de primeira ordem (linearidade Como uma aproximação, despreza-se, também, a não linearidade física. Em uma estrutura indeslocável, os efeitos de segunda ordem nos pilares são localizados. Eles serão considerados ou não, conforme pilar seja classificado como esbelto, moderadamente esbelto curto. Dessa forma, consegue-se uma significativa simplificação nos cálculos. Sempre que devem-se tomar as providências necessárias para garantir que a estrutura possa ser considerada Citando "somente um engenheiro sem habilidade arcaria com as deixando para o proprietário os problemas de custos que surgem em sistemas de pórticos deslocáveis de vários andares".</p><p>Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 85 6.2 Estruturas indeslocáveis ou de nós fixos Uma estrutura aporticada de pode ser considerada quando, sob a ação de forças horizontais, seus nós sofrem deslocamentos pequenos, que não chegam a introduzir esforços globais de segunda ordem significativos. Entretanto, os esforços de primeira ordem, provocados pelas forças horizontais, devem sempre ser calculados considerando-se a deslocabilidade da estrutura. Apenas os esforços locais de segunda ordem é que podem ser obtidos na de que a estrutura é Assim, efetuada a análise linear (teoria de primeira considera-se cada pilar como uma barra isolada e articulada nas extremidades, onde são aplicados os esforços obtidos na análise Para garantir a indeslocabilidade, pode ser necessário projetar elementos estruturais especiais, como paredes estruturais ou pilares- parede. A necessidade desses elementos depende basicamente da altura de e de suas baixos e leves podem dispensar os elementos especiais de contraventamento, pois a própria estrutura aporticada principal é suficiente para garantir a indeslocabilidade. Entretanto, deve-se ter uma atenção especial quando a estrutura é projetada em laje cogumelo, Nesse caso, em virtude da ausência das vigas, não há a formação dos verdadeiros pórticcs e a rigidez fica reduzida, como se mostra no capítulo 7 do Volume 4. A falta das alvenarias de vedação pode agravar ainda mais problema. o grande problema das estruturas deslocáveis é relativo à instabilidade global, já que os deslocamentos horizontais nos vários andares criam excentricidades crescentes da força normal nos pilares. Na fig. apresentam-se duas situações distintas. Observando a fig. verifica-se que os momentos fletores nos pilares crescem sensivelmente à medida que se aproxima das fundações. um elemento rigido ao os deslocarientos horizontais no nível dos pisos podem ser desprezados, como na fig. 6.2.1-b. Neste caso, os pilares podem ser analisados isoladamente, andar por andar, como se eles fossem engastados elasticamente nos nós e os efeitos de segunda ordem são localizados.</p><p>86 Curso de Concreto Armado elemento rigido (a) (b) Fig. 6.2.1 - Efeito da deslocabilidade horizontal De acordo com o podem ser consideradas indeslocáveis as estruturas para as quais as seguintes desigualdades são atendidas: se (6.2.1) Fv 0,6 se , (6.2.2) onde: a= parâmetro de instabilidade; n= número de andares; = altura total da edificação, medida do topo da fundação ou de um nível indeformável; = soma dos valores de rigidez à flexão das seções dos elementos verticais na direção Fy = soma de todas as cargas verticais de serviço. Segundo a o limite 0,6 deve ser usado quando o</p><p>Considerações sobre cálculo de pilares de concreto armado 87 esse limite deve reduzido para 0,5 quando o contraventamento for apenas por pórticos. As equações (6.2.1) e (6.2.2) limitam os efeitos globais de segunda ordem a um máximo em de 10% dos respectivos efeitos de primeira ordem na Dessas equações verifica-se que, quanto mais alto for o e quanto maiores forem as cargas verticais, maior rigidez de contraventamento será necessária para garantir a indeslocabilidade. Para o cálculo do momento de inércia adotam-se apenas as seções transversais de concreto sem a inclusão das armaduras. o módulo de deformação longitudinal secante, pode ser obtido empregando-se a relação = 0,85x21500 MPa (6.2.3) 10 como sugerido pelo Volume 1). Quando a rigidez do pilar de contraventamento varia ao longo do seu eixo, é necessário determinar uma rigidez equivalente. mesmo deve ser feito quando o contraventamento é constituído por pórticos. Usualmente, considera-se que a rigidez equivalente é a rigidez de um pilar de seção constante, engastado na base e livre no topo, da mesma altura que a estrutura real, que, submetido ao carregamento horizontal da estrutura, apresenta o mesmo deslocamento horizontal no topo. valor ca rigidez equivalente, determinado desta maneira, depende do tipo de carregamento usado na análise. Para calcular a rigidez equivalente de um pórtico ou de um pilar de seção variável, pode-se aplicar uma força horizontal no topo do pilar ou do pórtico, como sugerido pelo Se U representa o deslocamento obtido na direção da força, a rigidez equivalente, é dada por (6.2.4) 3U onde é a altura do pórtico ou do pilar de seção variável.</p><p>Considerações sobre de pilares de concreto armado 121 6.8 Flambagem local das lâminas dos pilares-parede O problema da flambagem local nos pilares com seção de parede fina tem sido bastante estudado para os pilares de aço. Entretanto, poucos estudos teóricos e experimentais têm sido feitos com o objetivo de analisar a ocorrência de flambagem local nos pilares de concreto armado. De fato, esse problema não deveria ocorrer com a maioria dos pilares-parede que foram projetados no passado, quando se empregava concretos de relativamente baixa. Em vista dessa baixa resistência do concreto, as paredes tinham uma espessura resultando um pequeno índice de esbeltez para as lâminas do pilar. A carga de flambagem de cada lâmina isoladamente era bem superior à carga máxima que nela atuava, não havendo possibilidade de flambagem local. Entretanto, com o advento dos concretos de alta resistência, tem sido possível projetar e executar pilares de grande altura, com paredes de pequena espessura. A partir de então, a flambagem local se tornou no projeto de diversos pilares de ponte de seção No caso dos o problema da flambagem local pode ser importante, principalmente para as lâminas que possuem um bordo livre, nos ilares-parede de seção aberta. Para analisar a flambagem local em um pilar-parede, considera-se uma lâmina típica pilar, como indicado na fig. 6.8.1. A seção transversal da lâmina possui uma espessura tem camadas de armadura, cada uma com uma área de aço distância de uma camada genérica até centro da lâmina é área total de aço na seção é As = Na fig. representa-se o caso usual com duas camadas de armadura. A lâmina tem uma largura b e uma altura real 1. Os lados 1-2 e 3-4, situados no topo e na base da lâmina, respectivamente, são considerados simplesmente apoiados. No caso dos edificios, esses lados correspondem às lajes de piso, sendo a distância de piso a piso.</p><p>122 Curso de Concreto Armado p 1 2 s1 d' Lâmina 'd' s2 b Seção transversal 4 3 p b Fig. 6.8.1 - Lâmina típica de pilar-parede Ao longo dos lados verticais 1-3 e 2-4 tem-se um engastamento parcial na lâmina vizinha. Em virtude da dificuldade de quantificar esse grau de engastamento, e a favor da considera-se que esses lados também são simplesmente apoiados. Quando se tratar de uma lâmina de extremidade, nos pilares de seção aberta, um dos lados verticais corresponderá a um bordo livre, pela inexistência da lâmina vizinha. Uma vez definidas as condições de contorno ao longo dos lados verticais, pode-se obter o comprimento de flambagem da placa. Esse comprimento é fornecido na NBR-6118 e tem as seguintes expressões: A) Lâmina com os dois lados verticais simplesmente apoiados se (6.8.1) 2</p><p>Considerações sobre de pilares de concreto armado 123 B) Lâmina com um lado vertical simplesmente apoiado e outro em bordo livre le= 0,37 2 (6.8.3) 1 + 3b ) Da equação (6.8.2). verifica-se que comprimento de flambagem da lâmina simplesmente apoiada nos quatro lados, com 1>b. depende da largura b e independe da altura 1. o de esbeltez de cada lâmina do pilar-parede é dado por = le 12 (6.8.4) / A de exemplo, considera-se pilar-parede representado na fig. 6.8.2. A altura de piso a piso é igual a 4 m. Os comprimentos de flambagem das lâminas que formam o pilar são obtidos com o emprego das expressões anteriores. 1 20 200 1 2 2 2 20 180 20 Unidade: cm b=200 b=210 Fig. 6.8.2 - Pilar-parede de edifício</p><p>124 Curso de Concreto Armado Lâmina 1: Como 1>b. emprega-se a equação (6.8.2). b 200 = 100 cm 2 2 = 100/12 = 17 20 Lâmina 2: Neste caso, emprega-se a equação (6.8.3). 400 = = 285 cm 2 400 1+ 3x210 le 12 285 12 2 = = = 49 t 20 Como se observa, as lâminas de borda (lâminas 2) possuem um índice de esbeltez elevado e poderão sofrer flambagem local. De acordo com a NBR-6118, esses efeitos localizados devem ser verificados sempre que Os comprimentos de flambagem apresentados anteriormente foram obtidos a partir do estudo da flambagem das placas Essa análise pode ser encontrada em bibliografia específica, como na referência [1]. Quando o pilar-parede é parcialmente fechado por meio de lintéis nos níveis dos pisos, o comprimento de flambagem das lâminas com um bordo livre é reduzido. Neste pode-se empregar a equação (6.8.3), com no lugar de 1. Essa situação é representada na fig. 6.8.3.</p><p>Considerações sobre de pilares de concreto armado 125 t Laje Sem lintéis Com lintéis Fig 6.8.3 - Pilar-parede sem e com lintéis de fechamento Para os diversos casos de condições de contorno, a carga critica da lâmina, pode ser escrita na forma compacta r2 D = (6.8.5) onde le é o de flambagem, por analogia com a teoria de flambagem dos pilares, e D é a rigidez à flexão da placa. Para o caso linear, tem-se D = (6.8.6) onde b é a largura e é a espessura da lâmina, E é o módulo de e V é o coeficiente de Poisson do material. Para uma placa de concreto armado, devem-se considerar o módulo tangente do concreto e o módulo de elasticidade do aço Esses módulos são obtidos a partir dos diagramas tensão- deformação representados na fig. 6.8.4.</p><p>126 Curso de Concrete Armado Concreto Aço f yd ct 1 E 1 Evd Fig. 6.8.4 - Diagramas tensão-deformação para os materiais Para o concreto, emprega-se o diagrama A tensão para uma deformação dada por (6.8.7) E onde Derivando a expressão (6.8.7), obtém-se módulo tangente 1 (6.8.8) 2 Considerando a seção transversal indicada na fig. obtém-se a rigidez tangente da placa de concreto armado, D = + (6.8.9)</p><p>Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 129 = 243(0,5-8) (6.8.15) onde Conforme se observa, o índice de esbeltez diminui com o da resistência do concreto. Logo, pode-se concluir que os problemas de flambagem local serão mais importantes nos pilares- parede executados com concreto de alta resistência. Nas figuras 6.8.5 e 6.8.6, apresentam-se as curvas para duas classes de resistência do concreto. Na elaboração dessas figuras, considerou-se uma lâmina com duas camadas de armadura, como na fig. 6.8.1, e os seguintes dados: = = 0,20. Admitindo que p=1%, resulta para = 20 MPa, e = 40MPa. Logo, o pilar- parede da fig. 6.8.2 apresenta problema de flambagem local nas lâminas de número 2. Concreto: MPa 2.5 Ruptura sem flambagem 2.0 p=3% p=2% 1.5 p=1% Flambagem local p=0 1.0 0.5 para p=1% 0.0 0 20 40 60 80 100 da Fig. 6.8.5 - Deformação critica de flambagem (fek=20MPa)</p><p>130 Curso de Concreto Armado Concreto: MPa Ruptura sem flambagem 2.0 p=3% p=2% p=1% 1.5 Flambagem p=0 1,0 0.5 para p=1% 0.0 0 20 40 60 80 100 de A Fig. 6.8.6 - Deformação crítica de flambagem (fck=40MPa) No caso dos pilares de seção caixão, utilizados nas pontes, comprimento de flambagem das do pilar é obtido com is emprego das equações (6.8.1) e (6.8.2). Considerando caso usual em que e o índice de esbeltez é dado por = 12 (6.8.16) Considerando = (limite válido para = 40MPa p=1%) = e impondo a condição resulta Essa relação, b/t</p>