Exercícios de Estatística Básica

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EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA E
PROBABILIDADE
Msc: Augusto Lucubo "Positivo Nakiti"
Estatística Básica 2 Positivo Nakiti
Capítulo 1
Estatística Descritiva
1. Classifique cada variável abaixo em qualitativa e quantitativa, e informe a mensu-
ração mais adequada (nominal, ordinal, discreta ou contínua):
(a) As respostas de sondagem em um questionário: sim, não, e indeciso.
(b) As cores dos carros dirigidos por estudantes de uma faculdade.
(c) A produção leiteira de um município.
(d) Faturamento diário em uma loja de confecções.
(e) Nacionalidade dos atletas de uma olimpíada.
(f) Tamanho das camisas em um mostruário.
(g) Temperatura no início de um dia.
(h) Número de reclamações diárias em um SIAC.
(i) Classificação da categoria de hotéis (uma, duas, três, quatro ou cinco estrelas).
(j) Marca dos computadores utilizados pelos alunos de uma turma de fundamentos
de estatística.
2. Diga quais das variáveis abaixo são discretas e quais são contínuas:
(a) Quantidade de livros retirados em uma biblioteca durante o mês de março.
(b) Peso dos recém-nascidos em uma maternidade.
(c) Distância existente entre os municípios de Lajeado e Encantado.
(d) Número de clientes atendidos em uma loja de telefonia em um determinado
mês.
(e) Altura dos alunos da turma.
(f) Número de aparelhos eletrônicos com defeitos produzidos mensalmente.
(g) Faturamento diário da loja de vestuário feminino.
(h) Acidentes de trabalho ocorridos durante o último ano.
(i) Número de consultas anuais realizadas por pacientes que apresentam plano de
saúde.
(j) Produção agrícola em toneladas
3. Na revista Visão de 12 de setembro de 2002 é apresentado um artigo com o título
“O Vício da Adrenalina”. Neste artigo, é descrito o perfil do português radical em
termos de profissão, sexo, residência e idade. Relativamente à profissão, consta a
seguinte informação:
3
CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Figura 1.1: Enter Caption
Com base numa amostra constituída por 1000 portugueses radicais inquiridos acerca
da respetiva profissão, resolva as alíneas seguintes:
(a) Defina e classifique a variável aleatória em estudo.
(b) Construa a tabela de frequências.
(c) Qual é a frequência absoluta dos portugueses radicais que ocupam cargos téc-
nicos/científicos?
(d) O que pode concluir deste estudo?
4. No jardim-de-infância O Parque da Pequenada questionaram-se as crianças com
mais de 3 anos relativamente ao tipo preferido de bebida. Das 160 crianças inquiri-
das, 30 indicaram o leite como a bebida preferida, 10 referiram a água, 40 disseram
os sumos naturais e 80 referiram os refrigerantes.
(a) Defina e classifique a variável em estudo.
(b) Construa a tabela de frequências.
(c) Qual é a frequência absoluta de alunos que preferem água?
(d) Qual é a frequência relativa de alunos que preferem
(e) refrigerantes? Represente graficamente a informação anterior.
5. Num inquérito realizado utentes de um determinado Centro de Saúde sobre a qua-
lidade do serviço, 27 afirmaram que o serviço foi muito bom, 15 afirmaram que foi
bom, 6 disseram que foi médio, 1 considerou que foi mau e 1 muito mau.
(a) Identifique a variável em estudo.
(b) Construa a tabela de frequências.
(c) Represente graficamente a informação anterior.
6. Numa aula teórica de Estatística perguntou-se aos 50 alunos presentes quantos livros
leram durante as férias, tendo-se obtido os seguintes resultados: 1 aluno leu 4 livros,
8 leram 3 livros, 27 leram 2 livros, 12 leram apenas 1 livro e os restantes alunos não
leram qualquer livro.
(a) Identifique a variável em estudo.
(b) Construa a tabela de frequências.
(c) Represente graficamente a informação anterior.
Estatística Básica 4 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
7. Realizou-se um estudo sobre a opinião dos alunos acerca da qualidade das refeições
que lhes foram servidas numa determinada cantina. Os resultados obtidos foram:
Qualidade das refeições N.º de alunos
Deficiente 1
Normal 9
Boa 27
Muito boa 13
50
(a) Defina e classifique a variável em estudo.
(b) Diga o que representa o valor 50.
(c) Qual é a percentagem de alunos que considera a qualidade das refeições “boa”?
(d) Represente graficamente a distribuição.
(e) Calcule as medidas de tendência central adequadas para esta distribuição.
(f) Numa frase simples, procure explicar qual é a opinião destes alunos sobre a
qualidade das refeições servidas na referida cantina.
8. Considere os resultados finais de Estatística de 20 estudantes de uma Universidade:
9 14 12 8 14 12 16 16 8 14
11 12 12 11 11 18 14 18 15 15
(a) Os dados em estudo são de tipo qualitativo ou quantitativo?
(b) Construa a tabela de frequências.
(c) Represente graficamente a informação.
(d) Calcule as medidas: média, mediana e moda.
(e) Calcule a variância e o desvio padrão.
(f) Calcule e interprete o coeficiente de variação.
(g) Calcule a amplitude da amostra e a amplitude interquartil.
(h) Calcule o valor do percentil 48 e do 8º decil.
(i) Represente os dados numa caixa de bigodes.
(j) Estude a distribuição quanto à assimetria e achatamento.
(k) Elabore um pequeno texto que integre toda a informação anterior, sem esquecer
de referir o que pode dizer sobre a existência de valores atípicos.
9. Foi feito um inquérito a novo grupo de utentes (40) de um posto de saúde para de-
terminar quantas consultas requereram durante o primeiro ano de utilização desse
posto de saúde. Obtiveram-se os seguintes resultados:
1 4 1 2 2 3 3 2 1 2 5 1 2 4 2 1 3 1 0 1
3 2 3 1 0 1 2 7 4 3 2 1 1 3 1 0 4 2 3 5
(a) Construir a tabela de frequências.
(b) Construir um gráfico para as frequências absolutas.
(c) Represente graficamente as frequências relativas acumuladas.
Estatística Básica 5 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
10. Um rigoroso Centro de Atendimento Psicológico de uma Universidade resolveu fazer
um estudo sobre o tempo de atraso para o atendimento dos estagiários em psicologia,
para procurar melhorar esse atendimento. Durante uma semana foram coletadas 25
medidas desse tempo (em minutos) em que os pacientes ficaram esperando fora do
horário.
11, 5 10, 2 10, 2 11, 7 10, 9 12, 3 15, 4 16, 0 17, 0
16, 5 14, 0 12, 8 14, 5 13, 4 13, 0 11, 7 13, 6 12, 9
15, 2 15, 0 14, 9 16, 8 15, 7 15, 0 13, 0
11. Dada a seguinte distribuição do número de avarias nos elevadores em 200 edifícios
públicos:
N.º de avarias 0 1 2 3 4 5
Frequências 53 68 44 17 16 2
(a) Faça a representação gráfica das frequências relativas e das frequências relativas
acumuladas.
(b) Calcule a média, o desvio padrão e a moda
12. Os dados que se seguem referem-se ao comprimento (em cm) de um grupo de be-
bés prematuros (idade gestacional inferior a 36 semanas) nascidos durante um mês
numa maternidade.
29,9 40,2 37,8 19,7 30,0 29,7 19,4 39,2 24,7 20,4
19,1 34,7 33,5 18,3 19,4 27,3 38,2 16,2 36,8 33,1
41,4 13,6 32,2 24,3 19,1 37,4 23,8 33,3 31,6 20,1
17,2 13,3 37,7 12,6 39,6 24,6 18,6 18,0 33,7 38,2
(a) Ordene os dados e calcule a média, mediana, desvio padrão, quartis e o quantil
de ordem 2/3. Encontre um valor tal que 70% dos bebés observados tenham
comprimentos superiores a esse valor.
(b) Faça um agrupamento dos dados em classes, de forma conveniente, e represente-
os graficamente através de um histograma.
(c) Calcule a média, a mediana e variância para os dados agrupados. Compare
estes valores aproximados com os correspondentes valores exatos obtidos em
(a).
13. Com base numa amostra constituída por rendimentos anuais coletáveis, em unidades
monetárias (u. m.), de 1000 famílias residentes numa determinada cidade, obteve-se
a seguinte distribuição de frequências:
Rendimentos coletáveis (u. m.) Frequências absolutas
[0; 1500] 6
[1500; 3000[ 102
[3000; 4500[ 134
[4500; 7500[ 293
[7500; 15000[ 364
[15000; 30000] 101
(a) Represente o histograma e esboce o polígono de frequências relativas acumula-
das.
Estatística Básica 6 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
(b) Calcule a média, mediana, a moda e o terceiro quartil. Interprete os valores
obtidos.
(c) Calcule o desvio
derúrgica têm alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual
de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores
tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso.
32. 25% dos universitários de São Paulo praticam esporte. Escolhendo-se ao acaso 15
desses estudantes, determine a probabilidade de:
(a) Pelo menos 2 deles serem esportistas.
(b) No mínimo 12 deles não serem esportistas.
33. A probabilidade de uma máquina produzir uma peça defeituosa é de 0,1. Qual a
probabilidade de que em 20 peças produzidas pela máquina num dia, ocorram 3
defeituosas? Com base nesse resultado você continuaria produzindo peças com esta
máquina levando em consideração uma grande produção de peças por dia?
34. Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus vendedores através de fax, telefone
e internet. A taxa média é de 5 pedidos por hora.
(a) Qual a probabilidade da indústria receber mais de dois pedidos por hora?
Digamos que, no horário do almoço, a indústria fica impossibilitada de atender
a mais de dois pedidos por hora. Você acha que deveria aumentar o nº de
atendentes nesse período?
(b) Em um dia de trabalho (8 horas) qual seria a probabilidade de haver 50 pedi-
dos? A indústria deveria aumentar o nº de atendentes para receber mais de 50
pedidos por dia?
35. A chegada de ônibus em um terminal acontece a razão de 3 por minuto. Supondo
que tenha uma distribuição de Poisson, determine a probabilidade de:
(a) chegarem exatamente 8 ônibus em 2 minutos.
(b) chegarem exatamente 4 ônibus em 5 minutos.
36. Em momentos de pico, a chegada de aviões a um aeroporto se dá com uma média
de 1 avião a cada 3 minutos.
(a) Determine a probabilidade de duas chegadas em três minutos durante o horário
de pico;
(b) Determine a probabilidade de no máximo uma chegada em três minutos.
37. O número de veículos por minutos que entram numa posto de abastecimento de
combustível tem distribuição Poisson com média igual a dois.
(a) Determine a probabilidade de número de veículos abastecidos por minuto ser
superior ao dobro da variância.
(b) Qual a probabilidade de em 5 minutos serem abastecidos menos de 3 veículos?
38. A probabilidade de um estudante, que ingressa no ISPTEC concluir a licenciatura
em Petróleo é 0,4. Determinar a probabilidade de, entre 5 estudantes escolhidos ao
acaso.
(a) Apenas um concluir a licenciatura.
(b) Pelo menos um concluir a licenciatura.
Estatística Básica 39 Positivo Nakiti
2.2. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
39. (a) Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 tubos aleatoriamente de
uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 20% de tubos defei-
tuosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos
sejam defeituosos?
(b) Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de
um processo de fabricação sabido produzir 85% de itens aceitáveis. Qual a
probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis?
40. O número de quebras mensais do tipo de computador utilizado num escritório é uma
variável aleatória com distribuição Poisson com média 1,6. Encontre as probabili-
dades de que esse tipo de computador funcione durante um mês.
(a) sem quebrar;
(b) com no mínimo uma quebra;
41. Você chega a um ponto de ônibus às 10 horas. Suponha que o ônibus chega no
ponto em algum momento uniformemente distribuído entre 10:00 e 10:30.
(a) Qual a probabilidade de você ter que esperar mais de 10 minutos pelo ônibus?
(b) Se às 10:15 o ônibus ainda não chegou, qual a probabilidade de você ainda ter
que esperar pelo menos 10 minutos?
42. Se X ∼ N(3; 4) , calcule P(|x− 3| ⩽ k)=0,95.
43. Se X ∼ N(µ;σ) , calcule P(|x− µ| ⩽ 1, 96σ).
44. Em um grande complexo industrial, o departamento de manutenção tem instruções
para substituir as lâmpadas antes que se queimem. Os registros indicam que a
duração das lâmpadas, em horas, tem distribuição normal, com média de 900 horas
e desvio padrão de 75 horas. Quando devem ser trocadas as lâmpadas, de modo que
no máximo 5% delas queimem antes de serem trocadas?
45. Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo [a; b] com média
7,5 e variância 6,75. Determine os valores de a e b, sabendo que b > a > 0.
46. (Meyer, 2000) Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos, D1
e D2, tenham distribuições N(42, 36) e N(45, 9), respectivamente. Se o aparelho é
para ser usado por um período de 45 horas, qual aparelho você escolheria? E se for
por um período de 49 horas?
47. Uma empresa produz televisores de dois tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo),
e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito
grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos
televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e
desvio padrão de 2 meses e no tipo B, com média de 11 meses e desvio padrão de 3
meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1200 u.m. e 2100
u.m. respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2500 u.m. e 7000
u.m., respectivamente.
(a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do
tipo B.
(b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do
tipo B.
Estatística Básica 40 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES 2.2. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
(c) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos
aparelhos do tipo A ou do tipo B?
48. A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição
N(8; 1, 5). Qual a chance, de que num dado dia, a concentração do poluente exceda
o limite regulatório de 10 ppm?
49. Suponha que as medidas da corrente elétrica em pedaço de fio sigam a distribuição
Normal, com uma média de 10 miliamperes e uma variância de 4 miliamperes.
(a) Qual a probabilidade de a medida exceder 13 miliamperes?
(b) Qual a probabilidade de a medida da corrente estar entre 9 e 11 miliamperes?
(c) Determine o valor para o qual a probabilidade de uma medida da corrente estar
abaixo desse valor seja 0,98.
50. Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal
com média 150000 km e desvio-padrão de 5000 km. Qual a probabilidade de que
um carro, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que
dure:
(a) Menos de 170000 km?
(b) Entre 140000 km e 165000 km?
(c) Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia, qual
deve ser esta garantia para que a percentagem de motores substituídos seja
inferior a 0,2%?
51. Admita-se que a carga de rutura de certo tipo de fio de aço se distribui normalmente
com valor médio de 300 (quilos) e variância de 36 (quilos2). Qual a probabilidade de
que se parta um fio desse tipo, tomado ao acaso, se o sujeitar a uma carga superior
ou igual a 282 quilos?
52. O tempo, em minutos, que os alunos do curso de Sociologia demoram a resolver
todas as alíneas do exame da disciplina de Estatística pode considerar-se que segue
uma distribuição Normal com média 110 minutos e desvio padrão 15 minutos.
(a) Sabendo que o professor determina que a duração máxima para resolver o
exame é de 2 horas (120 minutos), qual a probabilidade de um aluno não
acabar de resolver o exame?
(b) Qual a probabilidade de um aluno demorar menos de 105 minutos a resolver o
exame?
(c) Determine a probabilidade de um aluno demorar entre 100 e 110 minutos a
resolver o exame.
(d) Complete: "29,12% dos alunos demoraram mais de .... minutos a resolver o
exame".
(e) Complete: "75% dos alunos demoraram no máximo .... minutos a resolver o
exame".
53. Sejam X e Y duas v. a. que representam as temperaturas médias do ar (em º
C) registadas, respetivamente, pelas estações meteorológicas A e B. Sabe-se que
X ∼ N(15; 2) e Y ∼ (16; 2).
Estatística Básica 41 Positivo Nakiti
2.2. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
(a) Diga, justificando, qual das seguintes afirrmações está correta:
i.
P(X 15)
ii. P(X 15)
iii. P(X P(Y > 15)
(b) Complete: "Em 5% dos dias a temperatura média, registada na estação mete-
orol ógica A, é superior a ...º C".
54. A distribuição dos rendimentos familiares num determinado bairro com 5000 famílias
segue uma lei Normal, com µ = 180u.m. e σ = 5u.m.
(a) Calcule a probabilidade de uma família:
i. Ter um rendimento superior a 190 u. m.
ii. Não auferir mais de 163 u. m.
iii. Auferir entre 175 e 188 u. m.
(b) Qual o rendimento máximo auferido pelo grupo das 500 famílias de menores
rendimentos;
(c) Qual o rendimento mínimo das 500 famílias com maiores rendimentos?
55. O tempo de execução de determinada tarefa é uma variável aleatória com distribui-
ção Normal, com µ = 72 minutos e σ = 12 minutos.
(a) Calcule a probabilidade da tarefa:
i. Levar mais de 93 minutos a ser executada.
ii. Não demorar mais de 65 minutos.
iii. Gastar entre 63 e 78 minutos.
(b) Determine os menores valores a e b tais que:
i. P (X > a) = 0, 2525.
ii. P (X
padrão e o coeficiente de variação.
(d) Comente a proposição: “Mais de metade das famílias têm rendimento coletável
superior à média”.
(e) Complete as seguintes afirmações:
i. “90% das famílias têm um rendimento coletável inferior a . . . u. m..”
ii. “. . .% das famílias têm um rendimento coletável superior a 8000 u. m..”
14. A tabela seguinte representa os tempos que 100 utentes de um serviço de urgência
demoraram a ser atendidos:
Tempo (em min) 5 a 9 10 a 14 15 a 19 20 a 24 25 a 29 30 a 34 35 a 39
Frequências 1 10 37 36 13 2 1
(a) Calcule a média, a mediana e a moda. Compare os valores obtidos.
(b) Diga, sem efetuar mais cálculos, qual o valor do 2º quartil e interprete o valor
obtido.
(c) Calcule o desvio padrão e a variância.
(d) Determine os graus de assimetria de Bowley e de Pearson.
15. Inserido num estudo da avaliação da obesidade, mediu-se o perímetro torácico (em
cm) de 210 indivíduos, tendo-se posteriormente agrupado os dados na seguinte ta-
bela:
Classes [75, 80[ [80, 85[ [85, 90[ [90, 95[ [95, 100[ [100, 105[ [105, 110[ [110, 115[
ni 11 43 77 50 14 8 5 2
(a) Calcule a média, moda e mediana.
(b) Determine o desvio padrão.
(c) Qual a proporção de indivíduos que têm um perímetro torácico superior ou igual a
100 cm?
16. Enquadrado na política de urbanização duma determinada câmara municipal, relacionada
com a definição obrigatória de espaços verdes, foram aprovados 100 projetos de constru-
ção de pequenos jardins públicos nesse concelho. As áreas, em m2, dos referidos jardins
distribuem-se da seguinte forma:
Áreas (em m2) [300; 600[ [600; 900[ [900; 1200[ [1200; 1500[ [1500; 1800]
N.º de jardins 50 30 9 5 6
(a) Identifique a variável em estudo.
(b) Construa a tabela de frequências.
(c) Represente graficamente a informação anterior.
17. Para os dados apresentados nas tabelas abaixo construa a distribuição de frequência em
forma de tabela e de gráfico e discuta os resultados.
Estatística Básica 7 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
(a) Nível de instrução do chefe da casa.
médio médio fundamental fundamental médio
nenhum médio médio médio fundamental
fundamental nenhum fundamental fundamental médio
fundamental médio médio médio médio
médio médio médio fundamental fundamental
médio nenhum médio fundamental médio
médio fundamental médio nenhum nenhum
nenhum médio médio médio médio
(b) Taxa de alfabetização de quarenta municípios nacionais recolhida pelo INA no ano
de 2014.
45,37 59,07 66,01 72,81 81,15 84,33 88,4 94,59
54,7 64,17 67,95 73,22 81,34 84,66 89,07 94,83
57,14 64,19 68,04 75,49 81,42 85,7 90,52 95,02
57,25 64,65 69,91 76,85 82,3 86,34 91,22 95,34
58,88 65,28 71,2 77,62 83,52 87,94 92,9 95,34
i. Construa o histograma.
ii. Determine uma medida de posição central e uma medida de dispersão. Justifique.
18. O conjunto abaixo representa as notas do exame final de uma determinada turma:
(a) Construir uma distribuição de frequência, adotando um intervalo de classe conveni-
ente, o histograma e o polígono de frequência. Construir o “ramo-e-folha”. (Sugerem-
se classes de tamanho 10, a partir de 10.)
(b) Calcular a média, o desvio padrão, a mediana, o 1.º quartil e o 65.º percentil.
(c) Resolver (b) graficamente no que couber, com auxílio da ogiva de frequência acumu-
ladas.
19. Uma amostra dos salários mensais em unidade monetária de 50 operários da Construção
Civil de uma certa Empresa são apresentados a seguir.
415 424 477 454 397 424 549 441 513 425 391 450 524
410 413 543 560 469 585 556 449 442 424 447 527 457
544 420 465 514 473 398 389 340 401 391 382 397 437
383 433 524 497 513 429 389 440 427 491 414
(a) Construir a tabela de frequência e o respectivo gráfico.
(b) Determine as medida de localização central. Que conclui sobre simetria.
(c) Coeficiente de variação. Que conclui sobre a dispersão destes dados.
20. Construa uma tabela para mostrar que, em determinado curso, o número de alunos ma-
triculados na 1ª, 2ª e 3ª classe era, respectivamente, 40, 35 e 29 em 1997 e 42, 36 e 32 em
1998.
Estatística Básica 8 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
21. Os dados a seguir referem-se ao diâmetro, em polegadas, de uma amostra de 60 rolamentos
de esferas produzidos por uma companhia.
0,738 0,729 0,743 0,740 0,741 0,735 0,731 0,726 0,737 0,736
0,728 0,737 0,736 0,735 0,724 0,733 0,742 0,736 0,739 0,735
0,745 0,736 0,742 0,740 0,728 0,738 0,725 0,733 0,734 0,732
0,733 0,730 0,732 0,730 0,739 0,734 0,738 0,739 0,727 0,735
0,735 0,732 0,735 0,727 0,734 0,732 0,736 0,741 0,736 0,744
0,732 0,737 0,731 0,746 0,735 0,735 0,729 0,734 0,730 0,740
(a) Represente graficamente a informação e frequências acumuladas.
(b) Determine a altura média, modal e mediana. Qual o significado dos valores encon-
trados.
(c) Que conclui sobre a assimetria da distribuição.
(d) Análise a dispersão dos dados
22. O restaurante Leverock’s, em Madeira Beach, Flórida usa um questionário para perguntar
aos clientes como eles avaliam o atendimento dos garçons, a qualidade das refeições, os
drinques, os preços e o ambiente do restaurante. Cada característica é avaliada de acordo
com uma escala que varia de E (excelente), ótimo (O), bom (B), médio (M) e fraco (F).
Utilize a estatística descritiva para sintetizar os dados coletados (quadro a seguir) sobre a
qualidade das refeições. Qual é a sua impressão a respeito das avaliações da qualidade das
refeições no restaurante?
B E O B M E O E O B
E O M O E F M E B M
E E E B E O O M B E
O F O E E B E E E B
M E O E E B O O B O
23. Os quatro programas de televisão de maior audiência nos EUA foram: CSI, ER, Raymond
e Friends. Seguem -se os dados que indicam os programas preferidos para uma amostra de
50 telespectadores:
CSI Friends CSI CSI CSI CSI CSI
Raymond ER ER Friends CSI ER Friends
CSI ER ER Friends CSI Raymond CSI
Friends CSI CSI Friends ER ER ER
Friends Raymond CSI Friends Friends CSI Raymond
Friends Friends Raymond Friends CSI Raymond Friends
ER Friends CSI CSI ER CSI Friends ER
(a) esses dados são qualitativos ou quantitativos?
(b) forneça as distribuições de frequência e de frequência percentual.
(c) construa um gráfico em barras e um gráfico em setores
(d) com base na amostra, qual programa de televisão tem maior audiência? Qual é o
segundo colocado?
24. Dado o rol de medidas das alturas (dadas em cm) de uma amostra de 100 indivíduos de
uma faculdade:
Considere os intervalos de classe de amplitude 4.
Qual é a sua impressão a respeito da altura dos individuos?
Estatística Básica 9 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
151 152 154 155 158 159 159 160 161 161
161 162 163 163 163 164 165 165 165 166
166 166 166 167 167 167 167 167 168 168
168 168 168 168 168 168 168 168 169 169
169 169 169 169 169 170 170 170 170 170
170 170 171 171 171 171 172 172 172 173
173 173 174 174 174 175 175 175 175 176
176 176 176 177 177 177 177 178 178 178
179 179 180 180 180 180 181 181 181 182
182 182 183 184 185 186 187 188 190 190
25. Você foi contratado para analisar a variabilidade da resistividade elétrica do solo em uma
grande área de estudo. A resistividade elétrica do solo foi medida em 30 pontos distribuídos
ao longo de uma área de 500 m². A resistividade está sendo monitorada para avaliar a
presença de água subterrânea e as características de composição do solo. Os dados de
resistividade (em ohm-m) para os 30 pontos amostrais são:
210 220 230 245 250 255 265 270 275 280
285 290 300 305 310 315 320 325 330 335
340 345 350 355 360 365 370 375 380 385
26. Você está analisando dados de resistividade elétrica do solo coletados em 50 pontos amos-
trais de uma área agrícola. As medições de resistividade foram feitas para avaliar a qua-
lidade do solo para cultivo e a presença de água subterrânea. A resistividade pode variar
dependendo da composição do solo, umidade e outros fatores ambientais. Os dados de
resistividade (em ohm-m) para os 50 pontos amostrais são apresentados abaixo:
150 160 145 155 165 175 140 185 180 155
170 160 150 145 155 145 160 155 170 165
150 155 160 175 180 190 200
210 215 220
225 230 235 240 245 250 265 270 275 280
285 290 295 300 305 310 315 320 325 330
Estatística Básica 10 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1.1. ANALISE BIDIMENSIONAL
Questões:
(a) Calcule a Média da resistividade.
(b) Calcule a Mediana da resistividade.
(c) Calcule a Moda (se houver) da resistividade.
(d) Calcule o Desvio Padrão para entender a dispersão dos dados.
(e) Determine o Coeficiente de Variação e analise a variabilidade em relação à média.
(f) Construa um Histograma para visualizar a distribuição dos dados.
(g) Determine o Intervalo Interquartil (IQR) e discuta a presença de outliers nos dados.
(h) Comente sobre a interpretação dos resultados à luz do contexto geofísico.
1.1 Analise Bidimensional
27. Num estudo Higiene e Segurança no Trabalho, constatou-se a incidência de tabagismo
com a gravidade nos acidentes de trabalho. Se extraiu uma amostra de X indivíduos que
sofreram acidente de trabalho. Os resultados são apresentados na tabela abaixo.
Muito Grave Grave Leve
Alto Fumador 20 10 30
Fumador 30 40 50
Fumador Esporádico 10 60 60
Estude se as variáveis estão associadas ou não por meio de uma medida descritiva. Comente
os resultados.
1.2 Regressão Linear Simples
28. No quadro seguinte, indicam-se os preços (X) dum bem alimentar (em unidades monetá-
rias) praticados durante 12 meses consecutivos e as quantidades vendidas (Y ).
x 110 90 80 76 74 71 70 65 63 60 55 50
y 55 70 90 100 90 105 80 110 125 115 130 131
(a) Represente graficamente a informação disponibilizada.
(b) Através da análise gráfica, parece-lhe existir relação linear entre as duas variáveis?
(c) Calcule e interprete o valor do coeficiente de correlação linear de Pearson.
29. O Departamento de Qualidade de um determinado hospital, pretende fazer um estudo
sobre o tempo que os utentes encaminhados para cirurgia pelos seus médicos de família
demoram a ser efetivamente operados. Estes utentes são primeiro chamados a comparecer
a uma consulta de referência no hospital (X dias após o encaminhamento) e só posterior-
mente são operados (X dias após a consulta de referência). Escolheram-se aleatoriamente
15 utentes nestas condições, tendo sido reportados os seguintes tempos de espera:
x 69 76 51 34 62 13 40 7 64 41 64 26 40 44 48
y 28 64 7 26 38 18 40 20 44 32 31 32 36 25 73
Considera que estes tempos estão correlacionados? Calcule e interprete o valor do
coeficiente de correlação mais indicado.
Estatística Básica 11 Positivo Nakiti
1.2. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
30. A produção anual de morangos de uma estufa depende da percentagem de humidade
existente. A tabela seguinte apresenta o valor dessa produção, em toneladas, em função
da humidade:
Produção (ton.) 325 415 287 220 160
Humidade (%) 20 25 30 35 40
(a) Quantifique a qualidade do ajuste efectuado (coeficiente de correlação amostral) e
apresente as conclusões.
(b) Determine a equação de regressão linear e o coeficiente de determinação. Que con-
clusões pode tirar?
31. São apresentados valores da massa do corpo sem gordura (kg) e da taxa de metabolismo
(calorias) de 19 pessoas de ambos os sexos
Pessoa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sexo M M F F F F M F F M
Massa 62 62,9 36,1 54,6 48,5 42 47,4 50,6 42 48,7
Taxa 1792 1666 995 1425 1396 1418 1362 1502 1256 1614
(a) Apresente os dados em um diagrama de dispersão com pontos identificando os sexos.
Apresente a variável Y, taxa de metabolismo, como variável resposta (dependente) e
a variável X, massa do corpo sem gordura, como explicativa (independente);
(b) Calcule os coeficientes da reta de regressão e desenhe a reta;
(c) Interprete os coeficientes da reta.
(d) Com base no gráfico de dispersão, você diria que o coeficiente de correlação de Pearson
para o sexo feminino é maior, menor ou igual ao do sexo masculino? Calcule os
coeficientes e confirme sua opinião.
32. O Departamento de vendas de certa companhia ofereceu um curso de atualização a seus
funcionários e, para estudar a eficácia do curso, resolveu comparar a nota de teste no curso
(T) com o volume de vendas, em milhares de unidades, nos seis meses seguintes ao curso
(V). Os resultados estão na tabela abaixo.
T 8 9 7 8 6 8 5 5 6 7 4 7 3 5 3
V 14 13 12 13 10 12 11 11 10 12 10 13 20 12 11
(a) A variável T serve para explicar a variável V? Justifique
(b) Calcule a correlação entre as variáveis
(c) Encontre a reta de regressão.
(d) Há algum dado destoando na tabela? Por que?
33. Muitas vezes os dados devem ser transformados para que se obtenha uma relação linear
entre a variável resposta e a variável explicativa. Os dados a seguir relacionam o diâmetro
(x) de uma fibra e o logaritmo de base 10 (y) da força de rompimento. Os dados são:
x 22,5 28 27,5 25,5 22 30,5 23 25 23,5 27 21,5 22 29 20,5 27
y 0,19 0,62 0,51 0,53 0,24 0,87 0,25 0,25 0,37 0,32 0,13 0,35 0,53 0,22 0,65
(a) Construir o diagrama de dispersão
Estatística Básica 12 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1.2. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
(b) Determinar a reta de regressão de Y em função de X, grafando-a
(c) Calcule o coeficiente de correlação e interprete o resultado.
(d) Em sua opinião, por que a reta no gráfico parece não estar condizente com o valor
do coeficiente angular estimado?
34. Um modelo linear ajustado para prever as Vendas semanais de pizza congelada (em Kwan-
zas) a partir do preço médio (AO/unidade) cobrado por uma amostra de lojas na província
de Luanda em 39 semanas recentes é:
Vendas=148.650,00 – 233.700,00 Preço
(a) Qual é a variável explanatória?
(b) Qual e a variável resposta?
(c) O que a inclinação significa nesse contexto?
(d) O que intercepto significa neste contexto?
(e) Quantas pizzas seriam vendidas se o preço médio cobrado fosse de AO 3.500,00.
35. Em uma área de estudo, foi observada uma possível relação entre a profundidade e a den-
sidade da rocha. Dados foram coletados para a densidade (ρ) em função da profundidade
(d):
Profundidade (m) Densidade ρ (g/cm³)
100 2.4
300 2.5
500 2.6
700 2.7
900 2.75
(a) Calcule a equação da regressão linear simples para prever a densidade em função da
profundidade. Interprete o coeficiente angular e o coeficiente linear.
(b) Use o modelo para prever a densidade a uma profundidade de 1000 metros.
(c) Comente sobre a validade da regressão linear simples para profundidades maiores
do que aquelas nos dados. Seria possível que a densidade continuasse aumentando
linearmente com a profundidade? Explique suas razões.
36. A velocidade da onda S (Vs) em uma rocha é medida sob diferentes pressões. Os dados
coletados são apresentados na tabela abaixo:
Pressão (MPa) Velocidade Vs (m/s)
5 1400
10 1500
15 1550
20 1600
25 1650
Calcule
(a) Construa a equação de regressão linear para prever Vs com base na pressão.
(b) Qual é o significado físico do coeficiente angular nesse caso? O que ele indica sobre
a relação entre pressão e velocidade da onda S?
Estatística Básica 13 Positivo Nakiti
1.2. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
(c) Calcule o coeficiente de determinação R2 e discuta se o ajuste é bom.
(d) Utilize o modelo para prever Vs a uma pressão de 30 MPa. Faça uma reflexão sobre
até que ponto esse modelo linear poderia ser aplicado para pressões ainda maiores.
37. Em levantamentos elétricos, a resistividade do solo pode variar de acordo com a profundi-
dade. A tabela abaixo fornece dados de resistividade (ρ) em diferentes profundidades:
Profundidade (m) Resistividade ρ (Ω·m)
5 100
10 90
15 85
20 80
25 78
(a) Construa a regressão linear para prever a resistividade com base na profundidade.
(b) O que o coeficiente angular representa neste contexto? Explique por que a resistivi-
dade pode diminuir com a profundidade.
(c) Use o modelo para prever a resistividade a 30 metros de profundidade. Essa previsão
parece razoável para o contexto? Justifique.
(d) Discuta as limitações de um modelo linear para prever resistividade a profundidades
muito maiores ou menores. Quais outros fatores poderiam influenciar a resistividade
do solo?
38. A porosidade de uma formação geológica tende a diminuir com o aumento da profundidade
devido à compactação. Dados de porosidade em função da profundidade foram coletados
e estão apresentados na tabela:
Profundidade (m) Porosidade (%)
100 30
200 25
300 20
400 18
500 15
(a) Construa a regressão linear para prever a porosidade com base na profundidade.
(b) Utilize o modelo para prever a porosidade a uma profundidade de 600 metros.
(c) Discuta o significado dos coeficientes de regressão e o que eles indicam sobre a com-
pactação da formação geológica.
(d) Até que ponto o modelo linear é válido para a porosidade? Em profundidades muito
maiores, a porosidade continuaria a diminuir linearmente?
39. Em uma área de estudo, foi observada uma possível relação entre a profundidade e a den-
sidade da rocha. Dados foram coletados para a densidade (ρ) em função da profundidade
(d):
Profundidade (m) Densidade ρ (g/cm³)
100 2.35
200 2.40
300 2.47
400 2.52
500 2.55
600 2.58
700 2.61
800 2.65
900 2.68
1000 2.70
Estatística Básica 14 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1.2. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
(a) Calcule a equação da regressão linear simples para prever a densidade em função da
profundidade. Interprete o coeficiente angular e o coeficiente linear.
(b) Use o modelo para prever a densidade a uma profundidade de 1100 metros.
(c) Comente sobre a validade da regressão linear simples para profundidades maiores
do que aquelas nos dados. Seria possível que a densidade continuasse aumentando
linearmente com a profundidade? Explique suas razões.
40. A velocidade da onda S (Vs) em uma rocha é medida sob diferentes pressões. Os dados
coletados são apresentados na tabela abaixo:
Pressão (MPa) Velocidade Vs (m/s)
5 1400
10 1500
15 1550
20 1600
25 1650
30 1675
35 1700
40 1725
45 1750
50 1770
(a) Construa a equação de regressão linear para prever Vs com base na pressão.
(b) Qual é o significado físico do coeficiente angular nesse caso? O que ele indica sobre
a relação entre pressão e velocidade da onda S?
(c) Calcule o coeficiente de determinação R2 e discuta se o ajuste é bom.
(d) Utilize o modelo para prever Vs a uma pressão de 60 MPa. Faça uma reflexão sobre
até que ponto esse modelo linear poderia ser aplicado para pressões ainda maiores.
41. Em levantamentos elétricos, a resistividade do solo pode variar de acordo com a profundi-
dade. A tabela abaixo fornece dados de resistividade (ρ) em diferentes profundidades:
Profundidade (m) Resistividade ρ (Ω·m)
5 100
10 95
15 90
20 85
25 82
30 80
35 78
40 76
45 75
50 73
(a) Construa a regressão linear para prever a resistividade com base na profundidade.
(b) O que o coeficiente angular representa neste contexto? Explique por que a resistivi-
dade pode diminuir com a profundidade.
(c) Use o modelo para prever a resistividade a 55 metros de profundidade. Essa previsão
parece razoável para o contexto? Justifique.
(d) Discuta as limitações de um modelo linear para prever resistividade a profundidades
muito maiores ou menores. Quais outros fatores poderiam influenciar a resistividade
do solo?
Estatística Básica 15 Positivo Nakiti
1.2. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
42. A porosidade de uma formação geológica tende a diminuir com o aumento da profundidade
devido à compactação. Dados de porosidade em função da profundidade foram coletados
e estão apresentados na tabela:
Profundidade (m) Porosidade (%)
100 30
200 27
300 24
400 22
500 20
600 18
700 16
800 15
900 14
1000 13
(a) Construa a regressão linear para prever a porosidade com base na profundidade.
(b) Utilize o modelo para prever a porosidade a uma profundidade de 1100 metros.
(c) Discuta o significado dos coeficientes de regressão e o que eles indicam sobre a com-
pactação da formação geológica.
(d) Até que ponto o modelo linear é válido para a porosidade? Em profundidades muito
maiores, a porosidade continuaria a diminuir linearmente?
43. A tabela a seguir mostra dados coletados em um campo de petróleo, com profundidades e
respectivas pressões observadas:
Profundidade (m) Pressão (MPa)
500 5.1
1000 9.8
1500 14.7
2000 19.3
2500 24.0
3000 28.6
3500 33.2
4000 37.9
4500 42.1
5000 46.8
(a) Construção do Modelo de Regressão Linear:
• Calcule a equação de regressão linear simples para prever a pressão do reserva-
tório em função da profundidade.
• Interprete o coeficiente angular e o coeficiente linear.
(b) Previsão de Pressão:
• Use o modelo para prever a pressão a uma profundidade de 5500 metros.
• Discuta se essa previsão parece plausível com base na tendência dos dados.
(c) Interpretação Física do Modelo:
• Explique o significado do coeficiente angular no contexto geofísico. O que ele
indica sobre a relação entre profundidade e pressão em reservatórios de petróleo?
• A pressão aumenta linearmente com a profundidade, ou poderiam surgir fatores
que alterassem essa relação em maiores profundidades? Discuta possíveis causas.
(d) Avaliação do Modelo:
Estatística Básica 16 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1.2. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
• Calcule o coeficiente de determinação R2 para avaliar a qualidade do ajuste.
• Comente sobre a adequação da regressão linear simples neste contexto e discuta
se seria necessário um modelo mais complexo para prever a pressão a profundi-
dades extremas.
44. Em um campo petrolífero, dados sobre a saturação de petróleo (So), que representa a
fração de petróleo no reservatório, foram coletados a diferentes profundidades:
Profundidade (m) Saturação de Petróleo (So %)
500 80
1000 72
1500 68
2000 63
2500 60
3000 56
3500 53
4000 50
4500 48
5000 45
(a) Construa a equação de regressão linear para prever a saturação de petróleo com base
na profundidade.
(b) Use o modelo para prever a saturação de petróleo a uma profundidade de 5500 metros.
(c) O que o coeficiente angular sugere sobre a tendência de saturação de petróleo com o
aumento da profundidade?
(d) Avalie a confiabilidade de um modelo linear neste caso. Discuta outros fatores que
poderiam afetar a saturação de petróleo em profundidades extremas.
45. A temperatura de um reservatório aumenta com a profundidade devido ao gradiente ge-
otérmico. Dados de temperatura foram coletados em um campo de petróleo a várias
profundidades:
Profundidade (m) Temperatura (°C)
500 30
1000 45
1500 60
2000 75
2500 90
3000 105
3500 120
4000 135
4500 150
5000 165
(a) Construa a equação de regressão linear para prever a temperatura do reservatório
com base na profundidade.
(b) Use o modelo para prever a temperatura a uma profundidade de 5500 metros.
(c) O que o coeficiente angular indica sobre o gradiente geotérmico neste campo de
petróleo?
(d) Discuta se a relação linear entre profundidade e temperatura é aplicável a todas as
profundidades. Quais outros fatores poderiam influenciar a temperatura em profun-
didades extremas?
Estatística Básica 17 Positivo Nakiti
1.2. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
46. Em reservatórios de petróleo, a permeabilidade tende a diminuir com a profundidade de-
vido à compactação das rochas. A tabela abaixo mostra dados de permeabilidade (k) a
diferentes profundidades:
Profundidade (m) Permeabilidade (mD)
500 250
1000 210
1500 180
2000 155
2500 130
3000 110
3500 90
4000 75
4500 60
5000 50
(a) Construa a equação de regressão linear para prever a permeabilidade com base na
profundidade.
(b) Use o modelo para prever a permeabilidade a uma profundidade de 5500 metros.
(c) O que o coeficiente angular indica sobre a relação entre profundidade e permeabili-
dade?
(d) Avalie se um modelo linear é adequado para prever a permeabilidade em profundi-
dades extremas. Considere outros fatores que podem afetar a permeabilidade em
camadas mais profundas.
47. Em um circuito resistivo, a tensão (V ) é medida para diferentes valores de corrente (I).
Sabendo-se que a relação entre corrente e tensão deve ser linear de acordo com a Lei de
Ohm, os dados observados são apresentados na tabela abaixo:
Corrente
I (A) Tensão V (V)
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
6 30
7 35
8 40
9 45
10 50
(a) Construa a equação de regressão linear para prever a tensão em função da corrente.
(b) Qual é o valor da resistência do circuito com base no coeficiente angular?
(c) Use o modelo para prever a tensão para uma corrente de 12 A.
(d) Avalie a precisão do modelo e discuta possíveis razões para desvios do modelo linear
em circuitos reais.
48. A resistência elétrica de certos materiais aumenta com a temperatura. Os dados da tabela
mostram a resistência (R) de um fio condutor a diferentes temperaturas (T ):
Estatística Básica 18 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1.2. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
Temperatura T (°C) Resistência R (Ω)
20 5.0
30 5.5
40 6.0
50 6.5
60 7.0
70 7.5
80 8.0
90 8.5
100 9.0
110 9.5
Tarefas:
(a) Construa a equação de regressão linear para prever a resistência em função da tem-
peratura.
(b) O que o coeficiente angular indica sobre a variação da resistência com a temperatura?
(c) Use o modelo para prever a resistência a uma temperatura de 120 °C.
(d) A relação linear entre temperatura e resistência é válida para todas as temperaturas?
Explique possíveis limitações.
49. Em um circuito, a potência (P ) dissipada varia com a tensão (V ) aplicada. A tabela
abaixo mostra medições de potência para diferentes valores de tensão:
Tensão V (V) Potência P (W)
10 2.0
20 4.5
30 6.8
40 9.1
50 11.4
60 13.7
70 15.9
80 18.2
90 20.5
100 22.8
(a) Construa a equação de regressão linear para prever a potência dissipada em função
da tensão aplicada.
(b) Use o modelo para prever a potência para uma tensão de 110 V.
(c) Explique o que o coeficiente angular indica sobre o circuito.
(d) Calcule o coeficiente de determinação R2 e discuta se um modelo linear é apropriado
para essa relação. Considere que em alguns casos a relação potência-tensão pode ser
quadrática.
50. Em materiais não ôhmicos, a resistência (R) pode variar com a corrente (I). A tabela
abaixo mostra dados de resistência em diferentes correntes:
Estatística Básica 19 Positivo Nakiti
1.2. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Corrente I (A) Resistência R (Ω)
1 10
2 12
3 15
4 19
5 24
6 30
7 37
8 45
9 54
10 65
(a) Calcule a equação de regressão linear para prever a resistência em função da corrente.
(b) O que o coeficiente angular indica sobre a relação entre corrente e resistência neste
condutor?
(c) Use o modelo para prever a resistência para uma corrente de 12 A.
(d) Analise a validade do modelo linear para materiais não ôhmicos e discuta por que a
resistência pode variar de forma não linear com a corrente.
51. A eficiência de um motor elétrico varia com a corrente (I) que circula pelo motor. A tabela
a seguir apresenta valores da eficiência (η) para diferentes valores de corrente:
Corrente I (A) Eficiência η (%)
5 75
10 78
15 80
20 82
25 83
30 83.5
35 83.8
40 84
45 84
50 83.5
(a) Construa uma regressão linear para prever a eficiência do motor em função da cor-
rente.
(b) O que o coeficiente angular indica sobre a tendência da eficiência do motor?
(c) Use o modelo para prever a eficiência para uma corrente de 55 A. A previsão parece
razoável?
(d) Analise a adequação do modelo linear e discuta a possibilidade de a eficiência atingir
um limite máximo. Em que condições a relação poderia deixar de ser linear?
52. A eficiência de um motor elétrico depende de diversos parâmetros, incluindo a corrente
(I), a temperatura do motor (T ) e a velocidade de rotação (ω). A tabela a seguir mostra
medições de eficiência (η) de um motor para diferentes combinações de corrente, tempera-
tura e velocidade de rotação:
Estatística Básica 20 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1.2. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
Corrente I (A) Temperatura T (°C) Velocidade ω (rpm) Eficiência η (%)
10 30 1000 85
15 40 1500 87
20 35 2000 88
25 45 2500 86
30 50 3000 83
35 55 3500 80
40 60 4000 78
45 65 4500 75
50 70 5000 72
55 75 5500 70
(a) Construção do Modelo de Regressão Linear Múltipla: Use regressão linear
múltipla para criar um modelo de predição da eficiência η como uma função da
corrente I, da temperatura T e da velocidade ω. O modelo terá a forma:
η = β0 + β1I + β2T + β3ω
onde β0, β1, β2 e β3 são os coeficientes de regressão que devem ser estimados.
(b) Interpretação dos Coeficientes: Após calcular os coeficientes β, interprete o sig-
nificado de cada um deles no contexto da eficiência do motor:
• β1: Como a corrente I afeta a eficiência do motor?
• β2: Qual é o impacto da temperatura T na eficiência?
• β3: Como a velocidade de rotação ω influencia a eficiência?
(c) Previsão de Eficiência: Usando o modelo obtido, preveja a eficiência do motor
para uma corrente de 28 A, temperatura de 48 °C e velocidade de rotação de 3200
rpm.
(d) Avaliação do Modelo:
i. Calcule o coeficiente de determinação ajustado (R2 ajustado) para avaliar a
qualidade do ajuste do modelo.
ii. Discuta a adequação do modelo linear múltiplo para este conjunto de dados.
Considere se outros termos, como interações ou termos quadráticos, poderiam
melhorar o ajuste.
(e) Discussão de Limitações:
• Considere que, em altas correntes e temperaturas, o comportamento do motor
pode se tornar não linear devido ao aumento da resistência interna. Discuta
como esse fato pode afetar a precisão do modelo de regressão linear múltipla
para valores extremos de I, T e ω.
• Discuta a viabilidade de adicionar outros fatores, como a carga mecânica, para
melhorar a precisão do modelo.
Estatística Básica 21 Positivo Nakiti
1.2. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES CAPÍTULO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Estatística Básica 22 Positivo Nakiti
Capítulo 2
Probabilidades
1. Considere a palavra TEORIA.
(a) Quantos anagramas podemos formar?
(b) Quantos anagramas começam com a letra T?
(c) Quantos anagramas começam com a letra T e terminam com A?
(d) Quantos anagramas têm todas as vogais juntas?
2. Quantas filas podem ser formadas por 5 moças e 5 rapazes? Se Jo~ao e Maria fazem
parte desse grupo, em quantas filas eles estão juntos? E em quantas filas eles estão
separados?
3. O segredo de um cofre ´e formado por uma sequência de 3 dígitos escolhidos entre
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Suponha que uma pessoa saiba que o segredo ´e formado
por três algarismos distintos. Qual o número máximo de tentativas que ela terá de
fazer para abrir o cofre?
4. Num restaurante registaram-se, durante bastante tempo, os pedidos dos clientes,
tendo-se chegado à conclusão que, para terminar a refeição, 20% dos clientes pedem
só sobremesa, 40% pedem só café e 30% pedem sobremesa e café.
(a) Determine a probabilidade do acontecimento de pedir apenas “café”.
(b) Determine a probabilidade do acontecimento “nem pede café nem sobremesa”.
(c) Determine a probabilidade do acontecimento “pedir café ou sobremesa”.
5. Quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar com os alga-
rismos 1, 3, 6, 7, 8, 9?
6. Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios:
(a) Em uma pesquisa de mercado, conta-se o número de clientes do sexo masculino
que entram em um supermercado no horário das 8 ás 12 horas.
(b) Em um estudo de viabilidade de abertura de uma creche própria de uma grande
empresa, fez-se um levantamento, por funcionário, do sexo dos filhos com menos
de 5 anos de idade. O número máximo de filhos por funcionário é 4, e a
informação relevante é o sexo dos filhos de cada funcionário.
(c) Em um teste de controle de qualidade da produção, mede-se a duração de
lâmpadas, deixando-as acesas até que queimem..
23
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
(d) Lança-se uma moeda at´e aparecer cara pela primeira vez e anota-se o número
de lançamentos.
(e) Em uma urna, há 5 bolas identificadas pelas letras A,B,C,D,E. Sorteiam-se
duas bolas, uma ap´os a outra, com reposição, e anota-se a configuração for-
mada.
(f) Mesmo enunciado anterior, mas as duas bolas são selecionadas simultanea-
mente.
7. Numa determinada empresa, o ordenado dos homens pode tomar os valores, de 1000
u.m.,
1500 u.m.,2000 u.m. e 2500 u.m. As mulheres podem usufruir os seguintes
ordenados: 500 u.m., 1000 u.m., 1500 u.m. e 2000 u.m. Admitindo que a percen-
tagem de homens a auferir cada um dos valores é a mesma, e o mesmo em relação
às mulheres, e que os ordenados dos homens são independentes dos ordenados das
mulheres, qual a probabilidade de um casal, escolhido aleatoriamente:
(a) Ganhar mais de 2500 u.m.
(b) Ganhar um múltiplo de 1000 u.m.
(c) Ganhar entre 2000 e 3500 u.m. (inclusive).
8. Um teste para a deteção do vírus da COVID19 foi aplicado a 5100 portadores e a
9900 não portadores deste vírus, tendo-se obtido os seguintes resultados:
Resultado do teste Portador Não portador
Positivo 4950 750
Negativo 150 9150
Calcule a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso, de entre os submetidos
ao teste:
(a) Ter um resultado positivo no teste.
(b) Ter um resultado positivo no teste e ser portador do vírus.
(c) Não ser portador do vírus e ter um resultado negativo.
(d) Ter um resultado positivo sabendo que não é portador do vírus.
(e) Ter um resultado negativo sabendo que é portador do vírus.
(f) Ser portador do vírus sabendo que o teste é positivo.
(g) Não ser portador da doença sabendo que o teste deu negativo.
(h) O resultado do teste é independente do facto do indivíduo ser portador do
vírus?
9. Suponha que há três revistas, A,B,C, com as seguintes percentagens de leitura:
A− 9, 8%, B − 22, 9%, C − 12, 1%, A e B − 5, 1%, A e
C − 3, 7%, B e C − 6, 0%, A,Be C − 2, 4%
Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser leitor:
(a) De pelo menos uma das revistas
(b) Da revista A e B mas não a revista C
Estatística Básica 24 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
(c) Da revista A mas não das revistas B e C
10. Seja A,B e C três acontecimentos em um espaço de probabilidade. Expresse os
seguintes acontecimentos em tornos de A,B e C:
(a) Apenas A ocorra.
(b) A e B ocorram, mas C não ocorra.
(c) Os três acontecimentos ocorram.
(d) Pelo menos um dos três acontecimentos ocorra.
(e) Nenhum dos três ocorrer
(f) Exactamente um dos três ocorrer
(g) No máximo um dos três ocorrer
(h) Pelo menos dois dos três ocorrer
11. Quatro números são escolhidos ao acaso, sem reposição, do conjunto {0, 1, 2, ..., 9}.
Calcule as probabilidades de que:
(a) Os quatro números formem uma seguida (por exemplo, 2, 3, 4, 5)
(b) Todos sejam maior que 5
(c) O número 0 seja escolhido
(d) pelo menos um seja maior que 7.
(e) Todos sejam ímpares.
12. Seja A e B dois acontecimentos em um espaço de probabilidade, tais que P (A) = 1
2
,
P (B) = 1
4
e P (A ∩B) = 1
5
. Calcule as probabilidade dos seguintes acontecimentos:
(a) A não ocorra.
(b) B não ocorra.
(c) Pelo menos um de A e B ocorre.
(d) A não corre e B sim.
(e) B não corre e A sim.
(f) Não ocorra nenhum de A e B.
(g) Pelo menos um de A e B não ocorra.
13. Em uma escola, 60% dos estudantes não usam anel nem colar; 20% usam anel e 30%
colar. Se um aluno é escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade de que esteja
usando:
(a) pelo menos uma das joias?
(b) ambas as joias?
(c) um anel mas não um colar?
14. Da população de uma cidade, 8% fumam cigarro, 7% fumam charuto e 5% ambos.
Calcule a percentagem da população
(a) que não fuma nem cigarro nem charuto
(b) que fuma charuto mas não cigarro
Estatística Básica 25 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
15. Uma escola oferece três cursos optativos de idiomas: espanhol, francês e alemão. As
turmas são abertas a qualquer um dos 100 alunos matriculados. Há 28 estudantes
na turma de espanhol, 26 na turma de francês e 16 na turma de alemão. Há 12
alunos no curso de espanhol e francês, 4 fazendo espanhol e alemão, e 6 francês e
alemão. Além disso, 2 estudantes acompanham os três cursos.
(a) Se um alunos é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que não acompanhe
nenhum dos cursos?
(b) Se um estudante é escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade de que esteja
fazendo exactamente um dos cursos?
(c) Se dois alunos são escolhidos ao caso, qual a probabilidade de que pelo menos
um deles esteja cursando uma língua?
16. Na Bricolândia existem no mercado três operadoras de telemóvel, A,B e C, com as
seguintes percentagens de adesão:
P (A) = P (B) = P (C) = 1
4
, P (A ∩B) = P (B ∩ C) = 0, P (A ∩ C) = 1
8
Calcule a probabilidade de um indivíduo, escolhido ao acaso, ser aderente de pelo
menos uma das operadoras.
17. Sejam A e B acontecimentos tais que P (A) = 0, 2, P (B) = p e P (A ∪ B) = 0, 66
Calcule p considerando A e B:
(a) Mutuamente exclusivos.
(b) Independentes.
18. Um estudante tem 3 exames. A probabilidade de ter nota positiva em cada um é de
1
2
e os resultados são independentes. Calcule a probabilidade de ter nota positiva:
(a) Em pelo menos um exame.
(b) Exatamente um exame.
19. Uma escola de idiomas só oferece cursos de Inglês, Espanhol e Alemão. sabe-se
que, entre seus alunos, 139 cursam Inglês; 93, Espanhol; 36, Alemão; 40, Inglês e
Espanhol; 22 , Inglês e Alemão; 18, Espanhol e Alemão ; 12 os três idiomas. Entre
os estudantes dessa escola, sorteia-se uma bolsa de estudos no exterior. Qual é a
probabilidade de que o sorteado
(a) esteja matriculado apenas em inglês?
(b) esteja matriculado apenas em dois idiomas?
(c) não esteja matriculado em espanhol?
20. A probabilidade de 3 jogadores marcarem um penalti é respectivamente: 2/3; 4/5;
7/10 cobrando uma única vez.
(a) todos acertarem.
(b) apenas um acertar.
(c) todos errarem.
Estatística Básica 26 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
21. Numa bolsa com 5 moedas de 1,00 e 10 moedas de 0,50. Qual a probabilidade de
ao retirarmos 2 moedas obter a soma 1,50. (10/21)
22. Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas e 2 brancas. Três bolas são retiradas.
Qual a probabilidade de retirar 2 pretas e 1 vermelha ?
(a) sem reposição
(b) com reposição
23. Numa classe há 10 homens e 20 mulheres, metade dos homens e metade das mulheres
possuem olhos castanhos. Ache a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso
ser homem ou ter olhos castanhos.
24. A probabilidade de um homem estar vivo daqui a 20 anos é de 0.4 e de sua mulher
é de 0.6 . Qual a probabilidade de que:
(a) ambos estejam vivos no período ?
(b) somente o homem estar vivo ?
(c) ao menos a mulher estar viva ?
(d) somente a mulher estar viva?
25. Faça o exercício anterior considerar 0,5 a chance do homem estar vivo e 0,2 a chance
da mulher estar viva e compara os resultados.
26. Uma urna contém 5 fichas vermelhas e 4 brancas. Extraem-se sucessivamente duas
ficha, sem reposição e constatou-se que a 1ª é branca.
(a) Qual a probabilidade da segunda também ser branca ?
(b) Qual a probabilidade da 2ª ser vermelha ?
27. Numa cidade 40 % da população possui cabelos castanhos, 25% olhos castanhos e
15% olhos e cabelos castanhos. Uma pessoa é selecionada aleatoriamente.
(a) se ela tiver olhos castanhos, qual a probabilidade de também ter cabelos cas-
tanhos?
(b) se ela tiver cabelos castanhos, qual a probabilidade de ter olhos castanhos
28. Dois processadores tipo A e B são colocados em teste por 50 mil horas. A probabi-
lidade de que um erro de cálculo aconteça em um processador do tipo A é de 1/30,
no tipo B, 1/80 e ambos, 1/1000. Qual a probabilidade de que:
(a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro?
(b) Nenhum processador tenha apresentado erro?
(c) Apenas o processador A tenha apresentado erro?
29. Em uma indústria de enlatados, as linhas de Produção I, II, III respondem por
50%, 30%, 20% da produção, respectivamente. As proporções de latas com defeito
de produção nas linhas I, II, e III são 0,4%, 0,6% e 0,2%. Qual a probabilidade de
uma lata defeituosa (descoberta ao final da inspeção do produto acabado) provir da
linha I?
30. Se P (A) = 0, 4 e P (B) = 0, 5, que se pode dizer quanto a P (A ∪ B), se A e B não
são mutuamente exclusivos?
Estatística Básica 27 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
31. Uma empresa de sementes focalizada em vender pacotes com 20 Kg cada. As má-
quinas A,B,
e C enchem 25%, 35% e 40% do total produzido, respectivamente. Da
produção de cada máquina 5%, 4% e 2% respectivamente, são pacotes fora do peso
aceitável. Escolhe-se ao acaso um pacote e verifica-se que está fora do peso aceitável.
Qual a probabilidade de que o pacote tenha vindo da máquina A?
32. As probabilidades prévias para os acontecimentos A1 e A2 são P (A1) = 0, 40 e
P (A2) = 0, 60. Sabe-se também que P (A1 ∩ A2) = 0. Suponha que P (B|A1) = 0
e P (B|A2) = 0, 05.
(a) A1 e A2 são mutuamente exclusivos? Por quê?
(b) Calcule P (A1 ∩B) e P (A2 ∩B)
33. Em uma linha de produção de uma certa fábrica, determinada peça é produzida em
duas máquinas. A máquina 1, mais antiga, é responsável por 35% da produção e os
65% restantes vêm da máquina 2. A partir dos dados passados e das informações do
fabricante das máquinas, estima-se em 5% a proporção de peças defeituosas produzi-
das pela máquina 1 e em 2,5% a proporção de defeituosas produzidas pela máquina
2. As peças produzidas pelas duas máquinas seguem para o departamento de ar-
mazenamento e embalagem, para venda posterior, sem distinção de qual máquina a
produziu.
(a) Qual é a proporção de peças defeituosas colocadas no mercado por essa fábrica?
(b) Se um cliente identifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que ela
tenha sido produzida pela máquina 2?
34. Actual linha de produção de uma empresa gera uma incidência de defeituosos da
ordem dos 8%. Foi implementado um sistema de controlo de qualidade cuja a
probabilidade de rejeitar uma peça defeituosa é de 90%, e a probabilidade de rejeitar
uma que de facto não é defeituosa é de 3%.
(a) Qual a probabilidade de uma peça defeituosa passar no sistema de controlo?
(b) Qual a probabilidade de uma peça ser rejeitada por este sistema de controlo?
(c) No conjunto das peças rejeitadas por este sistema de controlo, qual éa proba-
bilidade de uma peça ser defeituosa?
35. Uma urna contém 4 bolas, das quais 2 são brancas (numeradas de 1 a 2) e 2 são
pretas (numeradas de 3 a 4). Duas bolas são retiradas dessa urna, sem reposição.
Defina um espaço amostral apropriado para esse experimento.
36. Três cartas são retiradas, sem reposição, de um baralho que tem três cartas de cada
uma das cores azul, vermelha, preta e branca. Dê um espaço amostral para esse
experimento.
37. Em uma urna há 4 bolas brancas e 3 bolas verdes. Duas bolas são retiradas dessa
urna, sequencialmente e sem reposição. Qual é a probabilidade de obtermos (i) 2
bolas brancas? (ii) 2 bolas verdes? (iii) 2 bolas de cores diferentes?
38. Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro,
86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um.
(a) Quantos alunos não acertaram qualquer problema?
Estatística Básica 28 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
(b) Quantos alunos acertaram apenas o segundo problema?
39. Em um arquivo há 4 balancetes de orçamento e 3 balancetes de custos. Em uma
auditoria, o auditor seleciona aleatoriamente um destes balancetes. Qual é a proba-
bilidade de que seja um balancete de custos? E de orçamento?
40. Considere a situação anterior, só que agora o auditor retira sequencialmente 2 ba-
lancetes sem reposição. Qual é a probabilidade de serem sorteados (i) 2 balancetes
de custos? (ii) 2 balancetes de orçamento? (iii) 2 balancetes de tipos diferentes?
41. De um baralho de 52 cartas, extrai-se uma ao acaso. Defina os eventos C = “carta
é de copas” e R = “carta é um rei”. Calcule P(C), P(R), P(C R), P(C|R).
42. A probabilidade de que uma nova campanha publicitária fique pronta antes do prazo
estipulado pela direcção foi estimada em 0,60. A probabilidade de que a diretoria
aprove essa campanha publicitária é de 0,50. A probabilidade de que ambos os
objetivos sejam atingidos é 0,30.
(a) Qual é a probabilidade de que pelo menos um dos objetivos seja atingido?
(b) Qual é a probabilidade de que nenhum objetivo seja atingido?
(c) Se a campanha ficou pronta antes do prazo estipulado, qual é a probabilidade
de que a diretoria a aprove?
43. Uma urna contém 6 bolas pretas e 5 bolas amarelas. Extraem-se sequencialmente
3 bolas dessa urna, sem reposição. Qual é a probabilidade de que as 3 bolas sejam
de cores iguais?
44. O gerente de Recursos Humanos de uma empresa escolhe estagiários oriundos de
dois cursos de Administração. No curso 1, a proporção de alunos com boa formação
em informática é de 60%, enquanto no outro curso, essa proporção cai para 40%.
Um estagiário acaba de ser contratado. A probabilidade de que tenha boa formação
em informática é 0,44. Qual é a preferência (probabilidade) do gerente pelo curso
1?
45. Um empreiteiro apresentou orçamentos separados para a execução da parte elétrica
e da parte hidráulica de um edifício. Ele acha que a probabilidade de ganhar a
concorrência da parte elétrica é de 1/2. Caso ele ganhe a parte elétrica, a chance
de ganhar a parte hidráulica é de 3/4; caso contrário, essa probabilidade é de 1/3.
Qual é a probabilidade de ele:
(a) ganhar os dois contratos?
(b) ganhar apenas um?
(c) não ganhar qualquer contrato?
46. Um novo teste para o diagnóstico precoce de uma doença infecciosa está em estudo.
O teste foi aplicado a um conjunto de animais para os quais se conhecia à priori
se estavam infetados ou não. Um teste positivo indica a deteção da infeção. Dos
resultados da aplicação do teste obteve-se o seguinte quadro:
Determine:
(a) A sensibilidade do teste (probabilidade do teste dar positivo, sabendo que os
indivíduos estavam infetados);
Estatística Básica 29 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
Característica Resultado do Teste
Positivo (P) Negativo (N)
Indivíduo Infectado (I) 68 83
Indivíduo Saudáveis (S) 52 97
(b) A especificidade do teste (probabilidade do teste dar negativo sabendo que os
indivíduos eram saudáveis);
(c) Os falsos positivos (probabilidade do teste dar positivo sabendo que os indiví-
duos eram saudáveis);
(d) Os falsos negativos (probabilidade do teste dar negativo sabendo que os indi-
víduos estavam infetados).
47. Num estudo de patologias esqueléticas traumáticas em 280 cavalos de corrida verificou-
se o seguinte:
48. Uma empresa produz circuitos em três fábricas, denotadas por I, II e III. A fábrica
I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III produzem 30% cada uma. As
probabilidades de que um circuito produzido por essas fábricas não funcione são
0.01, 0.04 e 0.03 respectivamente. Escolhido ao acaso um circuito da produção
conjunta das três fábricas,
(a) Qual é a probabilidade do circuito não funcionar?
(b) Dado que o circuito escolhido não funciona, qual é a probabilidade do circuito
ter sido produzido pela fábrica I?
49. Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25%, 35% e 40% do
total, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5%, 4% e 2%, respectiva-
mente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que
é defeituoso.
(a) Qual a probabilidade de que o parafuso tenha sido produzido na máquina A?
(b) Qual a probabilidade de que o parafuso tenha sido produzido na máquina B?
(c) Qual a probabilidade de que o parafuso tenha sido produzido na máquina C?
Lesões Sexo
Fêmea Macho
Articulares 93 86
Tendinosas 26 26
Musculares 19 13
Fraturas 2 12
(a) Escolhido um animal ao acaso qual a probabilidade de ser fêmea?
(b) Sabendo-se que um animal teve uma lesão articular, qual a probabilidade de
ser macho?
(c) Considere os acontecimentos "ser macho"e teve fratura. Verifique a indepen-
dência destes dois eventos.
50. Na urna I há 5 bolas vermelhas, 3 brancas e 8 azuis. Na urna II há 3 bolas vermelhas
e 5 brancas. Lança-se um dado equilibrado. Se sair 3 ou 6, escolhe-se uma bola da
urna I; caso contrário, escolhe-se uma bola da urna II. Calcule a probabilidade de
Estatística Básica 30 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
(a) sair uma bola vermelha;
(b) sair uma bola branca;
(c) sair uma bola azul.
51. Um lote é formado por 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos
graves. Um artigo ´e
escolhido ao acaso. Ache a probabilidade de que:
(a) ele não tenha defeitos;
(b) ele não tenha defeitos graves;
(c) ele seja perfeito ou tenha defeitos graves.
52. Quatro bolsas de estudo serão sorteadas entre 30 estudantes, dos quais 12 são do
sexo masculino e 18 s~ao do sexo feminino. Qual a probabilidade de que haja entre
os sorteados:
(a) uma pessoa do sexo masculino?
(b) no máximo uma pessoa do sexo feminino?
(c) pelo menos uma pessoa de cada sexo?
53. Duas máquinas A e B produzem 3000 peças em um dia. A máquina A produz 1000
peças, das quais 3% são defeituosas. A máquina B produz as restantes 2000, das
quais 1% são defeituosas. Da produção total em um dia uma peça é escolhida ao
acaso e, examinando-a, constata-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que
a peça tenha sido produzida pela máquina A?
54. Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do
partido de direita tem 30% da preferência eleitoral, o de centro tem 30% e o da
esquerda 40%. Sendo eleitos, a probabilidade de dar efectivamente prioridade para
Educação e Saúde é de 0.4, 0.6 e 0.9 para os candidatos de direita, centro e esquerda
respectivamente.
(a) Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo
governo?
(b) Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter
ganho a eleição?
55. Suponha que A e B são eventos independentes associados a um experimento. Se a
probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0.6 e a probabilidade da ocorrência
de A for igual a 0.4, determine a probabilidade da ocorrência de B.
56. Suponha que a entrevista de candidatura a um emprego, é uma experiência aleató-
ria e que a nossa atenção se centra em dois acontecimentos “o candidato tem boa
aparência” (acontecimento A) e “o candidato conseguiu o emprego” (acontecimento
B). Sabendo que P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 2 P (A ∪B) = 0, 4
(a) Calcule a probabilidade de o candidato ter boa aparência e conseguir o emprego;
(b) Os acontecimentos A e B são independentes?
(c) Calcule a probabilidade de o candidato ter boa aparência sabendo que conse-
guiu o emprego.
Estatística Básica 31 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
57. Vinte peças, 12 das quais são defeituosas e 8 perfeitas, são inspeccionadas uma após
a outra. Se estas peças forem extraídas ao acaso, qual é probabilidade de que:
(a) Qual é probabilidade das duas primeiras peças serem defeituosas?
(b) Qual é probabilidade das duas primeiras peças serem perfeitas?
(c) Dentre as duas primeiras peças inspeccionadas, qual é a probabilidade de uma
ser perfeita e a outra defeituosa?
58. Em um lote de 100 chips semicondutores 20 são defeituosos. Dois deles são selecci-
onados ao acaso e sem reposição.
(a) Qual é a probabilidade do primeiro chip seleccionado ser defeituoso?
(b) Qual é a probabilidade do segundo chip seleccionado ser defeituoso, dado que
o primeiro deles é defeituoso?
(c) Como a resposta do item (b) mudaria se os chips seleccionados fossem repostos
antes da próxima selecção?
59. Uma empresa produz circuitos em três fábricas, denotadas por I, II e III. A fábrica
I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III produzem 30% cada uma. As
probabilidades de que um circuito produzido por essas fábricas não funcione são
0.01, 0.04 e 0.03 respectivamente. Escolhido ao acaso um circuito da produção
conjunta das três fábricas,
(a) Qual é a probabilidade do circuito não funcionar?
(b) Dado que o circuito escolhido não funciona, qual é a probabilidade do circuito
ter sido produzido pela fábrica I?
60. Uma empresa que se dedica à prestação de serviços de selecção de pessoal em relação
a um teste psicotécnico para uma profissão específica sabe o seguinte:
• as percentagens de indivíduos com um quociente de inteligência (Q.I.) elevado
e médio são, respectivamente, de 30% e de 60%
• a percentagem de indivíduos com Q.I. médio que ficam aptos no teste é de 50%
• a probabilidade de um indivíduo com Q.I. baixo ficar apto no teste é de 20%
• finalmente, sabe-se que 70% dos indivíduos com Q.I. elevado ficam aptos no
teste
(a) Qual a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso ficar apto no teste?
(b) Qual a probabilidade de um indivíduo ter Q.I. baixo, sabendo-se que ficou
inapto?
61. O João tem à sua disposição 3 meios de transporte diferentes para se deslocar de
casa para a escola: os transportes A, B ou C. Sabe-se que a probabilidade de:
• chegar atrasado à escola é 60%
• chegar atrasado utilizando o transporte A é 80%
• chegar atrasado utilizando o transporte B é 50%
• chegar atrasado utilizando o transporte C é 60%
• utilizar os transportes B e C é a mesma
Estatística Básica 32 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES 2.1. VARIÁVEL ALEATÓRIA
(a) Calcule a probabilidade de o João utilizar o transporte A
(b) Sabendo que o João chegou atrasado à escola, calcule a probabilidade de ter
utilizado os transportes B ou C
2.1 Variável Aleatória
1. A variável aleatória X tem a seguinte função de probabilidade:
F (x) =

a+
9
8
, x = −1
2
3
a, x = 0
1
3
a2 +
1
4
a− 1
8
, x = 1
0 c.c
Determine o valor da constante a.
2. Seja X uma v.a que nos indica o número de automóveis procurados por dia num
certo stand. A função de probabilidade da v.a X é da por:
xi 0 1 2 3 4
f(x) 1/20 p q 1/3 1/4
(a) Sabendo que, em 75% dos dias são procurados pelo menos dois automóveis,
calcule p e q.
(b) Calcule a probabilidade de virem a ser procurados 3 automóveis, num dia em
que as procuras foram em número de pelo menos dois.
3. O número de filhos com menos de 18 anos de idade em famílias afro-americanas nos
Estados Unidos em 1990 é dado na seguinte tabela:
N.º de crianças 0 1 2 3 4 ou mais
% de famílias 0,42 0,24 0,19 0,10 0,05
Seja X a variável aleatória descrita na distribuição de probabilidade acima.
(a) Qual a probabilidade de uma família afro-americana escolhida ao acaso ter no
máximo um filho?
(b) Qual a possibilidade de ter mais de 3 fillhos?
(c) Qual o número esperado de lhos numa família afro-americana?
(d) Calcule o desvio padrão da variável X.
4. Admita que o número de revistas adquiridas por semana, X, pelos cidadãos de uma
determinada cidade é descrito pela seguinte função de probabilidade:
x 0 1 2 3
f(x) 0,1 0,2 k 0,10
(a) Determine o valor de k
Estatística Básica 33 Positivo Nakiti
2.1. VARIÁVEL ALEATÓRIA CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES
(b) Calcule P (1
de X.
(b) Determine E(X) e E(2X).
(c) Calcule E((X + 3)2) e V ar(3X2).
(d) Sendo Y outra v.a. e sabendo que Y = X/2 + 3, determine E(X) e V ar(Y ).
Estatística Básica 34 Positivo Nakiti
CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES 2.1. VARIÁVEL ALEATÓRIA
8. Considere a variável aleatória X - "Número de livros comprados mensalmente por
um estudante", cuja função distribuição é dada na tabela abaixo:
x 0 1 2 3
f(x) 0,4 0,1 0,2 0,3
(a) Determine o momento ordinário e o momento central de primeira ordem do X.
(b) Sejam Z = X + 1, W = 3X eT = Z +W . Calcule o valor médio e a variância
das variáveis aleatórias.
9. Seja X uma v.a discreta com a seguinte distribuição:
x -2 -1 0 2 3
f(x) 0,1 0,3 0,1 0,2 0,3
(a) Calcule E(X) e V ar(X).
(b) Determine a função de distribuição cumulativa de X.
(c) Determine a distribuição de probabilidade da v,a Y = X2
10. O número de esquentadores vendidos diariamente num estabelecimento é bem des-
crito por uma v.a com a seguinte função de probabilidade: Se em vinte por cento
dos dias as vendas são inferiores a uma unidade e, em trinta por cento dos dias as
vendas são superiores a duas unidades.
x 0 1 2 3 4
f(x) a b c b a
(a) Determine as constantes a, b e c, bem como a função distribuição da v.a X.
(b) Determine a probabilidade de, quando considerado dois dias, as vendas sejam
superiores, em cada um deles, a uma unidade.
11. Seja X uma v.a com a seguinte distribuição de probabilidade
x 1 - 2k k - 1 k 2k
f(x) p 3p p p
(a) Sabendo que E(X) =
1
3
, calcule os valores de p e k.
(b) Calcule V ar(X).
(c) Deduza a distribuição de probabilidade da v.a Y = X2
12. Um saco tem cinco bolas numeradas de 1 a 5. Fazem-se sucessivamente duas extra-
ções de uma bola sem reposição. Seja X a v.a "maior valor observado"
(a) Determine a função massa de probabilidade de X.
(b) Qual a probabilidade do maior valor observado ser superior a 3.
13. A percentagem de álcool em certo composto pode ser considerada uma v.a X, onde
0 
1
3
)
16. Suponha que a necessidade diária de um dado medicamento num dado hospital pode
ser descrita pela v. a. X com a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x) =
{
cx2, 0 0
0, c.c
Usando a função densidade de probabilidade definida na alínea anterior, prove que
para quaisquer s, t > 0 se verifica
P (X > s+ t/X > s) = P (X ⩾ t) (2.1)
20. A quantidade de cerveja vendida diariamente numa feira (em milhares de litros) é
uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade
f(x) =

kx, 0 ⩽ x ⩽ 4
k(12− 2x), 4