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TEORICO . PRACfICO
MANUEL COVEÑAS NAQUICHE
l.
2.
3.
4 .
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11 .
12.
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28.
29.
30.
3l.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
3B.
39.
40.
41.
INDICE
Numeración ....................................................................................... , ................ .
Teoría de Conjuntos . •• . ... _ .. ........ __ ..... __ ......... __ ...... __ .... __ ._ .. .
Series ... _ ......... , ............................ _ ............. _ ................................. _ ........................ .
Teoria de Exponentes ......... n ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Sucesiones y Progresiones .. ..... ................... ....... .... .
Ecuaciones Exponenciales ... ___ .......... __
Operadores Matemáticos ...... __ ..... __ ....... _____ .... ____ ... .
Cripto Aritmético ..... ............................................................................................ .
Trazos y Figuras .. ................... . ......................................................... , ..
Angulos ..................................... ...................................................................... .
Cuatro Operaciones ........................................................................................... ..
Planteo de Ecuac;ones ...................................................................... ..
Problemas sobre Edades ............................................................................... .
Probtemas sobre Flelojes ............................................... .
Cinemálica ......... ............................................................................................. .
Surnatonas ..................................................... ....... ............................................. .
Conteo de Figuras ................................................................................. : ............. ..
Prot:rlemas sobre Cortes. Estacas y Pastillas ..................... ................. ............... ..
Razones y Proporciones ........................... ....................................... .... .. ............. ..
Promedios ........................................................ .................................................... .
~=::~=~~~~.~~~:::~:::::::::::::~:~::::: . ::::::~::::~::::::::::::::::::~::::::::::::~:::::::::::::::::::
Fracciones ................... .... ... . .... ....... ................................. ................................... ..
Porcentajes ................................ ......................................................................... ..
Productos Notables ................................................................... .... .. ..... .... .. .. .. .... ..
Valor Numérico ............................................................ .... .. ................................. ..
ProblelTlas sobre Relaciones Familiares .. ........................................................... ..
Test de Cuadro de Des;C¡ones ............................................................................ ..
Ejes Coordenados ..................................................................... .......................... ..
Razonamiento lógico Matemático ...................................................................... .
Problemas sobre Rumbos o Direcciones ............................................................ ..
Regla de Tres .••....•...........•.......•.. ....•. .....•.....•... ..••................•••............•....•............
Problemas sobre Orden de Información ....................... ...................................... ..
Factorial de un Numero Natural ..... .... .. ........ ............................... ........... .... ......... ..
Análisis Combinatorio ........................................................................................ ..
Probabilidad ...................................................... ............................•.......................
P«Xiudoria ............................. ........ ...................................................................... ..
Relaciones y Funciones .......... ................... ............ .. ............................................ .
Desigualdades e Inecuaciones ........................................................... _ ..... ......... .. .
Valor Absoluto ...................................... .............................. ................................. .
Escalas y Gráficos ..................................................................... .. ........................ .
Yl
37
69
99
103
129
}43
161
179
>87
_a05
.... .231
251
267
287
301
323
~
:s
ª89 395
427
4ff7
479
487
490
4!i9
~15
64Z
BS7
SSl
'!i!ll
f¡97
611
621
625
643
663
669
42.
43.
44.
45.
46.
Logarilmos .................................... ............. ......................................................... .
Evaluación o Descartes de Datos ..... . ..... . , ..... , ... . , ... . " ................................. ..
Relaciones Métricas ...
Areas y PerílT\elros .................................................................... .... ..................... .
Exámenes Tipo Admisión ........ .. .. .. .... .. ..... .. ... .... . .......................... ...... .
Examen 1 ... .. ....................................... ...... ....... ........... .. ... ........ .. ........................ . ..
Examen 2 ....................... ...... ....... " ...... , ...... , .......... , ....... ,.".,
Examen 3 .................. .............................. ..
Examen 4 .. __ ... .. ........................................... ..
Examen 5 ............. ............................. ... ........... ... .
Examen 6 ....... ..... .................. .... .. ....... .. .. .... ... ......... .... ..... ..... ................. . .
Examen 7 ....................... ....... ... ... ............... ............ .. ...... ...... . , ................... , .... , ... . ..
Examen 6 .. ... , .... , ............. .......... ........................ ....... ............. .. .... .. __ ......... ............ .
Examen 9 ......... ..... .. .... .......... .............................. .
Examen 1 O .. . , .... " .... , ...... ........... , ... ............ " .... ...... , ........... ............. ......... .. ... , .... ..
47. Psicotécntco .. .... ... .. ...... .
681
691
703
713
747
747
751
755
759
763
767
771
775
779
783
787
NUMERACION 1
• Numeración:
En vista de que la serie de los números naturales es ilimitada aparece como un
problema muy difícil el dar nombre a cada número. Efectivamente: si a cada
número se le da un nombre distinto aparece que para nombrar, por ejemplo los mil
primeros números habra que inventar y aprender mil palabras distintas. Esto resulta
casi imposible pero, además. ¿Cómo nombraríamos después todos los infinitos
números que vienen a continuación de mil?
Además al hombre no sólo le es necesario nombrar los números, sino Que debe
representarlos por símbolos adecuados. Pero, sin duda. el problema de encontrar
un signo para representar cada número nos parece todavfa más dificil que el de
encontrarle un nombre.
la teoria de la númeración enseña el modo de resolver estos dos problemas.
Un sistema de númeración es un conjunto de reglas que nos permite
nombrar y escribir cualquier número mediante la combinación de unas
pocas palabras y 5;gn05 o cifras.
.. Base del sistema:
Al número fijo de unidades de un orden que se toman para fonnar una unidad del
orden superior, se le llama base del
sistema. En el sistema usual la base
es diez, y lo explicamos en esta
lección. luego explicaremos el sis-
tema binario, cuya base es dos.
Observaciones:
{
n :
abcd(o) O n :
Base del s;stema
Es un número entero
positivo mayor que 1
1 }
¡a < n abe jn) C> Se debe cumplir que: b < n C> :.( n > a ; bYC )
c < n2}- -
abcd( n} = efg( m) I 3} - -aoc(.) - e!9ímj
~ ~
i
4 cifras 3 cifras
.. ( n<~J I
Si : a<e ... o. [n<:m ) ~
.. El Sistema Decimal:
la palabra decimal viene del latín decem Que significa diez. nuestro sistema de
escribir numerales para representar números se basa en agrupar de diez en diez y
por eso se llama sistema decimal. Oecimos Que la base del sistema es diez o que
es un sistema de base diez. Usando diez como base y la idea de valor posicional.
no necesitamos más símbolos que los dígitos in.doarábigos para escribirnurnerales
para cualquier numero cardinaL Por eso.llamamos numerales indoarábigo$ a los
que usamos.
A fin d~e repasar el sistema para escribir numerales, estudie el siguiente cuadro.
Base Diez
Analisis de
un numeral
Indoarábigo
(En base diez}
Dígitos Decimales: 0,1 , 2,3, 4,5,6, 7, 8, 9
Representación Literal de los números:
'} ab: Cualquier número de 2 cilras o digijos. (10, 11 , 12, ...... , 98, 99}
Nota: El menor número de Jos cifras es ellO SI el mayor número de 2
cifras eS el 99.
") abc : Cualquier número de 3 cifras o dígitos. (100. 101 . 102 .. .. ...... 998, 999)
Nota: El me"or número de 3 cifras es el 100 JI el mayor número de 3
cifras es el 999 .
... ) 3abc: Cualquier número de 4 cifras Que empieza con la cifra 3.
1/1 Número Capicua: Es aquel número cuyos dígitos equidistantes de los extremos
son iguales. es decir se leen igual por "ambos lados", veamos algunos ejemplos:
') aba : 101, 111. 121. 131 •.......... ..... ......... ....... ... .. .. .
202: 212, 222, 232, ... ..... ........ ... .................. ..
") abba : 1001, 1111. 1221 . 1331 . ..... .. ............... ..
; 2002, 2112. 2222, 2332, ..................... .. ............ .. ..
>F Valor Absoluto y Relativo de las Cifras:
1) Valor Absolulo de una Cifra.- Es elvaior que loma unacijra por la formaD fig..-a
'1) Valor Rela1ivo de una Cifra.- Es el valor que toma una cifra por la posición u
orden que ocupa en el número.
EjemPlo(j): I ValorAbsoluto=3
8326
l. Valor Relalivo = 300
• El Sistema Binario
Ejemplo ®: r Valor Absoluto = 5
65184
L Valor Relati~o = 5 000
En el sistema binario, agrupamos de dos en dos. Hoy en dia, las modernas
computadoras electrónicas que utilizan el sistema binario (en base dos) y, en cierto
modo también el sistema octal, han venido revolucionando la ciencia. Pueden
completar en pocos minutos cálculos Que a un hombre le tomaría años.
El diagrama siguiente ayudará a comprender el sistema binario.
Base bos Dígitos Binarios: O, 1
~ Valores Posicionales
" ~ .<J Potencias de dos
1 <J Numeral en base dos
Base Diez 64 + 32 + O + 8 + 4 + O + 1 = 109
Nota: El, el sistema de 11úmeració/J decimal o de base diez se utilizan
los dígitos de O a 9 para escribir los numera/es coftesponJientes
a cualquier número cardinal. En el sistema binario o de base
Jos, se necesUan únicamente Jos dígitos, O y J para escribir el
numeral correslwluJielJte a cualquier número cardillal.
El simbolo 11 (2) se lee de la siguiente manera: "Uno uno en base dos"
lo cual signffica un grupo de dos y uno más. (1'12.;1(2)' t')
El símbolo 101(2t se lee de la siguiente manera: "Uno cero uno en base
dos" lo cual significa un grupo cuatro cerO grupo de dos y uno más.
(10" 2) ; 1(2)' t 0(2)' t , ; 1(4) + 0(2) + 1)
Observaciones:
t) En todo sistema de numeración se utiliza la cifra O.
11) La mayor cifra disponible en un sistema de numeración es el valor de la
base menos uno.
Ejemplo: 324 La mayor cifra disponible es el 4,
15. - porque la base es 5.
abed La mayor cifra disponible puede ser
In) ~ cualquiera de las cifras a, b, c, Ó d,
tomando el valor de (n - 1).
111) En los sistemas de numeración mayores que el de base 10, por convención
se utilizan:
Principales sistemas de numeración:
Base Sistema Cifras Di sponibles
2 Binario O. 1
3
1I
Ternario 0.1,2
4
11
Cuaternario O, " 2,3
5 Quinario 0,',2,3,4
6
11
Senario O. 1, 2, 3. 4, 5
7 Eplal O, 1, 2, 3, 4, 5, 6
8 Oclal O. " 2, 3, 4, 5, 6, 7
9 n Nonario 0,1,2,3,4,5,6,7,6
10 Decimal O. 1, 2, 3, 4, 5,6,7. S, 9
11 Un decimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,
12 Duodecimal 0,1,2,3, 4, 5,6,7,8.9,10,11
.. Descomposición Polinómica de un Número:
Sea ,el número: N = abcd ..... .............. xyz(n)
"m"cifras
Descomponiendo polinómicamente se obtiene:
( N = a.nm ., + b.nm . 2 + e.nm • 3 + d·nm • 4 +
=
• Descomponer polinómicamente un número es expresarlo como la suma de los
Valores Relativos de cada una de sus cifras de dicho número.
Ejemplo (!): 4735 = 4 000 + 700 + 30+5
Q QQ.;)
4735 = 4xl03 + 7x102 + 3xl01 + 5
T 1IJ J T T J
EJemplo®: 872(9) ~ 8_92 + 7-91 + 2
Ejerr-p 3 2 5463(12) = 5-12 + 4-12 + 6-12 + 3
EJemplo@: -- 4 3 2 abcde n = a·n + b·n + e·n + d·n + e
Nota: Como se podrá observar en la descQmposjcjón /X'linQm;ca de
un numero, el exponente Je la base e/e cada térmilJo es igual al
número de CEras que quedan a la derecha de la cifra considerada.
Ejemplo:
.. Descomposición en Bloques:
Llamaremos "bloque" a un grupo de cifras, como lo veremos a continuación:
Sea; el número: abed; descomponiendolo polinómicamente se obtiene:
abcd = a_103 + b-10' + c-10 + d
abcd = ab -1Q' + cd
LB/oque;r
... Descomponer polinómicamente por bloques los siguientes números:
i. ~~ = ab ·l0' + a b = ab ·1DO + a b => :.¡abab = 101 ·ab ¡
ii)
= ab x l0 000 + ab x100 + ab :) . . lababab =- 10 101 xab I
iii) abeabe = abex l03 t abe
~~
;;:. abcx l 000 + abe =:::) :.Iabcabc = 1 001 abe I
.. Conversión de Sistemas:
[primer Caso: I"de un sistema de base "n" al sistema de base 10(base decimal)"
-b: Método a Emplearse: Descomposición Polinómica.
EiempIO (j) : Convertir: 546(7) a base 10
Resolución:
546(7 ) = 5x7
2 + 4x7 ' + 6 => 546(7) = 5x49 + 28 + 6 = 279 :;;) ·-· I S46m = 279 1
Eiemplo @ : Convertir: 2013(4. a base 10
Resolución:
20 13(4) = 2x43 + Ox42 + l x4 ' .... 3
2013(4) = 2x64 + O + 4 + 3 = 135 => :. 12013(4) = 1351
** Método de Rulfin; :
Ejemplo 1 : Convertir: Ejemplo 2 : Convertir.
546(7) a base 10 2013(4. a base 10
Resolución: Resolución:
+~
+ + +
5 2 o DO (7) G) 35 ~ 273 32 132
5~39 1279 1 " 1t 351 ~ 2 6 33
:. 1546(7) = ~I ". 1201 3(4, = 113511
I Segundo caso, ¡"del sistema de base 10 (sistema decimal) a un sistema de base "n°.
* Método emplearse: Divisiones sucesivas
Ejemplo 1 : Convertir: 583 a base 2
Resolución:
I Ge ..... /izando: I
I
583
18
Ejemplo 2 : Convertir 672 al sistema cuaternario.
Resolución:
672 1 4
27 ita 4
32 -8 42- 4
® ® -2 101 4
\J\.,<C®~
•. 672: ®2200(4)
I Tercer caso' I "Del sistema de base "n° al sistema de base "k' ; n ~ k ~ 10".
* Método a emplearse: En pomer lugar. el número de base (n); se convierte a
base Diez.
En segundo lugar, el número obtenido se convierte a base "k" .
Ejemplo : Convertir: 235m a base 3.
Resolución:
En primer lugar convertimos el número 235", a base diez (sitema decimal)
235", = 2 x 7' + 3 x 7' + 5 .. ... 1 235(~ = 1241
Luego los números as! encontrado: o sea 124 lo oonver1imos al sistema de base 3 ;
mediante dvisionessucesivas.
• Conversión de Sistemas en los Numeras Menores que la Unidad.
Primer caso : 1 "Del sistema de base "n" al sistema de base 1 O"
EjemploC!): Convertir: O,abcde(n) al sistema de base 10.
R I
. . ~_. a bcd e
eso uClon: O,abcde(Jl) = - + 2 + j +,. + "5
n n n n
Ejemplo(j): Convertir: 0,123,., a base 10.
Resolución:
1 2 3
0.123(4) = 4 + 42 + 43 ; efectuamos la suma de fracciones:
I Segundo caso: I "Del sistema de base 10 (siterna decimal), al sistema de base n".
Ejemplo(J) Convertir: 0,390 625 al sistema de base 4 •
Resolución:
~
390 625x 4
1 ,5625 x 4 ..
,25 x4"
1,00 x 4
-0,390 625 ~ 0,121(4)
I Operaciones: I
0,390625 x 4 ~ 1,5625
----y--'
~
0,562 5 x 4 = 2,25
J..
T
0,25 x 4 = 1,00
T
.L.
0,00 x 4 = O
Nota: Solo se multiplican
las partes decimales.
.. 0 ,390625 = 0,121(4) (Estas cifras deben ser menores quela base)
Ejemplo0: Convertir. 0,251 2 al sistema de base 5.
Resolución:
¡~
251 2x 5
(::' :: • 1 4 x 5
,00 x 5
c---'-.
O,2512~O,I112(5' O
I Casos EspeciaJeit de Conversión:
I OperacIones: I
0,251 2 x 5 = 1,256
0,256 x 5 = 1,28
0,28 x 5 = 1.4
0,4 x 5 = 2,00
0,000 x 5 = O
".1 0,251 2 = 0,1112(5'
Dado el número en base tln" se le separa en grupos de "1<" cifras a partir de la
derecha. El número que se forma en cada grupo se convierte al sistema decimal
(base diez), donde se obtienen las cnras del número en base n'.
Ejemplo(J): Expresar: 1101110,,) al sistema de base 4.
Resolución:
La base 4 < > tiJ; donde: k ; ®: este valor de 2, nos indica que debemos separar
en grupos de a 2 de derecha a izquierda, veamos:
base (4):
1232
.00 1101110121 ; 1232(4)
Ejemplo 0: Expresar. 1101011(21 al sistema de base 8.
Resolución:
La base 8 < > {iJ: donde: K = ®: este valor de 3: nos indica que debemos separar
en grUrJS de a 3 de derecha a izquierda, veamos:
I ha." (2): 11 base (8):
1 101 011 1I 153 1 T ~. · 011(2) ;2022 + 1·2 + 1 ;0
101(2); 1·2 + 0·2 + 1 ;riJJ .. 11101011(2); 153(8)
1(2);1D~
Segundo caso: " Cel sistema de base n'" al sistema de base otn" ",
Oado el número en base nk de cada cifra se obtiene "k" cifras al convertirse a
base "n-.
Ejemplo ([): Convertir. 232(4) al sistema de base 20
Resolución:
la base 4 < > 22, donde: K = 2, este valor de 2. noS indica que cada cifra del
número 232. genera 2 cifras en base 2.
o 1
base (2):
1011 10
:. 1 232t •• = 101110(,. 1
Ejemplo ®: Convertir. 465( •• al sistema de base 2.
Reso(ucJón:
La base 8 < > f!J ; donde: K = @; este valor de 3. nos indica que cada cilra del
número 465, genera 3 cifras en base 2.
base (8):
'rL~.~c,:.
O 3 2 Ó 6 = 110(,.
1 1
base (2):
---lOO 110101
: . 1 465tO) = 100110101 (2) 1
(prOblemas Resueltos)
Prob/ema(j): Hallar el valor de "n°. si: 123(0. = 231(5)
A) 6 6)7 C) 8 D}1 O E) 9
Resolución:
Descomponemos polinómicamente: 123(0. = 231(5.
Obteníendo: 1·n2 + 2·n + 3 :: 2.52 + 3·5 + 1
Donde:
n2 + 2n + 3 = 66
n2 + 2n ~ 63 ~ O ; factorizando se obtíene:
~_ t.~
nX +9
(n . 7)(n + 9) : O ; igualamos cada factor a cero ---r ---c 'i'
I ii) n + 9: O ". .'. 1 n = 09 11
Nota: De los Jos valores que loma nn": osea; n ;:; 7 Y n :;; ·9, sólo
lomaremos el valor posifovo. pues la base de un cierto sistema
nunca puede ser negativo.
: . I El valor de "nJl es: 7 I Rpta. B
Problema@:Hallar el máximo valor de: "a + n", si: aOa(l'I) = (2a)a(2n)
Al7 Bl8 C)4 01 5 E) 6
Resolución:
Descomponemos polinómicamente: aOalol = (2a)a(20)
Obleniendo: a·n' + O·n + 11..= (2a)·(2n) + "'
~n2 = 4'a¡.
:·In = 41
Lu~o. si "n" toma el valor de 4, el máximo valor que puede tomar "a" es 3 y el
mínimo valor que puede tomar .... atl es 1.
.. Ir·-a-+-n-'·-=-3-+-4-=-7'1 Rpta. A
. T T T T .
Problema@: ¿Cuántos valores puedes tomar "b· para que se cumpla:
aoab(6) = bb(2b)
A) O B) 1 Cl2 013
Resolución:
Descomponemos polinómicamente: aOab(6) = bb(2b)
Obteniendo:
a·6' + 0·6' + a·6 + b = b·10' + b·10 + (2b)
.E14 ...
216a + 6a + b = 100b + 10b + 2b
ma=lttb
2a = lb Donde:
Como se podrá observar "b" puede tomar los valores de 2 y 4 pues ~ no se
toma. porque lo máximo que puede tomar <lb" es 5.
<lb" puede tomar los valores de 2 y 4; osea "b" toma 2 valores. Rpta. e
problema@,' Hallar: "a + b + c" si: cee (8) = ab1
A) 11 6) 12 C) 13 D)14 E) más de 14
ResoJucion:
Descomponemos polin6micamente el númerO del primer miembro:
2 -
c-a -t e-S + e ;;;; abl
64c+6c+c= abl
730 = abl
O
7
73(7) = abl
; ahora buscamos un número que multiplicado por 73
termine en 1. siendo este el 7.
511 = abl ; por comparación de términos: la = 51 Y I b = 1 I
Tq '!Ir
"a + b + c' = 5 + 1 + 7 = 13 Rpta. e
T W T--.J T
Problema ® : En que sistema de numeración se cumple que el número 370 del
sistema decimal es igual a 226.
1\) 12 6)11 C) 13 O) 14 E)16
Resolución:
Del enunciado, planteamos la ecuación siguiente:
370 = 226("1 ; descomponemos polinómicamente el número del segundo
=c::., miembro:
370 = 2.n2 -1- 2·n + 6
364 : 2(n' + n) "" 182 ; n(n + 1 1
----E:.
13(14): n(n + 1) => :. 1 n : 131 Rpta. C
.,.... T ---r-
Problema@: El menor número de 4 cifras de base "n" se escribe 2ab en el sistema
decimal. Hallar: "a + b + n·
A)6 B) 12 C) t3 O) 14 E) 15
Resolución:
Del enunciado. planteamos la siguiente ecuación:
1000(0); 2ab Recuerda que:
1xn3 + Oxn2 + Oxn + O = 2ab
1) El menor número de 3 cifras en
base 3 es: 100
(3
)
n3 = 2ab ; dando valores - El mayor número de 3 cifras
a "n~ , se cumple diferentes en base 3 es: 210(3)
para: 1 n ; 61; veamos: '-----=-~~----~
63 ; 2ab => 216; 2ab : por comparación de lénnlnos. a; 1 Y b; 6 .,- Tr I
:. l"a+b+n"-1 +6+6;13 1 Rpta.C
Problema(f) : En que sistema de numeración se realizó: 41 - 35 := 5
A) Duodecimal B) Senarío Cl Undecimal O) Nonario
Resolución:
Sea: "x" la base del sistema empleado.
E) NA
41{x) - 32( .. 1 = 5()!) ; por descomposición polinómica, obtenemos:
(4. + 1) - (3. + 2) ; 5
4x+ 1 - 3x-2;5 => ... 1 x : 61 (Sislema Senario) Rpta. B ,..,
Problema@:Hallar: "x + y" sí: xyy (9) ; (y + 1)(y + 1). (7)
A)9"
Resolución:
B)8 C)7 O) 6
Descomponemos polinómicamente: xyy (9) - (y + 1)(y + l)x (7)
Obteniendo: x(9)' + y(9) + Y = (y + 1 ).7" + (y + 1)-7 + x
81x + lOy = 49(y + 1) + 7(y+1) + x
E)5
Transponemos términos:
81x - x = 56(y + 1) - 10y
""E.-...r
80x = 46y + 56 ; sacamos mitad a cada termino
40x = 23y + 28 ; por tanteo, "y" toma valor de 4
Q
4
40x = 23(4) + 28
40x=120 => :. ~
:.1 "x + y" = 3 + 4 = 71 Rpta. e
T T T T .
prOblemaG): Si: 1010 (101,) = 1010
A) 9 8)4 C)3 D)5
Hallar el valor de "x".
Resolución:
E)7
- En primer lugar. descomponemos polinómicamenle la expresión: 101.
101,,=1 .X
2
+O'X+1 => 1101><=x
2
+11
Reemplazamos el valor hallado en la expresión inicial:
1010 ( 2 ) = 1010 x • 1
Descomponemos polin6micamente la expresión del primer miembro, obteniendo:
1-(x2 + 1)3 + 0·(x2 + 1)2 + 1(x2 + 1) + O = 1010
(x:¿ + 1):.l + (x:¿ + 1) = 1010; factoñzamos en el primer miembro:
a
(x" + 1)[(x" + 1)2 + 1) = 10[101)
-C I TT
Por comparación: x? + 1 = 10 => l = 9 => .', Ix = 31 Rpta. e
Problema @ : Si se cumple: xxx (11) + XX "1) + X ",) = abB
Calcular: "a + b - x"
A) 10 B)8 C)7 D)3 E)4
ResolUción:
Descomponiendo porinómicamente cada lérmino. obtenemos:
[x(II)'. x(ll) + xl + [x(ll) + xl + x = ab8
133. + 12. + • = ab6
146x = abe; 146 debe multiplicarse por 3 para Que el producto
Q termine en 8.
3
146(3) = ab6
438 = ab6 : por comparación: 1 a = 41 Y 1 b= 31
TU TTI
.'. rt ·-a-+-:b- ----,x":-=- 4- . -3--- 3- _-- -'4 t Rpta. E
Problema @ : Hallar el término 50 am. en la siguiente serie aritmética:
123(n) , 128(0) • 132(n) •.......................
A) 396(n) B) 319(n) D) 389(0)
Resolución:
E) 315(0)
Como se trata de una serie aritmética, la razón es constante, veamos:
12~~:~.)l~32(n) •. .. ............ ...... ..
r r
Donde: Ir= 128,o, - 123,n,1 ........ . (1)
5 = n-6
.-. t n = 11 t
Reemplazamos el valor de "n~ en la expresión inicial:
(
e5tosnúmerosfos )
123(11) 1 128(H)' 132(11) , ................. convertimosabase10
~ ---r -r=
~ I
(111' + 211 + 3); (Hl' • 2-11 .8) ; (111 2 + 3·11 + 2); .............. .
? I f I
146 ; 151 ; 156 ; ......... .
'----" '----"
# de térmínos = + 1 (
último - primerO)
Obtenemos:
~ razón
50 =
T so -146 -==--:,-- + 1
5
T 50 - 146 I
49 = 5 "".·. T 50 = 391[
El número hallado 391, lo convertimos a base "n" osea a base 11 . veamos:
391 ~
61 3s~
®®3
",---"íJ
. . 391 = 326,,,. = 326,". Rpta. e
T T
Problema @: ¿C6mo se escribe en base 6 el menor de los siguientes números:
545 (b) ; 7a3 (B) y 6b5 (a)
A) 25~61 E) 425(61
Resolución:
Analizando cada uno de los números dados, osea:
545 M ; 7a3 (B) y 6b5 (a) obtenemos:
O O O
~~ ~
(de estas t~es relaciones deducimos que: ) )
la-7Iy lb=61 <
;- Si
JLuego: 545'bf = 545'6f = 5(6)' • 4(6) + 5 = 12091 (# menor)
- 2 = 7a3 (8f = 773(8f = 7(8) + 7(8) + 3 = ~
6b5,af = 665(7f = 6(7)' + 6(7) + 5 = 134 ti (# mayor)
Ahora convertimos el númerO menor (209) al sistema de base (6).
209~
29 ~ r:> 1209 = 545(611
® @ 5 ~==-_____ --,
"-' V I El menor de los números es: 545(6) I Rpla. B
Problema@ : ¿En que sistema de numeración se cumple que el mayor número de
tres cifras de cierta base es igual a 57 veces la mayor cifra de dicho sistema de
numeración?
A) 6
Resolución:
B) 7 C)B O) 9 E)10
Sea; et mayor número de 3 cifras de base x --+ (x - 1)(x -1)(x - 1) (')
Del enunciado; planteamos la ecuación:
(x - 1)(X - 1)(X - 1) (,) = 57(x - 1)
Descomponiendo polinómicamente se obtiene:
(x -1) x' + (x - l)x + (x - 1) = 57 (x - 1),
(x - 1)[.' + x + 1) = 57 (x - 1)
)(2 + X + 1 - 57 = O
](~ +x-56=O
xx 8
x -7
Igulamos a cero cada factor:
x+8=0 .... x=-8
)(-7=O~ x=7
faetorizamos (x - 1) :
Tomamos el valor positivo
1 x =71
Rpla. B
Resolución:
Sea el número de 2 cifras: ab
Número que resulta de invertir Sus cifras: ba
Del enunciado, planteamos la ecuación:
ba - 5 = 2ab ; transponemos términos
~ 1llt -~ '; 5. descomponiendo polinómicamente, se obtiene:
(10b + a) - 2(10. + b) = 5
lOb + a - 20a- 2b = 5
8b - 19a = 5
{) {)
; por tanteo, "b" 10ma el valor de 3 y "a" toma el
valor de 1.
3 1
8(3) - 19(1) = 5 (cumple)
. . El producto de las cifras del número ab = 31: es:
_=~=3 ~.B
Problema @ : Se tiene que xOxOx (n) '; xxx 1m) : la razón entre m y n2 es:
A) n + 1 B) n - 1 C) n Dl 8 El 1
Resolución:
En I~ expresión: xOxOx (n) = xxx (m) ; descomponiendo polinómicamente:
x_n4 + 0_n3 +x,-t! +O·n +X,; x·m2 + x·m +x
xon4 + )( on 2 '; x·m2 + x·m; factorizamos "'x" en ambos miembros
x(n4 + n 2) '; x(m2 + m) ; simplificamos las "x".
n 4 + n2 = m2 + m; por comparación de términos
~
I CD n" = m'& => !n> = m 1I I@u I
Luego. hallamos la razón entre m y n2
osea:
Rpla. E
I PROBLEMAS PROPUESTOS I
Problema [}: Hallar el valor de ~n·: si:
401 In) = 203(n~2)
A)5 B)6 e)7 0)8 E)9
Problema@:Hallarel valnr de ~n· ; ~i:
A)8 Bl9 ella O) 11 E) 12
problema@: l-lallar el valOf de "a + b"; si :
atb(9) = bba(6)
A)5 Bl6 e)7 0)8 E)9
Problcm!!@:S;:"a" es menor que 3. como se
expresa a33(9) en el sistema de base 3. (Dar
como respuesta la suma de sus cifras).
A) •• 2
O) 2 •• 2
Bl··3
E) a+ 1
C)2.+1
Problema@:Hallar: "a + x + y"; si:
aaaa(5) = )(yS
Al9 Bl 10 el 11 Dl 12 El 13
Problema @:Hallar"m + n" sabiendo que es
lo menor posible y que: 66(m) = 88(nl
Al 39 B) 18 el26 0)28 El42
Problema 0: Hallar: "a + b"; si:
ab'B) + ba(9) = 1 abm
Al8 B)7 el6 Dl5 El4
prOblema@: Hallar: ·x +)1"; si: xy",) = y"m
Al4 B)5 el6 0)7 El8
Problema ~allaf cuántos vakl res de "a"
satisfacen: a (2a)a = 11 . aa
All B)2 e)3 Ol4 E) 5
Problema @ : Un numero de dos cifras de
baso 7 31 convortirco a baso " EO ropresenta
por las dos cifras pero dispuestas en orden in-
verso. DICho número es:
Al13 Bl12 epI Olla El 9
Problema @ : ¿Cual de los siguientes nume-
rales representa la mayor cantidad?
Al 237,
PI 124"
B) 16(10)"
E) lOO"
e) 143"
Problema @:Hallar: en + )1"; si: 123[n} = 17)(
Al 11
O) 14
B) 12 e) 13
El Más de 14
Problema @:Hallarelvalorde·x" en:
(12(.~2 = 144,.)
A)3 Bl4
e) Cualquier entero Ol Moyor que 4
E) Mayor o igual que 4
Problema @: Encp.;e sistemadenumeración
se cumple que: 7 x 7 = 61
A) 12 Bl9 elS 0)7 E)6
Problema @ : Cuánto es la séptima parte de
la diferencia de las cifras de un numero de 2
cifras que es el cuadrado de la suma de sus
cifras.
Al2 B)l el217 O) 117 E) N.A.
Problema 16: Si: )(53(1) = 1x1 x¡SJ; hallar el valor
de ·x",
Al2 Bl 3 el o 01 4
Problema @ : Calcular: -(a + n)"; si:
aaa(l2) = (02) nlOta)
B) 13 ee 011 2
Ell
Ell a
Al 9 Bl 8 el 7 01 6 El 5
Problema @ : Calcular "XM si se cumple:
loox f4f¡!) = xOO + 10x i' ___ _
Al9 Bll0 el l l 01 7 Ele
Problema @; si: iiTi = (a - 1) (a - 2) (a - 3) '" Problema : Calcular: "a + b"; si;
aaaO(1l) = abOab(51 Entonces: n (n - 1) (n · 2) (n .. 1); en base diez se
escribe como:
A)18 Jf¡ 57 e) 117 01 207 E) 501
Problema @ : El número 764 esta escrito en
el sistema de base ocho. ¿Cómo se escribirá
en el sistema ternario?
. M 20011 2",
O) 10111 2,3)
B) 101212,31
E) 210 11 2(3)
C) 210111'31
Problema @ : Escriba en el sistema de base
9 el número: x (x - 3) (x + 2)'6)
Al 147.,
O) 186.)
B) 174 .. ,
El 153(0)
C) 135 .. ,
Problema @:Calcular: ·p + q + r-; si se verifi-
ca.: pqr = 210315):; 1a7(8)
A) 4 B) 6 e)7 0) 8 El 12
Problema @ : lndlCar la suma de "(a + b)"; si:
(20) O (211)(5) = aba,, )
A)3 B) 4 el 5 0)7 Ele
Problema @ : El menor número de cuatro
cifras del sistema duodecimal se expresa como
1331 en un sistema cuya base es: 13(nr
¿Cálcular el valor de "n"7
A) 6 B) 7 el 8 0) 9 E) 11
Problema @ : El mayor número de tres crtras
diferentes de la base 6 se escribe como 3abc
en la base 4. Hallar: "8 + b + c·.
A) 4 B) 5 el 6 0) 3 Ele
Problema @ : Calcular en base decimal.
1 35{al + 12b{Cl + 15a(b) + 14C(9)
Al 361 Bl 360 C) 362 O) 359 El 363
problema@: ¿ComoseeSCribe en base 9 el
menor de los siguientes números?
7a3 e ; 545 b ; 6b5 •
Al 252, B) 352, e) 333, O) 418, E)12Bg
Problema @: Hallar Mn-: si: 4 2(0»)( 32(0) =
2 004(nl
A)6 B) 7 el8 0) 5 E) 9
Problema ~ : Si: a5 (9) +
ac (9) Hallar: Ma x b x CM
bbc,,)
abe (9)
Al 60 B) 72 C) 48 01 30 E)42
Problema@: En que sistema de numerad6n
se cumple que el menor, número de 3 cifras es
igual a 6 veces la base?
A) 8
0) 6
B)4 e)5
E) Faltan datos
Problema @ : Un número escrito en 2 bases
Que se diferencian en 2 unidades está repre-
sentado por 123 y 172. Hallar dicho número
en el sislema decimal.
Al146 Bl120 C) 138 01140 El 102
Problema @: Si: 34(11) ;;; 5O(n . 2)' A cuánto
equivale 55(1'1)" En el sistema decimal.
Ál 40 B) 38 e) 42 0150 El N.A.
Problema @ : Si: m (m + 2) (m - 3)60 = xYYrr¡;
Dar el valor de: m .. )( + y
Al6 B)7 C)8 0)9 El15
Problema@:EI número 102 se escribe como
204 en base (k + 1). Hallar el valor de "k·.
A)5 B)6 e)7 0)8 El9
Problema @:Calculeel valor de: "x + n". Si:
3)(Y(I1) = 304(9)
A) 10 B) 12 e)14 0)16 El18
Problem~: Si a~b - (%) a (% F
Hallar el máximo valor de -a".
A)5 B)6 e)7 D)8 E)9
Problema 6Bl : Hallar el valOr de "a" si el nú-
mero ~ es el producto de cuatro núme-
ros consecutivos.
A)l B)2 e)3 D)4 E) 5
Problema @¡ : Hallar: (b - a); Si:
") 1 OO~2?,., = 2072."
A) 4 Bl6 el8 Dl3 El5
ProbIema@:S': 1010(101 J::: 1010; Hanarel
valor de "n" (n)
Al9 B)4 e)3 D)5 E)7
Problema (4t¡: Hallar el mayor número de 4
cifras tal qu;;;1a suma de sus cifras sea igual a
17. Dar como respuesta el número expresado
en base 8.
A) 7433 ,
O) 2311~",
BI47211(8,
E) 16313(6'
e) 36710(8,
Problema@:Respecto a un número se cum-
ple que: escrito en una base cualquiera está for-
mada por 3 cifras máximas y escrita en una base
que es el doble de la anterior se escribe con 2
cifras también máximas. Hallar el número en
base 9.
BI54(9,
1')70(8'
,
ProblelJ1a@: Dado el número "N- de 10 ci·
fras:
all0ll0ll0",; Hallar "N" en base 8.
A) 6 166",
O) 6 616(6)
B) , 666,.,
E)7 616(6)
e) 6661(B,
Problema @ : Hallar un número de 3 cifras,
cuya cifra de las unidades es 8, si este número
se le suprime et número 8 el número resultante
es los 4/41 del número original. Da, como res-
puesta la suma de ofras del número original.
•
A)10 B)11 e) 12 D) 13 E) 14
Problema @ : Hallar el valor de ~S"
s= 1010(2)" 1010(41 + 1010(61 + .. ,-.. + 1010(16)
Al 5 220
016960
B) 10440
El 8 352
e)6860
Problema@: Calcular: 3m + n~; si se sabe
que los siguientes números estáncorredamente
escritos:
ppo(l1}
A) 12 B)13 e)14 0115 E)16
Problema ~: Si: ab(1) = ba(Il)" Determinar el
valor de: "a + b"; sabiendo que "n~ está entre
20y30.
A) 3 8)4 C)5 0)6 E)7
Problema @: El siguiente resultado:36b ...
216a + 37 se ha obtenido después de descom~
poner el número.
A) a (b - 1) (b)2'6)
C)aO(b+ 1)1 ,,,
E) b (a)(a + 1)~l
B) a(b) (b + 1)(6l
O) a (b+ 1)01,6,
Problema @ : Si se cumple que:
abab(n) = 221.
Hallar 91 valor da: (33 + b + 20)
~
A) 17 8) 13 e)18 0115 E) 21
Problema @ : En que sistema de numera·
ción se cumple que: El mayor número de tres
cifras excede en 436 untdades al menor núme-
ro de tres cifras significativas (cifra significativa
es diferente de cero).
A)4 B)5 C)8 0)11 E) 14
Problema @: Determinar cuántos números
en la base cfiez cumplen lo siguiente:
a (2b)c'12l = (3a)bc'8l
A) 5 918 e) 10 DI?
Problema @:Hallar: Mm + n + xM; Si:
120x'01 = 64x = 2553(m)
E)16
A)17 8) 18 e)19 O) 20 E) 21
Problema @: Al número abe se le restó el
núncro roa. y en el resuftado se observ6 Que
la dfra de unidades era el doble que la cifra de
cenlenas. Si: Ma + b + c" es lo máximo posible.
Hallar: "a . b . e·.
A) 360
0)405
Problema
5) 324
E) 432
@:Si;
e) 486
(a - 4) (a) (a - 4),,, = xyyz,,,
Hallar:·x + y + z·
"í
A)6 B)5 e)4 0)7 E) 8
Problema @:Si: 1 331 (o) = 260m); convertir:
43(fI) a base 10.
A) 22
O) 25
B)23
E) 26
C/a"" de Respuestas 1
l.A 15.8 29.6
2.0 16. O 30.8
3.C 17.C 31.0
4.A 18.6 32. A
S.E 19.A 33. A
6.C 20.C 34. E
7.8 21. A 35.8
8.0 22.0 36.C
9.0 23.C 37.B
10.8 24.0 38.B
11. O 25. A 39. A
12.C 26.8 40.C
13.0 27. A 41. O
14. e 28. A 42.E
e) 24
43.8
44.0
45. B
46. A
47.C
48.0
49.C
SO.C
51.8
S2.C
53.0
54.C
55. 8
Se multiplica ab(9Jpor un segundo factor, si al
primer factor se le disminuye en la suma de
sus cifras, el producto se reduce en su mitad.
g Hallar:
~ ~a(t5J . ab(14J + ba(t3) - ab(12J + ba(lI) - ab
o.. b o ,.,..., - .¡ t. .et
~
Razone~
Un número se escribe coma:
aaba y cbaa en los sistemas de base
5 y 6 respectivamente, expresarlos
en el Sistema Decimal y dar como
respuestas la suma de sus cifras.
I Respuesta: 12
I t:.UHIA ut:.
CONJUNTOS
I IDEA DE CONJUNTO I
Todas tenemos la idea de lo que es un conjun-
to: es una colección. agrupación, asociación,
reunión, unión de integrantes homogéneos o
heterogéneos, de posibilidades reales o abs-
tracias. Los integrantes puedensernúmeros,
letras, dias de la semana, alumnos, paises,
astros. continentes. etc. a estos integrantes
en general, se les conoce como "Elementos
del conjunto",
Ejemplos:
a) El conjunto formado por los primeros
veinte números naturales
b) El conjunto formado por profesores de
un colegio
e) El conjunto formado por los actuales
presiden1es de los países de América.
Latina
d) El conjUnlo formado por la carpelas de
un salón de clase
Sin embargo. el concepto que tenemos es un
~CoocepIO Intuitivo", el cual no es correcto
pues también existe conjuntos formados por
un solo elemento y conjuntos formados sin
elemenlos locualconlradice la idea que tenía-
mos.
Ejemplos:
a) E\ conjunto c::onstituido r.-or las plantas
que dan flores.
bJ El conjunto de ciudades de la SIerra
peruana
e) Elconjuntode números naturales meno-
res que 5 y mayores que 4
d) El c::onjunto de personas mayoreo; que
400 años de edad
I NOTACIONES EN UN CONJUNTO I
1 Q AlosconjunlOS Se les denotará con letras
mayúsculas A, B. C .... y a sus elementos
con letras minúsculas; a, b, e, d •.. .
Ejemplo:
P={m, n, r, sl ==-I Elemento del Conjunto "po' I
2g El símbolo empleado para expresar que
un elemento pertenece a un conjunto
"'S~F
Ejemplo:
P = (m, n, r, s,}
@
I (El elemenlo'n~ pertenece al conjunto "P1 I
~ El simbolo utilizado para expresar que
un elemento "no pertenece"a un conjun-
to es: ,{
Ejemplo:
P = {m. n, r, sl . ,
Q¡t P
I (El eremenlo "q" no pertenece al conjunto"P1 I
4° Cuando un conjunto "R" está constituido
por varios elementos como por ejemplo:
a, b, e, d, e. f, los escribiremos entre
LLAVES
R = (a, b, e, d, e, f)
I DETERMItIACION DE CONJUNTOS I
~rExteI'Si6n: )
Un conjuntos "A'" está determinado por exten·
sión cuando se mencionan uno por uno todos
los elementos o cuando. si son numerosos, se
meooonan los primeros de ellos (y se colocan
puntos suspensivOs)
Ejemplos:
1. A = (lunes, Martes, Miércoles. Jueves,
viemes, Sábado. Domingo)
2. B= (O, 1,3,5,7, ... )
Sin embargo, no todos los conjuntos
pueden ser delerminados de esta manera,
sobre lodo cuando el número de elementos
que constituyen el conjunlo es muy elevado.
Imagine los casos de aquellos conjuntos
que tienen infinitos elementos como el conjun-
tos de estrellas del universo.
Es por ello, que necesariamente, se debe
emplear otro procedimiento para determinar
los conjuntos queticncn muchos elementos. A
esta otra forma de determinar un conjunto se
le denomina comprensión que también se
puede utilizar para cualquier conjunto.
( Por Comprensión: )
Un conjunto A está detenninado porcom-
prensión cuando se enuncia una ley o una
funcIÓn que permite conocer Qué elementos la
cumplen y por tanto, van a pertenecer al con-
junto A.
Para diferenciar cada forma de determi-
nar un conjunto veamos los siguientes ejem-
plos:
Ejemplo 1
Por extensión:
A = {lunes. Martes, Miércoles. Jueves, Vier·
nes, Sábado, Domingo}
Por comprensión: (Una pasilIe feSPUes1a seria)
A = (xf'x" es un día de la semana)
Se lee:
"El conjunto A esta formado por todos los
elementos ')''' que satisfacen la condición de
ser un día de la semana",
Otra posible respuesta seria:
"A eS el conjunto constituido por todos los
elementos"x" tal que x esun diade la semana"
EJemplo 2
Por extensión: B = (1. 3, 5,7 .... )
PoroomprensiOn: (Una posIlIe respuesta seria)
Se lee:
"a es un conjunto formadoporlosefementos "1("
tal que '"x" es un nUmero ;ropaf y "X-pertenece
al conjunto de los números naturales",
EJemplo 3
Determinar el conjunto de las cinco vocales
Por extensión: A = {a, e, i, 0, u}
Por comprensión: A = {x/ · x" es una vocal}
1 Esta barra indicada s'ignifica "tal que" l
Ejemplo 4
Determinar el conjunto de los números pares
naturales menores que 15
Por extensión:
B = (2, 4, 6,8, lO, 12, 14)
Por COmprensión:
B = {x/Y es LtI lUneto par natural menor que 15}
Se lee:
"B~ es el conjunfo formado por Jos Y, tal que
"xl> es un número par natural menor que 15.
CLASES DE CONJUNTOS POR EL
NUMERO DE ELEMENTOS
( Conjunlo Unitario: )
Es aquel oo .... uoto que tiene un sólo elemento.
Ejemplo!J:
1. El conjunto del adual presidente de Ar-
gentina
2. 0= {x/3 <x< S, -X- es un número entero}
3. M;{)(Ix+6 ;8l
4. R = IY E N J3< y< Sl
5. G;IOl
( ConJunto v~
Es aquel conjunt') que no tiene elementos.
Se le representa por la letra 4> "se lee FI".
También se le representa por un conjunto que
no tiene elementos dentro de las llaves. AsI
por ejemplo:
0: 11
Simbólicamente se define como:
1; {)(Ix" xl
Ejemplo:
A = {Es el conjunb de mujeres que
ti enen 3 piernas}
Comosehabrádadocuenla no ex,:ste flfnguna
mujer que posee 3 piemas, por tanto, este
conjunto carece de elementos y oeclmo5 que
es un conjunto vacfo.
NOTA: lO}; Representa. a un conJ~'1.tO
de un sólo el.(!m.(!nlo. el nlÍmero
cero.
O' Indica ausencia de cantidad (es
un número, más no un conjunto)
(tfJ); Representa a un conjunto de un
sólo elemento. el ekf11'-nto "tfJ lO
! ConJunto Universal: (o UnIverso) J
Esclconjoo-
lo Que contiene.
comprende o den-
t ro del cual están
todos los demás
u
conjuntos , se le
simboliza por la le- '------------'
tra U ,gráfica.mentese le representa mediante
un rectángulo en cuyo vértice (unorualquiera)
se coloca la letra U.
s. consideramos como un conjunto uni·
versal al sistema universitano de nuestro país,
entonces cada universidad x, será elemento
de dicho universo. El conjunto de libros de una
Biblioteca determinada. puede ser otro ejem·
plo, sus elementos serán cada uno de los libros
de los que consta. El marco de referercia es
relativo. de modo que podemos referir como
conjunto universal por ejempo alConjunto de
Bibtiotecas de la ciudad
( Conjunto Finito: )
Es aquel royos elementos se pueden
contar en forma usual desde el primero hasta
el último. El numero de sus elementos se llama
cardinal de conjunto.
EjemplO$:
1. {El número de carpetas del salón}
2.
3.
4 .
{24 675 gramos de Brena}
{Hojas de un árbol}
{Números enteros entre 1 y 20}
( Conjunto InfinIto: )
s. contarnos no se llega nunca a un úttimo ele-
mento del coníunto se ltama intW1ito o indefinido.
Ejemplos:
(1) {Punto de una recta} (Es infinitO)
(2) {Números enteros mayores que 100)
(Es infinito)
NOTA: Lospunlossu.spensiv~ ooooo en-
tre dos elementos se leen ~y asi
sucesioomentehasto-o Esospun-
tos como lerminación, se lee "'y
asi suct!siuamenle"
Ejemplos:
(1,2,3, ... 100) es fin~o
(1 ,3. 5. 7. oo.) es ¡nl¡nito
I RELACIONES ENTRE CONJUNTOS I
( Inclusión: )
Se dice que "AH está incluido en el con-
junto "B", cuando todo elemento de A, pertene·
Ce a -S"o La inclusión Se simboliza por " e "o
AcB -H 7I.EA -+ x e B
También se puede decir que A es
subco~unto del conjunto B. Se puede denotar
por B :> A, que se lee "8- incluye, contiene o es
un subconjunto del conjunto A. Ejemplo de
subco!iunto o inclusión es el Siguiente:
Si: P = (Perros)
M = (Mamíferos)
Entonces se tiene:
P e M ("P" está incluido en HM")
e Se lee: ~Esta incluido en"o
Su negativa es: ~
:> Se lee: "Incluye a"o
Su negativa es; ~
Sean, por ejemplO, los conjuntos:
A = (a, b, c, d); B = (a, d)
C _ (b, d, a. e); D - (a. e, e)
En es1e caso se observan las siguientes inclu-
siones:
Be A;C e A;A e c
En cambio los conjuntos C y D son incompara-
bles, porque ni ~C" incluye a ND", ni "O" incluye
a ·C", es decir:
D¡fC ;.C$Z'D
Hemos visto que pueden ocurrir al mis-
mo tiempo las dos inclusiones e e A y A e C,
eslo quiere decir, sencillamente. que A::: Co
( Conjuntos 19u1Jles:)
Dos conjuntos son iguales si tienen los
mismos elemen[Qso Su forma simbólica es:
A _ B.
Nótese Que decimos los mismos ele-
mentos que no es igual a decir el mismo
número de elementos.
De la definición podemos ¡nfem que: A :::
A (Todo conjunto es igual a si mismo).
Ejemplo 1
Si: A - (1, 3, 7, 9, a, b)
B - (a, b, 9, 3, 1, 7)
Entonces: A ::: B pues son los mismos elemen-
tos aunque estén en diferente ordeno Recuer-
de, no importa el norrbre dado al conjunto sino
los elementos que lo 1orman.
Ejemplo 2
Si: C = (a, e, i, o, u)
D _ (a, e, o, 4, i)
Entonces C .,. O porque a pesar de que cada
conjunto tiene 5 elementos (igual número de
elementos) basta que exista un elemento dife-
rente para que ya no sean igualeso
( eonfunlos DIferentes=-)
Dos conjuntos son diferentes si sus ele-
mentos no son iguales.
Ejemplo:
A ={m, n, p, q}
B = {r, s, m, p}
_. lA'#. B (~ : significa no igualo diferente) I
[Con/unt08 Disjuntos: )
Dos conjuntos son disjuntos si no tienen
ning(rn elemento en común: es decir, todos
sus etementos de un conjunto son diferentes
a los etementos del otro conjunto.
Ejemplo:
A = {O, 1, 2, 3, 4, 5}
B = [9,S,7,S,lO}
f~OP~iéi)
Se llama a~; al oonjunto fonnado por
todos los subconjuntos que es posible formar
de lWl conjunto dado. Se sirrboJiza por P. La
notación P(A), se Jea potencUi del conjunto A.
El romero de subconjuntos que es posible
formar con k>selementos de un conjunto 8S2";
siendo -n" el nUmero de elementos integrantes
del conjuoto.
EJemplo:
Si se tiene: A = (a, b, e),
hallar la potencia del conjunto A
Resolución:
Se tiene:
P[A) = [[a}; lb}; (e); (a,b), (a,e); {b,e}; (a,b,e};,) .
I Subconjunlos o partes del conjunto Al
Esto es; número de elementos de A; es n = 3,
de donde:
rl-2-'-=-S-S-ubc- O-n-ju-n-to- s' l
I
REPRESENTACiÓN GRÁFIC'-A- D- E'
CONJUNTOS
Se pueden i .... uir muchos sistemas auxi-
liares para visualizar las relaciones. Enre con-
juntos; k>s más conocidos son los Diagramas
UneaJes y tos de Venn-Euler
I DIAGRAMAS UNEALES I
Son segmentos de rectas que ilustren las
relaciones entre conjuntos.
I DIAGRAMAS DE VENN-EULER I
Consiste en graficar mediante círculos.
etipses, rectángulos u otras figuras geométricas
de área plana, cada uno de los conjuntos con
los que se labora. Generaln lenle los puntos
interiores a un rectángulo representa al con·
junto del sistema.
Ejemplo:
Si el conjunto universal lo tounan las letras del
alfabeto y además se tienen los siguientes
conjuntos:
A = (a, b , e, d)
B = (e, a, di
e = (a, dI
Representar las relaciones entre dichos
co~untos gráficamente.
Resolución:
Observamos que: e e B; además Be A: y
como U es el coniunto universal (Todas las
letras del alfabeto)
La representacoo lineal será:
~cr, Q
Elconjunto Deslamás
aoojolk aquel enelque
Queda incluido, y asi
sucesivamenlf!'.
~ --~
La representación de los diagramas de Venn
Eu&er,
u
x
m
Ob5ervarque el conjtJ nto"O~ está en el interior
del conjunto que lo incluye del mismo mooo "8"
respecto a '"N. El conjunto uriversal está re-
presentado p:>r el rectángulo en nuesUo ejern--
plo. Esta formado por las letras del alfabeto.
D c B c AcU.
I OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS I
Las operacKmes entre conjuntos son disposi-
cionesespeclfeasdecooonarconj ..... tospara
10000000r otros, de semejarte estructura . Dichas
operaciones son la unión, la intersecd6n, la
aterencia, la cof11>lementaci6n. el conjunlo
producto o conjunto cartesiano y la diferencia
siméfrica.
( ÚnI6<1 o Reunlón-. )
Unión o Reunión de los conjuntos A y B
es el conjunlo de elementos ")(' que pertene-
cen a "A-, a "S- o a ambos, se simboliza por A
v B; y se lee: "A" unión "'B·.
Por Comprensión:
Av S;I"'x E Avx E SI
es decir: )( e A u B $:> ){ e A v x e B
~ : significa: "Si y solo si"
Gráficamente. la unión de conjuntos se
represenla, en un dagrama de Venn-Euler.
achurando la zona donde se encuentran los
dversos elementos que pertenecen a los con-
juntos: qLK> pertenecen a la unión.
u
r7'\\ <:> I A v BI
A~B
Ejemplo:
Sean los conjuntos: A = {a, b, e, d. el y el
conjunlo B = {t, b, d}; el universo las lelras del
aHabeto. Hallar. A u B.
Resolución:
Como tos elementos de Ay B pueóen pertene-
cersófa a · A"', sókl a "B'" o simultáneamente a
ambos, entonces:
Av B ; la, b, e, d, e, 1}
Su representación gráfica en el
diagrama de Vem-Euler es toda la superficie
achurada_
G[)
u
8 b m
e f
d n
•
p, q, r, ....... Z
I A v B ; la,b,c,d,e,n I
I Propiedades de la unión de conjuntos I
Dados los conjuntos:
A ~ la, b, el
S; la, b, e, d, eJ
C~la , mI
Se cumple que:
l. IAuB = BuAI
(Propiedad conmutativa)
Ejemplo
A u B = (a, b, e, d, el
BuA = (a, b, e, d, el
2. IA C(AU Bl A B e (A u Bl I
Ejemplo:
(a, b, e)c (a. b, e, d, el
la, b, e, d, e)c la, b, e, d, e)
3. ISi: Ae B =O A u B=BI
I=> se lee: ~mp/ica'1
Ejemplo:
(a, b,el e la, b, e,d, el
la. b, el u la, b, e, d, el = la, b, e, d, el
4. 1 (Au B} u e = A u (B u C) I
Ejemplo;
(a, b, e , a, b, e, d, e ) u la, m}
= la, b, e} u (a, b, e, d, e, a , m)
De cIoncle:
la, b, e, d, el u la, m} = (a, b, e, d, e, mJ
~~~v~~~~a,~ =~~~da,~
¡ IntersecciÓn: J
Intersección de los conjuntos A yB es el
CClrlunlo de elementos .. ](' que pertenecen a
"A"ya"B". Estáformado por elementos comu-
nes a k>s COrluriOS Que forman la i1terseo-
ción. Se simboliza por A n S, y se lee: "A"
intersección "8".
Por compresión:
A n B : (xlx e A Ax e BJ
Es decir:
XE (A n B)(::)(xE A ,., XE B}
Gráficamente, la respuesta es la zona
sombreada que contiene a los elementos que
pertenecen a ambos conjuntos.
Si: A:
B=
{2, 4 . 6.1.~. ~.~}
{I,3,5, 7,9, lO, 12, 14}
G;ll:;ZIc;:::II =
An B: 17,9,10, 14J 1
Gráficamente:
u
1,. n B: (7, 9,~
Problema:
En el colegio 'San Miguel" de Piura. se ha
evaluado a mil alumnos en las astgnaturas de
lenguaie, Biologia y matemáticas y, se ha
obtenido el siguiente resultado.
a) 680 alumnos aprobaron lenguaje.
b) 320 alumnos aprobaron biologra.
e) 400 alumnos aprobaron sólo lenguaje.d) 50 alumnos aprobaron lenguaje y biolo·
gía: pero no matemáticas.
el 170 alumnos aprobaron biología, y
matemáticas, pero no lenguaje. 40
1) alumnos aprobaron biologia,lenguaje
y Matemáticas
¿Cuántos alumnos aprobaJon sólo matemáti·
cas?
ResolucIón:
Para resolver este lipo de problemas es con-
veniente errpezar su desarrollo a partir del
último dato (O sea: la intersección de los 3
conjuntos). Veamos:
f} -40 alul1YlOS aprobaron Biologfa. len-
guaje y Mate~ttca". esto quiere decir
que 40 alumnos son elementos comu-
nes (están en la intersección) de los 3
conjuntos.
u
Donde:
L = alumnos que estudian Lenguaje.
B = Alumnos que estudian Biología
e = AllIfJYlos Que astucian Matemática
e) "170alumnos aprobaron Biología y Ma-
temática pero no lenguaje" o sea que.
estos 170 alurmos son elementos co-
munes (esta n en la intersección) de los
alunTlosque aprobaron Biología y Mate-
mática
u
d) .. SO aprobaron Lenguaje y Biología pero
no Matemática-; el razonamiento es s;"
milar al anterior.
Tenemos ya 40 que aprobaron Lengua-
je. Biología y Matemática pero, como la
condición es que no aprobaron matemá-
tica estos 50 alumnos pertenecen s610 a
la intersección de Iosque aprobaron len-
guaje y Biología.
u
e) "400 aprobaron sólo Lengua}e"; estos
alullTlos son elementos Que pertenecen
al conjunto exclusivo de Lenguaje, es
decir no son elementos comunes a los
conjuntos -aprobaron Biología·ylo "apro-
baron Matemáttca".
u
b) "320 aprobaron Biologla"
u
de la gráfica tenemos:
5O+4O+170+x= 320
26O+x= 320
1 x= 60 1
(Aprobaron sólo B/ologla)
a) "680 aprobaron Lenguaje-
u
De la gráfica, lenemos:
4OO+50+40+y = 680
490 + y= 680
· · E~
(Aprobaron sófo Lenguaje y Matemática)
Como hay 1 000 alumnos podemos obtener
cuantos alumnos aprobaron sólo Matemática
procediendo de la siguiente manera;
u
Del dagrama tenemos:
400+50+60+190+ 4O+170+z= 1000
910+z=1000
:.lz=901
(Aprobaron sólo Matemáticas)
Propiedades de la Intersección de ~
Conjuntos ~
1.1 A"B=B"AI
(Propiedad Conmutativa)
2. I (A" B) CAl
3·I {A"B)CB I
4· IA C B=>A " B = AI
5. HA" B) " e = A" {B "C) I
(Propiedad Asociativa)
6. lA " (B u e) = (A" B) u {A" C)I
(Prop;edad distributiva respecto a
la umón)
7. lA u (B" C) = (A u B) ,, {A u e)1
(Propiedad distributiva de la unión
respecto a la intersección)
Dl1erencia entre los conjuntos "N' Y "8", es el
conjunto de los elementos "x" que pertenecen
a "A~ pero no a "8", se simbotiza ~r NA - S-,
Por compresión:
A-B ={xlxE Ay,xE Bl
Es decir:
x e (A-B)pXE A AXt! B
Ejemplo 1
Sean los conjunlos: A= (1, 2, 3, 4, 5, 61: B= (4,
'0 6,7, B, 9} Y conjunto universal, el conjunto
de L{ls números naturales.
Hallar:
a) A- B b) B-A c)U -(A v B)
'3ralicándolo en el diagrama de Venn-Euler
Resolución:
De la definición de diferencia de conjuntos,
tenemos:
a) A- B={1.2.3.~-~7. 8. 9)
IA- B=[1.2. 3) I
En el diagrama, la parte achurada. re-
presenta: "~A - S"
A-B = {l. 2. 3}
b) Si el conjunto universal, eslá formado
por los números naturales. la diferenda
será:
B-A=~ 7. 8.9)-(1.2.3, 4. ~.6J
I B - A = (7.8. 9) I
En el diagrama, la parte achurada repre-
senta: • B - A"
B - A=(7. 8, 9)
e) U - (A v S), serán los elementos que
pertenecen al U (universo) pero no al
conjunto A v B.
u = {Números naturates}
Observar el diagrama:
A B
10 ~~7 15 8 11 3 6 9
U 12,13, •• ,06
Propiedades de la Diferencia de
Conjuntos:
1. A - B=B- A ~ A = B
2. Si: A c B = A- B = (3
3. A - 0 = A, "i A ("i: significa "para 1000")
4. A -B = (A u B) - B = A - (An B)
5. (A - B) n B=0
( c omplerm;nlacI6n:)
Complemento de un subconjunto cualquiera
"B" respecto a U (Conjunto universal), es el
conjunto de elementos de U que no pertene-
cen a "8". Se llama también complemento de
B en U. o simplemente conjunto dilerencia
U - B.
A'
U
Notación: CuB, <ifB; B'; BC
Por Comprensión:
CuB= B' = (xix E U VX . B)
Definición2:Complementodeunsubconjunto
cualquiera "8" respecto a un conjunto· A" es el
conjunto de elementos de "Aro que no pertene-
cen a "8". Se le nama complemento de B en A,
o simplemente conjunto diferencia A-B.
Por comprensión:
C.S=S'={x/XE Ay .. S}
Ejemplo t:
Si el conjurto universal está formado por los
habitames de nuestro país. y si ~A" es el
conjunto de habitantes de nuestra ciudad,
entonces 'A representa los habitantes de
nuestro pals que 110 son de nuestra ciudad.
Ejemplo 2:
u = {1,3,5,7,9,11}
A = (3,5,7)
S = (5,7,9)
Hallar:
A) A'
O}(A roS)'
S) S'
E)(S - A}'
Resolución: Tenemos que:
A} A'={l,9,ll}
S) S' = {l,3,ll}
C) (AuSl'={l,11)
O) (A n Sr = (1,3,9,11)
E) {B-A)'={ 1,3,5,7,11}
C}(A U S)'
Propiedades del complemento de un
Conjunto:
Para conjuntos A y B contenido en \J se cum-
ple:
1. 1l'(Il'A) = A
2. A c S S e \fA 1 • =>
3. A-S=An\fS
4. 'if(A u S) = \fA n \fS (Ley de MO'llan)
5. \f(A ro S) = \fA u \fS (ley de Mocgan)
6. Au 'ifA=U
7. An 'ifA=,
8 . 'ifU=,
9. 'if(>= u
( DIFERENCIA S/METRICA 1
Diferencia simétrica de los conjuntos A y B, es
el conjunto de elementos de uA" y de "8",
excepto los que pertenecen a la intersección.
Esto es. que pertenecen a "A" o a "8"_
Notación: A I'l B, se lee "A" delta "B" ó "A"
diferencia simétrica "8"
A6S=(A-S)u(S-A) Ó
A6 S = (Au S) - (A ro S)
Por comprensión
A LlS= {x/(X E A AX E S)V(XE SA" A))
Ejemplo:
Sean: A = {a,b,c,d,e,f,g} y
S = {c,d,g,h,i}
Hallar: A ~ S
Resolución:
Por definición: A ~ S = (A - B) u (S - A)
= {a,b,e,!} U (h,i)
.. lA LI S = {a,b.e,l,h,ij I
o también:
A,.. B = (A v B) - (A r. B)
= (a,b,c,d,e,f,g,h,i)' {c,d,g}
lA <lB={., b, e, 1, h, j} 1
Graficanoo:
u
A<lB= (A v B) - (A r. B)
A ti. B = Area sombreada
A" e = (A - B) v (B - A)
A .ó. B = Area sombreada
Propiedades de la Oiferecla
Simétrica
1_ A.ó. B = B I'! A (Propiedad Conmu1afiva)
2_ (AA B) A e= A <l (B<l e)
(Propie<lad Asociativa)
3, AAA=0
4. AI'!0=A
5. (A" B) n C = (A nC)" (e n C)
(Propiedad Distributiva de la intersec-
ción respecto a la diferencia simétrica)
6_ De la detinicióo de diferencia simétrica:
AAB=(A - B)v(B-A)
=(A n B') u (A' n 8)
A" 8 = (A v 8) - (A n 8)
= (A v 8) n (An 8')
7_ AI'!B=0 .;:::. A=B
8. (AAB)u(8Ae)
= (A v B v C) - (An 8nC)
'1 p-R-O-e-l-e-M-AS-R-ES- U- E-l-T-O--,S 1
ProblemaG)
Determinar el conjunto ~B"
8={X/x'-Sx+6=O}
Resolución:
Factorizamos la expresión:
x2 ·5x+6 = 0
'*-3 x -2
Luego: (x-3)(x-2)=0
i)
ii)
x - 3= O
x - 2 = O
Luego, el conjunto "B" queda determinado:
1 B = {xix = 2;, = 3}
PrOblemaCV
Expresar por extensión el siguiente conjunto:
B={xlx e N; 18< x< 27)
Resolución:
Segun la expresión:
18 < x < 27. los valores que toma ·x" son:
x = (19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26)
LuegO:
r---------------~ I B={19, 2O,21,22,23,24,25,26)I
prot>¡ema(i)
Determinar por extensión, el siguiente conjun-
to:
A "" {2x + 1/x e N, 3 :5: x < 61
Resolución:
SegUn la expresión: 3 s: x < 6; los valores Que
toma Y son:
I x = (3.4,5)1
Luego, reemplazamos cada valor de "X' en la
expresión:
Para: x:; 3
Para: x :; 4
Para: x = 5-
probl'ema @
A ~ (2x+l)
--> 2(3). 1 = 7
--> 2(4). , = 9
--> 2(5) .1 =1 1
I A = (7,9, 11} 1
Determinar porcof1lXensi6n el siguiente con-
junto:
A = (3. 5,7,9. 11}
Resolución:
Determinar un conjunlo por comprensión im-
plica definir dicho conjunlo mediante una fór-
mula que proyec1e las propiedades comunes
que caracterizan dicho conjunto.
Luego:
I A_ (xe NI"" impar, 2<x < t2) I
problema@
Si: A = (3,(5)};
decir cuál de las siguientes afirmaciones eS
verdadera.
AH3, 5) cA
0){(5)} e A
Resolucl6n:
B)(5} c A G)Se A
E) {({5}}) e A
Del conjunto: A = (3, (5)}. calcuramos los
subconjuntos de dicho conjunto '"Ah
A = ((3); [(5)) ; (3;(S}} ,~)
4!@d) ' Rpta. O
Problema (!)
Cel sigr;iente diagrama de Venn-Eulel. Deter-
minar el cardinal del siguiente conjunto.
(A · 6) . le . E¡
--- - ------,
u
A)2 B} 3 C)4 0)5E) 6
Resolución:
En primer lugar, calculamos: "'A - 8"
A ~~_~~~
A· B = (a, b. c. m)
En segundo lugar, calculamos: "C - Bto
B
I C·B = lm.p.q.w} I
Ahora, cak::u1amos:
(A· B) . (C . B)
Cl tJ
(a, b, e,!!,) • {'!l, p. q, w} = la. b, e}
Numerocardinalesolnúmero
de elemenlos del conjunto
El numero cardinal es 31
Rpta. B
prOblemaQ)
Para dos conjuntos A y B se cumole que:
n(AuB)=B
además: n(P(A)) + n{P(B)) = 40.
Determinar: n(P(A ,.., B))
A)3 R)4 C)5 D)B E)8
Resolución:
Consideremos:
n(A) :: )( entonces: n{P(A)} :: 2lf
n(B) = y enlonces: n(P(B)) = 2'
Reef11)lazamos estos valores en la expresión:
n{P(A)) + n (P(B)) = 40
2" + 2Y "" 23 + 25 (Unica posibilidad)
Donde: 1.=3 ;
Pero: I nIAIB~ I =In{iA} I + n(B) .ln(AjB} I
6=x+y-n(A ....... S)
6=3+5·n(A " B)
Entonces: I n(A " B) = 2 I
Luego: I n{p(A " Bn = 2" = 2' = 41
Rpta. B
Problema (!)
En un colegto 100 alumnos han rendido 3
exámenes. De ellos 40 aprobaron el primero.
3gelsegundoy48~tercerexamen. Aprobaron
1 O Iostresexámenes. 21 no aprobaron 8JCamen
alguno, 9 aprobaron los dos plimefOs, pero no
el lercero; 19 no aprobaron los dos primeros
exámenesperosfeltercero. Calcúlese cuAntos
alumnos aprobaron por lo menos 2 exAmenes.
Resolución:
Disponemos los dalas del problema en un
diagrama de Venn-Euler. tomando oomo oon-
junto la. cantidad de alumnos que llevan el
primer, el segundo y el tercer curso y como
corlunto universal los 100 alumnos del cole-
gio.
2"E~
(39)
~Ex.
(48)
Del diagrama tenemos que:
x+y+1O+9::4Q
w+z+ 10+9=39
y+z+10+19=48
...... (1 )
... ... (2)
...... (3)
Se ptde; calcular. 9 + Y + z + 10 :c ?
De (3): .-_ I=y=+=z== ='9:.1 ___ •
Luego: 19 + '1+ z+ 10 = 9 + 19+ 10 = 38 _
Rpta.
Alumnos que ap'obaron por los menos dos
cursos.
NOTA: 1..08 JO alumnos qUi!aprobaron
3 cursos, ackmós de aprobar
'os .1 cursos quiere decir QU€
aprobaron 2 curoos. Si en el
problema nos preguntaran .
¿Cuántos aprobaron sólo 2 curo
SOS mtonces lo que nos piden
será:
problema @
Una persona come huevos o losino en el
desayuno cada mañana durante el mes de
Abril. Si con 10 locino 25 mañanas y huevos 18
mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevo y
tocino?
Resolución:
LlQvando nuostros dalos a un diagrama tQr-Kr-
mos:
Luego:
Tocino (25) Huel'OS(18)
ffiu
(25 - x) +X + (18 - xl =~
(1 do di. quQ tkIn9 AbrW)J
-)(+43=30
El número de días que la persona come tocino
y huevos duranle er mes de Abril es de 13
mañanas.
Rpta .
Problema ®
De un grupo de 105 deportistas. se observó
que:
A) 15son311e13S. que practican eltútbol yla
nalación.
B) 52 son atletas.
C) 55 son nadadores.
O) TodOS IOSfu!boljstassona!'(~tas y 12son
deportistas que sólo practican el atletis-
mo.
E) 15 depomslrts no ~raClK:an ninguno de
los deportes mencionaooo
¿ Cuántos deportistas sen atletas y nadado-
res. per~ no flJlbolfmas?
Resolución:
Sean: A = {Con¡unl{l de Atletas}
F = {Con!untc de FLtbolislas}
N = (CQnOl,n'? de t-.~dado",s}
(No practican ningun deporte)
Del diagrama:
i) 12+'1+15+)( = 52
ly=2S o ·1
;;1 52+(4O-xl+15=105
52 + (40 -xl = 90
92-x=90
x= 2 I
Problema @
Apta.
De 1 BOalumnos de una Academia Pre-Univer-
sitana que gustan de Ioscursos "Razonamien-
to Matemático", "Algebl'a", o -Aritmébca" se
supo Que:
Al 34 gustan de "Razonamiento Matemáti-
co" pero no de "Algebra"
e) 28 gustan do "Razonamiento Matemáti-
co" pero no de "Aritmética"
e) 16 gustan de "Algebra" pero no de "Ra-
zonamiento Matemático"
O) 24 gustan do MAJgobra" pero no de "Arit-
mética"
E) 4B gustan de "Aritmética pero no de
"Razonamiento Matemático·
FJ 18 gustan de "Aritmétk;a" pero no de
"Algebra"
¿A t:uállllr.i jÚ\'vllw ~ ym>lClI1 IIA> 3 cur~
mencionados?
Resolución:
Llevando nuestros datos. tenemos:
Del diagrama:
a+p=34
a+q=28
b+r=16
b+q=24
c+ r = 48
e + p = 18
1: m.a .m. 2a + 2b + 2c + 2p ... 2q + 2r = 168
2(3 .. b .. e .. p ... q .. r) :: 168
a+b+c+p+q+r:: 841
Pero:
a+b+c+p+q+r+x::180 .
L. 84+x=180
(Les gusta los 3 cursosl
Problema ®
En un avión transcontinental viajan 9 mucha-
chos. 5 niños latinoamericanos. 9 hombres. 7
muchachos extranjeros. 14 latinoamericanos.
S latinoamericanos hombres. 7 mujeres ex-
tranjeras. Determinar el número de personas
que viajan en el avión.
Resolución:
Realizando un ól8grama con los datos. se
tiene:
El número de personas que \Jiajan en el avión:
I 3 .. 6 + 3 + 5 + 2 + 7 .. 7.:= 33' Rpta.
Problema ~
De un grl4X> de postulantes a Universidades,
se sabe que:
A) El 46% pos.ulan a la "UNI"
Bl El 4~.k postulan a "San Marcos"
C) El 58% pos.ulan a ·Ca.ólica"
O) El B% postulan a las tres universidades
E) El 5% no postulan a ninguna de estas 3
universidades
Si 1 290estudiantespostularon apor lo menos
a 2 universidades, diga ¿Cuántos¡x>stutanles
hubieron en total?
Resolución:
ReaiZando un áagama con los dalos, se tiene:
UNI(46%x) San Marcos
(42'1'. x)
Sea: # de postulantes: x <: > 100% )( de este
1 ~(,. el 5% no postulan a ninguna de estas 3
universidades. esto quiere decir que los que
poStulan so .... el 95% x.
Del diagrama:
a + b+ p+ 8% x::::; 46% x
a + e + q + SOlo x = 4~k x
b +c +r + 8% )( =58%x
E M.A.M: (a + b+ e) + (a + b + e) + (p + q + r)
+ 24% x= 146% x
(a + b+ e) +[(a+b + el +(p+ q .r)J = '22% x
... (a)
Sabemos que: 1290 estudiantes postularon a
por lo menos a 2 universidades. Del enuncia-
do, obtenemos:
(a+b+c) = 1290-8% x ., , (~)
Además sabemos que:
a+b+ c +p+q + r+ 80/0)( = 95% x
[(a + b + e) + (p + q .,)J = 87% x .. ,(O)
Ahora , reemplazamos (~) y (O) en (a):
(1290 - 8% x) + 87% x = 122%x
1290 = 43%x
1290 = .~x
Ix=3oool
(# de postulantes en total)
Problema @
Rpta,
En una fiesta donde hablan 120 personas. 30
eran hombres que no les gustaba la música
"criolla-, 50 eran mujeres que gustaban de esta
música. Si el número de hombres que gusta-
ban de la música "criolla" es la tercera parte de
las mujeres que no gustan de esta música. ¿A
cuántos le gus1a la mústca -criolla"?
Resolución:
Realzando un ciagrama coo los datos, se tiene:
H M
Como el número total de personas es 120,
tenemos:
X
30+)(+ '3+50 = 120
4 '3)( :: 40
,', 1.=301
Por lo Tanto gustan de la música criolla:
I i + 50 "" 60 personas l
Problema @
Al realizarse una encuesta entre los alumnos
del QUinto año de un colegio, se sabe que:
A)
1
'200 los alumnos postulan a la KUNI'"
S)
7 12 de los alumnos postulan a "San
Marcos"
e) 1 6" de los alumnos postuan a las dos
universidades
O) 35 alumnos aún no deciden dondE! don-
de postular.
¿Cuántos alumnos hay en el Quinto año de
dicho colegio?
Resolución:
7x
San Marcos 1'2'"
...--~----~
(;; -t)
35 U
CA un no deciden postular)
Sea: "x" = # de alumnos del quinto año de
dicho colegio:
Poslulan a la UN!: f
7x
Postulan a SeUl Marcos: W
A las dos universidades: ~
Entonces:
x x
Sólo poslulan a la UN1: "2 - "6
7x x
Sólo postulan a la San Marcos: 12 - 6'
LuegO: ( i - i)+ i+( ~~ - i )+35 = X
2x + !+~+35= x
6 6 12 ---..-...
x 5x 2"+""12+ 35 = x
11 12x + 35=x
11 x-t-420 :;:. 12x
.". I x ~ 420 I
(' total de a1urrnos
de Quinto año)
Problema @
Rpla.
Hallar: b + e - a, sabiendo Que los conjuntos: A,
B Y e son conjunto iguales
A ~ (a+2;3-a)
B ~ (a-l ; 6· a)
e = (1 : b + e)
A) 2 B) 3 e)4
Resolución:
D) 5 E)6
Para que dtchos conjuntos sean iguales; debe
cum~irse que:
A ~ (W;~}
S~(~;~
i) 8+2=6-a ~ 2a=4 ~ 1 a=2 1
ii) 3-a=a-1 ~ 4 =2a ~ I a=21
De los conjuntos 6 y C, obtenemos:
B = (ª-:J; 6- al
e = I!; b + el
i) a-1=1
ii) 6-a=b+c
4 = b+c
luego: b+c - a = 4 - 2 = 2 Rpta A
Problema@
Se- hizo ona encoe-sta a 832 personas sobre
pre1erencias respecto a 2 revistas A y B,
observándose que:
ab teen la revista A
aOb leen la revista B
ba leen la r~ista A y B
Sí todos leen por 10 menos una de las 2
revistas. Hallar; '"a + b"
Alll B)13 C) 12 0)15 Ell7
Resolución:
A(ab)B aOb)
Aldecirque todos leenporlo menos unade/as
2 revistas quiere decir que mínimo leen 1
fe\lista, aunque también algunos leen 2 reMs-
taso
De' gráfico; obtenemos:
• ab:P9 +iii. +.3m;; ¡;¡; t 832
Por descomposición polinomica. se tiene:
(lOa + b) + (l00a + b) • (I Ob +., ; 832
s 5
portanteo; a = B Y b = 5
luego:
Rpla. B
Problema 0
Se reunen en un club, 80 socios de los coales
25 juegan a'''cachito'', 45 juegan al"dominó~ y
20 juegan sólo "ajedrez", Entonces los que
juegan "cachito" y "dominó" son:
A)5 B) 10 C) 15
O) 20 E) Falta más información
Resolución:
Del diagrama:
m + n + a+b+20+x=BO
I m+n+a+b+x=60 I
Ademas:
i)
ii) n + b + x == 45
... (ll
LM.A,M. m ... n + a ... b + x + )(:; 70 . .
6O+x= 70
RptaB
prQblema @
Si: A = {1 , 2, {4, 3}, a}, determinar cuántas
expresiones son correctaS:
1. {{4, 311 a: A
111. {4.3) C A
V. "EA
A) 1 B) 2
Resolución:
11. {{l ,2]} E A
IV. ({l, Sil e A
C) 3 0)4 E)Q
Analizamos cada uno de las expresiones da-
das, veamos:
1. {{4, 3)) si es subconjunto de A
11. la pertenencia e se usa enlfe un ele-
mento y un ronjunto
111. {4. 3} es un elemento de A Y no un
subconjunto
IV. ({l. an es un subconjunto de Ay no un
elemento de A
V. " no está como elemento de A
. , 1 ~ de las expresiones es correcta I
Rpta. E
probfema @
De 3Opersonasqueviajanrumbo a Europa. 16
dijeron que visilarian Francia. 16 Inglaterra y
11 Suiza, 5 de los escuestados viajarán a
Francia y Suiza. y tres de ellos visitarán tam-
bién Inglaterra. 5 sólo van a Suiza y a sólo a
Inglaterra. ¿Cuántos visitarán sólo Francia?
A) 3 8)5 C)7 0)9 E).
Resolucl6n:
ToIalde personas queviajan rumbo a Europa = 30
Por diagrama de Venn. obtenemos:
8.aa(11)
• 5 de los encuestados viajarán a Francia y
Suiza. y tres de ellos visitaran también Ingla-
le rra. esto nos da a entender que 3 visitarán
Francia. Suiza e Inglaterra. lo cual el 3 lo
colocamos en el centro del diagrama.
Del enunciado, obtenemos:
i) a+ 3 =5 ..... I-dl
ii} a+3+c+5=11
2+8+c=11 -> 1 c= I 1
¡ji) b + 3 + e + a ;:;; 16
b + 3 + 1 + e = 16 ..... 1 b';'4 1
iv) x+a+3+b= 16
x + 2 + 3 + 4 :=. 16 ..... 1':=7:1
luego, las personas que s610 visitaron Francia
500:7
Rpta. C
PROBLEMAS CON REGIONES
SOMBREADAS
Problema CD
Sean k:ls conjuntos:
A = (0, 1, 2,3,4, S, 6, 7)
B= [O. 2, 4, 6. S. tO)
Hallac"A · B" y "S· A"
Resolución:
Aplicando la definición; cak::ulamos:
A · B =@ I,@3,@S,@7) .
~~
«J.@'@@ S, 10J -.'. 1 A·B = (1 , 3,S, 7J1
Gráficamente tenemos:
u
Apltcando la delinición. calculamos:
B - A = 1(Q¡~@(&M )-
l@ 1,~ 3,@lS,(7)
-- 1 B-A=18,10) 1
Gráficamente tenemos:
problema @
Dados los conjuntos:
u
A = la, b, e, d, e, 1, g, h}
B = [e, e, 1, g}
Hallar: -A· BOl Y -8 - A-
ResolucIón;
Gráficamente calculamos "A . B"
~-;:-........ A
Gráficameme calculamos "B . A"
B-A =(l
pues no hay ele·
mentos de"B"que
no esten en · A-
[B- A)
u
u
Problema G)
Dados los conjuntos:
A:12,4, 6,a,10)
B=la, b,e, d, e, fl
Hallar:
Resolución:
Gráficamente tenemos:
B
(8):. O"e 6 d. 10 f
U
IA- B=12, 4, 6, 8,10) 1
¿ Recuerda ladefinidón dI; COfluntos disjuntos?
prOblema @
Achurar en el diagrama de Venn·Euler cada
una de las siguientes operac;ones:
al
b)
el
lli)B
1:fu
A vBu e
A-lB v C)
[A ,-; C) v (B ,-; CJ
Resolución:
A v B vC
rAJB
Uu
A-(B v C)
rAJB
Uu
(AnB)v(B n C)
Problema G)
¿Cuál de la siguientes relaciones expresa
mejor la siguiente región achurada?
A)
Bl
e)
O)
E)
rAJB
Uu
(Av B)" C
(A IIB)ve
AII(B v C)
(A 11 B) - (A n B n C)
N.A.
Resolucl6n:
Para su mejor enlendimiento acada una de las
regiones le designamos una \elra minúscula o
un número: y el'fl)ezamos a reemplazar en
cada una de las relaciones dadas. veamos:
A)
q@
B
• : b
g .. -d
e
e u
Región sombreada = (a, b. e, d] ... (ex)
(A u B) 11 e = (a, b, el, e, 1, g),; (e, d. e, g)
B)
• ¡
M
= (M - C) v (C- M)
= (a, b. I) v {e}
e
.. leA v B) A C = (a. b, e, 1)1
(fa/so), no se parece a la expresión "a lO
q@a : b
B
. 9 _ d
e
e u
I Región sombreada = (a, b, e, d)l ... (n)
(A "B) v C = I(A - B) v lB - A)] v C
C)
= (( a. g) v lb, dll v {c. d • •. g}
= (a, b, d, g) v (e , d, e, g)
.. [ (A'; Bl vC = (a, b. e, d, e, g)1
(Falso), no se parece a la expresi6n "a ~
~
. B
, a : b ,
. g d
•
e u
I Región sombreada = {a. b. e, el} [ .. . (n)
A"NvC)=~~tm,,~~el,~t~
, . ' . . .
A N
= (A - Nl v (N - A)
= {a} v lb. e. d}
AA (B vC) = (a, b. e. d)
·'. I A A (8 v CI = Aeg;ón sombreada I
NOTA:Como ya hemos encontrado la
relación correcta,siendo esta la
"'c", ya 110 es necesario conti-
nuar con las relacWnes D y E.
Rpta. e
Problema @
¿Cuál de las siguientes relaciones expresa
mejor la siguiente región, achurada?
Al (A-8) vIC - (AuB))
B) (e - 8) v (e - A)
C) (A- C),,(B - C) vC
DI «A" BI - C) v (C - (A vB))
E) N;nguna
(A)
'\5 U
Resolución:
Al igual que el problema. anterior a cada
región le designamos una letra mln.;.scula,
veamos"
~
g: ,B
C e
. b ." e u
I RegKln Sombreada = (a. b) I
Al lA - 81v1C- lA v B)}
= Ig. c} v {(b. c. d. e) - la. c. d. e. f. gil
=(g. c}ulb)
~ (g. c. b) I M erente al área achurada
BI (e - SI v (e - Al = (b. e) u [b, e}
4 {b. e, e} I diferente al área achurada
C) [(A - C}) N.B - C)} u C
=[a. g} ,, [a, f) v (b. c, d. e}
=[a) u (b.e,d,e)
1 (a. b. e, d , e)ldHeren,e a' area achurada
O) (lA " Bl - C) v (e , (Av 8)}
= (la, di - (b. c, d , e)) v
{(b,c, d, e ) - (a:<:, d, e: f.g)}
=Ia}v(b)
~
luego:
I(A "B)- e) v IG - (A v BII = ja.b) = =:!ct.
Rpta. o
Problema (j)
¿Cuál de las siguaantes relaciones expresa
mejor la siguiente región achurada?
A) (A n09 n [Bc v C)
B) (A n Oj n (B neCj
G) (A v C"] n (BC "C)
O) (A u B"] u (C " OCI
El IAnB9,,(Cvo"]
Resolución:
I Región achurada = Ca, b, c. d, e, f, g}
De la primera relación (A), obtenemos:
A ,, [)C = {a, b,(:, d, El, ',9, h, i, j} n
(a, b, e, d, e, 1, g, i, j)
I [A " OCl = (a, b, c, d, e, 1, g, i, j) I ... (a)
[B" v C) = {a, b, c, d] U (e, 1, g, h)
I [B" v C) = (a, b, c, d, e, 1, g, h) I ... (~)
Ahora intcrsectamos (o:) y @):
[A " OCl" [Sc u C] = (a, b, e, d, e, 1, g)
.. lA" OC) " [B" u C) = Regí'" sombreada I
Rpla. A
I PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema 1.·Detenninarelconjunlosolución
del siguiente conjunto:
{
,5 I } A ~ xeO/x - t"'+6~0
A) A = { - ;.~} S) A~G;}
C) A=G - ~} O) A= {',·H
E) A~{1.·n
Problema 2,- Determinar por extensión el si--
9tiente eotlunto:
p "" { 2x ~ 5 / x e N. 2 5 x 5 B}
{
I.I.I.I . ,}
A) TI' 13' Is' TI" rr
{
, . l . l . l . l. '}
B) 9' 13' 15' 17' 19' 21
{
l. 1 . 1 . 1. l . 1. I}
C) 9' TI' 13' 15' ""ir 19' 2f
{
1 , 1 , 1 , 1 , 1 . 1, 1}
D) '1 TI 13' 15' 17- W 21
E} Ninguna anterior
Problema 3.- 0adoelconjunlo A={7, 10. 15,
22, 31, 42, 55, 70). Oelenninar por compren·
sión, un subconjunto de "A". cuyos elementos
sean los números; 10,22. 42.70.
A) (4,,2+ 6/n E N, 1 < n <3)
S) (4,,2 + 6/n E N, 1 < n < 4)
C) (2,,2 + Sin E N, 1 < n < 4)
O) (2,,2+81n. N, 1 < n < 6)
E) Ninguna anterior
Problema 4.- Determinar por comprensión el
siguiente conjunto:
A = (36, 45, 54, 63, 72)
A) A= (xix = 3"{2" + n), donde:
OSn S 4.n E: A}
S) A= (xix = 2"(32 + n), donde:
O s nS4,n E R)
C) A= (xix = 3"(2" • n), donde:
05nS4,nE: A}
O) A= (xix = 2'(4' . n), donde:
O:snS4, nE: R)
E) Ninguna anteñor
Problema 5.- Sea el conjunto:
A = (m, n,(p), (q,r))
y dadas las siguientes proposiciones.
1. El conjunto A, tiene 5 elementos
11. El conjunto A, tiene 4 elementos
111. El conj...,to P(A), tiene 16 elementos
IV. El conjunto A, t)ene 16 subconjuntos
Marcar la ahemativa correcta:
A) S<>n verdaderas sólo 11 Y IV
B) Son falsas sók) I y 111
C) Sólo I es lalsa
O) Sólo 111 es falsa
E) Todas son lalsas
Problema 6.· Se tiene los conjuntos:
A=(xIx E N AX'.2x- 15=0)
B = (xix E Z· A x' - 9 = O)
C={xlxe RI\ x2 +25 =O}
Ernonces:(B u C) 1""\ A, será igual a:
A) (3,5)
O) (5)
B) (3)
E) "Jlnguna
C){-3, 5)
Problema 7.· Se tiene los conjuntos:
A= {2, 5, 7, 91
B = (1 , 2, 3, 4, 5, 7, 9)
C={2,3, 6, 8, 9)
y el <:anjlJ1l0 universal:
u = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
EnlOflCes:
(A' A B) 1""\ (B' A C) - (A 1""\ C')' será igual a:
A){1,3,5] 8)0 e] (2, 6, 6)
O] (1 , 2, 4, 6) E) Ninguna
Problema 8.· Se tiene los conjuntos:
•
A ={xe NI3 ~ x< 17}
S = (xe NIx $ 3x - 2 <20)
Entonces: CA u S] - (A 1""\ B), tiene:
A) 4 elementos
C) 10 elementos
E) 12 elementos
B) 6 elementos
O) 16 elementos
Problema ti.· en un salón de clase hay 90
alumnos: 32 postulan a fa UNJ, 43 postulan a
San Marcos, 29 a Villarreal. 8 postulan a la UNI
y San Marcos, 10 a San Marcos, V Villarreal V
6ala Vilfaffeal y UNI y 4 alurmos postulan a las
tres universidades, Determinar:
a) ¿Cuántos postlÁan solamente a San
Marcos?
b) ¿Cuántos postulan a UNI o San Marcos
pero no a Villarreal?
A) 22 Y 59
0)17yl0
S)29y55
E) N.A.
C)29y59
Problema 10.· El departamento de estadística
de la UNI, realiza una encuesta entre los eS1u·
diantes, obtenlt::ndo los siguientes resultados:
a) E175C1Jt~ fuman ·Premler"
b) El 65% fuman "Nevado"
e) Et5O'fofuman "prerlier" o~evado", pero
no ambos
d) 300 estudiantes no fuman ninguna de
estas marcas de cigarrillos
¿Cuántos estu¡jantes 1ueron encuestados?
A) 2 000
0)6000
B) 3000
E) N.A.
e) 4000
Problema 11.· En una fIeSta donde habfan
100 personas, 30 eran hombres que no gus~
bao música "salsa-, 60 eran mujeres que gus-
taban de esta músk:a, Si el número de hom-
bresque gusta de la mUsica ·salsa" eslacuarta
parte de las I)'lujeres que no gustan de esta
música. ¿A cuantos les gusta la música "sal-
sa"?
Al 70
0164
BI62
El N_A.
C)68
Problema 12.- ¿ Cierto numero de medallas
de oro, deplatay decobre son repartM:lasenlre
100 atlelas en un festival deportivo, se sabe
que 45 personas reciben medallas de oro, 45
personas reciben medallas de plata. 60 perso-
nas reciben medallas cobre, 15 personas reci-
ben tantas medallas de oro como de plala. 25
personas reciben medallas de plata y cobre,
20 personas reciben medallas de oro y de
cobre y 5 personas rociben medallas de oro,
plata y cobre. Se p1de: ¿Cuántas personas no
reciben medallas?
AI4 BI3 C)5
016 EI7
Problems 13.- ¿Cuál de las siguientes
relaciooes,expresa mejor la siguiente región
achurada?
e
Al (AvBIC v (AnBIC
B) e n(AvB)
C) e n(Ac n Be¡ v (A n BI
O) e n (AvB)c
El e n (AvBlv(An B)
Problema 14.- ¿Cual de las stguientes rela-
ciones. expresa mejor la siguiente región
achurada?
A) (A v B v C) - (Av B n el
BI (AAelvB
el (AvBvel n(A'vB've')
DI (A Ae) - (Bv C)
El (A v B v C) n (A v B v C)C
Problema 15.- En lasfguienle figura , la reglón
sombreada está representada por:
~ ______ D wCI
A) (e - BI v (A n DI
BI e' v (B' n Al
C) (O-C) v [e-IA nB))
O) (D-C) v (B-AI
EIO-(e-(B-AI]
Problema 16.- En el siguiente gráfico. la re·
gión sombreada representa:
Al (A n C) - B
81 (A v B) - (AA 8)) - e
el (A n B " C)-C
DI (A n BI-18-C)
El Ninguna
Problema 17.- la región sombreada está
representada. por.
r!::
A) (Av B)- (evO)
B) (A v B) v (e - O)e
C) (A v B)ó (e v o)
O) (A v B) v (enO)
E) (A v B) n(evO)
Problema 18.· ¿Cuántos puntos hay en el
triángu50 V cuadrado pero no en el círculo?
g) 2 personas no leen ninguno de estos
pert6dk;os
¿Cuántas personas leen el Popular e Idolo.
pero no Expreso?
A)2
0)7
B)3
E) Ninguna
C)4
Problema 21.- En una encuesta realizado en
un grupo de 100 estudiantes de un Instituto de
idiomas, se obtuvo el siguiente resultado: es-
tudiaban español 28; alemán 30; francés 42;
español y alemán 8; español y frances 10;
aleman V fral1(;és 5; los tres iciomas 3. ¿Cuán-
los estudiantes tOf1"\a.n el fraocés como único
idioma de estudios?
A) 15
0)35
B)20
E)NA
e ) 3Q
• • • Problerrut 22.- Al simplif;car:
A)2 B) 4 C)6 0)8 E) 12
Problema 19.- ¿Qué representa la región
sorrbreada?
A) (A n B) - e
e)(A n B) - (An C)
EJAye
B) A, (B n C)
O)(A v B)-e
Problema 20.- De un grupo de 59 personas.
se observa lo siguiente:
a) 8 personas leen sólo elllPopular"
b) 16 personas leen sólo el "Idolo-
e) 20 personas leen sóto el "expreso"
d) 7 personas leen "'El Popular e Idolo"
e) 8 personas leen "'8 Popular y Expreso·
f) 4 personas leen "'El ldolo V Expreso"
(B n A')v(Av B)" ~ (B' nA)
Se obliene:
A) A' U B' B)(A U B')
D) (A n B')' E) Ninguna
G)A'nB
Problema 23.- Sean A, B V e corjuntos tales
que:
A c: B c: e simpUficar la siguiente expresión:
(A' n B/v (A n B) v(B n e) v (e n B')
AJA
0)0
B) B
E) Ninguna
e) e
Problema 24.- El registro central de la "Univer-
sidad Nacional del Callao" proporciona los
siguientes datos: respecto a un grupo de 200
estudiantes del primer ciclo:
") 105 están inscritos en Básica I
-) 115 están inscritos en Matemátic:a I
-) 75 están inscritos en Fisk:a I
') 65 eslán inscritos en Básica I Y Malemá!ica I
.) 35 están Inscritos en Física I "1 Básica I
-) 30 estan inscritos en Matemáticas I V Físi·
cal
-} 20 están inscritos en los tres cursos
Determinarel número que están inscritos exac-
tamente en dos de los tres cursos.
AlBO
0115
Bl70
EIN.A
C)95
Problema 25.- Cierta Col"ll'añía solicitó jóve-
nes que hubieran seguido cursos en Ingenie-
ria Civil, Mecánica O Industrtal para realizar
trabaios relacionados con estas especialida-
des. El criterio utiliZado para la selecaón fue
de que hltlieran llevado más de un curso en
dichas especialidades . Treinta de los
postulantes habían llevado cursos de Ingenie.
ría Civil, 35 en Ingeniería Industrial, 50 en
Ingenieria Mecánica y 3 fueron aceptados por
haber llevado cursos en todas las carreras,
mientras Que 26 tueron desertados porque
sók> siguieron Ingeniería Mecána. 10 por
sólo seguir Ingenierla Industrial y 14 por sólo
seguir Ingeniería Civil. ¿Cuántos se presenta·
ron? ¿Cuántos 1ueron seleccionados?
Al 81 Y 31 SI 61 y29 el 79 Y 31
O} BO y 40 E) Ninguna anterior
Problema 26.- La parte achurada representa :
Al (x u y u z)-1x u z)
SI
C)
O)
El
x u y v z · x n z
x nz
y n (x u x)
Otra relación
Problema 21.· La parte achurada de la ligura
representa:
A) x n y n z
Bl (x n v) u (znv)
el (y - xl u (z - yl
01 (x u y u zl - y
E) Teda lo anteriores falso
Problema 28.- La diferencia simétrica entre
los COrluntOS P y a esta representada sólo por
uno de los siguientes diagramas de Venn.
¿cuál?
A) tW S) tW
e) tW O)tm
El PCill
Problema 29.· ¿ Cuál de los diagramas del
problema anterior representa:
(p . O) u(O - P) u P?
AlA SlB ele OlO ElE
Problema 30.- ¿Cuál de los diagramas del
problema 28, corresponde a:
(P n O)u (p. O) v (O n PI
A)A BIS C)e 010 ElE
Problema 31.- La parte "Acnurada" de la figu-
ra, representa:
Al P n O
el 0 - P
El (P - 01 n O
S) P - O
DI (P v 01 n P
Problema 32.- la parte -Achurada" de la
figura, representa:
A,r,.,O
C)O- P
p
E)(P - 01 ,., (O - P)
Bl P-o
O) (P - 01 v(O- P)
Problema 33.- la pane "Achurada" de la
flQUra. representa:
AlP "' O
C)O-P
E)(P - 01 ,., (O - P)
Bl P-O
O) (P - 01 v (O - PI
p
@
los cuatro diagramas siguientes se re-
fieren a laspreguntas 34 y 35
O O
p'-1- P - -
1-
1- -
- R ~ R (1) (11)
r-----, o
p p
R R
(111) (IV)
Problema34.- La parte "Achurada" ele ruáJ de
estos diagtamas representa:
(O,., R) - (p ,., O ,., Rl
A)I
O)IV
B)II
E) Ninguno
C)III
Problema 35.- La parte "Achurada" de cuál de
estos diagramas representa:
(R - (P vOlv IP - (R vOll
A) I
DI IV
B)II
EJ Ninguno
C)III
ProbleIf1ll36. .. En un grupo de 230 estudiantes
el minero de los que sOlo rindieron el segundo
examen es un tercio de los que rindieron sólo
el primer examen. El número de los que riodia.
ron sólo el primer examen es el doble de los
rindieron ambos exámenes e igual a la mitad
de tos que no rindieron ningún examen.
¿Cuántos alumnosrindieron solamente un
examen?
Al 120
0160
S) 140
E) 90
Cl210
Problema 37.- Dado tos siguientes conjuntos
iguales:
A = {a + 1; a + 2}
B={8-a;7-a)
C=(4;b+2}
0=(c+1;b+1}
Calcular: -a + b + c·
A)7 B)8 C)O 0)10 E)ll
ProlJlems38.- En un grupo de l00es1udian-
tes; 49 no llevan el curso de Algebra y 53 no
siguen elcurso de Arimélica: si 27 alumnos. no
siguen Arilmelica ni Algebra. cuántos alumnos
llevan exaC1amente uno de tales cursos.
Al 24 8l3O el 36 Dl48 El 26
Problema 39.- Dado el conjunto:
A - (O; 1; 2; (1); (1; 2); (3); (O; 3))
y dadas las proposiciones:
1) 2 e A
11) (1l cA
IIIl (O) e A
IV) (3) c A
V) (0:3J e A
VI) O cA
VII) (3)) cA
VIII) 0< A
El nlÍmero de proposiciones verdaderas es:
A)6 S) 5 C)4 D)2 E)7
Problema 40.- ¿Cuántas personas habrá en
un grupo de estudiantes de los cuales, 18
estudian aritmética, 19 algebra y 17 geomelña;
además 3 estudian aritmética V algebra. 6
estudiaban aritmética y geometria, 7 estudian
a~ra y geometria pero no arttmética. 42
estudian 105 3 cursos y 12 estudian olros
cursos?
A) 38 8)39 C)50 D) 56 El 58
PrOblema4t.-Traducira un Diagrama UneaJ.
el siguiente Diagrama de Venn Euler.
Al B 5
1/
i
C) e
/\
B A
I
Bl/\
A e
I
e s s
D) /\
E) Ninguna
B A
1/
5
Problema 42.-5i: A= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7], e ={5;
6; 7; e; 9J Ae = (4; 5). Entonces: cuáles son los
elementos que deben estar achurada en el
diagrama.
A)4,5,6
B) 4, 5, 6,7
C)4,6,7
O) 1,2,3
E) 6, 7
B
Prob/ema43.-5i: p={e; 9; tOJ, Q=(1; 3; 4; 5;
e; 9} y R = (2; 4; 5; 6; 7; e).Entonces: cuáles
son los elementos que deben estar en la parte
achurada del c:iagrama.
All;2;3
R
B) 4;5
C) 4; 5;9
O) 1: 3;8
El 4; 6; 7; 9 L-_--'p
Problema 44.- ¿Cuál de lassiguienles expre-
siones representa a la parte sombreada.
A
Al [(A • C) n Bl n [(e - Al n Bl
el (A f"\ B) v{BnC)
e)(A· el v{e· Al
Ol{AIIC)f"\B
El e· {A n el
e
Problema 45.- Si el conjunto A tiene cuatro
elementos y el conjunto B tiene tres elemen-
tos. ¿Cuál de los siguientes enunciados p~
dria ser verdadero?
A) A v S, tiene 8 elementos.
S) s v e, tiene un elemento,
e) A u B, tiene 5 elementos.
O) B u A, tiene 6 elementos.
E) A v 8. liene 2 elementos.
Problema46.- ¿Cuál es el mlnimo numero de
elementos. que puede tener (A .. B) .. C; Si: n
(A) =4; n (B) = 3 Y n (C) = 2?
A)2 8) 3 C)4 0)6
Problems 47 ... 0el siguiente diagrama:
Hallar:
"(PuA) " O"
p
6
2
3
5
o
4
7
1()1-----:9-r--¡S R
A) (1 ; 3 ; 4 : 5)
B) (3: 5; 9)
C) {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9}
0){2; 3; 5 ; 9; 11}
E)(1;3; 4;5; 6; 7;8; 9; 10)
E}9
Problema 48. .. Dado el conjunto A y B, se
tien<! que: n(A) = 2n(8); n(A " 8} = 5 Y n(A u
B) = 19. ¿Cuántos elementos tiene A?
A)118)4 e)8 O}16 E)13
Problema 49."Si: A ={1; 2; 3; 4}: B={3; 4; 5;
6: 7) " e = (4; 5). Entonces: cuáles son los
elemenlosquedebenestarenlaparteachurada
del diagrama?
A) 3; 4; 5
8}1 : 2;3;4
C)1;3;2
O} 1; 2; 3; 4; 5
E} 3; 4; 5
Problema 50.- Dado los conjuntos A y 8 se
tiene que: A e 8; 3n (A) = 2n (B) y n (A u 8) =
18. ¿Cuántos elementos tiene B?
Al6 8)S C) 12 O}18 El 16
I CLAVE OE RESPUESTAS I
I
1.B 14. e 27. 8 40. e
2.e 15. D 2S.E 41 . O
3. 8 15. B 2~.P 42. e
4. A 17. e 30.0 43.C
5. e 18. A 31 . 8 44.0
6.8 19 E 32. A 45. 0
78 20.e 3:' O 46, 8
S, E 21 , e 34. B 47,A
9.8 22. A 35. 0 46.0
10. O 23. C 36. 0 49, 0
11. 8 24, 8 37.0 50 O
12. e 25. A 38.0
13. e 26. A 39. e
I
KaZone
Si P A tiene 16 elementos y PB tiene 32
elementos determinar cuántos elementos
tiene P1Av B ) si se sabe que AnE tiene 3
e lementos
Respuesta . 164 II
iªi Razone
¿Cómo adivinar el día y el me.,. de nat'imienlof
Pmpúngalea un compañero(a'quee~criba en una Iltljo de papel d día Jel mes
€lllJue nació y haga los operaciunes ... iguiellles:
Que du.pliQue el número escrito,
que multiplique por 10 lo obtenido.
que le sume 73 al producto,
que multiplique por 510 sumo,
y que 01 lotal le ailoda é'I número de orden del mes en que nació.
EltellaJ le dice a usted. el resultado final de todos los operaciones y
usted le di('1.! fa (echa en que nació, ¡Como puede usted hacer esto?
Ejemplo:
Si Sarita nació el 16 de nO!Jiembre. es decir,
el dw 16 del mes 11. Efta hace losiguiellte .'
Ifix2= 32
32x 10= 320
320 + 73 = 3'.13
39Jx5 = 1965
/965 + 11 = / 976 (~
Saritale dice a ustl!d el número 1976 ~ ........ [!"""";
Usted hace lo siguiente: / 976 - 365 = ~ . J ~
Conclusión: Para saberla focha que se busca hay 16 de Noviembre
que restarle 365 al resultado fifUll
SERIES 3
SERIE: Es una expresión matemática en la que sus terminas van escritos sucesivamente
los mismos que se forman a través de Reglas Válidas matemáticamente. Todos
/os términos de una Serie dependen de una conslante llamada razón que podrá
determinarse por diferencia, por cociente o por cualquier ley que se desee
establecer, los procedimienlos aqu; ha utilizarse no son únicos. hay muchas
formas de establecer relaciones sencilfas entre las operaciones matemáticas.
crasificación de las Señes:
1} De Acuerdo a la razoo de sus términos
2} De Acuerdo a su fórmula de recurrencia.
1. De Af;uerdo a la Razón de sus términos.- pueden ser:
A) series ArHméticas.- Cuando la razón entre sus términos consecutivos se halla por
diferencia.
Ejemplo 1:
Ejemplo2:
Razón
Razón
Cuando la razón es
constante, la serie reci-
be el nombre de Pro-
gresiónAritmética.
B) series Geométñcas.- Cuando la Razón entre sus ténninos consecutivos se haUa por
cociente.
Ejemplo 1:
Ejemplo2:
Ejemplo3:
3 • 6 . 18 . 72 . 360 •
~~~~ .
><2 x3 x4 x5 4> Razón
~~\,,;'.A,; .. 64
x-t . 1 ~ ,.;16
-... "'-""'-" )(4 )(4 _
(Cuando la razónesconstan-
te, la serie, recibe el nombre
de Progresión Geométrica)
Q Razón
Q Razón
Observación 1: Hay ca.sos en que se plantean ejercicios combinando las dos
claseB anteriores.
Ejemplo: 1 . 3 . 12 . 60 . 360 .... ~~~~
'W~~,6 L;> Razón Geométrica
-1-1 -1-1 +1 c;> Razón Aritmética
Observación 2: Se pueden plantear series literales en [unción del ol{abetocastellano.
Ejemplo t: Que lelra sigue en: A ; E ; I ;M •...
Resolución: Para resolver esta dase de ejercicios también se busca una razón de
distancia. entre letra y letra. siempre encontrará Ud. una relación de simetría. así como J
nuestro caso observece y convenzase.
® : .B : e: D. : © : .F : G : H.: <D. .J : K : L ·@· N· Ñ; o.; ®, ... , , i . . . ,
luego: sin temor a errar podemos decir que nuestra razón de distancia es tres letras.
.. Ila letra que sigue en la serie: A; E; 1; M; ... es la P. I
Ejemplo 2: Que letra sigue en: B : D · G· K; ...
Resolucl6n: Si recurrimos al abecedario:
@;e;@ ; E; F ;.@:,H ; 1; J ·0· L; M; N : Ñ,;@; ... _ ' , , I • , ,
11 Lelra 1 12 Lelras 1 13 Lelrasl I 4Lelras I
11 lla letra que sigue en la serie: A; E: 1; M; ... es la o. I ..
Nota: Estir7UUJo.a1umno rwvayttsapensarque estas Siln las únicas relaciones que pueden
establecerse entre letras, hay muchísimas más le recomiendo que al resolver estos
ejercicios, escriba en sus hojas de práctica el abecedario y le facilitará la resolución.
-
Recomendaciones: Si en la serie no se encuentra la letra CH. es porQUe no se va a
considerar la letra Llo viceversa; pero si en la serie se encuentra la letra CH, es porque se
va a considerar la lL o viceversa.
Ejemplo: ¿Qué lelfa s1gue en la serie? A ; B; eH; F : J ; ...
Resolución: Reemplazando cada letra por
A=l; F=7: L=13: P=19: V=25:
sU número correspondiente se tiene:
B=2; G=8; ll= t4; Q=2O; W=26;
1 . 2 . 4 . 7 . 11 . 15 C=3; H=9: M=15; R=21; X=27;
~~~~~ CH=4; 1= 10; N=l6; 5-22. y=za: .2 .2 +3 +3 +4
D=5; J=l1: Ñ=17; T=23; Z =29;
Ile conesponde la letra M E=6; K=12; 0=18: U=24;
2. De acuerdo a su fórmula de recurrencia:
1. Señes Polinómicas: Que a su vez pueden ser:
al Series Lineales: Aquellas que son de la forma:
1 .n = ,.n.., I Q rl S-o-=-(-a,¡- a,,-=-,-.n-+-a-,;-n-e-IN-I'I
Lectura:
{
an = Término a encontrarse8
0
" Término anterior al primero
r = razón
n = cantidad de ténninos o lugar del término pedido_
Para encon1rar ao' se usa la fórmula:
1·0=3-'1
Ejemplo 1:
; siendo: a = primertérmino
il a" = 2n + 3 Q So = (5; 7; 9; 11 ; 13 ; ....... )
y (n = 1 ; 2 ; 3; 4 ; 5 ; ..... H
ii) ao=3"-1 Q 80 =(2 ; 5 ; 8 ; 11;14; ... ___ _ 1 Y (n = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; m.) I
Ejemplo 2_- Encontrar el término que ocupa erlugar 120 en la serie:
2;5 ; 8;11;_ ..... .
Re5Dlución
- En primer lugar, calculamos la razón:
1,-5-2-8-5-11-8 3
2 - 5 '8- 11
I~~
- En segundo lugar; hallamos el término anterior al primero (aJ
a(l = a-r c:> ao=2-3=-1
Luego. si aplicamos la fórmula: I ~ ron + aol. a cada término de la serie.
comprobamos que cumple con estos valores observe:
3,=3.1+(-1)=2
.. = 3_2.+ (-1) = 5
..,=3_3+(-1)=8
3.=3.4+(-1)=1 1
I (lu~resl I
a120 = 359. es el término
que ocupa el lugar
120_
b) SeriesCuadraticos: Aquellos que son de la forma:
I .. = An' + Sn + C I Q IrS-n-; -{aj- a
n
- =- A- n2-:-+-s-n-+-C-;-n-e-N' ) I
Ejempros:
i~
ii)
.. = 3n' + 2n + 1 Q Sn; (6; 17; 34; 57; ... )
Y (n -1,2,3,4, ... ) 1
.n=2n2-3n+4 Q Sn=(3;6; 13;24; ... )
"4]n-1,2,3,4, ... 11
11. Series Potenciales: aquellos cp..!e son de la forma:
') B Q I Sn; {1; 2';3"; 4'; ....................................... .......... 1.
"1 1 .. = Kan 1 Q I Sn;{Ka; Ka2;Ka' ............ ..................................... ) 1
111. Series Exponenciales: aquellos que son de la forma:
") rx?l
") I .. - Kanl
Q I Sn_(.,; a2;a3, ................ ...... .. . ........ ............. ...... .. 11
Q ISn-{Ka;Ka'; Ka', ...... · .. · .......... · ........ · .... · .... .... · ... · ~1
IV. Series Logarítmicas: aquellos que son de La forma:
I an = Klogn I Q I Sn = (Klog1 + Klog2 + Klog3 + ...................... 11
V. Series Trascendentes: aquellos que son de la forma:
') 1 .. =Senn" c;> I Sn = {Sen1 ° + Sen2° + Sen3° +h ...... hh ........ } I
") 1 .. =Cos n' I Q I Sn;(Cos1"+ Cos2"+Cos3'+ ................... 11
C. Series No Lineafes: Son aquellas enque la razón no es constante. para resolverestos
eiercici05 se tiene que encontrar primero una Ley de Formación o Fórmula de
Recurrencia que cumpla por lo menoseon los dos primeros términos de la serie, luego
los términos restantes estarán en función de una constante "K" y el número de términos
"n". Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo': Qué número sigue en la serie: 1; 3; 5; 43; ...
Resolución:
Tomemos los 2 primeros términos de la serie: 1,3
A eslos 2 primeros términos, podemos considerarlos como una Serie Lineal , romo
se podrá comprobar su fórmula de recurrencia será: la., = 2n -1 ·1
Ahora comprobemos si todos los términos, de fa serie cumplen con dicha fórmula,
veamos;
• Como se podrá observar eltercertélTT'li-
no, debió de habemos salid043, y no®
',=2(1)-1=1 I
a, = 2 (2) - 1 = 3
a, = 2 (3) - 1 = 5
" =2 (4) -1 =® '-----------'
Como hemos afirmado anteriormente, a la fórmula que cumple con los primeros términos le
v¡lmos ¡I agregar un télTT'lino que sea igual a cero (se anule) para los términos primeros de
la serie, es decir, para: 1, 3y 5. Este será de la forma: K (n - 1) (n- 2) (n - 3), preguntémonos
¿Por<pJé?
Porque si: n = 1; n = 2; n = 3; este se anula. y sí funcionará cuando n = 4; n .. 5 ... .
Luego la ley de Formación será: I Bn" (2n - 1) + K (n - 1) (n - 2) (n - 3) I
Ahora si encontramos el valor de "K"; sabiendo que: 84 = 43. tendremos que:
'. = (2 (4) -1) + K (4- 1)(4 -2)(4- 3)
43 = 7 + K (3)(2)(1) 36=K(6)
1 K=61
Volvamos a comprobar con la Ley do Formaci6n: '.= (2n -1)+ K(n-l) (n - 2) (n - 3) que el
término del lugar 4 es 43. veamos:
•• = (2 x 4 - 1).6 (4- 1)(4-2)(4- 3)
" = 7.6 (3)(2)(1) Q '1 .-,-=-43'1
Ahora bien, como en el ejercicio nos piden el quinto término. se tendrá:
a. = (2n -1) + K (n -1)(n- 2)(n - 3)
a, =(2 x 5-1) + 6 (5 - 1) (5 -2)(5 - 3)
., = 9 + 6 (4)(3) (2) Q '1 .-, =- 1-53' 1
I El término que sigue en la serie es: 2971 Apta.
Recomendación: Estimado alumno. tu puedes proceder de igual forma cuando te pidan,
términos que ocupen lugares mucho más altos, como por decir, Hallar el término de lugar
130.
En la fónnula de RecUlTenda: I al"l = (2n - 1) + K (n • 1) (o - 2) (n - 3) I
-O
Calculamos: a, ,,, = (2 x 130 - 1) • 6 (130 - 1 )(130 - 2)(130 - 3)
a'30 = (259) + 6(129) (128) (127)
.. I a'30 = 12582 4031 (término de lugar 130)
Ahora preguntémonos: ¿ K(n -1) (n - 2) (n- 3) puede cambiar?
Por supuesto que si, esto dependerá de lo sene que nos planteen.
Ejemplo 2: Qué número sigue en la siguiente serie: 2; 4; 6; 8; 10; 252; .. .
Resolución:
Tomemos los 2 primeros términos de la serie: 2; 4.
A estos 2 primeros términos, podemos considerartos como una serie, lineal, como se
podrá comprobar su fórmula de recurrencia será: ~ ~
Ahora comprobemos si todos los términos. de la serie cumplen con dicha fórmula,
veamos:
0,=2(1)=2
a" = 2 (2)=4
0,=2(3)=6
•• =2(4)=6
•• =2(5)= 10
.. =2(6)=@)
Como se podrá observar el 'quinto
término,debi6dehabemossalido252,
yno@
• Como hemos afirmado anleriormente. a la fórmula que cumple con los primeros
términos le vamos agregar un término que sea igual a Cero (se anule) para lostérmi"os
primeros de la serie, es decir, para: 2; 4; 6; 8; 10, ... Este será de la forma: K (n -1) (n-
2) (n - 3) (n - 4) (n - 5), preguntemos ¿porqué?
Porque Si: n = 1: n = 2: " = 3: " = 4; n = 5; este se anuta y sí funcionará cuando:
" = 6;n=7; ..•
luego; la l ey de Formación será: 1 .. = 2n + K (n -1) (n - 2) (n - 3) (n - 4) (n - 5) 1
Ahora si encontraremos el valor de '1<", sabiendo que: ~ = 252, tendremos que:
.. =2(6) + K (6-1) (6 - 2) (6- 3) (6 - 4) (6 -5)
U
252= 12 + K (5) (4)(3)(2) ( t) Q
Volvamos a comprobar con la l ey de Formación:
a,,~ K (n -1) (n -2) (n - 3) (n -4)(n - 5):
que el término de lugar 6 (aJ es 252, veamos:
.. = :1 (6) + 2 (6 -1) (6 - 2) (6 - 3) (6 - 4) (6 - 5)
.. = 12 + 2 (5}(4) (3}(2)(1) Q .. Ir.'-. =-2-5"C12 1
Ahora bien. como en el ejercicio nos piden el sétimo término (~). se tendrá:
8,,~ + K (o - 1) (o -2)(0 - 3) (o -4) (o - 5)
U U
'" = 2 (7) + 2 (7 - 1) (7 - 2)(7 - 3) (7 - 4) (7 - 5,..:-) __ ---,
a,= 14+2 (6)(5)(4)(3)(2) c::> .. I a,= 1454 1
I El término que sigue en la serie es: 1 4541
Ejemplo 3: Hallar el ténnino 80 de la serie: 4; 7; 16; :31; 52; ...
Resolución:
Tomemos los 2 primeros términos de la serie: 4; 7.
Rpta.
A estos 2 primeros ténninos, podemos considerarlos como una serie lineal, como se
podrá comprobar su fórmula de recurrencia será: I an::::~ !
Ahora comprobemos; si todos los ténninos, de la serie cumplen con dicha fórmula;
veamos:
a,=3(1)+1=41
• ,=3(2)+1 =7
a,= 3(3)+ 1 =@
Como se podrá observar ellercerté~no •
debiéJ. de habernos salido 16 y no~
Como hemos afirmado anteriormente, a la fórmula que cumple con los primeros términos le
vamos a agregar un término que sea igual a cero (se anule). para los términos primeros de
la serie, esdedr, para4;7y este será de la1orma: K (n -1) (n - 2); preguntémonos ¿Porqué?
Porque si: n:::: 1; n:::: 2; este se anula; y si funcionará cuando n = 3; n = 4; ...
Luego la Ley de Formacióo será: I 0n =!(3ñ"+"ij+ K (o - 1) (o - 2) I
Ahora si encontramos el valor de -K"; sabiendo que: iI:3 = 16; tendremos que:
a, = (3(3) + 1) + K(3 - 1)(3 - 2)
U
16 = 1O+K(2)(1) c::> :. IK=3 1
Como ya determinamos el valor de ",,", la fórmula de recurrencia será:
18,, =(30 + 1)+3(0-1)(0-2) IYPodemOSCOmprobo~a:
Si:"=1 c::> 0,=(3(1)+1)+3(1-1)(1-2)=4
Si: 0=2 c::> a,= (3 (2) + 1) +3(2 -1) (2 - 2) =7
Si: o = 3 c::> a, =(3 (3) + 1) + 3 (3-1) (3 - 2) = 16
Si: o ~4 c::> a.= (3 (4) + 1) + 3(4-1)(4 - 2) =31
Si: 0= 5 c::> Os= (3 (5) + 1) + 3 (5-1) (5 - 2) = 52
Como. puede ver. cumple con todos los valores de la serie dada; por lo tanto para:
I n=80 I Q aoo = (3(80) + 1) + 3 (80 -1)(80 -2) = h8 7-271
El ténnino de fugar 80 eS: 187271
Series Potenciales:
Ejemplo 1: Hallar el término que sigue en la serie. 1; 4;9; 16: 25; 36; ..•
Resolución: Cada uno de los lérminos se pueden escribir así:
12; 22; 32; 42; 52; 62; ...
Luego, el número que sigue es: 1 7" = 491 Rpla_
Ejemplo 2: Hallar el nlimero que sigue en la serie: 2: 8: 18: 32: 50: 72; ...
Resoluaón: Cada uno de los términos se pueden escribir así:
2 x 12. 2 x 22. 2x 32. 2 x 42. 2 x 52' 2 x 62 • ............. ~'~~~~
Luego. el número que sigue es: 12 x 7'2 = 981 Rpta.
Ejemplo 3: Hallar el número que sigue en la serie: 2; 11: 26; 47; ...
Resolución: Cada uno de Jos términos se pueden escrlJir así:
~;,3)(4.1;,3)(?-1: .3)( 16-1,: •..
. 3 x 12 . 1:.3)( 22 - t:.3)(;32 -1;,3)( 42 - t; ...
•
luego. el número que sigue es: I 3)( fI- - 1 ;; 74 I Rpta.
Ejempl04: Hallar el número Que sigue en la serie: 2: 8: 26; 80; ...
Resolución: Cada uno de los términos se pueden escribir así:
3-1; 9-1; 27-1 ; 81-1;_ ..
"""T-' ~ ~ ~
.3':';~;~;~; ...
Luego, el número que sigue es: 1 3" -1 = 2421 Rpla_
Series Exponenciales:
Ejemplo 1: Hallar el término que sigue en la serie: 3; 9; 27; 81; ...
Resolución: Cada uno de los términos se puede escribir asf:
3' ; 3
2; 33; 34: ...
Rpta.
Luego. el número que stgue es: 135 = 243 I Rpta.
Ejemplo 2: Hallar el término que sigue en la serie: 4; 8; 16; 32: 64; , ..
Resolución: Cada uno de los términos se puede escribir asi:
22; 23; 24; 25; ~; ."
Luego. el número que sigue es: j27 = 1261 Rpta.
Nota: Estas srriesexponern:iales se resuelven como progresionesgenmétricassi
la base es constante.
I EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 1: Qué número sigue en la siguiente serie: 4: 10; 16; ...
A) 20 8)26 C)28 D) 24 E) 32
Resolución: La Ley de Formación eS: t n (o +3) 1; donde: n = {l, 2, 3, 4,m}
Luego, reemplazamos los valores de "n~ hasta llegar al número que se nos pida. veamos;
10 18 ?
14 (4 +3) r Esiguala28 1212:3)1 13(;;3) 1 T
. . I El número que sigue es: 28 , Rpta. e
~----~~~~~----~
Otra forma:
4 ; 10 ; 18 ; .y. ; .... ~
"-" <>-" ~
18 + x = y
.. 6 +8 +x ....... "'-"
.. 2 .2
8+2=)(
I 10~x I
Ejercicio2:0ué número sigIla en la siguiente sene: 2; 10; 24; 44; ...
A) 60 B) 70 C) 72 D) 75
.!;=) 18+10=y
•. 128~YI
E) 80
Resolución: La ley de F:irmación es: (3n - l)n , donde: n = {l. 2.3. 4, ... }
luego, reemplazamos los valores de "n" hasta llegar al número que se nos pida. veamos:
2
T
1 (3(1)- 1).1 1
24
::r:
[ (3 (3) • 1). 31
?
T . I
1 (3 (5)· 1 ).5 f-- e~ '%"
r-______________ ~ .. ~:E:I:n:ú:m:e:r:o:q:u:e:s:ig:u:e:e:s:;:70::1~ ______________ ~RPta.B
Otra forma:
44+x=y ~ 44+26~y
:. FO~Y I
Ejercicio 3: ¿Cuál de los números debe ser reemplazado por 225 en la serie:
126 ; 159 ; 192 ; 230 ; 258 ; 291 ; 324
A) 258 B)159 C)192 D)23O E) 291
Resolución:
Como se podrá observar. la diferencia por cada dos términos consecutivos es 33: pero hay
dos grupos en que la diferencia es 38 y 28. eslo indica que el término 230, debe ser
reemplazado por 225.
Verificación:
126 ; 159 ; 192 ; 230 ; 258 ; 291 ; 324
~~~~~~
+33 +33 +38 +28 +33 +33
126 ; 159 ; 192 ; 225 ; 258 ; 291 ; 324
~~~~~~
+33 +33 +33 +33 +33 +33
El número 225 debe ser reemplazado por 230 para que se obtenga
la razón igual a 33.
Ejercicio 4: La siguiente serie esta bien escrita desde el2 sucesivamente hasta el número 13,
después de este hay un ténnino mal escrito, ¿Cuál es?
2 ; 6 ; 10 ; 15 ; 13 ; 78 ; n ; 82 ; 86 ; 90
A) 77 6)78 C)82 D) 13 E)e6
Resolución:
Al sumar los términos extremos nos debe dar un mismo número (constante) veamos:
2
6;rr~J];86
90
1>92
I:~92
Comosepodráobservarelerrorestaen lasumade: 13+ 78=91, quedebeser92.estoquiere
decir que en lugar de 78 debe ir 79, Osea: 13 + 79 = 92.
, . I Ellérmino m~1 escrito es el 78. pues debe ser 791
Otra forma:
2 . 6 . 10 . 15 . 13 '
~~~~'
-14 -14 +5 @
78 . 77 . 82' 86' 90
~~~~
8) +5 +4 +4
Rpt •. B
Se verifica que las razones en el primer grupo de 5términosson: 4. 4. Sy -2, yen el
segundo grupo de 5 términos se puede observar el error ya que las razones son: 4,
4, 5 Y -1 . pues en lugar de -1 debe ser -2 , esto quiere dedrque en lugar del número
78 debe irel número 79,
EjercicioS: ¿Oué térrninQfalta en la serie?
2 6 14 16 22 26 6
5 5 5 5 5 5
A) 1 8)3 C)2 0)4 E)6
Resolución: Es fácil darse cuenta que la razón para los numeradores es 4; veamos:
~ ~ ~ ~ ri
~ ~~~~
2 6 14 18 22 26
5:5:-:5;S;5 ; s:6 ~
-14 +40 ... +4 +4 +4 +40
2~' .r:"1WI ~ 4 -<?» 16 -<?» 22 =--26-<?»(3liJ
5" ' 5" 'lID' '5 ' '5 ' 5 ' '5 'I]J
El número que falta en la serie es: 10 Ó 2
5
Rpt •. C
Otra forma:
Si buscamos la ley de fonnación para el ejercicio, se tendrá
12+(n~1~ X 41 ; Dond.:n~(1.2.3.4 •. __ )
Luego:
2+(1 1)x4.2+(2 - 1~ x 4 .2+(3 - 1) x 4 _2+(4 -- 1) x 4 _2. (5--1~ x 4 .
11 1'11, ; , .:, .
t;tS igual a 2.
Ejercido 6: En la sigu~nle serie que número sigue:
Al 2~
15
Resolución:
2~ - 2~ . 2 6 . 2~
3' 6' 9' 12
Bl 2
15
10
D)2!.Q.
20
El 2~
20
En primer lugar transformamos los números mixtos a fracciones; asf:
Otra forma:
a
3
16
6
24
9
4 x-
4
5
x-
5
32
12
.. El número que sigue en la serie es: 2~~ I Apla.C
Ejercicio 7: ¿CUál es el número que sigue en la serie:
18 ; 21 12 ; 24 ; 27 ; 72 ; 30 ; 33
A) 36 B) 39 C) 41 0)33
Resoluci6n: ..
El número que sigue en la serie es: 331
Ejercic;o S: ¿Cuál es el número que completa correctamente la serie?
12 ; 15 ; 21 ; 33 ... . .. ; 105
A) 52 B)57 C)60 0)72
E) 52
Rpta. D
E)83
Resolución: Si hallamos la diferencia porcada dos términos consecutivos. obselVamos Que
la razón Se va duplicando; veamos:
15-12~3 )Xl
21-15~6 ~
33 _ 21 ~ 12..J1 ><2
x-33~24
105-x~48
Q
Q
x ~ 24 + 33~ 57
105-57~48
Q .. C07l
El númérO Que completa cOrrectamente la serie es el 57.
Ejercicio 9: Hallar el término 40 en la siguiente serie: 8 : 13 : 18 : 23 :
A) 200 B) 197 C)203 O) 183 E) 82
Resolución:
Rpta. B
Hallamos la Ley de formación para los 4 primeros términos: 8 ; 15 ; 18 ; 23 : ...
~~
Aplicando la lónnula: I a" ~ '. + (n . 1) x r
II
a,,~8+(n-l)x5
L- r=5
{
~ ;¡¡ primer término
r = razón
é\, = término de lugar "n"
.. I a" ~ 8 + 5 (n - 1 )1 (Ley de Formación)
luego: Si: n= 1 => a,;8+5(1-1);8
Si: n=2 => ..,;8+5(2-1);13
Si:n=3 => 0.,;8+5(3-1);18
Si:n=4 => a,; 8+ 5 (4 - 1) =23
Si: n = 40 => 8 40 = 8+ 5 (40- 1) =203
. . 1 El término 40 en la serie es el número 203 I Apla.C
E;ercicio 10: Hallar el término que sigue en la siguiente serie : 5 ; B ; 21 ; 44 ; 77 ; ...
A) 110 8)130 C) 120 D)14O E) 160
Resolución:
5 ; 8 ; 21 : 44 : 77 ; Y Q V=77+x Q
"=" "=" "=" "=" ~ ....
~ +13 +23 +33 H ,.-...
"=' "=' "=" "=" ...-
. 10 . 10 ... 10 -1-1 0
o". I Ellermino que sigue en la serie es: 120. Rpta.C
Ejercicio 11: La fónnula Que expresa la relación existenle enlre "x~ é 'Y' según los valores de la
siguienle labia e s :
A)y=2x-3 8) y= 2><" - 3 C)y=2><"-1 D)y=3x'-1 E)y=3x' - 2x+l
Resoluci6n:
Para este tipo de ejercicios es recomendable trabajar con las altemativas de la manera
siguiente:
A>!V=2X-31 Cuando:x=1 =>
Cuando: x = 2 :::::}
y; 2 (1) - 3 = -1 (si cumple)
y = 2 (2) - 3 = 1 (no cumple); porque de acuerdo a
latablacuandox=2;
y=5.
cuando: x = 1
cuando: x=2
cuando: x= 3
cuando: x=4
cuando: x = 5
cuando: x=6
=> y;2(1)'-3=-1
=> y=2(2)'-3=5
=> y=2(3)' -3= 15
=> Y = 2 (4)' - 3=29
=> y=2(S)2-3=47
=> y=2(6)' - 3;69
Como los valores hallados, astan en
la tabla esto quiere decir que la res~
puesta correcta es la B.
• Como ya tenemos la respuesta, no es necesario continuar trabajando con las otras
altenativas.
,--------------------------.
La fórmula que expresa la relación existente entre ~)(~ é
'Y según los valores de la tabla es: y ... 2x2 - 3. Rpta. B
Ejerc;c;o 12: ¿Cual es elténnino que sigue en la siguienle serie: 5; 9; 13; 29; •.•
A)47 8)56 C)68 D)71 E)73
Resolución:
Se lrata de una serie no lineal observe que los tres primeros ténninos estan regidos por la
misma ley de formación; veamos:
5 ; 9 ; 13 ;...
"'C:"
Aplicamos la f6rmula:rl~-=-a-o-+--'(n---1 )""-'r I
a" = 5 + (n - 1) 4 t:;> I an = 5 + 4 (n - 1) I (ley de Fonnación)
COmprobemos si todos los términos de la serie cumplen con dicha fórmula:
Si: n = 1 => a, = 5 + 4 (1 - 1) = 5
Si: 0 =2 => a, = 5 + 4 (2 -1) = 9
Si:n=3 => ., = 5 + 4 (3 - 1) = 13
Si:n .. 4 => ',: 5 + 4 (4 - 1) =1m (No cumplo)
EI17 no cumple con la serie, porque el término de lugarcuar10 es 29, ¿Crees que está mal
propuesto el ejercicio?, daro no agregamos un lénninoque anule a los tres primeros términos
de dicha serie; esle debe ser de la forma: K (n - 1) (n - 2) (n - 3)
Luego. la ley de rormación Quedará asi;
'1 a,,~{C5=+=4=(n=-=1~)}~K~(~n--~I)~(n--~2)~(-n-~3~)
Ahora, hallamos el valor de ~K"':
a, = 5 + 4 (4 • 1) + K (4 - 1) (4 - 2) (4 - 3)
Il
29 = 5 + 12 + K (3)(2)(1) Q :. I K = 21
Como ya deteffilinamos el valor de "t{".1a fórmula de recurrencia seré:
I a, = [5 + 4 (n - 1) + 2 (n - 1) (n • 2) (n -3), I y podemos comprobarla:
Si : n~1 Q a,~(5+4(1-1)J+2(1-1)(1-2)(1-3)=5
Si: n=2
Si: n =3
Si: n =4
Si: n = 5
=>
=>
=>
=>
a,= [5 + 4 (2 - I)J + 2 (2 - 1) (2 -2)(2- 3) = 9
a, = [5 + 4 (3- I)J + 2 (3-1) (3- 2) (3 - 3) = 13
a, = (5 +4 (4- 1)] +2 (4-1) (4 -2) (4 - 3) = 29
as = (5 + 4 (5 - 1)] + 2 (5 - 1) (5 - 2) (S - 3) = 71
.. I El término que sigue en la serie es: 71 I Rpta.D
I EJERCICIOS PROPUESTOS I
Ejercicio 1: ¿ Qué número sigue en la serie?
9 ; 16 ; 23 ; 30 ; 37 ; .. .
A)35 B)24 C)46 O) 44 E) 39
Ejercicio2:EI término siguiente en laseriees:
11 ; 14 : 18 : 23 : 29 ; ..
A) 32 B) 44 e) 36 0)41 E)35
Ejercicio 3: ¿Oué número sigue en la señe:
-15 ; -9 ; -1 ; 9 ;
A) 18 B) 15 e)12 0)21 E)23
Ejerciclo4: ¿Qué número completa correcta-
menle la serie?
; 9 ; 20 : 34 ; 51 : ...... ; 94
A) 60 6)71 e) 63 O) 72 El 78
Ejercicio 5: ¿Qué número stgue en la serie:
1.32; \.37 : 1,44 ; \,53 ; 1,64 ; ...
A) \,65
O) 1,76
8) 1,69
E) 1,81
C) \ ,77
Ejercicio6: Eltérmino siguienleen la seriees:
3·.!2. · 8 · 21 · 13· , 2' • 2' •
A) 17 6) 29 C) 16
2
O)~
2
E)33
2
Ejercicio 7: El términosiguienteen la serie es:
0.03 ; 0.08 : 0,15 ; 0.24 ; ...
A) 0.28
O) 0,43
8)0.35
E) 0,53
C)O,36
Ejercicio 8: ¿Qué número sigue en la serie:
5,.,!,!.~ . .§l..
7'21'7'7' "''
A) 36 6) ~ C) 35 D) .!5. E) 38
7 7 21 7 2\
Ejercicio 9: Eltérminosiguienteen la serie es:
-45 ; -32 ; -17 ; O : 19 ; .. .
A) 23 8)42 C)40 0)27 E)31
Ejercic;o 10: ¿Qué número sigue en la serie?
o ; 0,3 ; 0.65 ; \.05 ; 1,5 ; ...
A)200 8)20 C)2 D) 2,4 E) 1.8
Ejercicio 11: El ténnino siguiente en la serie
es:
13 ; 14 ; 17 ; 17 ; 21 ; 20 ; 25 , ...
A) 29 8)23 C)24 0)31 E) 25
Ejerclc;o 12: ¿Qué número complela corree·
tamente la serie?
9 ; \3 ; 25 ; .... ; 169
A) 52 8)61 C)63 0)67 E) 59
Ejercicio 13: En la siguiente serie:
-3 ; 4 ; -1 ; 7 ; 3 ; 12 ; x 9 ,
Hallar: le: + Y
A) 24 B) 26 e) 28 D)31 E) 35
Ejercicio 14: ¿Qué número completa correc·
tamente la serie?
4 2 32
- 5 ;5;2; .... .
S
A)6 B)4 e)7 D) ~
5
E) 13
5
Eiercicio 15: En la serie: 2 ; 7 ; 15; 26; 40
: el cuarto léonino después del 40 es:
A) 116
D)158 ,
B)126
E) 186
C) 162
Ejercicio 16: ¿Qué número sigue en la serie:
J. 81 ; 27 ; 9 ; 3 ; 1 , 3 ' ..... .
A) 1 B) 1127 C) 1/9 D) 1/81 E) 1/3
Ejercicio 17: El tr'Jrmino siguiente en la serie
es: O·~2." ' O
2 1:1 : 2:8:64: ...
A) 128
D) 1 240
8 ) 192
E) 1 204
Q) 1 024
Ejercicio 18: ¿Qué numero sigue en la serie:
1 ; 20:200: ...
A) 40 B) 80 C) 1 000
D)loo E)4~ () . beO' C OO O
0..0 . f ~
Ejercicio 19: En la siguiente serie:
'Á "l';'
128 : 3 : 32 : 15 : 8 : 75 : x : V
Hallar. 'y - )('
A) 371
D) 372
B)373
E) 733
C)471
Ejercicio 20: El término siguiente en la serie
es:
0,04: 0,12 : 0,36 ; 1,08 : ...
A) 4,32 B) 2,34 cf 3,24
D) 2,43 E) 3.42 .1 ' q '. ~
~/. r ~¡.. ............ ".. .
Ejercicio 21: En la serie: 120;120 ; 60; 20
; el terCér término después de 60, es: -,.....
A) 5 BJ'1 C) 2 D) 3 E) 6\
Ejercicio 22: ¿Qué número sigue en la serie:
·10 . 4 . -4 ' 20 . 2 . 100 . 8 . S 0-0
A)400' i¡l)~~D~'S~;28
Ejercicio 23: ¿Qué numerO sigue en la serie?
A) 48
24 : 8 : 8 : 24 : ... A
~ ~'~
8) 72 C) 98' .3 D) 120
'3. ,~
~
E)216
Ejercicio 24: ¿ Qué número completa corree-
tamen1e la serie? I 5> .... 9
".--'-S .~
7 ; 8 ; 14 - 16 ; 20 ; 24 ; 2S ; __ o ; 29
~ .... ~ ......... -
A) 28 B)29 C) 30 DJ31 E) 32
Ejercicio 26: ¿Qué número sigue en ra serie?
.~ ,
1;3; 3:6: 12: 12: ...
~ ~
.. 3. ........ 111 (.
A) 24 B) 36 e) 60 D) 72 E)144
Ejercicio 27: ¿Qué número faltan en la serie?
.. . ; 18 : 29 : 45 ; 68 : .. ,
:
A) 12y81
0)9y72
8)8y64 e)6yl00
E) 10y 100
Ejercicio 28: ¿Qué número sigue en la serie:
9 ; 15 : 23 ; 34 ; 49 ; ...
A) 61 8)59 /, 69 0)73 E)84
EjercIcio 29: El ténnino siguiente en la serie
es:
A) 438
0)834
r-v-.r- ..r-. --..... y ~
12; 96; 384; 768; 768; ... 3J-,
¡;1348
E) 384
e) 483
Ejercicio30: EI término siguiente en la serie
es:
A) 7/8
1
3
B)617
1 . 3 5. "
; ¡ '5 ; "6 ' ': ... .
e) 518 PI 1 E)2
Ejercicio 31: ¿Qué letra sigue en la serie:
:1. A ; B ; O;G ; K ; ... O
, 1 <; 9 -'1 ¡;¡
A)L B)M '" C)N 0)0 EjP
"" 2.)< :(. (:>"5);1 tg . ~)· '
Ejercicio 32: ¿Qué letra sigue en la serie?
A; G;G;M; ... (11 )
A)Ñ B)O
1.. :¡~,S .:;
C) T O)W EjZ
Ejercicio 33: ¿Qué letra sigue en la serie?
W; U; A; Ñ: .. {, , ) ,
AjK slJ e)L O) 1 E) H
Ejercicio 34: El término siguiente en la serie
es:
A: B: B: e: O; F; G: ...
A)H B) I e)J O)K E) L
Ejercicio 35: El término siguiente en la serie
es:
A: B: e; O; F; F; J; ...
A) H B) I C)J O) K E) L
Ejercicio 36: ¿Oué lelra sigue en la serie?
Y;V:S:P: ...
A) L B)M C)N O)K E)O
Ejercicio 37: ¿Qué letra sigue en la serie?
X; T:P:M; I; ...
A)A B) 8 C)e 0)0 E) E
Ejercicio 38: ¿Oué lelra sigue en la serie?
o ;e;s : 0 ; 0 ; 0 ; ...
AJA B) B eje 0)0 E) E
Ejercicio 39: Ellermino siguiente en la serie
es:
(a + 1); (b + 2); (e + 4); (d + 8); •. .
A)(e + 18)
0)(1+ 15)
8)(e+15)
E)(1+16)
C)(e+ 17)
Ejercicio 40: El término siguiente en la serie
es:
A; 8 : C: 8 : 8; O; O; F: G: B: 1; ...
AjH B) I e)J O)K E)L
Ejercicio 41: El término siguiente en la serie
es:
1>'; bd: ato db'; ...
Ajld B)h' e)gd O) bdt Ejna
Ejercic;o 42: Hallar el término 60 de la serie:
1;5;9: 13; 17; ...
A) 240 B) 273 e) 237 D) 252 E)327
Ejercic;o 43: Hallar el ténnino 26 de la serie:
A) 173
D) 158
-17,·10; -3;4;11; ...
B) 162
E) 581
e) 185
Ejercicio 44: Hallar el término 45 de la serie:
A)372
D) 327
17; 22; 27, 32; ...
B)273
E)237
C)732
Ejercicio 45: Hallar el término 32 de la serie:
-9; ·1 1, -13; -15; ...
A)-59 6)-17 e)·71 0)-57 E) ·47
Ejercicio 46; Hallar el término 123de la serie:
A)263
D)356
-10; -7; -4; · 1; 2; ...
B) 358
E) 458
C) 365
Ejercicio 47: El término siguiente en la serie
es:
A)6
D) 190
~; 4; 5: 54, ...
B)4B
E) 199
e) 198
Ejercicio 48: Hallarel ténnino siguiente en la
siguiente serie:
A) 60S
D)328
O ; 1 ; 2 ; 3; 124; ...
B)604
E) 1 205
e) 506
Ejercicio49: Hallar el término siguiente en la
siguiente serie:
2 ; 4 ; 6 ; 6,5 ; ...
A) 13 B) 14 C) 12 D)17 E)21
Ejerdclo50: Oiga Ud. cuál de las siguientes,
atlemativas representa a la expresión que da
origen a los valores de la tabla.
• 1 2 3 4 5
Y 1 10 25 46 73
A)2><"- 1
D)2. - 1
B)3><"+2
E) 4><" - 3
e)3x2-2
Ejercicio 51 .- la fórmula que expresa la re[a~
ción existente entre -x" e y segun los valores
de la siguiente labia es-
x 1
Y O
A)y =x2 . x
el 2)(2. 3)( + 1
E) 3x2 -2x-1
2
5
3 4 5
12 21 32
8)x2 +3x- 4
D) Y = ><' + 2x-3
Ejercicio 52: La fórmula que expresa la rela-
ción existente entre "X~ y "YO segun 105v810res
de la siguiente tabla es:
1: I~ 1: 1 ~2 1: 1:8 1
A)x2·Sx+2 8)x3+3)(2+2
C)xL 1x2+2 D)><' +>-2
E) )(3 . 2x2 + 3
CLAVE DE RESPUESTAS
1. O 11. B 21 . B 31. 0 41. 8 51 . O
2. e 12. 8 22. 8 32. e 42. e 52. e
3. 013. C 23. E 33. 8 43. 0
4. 8 14. 8 24. E 34. 8 44. E
5. e 15. 8 25. 0 as. A .5. e
6. D 16.e 26. C 36. e 46. 0
7. 8 17. e 27.E 37. E 47. E
8. E lB.e 2B.e 3B. e 48.A
9.e 19. 8 29. E 39. 8 49. e
10. C 20. e 30. 0 40.0 50. e
Dadll/a s('n(' dc lus "1I"'I 'ro.',:
14
22 24
4 6
10 12
18 20 16
26 2X :~O
Hallar la suma de ,(J.~ f('rmillf)~ de I(J
fila 20.
1 Respuesta 1 11 020 11
s~ tiene las sigllieflte~ series:
Serie 1 1
Serie 2 .3 5
Serie 3 7 ~ 11
S erie 4 13 15 /7 19
Serie 5 21 23 25 27 29
Hallarel prnmedio a ritmét ¡code los términos
pertenecientes a la
serie nn" I Respuesta: 0
TEORIA DE
EXPONENTES 4
Lateoriadeexponentes.estudiatodaslas
clases de exponenles que existen y las djferen~
tes relaciones que existen entre eltos. mediante
leyes. La operación que da origen al exponente.
es la potenciación.
POTENCIACiÓN:
Es la Operación que COnsiste en repetir un
número llamado base, tantas veces como factor,
como lo indica otro llamado exponente denomi-
nando al resultado de esta operación polencia.
Representación:
Ejemplos: ~ -.3)(3x3)(3r8'
•
~ '" 2)< 2><2 x2x 2 >< 2 "'= 64
•
16 -=t'i)
Leves Oe Exponentes:
Las principales leyes de los exponentes
son las siguientes:
@ PRODUCTO DE BASES IGUALES:
®
I Amx An=Aflu"' l
Ejemplo:
g2 x 3' = 3
2 •
, = 33 = 27
COCIENTE DE BASES IGUAL ES:
~
L.C..J
Doode: CA ~ O)
Ejemplo:
,
3 _ l -2 _ 32 _ 9 7- --
PRODUCTO DE BASES DIFERENTES E
IGUAL POTENCIA:
I Amx s m",, (A x Sr I
Ejemplo:
5' x 2' = (S x 2)' = (10)' = 100
COCIENTE DE BASES DIFERENTES E
IGUAL POTENCIA:
Ejemplo:
,----------.,
6' {6J' 2 " = "3 = (2~ = 4
® POTENCIA DE POTENCIA:
I (A'")" _ Am ."I
Ejemplo:
POTENCIA DE POTENCIA DE POTENCIA:
I UAJJl)")P _ Am " n ~ p I
Ejemplo:
[(2')')' =23 • 2 ., =;>3'
EXPONENTE NEGATIVO:
Ejemplo:
1 1
3 "' ""2 "' 9
3
DonC!g: (A "" O)
PRODUCTO DE RADICALES HOMOGE·
NEOS:
Ejemp'o: 'V4xV2 =3J4 x2 = V8 = 2
® EXPONENTENEGAnVOOEUNCOCIENTE: @ COCIENTEOERAOICALESHOMOGENEOS:
®
Ejemplo:
EXPONENTE CERO O NULO:
Donde: (A "" O)
Ejemplos:
i) 3°=1
ii} 3x5°=3x1 =3
iii) (3)< + 5y2)° ~ 1
RAIZ DE UNA POTENCIA:
I~ ~ A;; I
Ejemplo:
Ejem¡Jo;
~ =~
3.J16 _ 3[16 _ 3'"8 _ 2
V2 - "/"2" - '" -
POTENCIA DE UN RADICAL:
Ejemplo: !>
['[,;') ~ 'k s = s,po
RADICAL DE RADICAL:
I ~='=!A
Ejemplo: VVA ", ~=,,'2JA
TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LOS RADICALES.
VJ ~ ~W q $' P " ~ 1) A = A i ) A =A
i) ;(J ~¡;- k A 0= A NI ~~ A = A
LEYES DE LOS SIGNOS DE LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS.
I Muhlpllcaclón I
al (+))( (+);:;; (.) a)
División
(+ 1
- = (+)
( + )
[NOTk
I Multiplicación I División
B) (')'H=H B) ~=( - ) ( - )
( - )
C) (-) , (+) = (-) C) - =(-) ( • 1
( -)
D) H'H=I') D) -~( +) ( - )
En la nwlfiplicación y en la división de dos colltidades se cumple: q«c a
ig ual SigilO resul ta (positilJfJ); y siJ!,IUJJ5 cli(erWlC:<i resl.Úla /negativo}.
POTENCIACION y RADICACION
I Potenciación I I Radicación I
A) ¡(+ll'"' = (.) a) ~ 1 + 1 =( ±)
B) [(tHIIf'PSI:: t.)
b) ~=(+I
C) 11-)1'"' = 1+) e) ~= (-)
D) 11-11-= (-) d) ~ CarMJd ( - ) ::: irregnana
I EJERCICIOS RESUELTOS I
EjerciciO T: Al Simplificar: , ,
l ,'" , r 1aC1ol'ilamos " 5 ~ en el numerador y denominador. M= 5 - 5 5
se obtiene:
, , ,
, ,
.. 2 "1- I
+5
, "
- 5
A) 35/8 BI8135 C)7!1l D) an
Resolución:
po( propedad: I Arr.· n ::: A,mxA" I
"
, ,
· 5 +5 ,
" ·5 -5
E) 5/8
,1 , I
M~[/(5' -5' +51 r .[125
/(5' - ,) 2
- 2S+Sl-'
5 - ,
'~ r M " [ 1:: ] 3: ; Por pfOpI edad :
I (~r ·(~JI;obten~ os:
EIl ..
Rpta. B
Ejercicio 2: Reduciendo:
;oblenemos una EllCptesión
de la forma:
4lindicar: "a .. b~, si: a, b e f\I
A)12 8) B C)6 0)7 E) 13
Resolución:
La expresión dada se jXJede escribir como:
Aplicamos la prOpiedad'
ol:ltenemos: 3" 2 + 3
2":""2 <17' , X b ___ o X
2 )< 3 + 2
9 1 .. • ~~
1'(8/9'"" V xl); por propiedad: , lEJm m-o _ = A AO
Obtenemos:
x
• ,.
,
b @@
x ==)(
~
Como las bases son igualesenecuaci~.los exponen-
tes tambien deben ser tguales. ,
De doncJe: 49 b
36 ="2
•
:--2 /!b= 71
;.=~
~' "'la .6 1
l a+b = 6+7=13 1
Rpta. E
Ejerclc/c 3: Si: n - m = 1
Reduzca:
"f.for;;;,
T{x) = ~x~r
B) V, el x'"
O) x" EIX
Resolución:
Aplicando la propiedad: I,¡q F I VA :::: A
la expresión dada se puede escribir como:
"',¡;;
m o
T(IC) = X n ; por propiedad:
~~ T(x) = x n == X ; por dato:
n- m_1
- m = (1 -o)
luego:
T(x).;r;; I
"fe",'e/o 4, EfeCloa[ r: 1<>-'1
A= i!J(4)2.Ji
A)2
D)=ftJ2
Resolucl6n:
la expresión dada. se puede escrt>ir como:
Apta. A
A+"""1~J
Á"·",,, ,
R = 2 Al
Por diferencia de cuadrados:
Pero:
I A'I - B:O: = (A-t-B) (A - B) r
obtenemos: p;[ 2fi2_1]= l -l = 2' =2
.. ~
Ejercicio 5: CalcuLar el vafor de ·P·
AI,/2 B) 2 C) 2,/2 D)'
Resoludon_
Rpta. A
Para este tipo de problema es recomendable analizar-
lo de arrba hada abajo, veamos; ,
6" 3 6' ;
27 =(3) =3 = .J3
El valor obtenido , lo reemplazamos en la expreSiM
dada, obleniendo;
j"" f"l .J2' P=[22.J2' = [2c2,r,) .... (nl
Por propiedad:, ____ -;o=-_ __ -,
I ~=W'=H-* ' ,I2' I
El valor obtenido. lo reemplazamos en (u):
P = 4 I Rpta_ O
Problema 6; SI : a" = 3: calCular:
AI'iO SI3 el 3 43 El ~
Resolución:
l a 8xptesiÓ"'l "0", se puede escribir como:
aa 1~ r:--:l
O=----Va tl -ti ;por dato:~
Reemplazando en "0--, obtenemos:
o:W_~=~aa3
pero : la l .. 31
Q=N=~=3.J3
I Q=3{3 I
EjercIdo 7: Si- ~ = V2 Hallar:
e
M _ :;.0.[( "=--'b;..:...) '_ e"",T
[(e'b) ' . J
A)2 SI' el 16 DI :l2
ReSDluclón:
Rpta_ e
E) 64
Aplk:andO la propiedad: I (A"")1'l = Aro." I ; obtenemos:
[
93 T 2793
M= a b - cJ _ a b e
[
g:3 -r c 27b 9 a:3
e b - aJ
24 24
M = .;.=( ~) ; pero ;
e
l Uego: "
Ejercicio 8; Si: A :;:: .,J2
8q;fesal "B~ en tormlnos de "A"
A) A B) AA C) ,r¡;
Resolución:
la expresión "B" por propiedad:
Rpta. E
D)A"" EI1IA
[ !!f".'" = A ~ I ; se puede ese'b;, como;
,
804 .. 8 ~ 2Tz ;pero ; ~ = ~
2.r: == ( 2i) 42 ; pero:
8 (,/2).[2 ; por dala: A = ,/2
lB = A Al Apta. B
Ejercicio 9: Hanar el valor de:
AI2 81 4 el I
, ,
x 2
DI 112
Resolución:
La expresión dada. ~ puede escribir como:
6 - 4m ti -;4 ti
R- 2 x 2 '" 2 xy .. ~
( m)-' • ;;;>'"'x>' >' 2 x 2
El "'
Rp1a. B
EJercicio 10: Efectuar:
' n- faC!O(9S
AJO;> B)n" C) n'" D) o·' Eln
Resolución:
Sabemos qiJ9:
"n" faclores
;1 rn--.-n-:'~· --n~2i= (n- 2) n _ n- 2"
"n" faClares
A.lOra , reemplazamos (i) 'i (ii) en 'M"
M o [4l~ Q M o[~l °;i;on
I M = n I Rpta.E
Ejercicio 11: Hallar el valor reducido para: "E"
Al'
" a r. -m J4a4m ... n
E-
- ~a4m+ 50n
CrVa
Resolución:
la eKpresiOn dada, se puede escribir como:
r. - m 4m tn ~.~
-0- ~ o 2 0
E _ a · a a
~ 4 m+ !5n -.-,-
a
Oamos común
l1umerador:
..
a
denominador a los exponentes del
3n ... 2 m 2(n ml ... 4m~ r.
" a ,-r;-E ~a_--::'~m~.:7.,o;---~ ~
--'-0- --'-0-a a
E - a
3n .. 2m ,. "m .. 5 .... '0
damos comun denominadol al 81q)OOente de esta
última explesiórl.
4m !in
E-a
,. o , ..... '4
"'8 "'a
Apta. e
Problema 12: Hallar la raÍZ cuadrada de la expresión
-O- •
[ -o." o. ,]' 0 , . 25
Q; 0 , 0625
Al 16 B)32 C)8 D)64
ResolucIón:
Sabemos que; 1) 0,5 - 5 - 1
10 ,-
i \
25 1
O.25 ~ 1OO"' 4
E)26
")
125 1
0.125- i'OOQ- i
N) O.O625=-~ .. 2..
10 000 16
Ahota, reemplazamos c:tichos valores en "Q"
,
j
....
-'6
Ejercicio '3: ROOUcIr:
A)1
I °n° sumaroosl
•
BI a
I "(a + Tr radicales I
q q¡; D) l /a
Resolución:
1)
i)
"(a + 1) raDcales
Rpta. A
Ahora, reemplazamos los valores hallndos en "P"
p ~~
(eJ8r+l~ - ara' arara
.. I p = 1 I Rpta.A
E~rcicío '4: Calcular el valor reducido de la expre-
Sión ~N'
• • •
N =
2 ... :3 ... 4
- 11 -11 - a
6 ... 6 + 12
Al6 Bl. C) 12 O) 24 El36
ResoluCión:
la expresión dada. se puede escribir como:
N=
• • • 2 .. 3 +4
1 1 1
11 -+-+ --
6 - e' 12 8
• • • 2 ..-:3 + 4
11 1 ---+---+---
{2x3)1I (2)(4)· (3)0( 4 )'
• • • 2 +3 ... 4
1 1 1 ---.---+---a <1 I a 11 11
2 )( 32 )( 43)(4
damos eornlJ'I denominador en el denominador de la - • • • 2 ... 3 +4
1 1 1 ---.---+---iI 11 11 !I 11 11
2 x3 2)( 4 3 1< 4
e~a e"P'eSióO se puede escnbir como:
• • •
2 +3 T 4
1
• • • 4 ... 3 ... 2
• • • 2 )( 3 x 4
Problema 15; Hallar el valor reducido da ~A~:
.~1 •• 2 •• 3 ....
3 +3 +3 +3
. - 1 . - 2 . - 3 . - "
3 ... 3 +3 ... 3
Al 3
ResoIud(Jn:
La expresión dada. se puede escribir como:
.1.2_3."
A= 3 · 3+3 · 3+3 · 3+33
3 :3 3 3~
-+-+-+-
3' 3
2
3
3
3
4
damos común denominador en el denominador de la
fracción;
A =
A=
1.2.3,.4
· 3 +3 ·3+3 3 +3 · 3
3
3 3·+':/ . 3~+3·3·+3·
3'
( 3.2& .,,) 3 - 3 + 3 · 3+33 ... 3
1aC1orizamos en el llI..meradof y derominador de la
~a~n. r---~~-~~~
34 . 3 .3·~ ,lo
- V 3'
3·~
Rpta. A
Ejercicio .6: Halle el \lalor reducido de:
E='lt '12
All Bl2 qff DI 2 ff El3 ff
Aesoluclón:
Aplicamos la propiedad :
en denominador obtenemos:
E ~
il!J(12)3
Ejercwlo 17: Efectuar.
R = (0,5) · e" - 2(O,125)~
(O.l25}' - O
Rpt •. A
A) - 32 B) - 16 C) -24 D) · 12 E)- 18
E]erckio 18: Si: m"' = m + 1, calcular el vak»r de:
"'----, m"--' (11111)
O =~(m.')
AJl B)m C) m-I D)m+l Ejm-l
ReSOlfJc#Ón:
Reemplazando el valor dado en -0-. obtenemos que:
Q=m
. .
m
mm,' . .
m
= m
lo",ml =ml
E)erckio 19: Red.Jc1r:
,-,
¿
."...-
= m
R_ -\12
1+ 40
A)2 814
· 4 .. ,
!''-:-
V 16
C)1f2 D,1f4
La expresión dada se, puede escribir asI:
Rp1a. B
E)1
, l . i. , 0;2 2lp~4J
R_ .,,2~-,-,· 4,::-_
p ' , ...-
16
2 · 2
Am . A n m+n -Q
--,-- A ; obtenemos:
A
p-, {p") l"') - . -- -, --, , p
R-2
, , ,
R= 2 = 2
Ejercicio 20: Efectuar:
,
j')' .Ji 2 E =(~2 .1i,[2
A) 4 BJ2V2 C) 16 O) 1
RfioIucJón:
Rpta. A
E)32
luego:
Aplicamos la propiedad:
I (Am .AP .AQ)I'I = Amn .Apt'I .AtTol
ObteMmos;
pero:
.. IE =161
PROBLEMAS PROPUESTOS
Ejercicio 1: hallar el valor de "M ":
A)2 B)2l C)2' D) 2'
EjerciciO 2: CalaJlar.
I ,
'i .,
, =(2) · (9)
A) 314 B)2/3 q 219 O) 914
Ejercicio 3: calcular.
A)1 B) - 2 C)-4 0) 4
Ejercicio . : Simplificar:
A) x B) Y C)xy 0)><1\1
E/erc-Jcio 5: Aeduclr:
E)2'
E) 912
E)2
E) 1
A).3 ..\f;;
D)X
2 ~
B) .$.--\JX
E))(3 .~
Ejerc;c;o 6: calCular:
>)1 B)2 C)4 D) 8
Ejercicio 7:
aJ~ 4<.2+b')" r
Si: a=a2+b7
A)a B)b C) at> D) ab
Ejerckio 8: SimplifK!at:
A)- 5 B)O,2 C) 25 O) 0,4
Apta. e
E)aIb
E)O.04
Ejercicio 9; Si: .
A'[W ,(,.:,)4 +( f d
Entonces el valor de: ,
(~l' es o A , •
A) O B). e ) 2 D) 3
Ejercicio 10: Si:
•
" Calcular el valor de: J "" (0.1)
-,
A) 0,000'
D) ' 000
B)O,OO' C) 0,.
E) 100000
E)4
EJerc1cro 11: De las siguientes proposiciones cuales
no son falsas:
i) ~ 55 = 5 . ) 4J ' 2 2 = 4 •
;;1) V .2
A)~o (I) B) Sólo (ji) q Sólo (ii)
D)i y il E)i ylil
EjerciCio 12: Reducir.
A) • 8) 0,3 C) 0,1 D) 0,037 E) 0,012
Ejercklo 13: Si: a = -J7-. Haller et valor de:
Ala .. 8 ) a2
Eferclci? 14.- Simplilicar:
~ .. ~.~ M= a · ~ a, ao
A).
D) aa ·'
Ejercicio '5:
.=
A)2 B) 112
S) a" . I ,
E) 3 Vra
C)a'
21'\-2 1'1 -2
2 + 4
C).J2 D) .J2i2
Ejercicio 16: Reducir.
r----:- --
(4' l-( ~J ' [~)' - (4) +. B=
A) 23 6)27 C) 3 ' D) 3 5
Ejerclc/<) 17: Hallar el valor reóJcido de T':
E) a~
E)'
El37
1
- 1 - 2 2'
F=(O,') . (0.3) (0,5) , (0 . 25)
A)'2 6)6 C)3 D) • E) . /2
Ejercicio " : Reducir:
r-4;>-' ,-,-\p'"i:lli',"',=='. ,"-, 41-' x-, ] "
~kvx v., "\IX)- ' .
A) • 6),," C) i' D) , EI)(O'
Ejercicio 19: Señale el expOflente de "H~ después de
efectuar la multiplicación:
lG.,(b.~ .··0
H =~'· . ~.' . ~~
Siendo W· una variable.
B)4x· C) 3x~ D) x· E)3
Elflf"Clclo 20: Redx::ir:
A) 1 8). C) a"
Eferr::lcJo 21: Al efectuar:
i) JX2~ ; rBSlAta : .. .
;) ; resa.ila : ...
i) -, ;r8Sllla : ...
~
lLego, después de m_1odas, "'"
A)3>c 8)9>1' C) ax'
Ejetdclo 22: RedUcir.
~ .. ..r,;; 4"~ R", ---., alJ • ----va .. ·•
8) ( •• -)" e) o' ..
D) a'
E/<=/clo "'" _
M. (O,Sr"(2)""
(O,:asf" ,(.f-'
E)"'"
A) 0,16 B)32 C) 102. D) 0,64 E)64
A) 2'" 8)a C) .... D) 1
A)3 6)9 C)11:l D) 1/9
EJ<=IcIo 26: St P ~ n.=.!Jñ;
halle el equivalente de: T = ~ . _'_
8) n"
EJp
-~
E}112
E127
Ejercicio 27; Sena1e el exponente de -~ obtenido al
reducir:
A) 1
0)1\"+1
Bln
E)n"'-1
C)n"
Ejetclclo 28: Otdenal en fomla decreciente:
0 = 4
, ,
3
A)B,E,O,C,A
C)B, D, C, E,A
E) D.B.E.C, A
E¡ete/clo 29: EIocIuar:
B)A,D.B,C, E
D) D. E. B,C, A
S:2"(-21' - 2"(-2)"
A)O 8)1 e).
1 ,S
D~ E)'6
C=3
,
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