RACIOCINIO LOGICO

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ÍNDICE
1. Noções de Lógica. .............................................................................................................................................................................01
2. Diagramas Lógicos: conjuntos e elementos. .........................................................................................................................02
3. Lógica da Argumentação. .............................................................................................................................................................04
4. Tipos de Raciocínio. ........................................................................................................................................................................05
5. Proposições Lógicas Simples e Compostas. ..........................................................................................................................07
6. Conectivos Lógicos. .........................................................................................................................................................................09
7. Elementos de Teoria dos Conjuntos ..........................................................................................................................................10
8. Resolução de Problemas com Frações, Conjuntos, Porcentagens e Sequências com Números, Figuras, 
Palavras. .....................................................................................................................................................................................................16
9. Estatística Descritiva e Análise Exploratória de Dados: gráficos, diagramas, tabelas, medidas descritivas 
(posição, dispersão, assimetria e curtose). .................................................................................................................................24
10. Técnicas de Amostragem: amostragem aleatória simples, estratificada, sistemática e por conglomerados. 
10.1 Tamanho amostral. ......................................................................................................................................................................41
11. Análise Combinatória: arranjos simples e com repetição, permutações simples e com repetição e combi-
nações simples. Princípio da Casa dos Pombos; Identificação do Espaço Amostral e Evento de Experimentos 
Aleatórios. .................................................................................................................................................................................................49
12. Proporcionalidade; Razão e proporção; 12.1 Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais; 12.2 Regra de 
Três Simples e Composta; 12.3 Porcentagens; 12.4 Juros Simples e Compostos. ........................................................55
13. Funções: Conceito de Função. 13.1 Função de Variável Real e seu Gráfico no Plano Cartesiano. 13.2 Es-
tudo das Funções de 1º e 2º graus. 13.3 Funções Crescentes e Decrescentes, Máximos e Mínimos de uma 
Função. .......................................................................................................................................................................................................59
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Raciocínio Lógico-Matemático
1. NOÇÕES DE LÓGICA.
CONCEITO DE LÓGICA
Lógica é a ciência das leis ideais do pensamento 
e a arte de aplicá-los à pesquisa e à demonstração da 
verdade.
Diz-se que a lógica é uma ciência porque constitui 
um sistema de conhecimentos certos, baseados em 
princípios universais.
Formulando as leis ideais do bem pensar, a lógica 
se apresenta como ciência normativa, uma vez que seu 
objeto não é definir o que é, mas o que deve ser, isto é, 
as normas do pensamento correto.
A lógica é também uma arte porque, ao mesmo 
tempo que define os princípios universais do pensamento, 
estabelece as regras práticas para o conhecimento da 
verdade (1).
EXTENSÃO E COMPREENSÃO DOS CONCEITOS
Ao examinarmos um conceito, em termos 
lógicos, devemos considerar a sua extensão e a sua 
compreensão.
Vejamos, por exemplo, o conceito homem.
A extensão desse conceito refere-se a todo o 
conjunto de indivíduos aos quais se possa aplicar a 
designação homem.
A compreensão do conceito homem refere-se 
ao conjunto de qualidades que um indivíduo deve 
possuir para ser designado pelo termo homem: animal, 
vertebrado, mamífero, bípede, racional.
Esta última qualidade é aquela que efetivamente 
distingue o homem dentre os demais seres vivos (2).
JUÍZO E O RACIOCÍNIO
Entende-se por juízo qualquer tipo de afirmação 
ou negação entre duas ideias ou dois conceitos. Ao 
afirmarmos, por exemplo, que “este livro é de filosofia”, 
acabamos de formular um juízo.
O enunciado verbal de um juízo é denominado 
proposição ou premissa.
Raciocínio - é o processo mental que consiste em 
coordenar dois ou mais juízos antecedentes, em busca 
de um juízo novo, denominado conclusão ou inferência.
Vejamos um exemplo típico de raciocínio: 1ª) 
premissa - o ser humano é racional; 2ª) premissa - você é 
um ser humano; conclusão - logo, você é racional.
O enunciado de um raciocínio através da linguagem 
falada ou escrita é chamado de argumento. Argumentar 
significa, portanto, expressar verbalmente um raciocínio 
(2).
SILOGISMO
Silogismo é o raciocínio composto de três 
proposições, dispostas de tal maneira que a terceira, 
chamada conclusão, deriva logicamente das duas 
primeiras, chamadas premissas.
Todo silogismo regular contém, portanto, três 
proposições nas quais três termos são comparados, dois 
a dois. Exemplo: toda a virtude é louvável; ora, a caridade 
é uma virtude; logo, a caridade é louvável (1).
SOFISMA
Sofisma é um raciocínio falso que se apresenta 
com aparência de verdadeiro. Todo erro provém de um 
raciocínio ilegítimo, portanto, de um sofisma.
O erro pode derivar de duas espécies de causas: das 
palavras que o exprimem ou das ideias que o constituem. 
No primeiro, os sofismas de palavras ou verbais; no 
segundo, os sofismas de ideias ou intelectuais.
Exemplo de sofisma verbal: usar mesma palavra 
com duplo sentido; tomar a figura pela realidade.
Exemplo de sofisma intelectual: tomar por essencial 
o que é apenas acidental; tomar por causa um simples 
antecedente ou mera circunstância acidental (3).
LÓGICA
Lógica - do grego logos significa “palavra”, 
“expressão”, “pensamento”, “conceito”, “discurso”, 
“razão”. Para Aristóteles, a lógica é a “ciência da 
demonstração”; Maritain a define como a “arte que nos 
faz proceder, com ordem, facilmente e sem erro, no ato 
próprio da razão”; para Liard é “a ciência das formas 
do pensamento”. Poderíamos ainda acrescentar: “É a 
ciência das leis do pensamento e a arte de aplicá-las 
corretamente na procura e demonstração da verdade.
A filosofia, no correr dos séculos, sempre se 
preocupou com o conhecimento, formulando a esse 
respeito várias questões: Qual a origem do conhecimento? 
Qual a sua essência? Quais os tipos de conhecimentos? 
Qual o critério da verdade? É possível o conhecimento? 
À lógica não interessa nenhuma dessas perguntas, mas 
apenas dar as regras do pensamento correto. A lógica é, 
portanto, uma disciplina propedêutica.
Aristóteles é considerado, com razão, o fundador 
da lógica. Foi ele, realmente, o primeiro a investigar, 
cientificamente, as leis do pensamento. Suas pesquisas 
lógicas foram reunidas, sob o nome de Organon, por 
Diógenes Laércio. As leis do pensamento formuladas por 
Aristóteles se caracterizam pelo rigor e pela exatidão. 
Por isso, foram adotadas pelos pensadores antigos 
e medievais e, ainda hoje, são admitidas por muitos 
filósofos.
O objetivo primacial da lógica é, portanto, o 
estudo da inteligência sob o ponto de vista de seu 
uso no conhecimento. É ela que fornece ao filósofo o 
instrumento e a técnica necessária para a investigação 
segura da verdade. Mas, para conseguirmos atingir 
a verdade, é preciso raciocinarmos com exatidão e 
partirmos de dados exatos, a fim de quedos 
dados. Exemplos de estatísticas descritivas são a média, 
o desvio padrão e a mediana.
O que são as Medidas de Centralidade na 
Estatística Descritiva?
As Medidas de Centralidade são os procedimentos 
gráficos apresentados até agora no blog. Sua função é 
basicamente ajudar a visualizar a forma da distribuição 
8 Fonte: www.mundoeducacao.bol.uol.com.br/www.somatematica.com.br/
www.todamateria.com.br/www.sempreamathematicarcommusica.blogspot.
com/www. matematicabasica.net
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Raciocínio Lógico-Matemático
que a quantidade de valores corresponde a um número 
par. Nesse caso, definimos a Mediana como sendo a Mé-
dia dos dois valores centrais:
(550 + 600)/2 → 1150/2 = 575
Vale destacar: Observe que se a lâmpada que sobre-
viveu 2000 dias tivesse sobrevivido 3950 dias, o valor da 
mediana não se alteraria. Por outro lado, a média aritmé-
tica aumentaria. Não ser afetada por valores extremos é 
uma vantagem da mediana em relação à média. Quando 
a distribuição dos dados é simétrica, os valores da média 
e da mediana praticamente coincidem. Mas, quando a 
distribuição é assimétrica, a média é “puxada” na direção 
da assimetria.
Quase sempre, quando olhamos uma média, faze-
mos algum julgamento de valor. Por exemplo: se lemos 
no jornal qual é a renda média de uma determinada co-
munidade, somos tentados a avaliar como é a situação 
econômica dessa comunidade. No entanto, o valor da 
média pode ser alto e, mesmo assim, a situação social 
ser muito ruim. Basta que poucos ganhem muito e mui-
tos ganhem pouco. A mediana, por outro lado, não é 
influenciada por esses valores extremos e, nesse caso, 
refletirá melhor a condição econômica da comunidade.
Por isso que, em qualquer estudo, é interessante re-
portar as duas medidas de centralidade.
O que é Moda na estatística descritiva?
A Moda de uma distribuição é o valor que ocorre 
com mais frequência ou o valor que corresponde ao in-
tervalo de classe com a maior frequência. Assim a moda, 
da mesma forma que a Mediana, não é afetada por va-
lores extremos.
Uma distribuição de frequência que apresenta ape-
nas uma moda é chamada de unimodal. Já se a distri-
buição apresenta dois pontos de alta concentração, ela 
é chamada de bimodal. Distribuições bimodais ou mul-
timodais podem indicar que na realidade a distribuição 
de frequência se refere a duas populações cujas medidas 
foram misturadas.
Por exemplo, suponha que um lote de caixas de lei-
te longa vida passa por um processo de amostragem e 
em cada caixa da amostra é medido o volume envasado. 
Se o lote é formado pela produção de duas máquinas 
de envase que estão calibradas em valores diferentes, é 
possível que o histograma apresente duas modas: uma 
para cada valor de calibração.
O que são os Percentis (ou Quartis)?
Se o número de dados observados é grande, é in-
teressante calcular algumas outras medidas de posição. 
Essas medidas são uma extensão do conceito de media-
na.
Suponha que estamos conduzindo um experimen-
to com animais. Eles recebem uma droga e medimos o 
tempo de vida (em dias) após a ingestão dessa droga. 
Poderíamos fazer a seguinte pergunta: em quanto tem-
po 50% dos animais ainda estão vivos? Obviamente esse 
valor será a mediana.
Por outro lado, poderíamos estar interessados em 
saber qual é o tempo em que 75%, ou 25%, dos animais 
estão vivos. Esses valores são chamados de Quartis da 
distribuição (pois dividem a distribuição em quartas par-
tes) e são representados por Q1 (1º quartil – 25%) e Q3 
(3º quartil – 75%). O segundo quartil, Q2, que correspon-
de a 50%, é a mediana.
das medidas, como é o caso do histograma. O próximo 
passo na análise é quantificar alguns aspectos importan-
tes da distribuição. Duas medidas são amplamente utili-
zadas: uma para localizar a posição central e outra para 
quantificar a variabilidade ou dispersão da distribuição.
A medida de posição central é um valor represen-
tativo da distribuição em torno do qual as outras medi-
das se distribuem. Duas medidas são as mais utilizadas: 
a média aritmética e a mediana.
O que é uma Média Aritmética na Estatística Des-
critiva?
A média aritmética de um conjunto de n valores é 
obtida somando-se todas as medidas e dividindo a soma 
por n. Representamos cada valor individual por uma letra 
(x, y, z, etc.), seguida por um sub-índice, ou seja, repre-
sentamos os n valores da amostra por x1, x2, x3, …, xn, na 
qual x1 é a primeira observação, x2 é a segunda e assim 
por diante. Então, escrevemos:
Considere S um símbolo matemático do qual se lê 
“somatório” de xi, para i variando de 1 a n, que é equiva-
lente a x1 + x2 + x3 +…+xn.
Confira um exemplo:
Em um grupo de cinco pessoas, com idades de 19, 
23, 25, 28 e 29 anos, qual é a Média Aritmética de suas 
idades?
Primeiramente, é preciso somar suas idades:
19 + 23 + 25 + 28 + 29 = 124
Em seguida, divide-se essa soma pelo número de 
“fontes de dados” (ou pessoas, se preferir). Veja:
(19 + 23 +25 +28 + 29)/ 5 → 124/5 = 24,8
Dessa forma, obtemos que a Média Aritmética (ou 
simplesmente Média) da idade desse grupo é de 24,8 
anos. Percebe que não é uma conta difícil de fazer?
O que é a Mediana na Estatística Descritiva?
A Mediana é uma medida alternativa à Média Arit-
mética e sua função é representar o centro da distribui-
ção, muito usada em estatística descritiva. A mediana de 
um conjunto de medidas (x1, x2, x3, …, xn) é um valor M 
tal que pelo menos 50% das medidas são menores ou 
iguais a M e pelo menos 50% das medidas são maiores 
ou iguais a M. Em outras palavras, 50% das medidas fi-
cam abaixo da mediana e 50% acima desse valor.
Confira um exemplo:
Uma mulher, durante seu período reprodutivo, deu à 
luz 5 crianças. Os pesos dos recém-nascidos foram, res-
pectivamente: 9.2, 6.4, 10.5, 8.1 e 7.8. Calcule a mediana 
dos pesos.
Os valores, ordenados do menor para o maior, são:
6.4 7.8 8.1 9.2 10.5.
Portanto, a mediana é 8.1 kg.
Agora veja outro exemplo, um pouco diferente:
Os dados abaixo são tempos de vida (em dias) de 8 
lâmpadas:
500 550 550 550 600 700 750 2000
Note que temos dois valores que satisfazem a con-
dição de ser mediana, o quarto (550) e o quinto (600), já 
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Raciocínio Lógico-Matemático
Esse conceito pode ser estendido um pouco mais e, 
em lugar de 25%, 50% e 75%, poderíamos querer calcu-
lar percentis (5%,10%, 90%, etc.).
Seja p um número qualquer entre 0 e 1. O 1100×p-é-
simo percentil é um valor tal que, depois de as medidas 
terem sido ordenadas, pelo menos 100×p% das medi-
das são menores ou iguais a esse valor. E pelo menos 
100×(1-p)% das medidas são maiores ou iguais a esse 
valor.
Exemplo: O ganho de peso, em gramas, de 9 ratos 
submetidos a uma dieta são dados a seguir:
93.9 105.8 106.5 116.6 125.0 128.3 132.1 136.7 152.4
Como calcular o primeiro e o terceiro quartis?
Cálculo de Q1:
Q1 corresponde a 25%. Então, p = 0.25 .
O número de observações menores ou iguais a Q1 é 
0.25 × 9 = 2.25.
O número de observações maiores ou iguais a Q1 é 
(1-0.25) × 9 → 0.75 × 9 = 6.75
Em outras palavras, pelo menos 3 observações têm 
que ser menores ou iguais a Q1 e pelo menos 7 observa-
ções têm que ser maiores ou iguais a Q1. A medida 106.5 
satisfaz esses requerimentos. Portanto, Q1 = 106.5.
Cálculo de Q3:
Argumentos semelhantes mostram que Q3 = 132.1.
Temos também que Q2 = 125.0, que é a Mediana.
Exemplo:
Calcular os quartis e os percentis 5%, 10%, 90% e 
95% para a amostra de valor de venda de um produto 
em 95 pontos de venda amostrados apresentado acima.
75% Q3 45.3 5% 35.2
50% Q2 42.2 10% 37.0
25% Q1 39.5 90% 47.0
Média 42.4 95% 50.2
Análise exploratória
É perceptível que ao longo das últimas quatro 
décadas, a estatística se tornou mais popular do que 
nunca. Em alguns países, como Estados Unidos e Suécia, 
a estatística está presente em praticamente tudo. Tudo 
mesmo. Qualquer assunto é motivo de análise. Descobrir 
que a Suécia tem o maior número de McDonald’s por 
pessoa da Europa; ou mesmo, que existe 1 milhão 
de barcos na Suécia (1 barco acada 9 pessoas) são 
informações simples geradas por análise exploratória, e 
que fazem parte do cotidiano das pessoas que moram 
nesses países.
Analisar dados nem sempre precisa ser algo 
complexo e de difícil entendimento. Estamos aqui 
justamente para falar de uma parte da estatística que 
não precisa necessariamente de uma fundamentação 
matemática rigorosa. Vamos falar da parte, onde fazemos 
tipo uma “sondagem” dos dados. É como se você fosse 
fazer o primeiro contato com a informação disponível. 
Olhar tudo de uma forma geral; sem questionar muito. 
Estamos na fase da observação.
É a fase de “namoro dos dados”. É nessa hora 
que você identifica os comportamentos médios e 
discrepantes; compara esses comportamentos; investiga 
a interdependência entre as variáveis; procura e identifica 
tendências. É a partir do conjunto de dados inicial, que 
você aplica os recursos computacionais e define o que 
de fato é essencial, e o que é lixo. Sim, as bases de dados 
possuem muito lixo!
De forma análoga, é como se você fosse procurar 
um (a) pretendente, observasse a pessoa e fizesse uma 
análise descritiva apontando os detalhes mais marcantes 
(o que é aceitável ou não para o seu padrão): qual a 
altura da pessoa, cor dos olhos, tipo de cabelo, cor da 
pele, alto ou baixo, magro ou gordo; e por aí vai.
É como se você resumisse rapidamente e de forma 
eficiente, toda a informação contida nos dados (ou no 
que você está observando). Esse é o início das análises 
que permitirão você tomar decisões de forma mais 
consciente e assertiva.
“Em suma, as técnicas da análise exploratória de 
dados nos ajudam a extrair informações relevantes de um 
conjunto de dados”
De maneira geral, não abra mão de utilizar as técnicas 
da análise exploratória. Não economize. Use tudo que 
for adequado na sua análise. Você pode aplicar, por 
exemplo:
- Histogramas
- Polígonos
- Ramo-e-folhas
- Box Plot
- Gráficos de simetria
- Diagrama de pontos
A partir daí você pode encontrar parâmetros para 
cada uma das variáveis, como média, mediana, moda, 
percentis, quartis, mínimo, máximo, amplitude, desvio-
padrão, variância, coeficiente de variação.
Embora muitos profissionais “desprezem” essas 
técnicas, acreditamos que elas deveriam fazer parte de 
toda e qualquer análise que vocês façam. Se você já 
faz, aprimore. Se não, inclua em seus trabalhos. “Vire os 
dados do avesso”; olhe por todos os ângulos.
Representação Gráfica
Os gráficos são uma forma de apresentação visual 
dos dados. Normalmente, contém menos informações 
que as tabelas, mas são de mais fácil leitura. O tipo de 
gráfico depende da variável em questão
Gráficos de Linhas
Usado para ilustrar uma série temporal.
Produção de Petróleo Bruto no Brasil de 1976 a 1980 
(x 1000 m³)
Gráfico de linhas comparativas
População Urbana do Brasil por Região de 1940 a 
1980 (x 1000)
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Raciocínio Lógico-Matemático
b) Colunas Sobrepostas (gráfico comparativo)
População Urbana do Brasil por Região de 1940 a 
1980 (x 1000)
Gráfico de Barras
As regras usadas para o gráfico de barras são iguais 
as usadas para o gráfico de colunas.
População Urbana do Brasil em 1980 (x 1000)
Assim como os gráficos de Colunas podem ser 
construídos gráficos de barras comparativas.
Gráficos circulares ou de Setores (Pie Charts)
Representação gráfica da frequência relativa 
(percentagem) de cada categoria da variável. Este 
gráfico é utilizado para variáveis nominais e ordinais. É 
uma opção ao gráfico de barras quando se pretende 
dar ênfase à comparação das percentagens de cada 
categoria. A construção do gráfico de setores segue uma 
regra de 3 simples, onde as frequências de cada classe 
correspondem ao ângulo que se deseja representar em 
relação a frequência total que representa o total de 360°.
Características:
- A área do gráfico equivale à totalidade de casos 
(360° = 100%);
- Cada “fatia” representa a percentagem de cada 
categoria
População Urbana e Rural do Brasil em 1980 (x 1000)
Gráficos de colunas ou barras
Representação gráfica da distribuição de frequências. 
Este gráfico é utilizado para variáveis nominais e ordinais. 
Características:
- todas as barras devem ter a mesma largura
- devem existir espaços entre as barras
Gráfico de Colunas
Usado para ilustrar qualquer tipo de série.
População Urbana do Brasil em 1980 (x 1000)
As larguras das barras que deverão ser todas iguais 
podendo ser adotado qualquer dimensão, desde que 
seja conveniente e desde que não se superponham. O 
número no topo de cada barra pode ou não omitido, se 
forem conservados, a escala vertical pode ser omitida.
Gráfico de colunas comparativas
a) Colunas Justapostas (gráfico comparativo)
População Urbana do Brasil por Região de 1940 a 
1980 (x 1000)
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Raciocínio Lógico-Matemático
Gráfico Pictorial - Pictograma
Tem por objetivo despertar a atenção do público em 
geral, muito desses gráficos apresentam grande dose de 
originalidade e de habilidade na arte de apresentação 
dos dados.
Evolução da matricula no Ensino Superior no Brasil 
de 1968 a 1994 (x 1000)
Exemplos de pictogramas
Evolução da frota nacional de carros à álcool de 1979 
a 1987
Os métodos mais eficientes para deixar de fumar 
segundo 30.000 fumantes entrevistados no Canadá
Gráfico Polar
É o tipo de gráfico ideal para representar séries 
temporais cíclicas, ou seja, toda a série que apresenta 
uma determinada periodicidade.
Como construir um gráfico polar
1) Traça-se uma circunferência de raio arbitrário 
(preferencialmente, a um raio de comprimento 
proporcional a média dos valores da série);
2) Constrói-se uma semi-reta (de preferência 
horizontal) partindo do ponto 0 (pólo) e com uma escala 
(eixo polar);
3) Divide-se a circunferência em tantos arcos forem 
as unidades temporais;
4) Traça -se semi-retas a partir do ponto 0 (pólo) 
passando pelos pontos de divisão;
5) Marca-se os valores correspondentes da variável, 
iniciando pela semi-reta horizontal (eixo polar);
6) Ligam-se os pontos encontrados com segmentos 
de reta;
7) Para fechar o polígono obtido, emprega-se uma 
linha interrompida.
Cartograma
É a representação de uma carta geográfica. Este tipo 
de gráfico é empregado quando o objetivo é o de figurar 
os dados estatísticos diretamente relacionados com as 
áreas geográficas ou políticas
Dados absolutos (população) – usa-se pontos 
proporcionais aos dados.
Dados relativos (densidade) – usa-se hachaduras.
Exemplo:
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Raciocínio Lógico-Matemático
Gráficos utilizados para a análise de uma distribuição de frequência.
Histograma
Polígono de Frequências
Altura em centímetros de 160 alunos do Curso de Administração da UFSM – 1990
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Raciocínio Lógico-Matemático
Ogivas
Altura em centímetros de 160 alunos do Curso de Administração da UFSM – 1990
Gráfico em segmentos de reta vertical
É utilizado para representar uma distribuição de frequência pontual, onde os segmentos de reta são proporcionais 
às respectivas frequências absolutas.
Como se interpreta um histograma?
A representação gráfica da distribuição da variável, por histogramas. Este gráfico é utilizado para variáveis 
contínuas.
Características:
- Cada barra representa a frequência do intervalo respectivo;
- Os intervalos devem ter a mesma amplitude;
- As barras devem estar todas juntas.
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Raciocínio Lógico-Matemático
Os histogramas também mostram o grau de dispersão da variável. Veja a figura 4.6. O histograma à esquerda 
mostra pouca dispersão, mas o histograma à direita mostra grande dispersão.
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Raciocínio Lógico-Matemático
Diagramas
Em estatística descritiva, diagrama de caixa, diagrama de extremos e quartis, boxplot ou box plot é uma 
ferramenta gráfica para representar a variação de dados observados de uma variável numérica por meio de quartis 
(ver figura 1, onde o eixo horizontal representa a variável). O boxplot tem uma reta (whisker ou fio de bigode) que 
estende–se verticalmente ou horizontalmente a partir da caixa, indicando a variabilidade fora do quartil superior e do 
quartil inferior. Os valoresatípicos ou outliers (valores discrepantes) podem ser plotados como pontos individuais. O 
boxplot não é paramétrico, apresentando a variação em amostras de uma população estatística sem fazer qualquer 
suposição da distribuição estatística subjacente. Os espaços entre as diferentes partes da caixa indicam o grau de 
dispersão, a obliquidade nos dados e os outliers. O boxplot também permite estimar visualmente vários {\displaystyle 
L-}estimadores como amplitude interquartil, midhinge, range, mid-range, e trimean. Em resumo, o boxplot identifica 
onde estão localizados 50% dos valores mais prováveis, a mediana e os valores extremos.
Temos ainda o diagrama circular
Para construir um diagrama circular ou gráfico de pizza, repartimos um disco em setores circulares correspondentes 
às porcentagens de cada valor (calculadas multiplicando-se a frequência relativa por 100). Este tipo de gráfico adapta-
se muito bem para as variáveis qualitativas nominais. 
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Raciocínio Lógico-Matemático
Podemos também usar a Tabela de Frequências 
para organizar e resumir a informação contida em dados.
Quando coletamos os dados para uma pesquisa, as 
observações realizadas são chamadas de dados brutos.
Um exemplo de dados brutos corresponde ao 
percentual dos trabalhadores que contribuem com o 
Instituto Nacional de Seguro Social (INSS) em 20 cidades 
de uma determinada região do Brasil no ano de 2008 
(dados simulados pelo autor a partir de um caso real). 
Os dados são apresentados na Tabela 1 na forma em 
que foram coletados, por esse motivo são denominados 
dados brutos.
Geralmente, esse tipo de dado traz pouca ou 
nenhuma informação ao leitor, sendo necessário 
organizá-lo, com o intuito de aumentar sua capacidade 
de informação.
Com base nessa tabela, podemos observar que a 
simples organização dos dados em um rol*aumenta 
muito o nível de informação destes. Na Tabela 2, você 
pode verificar ainda que o menor percentual foi 41% e o 
maior 60%, o que nos fornece uma amplitude total* da 
ordem de 19%.
Outra informação que podemos obter dos dados 
por meio da Tabela 2 (organizada em rol crescente) é 
que nas cidades avaliadas, o valor 50, correspondente à 
percentagem de trabalhadores que contribuem para o 
INSS, ocorre com maior frequência, ou seja, é o que mais 
se repete. Com base nessa nossa discussão, reflita: como 
organizar os dados de uma variável quantitativa contínua 
de forma mais eficiente, na qual se possa apresentar uma 
quantidade maior de informações?
A resposta a essa pergunta será apresentada na 
próxima seção. Fique atento e, em caso de dúvidas, 
lembre-se de que você não está sozinho, basta solicitar 
o auxílio de seu tutor.
Distribuição De Frequências De Uma Variável 
Quantitativa Contínua
Uma maneira de organizar os dados de uma variável 
quantitativa contínua, de modo que você melhor possa 
representa-la, é por meio de uma tabela de distribuição 
de frequências, que corresponde a uma tabela em que 
são apresentadas as frequências de cada uma das classes.
Distribuindo os dados observados em classes* e 
contando o número de observações contidas em cada 
classe, obtemos a frequência de classe. Sendo que a 
disposição tabular dos dados agrupados em classes, 
juntamente com as frequências correspondentes, é o 
que denominamos de distribuição de frequência.
Sendo assim, para identificarmos uma classe, 
devemos conhecer os valores dos limites inferior e 
superior da classe que delimitam o intervalo de classe.
Vamos relembrar rapidamente como é essa 
classificação dos intervalos:
- Intervalos abertos: os limites da classe (inferior e 
superior) não pertencem a mesma.
- Intervalos fechados: os limites da classe (superior 
e inferior) pertencem à classe em questão.
- Intervalos mistos: um dos limites pertence à classe 
e o outro não.
Você pode utilizar qualquer um deles. Porém, os 
intervalos mais utilizados e que usaremos como padrão 
na resolução dos problemas, é o intervalo misto, o qual 
é apresentado da seguinte forma:
(o 43,5 está incluído e o 48,5 não está incluído no 
intervalo) 
Esses valores de 43,5 e 48,5 foram escolhidos 
aleatoriamente, somente para demonstrar o formato do 
intervalo.
Para você entender melhor, acompanhe o exemplo 
a seguir, a partir dos dados da porcentagem de 
trabalhadores que contribuem com o INSS. Com esses 
dados iremos construir uma distribuição de frequência 
e, ao longo desse exemplo, identificar, também, os 
conceitos presentes nessa distribuição.
Para darmos início a esse entendimento, é 
importante, antes, considerarmos que existem diversos 
critérios para a construção das classes das distribuições 
de frequências apresentados na literatura.
No nosso caso, utilizaremos os critérios apresentados 
a seguir.
Para elaborar uma distribuição de frequência, é 
necessário, inicialmente, determinar o número de classes 
(k) em que os dados serão agrupados. Por questões de 
ordem prática e estética, sugerimos utilizar de 5 a 20 
classes. O número de classes (k) a ser utilizado, pode 
ser calculado em função do número de observações (n), 
conforme é mostrado para você a seguir:
32
Raciocínio Lógico-Matemático
Considerando que nessa pesquisa n = 20 
consumidores; temos, então, o número de classes 
definido por 
e, como o número de classes é inteiro, usaremos 5 
classes.
O arredondamento utilizado nesse material é o 
padrão de algarismos significativos (como foi aprendido 
no segundo grau). O número de classes pode também 
ser definido de uma forma arbitrária, sem o uso dessa 
regra.
Após determinarmos o número de classes (k) 
em que os dados serão agrupados, determinamos 
a amplitude do intervalo de classe (c). E, para 
calcularmos a amplitude do intervalo de classe, vamos, 
primeiramente, calcular a amplitude total dos dados 
(A), que corresponde à diferença entre o maior valor 
observado e o menor valor observado.
No nosso caso (usando dados da Tabela 2), teremos 
A = 60 – 41 =19%.
Com base nesse valor da amplitude total (A) 
calculado, iremos obter a amplitude do intervalo de 
classe (c), como é mostrado a seguir:
Onde:
c = amplitude de classe;
A= amplitude total; e
k = número de classes.
Substituindo os valores já encontrados nessa 
expressão e considerando o caso do exemplo que 
estamos resolvendo, teremos:
Mas atenção: existem outros procedimentos para a 
determinação da amplitude do intervalo de classe que 
podem ser encontrados na literatura.
Conhecida a amplitude de classes, você deve 
determinar os intervalos de classe. O limite inferior e 
superior das classes deve ser escolhido de modo que 
o menor valor observado esteja localizado no ponto 
médio (PM) da primeira classe. O ponto médio da 
classe corresponde à soma dos limites inferior e superior 
dividido por dois.
Partindo desse raciocínio, o limite inferior da primeira 
classe será:
No nosso caso, substituindo os valores que você 
encontrou anteriormente, teremos:
Definindo, então, o limite inferior da primeira classe 
basta, para você obter as classes da nossa distribuição, 
somar a amplitude do intervalo de classe (c = 5) a cada 
limite inferior.
Assim, você terá:
Com base nesse cálculo, você pode obter uma 
organização dos dados conforme mostra a Tabela 3, a 
seguir:
Tabela 3: Distribuição de frequências do percentual 
dos trabalhadores que contribuem com o INSS em 20 
cidades de uma determinada região do Brasil no ano de 
2008
Na Tabela 3 aparece uma nova denominação 
chamada “frequência”, em que abaixo dela há uma 
coluna repleta de interrogações (?). Vamos aprender a 
calcular valores no lugar dessas interrogações. Podemos 
obter frequências chamadas de frequência absoluta 
(fa), frequência relativa (fr) e frequência acumulada.
A frequência absoluta (fa) corresponde ao número 
de observações que temos em uma determinada classe ou 
em um determinado atributo de uma variável qualitativa. 
A frequência relativa (fr) corresponde à proporção do 
número de observações em uma determinada classe 
em relação ao total de observações que temos. Essa 
frequência podeser expressa em termos porcentuais. 
Para isso, basta multiplicar a frequência relativa obtida 
por 100.
O cálculo da frequência relativa é obtido por meio 
da seguinte expressão:
Sendo:
33
Raciocínio Lógico-Matemático
Já o valor da frequência acumulada relativa da 
segunda classe (0,35) é dado pela soma da frequência 
relativa da primeira classe (0,15) e da frequência relativa 
da segunda classe (0,20), dando um valor acumulado 
para a segunda classe de 0,35.
Distribuição de Frequências de uma Variável 
Qualitativa
Quando você trabalha com variáveis qualitativas, 
os atributos são as variações nominativas da variável. A 
construção da tabela consiste em contar as ocorrências 
dos níveis de cada atributo. O resultado da contagem 
define a frequência absoluta do atributo. Para podermos 
entender isso, tomemos como exemplo uma pesquisa na 
qual se procurou avaliar as frequências de cada gênero 
(homem ou mulher) de uma determinada cidade, que 
considera os serviços prestados pela prefeitura como 
satisfatórios, em uma amostra de 50 pessoas. Esses 
resultados são apresentados na Tabela 6.
Distribuição de Frequências de uma Variável 
Quantitativa Discreta
Tomando-se como exemplo o caso de uma variável 
aleatória discreta (v.a), realizou-se uma pesquisa 
durante 30 dias em um determinado mês com relação 
ao número de reclamações (N.R.) no setor de tributos 
de uma prefeitura considerada como modelo de gestão 
em tributos. Os resultados encontrados você pode 
acompanhar na Tabela 7, a seguir:
Dispondo esses dados em um rol (crescente) temos:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 5 5
Apresentando os dados na forma de distribuição 
de frequência, você consegue sintetizar as informações 
contidas neles, além de facilitar sua visualização. 
Considerando essa discussão, elaboramos a Tabela 4, 
que traz as frequências (fa e fr) relacionadas à variável 
analisada.
Para calcularmos a primeira proporção de 0,15, 
precisamos dividir a frequência da primeira classe (3) 
pelo total de observações
(20). De forma similar, é calculada as proporções das 
outras classes.
Então, como ficaria a interpretação da distribuição de 
frequências?
Se considerarmos ainda a Tabela 4, podemos dizer 
que a porcentagem de trabalhadores que contribuem 
com o INSS entre 43,5% e 58,5%, dos 20 municípios 
avaliados em questão, está concentrada nas classes 
segunda, terceira e quarta, decrescendo em direção às 
classes do início e fim da tabela. A apresentação dos 
dados em forma de distribuição de frequência facilita o 
cálculo manual de várias medidas estatísticas de interesse 
e facilita, também, a apresentação gráfica dos dados.
Além das frequências absolutas e relativas, muitas 
vezes podemos estar interessados na quantidade 
de observações que existe acima ou abaixo de um 
determinado ponto na distribuição.
Dessa forma, você poderá trabalhar com a 
frequência acumulada, como sugere a Tabela 5, que 
apresenta as frequências acumuladas da percentagem 
de trabalhadores que contribuem com o INSS nas 20 
cidades avaliadas.
A frequência acumulada corresponde à soma da 
frequência de uma classe às frequências de todas as 
classes abaixo dela.
A frequência acumulada apresentada na Tabela 
5 pode ser obtida da seguinte forma: abaixo do limite 
superior da primeira classe (43,5), temos três pessoas 
presentes nela, como vimos na Tabela 3 da distribuição de 
frequências absoluta. Quando consideramos a segunda 
classe (43,5 | 48,5), a frequência acumulada corresponde 
ao número de pessoas que temos abaixo do limite 
superior dessa classe (48,5), ou seja, as quatro cidades da 
segunda classe mais as três cidades da primeira classe, 
totalizando sete cidades abaixo de 48,5%. Para as outras 
classes, o raciocínio é semelhante.
34
Raciocínio Lógico-Matemático
Podemos apresentar, a seguir, esses dados em uma 
distribuição de frequências. Nesse caso, não é necessário 
definir intervalos de classes porque a variação dos 
valores é pequena (varia de 0 a 5) e a variável é discreta.
Quando a variável é discreta, mas você tem uma 
quantidade muito grande de valores que ocorrem na 
amostra, então, você irá trabalhar com uma distribuição 
de frequências em classes.
Na Tabela 8, você pode visualizar a distribuição de 
frequências do número de reclamações. Os cálculos das 
frequências absoluta e relativa são obtidos de forma 
semelhantes ao que foi visto anteriormente.
Observe que esses valores da variável discreta 
correspondem a cada uma das classes.
Medidas Descritivas
Tem por objetivo descrever um conjunto de dados 
de forma organizada e compacta que possibilita a 
visualização do conjunto estudado por meio de suas 
estatísticas, o que não significa que estes cálculos e 
conclusões possam ser levados para a população.
Podemos classificar as medidas de posição conforme 
o esquema abaixo:
Medidas de Posição
Representativas (Médias)
São medidas descritivas que tem por finalidade 
representar um conjunto de dados.
a) Média Aritmética: Amostral ; Populacional (m)
Dados Não Tabelados
Dados Tabelados com Valores Ponderados
Média Aritmética Ponderada (Xw ), (onde Wi é o 
peso)
Distribuição de frequências
- Média Aritmética 
Características da Média Aritmética Simples
1a) A Média Aritmética Simples deverá estar entre o 
menor e o maior valor observado,
2a) A soma algébrica dos desvios calculados entre os 
valores observados e a média aritmética é igual a zero; 
desvios 
3a) Somando-se ou subtraindo-se todos os valores 
(Xi) da série por uma constante “k” , a nova 
média aritmética será igual a média original somada ou 
subtraída por esta constante “k”.
4a) Multiplicando-se ou dividindo-se todos os 
valores (Xi) da série por uma constante 
, a nova média aritmética será igual a média original 
multiplicada ou dividida por esta constante “k”.
35
Raciocínio Lógico-Matemático
Separatrizes (Mediana, Quartis, Decis e Centis ou 
Percentis)
São medidas de posição que divide o conjunto de 
dados em partes proporcionais, quando os mesmos são 
ordenados.
a) Dados não tabelados
Antes de determinarmos as separatrizes devemos 
em primeiro lugar encontrar a posição da mesma.
- Se o número de elementos for par ou ímpar, as 
separatrizes seguem a seguinte ordem:
Dados Tabelados
b) Distribuição de frequências pontual: segue a 
mesma regra usada para dados não tabelados
c) Distribuição de frequências intervalar
onde:
Emprego da mediana
1) Quando se deseja obter um ponto que divide a 
distribuição em partes iguais;
2) Há valores extremos que afetam de uma maneira 
acentuada a média;
3) A variável em estudo é salário.
Dominantes - Moda (Mo)
É definida como sendo a observação de maior 
frequência.
a) Dados não tabelados
Acima de 3 modas usamos o termo multimodal.
b) Média Geométrica: (Xg):
A aplicação da média geométrica deve ser feita, 
quando os valores do conjunto de dados considerado se 
comportam segundo uma progressão geométrica (P.G.) 
ou dela se aproximam.
Dados Não Tabelados
Dados tabelados
Usando um artifício matemático, pode-se usar para 
calcular a média geométrica a seguinte fórmula:
c) Média Harmônica (Xh)
É usada para dados inversamente proporcionais.
Ex.: Velocidade Média, Preço de Custo Médio
Emprego da média
1) Deseja-se obter a medida de posição que possui 
a maior estabilidade;
2) Houver necessidade de um tratamento algébrico 
ulterior.
Dados Não Tabelados
Dados Tabelados
Deve-se observar esta propriedade entre as médias 
36
Raciocínio Lógico-Matemático
Dados Tabelados
a) Distribuição de frequências pontual
- Moda Bruta 
b) Distribuição de frequências intervalar
- Moda de Czuber (Moc): O processo para determinar 
a moda usado por Czuber leva em consideração as 
frequências anteriores e posteriores à classe modal.
onde:
- Moda de King (Mok): O processo proposto por 
King considera a influência existente das classes anterior 
e posterior sobre a classe modal. A inconveniência deste 
processo é justamente não levar em consideração a 
frequência máxima.
- Moda de Pearson(Mop): O processo usado 
por Pearson pressupõe que a distribuição seja 
aproximadamente simétrica, na qual a média aritmética 
e a mediana são levadas em consideração.
Um distribuição é considerada simétrica quando 
.
Emprego da moda
1) Quando se deseja obter uma medida rápida e 
aproximada de posição;
2) Quando a medida de posição deve ser o valor 
mais típico da distribuição.
Posição relativa da média, mediana e moda
Quando uma distribuição é simétrica, as três medidas 
coincidem. Porém, a assimetria torna-as diferentes e essa 
diferença é tanto maior quanto maior é a assimetria. 
Assim, em uma distribuição temos:
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Visam descrever os dados no sentido de informar 
o grau de dispersão ou afastamento dos valores 
observados em torno de um valor central representativo 
chamado média. Informa se um conjunto de dados 
é homogêneo (pouca variabilidade) ou heterogêneo 
(muita variabilidade).
As medidas de dispersão podem ser:
Para estudarmos as medidas de variabilidade para 
dados não tabelados usaremos um exemplo prático. 
Supomos que uma empresa esteja querendo contratar 
um funcionário, e no final da concorrência sobraram dois 
candidatos para uma única vaga. Então foi dado 4 tarefas 
para cada um, onde as mesmas tiveram como registro o 
tempo (em minutos) de execução.
- Análise Gráfica
- Medidas de dispersão Absoluta:
- Desvio Extremo ou Amplitude de Variação 
(H): É a diferença entre o maior e o menor valor de um 
conjunto de dados
37
Raciocínio Lógico-Matemático
(n - 1) é usado como um fator de correção, onde 
devemos considerar a variância amostral como uma 
estimativa da variância populacional.
- Propriedades da Variância
1ª) Somando-se ou subtraindo-se uma constante k a 
cada valor observado a variância não será alterada;
2ª) Multiplicando-se ou dividindo-se por uma 
constante k cada valor observado a variância ficará 
multiplicada ou dividida pelo quadrado dessa constante.
Outra forma de calcular o desvio padrão
O desvio padrão mede bem a dispersão de um 
conjunto de dados, mas é difícil de calcular. Então, você 
pode obter o desvio padrão através da seguinte relação:
Onde R é a amplitude e o valor de d2, que depende 
do tamanho da amostra, é encontrado na tabela a seguir. 
Este método de calcular o desvio padrão fornece boas 
estimativas para amostras de pequeno tamanho (n=4, 5 
ou 6), mas perde a eficiência se n>10. De qualquer forma, 
é essa relação entre a amplitude e o desvio padrão de 
uma amostra que permite fazer gráficos de controle X -R.
TABELA 1: - Fatores para construir um gráfico de 
controle
Medidas de Dispersão Relativa
É a medida de variabilidade que em geral é expressa 
em porcentagem, e tem por função determinar o 
grau de concentração dos dados em torno da média, 
geralmente utilizada para se fazer a comparação entre 
dois conjuntos de dados em termos percentuais, esta 
comparação revelará o quanto os dados estão próximos 
ou distantes da média do conjunto de dados.
- Variância Relativa
- Coeficiente de Variação de Pearson
Momentos, assimetria e curtose
As medidas de assimetria e curtose complementam 
as medidas de posição e de dispersão no sentido de 
proporcionar uma descrição e compreensão mais 
Para dados não tabelados
Para dados tabelados
- Desvio Quadrático ou Variância:
 
Para dados não tabelados:
Para dados tabelados
- Desvio Padrão: 
Para dados não tabelados:
Para dados tabelados
38
Raciocínio Lógico-Matemático
completa das distribuições de frequências. Estas 
distribuições não diferem apenas quanto ao valor médio 
e à variabilidade, mas também quanto a sua forma 
(assimetria e curtose).
Para estudar as medidas de assimetria e curtose, 
é necessário o conhecimento de certas quantidades, 
conhecidas como momentos.
Momentos
São medidas descritivas de caráter mais geral e 
dão origem às demais medidas descritivas, como as 
de tendência central, dispersão, assimetria e curtose. 
Conforme a potência considerada tem-se a ordem ou o 
grau do momento calculado.
- Momentos simples ou centrados na origem (mr)
O momento simples de ordem “r” é definido como:
onde:
r é um número inteiro positivo;
m0 = 1;
m1 = média aritmética.
- Momentos centrados na média (Mr)
O momento de ordem “r” centrado na média, é 
definido como:
Onde: M0 = 1;
M1 = 0;
M2 = variância .
- Momentos abstratos 
São definidos da seguinte forma:
onde: s = desvio padrão.
Assimetria
Uma distribuição de valores sempre poderá ser 
representada por uma curva (gráfico). 
Essa curva, conforme a distribuição, pode apresentar 
várias formas. Se considerarmos o valor da moda da 
distribuição como ponto de referência, vemos que esse 
ponto sempre corresponde ao valor de ordenada máxima, 
dando-nos o ponto mais alto da curva representativa da 
distribuição considerada, logo a curva será analisada 
quanto à sua assimetria.
- Distribuição Simétrica: É aquela que apresenta a 
 e os quartis Q1 e Q3 equidistantes do 
Q2.
- Distribuição Assimétrica
Podemos medir a assimetria de uma distribuição, 
calculando os coeficientes de assimetria. Sendo o mais 
utilizado o Coeficiente de Assimetria de Pearson.
Quando não tivermos condições de calcularmos o 
desvio padrão podemos usar a seguinte fórmula:
- Coeficiente momento de assimetria : É o 
terceiro momento abstrato.
O campo de variação do coeficiente de assimetria é: 
- Intensidade da assimetria:
39
Raciocínio Lógico-Matemático
10. TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM: AMOSTRA-
GEM ALEATÓRIA SIMPLES, ESTRATIFICADA, 
SISTEMÁTICA E POR CONGLOMERADOS. 
10.1 TAMANHO AMOSTRAL.
A amostragem é o processo de selecionar um grupo 
de indivíduos de uma população, a fim de estudar e ca-
racterizar a população total.
A ideia é bastante simples. Imagine que você quer 
saber uma informação sobre um universo ou popula-
ção, por exemplo, qual a porcentagem de fumantes no 
México. Uma maneira de obter essa informação é entrar 
em contato com todos os habitantes do México (122 mi-
lhões de pessoas) e perguntar se são fumantes. A outra 
maneira é selecionar um subconjunto de indivíduos (por 
exemplo, 1.000 pessoas) e perguntar se eles fumam.
O grupo de 1.000 pessoas formam uma amostra e 
a maneira como eu seleciono este grupo é chamado de 
amostragem.
No trecho anterior, introduzimos dois termos-chave 
nessa série de posts:
•	 Universo ou população: O número total 
de pessoas que desejam estudar ou caracterizar. No 
exemplo acima, é a população do México, mas podemos 
pensar em todos os tipos de universos, mais gerais e 
mais específicos. Por exemplo, se eu quero saber quantos 
cigarros os mexicanos fumam, o universo, neste caso, 
seria “fumantes de México”.
•	 Amostra: O grupo de indivíduos do universo 
selecionados para o estudo, geralmente através de um 
questionário.
Por quê a amostragem funciona?
A amostragem é útil, pois permite acompanhar um 
processo inverso que chamamos de generalização. Para 
conhecer um universo, o que fazemos é: (1) Extrair uma 
amostra do mesmo, (2) Medir um dado ou opinião, (3) 
Projetar no universo o resultado observado na amostra. 
Esta projeção ou extrapolação recebe o nome de gene-
ralização dos resultados.
A generalização dos resultados pode apresentar 
algumas discrepâncias. Suponhamos que temos uma 
amostra aleatória de 1.000 pessoas, onde 25% da amos-
tra fuma. A simples lógica nos diz que de 1.000 mexi-
canos entrevistados, 25% são fumantes. Se analisarmos 
112 milhões de mexicanos, o número de fumantes de-
veria representar a mesma porcentagem de 25%. No 
entanto, deve-se tomar muito cuidado, pois através do 
acaso, poderíamos ter selecionados mais ou menos pes-
soas fumantes para representar a amostra. É muito co-
mum encontrar resultados diferentes na amostra (25,2% 
de fumantes, por exemplo). Ou seja, a generalização dos 
resultados de uma amostra permite que o universo acei-
te alguns erros, conforme ilustra a figura abaixo:
Curtose
Já apreciamos as medidas de tendência central, de 
dispersão e de assimetria. Falta somente examinarmos 
mais uma das medidasde uso comum em Estatística, 
para se positivarem as características de uma distribuição 
de valores: são as chamadas Medidas de Curtose ou de 
Achatamento, que nos mostra até que ponto a curva 
representativa de uma distribuição é a mais aguda ou 
a mais achatada do que uma curva normal, de altura 
média.
- Curva Mesocúrtica (Normal): É considerada a 
curva padrão.
- Curva Leptocúrtica: É uma curva mais alta do 
que a normal. Apresenta o topo relativamente alto, 
significando que os valores se acham mais agrupados 
em torno da moda.
- Curva Platicúrtica: É uma curva mais baixa do que 
a normal. Apresenta o topo achatado, significando que 
várias classes apresentam frequências quase iguais.
- Coeficiente de Curtose
Coeficiente momento de curtose : 
Corresponde ao momento abstrato de quarta ordem.
Onde: M4 = momento centrado de quarta ordem.
Interpretação:9
9 Fonte: www.fm2s.com.br/www.oestatistico.com.br/www.each.usp.br/www.
inf.ufsc.br/www.pt.wikipedia.org/www.cesadufs.com.br/www.professores.uff.br/
www.wiki.icmc.usp.br
40
Raciocínio Lógico-Matemático
Felizmente, o erro cometido pela generalização de 
resultados pode ser limitado através de estatísticas. Para 
isso, usamos dois parâmetros: a margem de erro (di-
ferença máxima entre os dados observados na minha 
amostra e os dados reais do universo) e o nível de con-
fiança (nível de certeza sobre os dados reais que está 
dentro da margem de erro).
Por exemplo, no caso dos fumantes mexicanos, se 
selecionamos uma amostra de 471 indivíduos e pergun-
tamos se eles fumam, o resultado obtido será uma mar-
gem de erro máxima de + 5% com um nível de confiança 
de 97%. Esta forma de expressar os resultados é correta 
quando se utiliza a amostragem.
O tamanho da amostra
Qual o tamanho da amostra que eu preciso para es-
tudar um universo? Depende do tamanho do universo e 
do nível de erro que você está disposto a aceitar. Quan-
to mais alta for a precisão, maior será a amostra necessá-
ria. Se você quiser ter absoluta certeza no resultado, até 
a última casa decimal, a amostra precisar ser tão grande 
quanto o universo.
Mas o tamanho da amostra tem uma propriedade 
fundamental que explica o porquê a amostragem utiliza 
diversas áreas do conhecimento. Esta propriedade pode 
ser resumida da seguinte forma: a medida que estuda-
mos universos maiores, o tamanho da amostra cada vez 
mais representa uma porcentagem menor desse univer-
so.
Suponhamos que queremos fazer uma pesquisa 
para encontrar uma porcentagem (% de pessoas que 
fumam) com uma margem de erro de 5% e uma mar-
gem de confiança de 95%. Se o universo estudado en-
globar 100 pessoas, a amostra teria 79,5 indivíduos (ou 
seja, 79,5% do universo, que representa uma parte muito 
importante de todo o universo). Se o universo fosse de 
1.000 pessoas, a minha amostra seria de 277,7 pessoas 
(27,7% do universo). E se o meu universo fosse 100.000, 
a amostra necessária seria de 382,7 pessoas (3,83% do 
universo).
Portanto, à medida que o universo for maior, a amos-
tra deve crescer de forma desproporcional, com a ten-
dência de estagnar, cada vez mais representando uma 
porcentagem menor do universo. Na verdade, a partir de 
um certo tamanho do universo (cerca de 100.000 indiví-
duos), o tamanho da amostra não cresce mais, conforme 
observamos no exemplo abaixo:
Tamanho da amostra necessária para obter nível de 
erro em 5% e nível de confiança em 95%
Os dados acima ilustram que não importa quão 
grande é o tamanho do universo, por exemplo, com 385 
pessoas é possível estudar todos os dados com o mes-
mo nível de erro (margem de 5% e 95% de confiança). 
Por esta razão, a amostragem é tão poderosa: podemos 
afirmar dados altamente precisos de um grande número 
de indivíduos através de uma pequena parte do todo.
Em contrapartida, a amostragem não funciona mui-
to bem em pequenos universos. Se eu tiver uma clas-
se de 10 alunos, a opinião de cada um é fundamental 
para compreender a opinião global, não pode deixar de 
lado nenhum indivíduo. Para não apresentar falhas neste 
caso, é preciso considerar o universo de 10 indivíduos e 
examinar todos.
Vantagens e inconvenientes da amostragem:
Vantagens:
- Necessita estudar menos indivíduos e apresenta 
menos recursos (tempo e dinheiro);
- A manipulação de dados é muito mais simples. Se 
uma amostra de 1.000 pessoas é suficiente, para que eu 
preciso analisar um arquivo com milhões de registros?
Inconvenientes:
- Existe um erro controlado no resultado, devido 
a própria natureza da amostragem e a necessidade de 
generalizar os resultados;
Há um risco de má seleção da amostra. Por exemplo, 
se eu não selecionar os indivíduos de forma aleatória, 
meus resultados podem ser seriamente afetados.
A amostra aleatória simples: definição e 
alternativas
A teoria de amostragem baseia-se no conceito da 
amostra aleatória simples. É aquela amostra que sele-
ciona indivíduos do universo de forma completamente 
aleatória. Sendo assim, todos os indivíduos devem ter a 
idêntica probabilidade (sem ser nula) de serem selecio-
nados na amostra.
Uma coisa é a teoria e a outra é a prática. Apenas em 
ambientes muito controlados é possível fazer com que 
as amostras sejam aleatórias. Além disso, quando temos 
universos compostos por grupos homogêneos (entre si) 
de pessoas, podemos aproveitar esse grupo para melho-
rar a qualidade da minha amostra (ou reduzir o tamanho 
dela).
Amostragem probabilística: Amostra estratifica-
da
Agora vamos explorar a amostra estratificada.
41
Raciocínio Lógico-Matemático
Se usamos a amostra estratificada proporcional, a 
amostra deverá obter camadas que obtenham as mes-
mas proporções observadas na população. Se queremos 
criar uma amostra de 1.000 indivíduos, os estratos preci-
sam ter este tamanho:
Estrato População Proporção Amostra
1 42,4M 41,0% 410
2 37,6M 36,3% 363
3 23,5M 22,7% 227
(2) Amostra estratificada uniforme
Para definir uma amostra uniforme, é necessário 
atribuir o mesmo tamanho de amostra para todas as 
camadas, independentemente do peso dos estratos da 
população. Continuando com o exemplo acima, a amos-
tragem estratificada uniforme definiria a seguinte amos-
tra por estrato:
Estrato População Proporção Amostra
1 42,4M 41,0% 334
2 37,6M 36,3% 333
3 23,5M 22,7% 333
Esta técnica favorece os estratos que têm menor 
peso na população, equivalendo a importância dos es-
tratos mais relevantes. Globalmente, reduz a eficiência 
da nossa amostra (resultados menos precisos), mas em 
troca, permite estudar características de cada camada de 
forma mais eficiente. No nosso exemplo, se emitirmos 
uma declaração específica sobre a população do estrato 
3 (mais de 44 anos), podemos fazê-lo com menor erro 
de amostragem.
 
(3) Amostra estratificada ótima (a respeito do 
desvio-padrão)
Neste caso, o tamanho das camadas da amostra não 
será proporcional com a população. Por outro lado, o 
tamanho das camadas é definido em proporção com o 
desvio-padrão das variáveis estudadas. Isto é, se obtêm 
camadas maiores dos estratos com maior variabilidade 
interna para representar melhor o total da amostra nos 
grupos populacionais mais difíceis de estudar.
Eficiência dos diferentes tipos de amostras estra-
tificadas
As perguntas inevitáveis são: Quando devemos usar 
a estratificação? Que tipo de estratificação é mais con-
veniente?
- A amostra estratificada proporcional produz 
um erro amostral menor ou igual a amostra aleatória 
simples, é mais precisa. A igualdade ocorre quando 
as médias ou as proporções que estamos analisando 
são iguais em todos os níveis dos estratos. Portanto, 
a estratificação produz mais benefícios quanto mais 
diferentes as camadas são.
- A amostragem estratificada ótima é sempre 
igual ou mais precisa que a amostra estratificada 
proporcional. Ambos os métodos são igualmente 
precisos quando os desvios-padrão são iguais dentro 
de cada camada, neste caso ambos os métodos são 
completamente equivalentes. A estratificação ótima 
produz mais benefícios quando maior for o número de 
Estatécnica pertence a família de amostras proba-
bilísticas e consiste em dividir toda a população ou o 
“objeto de estudo” em diferentes subgrupos ou estratos 
diferentes, de maneira que um indivíduo pode fazer 
parte apenas de um único estrato ou camada. Após 
as camadas serem definidas, para criar uma amostra, se-
lecionam-se indivíduos utilizando qualquer técnica de 
amostragem em cada um dos estratos de forma separa-
da. Por exemplo, se usamos a amostra aleatória simples 
em cada estrato, estamos falando de amosta aleatória 
estratificada (M.A.E. que veremos mais para frente). Po-
demos usar outras técnicas de amostragem em cada es-
trato (amostra sistemática, aleatória, com reposição, etc).
As camadas ou estratos são grupos homogêneos de 
indivíduos, que por sua vez, são heterogêneos entre di-
ferentes grupos. Por exemplo, se num estudo esperamos 
encontrar um comportamento diferente entre homens 
e mulheres, é conveniente definir duas camadas, uma 
para cada gênero. Se a seleção desses estratos for cor-
reta, encontraremos: (1) os homens devem se compor-
tar de forma muito semelhante entre si, (2) as mulheres 
devem se comportar de forma muito parecida entre si e 
(3) homens e mulheres devem mostrar comportamentos 
diferentes entre si.
Se a condição comentada anteriormente é cumprida 
de forma correta (estratos internamente homogêneos e 
heterogêneos entre si), o uso da amostragem aleatória 
estratificada reduz o erro amostral, melhorando a preci-
são dos resultados ao realizar um estudo sobre a amos-
tra.
É relativamente habitual definir os estratos de acor-
do com algumas variáveis características da população, 
tais como: idade, sexo, classe social ou região geográfica. 
Essas variáveis permitem dividir facilmente a amostra em 
grupos mutuamente exclusivos e frequentes, permitem 
discriminar comportamentos diferentes dentro da popu-
lação.
Tipos de amostra estratificada
Dependendo do tamanho atribuído as camadas, es-
tamos falamos sobre os diferentes tipos de amostragem 
estratificada. Também é costume falar sobre diferentes 
formas de definir as camadas da amostra.
 
(1) Amostra estratificada proporcional
Quando selecionamos uma característica dos indiví-
duos para definir camadas, frequentemente o tamanho 
resultante das subpopulações do universo são diferen-
tes. Por exemplo, queremos estudar a % da população 
fumante no México e estipulamos que a idade pode ser 
um bom critério para a estratificação (ou seja, existem 
diferenças significativas de fumantes de acordo com a 
idade). Definimos três camadas: menores de 20 anos, 20 
a 44 e superiores a 44 anos.
É de se esperar que, ao dividir a população mexi-
cana, essas 3 camadas não resultam em grupos de ta-
manhos iguais. Na verdade, se olharmos para os dados 
oficiais, obtemos:
* Estrato 1 - População mexicana menor de 19 anos: 
42,4 milhões (41,0%)
* Estrato 2 - População mexicana de 20 a 44 anos: 
37,6 milhões (36,3%)
* Estrato 3 - População mexicana maior de 44 anos: 
23,5 milhões (22,7%)
42
Raciocínio Lógico-Matemático
diferenças entre cada grupo, situação que podemos reduzir o tamanho da amostra dos grupos mais homogêneos para 
beneficiar os mais heterogêneos. Em contrapartida, é um método complexo que exige ter muita informação antes de 
se obter a amostra estudada, algo que normalmente não temos.
Tamanhos de amostras necessárias para cada técnica
Vemos que a estratificação pode proporcionar benefícios. Se essas técnicas podem ser usadas para estimar as 
médias de forma mais precisa (p.e.média de cigarros consumidos pelos fumantes do México) ou proporções (p.e. pro-
porção da população do México que fuma), também podem permitir reduzir o tamanho da amostra necessária para 
alcançar uma estimação com um nível de erro determinado.
A seguinte tabela resume o tamanho da amostra para cada técnica, em função do erro máximo que estamos 
dispostos a aceitar e as características do próprio universo, que consideraremos um tamanho infinito (se fosse finito, 
teríamos que aplicar um fator de correção):
Para interpretar o quadro, é necessário saber:
- L é o número de camadas que dividimos a amostra e h é um índice que se refere a um estrato concreto. Ou seja, 
h pode variar entre 1 a L estratos.
- p é a proporção que buscamos no total da população (p.e. % de fumantes). (1-p) é a proporção da amostra 
complementar, que não cumpre o critério buscado (não fumantes). Do mesmo modo, ph é a proporção dentro de cada 
uma das camadas.
- σ2 é a variável do dado que buscamos (no caso de estimar as médias) que tem o total da população. σh
2 é a 
variável dentro de cada camada.
- e é a margem de erro aceita.
- Wh é o peso que o estrato/camada tem na amostra (tamanho do estrato a respeito do total da amostra). 
Se falamos sobre amostra estratificada proporcional, cada Wh é igual a proporção que esta camada representa na 
população. Se falamos da amostra estratificada ótima, cada Wh se calcula em função da dispersão dentro de cada 
camada.
É possível demonstrar a partir das fórmulas anteriores que os diferentes métodos de estratificação só reduzem o 
tamanho da amostra se os valores de p e σ variam entre camadas. Do contrário, todas as expressões são equivalen-
tes. Vejamos um exemplo: expressão do tamanho da amostra necessário para estimular uma média mediante a uma 
amostra estratificada ótima
e consideramos que todas as variáveis das camadas são iguais (σh=σ) e o tamanho das camadas são idênticas 
(Wh=1/L), o resultado que obtemos é:
43
Raciocínio Lógico-Matemático
Amostra probabilística: Amostra sistemática
Anteriormente, quando a informática não estava tão desenvolvida, a amostra sistemática era muito popular. An-
tigamente existia inúmeros problemas que quebravam a cabeça dos pesquisadores: selecionar de forma aleatória 
dentro de uma amostra. A medida que os computadores facilitaram esta tarefa de gerar números aleatórios, essa 
dificuldade desapareceu.
Esta técnica continua sendo utilizada para selecionar indivíduos a longo prazo. Por exemplo, para estudar a satis-
fação de um serviço, podemos eleger sistematicamente e perguntar a 1 de cada N clientes que nos visitam. Nessas 
circunstancias onde pode existir diferentes variáveis entre os indivíduos em diferentes períodos de tempo, a amostra 
sistemática pode ser mais precisa que a amostra aleatória pura.
Em que consiste a amostra sistemática?
É uma técnica dentro da categoria de amostragem probabilística – que requer certo controle do marco amostral 
entre os indivíduos selecionados junto com a probabilidade que sejam selecionados – consiste em escolher um in-
divíduo inicialmente de forma aleatória entre a população e, posteriormente, selecionar para amostra cada enésimo 
indivíduo disponível no marco amostral.
A amostra sistemática é um processo muito simples e que só requer a seleção de um indivíduo aleatório. O restan-
te é um processo rápido e simples. Os resultados obtidos são representativos da população, de forma similar a amostra 
aleatória simples, sempre quando não exista nenhum fator intrínseco na forma que os indivíduos estão listados e que 
se reproduzam certas características populacionais em cada número especifico de indivíduos. Esse sucesso realmente 
é pouco frequente.
O processo
De forma concreta, o processo que seguiríamos numa amostra sistemática seria:
1- Elaborar uma lista ordenada dos N indivíduos da população (marco amostral).
2- Dividir o marco amostral em N fragmentos, onde N é o tamanho da amostra que desejamos. O tamanho 
desses fragmentos será:
K=N/n
3- Número de início: obtemos um número aleatório inteiro A, menor ou igual ao intervalo. Este número cor-
responderá ao primeiro sujeito que iremos selecionar para a amostra dentro do primeiro fragmento que dividimos a 
população.
4- Seleção dos N-1 indivíduos restantes: Selecionamos os seguintes indivíduos a partir do indivíduo elegido 
aleatoriamente, mediante uma sucessão aritmética, selecionando aos indivíduos do resto do fragmento que dividimos 
a amostra, onde está o sujeito inicial.Selecionaremos os indivíduos:
A, A + K, A + 2K, A + 3K, ...., A + (n-1)K
Exemplo
Suponhamos um marco amostral de 5.000 indivíduos e desejamos obter uma amostra com 100 deles. Em primeiro 
lugar, dividimos o marco amostral em 100 fragmentos de 50 indivíduos. Selecionamos um número aleatório entre 
1 e 50 para extrair o primeiro indivíduo de forma aleatória: por exemplo o número 24. A partir deste indivíduo, está 
definida como será extraída a amostra, com intervalos de 50 unidades, conforme a equação: 24, 74, 124, 174, …, 4.974
Propriedades da amostra sistemática
As principais vantagens são:
- Obtém boas propriedades de representatividade, similar a amostragem aleatória simples, porém de forma mais 
rápida e simples, evitando a necessidade de gerar tantos números aleatórios como indivíduos na amostra.
- Pode garantir uma seleção perfeitamente equivalente a população. Isto pode ser uma utilidade se os grupos 
dentro dos universos se distinguem, evitando a necessidade de usar camadas/estratos. Se existe diferentes variáveis 
entre os indivíduos dos fragmentos, essa amostra pode ser melhor que a aleatória. Logo vamos demonstrar.
Como desvantagem, só existe a possibilidade que a ordem dos candidatos listados na amostra tenha algum tipo 
de periodicidade oculta que coincida com o intervalo escolhido para gerar a amostra sistemática. Neste caso, podemos 
gerar uma amostra duvidosa.
44
Raciocínio Lógico-Matemático
Eficiência da amostra sistemática
A amostra sistemática foi idealizada para aperfeiçoar 
as propriedades da amostra aleatória simples, porém o 
grau melhora de acordo com as propriedades do univer-
so estudado.
Para entender as propriedades de amostragem, de-
vemos:
Se prestamos atenção no intervalo ou coeficiente 
de elevação de acordo com o tamanho da amostra que 
necessitamos, só há um elemento aleatório dentro do 
processo de amostragem: a unidade inicial que selecio-
namos do primeiro bloco de indivíduos. O resto continua 
fixo. Quer dizer que: só temos K possibilidades de obter 
amostras diferentes, e para obter a amostra é só escolher 
K de amostras disponíveis.
É possível demonstrar que quanto maior a variação 
dentro das K possibilidades de amostras, mais precisão 
ganhamos usando a amostragem sistemática em relação 
a amostragem simples.
A amostra sistemática é mais precisa que a aleató-
ria simples quando a variabilidade dentro das possíveis 
amostras é superior a variabilidade dentro das unidades 
da população. A precisão da amostra sistemática coinci-
de com a aleatória simples quando ambas variabilidades 
coincidem, ou seja, quando os elementos da população 
são totalmente aleatórios.
Amostra probabilística: Amostra por conglome-
rados
A amostra por conglomerados é uma técnica que 
explora existência de grupos (clusters) na população. 
Esses grupos representam adequadamente a população 
total em relação a característica que queremos medir. 
Em outras palavras, estes grupos contêm variabilidade 
da população inteira. Se isso acontecer, você pode sele-
cionar apenas alguns desses conglomerados para reali-
zar o estudo, conforme ilustra a figura.
Podemos ver esta técnica a partir de outro ponto de 
vista. Enquanto todas as técnicas de amostragem estu-
dadas até agora as unidades da amostra coincidem com 
os indivíduos a serem estudados, na amostra por con-
glomerados, a unidades de amostra são grupos do estu-
do, o que pode ser muito benéfico em relação ao custo 
de amostragem em si. Em troca, é comum obter uma 
menor precisão ao utilizar esta técnica, causada pela fal-
ta de heterogeneidade dentro dos conglomerados.
O processo da amostra
O primeiro passo para aplicar essa técnica consiste 
em definir os aglomerados. Trata-se de identificar uma 
característica que permita dividir a população em gru-
pos distintos (não sobrepostos) e exaustivos (todos os 
indivíduos devem estar em um grupo), de modo que os 
grupos não diferem em relação ao que queremos medir. 
Uma vez que tenhamos definido esses agrupamentos, 
basta selecionar aleatoriamente alguns deles para estu-
do.
Um critério bastante habitual para definir os con-
glomerados são os clusters geográficos. Por exemplo, se 
queremos estudar qual a proporção de argentinos que 
fumam, podemos dividir o total da população em pro-
víncias e selecionar algumas delas para estudo. Se não 
temos um parâmetro para a % de fumantes, que poderia 
variar de uma província a outra, esta solução vai permitir 
uma concentração de amostragem em uma única área 
geográfica. Se o estudo for realizado através de entre-
vistas pessoais, esta técnica representaria uma economia 
significativa nos custos de viagem.
Uma vez definido os conglomerados, o próximo 
passo é selecionar os grupos para realizar o estudo, por 
amostragem aleatória simples ou amostragem sistemá-
tica.
Por último, uma vez que selecionados os conglo-
merados, podemos pesquisar a todos os indivíduos que 
formam parte dos mesmos grupos, ou aplicar uma ou-
tra técnica de amostragem dentro do cluster, como por 
exemplo, realizar uma amostragem aleatória simples ou 
sistemática. Se optarmos por essa possibilidade, esta-
mos falando de uma amostra de duas etapas ou bietá-
pica: a primeira etapa é a seleção do conglomerado e a 
segunda é a dos indivíduos dentro do cluster. Se em vez 
disso, estudarmos todos os indivíduos conglomerados, 
estaremos realizando uma amostragem por conglome-
rados unietápica.
Amostra estratificada e amostra por conglome-
rados
A essência da amostra por conglomerados lembra 
um pouco a amostragem estratificada. Em ambos os ca-
sos nós dividimos a população em grupos. No entanto, 
os princípios posteriores das duas técnicas são opostos.
A amostragem estratificada é particularmente ade-
quada quando os grupos (camadas) são internamente 
homogêneos e muito diferentes. Nesse caso, devemos 
garantir que temos representantes em nossa amostra 
que vêm de todos os estratos. Por outro lado, a amostra-
gem por conglomerados é adequada quando os grupos 
que formam a população são muito semelhantes entre 
si, por isso não há grande diferença entre estudar indiví-
duos em um grupo ou de outro. É por isso que, embo-
ra ambas as técnicas dividem a população (estratos ou 
aglomerados), o processo de seleção dos indivíduos é 
radicalmente diferente.
Benefícios da amostra por conglomerados
- A principal vantagem desta técnica é a parte 
operacional: selecionar um conglomerado costuma 
ser mais fácil e mais barato do que fazer uma amostra 
aleatória ou sistemática. Usar clusters geográficos 
podem representar uma economia significativa no 
deslocamento.
45
Raciocínio Lógico-Matemático
- A principal desvantagem é o risco dos clusters não 
serem realmente homogêneos entre eles. No exemplo 
citado anteriormente, poderia acontecer de em uma das 
províncias ser mais propensas o número de fumantes 
por ser uma área mais urbana ou outras razões culturais.
Como podemos comparar esta técnica com as 
demais?
Normalmente essa relação poderá ser representada 
pelo coeficiente de correlação entre os conglomera-
dos (δ), definido como o coeficiente de correlação linear 
entre todos os pares de valores das variáveis do estudo, 
medidos através das unidades dos conglomerados e es-
tendido a todos os grupos. Em síntese, este coeficiente é 
uma medida de homogeneidade dentro de clusters.
Quanto menor o coeficiente de homogeneidade en-
tre conglomerados δ, maior eficiência terá a amostra-
gem por conglomerados. Vale lembrar que o ideal é que 
os conglomerados sejam heterogêneos como a amostra 
total, de modo que a seleção de um conglomerado nos 
forneça a mesma informação que a seleção dos indiví-
duos da população aleatória total.
Comparando a amostra aleatória simples com a 
amostragem por conglomerados, se δ =0 , podemos 
afirmar que os métodos são equivalentes. Esta condição 
implica que os clusters são tão heterogêneos como a 
população total. O pior caso seria δ=+1, e o caso mais 
favorável seria δ=-1/(M-1), onde M é o tamanho do 
conglomerado. No entanto, δ normalmenteserá sempre 
maior do que 0, pois um conglomerado sempre tem 
alguma semelhança uns com os outros.
Outra forma de ver o impacto deste problema é 
calcular o tamanho da amostra necessário para obter a 
mesma precisão de amostragem aleatória simples. Seria 
a expressão seguinte:
nc = na (1 + (M-1) δ)
Onde nc é o tamanho da amostra por conglomerado 
e na é o tamanho da amostra necessária para a amostra-
gem aleatória simples. Portanto, (1+(M-1) δ é a variação 
do tamanho da amostra necessária devido ao uso de 
aglomerados. Normalmente, este será um incremento. 
Este fator é conhecido como efeito de desenho.
Amostragem não probabilística: Amostra por 
conveniência
A amostragem não probabilística. Vale recordar que 
este tipo de amostragem é utilizado quando não temos 
acesso a lista completa dos indivíduos que formam a 
população (marco amostral), portando não sabemos a 
probabilidade que cada indivíduo ser selecionado para a 
amostra. A principal consequência dessa falta de infor-
mação é que não podemos generalizar resultados com 
precisão estatística.
Amostra por conveniência
Esta técnica é muito comum e consiste em selecio-
nar uma amostra da população que seja acessível. Ou 
seja, os indivíduos empregados nessa pesquisa são se-
lecionados porque eles estão prontamente disponíveis, 
não porque eles foram selecionados por meio de um 
critério estatístico. Geralmente essa conveniência repre-
senta uma maior facilidade operacional e baixo custo de 
amostragem, porém tem como consequência a incapa-
cidade de fazer afirmações gerais com rigor estatístico 
sobre a população.
Por exemplo, suponhamos que você quer saber 
a opinião de estudantes universitários chilenos sobre 
política. Para realizar uma amostra probabilística, seria 
necessário ter acesso a todos os estudantes universitá-
rios chilenos, selecionar um grupo aleatório e realizar a 
pesquisa. Já para realizar uma amostra por conveniência, 
poderíamos abordar três universidades próximas, sim-
plesmente porque representam o local onde a popula-
ção da pesquisa “reside” e perguntar a alguns estudan-
tes do período matutino que concordam em participar.
As limitações desse tipo de amostragem são óbvias. 
Analisando o exemplo anterior, poderia ocorrer que as 
universidades tenham diferentes estratos sociais e pon-
tos de vista políticos. Além disso, se eu selecionar 3 estu-
dantes no período da manhã, pode ser que eles tenham 
opiniões distintas dos estudantes do período vespertino 
e noturno.
Isso significa que os resultados de uma amostra por 
conveniência são totalmente irrelevantes e não diz nada 
da população? Não exatamente. Temos boas razões para 
acreditar que a amostra por conveniência não irá intro-
duzir viés em relação à população total, os resultados 
que eu obtenho podem ser uma boa imagem do univer-
so estudado.
Se temos boas razões para acreditar que a seleção 
por conveniência não irá introduzir viés em relação à po-
pulação total, os resultados obtidos podem ser uma boa 
imagem do universo estudado. O problema é não saber 
exatamente o quão boa é a imagem: não é possível 
usar ferramentas estatísticas como a margem de erro e o 
nível de confiança para medir a precisão dos resultados. 
Os leitores do estudo precisarão confiar nos critérios da 
seleção feita pelo pesquisador.
Vantagens e inconvenientes
A principal vantagem da amostra por conveniência 
é... sua conveniência! Simples, econômica, rápida. Nos 
pode oferecer informações valiosas em inúmeras cir-
cunstâncias, especialmente quando não existem razões 
fundamentais que diferenciem os indivíduos acessíveis 
que formam o total da população.
O principal inconveniente, a falta de representati-
vidade, impossibilita a realização de declarações sobre 
os resultados sem correr nenhum risco devido ao critério 
de amostra aplicado. No pior dos casos, a minha amostra 
por conveniência pode representar um desvio sistemáti-
co em relação à população total, produzindo resultados 
distorcidos.
Amostragem não probabilística: Amostra por 
quotas
O post de hoje é dedicado a técnica de amostragem 
conhecida como: amostra por quotas. Essa técnica é fre-
quentemente usada em pesquisas online através de pai-
néis. Podemos encontra a amostragem por quotas como 
a versão não probabilística da amostra estratificada. Essa 
amostra é composta por três fases:
1- Segmentação
Em primeiro lugar, dividimos a população do estudo 
em grupos de forma exaustiva (todos os indivíduos estão 
em um grupo) mutuamente exclusivos (um indivíduo só 
pode estar em um único grupo), semelhante à divisão 
em camadas usadas na amostragem estratificada. Nor-
malmente, esta segmentação é feita através de alguma 
variável sócio-demográfica, como: sexo, idade, classe so-
cial ou região.
46
Raciocínio Lógico-Matemático
2- Definindo o tamanho das quotas
Estabelecemos a meta de indivíduos a serem en-
trevistados para cada um desses grupos. Normalmente 
definimos estes objetivos de forma proporcional ao ta-
manho do grupo populacional. Por exemplo, se nós de-
finimos segmentos por sexo numa população em que 
há 60% das mulheres e 40% homens, e queremos obter 
uma amostra de 1.000 pessoas, definimos uma meta de 
600 mulheres e 400 homens. Estes objetivos são conhe-
cidos como quotas. Neste exemplo, teríamos uma quota 
de gênero de 600 mulheres e 400 homens. Em algumas 
ocasiões, se definem quotas não proporcionais à popu-
lação, para poder aprofundar a análise de um grupo es-
pecífico.
3 - Seleção de participantes e comprovação de 
quotas
Para finalizar, buscam-se por participantes para co-
brir todas as quotas definidas. Este ponto é onde nos 
afastamos da amostra probabilística: Na amostragem 
por quotas é permitido que a seleção de indivíduos não 
seja aleatória, ou seja, os indivíduos podem ser selecio-
nados através da amostra por conveniência. Por exem-
plo, em um estudo no qual nós definimos uma quota de 
100 pessoas com menos de 25 anos e 100 pessoas com 
idades entre 25 anos ou mais, caso não conseguimos 
atingir 100% da quota prometida, poderíamos sair nas 
ruas e abordar pessoas, entrevistando aquelas que cum-
prem as idades restantes para fechar a quota referente 
a nossa meta.
De acordo com a descrição acima, a diferença en-
tre a amostra estratificada e amostra por quotas está na 
forma como selecionamos os participantes. Na amostra 
estratificada, disponibilizamos de uma lista de possíveis 
entrevistados, todos com uma certa probabilidade (co-
nhecida) de serem selecionados. Na amostra por quotas 
não. A medida que vou obtendo candidatos para fazer 
parte da amostra, comprovo se são válidos para o meu 
estudo (ou seja, ele pode fazer parte dos participantes ou 
exceder as quotas). Quando, eventualmente, eu descarto 
um participante (preciso de 100 mulheres, e já temos 101 
mulheres), falamos que este indivíduo foi descartado por 
quota-full.
Seleção de variáveis
“Quais variáveis eu devo escolher numa amostra-
gem por quotas? Como segmento a população?” Esta 
pergunta é um fator chave para esta técnica.
O uso de quotas precisa garantir que a amostra 
seja o mais representativa possível dentro do universo 
estudado. Quando definimos quotas de sexo e idade em 
uma amostra, independente do método de seleção de 
indivíduos, garantimos que a amostra apresentará pro-
porções idênticas do universo quanto ao sexo e a idade.
Para definir as variáveis, precisamos definir quotas 
que cumpram duas condições: (1) A população pode 
ser alterada devido ao processo de seleção não aleatório 
que aplicamos, (2) Pode influenciar no dado que quere-
mos medir.
Vamos analisar os critérios citados anteriormente 
através de um exemplo concreto: uma amostra obtida 
através de um painel online. Suponhamos que quere-
mos medir a % de fumantes de uma população extraída 
a partir de um painel online. Quais variáveis devemos 
definir por quotas?
Inicialmente, aquelas variáveis que parecem distor-
cidas numa seleção amostral de um painel online a res-
peito da população: por exemplo, a idade (geralmente 
os painéisonline apresentam uma maior proporção de 
jovens na população) e classe social (os painéis têm di-
ficuldades em atrair as pessoas de classes mais baixas, 
especialmente na América Latina).
Podemos definir as quotas por região. Normalmen-
te os painéis online não são segmentados para uma de-
terminada região, mas estão acessíveis a partir de qual-
quer local. O interessante é analisar as diferenças regio-
nais a partir das diferenças socioeconômicas. Se a região 
que queremos estudar não apresenta grandes diferenças 
socioeconômicas, não terá nenhum benefício usar uma 
quota deste tipo.
Se atendemos ao segundo critério (quotas que po-
dem afetar o resultado medido) , podemos optar por 
adicionar uma quota por sexo: normalmente o hábito 
de fumar varia entre homens e mulheres e, ao menos 
que trabalhemos com um painel em garanta que a com-
posição dos sexos é perfeita em comparação com a po-
pulação, é aconselhável verificar esta quota também.
Amostra por quotas e representatividade
A utilização de quotas em uma amostragem não 
probabilística não nos permitirá transformá-la em pro-
babilística. Não é possível calcular a margem de erro 
e nível de confiança dos resultados. Ou seja, o uso de 
quotas não permite medir a precisão dos resultados.
Que significa usar ou não usar quotas? A amostra 
por conveniência é equivalente a amostra por quotas? A 
resposta é NÃO!
O uso de quotas oferece certos controles aos vie-
ses que podem ocorrer pelo método de seleção usado, 
nos garante que em uma série de variáveis-chave, vamos 
reproduzir a composição da população em nossa amos-
tra. O problema é que, embora seja uma prática muito 
comum entre os pesquisadores, não podemos afirmar 
a representatividade da amostra. As quotas melhoram a 
representatividade, mas não sabemos quanto.
A amostra por quotas é um dos métodos de amos-
tragem mais populares e, praticamente, o único méto-
do viável quando realizamos pesquisas online (exceto 
quando temos um painel probabilístico). Usar quotas é 
um sistema efetivo e econômico de obter amostras que 
proporcionam informação relevante.
 
Vantagens e inconvenientes
A principal vantagem da amostra por quotas é que 
ela oferece resultados extremamente úteis a um custo 
baixo e, se as variáveis foram escolhidas de forma corre-
ta, os resultados serão totalmente confiáveis.
Este método apresenta dois inconvenientes: (1) a im-
possibilidade de limitar o erro neste tipo de amostragem 
e (2) evitar o risco de uma parte significativa do estudo. 
Por exemplo, se num estudo eleitoral não existia uma 
quota por regiões, provavelmente irá existir tendências 
de voto diferentes em algumas regiões, distorcendo for-
temente os resultados globais do estudo.
Amostragem não probabilística: Amostra por 
bola de neve
A amostra por bola de neve é uma técnica de amos-
tragem não probabilística onde os indivíduos seleciona-
dos para serem estudados convidam novos participantes 
da sua rede de amigos e conhecidos. O nome de “bola de 
47
Raciocínio Lógico-Matemático
A respeito dos inconvenientes:
- Falta de controle sobre como se constitui a amostra, 
já que está nas mãos dos próprios respondentes e seu 
critério para selecionar os indivíduos.
- Como toda técnica não probabilística, a bola de 
neve não garante a representatividade, nem permite 
saber o grau de precisão.
- Esta técnica é especialmente sensível aos vieses 
de amostragem. Dado que os participantes são obtidos 
pelo convite de outros indivíduos, eles compartilham 
certas características do estudo. O único inconveniente é 
que amostra não será suficientemente diversa.
- Tamanho da amostra incontrolada: a técnica não 
permite determinar com precisão o tamanho da amostra 
que vamos obter.
Outras considerações
Sem dúvida, o principal problema da bola de neve é 
o risco dos “vieses da comunidade”: acessamos a um 
subgrupo de indivíduos dentro do nosso target e o re-
crutamento de novos membros não consegue sair desse 
subgrupo. O único remédio contra esse mal é fazer uma 
boa seleção inicial de indivíduos, que nos garante que 
qualquer subgrupo existente seja acessível na rede de 
contatos dos indivíduos iniciais.
Vale destacar que essa técnica, muitas vezes, é a 
única técnica possível quando nos dirigimos a grupos 
pequenos onde não é possível ter um quadro amostral. 
Muitos pesquisadores estão trabalhando para aperfei-
çoar a técnica para corrigir os seus vieses. Especifica-
mente, uma das técnicas mais promissoras é conhecida 
como Respondent Driven Sampling. Trata-se de um sis-
tema que corrige mediante a um modelo matemático 
alguns possíveis vieses na seleção dos indivíduos.10
11. ANÁLISE COMBINATÓRIA: ARRANJOS 
SIMPLES E COM REPETIÇÃO, PERMUTAÇÕES 
SIMPLES E COM REPETIÇÃO E COMBINAÇÕES 
SIMPLES. PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS; 
IDENTIFICAÇÃO DO ESPAÇO AMOSTRAL E 
EVENTO DE EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS
A análise combinatória é a área da Matemática res-
ponsável pela análise das possibilidades e das combina-
ções. É um conjunto de procedimentos que possibilita a 
construção de grupos, formados por um número finito 
de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.
Análise combinatória: probabilidade, permuta-
ção e combinação
A análise combinatória ou combinatória pode te 
ajudar a fazer essa conta, já que trata da quantificação 
das possibilidades de combinações para determinados 
eventos.
Quando há um conjunto de elementos distintos 
em um determinado local, é possível misturá-los das 
mais variadas formas e chegar a diversos resultados.
Para conseguir projetar os possíveis resultados, a 
análise combinatória pode ser uma forma simples de 
realizar essa tarefa.
10 Fonte: www.netquest.com
neve” provem justamente dessa ideia: do mesmo modo 
que uma bola de neve rola ladeira a baixo, cada vez mais 
ela aumenta seu tamanho. O mesmo ocorre com a essa 
técnica amostral, ela vai crescendo à medida que os indi-
víduos selecionados convidam novos participantes.
A bola de neve é usada com frequência para acessar 
a populações de baixa incidências e indivíduos de di-
fícil acesso por parte do pesquisador.
Quando você deseja estudar um grupo específico 
(por exemplo, colecionadores de selos), pode ser muito 
mais eficaz obter uma amostra através de conhecidos e 
amigos dos colecionadores, do que uma seleção pura-
mente aleatória, onde um grande número de indivíduos 
pode ser descartado. Supostamente, é provável que um 
colecionador de selos conheça outros colecionadores de 
selos, o que torna esta técnica uma maneira eficaz para 
acessar a pessoas que poderiam ser inacessíveis para o 
pesquisador.
Portanto, a técnica de bola de neve funciona muito 
bem quando queremos agrupar indivíduos e favorecer 
seu contato social. É mais comum do que parece. Ob-
viamente, colecionadores, profissionais ou praticantes 
de algum esporte específico podem cumprir com essa 
premissa, mas também se aplica a outros grupos, como 
pacientes com uma doença rara, por exemplo, como 
suas circunstâncias pessoais fazem com que entrem em 
contato com outras pessoas com a mesma característica 
(no consultório do médico, em associações, etc).
Processo
O processo de criação de uma amostra por bola de 
neve se fundamenta em usar a rede social dos indiví-
duos iniciais para ter acesso ao coletivo. Podemos dividir 
esse processo nos seguintes passos:
1. Definir um programa de participação, onde os 
indivíduos convidam outros membros.
2. Identificar grupos ou organizações que podem 
fornecer acesso a alguns indivíduos iniciais que cumpram 
com a característica do estudo.
3. Após obter os contatos iniciais, precisamos 
pedir sua participação. Esta parte seria similar a uma 
técnica de amostra convencional, porém destinada a 
obter um tamanho de amostra reduzida.
4. Posterior a primeira entrevista, solicitamos aos 
participantes o acesso aos outros convidados.
5. Assegurar a diversidade dos contatos através 
da seleção adequada dos indivíduos iniciais e promover 
que a recomendação não se limite apenas a contatos 
próximos.
Tipos de amostrao espírito não 
caia em contradição consigo mesmo ou com os objetos, 
afirmando-os diferente do que, na realidade, são. Daí as 
várias divisões da lógica.
Assim sendo, a extensão e compreensão do conceito, 
o juízo e o raciocínio, o argumento, o silogismo e o sofisma 
são estudados dentro do tema lógica. O silogismo, que é 
um raciocínio composto de três proposições, dispostos 
de tal maneira que a terceira, chamada conclusão, deriva 
logicamente das duas primeiras chamadas premissas, 
tem lugar de destaque. É que todos os argumentos 
começam com uma afirmação caminhando depois por 
etapas até chegar à conclusão.
UMA CLASSIFICAÇÃO DA LÓGICA
 
Alguns autores dividem o estudo da Lógica em:
- LÓGICA INDUTIVA: útil no estudo da teoria da 
probabilidade (não será abordada neste roteiro).
e
- LÓGICA DEDUTIVA: que pode ser dividida em:
2
Raciocínio Lógico-Matemático
- Lógica Clássica- Considerada como o núcleo da ló-
gica dedutiva. É o que chamamos hoje de CÁLCULO DE 
PREDICADOS DE 1a ORDEM com ou sem igualdade e de 
alguns de seus subsistemas.
Três Princípios (entre outros) regem a Lógica Clássi-
ca: da IDENTIDADE, da CONTRADIÇÃO e do TERCEIRO 
EXCLUÍDO os quais serão abordados mais adiante.
- Lógicas Complementares Da Clássica: Complemen-
tam de algum modo a lógica clássica estendendo o seu 
domínio. Exemplos: lógicas modal, deôntica, epistêmica, 
etc.
- Lógicas Não - Clássicas: Assim caracterizadas por 
derrogarem algum ou alguns dos princípios da lógica 
clássica. Exemplos: paracompletas e intuicionistas (der-
rogam o princípio do terceiro excluído); paraconsisten-
tes (derrogam o princípio da contradição); não-aléticas 
(derrogam o terceiro excluído e o da contradição); não-
-reflexivas (derrogam o princípio da identidade); proba-
bilísticas, polivalentes, fuzzy-logic, etc...1
2. DIAGRAMAS LÓGICOS: 
CONJUNTOS E ELEMENTOS. 
Os diagramas são utilizados como uma representação 
gráfica de proposições relacionadas a uma questão de 
raciocínio lógico. 
Os diagramas lógicos são estruturas que auxiliam 
na solução dos problemas que envolvem a matéria de 
raciocínio lógico.
Para melhor entender os diagramas lógicos é 
necessário primeiro aprender algumas regras da teoria 
dos conjuntos.
Um conjunto é um determinado número de 
elementos que possuem uma ou mais características 
em comum, sendo que, tais características, definem ou 
distinguem os conjuntos uns dos outros.
Exemplos:
1- conjunto de números ímpares – é formado por 
infinitos elementos – 1, 3, 5, 7…
2- conjunto das vogais – é formado por finitos 
elementos – a-e-i-o-u.
3- conjunto de números primos – é formado infinitos 
elementos – 2, 3, 5, 7…
Existem três formas de representar um conjunto. São 
elas:
Extensão – escreve-se os elementos entre chaves. 
Exemplo: {a e i o u}.
Compreensão – escreve-se a característica que 
define o conjunto. Exemplo: conjunto de números 
primos de 1 a 10.
Diagrama de Venn – Coloca-se os elementos dentro 
de uma figura fechada (um círculo). Exemplo:
1 Fonte: www.sergiobiagigregorio.com.br/www.pucsp.br
No diagrama de Venn a ordem dos elementos não 
tem relevância e os elementos devem aparecer uma 
única vez.
Os conjuntos podem ser classificados de acordo 
com a quantidade de elementos que possuem:
- Conjunto finito – possui um limite de elementos, 
como por exemplo, o conjunto de vogais.
- Conjunto infinito – possui um número infinito de 
elementos, por exemplo, o conjunto dos números.
- Conjunto unitário – possui um único elemento.
- Conjunto vazio – não possui nenhum elemento.
Observação: o conjunto que possui apenas o número 
0 é um conjunto unitário e não vazio.
- Conjunto universo – é o conjunto que possui todos 
os elementos de uma situação, como por exemplo, o 
conjunto dos dias da semana.
Estes são os diagramas lógicos estudados pelo 
raciocínio lógico.
Esses elementos podem ser demonstrados da 
seguinte forma:
- Extensão: Os elementos são separados por chaves; 
{1,2,3,4...}
- Compreensão: Escreve-se a caraterística em 
questão do conjunto mencionado.
Diagrama de Venn: Os elementos são inseridos em 
uma figura fechada e aparecem apenas uma vez.
Todo A é B: Nesse caso o conjunto A é um subconjunto 
do B, sendo que A está contido em B.
Nenhum A é B: Nesse caso os dois conjuntos não 
tem elementos comuns.
Algum A é B: Esse diagrama representa a situação 
em que pelo menos um elemento de A é comum ao 
elemento de B.
Inclusão
Todo, toda, todos, todas.
Interseção
Algum, alguns, alguma, algumas.
Ex: Todos brasileiros são bons motoristas
Negação lógica: Algum brasileiro não é bom 
motorista.
3
Raciocínio Lógico-Matemático
- Retire essas 10 pessoas do número fornecido pelo 
enunciado para aquelas que não sabiam do sistema=60
- O resultado é 135, pois ao somarmos 60+85-
10=135.
3) Dados do enunciado:
- O grupo tem 120 empresas;
- Como ele disse que 19 empresas não se encaixam 
nesses grupos, pode-se concluir que pelo menos 101 
empresas se encaixam em algum desses itens;
•	 São 20 exportadoras dentre as empresas do 
nordeste: 20-x;
•	 19 empresas são familiares: 19-x;
•	 Das empresas familiares 21 são exportadoras: 
21-x;
Sabendo-se que o Nordeste tem 57 elementos, o 
azul 48 e o verde 44 pode-se criar um diagrama como 
no exemplo abaixo:
(18+x+19-x+x+20-x) +8+x+21-x+3+x=101
57+8+x+21-x+3+x=101
x+89=101 x=12
4) Observe o seguinte diagrama. De acordo com o 
diagrama, pode-se afirmar que
Disjunção
Nenhum A é B.
Ex: Algum brasileiro não é bom motorista.
Negação lógica: Nenhum brasileiro é bom motorista.
Para melhor compreensão...
1) (VUNESP/TJM-SP – Analista de Sistemas 
(Judiciário) Neste grupo de pessoas, usar só chapéu ou 
só relógio, nem pensar. Tampouco usar óculos, chapéu e 
relógio ao mesmo tempo. Quinze pessoas usam óculos 
e chapéu ao mesmo tempo. Usam chapéu e relógio, 
simultaneamente, o mesmo número de pessoas que 
usam apenas os óculos. Uma pessoa usa óculos e relógio 
ao mesmo tempo. Esse grupo é formado por 40 pessoas 
e essas informações são suficientes para afirmar que 
nesse grupo o número de pessoas que usam óculos é
a) 20
b) 22
c) 24
d) 26
e) 28
Solução:
São 40 acessórios, mas há apenas informações de 
16 deles. Sobram 24. Como o número de pessoas que 
usa apenas óculos é o mesmo que usa chapéu e relógio, 
12 pessoas utilizam chapéu e óculos e a outra metade 
apenas óculos.
Resumindo:
- Óculos e Chapéu= 15
- Chapéu e Relógio=12
- Só óculos=12
- Óculos e Relógio=1
Total= 40
-Quantos usam óculos: 15+12+1=28
2) Uma pesquisa de rua feita no centro de Vitória 
constatou que, das pessoas entrevistadas, 60 não sabiam 
que a polícia civil do Espírito Santo possui delegacia 
com sistema online para registro ou denúncia de certos 
tipos de ocorrência e 85 não sabiam que uma denúncia 
caluniosa pode levar o denunciante à prisão por 2 a 
8 anos, além do pagamento de multa. A partir dessas 
informações, julgue o item seguinte. Considerando-se 
que também foi constatado que 10 dos entrevistados 
não sabiam do canal de comunicação online nem das 
penalidades cabíveis a denúncias caluniosas, é correto 
concluir que 135 pessoas não tinham conhecimento de 
pelo menos uma dessas questões.
Certo
Errado
Solução:
- Pessoas que não sabiam do sistema e nem das 
penalidades=10
4
Raciocínio Lógico-Matemático
a) todos os músicos são felizes.
b) não há cantores que são músicos e felizes.
c) os cantores que não são músicos são felizes.
d) os felizes que não são músicos não são cantores.
e) qualquer músico feliz é cantor.
Solução:
-Como pode ser visto no diagrama, parte dos felizes 
não são músicos nem cantores.2
3. LÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO. 
A Lógica de Argumentação pode ser entendida 
como o estudo criterioso da correção de um raciocínio.
Leia o que diz um dos grandes teóricos da lógica, 
Cezar Mortari, em seu livro “Introdução à Lógica”:
A Lógica não procura dizer como as pessoas 
raciocinam (mesmo porque elas “raciocinam errado”, 
muitas vezes). Mas se interessa primeiramente pela 
questão de se aquelas coisas que sabemos ou em que 
acreditamos – o pontobola de neve
Basicamente podemos identificar dois tipos de 
amostra por bola de neve:
1. Amostra lineal: Cada indivíduo participante 
deve recomendar outro indivíduo, de forma que a 
amostra cresça num ritmo linear.
2. Amostra exponencial: Cada indivíduo precisa 
convidar dois ou mais indivíduos a participar da amostra. 
Dessa forma, quanto mais gente participar do estudo, 
mais pessoas serão adicionadas.
 Vantagens e inconvenientes
As principais vantagens dessa técnica são:
- Realizar amostra populações de difícil acesso.
- É um processo econômico e simples.
- Requer planejamento e poucos recursos humanos: 
os próprios entrevistados fazem a mão de obra.
48
Raciocínio Lógico-Matemático
Ela pode ser usada de formas diferentes e para va-
riados tipos de análise. Iremos entender melhor como 
funcionam os arranjos, permutações e também as com-
binações e conhecer as diferenças entre eles.
Princípio fundamental da contagem
O princípio fundamental da contagem é a parte ini-
cial do estudo da análise combinatória e indica de forma 
simplificada o total de possíveis combinações quando 
é possível multiplicar o número de opções de acordo 
com todas as opções apresentadas.
Um exemplo prático pode ser feito analisando a 
quantidade de pratos diferentes que podem ser com-
binados quando existe a opção de 2 entradas, 3 pratos 
principais, 3 sobremesas e 5 tipos diferentes de bebida.
Para chegar ao resultado de possibilidades de com-
binação desses elementos, basta multiplicar todos os 
números das opções: 2 x 3 x 3 x 5 = 90. Resumindo, é 
possível ter 90 combinações diferentes de refeição com 
as opções que foram apresentadas.
Análise combinatória e probabilidade
A probabilidade estuda os experimentos aleató-
rios, ou seja, trata-se de eventos que têm um resultado 
imprevisível. Como exemplos práticos desses eventos 
imprevisíveis, é possível citar o cara e coroa com uma 
moeda, o lançamento de dados com faces numéricas e o 
sorteio de bolas em uma urna durante o jogo de bingo.
O espaço amostral define o conjunto de todos os 
possíveis resultados desse experimento específico. Por 
isso, é essencial saber qual é o experimento que será fei-
to e a quantidade para determinar o espaço amostral.
Dentro do espaço amostral, é possível analisar a 
quantidade de eventos que podem acontecer. A proba-
bilidade é um tema bastante interligado à análise com-
binatória.
Tipos de análise combinatória
A análise combinatória ou combinatória tem três 
tipos básicos para agrupar os elementos e todos eles 
precisam utilizar o fatorial, um número que pertença aos 
naturais e seja maior ou igual a dois. Vamos estudar a 
seguir os arranjos, combinações e permutações.
Arranjos
Nos arranjos, os agrupamentos são feitos depen-
dendo da ordem e natureza dos elementos. Eles podem 
ser com repetição e sem repetição.
Arranjo com repetição 
Se você tem 5 algarismos, de 1 a 5, e quer descobrir 
quantos números com dois algarismos podem ser for-
mados, a fórmula de arranjo com repetição é a seguinte:
Arranjo sem repetição 
Se você organiza uma corrida com 20 atletas e vai 
premiar os 5 primeiros, é preciso criar um arranjo sem 
repetição. Para isso, a fórmula é a seguinte:
Permutação
A permutação pode ser explicada como alocar n ele-
mentos em n espaços e contar todas as sequências orde-
nadas possíveis que podem ser formadas.
As permutações são um tipo específico de arranjos, 
quando:
- Não há repetição;
- O número de elementos a serem tomados para 
compor o resultado é igual ao número de elementos no 
conjunto.
Em outras palavras, as permutações são os arranjos 
de n elementos tomados n a n. Portanto:
Combinação
As combinações são como arranjos, porém, a ordem 
dos elementos que compõem um resultado não impor-
ta, ou seja, um resultado ABC é considerado igual a um 
resultado ACB. Neste caso, fala-se das combinações de n 
elementos tomados k a k, e esta quantidade é calculada 
da seguinte forma:
Análise combinatória: fórmulas
Para facilitar o seu entendimento sobre as diferentes 
fórmulas de análise combinatória, veja o resumo com as 
principais informações de cada uma delas:11
11 Fonte: www.uel.br/www.grupomadretereza.com.br/www.somatemati-
ca.com.br/www.stoodi.com.br/ 
49
Raciocínio Lógico-Matemático
Como vimos acima, os tipos de análises combinatórias são os arranjos, combinações e permutações, então veja-
mos mais detalhadamente sobre eles agora.
Os três principais tipos de agrupamentos são arranjos, permutações e combinações. Cada um deles pode ser 
simples ou com elementos repetidos. Neste tópico, estudaremos os agrupamentos simples.
Porém, antes de estudá-los, aprenderemos a seguir o conceito de fatorial.
Fatorial de um número
O fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou 
iguais a n.
n! = n.(n-1).(n-2)...3.2.1
Definições especiais
0!=1
1!=1
Exemplos
1) Calcule o valor da expressão 100!+101!
 99!
2) Calcule a equação (x+1)! = 56.
 (x -1)!
Resposta: x = 7, pois, não existe fatorial de um número negativo.
50
Raciocínio Lógico-Matemático
3) Quatro times de futebol (ê Santos, São Paulo e Flamengo) disputam o torneio dos campeões do mundo. Quan-
tas são as possibilidades para os três primeiros lugares?
R. Existem 4 possibilidades para o 1º lugar, sobrando 3 possiblidades para o 2º lugar e 2 possibilidades para o 3º 
lugar  4.3.2 = 24 possibilidades.
Arranjo simples
Arranjo simples de n elementos tomados p a p, onde n>=1 e p é um número natural, é qualquer 
ordenação de p elementos dentre os n elementos, em que cada maneira de tomar os elementos se diferenciam 
pela ordem e natureza dos elementos. A fórmula para cálculo de arranjo simples é dada por:
Continuação dos exemplos
5) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos do sistema decimal 
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) sem os repetir, de modo que:
a) COMECEM COM 1
R: O número pode possuir três algarismos, sendo que para o primeiro existe apenas 1 possibilidade (1) e para os 
outros dois ainda existem 9 números disponíveis:
b) COMECEM COM 2 E TERMINEM COM 5
R. Para o primeiro algarismo existe apenas 1 possibilidae (2), e para o terceiro também existe apenas 1 possibilida-
de (5). Para o segundo ainda existem 8 possibilidades:
c) SEJAM DIVISIVEIS POR 5.
R. Para um número ser divisível por 5, ele deve terminar com 0 ou com 5. Primeiramente vamos calcular o número 
de divisíveis por 5 que terminam com 0:
 Para o terceiro algarismo existe apenas 1 possiblidade (0), e para os dois primeiros ainda existem 9 números 
disponíveis. Portanto o número de divisíveis por 5 que terminam com 0 é:
 Agora calculamos quantos divisíveis por 5 terminam com 5: para o terceiro algarismo existe apenas uma possi-
bilidade (5). Para o primeiro algarismo existem ainda 8 possibilidades, pois o número não pode começar com 0 (senão 
seria um número de 2 algarismos). E para o segundo algarismo também existem 8 possibilidades (o segundo algarismo 
pode ser 0)
Resposta: O número de divisíveis por 5 é 72 + 64 = 136 números
51
Raciocínio Lógico-Matemático
6) Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000 formados por algarismos distintos escolhidos entre 
1,2,3,4,5,6,7,8 e 9?
R. O número deve ter quatro algarismos (pois está entre 2000 e 3000). Para o primeiro algarismo existe apenas 
uma possibilidade (2), e para os outros três ainda existem 8 números disponíveis, então:
Permutação simples
É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.
Continuação dos exemplos
7) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados por 1,2,3,5 e 8?
8) Quantos anagramas da palavra EDITORA:
a) COMEÇAM POR A:
Para a primeira letra existe apenas uma possibilidade (A), e para as outras 6 letras existem 6 possibilidades. Então 
o total é:
b) COMEÇAM POR A e terminam com E.
Para a primeira letra existe 1 possibilidade (A), e para última também só existe 1 (E),e para as outras 5 letras 
existem 5 possibilidades. Então o total é :
8) Calcule de quantas maneiras podem ser dispostas 4 damas e 4 cavalheiros, numa fila, de forma que não 
fiquem juntos dois cavalheiros e duas damas.
R. Existem duas maneiras de fazer isso:
C –D –C- D- C- D- C- D ou D – C- D- C- D- C- D- C
Colocando um cavalheiro na primeira posição temos como número total de maneiras:
Colocando uma dama na primeira posição temos também: 
Portanto o total é 576 + 576 = 1152 maneiras.
Combinação simples
É o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos componentes.
Continuação dos exemplos
9) Resolver a equação 
52
Raciocínio Lógico-Matemático
Resposta: m = 5.
Obs.: m =1 não é a resposta porque não pode haver 
10) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes podem ser feitas?
11) Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 3 rapazes e 4 moças?
O resultado é o produto 
Princípio Casa dos Pombos
O princípio do pombal ou princípio da casa dos pombos é a afirmação de que se n pombos devem ser postos 
em m casas, e se n > m, então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo. Matematicamente falando, isto 
quer dizer que se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de um outro 
conjunto B, então uma função de A em B não pode ser injetiva.
É também conhecido como teorema de Dirichlet ou princípio das gavetas de Dirichlet, pois supõe-se que o 
primeiro relato deste princípio tenha sido feito por Dirichlet em 1834, com o nome de Schubfachprinzip (“princípio das 
gavetas”).
O princípio do pombal é um exemplo de um argumento de calcular que pode ser aplicado a muitos problemas 
formais, incluindo aqueles que envolvem um conjunto infinito.
Embora se trate de uma evidência extremamente elementar, o princípio é útil para resolver problemas que, pelo 
menos à primeira vista, não são imediatos. Para aplicá-lo, devemos identificar, na situação dada, quem faz o papel dos 
objetos e quem faz o papel das gavetas.
Exemplo 1
•	 Quantas pessoas são necessárias para que possa garantir que há pelo menos duas delas fazendo aniversário 
no mesmo mês?
Resposta: 13 pessoas. Pelo princípio da casa dos pombos se houver mais pessoas (13) do que meses (12) é certo 
que pelo menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês.
53
Raciocínio Lógico-Matemático
Exemplo 2
•	 Todos os pontos de um plano são pintados de 
amarelo ou verde. Prove que podemos encontrar dois 
pontos de mesma cor que distam exatamente um metro:
Solução: Basta imaginarmos um triângulo equiláte-
ro de lado igual a um metro. Como são duas cores (ca-
sas) e três pontos (pombos),pelo PCP (princípio da casa 
dos pombos) teremos dois de mesma cor.
Embora este princípio seja uma observação trivial, 
pode ser usado para demonstrar resultados possivel-
mente inesperados. Por exemplo, em qualquer grande 
cidade (digamos com mais de 1 milhão de habitantes) 
existem pessoas com o mesmo número de fios de cabelo. 
Demonstração: Tipicamente uma pessoa tem cerca de 
150 mil fios de cabelo. É razoável supor que ninguém 
tem mais de 1.000.000 de fios de cabelo em sua cabeça. 
Se há mais habitantes do que o número máximo de fios 
de cabelo, necessariamente pelo menos duas pessoas 
terão precisamente o mesmo número de fios de cabelo.
Generalizações do princípio
Uma versão generalizada declara que, se “n” objetos 
distintos para ser alocados à “m” recipientes, então pelo 
menos um recipiente deve conter não menos que [n/m]
{\displaystyle \lceil n/m\rceil } objetos, onde {\displaysty-
le \lceil x\rceil }[x] denota o menor inteiro igual ou supe-
rior a x (a função tecto).
Uma generalização probabilística do princípio da 
casa dos pombos define que se “n” pombos são coloca-
dos aleatoriamente em “m” casas com uma probabilida-
de uniforme 1/m, então pelo menos uma casa de pom-
bos terá mais de um pombo com probabilidade:
{\displaystyle 1-{\frac {m!}{(m-n)!\;m^{n}}}=1-{\frac 
{m^{\underline {n}}}{m^{n}}},\!}
onde {\displaystyle m^{\underline {n}}} é um fa-
torial decrescente até n. Para n = 0 e para n = 1 (e m > 
0), que provavelmente é zero; em outras palavras, se tem 
apenas um pombo, então não deve haver conflitos. Para 
n > m (mais pombos do que casa de pombos) é um, 
neste caso coincide com o princípio de casa dos pom-
bos normal. Mas mesmo que o número de pombos não 
exceda o número de casa de pombos (n ≤ m), devido a 
natureza da atribuição aleatória das casas aos pombos 
existe uma chance substancial que um confronto ocorra 
muitas vezes. Por exemplo, se 2 pombos são colocados 
aleatoriamente em 4 casas de pombos, há uma chance 
de 25% que pelo menos uma casa de pombo ter mais 
do que um pombo, para 5 pombos e 10 casas, a proba-
bilidade é de 69,76%; e para 10 pombos em 20 casas a 
probabilidade é de 93,45%.
Identificação do espaço amostral e evento de ex-
perimentos aleatórios
Espaço amostral: para cada experimento aleatório 
E, define-se espaço amostral S o conjunto de todos os 
possíveis resultados desse experimento.
Exemplos:
Jogar um dado e observar o número da face de cima.
Então; S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jogar duas moedas e observar o resultado.
Então: S = {(cara, cara), (cara, coroa),(coroa, cara),(-
coroa, coroa)}
Observe que o conjunto S pode ser finito ou infinito.
Evento: é um conjunto de resultados do experimen-
to, em termos de conjuntos, é um subconjunto S. em 
particular, S e Φ (conjunto vazio) são eventos. S é dito o 
evento certo e Φ o evento impossível.
Se usarmos as operações com conjuntos, podemos 
formar novos eventos:
a) A ∩ B → evento que ocorre se A e B ocorrem;
b) A ∪ B → evento que ocorre se A ou B ocorrem;
c) Ā → é o evento que ocorre se A não ocorre.
Exemplo: Considere o experimento: jogar duas moe-
das e observar os resultados:
S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}
Evento A: ocorrer faces iguais.
Logo A = {(c, c), (k, k)}
Eventos mutuamente exclusivos
Eventos mutuamente exclusivos são aqueles que não 
podem ocorrer simultaneamente. Portanto dois eventos 
A e B são mutuamente exclusivos se AB = Φ
Exemplo: Considere o experimento: jogar um dado e 
observar o resultado.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Sejam os eventos:
A = ocorrer número par e B = ocorrer números ímpar.
Logo: A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}
A e B são considerados mutuamente exclusivos pois 
A ∩ B = Φ
Experimentos aleatórios
Entendemos por experimento aleatório os fenômenos 
que, quando repetidos inúmeras vezes em processos 
semelhantes, possuem resultados imprevisíveis. 
O lançamento de um dado e de uma moeda são 
considerados exemplos de experimentos aleatórios, no 
caso dos dados podemos ter seis resultados diferentes 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} e no lançamento da moeda, dois {cara, 
coroa}.
Do mesmo modo, se considerarmos uma urna com 
50 bolas numeradas de 1 a 50, ao retirarmos uma bola 
não saberemos dizer qual o número sorteado. Essas 
situações envolvem resultados impossíveis de prever. 
Podemos relacionar esse tipo de experimento com 
situações cotidianas, por exemplo, não há como prever 
a vida útil de todos os aparelhos eletrônicos de um lote, 
pois isso dependerá das condições de uso impostas pelas 
pessoas que adquirirem o produto. Outro exemplo que 
demonstra a característica de um experimento aleatório 
são as previsões do tempo.
Os experimentos aleatórios produzem possíveis 
resultados que são denominados espaços amostrais. 
O espaço amostral possui subconjuntos denominados 
eventos. Como já citado anteriormente, temos que o 
número possível de elementos no lançamento de um 
dado é o seu espaço amostral, isto é, {1, 2, 3, 4, 5, 6} e os 
subconjuntos, os possíveis eventos são {(1), (2), (3), (4), 
(5), (6)}. No caso da moeda, o espaço amostral são os 
dois possíveis resultados {cara e coroa} e os eventos são 
{(cara), (coroa)}.
As cartas também são ótimos exemplos utilizados 
nos estudos probabilísticos. Temos que o espaço amostral 
das cartas é constituído de 52 cartas, onde podemos tervários eventos, dependendo da característica escolhida. 
Veja:
54
Raciocínio Lógico-Matemático
26 cartas vermelhas e 26 cartas pretas.
13 cartas de ouro, 13 cartas de copas, 13 cartas de 
espadas e 13 cartas de paus.12
12. PROPORCIONALIDADE; RAZÃO E PROPOR-
ÇÃO; 12.1 GRANDEZAS DIRETA E INVERSA-
MENTE PROPORCIONAIS; 12.2 REGRA DE TRÊS 
SIMPLES E COMPOSTA; 12.3 PORCENTAGENS; 
12.4 JUROS SIMPLES E COMPOSTOS.
Proporcionalidade
A proporcionalidade estabelece uma relação entre 
as grandezas e grandeza é tudo aquilo que pode ser me-
dido ou contado.
No cotidiano existem muitos exemplos dessa rela-
ção, como ao dirigir um carro, o tempo que se leva para 
efetuar o percurso depende da velocidade empregada, 
ou seja, tempo e velocidade são grandezas proporcio-
nais.
O que é proporcionalidade?
Uma proporção representa a igualdade entre duas 
razões, sendo que uma razão corresponde ao quociente 
de dois números. Veja como representá-la a seguir.
Lê-se: a está para b assim como c está para d.
Acima, vemos que a, b, c e d são os termos de uma 
proporção, que possui as seguintes propriedades:
- Propriedade fundamental: 
- Propriedade da soma:
- Propriedade da subtração:
Exemplo de proporcionalidade: Pedro e Ana são ir-
mãos e perceberam que a soma das suas idades é igual 
a idade do pai, que é 60 anos. Se a idade de Pedro está 
para a de Ana assim como 4 está para 2, qual a idade de 
cada um deles?
Solução:
Primeiramente, montamos a proporção utilizando P 
para idade de Pedro e A para idade de Ana.
Sabendo que P + A = 60, aplicamos a propriedade 
da soma e encontramos a idade de Ana.
Aplicando a propriedade fundamental das propor-
ções, calculamos a idade de Pedro.
Descobrimos que Ana tem 20 anos e Pedro tem 40 
anos.
12 Fonte: https://pt.wikipedia.org/ https://www.infoescola.com/ Texto ori-
ginalmente publicado em https://www.infoescola.com/matemati
Proporcionalidades: direta e inversa
Quando estabelecemos a relação entre duas gran-
dezas, a variação de uma grandeza provoca uma mu-
dança na outra grandeza na mesma proporção. Ocorre 
então uma proporcionalidade direta ou inversa.
Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais 
quando a variação ocorre sempre na mesma razão.
Exemplo: Uma indústria tem instalado um medidor 
de nível, que a cada 5 minutos marca a altura de água 
no reservatório. Observe a variação da altura de água ao 
longo do tempo.
Tempo (min) Altura (cm)
10 12
15 18
20 24
Observe que essas grandezas são diretamente pro-
porcionais e possuem variação linear, ou seja, o aumento 
de uma implica no aumento da outra.
A constante de proporcionalidade (k) estabelece 
uma razão entre os números das duas colunas da se-
guinte forma:
Genericamente, podemos dizer que a constante para 
grandezas diretamente proporcionais é dada por x/y = k.
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais 
quando uma grandeza varia na razão inversa da outra.
Exemplo: João está treinando para uma prova de 
corrida e, por isso, decidiu verificar a velocidade que ele 
deveria correr para alcançar a linha de chegada no me-
nor tempo possível. Observe o tempo que ele levou em 
diferentes velocidades.
Velocidade (m/s) Tempo (s)
20 60
40 30
60 20
Observe que as grandezas variam inversamente, ou 
seja, o aumento de uma implica na diminuição da outra 
na mesma proporção.
Veja como é dada a constante de proporcionalida-
de (k) entre as grandezas das duas colunas:
Genericamente, podemos dizer que a constante para 
grandezas inversamente proporcionais é encontrada uti-
lizando a fórmula x . y = k.
Razão e Proporção
Na matemática, a razão estabelece uma compara-
ção entre duas grandezas, sendo o coeficiente entre 
dois números.
Já a proporção é determinada pela igualdade entre 
duas razões, ou ainda, quando duas razões possuem o 
mesmo resultado.
Note que a razão está relacionada com a operação 
da divisão. Vale lembrar que duas grandezas são propor-
cionais quando formam uma proporção.
Ainda que não tenhamos consciência disso, utiliza-
mos cotidianamente os conceitos de razão e proporção. 
Para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos cer-
tas medidas proporcionais entre os ingredientes.
55
Raciocínio Lógico-Matemático
Atenção!
Para você encontrar a razão entre duas grandezas, as 
unidades de medida terão de ser as mesmas.
Exemplos
A partir das grandezas A e B temos:
Razão: ou A : B, onde b≠0
Proporção: , onde todos os coeficientes são 
≠0
Exemplo 1
Qual a razão entre 40 e 20?
Lembre-se que numa fração, o numerador é o nú-
mero acima e o denominador, o de baixo.
Se o denominador for igual a 100, temos uma razão 
do tipo porcentagem, também chamada de razão cen-
tesimal.
Além disso, nas razões, o coeficiente que está locali-
zado acima é chamado de antecedente (A), enquanto o 
de baixo é chamado de consequente (B).
Exemplo 2
Qual o valor de x na proporção abaixo?
3 . 12 = x
x = 36
Assim, quando temos três valores conhecidos, po-
demos descobrir o quarto, também chamado de “quarta 
proporcional”.
Na proporção, os elementos são denominados de 
termos. A primeira fração é formada pelos primeiros ter-
mos (A/B), enquanto a segunda são os segundos termos 
(C/D).
Nos problemas onde a resolução é feita através da 
regra de três, utilizamos o cálculo da proporção para en-
contrar o valor procurado.
Propriedades da Proporção
1. O produto dos meios é igual ao produto dos ex-
tremos, por exemplo:
Logo:
A·D = B·C
Essa propriedade é denominada de multiplicação 
cruzada.
2. É possível trocar os extremos e os meios de lugar, 
por exemplo:
 é equivalente 
Logo,
D. A = C . B
Grandezas proporcionais
As grandezas proporcionais têm seus valores au-
mentados ou diminuídos em uma relação que pode ser 
classificada como proporcionalidade direta ou inversa.
O que são grandezas proporcionais?
Uma grandeza é definida como algo que pode ser 
medido ou calculado, seja velocidade, área ou volume 
de um material, e é útil para comparar com outras me-
didas, muitas vezes de mesma unidade, representando 
uma razão.
A proporção é uma relação de igualdade entre ra-
zões e, assim, apresenta a comparação de duas grande-
zas em diferentes situações.
A igualdade entre a, b, c e d é lida da seguinte forma: 
a está para b, assim como c está para d.
A relação entre as grandezas pode ocorrer de ma-
neira diretamente ou inversamente proporcional.
Como funcionam as grandezas diretamente e in-
versamente proporcionais?
Quando a variação de uma grandeza faz com que a 
outra varie na mesma proporção, temos uma proporcio-
nalidade direta. A proporcionalidade inversa é observada 
quando a mudança em uma grandeza produz uma alte-
ração oposta na outra.
Proporcionalidade direta
Duas grandezas são diretamente proporcionais 
quando a variação de uma implica na variação da outra 
na mesma proporção, ou seja, duplicando uma delas, a 
outra também duplica; reduzindo pela metade, a outra 
também reduz na mesma quantidade... e assim por dian-
te.
Graficamente a variação diretamente proporcional 
de uma grandeza em relação à outra forma uma reta 
que passa pela origem, pois temos y = k.x, sendo k uma 
constante.
Gráfico de y proporcional a x
56
Raciocínio Lógico-Matemático
Exemplo de proporcionalidade direta
Uma impressora, por exemplo, tem a capacidade de 
imprimir 10 páginas por minuto. Se dobrarmos o tem-
po, dobramos a quantidade de páginas impressas. Da 
mesma forma, se pararmos a impressora na metade de 
um minuto, teremos a metade do número de impressões 
esperadas.
Agora, veremos com números a relação entre as 
duas grandezas.
Em uma gráfica são feitas impressões de livros es-
colares. Em 2 horas, são realizadas 40 impressões. Em 3 
horas, a mesma máquina produz mais 60 impressões, em 
4 horas, 80 impressões, e, em 5 horas, 100 impressões.
Tempo (horas) 2 3 4 5
Impressões (número) 40 60 80 100
A constante de proporcionalidade entre as grande-
zas é encontrada pela razão entre o tempo de trabalho 
da máquina e o número de cópiasrealizadas.
O quociente dessa sequência (1/20) recebe o nome 
de constante de proporcionalidade (k).
O tempo de trabalho (2, 3, 4 e 5) é diretamente pro-
porcional ao número de cópias (40, 60, 80 e 100), pois ao 
dobrar o tempo de trabalho o número de cópias tam-
bém dobra.
Cálculo de grandeza diretamente proporcional 
com regra de três.
Para calcular um valor desconhecido entre grande-
zas diretamente proporcionais, podemos usar a Regra de 
Três.
No exemplo anterior da gráfica, em 5 horas, quantos 
livros serão impressos?
2 horas imprimem 40 livros
5 horas imprimem x livros
↑ mais horas de trabalho = ↑ mais livros impressos 
(grandezas diretas)
Usando a propriedade fundamental das proporções, 
temos:
Como havíamos visto na tabela, em 5 h, 100 livros 
são impressos.
Proporcionalidade inversa
Duas grandezas são inversamente proporcionais 
quando o aumento de uma implica na redução da ou-
tra, ou seja, dobrando uma grandeza, a correspondente 
reduz pela metade; triplicando uma grandeza, a outra 
reduz para terça parte... e assim por diante.
Graficamente a variação inversamente proporcional 
de uma grandeza em relação à outra forma uma hipér-
bole, pois temos y = k/x, sendo k uma constante.
Gráfico de y inversamente proporcional a x
Exemplo de proporção inversa
Quando se aumenta a velocidade, o tempo para 
concluir um percurso é menor. Da mesma forma, ao di-
minuir a velocidade mais tempo será necessário para fa-
zer o mesmo trajeto.
Confira a seguir uma aplicação de relação entre es-
sas grandezas.
João decidiu contar o tempo que levava indo de casa 
à escola de bicicleta com diferentes velocidades. Obser-
ve a sequência registrada.
Tempo (min) 2 4 5 1
Velocidade (m/s) 30 15 12 60
Podemos fazer a seguinte relação com os números 
das sequências:
Escrevendo como igualdade de razões, temos:
Nesse exemplo, a sequência de tempo (2, 4, 5 e 1) é 
inversamente proporcional à velocidade média pedalan-
do (30, 15, 12 e 60) e a constante de proporcionalidade 
(k) entre essas grandezas é 60.
Observe que quando um número de uma sequên-
cia dobra, o número da sequência correspondente reduz 
pela metade.
Cálculo de grandeza inversamente proporcional 
com regra de três.
No exemplo do João indo de casa à escola de bici-
cleta.
↑ maior velocidade = ↓ menor tempo (grandezas in-
versas)
Andando a 30 m/s João demora 2 min para chegar à 
escola. Se andar a 12 m/s, quanto tempo ele levará para 
completar o percurso?
Escrevendo as proporções
Como se trata de grandezas inversas, devemos in-
verter uma razão.
Utilizando a propriedade fundamental das propor-
ções, multiplicamos cruzado.
Como vimos na tabela do exemplo, se João diminuir 
a velocidade para 12 m/s, ele aumentará o tempo para 
5 min.
Regra de Três Simples e Composta
A regra de três é um processo matemático para a 
resolução de muitos problemas que envolvem duas ou 
mais grandezas diretamente ou inversamente pro-
porcionais.
Nesse sentido, na regra de três simples, é necessá-
rio que três valores sejam apresentados, para que assim, 
descubra o quarto valor.
Em outras palavras, a regra de três permite descobrir 
um valor não identificado, por meio de outros três.
A regra de três composta, por sua vez, permite des-
cobrir um valor a partir de três ou mais valores conhe-
cidos.
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais 
quando, o aumento de uma implica no aumento da ou-
tra na mesma proporção.
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Raciocínio Lógico-Matemático
Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e 
encontrar a seguinte expressão para o montante:
A fórmula que encontramos é uma função afim, des-
ta forma, o valor do montante cresce linearmente em 
função do tempo.
Exemplo
Se o capital de R$ 1 000,00 rende mensalmente R$ 
25,00, qual é a taxa anual de juros no sistema de juros 
simples?
Solução
Primeiro, vamos identificar cada grandeza indicada 
no problema.
C = R$ 1 000,00
J = R$ 25,00
t = 1 mês
i = ?
Agora que fizemos a identificação de todas as gran-
dezas, podemos substituir na fórmula dos juros:
Entretanto, observe que essa taxa é mensal, pois 
usamos o período de 1 mês. Para encontrar a taxa anual 
precisamos multiplicar esse valor por 12, assim temos:
i = 2,5.12= 30% ao ano
Fórmula de juros compostos
O montante capitalizado a juros compostos é en-
contrado aplicando a seguinte fórmula:
Sendo,
M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: período de tempo
Diferente dos juros simples, neste tipo de capitaliza-
ção, a fórmula para o cálculo do montante envolve uma 
variação exponencial. Daí se explica que o valor final au-
mente consideravelmente para períodos maiores.
Exemplo
Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 apli-
cado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, no sistema 
de juros compostos.
Solução
Identificando as informações dadas, temos:
C = 2 000
i = 4% ou 0,04 ao trimestre
t = 1 ano = 4 trimestres
M = ?
Substituindo esses valores na fórmula de juros com-
postos, temos:
Observação: o resultado será tão melhor aproxima-
do quanto o número de casas decimais utilizadas na po-
tência.
Portanto, ao final de um ano o montante será igual 
a R$ 2 339,71.
Porcentagem
A Porcentagem ou Percentagem representa uma 
razão cujo denominador é igual a 100 e indica uma com-
paração de uma parte com o todo.
O símbolo % é usado para designar a porcentagem. 
Um valor em porcentagem, pode ainda ser expresso na 
forma de fração centesimal (denominador igual a 100) 
ou como um número decimal.
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais 
quando, o aumento de uma implica na redução da ou-
tra.
Juros Simples e Compostos
Os juros simples e compostos são cálculos efetua-
dos com o objetivo de corrigir os valores envolvidos nas 
transações financeiras, isto é, a correção que se faz ao 
emprestar ou aplicar uma determinada quantia durante 
um período de tempo.
O valor pago ou resgatado dependerá da taxa co-
brada pela operação e do período que o dinheiro ficará 
emprestado ou aplicado. Quanto maior a taxa e o tem-
po, maior será este valor.
Diferença entre juros simples e compostos
Nos juros simples a correção é aplicada a cada perío-
do e considera apenas o valor inicial. Nos juros compos-
tos a correção é feita em cima de valores já corrigidos.
Por isso, os juros compostos também são chamados 
de juros sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre 
um valor que já foi corrigido.
Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou 
empréstimo a correção por juros compostos fará com 
que o valor final a ser recebido ou pago seja maior que o 
valor obtido com juros simples.
Diferença entre juros simples e compostos 
com o passar do tempo.
A maioria das operações financeiras utiliza a corre-
ção pelo sistema de juros compostos. Os juros simples se 
restringem as operações de curto período.
Fórmula de juros simples
Os juros simples são calculados aplicando a seguinte 
fórmula:
Sendo,
J: juros
C: valor inicial da transação, chamado em matemáti-
ca financeira de capital
i: taxa de juros (valor normalmente expresso em por-
centagem)
t: período da transação
Podemos ainda calcular o valor total que será resga-
tado (no caso de uma aplicação) ou o valor a ser quita-
do (no caso de um empréstimo) ao final de um período 
predeterminado.
Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do 
capital com os juros, ou seja:
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Raciocínio Lógico-Matemático
Exemplo:
Para facilitar o entendimento, veja a tabela abaixo:
Porcentagem Razão Centesimal Número Decimal
1% 1/100 0,01
5% 5/100 0,05
10% 10/100 0,1
120% 120/100 1,2
250% 250/100 2,5
Como Calcular a Porcentagem?
Podemos utilizar diversas formas para calcular a por-
centagem. Abaixo apresentamos três formas distintas:
- regra de três
- transformação da porcentagem em fração com 
denominador igual a 100
- transformação da porcentagem em número 
decimal
Devemos escolher a forma mais adequada conforme 
o problema que queremos resolver.
Exemplo 1:
Calcule 30% de 90
Para usar a regra de três no problema, vamoscon-
siderar que 90 corresponde ao todo, ou seja, 100%. O 
valor que queremos encontrar chamaremos x. A regra de 
três será expressa como:
Para resolver usando frações, primeiro temos que 
transformar a porcentagem em uma fração com deno-
minador igual a 100:
Podemos ainda transformar a porcentagem em nú-
mero decimal:
30% = 0,3
0,3 . 90 = 27
O resultado é o mesmo nas três formas, ou seja, 30% 
de 90 corresponde a 27.
Exemplo 2:
90 corresponde a 30% de qual valor?
Note que nesse exemplo, já conhecemos o resultado 
da porcentagem e queremos conhecer o valor que cor-
responde ao todo (100%).
Usando a regra de três, temos:
Podemos ainda resolver o problema trans-
formando a porcentagem em número decimal: 
30% = 0,3
Então é só resolver a seguinte equação:
Assim, 30% de 300 é igual a 90.
3) 90 corresponde a quanto por cento de 360?
Podemos resolver esse problema escrevendo na for-
ma de fração:
Ou ainda, podemos resolver usando regra de três:
Desta forma, 90 corresponde a 25% de 360.13
13. FUNÇÕES. 13.1 CONCEITO DE FUNÇÃO; 
13.2 FUNÇÃO DE VARIÁVEL REAL E SEU 
GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO; 
13.2 ESTUDO DAS FUNÇÕES DO 1º E 2º GRAUS; 
13.3 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES, 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO; 
Função
Na Matemática, função corresponde a uma associa-
ção dos elementos de dois conjuntos, ou seja, a função 
indica como os elementos estão relacionados.
Por exemplo, uma função de A em B significa as-
sociar cada elemento pertencente ao conjunto A a um 
único elemento que compõe o conjunto B, sendo assim, 
um valor de A não pode estar ligado a dois valores de B.
Notação para função: f: A → B (lê-se: f de A em B).
Representação das funções
Em uma função f: A → B o conjunto A é chamado de 
domínio (D) e o conjunto B recebe o nome de contrado-
mínio (CD).
Um elemento de B relacionado a um elemento de 
A recebe o nome de imagem pela função. Agrupando 
todas as imagens de B temos um conjunto imagem, que 
é um subconjunto do contradomínio.
Exemplo: observe os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = 
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, com a função que determina a rela-
ção entre os elementos f: A → B é x → 2x. Sendo assim, 
f(x) = 2x e cada x do conjunto A é transformado em 2x 
no conjunto B.
13 Fonte: https://www.todamateria.com.br/
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Raciocínio Lógico-Matemático
Exemplo:
Para a função acima:
- O domínio é {-1, 1, 2, 4}
- O contradomínio é {2, 3, 5, 7}
- O conjunto imagem é {2, 3, 5, 7}
Função inversa
A função inversa é um tipo de função bijetora, por 
isso é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.
Através desse tipo de função é possível criar novas 
funções ao inverter os elementos.
Função composta
A função composta é um tipo de função matemática 
que combina duas ou mais variáveis.
Duas funções, f e g, podem ser representadas como 
função composta por:
fog (x) = f(g(x))
gof (x) = g(f(x))
Função modular
A função modular associa elementos em módulos e 
seus números são sempre positivos.
Função afim
A função afim, também chamada de função do 1º 
grau, apresenta uma taxa de crescimento e um termo 
constante.
f(x) = ax + b
a: coeficiente angular
b: coeficiente linear
Função linear
A função linear é um caso particular da função afim, 
sendo definida como f(x) = ax.
Quando o valor do coeficiente (a) que acompanha o 
x da função for igual a 1, a função linear é uma função 
identidade.
Função quadrática
A função quadrática é também chamada de função 
do 2º grau.
f(x) = ax2+ bx + c, sendo a ≠ 0
a, b e c: coeficientes da função polinomial de grau 2.
Função logarítmica
A função logarítmica de base a é representada por 
f(x) = loga x, sendo a real positivo e a ≠ 1.
Ao invertermos a função logarítmica passamos a ter 
uma função exponencial.
Função exponencial
A função exponencial apresenta uma variável no ex-
poente e a base é sempre maior que zero e diferente de 
um.
f(x) = ax, sendo a > 0 e a ≠ 0
Note que o conjunto de A {1, 2, 3, 4} são as entradas, 
“multiplicar por 2” é a função e os valores de B {2, 4, 6, 
8}, que se ligam aos elementos de A, são os valores de 
saída.
Portanto, para essa função:
- O domínio é {1, 2, 3, 4}
- O contradomínio é {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
- O conjunto imagem é {2, 4, 6, 8}
Tipos de funções
As funções recebem classificações de acordo com 
suas propriedades. Confira a seguir os principais tipos.
Função sobrejetora
Na função sobrejetora o contradomínio é igual ao 
conjunto imagem. Portanto, todo elemento de B é ima-
gem de pelo menos um elemento de A.
Notação: f: A → B, ocorre a Im(f) = B
Exemplo:
Para a função acima:
- O domínio é {-4, -2, 2, 3}
- O contradomínio é {12, 4, 6}
- O conjunto imagem é {12, 4, 6}
Função injetora
Na função injetora todos os elementos de A pos-
suem correspondentes distintos em B e nenhum dos 
elementos de A compartilham de uma mesma imagem 
em B. Entretanto, podem existir elementos em B que não 
estejam relacionados a nenhum elemento de A.
Exemplo:
Para a função acima:
- O domínio é {0, 3, 5}
- O contradomínio é {1, 2, 5, 8}
- O conjunto imagem é {1, 5, 8}
Função bijetora
Na função biejtora os conjuntos apresentam o mes-
mo número de elementos relacionados. Essa função 
recebe esse nome por ser ao mesmo tempo injetora e 
sobrejetora.
60
Raciocínio Lógico-Matemático
Função polinomial
A função polinomial é definida por expressões polinomiais.
f(x) = an . xn + an – 1 . xn – 1 + ...+a2 . x2 + a1 . x + a0
an, an-1, ... , a2, a1, a0: números complexos
n: número inteiro
x: variável complexa
Funções trigonométricas
As funções trigonométricas estão relacionadas com as voltas no ciclo trigonométrico, como:
Função Seno: f(x) = sen x
Função Cosseno:f(x) = cos x
Função Tangente: f(x) = tg x
Gráfico de uma função
A maneira como um elemento y se relaciona com um elemento x é expressa por meio de um gráfico, que nos dá 
a ideia do comportamento da função.
Cada ponto no gráfico é dado por um par ordenado de x e y, onde x é o valor de entrada e y é o resultado da 
relação definida pela função, ou seja, x → função → y.
Para construir um gráfico, cada elemento x da função deve ser inserido no eixo horizontal (abcissas) e os elemen-
tos y são posicionados no eixo vertical (ordenadas).
Confira alguns exemplos de gráficos de funções.
Variáveis e Funções
Podemos designar função como uma relação entre dois conjuntos, representada por uma lei de formação, que 
associa os valores de x e y. De acordo com a lei de formação, cada valor de y depende do valor de x, essa relação de 
dependência é a principal característica de uma função. O estudo das funções exige conhecimentos básicos, que aju-
dam na interpretação de situações problemas e desenvolvimento de cálculos.
Conjunto dos números reais
Envolve os números racionais (inteiros e fracionários) e os números irracionais. Exemplos: –3, 2/3, –9/2, √2, π, √5, 
1, 0, 3, 2/5.
Valor absoluto ou módulo
O módulo de um número real x é definido por |x| = 0, se o número x = 0, |x| = x se positivo e |–x| = x se x negativo. 
Exemplos:
|2| = |–2| = 2
|4 – 5| = |5 – 4| = 1
|x – b| = b – x, se b > x
|x – b| = x – b, se x > b
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Raciocínio Lógico-Matemático
Escala numérica real
Consiste em uma reta onde são representados por meio de pontos os números reais. Um número somente é re-
presentado por um único ponto e vice-versa. Os números positivos e negativos são representados em lados opostos, 
em relação ao referencial 0 (zero). A distância entre os pontos numéricos e o 0 é determinada pelo módulo do número. 
A direita do 0 estão situados todos os números em ordem crescente e a esquerda do 0, todos os números em ordem 
decrescente.
Variável
É um símbolo representativo (incógnita) capaz de representar o número de um conjunto real. O conjunto destaca-
do é o campo ou domínio da incógnita. Veja os exemplos:
x é um produto na prateleira de um supermercado. O domínio de x pode ser o conjunto dos inteiros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8, ..... 15.
x é um dia do mês de janeiro. O domínio é representado pelos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 31.
x é a quantidade (em litros) de combustível de umtanque de automóvel que pode ser usado, cuja capacidade é de 
60 litros. O domínio será 0 ≤ x ≤ 60.
Constante
Refere-se a uma determinada quantidade a qual o valor permanece inalterado num determinado problema. O 
domínio de uma constante é meramente um número.
Função de uma variável
Dizemos que uma variável y é função de outra variável x, quando y = f(x), isto é, cada valor do domínio x corres-
ponde a um ou mais valores em y. Exemplos:
A área do círculo é uma função do seu raio.
A área do quadrado é uma função do seu lado.
Caso haja necessidade de representar num mesmo problema várias funções de x, usamos símbolos diferentes, tais 
como f(x), h(x), g(x), p(x), e etc.
Exemplos de funções e resoluções
a) Dada a função f(x) = x² – 2, determinar f(0), f(2), f(–3), f(1/2).
f(0) = 0² – 2 → f(0) = 0 – 2 → f(0) = – 2
f(2) = 2² – 2 → f(2) = 4 – 2 → f(2) = 2
f(–3) = (–3)² – 2 → f(–3) = 9 – 2 → f(–3) = 7
f(1/2) = (1/2)² – 2 → f(1/2) = 1/4 – 2 → f(1/2) = –7/4
Construção do gráfico cartesiano de uma função
Para construir o gráfico de uma função f, basta atribuir valores do domínio à variável x e, usando a sentença ma-
temática que define a função, calcular os correspondentes valores da variável y.
Vamos construir o gráfico da função definida por y=x/2. Escolhemos alguns valores para o domínio, como por 
exemplo D={2,4,6,8}. Agora calculamos os respectivos valores de y. Assim temos:
x=2 y=2/2 = 1
x=4 y=4/2 = 2
x=6 y=6/2 = 3
x=8 y=8/2 = 4
Então, montamos a seguinte tabela:
Identificamos os pontos encontrados no plano cartesiano:
62
Raciocínio Lógico-Matemático
O gráfico da função será uma reta que passará pelos quatro pontos encontrados. Basta traçar a reta, e o gráfico 
estará construído.
Obs: para desenhar o gráfico de uma reta são necessários apenas dois pontos. No exemplo acima escolhemos 4 
pontos, mas bastaria escolher dois elementos do domínio, encontrar suas imagens, e logo após traçar a reta que passa 
por esses 2 pontos.
Função de 1º grau
A formação de uma função do 1º grau é expressa da seguinte forma: y = ax + b, onde a e b são números reais 
e a é diferente de 0.
Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma dependente da outra, isto é, para cada valor atribuído a x corres-
ponde um valor para y. Definimos essa dependência como função, nesse caso, y está em função de x. O conjunto de 
valores conferidos a x deve ser chamado de domínio da função e os valores de y são a imagem da função.
Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma função do 1º grau a lei de formação será a se-
guinte: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.
Esse tipo de função deve ser dos Reais para os Reais.
A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos 
a dependência entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica 
se a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano 
cartesiano. Observe:
Função crescente Função decrescente
Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam.
Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem.
Exemplos de funções do 1º grau
y = 4x + 2, a = 4 e b = 2
y = 5x – 9, a = 5 e b = –9
y = – 2x + 10, a = – 2 e b = 10
y = 3x, a = 3 e b = 0
y = – 6x – 1, a = – 6 e b = – 1
y = – 7x + 7, a = –7 e b = 7
Raiz ou zero de uma função do 1º grau
Para determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau é preciso considerar y = 0. De acordo com gráfico, no 
instante em que y assume valor igual a zero, a reta intersecta o eixo x em um determinado ponto, determinando a raiz 
ou o zero da função.
63
Raciocínio Lógico-Matemático
Vamos determinar a raiz das funções a seguir:
y = 4x + 2
y = 0
4x + 2 = 0
4x = –2
x = –2/4
x = –1/2
A reta representada pela função y = 4x + 2 intersecta 
o eixo x no seguinte valor: –1/2
y = – 2x + 10
y = 0
– 2x + 10 = 0
– 2x = – 10 (–1)
2x = 10
x = 10/2
x = 5
A reta representada pela função y = – 2x + 10 inter-
secta o eixo x no seguinte valor: 5 
y = – 7x + 7
y = 0
–7x + 7 = 0
–7x = –7
x = 1
A reta representada pela função y = –7x + 7 intersec-
ta o eixo x no seguinte valor: 1
y = 3x
y = 0
3x = 0
x = 0
A reta representada pela função y = 3x intersecta o 
eixo x no seguinte valor: 0
Função de 2º grau
A função de segundo grau, também chamada de 
função quadrática ou função polinomial do 2° grau, é 
escrita como: f(x) = ax² + bx + c. Sendo os coeficientes 
“a, b e c” números reais e “a” diferente de 0 (zero). 
O grau da função é determinado de acordo com o 
maior expoente que a incógnita x assume. Ou seja, se em 
uma função a incógnita x não tiver nenhum expoente, 
ela é classificada como de primeiro grau, mas se ela tiver 
o número dois como maior expoente, ela é classificada 
como de segundo grau.
Confira abaixo alguns tipos de funções polinomiais: 
• Função de primeiro grau: f(x) = ax + b. Exemplo: 
f(x) = 2x + 1;
• Função de segundo grau: f(x) = ax² + bx+ c. 
Exemplo: f(x)= 4x² – 2x;
• Função de terceiro grau: f(x) = ax³ + bx² + cx + d. 
Exemplo: f(x) 2x³ + x² + 2x + 1; 
A função de segundo grau é ordenada de forma 
decrescente em relação aos seus expoentes. Confira 
como acontece a organização dela:
• f(x) = bx+ ax² + cx°: os expoentes que 
acompanham a incógnita x são respectivamente: 1, 2 e 0;
• f(x) = ax² + bx + cxº=0: deve-se organizar 
de forma decrescente os valores dos expoentes que 
acompanham as incógnitas;
• f(x) = ax² + bx + c = 0: sabendo que qualquer 
valor elevado ao expoente 0 (zero) é 1, temos cxº= c, 
logo 1 = c. 
Função de segundo grau completa e incompleta
Uma função de segundo grau pode ser classificada 
como completa se todos os seus coeficientes (a, b e c) 
forem diferentes de 0 (zero). 
Exemplos:
f(x) = 2x² + 2y+ 1 --> a = 2, b = 2 e c = 1
f(x) = x² + 4y+ 6 --> a = 1, b = 4 e c = 6
A função de segundo grau também pode ser 
classificada como incompleta se um dos coeficientes, b 
ou c, forem iguais a 0 (zero). 
Exemplos:
f(x) = 2x² + 2 --> a = 2, b = 0 e c = 2
f(x) = 5x² --> a = 5, b = 0 e c = 0
Gráfico da função de segundo grau
A representação gráfica da função de segundo grau 
é uma parábola. Se a > 0, a concavidade da parábola 
estará voltada para cima e se a 0. (Foto: Wikipédia)
a 0, a função tem duas raízes reais distintas e 
a parábola intercepta o eixo x em dois pontos diferentes;
• Se = 0, a função tem duas raízes reais iguais e a 
parábola é tangente ao eixo x;
• Se 0, a parábola irá cortar o eixo Y acima da 
origem;
Se c0, a partir do ponto de corte do eixoY a 
curvatura da parábola irá subir;
Se b = 0, após o ponto de corte não haverá 
inclinações. 
Função crescente e decrescente
A função crescente é aquela em que y aumenta 
toda vez que x é aumentado. A função decrescente é 
aquela em que y diminui toda vez que x é aumentado.
O gráfico da função crescente está inclinado para 
cima, e o da função descrente está inclinado para baixo
Funções são regras que ligam cada elemento de 
um conjunto a um único elemento de outro conjunto. 
Quando se trata de conjuntos numéricos, essas funções 
assemelham-se a equações que relacionam os elemen-
tos de um conjunto a outro por meio de suas variáveis. 
Uma função é crescente quando, aumentando-se os 
valores atribuídos ao domínio, os valores do contrado-
mínio ficam cada vez maiores; caso contrário, a função 
é decrescente.
Para melhor compreender essas definições, veja al-
guns exemplos. Observe:
Funções crescentes
Um exemplo de função crescente é a função y = 4x 
+ 5. Para perceber isso, observe a tabela a seguir:
Observe que o valor de x, a cada linha, é aumentado 
em uma unidade. Consequentemente, realizando-se os 
cálculos de y a partir da função dada, percebemos que, 
a cada linha, o valor dessa variável aumenta em quatro 
unidades.
Assim, quando o valor de x aumenta, o valor de y 
também aumenta. Por essa razão, a função é crescente. 
Além disso, apenas observando o gráfico dessa função, é 
possível perceber que ela é crescente, pois, quanto mais 
à direita, mais alta a reta fica.
Também é possível dizer que uma função é crescen-
te quando, diminuindo-se os valores de x, os valores de 
y diminuem também.
Exemplo:
Mostre que a função y = 7x + 1 é crescente.
Se x = 0
y = 7x + 1 = 7·0 + 1 = 1
Se x = 1
y = 7x + 1 = 7·1 + 1 = 8
Como o valor de y aumenta quando aumentamos o 
valor de x, a função é crescente.
Observe que essa é uma função do primeiro grau, 
portanto, o seu gráfico é uma reta. Em uma mesma 
reta, é impossível haver intervalos crescentes e decres-
centes. Se em um intervalo a reta for crescente, então, 
ela será em toda a sua extensão.
Dessa maneira, basta observar em dois valores de x 
que y aumenta para garantir que toda a reta seja cres-
cente.
Função decrescente
Uma função decrescente é aquela em que o valor 
da variável y diminui sempre que a variável x aumenta. 
Um exemplo de função decrescente é a seguinte: y = – 
3x + 3. Para perceber isso, observe a tabela a seguir:
65
Raciocínio Lógico-Matemático
Observe que, cada vez que o valor de x aumenta 
uma unidade, o valor de y diminui três unidades. Dessa 
maneira, essa função é decrescente.
Além de observar os valores na tabela, também é 
possível definir se uma função do primeiro grau é cres-
cente ou decrescente a partir da análise do seu gráfico. 
Observe o gráfico decrescente da função acima:
Exemplo:
Mostre que a função y = – x é decrescente.
Para tanto, basta mostrar que, aumentando-se o va-
lor de x, o valor de y diminui. Escolheremos, para isso, os 
valores x = 0 e x = 1. Observe:
Se x = 0,
y = – x = – 0 = 0
Se x = 1,
y = – x = – 1
Observe que, aumentando-se uma unidade no valor 
de x, o valor de y cai uma unidade; logo, a função é de-
crescente.
Como identificar funções crescentes e decrescen-
tes sem cálculos
Existe uma maneira de dizer se uma função do pri-
meiro grau é crescente ou decrescente sem fazer qual-
quer cálculo. Para isso, basta observar o valor do coefi-
ciente “a” da função. Esse coeficiente é proveniente da 
forma geral da função do primeiro grau:
y = ax + b
“a” é o número que multiplica a variável, e b é uma 
constante. A regra para identificar se funções do primei-
ro grau são crescentes ou não é a seguinte:
Se a > 0, a função é crescente;
Se a 0.
b) y = – x
Decrescente, pois a = – 1 0.
Quando uma função não é crescente nem decres-
cente, ou seja, quando a = 0, ela é uma função constan-
te. Sempre que aumentamos ou diminuímos o valor de 
x, y permanece constante. O gráfico de um exemplo de 
função constante é o seguinte:
y = 2
Máximos e Mínimos de uma função
De forma bem resumida, podemos dizer que os pon-
tos de Máximos e Mínimos de uma função são os pontos 
de picos e de depressões da função. Veja o gráfico:
Observando o gráfico podemos identificar que os 
pontos f(a) e f(b) são pontos de máximo local e f(0) é 
ponto de mínimo local. 
Ainda mais, podemos dizer que o ponto f(b) é um 
máximo absoluto e f(0) é ponto de mínimo absoluto, 
pois f(b) é o maior valor de f e f(0) é o menor valor de f :
 .
Mas como encontrar estes pontos em uma função 
qualquer que não se conheça o gráfico?
Observamos que nos pontos de máximos e de míni-
mos de uma função com intervalos infinitos encontram-
-se os pontos críticos (pontos de inflexão).
Assim, quando derivamos e igualamos a zero, en-
contram-se estes pontos, .
Cuidado: nem todo ponto de inflexão é um ponto 
de máximo ou mínimo, sempre faça o estudo do sinal da 
função antes e depois dos pontos encontrados, pois o 
sinal deve mudar. 
Veja o exemplo da função para o domí-
nio , na qual e onde en-
contramos , porém esta função é monótona cres-
cente (sempre crescente), não havendo troca de sinal em 
0. Logo, não há pontos de máximos e de mínimos.
Obs: quando temos uma função f continua em um 
intervalo fechado, [a,b], então tem-se pontos de máxi-
mos ou mínimos locais em a e b, mas não necessaria-
mente máximos ou mínimos absolutos.14
14 Fonte:https://mundoeducacao.uol.com.br/https://www.somatematica.com.
br/https://www.dicasdecalculo.com.br/https://www.educamaisbrasil.com.br/ 
https://www.todamateria.com.br
66
Raciocínio Lógico-Matemático
EXERCÍCIOS
01. (FUNDATEC/2019 - Prefeitura de Sapucaia 
do Sul/RS) Assinale a alternativa que apresenta um 
exemplo de tautologia.
a) A prova está fácil.
b) A prova está difícil.
c) João estudou para a prova e Maria ficou feliz.
d) João é alto ou João não é alto.
e) Se Pedro estudou, então passou no concurso.
02. (FGV/2021 - FUNSAÚDE - CE) O advogado 
de uma empresa afirmou ao diretor que: “Todos os 
processos relativos à empresa X foram finalizados” 
Dias depois, o diretor foi informado que essa 
afirmação não era verdadeira. O diretor concluiu 
logicamente que
a) nenhum processo da empresa X foi finalizado. 
b) somente um processo da empresa X não foi 
finalizado.
c) pelo menos um processo da empresa X não foi 
finalizado. 
d) foi finalizado pelo menos um processo que não se 
refere à empresa X.
e) todos os processos finalizados não se referiam à 
empresa X.
03. (CONSULPLAN/2018 - Câmara de Belo 
Horizonte/MG) Ônibus são incendiados em Belo 
Horizonte e na Região Metropolitana
De acordo com a Polícia Militar, quatro coletivos fo-
ram atacados. Em um dos incêndios, os bandidos deixa-
ram um bilhete reivindicando melhorias em presídio da 
Grande BH.
(Disponível em: https://g1.globo.com/mg/minas-ge-
rais/noticia/onibus-sao-incendiados-em-belo-horizonte-
-e-na-regiao-metropolitana.ghtml.)
Há fumaça saindo do terminal de ônibus inter-
municipais e vários carros do Corpo de Bombeiros 
indo naquela direção. Pode-se concluir, portanto, 
que há incêndio no citado terminal. Temos, portanto, 
um argumento
a) dedutivo.
b) indutivo forte.
c) indutivo fraco.
d) lógico dedutivo.
04. (AMEOSC/2019 - Prefeitura de São João do 
Oeste/SC) Uma criança possui um baú com bolas 
vermelhas, bolas amarelas e bolas azuis. Ela retira 
uma bola, observa a sua cor e, em seguida, a devolve 
para o baú. Tal procedimento é repetido três vezes. 
Pode-se dizer que o número de resultados possíveis, 
nas 3 extrações sucessivas, é de:
a) 3.
b) 9.
c) 18.
d) 27.
05. (MS CONCURSOS/2019 - Prefeitura de 
Sonora/MS) Os termos que completam a sequência 
a seguir são:
a) 9 e 1.
b) 9 e 0.
c) 18 e 1.
d) 18 e 0.
06. (IBADE/2020 – Prefeitura de Vila Velha - ES) 
Exemplos comuns de medidasde dispersão estatística 
são:
I – média;
II – mediana;
III – variância;
IV - desvio padrão;
V - amplitude interquartil.
Está(ão) correta(s):
a) somente V
b) somente V e IV.
c) somente V, IV e III.
d) somente V, IV, III e II.
e) l, ll, lll, lV e V.
07. (CESPE / CEBRASPE/2020 - TJ-PA) 
Considerando que a inferência estatística é um 
processo que consiste na utilização de observações 
feitas em uma amostra com o objetivo de estimar as 
propriedades de uma população, assinale a opção 
correta.
a) Na estatística inferencial, um parâmetro é um 
valor conhecido, extraído de uma amostra, utilizado para 
a estimação de uma grandeza populacional.
b) Independentemente do tamanho da amostra, 
um estimador consistente sempre irá convergir para o 
verdadeiro valor da grandeza populacional.
c) A amplitude de uma amostra definirá se a 
média amostral poderá ser um estimador de máxima 
verossimilhança da média populacional.
d) Sendo â um estimador de máxima verossimilhança 
de um parâmetro a, então E
e) Sendo a e b estimadores de um mesmo parâmetro 
cujas variâncias são simbolizadas por Var(a) e Var(b). 
Se Var(a) > Var(b), então é correto afirmar que a é um 
melhor estimador que b.
08. (CESPE/2017 – TCE/PE) Um estudo de 
acompanhamento ambiental considerou, para j = 
1,2,..., 26, um modelo de regressão linear simples na 
forma: yj = a + bxj + ej, em que a e b são constantes 
reais, yj representa a variável resposta referente 
ao j-ésimo elemento da amostra, xj é a variável 
regressora correspondente, e ej denota o erro 
aleatório que segue distribuição normal com média 
nula e variância V. Aplicando-se, nesse estudo, o 
método dos mínimos quadrados ordinários, obteve-
se a reta ajustada ŷj =1 + 2xj, para j = 1,2,..., 26.
Considerando que a estimativa da variância V seja 
igual a 6 e que o coeficiente de explicação do modelo (R 
quadrado) seja igual a 0,64, julgue o próximo item.
O desvio padrão amostral da variável regressora é 
igual a 1,6.
( ) Certo ( ) Errado
67
Raciocínio Lógico-Matemático
09. (CESPE/2017 – SEDF) Um levantamento 
estatístico, feito em determinada região do país, 
mostrou que jovens com idades entre 4 e 17 anos 
assistem à televisão, em média, durante 6 horas por 
dia. A tabela a seguir apresenta outras estatísticas 
produzidas por esse levantamento.
Tendo como referência essas informações, julgue o 
seguinte item.
O índice percentílico de curtose foi superior a 0,4, 
o que sugere que a distribuição dos tempos T seja lep-
tocúrtica.
( ) Certo ( ) Errado
10. (CESPE/2017 – TCE/PE) Um estudo de 
acompanhamento ambiental considerou, para j = 
1,2,..., 26, um modelo de regressão linear simples na 
forma: yj = a + bxj + ej, em que a e b são constantes 
reais, yj representa a variável resposta referente 
ao j-ésimo elemento da amostra, xj é a variável 
regressora correspondente, e ej denota o erro 
aleatório que segue distribuição normal com média 
nula e variância V. Aplicando-se, nesse estudo, o 
método dos mínimos quadrados ordinários, obteve-
se a reta ajustada ŷj =1 + 2xj, para j = 1,2,..., 26.
Considerando que a estimativa da variância V seja 
igual a 6 e que o coeficiente de explicação do modelo (R 
quadrado) seja igual a 0,64, julgue o próximo item.
A correlação linear entre as variáveis x e y é igual a 
0,5, pois a reta invertida proporcionada pelo método de 
mínimos quadrados ordinários é expressa por 
, para j = 1,2,...,26.
( ) Certo ( ) Errado
11. (CESPE/2017 – TCE/PE) Um estudo de 
acompanhamento ambiental considerou, para j = 
1,2,..., 26, um modelo de regressão linear simples na 
forma: yj = a + bxj + ej, em que a e b são constantes 
reais, yj representa a variável resposta referente 
ao j-ésimo elemento da amostra, xj é a variável 
regressora correspondente, e ej denota o erro 
aleatório que segue distribuição normal com média 
nula e variância V. Aplicando-se, nesse estudo, o 
método dos mínimos quadrados ordinários, obteve-
se a reta ajustada ŷj =1 + 2xj, para j = 1,2,..., 26.
Considerando que a estimativa da variância V seja 
igual a 6 e que o coeficiente de explicação do modelo (R 
quadrado) seja igual a 0,64, julgue o próximo item.
A razão , para cada j = 1,2...,26, é uma variável 
aleatória que segue distribuição normal com média nula 
e variância unitária.
( ) Certo ( ) Errado
12. (CESPE/2017 – SEDF) Um estudo estatístico 
será realizado para avaliar a condição socioambiental 
de estudantes do 5.º ano do ensino fundamental das 
escolas da rede pública do DF. A partir de uma lista 
que contempla todas as turmas do 5.º ano do ensino 
fundamental das escolas da rede pública do DF, serão 
selecionadas aleatoriamente 50 turmas. Em seguida, 
os entrevistadores aplicarão questionários para todos 
os estudantes matriculados nessas 50 turmas.
Com base nessas informações, julgue o seguinte 
item.
A técnica de amostragem a ser empregada nesse es-
tudo deverá ser a da amostragem aleatória estratificada, 
em que cada turma constitui um estrato de estudantes 
do 5.º ano do ensino fundamental da rede pública do DF.
( ) Certo ( ) Errado
13. (CESPE/2017 – TCE/PE) Para avaliar se a pro-
porção p de itens defeituosos enviados por um for-
necedor estava acima do valor pactuado de 0,025, 
um analista, a partir de uma amostra aleatória de 
itens enviada por esse fornecedor, testou a hipótese 
nula H0: p ≤ 0,025 contra a hipótese alternativa H1: p 
> 0,025, utilizando nível de significância α = 1%. 
A respeito dessa situação hipotética, julgue o se-
guinte item.
Caso o P-valor do teste efetuado pelo analista seja 
igual a 0,005, é correto concluir que a afirmação propos-
ta na hipótese nula seja verdadeira.
( ) Certo ( ) Errado
14. (Creative Group/2021 - Prefeitura de Jequitibá 
- MG) Quantos anagramas é possível fazer com a 
palavra JEQUITIBA 
a) 9!
b) 9!/2!
c) 2!/9!
d) Nenhuma das alternativas
15. (Quadrix/2021 - CRP - MG) Assinale a 
alternativa correta. 
a) A negação de “Se é mineiro, então nasceu em 
Minas Gerais” é “Se não nasceu em Minas Gerais, então 
não é mineiro”.
b) A negação de “Todo psicólogo é intelectual” é 
“Nenhum psicólogo é intelectual”.
c) “Pão de queijo é gostoso!” é uma proposição.
d) “Brasília é a capital de Minas Gerais” é uma 
proposição.
e) As contradições são também denominadas 
proposições logicamente verdadeiras.
GABARITO
01 D
02 C
03 B
04 D
05 A
06 C
07 D
08 CERTO
09 ERRADO
10 CERTO
11 ERRADO
12 ERRADO
13 ERRADO
14 B
15 D
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Raciocínio Lógico-Matemático
 Anotações
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__________________________________________________________________________________________________________________________de partida do processo – de fato 
constituem uma boa razão para aceitar a conclusão 
alcançada, isto é, se a conclusão é uma consequência 
daquilo que sabemos.
Ou, em outras palavras, se a conclusão está 
adequadamente justificada em vista da informação 
disponível, se a conclusão pode ser afirmada a partir da 
informação que se tem.
Cezar Mortari
Podemos substituir a palavra “raciocínio” pela 
palavra “inferência”, ou seja, o ato de concluir algo a 
partir de duas ou mais informações conhecidas. A Lógica 
de Argumentação analisa a validade dos raciocínios e 
das inferências.
Por exemplo, considere as seguintes informações:
Todo padre é homem. José é padre. Logo, José é 
homem.
A partir de duas “informações” (Todo padre é 
homem/José é padre) chegamos à conclusão de que 
José é homem.
A Lógica de Argumentação verifica justamente se 
raciocínios assim são válidos.
Com essa noção geral, vamos para os conceitos 
específicos, para que tudo fique mais claro e preciso.
O que é proposição
A partícula básica do estudo da Lógica de 
Argumentação é a proposição, que nada mais é que 
a expressão linguística que pode ser verdadeira ou 
falsa.
Citando outro grande teórico da Lógica, Irving Copi, 
fica mais fácil compreender:
As proposições são verdadeiras ou falsas, e nisto 
diferem das perguntas, ordens e exclamações.
Só as proposições podem ser afirmadas ou negadas; 
uma pergunta pode ser respondida, uma ordem dada 
e uma exclamação proferida, mas nenhuma delas pode 
ser afirmada ou negada. Não é possível julgá-las como 
verdadeiras ou falsas.
Irving Copi
2 Fonte: www.okconcursos.com.br/www.tudodeconcursosevestibulares.blogs-
pot.com
Retomando o nosso exemplo, podemos dizer que 
“Todo padre é homem” é uma proposição, assim como 
as duas outras afirmações – José é padre/Logo, José é 
homem.
Eu tanto posso afirmar essas expressões como negá-
las.
(Alguns autores chamam as proposições de 
enunciado ou sentença. Mas o termo proposição é muito 
mais comum).
O que é um argumento?
Agora que sabemos o que é uma proposição, fica 
mais fácil entender o que é um argumento.
Vou citar novamente Copi:
Um argumento é qualquer grupo de proposições 
tal que se afirme ser uma delas derivada das outras, as 
quais são consideradas provas evidentes da verdade da 
primeira.
Irving Copi
Sim, o exemplo citado acima é um argumento. A 
proposição “José é homem” é derivada das proposições 
anteriores – Todo padre é homem/José é padre.
Um argumento é dividido em algumas partes. 
Entenda melhor a seguir.
Premissas e conclusões
A conclusão de um argumento é a proposição 
encontrada ao final da análise das premissas, que são as 
proposições iniciais.
Voltemos ao nosso exemplo:
PREMISSA 1: Todo padre é homem.
PREMISSA 2: José é padre.
CONCLUSÃO: José é homem.
Veja mais um exemplo para você fixar melhor o que 
são as premissas e as conclusões:
PREMISSA 1: Nenhum boi bebe vinho.
PREMISSA 2: Russo é um boi.
CONCLUSÃO: Russo não bebe vinho.
Compreendeu?
Se você teve alguma dúvida até aqui deixe um 
comentário para que possamos sanar suas dificuldades.
Verdade e Validade
Quando estamos falando de Lógica de Argumentação 
não importa muito se as proposições são verdadeiras ou 
não.
Considere o argumento a seguir:
PREMISSA 1: Toda planta tem asas
PREMISSA 2: A laranjeira é uma planta
CONCLUSÃO: A laranjeira tem asas
Esse é um argumento válido, mesmo que as 
proposições que o integram sejam falsas.
Validade diz respeito à correção do raciocínio. 
Verdade diz respeito à correspondência entre o que se 
afirma e a realidade.
Para a lógica, não importa se as proposições são 
verdadeiras ou falsas, quem estuda isso são as outras 
disciplinas. Na biologia, seria absurdo dizer que uma 
planta tem asas.
A lógica não se preocupa com isso. O importante é 
que o raciocínio desenvolvido está correto.
5
Raciocínio Lógico-Matemático
Argumento conjuntivo
Agora vamos começar a conhecer alguns tipos de 
argumento. O primeiro deles é o argumento conjuntivo.
Os argumentos conjuntivos são aqueles em que 
ocorre a conjunção “e” em alguma das premissas. 
Veja um exemplo:
PREMISSA 1: Todo padre é homem e possui nível 
superior.
PREMISSA 2: José é padre.
CONCLUSÃO: José é homem e possui nível superior.
A conjunção nos leva à ideia de intersecção. Ou seja, 
um ou mais elementos que faz parte de mais de um 
conjunto. Nesse caso, “padre” faz parte do conjunto dos 
homens e do conjunto do nível superior.
Argumento disjuntivo
Os argumentos disjuntivos são aqueles onde pelo 
menos uma das premissas possui uma disjunção “ou”.
Veja o exemplo a seguir:
PREMISSA 1: Todo padre é homem ou tem nível 
superior.
PREMISSA 2: Padre José é homem.
CONCLUSÃO: Padre José não tem nível superior.
A disjunção traz a ideia de exclusividade de um 
elemento em relação a dois conjuntos. No nosso 
exemplo, quem é padre não pode ser, ao mesmo tempo 
homem e ter nível superior. Se for um dos dois, não é o 
outro.
Argumento condicional
Esse é um tipo de argumento bastante comum para 
ser analisado em provas de concursos. Caracteriza-se 
pela utilização da forma “Se… Então…”.
Entenda melhor:
PREMISSA 1: Se o Palmeiras é campeão, irei 
comemorar.
PREMISSA 2: O Palmeiras é campeão.
CONCLUSÃO: Irei comemorar.
Esse tipo de argumento é bem autoexplicativo. A 
premissa impõe uma condição para que algo ocorra.
Argumento bicondicional
Nesse caso, a expressão que caracteriza o argumento 
é “se, e somente se…”.
Veja um exemplo:
PREMISSA 1: O padre reza a missa se, e somente se, 
for domingo.
PREMISSA 2: O padre reza a missa.
CONCLUSÃO: É domingo.
Argumento Dedutivo
Você já ouviu falar da diferença entre dedução e 
indução? Ter essa compreensão é bastante importante 
na Lógica de Argumentação.
Primeiro, vamos conhecer o que é um argumento 
dedutivo. Ele ocorre quando partimos do geral para o 
particular.
A conclusão do argumento está implícita nas 
premissas, como no nosso primeiro exemplo:
PREMISSA 1: Todo padre é homem.
PREMISSA 2: José é padre.
CONCLUSÃO: José é homem.
Argumento Indutivo
Já no argumento indutivo ocorre o contrário, 
passamos do particular para o geral. Ou seja, a partir da 
observação de vários casos particulares chegamos a uma 
conclusão geral.
Veja um exemplo:
PREMISSA 1: Os padres do Hemisfério Norte são 
homens.
PREMISSA 2: Os padres do Hemisfério Sul são 
homens.
CONCLUSÃO: Todos os padres são homens.
O que são falácias
Provavelmente você já deve ter ouvido falar que 
alguém estava dizendo uma falácia. Você sabe o que 
isso significa? Sabia que isso tem muito a ver com Lógica 
de Argumentação?
Falácia nada mais é que um argumento inválido. É 
quando alguém utiliza premissas que parecem sustentar 
a conclusão, mas que, após uma análise criteriosa 
percebe-se que a sustentação é inválida.
A seguir, 4 tipos de falácias bastante comuns:
Falácia do falso dilema
Quando limitamos as opções de escolha a um 
dilema, escondendo as demais possibilidades existentes.
Exemplo: ou vota no PSDB, ou vota no PT.
Na verdade, é possível votar em qualquer outro 
partido político.
Falácia do apelo à Ignorância
É quando consideramos que algo é verdadeiro só 
porque não há provas de que é falso.
Exemplo: existe vida após a morte. Nunca se provou 
o contrário!
O fato de não ter sido provado o contrário não 
garante que há, de fato, vida após a morte.
Falácia ad hominem
É quando desconsideramos a verdade para atacar 
quem profere a verdade.
Exemplo: João nunca jogou futebol, então não pode 
falar sobre as regras de uma partida.
Mesmo não tendo jogado futebol, João pode saber 
as regras de uma partida.
Falácia do apelo à autoridade
Nesse caso, consideramos um argumento verdadeiro 
apenas porque determinada autoridade falou.
Exemplo: Caetano Veloso disse que o violão tem 
cinco cordas. Como ele é um grande violonista, a 
afirmação é verdadeira.
A autoridade de Caetano Veloso como violonista 
não torna verdadeira a afirmação.
Tabela de Verdade
Uma ferramenta bastante utilizada para verificar 
a validade de argumentos em provas de concursoé a 
chamada Tabela de Verdade.
A Tabela de Verdade simula possibilidades de relações 
entre premissas nos diversos tipos de argumento, 
mostrando a conclusão que é obtida como resultado.3
4. TIPOS DE RACIOCÍNIO. 
Em lógica, pode-se distinguir três tipos de raciocínio 
lógico: dedução, indução e abdução.
Em lógica, pode-se distinguir três tipos de raciocínio 
lógico: dedução, indução e abdução. Dada uma premis-
sa, uma conclusão, e uma regra segundo a qual a pre-
missa implica a conclusão, eles podem ser explicados da 
seguinte forma:
3 Fonte: www.segredosdeconcurso.com.br
6
Raciocínio Lógico-Matemático
- Dedução corresponde a determinar a conclusão. 
Utiliza-se da regra e sua premissa para chegar a uma 
conclusão. Exemplo: “Quando chove, a grama fica 
molhada. Choveu hoje. Portanto, a grama está molhada.” 
É comum associar os matemáticos com este tipo de 
raciocínio.
- Indução é determinar a regra. É aprender a regra a 
partir de diversos exemplos de como a conclusão segue 
da premissa. Exemplo: “A grama ficou molhada todas as 
vezes em que choveu. Então, se chover amanhã, a grama 
ficará molhada.” É comum associar os cientistas com este 
estilo de raciocínio.
- Abdução significa determinar a premissa. Usa-
se a conclusão e a regra para defender que a premissa 
poderia explicar a conclusão. Exemplo: “Quando chove, 
a grama fica molhada. A grama está molhada, então 
pode ter chovido.” Associa-se este tipo de raciocínio aos 
diagnosticistas e detetives.
Raciocínio Dedutivo
Raciocínio dedutivo significa usar um dado conjunto 
de informações para deduzir outras informações a par-
tir da lógica. O raciocínio dedutivo pode ser usado para 
provar que essas novas informações são verdadeiras.
Exemplo:
Premissa principal: Todos os seres humanos são 
mortais.
Premissa menor: Sócrates é humano.
Conclusão: Sócrates é mortal.
Combinando a regra geral “todos os seres humanos 
são mortais” (premissa principal) com a situação espe-
cífica “Sócrates é humano” (premissa menor), pode-se 
concluir que “Sócrates é mortal”. Esse tipo específico de 
raciocínio - duas premissas gerando uma conclusão - é 
chamado de silogismo e normalmente é tema de testes 
de raciocínio dedutivo.
Observe que o raciocínio dedutivo não fornece no-
vas informações, apenas rearranja informações que já 
são conhecidas em novas afirmações ou verdades. En-
tão, raciocínio dedutivo é “se isso for verdade, então isso 
também é verdade”.
Raciocínio Indutivo
O raciocínio indutivo visa encontrar padrões ou ten-
dências e, em seguida, fazer uma generalização e extra-
polar. Portanto, não se tem certeza de que uma conclu-
são baseada no raciocínio indutivo é 100% verdadeira. 
Uma hipótese famosa é:
“Todos os cisnes são brancos”
Esta conclusão foi obtida após observar-se que den-
tre uma grande quantidade de cisnes nenhum era negro. 
Consequentemente, assumiu-se que cisnes negros não 
existem. O raciocínio indutivo é, portanto, uma forma 
arriscada de raciocínio lógico, uma vez que a conclusão 
pode ser facilmente refutada bastando, nesse caso dos 
cisnes, encontrar um único cisne negro.
Outro exemplo comum de raciocínio indutivo usa-
do frequentemente em testes de aptidão são sequências 
numéricas. Tente determinar o padrão, generalize e ex-
trapole para encontrar o próximo número da série.
6, 9, 12, 15, ?
A resposta lógica para essa tendência parece ser 18, 
mas você não pode dar 100% de certeza. Existe a pos-
sibilidade dessa sequência representar algo estranho, 
diferente do esperado, fazendo com que o próximo nú-
mero da série fuja do padrão óbvio.
Outra forma comum de teste de raciocínio indutivo 
consiste em sequências de figuras (raciocínio abstrato). 
Eles seguem a mesma metodologia mencionada ante-
riormente: encontre o padrão e extrapole para encontrar 
a próxima figura.
Raciocínio indutivo consiste basicamente nisso: olhe 
para as informações dadas, faça uma generalização e ex-
trapole. Nesses casos, sempre haverá o julgamento de 
uma generalização, que pode ou não ser verdade. En-
quanto no raciocínio dedutivo, não há julgamento. As 
conclusões são verdades com base nas informações for-
necidas.
Raciocínio Abdutivo
O raciocínio abdutivo é um pouco semelhante ao 
raciocínio indutivo. Inicialmente era chamado de “adivi-
nhação”, já que as conclusões apresentadas são basea-
das em probabilidades. No raciocínio abdutivo presume-
-se que a conclusão mais plausível é também a correta.
Exemplo:
Premissa principal: O pote está cheio de bolinhas 
amarelas.
Premissa menor: João tem uma bolinha amarela na 
mão.
Conclusão: A bolinha amarela na mão do João foi 
retirada do pote.
Por raciocínio abdutivo, a possibilidade de João ter 
pego a bolinha amarela do pote é razoável, mas é pu-
ramente baseada em especulação. A bolinha amarela 
poderia ter sido, por exemplo, comprada em uma loja. 
Portanto, abduzir que João pegou a bolinha amarela do 
pote a partir da observação do “pote cheio de bolinhas 
amarelas” pode levar a uma conclusão falsa.
Raciocínio Lógico Formal e Informal
O raciocínio formal é um tipo de raciocínio lógico 
baseado em premissas e conclusões válidas e, portanto, 
é uma forma de raciocínio dedutivo. Enquanto que no 
raciocínio informal, além de todos os elementos dedu-
tivos do raciocínio formal, também é usado probabili-
dades para obter-se conclusões. Dessa forma, pode-se 
dizer que o raciocínio informal está relacionado ao ra-
ciocínio abdutivo.
O que você precisa entender é que a resposta corre-
ta para qualquer argumento de raciocínio lógico requer 
a identificação adequada de relações entre afirmações 
(tipicamente fatos e opiniões) e não a exatidão dessas 
afirmações.4
4 Fonte: www.fnde.gov.br/www.wikyhub.com
7
Raciocínio Lógico-Matemático
5. PROPOSIÇÕES LÓGICAS 
SIMPLES E COMPOSTAS. 
Chamamos de proposições uma declaração que re-
presenta um sentido completo, que pode ser verdadeira 
ou falsa.
Exemplo:
-- 2 > 1: é uma proposição com valor lógico 
verdadeiro;
-- 2 = 0: é uma proposição com valor lógico falso.
A lógica matemática classifica as proposições basea-
do em dois princípios:
- Princípio da Não-Contradição
“Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao 
mesmo tempo”.
- Princípio do Terceiro Excluído
“Toda proposição ou é falsa ou é verdadeira, não há 
uma terceira opção”.
Valores Lógicos das Proposições
As proposições só podem ser verdadeiras ou falsas, 
levando em conta os princípios acima.
São proposições:
- “O Brasil é um grande país”. É uma proposição 
verdadeira;
- “Cinco mais três é igual a dez”. É uma proposição 
falsa;
- “O número 2 é primo”. É uma proposição verdadeira;
- “O número 11 é par”. É uma proposição com valor 
lógico falso.
Não são proposições:
- “Maria gosta de café?”. Não podemos classificar 
como verdadeira ou falsa, pois depende de uma resposta. 
É uma oração interrogativa.
- “João, vá estudar!”. Orações imperativas não dá 
para classificar como verdadeira ou falsa.
Proposições Simples e Compostas
As proposições podem ser classificadas em simples e 
compostas. As proposições são chamadas de simples se 
estiverem únicas, sem a presença de conectivos.
Proposições simples ou atômicas
As proposições simples são formadas por uma única 
proposição. Elas são nomeadas pelas letras minúsculas 
do alfabeto.
Proposições compostas
As proposições compostas são formadas pela cone-
xão de duas ou mais proposições simples. Elas são no-
meadas pelas letras maiúsculas do alfabeto.
Utilizando os conectivos podemos conectar as pro-
posições simples, gerando-se as proposições compostas.
Exemplo:
- A: o número 3 é par e o número 2 é ímpar;
- B: se o Brasil é um país continental então os Estados 
Unidos também é;
- C: o número 4 é par ou o número 7 é primo;
- D: a banana é amarela se, e somente se, ela está 
madura.
Podemos ver nos exemplos acima os conectivos em 
negritos. Os conectivos conectam proposições simples. 
Podemos, então, utilizar letras minúsculas para nomear 
as proposições simples e o símbolo de cada conectivos.
- A: p ∧ q
- B:b → e
- C: r ∨ s
- D: m ↔ v
Analisando agora os valores lógicos de cada uma das 
proposições podemos afirmas que A, B, C e D possuem 
os seguintes valores lógicos F, V, V e V, respectivamente.
Tabela Verdade
A tabela verdade é utilizada para poder descobrir 
o valor lógico de uma proposição composta. As 
proposições simples são relativamente fáceis de saber 
seu valor lógico, mas uma proposição composta formada 
por outras proposições simples, pode ser difícil dizer se é 
verdadeira ou falsa.
Por esse motivo é que usamos a tabela verdade 
para analisar cada caso e descobrir o valor lógico da 
proposição.
Exemplo:
Vamos construir uma tabela verdade para a seguinte 
proposição: p ∧ q.
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Pela tabela verdade não podemos afirmar que a 
expressão p ∧ q seja verdade. Ela somente é verdade para 
um caso, quando p e q forem verdades.
Sobre o Número de Linhas da Tabela Verdade
Na tabela verdade é apresentada todas as possíveis 
combinações para os valores V e F a cada uma das 
proposições simples.
No número de linhas que uma tabela verdade terá, 
leva em consideração o total de proposições simples. Para 
determinar a quantidade de linhas da tabela verdade, 
utilizamos a seguinte fórmula: 2n. Onde n é o total de 
proposições simples.
Para construir a tabela verdade devemos seguir os 
seguintes passos:
1. Determinar o número de linhas que a tabela 
terá, utilizando a fórmula: 2n;
2. Atentar para a precedência entre os conectivos 
nas proposições;
3. Aplicar os valores lógicos para cada uma das 
proposições na tabela verdade.
Exemplo:
Considere a seguinte proposição composta:
- Se há nuvens, choverá ou teremos vento.
Indicando as proposições simples como:
- p: Se há nuvens;
- q: choverá;
- r: teremos vento.
Agora vamos ligar as proposições utilizando 
conectivos:
- (p → q) ∨ r
8
Raciocínio Lógico-Matemático
Vamos então construir a tabela verdade para 
a proposição acima. A tabela terá 8 linhas, pois a 
proposição composta, (p → q) ∨ r, é formada por três 
proposições simples, p, q e r, então pelo teorema das 
linhas, temos que: 23 = 8.
Devemos agora colocar cada uma das proposições 
simples separada em cada uma coluna. Depois devemos 
olhar para as proposições com dependência, como p → 
q, que está em parênteses e p e q dependem do valor 
lógico uma da outra. Por fim, na última coluna colocamos 
toda a proposição composta.
p q r p → q (p → q) ∨ r
V V V V V
V V F V V
V F V F V
V F F F F
F V V V V
F V F V V
F F V V V
F F F V V
Na primeira coluna, dividimos os valores lógicos na 
metade, 4V e 4F. Na segunda coluna a metade da metade 
da primeira, 2V e 2F, intercalados. E na terceira coluna a 
metade da metade da segunda, 1V e 1F, intercalados.
Analisamos a proposição, p → q, que assume valor 
lógico falso, quando p é verdadeiro e q falso, e valor 
lógico verdadeiro caso contrário.
Pela tabela verdade não podemos afirmar que a 
proposição composta, (p → q) ∨ r, é verdadeira, pois para 
um caso ela é falsa.
Operações Lógicas sobre as Proposições e a Tabela 
Verdade
Vamos agora analisar as operações lógicas das pro-
posições e também o valor lógico para as proposições 
de acordo com cada um dos conectivos usados. Vamos 
também construir a tabela verdade para cada caso.
Conjunção
A conjunção de duas proposições simples, p e q, é in-
dicada por: p ∧ q (leia-se: p e q). A conjunção é verdadeira 
quando as duas proposições têm valor lógico verdadeiro.
A tabela verdade para a conjunção de duas proposi-
ções é a seguinte:
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disjunção
A disjunção de duas proposições simples, p e q, é 
indicada por: p ∨ q (leia-se: p ou q). A disjunção é verda-
deira quando pelo menos uma das proposições têm valor 
lógico verdadeiro.
A tabela verdade para a disjunção de duas proposi-
ções é a seguinte:
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Condicional
A condicional de duas proposições, p e q, é indicada 
por: p → q (leia-se: se p então q). A condicional é falsa 
quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda 
é falsa, e verdadeira nos demais casos.
A tabela verdade para a condicional de duas propo-
sições é a seguinte:
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Bi-condicional
A bi-condicional de duas proposições, p e q, é indi-
cada por: p ↔ q (leia-se: p se, e somente se, q). A bi-con-
dicional é verdadeira quando as duas proposições têm o 
mesmo valor lógico.
A tabela verdade para a bi-condicional de duas pro-
posições é a seguinte:
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Negação
Negamos uma proposição atribuindo antes dela o si-
nal ¬ ou ~. Dessa forma a negação da proposição p é: ¬p 
(leia-se: não p). A negação altera o valor lógico de uma 
proposição, ou seja, se p tem valor lógico verdadeiro, en-
tão ¬p terá valor lógico falso e vice-versa.
A tabela verdade para a negação de uma proposição 
é a seguinte:
p ¬p
V F
F V
Tautologia
Tautologia é uma palavra de origem grega que tem o 
seguinte significado: tautó – significa: o mesmo; e logos 
– significa: a mesma coisa já dita.
Na lógica matemática, uma tautologia é usada para 
dizer que uma proposição é sempre verdadeira. No dia a 
dia usamos expressões que tem a mesma ideia.
Exemplo:
- Entrar para dentro;
- O açúcar é doce.
As proposições compostas são verdadeiras quando 
as proposições simples assumem valores lógicos diferen-
tes e e mesmo assim elas continuam verdadeiras.
9
Raciocínio Lógico-Matemático
 
DISJUNÇÃO INCLUSIVA
A disjunção inclusiva une duas ou mais proposições 
através do conectivo “ou”.
Símbolo utilizado: ∨
 
Exemplo:
p: Eu gosto de Matemática.
q: Eu gosto de Física
p ∨ q: Eu gosto de matemática ou de Física.
 
A proposição composta resultante da disjunção 
inclusiva será falsa apenas quando ambas forem falsas. 
Veja:
 
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA
A disjunção exclusiva une duas ou mais proposições 
da seguinte forma:
Dizemos: “ou p, ou q”
Símbolo utilizado: ∨
 
Exemplo:
p: Ana vai morar na Bahia.
q: Ana vai morar em São Paulo.
p ∨ q: ou Ana vai morar na Bahia ou Ana vai morar 
em São Paulo.
A proposição composta resultante da disjunção 
exclusiva será verdadeira apenas quando apenas uma 
das proposições for verdadeira. Veja:
 
CONDICIONAL
O conectivo lógico condicional une duas proposições 
da seguinte forma:
Dizemos: “se p, então q”
Símbolo utilizado: →
 
Exemplo:
p: Pratico esportes
q: Tenho um bom preparo físico
p → q: Se pratico esportes, então tenho um bom 
preparo físico.
 
Podemos provar que uma proposição composta é 
uma tautologia através da tabela verdade. Se a última co-
luna da tabela conter somente V, então a proposição é 
uma tautologia.
Exemplo:
O caso mais simples de tautologia é p ∨ (¬p) (leia-se: 
p ou não p). Podemos ver a tabela verdade a seguir:
p ¬p p ∨ (¬p)
V F V
F V V
Veja que na última coluna temos somente V.
Exemplo:
Vamos ver se a proposição composta q → (p → q) é 
uma tautologia:
p q p → q q → (p → q)
V V V V
V F F V
F V V V
F F V V
De fato, temos uma tautologia, pois a última coluna 
é toda V.
Importante:
Na tabela verdade podemos ter as seguintes situa-
ções:
- Última coluna ter somente V: tautologia;
- Última coluna ter V e F: contingente ou satisfatível;
- Última coluna ter somente F: contradição ou 
insatísfatível.5
6. CONECTIVOS LÓGICOS. 
Os conectivos lógicos são utilizados para operar as 
proposições simples, transformando-as em proposições 
compostas. Eles são de suma importância para a 
interpretação das questões nas provas de concursos.
São eles: “e”, “ou”, “se, então”, “se, e somente se” e 
“ou… ou…”.
 
CONJUNÇÃO
A conjunção une duas ou mais proposições pelo 
conectivo “e”.
Símbolo utilizado: ∧
 
Exemplo:
p: Pedro tem uma bicicleta
q: Pedro tem um carro
p ∧ q: Pedro tem uma bicicleta e um carro.
 
A proposição composta resultante da conjunção será 
verdadeira apenas quando ambas forem verdadeiras. 
Veja:
5 Fonte: www.matematicabasica.net
10
Raciocínio Lógico-Matemático
Veja que a condicional será falsa em apenas um caso:
 
BICONDICIONAL
O conectivo lógico bicondicional é formado por duas condicionais.Utilizamos uma bicondicional quando temos p→q e q→p.
Dizemos: “p se e somente q”
Símbolo utilizado: ↔
 
Exemplo:
p: 5 + 3 = 9
q: 9 – 5 = 3
p ↔ q: 5+3=9 se e somente se 9-5=3
 
A bicondicional será verdadeira quando as proposições utilizadas possuírem o mesmo valor lógico. Veja:6
7. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS.
Antes de analisarmos a teoria dos conjuntos em correlação com a lógica, vamos fazer uma breve abordagem sobre 
a teoria dos conjuntos e na sequência, sua aplicação no estudo da lógica.
A teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elementos. Vamos 
começar estudando os símbolos matemáticos usados neste ramo.
s
Símbolos
 
: pertence : existe
: não pertence : não existe
: está contido : para todo (ou qualquer que seja)
: não está contido : conjunto vazio
: contém N: conjunto dos números naturais
: não contém Z : conjunto dos números inteiros
/ : tal que Q: conjunto dos números racionais
: implica que Q’= I: conjunto dos números irracionais
: se, e somente se R: conjunto dos números reais
6 Fonte: www.sabermatematica.com.br
11
Raciocínio Lógico-Matemático
Produto Cartesiano
Dados os conjuntos A e B, chama-se produto 
cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos 
os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é 
elemento de B, ou seja 
 
Número de subconjuntos de um conjunto: se um 
conjunto A possuir n elementos, então existirão 2n 
subconjuntos de A.
Teoria de conjuntos e lógica
Conforme nos ensina Mortari (2001, p. 2), “a lógica 
é a ciência que estuda os princípios e métodos de infe-
rências, tendo o objetivo principal de determinar em que 
condições certas coisas se seguem (são consequência), 
ou não, de outras”. 
Sabemos também que o estudo pela lógica inclui 
também o estudo de técnicas que auxiliam a produzir 
uma conclusão a partir da informação disponível” (MOR-
TARI, 2001, p. 16), ou seja, a lógica procura analisar um 
determinado problema e retirar informações do mesmo 
para obter uma conclusão aceitável. 
Sá e Rocha (2012, p. 415) definem que a lógica é uma 
“ciência autônoma cujo objeto é, no essencial, o estudo 
das leis do pensamento, a análise e classificação das for-
mas de raciocínio e sua validade”. Desse modo, pode-se 
dizer que a Lógica é uma ciência independente, porém 
usamos, instrumentalmente, em outras ciências, além de 
ser considerada a ciência do raciocínio ou mesmo da ra-
zão, como muitos a tratam. Assim sendo, o objetivo da 
lógica consiste no estudo dos princípios lógicos usados 
no raciocínio. Como explica Machado “[...] A lógica trata 
das formas de argumentação, das maneiras de encadear 
nosso raciocínio para justificar, a partir de fatos básicos, 
nossas conclusões. A lógica se preocupa com o que se 
pode ou não concluir a partir de certas informações” 
(MACHADO, 2000, p. 11). 
Podemos concluir, a partir das colocações citadas 
acima, que lógica é uma ciência que estuda a estrutura 
e as expressões do conhecimento e do raciocínio váli-
do, examinando, de forma genérica, as maneiras que a 
argumentação pode tomar, permitindo verificar se um 
enunciado é verdadeiro ou não. 
Notações importantes sobre conjuntos 
Conjuntos são usados para descrever propriedades 
matemáticas. Para os nossos estudos, admitiremos que 
existe um conjunto universal com todos os elementos 
do ambiente matemático que estamos trabalhando, 
denotando-o por U e um conjunto vazio que não possui 
elementos, denotado por Ø.
Símbolos das operações
: A intersecção B
: A união B
a - b: diferença de A com B
a b: a maior que b
: a maior ou igual a b
: a e b
: a ou b
Conceito de conjuntos
Conjunto vazio
É um conjunto que não possui elementos. O conjunto 
vazio é representado por { } ou .
Subconjuntos
Quando todos os elementos de um conjunto A 
qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, 
então, que A é um subconjunto de B, ou seja A B. 
Observações:
- Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou 
seja ;
- O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de 
qualquer conjunto, ou seja 
União de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos 
conjuntos A e B ao conjunto representado por , 
formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, 
ou seja: 
Intersecção de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção 
dos conjuntos A e B ao conjunto representado por 
, formado por todos os elementos pertencentes a A e B, 
simultaneamente, ou seja: 
Diferença de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como 
diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto 
representado por A-B, formado por todos os elementos 
pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja 
12
Raciocínio Lógico-Matemático
Em geral, conjuntos são indicados por letras maiúsculas e os elementos dos conjuntos são indicados por letras 
minúsculas.
Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A, usamos a notação x€A. Se o elemento x não pertence ao 
conjunto A, denotamos por x A.
Se os elementos de um conjunto A possuem uma mesma propriedade P=P(x), escrevemos este conjunto na forma 
A = { x: P(x) é verdadeira } ou A = { x| P(x) é verdadeira }.
Definição: Um conjunto A é subconjunto de B se, para todo x€A tem-se que x€B, denotando esta inclusão, por A
B. Se A é diferente de B, diz-se que A é um subconjunto próprio de B.
Definição: Um conjunto A é superconjunto de B se B A. Se A é diferente de B, diz-se que A é um superconjunto 
próprio de B.
Definição: Dois conjuntos A e B são iguais, se e somente se, todo elemento de A é elemento de B e todo elemento 
de B é elemento de A. Os conjuntos A e B são iguais se, e somente se, A B e B A. Quando A e B são iguais, usamos 
a notação A=B.
Definição: Se dois conjuntos A e B não são iguais, diz-se que A e B são diferentes e usamos a notação A ≠ B.
Definição: A reunião de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A 
ou ao conjunto B
A B = {x : x€A ou x€B }
Definição: A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto 
A e ao conjunto B
A B = {x : x€A e x€B }
Definição: Dois conjuntos A e B são disjuntos se, A B = Ø.
Definição: Sejam S e U conjuntos tal que S U. Define-se o complementar de S em U, denotado por U–S ou por U 
\S, como
U–S = { x€U : x S }
Se o conjunto U se refere ao universo U que se considera no contexto, é normal denotar o complementar de S, 
como
Sc = { x€U : x S }
Teorema: Se S U, então U–S = U Sc.
Observação: Em geral, as propriedades válidas para dois conjuntos também são válidas para um número finito de 
conjuntos, mas nem sempre são verdadeiras para um número infinito de conjuntos.
Definição: Seja a coleção de conjuntos {Ai}i€M, onde M={1,2,3,...,m}. A reunião dos conjuntos Ai é o conjunto de 
todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos Ai:
m
 
i=1
Ai = {x : x€Ai para algum i€M }
Definição: A interseção dos conjuntos Ai é o conjunto de todos os elementos que pertencem a todos os Ai:
m
 
i=1
Ai = {x : x€Ai para todo i€M }
Nas definições acima, se o conjunto M for substituído pelo conjunto N={1,2,3,4,...} e a letra m for substituída pelo 
símbolo , a reunião será indicada por:
 
 
i=1
Ai = {x : x€Ai para algum i€N }
e a interseção por:
 
 
i=1
Ai = {x : x€Ai para todo i€N 
}
Elementos de Lógica matemática: Este assunto é comum mas relembramos alguns conceitos da Lógica Matemática. 
Uma proposição lógica verdadeira é denotada pela letra V ou pelo número 1 e uma proposição falsa é denotada pela 
letra F ou pelo número 0.
13
Raciocínio Lógico-Matemático
Para não escrever e repetir muitas palavras, foram criados alguns símbolos lógicos:
Significado existe para todo e ou não implica equivale
Símbolo(s) ~ , ,
Algumas notações comuns em Lógica Matemática.
Significado Símbolos lógicos
p e q p q
p ou q p q
negação de p ~p
p implica q p q
p implica q p q
p implica (q ou r) p (q r)
negação de p implica q (~p) q
p equivale a q p q
Observação: Algumasfrases como
1. Para cada x real, x2 é não negativo.
2. Para cada x real e para cada a real, vale x2–a2 ≡ (x–a)(x+a).
3. Existe um número real tal que x2 = 4.
4. Para cada x real, existe y real tal que x+y=0.
5. Para cada e > 0, existe δ > 0 tal que se |x–a| 0, δ > 0 : |x–a|feitas 
com os elementos que formam uma coleção. São elas: 
união, intersecção e diferença.
Lembre-se que na matemática os conjuntos repre-
sentam a reunião de diversos objetos. Quando os ele-
mentos que formam o conjunto são números, são cha-
mados de conjuntos numéricos.
Os conjuntos numéricos são:
- Números Naturais (N)
- Números Inteiros (Z)
- Números Racionais (Q)
- Números Irracionais (I)
- Números Reais (R)
União de Conjuntos
A união de conjuntos corresponde a junção dos 
elementos dos conjuntos dados, ou seja, é o conjunto 
formado pelos elementos de um conjunto mais os ele-
mentos dos outros conjuntos.
Se existirem elementos que se repetem nos conjun-
tos, ele aparecerá uma única vez no conjunto união.
Para representar a união usamos o símbolo U.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t} e B = {a, e, i, o, 
u}, represente o conjunto união (A U B).
Para encontrar o conjunto união basta juntar os ele-
mentos dos dois conjuntos dados. Temos de ter o cui-
dado de incluir os elementos que se repetem nos dois 
conjuntos uma única vez.
Assim, o conjunto união será:
A U B = {c, a, r, e, t, i, o, u}
Multiplicação e divisão de números fracionários
Na multiplicação de números fracionários, deve-
mos multiplicar numerador por numerador, e denomi-
nador por denominador, assim como é mostrado nos 
exemplos abaixo:
Na divisão de números fracionários, devemos multi-
plicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é 
mostrado no exemplo abaixo:
Resolução de problemas com frações
Existem problemas matemáticos que utilizam, 
na sua resolução, equações e expressões numéricas. 
Trabalharemos agora com problemas que envolvem 
frações e veremos como aplicar a noção de inteiros e 
parte desses inteiros quando eles assumirem valores 
reais.
Veja alguns exemplos e as explicações passo a passo 
de como encontrar a solução desse tipo de problema 
e de como a fração pode ser encontrada em situações 
problemas.
Exemplo 1:
Em certo país, os trabalhadores recebem dois 
salários mínimos em dezembro: o salário normal e o 13º 
salário. Se a pessoa trabalhou os 12 meses do ano, os 
dois salários serão iguais. Se a pessoa trabalhou uma 
fração do ano, o 13º salário corresponderá a essa fração 
do salário normal. Se o salário normal de uma pessoa é 
516 reais e ela trabalhou 7 meses nesse ano, quanto ela 
vai receber de 13º salário?
Resolução:
Esse trabalhador não trabalhou o ano inteiro, de 12 
meses do ano ele trabalhou 7. A fração que corresponde 
ao tempo que ele trabalhou é . Como a situação 
problema informou que o valor recebido no 13º salário é 
a mesma fração do tempo trabalhado, podemos escrever 
que ele irá receber do salário normal. Como o salário 
dele é 516 reais, para descobrir quanto ele irá receber no 
13º salário, devemos encontrar:
 de 516. Então 516 : 12 = 43 e 43 x 7 = 301.
Portanto, o salário que o trabalhador irá receber no 
seu 13º salário será de 301 reais que corresponde a 7 
meses trabalhados durante o ano.
18
Raciocínio Lógico-Matemático
Intersecção de Conjuntos
A intersecção de conjuntos corresponde aos ele-
mentos que se repetem nos conjuntos dados. Ela é re-
presentada pelo símbolo ∩.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t } e B= B = {a, e, i, 
o, u}, represente o conjunto intersecção ( ).
Devemos identificar os elementos comuns nos con-
juntos dados que, neste caso, são os elementos a e e, 
assim o conjunto intersecção ficará:
 = {a, e}
Obs: quando dois conjuntos não apresentam ele-
mentos em comum, dizemos que a intersecção entre 
eles é um conjunto vazio.
Nesse caso, esses conjuntos são chamados de dis-
juntos: A ∩ B = Ø
Diferença de Conjuntos
A diferença de conjuntos é representada pelos ele-
mentos de um conjunto que não aparecem no outro 
conjunto.
Dados dois conjuntos A e B, o conjunto diferença é 
indicado por A - B (lê-se A menos B).
Conjunto Complementar
Dado um conjunto A, podemos encontrar o conjun-
to complementar de A que é determinado pelos elemen-
tos de um conjunto universo que não pertençam a A.
Este conjunto pode ser representado por 
Quando temos um conjunto B, tal que B está contido 
em A ( ), a diferença A - B é igual ao complemento 
de B.
Exemplo:
Dados os conjuntos A= {a, b, c, d, e, f} e B = {d, e, f, g, 
h}, indique o conjunto diferença entre eles.
Para encontrar a diferença, primeiro devemos iden-
tificar quais elementos pertencem ao conjunto A e que 
também aparecem ao conjunto B.
No exemplo, identificamos que os elementos d, e e 
f pertencem a ambos os conjuntos. Assim, vamos retirar 
esses elementos do resultado. Logo, o conjunto diferen-
ça de A menos B será dado por:
A – B = {a, b, c}
Propriedades da União e da Intersecção
Dados três conjuntos A, B e C, as seguintes proprie-
dades são válidas:
Propriedade comutativa
- 
- 
Propriedade associativa
- 
- 
Propriedade distributiva
- 
- 
Se A está contido em B ( ):
- 
- 
- 
Leis de Morgan
Considerando dos conjuntos pertencentes a um uni-
verso U, tem-se:
1.º) O complementar da união é igual à intersecção 
dos complementares:
2.º) O complementar da intersecção é igual à união 
dos complementares:
Sequência
No nosso dia-a-dia estamos envolvidos com 
sequências, sem mesmo notarmos. Vejamos por 
exemplo:
- O livro de ponto, onde está registado o nome dos 
alunos e numa sequência (ordem alfabética);
- Os dias de um mês (1,2,3,...30/31);
- Os dias do ano (1,2,3,...365);
- A numeração das portas das ruas;
- A numeração dos transportes públicos;
- A numeração dos lugares nos cinemas;
- E existem , ainda, muitos outros exemplos de 
sequência que lidamos no nosso dia-a-dia.
O que são sequências de números?
Sequências de números são listas ordenadas de 
números que verificam uma dada propriedade ou 
regra.
Exemplos:
- 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ... Sequência de números 
impares
- 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 ... Sequência de números 
pares
- 3, 6, 9, 12, 15, 18,... Sequência de múltiplos de 3
- 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,...Sequência de 
quadrados perfeitos
Concluímos então que sequência é todo conjunto 
ou grupo no qual os seus elementos estão escritos 
com uma determinada ordem.
19
Raciocínio Lógico-Matemático
EXEMPLO:
Observando a sequência de figuras e seguindo a mesma regularidade, quantos pontos negros terá a décima 
figura?
Verifica-se que o número de pontos negros em cada figura é igual ao número de pontos brancos. 
Assim se pode concluir que os pontos negros P (Pnegros) são metade dos pontos que constituem cada figura 
F(pontos da Figura).
Representando numa tabela:
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
F (pontos da figura) 2 6 12 20
P(Pontos negros) 1 3 6 10
Também verificamos que a figura seguinte é sempre um “retângulo” cujos lados aumentam um ponto:
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 …. Figura 10
F (pontos da figura) 1x2 = 2 2x3 = 6 3x4 = 12 4x5 = 20 5x6 = 30 …. 10x11 =110
Podemos concluir que a 10ª figura tem 10x11 =110 pontos sendo que, o número de pontos negros são metade 
(110 : 2 = 55) ou seja 55 pontos negros.
Uma sequência de números é um conjunto de números ordenados que obedece a uma determinada lei de 
formação, ou seja, possui uma determinada regularidade.
Os elementos que constituem uma sequência chamam-se:
- Termos da sequência são os números de uma sequência.
- A cada termo corresponde uma ordem que representa a posição em que se encontra o termo.
Na sequência seguinte: 2,5,8,11,14,17....
11 é um termo e a sua ordem é igual a 4, porque o é o quarto número da sequência.
OBS: A lei de formação ou expressão algébrica de uma sequência é uma regra que permite conhecer cada termo 
da sequência a partir da sua ordem ou dos termos anteriores.
Os números triangulares têm um número de pontos necessários para formar um triângulo equilátero.
20
Raciocínio Lógico-Matemático
Assim, os termos 1, 3, 6, 10, 15, ...
formam a sequência dos números triangulares. 
Mas esta sequência também pode ser representada por triângulos isósceles.
Os números quadrados são a sequência dosnúmeros de pontos necessários para formar uma sequência de 
quadrados.
O 1º termo desta sequência, 1, é a área de um quadrado de lado 1;
O 2º termo desta sequência, 4, é a área de um quadrado de lado 2;
Assim, concluímos que:
O 10º termo desta sequência é 100 e o n-ésimo termo desta sequência é o quadrado de n , n2 (lei de formação 
ou expressão algébrica).
Nº de ordem 1 2 3 4 5 … n
Número de pontos 1 4 9 16 25 … n2
Mas observa que:
Cada número quadrado pode ser, também, obtido à custa do anterior, acrescentando os pontos de um gnomom 
de”braços”:
Repara que os gnomons também formam uma sequência: 1, 3, 5, 7, 9,.....
Uma sequência dos números impares cujo lei de formação ou expressão algébrica é 2n-1 como poderás verificar 
na seguinte tabela:
Nº de ordem 1 2 3 4 5 … n
Número de pontos 1 3 5 7 9 … 2n-1
Porcentagem
Ao número p associamos a razão p⁄100, ou seja, tomamos p partes de um todo que foi dividido em 100 partes iguais.
Exemplo: 5% (leia-se: cinco por cento) equivale a fração 5⁄100.
O nome tem origem do latim (per centum) e quer dizer por cento, ou seja, uma razão de base 100. É frequentemente 
utilizado para cálculos de transações comerciais, entre outros.
21
Raciocínio Lógico-Matemático
Essas razões com denominadores 100 são chamadas 
de razões centesimais, taxas percentuais ou, simplesmen-
te, porcentagens.
Porcentagem no dia a dia
Um dos assuntos que caem em vestibulares, dos 
mais concorridos aos menos concorridos do país, tam-
bém aparece frequentemente em questões do ENEM.
Além disso, sempre vimos nos telejornais notícias re-
lacionadas, por exemplo: “O preço da gasolina aumentou 
10%”. Dessa forma, se a gasolina custa 5,00 reais e esta 
irá sofrer um reajuste (aumento) de 10%, na matemática 
escreveremos assim:
10% de 5,00 = 10⁄100 . 5 = 0,50
Ou seja, a gasolina sofrerá um aumento de 50 cen-
tavos por litro.
Ao calcularmos uma porcentagem em relação a um 
valor dado, estamos também representando uma pro-
porção em que um dos denominadores é igual a 100.
Pelo exemplo acima dado, dizemos que 0,50 repre-
senta em 5 o mesmo que 10 representa em 100. Veja:
Como representar porcentagem?
Existem três formas de representarmos uma porcen-
tagem: na forma percentual, forma fracionária ou for-
ma decimal. Veja:
Forma percentual Forma fracionário Forma decimal
10% 10⁄100 0,1
30% 30⁄100 0,30
5,3% 5,3/100 0,053
Podemos perceber como a porcentagem está pre-
sente na nossa vida. Descontos em lojas, promoções na 
internet, dificilmente você vai se livrar do assunto.
Usamos a porcentagem quando queremos expressar 
alguma quantidade como a porcentagem de um valor. 
Veja um exemplo:
Digamos que você vai em uma loja no shopping ou 
numa loja virtual na internet e encontre um produto com 
desconto de 10%. Seu custo inicial era de R$ 50,00. Esse 
desconto de 10% corresponde à divisão do preço inicial 
por 100, tomando 10 partes. Veja:
Resumindo: calcular a porcentagem de a% de x é o 
mesmo que multiplicar a/100 por x.
Entender porcentagem é fundamental para o dia a 
dia. Se você for a um posto de combustível abastecer seu 
carro, após ouvi na televisão que a gasolina teve tantos 
por cento de aumento e, digamos que seu carro seja flex, 
então você para e pensa: “devo abastecer com álcool ou 
gasolina? Quantos por cento devo abastecer de álcool ou 
gasolina?”.
São problemas como esse que nos deparamos e 
percebemos que a porcentagem é muito importante em 
nossa vida.
Exercícios de Porcentagem
Calcule 20% de 500
20% é o mesmo que escrevermos 20/100
20% de 500 =
Coloque 5⁄4 na forma percentual.
Essa é uma forma de conversão mais completa, aqui 
usamos regra de três. Pegamos o valor que queremos 
converter (5⁄4), depois colocamos o valor que não sabe-
mos na base 100 ( x/100 ).
Próximo passo é usar a regra de três para encontrar 
o valor de x. Então multiplicaremos a proporção em cruz.
Após encontrar o valor de x, colocamos o valor que 
queremos na base 100. Ou seja, reescrevermos, pois que-
remos na forma percentual, colocando o símbolo.
Logo,
Coloque 3⁄4 na forma percentual.
Essa forma que vamos ensinar é mais rápida e prática.
Basta dividir a fração, encontramos um valor na for-
ma decimal (com vírgula), deslocamos a vírgula duas ca-
sas para a direita e para converter na forma percentual 
colocamos o valor encontrado na base 100 ou 75%.
Coloque 7⁄5 na forma percentual.
Dividimos 7 por 5, deslocamos a vírgula para a direita 
duas casas, colocamos o valor na base 100 ou 140%.
Colocar 30% na forma decimal
Aqui basta reescrever a porcentagem sem usar o 
símbolo %, colocar na base 100; e para colocar na forma 
decimal, dividimos o valor pelo 100.
Porcentagem e regra de três simples
Grande parte dos problemas envolvendo porcenta-
gem podemos resolver aplicando regra de três simples.
Chamamos de regra de três simples quando um pro-
blema tem três valores conhecidos e queremos encontrar 
um valor desconhecido que resolve o problema.
22
Raciocínio Lógico-Matemático
Técnica operatória
A técnica para resolver porcentagem por regra de 
três é a seguinte:
Grandeza % (ou ‰) Grandeza do problema
100 (ou 1000) P
i p’
Separando as grandezas, armamos o problema e 
conseguimos resolver por regra de três.
Exemplo: calcule 40% de 80.
Montando o problema, temos:
100% corresponde a 80
40% corresponde a x
x é o valor que queremos encontrar.
Então:
Multiplicando em cruz, temos,
Portanto, 40% de 80 é igual a 32.
Porcentagem e lucro
Imagine que você comprou um imóvel por R$ 
10.000,00 e alguns anos depois vendeu este imóvel por 
R$ 26.350,00. Qual o lucro, em porcentagem, que você 
obteve com a venda do imóvel?
Bem fácil observar que o lucro neste caso foi de R$ 
16.350,00.
Ou seja, 26.350,00 – 10.000,00 = 16.350,00
Mas queremos saber o quanto você obteve de lucro 
em porcentagem.
Dessa forma, dividimos o lucro (R$ 16.350,00) pelo 
valor de compra do imóvel (R$ 10.000,00). Veja:
Assim, seu lucro em porcentagem foi de 163,5%.
Porcentagem e desconto
Ao comprar um produto numa loja virtual ou loja fí-
sica você encontra uma promoção de 10%. Suponha que 
este produto seja uma calça jeans no valor de R$ 250,00. 
Qual o preço após o desconto obtido?
Para saber o desconto obtido, em reais, temos que 
multiplicar o desconto em porcentagem pelo valor da 
calça. Veja:
Assim, você obteve um desconto de R$ 25,00 no va-
lor final do produto. Então, o preço após aplicar o des-
conto é: 250,00 – 25,00 = 225,00
Você comprou a calça jeans por R$ 225,00.
Porcentagem e acréscimo (reajuste)
O governo informa que a conta de luz sofrerá um 
acréscimo (reajuste) de 8%. Caso a conta de luz de um 
morador seja de R$ 120,00 mensais, quanto será o au-
mento total na conta de luz para este morador?
Preço da conta de luz, hoje: R$ 120,00
Cálculo do acréscimo (reajuste):
Assim, a conta de luz desse morador terá um reajuste 
de R$ 9,60. Então, após aplicarmos o reajuste ele pagará: 
120 + 9,6 = 129,6.
A conta de luz passará a custar R$ 129,60.
Porcentagem e razão
Em uma sala de aula, a razão de alunos entre o nú-
mero de homens e o de mulheres é 2⁄5. Qual a porcenta-
gem de alunas nessa sala em relação ao total de alunos 
da sala?
Vamos atribuir a variável x para as mulheres e y para 
os homens. Não sabemos nem o total de homens nem o 
total de mulheres nessa sala. Temos:
Para saber o total de
Ou seja, o total de mulheres é a quantidade de mu-
lheres x sobre o total de alunos, mulheres e homens 
(x + y).
Vamos calcular (I):
Substituindo em (II):
Então, a porcentagem de mulheres na sala de aula é: 
28,57%.8
9. ESTATÍSTICA DESCRITIVA E ANÁLISE EXPLO-
RATÓRIA DE DADOS: GRÁFICOS, DIAGRAMAS, 
TABELAS, MEDIDAS DESCRITIVAS (POSIÇÃO, 
DISPERSÃO, ASSIMETRIA E CURTOSE).
Estatística Descritiva e Análise Exploratória 
Estatística Descritiva é o ramo da estatística que visa 
sumarizar e descrever qualquer conjunto de dados. Em 
outras palavras, é aquela estatística que está preocupada 
em sintetizar os dados de maneira direta, preocupando-
se menos com variações e intervalos de confiança