Calculo Mental (1)

Prévia do material em texto

Estratégias de Cálculo Mental e Aplicações no ENEM 
 Prof. Fredão 
 
“Eu pouco me importo se meus alunos sabem dividir 430 por 
12 usando a conta da divisão, mas me importo, sim, se o 
sentido numérico deles é suficientemente desenvolvido para 
estimar de cabeça que a resposta é um pouco mais de 35.” 
(Jordan Ellenberg em O Poder do Pensamento Matemático) 
 
Com a devida habilidade matemática na manipulação 
algébrica, veja quanto tempo você pode poupar no ENEM! 
Questão 01 (ENEM 2010) 
Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de 
desmatamento, conforme gráfico, da chamada Amazônia 
Legal, integrada por nove estados. 
 
Disponível em: www.folhaonline.com.br. Acesso em: 30 abr. 2010 (adaptado). 
Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 
10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento 
médio por estado em 2009 está entre 
a) 100 km2 e 900 km2. 
b) 1 000 km2 e 2 700 km2. 
c) 2 800 km2 e 3 200 km2. 
d) 3 300 km2 e 4 000 km2. 
e) 4 100 km2 e 5 800 km2. 
 
========= Introdução ao Cálculo Mental ========= 
“Quando se está pensando seriamente em matemática, 
algumas vezes é necessário multiplicar 6 por 8, e se você 
tiver de recorrer à calculadora toda vez que fizer isso, jamais 
conseguirá o tipo de fluxo mental que o raciocínio efetivo 
exige. Você não pode escrever um soneto se tiver de 
procurar como se escreve cada palavra.” 
(Jordan Ellenberg em O Poder do Pensamento Matemático) 
Para começarmos, há uma grande diferença entre fazer 
cálculos matemáticos no papel e mentalmente. A 
matemática no papel é feita da direita para a esquerda ( ) 
enquanto a matemática mental deve sempre ser feita da 
esquerda para a direita ( )→ ! Mas por quê? Eis algumas 
vantagens: 
✓ Todo número é lido e pronunciado da esquerda 
para a direita. Ou seja, ao tentar fazer mentalmente 
o cálculo da direita para a esquerda o resultado é 
gerado de trás pra frente; 
✓ É melhor para estimativas! Quase sempre é mais 
útil saber que 893 + 313 é um pouco superior a 
1200 do que saber que termina em 6 (veja, por 
exemplo, a questão de 2010 que acabamos de 
resolver!). 
✓ Pode não parecer tão útil resolver da esquerda 
para a direita a adição 47 + 32, mas é 
definitivamente mais útil para adições e subtrações 
com mais dígitos, tal como para multiplicações e 
divisões. 
Além de fazer os cálculos da esquerda para a direita, há um 
princípio básico na matemática mental: SIMPLIFICAR! A 
ideia básica é, sempre, a de simplificar os cálculos 
envolvidos, quebrando-os em porções menores e mais 
simples de lidar. 
 
======== As 4 Operações no Cálculo Mental ======== 
• Adição 
Apesar de serem quase que automáticas, em especial 
quando a soma é menor do que 10, vale reforçar uma ideia 
que, por vezes, utilizo em cálculos mais complexos e que 
veremos mais adiante no curso: a complementariedade dos 
números 1|9, 2|8, 3|7, 4|6 e, de certo modo, 5|5 no nosso 
sistema decimal (base 10). 
quebro o 8 em 5 + 3 complementariedade do 5 e 5
75 8 75 5 3 80 3 83.+ = + + = + = 
Outro procedimento comum é o de quebrar um dos números 
da adição em partes menores, com o intuito de simplificar 
um processo maior em processos menores. No exemplo 
abaixo quebraremos o 327 em 300 + 20 + 7: 
538 300 838 20
538 327 838 27 858 7 865.
+ +
+ = + = + = 
Pode ser útil que você pronuncie o processo mentalmente. 
Algo da forma 
538 mais 327 é 838 mais 27 que é 858 mais 7 que é 865. 
No meu caso, o que “escutei mentalmente” quando fiz esse 
cálculo foi levemente diferente. Algo como 
538 mais 327 é 850 (530 + 320) mais 15 (8 + 7) que é 865. 
 
http://www.folhaonline.com.br/
 
 Estratégias de Cálculo Mental e Aplicações no ENEM 
 Prof. Fredão 
 
• Subtração 
Em geral, subtrações tendem a ser mais complicadas do 
que adições. Mas, se continuarmos resolvendo os 
problemas da esquerda para a direita, quebrando-os em 
problemas menores e mais simples de lidar, subtrair pode 
ser tão simples quanto adicionar. 
Vejamos dois exemplos, tendo em mente que há, em geral, 
dois caminhos: 
1º caminho: subtrações em que não é necessário 
pedir emprestado (o que ocorre quando um algarismo menor 
é subtraído de um maior em uma mesma posição); 
2º caminho: subtrações em que é necessário pedir 
emprestado (o que ocorre quando um algarismo maior é 
subtraído de um menor em uma mesma posição). 
não é necessário
pedir emprestado
87 23 87 23 67 3 64.−  − = − = 
Veja que foi utilizado o 1º caminho, já que 7 – 3 > 0. 
é necessário pedir 83 30
 emprestado
83 27 83 27 53 3 56.
−
−  − = + = 
Já no 2º exemplo foi utilizado o 2º caminho, já que seria 
necessário pedir emprestado (uma vez que 3 – 7 < 0). Outra 
possibilidade seria quebrar o 27 em 24 + 3. Veja: 
é necessário pedir 83 23
 emprestado
83 27 83 27 60 4 56.
−
−  − = − = 
 
• Multiplicação 
Continuando com os dois princípios básicos do cálculo 
mental (esquerda para a direita & simplificar o problema), 
vejamos três formas distintas de calcular o resultado de um 
mesmo produto: 73 49 . 
1. Adição 
Nesse primeiro caso, quebraremos o 73 em 70 3+ : 
49 349 70
49 73 3430 147 3577.

 = + = 
2. Subtração 
Agora, quebraremos o 49 em 50 1− : 
73 50 73 1
73 49 3650 73 3600 23 3577.
 
 = − = − = 
3. Fatoração 
Esse método pode ser utilizado sempre que um dos 
fatores do produto puder ser fatorado. No nosso 
exemplo, podemos reescrever o 49 como 7 7 , o que 
resulta em duas etapas no produto, mas que não 
envolve adição ou subtração de grandes números. 
490 21 3500 70 7
73 49 73 7 7 511 7 3577 .
+ + +
 =   =  = 
 
• Divisão 
Vejamos novamente a citação inicial do material: 
“Eu pouco me importo se meus alunos sabem dividir 430 por 
12 usando a conta da divisão, mas me importo, sim, se o 
sentido numérico deles é suficientemente desenvolvido para 
estimar de cabeça que a resposta é um pouco mais de 35.” 
Como podemos estimar isso mentalmente?! 
Veja que 12 30 360 = e 12 40 480 = . Logo, a resposta 
será da forma 30 e alguma coisa. Subtraindo 360 de 430 
temos 430 360 70− = e fazendo 70 12 , temos como 
resultado 5 e resto 10. Logo, juntando os resultados, temos 
que 
10
430 12 35
12
 = . Visualizando o processo, temos que: 
30 5
430 360 70 60 10 10 10 5
30 35 35 ou 35 .
12 12 12 12 12 12 12 6
= + = + + = + = 
Vejamos como poderíamos utilizar essa ideia da divisão 
para sequer precisar fazer o cálculo até o final. 
 
Questão 02 (ENEM PPL 2014) 
Enquanto as lâmpadas comuns têm 8 mil horas de vida útil, 
as lâmpadas LED têm 50 mil horas. 
MetroCuritiba, 18 ago. 2011 (adaptado). 
 
De acordo com a informação e desprezando possíveis 
algarismos na parte decimal, a lâmpada LED tem uma 
durabilidade de 
a) 1 750 dias a mais que a lâmpada comum. 
b) 2 000 dias a mais que a lâmpada comum. 
c) 2 083 dias a mais que a lâmpada comum. 
d) 42 000 dias a mais que a lâmpada comum. 
e) 1 008 000 dias a mais que a lâmpada comum. 
 
 
 
 Estratégias de Cálculo Mental e Aplicações no ENEM 
 Prof. Fredão 
 
=== Alguns Métodos Específicos de Cálculo Mental === 
• Método da Multiplicação Cruzada (Criss-Cross) 
Um método mais geral associado à matemática védica é o 
método criss-cross (produtos cruzados). Para ilustrá-lo, 
comecemos calculando o produto de dois números com dois 
algarismos: 23 12 . 
 
A lógica do método criss-cross pode ser ilustrada da 
maneira abaixo, na qual o 1º algarismo representa o 
algarismo das centenas, o 2º algarismo é o das dezenas e o 
3º algarismo é o das unidades: 
 
Esse método pode parecer relativamente inútil para 
multiplicações de dois algarismos, mas vejamos uma 
extensão para o caso de multiplicações de números com 
quatro algarismos. Nesse caso, o método funciona da 
seguinte maneira: 
 
Como exemplo, tomemos 1362 2174 .Tente agora resolver as seguintes multiplicações abaixo! 
13 22
117 632
215 818
1126 163
4127 7113
 =
 =
 =
 =
 =
 
• Quadrados de Números Terminados em 5 
Para calcular o quadrado de qualquer número de dois 
algarismos que termine em cinco, basta lembrar de duas 
coisas: 
o A resposta começa com o primeiro 
algarismo sendo multiplicado pelo seu 
sucessor; 
o A resposta termina com o número 25. 
Vejamos três exemplos: 
2
3 4
35 1225

= (veja que 4 é o sucessor de 3) 
2
8 9
85 7225

= (veja que 9 é o sucessor de 8) 
2
13 14
135 18225

= (veja que 14 é o sucessor de 13) 
Caso queira treinar um pouco mais: 
2 2
2 2
2 2
2 2
25 205
45 245
75 305
95 9995
= =
= =
= =
= =
 
• Quadrados de Números Próximos de 100 
Iniciemos com o exemplo do 
297 . O primeiro passo é 
calcular a distância do 97 ao 100, que é de 3 unidades. 
Denominemos o 3 de número mágico. A partir daí, devemos 
fazer dois cálculos: 
o Subtrair o número mágico do número que 
desejamos elevar ao quadrado. Este 
resultado ocupará os algarismos dos 
milhares e centenas; 
o Elevar o número mágico ao quadrado. 
Este resultado ocupará os algarismos das 
unidades e dezenas. 
Logo, teremos que 
2
2
97 3 3
97 94 09
−
= . Vejamos outro exemplo, 
agora para um valor superior a 100. Nesse caso, a única 
mudança é que devemos adicionar o número mágico ao 
invés de subtrair: 
2
2 2
número mágico 4 104 4 4
104 104 10816.
= +
 = 
Tente agora com os números a seguir: 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
99 101 89
98 103 87
94 105 112
93 106 135
91 108 47
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
 
 
 Estratégias de Cálculo Mental e Aplicações no ENEM 
 Prof. Fredão 
 
===== Aplicações do Cálculo Mental no ENEM ===== 
Questão 03 (ENEM 2019) 
O Sistema Métrico Decimal é o mais utilizado atualmente 
para medir comprimentos e distâncias. Em algumas 
atividades, porém, é possível observar a utilização de 
diferentes unidades de medida. Um exemplo disso pode ser 
observado no quadro. 
 
Assim, um pé, em polegada, equivale a 
a) 0,1200. 
b) 0,3048. 
c) 1,0800. 
d) 12,0000. 
e) 36,0000. 
 
Questão 04 (ENEM PPL 2014) 
Em 2010, cerca de 3,24 milhões de passageiros foram 
transportados entre os Estados Unidos e o Brasil, de acordo 
com dados divulgados pela Agência Nacional de Aviação 
Civil (Anac). O gráfico mostra a distribuição relativa do 
número de passageiros transportados entre o Brasil e os 
cinco destinos mais procurados, dos quais apenas dois 
países são europeus: França e Portugal. 
 
De acordo com esses dados, o valor mais aproximado para 
a quantidade total de passageiros transportados em 2010 
entre o Brasil e os países europeus mostrados no gráfico é 
 
a) 874 800. 
 
b) 1 018 285. 
 
c) 1 481 142. 
 
d) 2 499 428. 
 
e) 3 240 000. 
Questão 05 (ENEM 2014) 
O Brasil é um país com uma vantagem econômica clara no 
terreno dos recursos naturais, dispondo de uma das maiores 
áreas com vocação agrícola do mundo. Especialistas 
calculam que, dos 853 milhões de hectares do país, as 
cidades, as reservas indígenas e as áreas de preservação, 
incluindo florestas e mananciais, cubram por volta de 470 
milhões de hectares. Aproximadamente 280 milhões se 
destinam à agropecuária, 200 milhões para pastagens e 80 
milhões para a agricultura, somadas as lavouras anuais e as 
perenes, como o café e a fruticultura. 
FORTES, G. Recuperação de pastagens é alternativa para ampliar cultivos. 
Folha de S. Paulo, 30 out. 2011. 
De acordo com os dados apresentados, o percentual 
correspondente à área utilizada para agricultura em relação 
à área do território brasileiro é mais próximo de 
a) 32,8%. 
b) 28,6%. 
c) 10,7%. 
d) 9,4%. 
e) 8,0%.