Introdução as funções I

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Conceitos prévios 
INTRODUÇÃO 
 
Bom antes de aprendermos sobre funções, vejamos alguns conceitos importantes. 
CONCEITO DE PAR EM CONJUNTOS 
 
Par em conjuntos é todos os conjuntos que possuem apenas dois elementos. 
 
Exemplo: 𝑨 = {𝟏; 𝟐} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 𝑩 = {𝒂; 𝒃} 
Exemplo: 𝑪 = {𝒙; 𝒚} 
 
Nos conjuntos do par quando temos dois conjuntos com os mesmos elementos, mas esses 
elementos organizados de uma forma diferente ou o mesmo elemento repetido, esse 
A 
1 
2 
conjunto continua o mesmo independente disso, ou seja, uma organização diferente ou 
repetição de elementos não gera um conjunto diferente. 
 
Exemplo: 𝑩 = {𝒂; 𝒃} = {𝒂; 𝒂; 𝒃} 
Exemplo: 𝑪 = {𝒙; 𝒚} = {𝒚; 𝒙} 
 
CONCEITO DE PAR ORDENADO EM CONJUNTOS 
 
É todo conjunto que tem 2 elementos apenas, e vamos representar os elementos do par 
ordenado entre colchetes (essa é a representação algébrica) da seguinte forma: 
 
𝑨 = (𝒙; 𝒚) 
 
 
Mas esses elementos, a ordem importa, pois, trocar a posição deles, vai resultar em um par 
ordenado diferente. Vejamos: 
 
𝑨 = (𝒙; 𝒚) 
𝑩 = (𝒚; 𝒙) 
Assim: 𝑨 ≠ 𝑩, pois são pares ordenados diferentes 
 
Elementos do par ordenado 
 
Como vimos já o par ordenado é representado da seguinte forma: 
 
𝑨 = (𝒙; 𝒚) 
• Primeiro elemento: onde o primeiro elemento que aparecer neste par ordenado é 
chamado de abcissa. 
 
• Segundo elemento: o segundo elemento que aparecer neste par ordenado é 
chamado de ordenada. 
 
Observação: para dois pares ordenados com os elementos em ordem diferentes serem 
iguais, os elementos deles precisam ser iguais também. Da seguinte forma: 
 
𝑨 = (𝒂; 𝒃) 
𝑩 = (𝒃; 𝒂) 
𝑨 = 𝑩 ⇔ 𝒂 = 𝒃 
 
Atenção: para dois pares ordenados serem iguais o valor da ordenada de um, precisa ser 
igual à do outro, bem como o valor da abcissa. Vejamos 
 
𝑨 = (𝒂; 𝒃) 
𝑩 = (𝒄; 𝒅) 
 
Para o conjunto A ser igual ao conjunto B precisamos que: 
 
𝒂 = 𝒄 𝒆 𝒃 = 𝒅 
 
 
Exemplo: encontre os valores de “x” e de “y” se os seguintes conjuntos “P” e “M” são iguais. 
 
𝑷 = (𝑿 + 𝟏; 𝟐𝒀) 
𝑴 = (𝟑; 𝟒) 
 
Se os dois conjuntos são iguais então as ordenadas e abcissas precisam ser iguais. 
 
𝒙 
𝒙 + 𝟏 = 𝟑 
𝒙 = 𝟐 
 
𝒚 
𝟐𝒚 = 𝟒 
𝒚 = 𝟐 
PLANO CARTESIANO 
 
Para aprender sobre função, vamos precisar entender sobre o plano cartesiano. Que são duas 
retas reais perpendiculares que formam um ângulo de 90°, ou seja, duas retas numéricas reais 
que se cruzam formando o que parece ser uma cruz da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nomenclatura 
 
Vejamos o que cada parte do plano cartesiano é. 
 
Reta na vertical: é chamado de eixo “y”, ou eixo das ordenadas. 
 
Reta na horizontal: é chamada de eixo “x”, ou eixo das coordenadas. 
 
Ponto de encontro das duas retas: é chamado de origem, pois nesse ponto é a origem das 
duas retas reais. 
 
Vejamos o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: observe as seguintes simbologias que podem aparecer em alguma questão: 
 
𝒙 ⊥ 𝒚 : x é perpendicular a y; 
 
𝒙 ∘ 𝒚: plano ou sistema cartesiano. 
Utilidade do plano cartesiano 
 
Usamos a reta real para representar pontos com um certo valor para a reta real “y” e outro 
certo valor para a reta real “x” e esses pontos quando vamos traçar uma linha sobre eles 
acaba formando uma função, seja uma parábola, reta ou que seja. E esses pontos serão pares 
ordenados, que tem um valor para X e um par Y, pois no par ordenado temos um valor para 
cada que no primeiro elemento é o valor de X e no segundo o valor de Y. Essa vai ser a 
utilidade do plano cartesiano em funções, mas o plano cartesiano também representa 
coordenadas, gráficos, posições de algo e etc. 
 
Quadrantes do plano cartesiano 
 
No plano cartesiano temos 4 quadrantes, que são as divisões do plano cartesiano. Vejamos 
cada uma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinais 
 
Como temos duas retas reais temos que lembrar que a origem divide a parte dos números 
negativos das partes dos números positivos, e assim vejamos os sinais das duas retas: 
 
Eixo Y: o eixo y é o seguinte tudo da reta que estiver acima da origem, são números positivos. 
 
Eixo X: o eixo x é igual vimos nas retas reais, não muda nada a esquerda da origem fica os 
números negativos e a direita os positivos. 
Vejamos no plano cartesiano esses sinais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Retas reais no plano com valores 
 
Observe a retas reais com seus valores no plano cartesiano, pois como se trata de retas reais 
elas representam os conjuntos dos reais geometricamente com todos os números que 
pertencem a esse conjunto, indo até o infinito para os 4 cantos das retas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PAR ORDENADO NO PLANO CARTESIANO 
 
Todo par ordenado pode ser representado em um plano cartesiano, até agora só vimos como 
representar algebricamente. 
 
E como vamos fazer? Vamos relembrar que o primeiro elemento ele é a coordenada que é 
o eixo X do plano cartesiano, e o segundo elemento do par é a ordenada que é o eixo Y do 
plano cartesiano, então um valor do par ordenado será representado pelo eixo Y e outro no 
eixo X. 
𝑨 = (𝒙; 𝒚) 
 
E vamos fazer da seguinte forma pegar o valor do X no par e procurar ele na reta real do X 
na reta horizontal e fazer o mesmo no Y, e quando acharmos os dois valores para X e Y, 
vamos traçar uma reta saindo desses dois valores de forma perpendicular (como uma cruz) e 
vamos traçando-as até se encontrarem formando um ângulo de 90° e esse ponto de encontro 
é a representação gráfica do par ordenado. 
 
Exemplo: represente no plano cartesiano o seguinte par ordenado A = (2; 3). 
 
Vejamos um passo a passo que vai servir para representar qualquer par ordenado no plano 
cartesiano. 
 
1° passo: vamos pegar e traçar a linha vertical do X, achando o valor do primeiro 
elemento do par ordenado na reta real X e traçar uma linha vertical (para cima). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2° passo: vamos pegar e traçar a linha horizontal do Y, achando o valor do segundo 
elemento do par ordenado na reta real Y e traçar uma linha horizontal (para os lados). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3° passo: vamos pegar ver o ponto de encontro dessas linhas e marcar esse encontro 
com uma bolinha, e essa bolinha será a representação gráfica do par ordenado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos agora uma representação do plano cartesiano traçando pontos nos quatro 
quadrantes e assim mostrando os sinais e como se representa os pares ordinandos no plano 
cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto os pares ordenados em cada quadrante é: 
 
1° quadrante: (+x; +y) 
 
2° quadrante: (-x; +y) 
 
3° quadrante: (-x; -y) 
 
4° quadrante: (+x; -y) 
 
Casos especiais de pares ordenados 
 
Existem casos em que um ou os dois pares ordenados, é igual a zero, assim no elemento que 
for zero a representação gráfica ficará marcada em um dos dois eixos, pois ele é zero e o zero 
fica na origem da reta. Da seguinte forma: 
 
Exemplo: Vamos para exemplificar e entender esse conceito colocando os seguintes pares 
ordenados no plano cartesiano. 
𝑷𝟏 = (𝟎; 𝟐) 
𝑷𝟐 = (−𝟏; 𝟎) 
𝑷𝟑 = (−𝟐; 𝟎) 
𝑷𝟒 = (𝟎; −𝟐) 
𝑷𝟓 = (𝟎; 𝟎) 
𝑷𝟔 = (𝟐; 𝟎) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: quando temos algum elemento ou os dois elementos iguais a zero, no par 
ordenado, na representação gráfica eles não vão pertencer a nenhum quadrante, pois 
pertencem a um eixo. 
 
Exemplo: informe os pares ordenados e seus quadrantes do seguinte gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑷𝟏 = (𝟏; 𝟐) → 𝟏° 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 
𝑷𝟐 = (𝟏; 𝟓) → 𝟏° 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 
𝑷𝟑 = (𝟑; 𝟑) → 𝟏° 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 
𝑷𝟒 = (𝟎; 𝟏) → 𝒏𝒆𝒏𝒉𝒖𝒎 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 
𝑷𝟓 = (𝟐; 𝟎) → 𝒏𝒆𝒏𝒉𝒖𝒎 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆𝑷𝟔 = (−𝟏; −𝟑) → 𝟑° 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 
𝑷𝟕 = (𝟓; 𝟎) → 𝒏𝒆𝒏𝒉𝒖𝒎 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 
𝑷𝟖 = (𝟐; −𝟒) → 𝟒° 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 
𝑷𝟗 = (𝟎; −𝟓) → 𝒏𝒆𝒏𝒉𝒖𝒎 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 
𝑷𝟏𝟎 = (𝟎; 𝟎) → 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒆𝒎 
 
Como não pertencem a nenhum quadrante, ele pertence aos eixos, mas eles têm um nome 
para esses casos então vejamos quais são: 
 
Par ordenado Pertence ao: 
(𝒙; 𝟎) 𝒔𝒆𝒎𝒊𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒅𝒂 𝒂𝒃𝒄𝒊𝒔𝒔𝒂 
(𝟎; 𝒚) 𝒔𝒆𝒎𝒊𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒅𝒂 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂 
(−𝒙; 𝟎) 𝒔𝒆𝒎𝒊𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒅𝒂 𝒂𝒃𝒄𝒊𝒔𝒔𝒂 
(𝟎; −𝒚) 𝒔𝒆𝒎𝒊𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒅𝒂 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂 
(𝟎; 𝟎) 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒅𝒂𝒔 𝒂𝒃𝒄𝒊𝒔𝒔𝒂𝒔 𝒆 𝒅𝒂𝒔 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 
 
Simetria dos pares ordenados 
 
Aqui vamos ver como refletir um par ordenado do 1° quadrante para os outros quadrantes, 
ou seja, aprender a fazer pares ordenados simétricos, e para ser simétrico um par ordenado 
do outro ele precisa ter a mesma distância e altura das retas até se encontrarem da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos ver que a distância do par ordenado até a origem é 2, e a altura da origem até o 
par ordenado é 3 nos dois pares ordenados P1 e P2. 
 
Observação: Devemos nos lembrar que a distância e altura geometricamente falando não 
existe negativa, então a altura e distância mesmo que estejam na parte negativa da reta, elas 
não serão negativas. Assim vemos que a 
 
1- Refletindo do 1° quadrante para o 2° quadrante 
 
Para refletir do 1° quadrante um par ordenado para o 2° quadrante vamos apenas multiplicar 
o elemento do eixo X por menos um (-1) no caso o primeiro elemento do par ordenado. 
 
Exemplo: pegando o seguinte par ordenado que pertence ao 1° quadrante, reflita ele no 2° 
quadrante. 
𝑷𝟏 = (𝟑; 𝟐) 
𝑷𝟐 = (−𝟑; 𝟐) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim podemos ver que a distância e a altura desses pontos (P1 e P2) são 
iguais, então se trata de pares simétricos. 
 
h = 2 
D = 3 
 
2- Refletindo do 1° quadrante para o 4° quadrante 
 
Para refletir do 1° quadrante um par ordenado para o 4° quadrante vamos apenas multiplicar 
o elemento do eixo Y por menos um (-1), no caso o segundo elemento do par ordenado. 
 
Exemplo: pegando o seguinte par ordenado que pertence ao 1° quadrante, reflita ele no 2° 
quadrante. 
𝑷𝟏 = (𝟑; 𝟐) 
𝑷𝟐 = (𝟑; −𝟐) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim podemos ver que a distância e a altura desses pontos (P1 e 
P2) são iguais, então se trata de pares simétricos. 
h = 2 
D = 3 
 
3- Refletindo do 1° quadrante para o 3° quadrante 
 
Para refletir do 1° quadrante um par ordenado para o 3° quadrante vamos multiplicar o 
elemento do eixo Y por menos um (-1) e o elemento do eixo X por menos um também, no 
caso o segundo e o primeiro elemento do par ordenado. 
 
Exemplo: pegando o seguinte par ordenado que pertence ao 1° quadrante, reflita ele no 3° 
quadrante. 
𝑷𝟏 = (𝟑; 𝟐) 
𝑷𝟐 = (−𝟑; −𝟐) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim podemos ver que a distância e a altura desses pontos (P1 e 
P2) são iguais, então se trata de pares simétricos. 
h = 2 
D = 3 
PAR ORDENADO POR MEIO DE CONJUNTO (DIAGRAMA) 
 
Podemos representar o par ordenado por diagramas igual em conjuntos, onde um conjunto 
é representado por meio de uma elipse e dentro dessa elipse tem os elementos. 
 
E como fazemos essa representação? Vamos escrever dois conjuntos, um deles vai 
representar números da reta real Y (ordenadas) e o outro vai representar os números da reta 
real X (abcissas). da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E como vamos fazer essa representação do par ordenado? Vamos traçar setas saindo dos 
números (elementos) do conjunto dos números da reta real X (abcissas) e chegando nos 
números do conjunto da reta real Y e assim vamos formar pares ordenados com o número 
que a seta sai (que será o primeiro elemento do par ordenado) com o número que a seta 
chega (que será o primeiro elemento do par ordenado). Da seguinte forma: 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
1 
2 
3 
-1
 0 
3 
4 
5 
A (abscissas) B (ordenadas) 
x y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como o diagrama mostra formamos os seguintes pares ordenados: 
 
𝑷𝟏 = (𝟏; −𝟏) 
𝑷𝟐 = (𝟐; 𝟎) 
𝑷𝟑 = (𝟑; 𝟑) 
 
Resumindo: cada seta que sai do primeiro conjunto em direção ao segundo, forma um para 
ordenado! 
PRODUTO CARTESIANO 
 
O produto cartesiano é representado da seguinte forma, sendo A e B dois conjuntos: 
 
𝑨 × 𝑩 
 
Mas o que é o produto cartesiano? É basicamente o conjunto que aparecer primeiro na 
representação que nesse caso é o “A”, vamos pegar cada um de seus elementos e fazer pares 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
1 
2 
3 
-1
 0 
3 
4 
5 
x y 
A (abscissas) 
B (ordenadas) 
ordenados com todos os elementos de B, vindo sempre primeiro o elemento do conjunto A 
no par ordenado, ou seja, o primeiro elemento do par ordenado do produto cartesiano 
será o conjunto das abscissas (x) e o segundo das ordenadas(y) e assim sempre que 
fizermos um produto cartesiano vamos criar um novo conjunto com todos os pares 
ordenados formados desse produto cartesiano. 
 
Exemplo: tendo dois conjuntos K e J informe o produto cartesiano KxJ. 
 
𝑲 = (𝟏; 𝟐) 
𝑱 = (𝟑; 𝟒; 𝟓) 
 
𝑲 × 𝑱 = {(𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒); (𝟏, 𝟓); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒); (𝟐, 𝟓)} 
Como podemos ver pegamos o número 1 e formamos pares com todos os elementos 
de B e depois pegamos número 2 do conjunto da frente e formamos pares com todos 
os elementos de B isso é o produto cartesiano. 
 
Outros nomes para o produto cartesiano? Tem outros nomes que podem ser dados para 
o produto cartesiano. Vejamos: 
 
𝑨 × 𝑩 
1- Produto cartesiano de A em B; 
2- Cartesiano de A em B; 
3- A cartesiano B. 
 
Representação do produto cartesiano por diagrama 
 
Vamos representar da mesma forma que os pares ordenados só que a única diferença aqui é 
que vamos fazer uma representação para cada elemento (do primeiro conjunto do produto 
cartesiano) fazendo pares com todos os elementos do segundo conjunto. Aqui o primeiro 
conjunto do produto cartesiano será o conjunto de onde as setas vão sair para formar os 
pares ordenados com os elementos do segundo conjunto. 
 
Exemplo: tendo dois conjuntos K e J informe o produto cartesiano KxJ por diagramas. 
 
𝑲 = (𝟏; 𝟐) 
𝑱 = (𝟑; 𝟒; 𝟓) 
 
1° elemento de K = 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2° elemento de K = 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
1 
2 
0 
3 
4 
K J 
x y 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
1 
2 
0 
3 
4 
K J 
x y 
Propriedades do produto cartesiano 
 
Vejamos cada propriedade do produto cartesiano. 
 
1- 𝑨 × 𝑩 = 𝑩 × 𝑨 ⇔ 𝑨 = 𝑩 
 
Ou seja, o produto cartesiano será igual ao seu inverso se e somente se os conjuntos forem 
iguais. 
 
Exemplo: 𝑨 = (𝟏; 𝟖) e 𝑩 = (𝟖; 𝟏) 
 
2- 𝑨 × 𝑩 ≠ 𝑩 × 𝑨 ⇔ 𝑨 ≠ 𝑩 
 
Ou seja, o produto cartesiano será diferente do seu inverso se e somente se os conjuntos 
forem diferentes. 
 
Exemplo: 𝑨 = (𝟏; 𝟖) e 𝑩 = (𝟖; 𝟏𝟎)3- 𝑨 × ∅ = ∅ 
 
Ou seja, o produto cartesiano de um conjunto com o vazio é igual o vazio. 
 
4- ∅ × ∅ = ∅ 
Ou seja, o produto cartesiano do vazio com o vazio é igual o vazio. 
 
5- 𝑨 × 𝑨 = 𝑨𝟐
 
Ou seja, o produto cartesiano de dois conjuntos iguais se representa com o conjunto ao 
quadrado. 
 
Observação: quando em uma questão aparecer 𝑹 × 𝑹 está falando que os elementos das 
abcissas (primeiro elemento do produto) são real e os elementos das ordenadas (segundo 
elemento do produto) são também reais. 
 
6- 𝒏(𝑨𝒙𝑩) = 𝒏(𝑨) ⋅ 𝒏(𝑩) 
Ou seja, é o número de pares formados desse produto cartesiano. 
 
Exemplo: qual o número de elementos formados pelo seguinte produto cartesiano KxJ. 
 
𝑲 = (𝟏; 𝟐) 
𝑱 = (𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟓) 
 
𝒏(𝑨 × 𝑩) = 𝒏(𝑨) ⋅ 𝒏(𝑩) 
𝒏(𝑨 × 𝑩) = 𝟐 ⋅ 𝟒 
 
Produto cartesiano de conjuntos infinitos ou finitos no plano cartesiano 
 
Para representar o produto cartesiano no plano cartesiano, vamos desenvolver o produto 
cartesiano dos conjuntos de forma algébrica e colocar os pares ordenados no plano 
cartesiano. Vejamos os tipos de conjuntos que podem aparecer no produto para representar 
no plano cartesiano: 
 
1- Finito x finito 
 
É quando os conjuntos do produto cartesiano são finitos, vejamos como representar: 
 
Exemplo: represente o seguinte produto cartesiano AxB no plano cartesiano. 
 
𝑨 = (𝟏; 𝟐; 𝟑) 
𝑩 = (𝟐; 𝟑) 
 
𝑨 × 𝑩 = {(𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑)} 
 
Vejamos no plano cartesiano os pontos do produto cartesiano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: represente o seguinte produto cartesiano BxA no plano cartesiano. 
 
𝑨 = (𝟏; 𝟐; 𝟑) 
𝑩 = (𝟐; 𝟑) 
 
𝑩 × 𝑨 = {(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑)} 
 
Vejamos no plano cartesiano os pontos do produto cartesiano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Finito x infinito 
 
É quando o primeiro conjunto é finito a quantidade de elementos e o outro conjunto, desse 
produto cartesiano, é infinito em quantidade de elementos (um intervalo real geralmente). 
vejamos como representar: 
 
Exemplo: represente o seguinte produto cartesiano AxB no plano cartesiano. 
 
𝑨 = (𝟐; 𝟑; 𝟒) 
𝑩 = {𝒚 ∈ 𝟏𝑹|𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟑} 
 
Observação: Esse tipo não vamos conseguir representar algebricamente, pois um dos 
conjuntos do produto é infinito, ou seja, tem infinitos elementos que pertence a esse 
conjunto, e não vamos conseguir colocá-los algebricamente um por um, apenas no plano 
cartesiano. 
 
Vejamos no plano cartesiano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No eixo Y fica o intervalo entre um e três e assim então os elementos 2, 3 e 4 do 
conjunto A, vão fazer pares ordenados com todos os números reais entre um e três e 
assim vamos representar no plano assim infinitas linhas saindo do intervalo e os 3 
elementos do conjunto A intercedendo, todas as linhas que saem do intervalo assim 
formando os pares ordenados, pois essas infinitas linhas representam todo os números 
do intervalo real entre um e três. 
 
3- Infinito x finito 
 
É quando o primeiro conjunto é infinito a quantidade de elementos (um intervalo real 
geralmente) e o outro conjunto, desse produto cartesiano, é finito em quantidade de 
elementos. vejamos como representar: 
 
Exemplo: represente o seguinte produto cartesiano AxB no plano cartesiano. 
 
𝑨 = {𝒚 ∈ 𝟏𝑹|𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟑} 
𝑩 = (𝟐; 𝟑; 𝟒) 
Vejamos no plano cartesiano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No eixo X fica o intervalo entre um e três e assim então todos os números desse 
intervalo vão fazer pares ordenados com os 3 elementos do segundo conjunto do par 
ordenado e assim no plano cartesiano infinitas linhas vão sair do eixo X para interceder 
os 3 elementos do segundo conjunto e formar pares ordenados. 
 
Observação: cuidado quando um dos conjuntos do produto cartesiano for um intervalo e 
para representar temos que nos atentar no símbolo de desigualdade, se as extremidades dos 
intervalos estarão incluídas nos intervalos do conjunto. 
 
4- Infinito x infinito 
 
É quando os dois conjuntos do produto cartesiano são infinitos elementos. vejamos como 
representar: 
 
Exemplo: represente o seguinte produto cartesiano AxB no plano cartesiano. 
 
𝑨 = {𝒚 ∈ 𝟏𝑹|𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟑} 
𝑩 = {𝒚 ∈ 𝟏𝑹|𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟑} 
Vejamos no plano cartesiano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso infinitos pontos vão sair do intervalo entre 1 e 3 do conjunto A no plano 
cartesiano e vão chegar nas infinitas linhas que saem do intervalo 1 e 4 conjunto B para 
formar os pares ordenados. 
 
E detalhe aqui formamos um quadrilátero/ retângulo e vamos calcular sua diagonal, já 
que temos uma altura de 32 unidades da reta e uma distância de 2 unidades da reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒅𝟐 = 𝟐𝟐 + 𝟑𝟐 
 
𝒅𝟐 = 𝟏𝟑 
 
𝒅 = √𝟏𝟑 
 
Exemplo: represente o seguinte produto cartesiano BxA no plano cartesiano. 
 
𝑨 = {𝒚 ∈ 𝟏𝑹|𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟑} 
𝑩 = {𝒚 ∈ 𝟏𝑹|𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟑} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso infinitos pontos vão sair do intervalo entre 1 e 4 do conjunto B no plano 
cartesiano e vão chegar nas infinitas linhas que saem do intervalo 1 e 4 do conjunto A 
para formar os pares ordenados. 
 
E detalhe aqui formamos um retângulo. 
 
Exemplo: represente o seguinte produto cartesiano BxA no plano cartesiano. 
 
𝑨 = [𝟐; 𝟒) 
𝑩 = [𝟑; 𝟔) 
Aqui já podemos ver que no conjunto A e B os números da extremidade superior não 
fazem parte dos conjuntos e para representar isso no plano cartesiano vamos nesses 
pontos deixar aberto, pois eles não fazem parte e sim vamos representar pontos de 
extremidade que não fazem parte com um círculo aberto, igual nos intervalos reais, 
pois aqui estamos tratando de duas retas reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES 
 
As relações são um subconjunto de um dado produto cartesiano entre dois conjuntos não 
vazios, ou seja, é alguns pares desse produto cartesiano ou eles totalmente, pois todos 
conjunto é subconjunto dele mesmo. 
 
Representação: vamos representar uma relação da seguinte forma: 
 
𝑹𝟏: 𝑨 → 𝑩 
Assim se ler que R1 é uma relação de “A em “B” 
 
Onde: 
R = relação 
1 = número da relação 
A e B = são os conjuntos que fazem o produto cartesiano entre eles e geram essa relação 
que é subconjunto desse produto sendo A o conjunto das abscissas e b das ordenadas. 
 
Relação contida no produto: a reação sempre vai estar contida no produto cartesiano dos 
conjuntos. 
 
𝑹𝟏 ⊂ 𝑨 × 𝑩 
 
Exemplo: veja o seguinte produto cartesiano e uma relação: 
 
𝑨 = (𝟐; 𝟑) 
𝑩 = (𝟏; 𝟐; 𝟑) 
 
𝑨 × 𝑩 = {(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑)} 
 
𝑹𝟏: {(𝟐, 𝟏); (𝟑, 𝟐)} 
 
Relações são funções: Toda função é uma relação, ou seja, é um subconjunto de um produto 
cartesiano de dois conjuntos é uma parte é alguns pares ordenados que tiramos de um 
produto cartesiano que forma essa relação e ao colocarem no plano cartesiano vamos obter 
uma forma, seja uma reta, parábola ou o que seja assim sendo a função. 
 
Analisando a representação de uma função: vamos ver algumas conclusões da 
representação de uma função: 
𝒇: 𝑨 → 𝑩 
 
Onde: 
 
𝒇: função que na verdade é uma relação. 
A: domínio 
B: relação 
 
R1 é uma relação de “A” em “B” e representamos ela dessa forma onde o que aparecer antes 
da seta é o domínio (conjunto de onde as setas saem para formar os pares ordenados) e o 
que aparecer depois é o contradomínio (conjunto onde as setas vão chegar para formar os 
pares ordenados). 
 
Exemplo: marque “V” para verdadeiro ou “F” para falso para as seguintes relações se elas 
pertencem ao produto cartesiano de AxB dos seguintes conjuntos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a- 𝑹𝟏: {(𝟏, 𝟎)} ( 𝒗 ) 
b- 𝑹𝟏: {(𝟐, 𝟎); (𝟐, 𝟏)} ( 𝒗 ) 
c- 𝑹𝟏: {(𝟏, 𝟒); (𝟏, −𝟏); (𝟏; 𝟏)}( 𝒗 ) 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
1 
2 
3 
-1
 0 
1 
11 4 
A B 
x y 
d- 𝑹𝟏: {(−𝟏, 𝟏); (𝟎, 𝟐)} ( 𝒇 ) 
e- 𝑹𝟏: {(𝟑, −𝟏); (𝟑, 𝟎)} ( 𝒗 ) 
f- 𝑹𝟏: {(𝟏, −𝟏); (𝟏, 𝟎); (𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟒); (𝟐, −𝟏); (𝟑, 𝟎)} ( 𝒗 ) 
 
Assim vamos fazer o produto cartesiano desses dois conjuntos algebricamente: 
 
𝑨 × 𝑩 = {(𝟏, −𝟏); (𝟏, 𝟎); (𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟒); (𝟐, −𝟏); (𝟐, 𝟎); (𝟐; 𝟏); (𝟐; 𝟒); (𝟑; −𝟏); (𝟑; 𝟎); (𝟑; 𝟏); (𝟑; 𝟒)}} 
 
Relação inversa 
 
Quando aparecer a simbologia de relação da seguinte forma: 𝑹−𝟏 que significa que é a 
relação ao inverso que é basicamente quando trocamos a ordem de todos os pares 
ordenados dessa relação o que era abcissa passa a ser ordenada e o que era ordenada passa 
a ser abcissa. Da seguinte forma: 
 
𝑹𝟏: 𝑨 → 𝑩 
𝑹𝟏
−𝟏: 𝑩 → 𝑨 
 
Exemplo: dê a relação inversa da seguinte relação de um produto cartesiano: 
 
𝑹𝟏: {(𝟏, 𝟎); (𝟐, 𝟑)} 
 
𝑹𝟏
−𝟏: {(𝟎, 𝟏); (𝟑, 𝟐)} 
 
Observação: Toda função é uma relação, mas toda relação não necessariamente será uma 
função! 
 
Relação por meio de diagrama 
 
Quando vamos representar as relações por meio de diagramas, vamos simplesmente formar 
pares ordenados, com uma representação apenas dos dois conjuntos, saindo setas do 
primeiro conjunto da relação e chegando as setas no segundo conjunto da relação. 
 
 
 
𝑹𝟏: 𝑨 → 𝑩 
 
Assim o conjunto que saem as setas será o conjunto das abscissas (X) e o conjunto que recebe 
as setas será o conjunto das ordenadas (Y). Sendo o elemento que sai a seta o primeiro 
elemento de um par ordenado e o elemento que recebe a seta o segundo elemento do par 
ordenado. 
 
Exemplo: represente a seguinte relação, em forma de diagrama: 
 
𝑨 = {𝟏; 𝟐; 𝟑} 
𝑩 = {−𝟏; 𝟎; 𝟏; 𝟒} 
𝑹𝟏: {(𝟏, 𝟎); (𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟒); (𝟑; 𝟏)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
os 
números 
do 
primeiro 
elemento 
do par 
ordenado 
1 
2 
3 
-1
 0 
1 
11 4 
A B 
x y 
Assim pode acontecer nas relações de um mesmo elemento das abcissas formar mais de um 
par ordenado com elementos das ordenadas. 
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM 
 
Observando a relação de uma função vamos definir o que é cada conceito: 
 
𝑹𝟏: 𝑨 → 𝑩 ∶ 𝑹 ⊂ 𝑨 × 𝑩 
 
Assim: 
 
Domínio: é o conjunto de onde partem as setas no diagrama, ou seja, o conjunto que contém 
os elementos do eixo X do plano cartesiano que formam pares ordenados com os elementos 
do contradomínio. E sua representação é: Dm 
 
Contradomínio: é o conjunto de todos os números que podem receber as setas que saem 
do domínio, para formar pares ordenados no diagrama, ou seja, o conjunto que contém os 
elementos do eixo Y do plano cartesiano que podem ou não se formados pares ordenados 
por meio dos elementos do domínio. E sua representação é: Cd 
 
Imagem: é o conjunto de elementos que recebem diretamente as setas e formam pares 
ordenados no diagrama, ou seja, o conjunto que contém os elementos do eixo Y do plano 
cartesiano que necessariamente formam pares por meio dos elementos do domínio. E sua 
representação é: Im 
 
 
 
𝑹𝟏: 𝑨 → 𝑩 ∶ 𝑹 ⊂ 𝑨 × 𝑩 
 
 
 
Exemplo: observe a seguinte relação em forma de diagrama e responda qual é o conjunto 
do contradomínio, domínio e imagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑫 = {𝟏; 𝟐; 𝟑} 
 
𝑪𝒅 = {−𝟏; 𝟎; 𝟑; 𝟒} 
 
𝑰𝒎 = {−𝟏; 𝟎; 𝟑} 
 
Observação: A imagem estará contida no contradomínio. 
 
𝐈𝐦 ⊂ 𝑪𝒅 
 
Observação: Toda imagem precisa ter um valor do conjunto do domínio correspondente, 
pois esse valor do conjunto do domínio que forma a imagem, ou seja, o primeiro valor de um 
par ordenado forma o segundo valor sendo o primeiro valor do par ordenado pertencente 
ao domínio e o segundo elemento pertencente ao contradomínio e sendo a imagem do 
primeiro elemento. Vejamos: 
A B 
1 
2 
3 
0 
-1 
3 
4 
domínio contradomínio 
 
𝑷𝟏 = (𝒂; 𝒃) 
 
 
O valor “a” desse par ordenado forma esse valor “b”. 
 
Domínio, imagem e contradomínio no gráfico 
 
De acordo com o plano cartesiano: 
 
• Domínio: estará sempre no eixo X 
 
• Imagem: e contradomínio estarão sempre no eixo Y 
 
 
Assim o domínio e a imagem em uma função eles podem ser: 
 
• Domínio: é a sombra da forma da função no eixo X. 
 
• Imagem: é a sombra da forma da função no eixo y. 
 
Assim vejamos um exemplo disso: 
 
 
Função delimitada: geralmente as funções são infinitas, pois elas vão percorrer todas as duas 
retas reais, porém como fizemos no exemplo acima delimitamos ela, delimitamos seu 
domínio em um intervalo de [A; B] e assim conseguimos ver o domínio dela e sua imagem. E 
quando delimitamos seu domínio também delimitamos sua imagem. 
 
Cuidado: Os pontos de descontinuidade de uma função, pois não pertencem ao domínio ou 
a imagem, ou seja, se tivermos bolinha aberta em alguma função o valor que a bolinha aberta 
está representando não poderemos considerar como imagem ou domínio. Vejamos um 
exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: observe o gráfico anterior e responda qual é a sua imagem e seu domínio. 
 
𝑰𝒎 = [𝒊; 𝒉) 
 
𝒅𝒎 = [𝒂; 𝒅) − {𝒃} 
 
Exemplo 2: observe o gráfico seguinte e responda as seguintes questões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a- Qual é a imagem e domínio dessa função? 
 
𝒅𝒎 = (𝒂; 𝒈] − {𝒇, 𝒅} 
 
𝑰𝒎 = [𝟎; 𝒊) 
 
Observação: quando temos um par ordenado aquele X do par ordenado está formando um 
Y desse mesmo par, e em função representamos da seguinte forma essa certo par: 
 
𝒇(𝒙) = 𝒚 
 
f = função; 
x = elemento do domínio; 
y = imagem, elemento do contradomínio. 
 
b- Marque “V” para verdadeiro e “F” para falso das seguintes afirmações: 
 
1) 𝒇(𝒃) = 𝟎 ( 𝒗 ) 
2) 𝒇(𝒆) = 𝒋 ( 𝒗 ) 
3) 𝒇(𝟎) = 𝒄 ( 𝒗 ) 
4) 𝒇(𝒈) = 𝒍 ( 𝒗 ) 
5) 𝒇(𝒌) = 𝒉 ( 𝒗 ) 
6) 𝒇(𝒆) > 𝒇(𝒈) ( 𝒗) 
7) 𝒇(𝒃)