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Hoje, a matemática aplicada é utilizada em modelagens que vão da medicina 
à astronomia, das comunicações ao desenvolvimento de equipamentos de 
precisão, enfim, em importantes áreas do dia a dia. Ao digitar senhas em caixas 
eletrônicos, ao pensar na chance probabilística de ganhar na loteria, ao avaliar 
riscos de um investimento, ao elaborar uma planilha orçamentária, as pessoas 
estão “matematizando”, isto é, avaliando tudo que as cerca do ponto de vista 
matemático.
Neste livro, houve a preocupação de mostrar a versatilidade dos conceitos 
de matemática aplicada e sua utilidade. Estruturada em dez capítulos, a obra 
parte dos conceitos iniciais de potenciação e radiciação, passando pelas 
equações e problemas de primeiro e segundo grau, pelas progressões, matrizes 
e determinantes, até finalizar com as funções polinomiais, limites e funções 
derivadas. Em todos os capítulos há dezenas de exercícios resolvidos, exemplos 
solucionados, aplicações em diversas áreas e, ainda, sugestões de outros 
materiais que venham a enriquecer os conhecimentos do leitor. 
Ter uma base sólida em matemática aplicada, portanto, possibilitará uma 
formação científica de qualidade. Melhores decisões são tomadas quando se tem 
acesso a informações precisas, ampliando o olhar sobre os problemas que se 
manifestam no cotidiano. 
Edson Carlos Chenço
aplicada
matemática
Código Logístico
58558
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-6480-9
9 7 8 8 5 3 8 7 6 4 8 0 9
M
atem
ática A
plicada
Edson C
arlos C
henço
Matemática aplicada
IESDE
2019
Edson Carlos Chenço
Todos os direitos reservados.
IESDE BRASIL S/A. 
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
Batel – Curitiba – PR 
0800 708 88 88 – www.iesde.com.br
© 2019 – IESDE BRASIL S/A. 
É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito do autor e do detentor dos 
direitos autorais.
Projeto de capa: IESDE BRASIL S/A. Imagem da capa: IESDE BRASIL S/A.
CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
C447m
Chenço, Edson Carlos
Matemática aplicada / Edson Carlos Chenço. - 1. ed. - Curitiba [PR] : IESDE, 2019. 
230 p. : il.
Inclui bibliografia
ISBN 978-85-387-6480-9
1. Matemática. 2. Matemática - Estudo e ensino. I. Título.
19-59539 CDD: 510
CDU: 51
Edson Carlos Chenço
Doutorando em Negócios Internacionais pela Florida Christian University (FCU). Mestre 
em Metrologia pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio). Especialista 
em Gestão de Negócios pela MUST University. Professor de programas de pós-graduação e 
corporativos. Consultor de finanças e projetos empresariais. 
Sumário
Apresentação 7
1 Fundamentos de matemática básica 9
1.1 Números inteiros e racionais 9
1.2 Potenciação 10
1.3 Radiciação 12
1.4 Razão e proporção 13
1.5 Regra de três 16
1.6 Equações do primeiro grau 18
1.7 Equações do segundo grau 22
2 Estudo dos conjuntos 31
2.1 Conceitos fundamentais 31
2.2 Tipos especiais de conjuntos 34
2.3 Produto cartesiano 37
2.4 Intervalos 40
2.5 Exercícios resolvidos 41
3 Funções: gráficos e aplicações 47
3.1 Conceito de função 47
3.2 Função de primeiro grau 48
3.3 Tipos de funções de primeiro grau 49
3.4 Aplicação especial para funções de primeiro grau 54
3.5 Exercícios resolvidos 58
4 Funções: outros modelos 65
4.1 Função quadrática ou polinomial 65
4.2 Função exponencial 69
4.3 Função logarítmica 73
4.4 Função inversa 76
5 Sequências e progressões 83
5.1 Sequências 83
5.2 Progressões aritméticas 87
5.3 Progressões geométricas 92
6 Análise combinatória e probabilidades 97
Mega-Sena: concurso 2120 de hoje pode pagar R$ 20 milhões 97
Números de celulares de todo o país terão nove dígitos a partir do dia 6 97
Rodízio de veículos em São Paulo é suspenso para o fim de ano 97
6.1 Conceitos introdutórios 98
6.2 Princípio fundamental da contagem 99
6.3 Probabilidade 106
7 Probabilidades – Distribuições 115
7.1 Variáveis aleatórias discretas ou contínuas 115
7.2 Distribuições discretas 117
7.3 Relação entre valor esperado e medidas de dispersão 118
7.4 Distribuições binomiais 122
7.5 Distribuição de Poisson 125
7.6 Esperança matemática 126
8 Matrizes 133
8.1 Matrizes m x n 133
8.2 Operações envolvendo matrizes 136
8.3 Determinantes de uma matriz 139
9 Sistemas lineares 143
9.1 Complemento algébrico e menor complementar 143
9.2 Sistemas lineares 145
9.3 Sistemas normais 147
9.4 Sistemas equivalentes 148
9.5 Sistemas escalonados 149
10 Funções polinomiais, limites e derivadas 159
10.1 Funções polinomiais 159
10.2 Multiplicidade de uma raiz 161
10.3 Princípio da indução finita 163
10.4 Limites 168
10.5 Derivadas 178
10.6 Aplicações das derivadas às atividades econômicas 192
Gabarito 197
Referências 229
Apresentação
Atualmente, cada vez mais se exige a capacidade de trabalhar e interpretar informações. 
Essa habilidade, essencial ao avanço da ciência, desenvolve-se rapidamente com os novos modelos 
matemáticos que se apresentam, além dos muitos que já conhecemos e são utilizados. Por meio 
deles, emergem novos conhecimentos, habilidades e competências, os quais serão facilitadores e 
decisivos para alinhar teorias e práticas nas diversas áreas de atuação.
Ter uma base sólida em matemática aplicada, portanto, possibilitará uma formação científica 
de qualidade. Melhores decisões são tomadas quando se tem acesso a informações precisas, 
ampliando o olhar sobre os problemas que se manifestam no cotidiano. 
Hoje, utilizamos a matemática aplicada em modelagens que vão da medicina à astronomia, 
das comunicações ao desenvolvimento de equipamentos de precisão, enfim, em importantes 
tarefas do dia a dia. Ao digitarmos senhas em caixas eletrônicos, ao pensarmos em nossa chance 
probabilística de ganhar na loteria, ao avaliarmos riscos de um investimento, ao elaborarmos nossa 
planilha orçamentária, estamos “matematizando”, isto é, avaliando tudo que nos cerca do ponto de 
vista matemático.
Neste livro, houve a preocupação de mostrar a versatilidade dos conceitos de matemática 
aplicada e sua utilidade. Estruturado em dez capítulos, partindo dos conceitos iniciais de 
potenciação e radiciação, passamos pelas equações e problemas de primeiro e segundo grau, 
pelas progressões, matrizes e determinantes, até finalizarmos com as funções polinomiais, 
limites e funções derivadas. Em todos os capítulos há dezenas de exercícios resolvidos, 
exemplos solucionados, aplicações à área de gestão e, ainda, sugestões de outros materiais que 
venham a enriquecer seus conhecimentos. 
Bons estudos!
1
Fundamentos de matemática básica
Neste primeiro capítulo, apresentaremos de maneira objetiva os principais conceitos da 
matemática básica e suas aplicações. Em princípio, esses conteúdos parecem muito simples, mas 
conhecê-los e saber aplicá-los é fundamental para avançar nas seções propostas neste livro.
Os pontos mais importantes deste capítulo são: potenciação, radiciação, expressões, equações 
e sistemas do primeiro grau. Ainda, abordaremos razão, proporção e regra de três, números reais e 
aplicações para equações e sistemas do segundo grau.
1.1 Números inteiros e racionais
As frações e os números decimais são de conhecimento geral, principalmente nos anos 
iniciais do Ensino Fundamental. Esses números têm em comum o fato de pertencerem a um mesmo 
conjunto numérico chamado de conjunto dos números racionais, sempre representado pela letra Q.
Todo número escrito na forma a/b é racional, sendo que a e b são, cada um, números inteiros, 
desde que b seja diferente de zero.
Importante relembrar: números inteiros são aqueles que não possuem 
casas decimais, mas podem ser positivos e negativos.
Podemos dizer também que os números decimais estão entre os números racionais, pois, se 
dividirmos uma fração, teremos como resultado um valor decimal. Vejamos os exemplos:
4
5
0 80= , � � �15
2
7 5, 4
1
4=
Os números naturais também podem ser incluídos no conjunto Q, pois sãoexpressos na 
forma de fração, resultando em valor natural. O mesmo acontece com números inteiros. Nesses 
casos, as frações são chamadas de frações aparentes. Vejamos os exemplos:
15
3
5= � � �49
7
7
Praticamente em todas as situações que envolvam medidas e contagem, os números inteiros e 
racionais estão presentes. São necessários nos cálculos de engenharia, da matemática financeira, na 
resolução de problemas de física, química e biologia, entre outras áreas. Como exemplo, podemos 
observar o cálculo da média harmônica que envolve números inteiros, decimais e fracionários ao 
mesmo tempo, demonstrando uma medida de velocidade média.
Matemática aplicada10
• Velocidade de ida: 80 km/h.
• Velocidade de volta: 30 km/h.
• Percursos: 2 (ida e volta).
Portanto:
2
1
80
1
30
2
0 0125 0 033
43 9
�
�
�
�
, ,
, /km h
1.2 Potenciação
A potenciação, também chamada de exponenciação, é uma das principais operações 
desenvolvidas com os números reais, que englobam todos os conjuntos numéricos (naturais, 
inteiros, racionais e irracionais). Quando desenvolvemos uma potência, um número é multiplicado 
uma, duas ou inúmeras vezes por ele mesmo.
an = a . a . a . …
n vezes
O estudo da potenciação permite percebê-la como uma ferramenta fundamental para que 
se possa avançar no pensamento matemático. Além de ajudar na resolução e solução de operações, 
facilita a representação de números muito grandes ou muito pequenos de maneira mais objetiva. 
Conhecer as regras de potenciação é, nesse sentido, pré-requisito para avançar no estudo de 
conceitos e operações matemáticas, além de outras áreas do conhecimento.
Na multiplicação 3 . 3 . 3, você observa que todos os fatores são iguais. Essa mesma 
representação pode ser abreviada:
3 . 3 . 3 = 33 = 27
Logo:
33 = 27
expoente
potência
base
Encontra-se a aplicação desse conceito em relatórios de pesquisas científicas e estudos 
especializados. Observe estes exemplos:
a) 5.820.000 podemos representar com a notação: 5,82 . 106.
b) 0,00019 pode ser representado do seguinte modo: 1,9 . 10–4.
É possível utilizar a ideia de potenciação também no cálculo de juros em operações 
financeiras, nas quais o tempo avaliado é sempre representado por uma potência na fórmula.
Fundamentos de matemática básica 11
1.2.1 Propriedades da potenciação
A potenciação tem um conjunto de propriedades que devem ser utilizadas para a resolução 
das operações. As propriedades tornam mais simples algumas operações que envolvem as potências.
O filósofo Arquimedes, que viveu no século III a.C., já lançava mão dos conceitos de 
exponenciação para especular sobre medidas relativas ao universo. Os estudos evoluíram durante 
séculos e, hoje, as propriedades da potenciação são aplicadas em estudos avançados. Por meio do 
estudo de um ramo da geometria chamado fractal, por exemplo, foi possível descrever a retina em 
minúsculas partes associadas e, com base nesses desenhos precisos, instrumentalizar a medicina 
para fazer cirurgias utilizando raios laser e elevando a possibilidade de recuperação parcial ou total 
da visão.
A seguir, apresentamos as propriedades da potenciação:
a) Um número natural elevado ao expoente 1 será sempre igual a ele mesmo. Exemplo: 
51 = 5
b) Um número natural não nulo elevado ao expoente zero será sempre igual a 1. Exemplo: 
80 = 1
c) Potência de base 1 será sempre igual a 1. Exemplo: 14 = 1
d) Toda vez que o expoente for negativo, significa que haverá uma troca de posição entre o 
numerador e o denominador.
 Exemplo: 5 1
5
1
125
3
3
� � �
e) Potência negativa no denominador se transformará em numerador quando trocar o sinal 
dessa potência.
 Exemplos: 1
7
73
3
�
� 
3
5
3 53
3
�
� �
f) Base 10: resulta no numeral formado pelo algarismo 1 mais o total de zeros de acordo 
com as unidades do expoente.
 Exemplo: 104 = 10 . 10 . 10 . 10 = 10.000
g) Quadrado perfeito: quando o produto é formado por dois fatores iguais.
 Exemplos: 52 = 5 . 5 = 25 92 = 9 . 9 = 81
 Produto de potências de mesma base: devemos conservar a base e somar os expoentes. 
Exemplo: 52 . 54 = 52 + 4 = 56 = 15.625
Para dividir potências de mesma base, não nula, conservamos a base e subtraímos os 
expoentes. Exemplo: 56 : 54 = 56 – 4 = 52 = 25
Para elevar uma potência a um novo expoente, o que chamamos de “potência da potência”: 
conserve a base e multiplique os expoentes. Exemplo: (64)3 = 64 . 64 . 64 = 612 = 2176782336
Matemática aplicada12
As propriedades da potenciação, como vimos, simplificam muito as operações numéricas 
e facilitam o avanço nos estudos das expressões e equações em temas como a radiciação, que será 
nosso próximo assunto.
1.3 Radiciação
A operação inversa à potenciação se chama radiciação. Por meio das principais propriedades 
da radiciação é possível resolver com mais facilidade exercícios que envolvem raízes.
Exemplo: 72 = 49 ∴ 49 = 7
a bn = n = índice a = radicando b = raiz
Como a raiz é quadrada, não precisamos colocar o algarismo 2 no radical.
A radiciação é uma operação matemática para definir o valor de um número que, ao ser 
multiplicado por ele mesmo uma ou inúmeras vezes, se transformará em outro número. Sabemos, 
por exemplo, que a raiz quadrada de 16 é 4, pois se multiplicarmos o número 4 por ele mesmo, seu 
resultado será 16. Nesse caso, temos um quadrado exato ou perfeito. Caso a intenção seja extrair a 
raiz de um número não inteiro, como 16,7, teremos como resultado um número decimal.
1.3.1 Propriedades da radiciação
Como vimos nas operações de potência, nas operações de radiciação também temos 
propriedades importantes que facilitarão cálculos mais complexos, principalmente quando é 
necessário simplificar radicais.
As primeiras propriedades da radiciação aparecem em estudos antigos, do século IV a.C., 
e muitos acreditam que o símbolo original era r, letra inicial da palavra radix, em latim. Vejamos 
essas propriedades:
a) Índice par: quando o radicando é positivo resulta em número positivo. Para radicandos 
negativos, não existe raiz real.
 Exemplos: 16 4= −16
 Temos resultado Não existe
Não há nenhum quadrado perfeito que resulte –4, por isso não é possível extrair a raiz.
b) Índice ímpar de uma raiz: para radicando positivo, a raiz também é positiva. Exemplo: 
64 43 =
 Para radicando negativo, o resultado mantém o sinal do radicando. Exemplo: � � �64 43
c) Expoente fracionário: quando há uma fração no expoente, transforma-se em raiz, na 
qual o numerador é o índice do radical e o denominador é a potência do radicando.
 Exemplos: 5 5 6 6 6 6 6
3
5 35
1
2 0 5
1
2= = = =,
d) Exemplos de propriedades especiais: 6 0 0 1 1 4 45 33� � � �
Fundamentos de matemática básica 13
e) Exemplos de radical de um produto e radical do quociente: basta fazer o produto ou a 
divisão, mantendo-se o mesmo radical.
4 5 4 5
3
5
3
5
8 8 8
3 3 3
3
3
3
612 6 612 6
� � �
�
� �:
:
f) Exemplos de simplificação, adição e subtração de radicais semelhantes: basta fazer a 
decomposição para simplificar ao máximo a operação.
576 2 3 2 3 24
5 2 5 1 2 5 3 5
6 5 3 5 6 3 5 3 5
6 2 3
3 3 3 3
3 3 3 3
� � � � �
� � �� �� �
� � �� �� �
g) Exemplo de potência de um radical: 5 6 5 6 25 363
2
2 23 3� � � � �
h) Exemplo de radical de radical: 7 7 72 2 2 8� �� �
i) Exemplo de racionalização de denominadores de índice 2: 5
3
5 3
3 3
5 3
9
5 3
3
�
�
�
� �
De todas as propriedades apresentadas, duas são mais complexas e muito importantes. A 
primeira é a propriedade radical de radical e a segunda, a de racionalização de denominadores de índice 
2. Essas propriedades permitem simplificar as expressões e tornar suas resoluções mais eficientes.
1.4 Razão e proporção
Para que exista uma razão, se faz necessário associar pelo menos dois números. E é 
importante que sejam diferentes de zero. A razão ocorre quando comparamos essas duas ou mais 
medidas e simplificamos ao máximo os valores dessas relações. Os resultados podem ser expressos 
em porcentagem ou em números decimais.
As razões e proporçõespodem ser grandezas diretas, inversas ou recíprocas. Significa que 
podem representar grandezas equivalentes, grandezas de mesma espécie ou grandezas de espécies 
diferentes. Na matemática aplicada, os conceitos de razão e proporção são utilizados em operações 
que envolvam finanças, proporcionalidade, muitas variáveis ou áreas mais especializadas, como a 
estatística.
Matemática aplicada14
1.4.1 Razão
Razão, do latim ratio, significa divisão. São várias as situações na matemática em que se 
utiliza o conceito de razão. Exemplos:
a) Para cada 180 passageiros, 90 eram mulheres. Logo: 90 : 180, um para dois.
b) De 1.600 ingressos, 400 eram para a plateia VIP. Logo, 400 : 1.600, um para quatro.
Então, 400 : 1.600, o antecedente é 400 e o consequente é 1600.
• Razões inversas
Observamos que, ao multiplicarmos uma razão e o seu inverso, sempre resultará em 1.
4
5
5
4
1� �
• Razões equivalentes
As razões equivalentes podem ser obtidas por produto ou divisão.
 ...×2...
2
4
4
8
=
 ... ×2 ...
... :2 ...
2
4
1
2
=
... :2 ...
• Grandezas de mesma espécie
Vemos que é possível relacionar grandezas representadas na mesma unidade.
Altura do armário 1 → 180 cm, logo, 1,8 m → 1
Altura do armário 2 → 540 cm, logo, 5,4 m → 3
• Grandezas de espécies diferentes
As grandezas se apresentam em unidades de medidas diferentes, mas mantêm correlação.
Distância → 180 km
Gasolina gasta → 18 litros
180
18
10= km/l
Logo, a razão será 10 quilômetros por litro.
Vejamos outro exemplo: a distância de 750 km é percorrida por um avião em 5 horas. Qual 
a razão entre essas grandezas?
750
5
150km
h
km h= /
Fundamentos de matemática básica 15
1.4.2 Proporção
É uma igualdade entre duas razões. Quando observamos quatro números racionais a, b, c 
e d, não nulos, é certo que formam uma proporção quando a razão do primeiro pelo segundo for 
igual à razão do terceiro pelo quarto.
Logo, a : b = c : d, onde se lê a está para b, assim como c está para d.
Observe a proporção a seguir, na qual a segunda fração equivale ao dobro do valor da 
primeira.
5
50
10
100
=
Produto dos meios: 50 . 10 = 500
Produto dos extremos: 5 . 100 = 500
• Termo desconhecido na proporção
Normalmente o termo desconhecido é chamado de x.
4
8
20
=
x
4 . x = 8 . 20
4x = 160, logo, x = 40
• Terceira proporcional
Na terceira proporcional, repetimos no terceiro termo o valor do denominador do 
segundo termo e assim completamos a proporção.
10
20
=
20
x
10 . x = 20 . 20
10x = 400
Logo, x = 400 : 10
x = 40
• Quarta proporcional
Em a : b, assim como c : x, indicamos por x a quarta proporcional. Dados os valores 10, 20 
e 12, por exemplo, determinamos a quarta proporcional do seguinte modo:
10
20
20
=
x
10x = 20 . 12
10x = 240, portanto, x = 24 
Grandezas proporcionais
Matemática aplicada16
Grandeza é aquilo que pode ser contado e medido. Superfície, volume, comprimento e 
custo, por exemplo, são grandezas cujas medidas podem ser aumentadas ou diminuídas 
de acordo com a situação apresentada. Diferenciamos as grandezas em diretamente 
proporcionais ou inversamente proporcionais, dependendo da relação entre elas. Vejamos 
os exemplos:
a) 10 operários fazem 50 metros de obra, logo, 20 operários farão 100 metros da mesma 
obra.
10 : 50, assim como 20 : 100 (diretamente proporcional)
b) Para fazer uma obra, 10 operários trabalham 8 horas por dia. Se colocarmos 20 operários, 
farão a mesma obra trabalhando 4 horas por dia.
10 : 8, assim como 20 : 4 (inversamente proporcional)
Os cálculos de proporção, como vimos, simplificam e facilitam análises e conclusões sobre 
grandezas. São, também, pré-requisitos para o entendimento da próxima seção.
1.5 Regra de três
As referências a regra de três são muito antigas, as primeiras menções a esses estudos 
apareceram na China e no Egito há mais de 3.000 anos. Em 1203, o matemático italiano Leonardo 
Fibonacci apresentou os primeiros estudos estruturados a respeito do uso e da importância da 
regra de três como decorrentes do conteúdo apresentado sobre razão e proporção.
A regra de três é um processo matemático que permite resolver problemas, no qual duas ou 
mais grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, considerando definir um valor 
por meio de valores conhecidos (regra de três simples) ou, no caso da regra de três composta, um 
valor por meio de inúmeros valores e variáveis conhecidas.
• Regra de três simples
Essa regra de três, temos quatro valores e conhecemos três. O quarto valor, portanto, será 
determinado a partir de três já conhecidos. Exemplos:
1. Em 5 casas de mesma metragem gastam-se R$ 100,00 de energia elétrica. Aumentando o 
número de casas para 8, quanto será gasto aproximadamente?
5
100
8
=
x
5x = 100 . 8 ∴ 5x = 800
x = 800
5
x = R$ 160,00
Fundamentos de matemática básica 17
2. Considere que 8 operários constroem um barracão em 20 dias. Diminuindo-se o número 
de operários para 4, quantos dias eles levarão para fazer o trabalho, considerando o 
mesmo ritmo?
8 operários gastam 20
4 gastam x
Na tabela a seguir, observe que se diminuirmos o número de operários, teremos de aumentar 
os dias de trabalho, resultando em uma relação inversa.
Tabela 1 – Relação entre operários e dias
Operários Dias
8 20
4 X
Fonte: Elaborada pelo autor.
Logo, 4x = 20 . 8
4x = 160
x = 40 dias
• Regra de três composta
É chamada de composta quando envolve mais de duas grandezas direta ou inversamente 
proporcionais. Pode ter um grande número de variáveis para serem observadas. Vejamos um 
exemplo.
Considere que 10 operários, trabalhando 8 horas por dia, fazem 1.000 metros de asfalto em 5 
dias. Aumentando-se o número de operários em 20%, trabalhando 6 horas por dia, durante 8 dias, 
quantos metros de asfalto, aproximadamente, os operários farão?
Para a resolução, observe que temos quatro grandezas – operários, horas, metragem e dias –, 
conforme tabela a seguir.
Tabela 2 – Relação entre quatro variáveis
Operários Horas Metragem Dias
10 8 1.000 5
12 6 x 8
Fonte: Elaborada pelo autor.
Como a incógnita x está na unidade de medida metro, todas as observações serão feitas com 
base nessa medida.
• Se fazem 1.000 metros de asfalto em 5 dias, em 8 dias farão mais (direta).
• Se fazem 1.000 metros de asfalto em 8 horas, em 6 horas farão menos (direta).
• Se fazem 1.000 metros de asfalto com 10 operários, com 12 operários farão mais (direta).
Matemática aplicada18
Dessa forma, podemos estabelecer a seguinte relação:
1 000 10
12
8
6
5
8
.
x
� � �
Portanto,
1 000 400
576
1 440
.
.
x
x metros
=
=
Os estudos de regra de três simples e composta foram essenciais para compreendermos que 
na maioria das operações matemáticas há um elemento desconhecido, geralmente denominado 
x. É a incógnita do problema. À medida que encontrávamos essa incógnita x na regra de três, o 
problema estava solucionado.
Nos próximos temas abordados neste livro, as incógnitas estarão muito presentes. São elas que 
permitem equacionar as situações-problema e estabelecer relações de igualdade. Os conhecimentos 
obtidos no estudo da regra de três, então, permitem aprofundar conceitos matemáticos.
1.6 Equações do primeiro grau
Por que estudar equações do primeiro grau? As equações fazem parte não só da matemática, 
mas de muitas outras áreas do conhecimento – engenharia, economia, ciências ambientais, biologia, 
química e até mesmo arte. São importantes, então, para a construção do saber.
Toda sentença matemática aberta que revela uma relação de igualdade é uma equação. No 
latim, o prefixo equa significa igual. Para ser uma equação do primeiro grau é necessário que a 
sentença tenha também pelo menos uma incógnita, e que essa incógnita esteja elevada ao expoente 
1, isso é, que seja de grau 1 ou primeiro grau.
Por essa razão, são equações muito simples e de fácil resolução. Na equação a seguir, a 
incógnita é definida pela letra x. Exemplo: 8x + 7 = 10. Vale ressaltar que não importa a letra 
utilizada para representar a incógnita, e sim que elaindica um valor desconhecido.
Outro ponto importante é que, por ser uma igualdade, as incógnitas deverão ser separadas 
dos valores numéricos pelo sinal de igual. É necessário, então, o cuidado de lembrar que o sinal 
de igualdade representa uma balança em equilíbrio: toda operação realizada de um dos lados da 
equação deverá ser realizada do outro, para não afetar o equilíbrio e o resultado. Exemplo:
2x + 7 = x + 10
Todos os termos x ou acompanhados por x (incógnitas) ficarão agrupados de um lado. O 
sinal de igual os manterá ligados ao outro lado.
2x + 7 (–7) = x + 10 (–7)
2x = x + 10 – 7
Fundamentos de matemática básica 19
2x (–x) = x +10 – 7 + (–x)
2x – x = 10 – 7
Perceba que, ao ajustar alguns termos como +7 e x, os termos com incógnitas ficaram à 
esquerda e os termos numéricos, à direita. Os sinais desses termos também se inverteram, pois 
realizamos as operações inversas de cada um.
Resolver uma equação significa fazer uma série de operações. Essas operações tornam-se 
cada vez mais simples e possibilitam definir os elementos ou as raízes da equação. Vejamos alguns 
exemplos de resolução de equações do primeiro grau com uma incógnita:
a) 8x – 6 = 3x – 1
 8x – 3x = 6 – 1
 5x = 5
 x = 1
b) 5
3
2 2
3
x x� � �
 
5 6 3 2
3
x x� � �
 2x = 8
 x = 4
Agora, observemos a equação:
2x + 8 = 3y – 4
Essa é uma equação de primeiro grau com duas incógnitas, x e y. Esse modelo de equação 
pode ser representado na forma de ax + by = c, sendo que os números a e b são diferentes de zero. 
Nessa equação, temos:
x e y = incógnitas b = coeficiente de y
a = coeficiente de x c = termo independente
Para resolver uma equação com duas incógnitas, x e y, é necessário que uma das incógnitas 
tenha seu valor atribuído.
Por exemplo: dada a equação do primeiro grau com duas incógnitas 5x + 3y = 13, encontre 
o valor de y quando x assumir valor igual a 2.
5x + 3y = 13
5 . 2 + 3y = 13
10 + 3y = 13
3y = 13 – 10
Portanto, 3y = 3 = 1
Matemática aplicada20
1.6.1 Sistemas do primeiro grau
Quando correlacionamos duas equações do primeiro grau e suas incógnitas são estudadas 
ao mesmo tempo, temos um sistema. São chamados sistemas, pois as equações não podem ser 
estudadas individualmente e, para revelar essa dependência entre elas, usamos sempre uma chave. 
Os sistemas são muito utilizados em engenharia, nas ciências agrárias, nos problemas de pesquisas 
operacionais em administração e em outras áreas do conhecimento.
A fim de resolver um sistema do primeiro grau, é necessário encontrar valores para as 
incógnitas que satisfaçam ao mesmo tempo todas as equações. Existem alguns modelos para 
solucionar sistemas do primeiro grau; os mais comuns são os métodos da adição e da substituição. 
Vamos conhecê-los por meio do exemplo a seguir.
Em um concurso público, um candidato acertou inúmeras questões que 
valiam dois pontos e outras que valiam três pontos. No total, acertou 26 
questões e marcou 58 pontos. Esse candidato acertou quantas questões 
de valor três pontos?
x + y = 26 → questões certas
2x + 3y = 58 – pontos de acertos
Sempre indicamos o sistema por meio de uma chave:
x + y = 26
2x + 3y = 58
• Resolução pelo método da substituição:
 Determinamos o valor de x → x = 26 – y
 Agora substituímos na segunda equação:
 2 . (26 – y) + 3y = 58
 52 – 2y + 3y = 58
 y = 6
Substituindo o valor de y, é possível saber quantas questões de dois 
pontos foram acertadas:
 x + y = 26
 x + 6 = 26
 x = 26 – 6
 Logo, x = 20 questões.
• Resolução pelo método da adição:
x + y = 26
2x + 3y = 58
Fundamentos de matemática básica 21
Escolhemos o valor –2 para multiplicar a primeira equação, pois nesse 
método se faz necessário que uma das duas incógnitas tenha o mesmo 
valor numérico, porém com sinal oposto:
–2x – 2y = –52
2x + 3y = 58
+ 
 _________________
 –2y + 3y = –52 + 58
 y = 6
 –2y e +3y resultam em y e –52 + 58 resultam em 6.
 Logo, y = 6 e, substituindo em uma das equações, temos x = 20.
 Vamos observar:
 x + y = 26
 x + 6 = 26
 x = 26 – 6
 x = 20
É possível também resolver sistemas do primeiro grau nos quais alguns valores são 
representados na forma de frações ou na forma decimal. A resolução é semelhante aos exemplos 
apresentados.
1.6.2 Inequações do primeiro grau
Toda sentença matemática aberta por uma desigualdade é chamada de inequação. As 
inequações do primeiro grau com uma variável podem ser representadas das seguintes formas:
ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b ≥ 0 ax + b ≤ 0
Os números a e b devem ser reais e diferentes de zero. Os símbolos utilizados são: maior >, 
menor <, maior ou igual ≥ e menor ou igual ≤. Importa compreender que, enquanto as equações 
são igualdades, as inequações fazem exatamente o papel inverso. Exemplos:
 5x – 4 > 0 3x – 9 ≤ 0
5
3
8 0x � �
Vamos observar uma aplicação:
Pedro tem duas vezes a idade que Marcelo terá daqui a 8 anos, mas a idade de Pedro não 
supera o triplo da idade de Marcelo. Quantos anos Pedro tem?
Matemática aplicada22
Resolução:
x é a idade de Marcelo
2(x + 8) é a idade de Pedro
Temos ainda que a idade de Pedro não supera o triplo da idade de Marcelo:
3x ≥ 2(x + 8)
3x ≥ 2x + 16
3x – 2x ≥ 16
x ≥ 16
A idade de Pedro é maior que 16 anos.
1.7 Equações do segundo grau
A diferença fundamental entre uma equação do primeiro grau e uma do segundo grau é o 
expoente. Toda equação do segundo grau terá um termo ao quadrado, ou seja, o expoente 2. Pode 
ser chamada também de equação polinomial do segundo grau ou equação quadrática.
As equações do segundo grau têm muitas aplicabilidades. Foram e são fundamentais nos 
estudos da geometria, das progressões matemáticas, da engenharia e navegação. Em física, por 
exemplo, são muito utilizadas nos cálculos para lançamento de projéteis. Bháskara, Sridhara e 
Bramagupta, na Índia, criaram a fórmula matemática, e o francês François Viète criou o método 
resolutivo, com símbolos e letras.
Uma equação na forma ax2 + bx + c = 0, sendo a ≠ 0, é denominada equação de segundo 
grau. Vejamos alguns exemplos:
2x2 + 7x – 5 = 0 (forma completa ou normal)
Onde:
a = 2
b = 7
c = –5
5x2 – x = 0 (forma reduzida)
Onde:
a = 5
b = –1
c = 0
2x2 – 48 = 0 (forma reduzida)
Fundamentos de matemática básica 23
Onde:
a = 2
b = 0
c = –48
Uma equação completa apresenta sempre três termos:
a = coeficiente x2
b = coeficiente x
c = termo independente
Nas equações incompletas, há os termos a e b ou os termos a e c. Nesses casos, a resolução 
será muito mais simples, como veremos a seguir.
• Raízes da equação do segundo grau completa
Quando resolvemos uma equação do segundo grau, estamos de fato buscando suas raízes. As 
raízes são os números reais que substituirão as incógnitas de uma equação, chamadas de conjunto 
verdade ou conjunto solução.
Para solucionar equações completas do segundo grau podemos utilizar a Fórmula de 
Bháskara, que é dada por:
x b
a
�
� � � �
2
Sendo que ∆ = b2 – 4ac
Como exemplo, vamos resolver a equação: x2 + 3x – 10 = 0. Consideremos a = 1, b = 3 e 
c = –10.
∆ = b² – 4ac
3² – 4 . 1 . (–10) = 9 + 40 = 49
x � � � � �3 49
2
49
x ’� � � �3 7
2
2   x " �
� �
� �
3 7
2
5
Agora vamos observar outras resoluções possíveis para equações incompletas.
Dada a equação x2 – 49 = 0, em que a = 1 e c = 49, temos:
x2 = 49
x = 49
x = +– 7
Matemática aplicada24
Dada a equação x2 – 12x = 0 , em que a = 1 e b = 12. Coloque x em evidência, pois é o fator 
comum a todos os termos:
x (x – 12) = 0
Logo, x' = 0 ou x – 12 = 0
x" = 12
Quando os coeficientes não são dados pelos tradicionais a, b e c, mas usadas outras letras 
ou símbolos, as equações são chamadas de literais. Suas raízes serão calculadas em função de outra 
letra, que poderá assumir diferentes valores. Exemplo:
4x2 – 16j2 = 0
x2 = 4j2
x j= 4 2
x = +– 2j
Hoje, temos programas computacionais que resolvem em segundos equações complexas 
do segundo grau. Geralmente são suplementos em programas de administração, engenharia, 
aeronáutica e astronomia. Aevolução dos estudos que envolvem as equações, em especial aquelas 
do segundo grau, permitiram maior precisão nos cálculos e melhora nos resultados de estudos 
científicos.
1.7.1 Equações irracionais
Dentre os principais tipos de equações, a irracional é a mais complexa, porque aliamos todos 
os conceitos já utilizados em equações com os conceitos de potenciação e radiciação, o que torna a 
resolução mais trabalhosa. Toda equação irracional apresenta sempre um radicando e, dentro dele, 
uma incógnita que necessita ser resolvida.
A solução das equações irracionais permitirão resolver problemas que envolvam geometria 
espacial, como cálculos de volumes, geometria descritiva, geometria analítica, diferencial e estudos 
de engenharia.
Para resolver uma equação irracional, o primeiro passo é tentar transformá-la em uma 
equação racional. Isso acontece quando elevamos todos os elementos da equação a uma potência 
viável. Transformada em uma equação racional, é hora de obter as raízes da equação e ver se podem 
ser aceitas ou não, ou seja, verificar as igualdades. Exemplos:
a) x � �19 9
Solução:
x �� � �19 92 2
x + 19 = 81
x = 81 – 19
x = 62
Verificação: 
62 19 81 9� � �
Logo, V = (62)
Fundamentos de matemática básica 25
Observe que, à esquerda, temos a solução da equação obtendo o valor de x. À direita, 
fazemos a prova real e vemos que o número que realmente satisfaz a equação é 62. A verificação 
tem o objetivo de validar ou não os resultados.
b) 6 0� � �x x
Solução:
6
6
2 2
� � �
�� � � �� �
x x
x x
6 – x = –x2
x2 + x – 6 = o
x' = 2 x" = –3
Verificação:
6 2 2 0
4 0
4 2 0 2 2 0
6 3 3 0
9 3 0 3 3 0
� � �� � �
� � �
� � � � �
� �� � � �� � �
� � � � � � �
F
V
Logo, V = {–3}; note que 2 é uma raiz que não satisfaz essa equação irracional. Isso porque, 
quando fazemos a verificação dos resultados à direita, observamos que os valores não representam 
os resultados das raízes da equação.
1.7.2 Sistemas do segundo grau
Vimos nesse capítulo como são estruturados e resolvidos os sistemas do primeiro grau, 
formados apenas por equações do primeiro grau ou de grau 1. Agora vamos resolver os sistemas 
do segundo grau.
Na matemática aplicada, os sistemas do segundo grau são utilizados para a resolução de 
problemas que envolvam duas ou mais incógnitas. Podem ser aplicados na solução de exercícios 
de raciocínio lógico quantitativo, progressões geométricas e aritméticas, correlações lineares e 
quadráticas, entre outras necessidades.
Os sistemas do segundo grau podem envolver não apenas equações do segundo grau, mas 
também do primeiro grau. Quando representados graficamente, se envolverem somente equações 
do segundo grau, teremos parábolas. Se houver uma equação do primeiro grau, teremos parábola 
e reta.
Exemplo:
x2 + y2 = 10 → equação do segundo grau
x + y = 4 → equação do primeiro grau
Para a solução, o primeiro passo é isolar x ou y em uma das equações. Escolhemos a segunda 
equação pela simplicidade, pois teremos que usá-la em um processo de substituição.
x = 4 – y
Matemática aplicada26
Substituindo na primeira:
x2 + y2 = 10
(4 – y)2 + y2 = 10
(4)2 – 2 . 4 . y + (y)2 + y2 = 10
16 – 8y + 2y2 – 10 = 0
6 – 8y + 2y2 = 0
Podemos dividir toda a equação por 2, tendo:
y2 – 4y + 3 = 0
Agora devemos resolver normalmente a equação do segundo grau:
y = 4 4
2
� �
y' = 3 e y" = 1
Para determinar o valor de x, substituímos na outra equação:
Para y = 3
x = 4 – y
x' = 4 – 3
x' = 1
Para y = 1
x = 4 – y
x" = 4 – 1
x" = 3
Logo, teremos como solução os pares ordenados: {(3; 1) e (1; 3)}.
Como exemplo, vamos determinar dois números cuja soma é igual a 1 e o produto é igual 
a –12:
x + y = 1 e x . y = –12
Substituindo: x = 1 – y
Logo, (1 – y) . y = –12
y – y2 + 12 = 0
Multiplicamos por –1:
y2 – y – 12 = 0
y’ = 4 e y’’ = –3
Para y = 4
x = 1 – y
x’ = 1 – 4
x’ = –3
Fundamentos de matemática básica 27
Para y = –3
x = 1 – y
x’’ = 1 – (–3)
x’’ = 1 + 3
x’’ = 4
Solução = {(–3; 4) e (4; –3)}
Para saber um pouco mais
Boyer e Merzbach (2012), em sua obra História da matemática, descreve 
que Bháskara contribuiu muito para a matemática e a astronomia. Foi 
um dos mais importantes cientistas do século XVII, inclusive chefiou 
um laboratório de astronomia na Índia. Bháskara teria criado inúmeras 
fórmulas que envolviam conhecimentos de matemática e física, sendo 
uma das mais conhecidas a utilizada para encontrar as raízes de uma 
equação quadrática. Em alguns países como França, Inglaterra e Grécia, 
contudo, há controvérsias que apontam outros matemáticos como 
responsáveis pelo desenvolvimento dessa teoria, como François Viète e 
René Descartes. Vale a pena, a quem atua na área, conhecer a história da 
matemática e suas referências.
Considerações finais
Todos os conceitos apresentados nesse capítulo compõem os fundamentos necessários 
para o início dos estudos de matemática aplicada. Além de conhecê-los e entender suas 
aplicabilidades, é importante exercitá-los. Os exercícios ajudarão a diferenciar e fixar os 
diversos modelos, identificar as propriedades, os casos especiais e formar, assim, uma boa 
base matemática.
Ampliando seus conhecimentos
Cada vez mais o acesso aos conteúdos de matemática é facilitado com a entrada de 
novos autores, novas metodologias e recursos visuais. A internet é uma fonte excelente 
de pesquisa, com textos e vídeos preparados pelos professores para facilitar a ampliar 
a aprendizagem. A seguir, algumas dicas relacionadas aos assuntos abordados para seu 
aprofundamento.
• SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: https://www.somatematica.com.br/. Acesso em: 22 
ago. 2019.
Matemática aplicada28
Nesse site você encontrará um conjunto de vídeos sobre potenciação e radiciação, com 
conceitos, aplicações e muitos exercícios resolvidos. É recomendável explorar os materiais 
disponibilizados.
• FUNDAMENTOS da matemática elementar. São Paulo: Editora Saraiva. (Coleção)
Coleção interessante para pesquisa, sempre atualizado e enriquecido com conceitos e 
novos exercícios.
• BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. Trad. de Helena Castro. 
São Paulo: Editora Blucher, 2012. (Tradução da 3. ed. Americana).
Obra de referência para conhecer os matemáticos citados nesse capítulo e suas 
contribuições, em especial para o estudo das equações.
Atividades
1. Faça a redução a uma potência:
a) [(–53)4]
b) 2
7
2 3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
2. Resolva as expressões a seguir:
a) [42 + (6 – 3)2] : (10 – 5)2
b) [(–32)2]
c) 43 : 4 . 44 : 4 . 45 : 4 : 46 – 4
d) 4 4 2 4−
e) 1
6
6
4
2⋅
f) 1 493 +
g) 16 54
125
33
3
+
h) 10 6
5 3
3. Resolva as equações do primeiro grau a seguir:
a) 1
5
2 3
2
7x x� � � �
Fundamentos de matemática básica 29
b) 16
5
7 7
4
3x x� � �
c) 20 4 20y x� � , sendo y = 8
4. Ao fazer a soma das despesas do mês, Pedro somou duas vezes algumas contas da padaria, 
apresentando um gasto de R$ 634,00. Se ele não tivesse cometido esse engano, o valor 
encontrado seria de R$ 498,00. Portanto, qual é o valor correto dos gastos?
5. A soma das idades de Pedro e João é de 64 anos. Sabendo que a idade de João é o triplo da 
idade de Pedro, qual é a idade de cada um deles?
6. Resolva os sistemas e inequações do primeiro grau:
a) x + y = 14 e 2x + 3y = 48
b) 3x + 4y = 51 e x – y = 10
c) 3(1 – 2x) < 2(x + 1) + x – 7
7. Resolva os exercícios de proporção e regra de três simples e composta.
a) Considere que 10 operários, trabalhando 7 horas por dia durante 15 dias, constroem 
300 metros de um muro com nível de dificuldade 2. Se aumentarmos o nível de 
dificuldade para 3, com 12 operários trabalhando 8 horas por dia, durante 12 dias, 
quantos metros de muro aproximadamente serão feitos?
b) Uma fábrica produz lotes de 500 aparelhos de ar-condicionado por mês, trabalhando 
com 20 operários durante 30 dias, 7 horas por dia. Se a fábrica aumentar a produção para 
600 aparelhos e diminuir o prazo para 20 dias, 35 operários teriam de trabalhar quantas 
horas?
8. Resolva as equações irracionaise os sistemas do segundo grau:
a) 9 14 2x � �
Determine o valor de x.
b) 2 3 5x x� � �
Determine o valor de x.
c) x y2 2 20� �
 x + y = 6
2
Estudo dos conjuntos
Começamos este capítulo com a seguinte indagação: por que estudar a teoria dos conjuntos?
O estudo da teoria dos conjuntos é um dos primeiros conteúdos apresentados no ensino 
médio. Apesar de parecer simples, sua compreensão formará a base para o entendimento dos 
conteúdos seguintes, como as funções.
A maioria dos temas da matemática evoluiu a partir dos estudos de muitos pesquisadores. 
No caso específico da teoria dos conjuntos, seu início, em meados de 1850, envolveu pesquisas de 
vários matemáticos na Inglaterra, França e Índia principalmente, culminando na publicação de um 
artigo por Georg Cantor, que se tornou referência na área. Segundo Cantor (1874), um conjunto “é 
uma coleção de objetos claramente distinguíveis uns dos outros, chamados elementos, e que pode 
ser pensada como um todo”. Por sua relevância, esse artigo influenciou outros estudiosos em toda 
a Europa.
Em seus estudos, Cantor provou, por exemplo, que uma coleção de números reais e uma 
coleção de números inteiros positivos não são contáveis, mas ordenáveis1. Assim, a partir dessas 
novas ideias, os conceitos de progressões aritméticas e geométricas foram revistos. Neste capítulo, 
portanto, veremos a definição e importância da teoria dos conjuntos.
2.1 Conceitos fundamentais
Por volta de 1900, a teoria dos conjuntos de Georg Contor evoluiu para uma série de estudos 
paralelos cheios de paradoxos e contradições estudados até hoje. Por paradoxo compreendemos 
um pensamento que reavalia o senso comum, as definições e expectativas. Tornam-se, por isso, 
argumentos críticos interessantes que impulsionam os estudos de lógica e filosofia, incluindo a 
matemática.
Em 1901, o filósofo e matemático Bertrand Russel demonstrou um paradoxo que expôs 
diretamente uma falha nos fundamentos da teoria dos conjuntos. Enquanto esse fundamento 
indicava que um conjunto pode conter sempre outros conjuntos, inclusive a si mesmo, Russel provou 
que essa não era uma verdade para todos os conjuntos, o que levou os cientistas a repensarem a 
lógica moderna.
Para melhor compreender o que são conjuntos, podemos pensar em 
exemplos como o conjunto de aviões de uma companhia aérea ou o 
conjunto das árvores de uma floresta tropical.
1 John O’Connor e Edmund Robertson (1998) descrevem detalhadamente esse período histórico, entre outros da 
matemática, em seu projeto MacTutor History of Mathematics Archive, que reúne informações de pesquisadores 
relevantes na área. Disponível em: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/. Acesso em: 2 set. 2019.
Matemática aplicada32
2.1.1 Relações entre elemento, pertinência, inclusão e simbologia
Para avaliar se um elemento também pertence ou não a um conjunto que se compõe de 
outros elementos com as mesmas características, são úteis as relações de pertinência e inclusão em 
conjuntos. A seguir, apresentamos ambas as relações.
Relação de pertinência
Segundo Iezzi e Murakami (2013), a noção de pertinência entre elemento e conjunto é 
chamada de conceito primitivo e não necessita de definição. Para demonstrar que um elemento 
pertence a um conjunto, usamos o símbolo (pertence). Se esse elemento não pertencer a um 
conjunto, no entanto, indicamos pelo símbolo (não pertence). Ainda nas relações de pertinência, 
encontram-se as definições de (existe) e (não existe).
Resumindo, podemos dizer que elemento é um dos itens que compõem o conjunto – 
peroba, por exemplo, é um elemento do conjunto de árvores de uma floresta – e pertinência é a 
característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Vejamos:
• José Pedro pertence ao conjunto dos alunos de um curso.
• Dentre os ossos do corpo humano, existe um de nome esterno.
Relação de inclusão
A relação entre conjuntos é chamada de inclusão. Utilizamos a relação de inclusão para 
demonstrar quando todos os elementos de determinado conjunto pertencem ou não a outro 
conjunto. Para isso, existem os símbolos de inclusão:
 : está contido
 : não está contido
 : contém
: não contém
É válido observar que as relações de pertinência só ocorrem entre um elemento e um 
conjunto, e as relações de inclusão só ocorrem entre conjuntos.
Há uma simbologia bastante ampla no estudo da teoria dos conjuntos, sendo importante 
conhecê-la. Existem também os elementos de complementação que simplificam frases, palavras ou 
expressões, a saber:
 : para todo ou qualquer que seja
|: tal que
É interessante observar o volume de símbolos que compõem a teoria dos conjuntos. Isso 
talvez torne o entendimento de toda a teoria e aplicabilidade um pouco mais complexo. Além dos 
símbolos de pertinência, inclusão e complementares, temos os símbolos operacionais e os símbolos 
que definem cada conjunto. Vejamos, a seguir, os símbolos das operações com conjuntos.
Estudo dos conjuntos 33
Figura 1 – A B: A união B
A
B
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 2 – A B : A intersecção B
A
B
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 3 – A – B: Diferença de A com B*
A
B
*A figura também pode ilustrar a diferença de B com A (B – A).
Fonte: Elaborada pelo autor.
Esses símbolos são utilizados na comparação entre quantidades de elementos de diferentes 
conjuntos observados ao mesmo tempo. São também chamados de elementos lógicos. A seguir, 
dada a sua relevância, apresentamos os símbolos comparativos de elementos entre conjuntos. 
a < b: a menor que b
a ≤: a menor ou igual a b
a > b: a maior que b
a ≥ b: a maior ou igual a b
Para complementar o estudo e aplicações dos símbolos na teoria dos conjuntos, vamos 
identificar cada tipo de conjunto numérico e suas características principais.
Matemática aplicada34
Quadro 1 – Conjuntos numéricos e características
Símbolo Característica
N
Conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}
O número zero é o primeiro elemento desse conjunto. O sucessor de cada número nesse conjunto é 
igual à soma dele mesmo com uma unidade, ou seja, o sucessor de 3 será 4, pois 3 + 1 = 4.
Para representar o conjunto dos números naturais não nulos (ou seja, diferentes de zero), deve-se 
colocar um * ao lado do símbolo: N*.
Z
Conjunto dos números inteiros: {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3...}
Os números negativos, junto com os números naturais, formam o conjunto dos números inteiros.
Q
Conjunto dos números racionais: { ..., –1, –1, 2, 0, 1, 5/4…}
Dividindo um número inteiro por outro número inteiro, tem-se um número racional. Um número 
racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária.
A letra Q vem da palavra inglesa quotient, que significa quociente, já que um número racional é um 
quociente de dois números inteiros.
Q’= I
Conjunto dos números irracionais: { ..., v2, v3, 3,1416...}
Não podem ser obtidos pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais, mas 
não racionais. Esses números possuem  infinitas casas depois da vírgula, que não se repetem 
periodicamente. O número irracional mais conhecido é o pi (π).
R
Conjunto dos números reais: N Z Q I
O conjunto dos números reais é formado por todos os números racionais e irracionais, e indicado 
por R. Indicamos por R* o conjunto dos números reais sem o zero, ou seja, o símbolo R* é usado para 
representar o conjunto dos números reais não nulos:
R* = R – {0}
Fonte: Iezzi; Murakami, 2013, p. 172-179.
2.2 Tipos especiais de conjuntos
Além dos conjuntos numéricos, encontram-se nomenclaturas específicas para tipos especiais 
de conjuntos, como os destacados a seguir.
Conjunto vazio
É o conjunto representado por Ø ou {}, e não possui elementos.
O conjunto vazio também pode ser chamado de conjunto nulo. Deve-se usar uma 
representação simbólica ou outra, nunca as duas juntas.
Subconjuntos
O subconjunto também é um conjunto, entretanto uma característica fundamental dele é 
estar totalmente incluído em outro conjunto qualquer.
De um conjunto podemos obterum ou muitos subconjuntos. Há uma maneira simples de 
calcular o número de subconjuntos presente em um conjunto. Imagine que deseja saber quantos 
subconjuntos de duas cores distintas pode-se formar com oito cores; basta calcular: 28, que é igual 
a 256.
Um método rápido para calcular o número de subconjuntos de um conjunto é aplicar 2n, em 
que n é o número de elementos do conjunto. Se todos os elementos de um conjunto que podemos 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/subconjuntos-numericos.htm
Estudo dos conjuntos 35
chamar de D pertencerem a outro conjunto que podemos chamar de E, então D é um subconjunto 
do conjunto E, logo, D E. O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, 
ou seja, Ø D.
Conjunto universo
É o conjunto que possui todos os elementos, de modo que os conjuntos considerados em 
determinado exemplo ou exercício serão subconjuntos de um conjunto maior, chamado conjunto 
universo.
Considere o conjunto A = {2, 6, 7, 8} e o conjunto B = {1, 3, 4, 5, 9}. Nesse caso, temos o 
conjunto universo: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Se operarmos com as representações, vemos: A 
B – união de conjuntos.
Definimos como união dos conjuntos A e B se os elementos pertencentes a A também 
pertencem a B, isto é, A B = {x / x A ou x B}. Por exemplo:
• Dados dois conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7, 8, 9}, a união será juntar todos os 
elementos de A e B em somente um conjunto (não é necessário repetir os elementos 
comuns).
• O conjunto que representará essa união ficará do seguinte modo: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo , então A B = {1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9}.
Figura 4 – Representação A B
A
B
Fonte: Elaborada pelo autor.
Outros exemplos:
• Dados os conjuntos B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, C = {1, 3, 5, 7,9} e D = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter:
a) B C.
b) B C D.
Solução:
a) B C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}.
b) B C D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Para uma representação A B – intersecção de conjuntos –, por sua vez, como intersecção 
dos conjuntos A e B, definimos o conjunto representado por todos os elementos que pertencem a 
A e B simultaneamente, isto é:
A B = { x / x A e x B}
Matemática aplicada36
A intersecção de dois conjuntos equivale a representar somente os elementos que são comuns 
a ambos os conjuntos.
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7, 8, 9}, podemos concluir que a 
intersecção, representada por A B, será o conjunto {5, 6}, que se compõe de elementos que 
aparecem nos dois conjuntos ao mesmo tempo.
Caso dois conjuntos ou mais não tenham elementos comuns, a intersecção entre eles será 
um conjunto vazio.
Figura 5 – Representação A B
A
B
Fonte: Elaborada pelo autor.
• Dados os conjuntos A = {0, 1, 5, 7, 9}, B = {0, 2, 5, 7}, C = {4, 6, 7, 9} e D = {0, 1, 6}, vamos 
definir:
a) A B
b) A C
c) A B D
Solução:
a) A B = {0, 5, 7}
b) A C = {7, 9}
c) A B D = {0}
Definimos como diferença entre A e B (seguindo-se essa ordem) o conjunto representado 
por A – B, formado por todos os elementos de A, mas que não pertencem a B, isto é: A – B = 
{x / x A ou x B}.
Figura 6 – Representação A – B
A
B
Fonte: Elaborada pelo autor.
Estudo dos conjuntos 37
Vejamos um exemplo:
• Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {2, 4, 6}, obtenha:
a) A – B
b) B – A
Solução:
a) A – B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – {2, 4, 6} = {1, 3, 5, 7}
b) B – A = {2, 4, 6} – {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = { Ø }
Nesse contexto, é importante conhecer o princípio da inclusão e exclusão (para dois 
conjuntos). Esse princípio estabelece a propriedade para calcular o número de elementos da união 
de dois conjuntos A e B, em função do número de elementos de A e de B.
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
Definindo:
n(A) = número de elementos do conjunto A;
n(B) = número de elementos do conjunto B;
n(A B) = número de elementos da intersecção;
n(A B) = número de elementos da união.
Por exemplo:
Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, temos:
A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A B = {4, 5, 6, 7}
Pelo princípio da inclusão e exclusão, podemos comprovar que:
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
10 = 7 + 7 – 4 (verdadeiro)
2.3 Produto cartesiano
Chamamos de produto cartesiano o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), em que x 
pertence a A e y pertence a B, formando A . B. Podemos representar também da seguinte forma: A 
. B = {(x, y) / x A e y B}.
Consideremos os conjuntos A = {1, 4} e B = {3, 5, 9}. Temos, então, os pares: A . B = {(1,3), 
(1,5), (1,9), (4,3), (4,5), (4,9)}.
2.3.1 Gráfico cartesiano
O gráfico é uma forma de representarmos os elementos do produto cartesiano, em que os 
elementos de A pertencerão ao eixo x e os elementos de B, ao eixo y. O gráfico será formado pelos 
pontos que pertencem ao produto A . B.
Matemática aplicada38
Considerando, ainda, os conjuntos expostos anteriormente e o produto cartesiano A . B = 
{(1,3), (1,5), (1,9), (4,3), (4,5), (4,9)}, a representação no plano cartesiano será:
Gráfico 1 – Representação A . B
12
10
8
6
4
2
0 2 4
C
B
A
F
E
D
6 8 10 12
Fonte: Elaborado pelo autor.
Ainda, considerando os conjuntos A e B, são possíveis as relações:
B . A = (3,1), (5,1), (9,1), (3,4), (5,4), (9,4)
A . A = (1,1), (1,4), (4,4), (4,1)
B . B = (3,3), (3,5), (3,9), (5,5), (5,3), (5,9), (9,9), (9.3), (9,5)
Vejamos alguns exemplos:
• Considerando os conjuntos A = {1 , 2 , 3} e B = {1, 5}, construa um novo conjunto indicado 
por A . B cujos elementos são pares ordenados formados pelos elementos de A e de B.
Solução:
A . B = {(1,1) , (1,5), (2,1), (2,5), (3,1), (3,5)}
• Dados os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4} e do conjunto B = {2, 3}, como ficam 
A . B e B . A?
Solução:
A . B = {(1, 2); (2, 2); (3, 2); (4, 2); (1, 3); (2, 3); (3, 3); (4, 3)}
B . A = {(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4)}
Estudo dos conjuntos 39
2.3.2 Relações binárias
A relação binária é definida como um subconjunto do produto cartesiano existente entre os 
conjuntos A e B. É sempre um conjunto de pares ordenados, por essa razão chamada binária.
Toda relação binária é um conjunto de pares ordenados, em que o primeiro elemento pertence 
ao conjunto de partida e o segundo elemento pertence ao conjunto de chegada. Por exemplo:
Figura 7 – Relação binária
A
a
b
c
d
A A
a a
b b
c c
d d
Fonte: Elaborada pelo autor.
Vamos supor o conjunto A = {1, 2} e o conjunto B = {3, 4, 5}, com A, B N. O produto 
cartesiano A . B, nesse caso, será dado por:
A . B = {(1,3); (1,4); (1,5); (2,3); (2,4); (2,5)}
Se representarmos cada ponto de A . B geometricamente no plano cartesiano, também 
chamado de plano (x, y), observamos que essa definição fica mais clara. Isso porque todos os 
pontos desse exemplo serão indicados da seguinte forma:
Gráfico 2 – Relação Binária A = {1, 2} . B = {3, 4, 5}
5
y
x
4
3
2
1
0 1 2
Fonte: Elaborado pelo autor.
Vimos, portanto, que uma relação binária é um conjunto em que todos os pares ordenados 
são pertencentes ao conjunto cartesiano. Importa reforçar ainda que o produto cartesiano é o 
resultado de pares ordenados, nos quais a abscissa deve pertencer ao conjunto A e a ordenada, ao 
conjunto B.
Matemática aplicada40
2.4 Intervalos
Segundo Dante (2013), outra representação dos conjuntos pode ser feita com o uso de 
intervalos, que são subconjuntos do conjunto R, determinados por desigualdades. Os intervalos 
são classificados em abertos e fechados, podendo serem representados da seguinte forma:
• Intervalo aberto: ]a,b[ ou {x Є R / a < x < b}
• Intervalo fechado: [a,b] ou {x Є R / a ≤ x ≤ b}
• Intervalo fechado em a e aberto em b: [a,b[ ou {x Є R / a ≤ x < b}
• Intervalo aberto em a e fechado em b: ]a,b] ou {x Є R / a < x ≤ b}
• Semirreta esquerda aberta ou fechada em a: ]– ∞, a[ ou ] – ∞, a]
• Podendo ser representado {x Є R / x < a} ou {x Є R / x ≤ a}
• Semirreta direita aberta ou fechada em a: ]a, + ∞[ ou [a,+ ∞[
• Podendo ser representado {x Є R / x > a} ou {x Є R / x ≥ a}
Observe as representações na reta real:
Figura 8 – Representação gráfica de reta real
]a, b[ 
a b
[a, b] 
a b
[a, b[ 
a b
]a, b] 
a b
]–∞, a] 
a
]a, + ∞[ 
a
Fonte: Iezzi; Murakami, 2013.
A seguir, apresentamos um exemplo da representação gráfica do intervalo {x Є R / –3 < x ≤ 3}.
Figura 9 – Representação gráfica de intervalo
–3 3
Fonte: Iezzi; Murakami, 2013.
Vamos facilitar a compreensão por meio de exemplos:
1. Determine a diferença entre os intervalos reais A – B: 
A = {x R / –3 < x ≤ 4}
B = {x R / 1 ≤ x < 7}
Logo, A – B ?
–3 4
1 7
Estudo dos conjuntos 41
Portanto, A – B é:
–3 4
Então, –3 < x < 1, isto é, A – B = {x R / –3 < x < 1}.
2. Represente na reta real os intervalos:
a) ]–∞, 2]
2
b) ]1, 5[
51
c) {x R / 3 < x ≤ 7}
73
Os intervalos na reta real também são muito utilizados para representar os resultados das 
inequações. Vimos, portanto, que uma reta na qual cada um dos infinitos números reais pode ser 
representado é chamada de reta real. Vimos também que em toda reta real os números são sempre 
organizados de maneira crescente, do menor para o maior.
2.5 Exercícios resolvidos
Para compreendermos melhor os conceitos apresentados neste capítulo, vamos observar a 
seguir alguns exercícios resolvidos.
1. Uma docente de estatística aplicou em uma turma uma enquete rápida de modelo quantitativo 
para saber por quais clubes os alunos torciam e chegou ao seguinte resultado:
23 alunos torcem para o São Paulo.
23 alunos torcem para o Palmeiras.
15 torcem para o Athletico Paranaense.
6 torcem para o São Paulo e Athletico Paranaense.
5 torcem para o Athletico Paranaense e Palmeiras.
Vamos chamar de A o conjunto dos torcedores do São Paulo, de B o conjunto dos torcedores 
do Palmeiras e de C o conjunto dos torcedores do Atlético Paranaense, logo, A B C = Ø. 
Quantos alunos participaram da pesquisa?
Solução:
A = São Paulo
B = Palmeiras
C = Athletico Paranaense
18 + 5 + 6 + 4 + 17 = 50, logo, 50 alunos participaram da pesquisa.
Matemática aplicada42
Figura 10 – Torcedores do São Paulo, Palmeiras e/ou Athletico Paranaense.
17 180
0
56
4
Fonte: Elaborada pelo autor.
2. Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7} e C = {4, 5, 6, 8}, descubra o resultado 
de: (A – C) (B – C).
Solução:
A – C = {0, 1, 2, 3} → Esse é o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B.
B – C = {7} → Esse é o conjunto de todos os elementos que pertencem a B e não pertencem 
a C.
Logo, a intersecção entre (A – C) (B – C) é vazia, visto que nenhum número se repete 
nesses dois conjuntos.
3. Seja A = {1, {3}, {1,3}}, considere as afirmações e avalie se são verdadeiras ou falsas.
(I) 1 A
(II) 3 A
(III) Ø A
(IV) {1,3} A
Solução:
Para chegar à resposta correta dessa questão, lembre-se das relações de pertinência e das 
relações entre subconjunto e conjunto.
Relação de pertinência: somente para relacionar o elemento e seu 
conjunto. Relação de subconjunto e conjunto, usamos o símbolo 
(lê-se: está contido).
Analisaremos item a item com muita atenção:
(I) Veja que 1 é elemento de A e o símbolo usado (pertence) para relacionar está correto, 
então o item I é verdadeiro.
Estudo dos conjuntos 43
(II) Note que 3 não é elemento do conjunto A, portanto, não pertence ao conjunto A. Logo, 
o item II não está correto. Observe que {3} é elemento de A. Há uma diferença entre 3 e 
{3} – enquanto 3 indica que o elemento 3 não pertence ao conjunto A, {3} indica o conjunto 
composto pelo elemento 3, e este conjunto pertence a A. O item IV é semelhante.
(III) Uma das propriedades de inclusão (por definição de subconjunto) diz o seguinte: o Ø 
(vazio) está contido em qualquer conjunto, portanto o item III está correto.
(IV) Aqui vemos que {1,3} é um elemento de A e não um subconjunto, logo, a afirmação 
não está correta, pois deveria ser usado o símbolo de pertence. Nesse caso, o símbolo estaria 
correto se, em vez de {1,3}, tivéssemos {{1,3}} – observe que uma chave a mais indica o 
subconjunto composto pelo elemento {1,3}.
4. Sabendo que x = {1, 2, 3, 4}, y = {4, 5, 6} e z = {1, 6, 7, 8, 9}, podemos afirmar que o conjunto 
(x y) z é dado por?
Solução:
O exercício pede o conjunto (x y) z, “x intersecção, y união z”.
A relação de intersecção antecede a união e está dentro de parênteses; por isso é a operação 
realizada primeiro.
(x y), “x intersecção y” é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a x e também 
a y, que são comuns aos dois conjuntos.
x = {1, 2, 3, 4}, y = {4, 5, 6}
(x y) = {4}
Todos os elementos dos conjuntos fazem parte do conjunto união e não há necessidade de 
se repetir o mesmo elemento.
(x y) = {4} e z = {1, 6, 7, 8, 9}
(x y) z = {1, 4, 6, 7, 8, 9}
5. Felipe e Márcia têm uma filha chamada Mariana. Eles se programam para viajar sempre no 
mês de janeiro. Felipe sai de férias do escritório nos dias 2 a 28, e Márcia, 5 a 30. As férias 
de Mariana na faculdade ocorrem nos dias 1º a 25. Como eles poderão viajar de modo que 
possam otimizar os três calendários?
Solução:
Observamos a necessidade de fazer uma intersecção:
Felipe = {2, 3, 4, 5, …, 25, 26, 27, 28}
Márcia = {5, 6, 7, …, 25, 26, 27, 28, 29, 30}
Mariana = {1, 2, 3, 4, 5, …, 25}
Note que Márcia só pode viajar a partir do dia 5, assim como podem Felipe e Mariana. 
Observe que a família só poderá estar unida no período de {5, 6, 7, …, 23, 24, 25}, ou seja, 
durante 21 dias. Lembre-se de não excluir o dia 5, pois está incluso no período de férias.
Matemática aplicada44
6. Em uma turma de 30 alunos do ensino médio, 16 gostam de Língua Portuguesa e 20 gostam 
de Geografia. O número de alunos dessa turma que gostam de Língua Portuguesa e Geografia 
é igual a quanto?
Solução:
Sejam Língua Portuguesa (LP) e Geografia (G), podemos calcular:
n(LP G) = soma dos alunos que gostam de ambas as disciplinas; isso é uma união.
n(LP G) = número de alunos que gostam de Língua Portuguesa e Geografia (intersecção).
Assim, temos: n(LP) = 16, n(G) = 20 e n(LP U G) = 30.
n(LP G) = n(LP) + n(G) – n(LP G), fazendo a substituição dos valores.
30 = 16 + 20 – n(LP G) ↔ n(LP G) = 36 – 30 ↔ n(LP G) = 6.
Nos nossos cálculos, consideramos que todos os alunos (30) gostam de pelo menos uma 
disciplina, certo? Em momento algum, no entanto, o enunciado afirma isso. Você está de 
acordo?
Podemos ter alguns alunos que não gostam de nenhuma dessas disciplinas, o que aumentaria 
o número de alunos que gostam de ambas.
Exemplos:
Suponha que 1 aluno não goste de Língua Portuguesa nem de Geografia:
30 – 1 = 29. Isso quer dizer que 29 alunos gostam de Língua Portuguesa ou Geografia.
Refazendo os cálculos para o valor 29, teremos: 36 – 29 = 7 alunos gostam de Língua 
Portuguesa e Geografia. Portanto, o número de alunos que gostam de Língua Portuguesa e 
Geografia é menor ou igual a 30, pois pode haver alunos que não gostam de ambas.
n(LP G) ≤ 30.
n(LP) + n(G) – n(LP G) ≤ 30.
16 + 20 – n(LP G) ≤ 30 ↔ 36 – 30 ≤ n(LP G) ↔ 6 ≤ n(LP G) ou n(LP G) ≥ 6.
Por essa razão, o número de alunos que gostam de Língua Portuguesa e Geografia será no 
mínimo 6.
7. Em uma pesquisa de mercado para um cliente, observa-se que 15 consumidores utilizam 
pelo menos um dos produtos: shampoo ou condicionador. Sabendo que 10 dessas pessoas 
não usam condicionador e que 2 não usam shampoo, qual é o número de consumidores que 
utilizam ambos os produtos?
Solução:
Se 15 consumidores utilizam pelo menos um dos produtos, podemos ter:
10 consumidores não usam condicionador, então usam shampoo.
Estudo dos conjuntos 45
Total de pessoas que usam só shampoo = 10
2 consumidores não usam shampoo, então usam condicionador.
Total de consumidores que usam só condicionador = 2
Vamos chamar de x o número de consumidores que usam os dois produtos:
(consumidores que usam só shampoo) + (consumidores que usam 
só condicionador) + x(ambos) = 15
10 + 2 + x = 15 ↔ x = 3 consumidores
Considerações finais
É pertinentee interessante observar como a teoria dos conjuntos revolucionou a matemática 
moderna. Os conceitos de funções, de progressões aritméticas, geométricas e muitos outros de 
estatística, como seleção e organização de informações, representações gráficas e correlações, têm 
como base fundamental a teoria dos conjuntos. Além de Cantor, outros matemáticos foram 
importantes nessa teoria, como o inglês John Venn, que, para facilitar o entendimento das relações 
de união e intersecção entre conjuntos e seus elementos, criou os chamados Diagramas de Venn2.
Ampliando seus conhecimentos
Para aprofundar seus estudos da teoria dos conjuntos, seguem algumas indicações para 
complementá-los.
• Matematiques. Disponível em: http://www.matematiques.com.br/. Acesso em: 19 set. 
2019.
A teoria dos conjuntos foi fundamental nos cálculos das indústrias para a produção, por 
exemplo, de automóveis, DVDs e computadores. Fórmulas e mais fórmulas utilizando 
essa teoria foram desenvolvidas até se chegar a um modelo de ampla aplicabilidade. Nesse 
site, você pode conhecer um pouco mais sobre a teoria dos conjuntos e outros assuntos 
relacionados à matemática na prática.
• O HOMEM que viu o infinito (The man who knew infinity). Direção: Matt Brown. Reino 
Unido: Diamond Films, 2015. 1 filme (108 min.).
O filme apresenta a história real de Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920), um dos 
maiores gênios e mais influentes matemáticos do século XX. De origem humilde e sem 
formação acadêmica, Ramanujan contribuiu para a matemática com diversos trabalhos, 
entre eles a teoria dos conjuntos, números e séries infinitas.
2 “Diagrama de Venn é um sistema de organização de conjuntos numéricos, onde os elementos são agrupados em 
figuras geométricas, facilitando a visualização da divisão feita entre os diferentes grupos” (SIGNIFICADOS, 2018).
Matemática aplicada46
Atividades
1. Durante cinco anos, um cavalo deve tomar pelo menos duas vacinas para se manter saudável. 
Então, um haras vacinou todos os seus cavalos, 80% contra a raiva e 60% contra o tétano. 
Determine o percentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças equinas.
2. Os candidatos L, M e N disputaram na sede do partido a liderança em 2019. Cada membro 
votou apenas em sua preferência. Houve 100 votos para L e M, 80 votos para M e N, e 20 
votos para L e N. Qual foi o resultado dessa eleição?
3. Considerando os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4} e C = {4, 5}, 
determine (U – A) (B C).
4. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 5}, determine o conjunto A – B. É possível que 
seja um conjunto vazio ou não?
5. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}, então o número de elementos de A B é 
igual a?
3
Funções: gráficos e aplicações
Podemos dizer que função é um caso particular de relação entre os elementos de dois 
conjuntos A e B, em que cada elemento do conjunto A se relaciona com somente um elemento do 
conjunto B. Dizemos que é um caso particular porque nem todas as relações são funções, apenas 
aquelas que se enquadram nessa definição.
Se em um barzinho para um happy hour, por exemplo, o garçom explica que uma tulipa 
custa R$ 3,00, porém 10 custarão R$ 25,00, entenderemos que o valor de y a ser pago para o garçom 
vai depender da quantidade x de tulipas que as pessoas beberem.
Logo, o valor y será obtido de acordo com a quantidade x consumida. Podemos dizer que 
y = 3,00 . x, ou ainda, y = f (x). Assim, acabamos de criar uma função.
Da mesma forma, à medida que o preço do carro sobe, o valor do consórcio também sobe – 
portanto, o valor do consórcio sobe em função do valor do carro, de modo que podemos dizer que 
y se modifica em função de x.
Observe que o estudo das funções será relevante para a resolução de situações-problema 
presentes na matemática aplicada. Por isso, um dos objetivos do estudo deste capítulo em relação 
às funções é partir de informações que já sabemos para aquelas a conhecer.
3.1 Conceito de função
As funções matemáticas são conceitos muito presentes em nosso cotidiano. Quando 
analisamos, por exemplo, fenômenos econômicos, muitas vezes utilizamos essas funções para 
interpretá-los e descrevê-los. As funções são usadas como ferramentas que ajudam na resolução 
de problemas.
Vejamos a seguir, na Tabela 1, o resumo dos preços médios de um produto em Curitiba 
durante seis bimestres, no decorrer de um ano.
Tabela 1 – Preço do produto “X” em Curitiba
Bimestre (t) Bim. 1 Bim. 2 Bim. 3 Bim. 4 Bim. 5 Bim. 6
Preço (p) R$ 6,70 6,75 6,80 6,88 6,95 7,01
Fonte: Elaborada pelo autor.
A cada bimestre, observamos um preço para o produto “X”. Logo, podemos afirmar que cada 
preço (p) está associado a um bimestre (t). O preço, portanto, vai depender do bimestre escolhido.
Nesse caso, podemos também substituir cada bimestre por um número, como uma associação 
entre duas variáveis numéricas. Vejamos a Tabela 2 a seguir.
Matemática aplicada48
Tabela 2 – Preço do produto “X” em Curitiba com variáveis numéricas
Bimestre (t) 1 2 3 4 5 6
Preço (p) R$ 6,70 6,75 6,80 6,88 6,95 7,01
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observe que cada valor da variável “bimestre” está associado a um único valor da variável 
“preço”; é isso que caracteriza uma função matemática.
A variável t, nesse caso, é chamada de independente, e a variável p é chamada de dependente. 
A variável t independente é o domínio, e a variável p dependente é a imagem. Vamos ver essas 
informações no Gráfico 1, a seguir.
Gráfico 1 – Representação do preço do produto “X” em Curitiba
7,01
6,98
6,85
6,73
6,07
6,75
6,08
6,88
6,95
6,06
Pr
eç
o
Bimestre
1 2 4 5 6
7,01
Fonte: Elaborado pelo autor.
Observamos, então, que o eixo y representa a imagem (variável preços) e o eixo x representa 
o domínio (bimestres). O resultado gráfico é uma correlação ou função linear. Podemos dizer 
também que trata de uma série temporal, pois a variável independente x está representando 
um período expresso em bimestres. Ainda, vemos uma evolução de preços na série histórica de 
bimestres, por isso avaliamos ser um gráfico bastante positivo.
3.2 Função de primeiro grau
Uma função de primeiro grau é definida por y = f(x) = ax + b, com a ≠ 0, em que: a é 
chamado de coeficiente angular e b, de coeficiente linear. Essas funções são modelos lineares, isto 
é, são representadas no plano cartesiano por uma reta e definem um dos tipos mais comuns, o qual 
possui aplicações corriqueiras.
Sendo x e y duas variáveis, uma será dependente da outra: cada valor atribuído para a variável 
x irá corresponder apenas a um valor para a variável y. Portanto, nesse caso, a variável y está em 
função de x, e essa dependência é definida como uma função.
Os valores atribuídos à variável x são definidos como de domínio da função, e os valores de 
y espelhados a partir de x são a imagem da função. Logo, na prática atribuímos valores para x e 
definimos o valor correspondente para cada elemento da variável y.
Funções: gráficos e aplicações 49
Na função de primeiro grau existe uma lei de formação que define a estrutura dela. Nesse 
caso, a lei de formação é dada por: y = ax + b, sendo que a e b são sempre números reais e diferentes 
de zero.
Exemplos de funções de primeiro grau:
y = 8x + 4, onde a = 8 e b = 4
y = –15x – 7, onde a = –15 e b = –7
y = 10x, então a = 10 e b = 0
Vamos ver, nas próximas seções, que todos os tipos de função têm uma lei de formação 
exclusiva.
3.3 Tipos de funções de primeiro grau
Nesta seção, conheceremos as funções de primeiro grau: crescente, descrescente e afim. 
Podem ser chamadas também de funções lineares, pois apresentam uma tendência de linha, 
normalmente uma reta.
3.3.1 Função crescente
Avaliemos o seguinte exemplo:
À medida que as vendas aumentam, as comissões dos colaboradores também tendem 
a aumentar. Observe que o crescimento de uma variável (vendas) fez crescer também a outra 
(comissões). Logo, como as variáveis estão correlacionadas, se construíssemos um gráfico, teríamos 
uma reta crescente– nesse caso, a > 0.
Gráfico 2 – Exemplo de função crescente entre vendas e comissões
R$ 600,00
R$ 500,00
R$ 400,00
R$ 300,00
R$ 200,00
R$ 100,00
R$ 1.000,00 R$ 2.000,00 R$ 3.000,00 R$ 4.000,00 R$ 5.000,00 R$ 6.000,00
 x Vendas
y 
C
om
iss
õe
s
Fonte: Elaborado pelo autor.
Matemática aplicada50
A função crescente refere-se à relação observável de crescimento ou decrescimento entre 
variáveis. Logo, no Gráfico 2 observamos que à medida que as vendas (x) vão aumentando, as 
comissões (y) vão evoluindo positivamente. Se ambas fossem diminuindo, contudo, a função ainda 
seria crescente. O que torna uma função crescente é o fato de as variáveis se comportarem em um 
mesmo sentido. O gráfico permite observar o comportamento das variáveis de modo rápido e 
simplificado.
3.3.2 Função decrescente
Neste caso, as variáveis são inversamente proporcionais. Isto é, enquanto uma aumenta, a 
outra diminui. 
À medida que nossa idade aumenta, por exemplo, diminui nosso tempo restante de vida. 
Observe que a variável independente (ou domínio) é a idade e, enquanto ela aumentar, nosso tempo 
restante de vida, nossa variável dependente, tende a diminuir. O Gráfico 3, a seguir, representa essa 
função.
Vamos considerar, em hipótese, que a média de vida do brasileiro seja de 70 anos. Então, se 
temos 20 anos, há um tempo restante de 50 anos. Com 50 anos, nosso tempo restante estimado é 
de 20 anos. Vamos ver isso graficamente.
Gráfico 3 – Exemplo de função decrescente entre idade e tempo restante de vida
50
38
25
13
0
0 15 30 45 60
Tempo restante de vida
Fonte: Elaborado pelo autor.
O valor do coeficiente a vai indicar se a função é crescente ou decrescente, 
determinando o grau de inclinação da reta. Já o coeficiente linear b, no 
plano cartesiano, vai definir o ponto de intersecção da função com o 
eixo y.
Funções: gráficos e aplicações 51
Gráfico 4a – Função crescente (a > 0)
Fonte: Elaborado pelo autor.
Gráfico 4b – Função decrescente (a < 0)
Fonte: Elaborado pelo autor.
y
x
b
b
y
x
b
Em resumo:
• Função crescente: se os valores de x aumentam, os valores 
correspondentes a y também tendem a aumentar. Há uma observação 
importante: se os valores de x e y diminuírem, a função continuará 
sendo uma linha crescente.
• Função decrescente: os valores são inversamente proporcionais; se 
os valores de x aumentam, os valores correspondentes a y tendem a 
diminuir.
3.3.3 Função afim
A função de primeiro grau é também conhecida como função polinomial de grau 1 ou função 
afim. A principal característica de uma função afim ao ser representada no plano cartesiano é o 
gráfico resultante sempre ser uma reta com inclinação dependente do coeficiente angular.
Vejamos um exemplo: um vendedor trabalha em regime salarial que inclui uma parte fixa e 
outra variável. Seu salário atual é de R$ 4.600,00 e a parte variável é formada por comissões de 7% 
sobre a venda. Portanto, a função será dada por f(x) = 0,07x + 4.600, podendo ser definida também 
como y = 0,07x + 4.600.
Se os produtos vendidos têm valor de R$ 18.000,00, é possível determinar, nesse caso, quanto 
corresponde ao salário mais comissões:
y = 0,07 . 18.000 + 4.600
y = 1.260 + 4.600
y = R$ 5.860,00
Existem, ainda, casos particulares da função afim. Apresentamos, a seguir, alguns deles.
Matemática aplicada52
Função identidade
• Definida por f(x) = x
• Condições: a = 1 e b = 0
Passará exatamente no cruzamento dos eixos x e y, no ponto (0,0). Ela intersecta a origem do 
plano cartesiano. Vejamos, no Gráfico 5 a seguir, um exemplo da função identidade y = 2x. 
Gráfico 5 – Representação da função identidade y = 2x
 
Eixo x
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4
Eixo y
Fonte: Elaborado pelo autor.
Função constante
• Definida por f(x) = b
• Condições: a = 0
Paralela ao eixo x, intersectando o eixo y em b. Eis um exemplo da função constante y = 1 
(Gráfico 6).
Gráfico 6 – Representação da função identidade y = 1
4 Eixo y
Eixo x
3
2
1
0
0 1 2 3 4
Fonte: Elaborado pelo autor.
Funções: gráficos e aplicações 53
Função linear
• Definida por f(x) = ax, com b = 0.
Sua característica principal é o gráfico sempre intersectar a origem do plano cartesiano e 
apenas a inclinação da reta variar, dependendo do valor de a. Vamos representar as funções lineares 
y = 1 / 2x, 2x e 4x, e observar os comportamentos.
Gráfico 7 – Representação da função linear
0
0 1
0,5
1,5
2
1
2
44
8
12
16
6
y = 2x
y = 0,5x
y = 4x
8
2 3 4
0,5
1
1,5
2,5
3
4
4,5
5,5
6
6,5
7
7,5
8
8,5
9
9,5
10
10,5
11
11,5
12
12,5
13
13,5
14
14,5
15
15,5
16
eixo y
5
3,5
2
Fonte: Elaborado pelo autor.
O gráfico revela simultaneamente o comportamento de três funcões lineares. Logo, permite 
analisar múltiplas informações ao mesmo tempo, o que facilita a análise dos dados.
3.3.4 Raiz ou zero de uma função de primeiro grau
Para determinar a raiz ou o zero de uma função de primeiro grau, é preciso considerar y 
= 0. No instante em que o elemento y assume esse valor, a reta está intersectando o eixo x em 
determinado ponto. É o que chamamos de raiz ou o zero da função. Vamos ver alguns exemplos:
Considere a função: y = 4x + 8
Se tomarmos y = 0, temos:
4x + 8 = 0
4x = –8
x = –2
A reta representada pela função y = 4x + 8, portanto, intersecta o eixo x em –2.
Matemática aplicada54
Considere a função: y = –2x + 10
Sendo y = 0, a equação se apresenta como:
–2x + 10 = 0
–2x = –10 (–1)
x = 5
A reta representada pela função y = –2x + 10, portanto, intersecta o eixo x em 5.
3.4 Aplicação especial para funções de primeiro grau
Vamos agora estabelecer um estudo paralelo entre a função de primeiro grau definida pela 
expressão y = ax + b e um método para determinar essa função com base em dados obtidos em 
diversas áreas, das ciências econômicas e administração até biologia ou engenharia. É um método 
bastante interessante e eficaz que permite, por exemplo, por meio de séries históricas, fazer boas 
projeções.
Quando construímos o gráfico de uma função de primeiro grau, os pontos estão perfei- 
tamente alinhados de modo crescente, se o coeficiente angular for positivo, ou decrescente, se for 
negativo. Nos fenômenos cujo comportamento se aproxima de uma função de primeiro grau, os 
pontos gráficos não se apresentam totalmente alinhados, e sim distribuídos aleatoriamente em 
torno do que chamamos de reta de regressão.
Relacionando duas variáveis, x e y, faz-se necessário um modelo matemático que consiga 
efetivamente relacionar as variáveis para estudo. Esse modelo, chamado de regressão linear simples, 
é uma técnica utilizada para pesquisar e modelar a relação existente entre essas variáveis com o 
comportamento próximo a uma função de primeiro grau. Observe o Gráfico 8 a seguir:
Gráfico 8 – Diagrama de dispersão de comportamento linear
9
6.8
4.5
2.3
0
0 2 4 6 8
Fonte: Elaborado pelo autor.
O diagrama de dispersão revela os pontos obtidos por meio da correlação das variáveis x e 
y. Perceba que eles estão ajustados na linha gráfica ou muito próximos dela. Isso indica que existe 
uma relação bastante forte entre as variáveis. Podemos, assim, ajustar um modelo que torne essa 
linha perfeita.
Funções: gráficos e aplicações 55
Para isso, cabe considerar que o ajuste do modelo de regressão linear simples é dado por:
y = α . x + β + ε
Em que:
• y é o valor observado (variável dependente);
• x é a variável explicativa (variável independente);
• α ou a é o coeficiente angular (inclinação da reta);
• β ou b é o intercepto (coeficiente linear).
Podemos também exprimir de uma forma mais conhecida como equação da reta:
y = ax + b
Vamos aplicar essas teorias a um exemplo e construir o modelo passo a passo. Observe a 
relação a seguir:
O valor de um carro é a variável independente em relação a um consórcio, pois os valores de 
um consórcio variam em função do preço do carro.
Tabela 3 – Relação entre as variáveis carro e consórcio
Carro (x) Consórcio (y)
20 2
30 3
40 4
50 5
60 6
Fonte: Elaborada pelo autor.
Emum primeiro passo, vamos estabelecer as médias das variáveis x e y.
Média x = 
x
n
∑ Média y = y
n
∑
20 30 40 50 60
5
40� � � � � 2 3 4 5 6
5
4� � � � �
Agora, em um segundo passo, vamos fazer alguns cálculos auxiliares para encontrar o 
coeficiente angular:
Tabela 4 – Dados para encontrar o coeficiente angular
Σx Σy Σx² Σxy
20 2 400 40
30 3 900 90
40 4 1600 160
50 5 2500 250
60 6 3600 360
200 20 9000 900
Fonte: Elaborada pelo autor.
Matemática aplicada56
Calculando o coeficiente angular a Calculando o coeficiente linear b
a
x y x y
n
x
x
N
�
� �
� ��
� �
�� �2
2
b = média y – a . média x
b = 4 – 0,1 . 40
a
N
�
�
�
�
� �
900 200 20
5
9000
200 2
b = 4 – 4
b = 0
a � �
�
900 800
9000 8000
a = 0,1
O terceiro passo implica desenvolver a equação ajustante da reta:
y = a . x + b
y = 0,1 . x + 0, que é uma função de primeiro grau.
Ou y = 0,1 . x
Agora, já podemos fazer, por exemplo, uma projeção: quando x for igual a 65, qual será o 
valor de y?
y = 0,1 . x
y = 0,1 . 65
y = 6,5
Vamos para um exemplo prático:
Observe, na Tabela 5 a seguir, quantidades e preços praticados por uma empresa para 
determinado produto.
Tabela 5 – Quantidade e preços de determinado produto de uma empresa
Q (un.) P (R$)
80 120
95 110
100 92
115 84
125 79
130 75
Fonte: Elaborada pelo autor.
a) Determine o coeficiente angular e linear.
b) Determine a equação ajustante da reta.
Funções: gráficos e aplicações 57
c) Projete o preço para uma quantidade de 150 peças.
d) Projete a quantidade para um preço de 100 reais.
Solução:
Média x = 107,5 Média y = 93,33
Cálculo auxliar:
Σx = 645 Σy = 560 Σx2 = 71.175 Σx . y = 58.535
a) Coeficiente angular a:
a � �
�
58535 60200
71175 69337 5,
a � � 1665
1837 5,
 a = –0,90 (função decrescente)
Coeficiente linear b:
b = média y – a . média x
b = 93,33 – (–0,90) . 107,5
b = 93,33 + 96,75
b = 190,08
b) Equação ajustante:
y = ax + b
y = –0,90 . x + 190,08
c) Preço para a quantidade de R$150,00:
y = –0,90 . x + 190,08
y = –0,90 . 150 + 190,08
y = –135 + 190,08
y = R$ 55,08
d) Quantidade para o preço de R$ 100,00:
100 = –0,90 . x + 190,08
100 = –0,90 . x + 190,08
100 – 190.08 = –0,90 . x
–90,08 = –0,90 . x(1)
x � � 90 08
0 90
,
,
x = 100 unidades
Matemática aplicada58
3.5 Exercícios resolvidos
1. Na maioria das cidades, a tarifa cobrada pelos taxistas e aplicativos corresponde a um 
valor fixo chamado de bandeirada e um valor variável cobrado de acordo com o total de 
quilômetros rodados. Para fazer uma corrida de 9 quilômetros, com a bandeirada a R$ 5,20 
e o custo do quilômetro rodado a R$ 3,20, determine:
a) A lei de formação que mostra o valor da tarifa cobrada em função dos quilômetros de 
duração da viagem.
b) Qual será o valor do pagamento ao final da corrida.
Solução:
Considerando P o preço da tarifa, temos:
P(x) = ax + b
P(x) = 3,20 . x + 5,20
Logo:
P(x) = 3.20 . 9 + 5,20
P(x) = R$ 34,00 a corrida
2. Para dar continuidade à produção de moda de inverno, um empresário compra uma 
máquina por R$ 3.000,00. Cada peça que ele produzir terá um custo variável de R$ 120,00. 
Inicialmente, ele vai produzir 30 peças por semana. Qual será seu gasto total na semana?
Solução:
G(x) = ax + b
G(x) = 120 . x + 3.000
G(x) = 120 . 30 + 3.000
Logo:
G(x) = R$ 6.600,00
3. Um empresário produz 300 salgados mensalmente. Na Tabela 1 a seguir, estão detalhados os 
custos totais (CT) de produção e a quantidade (Q) produzida.
Tabela 6 – Custos de produção de salgados e quantidades produzidas
Q CT (R$)
0 40,00
50 140,00
100 240,00
150 340,00
200 440,00
250 540,00
300 640,00
Fonte: Elaborada pelo autor.
Funções: gráficos e aplicações 59
Com base nessas informações, calcule o custo médio unitário (CMU) da produção.
Solução:
Tabela 7 – Custo médio dos salgados produzidos
Q CT (R$) CMU
0 40,00
50 140,00 140 : 50 = 2,80
100 240,00 240 : 100 = 2,40
150 340,00 340 : 150 = 2,27
200 440,00 440 : 200 = 2,20
250 540,00 540 : 250 = 2,16
300 640,00 640 : 300 = 2,13
Fonte: Elaborada pelo autor.
Algumas observações interessantes:
• Mesmo quando a produção é zero, já temos gastos. São os chamados gastos fixos que 
independem da produção. De todo modo, ao final do mês terão de ser pagos aluguel, 
IPTU etc., valores que observamos já estarem diluídos no custo médio. Quanto maior a 
produção, menor o custo de cada unidade.
• Observe também que, se continuarmos a aumentar a produção, o custo médio de cada 
unidade tenderá a cair. Essas quedas, porém, serão cada vez menores.
Vejamos agora qual é o custo fixo (CF) e o custo variável (CV) por unidade:
Tabela 8 – Custo fixo e custo variável dos salgados produzidos
Q CT (R$) CMU CF unitário CV unitário
0 40,00
50 140,00 140 : 50 = 2,80 40 : 50 = 0,80 2,80 – 0,80 = 2
100 240,00 240 : 100 = 2,40 40 : 100 = 0,40 2,40 – 0,40 = 2
150 340,00 340 : 150 = 2,27 40 : 150 = 0,27 2,27 – 0,27 = 2
200 440,00 440 : 200 = 2,20 40 : 200 = 0,20 2,20 – 0,20 = 2
250 540,00 540 : 250 = 2,16 40 : 250 = 0,16 2,16 – 0,16 = 2
300 640,00 640 : 300 = 2,13 40 : 300 = 0,13 2,13 – 0,13 = 2
Fonte: Elaborada pelo autor.
Concluindo:
• Quando observamos o custo fixo unitário, chegamos à conclusão de que é variável, 
diminuindo à medida que o volume de produção aumenta.
• Quando vemos o custo variável unitário, percebemos que é fixo, em R$ 2, durante certo 
tempo.
Matemática aplicada60
• Logo, podemos dizer que os custos fixos são fixos no total, mas variáveis quando 
observados individualmente. Já os custos variáveis são variáveis no total, mas fixos 
quando olhamos unitariamente durante certo tempo.
Nesse contexto, nossa função pode ser criada.
A função afim mostra que f(x) = ax + b, então podemos dizer que:
C(x) = CV . x + CF ou
CT = 2 . x + 40
Portanto, substituindo a função custo total, teremos:
CT = 2.300 + 40
CT = R$ 640,00, que é o valor necessário para produzir 300 unidades.
Vamos acrescentar mais uma informação: o preço da venda de cada unidade é de R$ 4,50. 
Logo, defina a função receita total (RT):
RT(x) = preço de venda . quantidade
Função RT = 4,50 . x
Assim, a receita gerada pela venda de 300 unidades será:
RT = 4,50 . 300
RT = R$ 1.350,00
Podemos dizer que nosso lucro foi de: R$ 1.350,00 – R$ 640,00 = R$ 710,00.
Ou, podemos também fazê-lo utilizando a função lucro total (LT):
LT(x) = RT – CT
LT(x) = 4,50 . x – (2x + 40)
LT(x) = 4,50 . x – 2x – 40
LT(x) = 2,50 . x – 40
Aplicando no cálculo, teremos:
LT = 2,50 . 300 – 40
LT = 750,00 – 40
LT = R$ 710,00
E ainda podemos determinar o ponto de nivelamento, que mostrará o volume a ser produzido 
para cobrir os custos totais. Para isso, basta calcular:
RT = CT
4,50 . x = 2x + 40
4,50 . x – 2x = 40
Funções: gráficos e aplicações 61
2,50 . x = 40
x = 40 : 2,50
x = 16 unidades
Vamos fazer mais um exemplo completo.
4. Uma fábrica produz resistores com cada unidade custando R$ 37,00. O custo fixo é de 
R$ 5.000,00 para uma produção de 0 a 250 unidades. O preço de venda de cada unidade é 
de R$ 97,00.
a) Determine a função custo total e seu valor.
b) Determine a função receita total e seu valor.
c) Defina também a função lucro total e o respectivo valor.
d) Determine o ponto de nivelamento.
e) Calcule o número x de unidades para um lucro de R$ 14.400,00.
Solução:
a) CT(x) = ax + b
 CT(x) = CV . x + CF
 CT(x) = 37 . x + 5.000
 CT = 37.250 + 5.000
 CT= R$ 14.250,00
b) RT(x) = preço de venda . x
 RT(x) = 97 . x
 RT = 97 . 250
 RT = R$ 24.250,00
c) LT(x) = RT(x) – CT(x)
 LT(x) = 97 . x – (37 . x + 5.000)
 LT(x) = 97 . x – 37 . x – 5.000
 LT(x) = 60 . x – 5.000
 LT = 60 . 250 – 5.000
 LT = R$ 10.000,00
d) RT(x) = CT(x)
 97 . x = 37 . x + 5.000
 60 . x = 5.000
 x = 5.000 : 60
 x = aproximadamente 83 unidades
e) LT(x) = 60x – 5.000
Matemática aplicada62
 14.400 = 60x – 5.000
 14.400 + 5.000 = 60x
 x = 19.400 : 60
 x = aproximadamente 323 unidades
Considerações finais
O estudo das funções permitiu observar o comportamento de duas ou mais variáveispor 
meio de cálculos e gráficos. Permitiu também aplicar esses conceitos a problemas práticos. Uma 
aplicação bastante comum na gestão ocorre na avaliação de séries históricas relativas a custo, 
receita, demanda, oferta e lucro.
É possível, ainda, avaliar o comportamento dessas séries históricas e temporais e 
compreender sua evolução ao longo do tempo.
Ampliando seus conhecimentos
• GEOGEBRA. Aplicativos matemáticos gratuitos. 2019. Disponível em: https://www.
geogebra.org/. Acesso em: 11 out. 2019.
O uso de novas tecnologias permite estudar de forma mais criativa e rápida vários temas 
da matemática, inclusive as funções. Além do programa Microsoft Excel, sugerimos a 
plataforma Geogebra, que permite associar o cálculo à representação gráfica, sendo um 
grande facilitador da compreensão. 
Atividades
1. Atribuímos valores para x na função a seguir. Construa a reta do gráfico utilizando os valores 
de y que você encontrou.
y = x + 2
x y
0
1
2
3
4
5
2. Um vendedor de planos de seguro de vida recebe salário de R$ 1.000,00, mais comissão de 
R$ 15,00 por plano vendido.
a) Determine a expressão que relacione o salário total (S) em função da quantidade de 
plano (s) vendida.
Funções: gráficos e aplicações 63
b) Sabendo que seu salário em um mês foi de R$ 1.915,00, quantos planos ele vendeu?
3. Observe a tabela a seguir:
Quantidade Custo (R$)
0 400,00
100 1.000,00
200 1.800,00
300 2.600,00
400 3.000,00
a) Determine o custo médio por unidade.
b) Determine o custo fixo total.
c) Determine o custo fixo unitário.
d) Determine o custo variável unitário.
4. Uma empresa tem um custo fixo de R$ 15.000,00 e um custo por unidade produzida de 
R$ 28,00. A produção varia de 0 a 500 unidades. O preço de venda de cada unidade é de 
R$ 88,00. Determine:
a) A função custo total e seu valor.
b) A função receita total e seu valor.
c) A função lucro total e seu valor.
d) O ponto de nivelamento.
e) Para um lucro de R$ 40.000,00, quantas unidades deveriam ser produzidas nessas 
condições?
5. Dados os seguintes valores:
x y
2 1
5 2
6 5
8 7
9 8
Determine:
a) A média de x e de y.
b) O cálculo auxiliar para obter a e b.
c) Obtenha a e b.
d) Faça a equação ajustante da reta.
e) Estabeleça o valor para y quando x = 13.
f) Estabeleça o valor para x quando y = 6,17.
4
Funções: outros modelos
Neste capítulo estudaremos situações práticas de funções de segundo grau a partir da 
construção de gráficos. Para este estudo convém reforçar o tema vértice da parábola, visto que as 
coordenadas do vértice são úteis para a determinação dos valores máximos e mínimos, bem como 
os intervalos de crescimento e decrescimento das funções associadas.
4.1 Função quadrática ou polinomial
A função quadrática ou polinomial pode ser definida por: y = f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0.
O gráfico conhecido como parábola é resultante de uma função de segundo grau. Deve-se 
seguir alguns passos para a sua obtenção, a saber:
1. O coeficiente angular a deverá indicar se a concavidade da parábola é voltada para cima 
(a > 0) ou para baixo (a < 0).
2. O termo independente c define o ponto em que uma parábola corta o eixo y e será obtido 
a partir de x = 0.
3. As raízes da função y = ax2 + bx + c serão definidas a partir de uma parábola que corta o 
eixo x, se essas raízes existirem.
4. Para encontrar as raízes, utilizamos a fórmula a seguir:
x b
a
�
� � �2
2
Nela, o discriminante ∆ será definido por: ∆ = b2 – 4ac. Dessa forma, a fórmula se 
apresenta como:
x b b ac
a
�
� � �2 4
2
E, considerando que se deve encontrar duas raízes, pode-se indicar x’ e x’’ do seguinte 
modo:
x b
a
1
2
�
� � � e x b
a
2
2
�
� � �
5. O número de raízes ou pontos em que a parábola toca o eixo x dependerá do 
discriminante, o que significa que:
• Se ∆ > 0, temos duas raízes reais distintas, x1 ≠ x2, indicando que a parábola cortará o 
eixo x em dois pontos distintos.
• Se ∆ = 0, temos duas raízes reais iguais, x1 = x2, indicando que a parábola tocará o eixo 
x em um único ponto.
Matemática aplicada66
x b
a
x b
a
�
� �
� �
�0
2 2
• Se ∆ < 0, não existem raízes reais, isto é, a parábola não cruza o eixo x.
6. O vértice da parábola é dado pelo ponto:
V xv yv b
a a
� � � � � ���
�
�
�
�
�; ;2 4
Portanto, as coordenadas do vértice serão obtidas ao ligarmos o ponto (xv) ao eixo x, 
com o ponto (yv) definido no eixo y. Observe que há uma simetria entre os dois lados da 
parábola.
Observando a função y = x2 – 3x + 2 e o seu gráfico, o vértice da parábola está em:
x v b
a
x v
y v
a
b ac
;
; ,
;
� � � �
� � � � �� �
�
� �
� � � ��
� � �
� � �� � �
2
3
2 1
3
2
1 5
4
4
3 4
2
2
�� �
� � � �
� � � � � �
1 2
9 8 1
1
4
0 25
Logo
v y
:
; ,
Portanto, o ponto resultante da correlação entre (x;v) e (y;v) será o vértice da parábola.
Gráfico 1 – Observando o vértice da função y = x2 – 3x + 2
–5 –1 0 5
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
Eixo x Vértice da função
Ei
xo
 y
Fonte: Elaborado pelo autor.
Funções: outros modelos 67
Observe a seguir alguns exemplos de funções de segundo grau.
Gráfico 2 – Exemplo de função de segundo grau: a > 0 e ∆ > 0
–4
–4
–2
0
2
4
6
8
–2 2 40
Fonte: Elaborado pelo autor.
Gráfico 3 – Exemplo de função de segundo grau: a < 0 e ∆ < 0
–4
–10
–12
–8
–6
–4
–2
0
–2 2 40
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para melhor compreensão, vamos analisar como se pode aplicar os conceitos 
apresentados anteriormente em um exemplo prático.
Em uma fazenda, a produção P, referente à plantação de laranja depende da quantidade, q, 
de adubo utilizado. Essa dependência pode ser expressada por: P = –3q2 + 75q + 450. Nessa 
fazenda, a produção é medida em kg e a quantidade de adubo em g/m2. Com esses dados, 
definimos:
a) os coeficientes dos termos da função;
b) a concavidade;
c) a estrutura da parábola e os pontos em que ela corta o eixo q;
d) o vértice da parábola.
Matemática aplicada68
Solução:
a) a = –3, b = 75 e c = 450
b) A concavidade é voltada para baixo, pois a < 0.
c) A parábola corta o eixo P em c = 450, pois se q = 0, temos:
P(0) = –3 . 02 + 75 . 0 + 450
P(0) = 450
 A parábola corta o eixo q quando P = 0, isto é: –3q2 + 75q + 450 = 0. As raízes serão 
obtidas usando a fórmula de equação de segundo grau:
∆ = b2 – 4ac
∆ = 752 – 4 . (–3) . 450
∆ = 5.625 + 5.400
∆ = 11.025
Logo, ∆ > 0
 Já podemos obter as duas raízes distintas:
q e q b
a
q
q
1 2
1
2
2
75 105
6
5
75 105
6
30
�
� � �
�
� �
�
� �
�
� �
�
�
 Ao calcular os valores das raízes, determina-se onde a parábola cruza o eixo x. Nesse 
caso, no ponto (–5; 30).
d) O vértice da parábola coresponde a:
V = (qv; Pv)
V b
a a
V
�
��
�
�
�
�
�
���
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
� �
� �� �
�
�
��
�
�
�� �
2 4
75
2 3
11 025
4 3
1
;
; 22 5 918 75, ; ,� �
 Dessa forma, obtém-se o gráfico da função:
Funções: outros modelos 69
Gráfico 4 – Eixo de simetria da função parábola com concavidade para baixo
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
–10 0 10 20 30
Eixo de simetria
eixo q
y = –3x2 + 75x + 450
ei
xo
 p
Fonte: Elaborado pelo autor.
 Observe que o eixo de simetria é uma reta que liga 918,75 em P com 12,5 em q, dividindo 
a parábola em dois lados iguais. Esse eixo é obtido com a definição dos valores do vértice.
4.2 Função exponencial
A função exponencial apresenta importantes aplicações práticas, principalmente na área 
financeira e de gestão da qualidade. É usada também para representar situações cuja taxa de 
variação é considerada grande, como ocorre em rendimentos financeiros capitalizados por juros 
compostos; no decaimento radioativo de substâncias químicas; no desenvolvimento de bactérias e 
micro-organismos; no crescimento populacional; entre outras situações.
Para resolver as funções exponenciais utilizamos, se necessário, as regras envolvendo 
potenciação. Essa função, como qualquer outra, possui uma relação de dependência, em que uma 
incógnita depende do valor da outra, com a diferença de que sua parte variável, representadapor 
x, se encontra no expoente. Observe alguns exemplos:
y = 3x
y = 12x + 7x
y = 0,19x + 1
A formação de uma função exponencial segue uma lei que indica: a base elevada ao expoente 
x precisa ser maior que zero e diferente de um. A notação representativa desta lei é f: R → R, tal que 
y = ax, sendo a > 0 e a ≠ 1.
Matemática aplicada70
Gráfico 5 – Função exponencial do tipo: a > 1
80
100
60
40
20
– 20
0
0 2 4 6 8
Fonte: Elaborado pelo autor.
Gráfico 6 – Função exponencial do tipo: 0 < a < 1
2
2,5
1.5
1
0
0.5
–5 0 5 10 15
Fonte: Elaborado pelo autor.
A base a determina o crescimento ou decrescimento de uma função exponencial. Se a > 1, 
a função será crescente e seu crescimento é diferenciado. Quanto maior o valor de a, maior será o 
crescimento de y a cada aumento de x, fazendo com que a função avance rapidamente devido aos 
valores altos.
Porém, se 0 < a < 1, temos uma função exponencial decrescente e, quanto menor for o valor 
de a, maior será o decrescimento de y para cada aumento de x. Assim, a função começa a alcançar 
mais rápido valores próximos de zero. Vejamos um exemplo.
A população de um grande bairro, de 2015 a 2019, teve um crescimento estimado conforme 
a tabela a seguir:
Tabela 1 – População de um grande bairro, de 2015 a 2019
Ano 2015 2016 2017 2018 2019
População 57.800 60.690 63.724 66.911 70.2564
Fonte: Elaborada pelo autor.
Funções: outros modelos 71
Queremos apresentar a população do bairro como uma função do ano, sendo 2015 o ano 
inicial. É importante que, de 2015 a 2019, o crescimento da população do bairro seja semelhante 
aos dados na Tabela 1.
Para avaliar se essa situação pode ser representada por uma função exponencial, faremos as 
seguintes divisões:
2016 : 2015 → 60.690 : 57.800 = 1,05
2017 : 2016 → 63.724 : 60.690 = 1,04999999 = 1,05
2018 : 2017 → 66.911 : 63.724 = 1,05
2019 : 2018 → 70.256 : 66.911 = 1,04999999 = 1,05
Observamos que os resultados são aproximadamente iguais, por isso temos uma função 
exponencial cuja base é dada por a = 1,05; o coeficiente b será obtido substituindo em y = b . ax, o 
valor de a = 1,05. Tomamos um dos pares ordenados x e y, como (x : y) = (4; 57.800):
57.800 = b . 1,054
57.800 = b . 1.21550625
b = 47552
Logo, a função população será dada por y = 47552 . 1,05x. Observe a situação a seguir.
Em um depósito, as sacas de café, com o tempo, começaram a carunchar e as condições de 
consumo decaíram, de acordo com um modelo exponencial. Na sequência, a Tabela 2 revela dois 
períodos e a quantidade de sacas de café que ainda apresentam condições de serem vendidas e 
consumidas.
Tabela 2 – Períodos e quantidade de sacas em condições de venda/consumo
Tempo registrado após estocagem x 2 anos 6 anos
Quantidade de sacas y em toneladas 680 248
Fonte: Elaborada pelo autor.
O primeiro passo envolve mostrar a quantidade aproveitável de café como uma função do 
ano após a estocagem. Pelo enunciado, sabemos que o modelo é exponencial e que os pares (2; 680) 
e (6; 248) precisam satisfazer a expressão y = b . ax, logo:
x = 2 e y = 680, então temos: 680 = b . a2
x = 6 e y = 248, então temos: 248 = b . a6
Resolvendo o sistema de equações, temos:
b a
b a
a
a
a
a
Por t
�
�
� � �
�
�
6
2
6
2
4
4
248
680
248
680
0 3647058
0 3647058
,
,
tan oo a, ,� 0 77711
Matemática aplicada72
Portanto, a = 0,77711
Substituindo a = 0,77711 em b . a2 = 680, obtemos b:
b . 0,777112 = 680, portanto, b = 1126,2
Agora já temos a função exponencial: y = 1126,2 . 0,77711x.
Vejamos, agora, alguns exercícios resolvidos.
1. Um cliente toma emprestado uma importância de R$ 15.000,00, com juros compostos de 
10% ao mês, isto é, que incidem mês a mês sobre o montante do mês anterior – popularmente 
conhecido como “juros sobre juros”. Qual será o montante no final do mês 3?
Solução:
M(1) = 15.000 + 10% do valor inicial
M(1) = 15.000 + 10% de 15.000
M(1) = 15.000 + 10 : 100 . 15.000
M(1) = 15.000 + 0,10 . 15.000
Colocando 15.000 em evidência, temos:
M(1) = 15.000 . (1+ 0,10)1
M(1) = 16.500
Logo, para o final do mês 3, teremos:
M(3) = 15.000 . (1 + 0,10)3
M(3) = 15.000 . 1,103
M(3) = 15000 . 1,331
M(3) = R$ 19.965,00
2. Considerando uma empilhadeira com valor inicial de R$ 500.000,00, e com depreciação de 
20% ao ano, qual função representa esse valor no decorrer do tempo?
Solução:
V(1) = 500.000,00 – 20% do valor inicial
V(1) = 500.000,00 – 0,20 . 500.000,00
V(1) = 500.000,00 . (1 – 0,20)x
V(1) = 500.000,00 . 0,80
V(1) = 400.000,00
Portanto, a função exponencial é y = 500.000 . 0,80x.
Funções: outros modelos 73
4.3 Função logarítmica
A função logarítmica de base a é definida pela lei de formação f(x) = loga x, com a ≠ 1 e a > 0. 
O domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero. Por exemplo:
f(x) = log2 x é função logarítmica de base 2.
f(x) = log1
5
 x é função logarítmica de base 1/5.
f(x) = log10 x é função logarítmica de base 10.
Vejamos a representação gráfica de uma função logarítmica:
Gráfico 7 – Função logarítmica do tipo: y = log2 x, onde a > 0
2
1
21 3 4
x y
1/4 –2
1/2 –1
1 0
2 1
4 2
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:
Gráfico 8 – Função logarítmica do tipo: y = log1
2
 x
Função decrescente
x y
1/4 2
1/2 1
1 0
2 –1
4 –2
1
1
2
2 3 4
Fonte: Elaborado pelo autor.
Matemática aplicada74
Nos gráficos, é possível perceber que as concavidades estão diferentes. No primeiro, em que 
a > 0, a curva do gráfico está à direita do eixo y, porém, quando a função está entre 0 e 1, 0 < a < 1, 
nota-se que há uma inversão em relação à função exponencial. Por esse motivo, y pode assumir 
todas e quaisquer soluções reais a partir de sua imagem.
Com base nos estudos na área, chegamos à conclusão de que as funções logarítmicas são 
uma função inversa da função exponencial, conforme indica os gráficos comparativos a seguir:
Gráfico 9 – Comparação entre a função exponencial e logarítmica para: a > 1 e 0 < a < 1
a) a > 1
1
1 x
y
y = ax
y = logax
Fonte: Elaborado pelo autor.
b) 0 < a < 1
1
1 x
y
y = logax
y = ax
Fonte: Elaborado pelo autor.
Funções: outros modelos 75
Definições:
• loga 1 = 0
• loga a = 1
• loga a
n = n
• alog ab = b
Propriedades operatórias:
• loga (M . N) = loga M + loga N
• loga (M : N) = loga M – logna
• loga MN = N . loga M
• Mudança de base:
loga b = logc b : logc a
loga b . logc a = logc b
loga b = 1 : logb a
Vejamos um exemplo, dada a equação logarítmica logx + 3 (5x – 1) = 1.
Primeiro, verificamos as condições de existência do logaritmo:
x + 3 > 0
x > –3
5x – 1 > 0
5x > 1
x > 1/5
Agora, resolvemos a equação logarítmica pela propriedade básica do logaritmo:
logx + 3 (5x – 1) = 1
(5x – 1)1 = x + 3
5x – 1 = x + 3
5x – x = 3 + 1
4x = 4
x = 1
Só existe uma resposta possível para logx + 3 (5x – 1) = 1, que é x = 1.
Matemática aplicada76
4.4 Função inversa
Para iniciar os estudos deste tema, devemos atentar aos seguintes conceitos, possivelmente, 
já vistos na Educação Básica.
4.4.1 Função injetora
Uma função é chamada de injetora se cada imagem possui, no máximo, um domínio.
Figura 1 – Exemplo de função injetora
A B
Fonte: Elaborada pelo autor.
Vejamos um exemplo, dados os conjuntos A = {–1, 0, 1} e B = {–1, 1, 2, 3}. Vamos determinar 
a função f: A → B definida pela lei y = 2x + 1.
x = –1 x = 0 x = 1
y = 2 . (–1) + 1 y = 2 . 0 + 1 y = 2 . 1 + 1
y = –2 + 1 y = 0 + 1 y = 2 + 1
y = –1 y = 1 y = 3
Figura 2 – Representação do exemplo anterior A = {–1, 0, 1} e B = {–1, 1, 2, 3}
–1
A Bf
–1
1
2
3
1
0
Fonte: Elaborada pelo autor.
Dada uma função f: A → B injetora, chamamos de função inversa de f a função f–1: B → A, tal 
que, para todo (x, y) f, há (y, x) f–1.
Funções: outros modelos 77
4.4.2 Função sobrejetora
Uma função é sobrejetora se o conjunto imagem é igual ao contradomínio B, isto é, não sobra 
elemento no contradomínio. Para cada elemento de A existe um elemento de B correspondente, 
mesmo queseja comum a outro elemento.
Figura 3 – Exemplos de função sobrejetora
A BA B
a) b)
Fonte: Elaborada pelo autor.
Vejamos um exemplo, dados os conjuntos A = {–1, 1, 2} e B = {1, 7}. Vamos determinar a 
função f: A → B definida pela lei y = 2x2 – 1.
x = –1 x = 1 x = 2
y = 2 . (–1)2 – 1 y = 2 . 12 – 1 y = 2 . 22 – 1
y = 2 . 1 – 1 y = 2 . 1 – 1 y = 2 . 4 – 1
y = 2 – 1 y = 2 – 1 y = 8 – 1
y = 1 y = 1 y = 7
Figura 4 – Representação gráfica de A = {–1, 1, 2} e B = {1, 7}
1
A Bf 
–1
1
2
7
Fonte: Elaborada pelo autor.
Todos os elementos do contradomínio foram associados no domínio. Portanto, f é uma 
função sobrejetora.
Matemática aplicada78
4.4.3 Função bijetora
Uma função é bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Figura 5 – Exemplo de função bijetora
A B
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nesse caso, não sobra elemento no contradomínio (sobrejetora) e cada imagem possui uma 
única associação (injetora). As associações são únicas, logo, nunca teremos um valor relacionado 
a mais que um no outro conjunto.
Vejamos um exemplo, dados os conjuntos A = {0, 2, 4} e B = {–1, 3, 7}. Vamos determinar a 
função f: A → B definida pela lei y = 2x – 1.
x = 0 x = 2 x = 4
y = 2 . 0 – 1 y = 2 . 2 – 1 y = 4 . 2 – 1
y = 0 – 1 y = 4 – 1 y = 8 – 1
y = –1 y = 3 y = 7
Figura 6 – Representação referente aos conjuntos A = {0, 2, 4} e B = {–1, 3 , 7}
A B
–10
2
4
7
3
Fonte: Elaborada pelo autor.
Cada elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A e cada elemento de A 
possui uma imagem distinta em B.
4.4.4 Função inversa
A partir de agora observaremos duas funções: a função f, inversa de v, que faz a ligação entre 
a função x e a função y; e a função g, que determinará a ligação entre a função y até a função x. O 
mesmo ocorrerá em relação à imagem. O domínio da função f será a imagem da função g e vice-
versa, conforme passos a seguir.
Funções: outros modelos 79
Isolar x na sentença y = f(x).
• Por ser usual a letra x como símbolo da variável independente, trocamos x por y e y por x.
Vejamos exemplos de aplicação desse conceito:
1. Seja a função: y = x + 5, na lei de correspondência f: A → B.
Troca-se o x por y e vice-versa, então teremos: x = y + 5.
Isola-se o y:x – 5 = y ou y = x – 5.
Lei de correspondência da função f–1.
2. Determinar a lei da função inversa de y x
x
�
�
�
2
1
 para x ≠1.
x y
y
�
�
�
2
1
x(y – 1) = y + 2
xy – x = y + 2
xy – y = x + 2
y(x + 1) = x + 2
y x
x
�
�
�
2
1
A lei de formação da função inversa é igual à lei da função dada.
Considerações finais
Neste capítulo, avançamos muito no estudo das funções. Vimos que nem todas as relações 
são funções, somente aquelas em que cada elemento de um conjunto se relaciona com um, e 
somente um, elemento de outro conjunto. Outra observação bastante interessante é que as funções 
podem ser estudadas, independentemente de seu tipo e comportamento. Podem ser exponenciais, 
inversas, logarítmicas etc., e todas podem ser aplicadas a atividades e ações empresariais.
Ampliando seus conhecimentos
• MUROLO, A.; BONETTO, G. Matemática aplicada à administração, ciências contábeis e 
economia. 2. ed. ampl. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
Esta obra é um ótimo material de pesquisa sobre aplicações de funções à área gerencial. 
Essa edição, em especial, apresenta uma série de aplicabilidades para custos, demanda, 
oferta e receita.
Matemática aplicada80
• VENNGAGE. Criador de Infográficos Gratuito. 2019. Disponível em: https://pt.venngage.
com/. Acesso em: 11 out. 2019.
• INFOGRAM. Create Infographics, Reports and Maps. 2019. Disponível em: https://
infogram.com/. Acesso em: 11 out. 2019.
• VISUALLY. Premium Content Creation for Better Marketing. 2019. Disponível em: 
https://visual.ly/. Acesso em: 11 out. 2019.
Uma das formas mais interessantes de estudar as funções é por meio dos gráficos, 
considerando terem recursos como cores, formas, organização bidimensional e outros 
que facilitam entender como as informações se comportam e variam à medida que 
atribuímos ou substituímos novos valores. O Microsoft Excel traz uma área exclusiva 
com variadas opções de gráficos, inclusive os mais usados em estudos de funções, como 
o linear e o de dispersão. Porém, existem também outros programas com muitos recursos 
para a construção precisa de gráficos, como o Venngage, que inclusive associa gráficos a 
imagens e reproduz movimentos, e os aplicativos Infogram e Visually, que são excelentes.
Atividades
1. Um gerente de loja acompanhou durante 21 dias as vendas de televisores 4K. Ele notou que 
o número de televisores vendidos, dado por N, em relação ao número de dias, dado por t, 
pode ser obtido por N = 0,25t – 4t + 16. Com essas informações:
a) calcule os coeficientes da função;
b) calcule a forma da concavidade;
c) explique a estrutura da parábola e determine suas raízes;
d) determine o vértice;
e) obtenha o número de televisores 4k para o último dia, ou seja, o 21º dia, quando t = 20.
2. O valor v de uma ação negociada no Ibovespa, no decorrer de 12 meses, é dado pela 
expressão: v = 2t2 – 20t + 60. Sabe-se que o valor da ação é dado em reais. Determine:
a) os coeficientes da função;
b) a forma da concavidade;
c) as características da parábola e suas raízes;
d) o vértice;
e) o valor da ação após um ano, ou seja, no último mês (12) de avaliação.
3. O montante de uma dívida no decorrer de n meses é dado por M(n) = 25.000 . 1,07x. 
Determine o montante final nos meses 7 e 9.
Funções: outros modelos 81
4. O montante de uma dívida no decorrer de x meses é dado por M(x) = 10.000 . 1,05x. 
Determine após quanto tempo o montante será de R$ 40.000,00.
5. A população de uma cidade é de 480 mil habitantes e cresce 2,75% ao ano. Determine a 
expressão da população (P) como função do tempo.
6. Um carro com valor inicial de R$ 42.000,00 sofre uma depreciação de 12,5% ao ano. 
Determine a expressão do valor (V) como função do tempo (t).
7. Calcule o valor dos seguintes logaritmos:
a) log16 64
b) log5 (0,000064)
c) log49 7
3
8. Se log5 x = 2 e log10 y = 4, então log20 y : x é?
9. Sendo log3 x, determine f(81).
10. Sendo f(x) = 2 log4 x
2, determine f(6).
11. Um capital C é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. 
Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, em quantos anos o capital 
acumulado será o dobro do capital inicial?
• Considere M = C . (1 + i)t, em que M é o montante, C é o capital inicial, i é a taxa de juros 
e t é o tempo.Use log 2 = 0,301 e log 1,08 = 0,033)
12. Verifique se a função f(x) = log5 (3x – 6) é crescente ou decrescente e determine seu domínio.
13. Dada a função f(x) = x², qual será a sua inversa?
14. Determine a inversa da função f(x) = (2x + 3) : (3x – 5), para x ≠ 5/3.
5
Sequências e progressões
Desde o século XVII a.C., existem relatos do uso de sequências e progressões nos papiros de 
Ahmés. Mas, além dele, outros importantes matemáticos e filósofos já tratavam do assunto, como 
os pitagóricos Euclides e Diofanto de Alexandria, Leonardo Fibonacci e Carl Friedrich Gauss.
Nos estudos do som, os pitagóricos (585 a.C.) chegaram à conclusão de que o movimento 
das cordas produzia uma sequência que, observada atentamente, era vibratória e podia ser medida.
Mais à frente, Fibonacci criou sequências numéricas que ampliavam os estudos sobre 
progressões, utilizadas em várias pesquisas. Gauss, também chamado de príncipe da matemática, 
deu continuidade às pesquisas introduzindo os cálculos matemáticos definitivamente no estudo 
das sequências e progressões.
É interessante observar a aplicabilidade desses conceitos e cálculos como ferramentas 
matemáticas. Juros simples e compostos, por exemplo, nada mais são do que progressões aritméticas 
e geométricas muito utilizadas na matemática financeira e na gestão de negócios. As sequências 
estão presentes no nosso dia a dia, sendo notáveis, por exemplo, em calendários e datas de eventos 
especiais que se repetem periodicamente, como as Olimpíadas, a Copa do Mundo etc.Podemos citar ainda outros importantes estudos, como os de Charles Darwin, que 
apresentam uma complexa teoria sobre a evolução das espécies. Sequências e progressões, portanto, 
são conceitos utilizados em muitas áreas, algumas vezes também mencionados em livros como An 
essay on the principle of population de Thomas Malthus, economista britânico (1803, tradução livre): 
“as populações crescem em progressão geométrica ao mesmo tempo que as reservas alimentares 
crescem apenas como uma progressão aritmética”.
5.1 Sequências
Podemos chamar de sequência ou sucessão numérica a representação de uma função dentro 
de um grupo de números. A sequência é, portanto, uma ordem em um conjunto, podendo ser 
classificada em finita ou infinita.
• Exemplo de sequência finita: (1, 3, 5, 7, 9)
• Exemplo de sequência infinita: (1, 3, 5, 7, ...)
Para simbolizar que uma sequência é infinita, observe que usamos reticências no final dela.
Vamos considerar a sequência em que foram realizadas as edições da Copa do Mundo FIFA 
a partir de 1994:
• Estados Unidos: 1994
• França: 1998
• Coreia do Sul e Japão: 2002
Matemática aplicada84
• Alemanha: 2006
• África do Sul: 2010
• Brasil: 2014
• Rússia: 2018
Organizando esses dados, temos: (1994, 1998, 2002, 2006, 2010, 2014, 2018). Os parênteses 
demonstram que estamos dispondo essas informações em uma sequência que, nesse caso, 
apresenta-se em ordem crescente. Essa é uma forma de organizar esse conjunto de informações.
Cada um desses elementos é chamado de termo de uma sequência e pode ser representado 
também pela letra a, acompanhada de um índice que mostra sua ordem ou posição, logo: (a1, a2, 
a3, a4, ..., an).
Na sequência de anos em que ocorreu a Copa do Mundo, por exemplo, temos:
• Primeiro termo: a1 = 1994.
• Segundo termo: a2 = 1998.
• Terceiro termo: a3 = 2002, e assim sucessivamente.
O termo an, que representa o enésimo termo, será a data de 2018, última medição, que 
representa a Copa do Mundo realizada na Rússia.
5.1.1 Lei de formação de uma sequência
Observe as sequências:
Figura 1 – Sequência de triângulos
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 2 – Sequência de setas
...
Fonte: Elaborada pelo autor.
Analisando a sequência de setas, podemos dizer que a figura a ocupar a oitava posição é:
Sequências e progressões 85
Em matemática, uma sequência é qualquer f em que o domínio é N. Por exemplo: f = N* → R, 
definido por f(n) = 5n.
Podemos chamar n de 1, 2, 3, ... logo:
 f(1) = 5 . 1 = 5
 f(2) = 5 . 2 = 10
 f(3) = 3 . 3 = 15 e f(n) = 5n
Então, temos como resposta a sequência (3, 6, 9, ..., 3n).
5.1.2 Formas de sequência
Como vimos, as sequências podem ser finitas ou infinitas. Na sequência numérica finita, a 
quantidade de elementos de um conjunto é limitada. Os elementos também podem ser chamados 
de termos. Para representá-la, utilizamos: (a1, a2, a3, a4, ... an). Exemplo:
y = conjunto dos números ímpares menores que 15.
[0, 15] = {y R / 0 < y < 15}, logo, y = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}.
Na sequência numérica infinita, os termos ou elementos são ilimitados. Nesse caso, a 
representação é feita de outra maneira: (a1, a2, a3, a4, ...). Por exemplo:
y será o conjunto do número 4 ou dos números maiores que 4.
[4, + ∞[ = { y R / y ≥ 4}, logo y = {4, 5, 6, 7, 8, ...}.
As sequências ainda podem ser ordenadas como crescentes ou decrescentes. Para isso, é 
necessário levar em conta o antecessor e o sucessor de um termo.
Crescente: a1 < a2 < a3 < a4 < ... < an < ...
Exemplo: 1 < 2 < 3 < 4 < ... < 500 < ...
Decrescente: a1 > a2 > a3 > a4 > ... > an > ...
Exemplo: 500 > 499 > 498 > ...
5.1.2.1 Sequências definidas a partir do termo geral
Podemos determinar a lei de formação de uma sequência observando seu comportamento, 
à medida que os termos avançam. Também chamada de fórmula do termo geral, essa lei permite 
encontrar o valor de qualquer termo da sequência. É também conhecida como fórmula do 
enésimo termo.
Considere a sequência: (4, 8, 12, 16, 20, ...). Quando n = 1, nos referimos ao primeiro termo 
da sequência, que é 4. O segundo termo será 8, o terceiro será 12 e assim por diante.
Ou seja:
n = 1, logo, a1 = 4
n = 2, logo, a2 = 8
n = 3, logo, a3 = 12
Matemática aplicada86
Para encontrar uma única lei de formação dessa sequência, ou a fórmula do termo geral, é 
necessário observar um mesmo padrão de comportamento para todos os termos.
Logo:
Se n = 1, então a1 = 4. Portanto, 4 . 1 = 4.
Se n = 2, então a2 = 8. Portanto, 4 . 2 = 8.
Se n = 3, então a3 = 12. Portanto, 4 . 3 = 12.
É possível, dessa forma, observar qual é o padrão. O número 4 aparece em todos os termos, 
logo, podemos dizer que o enésimo termo dessa sequência será dado por an = 4n. Assim, por 
exemplo, a15 = 4 . 15 = 60.
Em algumas sequências, encontrar o termo geral pode ser mais complicado e demandar 
certa lógica. Observemos a sequência: (1, 5, 9, 13, 17, ...).
Se n = 1, temos a1 = 1 = 4 . 1 – 3 = 1
Se n = 2, temos a2 = 5 = 4 . 2 – 3 = 5
Se n = 3, temos a3 = 9 = 4 . 3 – 3 = 9
Para encontrar a relação entre os termos e identificar o termo geral foi necessário um pouco 
mais de atenção e raciocínio lógico. Nesse caso, temos an = 4n – 3.
Cada elemento ou termo an será calculado em função da sua posição n na sequência. Vejamos 
um exemplo: quais serão os três primeiros termos da sequência em que o termo geral é an = n + 10?
a1 = 1 + 10 = 11
a2 = 2 + 10 = 12
a3 = 3 + 10 = 13
Podemos dizer que a sequência com termo geral an = n + 10 será igual a (11, 12, 13, …).
5.1.2.2 Sequência definida por recorrência
A recorrência é uma regra que nos permite calcular um termo qualquer de uma sequência 
em função de termos anteriores. Ao contrário do que acontece com os conjuntos, as sequências 
(a, b, c) e (b, c, a) não são as mesmas, pois o que define uma sequência além de seus elementos é a 
ordem deles. No exemplo indicado, usamos uma sequência de letras, mas poderiam ser símbolos 
ou números.
Considere o termo geral: an+1 = an + 5. Sabendo que a1 = 6, vamos calcular os quatro primeiros 
termos dessa sequência.
a1 = 6
a3+1 = a3 + 5
a4 = 16 + 5
a4 = 21
Logo, essa sequência ficará (6, 11, 16, 21).
Sequências e progressões 87
O exercício a seguir aborda o tema de sequências recorrentes. Vamos observar a resolução 
para compreender a aplicação dos conceitos até então apresentados.
Quais são os cinco primeiros elementos de uma sequência an = 12
n + 1?
Solução:
Para o primeiro termo, n = 1, temos a1 = 12
1 + 1 = 12 + 1 = 13
Para o segundo termo, n = 2, temos a2 = 12
2 + 1 = 144 + 1 = 145
Para o terceiro termo, n = 3, temos a3 = 12
3 + 1 = 1.728 + 1 = 1.729
Para o quarto termo, n = 4, temos a4 = 12
4 + 1 = 20.736 + 1 = 20.737
Para o quinto termo, n = 5, temos a5 = 12
5 + 1 = 248.832 + 1 = 248.833
Dessa forma, temos a sequência (13, 145, 1.729, 20.737, 248.833).
Esse conjunto de informações que aprendemos sobre as sequências e suas características 
será fundamental para avançarmos aos próximos assuntos, que são as progressões aritméticas e as 
progressões geométricas.
5.2 Progressões aritméticas
A progressão aritmética (PA) é comumente utilizada na matemática financeira, normalmente 
aplicada a juros simples, cálculos de rendimento de poupança, modelos de financiamento etc. 
Existem muitas aplicações para a PA, então será possível observar outras relações.
Vejamos a sequência: (4, 7, 10, 13, 16, 19). O elemento 4 é o primeiro termo e aparece 
indicado por a1; o elemento 7 é o segundo termo e será indicado por a2; e assim sucessivamente.
Em relação a essa sequência, podemos notar que é sempre constante. Ela obedece a uma 
regra: aumenta de 3 em 3 unidades. Essa diferença na progressão aritmética é chamada de razão e 
representada por r.
Portanto, uma PA é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do 
anterior com uma constante r dada. Ou ainda, uma PA é uma sequência numérica obtida a partir 
de um primeiro termo, na qual todos os demais termos, ao serem somados com uma razão, terão 
crescimento constante.
Sãoexemplos de PA:
(10, 20, 30, 40, 50) → é uma PA de razão 10.
(11, 8, 5, 2, –1, –4, –7) → é uma PA de razão –3.
(7, 7, 7, 7, 7, 7) → é uma PA de razão 0.
Esses exemplos são bastante simples. No decorrer do capítulo vamos introduzir graus de 
dificuldade em progressões mais elaboradas.
Matemática aplicada88
5.2.1 Notação
As notações são símbolos e abreviações que ajudam na apresentação de determinados 
assuntos, uma generalização. Existem muitas notações que são representadas da mesma forma em 
todo o mundo, fortalecendo o fato de a linguagem matemática ser um grande facilitador.
A seguir, vamos demonstrar a notação do termo geral de uma PA.
PA (a1, a2, a3, a4, ..., an)
Em que:
a1 = primeiro termo da PA.
an = último termo, termo geral ou enésimo termo.
n = número de termos (se essa PA for finita).
r = razão.
Exemplo:
PA = (4, 8, 12, 16, 20, 24)
a1, a2, ... an ou a6
a1 = 4 → representa o primeiro termo.
an = a6 = 24 → representa o último termo.
n = 6 → representa o número de termos.
r = 4 → representa a razão.
Podemos observar que os elementos necessários para caracterizarmos uma PA foram 
demonstrados com a finalidade de esclarecer os conceitos e facilitar o entendimento. Porém 
aprofundaremos esses conceitos, visto ser um tema amplo, pois uma PA pode apresentar diversas 
classificações importantes para a resolução de problemas.
5.2.2 Classificação
Podemos classificar uma PA como finita ou infinita. Com relação ao seu crescimento, ainda, 
observando sua razão, podemos defini-la como crescente, decrescente ou constante.
5.2.2.1 Quanto à razão
• Crescente
Exemplo: (6, 12, 18, 24, 30) → é uma PA de razão 6, ou seja, r > 0.
• Decrescente
Exemplo: (15, 12, 8, 6, 3, 0, –3) → é uma PA de razão –3, ou seja, r < 0.
• Constante ou estacionária
Exemplo: (7, 7, 7, 7, 7) → é uma PA de razão nula, ou seja, r = 0.
Sequências e progressões 89
5.2.2.2 Quanto ao número de termos
Podemos classificar uma PA como:
• Finita
Exemplo: (4, 8, 12, 16, 20, 24) → é uma PA de 6 termos e razão igual a 4. Podemos dizer 
que é uma PA com número de termos limitado.
• Infinita
Exemplo: (9, 7, 5, 3, 1, –1, –3, –5, ...) → é uma PA de infinitos termos, indicada por 
reticências (...), e de razão –2.
5.2.3 Propriedades
As propriedades de uma PA auxiliam a antecipar passos na resolução de problemas, bem 
como a simplificar as resoluções ajustando algumas etapas.
5.2.3.1 Termos consecutivos
Em uma PA, qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética de seu antecessor e 
de seu sucessor.
Vamos considerar, por exemplo, a PA (2, 6, 10, 14, 18, 22). Podemos escolher três termos 
consecutivos quaisquer, como 2, 6 e 10 ou 10, 14 e 18. O termo médio será a média aritmética dos 
outros dois termos.
2 10
2
6
10 18
2
14
�
�
�
�
5.2.3.2 Termo médio
Se uma PA apresentar qualquer número ímpar de termos, o termo médio (do meio) será a 
média aritmética do primeiro e do último termos.
Observe, por exemplo, a PA (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35). O termo médio é 20, ou seja:
5 35
2
20� �
5.2.3.3 Termos equidistantes
Nessa propriedade, observe que partimos dos dois termos centrais (de dentro para fora) e 
que em todos a média aritmética é exatamente a mesma.
Observe, por exemplo, a PA (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32).
16 + 20 = 36
12 + 24 = 36
8 + 28 = 36
4 + 32 + 36 (extremos)
Matemática aplicada90
5.2.3.4 Termo geral
Observadas todas as notações e as principais propriedades, chegamos ao momento de definir 
o termo geral. Ele nos levará à construção da fórmula geral da PA, que usaremos para os exercícios 
e aplicações. Portanto, uma PA pode ser descrita como:
PA (a1, a2, a3, ..., an)
Considerando a2 = a1 + r
 a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 +2r
 a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 +3r
 ...
 an = a1 + (n – 1)r
Portanto, substituindo, temos a PA (a1, a1 + r, a1 + 2r, a1 + 3r, ..., a1 + (n – 1) r). Ajustando e 
simplificando, a fórmula geral é dada por:
an = a1 + (n – 1) r, para n que pertence a N*
Vamos aplicar a fórmula geral na resolução de alguns exemplos:
1. Determine primeiramente o quinto termo da PA (3, 6, 9, ...).
Solução:
O primeiro passo é observar quais são os dois primeiros termos e achar a razão.
a1 = 3
a2 = 6
r = a2 – a1 = 6 – 3 = 3
Logo:
a5 = a1 + r + r + r + r
a5 = 3 + 3 . 4
a5 = 15
2. Determine o oitavo termo da PA em que a3 = 6 e r = –2.
Solução:
Como já sabemos que o terceiro termo é 6 e a razão é –2, para definir o oitavo termo 
seguiremos dois passos.
a) Definimos a1:
 6 = a1 + (3 – 1) . (–2) → a1 = 10
Sequências e progressões 91
b) Substituímos novamente na fórmula, só que agora buscando o 8º termo:
a1 = 10
r = –2
a8 = 10 + (8 – 1) . (–2)
a8 = 10 + 7(–2)
a8 = 10 – 14
a8 = –4
5.2.4 Soma dos termos de uma PA finita
Vamos observar a sequência (3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21). Nela, temos uma PA de razão 2. 
Assim, calcular a soma dos termos dessa sequência seria uma tarefa simples, pois o conjunto é 
finito e pequeno. Se tivéssemos que somar 200 ou 300 números, essa tarefa não seria fácil. Para a 
solução dessa situação, podemos usar a propriedade dos números equidistantes.
a1 + a10 = 3 + 21 = 24
a2 + a9 = 5 + 19 = 24, e assim com todos até a5 + a6 = 11 + 13 = 24
Logo, confirmamos que a soma dos termos é equidistante (24) e apareceu 5 vezes nessa PA. 
Em vez de somarmos termo a termo, podemos calcular 5 . 24 = 120. Então, soma10 ou S10 = 120.
Podemos simplificar utilizando a fórmula:
Sn = (a1 + an) . 
n
2
Vamos para mais algumas aplicações a partir dos exemplos propostos:
1. Calcule a soma dos 60 primeiros termos da PA (2, 6, 10, 14, ...).
Solução:
a1 = 2
r = a2 – a1 = 6 – 2 = 4
a60 = a1 + 59r = 2 + 59 . 4 = 2 + 236 = 238
S60 = (2 + 238) . 60 : 2
S60 = 240 . 30
S60 = 7.200
Matemática aplicada92
2. Um carteiro percorre 10 quilômetros na primeira hora, 8 quilômetros na segunda hora e 
assim por diante, em progressão aritmética. Quanto percorrerá em 5 horas?
Solução:
a1 = 10
r = a2 – a1 = 8 – 10 = –2
a5 = a1 + 4r = 10 + 4 . –3 → 10 – 12 = –2
S5 = (10 – 2) . 2,5
S5 = 20 km
5.3 Progressões geométricas
Observe a sequência: (3, 6, 12, 24, 48, ...). Cada termo está apresentando uma posição. Logo, 
podemos chamar o primeiro termo de a1, o segundo de a2 e assim sucessivamente.
Diferentemente da progressão aritmética, na progressão geométrica (PG), a diferença entre 
dois termos consecutivos não é uma constante. Como determinamos, então, se uma sequência é 
PG?
Basta dividir o termo consequente (a2) pelo antecedente (a1), depois a3 por a2, e assim n 
vezes. Quando, em uma sequência, essas divisões resultam em um mesmo número, significa 
encontramos a razão da PG.
Na sequência apresentada no início dessa seção, temos:
6
3
12
6
24
12
2= = =...
Logo, 2 é a razão da progressão geométrica, chamada de q.
A progressão geométrica é uma sequência muito utilizada e presente em nosso cotidiano. 
Seu estudo é aplicado em previsões de situações de curto e médio prazo, como fenômenos 
naturais, temperatura e condições geológicas. Também é utilizado nas ciências exatas, em estudos 
de viabilidade econômico-financeira e sistemas de juros, por exemplo. Observemos a seguir uma 
aplicação deste conceito.
No ano de 2016, a empresa X produziu 300 mil unidades de um transistor. A X fez uma 
previsão de que a cada ano a produção aumentaria 10% em relação ao anterior. Logo, quantas peças 
foram produzidas em 2019?
Solução:
• 2016: 300 – primeiro termo da PG
• 2017: 330
• 2018: 363
• 2019: 399,3 – quarto termo da PG; peças produzidas em 2019
Sequências e progressões 93
Observe que o crescimento foi geométrico. Vamos ver o que ocorre se representarmos isso 
em um gráfico:
Gráfico 1 – Crescimento geométrico da produção
400
375
350
325
300
2014 2015 2016 2017 2018
Unidades
Fonte: Elaborado pelo autor.
Notamos um acentuado e rápido crescimento da linha gráfica, pois os valores aumentam 
consideravelmente a cada ano. A isso chamamos de comportamento geométrico.
5.3.1 Representação e fórmula geral
Paracalcular uma progressão geométrica é preciso definir alguns elementos que comporão 
a fórmula geral:
a1 = primeiro termo da PG.
an = último termo da PG ou, ainda, enésimo termo.
n = número de termos da PG.
q = razão da PG.
Analogamente à progressão aritmética, pode-se definir o termo geral de uma progressão 
geométrica de acordo com o primeiro termo e a razão, de modo que:
Considerando a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . r = a1 . q²
a4 = a3 + q = (a1 . q²) . q = a1 . q³
Logo:
an = a1 · q
n – 1
5.3.2 Classificação
A classificação da PG, analogamente à PA, pode se organizar em:
Matemática aplicada94
• Finita
Exemplo: (3, 6, 12, 24) → apresenta um número finito de termos com q = 2.
• Infinita
Exemplo: (2, 8, 32, 128, 512, ...) → número infinito de termos, indicado por reticências 
(...) e q = 4.
5.3.3 Comportamento da progressão geométrica
A progressão geométrica pode ser classificada de acordo com a razão q em:
• Crescente: o termo posterior é maior que o anterior. Para que isso aconteça, é necessário 
e suficiente que a1 > 0 e q > 1, ou a1 < 0 e 0 < q.
Exemplos: (2, 4, 8, ...); q = 2 e (–4, –2, –1, –½, ...); q = ½
• Decrescente: o termo posterior é menor que o anterior. Para que isso aconteça, é necessário 
e suficiente que a1 > 0 e 0 < q < 1, ou a1 < 0 e q > 1.
Exemplos: (8, 4, 2, 1, ½, ...); q = ½ e (–1, –2, –4, –8, ...); q = 2
• Constante: todos os termos da PG são iguais, ou seja, q = 1.
Exemplo: (5, 5, 5, 5, ...); q = 1
• Oscilante: todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos quaisquer 
têm sinais opostos. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a1 ≠ 0 e q < 0.
Exemplo: (3, –6, 12, –24, 48, –96, ...); q = –2
• Quase nula: o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero, isto 
é, a1 ≠ 0 e q = 0.
Exemplo: (9, 0, 0, 0, 0, ...); q = 0
Vejamos alguns exemplos de aplicação desses conceitos para melhor entendê-los.
1. Determinar o décimo termo da PG (2, 4, 8, ...).
Solução:
a1 = 2
q = 4 : 2 = 2
an = a1 . q
n – 1
a10 = a1 . q
9
a10 = 2 . 2
9
a10 = 2
10 = 1.024
2. Determine o número de termos da PG (3, 6, ..., 768).
Solução:
a1 = 3
Sequências e progressões 95
q = 6 : 3 = 2
an = 768
an = a1 . q
n – 1
768 = 3 . 2n – 1
256 = 2n – 1
28 = 2n – 1
8 = n – 1
n = 9
Considerações finais
Nesse capítulo foi possível perceber como o estudo de sequências, progressões aritméticas 
e geométricas, além de ser muito interessante, permite inúmeras aplicabilidades, facilitando a 
resolução de problemas. No cotidiano, observa-se a progressão aritmética em estudos de áreas 
afins, na organização do calendário etc. Por sua vez, a progressão geométrica pode ser encontrada 
em relações comerciais, taxas de crescimento populacional, entre outros. Portanto, o estudo de 
sequências é um importante passo para o entendimento dos conceitos matemáticos presentes no 
dia a dia.
Ampliando seus conhecimentos
Existe um conceito muito interessante conhecido como sequência de Fibonacci. Essa 
sequência tem aplicações na análise de mercados financeiros, na biologia, na teoria dos jogos, entre 
outras áreas. É bastante complexa e seu estudo tornou-se mais detalhado apenas com o avanço 
das novas tecnologias. Os gregos e indianos já descreviam as sequências antes de Cristo, mas a 
sequência aparece pela primeira vez no livro Liber Abaci, no ano de 1202, por autoria de Fibonacci 
(SIGLER, 2003). Seus estudos partiram do crescimento de uma população de coelhos, em que, ao 
longo do tempo, o comportamento geométrico de nascimento ficava muito evidente. O estudo 
de Fibonacci está muito ligado aos comportamentos apresentados pela natureza, nas espirais que 
compõem a formação das folhas das plantas, na anatomia humana e na reprodução de seres vivos. 
A sequência de Fibonacci também está presente em algumas produções do cinema e da televisão. 
O tema é apresentado na série Criminal Minds, do Canal AXN, e na série Touch, do Canal Fox. No 
filme O Código da Vinci, a sequência de Fibonacci foi utilizada como um código.
Vale a pena conhecer um pouco mais sobre esse conceito, para isso sugerimos:
• DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013. 
Apresenta um capítulo inteiro sobre sequências e progressões, rico em conceitos e 
exercícios resolvidos.
Matemática aplicada96
Atividades
1. Uma sequência numérica infinita (a1, a2, a3, ..., an, ...) é tal que a soma dos n termos iniciais é 
igual a n2 + 7n. Qual será o terceiro termo dessa sequência?
2. A senha da sua TV por assinatura possui seis números, sequenciais e menores que 100. Você 
lembra apenas dos números: (32, 28, ..., 33, 42, 38). Como existe uma lógica nessa sequência, 
descubra o terceiro número.
3. A soma de três espaços consecutivos é igual a 20. Cada um dos espaços vazios deve ser 
preenchido por um número inteiro e positivo. Logo, no espaço definido pela letra G, qual 
número deverá ser escrito?
4. Observe as sequências de termos gerais: an = 2n + 1; bn = 2n; cn = an bn+1, em que n pertence 
a N. Qual é o décimo quinto termo da sequência de termo geral cn?
5. Determine o quarto termo na sequência definida por:
a1 = 4
an + 1 = an + 7 . n (n pertence a N*)
6. Determine o sétimo termo da PA em que a4 = 20 e r = –4.
7. Determine a soma dos 70 primeiros termos da PA (3, 6, 9, 12, ...).
8. Interpole 3 meios aritméticos entre 2 e 18.
9. Um número é divisível por 9 se a soma dos algarismos for igual a um número que seja 
múltiplo de 9. Determine então quantos múltiplos de 9 existem entre 200 e 1000.
10. Um corredor percorre 40 quilômetros na primeira hora, 34 quilômetros na segunda hora e 
assim sucessivamente. Quantos quilômetros percorrerá em 6 horas?
11. Em uma progressão de 6 termos, a razão é igual a 5. O produto do primeiro termo com o 
último é 12.500. Determine o valor do terceiro termo.
12. Calcule a soma dos 10 primeiros termos da progressão geométrica (2, 4, 8 ...).
13. Calcule a soma dos termos da PG (1, 1
2
, 1
4
, 1
8
, ...).
14. Dados os valores a1 = 1 e a2 = 3, determine a razão e, em seguida, calcule a soma dos n 
primeiros termos.
15. Sendo o terceiro termo de uma progressão geométrica dado por 10 e o sexto termo dado 
por 80, a razão dessa PG será?
6
Análise combinatória e probabilidades
Frequentemente, notícias envolvendo jogos, sorteios, estimativas, chances, contagens, 
amplitudes, entre outras aplicações dos conceitos de análise combinatória e probabilidade, estão 
em evidência nos jornais e nas redes sociais. Observe estes exemplos:
Acontece nesta quarta-feira, 30 de janeiro de 2019, o 
sorteio do concurso de número 
2120 da Mega-Sena, que hoje 
tem premiação estimada em 
R$ 20.000.000,00. As dezenas 
serão sorteadas às 20h na cidade 
de Guaraciaba, em Santa Catarina, 
onde se encontra o Caminhão da 
Sorte.
Fonte: Bohrer, 2019.
Mega-Sena: concurso 2120 
de hoje pode pagar R$ 20 milhões
[...] Para fazer ligações ou 
mandar mensagens de qualquer 
lugar do país, seja de telefone 
fixo ou móvel, para celulares 
será preciso discar o 9 antes do 
número do telefone. Segundo 
a Anatel, a inclusão de mais 
um dígito nos telefones móveis 
tem como principal objetivo 
aumentar a disponibilidade de 
números na telefonia celular.
Fonte: Craide, 2016.
Números de celulares de todo o país 
terão nove dígitos a partir do dia 6
O rodízio de automóveis 
ficará suspenso na cidade de São 
Paulo a partir desta sexta-feira 
(21), em razão dos feriados de 
fim de ano. A restrição voltará a 
funcionar no dia 14 de janeiro, 
de acordo com a prefeitura.
Fonte: Jovem Pan, 2018.
Rodízio de veículos em São Paulo 
é suspenso para o fim de ano
Matemática aplicada98
A aplicação da análise combinatória e da probabilidade é muito mais ampla do que os 
exemplos citados. As organizações empresariais utilizam esses estudos em muitas tomadas de 
decisões, como em pesquisas mercadológicas, avaliação de riscos das operações, comparação 
e análise de dados e, ainda, ferramentas e programas computacionais muitoeficientes. O Lean 
Six Sigma1, por exemplo, utiliza as probabilidades para desenvolver a melhoria da qualidade dos 
processos.
6.1 Conceitos introdutórios
Os tipos de problemas que envolvem probabilidades são infinitos – por isso é importante 
conhecer seus conceitos básicos. Os estudos de probabilidade analisam os experimentos aleatórios, 
que são eventos cujos resultados são imprevisíveis. Podemos considerar um exemplo simples: 
lançar um dado honesto quatro vezes seguidas e, na face voltada para cima, obter um valor ímpar. 
Pensar a respeito implica avaliar probabilidades.
Pierre de Fermat e Blaise Pascal2 foram os primeiros matemáticos a dar tratamento 
científico ao tema, lançando as teorias sobre análise combinatória, um dos pilares do estudo de 
probabilidades. A necessidade de calcular o número de chances de sucesso em jogos de azar levou 
a análise combinatória ao desenvolvimento de métodos de contagem que permitiam observar os 
elementos de um conjunto obtido sob determinadas condições. Assim, as probabilidades surgem 
da necessidade de tomar decisões e avaliar as hipóteses possíveis. Além de Fermat e Pascal, outros 
matemáticos também contribuíram para o avanço da teoria das probabilidades, destacando-se os 
da família Bernoulli3 e Pierre Laplace4.
A Figura 1 a seguir apresenta os três níveis de tratamento das informações para o 
desenvolvimento da teoria da análise combinatória. Observe:
Figura 1 – Análise combinatória
Ordenar informaçõesOrganizar e contar Agrupar os dados
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fazer a contagem, agrupar os dados conforme suas características e ordenar as informações 
para a obtenção e comparação dos resultados, portanto, são objetivos da análise combinatória. 
Logo, a análise combinatória é o estudo que permite a um conjunto finito de elementos ser avaliado, 
utilizando a lógica matemática e todas as possibilidades de combinações.
1 Método para obter resultados rápidos, envolvendo a resolução de problemas por meio da implantação de uma 
cultura de melhoramento contínuo dos processos, reduzindo sua variabilidade e evitando desperdícios.
2 Pierre de Fermat, advogado e oficial francês, propôs um sistema de geometria analítica. Seus estudos em teoria 
de número são amplamente lembrados. Blaise Pascal, filósofo e matemático francês, inventou a primeira máquina de 
calcular para processos de adição e subtração. Juntos, por meio de cartas, estabeleceram os fundamentos da Teoria das 
Probabilidades.
3 A família Bernoulli é reconhecida por se compor de notáveis cientistas das áreas de matemática e física.
4 Matemático, astrônomo e físico francês, Pierre Simon Laplace formulou muitas teorias que ainda são válidas, como 
o fato de que o movimento planetário, conforme seus cálculos matemáticos demonstraram, não levaria os planetas a se 
chocarem.
Análise combinatória e probabilidades 99
6.2 Princípio fundamental da contagem
Vamos observar o seguinte exemplo:
Arthur aproveitou uma promoção e comprou 3 camisas de modelos diferentes, que estavam 
disponíveis nas cores azul, branca, laranja, preta e bege. Para avaliar quantas opções Arthur terá 
para se vestir, podemos organizar as informações conforme a Figura 2 a seguir.
Figura 2 – Modelos que representam as opções de Arthur
Modelo 1
Azul
Branco
Laranja
Preta
Bege
Modelo 3
Azul
Branco
Laranja
Preta
Bege
Modelo 2
Azul
Branco
Laranja
Preta
Bege
m = modelos diferentes de camisas (3)
n = cores diferentes das camisas (5 )
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nessa figura, é possível observar que:
m . n = 3 . 5 = 15 opções de escolha.
Chamamos de princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, o método 
algébrico que determinará o número total de possibilidades de o evento ocorrer, sob certas 
condições, por meio do produto entre m e n. É importante observar que existem, em um 
experimento, inúmeras possibilidades a serem combinadas utilizando esse método.
Ainda, o princípio fundamental da contagem pode ser chamado também de princípio da 
combinatória, implicando avaliar que o número de possibilidades de ações distintas e independentes 
é resultante da multiplicação da quantidade de maneiras possíveis que cada uma delas pode ser 
realizada.
Para dar continuidade aos estudos de análise combinatória, é necessário conhecer um pouco 
mais sobre o número fatorial.
6.2.1 Número fatorial
O fatorial é um número inteiro positivo representado por n!. Ele é obtido multiplicando 
seu valor por todos os antecessores até chegar a 1. O zero é excluído, já que toda multiplicação 
resultaria em zero.
Vejamos a representação matemática do fatorial:
n! = n . (n – 1) . (n – 2) ... 3 . 2 . 1 para n ≥ 2
Matemática aplicada100
O fatorial de um número também pode ser expressado pelo fatorial de (n + 1) dividido 
por (n + 1):
n! = (n + 1)! : (n + 1)
Observe alguns exemplos:
3! = (3 + 1)! : (3 + 1) = 4! : 4 = 4 . 3 . 2 . 1 : 4 = 24 : 4 = 6
2! = (2 + 1)! : (2 + 1) = 3! : 3 = 3 . 2 . 1 : 3 = 6 : 3 = 2
6.2.1.1 Casos especiais
1! = 1
Para esse fatorial:
(1 + 1)! : (1 + 1) = 2! : 2 = 2 . 1 : 2 = 1
0! = 1
Para esse fatorial, também vale a mesma regra:
(0 + 1)! : (0 + 1) = 1! : 1 = 1
6.2.1.2 Equações com fatorial
• Adição
x – 12 = 4!
x – 12 = 4 . 3 . 2 . 1 (24)
x – 12 = 24
x = 24 + 12 = 36
• Subtração
6! – 3!
(6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1) – (3 . 2 . 1) = 120
• Multiplicação
2! . 4!
(2 . 1) . (4 . 3 . 2 . 1)
2 . 24 = 48
• Divisão
6
4
6 5 4 3 2 1
4 3 2 1
720
24
30!
!
�
� � � � �
� � �
� �
Podemos calcular com mais agilidade quando compomos o fatorial de cima até o fatorial 
de baixo. Fatoriais iguais no numerador e denominador podem ser simplificados, uma vez que 
representam o mesmo número. Vejamos:
6
4
6 5 4
4
30!
!
!
!
�
� �
�
Análise combinatória e probabilidades 101
Mais um exemplo:
7
4 3
7 6 5 4 3 2 1
4 3 2 1 3 2 1
5040
24 6
5040
144
35!
! !
�
� � � � � �
� � � � � �
�
�
� �
Observe que também podemos agilizar os cálculos quando simplificamos 4 com 4, que 
são os fatoriais maiores, e distribuímos o segundo fatorial até 1. Sobram, então, apenas produtos 
comuns para resolver:
7 5 4
4 3 2 1
7 6 5
3 2 1
210
6
35� �
� �
�
� �
� �
� �
!
6.2.2 Formas de agrupamento simples
Temos três formas de agrupar dados utilizando o princípio da análise combinatória: arranjo 
simples, combinação simples e permutação simples. Cada uma das formas tem características 
próprias, conforme veremos a seguir.
6.2.2.1 Arranjo simples
Se tomarmos n elementos, p a p, onde n ≥ 1, de modo que, se mudarmos a ordem e natureza 
desses elementos, o resultado final é alterado, temos um arranjo. A fórmula para cálculo do arranjo 
é dada por:
A n
n pn p;
!
!
�
�� �
Vamos compreender a aplicabilidade desse conceito em exemplos:
1. Quantos números distintos de 4 algarismos podemos formar com os números naturais 
de 1 a 8?
Solução:
n → número de elementos que podemos utilizar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (total 8).
p → para termos números distintos devemos usar sempre quatro algarismos diferentes, sem 
repetição.
Se tomarmos os algarismos 1.234, teremos um número. Se usarmos os mesmos algarismos em 
outra ordem, 2.314, teremos um novo número, embora ainda sejam os mesmos algarismos. 
A isso chamamos de arranjo.
Aplicamos, portanto, a fórmula:
A n
n p
�
�� �
!
!
A �
�� �
� �
� � � �8
8 4
8
4
8 7 6 5 4
4
!
!
!
!
!
!
= 1.680 números distintos
Matemática aplicada102
2. As senhas da TV a cabo de uma operadora são formadas por 3 vogais distintas e 4 números 
inteiros, de 2 a 9, também distintos. Quantas senhas podem ser formadas, de modo que o 
número 7 ocupe sempre a “casa” da dezena de milhar?
Solução:
___ ___ ____ ____ ____ 7 _____
Vogais distintas. Números distintos: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9.
n = 5 n = 7
p = 3 p = 3, pois o número 7 já está fixado.
A n
n p
n
n p
A
A
�
�� �
�
�� �
�
�� �
�
�� �
� �
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
5
5 3
7
7 3
5
2
7
4
5 . 4 . 3 . 7 . 6 . 5 = 60 . 210 = 12.600 senhas distintas
6.2.2.2 Combinação simples
Neste tipode agrupamento, um resultado se diferencia do outro pela natureza dos números 
componentes. A ordem em que os números estarão agrupados não alterará o valor final.
Assim, a fórmula para calcular a combinação é:
C n
p n pn p;
!
! !
�
�� �
Com n ≥ p, em que n é o número de elementos e p, o número de combinações, diz-se: 
combinação p a p de n elementos. Vejamos alguns exemplos a seguir.
1. Quantas comissões de formatura de 5 alunos distintos podemos ter em uma turma de 
9 alunos?
Perceba que, nesse exemplo, ao escolher 5 alunos para a comissão, independentemente da 
ordem, obtém-se, ao final, comissões iguais (com os mesmos componentes).
Solução:
n = 9 alunos
p = 5 alunos
C n
p n pn p;
!
! !
�
�� �
Análise combinatória e probabilidades 103
C �
�� �
9
5 9 5
!
! !
C � �9
5 4
3024
24
!
! !
 → 126 comissões distintas.
2. Quantas vitaminas de 3 frutas distintas podemos elaborar com laranja, coco, banana, uva, 
goiaba, abacaxi e mamão?
Solução:
n = 7
p = 3
C n
p n pn p;
!
! !
!
! !
!
! !
�
�� �
�
�� �
�
7
3 7 3
7
3 4
Logo, é possível preparar 35 vitaminas distintas.
6.2.2.3 Permutação simples
Permutar traz a ideia de troca recíproca. Nesse caso, a permutação indica que os elementos 
do agrupamento serão reorganizados entre si, não havendo escolha de elementos específicos.
Na permutação, o total de elementos é igual à forma que são tomados. Logo, temos que n = 
p. A fórmula para o cálculo da permutação é:
Pn = n!
Vejamos alguns exemplos:
1. Com a palavra ARQUIVO, podemos obter quantos:
a) Anagramas distintos?
b) Anagramas distintos iniciados por vogal?
c) Anagramas distintos em que a quinta letra é a?
d) Anagramas distintos iniciados por q e terminados por r?
e) Anagramas em que as letras av apareçam sempre juntas, nessa ordem?
Solução:
Perceba que, na permutação, anagramas aparecem em muitos problemas. Referem-se a 
jogos de letras, de modo que, a partir de uma palavra, se pode formar outras novas palavras, 
podendo ter sentido na língua portuguesa ou não.
a) No primeiro item solicitado na atividade, portanto, faremos apenas a permutação das 
letras, sem restrição:
__ __ __ __ __ __ __
P7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5.040 anagramas distintos
Matemática aplicada104
b) Agora, como a palavra possui apenas 3 vogais, permutamos as outras letras e multiplicamos 
por 3.
A __ __ __ __ __ __
I __ __ __ __ __ __
O __ __ __ __ __ __
3 . P6! = 3 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3 . 720 = 2.160 anagramas distintos
c) Fixamos, então, a letra a, conforme pedido no enunciado, e permutamos as letras 
restantes.
__ __ __ __ A __ __
P6! = 720 anagramas distintos
d) A restrição agora pede que os anagramas sejam iniciados por q e terminados em r, então 
essas letras ficam fixas e permutam-se as demais.
q __ __ __ __ __ r
P5! = 120 anagramas distintos
e) Por último, o item pede que as letras av fiquem sempre unidas e na mesma ordem. 
Portanto, elas se tornam um único elemento, pois serão permutadas juntas e poderão 
ocupar qualquer um dos 6 lugares indicados a seguir:
 A V __ __ __ __ __
 __ A V __ __ __ __
 __ __ A V __ __ __
 __ __ __ A V __ __
 __ __ __ __ A V __
 __ __ __ __ __ A V
Logo, temos 6 formas diferentes de agrupar 5 letras.
6 . P5! → 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 → 6 . 120 = 720 anagramas distintos
2. Dispostos em ordem crescente e de maneira distinta os números 2, 3, 5, 8 e 9, que posição 
ocupa o número 95.832?
Solução:
Se colocarmos os 5 números em ordem crescente e distinta, teremos:
1ª posição: 23.589
2ª posição: 23.598
3ª posição: 23.859
Logo, __? posição será 95.831
Análise combinatória e probabilidades 105
Se fixarmos 2 e permutarmos os 4 números restantes: 2 __ __ __ __, teremos no máximo o 
valor de 23.985, logo, P4!
Se fixarmos 3 e permutarmos os 4 números restantes: 3 __ __ __ __, teremos no máximo o 
valor de 39.852, logo, mais uma P4!
Se agora fixarmos 5, teremos 5 __ __ __ __ = 59.832, logo, P4!
O mesmo ocorre com 8, pois teremos 8 __ __ __ __ = 89.532, logo, P4!
Se fizermos o mesmo com 9, contudo, vamos ultrapassar o que queremos e chegaremos a 
98.532, portanto, teremos de fixar um segundo número.
Logo: 9 2 __ __ __ = 92.853 ... P3!
 9 3 __ __ __ = 93.852 ... P3!
 9 5 __ __ __ = 95.831 ... P3!
Calculando:
4 . P4! + 3 . P3! = 4 . 4 . 3 . 2 . 1 + 3 . 3 . 2 . 1
4 . 24 + 3 . 2
96 + 6 = 102ª posição na ordem crescente
6.2.2.4 Arranjos, combinações e permutações com repetição
Nessas formas de agrupamento admitimos que os valores não são distintos e podem se 
repetir. São chamados também de agrupamentos compostos.
• Arranjo composto ou arranjo com repetição
É dado pela fórmula: (AR)n ; p = np
Vejamos o exemplo a seguir: considerando os números de 1 a 7, quantas dezenas com dois 
algarismos podem ser obtidas, uma vez que é permitida a repetição?
Solução:
Temos 7 números que queremos agrupar de 2 em 2. Logo, (AR)n ; p = np = 72 = 49 dezenas 
possíveis.
• Combinação composta ou com repetição
Os agrupamentos, por terem os mesmos objetos em uma mesma quantidade e em ordem 
diferente, não são considerados agrupamentos distintos. Logo,
Cr n p
n p
p n
� � � � �� �
�� �
1
1
!
! !
Vamos considerar este exemplo: você está em um pequeno mercado e resolve comprar 
sucos para o final de semana. Pode escolher entre laranja, abacaxi ou goiaba, e pode 
comprá-los da forma que desejar. De quantas formas você pode comprar 5 sucos?
Matemática aplicada106
Solução:
n – tipos de suco = 3
p – agrupamento = 5
Cr n p
n p
p n
� � � � �� �
�� �
1
1
!
! !
Cr 3 5
3 5 1
5 3 1;
- !
! - !� �
�
�� �
� �
Cr 3 5
7
5 2;
!
! !� �
�
Cr 3 5
7 6 5
5 2 1
7 6
2 1
21;
!
!� �
�
� �
�
�
�
�
�
• Permutação com repetição
A permutação com repetição, na análise combinatória, é utilizada quando os elementos 
estão se repetindo – um, dois ou todos.
Pr !
! !... !
=
n
p p pn1 2
Observemos o exemplo: quantos anagramas distintos podemos criar a partir da palavra 
CALCULADORA?
Solução:
Na palavra, a letra a aparece 3 vezes, l e c aparecem 2 vezes cada. Logo,
Pr !
! ! !
Pr ! !
! !
. .
�
�
� � � � � � �
�
� �
�
11
3 2 2
11 10 9 8 7 6 5 4 3
3 4
6 652 800
4
1 663 2000
Mais de um milhão e meio de novos anagramas podem ser definidos.
6.3 Probabilidade
Na introdução deste capítulo, notamos que a curiosidade em compreender os fenômenos, 
principalmente aqueles que envolvem possibilidades, sempre acompanhou a sociedade. Assim 
surgiu a probabilidade e, como vimos, os conceitos de análise combinatória e princípio fundamental 
da contagem, os quais ajudam a fundamentar este estudo.
Análise combinatória e probabilidades 107
Hoje, os estudos de probabilidade são aplicados em todas as áreas do conhecimento, da 
matemática à medicina. São fundamentais em algumas áreas, como estatística, inteligência 
competitiva e estudos mercadológicos. Observamos o uso da probabilidade na avaliação de níveis 
de risco sobre um investimento, no retorno e desvio-padrão, nas correlações e regressões, no 
cálculo de volatilidade no mercado de ações, na avaliação de indicadores de qualidade, na análise 
sistêmica que busca os valores esperados de retorno, no marketing, na avaliação da chance de 
sucesso ou fracasso de um produto novo, nas medições por minuto de ligações em um call center, 
entre outras inúmeras aplicações.
Dessa forma, as probabilidades têm axiomas, teoremas e conceitos repletos de utilidades.
6.3.1 Teoria das probabilidades
A teoria das probabilidades busca estimar as chances de ocorrência de um determinado 
acontecimento. É um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar 
experimentos ou fenômenos aleatórios.
Chamamos de experimento qualquer processo de observação. Se medirmos a corrente 
elétrica inúmeras vezes em um ambiente, por exemplo, ela pode oscilar e essas oscilações podem 
ser medidas. Ao fazermos um experimento, então, as oscilações são componentes aleatórios do 
processo.
São características de um experimento aleatório:
• Se for possível repetir as mesmas condições do experimento,seus resultados ainda 
podem ser diferentes, pois existem variáveis ou fatores que nem sempre conseguimos 
controlar.
• É possível descrever os resultados possíveis de um experimento aleatório.
• Se o experimento for repetido muitas vezes, uma configuração de regularidade 
aparecerá. Com isso, é possível construir um modelo probabilístico.
Os resultados de um experimento aleatório são caracterizados pelos seguintes elementos:
• O conjunto de resultados possíveis, que chamamos de espaço amostral, é representado 
pela letra grega Ω.
• A coleção de conjuntos de resultados de interesse é chamada de A.
• O valor numérico que mostre a probabilidade de ocorrência de cada um dos conjuntos de 
interesse é chamado de P.
Existem quatro pontos desejáveis na especificação de um espaço amostral:
• SS1: Lista de possíveis resultados de um experimento.
• SS2: Desenvolvê-lo sem duplicação.
• SS3: Nível de detalhamento suficiente para atender aos interesses do pesquisador.
• SS4: Listagem dos resultados para complementações e ampliação de novos resultados 
possíveis.
Matemática aplicada108
Em resumo:
• Experimento aleatório – pode apresentar resultados diferentes 
quando repetido nas mesmas condições.
• Espaço amostral – conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório.
6.3.2 Eventos probabilísticos
Existem muitos eventos possíveis em probabilidade. Cada um deles, ou cada coleção de 
eventos, apresenta características diferentes e uma apresentação específica.
No espaço amostral, temos os mais variados tipos e coleções de eventos que podem ser 
caracterizados. Por isso, é essencial considerar:
• um evento é um subconjunto do espaço amostral;
• ao realizarmos um experimento aleatório, o resultado pertence a um dado evento A, 
portanto dizemos que ocorreu A.
6.3.2.1 Evento certo ou impossível
Um evento é certo quando a sua ocorrência coincide com o espaço amostral, ou seja, sua 
possibilidade de ocorrência é igual a 100%. Já o evento impossível é igual ao conjunto vazio, 
tornando sua probabilidade de acontecer igual a 0%.
Vejamos os exemplos:
1. Ao lançar um dado, obtém-se o espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Considere, então, o evento A: ocorrência de um número menor que 7 e maior que 0. Todos os 
números que compõem o espaço amostral, nesse caso, satisfazem o evento. Por isso, temos:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Podemos dizer, assim, que A é um evento certo.
2. No lançamento de um dado, como obter o valor 7?
Não existe, no espaço amostral apresentado inicialmente, nenhum número 7, o que faz com 
que a resposta seja vazia.
B = Ø
Dizemos, então, que B é um conjunto vazio, pois não existe lado com valor 7 em um dado.
Análise combinatória e probabilidades 109
6.3.2.2 União de eventos
A união de eventos ocorre quando, na análise de dois deles, qualquer um atende ao proposto. 
É importante ressaltar que, nesse caso, os eventos estão conectados pela palavra ou.
Evento E = ocorrência de um número par (C) ou número múltiplo de 3 (D)
C = {2, 4, 6}
D = {3, 6}
E = C D = {2, 3, 4, 6}
6.3.2.3 Intersecção de eventos
No caso da intersecção de eventos, ao analisá-los, devemos observar os elementos que 
aparecem nos dois e satisfazem a proposição ao mesmo tempo. Neste exemplo, observe que os 
eventos se conectam com a palavra e, sendo obrigatório que pertença a ambos.
Evento F = ocorrência de um número par (C) e múltiplo de 3 (D)
F= C D = {2, 4, 6} {3, 6}
F = {6}
6.3.2.4 Eventos complementares
Considere as seguintes informações:
• A probabilidade de sucesso em um evento: p
• A probabilidade de insucesso em um evento: q
Podemos dizer que p + q = 100%, assim, p e q são complementares.
Evento H = {banana, laranja, uva)
Evento I = {melancia, mamão)
Logo, p + q ou H I = {banana, laranja, uva, melancia e mamão}
6.3.2.5 Eventos independentes
Os eventos são independentes quando a realização ou não de um deles não afeta a 
probabilidade de realização do outro e vice-versa.
Vejamos este exemplo: lançado um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter 4 no 
segundo lançamento, se no primeiro o resultado foi 6?
Nesse caso, a probabilidade do segundo lançamento não depende do valor que foi encontrado 
no primeiro.
Matemática aplicada110
6.3.2.6 Eventos mutuamente exclusivos
Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um deles exclui a 
realização do outro.
Ao lançar uma moeda “honesta”, por exemplo, a saída do resultado “cara” exclui a possibilidade 
de sair “coroa”.
Observação: em eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de um evento acontecer é 
igual à soma da probabilidade de que cada um deles aconteça. Logo, P = P1 + P2.
6.3.3 Probabilidade da ocorrência de um evento
Definimos a probabilidade de um evento acontecer quando dividimos o número de eventos 
escolhidos pelo total de eventos respectivos ao espaço amostral e representamos pela fórmula:
P(A) = 
número de ocorrências de A
número de elementos de Ω
ou
P A
n A
n
� � � � �� ��
Vejamos alguns exemplos:
1. Sendo o experimento aleatório o lançamento de uma moeda “honesta”, qual a probabilidade 
de sair “cara”?
Solução:
n(A) = 1 n(Ω) = 2
Logo: P A� � � �1
2
0 50, ou, ainda, 50%
2. No lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de sair um número menor 
que 4?
Solução:
Espaço amostral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento menor que 4 = 3, 2, 1
Logo, �
A
� �
2
6
1
3
0 33ou , , ou, ainda, 33% aproximadamente
Análise combinatória e probabilidades 111
3. Lançando simultaneamente 3 moedas “honestas”, qual a probabilidade de serem obtidas 
pelo menos duas caras e exatamente duas caras?
Solução:
C = cara 
K = coroa
Ω = {C, C, C; C, C, K; C, K, K; K, K, K; K, C, C; K, K, C; C, K, C; K, C, K) = n(Ω) = 8
Pelo menos duas caras: Exatamente duas caras:
C, C, C C, C, K
C, C, K K, C, C
K, C, C C, K, C
C, K, C
Logo, 4 1
28
= ou 0,50, ou, ainda, 50% Logo, 3
8
 ou 0,375, ou, ainda, 37,5%
Considerações finais
Nesse capítulo, avançamos no estudo das probabilidades aplicando as propriedades mais 
importantes, em especial, a união e intersecção. Diferenciamos o que são eventos probabilísticos e 
eventos certos, o que é muito importante principalmente na tomada de decisões. Também vimos 
as diferentes formas de ocorrência dos eventos e seus resultados quando utilizados em situações 
práticas.
Ampliando seus conhecimentos
O tema probabilidade é bastante amplo e, para abranger todos os estudos sobre ele, seria 
necessária a produção de vários livros como este. Como há um extenso conteúdo de pesquisa, 
principalmente no que tange a aplicações em outras áreas, vale a pena se aprofundar, conhecer 
mais teoremas, axiomas e outras propriedades. Por isso, vamos ver algumas sugestões para que 
você amplie sua pesquisa.
• A GRANDE aposta. Direção: Adam McKay. EUA: Paramount Pictures, 2015. 1 filme (130 
min.).
O filme apresenta quatro analistas que, prevendo um colapso bancário mundial, em 
razão da fragilidade dos modelos utilizados, conseguem, por meio de outros modelos de 
previsões estatísticos e usando probabilidade, antever e reduzir os riscos da catástrofe. 
Baseado na história real do analista Michael Lewis.
Matemática aplicada112
• ALVES, M. M. de O. Probabilidades: história, teoria e aplicações. [S.l.]: Amazon, 2019. 
(Publicação independente).
Com uma abordagem extremamente didática, o livro é excelente para quem está iniciando 
os estudos sobre probabilidades. 
• HISTÓRIA da matemática – Aula 14 – Probabilidade. Publicado pelo canal Univesp. 1 
vídeo (17min.). 2 out. 2017. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=r0GnS_
SWU2s. Acesso em: 10 set. 2019.
O vídeo apresenta uma síntese muito interessante da história da matemática focada 
especialmente no tema probabilidades.
Atividades
1. Quantas centenas distintas de 3 algarismos podemos formar com os números 2, 4, 5, 6, 7, 8 
e 9?
2. Em um escritório de contabilidade com 8 funcionários, quantas comissões de 3 funcionários 
podemos formar?
3. Um grupode profissionais é formado por 3 advogados e 4 engenheiros. Quantas comissões 
de 4 pessoas são possíveis com 2 advogados e 2 engenheiros?
4. Com a palavra PORTUGAL, podemos formar quantos:
a) Anagramas distintos?
b) Anagramas distintos terminados por consoante?
c) Anagramas distintos iniciados por G e terminados por O?
d) Anagramas distintos em que as letras UR apareçam sempre juntas em qualquer ordem?
5. Dois técnicos de futebol e quatro jogadores vão tirar uma foto. Os jogadores devem ficar 
entre os técnicos. De quantas formas distintas eles podem tirar essa foto?
6. Em um acidente automobilístico, a testemunha observou que a placa do motorista que 
cometeu a infração era formada por 3 letras, todas vogais distintas, e quatro números também 
distintos, sendo que 8 ocupava a casa milhar. Quantos veículos podem ser suspeitos?
7. Qual é o número de senhas de 5 letras que não se repetem e que podem ser obtidas com as 
10 primeiras letras do alfabeto?
8. Se participar de uma loteria com um jogo simples, qual será a chance de ganhar o prêmio 
maior?
Análise combinatória e probabilidades 113
9. Tomando todos os números de 3 algarismos distintos, com a permutação dos dígitos 7, 8 e 
9, qual é a probabilidade de, escolhendo um número desses ao acaso, ele ser:
a) Ímpar?
b) Par?
c) Múltiplo de 6?
d) Múltiplo de 4?
e) Maior que 780?
10. Vamos considerar todos os números naturais de 4 algarismos distintos que se podem formar 
com os algarismos 1, 3, 4, 7, 8 e 9. Escolhendo um deles ao acaso, qual é a probabilidade de 
sair um número que comece em 3 e termine em 7?
11. Joga-se um dado “honesto” três vezes: qual é a probabilidade de sair a face 6, em seguida a 
face 2 e na terceira jogada a face 4?
12. Jogando-se dois dados “honestos” ao mesmo tempo, qual é a soma de todas as faces voltadas 
para cima?
13. No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, calcule a probabilidade de 
não sair soma 5.
14. Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de ser vermelha ou 
um ás?
7
Probabilidades – Distribuições
Neste capítulo vamos aprofundar um pouco mais os conceitos iniciais de probabilidade que 
vimos anteriormente. Para isso, abordaremos os seguintes temas: distribuições discretas, contínuas, 
polinomiais e outros modelos, além das aplicações para a esperança estatística, também chamada 
esperança matemática.
Quando estudamos uma variável com resultados ou valores que tendem a mostrar variação 
de uma observação para outra, dizemos que temos uma variável aleatória. Isso ocorre em razão de 
fatores importantes relacionados, como a chance.
Sempre é interessante que a definição de uma variável aleatória esteja associada à um 
experimento ou uma amostra para que seus possíveis resultados sejam numéricos. Se não forem 
numéricos devemos ajustá-los codificando para uma linguagem numérica – em vez de chamarmos 
os eventos de cara (C) ou coroa (K), por exemplo, podemos chamar cara de (1) e coroa de (0).
7.1 Variáveis aleatórias discretas ou contínuas
Uma das formas de classificar as variáveis como discretas ou contínuas é por meio da 
observação de como os valores se apresentam. Em uma variável discreta, os valores observados 
podem ser contados. Por exemplo: número de casas em uma rua, número de revistas em uma 
banca, número de cadernos em uma turma etc.
Nas variáveis contínuas, pode-se considerar quaisquer valores dentro de um determinado 
intervalo. A maioria das variáveis aleatórias é contínua, pois admite qualquer tipo de valor, como 
a duração de um acesso à internet, os pesos das caixas de frutas, as temperaturas medidas ao longo 
dia etc.
Compreender claramente o significado dessas duas variáveis é importante, porque impacta 
no modelo de distribuição de probabilidade a ser usado.
Se uma variável aleatória x apresenta os valores x1, x2, x3, ..., xn, com as probabilidades 
correspondentes p1, p2, p3, ..., pn, então o valor esperado E(x) será:
E(x) = p1 . x1 + p2 . x2 + p3 . x3 + ... + pn . xn
O valor esperado também pode ser chamado de média probabilística u.
Para melhor entendimento, vamos desenvolver um exemplo que demonstra como calcular o 
valor esperado ou a média probabilística:
Matemática aplicada116
• Uma empresa, sobre a venda de fogões a gás de quatro bocas, registrou os dados 
apresentados na Tabela 1.
Tabela 1 – Venda de fogões a gás de quatro bocas
xi p(x)
Número vendido Frequência relativa
0 0,20
1 0,30
2 0,30
3 0,20
Fonte: Elaborada pelo autor.
Solução:
E(x) ou u = 0,20 . (0) + 0,30 . (1) + 0,30 . (2) + 0,20 . (3) =
= 0 + 0,30 + 0,60 + 060 = 1,50
Considerando que a empresa não pode vender 1,5 fogões em nenhum dia, pois a variável 
é discreta e consiste em números inteiros, como devemos interpretar esse valor? Podemos 
dizer que esse valor esperado é uma média a longo prazo.
No próximo exemplo temos uma situação que envolve jogos de azar, como o lançamento de 
dados, muito comum nos estudos de probabilidade.
• Se jogarmos um dado “honesto”, qual o valor esperado em uma jogada? Se há seis jogadas 
possíveis, qual pode ser o valor esperado?
Solução:
Em uma jogada: 1
6
 6
Em seis jogadas:
1
6
1 1
6
2 1
6
6 3 5�� � � �� � � � �� � �.......... ,
Podemos dizer que 3,5 é um evento impossível para uma única jogada, mas pode 
perfeitamente representar a média probabilística para um grande número de jogadas. 
Portanto, o valor esperado E(x) ou u é igual a 3,5.
Podemos calcular o valor esperado mesmo que não tenhamos observações amostrais. 
Observe o exemplo a seguir, que mostra uma situação desse tipo.
• Um aplicador avalia que tem 0,30 de probabilidade de ganhar R$ 30.000,00 e 0,70 de 
perder R$ 20.000,00 em um investimento. Logo, de quanto será o seu ganho esperado?
Solução:
0,70 . 30.000 + 0,60 . (–20.0000)
2.100 – 1.200 = 900,00
O ganho esperado ou médio do aplicador será de R$ 900,00.
Probabilidades – Distribuições 117
Os cálculos apresentados até aqui norteiam as aplicações dos diferentes tipos de variáveis. 
Nosso próximo passo será utilizar essas variáveis para o entendimento do que são distribuições 
discretas e contínuas.
7.2 Distribuições discretas
A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória para uma variável discreta é 
definida por uma função de probabilidade denominada f(x). A função mostra a probabilidade 
correspondente a cada um dos valores da variável aleatória.
Vamos considerar como exemplo a situação de uma variável discreta e sua distribuição de 
probabilidade referente a vendas de motocicletas da empresa fictícia Racing Ltda. Nos últimos 
300 dias de operações, em 54 dias, não foram efetuadas vendas; em 117 dias, houve uma moto 
vendida; em 72 dias, duas motos vendidas; em 42 dias, três motos vendidas; em 12 dias, quatro 
motos vendidas; e em 3 dias, cinco motos vendidas.
Selecionando como experimento um dia de operação na Racing, definimos nossa variável 
de interesse como sendo o número de motocicletas vendidas durante um dia (x). Sabemos que 
x é uma variável discreta que pode assumir os valores inteiros 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. A função f(0) vai 
mostrar a probabilidade de 0 motocicletas serem vendidas, f(1) mostrará a probabilidade de uma 
motocicleta ser vendida e assim por diante.
Os dados do problema mostram 54 dos 300 dias com 0 vendas, portanto f(0) será igual a 54 : 
300 = 0,18. Desse modo, a chance de uma motociclieta ter sido vendida durante um dia é pequena, 
de 0,18. Por analogia, podemos calcular o número de vendas para os diversos cenários que se 
apresentam. Vamos observar:
Tabela 2 – Probabilidade referente à variável aleatória x que satisfaz f(x) ≥ 0 e Σ f(x) = 1.
x vendas Cálculo auxiliar f(x)
0 54 : 300 0,18
1 117 : 300 0,39
2 72 : 300 0,24
3 42 : 300 0,14
4 12 : 300 0,04
5 3 : 300 0,01
Total – 1,00
Fonte: Elaborada pelo autor.
Podemos agora fazer a representação gráfica da distribuição de probabilidade para o número 
de motocicletas vendidas pela empresa Racing, durante um dia.
Matemática aplicada118
Gráfico 1 – Distribuiçãode probabilidade: motocicletas vendidas em um dia
0,45
0.3
0.35
0.4
0.2
0.25
0.1
0,15
0
0,05
0 1 2 2 4 5
Pr
ob
ab
ili
da
de
Fonte: Elaborada pelo autor.
Uma boa razão para definir a tabela e o gráfico de uma variável aleatória é que, uma vez 
conhecida, fica mais fácil determinar a probabilidade de uma série de eventos que podem ser 
interessantes a um gestor ou a autoridades competentes. Nesse caso, as informações apresentadas 
podem ajudá-lo a entender o processo comercial de vendas da empresa analisada.
7.3 Relação entre valor esperado e medidas de dispersão
Para melhor compreensão dos conceitos a seguir, vamos conhecer um pouco mais das 
medidas de posição ou de tendência central e das medidas de dispersão ou variabilidade.
7.3.1 Medidas de posição e/ou tendência central
A probabilidade associada à estatística permite uma série de aplicações interessantes. E as 
medidas de posição, principalmente a média, contribuem para a resolução de problemas.
As principais medidas de posição são: média, mediana e moda. A média é, com certeza, a 
principal medida utilizada como ferramenta gerencial. Ela pode ser uma medida representativa ou 
não. Vamos observar as duas apresentações a seguir:
A = (4, 5, 7, 4, 5) = média 25 : 5 = 5
B = (1, 2, 2, 7, 13) = média 25 : 5 = 5
Observe que A traz uma média bem representativa, pois a maioria dos valores está centrada 
(próxima) à média. Por sua vez, B traz uma média pouco representativa, pois a maioria dos 
elementos está distante (dispersa) em relação à média. Logo, podemos dizer que a média é útil para 
avaliar os fenômenos representados por medidas ou valores, porém não deve ser analisada sozinha, 
visto que pode levar a uma interpretação errônea dos dados.
Além da média há duas outras medidas de dispersão: a mediana e a moda. O papel da mediana 
é estabelecer o meio da distribuição. O fato de um valor estar no meio não necessariamente fará 
dele a média. Observe:
Probabilidades – Distribuições 119
A = (4, 5, 7, 4, 5)
O primeiro passo é colocar os dados em ordem crescente:
A = (4, 4, 5, 5, 7)
A mediana é 5, que está exatamente no centro. Nesse caso também é o mesmo valor da 
média.
Observando agora em B:
B = (1, 2, 2, 7, 13)
Vemos que agora a mediana é 2 e a média, 5. Estar no meio, portanto, não é o mesmo que 
estar na média.
Por fim, temos a moda. Ela é o valor mais representativo de um conjunto, ou seja, aquele 
com maior número de repetições. Por isso a moda pode impactar a média sem, necessariamente, 
influenciar o valor da mediana. Observe:
B = (1, 2, 2, 7, 13)
A moda da distribuição é 2.
Dessa forma, vemos que o valor esperado ou a média esperada de uma variável aleatória é 
uma medida normalmente central e de posição. A expressão matemática para obtê-la é dada por:
E(x) = u = Σx . f(x)
Voltando à nossa tabela, vamos acrescentar o valor esperado ou a média:
Tabela 3 – Valor esperado ou média
x vendas Cálculo auxiliar f(x) x · f(x)
0 54 : 300 0,18 0 · (0,18) = 0,00
1 117 : 300 0,39 1 · (0,39) = 0,39
2 72 : 300 0,24 2 · (0,24) = 0,48
3 42 : 300 0,14 3 · (0,14) = 0,42
4 12 : 300 0,04 4 · (0,04) = 0,16
5 3 : 300 0,01 5 · (0,01) = 0,05
Total – 1,00 E(x) = u = Σx · f(x) = 1,50
Fonte: Elaborada pelo autor.
A Tabela 3 revela que, associando cada valor da variável venda de motocicletas distribuída 
nos 300 dias, foi possível determinar o valor esperado.
7.3.2 Medidas de dispersão ou variabilidade
Como vimos anteriormente, definimos a posição média para a variável aleatória, mas 
normalmente também precisamos de uma medida de dispersão que possa sintetizar o grau de 
variabilidade dos valores dessa variável aleatória. Nos estudos estatísticos existem várias medidas 
de dispersão, mas as principais são: variância, desvio-padrão e coeficiente de variação.
Matemática aplicada120
A variância e o desvio-padrão são medidas de dispersão absolutas, e recebem esse nome por 
se expressarem na mesma unidade de medida em que está a variável. Já o chamado coeficiente de 
variação (CV) expressará essa dispersão de forma relativa.
Para compreendermos melhor o papel dessas medidas, vamos fazer os cálculos considerando 
os valores do exemplo presente na seção anterior, a loja de motocicletas.
O primeiro passo é definir a variância. Para isso, construiremos nova tabela e aplicamos a 
fórmula da variância:
var(x) = s2 = Σ(x – u)2 . f(x)
Tabela 4 – Cálculos para a definição da variância
x vendas x – u (x – u)2 f(x) (x – u)2 . f(x)
0 0 – 1,50 = –1,50 2,25 0,18 2,25 . (0,18) = 0,4050
1 1 – 1,50 = –0,50 0,25 0,39 0,25 . (0,39) = 0,0975
2 2 – 1,50 = 0,50 0,25 0,24 0,25 . (0,24) = 0,0600
3 3 – 1,50 = 1,50 2,25 0,14 2,25 . (0,14) = 0,3150
4 4 – 1,50 = 2,50 6,25 0,04 6,25 . (0,04) = 0,2500
5 5 – 1,50 = 3,50 12,25 0,01 12,25 . (0,01) = 0,1225
Total – – – 1,2500 dias²
Fonte: Elaborada pelo autor.
Portanto, variância = 1,25 dias2
Note que o primeiro passo é observar as dispersões entre cada dia e a média. Para darmos 
continuidade ao cálculo, elevamos essa diferença ao quadrado. Portanto, a variância é uma medida 
quadrática ou bidimensional. O último passo é associar esses resultados a cada probabilidade, ou 
seja, multiplicar pelo valor de f(x). Vale mencionar que a variância costuma ser uma medida de 
difícil interpretação sem a ajuda de um programa computacional que possa gerar os gráficos de 
observação.
Por meio da variância temos o desvio-padrão, que é a raiz quadrada da variância e estabelece 
o intervalo ao qual podemos chamar de região central, onde estão localizados os elementos que se 
encontram na média.
Desvio-padrão: √1,25 = 1,118 dias.
Logo: 
u=1,50u – desvio 
0,38
u + desvio 
2,61
Probabilidades – Distribuições 121
Para finalizar, vamos tratar do coeficiente de variação relativa. O papel do CV é mostrar o 
percentual de elementos dispersos em relação à média, ou seja, a porcentagem de elementos acima 
e abaixo da média. Para calcular o CV, basta dividir o desvio-padrão pela média u.
CV = desvio : u = 1,118 : 1,50 = 0,74 ou 74%
Ao observar a Tabela 4 atentamente, percebemos uma dispersão bastante significativa nos 
valores entre 3 e 5. Por isso, nos cálculos, obtivemos um coeficiente de variação tão elevado.
Vejamos um exemplo de aplicação:
• A seguir, apresentamos uma distribuição de probabilidade referente a uma variável 
aleatória x.
Tabela 5 – Probabilidade de uma variável x dada pelos vetores 2, 4 e 6
x f(x)
2 0,25
4 0,50
6 0,25
Fonte: Elaborada pelo autor.
a) Calcule E(x) ou u, o valor esperado de x.
b) Calcule s2 (variância).
c) Calcule s (desvio-padrão).
d) Encontre o coeficiente de variação relativa.
Solução:
Tabela 6 – Cálculos auxiliares para encontrar os valores enunciados
x f(x) x . f(x) (x – u) (x – u)2 (x – u)2 . f(x)
2 0,25 0,50 2 – 4 = –2,00 –2,002 = 4,00 4,00 . 0,25 = 1,00
4 0,50 2,00 4 – 4 = 0,00 0,002 = 0,00 0 . 0,50 = 0,00
6 0,25 1,50 6 – 4 = 2,00 2,002 = 4,00 4,00 . 0,25 = 1,00
– – u = 4,00 – – = 2,00 varíável2
Fonte: Elaborada pelo autor.
Portanto:
a) u = 4,00
b) Variância = 2,00 variável2
c) 2 00, = 1,414
d) CV = 1,414 : 4 = 0,285 ou 28,5%
Matemática aplicada122
Vamos para mais uma aplicação prática:
• Observe a carteira de investimentos a seguir. Nela, vemos os ativos de várias empresas, 
com o retorno esperado e a probabilidade de esses retornos ocorrerem nos mais diversos 
cenários.
Tabela 7 – Carteira fictícia de investimentos em quatro cenários
Cenário Retorno esperado x Probabilidade p(x)
Ruim 4% 0,20
Regular 9% 0,25
Bom 13% 0,35
Ótimo 17% 0,20
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fazendo a relação u = x . p(x), teremos o retorno médio esperado:
4% . 0,20 + 9% . 0,25 . 13% . 0,35 + 17% . 0,20 = 0,11 ou 11%
Portanto, é possível observar inúmeras aplicabilidades ao retorno esperado associado 
às probabilidades. A seguir serão apresentadas outras formas de distribuição e suas respectivas 
aplicações.
7.4 Distribuições binomiais
A distribuição binomial surgiu a partir dos primeiros ensaios de Daniel Bernoulli, cujos 
experimentos permitem só doisresultados possíveis: um deles chamado S (sucesso) e outro 
chamado F (fracasso). Nos ensaios, Bernoulli representou cada sucesso por p e cada fracasso por q, 
decorrendo que cada fracasso será igual a 1 – p.
Vamos fazer um experimento do ensaio:
• Lançando uma moeda, podemos ter dois resultados: cara ou coroa. Vamos apostar que 
sairá cara. Logo, cara será nosso S (sucesso). Se sair coroa (fracasso), perdemos a aposta.
Ao fazer inúmeros experimentos e descrever os resultados da variável aleatória sempre 
agrupados em duas classes, S ou F, obtém-se uma distribuição binomial.
Um ponto importante que deve ser observado é que os eventos nunca ocorrem ao mesmo 
tempo, portanto haverá somente um resultado, ou seja, os eventos serão sempre excludentes. No 
nosso exemplo, o resultado cara exclui a possibilidade do resultado coroa.
Como outros exemplos citamos situações em que uma possibilidade automaticamente 
exclui a outra: um resistor elétrico pode ser perfeito ou defeituoso; em uma pesquisa de mercado, o 
entrevistado pode dizer sim ou não; em uma prova, a resposta pode ser certa ou errada.
Inclusive, as variáveis contínuas também podem ser divididas em duas categorias. A 
velocidade de um carro em movimento, por exemplo, pode ser medida e estar dentro ou fora do 
limite. Sendo velocidade uma variável contínua, assume valores inteiros ou fracionados.
Probabilidades – Distribuições 123
Independentemente de a variável ser contínua ou discreta, a soma das categorias sucesso e 
fracasso deve ser sempre 100% ou 1.
Quatro propriedades fundamentais devem ser respeitadas para que uma probabilidade 
binomial possa estar definida. São elas:
I. Haverá somente dois resultados possíveis em cada repetição, chamados de sucesso e 
fracasso.
II. Podem ser feitas inúmeras (n) repetições do experimento, sendo n uma constante.
III. A probabilidade de sucesso ou fracasso será sempre constante em todas as repetições.
IV. Essas repetições são independentes e excludentes, por isso o resultado de uma repetição 
não influenciará nem será influenciado por outros resultados.
Para que se tenha um modelo binomial, a distribuição do número de sucessos p será o 
processo composto de uma sequência de n observações independentes com probabilidade 
constante.
P x
n
x
p px n x� � � �
�
�
�
�
� �� � �1
Ou ainda:
Cn x p qx n x; -�� � �� �
Onde:
Cn x n
x n x
; !
! !
�
�� �
A distribuição binomial é aplicada em avaliações de questões mercadológicas, resultados de 
ações publicitárias, controles de qualidade para grandes amostras, entre outras áreas.
Os parâmetros da distribuição binomial são n e p, logo, a média e a variância são obtidas por 
u = np e s2 = np (1 – p). Com base nessa informação, vamos agora aplicar os conceitos e a fórmula 
da distribuição binomial a exercícios práticos. No primeiro exemplo, resolveremos um problema 
que envolve vários lançamentos de um dado “honesto”.
1. Qual a probabilidade de saírem 3 coroas em 6 lançamentos de uma moeda não viciada?
Solução:
Cn x p qx n x; !
! !
, ,�� � � � � �
�� �
�� � � � � �
�
� �
� �
�
� �6
3 6 3
0 50 0 50
6 5 4
3 2 1
3 6 3
00 125 0 125
20 0 015625 0 3125 31 25
, ,
, , , %
� �
� � � ou
Matemática aplicada124
No próximo exemplo, faremos a aplicação da distribuição binomial para a área de marketing 
e gestão.
2. Uma pesquisa de marketing foi feita à porta de um supermercado para avaliar o novo sabor 
de um produto. Nove consumidores foram entrevistados. A probabilidade de que o novo 
sabor seja um sucesso é de 60%. A distribuição se comporta como uma binomial. Determine:
a) A probabilidade de 3 consumidores gostarem do produto.
b) A probabilidade de 7 ou mais consumidores gostarem do produto.
c) A probabilidade de todos gostarem do produto.
d) A probabilidade de ninguém gostar do produto.
Solução:
a) 
9
3 9 3
0 60 0 40 9 8 7
3 2 1
0 216 0 004096
0 07
3 6!
! !
, , , ,
,
�� �
�� � � � � � � �
� �
� � �
� 443 7 43ou , %
b) 
�
�� �
�� � � � � � �
�
�� �
�� � � � �
9
7 9 7
0 60 0 40
9
8 9 8
0 60 0 40
7 2
8
!
! !
, , ...
!
! !
, , 11
9 09
9 9 9
0 60 0 40
36 0 02799 0 16
9
� �
�
�� �
�� � � � �
� � � � �
� �
...
!
! !
, ,
, , ...
00 0279 0 16
1 0 0100 1 0 2316 23 16
, , ...
, , , %
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c) 
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9 9 9
0 60 0 40 1 0 0100 1 0 001007 1 0079 0!
! !
, , , , , %
d) 
9
0 9 0
0 60 0 40 1 1 0 0002621 0 02620 9!
! !
, , , ,
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Probabilidades – Distribuições 125
Por meio desses exemplos é possível observar como a distribuição binomial pode colaborar 
com os gestores nas análises estatísticas das empresas. Os indicadores oferecem a possibilidade de 
adotar ou ajustar ações estratégicas, de acordo com as necessidades da gestão.
7.5 Distribuição de Poisson
O engenheiro e matemático francês Denis Poisson (1781-1840) foi um grande entusiasta 
de estudos sobre a mecânica celeste e o comportamento dos esferoides. Poisson desenvolveu 
também trabalhos que envolviam o campo da eletricidade e da astronomia. Em 1837, publicou um 
importante tratado, Traitè des jugements, e, mesmo muito doente, demonstrou pela primeira vez a 
distribuição que leva seu nome.
Na probabilidade, a distribuição de Poisson é uma distribuição de variáveis discretas e 
adequada para descrever situações onde existe uma chance de ocorrência em um intervalo ou 
campo contínuo, geralmente dado por tempo ou área.
Como a variável é aleatória discreta, as ocorrências são representadas por valores inteiros, 
mas as unidades de medida são contínuas. Com essa distribuição, só é possível mostrar falhas ou 
ocorrências contáveis.
Atualmente as distribuições de Poisson são muito utilizadas em testes de gestão de eficiência 
e qualidade, na área comercial e de marketing, sintetizando acesso a sites e consultas de produtos, 
em estatísticas de atendimento de call centers e muitas outras aplicações.
Um único parâmetro carateriza a distribuição de Poisson, que é a letra grega lambda (λ). Ela 
representa a taxa média de ocorrência por unidade de medida.
A fórmula ainda apresenta a constante e. A primeira aplicação prática, feita por Bernoulli, 
já citado neste capítulo, buscava encontrar um valor para o cálculo de uma expressão de juros 
compostos. Por ser uma constante, como pi (π), assume sempre o valor de 2,71828.
A fórmula geral é dada por:
P x e
x
x n
x
� � � � �
�� �
!
, , ,...,0 1 2
As medidas média (u), variância (S2) e desvio-padrão (S) de Poisson são dadas por:
u
S
S
�
�
�
�
�
�
2 2
2
Vamos fazer nova aplicação da distribuição de Poisson para praticar. Observe o exemplo:
• O número de defeitos em peças de automóvel de uma empresa ocorre como uma 
distribuição de Poisson, com λ = 3. Determine a probabilidade de uma peça apresentar 
mais que quatro defeitos.
Matemática aplicada126
Solução:
P x e�� � � � �
�
4 1 3
4
3 4
!
P x
P x
P x ou
�� � � � �
�� � � �
�� � �
�
4 1 27 71828 3
4
4 1 0 1680
4 0 832 83 2
3 4,
!
,
, , %
7.6 Esperança matemática
Agora que já conhecemos as medidas de posição (média, mediana e moda), as medidas 
de dispersão (variância, desvio-padrão e coeficiente de variação) e as principais distribuições 
estatísticas, podemos unir esses aprendizados para utilizá-los em esperança matemática.
A esperança matemática refere-se ao valor esperado quando um fenômeno pode assumir 
inúmeros resultados. Trata-se da soma de todos esses resultados possíveis, isto é, a soma dos 
produtos da ocorrência de um ou vários eventos pelo valor atribuído a cada um dos acontecimentos.
Podemos usar a esperança para resolver questões que envolvam comparação de ganhos e 
perdas, retrabalho na indústria, ganhos incrementais de vendas, resultados com múltiplos eventos, 
entre outras. A fórmula para obtê-la é dada por:
E(x) = u = ∑x . P(x)
Já vimos um pouco desse assunto em retorno esperado, agora vamos aplicá-lo a exemplos 
mais complexos.
1. Em uma rifa de 100 números está sendo ofertado um prêmio de R$ 2.000,00. Cada aposta 
custa R$ 30,00. O compradordo bilhete está realizando uma aposta considerada razoável?
Solução:
Número de ocorrências: 100
Custo do bilhete: R$ 30,00
Valor do prêmio: R$ 2.000,00
Probabilidade = a 1 : 100 = 0,01
Esperança matemática = 0,01 : 100 . 2.000,00 = R$ 10,00
Se o comprador pagou R$ 30,00, porém sua esperança de recebimento é R$ 10,00, essa não 
é uma aposta razoável.
Probabilidades – Distribuições 127
2. Os alunos de uma sala de aula respondem a uma prova de 8 questões. O número x de 
perguntas respondidas corretamente é dado por:
Tabela 8 – Perguntas respondidas corretamente pelos alunos
Perguntas x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
P(x) 0,02 0,02 0,06 0,06 0,08 0,22 0,3 0,16 0,08
Fonte: Elaborada pelo autor.
Qual o valor esperado de acertos dessas questões?
Solução:
0 . 0,02 + 1 . 0,02 + 2 . 0,06 + ... + 7 . 0,16 . 8 . 0,08 = 5,3
O número esperado de acertos é de, aproximadamente, 6 questões.
3. Uma fábrica produz caixas de cotonetes a um custo de R$ 50,00 cada. Em uma primeira 
fase das caixas produzidas, 90% apresentam cotonetes perfeitos. As caixas com cotonetes 
imperfeitos vão para uma segunda fase para tentar corrigi-los, na qual existe um custo 
adicional de R$ 30,00. Mas somente 60% dessas caixas ficam perfeitas. O restante continua 
com defeito. Sabendo que cada caixa perfeita é vendida por R$ 90,00, e que a fábrica ainda 
consegue vender as caixas com defeito por R$ 25,00, em média, qual o lucro ou prejuízo 
esperado? E ainda, valeu a pena a fábrica ter feito a segunda fase (retrabalho)?
Solução:
Primeira fase
Custo: R$ 50,00
Venda: R$ 90,00
Lucro x = 40,00 – Prob. 0,90
Logo, R$ 40,00 . 0,90 = R$ 36,00
Segunda fase – envolve duas situações:
a) Perfeita (P)
 Custo: R$ 50,00 + R$ 30,00
 Venda: R$ 90,00
 Lucro x: R$ 10,00
 Prob.: 0,06
 Logo, R$ 10,00 . 0,06 = R$ 0,60
b) Defeituosa (D)
 Custo: R$ 80,00
 Venda: R$ 25,00
 Prejuízo x: (R$ –55,00)
 Prob.: 0,04
 Logo, (R$ –55,00) . 0,04 = R$ –2,20
Matemática aplicada128
Portanto, o ganho médio (esperança) será de R$ 36,00 + R$ 0,60 – R$ 2,20 = R$ 34,40 de 
lucro.
O enunciado, porém, também pergunta se valeu a pena o retrabalho. Para calcular, basta 
limitar os dados apenas à primeira fase (P e D). 
Caixas perfeitas: 90%, logo, R$ 40,00 . R$ 0,90 = R$ 36,00
Caixas defeituosas: 10%, logo, R$ –25,00 . R$ 0,10 = R$ –2,50
Assim, vemos que o retrabalho valeu a pena, pois o ganho médio é maior: R$ 33,50.
4. Em um caça-níqueis com dois discos que giram simultaneamente, o apostador, para fazer 
uma única jogada, paga R$ 80,00. Ele roda os dois discos e, se aparecerem as imagens de 
duas maçãs, ganha R$ 40,00. Se aparecerem duas bananas, ganha R$ 80,00. Se forem duas 
pêras, ganha R$ 100,00, e se forem duas uvas, R$ 160,00. O caça-níqueis tem em cada disco, 
no seu desenho original, 4 maçãs, 3 bananas, 2 pêras e 1 uva. O que é possível de acontecer 
com esse apostador nessas condições, ganhar ou perder dinheiro?
Solução:
Primeiro vamos observar as probabilidades de cada uma das frutas surgir:
Maçã: 4/10 = 0,40
Banana: 3/10 = 0,30
Pêra: 2/10 = 0,20
Uva 1/10 ou 0,10
O caça-níqueis, contudo, roda sempre com duas frutas. Logo, vamos calcular duas frutas 
selecionadas ao mesmo tempo:
M e M = 0,40 . 0,40 = 0,16
B e B = 0,30 . 0,30 = 0,09
P e P = 0,20 . 0,20 = 0,04
U e U = 0,10 . 0,10 = 0,01
Vale considerar, ainda, que podem sair frutas diferentes ao rodar o caça-níqueis e a 
probabilidade de isso acontecer será dada por 1 – (0,16 + 0,09 + 0,04 + 0,01) = 0,70.
Para facilitar, vamos estruturar as informações:
Tabela 9 – Probabilidades e ganhos no caça-níqueis, segundo as frutas que podem surgir
Frutas Paga Recebe x Prob. x Ganho médio u
MM –80 40 –40 0,16 –40 . 0,16 = R$ –6,40
BB –80 80 0 0,09 0 . 0,09 = R$ 0,00
PP –80 100 +20 0,04 +20 . 0,04 = R$ +0,80
(Continua)
Probabilidades – Distribuições 129
Frutas Paga Recebe x Prob. x Ganho médio u
UU –80 +160 +80 0,01 +80 . 0,01 = R$ + 0,80
Frutas 
dif.
–80 0 –80 0,70 –80 . 0,70 = R$ –56,00
– – – – – u = perda de R$ 60,60
Fonte: Elaborada pelo autor.
A cada R$ 80,00 jogados em cada aposta no caça-níqueis, o cassino lucra em média 
R$ 66,60. Considerando que os caça-níqueis normais têm três discos de frutas aparecendo na tela, 
o ganho aumenta para R$ 76,00 a cada R$ 80,00 apostados. Para o jogador, há a quase certeza da 
perda total ou parcial do valor apostado, pois a probabilidade de aparecerem frutas diferentes é 
muito alta, 70%.
Considerações finais
Probabilidade é um tema complexo, repleto de fórmulas e propriedades, mas, ao mesmo 
tempo, enriquecedor e importante para a resolução de problemas nas atividades do cotidiano de 
empresas e pessoas. Vimos como as distribuições de Poisson, binomiais e esperança matemática 
são excelentes ferramentas para problemas que envolvem probabilidades. Hoje, essas ferramentas 
são utilizadas em testes de mercado para avaliação de novos produtos, em análises de gestão da 
qualidade e diminuição de perdas nas empresas, na avaliação de pesquisas médicas e no cotidiano 
das pessoas, como no processo de criação de senhas para movimentação bancária. 
Os estudos de probabilidade também são muito utilizados nas novas tecnologias 
computacionais, auxiliando, por exemplo, nos estudos de previsões climáticas, agricultura e 
astronomia. Aproveite para conhecer mais e aprofundar seus estudos.
Ampliando seus conhecimentos
• IEZZI, G. Fundamentos da matemática elementar. São Paulo: Saraiva, 2013. (v. 2).
Esse livro apresenta uma série de exercícios resolvidos de probabilidade, com aplicações 
inclusive no Microsoft Excel. As teorias são escritas em linguagem simples e detalhada, 
sendo uma leitura recomendável para aprofundar o entendimento.
Atividades
1. Uma empreiteira construirá um prédio e faz as seguintes estimativas.
Tempo de obra Probabilidade
15 dias 0,30
20 dias 0,20
28 dias 0,50
Matemática aplicada130
Qual será o prazo médio para a execução dessa obra, de acordo com as estimativas 
apresentadas?
2. Um investidor está sendo orientado sobre os cenários do mercado.
A probabilidade de momento ruim é de 50% e, se isso ocorrer, o ganho será de 10%. Se o 
mercado se comportar bem, e a chance de isso acontecer é de 20%, o investidor ganha 15%. 
Se o mercado apresentar resultados ótimos, por sua vez, o investidor ganha 19%. Nessas 
condições, e considerando que qualquer um desses cenários pode ocorrer, qual será o 
resultado esperado de ganho ou média de ganho do investidor?
3. Em um programa de TV, o jogador tem uma chance de levar o maior prêmio. Porém só 
leva se, ao jogar dois dados “honestos”, a soma das faces voltadas para cima for 11. Qual a 
probabilidade de ganhar o prêmio maior?
4. Ainda em relação ao problema anterior, se as somas puderem ser 11 ou 5, as chances 
aumentam para quanto?
5. A tabela a seguir apresenta uma distribuição de probabilidade referente a uma variável 
aleatória y.
y f(x)
3 0,25
6 0,50
9 0,25
a) Calcule E(x) ou u, o valor esperado de x.
b) Calcule s2 (variância).
c) Calcule s (desvio-padrão).
6. Observe duas carteiras de investimentos apresentadas a seguir:
Carteira 1
Cenário Retorno x% f(x)
Ótimo 15 0,28
Bom 9 0,25
Regular 6 0,35
Ruim 3 0,12
Carteira 2
Cenário Retorno x% f(x)
Ótimo 14 0,30
Bom 10 0,40
Regular 7 0,20
Ruim 4 0,10
a) Determine o retorno médio esperado, a variância e o desvio-padrão de cada carteira.
b) Em qual das carteiras você prefere investir? Por quê?
Probabilidades – Distribuições 131
7. Para contratar um seguro de vida, uma seguradora cobra a taxa de R$ 1.500,00 e, em caso 
de acidente, paga R$ 35.000,00 para o segurado. A probabilidade de um segurado sofrer 
acidente é de 4%. Quanto ganha em média a seguradora por cada apólice comprada?
8. Em cinco jogadas de uma moeda “honesta”, sendo P(x < 2) a probabilidade de caras esperadas, 
determine P(0) + P(1).
9. Em um colégio, seis alunos participaram da Olimpíada de Matemática de 2018 e a 
probabilidade de classificação é de 25%. Qual a chance de metade deles se classificar 
utilizando a distribuição binomial?
10.A área de gestão da qualidade de uma empresa de Curitiba seleciona aleatoriamente 10 
embalagens de um caminhão com carga muito grande, e se sabe por histórico que 20% dessas 
embalagens apresentam defeitos. Das 10 selecionadas, qual a probabilidade de exatamente 2 
estarem defeituosas?
11. Sendo n = 7 e p = 0,25, determine o desvio-padrão e as características de simetria/
assimetria.
12. No vestibular, uma prova se apresenta com 60 questões independentes. Cada questão 
tem 5 alternativas de resposta, mas somente uma é correta. Um aluno resolve assinalar 
aleatoriamente as respostas. Será que ele consegue tirar nota 5?
13. Em uma agência do INSS, uma enquete observou que o número médio de segurados 
atendidos é de 6 por hora. Determine a probabilidade de, em uma hora qualquer do dia, os 
guichês atenderem 8 segurados.
14. Uma pesquisa mostra que um número médio de 6 clientes por hora abastece seus veículos 
com etanol em determinado posto. Pergunta-se:
a) Qual a chance de 3 clientes pararem na mesma hora?
b) Qual a chance de todos os clientes pararem na mesma hora?
8
Matrizes
Com o avanço das novas tecnologias e computadores mais potentes, as matrizes e 
determinantes passaram de assuntos coadjuvantes do ensino médio para um novo patamar. 
Atualmente, projetos de economia, engenharia, física, medicina e outras áreas usam toda a teoria 
das matrizes para melhorar e inovar seus processos.
Inclusive na leitura de materiais on-line, as matrizes estão de alguma forma presentes. 
A resolução de um computador é uma matriz de pixels, essencial para a qualidade da leitura. Além 
disso, os softwares que utilizamos, em sua maioria, têm a programação baseada em matrizes. Vamos 
aprender mais sobre elas neste capítulo.
8.1 Matrizes m x n
Uma tabela retangular formada por linhas e colunas que organizam informações numéricas 
é chamada de matriz. Dessa forma, é possível realizar simultaneamente uma série de operações e 
cálculos, utilizando todos os dados que as colunas e linhas apresentam.
Em matrizes, os números são os elementos. As linhas são classificadas de cima para baixo (1, 
2, 3, ...n) e as colunas, da esquerda para a direita (1, 2, 3, ...n). Vejamos um exemplo na Tabela 1 a 
seguir, a qual mostra as notas atribuídas a três funcionários em quatro competências.
Tabela 1 – Notas atribuídas a três funcionários
Agilidade Qualidade Cooperação Finalização
F1 8 7 9 8
F2 9 6 7 8
F3 7 8 6 9
Fonte: Elaborada pelo autor.
Os dados dessa tabela permitem fazer inúmeras avaliações a respeito desses funcionários, 
visto estarem organizados por categorias em cada coluna: agilidade, qualidade, cooperação e 
finalização. A matriz presente nessa tabela é identificada como 3 x 4, e nela podemos selecionar, 
por exemplo, a nota especificamente atribuída ao funcionário 2 (F2) na categoria qualidade:
8 7 9 8
9 6 7 8
7 8 6 9
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
6
As matrizes com m linhas e n colunas, sendo m e n números naturais diferentes de zero, são 
chamadas de matrizes m x n. Observe os exemplos:
Matemática aplicada134
Matriz 2 x 3
8 7 9 8
9 6 7 8
�
�
�
�
�
�
Matriz 2 x 2
8 7
9 6�
�
�
�
�
�
�
�
�
As matrizes são representadas sempre por letras maiúsculas e seus elementos por minúsculas. 
Elas vêm acompanhadas por dois índices numéricos, chamados i e j, os quais representam, 
respectivamente, a linha e a coluna que cada elemento está ocupando.
A m x n
a a a
a a a
a a a
a a a
n
n
n
m m mn
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11 12 1
21 22 2
31 32 3
1 2
��
A seguir, vamos conhecer alguns tipos de matrizes especiais.
8.1.1 Matrizes especiais
São chamadas de matrizes especiais aquelas associadas a propriedades específicas, por isso 
sua resolução é diferente da matriz padrão m x n. Para cada um dos tipos, haverá sempre uma 
propriedade associada.
• Matriz linha
É uma matriz do tipo 1 x n, isto é, uma matriz de linha única chamada i. Por exemplo:
Matriz A = [7, –4, 2, 5], do tipo 1 x 4.
• Matriz coluna
É uma matriz do tipo m x 1, isto é, com uma coluna única chamada j. Por exemplo:
Matriz A do tipo 1 x 3.
A � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
7
4
8
• Matriz quadrada
Toda matriz quadrada tem uma diagonal principal e uma diagonal secundária, sendo a 
principal formada pelos elementos aij, em que i = j. Na diagonal secundária, temos i + j = 
n + 1. Por exemplo:
Matriz 2 x 2, ou seja, matriz quadrada de ordem 2.
A �
�
�
�
�
�
�
4 7
3 5
Matrizes 135
Observe:
A m x n
a a a
a a a
a a a
a a a
n
n
n
m m mn
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11 12 1
21 22 2
31 32 3
1 2
��
Secundária à esquerda i + j Principal à direita i = j
Veja a matriz a seguir:
A3
1 4 8
6 7 2
4 3 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Logo, –1 é o elemento da diagonal principal representada por (a11) = i = j = 1.
8 é o elemento da diagonal secundária, então i + j = n + 1 = 3 + 1 = 4.
• Matriz nula – diagonal e identidade
A matriz diagonal é do tipo quadrada, em que todos os elementos que não estão na 
diagonal são nulos.
A x2 2
1 0
0 9
�
�
�
�
�
�
�
Por sua vez, também do tipo quadrada, na matriz identidade todos os elementos da 
diagonal principal são representados pelo elemento 1 e os demais são representados por 
zero.
Id x2 2
1 0
0 1
�
�
�
�
�
�
�
• Matriz transposta
Chamada de A– ou At, obtida a partir da matriz original A, a matriz transposta troca de 
forma ordenada as linhas por colunas ou colunas por linhas.
Assim, se a matriz A é do tipo m x n, a matriz inversa At será do tipo n x m. Observe que 
a primeira linha da matriz A corresponde à primeira coluna na matriz At.
A o�
�
�
�
�
�
�
4 3 5
2 1 6
log ,
At �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4 2
3 1
5 6
Matemática aplicada136
• Matriz simétrica
Sendo A igual a At, chamamos de matriz simétrica de ordem
A �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4 2 4
2 1 6
4 6 2
Observe que: a12 = a21 = 2; a13 = a31 = 4; e assim por diante. Logo, aij = aji.
• Matriz oposta
Nessa matriz, troca-se o sinal de todos os elementos da matriz A.
A �
� �
�
�
�
�
�
�
�
4 2
2 7
Logo A� �
�
�
�
�
�
�
�
4 2
2 7
8.2 Operações envolvendo matrizes
Uma operação com qualquer tipo de matriz sempre terá como resultado uma nova matriz, 
seja na adição, subtração ou quaisquer outros cálculos que forem realizados. Mas é importante 
salientar que na igualdade, adição e subtração, como veremos a seguir, as matrizes devem ser da 
mesma ordem.
8.2.1 Igualdade de matrizes
As matrizes A e B, do tipo m x n, serão iguais se todos os elementos que ocupam a mesma 
posição também forem iguais.
A
b
B
c
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4 0
2
4
2 5
Portanto, c = 0 e b = 5.
8.2.2 Adição de matrizes
Dadas as matrizes A e B, a soma delas será chamada de C (A + B = C), desde que 1 ≤ i ≤ m 
e todo 1 ≤ i ≤ n.
8 7
9 6
1 3
2 4
8 1 7 3
9 2 6 4
7 10
11 10
�
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
� �
� �� � �
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
Matrizes 137
Propriedades da adição:
• Cumulativa: matrizes A + B = B + A
• Associativa: matrizes (A + B) + C = A + (B + C)
• Elemento oposto: matrizes A e –A → A + (–A) = (–A) + A = 0
• Elemento neutro: matriz A e 0 → A + 0 = 0 + A = A
8.2.3 Subtração de matrizes
Ao subtrairmos A – B, teremos como resultado uma matriz de mesma ordem, ou seja, mesmo 
formato. Nesse caso, é necessário muito cuidado com os sinais negativos na operação. Os valores 
positivos de B ficarão negativos; e os negativos, em razão do “jogo de sinais”, ficarão positivos.
A B A B� � � �� � �
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
�
3 0
5 4
2 5
1 3
3 0
5 4
2 5
1 3��
� �
� �� � � �� �
� � �� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
3 2 0 5
5 1 4 3
1 5
6 7
8.2.4 Produto de um número real por uma matriz
Para a multiplicação de uma matriz por uma constante, considere um número real e uma 
matriz do tipo m x n. O produto entre eles é uma nova matriz obtida a partir da multiplicação de 
cada elemento da matriz original por uma constante x, isto é, bij = xaij.B x A� �
� �
�
�
�
�
�
�
� �
� �
� � �� �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�5
4 7
2 1
5 4 5 7
5 2 5 1
20 35
10 5
Propriedades do produto:
Se duas matrizes forem do mesmo tipo e seus números reais, são válidas as propriedades 
apresentadas na sequência.
• Associativa: x . (yA) = (xy) . A
• Distributiva de um número real em relação à soma de matrizes: x . (A + B) = x · A + x · B
• Distributiva de uma matriz em relação à soma de dois números reais = (x + y) . A = x · A 
= y · A
• Elemento neutro: x · A = A
Matemática aplicada138
8.2.5 Multiplicação entre matrizes
Para multiplicar uma matriz, não basta multiplicar seus elementos uns pelos outros. O 
produto das matrizes A e B resulta em uma matriz, em que cada elemento é obtido por meio da 
soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A por elementos da j-ésima 
coluna A.
Observe a multiplicação das matrizes a seguir:
A B
2 5
1 4
3 4
2 5
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
Primeira linha e primeira coluna:
2 3 5 5 2 10� � � ��� ��
Primeira linha e segunda coluna:
2 4 8 5 5 25� � � ��� ��
Segunda linha e primeira coluna:
1 3 3 4 2 8� � � ��� ��
Segunda linha e segunda coluna:
1 4 4 4 5 20
15 33
11 24
� � � ��� �� � � �
�
�
�
�
�
�A B
Agora, uma matriz 3 x 2 na resolução do produto de matrizes:
A B� �
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�
�
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�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
� � � � �� � � � � �
2 1
5 3
0 1
3 1 4
1 6 3
3 3 1 1 2 1 1 6 2 4 1��
� � � � �� � � � � � �
� � �� �� � �� � � �� �� � � �� �
3
5 3 3 1 5 1 3 6 5 4 3 3
0 3 1 1 0 1 1 6 0 4 1 ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�3
Assim, temos A . B igual a:
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
7 4 11
18 13 29
1 6 3
Matrizes 139
O próximo passo é inverter e fazer B . A:
B A� �
��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �� �� � � � � �� �
3 1 4
1 6 3
2 1
5 3
0 1
3 2 1 5 4 0 3 1 1 �� � �
� � � � � � � � � �
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
3 4 1
1 2 6 5 3 0 1 1 6 3 3 3
1 4
32 28
B A
Propriedades da multiplicação de matrizes:
Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, são aceitas as 
propriedades apresentadas na sequência.
• Associativa: (A . B) . C = A . (B . C)
• Distributiva: A . (B + C) = A . B + A . C ou (A + B) . C = A . C = B . C
• Elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo I a matriz identidade.
8.3 Determinantes de uma matriz
Como visto anteriormente, matrizes quadradas são aquelas que têm o mesmo número 
de linhas e colunas. Para essas matrizes, é possível associar um número ao qual chamamos de 
determinante.
Os determinantes são demasiadamente úteis às ciências. Eles ajudam a solucionar problemas 
que envolvem sistemas lineares, geometria analítica, equações em projetos de engenharia, entre 
outros. Os cálculos de áreas regulares ou irregulares também são facilitados com o uso dos 
determinantes. Nesta seção faremos uma introdução ao tema, que será melhor aprofundado no 
próximo capítulo.
A notação de um determinante é dada por det ou Det. Logo, se nosso objetivo é demonstrar 
o determinante de uma matriz A, escrevemos: det |A| ou Det (A). Mas existem outras notações 
matemáticas aceitas.
8.3.1 Determinante de primeira ordem
Seja uma matriz quadrada de primeira ordem M = a[11], o seu determinante é o número real 
a11. Observe os exemplos:
M = 7 → det M = 7 ou |7| = 7
M = –5 → det M = –5 ou |–5| = –5
É importante ressaltar que as duas barras verticais que representam o determinante de uma 
matriz não são a representação de módulo.
Matemática aplicada140
No caso de uma matriz de segunda ordem, observe:
M
a a
a a
�
�
�
�
�
�
�
11 12
21 22
Sendo uma matriz de ordem 2, o determinante associado a M por definição é dado por:
det M
a a
a a
�
�
�
�
�
�
�
11 12
21 22
Consideremos o exemplo apresentado: dada a matriz M de ordem 2, o determinante será 
a diferença (subtração) do produto da diagonal principal (a11 e a22) pelo produto da diagonal 
secundária (a12 e a21).
M �
�
�
�
�
�
�
8 6
6 5
Det M = 8 . 5 – 6 . 6 = 40 – 36 = 4
8.3.2 Menor complementar
É chamado de menor complementar (MC) quando suprimimos a linha e coluna aij de uma 
matriz M, de ordem n > 1. Vejamos um exemplo, dada a matriz M:
M
a a
a a
�
�
�
�
�
�
�
11 12
21 22
MC11 = |a22 | = a22
M
a a
a a
�
�
�
�
�
�
�
11 12
21 22
MC12 = |a21| = a21
Observe uma matriz de ordem 3:
M
a a a
a a a
a a a
MC
a a
a a
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11
22 23
32 33
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Logo a a a a
MC
a a
a a
Logo a a
:
:
22 33 23 32
12
21 23
31 33
21 33 aa a23 31
Matrizes 141
Observe que, na matriz de ordem 3, o desenvolvimento será um pouco maior, pois sobrará 
uma linha com 3 elementos e uma coluna com 3 elementos em cada uma das operações realizadas. 
Perceba, ainda, que cada resultado determinante obtido será uma matriz 2 x 2.
Considerações finais
Vimos como o estudo de matrizes e determinantes é interessante e facilitador na resolução 
de problemas matemáticos. Se comparado a outros estudos matemáticos, é possível perceber 
que ele é bastante recente, com aproximadamente 150 anos. Por outro lado, parece ser o campo 
mais promissor da matemática aplicada, pois vários estudiosos continuam ampliando as suas 
aplicabilidades e grande parte dos modelos computacionais já utiliza as matrizes como base para o 
desenvolvimento de novos projetos.
Ampliando seus conhecimentos
• NUMB3RS. Autores: Nicolas Falacci e Cheryl Heuton. Estados Unidos: Pramount/CBS, 
2005. 118 episódios.
Muitas produções de cinema e artes gráficas utilizam as matrizes, as quais são construídas 
a partir de softwares que codificam e manipulam pixels com formas geométricas, dando 
movimento, cor e textura a cada apresentação. Apenas um quadro dos milhares que 
formam um filme, por exemplo, compreende milhões de pixels construídos com o 
auxílio de matrizes. Recomendamos, portanto, a série NUMB3RS que, em 118 episódios, 
revela fórmulas e explicações matemáticas de modo didático, inclusive com conceitos 
relacionados às matrizes.
• MICROSOFT OFFICE. Centro de Treinamento do Office 365. Disponível em: https://
support.office.com/pt-br/office-training-center. Acesso em: 26 set. 2019.
Desde setembro de 2018, o Office 365 vem aprimorando as fórmulas de matrizes, 
facilitando sua concepção e resolução. Para conhecer um pouco mais essa ferramenta, 
sugerimos acessar a seção de treinamento no site oficial da Microsoft e selecionar Excel.
Atividades
1. Dadas as matrizes 1 e 2, determine uma nova matriz que resulte da soma dessas duas.
1
1 3 4
2 5 1
2 2 1
2
3 3 5
2 3 1
4 0 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Matemática aplicada142
2. Usando a propriedade do produto, resolva a matriz a seguir.
5
4 6 9
0 8 2
6 2 3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3. Determine o valor das incógnitas que aparecem nas matrizes e os seus valores.
x y x
t z4 8
10
3
8 2
6 12
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
�
4. Verifique se a matriz AB é igual a B, de modo a validar a propriedade comutativa aplicada.
A
B
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
1 3
1 0
3 4
5 6
5. Dadas as matrizes A e B a seguir, determine a soma A + B.
A
x
B
y
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
3 1
6
1
1 2
6. Dada uma matriz de ordem 2, defina o determinante, indicando a diagonal principal e a 
secundária.
M �
�
�
�
�
�
�
12 10
8 10
7. Dada a matriz de ordem 3, determine MC11 e MC12.
M �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
8 4 7
5 6 3
4 9 1
9
Sistemas lineares
Com a aplicação dos conceitos de sistemas lineares, é possível resolver problemas mais 
complexos, que envolvem inúmeras incógnitas. Os sistemas são utilizados no cálculo de projeções 
financeiras, na construção de projeções estatísticas, na estruturação de modelos computacionais e 
em outras aplicações.
Para iniciarmos os estudos sobre sistemas lineares, no entanto, será necessário avançar em 
alguns pré-requisitos fundamentais ao entendimento do assunto.
9.1 Complemento algébrico e menor complementar
Chamamos de complementoalgébrico ou cofator o elemento aij de uma matriz quadrada de 
ordem n, tal que Aij = (–1)
i+j . MCij.
Observe a matriz:
A
a a
a a
�
�
�
�
�
�
�
11 12
21 22
Os complementos ou cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz A serão:
A a a a
A a a a
11
1 1
22
2
22 22
12
1 2
21
3
21 21
1 1
1 1
� �� � � � �� � � �
� �� � � � �� � � �
�
�
Vamos repetir o processo para uma matriz quadrada 3 x 3:
A
a a
a a
a a a a
A
22
2 2 11 13
31 33
11 33 13 31
23
1 1
1
� �� � � �
�
�
�
�
� � �� � �� �
� �� �
�
22 3 11 13
31 32
11 32 12 31
31
3 1 12
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �� � �� �
� �� � �
a a
a a
a a a a
A
a aa
a a
a a a a13
22 23
12 23 13 221
�
�
�
�
�
� � �� � �� �
Como vimos no Capítulo 8, quando suprimimos a linha e coluna aij de uma matriz M, de 
ordem n > 1, compreendemos isso como menor complementar (MC).
Tanto o complemento algébrico quanto o menor complementar são muito utilizados nas 
aplicações desenvolvidas neste capítulo, por isso a importância dessa revisão.
Para encontrar o determinante de matrizes, são necessárias regras e teoremas específicos. De 
modo a aprofundar o que estudamos anteriormente, portanto, apresentamos a seguir uma regra de 
relevante conhecimento.
Matemática aplicada144
9.1.1 Regra de Sarrus
Já estudamos o cálculo de determinantes de segunda ordem. Para o cálculo de determinantes 
de terceira ordem, por sua vez, podemos utilizar a regra de Sarrus.
Dada a matriz A3 x 3:
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12
21 22
31 32
E encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal:
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12
21 22
31 32
Logo, a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
Agora, fazemos o mesmo, porém colocando as diagonais secundárias:
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12
21 22
31 32
Logo, – (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33)
Ao juntarmos esses elementos, temos:
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12
21 22
31 32
= – (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33) + (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32).
A regra de Sarrus, junto às demais já apresentadas, objetiva facilitar os cálculos de 
uma determinante. É algo de grande relevância, considerando que em áreas de pesquisa e 
desenvolvimento é a ampla aplicabilidade de matrizes, como nos códigos de linguagem de 
programação de computadores.
Sistemas lineares 145
9.2 Sistemas lineares
Chamamos de linear toda equação apresentada pela forma:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + ............... anxn = b
Essa equação é formada por números reais a1, a2, ..., an, chamados de coeficientes das 
incógnitas. São exemplos de equações lineares:
5x + 7y + 6z = 9
–5x + 7j = 4t – 8
x – y = –11t + 4
Existem, porém, equações que não são lineares, como:
zt – 3y + m = 15
x2 – 7m = 6d – 19
Observe que um termo da segunda equação faz com que ela não seja um modelo linear: 
o termo x2.
9.2.1 O sistema linear
Podemos dizer que o sistema linear é representado por um conjunto de equações lineares, 
que obedecem ao formato:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
...
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
Em matemática, o sistema linear também pode ser conceituado como um sistema de 
equações do primeiro grau. Isso significa que essas equações possuem apenas polinômios de grau 
1 e em cada um deles existe uma incógnita. Logo, podemos dizer que em um sistema linear não 
haverá multiplicação de incógnitas, apenas soma e subtração. Ainda, podemos dizer que não há 
também potência diferente de 0 ou 1. Nesse sentido, os métodos explorados a seguir tendem a 
facilitar o cálculo de sistemas lineares.
9.2.2 Matrizes associadas a um sistema linear
Podemos associar um sistema linear a matrizes. Nesse caso, cada coeficiente é associado a 
um termo aij da matriz, respeitando a ordem das incógnitas. Observe:
3x + 2y – z = 0
2x + y + z = 8
–3x + y + z = 3
Matemática aplicada146
Esse sistema linear resultará em uma matriz incompleta, pois não acrescentamos os valores 
colocados à frente da igualdade, apenas os valores que acompanham as incógnitas. Observe:
A �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3 2 1
2 1 1
3 1 1
Para transformá-la em uma matriz completa, precisamos acrescentar uma coluna formada 
pelos termos independentes das equações do sistema. Em uma matriz, os termos independentes 
são aqueles colocados após o sinal de igual e que não estão acompanhados de incógnitas. Também 
podem ser chamados de termos resultantes. Após inserirmos a quarta coluna com os termos 
independentes, chamaremos essa matriz de B:
B �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3 2 1 0
2 1 1 8
3 1 1 3
Um sistema em que todos os termos independentes são nulos é chamado de homogêneo. 
Vejamos um exemplo:
5x + 4y – 3z = 0
–4x + 7y – 8z = 0
x2 – y + 3z = 0
Consideramos que esse sistema é homogêneo, em razão de todos os termos independentes 
serem iguais a zero.
9.2.3 Classificações de um sistema
Um sistema pode ser classificado de acordo com o número de possíveis soluções. Vejamos 
o exemplo:
x + y = 6
3x – y = 2
 x = 6 – y
Substituindo na segunda equação, 3 . (6 – y) – y = 2, então: 18 – 3y – y = 2. Isso resultará em 
–4y = –16, logo, y = 4.
Substituindo na primeira equação, x + 4 = 6, logo x = 2.
Ao resolver esse sistema, encontramos como solução o par ordenado (2,4). Nesse caso, há 
apenas essa única possibilidade de solução. Por isso, é um sistema possível e determinado.
Vejamos um sistema mais complexo:
x + y = 6
2x + 3y = 14
Sistemas lineares 147
 x = 6 – y
Substituindo na segunda equação, 2x + 3y = 14: 2 . (6 – y) + 3y = 14. Portanto, 12 – 2y + 3y 
= 14, resultando em: –2y + 3y = 14 – 12. Logo, y = 2, o que permite calcular: x + y = 6, isto é, x + 2 
= 6. Por fim, encontra-se: x = 4.
Podemos ter inúmeros pares ordenados resultantes do sistema, como (2,4). São infinitas as 
soluções, de modo que esse é um sistema classificado como possível e indeterminado.
Agora, observe o próximo sistema:
x + y = 10
–x – y = 10
Nesse caso, ao tentar a resolução, eliminamos x e y. Logo vemos que nenhum par ordenado 
satisfaz ao mesmo tempo as equações. Esse sistema não tem solução, sendo impossível resolvê-lo.
9.3 Sistemas normais
Quando um sistema apresenta o mesmo número de equações e de incógnitas, é chamado de 
sistema normal, desde que seu determinante da matriz incompleta associada seja diferente de zero. 
Portanto, se m = n e Det A ≠ 0, podemos dizer que o sistema é normal.
9.3.1 Regra de Cramer
A regra de Cramer define que todo sistema dito normal terá uma única solução, dada por:
xi Dxi
D
=
Nessa fórmula, devemos considerar que:
• i pertence a {1,2,3,..., n}.
• D = Det A, que se refere ao determinante da matriz associada ao sistema.
• Dxi = determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna 
formada por termos independentes.
À medida que fazemos a classificação de um sistema, observando a forma como se 
apresenta, podemos definir que tipo de método vamos utilizar para resolvê-lo. Em alguns casos, 
só de observamos a forma como os termos se apresentam já conseguimos definir se ele tem 
resolução ou não.
Como vimos, de acordo com as classificações de um sistema linear, a depender de suas 
equações e incógnitas, ele pode ser de três tipos:
Matemática aplicada148
I. Determinado e possível, se o determinante A ≠ 0, o que resulta em uma solução única. 
Exemplo:
x – y + z = 3
2x + y – z = 0
3x – y + 2z = 6
m . n = 3
D �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
1 1 1
2 1 1
3 1 2
3 0
II. Indeterminado e possível, possuindo infinitas soluções. Exemplo:
a + 5b + 2c = 1
–2a + b + c = –2 
–x + 4b + 3c = –1
D = 0; Da = 0; Db = 0; Dc = 0
III. Impossível, isto é, sem possibilidade de solução (D = 0). Exemplo:
a + 2b + c = 1
 2a + b – 3c = 4
 3a+ 3b – 2c = 0
D � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 1
2 1 3
3 3 2
0
 
Da � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
1 2 1
4 1 3
0 3 2
35 0
9.4 Sistemas equivalentes
Se dois sistemas apresentarem o mesmo conjunto de solução, serão chamados de equivalentes. 
Vejamos o exemplo:
4x + y = 6
x + y = 4
S1 = 
 
x + y = 8
x – y = 4
S2 = 
O par ordenado (x,y) = (2,2) satisfaz a ambos os sistemas. Portanto, dizemos que S1 e S2 são 
equivalentes.
Sistemas lineares 149
A partir desse conceito, definem-se algumas propriedades:
a) Ao trocar de posição as equações de um sistema, outro sistema equivalente será possível.
 
x + y + 3z (1)
x – y = 5 (2) 
y + z = 4 (3)
x – y = 5 (2)
y + z = 4 (3) 
x + y + 3z (1)
será equivalente a:
b) Quando multiplicamos uma ou mais equações de um sistema por uma constante, 
obtemos um sistema equivalente ao anterior.
x + 3y = 4 (1)
x – y = 0 (2)
 Multiplicando a equação (2) por 4, teremos:
x + 3y = 4
4x – 4y = 0
Logo, ambos os sistemas passam a ser equivalentes.
c) Se adicionarmos a uma das equações de um sistema o produto resultante de outra equação 
desse mesmo sistema por um número constante, obteremos um sistema equivalente ao 
anterior.
x + 3y = 5 (1)
x – y = 1 (2)
 Ajustamos para:
–x – 3y = –5
x – y = 1
x – 3y = 5
–4y = 4
–4y = –4
 Podemos observar que os resultados (x,y) representam a solução de ambos os sistemas.
9.5 Sistemas escalonados
Vários métodos podem ser utilizados para resolver sistemas lineares com escalonamento. 
Os mais comuns são: o método da adição, o método da substituição e o método de Cramer, o qual 
é usado, geralmente, para sistemas maiores, tipo 3 x 3, com incógnitas determinadas ou não. Para 
que você possa perceber a diferença entre eles, alguns exemplos estão propostos a seguir.
Matemática aplicada150
• Método da adição
Adiciona-se membro a membro das equações com o objetivo de calcular uma das 
incógnitas. Exemplo:
x + y = 7
x – 3y = –1
O primeiro passo nessa equação será multiplicar a segunda equação por (–1) e, assim, 
eliminar a incógnita x. É importante ter a percepção de que qualquer operação que 
consiga anular uma das incógnitas irá facilitar o cálculo.
x + y = 7 e –x + 3y = 1
Perceba que x será anulado nessa operação e sobrarão apenas as incógnitas y para serem 
calculadas.
4y = 8
y = 2
Substituindo o valor de y em uma das equações, teremos:
x + y = 7
x + 2 = 7
x = 5
Portanto, x = 5; y = 2
• Método da substituição
O primeiro passo é escolher uma das equações dadas para isolar uma das incógnitas e, em 
seguida, substituir em outra equação. Exemplo:
x + 2y = 9
3x + y = 7
Vamos isolar x, portanto x = 9 – 2y.
Agora, vamos substituir na segunda equação:
3 . (9 – 2y) + y = 7
27 – 6y + y = 7
–5y = 7 – 27
5y = 20
y = 4
Sistemas lineares 151
Escolhemos, então, uma das equações para encontrar x:
x + 2y = 9
x + 2 . 4 = 9
x + 8 = 9
x = 1
Portanto, x = 1; y = 4
Agora, observe o exemplo de um sistema com três equações. O fato de o número de 
equações ser igual ao número de incógnitas facilitará a resolução do sistema. Logo, m (equações) 
= n (incógnitas).
2x – 3y – z = 4
x + 2y + z = 3 
3x – y – 2z = 1
Devemos trocar de posição a primeira equação com a segunda, para que o primeiro 
coeficiente x seja igual a 1.
x + 2y + z = 3
2x – 3y – z = 4 
3x – y – 2z = 1
Agora, fazemos a segunda posição pela soma da primeira equação, multiplicada por –2, com 
a segunda equação.
x + 2y + z = 3
–7y – 3y = –2 
3x – y – 2z = 1
→ (–2)
A seguir, trocamos a terceira equação pela soma da primeira, multiplicada por –3, com a 
terceira equação.
x + 2y + z = 3
–7x – 3z = –2 → (–3)
–7y – 5z = –8
Matemática aplicada152
Por fim, anulamos os coeficientes da segunda incógnita a partir da terceira equação, e 
trocamos a terceira equação pela soma da segunda, multiplicada por –1, com a terceira equação.
x + 2y + z = 3
–7x – 3z = –2 
–2z = –6
→ (–1)
Com isso, já encontramos o valor de z na última equação, que é 3. Agora, basta substituí-lo 
para encontrar y.
–2z = 6, logo, z = 3
–7y – 3 . (3) = –2
–7y – 9 = –2
y = –1
Por fim, como temos y, acharemos o valor de x.
x + 2 . (–1) + 3 = 3
x – 2 + 3 = 3
x = 2
Portanto, x = 2, y = –1 e z = 3.
Vamos avançar, agora, para um sistema mais complexo, com três equações e quatro incógnitas.
Dado o sistema:
a + b + c – d = 6
2a + b – 2c + d = –1
a – 2b + c + 2d = –3
Observe que o número de equações é menor que o número de incógnitas. Logo, m < n. 
Anulamos todos os coeficientes da primeira incógnita a partir da segunda equação. Então, 
trocamos a segunda equação pela soma do produto da primeira equação por –2 com a segunda 
equação. Vejamos:
a + b + c – d = 6
2a + b – 2c + d = –1
a – 2b + c + 2d = –3
a + b + c – d = 6
–b – 4c + 3d = –13
a – 2b + c + 2d = –3
→ (–2) →
Sistemas lineares 153
Trocamos a terceira equação pela soma do produto da primeira equação por –1 com a 
terceira equação.
a + b + c – d = 6
–b – 4c + 3d = –13
a – 2b + c + 2d = –3
a + b + c – d = 6
–b – 4c + 3d = –13
–3b + 0d + 3d = –9
→ (–1) →
Na sequência, anulamos os coeficientes da segunda incógnita a partir da terceira equação. 
Trocamos a terceira equação pela soma do produto da segunda equação por –3 com a terceira 
equação.
a + b + c – d = 6
–b – 4c + 3d = –13
–3b + 0d + c = 9
a + b + c – 3d = 6
–y – 4c + 3d = –13
12c – 6d = 30
→ (–3) →
Dessa forma, está feito o escalonamento do sistema. Como m < n, sabemos que o sistema 
é possível e indeterminado, por isso admitem-se infinitas soluções. Chamamos de grau de 
indeterminação (GI) a diferença entre o número de incógnitas e o de equações de um sistema 
nessas condições.
GI = n – m = 4 – 3 = 1
Se o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor ᾱ, supostamente 
conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo d = ᾱ, substituindo esse valor na 
terceira equação, por exemplo, teremos:
12 6 ᾱ
ᾱᾱ ᾱ12 30 6 30 6
2
5
2
c
c c
= 30
Verificados os valores c e d, podemos substituí-los na segunda equação:
b
b
b
b
b
4
5
2
3 13
10 2 3
13 10
3
3
=
–13=
ᾱ
ᾱ ᾱ
ᾱ
ᾱ
ᾱ
ᾱ
Matemática aplicada154
Agora que já conhecemos b, c e d, podemos substituí-los na primeira equação para encontrar 
o valor de a.
a
a
a
a
a
3
5
2
6
2 2 6 5 2 12
2 2 11 12
2 1
1
=
=
: 2
ᾱ
ᾱ
ᾱ
ᾱ ᾱ ᾱ
ᾱ
ᾱ
ᾱ
Os sistemas lineares podem ser ainda maiores, como 4 x 4, 5 x 5 etc. Porém, quanto maiores, 
mais complexos são em suas resoluções. Atualmente, temos ferramentas computacionais que 
facilitam o trabalho de resolução de grandes sistemas.
Para entender melhor esse método, vejamos alguns exemplos resolvidos.
1. Escalone e resolva os seguintes sistemas lineares:
a) Sistema linear básico tipo 2 x 2.
x + 3y = 0
3x + 5y = 0
 Solução:
 Multiplicamos a primeira equação por (–3):
–3x + 9y = 0
3x � �
� �
5 0
4 0
y
y
 Substituindo na primeira equação:
 x + 3y = 0
 x + 3 . (–4) = 0
 x – 12 = 0
 x = –12
 S = (–12;0)
b) Sistema de 3 equações e 3 incógnitas, 3 x 3.
a + 2b + c = 9
2a + b – c = 3
3a – b – 2c = – 4
Sistemas lineares 155
 Solução:
 
a + 2b + c = 9
2a + b – c = 3
3a – b – 2c = –4
← multiplicamos por (–2)
← multiplicamos por (–3)
 
a + 2b + c = 9
 –3b – 3c = –15
 –7b – 5c = –31
 Podemos simplificar para reduzir os elementos, sem modificar o valor final:
 
a + 2b + c = 9
 –3b – 3c = –15
 –7b – 5c = –31
← divisível por (–3)
 a + 2b + c = 9
 
a + 2b + c = 9
 b + c = 5
 –7b – 5c = –31 ← multiplicamos por 7
 
a + 2b + c = 9
 b + c = 5
 2c = 4
 c = 2
 Substituindo na primeira e na segunda colunas, teremos b = 3 e a = 1, portanto 
S = (1,2,3).
Agora, para facilitar a compreensão, vamos proceder com a aplicação da regra de Cramer, 
determinando x e y na equação:
x + 2y = 9
3x + y = 7
Tornando esse sistema uma matriz, teremos: A . B = C
1 2
3 1
9
7
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
x
y
Matemática aplicada156
x
A
A
y
A
A
x
y
�
� �
� �
�
� �
� �
det
det
detdet
Calculando o determinante da matriz incompleta, teremos:
det A� � � �
�
�
�
�
� � � � � � �
1 2
3 1
1 1 2 3 5
Para obter a matriz Ax, é necessário substituir a primeira coluna da matriz A, na qual estão 
os coeficientes de x, pela coluna da matriz C.
Ax �
�
�
�
�
�
� � � � � � �
9 2
7 1
9 1 2 7 5
Agora, façamos o mesmo com a matriz Ay, substituindo a segunda coluna da matriz A:
A
x
A
A
y
A
y
x
y
�
�
�
�
�
�
� � � � � � �
� �
�
�
�
�
1 9
3 7
1 7 9 3 20
5
5
1
det( )
det( )
det( )
dett( )A
�
�
�
�
5
20
1
4
Os exercícios apresentados foram resolvidos de forma mais fácil quando lançamos mão 
do uso de determinantes. Os determinantes são uma importante propriedade das matrizes e têm 
especial relevância para os conceitos apresentados até então.
Considerações finais
As matrizes e determinantes, quando aplicadas à engenharia, à estatística e a outras áreas 
complexas do conhecimento, reduzem demasiadamente o tempo para se chegar à solução de 
situações-problema. Cálculos de medição, como os utilizados na construção de um prédio, por 
exemplo, irão demandar a análise de múltiplas equações ao mesmo tempo. Ainda, essa análise 
é importante para estabelecer a equação ajustante de uma parábola em estatística, em que se faz 
necessário elaborar sistemas de equações com muitas incógnitas.
Sistemas lineares 157
Ampliando seus conhecimentos
• SILVEIRA, J. F. Porto da. Surgimento da teoria das matrizes. UFRGS. Disponível em: 
www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa3b.html. Acesso em: 3 out. 2019.
O texto indicado elucida o surgimento e a história da teoria das matrizes. Trata-se de um 
portal da UFRGS, que disponibiliza também outros textos pertinentes sobre o assunto.
• EXCEL trabalhando com matrizes. 2015. 1 vídeo (19 min.). Publicado pelo canal Wesley 
Matos – Excel Man. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=nJ1t8qbVA9s. 
Acesso em: 3 out. 2019.
Vale a pena conhecer as videoaulas sobre matrizes e determinantes desenvolvidas pelo 
professor de computação gráfica Wesley Matos. Com exemplos práticos, o professor 
apresenta o passo a passo da construção de matrizes e determinantes utilizando a 
ferramenta Microsoft Excel.
Atividades
1. Obtenha matriz transposta Bt a partir da matriz B:
B �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2
4 1
0 3
2. Obtenha a matriz oposta de A:
A �
�
�
�
�
�
�
�
�
1 4
4 1
3. Faça a adição das matrizes M e N e encontre o resultado chamado matriz P.
M N � �
�
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
�
3 3
2 5
6 2
1 4
4. Dadas as matrizes a seguir, obtenha A – B.
A B� �
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
6 3
3 4
1 2
7 0
5. Resolva a matriz B = x . A, isto é, multiplique um número inteiro por uma matriz.
B � �
�
�
�
�
�
�3
8 7
6 5
https://www.youtube.com/watch?v=nJ1t8qbVA9s
Matemática aplicada158
6. Determine o conjunto-solução do sistema linear a seguir:
3x + y = 13
x + 2y = 16
7. Usando o método da substituição, determine o conjunto-solução do sistema a seguir:
3x + y = 11
x + 2y = 7
8. Usando a resolução por meio de determinantes, com a regra de Cramer, resolva o mesmo 
sistema anterior.
3x + y = 11
x + 2y = 7
9. Determine o conjunto-solução do sistema 3 x 3 a seguir utilizando o método da adição.
x + y + z = 9
3x – 2y – z = –4
2x – 3y + 2z = 3
10. Determine o conjunto-solução do sistema 3 x 3 por escalonamento utilizando a regra de 
Cramer.
x + 2y + z = 0
2x – y + 3 = 1
–x + 3y + z = –2
10
Funções polinomiais, limites e derivadas
Este capítulo está organizado em três partes. A primeira tratará das funções polinomiais, 
que é um pré-requisito de pré-cálculo para desenvolvermos as duas etapas finais, denominadas 
limites e derivadas. Nosso objetivo será descrever o comportamento de uma ou mais funções à 
medida que seu argumento se aproxima de determinado valor. Entende-se por argumento o ângulo 
formado pelo eixo positivo do plano cartesiano e a função.
Na segunda parte deste capítulo veremos técnicas para o cálculo de limites e propriedades 
relevantes. Finalmente, na terceira parte chegaremos às derivadas. É válido observar que o conceito 
de derivadas relaciona-se à taxa de variação instantânea de uma função e que, na prática, está 
muito presente no cotidiano das pessoas e empresas. As técnicas de derivação possibilitam, por 
exemplo, a análise da taxa de crescimento de uma população, a variação de custos e demandas em 
uma empresa. Logo, os três temas são fundamentais e aplicáveis.
10.1 Funções polinomiais
Observe a soma: an x
n + an – 1x
n – 1, ..., a0. Cada monômio dessa soma é um termo do polinômio.
Normalmente, a forma padronizada de escrever uma função polinomial é com os seus 
termos em graus decrescentes. Na fórmula, observamos, ainda, que as constantes an, an–1, ..., a0 são 
os coeficientes do polinômio.
Chamamos o termo an x
n de central ou principal, e a0 de termo constante ou independente. É 
importante saber que n é sempre um número inteiro e não negativo.
Podemos dizer que toda função polinomial é definida e contínua para os números reais. As 
funções polinomiais ainda podem ser classificadas e caracterizadas de acordo com o seu grau, que 
corresponderá ao valor do maior expoente da variável do polinômio.
São chamadas de funções de grau 1, ou n = 1, aquelas dadas por P(x) = a0x
0 + a1x
1, que 
será igual a a0 + a1x. A função f(x) = 4x + 1, por exemplo, é polinomial de grau 1, dada por dois 
monômios.
Nas funções polinomiais de grau 2, a sua representação é parabólica e o termo a sempre 
estará ao quadrado. A função f(x) = 5x2 + 4x + 2, por exemplo, é polinomial de grau 2 e representada 
por três monômios.
Matemática aplicada160
Vejamos funções polinomiais de outros graus:
f(x) = 10 → Nesse caso não há variável, mas podemos considerá-la com grau 0. Logo, é uma 
função constante.
f(x) = 0 → Não há grau.
As funções polinomiais têm múltiplas aplicações, das mais simples utilizadas em química, 
física, biologia e ciências sociais, às mais complexas usadas na engenharia, no cálculo numérico 
e na economia. Além disso, podem ser representadas graficamente. Avaliemos alguns exemplos:
1. O gráfico de um grau de um polinômio (ou função linear) é dado por f(x) = a0 + a1x, 
em que 1 ≠ 0. É uma linha oblíqua com coeficiente linear igual a 1 e coeficiente angular 
igual a1.
Gráfico 1 – Função de grau 1 dada por y = 2x + 1
0
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5
x y
0 1
1 3
2 5
3 7
4 9
Fonte: Elaborado pelo autor.
2. O gráfico de um polinômio de grau 2, dado por y = x2 – x – 2, define uma parábola.
Gráfico 2 – Função de grau 2 dada por y = x2 – x – 2
2–2 0
0
1
2
3
4
5
–2
–1
–3
–4 4
x y
2 0
1 –2
0 –2
–1 0
–2 4
Fonte: Elaborado pelo autor.
Funções polinomiais, limites e derivadas 161
3. O gráfico do polinômio de grau 3 representará sempre uma curva cúbica.
Gráfico 3 – Função de grau 3 dada por y = 4x3 – 3x2 – 5x
4
2
2 4 60
–2
–4
–4 –2
x y
2 10
1 –3
0 0
–1 –2
–2 –34
Fonte: Elaborado pelo autor.
Podemos observar que os Gráficos 1, 2 e 3 são totalmente distintos, dependendo do grau da 
função.
A partir do grau das equações polinomiais, também definimos quantas raízes tem em cada 
uma delas.
Vejamos outros exemplos:
(x – 1)2 = 0, logo (x – 1) . (x – 1) = 0
Portanto, admite duas raízes reais iguais a 1.
(x – 1)5 = 0, logo (x – 1) . (x – 1) . (x – 1) . (x – 1) . (x – 1) = 0
Então, temos cinco raízes.
10.2 Multiplicidade de uma raiz
Nas equações algébricas, as raízes podem ser todas distintas ou não. Dependerá de como 
cada equação se apresenta. A multiplicidade define o grau da junção dos termos comuns.
Exemplo 1:
Na equação (x – 4)2 . (x + 3)3 . (x – 1) = 0, teremos:
(x – 4) . (x – 4), logo, 4 é uma raiz dupla ou de multiplicidade 2.
(x + 3) . (x + 3) . (x + 3), então, –3 é uma raiz tripla ou de multiplicidade 3.
(x – 1), portanto, 1 é uma raiz simples ou de multiplicidade 1.
Matemática aplicada162
Exemplo 2:
Vejamos a equação p(x) = 8 . (x + 4) . (x – 7) . (x – 5) . (x + 4) . (x – 7) . (x + 4)
8x + 32 = 0
8x = –32
Logo, x = –4
x – 7 = 0,portanto, x =7
x – 5 = 0, portanto, x = 5
x + 4 = 0, portanto, x = –4
x – 7 = 0, portanto, x = 7
x + 4 = 0, portanto, x = –4
Assim, p(x) é o produto da constante 8 por 6 fatores de primeiro grau. Podemos dizer que é 
de sexto grau e as raízes são: –4, 7, 5, –4, 7 e –4.
Em que:
–4 é raiz tripla ou de multiplicidade 3.
7 é raiz dupla ou de multiplicidade 2.
5 é raiz simples ou de multiplicidade 1.
Então: p(x) = 8 . (x + 4)3 . (x – 7)2 . (x – 5)
Vamos aplicar esses novos conhecimentos à resolução dos exercícios a seguir:
1. Uma pessoa vai viajar para os Estados Unidos e está avaliando três planos de internet 
para escolher o mais viável.
• Plano 1: R$ 35,00 de taxa fixa + R$ 0,50 por hora utilizada efetivamente.
• Plano 2: R$ 20,00 de taxa fixa + R$ 1,90 por hora utilizada efetivamente.
• Plano 3: sem custo de taxa fixa + R$ 3,95 por hora efetivamente utilizada.
Qual será o plano mais interessante para uma pessoa que utilizará 7 horas? E se o utilizar 
acima de 30 horas, esse plano continuará interessante?
Solução:
Podemos definir as funções de cada plano utilizando as funções polinomiais de primeiro 
grau.
Primeiro para 7 horas:
Plano 1: R$ 0,50 . 7 + R$ 35,00 = R$ 38,50
Plano 2: R$ 1,90 . 7 + R$ 20,00 = R$ 33,30
Plano 3: R$ 3,90 . 7 + R$ 0,00 = R$ 27,30
Funções polinomiais, limites e derivadas 163
Agora para 30 horas:
Plano 1: R$ 0,50 . 30 + R$ 35,00 = R$ 50,00
Plano 2: R$ 1,90 . 30 + R$ 20,00 = R$ 77,00
Plano 3: R$ 3,90 . 30 + R$ 0,00 = R$ 117,00
Se a pessoa utilizar apenas 7 horas, o plano 3 é mais interessante. Mas em um tempo 
maior, como 30 horas, o plano 1, mesmo com uma taxa adicional, é muito melhor. Logo, 
podemos dizer que o plano 3 é melhor somente em curtos períodos.
2. Defina, em função de m, o grau de p(x) = (m – 2) x4 + (m2 – 4) x5 + 3x2 – 1.
Solução:
O monômio com maior grau é o que tem o elemento x5. Logo, para o grau dessa função 
ser igual a 5, m2 – 4 deve ser diferente de zero.
m2 – 4 será igual a zero quando m2 = 4, logo m = +–2.
Quando m é igual a –2, o grau de p(x) = 4.
Quando m for igual a +2, o primeiro e segundo termo somem, então, o termo que terá 
maior grau será 3x2. Logo, o grau de p(x) = 2.
E se m for ≠ de –2 e +2, o (m2 – 2)2 será ≠ 0. O grau de p(x), então, será igual a 5.
3. Sendo a equação (x3 – x2 + x – 1)30 = 0, determine a multiplicidade da raiz x = 1.
Solução:
P(x) = [x2(x – 1) + 1(x – 1)]30
P(x) = [(x – 1) . (x2 + 1)]30
P(x) = (x – 1)30 . (x2 + 1)30 = 0
Como (x – 1)30 = 0, temos que 1 é raiz de multiplicidade 30.
É válido ressaltar que, atualmente, existem tecnologias avançadas para observar o 
comportamento de várias funções polinomiais simultaneamente e fazer boas aproximações 
entre elas. Isso possibilita agilidade na resolução de problemas com maior grau de precisão, 
especialmente em engenharias e na construção civil.
10.3 Princípio da indução finita
Vamos iniciar esse assunto conhecendo uma propriedade curiosa sobre os números ímpares. 
Se somarmos apenas um número ímpar, por exemplo, o resultado da soma será ele mesmo, isto é, 
1 = 1. Se somarmos os dois primeiros números ímpares, será 1 + 3 = 4; os três primeiros, 1 + 3 + 5 
= 9; por fim, os quatro primeiros ímpares, 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
Matemática aplicada164
A essa altura, podemos observar um padrão de construção. É bem provável que a regra a 
balizar essa construção descreva que a soma dos n primeiros números ímpares será igual a n2. Para 
validarmos essa regra, contudo, teríamos que testá-la para todos os naturais, o que seria praticamente 
impossível. Para testar esse padrão, há várias maneiras. A mais comum, que conheceremos a seguir, 
chama-se princípio da indução finita.
Imagine-se posicionando peças de um dominó em pé, construindo uma reta ou curva. Se a 
distância entre as peças for adequada, ao empurrar uma, poderemos vê-la derrubando a peça à sua 
frente, que derrubará outra, e outra, até o fim da série. Essa imagem nos ajuda a entender o que é a 
indução finita, cujo princípio se baseia em duas ideias.
A primeira ideia se chama passo indutivo. Em analogia ao dominó, significa dizer que se 
uma peça cair sobre outra, então essa também cairá. Essa afirmação, é claro, não garante que todas 
as peças venham a cair.
A segunda ideia se chama base, que se refere, nesse exemplo, à primeira peça de dominó que 
cairá. Juntando ambas as ideias, podemos garantir que todo o dominó cairá. Mas a base não precisa 
ser necessariamente a primeira peça, poderia ser a sétima ou qualquer outra.
Voltando ao nosso problema inicial, vamos usar o princípio da indução finita para demonstrar 
que a soma dos primeiros números naturais ímpares é dada por n2. Reescrevendo essa afirmação 
em linguagem matemática, temos:
1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2, sendo (2n – 1) o enésimo termo.
Base = 1, então 12.
Hipótese: podemos avaliar que essa propriedade funciona para um determinado valor de n, 
ou seja, n = k.
Tese: se funcionar para k, funcionará também para k + 1.
Vamos observar agora outro exemplo:
12 = 1
12 + 22 = 5
12 + 22 + 32 = 14
12 + 22 + 32 + 42 = 30
Se estendemos essa soma para uma quantidade n de números naturais, o resultado será:
1 2
1 2 1
6
2 2 2� � � �
� �� �� �� �
... n
n n n
Vamos testar:
n soma
n n n
1
1 2 1
6
1 1 1 2 1 1
6
1
2
2 2 1 2 2 1
6
� �� � � �� �
�
� �� �� � �� �
�
� �� �� � �� �
� 55
Funções polinomiais, limites e derivadas 165
O fato de testarmos e ter dado certo para os dois primeiros n, no entanto, não significa que 
possamos afirmar que dará certo para todos os números naturais. Como essa é uma propriedade 
associada aos números naturais, um bom método para verificar se funciona a todos os números é 
usar também o princípio da indução finita.
Primeiramente, vamos verificar a base como fizemos no primeiro exemplo.
Base para n: �
� �� �� � �� �
�
1 1 1 2 1 1
6
1
Hipótese: admitir que a fórmula funciona para um determinado número natural, que 
chamaremos de k. Assim, se somarmos 1 2 3
1 2 1
6
2 2 2 2� � � �
� �� �� �� �
...k
k k k
Logo k k
k k k
k
, ...1 2 3 1
1 2 1
6
1
2 2 2 2 2
2
� � � ��� �� � �� � �
� �� �� �� ��� �� � �� �
kk k k k
k
k k k
� �� �� �� � � � �� �
�� �
� � �� � � � �� ��
1 2 1 6 1
6
1
6
2 1 6 1
2
Portanto, �� ��
Fazendo a propriedade distributiva 
k
k k k
�� �
� � � ��� ��
1
6
2 6 62 , podemos usar o 7K e 
redistribuí-lo, pois isso viabilizará a fatoração por agrupamento:
k
k k k
k
k x k
k k
�� �
� � � ��� ��
�� �
� �� � � �� ��� ��
�� �� ��
1
6
2 3 4 6
1
6
2 3 2 2 3
1 2
2
�� � �� �2 3k
Observe que essa expressão representa nossa regra inicial, substituindo o n por (k + 1).
Portanto,
n n n k k k� �� � � �� �
�
�� �� �� �� �� �1 2 1
6
1 2 2 3
6
Dessa forma, mostra-se que a regra vale para 1 e, se vale para o natural k, vale para k + 1. 
Logo, funcionará para qualquer número natural.
Agora vamos aplicar o princípio da indução finita para resolver dois problemas de igualdade.
1. O primeiro deles será provar que 3 divide 5n + 2 . 11n. Ou seja, expressões nesse formato 
são sempre divisíveis por 3.
Base: n = 1, então 5 + 2 . 11 = 27, que realmente é divisível por 3. Na base, portanto, 
funcionou.
Matemática aplicada166
Hipótese de indução: admitimos que essa expressão é divisível por 3 para um determinado 
número natural, que podemos representar por k. Assim, podemos escrever: 5k + 2 . 11k 
será divisível por 3.
Agora vamos provar que 5k + 1 + 2 . 11k + 1 também é divisível por 3.
5 . 5k + 2 . 11 . 11k
5 . (5k + 2 . 11k) + 6 . 2 . 11k
Com certeza 
divisível por 3
Divisível por 3
por indução
Logo, se a expressão é divisível por 3 por um número inteiro positivo (6), será também 
divisível o sucessor. Ou seja, o fato de valer para k demonstra que vale também para k + 1.
2. Agora vamos para mais uma aplicação com uma soma curiosa, usando os fatoriais:
1 . 1! = 1
1 . 1! + 2 . 2! = 5
1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! = 23
Vamos estender um pouquinho mais essas observações:
1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + 4 . 4! = 119
Em todas essas linhas, o resultadoobtido é sempre uma unidade a menos do que o 
próximo fatorial, ou seja:
1 . 1! = 1 → 2! – 1
1 . 1! + 2 . 2! = 5 → 3! – 1
1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! = 23 → 4! – 1
1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + 4 . 4! = 119 → 5! – 1
Dizemos, assim, que essas expressões podem ser dadas por (n + 1)! – 1.
Vamos provar que:
k k n
k
n
� � �� � �
�
� ! !1 1
1
Base: (n = 1)
Hipótese: 1 . 1! + 2 . 2! + ... + p . p! = (p + 1! – 1)
Nosso objetivo é demonstrar que essa mesma propriedade vale para o próximo, ou seja, 
p + 1.
1 . 1! + 2 . 2! + ... + p . p! + (p + 1) . (p + 1)!
Logo, (p + 1) – 1 + (p + 1) . (p + 1)!
Funções polinomiais, limites e derivadas 167
Colocando em evidência:
(p + 1)! . (1 + p + 1) = 1
= (p + 2)! – 1
Para praticar um pouco mais esses conceitos, vamos analisar alguns exercícios resolvidos 
por indução finita a seguir.
1. Provar por indução matemática que:
1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n . n ≥ 1
Solução:
O primeiro passo é definir a base e a hipótese que queremos demonstrar.
Base: para n = 1, então 1 = 12. O passo base é verdadeiro.
Hipótese: sendo a fórmula verdadeira para n = k . k ≥ 1, então deve ser verdadeira para
n = k + 1.
Ou seja, 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k . k ≥ 1
Deve-se mostrar que:
1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 . k ≥ 1
Portanto, sabe-se que:
1+ 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) = (k + 1)2
2. Provar por indução matemática que:
2 . 1 + 2 . 2 + 2 . 3 + ... + 2n = n2 + n, sendo n ≥ 1.
Solução:
Base: para n = 1, então 2 . 1 = 2 e 12 + 1 = 2. Logo, verdadeira.
Hipótese: 2 . 1 + 2 . 2 + 2 . 3 + ... + 2k = k2 + k = k . (k + 1) com k ≥ 1.
Queremos mostrar que:
2 . 1 + 2 . 2 + ... + 2k + 2(k + 1) =
(k + 1)2 + (k + 1) =
(k + 1) . [(k + 1) + 1] =
(k + 1) . (k + 2), sendo k ≥ 1
Portanto, sabe-se que:
2 . 1 + 2 . 2 + ... + 2k + 2(k + 1) =
k(k + 1) + 2(k + 1) =
k2 + k + 2k + 2 =
k2 + 3k + 2 =
(k + 1) . (k + 2)
Matemática aplicada168
Vimos como as induções matemáticas são importantes para testar raciocínios lógicos na 
avaliação das proposições. Uma indução é usada, portanto, para demonstrar a verdade de um 
número infinito de proposições.
10.4 Limites
Para iniciar o entendimento de limites é necessária uma compreensão prévia do conteúdo 
de funções, que são a base para esse estudo. Os limites são muito utilizados em geografia, cálculos 
populacionais, de território, computação, engenharia, economia etc., de modo a serem um conceito 
de importante domínio.
Observe a função A = f(x) = x2.
Gráfico 4 – Representação da função parábola f(x) = x2
2
0
0
0
1
1
1
2
1
3
3
5
5
6
7
8
9
10
–2 –1–3–4–5 4
4
4
4
99
ei
xo
 y
eixo x
Fonte: Elaborado pelo autor
Essa parábola está representando a área da função. Agora vamos atribuir para x o valor 3 e, 
calculando o resultado, teremos f(3) = 32 = 9.
A seguir, a parábola representada com as novas informações:
Gráfico 5 – Parábola f(x) = x2, delimitada por x = 3
2
0
0
0
1
1
1
2
1
3
3
5
5
6
7
8
9
10
–2 –1–3–4–5 4
4
4
4
99
ei
xo
 y
eixo x
Fonte: Elaborado pelo autor
Funções polinomiais, limites e derivadas 169
Observe que quando x assume o valor 3, no eixo y o valor correspondente é 9. Agora já 
temos condições de entrar na ideia intuitiva de limites.
10.4.1 Ideia intuitiva de limites
Na introdução das ideias de limites será possível observar que não nos interessa a função 
quando x é igual a 3. Poderá haver situações em que a função não estará nem definida quando x for 
igual a 3. O que nos interessa em relação a limites é quando x está na “vizinhança” daquele valor 3 
do gráfico, isto é, os valores de x se aproximando do valor 3 a partir dos valores menores que 3 e 
dos valores maiores que 3. Com isso poderemos perceber para qual valor a tendência dessa função 
se direciona. Esse valor que a função tende a assumir é chamado limite.
Observando nosso próximo gráfico, vamos imaginar valores de x vindo da esquerda. Note 
que esses valores de x vão determinar novas áreas da função. Quanto mais esse valor de x se 
aproximar de 3, o valor da nova área da função ficará mais próxima de 9, e isso irá acontecer a cada 
vez que x se aproximar de 3.
Gráfico 6 – Aproximações para f(x) = x2 pela esquerda
2
0
0
0
1
1
1
2
1
3
3
5
5
6
7
8
9
10
–2 –1–3–4–5 4
4
4
4
99
ei
xo
 y
eixo x
Fonte: Elaborado pelo autor.
Você percebeu que essas aproximações foram feitas a partir de valores menores que 3, ou 
pela esquerda, mas essa aproximação também poderá se dar pela direita, pois podemos ter valores 
de x que são maiores que 3, mas que irão cada vez mais se aproximar de 3. Observando o gráfico 
novamente, vamos perceber uma área maior partindo um pouquinho acima de 3 até acima de 9 
no eixo y.
Matemática aplicada170
Gráfico 7 – Aproximações para f(x) = x2 pela direita
2
0
0
0
1
1
1
21
3
3
5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16 1616
–2 –1–3–4–5 4
444
99
ei
xo
 y
eixo x
Fonte: Elaborado pelo autor.
Cada vez mais que o x se aproximar de 3 pela direita, mais próxima a área ficará de 9 em y. 
Finalizando, então, podemos dizer que quando o limite da função y = x2 tende para 3, seu resultado 
será igual a 9. Se essa função representasse uma folha de alumínio de 3 cm em um dos lados, a área 
que é dada por x2 se aproximaria de 9 cm2 como limite para a função. Logo, utilizando a notação 
matemática, temos:
lim x
x
2
3
9
�
�
Em que a notação “x → 3” indica que x tende para 3 e “lim” representa limite de.
10.4.2 Propriedades dos limites
As propriedades de limites são regras que simplificam os procedimentos para se chegar aos 
resultados das operações. Estudar essas propriedades facilitará a teoria apresentada a partir desse 
momento. Alguns limites podem ser calculados por manipulação algébrica.
Sendo lim ( )f x
x a→
 e lim ( )g x
x a→
, e considerando c um número real qualquer (constante), então:
a. lim [ ( ) ] lim ( ) lim ( )f x g x f x g x
x a x a x a
� � � � � � �
� � �
b. lim [ ] lim ( )c f x c f x
x a x a
� � � � �
� �
Funções polinomiais, limites e derivadas 171
Perceba que no item a) aplicamos a propriedade distributiva. Nele, vemos a propriedade da 
soma ou da diferença dos limites de duas funções. Já o item b) mostra a constante que multiplica 
uma função.
c. lim [ ] [lim ( )] : [lim ( )]f x g x f x g x
x a x a x a
� � � � � �
� � �
d. [lim : lim ] lim ( ) : lim ( ), lim ( )f x g x f x g x desde que g x
x a x a x a
� � � � �
� � �
�� 0 
A forma de fazer o item c) é muito parecida com o item a). É a separação dos dois limites. 
Dizemos então que o limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas 
funções. No item d), o denominador precisa ser diferente de 0 para não anular toda a função.
e. lim [ ] [lim ]f x f x
x a
n
x a
n� � � � �
� �
Nessa propriedade temos o limite da potência de uma fração. Todo o limite da função f(x) 
estará elevado à potência n.
f. lim lim
lim ,
n
x a
n
x a
x a
f x f x
Se f x
� � � � �
� � �
� �
�
0
n é um inteiro positivo. Mas se o limite da função for menor ou igual a zero, n será um 
inteiro positivo ímpar.
g. lim | | | lim |f x f x
x a x a
� � � � �
� �
Em relação ao limite do módulo de uma função, basta colocá-lo inteiro no interior do 
módulo.
h. lim c c
x a�
�
O limite de uma constante é a própria constante.
i. lim x a
x a�
�
O limite de x, quando x tende para a, é o próprio valor a.
Vistas as propriedades de limites, observe como elas facilitam os cálculos ao serem utilizadas 
na resolução dos exercícios a seguir. Vale ressaltar que, para maior praticidade, sempre que há um 
limite tendendo a determinado valor significa que ele se aproxima daquele valor. Por isso a função 
se aproximará do valor que se obtém substituindo x. Porém não é isso que ocorre. Não podemos 
dizer que há uma substituição, e sim que os valores tendem para um valor infinitesimalmente 
próximo de um x qualquer dado.
1. Seja f x e g x
x x
lim ( ) lim ( )� �
� �
9 4
3 3
a) lim [ ( ) ( )]3 2
3
� � � �
�
f x g x
x
Matemática aplicada172Solução:
Note que no interior dos colchetes o que temos é a adição de duas funções. Logo, o primeiro 
passo é separá-las:
lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )3 2 3 2
3 3 3
� � � � � � �
� � �
f x g x f x g x
x x x
Agora basta substituir os limites:
3 · 9 + 2 · 4 = 27 + 8 = 35
b) lim ( ) ( )
x
f x g x
�
� �
3
Solução:
Observe que no radicando temos duas funções: f(x) e g(x). Logo, se f(x) = 9 e g(x) = 4, temos:
lim ( ) lim ( )f x g x
x x� �
� � � � �
3 3
9 4 36 6
c) lim [| ( ) : ( ) |]
x
f x g x
→ 3
Solução:
Temos duas funções sendo divididas e modulares.
Logo: | lim ( ) : ( ) |
x
f x g x
→ 3
Como temos o limite relacionado a uma fração, ele será o limite tanto da função quanto do 
denominador. Vejamos na forma de fração para facilitar o entendimento:
| lim ( ) | : | lim ( ) | | : | :
x x
f x g x
� �
� �
3 3
9 4 9 4
2. Resolva a função: lim
t
t t
�
� �� �
2
24 5 7
Solução:
Primeiramente, vamos separar em três limites.
lim lim lim
lim
t t t
t t
t
� � �
� �
� � �
2
2
2 2
4 5 7
5 7
, portanto,
4 lim t2
Lembre-se de que o limite de uma constante é a própria constante 7. Logo:
4 5 7 4 2 5 2 7 19
2
2
2
2� � � � � � � � � �
� �
(lim ) (lim )
t t
t t
3. Resolva a função:
lim
x
x x
�
� �
�2
4 2
2
1
2 5
Funções polinomiais, limites e derivadas 173
Solução:
Como é uma função polinomial simples, basta substituir a variável x pelo limite x → 2.
lim
x
x x
�
� �
�
�
� �
�
�
2
4 2
2
1
2 5
16 4 1
4 5
19
9
4. Resolva a função:
lim
x
y y
y�
� �
�2
2
2
3
5 3
1
Solução:
�
� � �
�
�
� �
�
� �
3 5 3 3
3 1
9 15 3
9 1
27
8
3
2
2
2
3
3 3
10.4.3 Limites laterais
Continuando os estudos de limites, vamos ver agora especificamente os limites laterais.
Consideremos f(x) definida em um intervalo aberto (a, b), onde a < b. Se f(x) se aproximar 
cada vez mais de L, à medida que x se aproximar de a nesse intervalo, dizemos que L é o limite 
lateral à direita da função f.
Assim, escrevemos: lim ( )
x a
f x L
�
�
Usaremos x = a+ para indicar que os valores de x são sempre maiores que a.
Gráfico 8 – Representação de limites laterais
a
f
b
y
L
x
Fonte: Elaborado pelo autor.
Observamos que o Gráfico 8 mostra função na qual a tem valor menor que b, e essa função 
está definida apenas para esses valores de x. Esses valores, porém, não são nem a nem b. Por essa 
razão, o intervalo é aberto.
Vamos imaginar que tomando um valor de x entre a e b, e substituindo o valor na função f, 
encontraremos a imagem da função.
Matemática aplicada174
Gráfico 9 – Determinando a imagem da função
a
f
bx
y
f(x)
L
x
Fonte: Elaborado pelo autor.
Logo, f(x) será a imagem da função f para o valor de x.
Em nossa definição está escrito que, caso f(x) se aproxime cada vez de L à medida que x se 
aproximar de a nesse intervalo, podemos dizer que L é o limite lateral à direita da função f.
Gráfico 10 – Demonstração da aproximação de x para a e de f(x) para L
a
f
bx
y
L
f(x)
x
Fonte: Elaborado pelo autor.
Cada vez que aproximarmos o valor f(x) de a, mais próximo também ficará de L. Então 
podemos dizer que L é o limite da função à direita, quando x tende para a. Logo, os valores de x 
serão sempre maiores que o valor a por estarem à direita.
No estudo dos limites não nos interessa saber o que ocorre quando a função é exatamente 
a. Só interessa saber como se dão as aproximações em relação ao valor a. De maneira análoga, 
procedemos com o mesmo raciocínio para a esquerda, e aí escrevemos lim ( )
x a
f x L
� �
� .
Vamos acompanhar alguns exemplos de observação:
1. Dada a função f(x) = x, se x ≥ 1 e –x; se x < 1. Determine os limites: lim ( ) lim ( )f x e f x
x x� � � �1 1
.
Solução:
Primeiramente vamos fazer a observação para o limite de f(x), quando x tende para o valor 
1 pelo lado direito. Então escrevemos lim ( )f x
x � �1
.
1 x
Funções polinomiais, limites e derivadas 175
Os valores de x tendem ao valor 1 pelo lado direito, isto é, estão cada vez mais próximos ao 
valor 1. Portanto, podemos dizer que: lim x se x tende a 1 pelo lado direito, quando o seu 
valor será: lim x
x
�
� �
1
1
Agora vamos observar à esquerda:
1 x
Logo, lim x
x
� �
� �
1
1
Temos, então:
lim limx e x x
x x
� � � � �
� � � �
1 1
1 1
A função f(x), portanto, será igual a –x quando x for representado por valores menores que 1.
Se organizarmos essas informações no plano cartesiano, temos:
Gráfico 11 – Representação de lim x
x
�
� �
1
1
1
f(x) = x
x
Fonte: Elaborado pelo autor.
No Gráfico 11, a função f(x) é uma função identidade que passa por 0,0. Interessa-nos, no 
entanto, apenas o valor 1 ou os valores maiores que 1. Portanto, bolinha fechada.
Gráfico 12 – Representação de lim x
x
� �
� �
1
1
–1
1
1
f(x) = x
f(x) = –x
x
Fonte: Elaborado pelo autor.
Matemática aplicada176
Ao juntarmos as duas informações, temos o gráfico final do exemplo:
Gráfico 13 – Representação final de lim limx e x
x x
� � �
� � � �
1 1
1 1
–1
1
1
f(x) = x
f(x) = –x
x
Fonte: Elaborado pelo autor.
2. Determine os limites de lim ( ) lim ( )f x e f x
x x� � � �2 2
 para a função:
f x x( ) � �2
Solução:
O primeiro passo é observamos o comportamento dos valores em cada linha de representação. 
Primeiro para x → 2+ e, em seguida, para x → 2–.
lim ( ) lim limf x x
x x x� � � � � �
� � � � �
2 2 2
2 2 2 0
2 x
lim ( ) limx x
x x� � � �
� �
2 2
2 Não existe
2 x
Neste caso temos um limite lateral positivo que vale 0 e um limite lateral negativo que não 
existe.
Observação: não existe no conjunto dos números reais uma raiz quadrada 
de número negativo. Mas, vale ressaltar, a raiz quadrada de números 
negativos pode existir no conjunto dos números complexos, chamados 
de números imaginários e aplicados em várias áreas – engenharia, física 
etc. Vamos observar um exemplo:
� � � �� �9 9 1
Fatoramos a raiz de 9 e a raiz de (–1):
9 1 3� � � � �i
Sendo i a unidade imaginária.
Funções polinomiais, limites e derivadas 177
10.4.4 Limites no infinito
Vamos analisar o comportamento da função: f(x) = 1 – 1
x
. Atribuindo valores para x, 
encontraremos os valores f(x). Veja as duas representações a seguir, para x tendendo a +∞ (infinito 
positivo) e x tendendo para –∞ (infinito negativo).
Tabela 1 – Representações de x tendendo a +∞ e a –∞
a) Representação: x → +∞
x f (x)
1 0
2
1
2
3
2
3
4
3
4
100
99
100
1.000
999
1 000.
b) Representação: x → –∞
x f (x)
–1 2
–2
3
2
–3
4
3
–4
5
4
–100
101
100
–1.000
1 001
1 000
.
.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observe que nas representações tendendo a mais infinito os valores de x ficam cada vez 
maiores. À medida que o valor de x tende a ir a mais infinito, f(x) tende ao valor 1. Cada vez mais, 
o valor do numerador se aproxima do denominador.
Se observarmos os valores de x tendendo a menos infinito, observaremos que, ao usarmos 
valores suficientemente grandes, porém negativos, também f(x) tenderá ao valor 1.
Graficamente, temos a seguinte representação:
Gráfico 14 – Observação para x = ∞+ e x = ∞–
x
y
1
–1
Fonte: Elaborado pelo autor.
Matemática aplicada178
Logo, podemos chegar a algumas conclusões:
• Dizemos que f(x) possui limite L quando x tende a mais infinito e, à medida que x se 
distancia da origem no sentido positivo, f(x) fica cada vez mais próximo de L.
• Entendemos que f(x) possui limite L quando x tende a menos infinito e, à medida que x se 
distancia da origem no sentido negativo, f(x) também ficará cada vez mais próximo de L.
Para mais clareza, analisemos a percepção gráfica de um limite no infinito:
Gráfico 15 – Representação da função g(x) = 2 com limites x → ∞+ e x → ∞–
y
x
g(x)
2
–2
Fonte: Elaborado pelo autor.
No Gráfico 15, vemos que à medida que o x caminha para mais infinito, ou seja, tende ao 
infinito pela direita, mais a função se aproximará do valor 2. Logo, podemos dizer: o limite da 
função g(x) = 2, quando x tende a +∞. Observando o contrário, vemos que o valor de x tende a 
menos infinito, se o seu limite se aproximar do valor –2.
10.5Derivadas
Segundo Boyer e Merzbach, em sua obra História da matemática (2012), Pierre de Fermat, 
cientista francês magistrado, produziu ensaios que até hoje são muito relevantes. Fermat, um dos 
pioneiros no estudo das funções, demonstrou as limitações do conceito da reta tangente em uma 
curva como aquela que encontrava a curva em um único ponto.
Na mesma época, outros matemáticos, como Gotfried Leibniz e Isaac Newton, desenvolviam 
estudos paralelos que, juntos, deram origem às derivadas.
Para que possamos entender os conceitos de derivadas, é preciso voltar a alguns pré-requisitos 
importantes.
10.5.1 Coeficientes da reta
Quando representamos uma função linear graficamente, é possível obter dois coeficientes 
importantes: o coeficiente angular e o coeficiente linear. No estudo de funções, vimos que os 
coeficientes permitem representar com muita precisão a função no plano gráfico. 
Funções polinomiais, limites e derivadas 179
Sejam A (x1, y1) e B (x2, y2) dois pontos distintos do plano cartesiano, o coeficiente angular 
m do segmento de reta AB é dado por:
m
y y
x x
y
x
�
�
�
�
�
�
2 1
2 1
 (variação de y em função da variação de x) = tangente θ ou tangente do 
ângulo teta.
Vamos imaginar dois pontos no plano cartesiano, conforme representação gráfica a seguir.
Gráfico 16 – Linha gráfica de y y
x x
y
x
2 1
2 1
�
�
�
�
�
Y
YB
XB X
YA
XA
A
B
Fonte: Elaborado pelo autor.
O coeficiente angular está diretamente relacionado com a inclinação de uma reta ou com 
a inclinação de um segmento de reta. É a variação na vertical, ou seja, no eixo y pela variação 
horizontal no eixo x.
Se nós completarmos esses segmentos de reta, teremos um triângulo retângulo. Vejamos:
Gráfico 17 – Representação da área dada pela função e os segmentos yB – yA e xA – xB
Y
YB
XB
YA
XA
A
B
∆Y = YB – YA
∆X = XB – XA
Fonte: Elaborado pelo autor.
O que teremos na vertical é a variação no eixo y de um dos segmentos de reta, e na horizontal, 
no eixo x, a variação do outro segmento.
No plano cartesiano, uma reta pode aparecer de inúmeras maneiras. Ela pode estar na 
vertical ou na horizontal, e pode ser crescente ou decrescente. Quando a reta for crescente, o 
coeficiente angular será sempre um valor positivo, ou seja, maior que 0. Quando for decrescente, 
apresentará valor negativo ou menor que 0. Se a reta estiver na horizontal, não será nem crescente 
nem decrescente, e seu coeficiente angular m será igual a 0. Por sua vez, o coeficiente angular m em 
uma reta vertical não existe, pois, em ∆
∆
y
x
, o ∆x está no denominador e não pode ser 0.
Matemática aplicada180
Gráfico 18 – Ângulo θ (teta) resultante da representação
Y
YB
XB
YA
XA
B
∆Y = YB – YA
Ângulo teta
∆X = XB – XA
A
Fonte: Elaborado pelo autor.
Em relação à tangente do ângulo teta, podemos dizer que ela é exatamente igual ao 
coeficiente angular. Se prolongarmos a reta gráfica para baixo e para cima, o ângulo teta cruza o 
eixo x. Portanto, o ângulo teta é formado pelo eixo x com a reta.
Logo, a tangente do ângulo teta será dada por: cateto oposto (∆y) dividido pelo cateto 
adjacente (∆x), isto é, ∆
∆
y
x
. Acompanhemos um exemplo:
• Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos: A (–2, 1) e B (3, 4).
Solução:
m y
x
m y y
x x
m
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
2 1
2 1
1 4
2 3
3
5
3
5
Portanto, já temos o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B, que é m = 3
5
.
Gráfico 19 – Representação do coeficiente angular nos pontos A e B
Y
X
A
4
5 3
3
–1
–2
B
Fonte: Elaborado pelo autor.
Funções polinomiais, limites e derivadas 181
10.5.2 Equação ponto e coeficiente angular
Equação ponto é aquela que passa por (x0, y0) e possui coeficiente angular m.
y – y0 = m (x – x0)
Em um plano cartesiano, quando temos um ponto p definido e sabemos suas coordenadas, 
passará uma infinidade de retas. Cada uma delas possui um coeficiente angular m diferente.
Gráfico 20 – Infinitas retas passando por um mesmo ponto p definido
X
Y
Fonte: Elaborado pelo autor.
Portanto, para definir a equação da reta que se deseja, será necessário ter o coeficiente e os 
valores (coordenadas) de, pelo menos, um ponto que passa por ela. Por exemplo:
• Escreva uma equação da reta que passa pelo ponto (3, 2) com inclinação −3
2
 .
Solução:
y y m x x
y x
y x
y x
� � �
� �
�
� �
� � � � �
� � �
0 0
2 3
2
3
2 4 3 9
2 3 13
( )
( )
= 2y + 3x – 13 = 0, isto é, chegamos à equação geral da reta. Isolando y, temos:
y x� � �3
2
13
2
Então, a equação reduzida da reta é dada por y = mx + n. O elemento m = −3
2
 é o nosso 
coeficiente angular, e o valor n é o coeficiente linear. Observando graficamente:
Gráfico 21 – Representação dos coeficientes linear e angular
X
Ângulo teta
Y
2
3
13
2
Fonte: Elaborado pelo autor.
Matemática aplicada182
Como temos um coeficiente angular negativo, a reta ficou decrescente. Logo, a tangente do 
ângulo teta vale −3
2
. O valor 13
2
 é exatamente onde a reta cruza o eixo das ordenadas y.
Vejamos mais um exemplo:
• Escreva a equação para uma reta que passa pelos pontos: (–3, –2) e (4, 3).
Solução:
O primeiro passo é determinar o coeficiente angular m = ∆
∆
x
y
 .
m �
� �� �
� �� �
�
�
�
�
2 3
3 4
5
7
5
7
O próximo passo é encontrar a equação da reta:
y – y0 = m (x – x0)
Vamos substituir y0 e x0, também colocando as coordenadas de um dos dois pontos:
y x
y x
� � � �
� � �
3 5
7
4
7 21 5 20
( )
Logo, 7y – 5x – 1 → equação geral da reta.
A equação reduzida será:
y x� �5
7
1
7
Portanto, coeficiente angular = 5
7
 e coeficiente linear = 1
7
.
10.5.3 Reta tangente
Este tema é fundamental para o estudo das derivadas. Vamos iniciar compreendendo o 
conceito da reta tangente a uma curva. Para isso, vejamos um gráfico no plano cartesiano com o 
pedaço de uma função na forma de curva:
Gráfico 22 – Ponto p para a construção da reta tangente
Y
pY1
X1
y = f(x)
X
Fonte: Elaborado pelo autor.
Funções polinomiais, limites e derivadas 183
Vemos também que o gráfico apresenta um ponto p com abscissa em x1 e ordenada em 
y1. Nosso objetivo é descobrir a equação da reta tangente a essa curva no ponto p, e assim temos 
aproximadamente o que vemos a seguir:
Gráfico 23 – Representação da reta tangente passando pelo ponto p
Y
t
p
Y1
X1
y = f(x)
Reta tangente
Fonte: Elaborado pelo autor.
A única certeza é que essa reta passa por p e possui as coordenadas (x1, y1).
Vamos considerar no gráfico outro ponto qualquer, que chamaremos de q. Esse ponto q terá 
coordenadas (x2, y2).
Gráfico 24 – Observação das coordenadas
Y
pY1
X1
y = f(x)
Reta tangente
Reta secanteq
Fonte: Elaborado pelo autor.
Essa nova reta (p, q) está cortando o gráfico em dois pontos. Podemos dizer que é uma 
reta secante à curva y = f(x). Para saber seu coeficiente angular m, usamos a fórmula já estudada: 
m
y y
x x
y
x
�
�
�
�
�
�
2 1
2 1
 .
Logo, m
f x f x
x x
�
�
�
( ) ( )
( )
2 1
2 1
.
O coeficiente angular da reta secante é dado por:
m
f x x f x
x x x
m
f x x f x
x
�
�� �
�� �
�
�� �
�
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
1 1
Matemática aplicada184
O ponto q sempre tenderá para zero, isto é, cada vez mais a inclinação da reta secante ficará 
muito próxima da reta tangente. O ponto q irá se deslocar sobre a curva, diminuindo as distâncias 
em relação ao ponto p.
Portanto, se considerarmos o coeficiente angular da reta secante e fizermos com que ∆x 
tenda a zero, o ponto q irá exatamente tender a p. O coeficiente angular da reta tangente, então, 
será dado por:
m f x x f x
xt x
�
�� �
�� �
lim ( ) ( )
0
Vejamos alguns exemplos:
1. Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x2 – 6x + 8, no ponto (x1, y1).
Solução:
f(x) = x2 – 6x + 8
f(x1) = x1
2 – 6x1 + 8
f(x1 + ∆x) = (x1 + ∆x)
2 – 6(x1 + ∆x) + 8
Como temos um produto notável, é preciso desenvolvê-lo:
f(x1 + ∆x) = x1
2 + 2 . x1 . ∆x + (∆x)
2 – 6x1 + 6 . (∆x) + 8
Logo
x x x x x x x x
x x
,
( ) ( ) ( )1
2
1
2
1 1
22 6 6 8 6 8
0
� � �� � � �� � � � � � �
� � �
Podemos simplificar os termos anulando-os, de modo que todos os demais termos estarão 
acompanhados de ∆x.
Logo
x x x x x x x x
x x
,
( ) ( ) )1
2
1
2
1 1
22 6 6 8 6 8
0
� � �� � � � � � � � � � �
� � �
Colocamos ∆x em evidência:
� � �� �
� � �
x x x
x x
( )2 6
0
Temos: 2x + 6, então m = 2x + 6.
2. Agora, determine m para a função: y = x3 + x2 – x + 7.
Solução:
m f x x f x
xt x
�
�� �
�� �
lim ( ) ( )
0
( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x x x
x x
�� � �� � �� � � � � �
� � �
3 2 3 22 7 2 7
0
Funções polinomiais, limites e derivadas 185
Como há um termo ao cubo, precisamos fazer a distribuição: o cubo do primeiro mais três 
vezes o primeiro ao quadrado pelo segundo, mais três vezes o primeiro pelo segundo ao 
quadrado mais o cubo do segundo.
Portanto, a3 + 3 . a2 . b + 3 . a . b2 + b3
Logo, x x x x x x x x x x x x x x
3 2 2 3 2 2 3 23 3 2 7 7� � �� � � � �� � � �� � � � � �� � �� � � �� � � � � �
�� � �x x0
Podemos cortar os termos semelhantes com sinais diferentes:
x x x x x x x x x x x x x x3 2 2 3 2 2 3 23 3 2 7 7� � �� � � � �� � � �� � � � � �� � �� � � �� � � � � �
�� � �x x0
Sobrará somente os termos acompanhados de ∆x:
3 3 2
0
2 2 3 2� �� � � � �� � � �� � � � �� � �� � ��
� � �
x x x x x x x x
x x
Colocamos ∆x em evidência, pois todos os termos que sobraram estão acompanhados da 
variação ∆x, e simplificamos:
� � �� � �� � � � � �
� � �
x x x x x x x
x x
( )3 3 2 1
0
2 2
Se ∆x tende a zero, podemos dizer que todos os termos também:
� � �� � �� � � � � �
� � �
x x x x x x x
x x
( )3 3 2 1
0
2 2
0 0 0
Sobrou m = 3x2 + 2x – 1.
Podemos chamar essa relação de razão incremental, que também pode ser dada por:
�
�
�
�
�
y
x
f x f x
x x
( ) ( )0
0
10.5.4 Incrementos e razão incremental
Se y = f(x) é uma função contínua em determinado intervalo, do qual fazem parte os 
números reais x1 e x2, sendo esses valores muito próximos entre si, podemos definir as seguintes 
relações:
a) Incremento da variável independente x: pode variar, diminuir e aumentar de x1 até x2, 
sendo essa variação denominada acréscimo ou incremento da variável x. É indicada por 
∆x = x2 – x1.
b) Incremento da função: a variável dependente ou função y pode variar de f(x1) até f(x2), 
sendo essa variação denominada aumento ou acréscimo da função y = f(x). É indicada 
por ∆x = f(x2) – f(x1).
Matemática aplicada186
Vejamos mais alguns exemplos:
1. Calcule a razão incremental da função f(x) = 3x – 1, relativa ao ponto x0 = 2.
Solução:
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
� � � �
�
�
�
y
x
f x f x
x x
y
x
x x
x x
x
x
( ) ( )
( )
( )
0
0
0 1
0
3 1 3
3 1 3 2 1
2
33 1 5
2
3 6
2
x
x
y
x
x
x
� �
�
�
�
�
�
�
( )
2. Usando a razão incremental, dada a função f(x) = 3x2 + 2z – 1, encontre f ’(3). Aproveite para 
utilizar a fórmula geral:
lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
x
x
f x x f x
x
f x f
x
�
�
�� �
�
�� �
�
0
0
3 3
Logo:
f(3) = 3 . 32 + 2 . 3 – 1 = 32
f(3 + ∆x) = 3 . (3 + ∆x)2 + 2 . (3 + ∆x) – 1
= 3 . (9 + 6 . ∆x + (∆x)2) + 6 + 2∆x – 1
= 27 + 18 . ∆x + 3 . (∆x)2 + 6 + 2∆x – 1
= 32 + 20∆x + 3 . (∆x)2
Portanto:
lim ( )
lim ( )
x
x
x x
x
x x
x
�
�
� � � � �
�
� � �
�
0
2
0
2
32 20 3 32
20 3
Colocando ∆x em evidência, temos:
lim ( )
x
x x
x�
� � �
�0
20 3
Funções polinomiais, limites e derivadas 187
Anulamos ∆x em evidência com o ∆x do denominador, então temos:
lim
lim
’( )
x
x
x
f
�
�
� �
� �
� �
0
0
20 3
20 3 0
3 20
10.5.5 Derivada de uma função
Dizemos que uma função é derivável ou diferenciável quando existe a derivada em todos 
os pontos de seu domínio. Em cálculo, a derivada no ponto de uma função representa a taxa 
de variação instantânea em relação a esse ponto. Podemos citar como exemplo típico a função 
velocidade, que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço.
Como já estudamos, a derivada de uma função y = f(x) em um ponto x = x0 é igual ao valor 
da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de 
y = f(x), no ponto x = x0, conforme visto nos Gráficos 23 e 24 deste capítulo. Podemos dizer, ainda, 
que a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.
10.5.6 Técnicas de derivação
Existem procedimentos que permitem de maneira rápida e prática encontrar as funções 
derivadas, isto é, dada uma função, aplicam-se as técnicas de derivação adequadas para se obter a 
derivada.
Nas subseções anteriores, para algumas funções, vimos a expressão algébrica que as definia. 
Assim, identificávamos a função derivada a partir da definição.
Muitas vezes, o processo de determinação da função derivada é trabalhoso, por isso 
precisamos de técnicas mais simples. As principais regras a serem aplicadas nesse contexto serão 
apresentadas a seguir.
10.5.6.1 Função constante
Dada a função f(x) = k, sendo k uma constante, sua derivada será f ‘(x) = 0. Exemplo:
Derivar y = 7; f (x) = 10
Portanto, y = 7 → y ‘= 0; f(x) = 10 → f ‘(x) = 0
10.5.6.2 Função de primeiro grau
Seja a função f(x) = a . x + b, então a derivada será f ‘(x) = a. De modo mais simples, 
y = a . x + b terá derivada y ‘= a. Exemplo:
f(x) = 2x + 7 → f ‘(x) = 2
f(x) y = 3x → y ‘= 3
q = –5p + 8 → q ‘= –5
M = 500j → M ‘= 500
Matemática aplicada188
10.5.6.3 Constante multiplicando função
A função f(x) obtida com a multiplicação da função u(x) pela constante k será:
f(x) = k . u(x)
Ou, de modo simplificado, y = k . u, sendo que u(x) é derivável, então f ‘(x) = k . u ‘(x).
Exemplo:
Dada a função f(x) = 8 . u(x), em que u(x) = 4x + 3, obtenha f ‘(x).
Solução:
Para u(x) = 4x + 3, a derivada é u ‘(x) = 4
Portanto, f ‘(x) = 8 . u’(x) → f ‘(x) = 8 . 4 = 32
Podemos confirmar a validade desse resultado fazendo primeiro a multiplicação indicada 
para obter f(x) e, em seguida, derivando a função = 8:
f(x) = 8 . u (x) → 8 . (4x + 3) → f(x) = 32x + 24, logo f ‘(x) = 32
10.5.6.4 Soma ou diferença de funções
Dada a função f(x) definida a partir da soma das funções u(x) e v(x), logo f(x) = u(x) + v(x). 
Então, a derivada de f(x) será dada por:
f ‘(x) = u ‘(x) + v ‘(x)
De modo simplificado, temos: y = u + v. E teremos: y’ = u’ + v’
De modo análogo, fazemos o mesmo para a subtração, bastando apenas a mudança de sinal. 
Por exemplo:
Dada a função u(x) + v(x), em que u(x) = 4x + 5 e v(x) = 8x + 12, obtemos f ‘(x) fazendo: u(x) 
= 4x + 5, então u ‘(x) = 4 e v(x) = 8x + 12, de modo que v ‘(x) = 8.
Logo, u ‘(x) + v ‘(x) = 4 + 8 = 12
Para verificar a validade do resultado, calculamos:
4x + 5 + 8x + 12; teremos f(x) = 12x + 17; derivando, f ‘(x) = 12
10.5.6.5 Potência de x
Dada a função f(x) = xn, em que n é um número real, sua derivada será: f ‘(x) = n . xn – 1. Ou 
ainda, de modo simplificado, y = xn = n . xn–1.
Exemplos:
a) f(x) = x4 → f ‘(x) = 4 . x4–1 → 4x3
b) f(x) = 18x2 → f ‘(x) = 18 . (2x2–1) = 36x
Funções polinomiais, limites e derivadas 189
c) y = x–1 → y’ = –1 . x–1–1 → –1x–2
d) 
a b a b a b
a b a
� � � � � � � � �
� � � � �
�
�
500 500 500 3
4
1 500
4
375
3
4
3
4
1 1
4
1
4
’ ’
’ . ’ bb
1
4
e) 
y
x
y
x
x
y
� � � � � �
�
�7 000 000 7 000 000 1 7 000 000
7 000
2 5 2 5
2 5. . . . . .
’ . .
, ,
,
0000 2 5 17 500 0002 5 1 3 5� � � � � �� � �( , ) ’ . ., ,x y x
10.5.6.6 Função exponencial
Dada uma função exponencial f(x) = ax, em que a é um número real tal que a > 0 e ≠ 1, 
a derivada será:
f ‘(x) = ax . ln a
De modo simplificado, temos: y = ax → y’ = ax . ln a
Por exemplo, derivemos:
a) f(x) = 4x → f ’(x) = 4x . ln 4, que também pode ser escrita da seguinte forma: f ‘(x) = 
(ln 4) . 4x.
b) D(x) = 4.000 . 1,03x → D’(x) = 4.000 . ln 1,03, que também pode ser escrita como D ‘(x) 
= 4.000 . (ln 1,03) . 1,03x.
10.5.6.7 Função exponencial de base e
Dada a função exponencial f(x) = ex, em que e = 2,71828, a derivada será: f ‘(x) = ex.
Por exemplo, derivemos as funções:
a) f(x) = 7 ex → f ‘(x) = 7 ex
b) y = –3ex + xe + 4e → y’ = –3ex + exe–1 + 0 → y’ = –3ex + exe–1
Observe que a derivada de xe é obtidapela regra da potência de x, e que a derivada de 4e é 
zero, pois 4 é uma constante.
10.5.6.8 Logaritmo natural
Dada a função obtida pelo logaritmo do módulo de x, define-se esse módulo por |x| = x, se x 
≥ 0, e –x, se x < 0. Logo, por exemplo, |3| = 3, pois 3 ≥ 0 e |–3| = – |–3| = 3, visto que –3 < 0.
Consideremos a função f(x) = ln |x|; a derivada será f ‘(x) = 1
x
 ou, de modo simplificado, a 
função y = ln |x| → y’ = 1
x
 .
Matemática aplicada190
Por exemplo, derivando a função:
f(x) = 6 ln (x) → f ‘(x) = 5 . 1
x
10.5.6.9 Produto de funções
Dada uma função definida pelo produto das funções u(x) e v(x), tal como f(x) = u(x) . v(x), 
a derivada será dada por: f ‘(x) = u ‘(x) . v(x) + u(x) . v ‘(x).
Na forma simplificada, temos: y = uv → y’ = u’v + uv’.
Por exemplo, derivemos as funções pela regra do produto:
a) f(x) = (2x + 4) . (x3 – 20)
 u = 2x + 4
 u’ = 2
 v = x3 – 20
 v’ = 3x2
Portanto, f ‘(x) = 2 . (x3 – 20) + (2x + 4) . 3x2. Logo, f ‘(x) = 2x3 – 40 + 6x3 + 12x2 → f ’(x) 
= 8x3 + 12x2 – 40
b) y = x3 . 4x
 u = x3
 u’ = 2x2
 v = 4x
 v’ = 4x . ln 4 ou (ln 4) . 4x
 y’ = 2x2 . 4x + x3 . (ln 4) . 4x
 y’ = 4x . [(ln 4). x3 + 2x2]
10.5.6.10 Quociente de funções
Uma função f(x) pode ser definida também pelas funções u(x) e v(x). Logo:
f x u x
v x
( ) ( )
( )
=
f x u x v x u x v x
v x
’( ) ’( ) ( ) ( ) ’( )
[ ( )]
�
� � �
2
Ou, de modo simplificado:
y u v u v
v
’ ’ ’� � � �2
Funções polinomiais, limites e derivadas 191
Por exemplo, derivemos as funções:
f x x
x
u x x
u x
v x x
v x
( )
( )
’( )
( )
’( )
�
�
�
� �
�
� �
�
50 300
5
50 300
50
5
1
Portanto:
f x x x
x
f x x x
x
’( ) ( ) ( )
( )
’( )
(
�
� � � � �
�
�
� � �
�
50 5 50 300 1
5
50 250 50 300
1
2
2 00 25
50
10 252
x
f x
x
�
�
�
� �
)
’( )
Vejamos mais exemplos de aplicação desses conceitos:
1. Com base nas técnicas e propriedades, derive as funções a seguir:
a) y = 8x7 + 5
 Solução:
 y’ = 8 . 7 . x8 – 1
 y’ = 56x7
b) f(x) = 3x3 + 2x2 + 2x + 9
 Solução:
 y’ = 3 . 33–1 + 2 . 2x2–1 + 1 . 2x1–1 + 0
 y’ = 9x2 + 4x + 2
c) q = 9
 Solução:
 Derivada de constante é 0.
Matemática aplicada192
d) q = –2p4 + 12p3 – 5p2 – 8p + 7
 Solução:
 q’ = 4 . (–2) . p4–1 + 3 . 12p3–1 – 2 . 5 . p2–1 – 1 . 8 . p1–1 + 0
 q’ = –8p3 + 36p2 – 10p – 0
e) y = x
 Solução:
 y’ = 1 . x1–1
 y’ = 1 . x0
 y’ = 1
f) y = 6 . u(x), em que u(x) = 4x + 4
 Solução:
 Se y = 6 . u(x), então y’ = 6 . u ‘(x)
 Para u(x) = 4x + 4, teremos u ‘(x) = 4
 Portanto, y’ = 7 . 4 = 28
g) Dada a função f(x) = u(x) + v(x), em que u(x) = 7x + 6 e v(x) = 8x + 12, obtenha a 
derivada.
 Solução:
 u = 7x + 6
 u’ = 7
 v = 8x + 12
 v’ = 8
 Logo, y’ = u ‘(x) + v ‘(x) = 7 + 8 = 15
h) Dada a função f(x) = u(x) – v(x), em que u(x) = x + 8 e v(x) = 5x, obtenha a derivada.
 u = x + 8
 u’ = 1
 v = 5x
 v1 = 5
 Logo, f(x) = u ‘(x) – v ‘(x) = 1 – 5 = –4
10.6 Aplicações das derivadas às atividades econômicas
É importante compreender como o estudo das derivadas pode contribuir para ampliar o 
entendimento e a aplicabilidade na solução de questões comerciais, econômicas e administrativas. 
Custo marginal, receita e lucro marginal, por exemplo, são conceitos utilizados o tempo todo pelas 
empresas na adequação de suas atividades.
Funções polinomiais, limites e derivadas 193
10.6.1 Funções marginais
Entre as funções marginais mais importantes, estão o custo e custo médio marginal, a receita 
marginal e o lucro marginal. O significado de marginal pode ser estendido a outras funções, como 
produção marginal e produção média marginal. Para entender melhor esse conceito, vejamos o 
exemplo:
Em uma fábrica de resistores, na produção de q unidades de um certo resistor industrial 
elétrico, o custo em reais foi avaliado e se estabeleceu que C = 0,1q3 + 20q2 + 1.450q + 9.500. Para 
produzir 100 resistores, qual será o custo de produção? E o custo na produção do aparelho 101? 
Qual será, também, a taxa de variação do custo em relação à quantidade quando q = 100?
• Determinando o custo quando são produzidos 100 resistores.
 q = 100 → C(100) = 0,1 . 1003 + 20 . 1002 + 1.450 . 100 + 9.500
 C(100) = 100.000 + 200.000 + 145.000 + 9.500
 C(100) = 454.500,00
Calculamos, agora, o custo de produção do resistor 101.
q = 101 → C(101) = 0,1 . 1013 + 20 . 1012 + 1.450 . 101 + 9.500
 C(101) = 103.030,10 + 204.020 + 146.450 + 9.500
 C(101) = 463.050,00
• A diferença entre os custos é de: R$ 8.550,00.
Para determinar a taxa de variação do custo em relação à quantidade quando q = 100, é 
importante lembrar que a taxa de variação no ponto q = 100 é sinônimo da derivada da função 
custo.
C ‘(q) = 0,1q3 + 20q2 + 1.450q + 9.500
C ‘(q) = 0,1 . 3q2 + 2 . 20q + 1.450
C ‘(q) = 0,3q2 + 40q + 1.450
q = 100
C ‘(q) = 0,3 . 1002 + 40 . 100 + 1.450
C ‘(q) = 8.450,00
A taxa de variação do custo em q = 100 é de R$ 8.450,00/unidade. Lembrando que o custo 
de fabricação do resistor 101 foi de R$ 8.550,00. Há uma diferença pequena, na taxa de variação, 
de R$ 100,00.
Não é casual a proximidade entre os valores 8.550 e 8.450 reais. Existe um vínculo entre o 
custo de fabricação da unidade 101 e a taxa de variação em q = 100. Se dividirmos a diferença dos 
custos pela diferença das quantidades, que nesse caso é de 1 unidade, temos a taxa de variação 
média do custo em relação à quantidade no intervalo de 100 a 101.
Matemática aplicada194
A taxa de variação média de C(q) para o intervalo de 100 até 100 + h corresponde a:
C h C
h
C C h C
hh
( ) ( )
’( ) lim ( ) ( )
100 10
100 100 100 8450
0
� �
�
� �
�
�
O acréscimo de custo para o acréscimo de 1 unidade produzida, de valor R$ 8.550,00, 
é conhecido como custo marginal. O custo marginal é a derivada da função custo em um 
determinado ponto.
10.6.2 Receita marginal
A receita marginal (RM) oferece a variação da receita correspondente ao aumento de 
uma unidade de venda de um produto. A função receita marginal é obtida pela derivada da 
função receita.
10.6.3 Lucro marginal
O lucro marginal (LM) permite encontrar a variação do lucro correspondente ao aumento 
de uma unidade na venda de um produto. A função lucro marginal é a derivada da função lucro. 
Vejamos os exemplos:
1. Em uma fábrica de calças jeans, o custo em reais para produzir q calças é dado por C(q) = 
0,001q3 – 0,2q2 + 42 q + 4.900.
a) Obtenha a função custo marginal.
 Cmg = C ‘(q) = 0,001 . 3q2 – 0,2 . 2q + 42 + 0
 Cmg = 0,003q2 – 0,4q + 45
b) Obtenha o custo marginal para q = 200 unidades.
 Cmg = 0,003 . 2002 – 0,4 . 200 + 45
 Cmg = 120 – 80 + 45
 Cmg = 85,00
2. Em uma fábrica de baterias, o preço da bateria de lítio é dado por p = –0,5q + 500, para uma 
produção de 0 a 500.
a) Obtenha a função receita, dada por R = p . q.
 R(q) = (–0,5q + 500) . q
 R(q) = –0,5 q2 + 500q
b) Obtenha a função receita marginal.
 Rm(q) = –0,5 . 2q + 500
 Rm(q) = –1q + 500
Funções polinomiais, limites e derivadas 195
c) Determine a receita marginal para 300 unidades.
 Rm(q) = –1 . 300 + 500
 Rm(q) = 200,00
3. Dada a função custo igual a 80q + 28.000 e a função receita, –0,4q2 + 400q, determine a 
função lucro, o lucro marginal e o lucro para uma produção de 200 unidades.
L(q) = RT – CT
L(q) = (–0,4q2 + 400q) – (80q + 28.000)
L(q) = –0,4q2 + 400q – 80q – 28.000
L(q) = –0,4q2 + 320q – 28.000
Lm(q) = –0,4 . 2q + 320
Lm(q) = –0,8q + 320
O lucro marginal para 200 unidades será:
Lm(200) = –0,8 . 200 + 320
Lm(200) = –160 + 320
Lm(200) = 160,00
Os exercícios práticos desenvolvidos revelam como as derivadas apresentam grande 
aplicabilidade em diferentes áreas, como engenharia, astrofísica, indústria, entre outras, sendo um 
domínio relevante à formação do matemático.
Considerações finais
Este capítulo contemplou três assuntos muito complexos e interligados: função polinomial, 
limites e derivadas. O tema é amplo, sendo possível avançar mais nas particularidades e nos casos 
que o envolvem. Os conceitos elementares apresentados, e suas devidas aplicações, servem como 
estímulo para que você avance nos estudos futuros.
Ampliandoseus conhecimentos
• Leithold, L. Matemática aplicada à economia e administração. São Paulo: Harbra, 1998.
Há muita bibliografia interessante para os conteúdos deste capítulo, mas, para ajudá-lo a se 
aprofundar no tema, sugerimos, especialmente, a leitura dessa obra e de outras traduzidas 
do matemático Louis Leithold.
Atividades
1. Sejam f(x) = 2x – 3, g(x) = –4 – x e h(x) = x2 – x – 1, determine p(x) = f(x) . g(x) + h(x).
2. Sejam f(x) e g(x), tais que f(x) = ax2 + (b – 1) x + 3 e g(x) = bx2 + (–a + 2) x – 1, determine a 
e b, de modo que f(x) + g(x) seja independente de x.
Matemática aplicada196
3. Sejam f(x) = ix e g(x) = 3x + 2i, determine a, b e c que verifiquem f(x) . g(x) = ax2 + bx + c.
4. Usando o princípio da indução matemática, mostre que as proposições 4 + 7 + 10 + ... + (3n 
+ 1) = (2n + 2) . n não são verdadeiras para todo n que pertença aos números naturais.
5. Prove por indução matemática que a soma dos primeiros n números ímpares é igual a n2. 
Isto é, 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2.
6. Mostre por indução matemática que:
1
2
1
3
5 1
2 1 2 1
2
2 1
� � � �
� � �
�
�
...
( ) ( )n n n
Para qualquer n ≥ 0.
7. Resolva os itens:
a) lim
x
x
x�
�
�3
3
3
b) lim
x
x
x�
�
�1
1
1
8. Seja f(x) = x2 – 1, se x < 2; 1, se x = 2; e x – 1, se x > 2, determine se existem os limites: 
lim ( ), lim ( ) lim ( ).f x f x e f x
x x x� � � � �2 2 2
9. Determine o limite para: lim x x
xx
3
0
3
22
1
�
� �
10. Derive, pelo modo simplificado, as funções a seguir:
a) y = 7x3 – 9x2 + 8x
b) y x x� �9
11. Derive, pelo processo analítico, a função:
y = 4x3 + 2x2 – 7x + 5
12. Em uma fábrica de cadeiras de madeira, o custo para produzir q unidades é de: C(q) = 4q2 + 
180q + 400. Determine o custo marginal para a produção de 10 unidades.
13. Em uma empresa de banquetas, o preço do tipo mais exclusivo é dado por p = –0,5q + 700 
para uma produção que varia de 0 a 1.000 unidades. Obtenha a função receita e a receita 
marginal para a venda de 200 banquetas.
14. Dadas as funções custo = 10q2 + 27q + 500 e receita = 18q2 + 30q, determine:
a) A função lucro.
b) A função lucro marginal.
c) O lucro marginal para 250 unidades.
Gabarito
1 Fundamentos de matemática básica
1. 
a) (–5)3 . 4 = (–5)12
b) 
2
7
2 3
�
�
�
�
�
�
�� �� �� �
= 
2
7
6
�
�
�
�
�
�
2. 
a) 16 9 25
25
25
1��� �� � �:
b) [(–32)2] = 32 . 2 = 34 = 81
c) 43 – 1 + 4 + 5 – 1 – 6 – 4 = 43 – 4 = 60
d) 4 4 2 4 4 2 4 2 2 4� � �� �� � � �
e) 1
6
6 6 6 6 1
6
1
364
2 4 2 2
2� � � � � �
� �
f) 1 49 1 7 8 2 23 3 3 33� � � � � �
g) 16 64
125
2 2 3 2
5
3 3
3
3 3�
�
�
 5 2
5
2
3
3=
h) 10
5
6
3
2 2� �
3. 
a) 2 20 13 70
10
x x� � � �
 2x + 13x = –20 – 70
15x = –90
x = –6
b) 4
5
7 7
4
3x x� � �
 16 140 35 60
20
x x� � �
 
16 60 35 140
34 175
175
34
x x
x
x
� � �
� �
�
198 Matemática aplicada
c) 20 . 8 – 4x = 20 
 160 – 4x = 20
 –4x = –140
 x = 35
4. 
498 + 2x = 634
2x = 634 – 498
2x = 136, portanto, x = 68
Logo, 498 + 68 = R$ 566,00
5. 
3x + x
João = 3x e Pedro = x
4x = 64, logo, x + 16
Portanto, Pedro tem 16 anos e João tem 48 anos.
6. 
a) x + y = 14
 2x + 3y = 48
 Podemos optar por eliminar x, então multiplicamos toda a primeira linha por (–2).
 –2x – 2y = –28 Isso resultará em:
 2x + 3y = 48 y = 20
 Substituindo em qualquer equação:
 x + y = 14, portanto, x + 20 = 14, logo, x = –6
b) Podemos fazer a letra “b” pelo modelo da substituição:
 x = 10 + y
 Logo, 3 . (10 + y) + 4y = 51
 Substituindo uma das equações:
 30 + 3y + 4y = 51
 7y = 51 – 30 x = 10 + 7
 7y = 21 x = 17
 y = 7
c) 3 – 6x < 2x + 2 + x – 7
 –6x –2x – x > + 3 – 7 +2
 –9x > –2
 x > 2
9
Gabarito 199
7. 
a) 
 O H D ND M
 10 7 15 2 300
 12 8 12 3 x
Sempre tomando x como referência:
• Se 10 operários constroem 300 metros, 10 operários farão mais (direta).
• Se em 7 horas constroem 300 metros, em 8 horas farão mais (direta).
• Se em 15 dias constroem 300 metros, em 12 dias farão menos (direta).
• Se com nível de dificuldade 2 constroem 300 metros, com nível de dificuldade 3 farão 
menos (inversa).
300 10
12
7
8
15
12
3
2x
� � � �
300 3 150
2 304
3 150 300 2 304 219
x
x x m� � � � � �.
.
. .
b) AP OP D H
 500 20 30 7
 600 35 20 x
Vamos tomar a coluna x como referência:
• Se 500 aparelhos são feitos em 7 horas, para fazer 600 se gastará mais (direta).
• Se em 30 dias gastamos 7 horas por dia, em 20 dias gastaremos mais horas (inversa).
• Se em 7 horas precisamos de 20 operários, usando 35 operários gastaremos menos horas 
(inversa).
Portanto:
 7 500
600
35
20
20
30x
� � �
 7 350 000
360 000
7 2
x
x horas� � �.
.
,
8. 
a) 9 14 2x � �
 9x – 14 = 4
 9x = 4 + 14
 9x = 18
 x = 18
9
 x = 2
200 Matemática aplicada
b) 2 3 5x x� � �
 2 3 52 2x x�� � � �� �
 2x + 3 = x – 5
 x = –8
c) Isolando x ou y na segunda equação do sistema:
 x + y = 6
 x = 6 – y
 Substituindo o valor de x na primeira equação:
 x² + y² = 20
 (6 – y)² + y² = 20
 (6)² – 2 . 6 . y + (y)² + y² = 20
 36 – 12y + y² + y² – 20 = 0
 16 – 12y + 2y² = 0
 2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equação por 2)
 y² – 6y + 8 = 0
 ∆ = b² – 4ac
 ∆ = (–6)² – 4 . 1 . 8
 ∆ = 36 – 32
 ∆ = 4
 a = 1, b = –6 e c = 8
 y’ = 4 e y’’ = 2
 Substituindo na primeira equação:
 x = 6 – y
 x = 6 – 4
 Logo, x = 2
2 Estudo dos conjuntos
1. 
A
80 – x x 60 – x
B
Gabarito 201
80 – x + x + 60 – x = 100
140 – 2x + x = 100
– x = 100 – 140
– x = – 40
x = 40
O percentual de animais vacinados contra as duas doenças é de 40%.
2. 
Votos recebidos pelo candidato L = 100 + 20 = 120.
Votos recebidos pelo candidato M = 100 + 80 = 180.
Votos recebidos pelo candidato N = 80 + 20 = 100.
3. 
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1, 2} B = {2, 3, 4} C = {4, 5}
(U – A) (B U C)
(U – A) → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} – {1, 2} → {0, 3, 4, 5, 6}
(B U C) → {2, 3, 4} U {4, 5} → {2, 3, 4, 5}
(U – A) (B U C) = {0, 3, 4, 5, 6} {2, 3, 4, 5}
(U – A) (B U C) = {3, 4, 5}
4. O conjunto A – B é formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B, ou 
seja, A – B = {1}. Logo, não é um conjunto vazio.
5. Os elementos do conjunto A B são aqueles que pertencem ao conjunto A ou pertencem ao 
conjunto B, sem a necessidade de repetição.
A B = (1, 2, 3, 4, 5)
3 Funções: gráficos e aplicações
1. 
y = x + 2
x y
0 0 + 2 = 2
1 1 + 2 = 3
2 2 + 2 = 4
3 3 + 2 + 5
4 4 + 2 = 6
5 5 + 2 = 7
202 Matemática aplicada
Esses dados resultam no gráfico:
7
5
4
2
0
0 1 3
y = x + 2
R2 = 1
Y
X
Y
4 5
2. 
S = ax + b
S = 15x + 1.000
Logo, 1.915 = 15x + 1.000
915 = 15x
x = 61 planos
3. 
Q Custo Custo médio unitário Custo fixo unitário Custos variáveis unitários
0 400,00
100 1.000,00 1.000 : 100 = 10 400 : 100 = 4 10 – 4 = 6
200 1.800,00 1.800 : 200 = 8 400 : 200 = 2 8 – 2 = 6
300 2.100,00 2.100 : 300 = 7 400 : 300 = 1,33 7 – 1,33 = 5,67
400 2.400,00 2.400 : 400 = 6 400 : 400 = 1 6 – 1 = 5
a) Custo médio por unidade: 10,00; 8,00; 7,00; 6,00
b) Custo fixo total: 400,00
c) Custo fixo unitário: 4,00; 2,00; 1,33; 1,00
d) Custo variável unitário: 6,00; 6,00; 5,67; 5,00
Gabarito 203
4. 
a) CT(x) = 28 . x + 15.000
 CT = 28.500 + 15.000
 CT = R$ 29.000,00
b) RT(x) = 88 . x
 RT = 88 . 500
 RT = R$ 44.000,00
c) LT(x) = RT(x) – CT(x)
 Lt = 88 . x – (28 . x + 15000)
 Lt= 88 . x – 28x – 15000
 Lt= 60 . x – 15.000
 Lt= 60 . 500 – 15.000
 Lt = R$ 15.000,00
d) RT(x) = CT(x)
 88 . x = 28 . x + 15.000
 88 . x – 28 . x = 15.000
 60 . x = 15.000
 x = 250 unidades
e) LT(x) = 60 . x – 15.000
 40.000 = 60 . x – 15.000
 40.000 + 15 . 000 = 60 . x
 55.000 = 60 . x
 x = aproximadamente 917 unidades
5. 
a) Média x = 6 Média y = 4,6
b) 
Σx Σy Σx2 Σxy
2 1 4 2
5 2 25 10
6 5 36 30
8 7 64 56
9 8 81 72
30 23 210 170
204 Matemática aplicada
c) a = coeficiente angular b = coeficiente linear
a
x y x y
n
x
x
n
a
a
�
� � �
� ��
� �
�� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
2
2
2
170 30 23
5
210
30
5
170 138
210 1180
32
30
1 066
a
a
�
� ,
b = média y – a . média x
b = 4,6 – a . 6
b = 4,6 – 1,066 . 6
b= 4,6 – 6,396
b = –1,796
d) Equação da reta:
 y = ax + b
 y = 1,066 . x – 1,796
e) y = 1,066 . 13 – 1,796
 y = 12,062
f) 6,17 = 1,066 . x – 1,796
 6,17 + 1,796 = 1,066 . x
 x = 7,472
4 Funções: outros modelos
1. 
a) Os coeficientes da função são: a = 0,25, b= –4 e c = 16.
b) A concavidade é voltada para cima, pois a > 0.
c) A parábola corta o eixo N em c = 16, pois quando t = 0, temos:
N(0) = 0,25 . 02 – 4 . 0 + 16, portanto, N(0) = 16
 E corta o eixo t quando n = 0, ou seja:
0,25t2 – 4t + 16 = 0
 Obtendo as raízes utilizando a fórmula de Báskara, temos:
∆ = b2 – 4ac
∆ = (–4)2 – 4 . 0,25 . 16
16 – 16
∆ = 0
Gabarito 205
 Isso nos dá duas raízes retas e iguais, representadas por:
t b
a
t
�
�
� �
�� �
�
2
4
2 0 25,
t = 8
 Logo, podemos dizer que a parábola “toca” o eixo t no ponto t = 8.
d) O vértice da parábola será dado por:
��
�
�
�
�
�
���
�
�
�
�
�
b
a a2 4
;
v = (8; 0)
e) N(20) = 0,25 . 202 – 4 . 20 + 16 = N (20) = 36 televisores 4k.
2. 
a) Os coeficientes da função são: a = 2, b = –20 e c = 60.
b) A concavidade é voltada para cima, pois a > 0.
c) A parábola corta o eixo v em c = 60, pois quando temos t = 0, se observa:
v (0) = 2 . 02 – 20 . 0 + 60 = v (0) = 60
 A parábola cortará o eixo t quando v = 0, logo:
2t2 – 20t + 16 = 0
∆ = –80
∆ < 0
d) v = (–5; 10)
e) v(12) = 2 . 122 – 20 . 12 + 60
 v(12) = 108
3. 
25.000 . 1,077 = 25.000 . 1,6057814 = 40.144,53
25.000 . 1,079 = 25.000 . 1,8384592 = 45.961,48
4. 
10.000 . 1,05x = 40.000
1 05 40 000
10 000
, .
.
x =
1,05x = 4 meses
206 Matemática aplicada
5. 
Podemos dizer que P = f(t), portanto, P = b . at.
Com taxa de crescimento i = 2,75%, vamos calcular:
Base = 1 + i
100
a = 1 + 2 75
100
,
a = 1,0275
Então, a função será: P = 480000 . 1,0275t.
6. 
V = b . at
a = 1 – 12 5
100
,
a = 0,875
Logo, V = 42.000 . 0,875x
7. 
a) 
 log16 64 = x
 64 = 16x
 26 = (24)x
 6 = 4x
 x = 6/4
 x = 3/2
b) 
 log5 (0,000064) = x
 0,000064 = 5x
 64
1 000 000. .
 = 5x
 2
10
6
6
= 5x
 (2/10)6 = 5x
 (1/5)6 = 5x
 5–6 = 5x
 x = –6
Gabarito 207
c) 
 log 49 7
3 = x
 71/3 = (72) x
 71/3 = 72x
 1/3 = 2x
 x = 1/6
8. 
log5 x = 2, logo, x = 5
2, que é igual a 25.
log10 y = 4, logo, y = 10
4, que é igual a 10.000.
Substituindo esses valores na expressão apresentada, temos:
k = log20 
10 000
25
.
k = log20 400
k = log20 20
2
k = 2 . log20 20
k = 2
9. 
f(81) = log3 x = 81
3k = 81
3k = 34
Logo, k = 4
10. 
f(6) = 2 log6 6
2
f(6) = 2 . 2 log6 6
f(6) = 4
11. 
C . (1 + i)t = M
C . (1 + i)t = 2C
(1 + i)t = 2
(1 + 0,08)t = 2
1,08t = 2
Log 1,08t = log 2
t . log 1,08 = log 2
t = log 2 : log 1,08
t = 0,301 : 0,033
t = 9,12 ou aproximadamente 9 anos.
208 Matemática aplicada
12. 
Como a base é 5 > 1, a função é crescente.
Existe log a b somente se a e b > 0 e a ≠ 1.
3x – 6 > 0
3x > 6
x > 2
Logo, podemos dizer que D(f) = {x R | x > 2}
13. 
x = y²
x y= 2
x = y
y = x
A função f(x) = x² terá inversa f –1(x) = x
14. 
x = (2y + 3) : (3y – 5)
x . (3y – 5) = 2y + 3
3yx – 5x = 2y + 3
3yx – 2y = 5x + 3
y . (3x – 2) = 5x + 3
y = (5x + 3) : (3x – 2), para x ≠ 2/3
5 Sequências e progressões
1. 
n2 + 7n
Dois primeiros termos: 22 + 7 . 2 = 4 + 14 = 18
Três primeiros termos: 32 + 7 . 3 = 9 + 21 = 30
Logo, 30 – 18 = 12. Esse é o terceiro termo da sequência.
2. 
Observe que sempre diminui 4 para um e aumenta 9 para outro.
32 – 4 = 28
28 + 9 = 37
37 – 4 = 33
33 + 9 = 42
42 – 4 = 38
Gabarito 209
3. 
A B C D E F G H
8 _ _ _ _ _ ? _
A soma dos três espaços consecutivos é igual a 15:
(1) 8 + B + C = 15
(2) B + C + D = 15
Desenvolvendo a expressão 2 menos a expressão 1:
B + C + D – 8 – B – C = 20 – 20
D – 8 = 0
D = 8
8 + E + F = 20
E + F + G = 20
E + F + G – 8 – E – F = 20 – 20
G – 8 = 0
G = 8
4. 
c15 = a15, b16
Logo, (2 . 15 + 1) . (2 . 16) = 992
5. 
n = 1
a2 = a1 + 7 . 1
a2 = 4 + 7 = 11
n = 2
a3 = a2 + 7 . 2
a3 = 11 + 14 = 25
n = 3
a4 = a3 + 7 . 3
a4 = 25 + 21 = 46
210 Matemática aplicada
6. 
a4 = 20
r = –4
a7= a4 + 3r
a7 = 20 + 3 . (–4)
a7 = 20 – 12
a7 = 8
7. 
a1= 3
r = a1 – a2 = 6 – 3 = 3
a70 = a1 + 69 . r
a70 = 3 + 69 . 3 = 3 + 210
S70 = (3 + 210) . 35
S70 = 213 . 35 = 7.455
8. 
2, -----, -----, -----, 18
a1 = 2
an = a5 = 18
a5 = a1 + 4r
18 = 2 + 4r
18 – 2 = 4r
16 = 4r
r = 4
Logo, a PA será (2, 6, 10, 14, 18).
9. 
a1 = 207
an = 999
r = 9
an = a1 + (n – 1) . r
999 = 207 + 9n – 9
999 – 207 + 9 = 9n
9n = 801
n = 89
Gabarito 211
10. 
a6 = 40 + (6 – 1) . (–6) S = (40 + 10) . 3
a6 = 40 + 5 . (–6) S = 50 . 3
a6 = 40 – 30 S = 150 km
a6 = 10
11. 
a1 . a6 = 12.500
q = 5
a1 . a1 . q
5 = 12.500
a1
2 . 55 = 12.500
a1
2 . 3125 = 12.500
a1
2 = 4
a1 = 2
a3 = a1, q
n – 1
a3 = a1 . q
2
a3 = 2 . 5
2
a3 = 50
12. 
Sn
a qn
�
� �� �
�
�
� �� �
�
1
10
10
1
1
2 2 1
2 1
q
S
S10 = 2 . (1.024 – 1)
S10 = 2.046
13. 
Temos agora uma PG infinita, logo:
a1 = 1
q = ( 1
2
) : 1
S
a
q
S
�
�
�
�
1
1
1
1 1
2
S = 2
212 Matemática aplicada
14. 
q = a2 : a1
q = 3 : 1
q = 3
Sn
a q
q
Sn
Sn
Sn
n
�
�� �
�
�
�� �
�
�
�
�
1
10
1
1
1 3 1
3 1
59049 1
2
28524
15. 
a6 = a3 . q
3
80 = 10 . q3
q3 = 8
q = 2
6 Análise combinatória e probabilidades
1. 
n = 7
p = 3
A �
�� �
� � � � �
7
7 3
7
4
7 6 5 210!
!
!
!
 centenas distintas
2. 
n = 8
p = 3
C �
�� �
� �
� � �
� �
� �
8
3 8 3
8
3 5
8 7 6 5
3 2 1 5
336
6
56!
! !
!
! !
!
!
= 56 comissões
3. 
n = 3 n = 4
p = 2 p = 2
Logo, C3 ; 2 , C4 ; 2
C �
�� �
�
�� �
� �
3
2 3 2
4
2 4 2
3
2 1
4
2 2
!
! !
!
! !
!
! !
!
! !
 = 3 . 6 = 18 comissões distintas
Gabarito 213
4. 
a) Portugal = 8 letras → P8! = 40.320
b) Terminam em P, R, T, G e L → 5 . P7! → 5 . 5.040 = 25.200
c) Começam em G e terminam em O → sobram apenas 5 letras para serem permutadas, 
logo, P5! = 120.
d) U R __ __ __ __ __ __
 __ U R __ __ __ __ __
 __ __U R __ __ __ __
 __ __ __ U R __ __ __
 __ __ __ __ U R __ __
 __ __ __ __ __ U R __
 __ __ __ __ __ __ U R
Poderia ser também RU. Logo, temos 2 . 7 . P6! = 8.640.
5. 
T1 __ __ __ __ T2
T2 __ __ __ __ T1
2 . P4! → 2 . 4 . 3 . 2 . 1 = 48.
6. 
__ __ __ 8 __ __ __
vogais milhar
A �
�� �
�
�� �
�
5
5 3
9
9 3
5
2
9
6
!
!
!
!
!
!
!
!
 = 5 . 4 . 3 . 9 . 8 .7 → 60 . 504 = 30.240 motoristas suspeitos.
7. 
10
10 5
10 5 10 9 8 7 6 30 240!
!
! : ! .
�� �
� � � � � � �
8. 
C60,6 = 60 . 59 . 58 . 57 . 56 . 55 : 6! = 10 . 59 . 29 . 19 . 14 . 11 = 50.063.860.
9. 
Ω = {789, 798, 879, 897, 978, 987} → n(Ω) = 6
a) Evento ser ímpar: A = {789, 879, 897, 987} → n(A) = 4.
 Logo, 4
6
2
3
ou ou 0,66%, ou, ainda, 66%.
214 Matemática aplicada
b) Evento par: B = {798, 978} → n(B) = 2.
 Logo, 2
6
1
3
ou ou 0,33, ou, ainda, 33%.
c) Evento C: ser múltiplo de 6 → C = {798, 978} → n(C) = 2.
 Logo, 2
6
1
3
ou ou 0,33, ou, ainda, 33%.
d) Evento D: ser múltiplo de 4 → D = Ø → n(D) = 0.
 Logo, 0
6
 ou 0, ou, ainda, 0%.
e) Evento E: ser maior que 780 → E = Ω → n(E) = 6.
 Logo, 1 ou 100%.
10. 
3 ___ ___ 7
A6 ; 4 = 360
A4 ; 2 = 12
P(A) = 12
360
1
30
ou ou 0,033, ou, ainda, 3,33%.
11. 
Face 6 = 1
6
Em seguida, face 2 = 1
6
Por fim, face 4 = 1
6
Logo, P � � � �1
6
1
6
1
6
1
216
 ou 0,00462, ou, ainda, 0,462%.
12. 
Um dado → 6 faces voltadas para cima.
Dois dados → Nn = 62 = 36 subconjuntos de duas faces voltadas para cima, que podem ser 
somadas.
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1)......................................(2, 6)
(3, 1)......................................(3, 6)
(4, 1)......................................(4, 6)
(5, 1)......................................(5, 6)
(6,1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
Gabarito 215
13. 
Seja A o evento “sair soma 5”, então:
A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} → n(A) = 4
P(A) = 4
36
1
9
ou
Logo, 1 1
9
8
9
� � ou 0,888, ou, ainda, 88,8%.
14. 
n(Ω) = 52.
Evento A: a carta é vermelha → n (A) = 26
Evento B: a carta é ás → n (B) = 4
n(A B) = 2
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
2652
4
52
2
52
� �
Logo: 28
52
7
13
ou ou 0,538, ou, ainda, 53,8%.
7 Probabilidades – Distribuições
1. 
0,30 . (15) + 0,20 . (20) + 0,50 . (28)
4,5 + 4 + 14
Logo, o prazo será de 22,5 dias, ou seja, 22 dias e meio.
2. 
Cenários Retorno Probabilidade
Ruim 10 0,50
Bom 15 0,20
Ótimo 19 0,30
0,50 . (10) + 0,20 . (15) + 0,30 . (19)
5 + 3 + 5,7
Logo, o ganho médio será de 13,7%.
3. 
Sair 11 → (5,6) ou (6,5).
Dois dados ao mesmo tempo: 36 eventos (somas).
Logo: 2 : 36 = 0,055 ou 5,5%.
216 Matemática aplicada
4. 
Sair 11 → (5,6) (6,5) = 2 chances
Sair 5 → (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) = 4 chances
Logo: 6 : 36, ou, aproximadamente, 17%.
5. 
x f(x) x . f(x) (x – u) (x – u)² (x – u)² . f(x)
2 0,25 0,50 2 – 4 = –2,00 –2,00² = 4,00 4,00 . 0,25 = 1,00
4 0,50 2,00 4 – 4 = 0,00 0,00² = 0,00 0 . 0,50 = 0,00
6 0,25 1,50 6 – 4 = 2,00 2,00² = 4,00 4,00 . 0,25 = 1,00
– – u = 4,00 – – = 2,00
Portanto:
a) Média probabilística ou resultado esperado: 4,00
b) Variância probabilística: 2,00
c) Desvio padrão probabilístico: 2 00, = 1,414.
6. 
Carteira 1
Cenário Ret . x% f(x) x . f(x) (x – u) (x – u)² (x – u)² . f(x)
Ótimo 15 0,28 4,20 15 – 8,91 = 6,09 37,088 10,664
Bom 9 0,25 2,25 9 – 8,91 = 0,09 0,0081 0,002025
Regular 6 0,35 2 ,10 6 – 8,91 = -2,91 8,4681 2,96383
Ruim 3 0,12 0,36 3 – 8,91 = - 5,91 34,928 4,19136
– – – u = 8,91 – – s² = 17,821
Carteira 2
Cenário Ret . x% f(x) x . f(x) (x – u) (x – u)² (x – u)² . f(x)
Ótimo 14 0,30 4,20 14 – 10 = 4,00 16 4,80
Bom 10 0,40 4,00 10 – 10 = 0,00 0 0
Regular 7 0,20 1,40 7 – 10 = –3,00 9 1,80
Ruim 4 0,10 0,40 4 – 10 = –6,00 36 3,60
– – – u = 10 – – s² = 10,2
a) 
 Carteira 1 = ganho médio de 8,91% Carteira 2 = ganho médio de 10%
 Variância 1 = 17,82 Variância 2 = 10,2
 Desvio padrão 1 = 4,22 Desvio padrão 2 = 3,16
A carteira 2 apresenta melhor retorno médio esperado e menor desvio padrão, isto é, menor 
risco.
Gabarito 217
b) Com base no ganho médio e o nível de risco envolvido (desvio), a carteira 2 é a melhor 
opção de investimento.
7. 
Cenários S. paga S. ganha x
Prob.
(x) x . Prob. (x)
Sofrer acidente R$ –35.000,00 R$ +1.500,00 R$ –33.500,00 0,04 R$ –1.340,00
Não sofrer acidente R$ 0,00 R$ +1.500,00 R$ +1.500,00 0,96 R$ 1.440,00
Ganho médio de R$ 100,00 por cada apólice assegurada.
8. 
P
P
P
0 1 1 0 03125
1 5
1 5 1
0 50 0 50
1 5 0 50
1 4
� � � � �
� � �
�� �
�� � �� �
� � � �
,
!
! !
, ,
, ��
� � � � � � � �
�
0 0625
0 1 0 03125 0 1562 0 1875
18 75
,
, , ,
, %
P P
9. 
6
3 6 3
0 25 0 75
6
3 3
0 015625 0 4218
0 1318
3 3!
! !
, ,
!
! !
, ,
,
�� �
�� � �� �
� � �
� ou 113 18, %
10. 
P 2 10
2 10 2
0 20 0 80
10
2 8
0 04 0 1677
45 0
2 8� � �
�� �
�� � �� �
� � �
� �
!
! !
, ,
!
! !
, ,
,, ,
, %
00670 0 3020
30 20
�
�
218 Matemática aplicada
11. 
S np p
S S
� � �� � � �� � �� �
� � �
1 7 0 25 0 75
1 3125 1 145
, ,
. ,
É assimétrica à direita, pois p < 0,5.
12. 
P 30 60
30 60 30
0 20 0 8030 30� � �
�� �
�� � �� �!
! !
, ,
Chance 0 de conseguir nota 5.
P(30) = Nota 5 = 0,00000002.
13. 
Segurados atendidos em média: 6. A probabilidade de atender 8 em determinada hora do 
dia é:
 
P x e
P ou
�� � � �
�
�
8 6
8
0 1 10
6 8
!
, %
14. 
a) 
P x e ou�� � � � � �
�
3 6
8
0 53568
6
0 089 8 9
6 8
!
, , , %
b) 
P x e�� � � � � � �6 6 6
6
0 115660
720
0 000160
6
!
, ,
8 Matrizes
1. 
�
� � �
� �� � � �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 3 3 3 4 5
2 2 5 3 1 1
2 4 2 0 1 2
4 6 9
0 8 2
6 2 3
��
�
�
Gabarito 219
2. 
�
� � �
� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
5 4 5 6 5 9
5 0 5 8 5 2
5 6 5 2 5 3
20 30 45
0 40 10
30 10 15
��
�
�
�
�
�
�
�
3. 
x + x = 8 y + 10 = –2
2x = 8 y = –2 – 10
x = 4 y = –12
4 + t = 6 8 + 3z = 12
t = 6 – 4 3z= 12 – 8
t = 2 3z = 4, logo, z = 4
3
4. 
AB
AB
�
� � � � �� � � �
� � � � �� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 3 3 5 1 4 3 6
1 3 0 5 1 4 0 6
18 14
3 4��
�
� � �� �� � � �� ��
� � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
BA
BA
3 1 4 1 3 3 4 0
5 1 6 1 5 3 6 0
1 9
11 15
��
�
�
5. 
3y + 1 . 2 = 0 x . 1 + 2 . 1 = 0
3y = 12 x = 2
y = 4
A B� �
�
�
�
�
�
�
3 1
6x
Portanto,
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
1 4
1 2
3 1 1 4
2 1 6 2
4 5
3 8
220 Matemática aplicada
6. 
12 . 10 – 8 . 10 = 120 – 80 = 40
7. 
MC11 = a22 a33 – a23 a32
= 6 . 1 – 3 . 9 → 6 – 27 = –21
MC12 = a21 a33 – a23 a31
= 5 . 1 – 3 . 4 → 5 – 12 = –7
9 Sistemas lineares
1. Nesse exercício, você deverá usar a regra da matriz transposta.
Bt �
�
�
�
�
�
�
1 4 0
4 1 3
2. Aqui, vamos utilizar a regra da matriz oposta.
� �
�
�
�
�
�
�
�
�A
1 4
4 1
3. Nesse exercício, precisaremos usar a regra de adição de matrizes.
P �
� � �� �
� �
�
�
�
�
�
�
3 6 3 2
2 1 5 4
P �
�
�
�
�
�
�
9 1
3 9
4. Associamos cada termo da matriz à esquerda com o respectivo termo da matriz à direita, na 
mesma ordem.
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� � � �� �
� �� � � �
�
�
�
�
�
�
�
6 3
3 4
1 2
7 0
6 1 3 2
3 7 4 0
5 1
�� �
�
�
�
�
�
�4 4
Gabarito 221
5. Nesse exercício, aplicaremos a regra do produto.
�
�
�
�
�
�
�xA
24 21
18 15
6. Aqui, podemos utilizar o método da adição, que é bem simples:
3x + y = 13
x + 2y = 16
→ multiplicamos por (–2) e teremos:
–6x –2y = –26
 x + 2y = 16
– 5x = –10, portanto x = 5.
Para calcularmos y, basta substituir em uma das equações:
3x + y = 13
3 . 5 + y = 13
15 + y = 13
y = 13 – 15
y = –2
S = (5,–2)
7. Para esse exercício de sistema linear, usamos o método da substituição solicitado. Esse 
método será muito útil quando o sistema não for linear.
Isolando uma variável:
3x + y = 11
x + 2y = 7
→ temos: y = 11 – 3x
Substituímos na segunda equação:
x + 2 . (11 – 3x) = 7
x + 22 – 6x = 7
–5x = –15
x = 3
222 Matemática aplicada
Agora, para acharmos y, podemos usar qualquer equação, inclusive aquela na qual isolamos 
a variável.
y = 11 – 3x
y = 11 – 3 . 3
y = 2
S = (3,2)
8. Utilizando a regra de Cramer, vamos resolver o mesmo sistema por meio de determinantes.
det
det
det
� � �� � � �� � �
� � �� � � �� � �
�
3 1
1 2
3 2 1 1 5
11 1
7 2
11 2 7 1 15
3 11
1 7
x
y �� �� � � �� � �3 7 1 11 10
Finalizando, vamos encontrar o conjunto solução:
x
de
x
x
t
y
= = =
= = =
det
det
det
15
5
3
10
5
2
S = (3,2)
9. Como temos um sistema 3 x 3, o primeiro passo é chamar as equações de I, II e III. Então, 
usarmos a equação II para somar com I e com III.
I → x + y + z = 9
II → 3x – 2y – z = –4
III → 2x – 3y + 2z = 3
II + I = 4x – y = 5
2 . II + III = 8x – 7y = –5 → multiplicamos a equação II por 2 para eliminar z.
Portanto, agora temos um sistema 2 x 2:
–8x + 2y = –10
8x – 7y = –5
– 5y = –15, logo y = 3
Gabarito 223
O próximo passo é usar uma das equações para substituir o x:
4x – y = 5 → 4x – 3 = 5
4x = 8 → x = 4
E agora determinamos z:
x + y + z = 9
4 + 3 + z = 9 → z = 9 – 7, logo z = 2
S = (4,3,2)
10. Nossa meta agora é resolver o sistema por escalonamento utilizando a regra de Cramer. O 
primeiro passo é definir os determinantes:
Det
Detx
� �
�
�
�
� � �
� �
�
�
�
� � �
1 2 1
2 1 1
1 3 1
1 2
2 1
1 3
3 8 5
0 2 1
1 1 1
2 3 1
0 2
2 1
1 3
1 4 ��
�
� � � �
� � � �
� �
�
�
�
5
1 0 1
2 1 1
1 2 1
1 0
2 1
1 2
3 3 0
1 2 0
2 1 1
1 3 2
1 2
2 1
Det
Det
y
z
( )
11 3
0 5 5
5
5
1
0
5
0
5
5
1
� � �
� �
�
�
�
� �
�
�
� �
�
� �
( )
x
Det x
Det
y
Det y
Det
z
Det z
Det
SS � �� �1 0 1, ,
224 Matemática aplicada
10 Funções polinomiais, limites e derivadas
1. p(x) = (2x – 3) . (–4 – x) + x2 – x + 
Fazendo a propriedade distributiva, temos:
= –8x – 2x2 + 12 + 3x + x2 – x + 1
Juntando os termos semelhantes:
= –x2 – 6x + 13
2. Vamos somar as duas funções polinomiais, já reduzindo os termos que são semelhantes:
f(x) + g(x) = (a + b) x2 + (b – a + 1) . x + 2
Para que seja independente de x, os coeficientes de x2 e x precisam ser nulos. Logo, (f) + (g) 
devem ter grau zero, ou seja, é necessário serem uma funçãoconstante.
Portanto, a + b = 0 e b – a + 1 = 0
a + b = 0
b – a + 1 = 0
Logo:
a + b = 0
–a + b = –1
2b = –1, então b � �1
2
Para determinar a:
a = –b, logo:
a � � �1
2
1
2
3. 
f(x) . g(x) = ix (3x + 2i)
= 3ix2 + 2i2x
Podemos reescrever:
= 3ix2 – 2x
Logo, a = 3i; b = –2; e o termo independente c não aparece, de modo que é zero.
4. 
O primeiro passo é mostrar que, para n – 1, a proposição é verdadeira. Isso significa admitir 
que a PA possui apenas um termo, logo:
a1 = (2n – 2) . n
4 = (2 . 1 + 2) . 1
4 = 4
Gabarito 225
Para n = 1, então a proposição é válida.
Formulando a hipótese de indução considerando n = x, logo:
4 + 7 + 10 + ... + (3x + 1) = (2 + 2x) . x
Vamos supor que a proposição é válida para n – x, então podemos provar que é verdadeira 
também para n = x + 1? Vejamos:
4 + 7 + 10 + ... + (3x + 1) + [3(x + 1 + 1] = (2(x + 1) + 2) . (x + 1)
4 + 7 + 10 + ... + (3x + 1) = + [3x + 4] = (2x + 4) . (x + 1)
4 + 7 + 10 + ... + (3x + 1) + [3x + 4] – 2x2 + 2x + 4x + 4
4 + 7 + 10 + ... + (3x + 1) + 3x + 3 = (2x + 2) . x + 4x + 4
A proposição, portanto, não é verdadeira para todo n > 0 e pertencente aos naturais.
5. 
Hipótese: 1 + 3 + 5 + 5 + ... + 2p – 1 = p2
Logo, 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2p – 1 + 2(p+1) – 1 = (p + 1)2, que desejamos demonstrar.
= p2 + 2p – 2 – 1 = p2 + 2p + 1 = (p + 1)2
Logo, a soma dos primeiros números ímpares é igual a n2.
6. Para provar a igualdade por indução, devemos primeiro testar a base.
Base: n = 1
1
2 1
2 1 1
3�
� � �( )
E do lado direito:
1
2 1 3
1
3, �
�
Agora, vamos aplicar a hipótese da indução supondo que a nossa igualdade é válida para n.
1
2
3 1
3
5 1
2 1 2 1 2 1
� � � � �
� � �
�
�
...
( ) ( )n n
n
n
Desejamos chegar a:
1
2
3 1
3
5 1
2 1 2 1
1
2 1 2 3
1
2 3
� � � � �
� � �
�
� � �
�
�
�
...
( ) ( ) ( ) ( )n n n n
n
n
Aplicando a hipótese, vamos substituir:
n
n n n
n
n( ) ( ) ( )2 1
1
2 1 2 3
1
2 3�
�
� � �
�
�
�
Tirando o mmc, temos:
n n
n n
n
n
� � �
� � �
�
�
�
( )
( ) ( )
2 3 1
2 1 2 3
1
2 3
226 Matemática aplicada
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
2 3 1
2 1 2 3
1
2 3
2n n
n n
n
n
� �
� � �
�
�
�( ) ( )
Fatorando 2n2 + 3n + 1 (aplicando Báskara), temos:
( ) ( )
( ) ( )
n n
n n
n
n
� � �
� � �
�
�
�
1 2 1
2 1 2 3
1
2 3
Sobrará:
n
n
n
n
�
�
�
�
�
1
2 3
1
2 3
7. 
a) Embora x2 – y2 = (x + y) . (x y), podemos dizer também que: x y x y x y� � � � �( ) ( ). 
Logo:
lim
lim
x
x
x
x
x
x x
�
�
�
�
�
�� �� �� �
3
3
3
3
3
3 3
Simplificando, temos:
1
3
1
3 3
1
2 3x �
�
�
�
 Racionalizando, temos:
1
2 3
3
3
3
6
� �
b) 
lim
x
x
x�
�
�1
1
1
Não podemos simplesmente substituir, pois o resultado será 0
0
. Logo:
 
lim
x x
x
x
x
x
� �
�
�
�
�
�
�
1
1
1
1
2
1
1
1
1
Fazendo a propriedade distributiva, temos:
x x x
x x
x
x x
� � �
� � �
�
�
� � �
1
1 1
1
1 1( ) ( ) ( ) ( )
Gabarito 227
Se x ≠ 1, podemos novamente simplificar (x – 1) por (x – 1):
1
1
1
1 1
1
2x �
�
�
�
8. 
lim ( ) lim
lim ( ) lim
f x x
f x x
x x
x x
� � � �
� � � �
� � � � �
� � � � �
2
2 2
2
2 2
1 2 1 3
1 2 1 1
llim ( )f x
x �
� �
2
9. 
lim lim limx x
xx x
x
3
0
3
0
2
0
2 1
0 0
� �
�
� �
� � �
Logo: +∞
10. 
a) y = 7x3 – 9x2 + 8x
 y’ = 3 . 7 . x3–1 + 2 . 9 . x2–1 + 1 . 8x1–1
 y’ = 21x2 + 18x + 8
b) y x x
y x x
y x
y x
y x
y x
� �
� � �
� �
� �
� �
� �
�
9
9
9
3
2
3
2
3
2
1
1
2
3
2
3
2
1
1
2
’
’
’
228 Matemática aplicada
11. 
y x x x
y f x x f x
x
y x x
x
x
� � � �
�
�� �
�
�
�� �
� �
� �
4 2 7 5
4 2
3 2
0
0
3
’ lim ( ) ( )
’ lim ( ) �� � � � � � � � � � �
�
�
� � �� � � �
( ) ( ) ( )
’ (
x x x x x x x
x
y x x x x
2 3 2
3 2
7 5 4 2 7 5
4 12 12 xx x x x x x x x x x
x x
y
) ( ) ( ) ( )2 3 2 2 3 24 2 4 7 7 5 4 2 7 5
0
� � � � � �� � � � � � � � � � �
� � �
’’ ( ( ) ( ) )
’
�
� �� � � � � � � �� �
� � �
� � �
x x x x x x x x
x x
y x x
12 12 4 4 7
0
12 4 7
2 2 2
2
12. 
Cm = 8q + 180
Para 10 unidades = 8 .10 + 180 = 80 + 180 = R$ 260,00
13. 
p = –0,5q + 700
Como R = p . q
R(q) = (–0,5q + 700) . q
R(q) = –0,5q2 + 700q
Receita marginal:
R’(m) = –0,5 . 2 q + 700
R’(m) = –1q + 700
Para 200 unidades:
R’(m) = –1.200 + 700
R’(m) = 500,00
14. 
a) LT = RT – CT
 LT = (18q2 + 30q) – (10q2 + 27q + 500)
 LT = 18q2 + 30q – 10q2 – 27q – 500
 LT = 8q2 + 30q – 500
b) L(m) = L’ = 2 . 8q + 3
 L(m) = 16q + 3
c) Para uma produção de 250 unidades, temos:
 L(m) = 16 . 250 + 3
 L(m) = 4.003,00
Referências
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BONICI, R. M. C.; JÚNIOR, C. F. de A. O software mymathlab e o ensino de cálculo. Disponível 
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Blucher, 2012. (Tradução da 3. ed. Americana).
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CASTRUCCI, B. Elementos de teoria dos conjuntos. Rio de Janeiro: Greem, 1973.
CRAIDE, S. Números de celulares de todo o país terão nove dígitos a partir do dia 6. Agência Brasil, 
Brasília, DF, 29 out. 2016. Disponível em: http://agenciabrasil.ebc.com.br/geral/noticia/2016-10/
numeros-de-celulares-de-todo-o-pais-terao-nove-digitos-partir-do-dia-6. Acesso em: 2 ago. 2019.
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Atual, 2013. v. 1.
IEZZI, G. Matemática. Rio de Janeiro: Qualitymark, 2010.
JOVEM PAN. Rodízio de veículos em São Paulo é suspenso para o fim de ano. 20 dez. 2018. Disponível 
em: https://jovempan.uol.com.br/noticias/brasil/rodizio-de-veiculos-em-sao-paulo-e-suspenso-para-
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assets.cambridge.org/97805214/19543/frontmatter/9780521419543_frontmatter.pdf. Acesso em: 4 set. 
2019.
https://maisminas.org/mega-sena-concurso-2120-de-hoje/
http://www.sinprosp.org.br/congresso_matematica/revendo/dados/files/textos/Sessoes/O%2520SOFTWARE%2520MYMATHLAB%2520E%2520O%2520ENSINO%2520DE%2520C%25C3%2581LCULO.pdf
http://www.sinprosp.org.br/congresso_matematica/revendo/dados/files/textos/Sessoes/O%2520SOFTWARE%2520MYMATHLAB%2520E%2520O%2520ENSINO%2520DE%2520C%25C3%2581LCULO.pdf
https://jovempan.uol.com.br/noticias/brasil/rodizio-de-veiculos-em-sao-paulo-e-suspenso-para-o-fim-de-ano.html
https://jovempan.uol.com.br/noticias/brasil/rodizio-de-veiculos-em-sao-paulo-e-suspenso-para-o-fim-de-ano.html230 Matemática aplicada
MEDEIROS, V. Z. Métodos quantitativos com Excel. São Paulo: Cengage Learning, 2018.
MULLER, F. A. Matemática aplicada a negócios. São Paulo: FTD, 2012.
MUNEM, M. A.; FOULIS, D. J. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1992.
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PAIVA, M. Matemática Paiva. São Paulo: Moderna, 2013. (Coleção).
SIGLER, L. Fibonacci’s Liber Abaci: a translation into modern English of Leonardo Pisano’s book of calculation. 
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TAVARES, R. Teoria dos conjuntos NFU. Publicação independente, 2017.
THOMAS, G. B. Cálculo. 10. ed. Rio de Janeiro: Makron Books, 2009.
Hoje, a matemática aplicada é utilizada em modelagens que vão da medicina 
à astronomia, das comunicações ao desenvolvimento de equipamentos de 
precisão, enfim, em importantes áreas do dia a dia. Ao digitar senhas em caixas 
eletrônicos, ao pensar na chance probabilística de ganhar na loteria, ao avaliar 
riscos de um investimento, ao elaborar uma planilha orçamentária, as pessoas 
estão “matematizando”, isto é, avaliando tudo que as cerca do ponto de vista 
matemático.
Neste livro, houve a preocupação de mostrar a versatilidade dos conceitos 
de matemática aplicada e sua utilidade. Estruturada em dez capítulos, a obra 
parte dos conceitos iniciais de potenciação e radiciação, passando pelas 
equações e problemas de primeiro e segundo grau, pelas progressões, matrizes 
e determinantes, até finalizar com as funções polinomiais, limites e funções 
derivadas. Em todos os capítulos há dezenas de exercícios resolvidos, exemplos 
solucionados, aplicações em diversas áreas e, ainda, sugestões de outros 
materiais que venham a enriquecer os conhecimentos do leitor. 
Ter uma base sólida em matemática aplicada, portanto, possibilitará uma 
formação científica de qualidade. Melhores decisões são tomadas quando se tem 
acesso a informações precisas, ampliando o olhar sobre os problemas que se 
manifestam no cotidiano. 
Edson Carlos Chenço
aplicada
matemática
Código Logístico
58558
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-6480-9
9 7 8 8 5 3 8 7 6 4 8 0 9
M
atem
ática A
plicada
Edson C
arlos C
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