Graphmatica Manual do software

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Apresentação do Graphmatica 
 
1
 
GRAPHMATICA 
 
 
 O software GRAPHMATICA é um gerador de gráficos de funções de uma variável nas 
suas várias formas: cartesiana, polar, paramétrica, logarítmica, trigonométrica, 
inequação e implícita. Com ele é possível ainda, gerar campos de vetores no plano e 
fornecer a solução das correspondentes equações diferenciais e, além disso, permite 
calcular: derivadas, integrais, máximos, mínimos e zeros de funções. 
Com o GRAPHMATICA podem-se construir vários gráficos em uma só tela, salvar 
informações e equações, bem como redimensionar as escalas em cada eixo. Como 
ferramenta de Cálculo adicional, o programa GRAPHMATICA pode incluir símbolos de 
diferenciação, traçar retas tangentes ‘a uma curva e calcular uma integral definida. 
 
 
 
Apresentação do Graphmatica 
 
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 AAAppprrreeessseeennntttaaaçççãããooo 
 
 
: 
 
 ADICIONAR UMA NOVA PÁGINA 
 ABRIR UM DOCUMENTO NO GRAPHMATICA 
 SALVAR A PÁGINA 
 IMPRESSÃO 
 COPIAR GRÁFICOS 
 INSERIR PONTOS NO GRÁFICO 
 BARRA DE ROLAGEM 
 INSERIR TEXTO 
 OCULTAR O GRÁFICO 
 DELETAR O GRÁFICO 
 ZOOM 
 INSERIR TITULO 
 COORDENADAS X E Y 
 CONFIGURAR A EXIBIÇÃO 
 FONTES 
 INSERIR FUNÇÕES 
 INTEGRAÇÃO 
 DERIVADA 
 PONTOS CRÍTICOS 
Apresentação do Graphmatica 
 
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AAAlllggguuummmaaasss dddaaasss fffuuunnnçççõõõeeesss qqquuueee ssseee pppooodddeee eeennncccooonnntttrrraaarrr nnnooo GGGrrraaappphhhmmmaaatttiiicccaaa 
 
 LLLiiissstttaaa dddeee eeeqqquuuaaaçççõõõeeesss::: O Graphmatica memoriza as ultimas 25 equações que você 
digitou ou carregou de um arquivo. Pode salvar o seu trabalho para utilização 
numa sessão posterior ou para utilizar em qualquer editor de texto. 
 FFFuuunnnçççõõõeeesss aaauuutttooommmááátttiiicccaaasss::: O Graphmatica determina, automaticamente, o tipo de 
gráfico que você está introduzindo considerando as variáveis usadas; reconhece 
o domínio de uma equação; altera o número de pontos do domínio, de modo 
dinâmico, enquanto desenha o gráfico para se ter a certeza de que gráficos de 
funções como y = tg x sejam traçados corretamente; ajusta os eixos x e y, 
quando se altera a área ou o tamanho da janela do gráfico, para manter o 
aspecto proporcional do gráfico. 
 AAAnnnááállliiissseee dddeee eeeqqquuuaaaçççõõõeeesss::: O programa aceita as regras matemáticas, não as do 
computador. Pode utilizar multiplicação implícita, uma completa biblioteca de 
funções matemáticas (incluindo trigonometria), e parênteses. Não precisa isolar 
variável, numa equação, antes de desenhar o gráfico. Se a variável dependente 
aparecer apenas uma vez na equação, o Graphmatica isolará a variável sozinho. O 
Graphmatica apresenta seis estilos de gráficos: cartesianos, polares, 
paramétricos, diferenciais e ODEs com aproximações com valor inicial até 
quarta ordem (e sistemas lineares de quarta ordem também), todos detectados 
automaticamente, além de lidar também com inequações. 
 
 
Ca
m
po
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uz
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eq
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Apresentação do Graphmatica 
 
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 CCCooonnntttrrrooollleeesss fffáááccceeeiiisss::: A Barra de Botões proporciona acesso rápido aos 
comandos mais usados. Apresenta o menu principal onde você poderá 
visualizar a informação mais relevante e mensagens de ajuda, e uma caixa 
com a Lista de Equações, que permite selecionar qualquer equação, que 
estiver armazenada na memória, para desenhar o respectivo gráfico, apagar, 
ou editar para formar uma nova equação, etc. 
 OOOpppeeerrraaaçççõõõeeesss cccooommm ooo mmmooouuussseee::: Pode-se utilizar o mouse para selecionar um novo 
intervalo ou ver as coordenadas de um ponto, para selecionar o valor inicial 
para uma ODE e ainda encontrar a reta tangente a uma curva ou integrar uma 
função sem apertar uma única tecla. 
 PPPaaapppeeelll dddeee gggrrráááfffiiicccooo cccooonnnfffiiiggguuurrrááávvveeelll::: Você tem a opção de escolher entre papel 
normal e papel apropriado para trigonometria, equações polares, e funções 
logarítmicas, com quatro níveis de detalhes. 
 OOOpppeeerrraaaçççõõõeeesss dddeee CCCááálllcccuuulllooo::: Encontra derivadas, integrais, pontos de máximo e 
mínimo e zeros de funções cartesianas. 
 OOOpppçççõõõeeesss dddeee SSSaaaííídddaaa::: O Graphmatica permite copiar equações, tabelas de 
pontos e gráficos para a área de transferência e, além disso, você pode 
escolher níveis de qualidade de impressão para uma rápida, ou melhor, 
impressão quando imprime os seus gráficos. 
Apresentação do Graphmatica 
 
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BBBaaarrrrrraaa dddeee fffeeerrrrrraaammmeeennntttaaasss dddooo GGGrrraaappphhhmmmaaatttiiicccaaa 
 
 
 
 NNNeeewww gggrrriiiddd (novo documento em branco) - permite ao usuário criar uma nova 
página a ser editada. Para isso pressione o botão esquerdo do mouse sobre o ícone, 
e imediatamente aparecerá uma nova janela pronta para ser editada. Ao clicar 
sobre este ícone o Graphmatica perguntará se você quer salvar o documento que já 
foi editado. 
 
Você tem a opção de clicar: 
 
 Sim - para salvar o documento editado 
 Não - para não salvá-lo 
 Cancelar – para reeditar seu documento 
 
 OOOpppeeennn (abrir) - permite abrir algum documento editado no Graphmatica. Para 
isso pressione o botão esquerdo do mouse sobre o ícone e localize o arquivo que 
você deseja abrir dando-lhe um duplo clique. É importante observar que o arquivo 
pode estar localizado em vários locais do seu HD: no drive d -> (cd room), em c -> 
(unidade primária) ou no drive a -> (disquete) e, além disso, cabe lembrar que se o 
arquivo não foi editado no Graphmatica, será impossível abrí-lo através dessa 
janela. Caso você não se lembrar onde seu arquivo está localizado, tente achá-lo 
pelo sistema de busca do explorer (pressione o botão esquerdo do mouse sobre o 
menu iniciar -> pesquisar -> arquivos ou pastas). 
 novo 
documento 
Apresentação do Graphmatica 
 
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 SSSaaavvveee (salvar) - permite ao usuário salvar o documento editado. Para isso 
pressione o botão esquerdo do mouse no ícone e digite o nome do arquivo para 
salvar. Você pode escolher salvar o arquivo em qualquer parte do sistema (Ex: meu 
computador, desktop, meus documentos) e, uma vez salvo, você ainda poderá 
reeditá-lo e também renomeá-lo. Para isso, pressione o botão esquerdo do mouse 
sobre o nome do arquivo e logo em seguida pressione novamente. 
 
 
 
A
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Apresentação do Graphmatica 
 
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 PPPrrriiinnnttt (imprimir) - esta opção permite ao usuário imprimir o documento 
editado. Pressione o botão esquerdo do mouse neste ícone e configure o tipo de 
impressão que desejar. Antes de mandar imprimir verifique se sua impressora está 
instalada corretamente e se ela possui papel para impressão. 
 
 CCCooopppyyy GGGrrraaappphhhsss (copiar gráficos) - permite ao usuário transferir os gráficos 
editados para um outro local que desejar. 
 
 DDDrrraaawww GGGrrraaappphhhsss (Desenhar Gráficos) – uma vez clicado, desenha o gráfico da 
função que está no campo de edição. 
 
 PPPaaauuussseee – esta opção na maior parte do tempo se encontra desabilitada. 
Pausa durante o desenho dos gráficos. Ex: Escreva na barra de equação do 
graphmatica a função r= cos 9ttan t. 
 
 RRReeedddrrraaawww aaallllll (redesenhar todas) – permite que você visualize todos os gráficos 
que já foram desenhados e ocultados pelo clear screen. Ferramenta parecida com o 
draw graphs. 
 
 CCCllleeeaaarrr SSScccrrreeeeeennn (apagar) – oferece a opção de apagar os gráficos das funções 
que estão desenhadas. Lembrando que uma vez deletados, será impossível recuperá-
los. 
 
 HHHiiidddeee GGGrrraaappphhh (esconde gráfico) – esta opção esconde a equação que está no 
campo de edição. Pressione o botão esquerdo do mouse no gráfico (ou selecione a 
equação do gráfico na barra de equações)e, logo em seguida, pressione o botão 
esquerdo do mouse neste ícone para ocultá-lo. 
 
 DDDeeellleeettteee GGGrrraaappphhh (apaga gráfico) – Apaga a equação que está no Campo de edição 
do ecrã e da lista de funções (lista, na memória, com as ultimas funções inseridas). 
Para isso selecione o gráfico e logo após pressione este ícone com o botão esquerdo 
do mouse para apagá-lo. 
 
 ZZZoooooommm iiinnn (ampliar) - permite ao usuário ampliar os gráficos. Para efetuar esta 
operação basta pressionar o botão esquerdo do mouse sobre este ícone, quantas 
vezes quiser. 
 
 
 
Apresentação do Graphmatica 
 
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 ZZZoooooommm ooouuuttt (reduzir) – Está é uma ferramenta que permite ao usuário reduzir 
os gráficos, conforme sua vontade. Dê tantos cliques como quiser para ajustar o 
gráfico, conforme seu desejo. 
 
 
 
 DDDeeefffaaauuulllttt GGGrrriiiddd (grade padrão) – a configuração padrão do programa no 
eixo x e y é de –2 a 2. Assim quando você clicar neste ícone voltará a 
configuração inicial. 
 
 CCCoooooorrrdddiiinnnaaattteee CCCuuurrrsssooorrr (coordenadas de pontos) – esta opção fornece a 
localização exata do cursor e para isso basta pressionar o botão esquerdo do mouse 
no ícone e percorrer, com o ponteiro do mouse, a tela do Graphmatica. Você irá 
visualizar as diferentes coordenadas enquanto você percorrer a tela do 
Graphmatica. 
 
 FFFiiinnnddd dddeeerrriiivvvaaattteee (determinar a derivada): Permite encontrar a derivada da 
função que está no campo de edição. Pressione este ícone com o botão esquerdo do 
mouse e pronto, você irá visualizar o gráfico da derivada da função que está 
descrita no Graphmatica. 
 
 
 ampliar 
 reduzir
Apresentação do Graphmatica 
 
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 DDDrrraaawww TTTaaannngggeeennnttt - Esta opção permite ao usuário encontrar a reta tangente a 
uma curva num ponto. Lembrando que a reta tangente a uma curva, em um ponto 
desta, é aquela reta que mais se aproxima da curva em uma vizinhança do ponto de 
tangência. 
 
 
 
 IIInnnttteeegggrrraaattteee - Permite calcular a integral da função no intervalo escolhido 
(integral definida). Pressione o botão esquerdo do mouse no ícone e, com o mouse, 
selecione a região de integração. Observe o exemplo abaixo: 
 
 
descreve o 
gráfico da função 
derivada
descreve o 
gráfico da reta 
tangente a uma 
curva 
Apresentação do Graphmatica 
 
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 PPPoooiiinnnttt TTTaaabbbllleeesss Apresenta uma tabela com características do gráfico(equação, 
coordenadas). Para exibir a tabela pressione o botão esquerdo do mouse sobre este 
ícone. Você observará algo parecido com o que está descrito na figura abaixo: 
 
 
 
 
 DDDaaatttaaa PPPlllooottt EEEdddiiitttooorrr - Possibilita ao usuário “plotar” um conjunto de pontos no 
plano cartesiano. Além disso, permite que o usuário ajuste uma curva (ou uma reta) 
a este conjunto de dados. Ao inserir as coordenadas escolha o tipo de equação que 
está localizado no ícone options do data plot. Em seguida clique em curve fit para 
inserir o gráfico. Você ainda pode optar pela cor e formato (circulo ou quadrado) do 
ponto. 
Calcula a área da 
região descrita 
na figura
Descreve as 
coordenadas de alguns 
pontos do gráfico 
Apresentação do Graphmatica 
 
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BBBaaarrrrrraaa dddeee CCCooommmaaannndddooosss dddooo GGGrrraaappphhhmmmaaatttiiicccaaa 
 
O Graphmatica além de ter os comandos usuais, existentes em outros softwares, tais 
como copiar, salvar, imprimir etc, possui algumas outras funções específicas. 
FFFiiillleee 
 
 
NNNeeewww – abre uma nova página para ser 
editada. 
OOOpppeeennn – abre um documento gravado. 
SSSaaavvveee aaasss – salva o documento com um 
nome específico. 
SSSaaavvveee SSSeeetttuuuppp iiinnnfffooo – salva a 
configuração da página. 
PPPaaagggeee SSSeeetttuuuppp – permite a configuração da 
página (folha, orientação e impressão). 
PPPrrriiinnnttt – imprime o documento editado no 
Graphmatica. 
Apresentação do Graphmatica 
 
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EEEdddiiittt 
 
 
UUUnnndddooo GGGrrriiiddd RRRaaannngggeee: Esta opção desfaz a 
última mudança que você fez na escala 
da grade, usando a opção GRID RANGE, 
ZOOM IN ou ZOOM OUT. 
 
CCCooopppyyy GGGrrraaappphhhsss BBBMMMPPP: 
 Color - copia o gráfico em cores. 
 Monochrome – copia o gráfico sem 
cores (preto e branco). 
CCCooopppyyy GGGrrraaappphhhsss EEEMMMFFF: Copia os gráficos 
de maneira que se possa editá-los no 
Word. Uma vez copiado para o word, dê 
um duplo clique no gráfico e configure 
como desejar. 
CCCooopppyyy EEEqqquuuaaatttiiiooonnn: Copia a equação do 
gráfico inserido no Graphmatica. 
 
PPPaaasssttteee DDDaaatttaaa PPPlllooottt: Abre a janela para 
inserção de dados (x,y). Lembrando que 
cada par ordenado (x,y) representa um 
único ponto no gráfico. 
HHHiiidddeee GGGrrraaappphhh: Uma vez clicado, ele oculta as 
funções. 
DDDeeellleeettteee GGGrrraaappphhh eee DDDeeellleeettteee AAAllllll GGGrrraaappphhh: Deleta 
todos os gráficos inseridos no 
Graphmatica. Uma vez deletados, será 
impossível recuperá-los. 
AAAnnnoootttaaatttiiiooonnnsss: Permite inserir uma caixa de 
texto no Graphmatica. Dê um clique neste 
item do menu e, na janela do Graphmatica 
clique no ponto desejado. Lembrando que: 
caso você queira mudar a anotação para 
outro local basta arrastá-lo, com o mouse, 
para o local desejado. 
Apresentação do Graphmatica 
 
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VVViiieeewww 
 
 
 
 
 
 
CCCllleeeaaannn SSScccrrreeeeeennn: Uma vez clicado, ele 
oculta o(s) gráfico(s). 
ZZZoooooommm IIInnn: Aproxima o gráfico (visualiza-
se a diminuição do gráfico e o aumento 
dos valores das coordenadas). 
ZZZoooooommm OOOuuuttt: Afasta o gráfico (visualiza-
se o aumento do gráfico e a diminuição 
dos valores das coordenadas). 
 GGGrrriiiddd RRRaaannngggeee: Configura os eixos 
coordenados. 
Para obter qualquer uma dessas 
funções, você também pode clicar com o 
botão direito do mouse sobre qualquer 
parte da janela do programa, menos 
sobre os eixos coordenados. 
PPPoooiiinnnttt TTTaaabbbllleee: Fornece as coordenadas 
da função inserida. 
DDDaaatttaaa PPPlllooottt EEEdddiiitttooorrr: Insere pontos no 
Graphmatica (conforme visto 
anteriormente). 
VVVaaarrriiiaaabbbllleeesss PPPaaannneeelll SSScccrrrooolllbbbaaarrrsss: Habilita a barra 
de rolagem. 
TTTiiitttllleee aaannnddd lllaaabbbeeelllsss: Possibilita visualizar o 
titulo.
 
OOOppptttiiiooonnnsss 
 
 
 
Apresentação do Graphmatica 
 
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GGGrrraaappphhh PPPaaapppeeerrr - Possibilita configurar o tipo de exibição do gráfico. O estilo do 
gráfico(polar, logaritmo..), tipo de cor, c/s grade, escalas, coordenadas, etc. 
Observe a explicação logo abaixo: 
 
LLLoooggg OOOppptttiiiooonnnsss 
 Logaritmo Base - Permite a escolha da base da função logaritmo(loga, 
logb..). 
 Graph Paper Type - apresenta as seguintes opções - bod plot (somente 
em x), semilog (somente em y) e log-log (ambos).] 
 
 
 
LLLeeegggeeennnddd eeemmm xxx eee yyy - Oferece ao usuário a opção de configurar o intervalo de 
espaçamento de x e y. Ex: 0, 2 ,4 ,6... 
 
Apresentação do Graphmatica 
 
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LLLaaabbbeeelll - Permite inserir o titulo e adicionar caracteres para as coordenadas. 
 
 
 
CCCooolllooorrr - Possibilita configurar a cor do gráfico. Clique em grid elements, 
colour e preview e configure conforme desejado. 
Apresentação do Graphmatica 
 
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FFFooonnntttsss - Fornece vários estilos de fontes. Para cada uma das opções, basta 
selecionar a fonte desejada, escolher o estilo e o tamanho da fonte . 
 
 
Apresentação do Graphmatica 
 
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SSSeeettttttiiinnnggg - Apresenta as características globais da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GGGeeennneeerrraaalll - Oferece vários itens que podem ser habilitados. Ex: Draws graph 
pixes (deixa o contorno do gráfico mais expressivo), point tables (exibecoordenadas do gráfico). 
PPPoooiiinnnttt TTTaaabbbllleeesss – esta opção permite que o usuário visualize as coordenadas 
do(s) gráfico(s) inseridos no Graphmatica. 
TTTaaannngggeeennnttt LLLiiinnneee – pode-se optar pela exibição da região integrada com uma 
caixa de diálogo (habilite a opção show draw tangent). 
Apresentação do Graphmatica 
 
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IIInnnttteeegggrrraaatttiiiooonnn 
IIInnnttteeegggrrraaatttiiiooonnn MMMeeettthhhoooddd Possibilita 
a escolha do método de 
integração (trapezoidal rule, 
simpson’s rule...). 
AAAccccccuuurrraaarrreee Configura o modo de 
como a função deve ser 
 
 integrada (com o mouse ou por números 
de segmentos). 
IIImmmpppuuuttt MMMeeettthhhoooddd Permite selecionar a 
região a ser integrada com o mouse e a 
exibição da região integrada (x = -2 a 
x = 2).
CCCuuurrrvvveee FFFiiittt 
 MMMaaaxxxiiimmmuuummm nnnuuummmbbbeeerrr ooofff iiittteeerrraaatttiiiooonnn - permite escolher o número de 
interações. 
 EEEqqquuuaaaçççãããooo TTTyyypppeee – escolhe o tipo de curva que será ajustada 
(polinomial, sinusoidal, exponencial...) 
 
 
Apresentação do Graphmatica 
 
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TTToooooolllsss 
 
 
 
EEEvvvaaallluuuaaattteee - Esta opção permite obter valores de x ou de y ( insira o valor de x para 
obter o de y e vice-versa). 
FFFiiinnnddd IIInnnttteeerrrssseeeccctttiiiooonnn - Fornece o ponto de intersecção dos gráficos editados no 
Graphmatica. 
CCCoooooorrrdddiiinnnaaattteee CCCuuurrrsssooorrr - Permite que o usuário observe as coordenadas de um ponto. 
Deslize o cursor sobre a janela do Graphmatica ou sobre a curva descrita e você 
poderá observar os diversos valores das coordenadas do ponto sobre o qual o cursor 
está. 
SSSeeettt DDDooommmaaaiiinnn - Esta opção possibilita ao usuário restringir o intervalo de domínio da 
função descrita na janela do programa. Para isso dê um clique em set domain e, com 
o mouse, selecione o intervalo pretendido. Aparecerá ao lado da equação o intervalo 
selecionado. Pressione a tecla Enter para que esta restrição tenha efeito. 
 
CCCaaalllcccuuullluuusss 
 
FFFiiinnnddd DDDeeerrriiivvvaaatttiiivvveee - Descreve o gráfico da derivada da função que está no campo de 
edição. Selecione a equação do gráfico na barra de equações e, em seguida, 
pressione com o botão esquerdo do mouse no item Find Derivative. 
Apresentação do Graphmatica 
 
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DDDrrraaawww TTTaaannngggeeennnttt - Descreve o gráfico da reta tangente em um ponto da curva e 
determina o coeficiente angular e a equação desta reta. Basta pressionar o botão 
esquerdo do mouse sobre o item draw tangente e escolher um ponto, sobre a curva, 
onde você quer determinar a reta tangente. 
 
 
IIInnnttteeegggrrraaattteee - Possibilita a integração da função. Clique em um ponto sobre a curva e 
arraste o mouse para selecionar a região a ser integrada. 
 
A área é 
descrita aqui 
Apresentação do Graphmatica 
 
21
FFFiiinnnddd CCCrrriiitttiiicccaaalll PPPoooiiinnntttsss - Encontra os pontos de máximo e de mínimo e os zeros da 
função. 
HHHeeelllppp – informa ao usuário descrição do programa, contatos por web e uma ajuda 
básica no funcionamento do programa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráficos 
 
22
CCCRRRIIIAAAÇÇÇÃÃÃOOO DDDEEE GGGRRRÁÁÁFFFIIICCCOOOSSS 
 
O Graphmatica oferece os seguintes métodos para desenhar gráfico, sendo que cada 
método é detectado automaticamente, pelo programa, através da utilização de 
diferentes variáveis. 
 
 FFFuuunnnçççãããooo CCCaaarrrttteeesssiiiaaannnaaa (((rrreeetttaaannnggguuulllaaarrr))) – Equações do tipo y = 2x+3 que relacionam 
apenas as variáveis x e y. 
 FFFuuunnnçççãããooo CCCaaarrrttteeesssiiiaaannnaaa IIImmmppplllíííccciiitttaaa – Equações do tipo x^3 – xy + y^2 = 12 onde nem x e 
nem y podem ser isolada como a variável dependente. 
 IIInnneeeqqquuuaaaçççõõõeeesss – Você pode desenhar gráficos a partir de inequações substituindo o 
símbolo = por < , <= , > ou >=. 
Por exemplo: y<=x^3. 
 PPPooonnntttooosss IIIsssooolllaaadddooosss – Para descrever um ponto isolado (x,y), basta especificar os 
valores de x e de y. 
Por exemplo: x = 3; y = 4 descreve o ponto (3,4) 
 CCCooonnnjjjuuunnntttooo dddeee DDDaaadddooosss – Para descrever um conjunto de pontos (x,y), no plano 
cartesiano, basta especificar os valores de x e de y em Data Plot Editor clicando 
no ícone . Você pode também achar a melhor curva de ajuste para os dados 
descritos. 
 GGGrrráááfffiiicccooo dddooo tttiiipppooo PPPooolllaaarrr – Gráficos utilizando o sistema de coordenadas polares e as 
variáveis r e t (para  ). 
Por exemplo: r = 2cos(t). 
 GGGrrráááfffiiicccooo dddeee eeeqqquuuaaaçççõõõeeesss pppaaarrraaammmééétttrrriiicccaaasss – Gráficos utilizando o sistema de 
coordenadas cartesianas a partir de equações paramétricas, onde o parâmetro 
utilizado é a variável t. Gráficos deste tipo devem incluir o domínio. 
Por exemplo: y = t+1 ; x = 2t+1 {0,3}. 
 EEEqqquuuaaaçççõõõeeesss DDDiiifffeeerrreeennnccciiiaaaiiisss – O programa apresenta soluções numéricas aproximadas, 
para equações diferenciais, através de campo de direções. Utiliza dx (para a 
derivada dx/dt), x e t ou dy (para a derivada dy/dt), y e x. Você pode descrever 
campo de direções e aproximações para equações diferenciais ordinárias (com 
condição inicial) de primeira até quarta ordem. 
Por exemplo: dx = x^3 + 2t descreve um campo de direções para a 
equação diferencial dx/dt = x^3 + 2t. 
Outro exemplo: dy+y=1 {3,2} descreve uma curva solução para a equação 
diferencial dy/dt + y = 1 com condição inicial y = 2 para x = 3. 
 Gráficos 
 
23
 Existem algumas curvas que podem ser descritas graficamente (no Graphmatica) 
de uma maneira mais rápida e bem mais simples, dependendo do tipo de equação 
que se utilizar (equações cartesianas, polares ou paramétricas). 
Por exemplo: uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5 pode 
ser descrita graficamente utilizando-se a equação cartesiana x^2 + y^2 = 
25, as equações paramétricas x=5cos(t) ; y=5sin(t) {0, 2p} ou, de uma 
maneira mais rápida e muito mais simples, através da equação polar r = 5. 
 
 Tabela de Operadores 
 
24
OOOpppeeerrraaadddooorrreeesss
 
O Graphmatica utiliza os operadores, as funções e as variáveis descritas a seguir: 
 
OOOpppeeerrraaadddooorrr SSSiiigggnnniiifffiiicccaaadddooo 
= igualdade 
< > desigualdade estrita 
<= >= menor (maior) ou igual 
+ adição 
- subtração 
* multiplicação 
/ divisão 
^ ou ** exponenciação 
; Separa uma equação paramétrica 
‘ Torna o resto da equação um comentário 
{m,n} Especifica o domínio de uma função 
 
FFFuuunnnçççãããooo SSSiiigggnnniiifffiiicccaaadddooo 
abs Módulo (valor absoluto) 
acos , asec arco cosseno , arco secante 
asin , acsc arco seno , arco cossecante 
atan , acot arco tangente , arco cotangente 
sinh , cosh , tanh seno/cosseno/tangente hiperbólico 
tan , cot tangente (senx/cosx) , cotangente (1/tg x) 
sec , csc secante (1/cosx) , cossecante (1/senx) 
exp ex 
int maior inteiro ([x]) 
ln logaritmo natural (logex) 
log logaritmo na base 10 
sqrt (sqr) Raiz quadrada 
 Tabela de Operadores 
 
25
VVVaaarrriiiááávvveeeiiisss UUUtttiiillliiizzzaaaçççãããooo 
x , y coordenadas cartesianas (retangulares) 
r , t coordenadas polares 
x , y , t x e y como função do parâmetro t 
t , x , dx ODE de primeira ordem (dx representa dx/dt) 
x , y , dy ODE de primeira ordem (dy representa dy/dx) 
d2x (d2x/dt2) , d3x , ... ODEs de ordem maior ou igual a 2 
t , x , y , z , w , dx...dw Sistema de ODEs 
 ODE -> equação diferencial ordinária 
 
CCCooonnnssstttaaannnttteeesss VVVaaalllooorrr 
e constante de Euler = 2,718... 
π -> pi (ou p) 3,14159... 
d Converte graus em radianos = p/180 
OBS: Como padrão do programa, todas as funções trigonométricas trabalham em 
radianos, não graus. Você pode fazer a conversãousando a constante d: 
sin (45d) = sin (p/4) 
 cos (x*d) = cosseno de x, em graus 
Você precisará mudar a variação de x de 00 até 3600 para conseguir o 
gráfico completo. 
 
 
 
 
 Dicas Úteis 
 
26
 DDDiiicccaaasss ÚÚÚttteeeiiisss 
 
111... Para inserir uma função (ou uma equação) no Graphmatica, dê um clique no 
cccaaammmpppooo dddeee eeedddiiiçççãããooo e digite a equação desejada utilizando sempre as variáveis x e 
y (Ex: y= 2x-1). O programa não reconhecerá quando você adicionar f(x) = 2x-1 
ou utilizar outras variáveis diferentes de x e y. Existem outras variáveis que o 
programa adota tais como: r para distância, t para ângulo. 
 
 
 
222... EEEssspppeeeccciiifffiiicccaaannndddooo ooo dddooommmííínnniiiooo dddeee uuummmaaa fffuuunnnçççãããooo O Graphmatica permite que você 
especifique o domínio de cada função independentemente. Para especificar um 
domínio para uma equação, digite a expressão {m,n}, no campo de edição, logo após 
a expressão da função. Se você não quiser limitar um dos extremos do intervalo 
de variação do domínio, basta retirar da expressão {m,n} o valor desse extremo. 
Por exemplo, se a variação padrão de x no Graphmatica for 8x8  e você 
especificar um domínio de { , 2}, isto significa que os valores de x irão variar de 
-8 até 2. 
 
 Dicas Úteis 
 
27
333... Você pode escolher a melhor janela de visualização com Zoom in ou Zoom out; 
 
 Observe o exemplo seguinte: 
 
Observe que o gráfico não aparece nessa janela de visualização. Você pode 
escolher uma janela melhor clicando em um dos ícones disponíveis na Barra 
de Ferramentas. A partir daí, você escolherá a melhor janela para visualizar o 
gráfico da função. 
 
Janela depois de um 
clique no ícone 
Janela depois de dois 
cliques no ícone 
Janela padrão 
 Dicas Úteis 
 
28
444... Para tornar mais grosso o traço do gráfico, clicar em Options ->Settings e depois 
em Draw graphs with wide lines e escolher a espessura do traço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
555... Você pode acrescentar um comentário ao gráfico em Edit -> Annotations. 
 
Espessura do 
traço 
 Dicas Úteis 
 
29
666... Você pode colocar um título e/ou comentários laterais, no gráfico, em Options -> 
Graph Paper -> Labels 
 
 
 
 
 
 
 
777... Você pode modificar as cores que serão utilizadas pelo programa em Options -> 
Graph Paper -> Colors. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dicas Úteis 
 
30
888... Você pode alterar o padrão de fundo em Options -> Graph Paper . 
 
 
999... Você pode alterar o tipo e o tamanho das letras utilizadas nos gráficos em 
Options -> Graph Paper -> Fonts. 
 
 
111000... Para inserir vários gráficos, no Graphmatica, proceda da seguinte maneira: logo 
que inserida a primeira função, apague-a e digite a próxima função desejada. Faça 
isto quantas vezes for necessário. 
 Dicas Úteis 
 
31
 
 
 
 
111111... Para descrever o conjunto R2, domínio de uma função de duas variáveis 
z = f(x,y), basta inserir, no campo de edição, as desigualdades x>a e x<a (uma de 
cada vez) para qualquer valor de a. Você irá obter um gráfico como o apresentado 
abaixo. 
x
y
-5 0 5
-5
0
5
 
 
111222... CCCooopppiiiaaarrr uuummm gggrrráááfffiiicccooo Claro que você pode (e deve) gravar um gráfico no 
formato normal do programa em File -> Save/Save as. Contudo, para poder usar a 
imagem do gráfico, em outros programas, terá que copiá-la como uma imagem. O 
Graphmatica permite copiar em dois formatos de imagens quando se clica em Edit: 
EMF ou BMP. 
 Dicas Úteis 
 
32
x
y
-
2 
0 2
0
2
4
 Edit -> Copy Graphs EMF -> Color (também poderia ser Monochrome). É 
preferível escolher o formato EMF ou WMF quando se pretende utilizar o 
gráfico num documento do Word (por exemplo), pois com este formato é 
possível editar e fazer alterações na imagem a partir do próprio Word. 
 
 
111333... GGGeeennneeerrraaallliiidddaaadddeeesss sssooobbbrrreee cccaaappptttaaaçççãããooo dddeee iiimmmaaagggeeennnsss 
CCCooolllaaarrr ooo gggrrráááfffiiicccooo nnnuuummm dddooocccuuummmeeennntttooo WWWooorrrddd 
 Posicionar o cursor no local onde se desenha a imagem; 
 Colar a imagem com os comandos Ctrl + V ou com Edit -> Paste (ou Paste 
Especial); 
 Editar a imagem. 
CCCuuuiiidddaaadddooosss aaa ttteeerrr 
 Caso a imagem tenha sido copiada do Graphmatica no formato EMF, pode-se 
alterar cada uma das partes desta imagem. Dessa forma, depois de colada a imagem 
no Word, basta clicar em cima dela com o botão direito do mouse, escolher Editar 
Figura/Imagem (eventualmente terá de desagrupar) e depois selecionar cada parte 
da imagem para mover, ou alterar. 
 AAAlllggguuummmaaasss ooobbbssseeerrrvvvaaaçççõõõeeesss nnneeeccceeessssssááárrriiiaaasss::: 
 
 
 
 
 
 
 Quando o gráfico é constituído por duas ou 
mais linhas e se pretende alterar este gráfico, 
é necessário alterar as várias linhas que o 
constituem. 
 O gráfico apresenta dois zeros e, portanto, 
torna-se necessário apagar um deles. 
 Dicas Úteis 
 
33
 
 
 
 
 
 
 
Este é o exemplo de um gráfico 
mal construído, porque: 
 
- uma anotação tem letra 
pequena demais; 
 
- a legenda Fig.1 não está 
totalmente visível; 
 
- o gráfico tem uma parte em 
que o traço é mais grosso; 
 
- não aparece o local exato do 
valor das coordenadas; 
- aparecem dois zeros; 
- As legendas x e y estão em 
posições incorretas. 
 
 
111444... UUUsssooo dddooo ZZZoooooommm 
Ao longo do uso, depois de tanto ir e vir no botão do Zoom pode ser interessante 
utilizar a opção Default Grid que restabelece a forma inicial de trabalho. Clique 
com o botão direito do mouse, em algum lugar da janela do programa, e aparecerão 
algumas opções como Default Grid e Grid Range. A primeira como já foi dito, 
retorna as configurações iniciais e a segunda oferece a opção de configurar as 
escalas nos eixos. 
 A legenda x aparece por cima e a legenda y aparece do lado direito. 
 Aparecem todas as coordenadas, mesmo as desnecessárias. 
 O tamanho das letras e números modifica-se quando se amplia ou reduz o tamanho 
do gráfico. 
 Os eixos do referencial cartesiano têm setas pequenas que podem ser apagadas e 
substituídas quando se define a extremidade de cada eixo. 
 Completar ou aperfeiçoar o gráfico, principalmente no que se refere à espessura dos 
traços e dos eixos. 
 Dicas Úteis 
 
34
Observe: 
Em Left/Right você configura a escala no eixo x e em Bottom você configura a 
escala no eixo y. 
 
 
 
 
Para casos mais “graves”, saia e entre novamente no programa. Às vezes apelar 
desse modo pode ser mais rápido para resolver. 
 
1155.. FFFuuunnnçççõõõeeesss LLLooogggaaarrrííítttmmmiiicccaaasss Para inserir gráficos de funções logarítmicas (no 
Graphmatica) com base b diferente de e (constante de Euler), procede-se da 
seguinte maneira: considerando uma função qualquer y = logb x (logaritmo de x na 
base b), faz-se a mudança da base b para a base e [ logb x = ln(x)/ln(b) ] e passa-se 
a trabalhar com a nova função y = ln(x)/ln(b). Por exemplo, para descrever o 
gráfico da função y = log2x, digitamos (no campo de edição do programa) a função 
y = ln(x)/ln(2). 
 
 
 
 
 Dicas Úteis 
 
35
111666... CCCooommmooo cccooonnnssstttrrruuuiiirrr uuummmaaa fffaaammmíííllliiiaaa dddeee cccuuurrrvvvaaasss 
 
Para exemplificar o procedimento, vamos trabalhar com a equação de uma cônica 
como a descrita abaixo: 
 
com o a variando entre -3 até 6 com incremento de 1 unidade. 
 No editor de equações do Graphmatica inserimos a expressão da equação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obtemos assim a seguinte imagem: 
 
 
 
 A partir daí, você pode alterar os valores de a de acordo com sua necessidade. 
 No caso aqui queremos descrever a família de funções nointervalo [-3;6]. 
Comece por apagar o 1 e insira o -3 em seu lugar. 
 
e pressionamos a tecla
Significa que a irá assumir valores no 
intervalo [1;3], sendo o acréscimo de 
uma unidade. 
 Dicas Úteis 
 
36
 A seguir, apague o 3 e insira o 6 em seu lugar e finalmente aparece a seguinte 
imagem 
 
 
 
 Aperte a tecla Enter ou clique no botão, obtendo a família de funções abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
111777... CCCooommmooo cccooonnnssstttrrruuuiiirrr cccuuurrrvvvaaasss eeemmm cccoooooorrrdddeeennnaaadddaaasss pppooolllaaarrreeesss 
Existem algumas situações em que é interessante usar o sistema de coordenadas 
polares ao invés do sistema de coordenadas cartesianas. Muitas equações tornam-se 
mais simples neste sistema e, além disso, através das equações polares você obter 
curvas diferentes e interessantes. 
Inicialmente, vamos entender o que seja um sistema de coordenadas polares. 
 
DDDeeefffiiinnniiiçççãããooo dddeee CCCoooooorrrdddeeennnaaadddaaasss PPPooolllaaarrreeesss::: 
 
Para definir coordenadas polares de um ponto é necessário primeiramente definir o 
sistema de referência. Para isto escolhemos um ponto O no plano, denominado de 
pólo (ou origem do sistema) e uma semi-reta orientada OA (eixo polar). 
Cada ponto P pode ser localizado através de sua associação a um par ordenado polar 
(r,t) onde t dá a medida do ângulo orientado, a partir do eixo polar, e r dá a 
distância (com sinal) orientada de O a P. 
 
 Dicas Úteis 
 
37
 
 
 
 
 
 
As coordenadas de P podem então ser positivas ou negativas. Vamos entender bem 
isto. Como na trigonometria, t é positivo (t > 0) quando medido no sentido anti-
horário (a partir do eixo polar); e t é negativo (t < 0) quando medido no sentido 
horário (a partir do eixo polar). 
 r > 0 significa que o ponto P está na semi-reta terminal do ângulo t. 
 r < 0 significa que o ponto P está na semi-reta oposta à semi-reta terminal do 
ângulo t. 
Para que se torne bem clara a definição de coordenadas polares tente entender as 
coordenadas dos pontos indicados abaixo: 
 
Veja a seguir como se estabelecem as relações entre o sistema de coordenadas 
polares e o sistema de coordenadas cartesianas. 
 
eixo polar
Origem (polo) 
t 
P(r,t) 
r
O 
P(2, )
6
 
6

P ’(-2, )
6
 
Q(3, )
3
 = Q’’(-3, )
3
4
Q’(3, )
3
4 = Q’’’(-3, )
3
 
3

eixo polar
 Dicas Úteis 
 
38
RRReeelllaaaccciiiooonnnaaannndddooo cccoooooorrrdddeeennnaaadddaaasss pppooolllaaarrreeesss eee cccaaarrrttteeesssiiiaaannnaaasss 
 
Para relacionarmos as coordenadas cartesianas com as polares adotamos o seguinte 
procedimento: primeiramente colocamos as duas origens dos sistemas juntas e 
consideramos o eixo polar como o eixo x positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observamos, na figura acima, um triângulo retângulo que tem por hipotenusa r e x e 
y como catetos. Usando o Teorema de Pitágoras e algumas relações trigonométricas 
no triângulo retângulo, obtemos as seguintes equações que relacionam coordenadas 
polares e cartesianas: 
x = r cos t y = r sen t x2 + y2 = r2 tg
x
y
 t 
 
CCCooommmooo tttrrraaabbbaaalllhhhaaarrr cccooommm cccoooooorrrdddeeennnaaadddaaasss pppooolllaaarrreeesss nnnooo GGGrrraaappphhhmmmaaatttiiicccaaa 
Para trabalhar no Graphmatica com equações polares, inicialmente devemos entrar 
no ambiente de trabalho para coordenadas polares. 
 Para isto no menu Options clique em Graph Paper e a seguir: 
 marque a opção Polar 
 desmarque a opção Draw axes 
 
 
 
 
 
 
 
y
eixo polar x
t = 0, r ≥ 0
O x
t
P(x,y) = P(r,t)
yr
Origem 
em comum 
 
 Dicas Úteis 
 
39
Você irá obter uma janela como a descrita na figura abaixo e, a partir de agora, 
estará trabalhando em um sistema de coordenadas polares. 
 
Não esquecer que a sintaxe usada no Graphmatica é: 
r para distância 
t para ângulo 
p para o número p 
Para representar graficamente a curva r = 1- cos θ, você deve digitar a expressão 
r=1-cos(t) (no campo de edição do programa), pois o Graphmatica não reconhece a 
variável θ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembramos que, como no caso de coordenadas cartesianas, podemos usar o recurso 
de restrição de domínio e parâmetros. 
 
 Dicas Úteis 
 
40
111888... CCCooommmooo cccooonnnssstttrrruuuiiirrr uuummm cccaaammmpppooo dddeee dddiiirrreeeçççõõõeeesss (((EEEDDDOOO))) 
Lembramos que um Campo de Direção é constituído por vários segmentos de reta 
que indicam a direção na qual uma curva solução de uma EDO está seguindo. Assim, o 
campo de direções nos ajuda a visualizar o formato geral dessas curvas. 
Para descrever um campo de direções para uma equação diferencial 4 dI
dt
+12I=60, 
por exemplo, basta inserir a equação 4dy+12y=60 no campo de edição do 
Graphmatica (o programa aceitará variáveis x e y apenas). Observar que o programa 
entende dy como se fosse dy
dx
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x-10 -5 0 5 10
-5
5
y
 Gráficos 
 
41
 
Bibliografia e referências bibliográficas: 
 
JAMES, STEWART – Cálculo, volume 2, 4ºed. – São Paulo: pioneira 
Thomson learning, 2001. 
HTTP://WWW107.PAIR.COM/CAMMSOFT/GRAPHMATICA.HTML 
HTTP://WWW.ANGELFIRE.COM/CA/CAMMAC/GRAPHMATICA.HTML