Livro Texto - unidade II Conteúdos de Matemática para Ensino Fund I

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Unidade II
Unidade II
5 UNIDADE TEMÁTICA: NÚMEROS 
Na unidade I deste livro-texto, apresentamos os aspectos gerais relacionados às unidades 
Números e Probabilidade e Estatística. Vimos que a unidade temática Números é destinada ao ensino 
sobre as relações quantitativas, sistema de numeração decimal e operações fundamentais (adição, 
subtração, multiplicação e divisão), enquanto a unidade temática Probabilidade e Estatística envolve o 
desenvolvimento do pensamento probabilístico e o tratamento de informações coletadas por meio de 
uma pesquisa. 
A partir desses aspectos gerais, esta segunda unidade será dedicada às especificidades dos principais 
conceitos e conteúdos abarcados nesses temas matemáticos, principalmente aqueles que são ensinados 
do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental. 
O objetivo é que ao final desta unidade de estudo, a partir de um movimento de revisão, 
aprofundamento e ampliação de conhecimentos, você, futuro(a) pedagogo(a), tenha pleno domínio do 
conhecimento do conteúdo matemático no que se refere ao ensino dos números, da probabilidade e 
da estatística.
Exemplo de aplicação
Para tanto, para darmos início à introdução desse tema matemático, resgate as suas respostas 
pessoais às questões da atividade prática desenvolvida ao final da unidade I. 
 Lembrete
Nos anos iniciais do Ensino Fundamental, como lhe foi ensinado e como 
você aprendeu os números e as operações? 
Probabilidade e estatística faziam parte do currículo escolar no tempo 
de sua escolarização básica? Você se lembra de ter aprendido algum 
conteúdo sobre esses temas?
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CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Figura 21 – Registro pessoal: resgate de memória sobre o processo de aprendizagem matemática
Disponível em: https://cutt.ly/AF7iQQp. Acesso em: 11 mar. 2022.
Certamente, muitas coisas mudaram do período em que você cursou e concluiu o Ensino Fundamental 
até hoje, porém, algumas podem ter permanecido. Para suscitar reflexões importantes sobre o assunto, 
use as respostas pessoais a essas questões como ponto de partida para compreender o conteúdo 
apresentado a seguir ao longo de toda esta segunda unidade.
5.1 Números
Você já parou para pensar como surgiram os números?
Ao longo de uma história de milhões de anos, para atender suas necessidades práticas e utilitárias, a 
humanidade criou diferentes tipos de registros de comunicação. Entre eles, inventou o uso de símbolos 
para representar situações de contagem, medida e ordenação, possibilitando o desenvolvimento de 
atividades cada vez mais complexas. O abandono da vida nômade proporcionou ao coletivo novos meios 
de sobrevivência, como a agricultura, a criação de animais e a pesca. Sendo assim, ao pastorear rebanhos 
e estocar seus próprios alimentos, o homem se viu na necessidade de controlar e registrar quantidades.
Mas como a humanidade sobreviveu a esse período sem o uso dos números que utilizamos hoje? 
De acordo com Coll e Teberosky (2000), antes de inventar símbolos numéricos convencionais, os 
povos primitivos utilizavam as linhas dos dedos, pedrinhas e entalhes em madeira ou desenhavam 
marquinhas nas paredes para representar quantidades, a partir de uma relação biunívoca. A relação 
biunívoca se refere à correspondência termo a termo de um objeto para um símbolo. Exemplo:
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Unidade II
Figura 22 – Animal para representar a relação biunívoca
Disponível em: https://cutt.ly/kF7iDFO. Acesso em: 11 mar. 2022.
Na relação biunívoca, cada tracinho (ou marquinha) corresponde a um animal.
Ifrah (1998, p. 29-30) exemplifica como a relação biunívoca era realizada:
 
Vejamos o exemplo de um pastor que guarda um rebanho de carneiros todas 
as noites numa caverna. São cinquenta e cinco animais, mas este pastor, 
que tal como homem precedente não sabe contar, ignora completamente 
o que seja o número 55. Ele sabe apenas que há “muitos” carneiros. Mas, 
como isto é muito vago, precisaria estar certo de que todas as noites o 
rebanho inteiro está protegido. Um dia ele tem uma ideia. [...] Ele se senta 
à entrada da caverna e faz entrar um por um os animais. Com um seixo, 
faz um entalhe num pedaço de osso cada vez que um carneiro passa a sua 
frente. Assim, sem conhecer a verdadeira significação matemática, ele faz 
exatamente cinquenta e cinco talhos com a passagem do último animal, e 
poderá em seguida verificar sem dificuldade se seu rebanho está completo 
ou não. Toda vez que volta do pasto ele fará os carneiros seguirem um por 
um, colocando cada vez um dedo num talho. Se sobrar algum talho quando 
todos os animais tiverem passado, é porque algum se perdeu; se não, tudo 
vai bem. Se nascer algum filhote, bastará fazer um talho suplementar no 
seu pedaço de osso.
Foi assim que se originou o primeiro procedimento aritmético, a contagem um a um, a correspondência 
de uma pedra ou tracinho entalhado para cada animal do rebanho. Para Ifrah (1998), esse tipo de 
controle permite abarcar vários números sem contar ou nem mesmo nomear ou conhecer as quantidades 
envolvidas. Afinal, trata-se de uma ação de comparar e não propriamente de contar.
À medida que esses procedimentos foram evoluindo, a humanidade passou a ter novas necessidades 
de registro e comunicação, até mesmo porque realizar a correspondência biunívoca de dez animais é 
diferente de corresponder mil tracinhos para mil ovelhas, por exemplo. Isso seria quase impossível!
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CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Como a correspondência termo a termo não podia dar conta dessas necessidades, vários sistemas 
de numeração foram criados. Um deles é o sistema de numeração decimal, utilizado por praticamente 
todos os povos do mundo. 
O sistema de numeração decimal teve a sua origem na Índia e foi introduzido pelos árabes na Europa, 
por isso, também recebe o nome de sistema de numeração indo-arábico (COLL; TEBEROSKY, 2000). 
5.1.1 Características do sistema de numeração decimal
O sistema de numeração decimal ou indo-arábico, sem dúvida alguma, é uma das convenções 
mais incríveis criada pela humanidade, pois se refere a um registro extremamente econômico em 
que podemos representar infinitos números. Entretanto, possui algumas regularidades para o seu 
funcionamento que devem ser compreendidas e dominadas pelo professor. Vamos conhecer, nomear e 
compreender cada uma dessas regularidades.
Algarismos
O sistema de numeração indo-arábico é composto de dez algarismos, símbolos que, combinados de 
diferentes maneiras, podem formar infinitos números. Esses algarismos são:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
O zero foi o último algarismo a ser criado. Sua origem não se deu a partir da necessidade de 
registrar a inexistência de elementos, mas para atender a eficiência do valor posicional dos algarismos 
no número. 
 Observação
Fulano é um zero à esquerda!
O dito popular que atribui ao zero a inutilidade mostra que, dependendo 
da posição que esse algarismo ocupa no número, o seu valor pode mudar 
significativamente. Ora, 02 é diferente de 20!
Isso mostra que o zero não serve unicamente para representar a 
inexistência de valor, mas também para representar diferentes grandezas 
numéricas, como números “cheios” ou que terminam com zero (100, 1.000 
e 10.000, por exemplo) ou números com zero intercalado (101, 1.101 e 
10.101, por exemplo).
Perceba que assim como usamos as letras do alfabeto para escrever palavras, utilizamos algarismos 
para escrever números.
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Unidade II
Valor posicional
No que se refere à escrita numérica, dependendo da posição que o algarismo ocupa no número, ele 
representa um determinado valor. Esta característica recebe o nome de valor posicional. 
Observe a posição e o valor do algarismo 2 nos números a seguir:
24
42
O valor posicional faz com que o algarismo tenha valores diferentes. Enquanto no número 24 
o algarismo 2 representa vinte unidades ou duas dezenas, no número 42, corresponde ao valor de 
duas unidades.
Exemplo de aplicação
Responda:
O que acontece com o algarismo quatro nos números 24 e 42? Qual valor elerepresenta em 
cada número?
Quais são os valores posicionais correspondentes ao algarismo 4 no número 444?
A resposta a essa pergunta é muito interessante, pois mostra que a característica do valor posicional 
do sistema de numeração decimal permite que um mesmo algarismo, num único número, possa 
apresentar valores posicionais diferentes. Observe o exemplo a seguir: 
Quadro 1 – Valor posicional do algarismo 4 no número 44
4 4 4
Quatro centenas, quarenta 
dezenas ou quatrocentas 
unidades
Quatro dezenas ou quarenta 
unidades Quatro unidades
400 40 4
O valor posicional, por sua vez, está relacionado a uma outra característica, denominada base dez.
Base dez
Refere-se à regra de agrupamento e reagrupamento, de dez em dez, que organiza o nosso 
sistema de numeração. Nessa organização, a cada dez unidades de uma ordem é formada uma 
ordem superior. As ordens são numeradas da direita para a esquerda e agrupadas em classes. É 
importante ressaltar que a cada grupo de três ordens é formada uma classe. 
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CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
O quadro de valor posicional a seguir ilustra essa organização: 
Quadro 2 – Quadro de valor posicional
Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades simples
9ª ordem 8ª ordem 7ª ordem 6ª ordem 5ª ordem 4ª ordem 3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem
Centena de 
milhão
Dezena de 
milhão
Unidade de 
milhão
Centena de 
milhar
Dezena de 
milhar
Unidade de 
milhar Centena Dezena Unidade
Observe, conforme dito anteriormente, que as classes são organizadas em grupos de três ordens. 
Essa organização, por sua vez, se estende para outras classes. É importante ressaltar que, apesar de 
esse quadro de valor terminar na classe dos milhões, devido à infinidade numérica, essas classes e 
ordens dão continuidade. Por exemplo: classe dos bilhões, classe dos trilhões e assim por diante.
Exemplo de aplicação
Qual é a classe que vem logo após os trilhões?
Estimule a sua curiosidade matemática para aprofundar conhecimentos e pesquise os nomes de 
outras classes que você desconheça.
O agrupamento de base dez, a partir das classes e ordens, proporciona melhor agilidade na leitura e 
escrita numérica. Em contrapartida, torna-se complexo, pois o valor posicional do algarismo é ocultado. 
Por exemplo: como se lê o número 435.987.435?
Ao conhecer a organização do sistema de numeração decimal, a partir do quadro de valor posicional, 
é possível realizar com maior propriedade a leitura do número. Veja no quadro a seguir:
Quadro 3 – Quadro de valor posicional
Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades simples
9ª ordem 8ª ordem 7ª ordem 6ª ordem 5ª ordem 4ª ordem 3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem
Centena de 
milhão
Dezena de 
milhão
Unidade de 
milhão
Centena de 
milhar
Dezena de 
milhar
Unidade de 
milhar Centena Dezena Unidade
4 3 5 9 8 7 4 3 5
Ao identificar que o último algarismo da esquerda para a direita está posicionado na ordem da 
centena de milhão, da classe dos milhões, identificamos o ponto de partida para a leitura, sendo 
realizada da seguinte maneira: quatrocentos e trinta e cinco milhões, novecentos e oitenta e sete mil, 
quatrocentos e trinta e cinco.
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Unidade II
Exemplo de aplicação
Para você, agora, faz sentido realizar a leitura de números a partir da compreensão das classes 
e ordens? 
E se acrescentássemos o algarismo 1 à esquerda na escrita deste número (1.435.987.435)? Qual 
número iremos formar? Como se lê este número?
 Observação
Você sabia que o ponto final é utilizado na escrita numérica para 
representar o agrupamento de três ordens, separando as classes umas das 
outras? Ele serve de apoio para identificar quantas classes um número tem, 
facilitando a leitura do nome do número. 
Princípio aditivo 
Assim como as demais regularidades do sistema de numeração decimal, as operações aditivas 
e multiplicativas subjacentes à notação numérica também estão implícitas na composição e 
decomposição do número. 
O princípio aditivo é percebido à medida que pronunciamos os nomes dos números de forma 
decomposta. Exemplo: a pronúncia do número 254 é duzentos e cinquenta e quatro, ou seja, 200 + 50 + 4. 
Assim, perceba que quando falamos o nome de um número, a letra “e” representa um acréscimo, uma 
adição de cada parcela na composição numérica.
 Observação
A representação escrita do sistema de numeração decimal é 
econômica, pois os nomes dos números são falados aditivamente, mas 
escritos posicionalmente. Esse aspecto, sem dúvida alguma, é um dos 
grandes desafios para o ensino dos números nos anos iniciais do Ensino 
Fundamental, uma vez que os estudantes dessa faixa etária tendem 
a escrever os números da maneira como pronunciam, cabendo ao(à) 
pedagogo(a) desenvolver estratégias didáticas que favoreçam a escrita 
convencional, ou seja, posicional. 
Sendo assim, se um estudante escreve 500308 para representar o 
número 538, não significa que o seu conhecimento é nulo em relação 
aos números; pelo contrário, ele está mostrando que é capaz de registrar 
convencionalmente números “cheios” que terminam com zero, porém 
demonstra não ter se apropriado de uma característica importante do 
sistema de numeração decimal, o valor posicional. Neste caso, as ações 
do professor deverão ser voltadas para a construção dessa regularidade.
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CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Princípio multiplicativo 
Nosso sistema de numeração também é multiplicativo. Por exemplo: para representar o número 333, 
podemos verificar que cada algarismo da direita para a esquerda, a partir da segunda ordem, é 
multiplicado por 10, ou seja, 3 × 1 + 3 × 10 + 30 × 10 = 3 + 30 + 300 = 333. É importante ressaltar que 
o princípio multiplicativo está relacionado diretamente ao agrupamento de base dez. Veja no quadro a 
seguir como se dá essa relação:
Quadro 4 – Quadro de valor posicional (classe das unidades simples)
Classe das unidades simples
3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem
Centena Dezena Unidade
3 3 3
30 × 10 = 300 3 × 10 = 30 3 × 1 = 3
Exemplo de aplicação
O que acontece com os algarismos quando você digita um número composto de mais de um 
algarismo na calculadora?
Se você respondeu que os algarismos se deslocam no visor, acertou!
Você sabe explicar por que isso acontece?
O deslocamento do algarismo no visor da calculadora significa que a cada algarismo digitado, o 
anterior é multiplicado por dez, fazendo com que ele mude de posição e consequentemente de ordem 
ou até mesmo de classe, dependendo da grandeza numérica.
Observe o número 789 sendo digitado numa calculadora:
 
Figura 23 – Escrita numérica na calculadora
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Unidade II
Inicialmente, ocupando a primeira ordem da classe das unidades simples, o algarismo 7 tem o valor 
de sete unidades. Ao digitar o algarismo 8, o algarismo 7 se desloca para a dezena, a segunda ordem da 
classe das unidades simples; ao se deslocar, o algarismo 7 está sendo multiplicado por dez, assumindo o 
valor de sete dezenas ou setenta unidades. Ao digitar o algarismo 9, o algarismo 7 se desloca mais uma 
vez, sendo multiplicado por dez novamente, partindo do seu valor posicional atual, ou seja, 70 × 10, 
que corresponde a setecentos (sete centenas, setenta dezenas ou setecentas unidades). Observe que essa 
relação multiplicativa acontece simultaneamente com todos os algarismos do número digitado.
Agora, reflita e explique com as suas palavras: 
O que aconteceu com o algarismo 8 nesse processo?
E se acrescentássemos o algarismo 5 nessa escrita numérica? O que iria acontecer com os 
demais algarismos?
A funcionalidade do sistema de numeração decimal é resultado de uma longa construção 
sociocultural. Vimos que são cinco as regularidades essenciais – algarismos, valor posicional, base dez, 
princípio aditivo e multiplicativo – para a sua compreensão. Em contrapartida, muitas vezes a escola 
requer que o estudante abstraia todas elas de uma hora para outra. Esse sistema de representação 
está em nosso cotidiano desde que nascemos, porém é muito complexo paraaqueles que ainda não o 
dominam. Afinal, a humanidade levou séculos para chegar à convenção que conhecemos hoje.
Nesse sentido, afirma Zunino (2007, p. 139-140):
 
Para nós, adultos, tudo é muito fácil porque já reconstruímos os princípios 
que regem nosso sistema de numeração. Sabemos tratar-se de um sistema 
de base 10, que não representa explicitamente as sucessivas agrupações 
nessa base: A escrita de um número qualquer não “diz” que o algarismo 
colocado no lugar das dezenas deve multiplicar-se por 10 para conhecer seu 
valor; também não “diz” que o algarismo colocado no lugar das centenas 
deve multiplicar-se por 100. Em nosso sistema, as potências da base não 
aparecem explicitamente representadas, como apareciam em outros 
sistemas. O único indicador de que dispomos para saber por qual potência 
devemos multiplicar cada algarismo é a posição que este ocupa em relação 
aos demais. A humanidade levou muitos séculos para inventar um sistema 
de numeração como este, um sistema que é muito econômico, porque 
permite escrever qualquer número utilizando só dez símbolos. Porém, 
justamente por ser tão econômico, pode tornar-se bastante misterioso para 
aqueles que estão procurando pistas (ou elementos) que lhes permitam 
reconstruir seus princípios.
Apesar de toda a complexidade inerente ao nosso sistema numérico, é importante ressaltar que a 
compreensão de suas regularidades interfere diretamente nas relações quantitativas e principalmente 
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CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
nas estratégias de cálculo mental e escrito. Aquele que domina plenamente o valor posicional, a base 
dez e os princípios aditivo e multiplicativo, certamente terá facilidade na resolução das operações 
fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão). Aprofundaremos sobre esse assunto no 
item 5.1.3 (“Operações com números naturais”).
Exemplo de aplicação
Agora que você conhece todas as características que estão ocultas na representação numérica, reflita: 
Para que servem os números? 
Onde podemos encontrá-los?
5.1.2 Significados e usos dos números naturais
Desde quando nascemos, temos contato com os números e os utilizamos em contextos sociais 
diversos: familiar, cultural, escolar etc. Esse contato proporciona a familiarização com os diferentes usos, 
significados e funções dos números em situações reais do cotidiano.
Se nos atentarmos à rotina diária de nossas vidas, iremos identificar a frequência com que os 
números aparecem nos mais variados portadores numéricos. Por exemplo: computadores, calculadoras, 
instrumentos de medida (relógios, trena, fita métrica, régua, calendário, balança, termômetro, 
velocímetro etc.), livros, jornais, anúncios, revistas, eletrodomésticos, entre outros que você puder 
imaginar e identificar. 
Glossário
Portador numérico: qualquer instrumento ou suporte que tenha números para 
representar uma situação de uso ou função dos números naturais. Por exemplo: a balança é 
um portador numérico utilizado para representar a massa de uma pessoa, alimento ou objeto.
Apesar de sua utilidade prática e social e da vivência numérica que os estudantes experienciam 
muito antes de ingressarem na escola, infelizmente, ainda nos dias de hoje, o ensino dos números é 
pautado numa tradição pedagógica tradicional e descontextualizado de seus usos e funções. Assim, são 
ensinados aos poucos, um a um, seguindo rigorosamente a ordem da sequência numérica, cópias de 
linhas inteiras do mesmo número ou até mesmo exercícios de coordenação motora, como a cobertura 
de pontilhados. 
Na contramão a essa perspectiva, considerando as diversas situações em que os números são 
utilizados, torna-se imprescindível identificar e distinguir suas funções e significados.
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Unidade II
Primeiramente, é importante ressaltar que o uso dos números não se limita à representação de 
quantidades. Existem outras funções, tão importantes quanto quantificar, em que eles são necessários. 
Sendo assim, os números naturais servem para: quantificar, ordenar, medir e codificar.
Exemplo de aplicação
Antes de conhecer a fundo o significado de cada função dos números naturais, faça o levantamento 
dos seus conhecimentos prévios sobre o assunto, pensando num exemplo para cada situação a seguir: 
Quando você costuma utilizar o número para quantificar? 
Em qual situação você usa o número para ordenar? 
Quando você usa o número para medir?
Você já usou o número como código? Em qual situação?
Adiante, explicamos cada uma das funções dos números naturais:
• Quantificar: também conhecida como função cardinal, serve para representar quantidades. 
São diversas as situações cotidianas em que essa função pode ser identificada, como: contar e 
registrar a quantidade de elementos de uma coleção, indicar quantas pessoas estão presentes em 
um evento, quantificar o total de torcedores num estádio de futebol etc. 
• Ordenar: em outras situações, o número natural também é um indicador de posição, assumindo a 
função denominada ordinal. Indicamos a posição de pessoas ou objetos em inúmeras situações do 
dia a dia. Por exemplo: a classificação final de uma competição (indicando o 1º, o 2º e o 3º lugar 
do pódio), a composição de uma fila por ordem de chegada (1º, 2º, 3º, 4º (...)), a identificação da 
colocação dos candidatos no resultado de um concurso (24º colocado) etc.
Observa-se que para representar a função ordinal, faz-se necessário utilizar os símbolos º ou ª na 
sequência da escrita numérica.
• Medir: além de quantificar e ordenar, o número pode ser utilizado para representar uma medida. 
A representação de medidas de tempo, comprimento, massa, capacidade e temperatura são 
exemplos práticos de quando utilizamos os números para medir.
• Codificar: em outras situações, o número natural também é utilizado para codificar, 
exercendo a função de código. O número de telefone e documentos pessoais como cédula de 
identidade, cadastro de pessoa física e título de eleitor são exemplos do uso do número natural 
enquanto código.
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CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Vejamos alguns exemplos a partir da observação do número três em cada situação. Observe que um 
mesmo número pode ter significados diferentes dependendo da situação e da função exercida. 
Quadro 5 – Funções dos números naturais
O número 3 nesta situação, representa a quantidade 
de lápis, ou seja, exerce a função cardinal 
(quantificar)
O 3º lugar do pódio representa a função 
ordinal do número
3 horas se refere à função de medir representando 
uma medida de tempo
O número 3 em uma porta, por exemplo, serve para 
codificar ou identificar uma sala ou residência
Adaptado de: https://cutt.ly/bF7ojvg; https://cutt.ly/1F7oWac; 
https://cutt.ly/GF7oOy1; https://cutt.ly/wF7oGuT. Acesso em: 11 mar. 2022.
 Observação
As diferentes funções dos números naturais evidenciam que um número 
não é apenas um símbolo ou a junção de vários símbolos; todo 
número carrega em sua representação um significado, um sentido de uso 
social contextualizado. Assim, cabe ao sujeito identificá-lo em cada situação.
5.1.3 Operações com números naturais
O ensino das operações fundamentais sempre esteve em evidência, tanto pelas dificuldades 
concentradas no campo didático do professor em relação à gestão do ensino quanto na compreensão 
do processo de aprendizagem dos significados dessas operações.
Exemplo de aplicação
Retome as suas memórias acerca do período de escolarização e reflita: 
Como você aprendeu as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão?
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Unidade II
Por muito tempo, a escola ensinou as quatro operações fundamentais por meio de atividades 
“Arme e efetue”, que se resumem a exercícios de fixação. Nessa maneira de ensinar, existe uma 
hierarquização a ser seguida, apresentando rigorosamente a sequência das operações de adição, 
subtração, multiplicação e, por último, divisão. Além dessa característica rígida, as operações no 
ensino tradicional são ensinadas de maneira descontextualizada e isolada desituações-problema. 
Dessa forma, apesar de poder ser eficaz em relação à parte operacional de “armar e efetuar a 
continha”, esse tipo de abordagem evidencia a necessidade de compreender a aplicação prática social 
das operações fundamentais no dia a dia.
Exemplo de aplicação
Reflita: do que adianta saber resolver a operação e não compreender o seu significado e 
aplicabilidade em situações cotidianas?
É a partir dessa incompreensão que surgem perguntas comumente feitas pelos estudantes: 
O problema é de “mais” ou de “menos”? De “vezes” ou de “dividir”?
A Teoria dos Campos Conceituais, do francês Gérard Vergnaud (1996, 2009), explica tal 
necessidade a partir da compreensão sobre os diferentes significados e das relações envolvidas entre 
a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Enquanto pesquisador cognitivista, preocupado em 
compreender como o conhecimento matemático é construído, o autor buscou estudar a construção 
das estruturas aditivas e multiplicativas pelo sujeito. Vergnaud (1996, 2009) realiza essa subdivisão 
em dois campos, o aditivo e o multiplicativo, e demonstra em cada um deles uma variedade existente 
de situações-problema que implicam a construção de um conceito, ou seja, das diferentes ideias 
envolvidas nas quatro operações.
Com base nesses estudos, antes de prosseguirmos com o aprofundamento sobre as técnicas 
operatórias dos algoritmos, discutiremos as categorizações das ideias presentes nos campos aditivo e 
multiplicativo, uma vez que são essas ideias que dão sentido e significado a cada situação em que se faz 
necessário adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir.
5.1.3.1 Campo aditivo
Embora o título campo aditivo, num primeiro momento, remeta, explicitamente, apenas à adição, 
para Vergnaud (1996, 2009), o fato de as operações de adição e subtração fazerem parte de uma mesma 
família demonstra que existem estreitas conexões entre elas. Sendo assim, podemos compreender 
que os problemas do campo aditivo compõem o trabalho com um conjunto de situações aditivas 
e subtrativas.
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CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Exemplo de aplicação
Você sabe o que é prova real?
Prova real é um procedimento matemático utilizado para comprovar se o resultado de uma 
determinada operação está correto. Para isso, é realizada uma operação inversa, ou seja, contrária ao 
resultado obtido na operação de origem.
Veja o exemplo:
 14
+ 3
 17
- 14
 17
- 3
17 314
Adição Subtração 2Subtração 1
Operação de origem Prova real
A prova real é apenas um dos exemplos em que podemos identificar claramente as conexões entre 
a adição e a subtração.
Essas operações, descontextualizadas de situações-problema, são apenas cálculos escritos 
destituídos de significados. Nesse sentido, Vergnaud (1996, 2009) contribui para a identificação de 
inúmeras situações em que podemos empregar o uso da adição e subtração. Nessa perspectiva, uma 
única conta, por exemplo, pode representar diferentes noções e ideias matemáticas. 
Observe as sínteses das principais ideias apresentadas na figura a seguir. Procure observar a relação 
inversa entre as ideias aditivas e subtrativas.
Juntar
Acrescentar
Comparar 
“a mais“
Adição
Separar
Retirar
Comparar 
“a menos“
Subtração
Figura 24 – Ideias do campo aditivo
A figura evidencia três ideias principais do campo aditivo, sendo elas: juntar, acrescentar e comparar. 
Essas ideias, devido à estreita relação entre as operações de adição e subtração, indicam uma relação 
de pares inversos. Por exemplo: juntar e separar, acrescentar e retirar e comparar “a mais” e “a menos”. 
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Unidade II
Agora, observe as seguintes operações:
 29
- 4
 25
+ 4
2529
SubtraçãoAdição
O que essas operações representam? 
Se considerarmos somente o registro escrito, podemos afirmar apenas que se referem a cálculos 
matemáticos da adição e subtração. Entretanto, a partir das ideias do campo aditivo, elas podem 
representar inúmeras situações, como a ação de juntar ou separar brigadeiros numa bandeja, 
acrescentar (ganhar) ou retirar (perder) pontos em um jogo ou até mesmo comparar quantas figurinhas 
uma criança tem a mais ou a menos que a outra. Posto isto, adiante apresentamos alguns exemplos de 
enunciados de problemas que envolvem cada uma das ideias do campo aditivo.
Problemas de composição
Os problemas de composição envolvem a ideia de juntar ou compor duas quantidades que 
inicialmente aparecem separadas, para então obter uma terceira quantidade, ou seja, o total, a junção 
dessas partes. Em contrapartida, considerando as características das grandezas discretas, já que tudo 
aquilo que está junto pode se desvincular, a ideia inversa de separar também faz parte dos problemas 
de composição.
Leia atentamente os enunciados de problemas a seguir que representam as ideias de juntar e separar 
a partir de uma mesma situação:
Quadro 6 – Problemas envolvendo as ideias de juntar e separar
Juntar
Théo tem 14 adesivos e Thais tem 12. 
Quantos adesivos Théo e Thais têm juntos?
Separar
Théo e Thais têm juntos 26 adesivos. 
Sabendo que 14 são de Théo, quantos são os adesivos de Thais?
Observe que ambas as situações expressam a ideia de juntar – afinal, Théo e Thais compõem juntos 
um total de 26 adesivos. Entretanto, ao mesmo tempo que essa composição (junção) ocorre, existe 
também a parcela, ou seja, a quantidade de adesivos que cada um tem, sendo 14 de Théo e 12 de 
Thais, sendo possível, assim, além de juntar, descobrir a parte de cada um, por meio da separação 
de quantidades.
Exemplo de aplicação
Seguindo os exemplos apresentados anteriormente, formule dois enunciados de problemas, sendo 
um envolvendo a ideia de juntar e o outro, a ideia de separar, a partir da seguinte operação.
69
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
13 + 11 = 24
Para a elaboração do enunciado, você poderá mudar os nomes dos personagens, bem como 
substituir o contexto de adesivos para outro de sua preferência. Durante a produção, procure atentar-se 
à importância de manter as ideias principais de juntar e separar. 
Problemas de transformação
Os problemas de transformação envolvem situações em que é necessário acrescentar ou retirar, isso 
porque o ponto de partida sempre será uma quantidade inicial que é alterada, ou seja, transformada. 
Essa alteração pode acontecer de maneira positiva ao acrescentar – aumentar – uma determinada 
quantidade ou negativa retirando – diminuindo – a quantidade inicial. Por isso, esses tipos de problemas 
recebem o nome, respectivamente, de transformação positiva e transformação negativa.
É importante ressaltar que as ideias de acrescentar e retirar também envolvem situações de 
perda e ganho. Assim, ganhar e perder também podem expressar a relação entre a alteração de uma 
quantidade inicial. 
Agora, leia com atenção os enunciados dos problemas a seguir que representam as ideias de 
acrescentar (ganhar) e retirar (perder) a partir de uma mesma situação:
Quadro 7 – Problemas envolvendo as ideias de acrescentar e retirar
Acrescentar 
(transformação positiva)
Théo tinha 14 adesivos e ganhou 12 de Thais.
Com quantos adesivos ele ficou?
Retirar 
(transformação negativa)
Théo tinha 26 adesivos e deu 12 para Thais. 
Com quantos adesivos ele ficou?
Conforme dito anteriormente, esses tipos de problemas estão associados à ideia de alterar 
um estado inicial que pode sofrer uma transformação. Na primeira situação, Théo tinha uma 
determinada quantidade de adesivos (14) que foi transformada, acrescida, ao ganhar mais 
12 adesivos de Thais. Essa ação fez com que a quantidade inicial de adesivos fosse maior ao final 
da situação. O mesmo acontece na situação de transformação negativa. Entretanto, ao invés de 
ganhar, Théo diminuiu a quantidade inicial de 26 adesivos, doando 12 para Thais. 
Exemplo de aplicação
Seguindo os exemplos apresentados anteriormente, formule dois enunciados de problemas, sendo 
um envolvendo a ideia de acrescentar e o outro, a ideia de retirar, a partir da seguinte operação:13 + 11 = 24
70
Unidade II
Para a elaboração do enunciado você poderá mudar os nomes dos personagens, bem como substituir 
o contexto de adesivos para outro de sua preferência. Durante a produção, procure atentar-se à 
importância de manter as ideias principais de acrescentar e retirar. 
Exemplo de aplicação
As ideias de acrescentar e retirar permitem alterações sucessivas numa mesma quantidade. Essa 
situação recebe o nome de composição de transformação. Podemos identificar facilmente essa ideia em 
situação de jogo em que um mesmo participante pode vivenciar sequências variadas de rodadas, como 
ganhar e ganhar, ganhar e perder, perder e perder ou quantas relações possíveis.
Confira o exemplo a seguir:
Quadro 8 – Problemas envolvendo a composição 
sequencial das ideias de juntar e separar
Transformação 
positiva e negativa
Théo ganhou 14 pontos num jogo de varetas. 
Depois ele perdeu 12 pontos. Com quantos pontos Théo ficou?
Observe que a situação apresenta uma sequência sucessiva de transformação, sendo a primeira 
positiva (ganhou 14 pontos) e a segunda negativa (perdeu 12 pontos). 
Além de situações que envolvem jogos, a composição de transformação pode ser facilmente 
identificada num extrato bancário em que a partir da movimentação monetária de entrada e saída de 
dinheiro acontecem transformações positivas e negativas de maneira aleatória no saldo disponível.
Problemas de comparação
Conforme o próprio nome já diz, os problemas de comparação estão associados à ideia de comparar 
quantidades. Por isso, envolvem as noções de “a mais” ou “a menos”. 
Os problemas de comparação também são classificados em comparação positiva e comparação 
negativa. Para identificar se uma situação-problema de comparação é negativa ou positiva, é preciso 
observar a pergunta do enunciado: se ela se referir a “que” ou a “quem” tem mais, trata-se de um 
problema de comparação negativa; já se a pergunta estiver relacionada a “que” ou “quem” tem menos, 
classificamos como comparação negativa.
Observe os enunciados de problemas a seguir que representam as ideias de comparação positiva 
“a mais” e comparação negativa “a menos”:
71
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Quadro 9 – Problemas envolvendo ideias de comparação
Comparação positiva
Théo tem 14 adesivos e Thais tem 12. 
Quantos adesivos Théo tem a mais que Thais?
Comparação negativa
Théo tem 14 adesivos e Thais tem 12. 
Quantos adesivos Thais tem a menos que Théo?
Perceba que mesmo que a comparação seja positiva ou negativa, para resolver ambos os 
problemas, ou seja, encontrar a diferença, faz-se necessário realizar uma subtração. Entretanto, 
é importante destacar que mesmo que a expressão “a mais” apareça no enunciado, nem sempre 
a resolução requer uma adição, como é o caso do primeiro enunciado, em que para encontrar 
quantos adesivos Théo tem a mais que Thais, a operação 14 – 12 = 2 resolve o problema.
Agora, observe outros tipos de enunciados que envolvem essas mesmas ideias de comparação 
positiva e negativa:
Quadro 10 – Problemas envolvendo ideias de comparação
Comparação positiva
Thais tem 12 adesivos e Théo tem 2 a mais que ela. 
uantos adesivos Théo tem?
Comparação negativa
Théo tem 14 adesivos e Thais tem 2 a menos que ele. 
uantos adesivos Thais tem?
Já esses exemplos de enunciado evidenciam com clareza as ideias de comparação positiva e 
comparação negativa. Entretanto, também mostram que a variedade de situações de comparação 
pode ser um obstáculo para os estudantes dos anos iniciais do Ensino Fundamental, pois requer a 
compreensão de qual ação é solicitada no problema, ou seja, adição ou subtração.
Exemplo de aplicação
Seguindo os exemplos apresentados anteriormente, formule dois enunciados de problemas, sendo 
um envolvendo a ideia de comparação positiva e o outro a ideia de comparação negativa, a partir da 
seguinte operação.
13 + 11 = 24
Para a elaboração do enunciado, você poderá mudar os nomes dos personagens, bem como 
substituir o contexto de adesivos para outro de sua preferência. Durante a produção, procure atentar-se 
à importância de manter as ideias principais de “a mais” e “a menos”. 
Certamente você observou nos exemplos de aplicação que os enunciados solicitados envolveram a 
mesma operação. Essa constância foi proposital para que você perceba as inúmeras ideias que podem 
estar por trás de uma mesma operação. Além disso, a vivência de formular enunciados de problemas lhe 
72
Unidade II
proporcionou a composição de uma lista pessoal de situações-problema contemplando todas as ideias 
do campo aditivo.
É importante ressaltar que a proposta de trabalho com os problemas do campo aditivo não consiste 
em explicar ao estudante cada uma das ideias. Esse conhecimento faz parte do repertório de conteúdo 
de que o professor dos anos iniciais do Ensino Fundamental deve dispor, de maneira que as aulas sobre 
operações de adição e subtração sejam conduzidas a partir da resolução de problemas envolvendo 
diferentes significados.
Figura 25 – Elaboração de problemas do campo aditivo
Disponível em: https://cutt.ly/zF7aU6p. Acesso em: 11 mar. 2022.
 
A importância de atrelar o ensino das operações à resolução de 
problemas leva ao reconhecimento da importância da exploração de vários 
procedimentos de cálculos e de diferentes resoluções a partir de situações-
problema. Isso significa que resolver problemas não é um mero exercício 
em que se aplica o que já se sabe, trata-se de um contexto que viabiliza 
a mobilização de saberes e habilidades que permitem buscar alternativas, 
levantar hipóteses, formular conjecturas, comparar procedimentos, 
validar ou refutar resultados para, então, chegar a uma resposta (SÃO 
PAULO, 2019b, p. 77).
Se antigamente as estratégias de cálculo das operações fundamentais de adição e subtração eram 
ensinadas de maneira isolada do contexto, sem conexão com situações-problema, nos dias de hoje, a 
proposta é que elas sejam ensinadas não como exercícios de fixação, mas, sim, a partir de resolução de 
problemas. Dessa maneira, à medida que os estudantes se familiarizam com a variedade de situações e 
noções aditivas e subtrativas, simultaneamente, e com sentido e significado, aprendem as técnicas de 
cálculo escrito dessas mesmas operações.
73
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Uma vez compreendidas as ideias do campo aditivo, discutiremos a seguir as diferentes técnicas no 
trabalho com as operações aritméticas de adição e subtração nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
5.1.3.1.1 Adição
Sobre as técnicas operatórias, é importante ressaltar que:
 
Historicamente, observa-se que há técnicas operatórias que desaparecem 
e se tornam obsoletas, por exemplo, a extração de raiz quadrada ou cúbica 
de um número. Elas deixaram de ser utilizadas, pois surgiram instrumentos 
e técnicas de cálculo mais eficientes e práticos. Hoje elas não são mais 
necessárias, particularmente diante de instrumentos eletrônicos de cálculo 
acessíveis, como a calculadora e o computador, que permitem ganhar tempo 
e evitar o trabalho enfadonho. Para outras técnicas, o desaparecimento pode 
ter ocorrido pelo fato de a tecnologia correspondente a elas apresentar um 
nível de complexidade elevado ou ainda pelo pouco alcance das mesmas, o 
que quer dizer que elas resolvem poucos tipos de exercícios, sendo, portanto, 
necessário substituí-las por outras mais eficientes (BITTAR; FREITAS; 
PAIS, 2013, p. 22).
Essa reflexão é necessária porque, conforme discutimos na unidade I, a matemática é uma ciência 
viva que está em constante transformação e, como tal, muitos conteúdos, procedimentos ou até mesmo 
técnicas operatórias podem se tornar obsoletas ou serem substituídas por outras mais consistentes, 
compreensíveis e menos ou mais elaboradas. 
 
A adição é considerada a principal entre as quatro operações básicas. As 
demais seriam decorrentes dela, em particular a subtração, cujo nível de 
conexão é tal que, segundo Vergnaud (1990), os conceitos envolvendo 
essasduas operações formam um campo por ele denominado de campo 
conceitual aditivo (BITTAR; FREITAS; PAIS, 2013, p. 23).
Dessa maneira, antes de apresentarmos diferentes tipos de técnicas operatórias para a resolução de 
adições, faz-se necessário compreender alguns conceitos importantes, como as partes de uma adição, 
as principais propriedades que a constituem e seus fatos básicos.
As partes de uma adição são chamadas de parcelas e de soma (ou total). Sendo assim, os números 
antes do sinal de igualdade são denominados parcelas, enquanto o número que vem logo após a 
igualdade recebe o nome de soma ou total. Veja:
Partes da adição
Parcela
27+ =
Soma (total)
277
Parcela
250 250
+ 27
Parcela
Parcela
277 Soma (total)
74
Unidade II
Além da compreensão das partes da adição, para o ensino dessa operação nos anos iniciais do Ensino 
Fundamental é de suma importância que o professor compreenda suas três principais propriedades, 
a saber: propriedade comutativa, propriedade associativa e propriedade do elemento neutro. 
Elas interferem diferentemente no desenvolvimento de diferentes estratégias de cálculo, tornando o 
raciocínio lógico-matemático mais flexível e em algumas situações passível de generalização.
A propriedade comutativa da adição se refere à flexibilidade de alteração das parcelas de modo 
que não ocorra alteração no resultado, ou seja, na soma ou total.
Exemplo:
5 + 4 = 4 + 5
Observe que ambos os totais são 9, apesar de a ordem das parcelas ter sido invertida.
Já a propriedade associativa da adição está relacionada aos agrupamentos que podem ser feitos 
nas parcelas, não alterando o total.
Vejamos um exemplo, tendo como referência a mesma adição utilizada anteriormente:
5 + 4 = 9
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
Sabendo que devemos calcular primeiramente as parcelas que estão entre os parênteses, a resolução 
desses cálculos fica assim:
(2 + 3) + 4 2 + (3 + 4)
5 + 4 2 + 7
9 9
Observe que apesar de termos somado 2 e 3 primeiro na adição do lado esquerdo e 3 e 4 primeiro na 
adição do lado direito, esse agrupamento não alterou o resultado total, 9. A possibilidade de decompor 
as parcelas da adição por meio da propriedade associativa ajuda na resolução de cálculos com diferentes 
grandezas numéricas. 
A propriedade do elemento neutro da adição envolve a compreensão do número zero como 
ausência de quantidade. Assim, quando o zero for somado a qualquer outro número, o resultado sempre 
será esse mesmo número. 
Observe as adições a seguir:
0 + 8 = 8
8 + 0 = 8
Quando somamos 0 a 8, ou vice-versa, a quantidade de 8 não se altera. O fato de zero representar 
a ausência de quantidade significa que não foi adicionada ou acrescentada nenhuma quantidade à 
75
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
outra parcela. É importante ressaltar que a propriedade comutativa da adição também se faz presente 
na compreensão do elemento neutro, pois independentemente de o zero ser alocado na primeira ou na 
segunda parcela da adição, o resultado sempre será o mesmo.
Exemplo de aplicação
Pesquise outros exemplos de operações de adição, considerando as propriedades comutativa, 
associativa e do elemento neutro. Registre esses exemplos, como forma de sistematização desse 
importante conhecimento. 
Você já ouviu falar sobre os fatos básicos da adição?
Também conhecidos como fatos fundamentais da adição, se referem a cálculos com números de um 
só algarismo em que se espera que sejam calculados mentalmente, sem auxílio de registro, ou seja, do 
cálculo escrito. Por exemplo: 1 + 1 = 2, 3 + 4 = 7, 5 + 6 = 11, entre outros.
Veja a figura a seguir, que apresenta todos os fatos básicos da adição: 
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 2 3 4 5 6 7 8 9
3 3 4 5 6 7 8 9
4 4 5 6 7 8 9
5 5 6 7 8 9
6 6 7 8 9
7 7 8 9
8 8 9
9 9
Colunas 
(vertical)
Linhas 
(horizontal)
Figura 26 – Fatos básicos da adição
Exemplo de aplicação
Agora, observe a figura novamente e reflita sobre as seguintes questões: 
• O que acontece com os resultados que estão na coluna e na linha do zero? 
• Localize os fatos básicos que possuem as mesmas parcelas. Por exemplo: 3 + 4 e 4 + 3. O que você 
identificou quanto aos resultados?
76
Unidade II
• Escolha um número e observe os resultados que estão posicionados na coluna e na linha desse 
mesmo número. Como são esses resultados?
• Quais são os resultados das adições indicadas nos quadrinhos vazios destacados na cor cinza? 
Complete o quadro digitando em seu computador ou dispositivo móvel os resultados nos locais 
indicados ou registre-os como preferir numa folha de papel ou caderno de estudos.
Certamente você observou que os resultados que estão na coluna e na linha do zero são os mesmos 
e que eles seguem a sequência numérica de 0 a 9. Essa regularidade se justifica pela propriedade do 
elemento neutro da adição, conforme estudamos anteriormente. Veja:
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Figura 27 – Fatos básicos da adição: zero como elemento neutro 
Ao localizar no quadro os fatos básicos da adição que possuem as mesmas parcelas, com certeza 
você identificou que os resultados são iguais, vislumbrando na prática a aplicação da propriedade 
comutativa da adição. Observe, a seguir, os quadrinhos coloridos que indicam os resultados de alguns 
pares de fatos básicos de adição que possuem essa característica, sendo eles: (2 + 3 = 3 + 2), (4 + 6 = 6 + 4), 
(8 + 2 = 2 + 8) e (7 + 1 = 1 + 7). 
 Observação
Para facilitar a identificação dos fatos básicos, realize a leitura partindo 
dos números indicados na primeira linha e na primeira coluna e vice-versa. 
77
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Figura 28 – Fatos básicos da adição: propriedade comutativa
Outra curiosidade interessante no quadro dos fatos fundamentais da adição se refere aos resultados 
posicionados na coluna e na linha de um mesmo número. Por seguirem uma progressão aditiva de um 
em um, apresentam os mesmos resultados. Veja:
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Figura 29 – Fatos básicos da adição: linha e coluna com os mesmos resultados
78
Unidade II
Exemplo de aplicação
Se você preencheu os resultados dos fatos básicos da adição que faltavam no quadro, aproveite 
para conferir e corrigir as suas respostas a partir dos quadros de referência utilizados nos exemplos 
anteriores. 
Mas, afinal, qual é a importância dos fatos fundamentais da adição para o ensino dessa operação nos 
anos iniciais do Ensino Fundamental?
Compreender e se apropriar dos resultados dessas adições de estrutura simples, compostas de 
números com apenas um algarismo, permite aos estudantes ampliar suas estratégias de cálculo a partir 
de um raciocínio matemático denominado generalização. Por meio da generalização o estudante pode, 
por exemplo, chegar às seguintes conclusões: se 1 + 1 = 2, logo, 10 + 10 = 20, 100 + 100 = 200, 
1.000 + 1.000 = 2.000 e assim por diante. Também poderão identificar outros padrões tão interessantes 
quanto estes. Por exemplo: se 7 + 7 = 14, logo, 70 + 70 = 140; se 4 + 6 = 10, isso significa que 
40 + 60 = 100, entre outras inúmeras regularidades que podem ser identificadas a partir de diferentes 
fatos básicosda adição.
Exemplo de aplicação
E se acrescentarmos o algarismo zero ao final dos números do quadro dos fatos básicos da adição? 
Quais serão os resultados?
Coloque em prática o seu raciocínio de generalização preenchendo os resultados a seguir:
Tabela 1 - Cálculos da adição a partir da base dez
+ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
79
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Confira as respostas: 
Tabela 2 – Respostas
+ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
20 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
30 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
40 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
50 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
60 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
70 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
80 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
90 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
 Saiba mais
Coloque em prática os conhecimentos adquiridos neste item por meio 
do jogo a seguir:
WORDWALL. Fatos fundamentais da adição. [s.d.]a. Disponível em: 
https://cutt.ly/cFuEteR. Acesso em: 6 abr. 2022.
Além desse jogo específico, o site disponibiliza outros jogos com a 
mesma temática. Você poderá explorá-los para sistematizar e ampliar os 
seus conhecimentos sobre a adição.
De acordo com Coll e Teberosky (2000, p. 86), “para facilitar uma adição, podemos utilizar diversas 
estratégias”, sendo elas:
• Comutar: utilizando-se da propriedade comutativa da adição, para calcular 2 + 7 = 9, em vez de 
acrescentar 7 ao número 2, que é menor, podemos acrescentar 2 a 7, que é um raciocínio mais 
simples, ou seja, 7 + 2 = 9.
• Decompor: ao resolver a adição 5 + 6 = 11, basta adicionar 5 + 5 = 10 e depois acrescentar 1 ao 
resultado (10 + 1 = 11). Esse tipo de estratégia é pautado na propriedade associativa da adição, 
que permite decompor as parcelas por agrupamentos.
80
Unidade II
• Compensar: para fazer a adição 3 + 5 = 8, podemos “acrescentar e retirar”. Por exemplo: para 
3 + 5 = 8, calculamos 4 + 4 = 8. Neste caso, “o resultado é o mesmo porque retiramos 1 do 5 
para acrescentá-lo ao 3, ou seja, compensamos o que tiramos de um número com o que 
acrescentamos ao outro” (COLL; TEBEROSKY, 2000, p. 86). 
• Arredondar: na adição 9 + 8 = 17, como só falta 1 para o 9 ser 10, podemos adicionar 10 + 8 = 18 
e retirar 1 do resultado (18 – 1 = 17), obtendo o total de 17. 
Exemplo de aplicação
E você? Quais dessas estratégias você costuma utilizar para resolver adições? Comutar, decompor, 
compensar ou arredondar?
Compreendidas as partes, propriedades e fatos básicos da adição e suas implicações nas estratégias 
de cálculo, adiante apresentamos duas técnicas operatórias comumente utilizadas no contexto 
escolar para a resolução de adições. 
Método padrão 
Essa técnica operatória, ao longo da história, tem sido a mais utilizada no contexto escolar. Nesse 
método, segundo Coll e Teberosky (2000, p. 87):
 
Para fazer uma adição, escrevemos um número embaixo do outro, de 
modo que os algarismos que correspondem a quantidades semelhantes 
(unidades, dezenas, centenas etc.) fiquem na mesma coluna. Em seguida, 
adicionamos os algarismos um a um, da direita para a esquerda, por colunas. 
Se o resultado dessa adição parcial tiver mais de um algarismo, escrevemos 
apenas o algarismo da direita e adicionamos o algarismo da esquerda na 
coluna seguinte à esquerda. Por exemplo, vejamos, passo a passo, como 
adicionar 325 + 496.
 5
+ 6
325
+ 496
11 1
1A)
 2
+ 9
325
+ 496
12 21
111B)
 3
+ 4
325
+ 496
8 821
111C)
Observe que para compreender detalhadamente os procedimentos envolvidos no método padrão 
– cujo registro, pelo fato de ocultar todas as etapas e conceitos envolvidos, é muito econômico –, os 
autores resolveram isoladamente cada uma das adições. Entretanto, existe um fato importante a ser 
considerado neste procedimento que comumente é reproduzido pelos professores dos anos iniciais 
do Ensino Fundamental: embora as operações 5 + 6, 2 + 9 e 3 + 4 tenham sido realizadas a partir do 
valor absoluto desses números, não podemos desconsiderar de forma alguma que na verdade estamos 
operando conceitualmente com os seus valores relativos.
81
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Glossário
Valor absoluto: não depende da posição em que o algarismo se encontra no número. 
Por exemplo: o valor absoluto do algarismo 2 no número 325 é 2. 
Valor relativo: depende da posição, ou seja, da ordem em que o algarismo ocupa 
no número. Por exemplo: o valor relativo do algarismo 2 no número 325 é 20, ou duas 
dezenas, ou vinte unidades. O valor relativo, basicamente, se refere ao valor posicional do 
algarismo no número.
Para exemplificar as trocas e transformações de valores relativos ocultas no método padrão, observe 
o passo a passo a seguir: 
B)
 20
+ 90
325
+ 496
120
10
21
100A)
 5
+ 6
325
+ 496
11 1
10
 300
+ 400
325
+ 496
800
100
821
C)
A princípio, fica evidente que o algarismo 1 tem diferentes valores, dependendo da ordem que as 
adições foram realizadas no número. Sendo assim, ao adicionar 5 + 6 = 11, o número 1 não representa 
1 unidade, mas 10 (uma dezena). O mesmo acontece em 10 + 20 + 90 = 120, em que o número 1 
corresponde a 100 (uma centena).
Apesar de ser um procedimento econômico e sintético no papel, para executar com maestria o 
método padrão, é preciso ter consciência e compreensão de todas as trocas e transformações de valores 
relativos que acontecem nesse processo. Entretanto, geralmente, pelo fato de o detalhamento de seus 
procedimentos passar despercebido nas aulas de Matemática, muitos estudantes transitam de um 
ano para outro realizando cálculos de adição de maneira mecânica e fragmentada, com base no valor 
absoluto dos algarismos, e não a partir do entendimento da composição do número como um todo e 
dos valores posicionais dos algarismos que o compõem. 
Percebemos aqui, portanto, quão importante é a compreensão das regularidades do sistema de 
numeração decimal, estudadas no item 2.1.1 deste livro-texto, e quais são as suas implicações na 
operação de adição. 
 Observação
O método padrão tradicionalmente também é conhecido nas escolas 
como a técnica do “vai um”. Entretanto, existe um equívoco conceitual 
considerável nessa atribuição. Numa adição, ao adicionarmos parcelas cujo 
resultado é igual ou maior que dez, na verdade “vão dez” – uma dezena 
– e não “vai um”. O mesmo acontece nas ordens e classes do número, 
82
Unidade II
sucessivamente, quando adicionamos parcelas cujo resultado é igual ou 
maior que cem: no procedimento, deve-se dizer que “vão cem” – uma 
centena – e não “vai um”.
Por isso, futuro(a) pedagogo(a), é de suma importância revisar este 
conceito em sua formação, procurando se adaptar à linguagem correta e 
substituindo a expressão “vai um” por “vão dez”, “vão cem”, “vão mil” etc., 
conforme as transformações e trocas que acontecem numa mesma adição.
Decomposição
Outra técnica operatória para a resolução de adições chama-se decomposição. 
Para Bittar, Freitas e Pais (2013, p. 29): “A decomposição de um número em unidades, dezenas e 
centenas é muito útil para calcular o resultado de uma adição”. Essa utilidade é justificada pelo fato de 
ser um método pautado na identificação do valor posicional dos algarismos no número, decompondo-os 
em parcelas. 
Veja o exemplo a seguir:
 200 + 10 + 3
100 + 20 + 7
300 + 40 + 0 = 340
213 + 127 = 
10
“Vão dez”
Nota-se que a técnica por decomposição é mais transparente do que a do método padrão. Antes 
de calcular, faz-se necessário identificar e registrar o valor posicional de cada algarismo no número, 
organizando-os em ordem, para somente então adicionar as parcelas considerando os valores relativos. 
Esse tipo de procedimento é essencial a ser introduzido nos anos iniciais do Ensino Fundamental, 
pois além de articular as características do sistema de numeração decimal ao cálculo da adição, deixa 
explícitos para o estudante os valores das trocas etransformações que acontecem.
Assim, portanto, o ideal é que antes de ser apresentado aos estudantes o método padrão, eles 
tenham a oportunidade de vivenciar o cálculo escrito por decomposição. Essa transposição certamente 
irá auxiliá-los na identificação dos processos que são ocultados no método tradicional, como “vão dez”, 
“vão cem” etc.
Exemplo de aplicação
Você aprendeu a resolver adições por meio de qual técnica? Pelo método padrão ou por decomposição?
Muitos professores aprenderam a calcular adições por meio do método padrão, por isso costumam 
afirmar que preferem esse tipo de técnica, já que para eles é um procedimento familiar. Entretanto, 
83
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
os pedagogos que lecionam do 1º ao 5º do Ensino Fundamental precisam dominar os procedimentos 
de ambas as técnicas, permitindo aos estudantes a ampliação de repertório de maneiras diferentes de 
resolver adições, bem como a transição de uma técnica para outra, priorizando o aprofundamento dos 
processos que acontecem nesses procedimentos de cálculo. 
5.1.3.1.2 Subtração
Apresentamos adiante as partes de uma subtração, suas principais propriedades e fatos básicos.
As partes de uma subtração, também conhecidos como termos, são nomeados como minuendo, 
subtraendo e resto ou diferença. Sendo assim, os números antes do sinal de igualdade são denominados, 
respectivamente, minuendo (quantidade total), subtraendo (quantidade a ser retirada) e resto ou 
diferença (que se refere ao que sobrou). Veja:
Partes da subtração
Subtraendo
23- =
Resto (diferença)
214
Minuendo
237 237
- 23
Minuendo
Subtraendo
214 Resto (diferença)
Enquanto operações inversas da adição, as propriedades da subtração também refletem essa 
importante característica. A subtração, portanto, no que se refere às relações quantitativas com números 
naturais, não é comutativa ou associativa, e o elemento neutro pode interferir em seu resultado.
A propriedade comutativa, basicamente, refere-se à troca de ordem entre as parcelas ou termos. 
No caso da subtração, essa propriedade não se aplica, pois 40 - 30 = 10 é diferente de 30 - 40 = -10. Ou 
seja, o resultado se difere, não permanece o mesmo, assim como acontece na adição.
A subtração também não é associativa, pois nela não podemos associar três ou mais parcelas, assim 
como fazemos na adição. Assim como ocorre na propriedade comutativa, quando fazemos subtrações 
com vários números, não podemos subtrair a partir de qualquer ordem, pois isso interfere diretamente 
no resultado. Por exemplo: 
8 - (5 - 3) (8 - 5) - 3 
8 - 2 3 - 3
6 0
O elemento neutro também não se aplica à subtração. Isso ocorre porque, apesar de uma quantidade 
menos zero não alterar o resultado, o contrário se difere, resultando num número negativo. Veja:
9 - 0 = 0
0 - 9 = -9
84
Unidade II
Os fatos básicos da subtração são cálculos compostos de termos com números de um só algarismo 
possíveis de serem calculados rápida e mentalmente, sem auxílio de registro escrito ou recursos 
tecnológicos. Por exemplo: 1 - 1 = 0, 2 - 1 = 1, 3 - 2 = 1 etc.
Veja a figura a seguir, que apresenta todos os fatos básicos da subtração envolvendo números 
naturais: 
- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
8 8 7 6 5 4 3 2 1 0
7 7 6 5 4 3 2 1 0
6 6 5 4 3 2 1 0
5 5 4 3 2 1 0
4 4 3 2 1 0
3 3 2 1 0
2 2 1 0
1 1 0
Colunas 
(vertical)
Linhas 
(horizontal)
Figura 30 – Fatos básicos da subtração
Exemplo de aplicação
Observe o quadro atentamente e reflita sobre as seguintes questões: 
• Enquanto no quadro dos fatos básicos da adição, tanto a linha quanto a coluna iniciam com o 
algarismo zero, neste quadro, referente aos fatos fundamentais da subtração, a linha começa com 
zero, porém a coluna inicia com o número dez. Por que isso acontece?
• O que ocorre quando um número é subtraído por ele mesmo? Qual é o resultado? Existe um padrão?
• Identifique as subtrações com os mesmos resultados. Por exemplo: 10 - 8 = 2, 9 - 7 = 2, 8 - 6 = 2 
etc. Como esses resultados estão dispostos no quadro? 
• Se o quadro fosse preenchido em sua totalidade, quais seriam as subtrações e os seus 
respectivos resultados? 
Certamente você observou que no quadro dos fatos fundamentais da subtração a primeira linha inicia 
com zero e a primeira coluna inicia com o número dez. Isso ocorre porque como estamos abordando 
os fatos fundamentais da subtração, se a coluna também começasse com zero, teríamos o resultado de 
85
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
números negativos. Por exemplo: 0 - 1 = -1. Neste caso, por não possuir as propriedades comutativa e 
associativa, a subtração de números naturais tem como regra ter o minuendo maior que o subtraendo, 
para que se tenha como diferença (resto) um número natural maior que zero.
Outro aspecto interessante sobre os fatos básicos da subtração, que pode ser adotado como regra, 
é que todo número subtraído por ele mesmo sempre terá resultado igual a zero. Essa afirmação pode 
ser generalizada para números de qualquer grandeza, ou seja, mesmo para aqueles compostos de 
mais de um algarismo. Por exemplo: 11 - 11 = 0, 124 - 124 = 0 etc. Observe na figura a seguir os 
resultados destacados:
- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
8 8 7 6 5 4 3 2 1 0
7 7 6 5 4 3 2 1 0
6 6 5 4 3 2 1 0
5 5 4 3 2 1 0
4 4 3 2 1 0
3 3 2 1 0
2 2 1 0
1 1 0
Figura 31 – Fatos básicos da subtração iguais a zero
Se o quadro dos fatos básicos da subtração fosse preenchido em sua totalidade, certamente teríamos 
resultados com números negativos, ou seja, menores que zero. Isso ocorre porque em certo momento 
da coluna o número que representa o minuendo fica menor que o subtraendo, tendo como resto (ou 
diferença) um número negativo. Por exemplo: 8 - 9 = -1, 7 - 8 = -1, 7 - 9 = -2 e assim por diante, 
conforme exemplificado a seguir:
- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
8 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1
7 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2
6 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3
5 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
4 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
3 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6
2 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
1 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
Números negativos 
(menores que zero)
Figura 32 – Fatos básicos da subtração: números negativos
86
Unidade II
Assim como na adição, o domínio dos fatos básicos da subtração é essencial para a resolução de 
cálculos mentais realizados no dia a dia, bem como a possibilidade de generalização de regras para 
números de outras grandezas. Por exemplo: se 7 - 3 = 4, logo, 70 - 30 = 40 ou ainda 700 - 400 = 300, 
entre outras possibilidades.
 Saiba mais
Desenvolva o raciocínio de cálculo mental por meio do jogo a seguir:
WORDWALL. Pare dos fatos básicos: adição e subtração. [s.d.]b. 
Disponível em: https://cutt.ly/6Fphb4h. Acesso em: 6 abr. 2022.
Gire a roleta e responda rapidamente o resultado de cada operação!
De acordo com Coll e Teberosky (2000, p. 87) “para fazermos uma subtração, podemos utilizar 
diversas estratégias”, sendo elas:
• Descontar: para encontrar o resultado de 11 - 3, desconta-se 3 de 11, ou seja, retira-se 3 de 11 e 
considera-se a quantidade que sobrou, que são 8. Por exemplo:
Quantidade 
descontada
Quantidade 
que sobrou
Figura 33 
Fonte: Coll e Teberosky (2000, p. 87).
• Contar acrescentando: para encontrar o resultado da subtração 14 - 9, conta-se acrescentando 
de um em um a partir do número menor, ou seja, do 9 até chegar no 14, que dá 5. Esta estratégia 
também é denominada sobrecontagem. Por exemplo: reserve o número 9 e conte os números 
posteriores a ele até chegar no 14, ou seja, 10, 11, 12, 13 e 14. No caso, a quantidade de números 
contados será a diferença, ou seja, o resultado da subtração. 
87
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
• Contar retirando: esta estratégia é inversa da anterior. Sendo assim, no lugar de partir da 
contagem do número menor, é realizada uma contagem decrescente, do maior para o menor, 
contando-se retirando de um emum de 14 a 9, cujo resultado também dá 5. Por exemplo: reserve 
o número 14 e conte os números anteriores a ele até chegar no 9, ou seja, 13, 12, 11, 10 e 9. No 
caso, a quantidade de números contados será a diferença, ou seja, o resultado da subtração. 
Exemplo de aplicação
Você costuma usar quais destas estratégias para resolver subtrações? Descontar, contar acrescentando 
ou contar retirando?
Ao resolver subtrações, procure utilizar estratégias pouco utilizadas por você, como forma de 
flexibilização de raciocínio e também familiarização com novos procedimentos. 
Essas estratégias são muito eficientes para quantidades pequenas. Entretanto, quando temos 
que subtrair números com vários algarismos, faz-se necessário conhecer outras formas de cálculo 
da subtração. 
Método padrão
É o método mais utilizado nos anos iniciais do Ensino Fundamental. De acordo Coll e Teberosky 
(2000, p. 89):
Para fazer uma subtração, escrevemos o número menor embaixo do maior, 
de modo que as unidades, dezenas, centenas etc. coincidam na mesma 
coluna. Depois subtraímos os algarismos um a um, por colunas. Quando 
um algarismo do número que precisamos subtrair for maior que seu 
correspondente da mesma coluna, temos duas soluções. 
— Adicionar 10 unidades ao algarismo menor e, para compensar, tirar 
uma unidade do algarismo que está imediatamente à sua esquerda.
— Adicionar 10 unidades ao algarismo menor e, para compensar, 
adicionar, no número que está embaixo, uma unidade ao algarismo 
da coluna imediatamente à esquerda.
 4
- 1
764
- 481
3 3
A)
 7
- 4
 7
- 4
764
- 481
764
- 481
2
2
6
5
16
16
5
6
283
283
C)
 6
- 8
 6
- 8
764
- 481
764
- 481
8
8
16
16
16
16
5
6
83
83
B)
1
1
88
Unidade II
 Observação
Coll e Teberosky (2000) são uma referência espanhola. Aqui no Brasil, é 
mais comum o uso do primeiro exemplo indicado, em que, para compensar, 
faz-se necessário tirar uma unidade do algarismo que está imediatamente 
à sua esquerda no minuendo, do que o segundo exemplo, que indica a 
ação de adicionar a partir do subtraendo – ou seja, do número que está 
embaixo – uma unidade ao algarismo da coluna imediatamente à esquerda. 
Portanto, se você desconhece o segundo procedimento, fique tranquilo(a) 
e considere-o como uma possibilidade de aprendizagem.
É importante ressaltar que o método padrão, além de muito complexo, é econômico, não explicitando 
todas as trocas e transformações que acontecem ao recorrer ao algarismo posicionado à esquerda. 
Assim como acontece na adição, este tipo de procedimento induz à identificação do valor absoluto do 
algarismo, e não do valor relativo que está condicionado à posição – ordem e classe – que ocupa no 
número. Sendo assim, no exemplo indicado, devemos considerar que não houve a troca de apenas uma 
unidade de 7, mas sim uma dezena, para então compor o número 16, de maneira que fosse possível 
subtrair 8. 
 Saiba mais
Para você, é correto dizer “pegar emprestado” ao resolver subtrações?
Confira a resposta da Profa. Dra. Kátia Smole a esta importante questão 
no vídeo a seguir:
É correto dizer “pega emprestado” na subtração? - Minuto Mathema. 
Brasil: Grupo Mathema, 2017. 2 min. Disponível em: https://bit.ly/3wb4iuI. 
Acesso em: 1º abr. 2022.
Método expandido ou por decomposição
Para subtrair números compostos de vários algarismos, nesta técnica podemos decompor os 
números, considerando o valor posicional dos algarismos, separando-os em subtrações parciais, 
mais simples. 
Veja o exemplo a seguir de uma subtração em que o recurso a uma ordem superior não é necessária:
60 + 7
- 40 + 1
20 + 6 = 26
67 - 41 =
89
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Agora, veja outro exemplo, cujo recurso a uma ordem superior se faz necessário para resolver 
a subtração:
70 + 2
- 30 + 8
30 + 4 = 34
72 - 38 =
1060
Observe que no método por decomposição as trocas que acontecem durante o procedimento de 
cálculo ficam mais explícitas, sendo possível identificar as transformações que acontecem no número. 
É importante ressaltar que na técnica por decomposição o sinal de adição é necessário, pois para 
compor o resultado – ou seja, a diferença – faz-se necessário reagrupar os valores das ordens do número 
(30 + 4 = 34).
Exemplo de aplicação
E você, futuro(a) pedagogo(a), aprendeu a resolver subtrações por meio de qual técnica? Pelo método 
padrão ou por decomposição?
5.1.3.2 Campo multiplicativo
Apesar de o título campo multiplicativo mencionar explicitamente a multiplicação, para Vergnaud 
(1996, 2009), como as operações de multiplicação e divisão fazem parte de uma mesma família, 
existem estreitas conexões entre elas. Sendo assim, podemos compreender que os problemas do campo 
multiplicativo compõem o trabalho com um conjunto de situações envolvendo multiplicações 
e divisões. 
Exemplo de aplicação
Você sabe como calcular a prova real de uma multiplicação? 
Vamos relembrar?
 15
- 15
 15
- 15
3
5
5
3
 3
x 5
00 0015
Divisão 1 Divisão 2
Prova real
Multiplicação
Operação de origem
A prova real é apenas um dos exemplos em que podemos identificar claramente as conexões entre 
a multiplicação e a divisão.
90
Unidade II
Atualmente o ensino da multiplicação e divisão valoriza a compreensão de 
conceitos, por isso, configura-se em uma nova lógica, tendo como ponto 
de partida problematizações em que a criança utilize procedimentos 
pessoais para resolvê-las, propõe o estudo de regularidades e dos fatos 
básicos da multiplicação/divisão para então iniciar o trabalho com os 
algoritmos. As problematizações envolvendo as operações do campo 
multiplicativo devem oferecer aos estudantes diferentes significados e 
contextos variados adequados às diferentes ideias multiplicativas (SÃO 
PAULO, 2019b, p. 92).
Assim como no campo aditivo, Vergnaud (1996, 2009) contribui para a identificação de inúmeras 
situações-problema em que podemos empregar o uso da multiplicação e divisão. De acordo com esse 
pesquisador, há duas grandes categorias de problemas do campo multiplicativo que ele denomina 
isomorfismo de medidas e produto de medidas.
Proporcionalidade
Isomorfismo 
de medidas
Multiplicação 
comparativa
Produtos 
das medidas
Configuração 
retangular
Combinatória
Categorias
Figura 34 
Fonte: São Paulo (2019b, p. 93).
Vergnaud (1996, 2009) define isomorfismo de medida como uma estrutura conceitual que envolve 
proporção e comparação direta simples entre duas grandezas, como pessoas e objetos, alimentos e 
instrumentos de medida, bens e custos etc. Nessa estrutura, portanto, concentram-se situações 
multiplicativas que envolvem proporcionalidade e comparação. 
Problemas de proporcionalidade
Os problemas de proporcionalidade implicam a relação direta e proporcional entre duas variáveis. 
Essas relações podem variar entre a ideia de “um a muitos” ou de “muitos a muitos”. Os enunciados a 
seguir explicitam essas relações:
91
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Quadro 11 – Problemas de proporcionalidade
“Um a muitos”
Yasmin toma 6 copos de água por dia. 
Quantos copos de água ela toma em 7 dias?
1 – 6
7 – ?
“Muitos a muitos”
Numa maratona, Yasmin correu 12 quilômetros 
em 2 horas. Se manter o mesmo ritmo, quantos 
quilômetros ela correrá em 3 horas?
2 – 12
3 – ?
Os problemas de proporcionalidade envolvendo a relação “um a muitos”, por possuírem uma 
estrutura conceitual mais simples, são menos complexos. Por isso, são recomendados para o trabalho 
mais aprofundado com os alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental. 
De acordo com os enunciados apresentados, para resolver o problema envolvendo a relação 
“um a muitos” é necessário primeiramente identificar as variáveis ou razões envolvidas (copo e 
quantidade de dias) multiplicando as quantidades indicadas, ou seja, 7 × 6 = 42. Já na relação 
“muitos a muitos”, as variáveis (ou seja, as razões) não são tão explícitas. O estudante precisa 
perceber a proporcionalidade entre horas e quilômetros, sendonecessário identificar a quantidade 
de quilômetros percorridos em 1 hora para resolver o problema, a partir do seguinte raciocínio: 
se em 2 horas Yasmin percorreu 12 quilômetros, em 1 hora ela percorreu 6 quilômetros. Sendo 
assim, em 3 horas ela percorrerá 18 quilômetros.
Sobre os problemas de proporcionalidade nos anos iniciais do Ensino Fundamental, é importante 
ressaltar que:
 
Na maioria das vezes, as crianças no início da escolaridade resolvem esses 
problemas por procedimentos pessoais, usando desenhos ou esquemas para 
mostrar seu raciocínio. Às vezes, resolvem aditivamente ou subtrativamente, 
não apresentando indicações de usar o raciocínio multiplicativo. No 
entanto, é preciso evoluir. Pesquisadores afirmam que a evolução do 
raciocínio multiplicativo se dá pelo envolvimento das crianças com os 
vários significados da multiplicação e com os contextos adequados a esses 
significados (SÃO PAULO, 2019b, p. 94).
Exemplo de aplicação
Seguindo os exemplos apresentados anteriormente, formule dois enunciados de problemas de 
proporcionalidade, sendo um envolvendo a relação “um a muitos” e o outro as razões “muitos a muitos”. 
92
Unidade II
Problemas de comparação
Assim como no campo aditivo, o campo multiplicativo também possui situações comparativas. 
A diferença entre esses conceitos é que enquanto a ideia aditiva envolve a noção de “quantos a mais” ou 
“quantos a menos”, no campo multiplicativo, a comparação se desenvolve a partir de relação “quantas 
vezes mais” (dobro, triplo, quádruplo, metade, terça parte etc.). 
Quadro 12 – Problemas de comparação
Dobro
Yasmin tem 5 anos, Léo tem o dobro dessa idade. 
Quantos anos Léo tem? 
Metade
Léo tem 10 anos, Yasmin tem a metade dessa idade.
Quantos anos Yasmin tem? 
Observe nos enunciados apresentados a estreita relação entre a multiplicação e a divisão. 
Enquanto no primeiro problema a resolução requer o procedimento de “duas vezes mais” ou “dobro” 
para resolução, ou seja, 5 × 2 = 10, no segundo problema, partindo da mesma situação, pelo fato de 
modificar a incógnita da pergunta, a resolução requer uma divisão a partir da ideia de metade, ou 
seja, 10 / 2 = 5.
A respeito do trabalho com os problemas de comparação do campo multiplicativo nos anos iniciais 
do Ensino Fundamental, é importante ressaltar que “as crianças resolvem esse tipo de problema por 
estratégias pessoais, no geral usando desenhos, agrupando a quantidade de um elemento e depois 
usando a relação comparativa e indicando ‘quantas vezes mais’ se repete aquele agrupamento” 
(SÃO PAULO, 2019b, p. 95).
Exemplo de aplicação
Consulte e pesquise, em livros didáticos de Matemática do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental, 
enunciados que envolvem o significado de multiplicação comparativa. Esta é uma ótima estratégia para 
identificar e se familiarizar com diferentes tipos de problema.
Vergnaud (1996, 2009) considera que os problemas envolvendo produtos de medida sejam mais 
complexos do que a estrutura de isomorfismo de medida. Por isso, recomenda-se que as situações 
multiplicativas de configuração retangular e combinatória sejam trabalhadas com profundidade a partir 
do 4º ano do Ensino Fundamental.
Problemas de configuração retangular
Por permitir o desenvolvimento de noções de área, situações de configuração retangular estão 
relacionadas à medida ou quantidade de objetos num determinado espaço físico com características 
retangulares. Por exemplo: calcular a quantidade de objetos que estão dispostos em fileiras organizadas 
93
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
em linhas e colunas. Assim, “os contextos que propiciam esse significado podem ser caixas de frutas, 
ovos, poltronas de auditórios, teatros etc.” (SÃO PAULO, 2019b, p. 95). 
Quadro 13 – Problemas de configuração retangular
Configuração retangular
Um salão tem 6 fileiras com 5 cadeiras cada uma. 
Quantas cadeiras há nesse salão? 
Observe na análise dimensional a seguir a resolução do problema:
6 colunas
(cadeiras)
5 linhas
(cadeiras)
Figura 35 – Análise dimensional
Adaptada de: https://cutt.ly/YF7fexS. Acesso em: 11 mar. 2022.
A partir dessa representação é possível identificar que para resolver esse tipo de problema, chegando 
ao total de cadeiras na sala, faz-se necessário multiplicar a quantidade de fileiras pela quantidade de 
cadeiras, ou seja, 6 × 5 = 30. Para a resolução, o procedimento é o mesmo, por exemplo, de quando se 
deve calcular a área de uma figura geométrica com características retangulares.
Exemplo de aplicação
Observe a operação a seguir:
6 × 4 = 24
Com essa mesma operação, elabore um enunciado de problema envolvendo a ideia de configuração 
retangular, considerando o contexto caixa de ovos.
94
Unidade II
Problemas de combinatória
“Como o próprio nome já diz, para determinar o resultado desse tipo de problema é preciso fazer 
todas as combinações possíveis entre os todos os termos. Os contextos apropriados para esse tipo de 
problema envolvem combinações de roupas, de sanduíches [...]” (SÃO PAULO, 2019b, p. 96).
Quadro 14 – Problema de combinação
Combinatória Yasmin tem 2 calças e 3 camisetas de cores diferentes. De quantas maneiras ela pode se arrumar combinando as calças com as camisetas? 
Diferentemente da ideia de configuração retangular, em que a resolução requer uma análise 
dimensional do espaço, o raciocínio de resolução do problema de combinatória envolve a necessidade 
de compor subconjuntos. Veja o exemplo:
Figura 36 – Composição de subconjuntos
Adaptada de: https://cutt.ly/IF7fQJn. Acesso em: 11 mar. 2022.
Assim, a multiplicação que representa a ideia de agrupamentos por subconjuntos é 2 × 3 = 6, que 
significa duas calças para três camisetas.
Exemplo de aplicação
Sabendo que a divisão é a operação inversa à multiplicação, como se resolve o problema a seguir?
Yasmin tem em sua mala 8 peças de roupas. Se 4 são bermudas, quantas são camisetas? 
95
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Uma vez compreendidas as ideias do campo multiplicativo, passamos agora a discutir as diferentes 
técnicas no trabalho com as operações aritméticas de multiplicação e divisão nos anos iniciais do Ensino 
Fundamental. Mas, antes disso, ressaltamos a importância do ensino concomitante de situações-problema 
contextualizadas, com as técnicas e estratégias operatórias, cujo intuito é contribuir para a ampliação 
do repertório dos estudantes no que se refere à variedade de ideias multiplicativas (proporcionalidade, 
comparação, configuração retangular e combinatória). 
5.1.3.2.1 Multiplicação
Antes de apresentarmos diferentes tipos de técnicas operatórias para a resolução de multiplicações, 
faz-se necessário compreender alguns conceitos importantes, sendo eles: as partes de uma 
multiplicação, as principais propriedades que a constituem e seus fatos básicos.
A multiplicação simples é composta pelos fatores (multiplicando e multiplicador) e pelo produto (ou 
resultado). Veja a seguir:
Partes da multiplicação
Fator
7x =
Produto
588
Fator
84 84
x 7
Fator (multiplicando)
Fator (multiplicador)
588 Produto
Assim como a adição, a multiplicação é comutativa, associativa e possui um elemento neutro. Além 
disso, possui as características distributiva e do elemento inverso.
A multiplicação é comutativa, pois a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, 
independentemente da ordem em que você multiplicar os fatores, o resultado sempre será o mesmo. 
Por exemplo:
5 × 6 = 30
6 × 5 = 30
A propriedade associativa está relacionada à possibilidade de associar ou agrupar três ou mais 
fatores de maneiras diferentes, conforme a conveniência, não interferindo em seu resultado. Veja o 
exemplo a seguir:
Resolução A
(12 x 5) x 6
60 x 6
360
Resolução B
12 x (5 x 6)
12 x 30
360
12 × 5 × 6 = 
Enquanto na adição o elemento neutro é o zero, na multiplicação é o número 1 que representa a 
neutralidade, pois todo número multiplicado por 1 é igual a ele mesmo. Por exemplo:
99 × 1 = 99
96
Unidade II
 ObservaçãoNa multiplicação, o número -1 (negativo) não é neutro, uma vez que 
todo número multiplicado por -1 é igual ao seu oposto. Por exemplo: 
84 × (-1) = -84. 
Embora não seja abordada nos anos iniciais do Ensino Fundamental, a propriedade distributiva é 
usada quando um número está multiplicando uma adição ou subtração, sendo necessário multiplicar 
cada termo separadamente e somar ou subtrair o resultado. Confira o exemplo a seguir:
2 × (4 + 6) = 
2 × 4 + 2 × 6
8 + 12
20
Observe que, para resolver a expressão, foi necessário distribuir a multiplicação do fator 2 para os 
números 8 e 3, realizando uma multiplicação ao final para chegar ao resultado.
Assim como a propriedade distributiva, o elemento inverso também é uma característica pouco 
abordada nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Entretanto, é de suma importância que o professor 
a conheça. O elemento inverso na multiplicação se refere àquele que, quando multiplicado por um 
número, tem resultado igual a 1. Assim, o inverso de um número qualquer pode ser representado 
sempre a partir de uma fração 1 sobre esse mesmo número. Por exemplo: inverso de 2 é igual a ½. 
Exemplo: 0,5 × 2 = 1. 
Exemplo de aplicação
Você sabia que os fatos básicos ou fundamentais da multiplicação são comumente conhecidos 
como tabuada?
E você? Como aprendeu a tabuada? Possui boas lembranças em relação a esse conteúdo? Reflita.
Os fatos básicos da multiplicação são cálculos compostos de fatores com números de um só 
algarismo possíveis de serem calculados rápida e mentalmente, sem auxílio de registro escrito ou recursos 
tecnológicos. São considerados fatos básicos da multiplicação as tabuadas dos números de 0 a 9. 
Veja a seguir uma maneira diferente de explorar e identificar as regularidades presentes nas tabuadas 
dos números de 0 a 9, conhecida como tabuada cartesiana.
97
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Tabela 3 – Fatos básicos da multiplicação (tabuada)
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81
Exemplo de aplicação
Observe a tabuada cartesiana atentamente e reflita sobre as seguintes questões: 
• O que acontece quando um número é multiplicado por 1?
• Identifique produtos – ou seja, resultados – que sejam iguais. Por exemplo: 10, 12, 30 ou outros que 
preferir. Quais são as multiplicações que dão origem a esses produtos? O que você notou sobre elas? 
Se você conjecturou que as respostas a essas questões estão relacionadas às propriedades da 
multiplicação, parabéns, você está no caminho certo! A primeira se refere ao elemento neutro, em 
que todo número multiplicado por 1 é igual a ele mesmo. Já a segunda está relacionada à propriedade 
comutativa, em que a ordem dos fatores não altera o produto. Isso justifica o fato de, por exemplo, 
2 × 5 e 5 × 2, mesmo que dispostos em linhas e colunas diferentes no quadro, apresentarem o mesmo 
produto, ou seja, o resultado igual a 10.
 Saiba mais
Mas, afinal, qual é a escrita correta da tabuada?
Confira a resposta da Profa. Dra. Kátia Smole a essa importante 
questão no vídeo:
QUAL É a escrita correta da tabuada do três? Brasil: Grupo Mathema, 
2017. 1 min. Disponível em: https://bit.ly/39OvkiK. Acesso em: 1º abr. 2022.
Para o ensino da tabuada nos anos iniciais do Ensino Fundamental, embora muitas escolas e 
professores adotem a representação equivocada, esse conteúdo deve ser revisado pelo pedagogo, uma 
98
Unidade II
vez que a escrita correta quanto à apresentação do multiplicador e do multiplicando interfere, direta e 
consideravelmente, na compreensão desse conceito por parte do estudante. Portanto, estruturamos a 
seguir as tabuadas de 1 a 9, apresentando a escrita convencional em que o multiplicando – ou seja, o 
número que se repete – é apresentado à direita do multiplicador. 
 Observação
Você poderá utilizar a tabela a seguir como referência para consulta 
quando for necessário recordar esse importante aspecto.
Tabela 4 – Representação correta das tabuadas de 1 a 9
Tabuada do 1 Tabuada do 2 Tabuada do 3
1 × 1 = 1 1 × 2 = 2 1 × 3 = 3
2 × 1 = 2 2 × 2 = 4 2 × 3 = 6
3 × 1 = 3 3 × 2 = 6 3 × 3 = 9
4 × 1 = 4 4 × 2 = 8 4 × 3 = 12
5 × 1 = 5 5 × 2 = 10 5 × 3 = 15
6 × 1 = 6 6 × 2 = 12 6 × 3 = 18
7 × 1 = 7 7 × 2 = 14 7 × 3 = 21
8 × 1 = 8 8 × 2 = 16 8 × 3 = 24
9 × 1 = 9 9 × 2 = 18 9 × 3 = 27
Tabuada do 4 Tabuada do 5 Tabuada do 6
1 × 4 = 4 1 × 5 = 5 1 × 6 = 6
2 × 4 = 8 2 × 5 = 10 2 × 6 = 12
3 × 4 = 12 3 × 5 = 15 3 × 6 = 18
4 × 4 = 16 4 × 5 = 20 4 × 6 = 24
5 × 4 = 20 5 × 5 = 25 5 × 6 = 30
6 × 4 = 24 6 × 5 = 30 6 × 6 = 36
7 × 4 = 28 7 × 5 = 35 7 × 6 = 42
8 × 4 = 32 8 × 5 = 40 8 × 6 = 48
9 × 4 = 36 9 × 5 = 45 9 × 6 = 54
Tabuada do 7 Tabuada do 8 Tabuada do 9
1 × 7 = 7 1 × 8 = 8 1 × 9 = 9
2 × 7 = 14 2 × 8 = 16 2 × 9 = 18
3 × 7 = 21 3 × 8 = 24 3 × 9 = 27
4 × 7 = 28 4 × 8 = 32 4 × 9 = 36
5 × 7 = 35 5 × 8 = 40 5 × 9 = 45
6 × 7 = 42 6 × 8 = 48 6 × 9 = 54
7 × 7 = 49 7 × 8 = 56 7 × 9 = 63
8 × 7 = 56 8 × 8 = 64 8 × 9 = 72
9 × 7 = 63 9 × 8 = 72 9 × 9 = 81
99
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
 Observação
Apesar de a propriedade comutativa enunciar que a ordem dos fatores 
não altera o produto, os significados de multiplicador e multiplicando são 
diferentes. Enquanto o fator multiplicador se refere à quantidade de vezes 
que um determinado número se repete aditivamente, o multiplicando é o 
número a ser repetido nessa relação. Por exemplo: 5 × 3 = 15 ou 3 + 3 + 
3 + 3 + 3 = 15. 
Mas, afinal, é preciso decorar a tabuada?
Quanto aos fatos básicos da multiplicação, é importante que tanto o professor quanto o estudante 
tenham memorizado os seus resultados para que tenham condições de resolver rapidamente, quando 
necessário, cálculos do cotidiano e também multiplicações mais complexas, compostas de números com 
mais de um algarismo. Em contrapartida, essa memorização deve acontecer com sentido e significado, 
compreendendo a relação entre os fatores multiplicador e multiplicando, ou seja, sobre a quantidade 
que se repete e o número a ser repetido a partir de uma ação aditiva.
De acordo com Coll e Teberosky (2000), existem diferentes tipos de estratégias para resolver uma 
multiplicação. São elas: 
• Comutar: considerando que a ordem dos fatores não altera o produto, ao multiplicar, por exemplo, 
8 × 4, em vez de adicionar 8 vezes o 4 (4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4), comutando, podemos 
adicionar 4 vezes o 8 (8 + 8 + 8 + 8), que é um caminho mais curto. 
• Dobrar: ao multiplicar por 2, por exemplo, 9 × 2, podemos calcular o dobro de 9, recorrendo ao 
fato básico da adição, ou seja, 9 + 9 = 18. “Para multiplicar por 4, por exemplo, 7 × 4, podemos 
encontrar primeiro o dobro de 7, 7 + 7 = 14, e depois o dobro de 14, 14 + 14 = 28. Multiplicar por 
7 é encontrar o dobro do dobro” (COLL; TEBEROSKY, 2000, p. 90). 
• Decompor: para multiplicar 6 × 5, podemos calcular primeiro 5 × 5 = 25 e, depois, acrescentar 
mais 5 ao resultado, para obter o produto 30.
• Compensar: esta estratégia está relacionada à ideia de dobro e metade. Por exemplo: para 
multiplicar 5 × 8, calculamos quanto dá 10 × 4, ou seja, o dobro do primeiro e a metade do 
segundo, chegando ao mesmo resultado. O mesmo acontece no exemplo 2 × 6 = 12, pois 
4 × 3 = 12. A partir dessa regra, você pode recorrer a um fato básico para que seja mais fácil obter 
o resultado.
• Arredondar: estratégia muito utilizada com fatos básicos com números maiores. No exemplo 
9 × 7, basta multiplicar 10 × 7 e subtrair 7 do resultado: 9 × 7 = (10 × 7) - 7 = 70 - 7 = 63.
100
Unidade II
Exemplo de aplicação
Você costuma usar quais dessas estratégias para resolver multiplicações? Comutar, dobrar, decompor, 
compensar ou arredondar? 
Agora, ao resolver multiplicações, procure utilizar as estratégias que eram desconhecidaspor você. 
Coloque esse importante conhecimento em prática.
Essas estratégias são muito eficientes até mesmo, em muitos casos, para resolver multiplicações 
com um número composto de vários algarismos por outro de um só número. Para isso, vamos 
compreender dois métodos utilizados para calcular esse tipo de multiplicação nos anos iniciais do 
Ensino Fundamental. 
Método padrão 
No método padrão, para multiplicar um número de um só algarismo por outro de vários algarismos, 
registramos o número maior em cima e o número menor embaixo, logo abaixo do primeiro algarismo 
da direita do número maior, ou seja, posicionado no primeiro termo da operação. Depois, multiplicamos 
algarismo por algarismo, um por um, registrando o resultado, conforme as transformações das ordens, 
utilizando-se do mesmo procedimento da adição mencionando “vão dez”, “vão vinte”, “vão cem”, de 
acordo com o resultado.
Veja o exemplo a seguir, que representa detalhadamente essas etapas: 
 4
x 3
284
x 3
1 2 2
1A)
 8
x 3
284
x 3
2 5 52
121+ +B)
 2
+ 3
284
x 3
8 852
122C)
Observe que, na multiplicação, faz-se necessário empregar também estratégias de cálculo relacionadas 
 à adição, mostrando-nos as conexões existentes entre as operações fundamentais.
Método expandido 
O método expandido também pode ser chamado de decomposição, pois a sua execução parte da 
decomposição numérica, considerando o valor posicional do algarismo no número. Veja a seguir como 
resolver a multiplicação 34 × 7 a partir dessa técnica operatória:
34
x 7
4
x 7
210 + 28 = 238
72 + 38 =
Pelo fato de o método expandido evidenciar todos os processos que acontecem na multiplicação de 
cada algarismo no número, considerando o seu valor posicional, a proposta é que ele seja introduzido 
101
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
antes do método padrão, para que então esse último seja assimilado com compreensão, e não de 
maneira mecânica.
E para multiplicar dois números compostos de mais de dois algarismos? Como devemos proceder?
De acordo com Coll e Teberosky (2000, p. 91):
 
Para multiplicar dois números de vários algarismos, escrevemos um 
embaixo do outro, de modo que os algarismos de mesma ordem (unidades, 
dezenas, centenas etc.) fiquem na mesma coluna. Depois calculamos os 
produtos parciais como se estivéssemos fazendo multiplicações de um 
número de vários algarismos por outro de um só algarismo. Escrevemos 
os sucessivos produtos um sob o outro, tendo o cuidado de mantê-los na 
coluna correspondente. Por último, adicionamos todos os produtos parciais. 
Por exemplo, vejamos como multiplicar 417 × 345.
417
x 5
417
x 345
2085 2085
2A)
417
x 4
417
x 345
1668 2085
1668
2B)
417
x 3
417
x 345
1251 2085
143865
1668
+ 1251
2C)
O exemplo dos autores ratifica a orientação destacada anteriormente de que o método expandido, por 
decomposição, auxilia na compreensão dos inúmeros processos envolvidos para resolver multiplicações, 
principalmente aquelas compostas de dois números de dois algarismos ou mais.
Exemplo de aplicação
E você, futuro(a) pedagogo(a), aprendeu a resolver multiplicações por meio de qual técnica? Pelo 
método padrão ou pelo método expandido? Na sua opinião, qual é o método mais fácil de ser aplicado 
na prática?
5.1.3.2.2 Divisão
Antes de apresentarmos diferentes tipos de técnicas operatórias para a resolução de divisões, faz-se 
necessário compreender alguns conceitos importantes, a saber: as partes de uma divisão, as principais 
propriedades que a constituem e seus fatos básicos.
Diferentemente das demais operações de adição, subtração e multiplicação, compostas basicamente 
de três partes ou termos, a divisão possui quatro partes: dividendo, divisor, resto e quociente.
102
Unidade II
Partes da divisão 
23
- 20
3
Dividendo
Resto
5
4
Divisor
Quociente
Quanto às propriedades da divisão, é importante ressaltar que essa operação não é comutativa 
nem associativa. Não é comutativa, pois ao alterar a ordem do dividendo e do divisor, o resultado 
será diferente. Por exemplo: 8 : 4 = 2 e 4 : 8 = 0,5. Também não é associativa, porque o agrupamento 
também interfere no resultado final. Por exemplo: (50 : 5) : 2 = 10 : 2 = 5 não é o mesmo que 
50 : (5 : 2) = 50 : 2,5 = 20.
Assim, a divisão possui três propriedades importantes a serem consideradas.
A primeira se refere ao fato de que o quociente de uma divisão é o mesmo para múltiplos do 
dividendo e do divisor. Por exemplo: se 9 : 3 = 6, logo, (9 × 2) : (3 × 6) = 36 : 6 = 6. Portanto, ao 
multiplicarmos o dividendo e o divisor por um número diferente de zero, o quociente da divisão 
continuará o mesmo.
Outro aspecto importante a ser considerado é que a divisão por zero é indefinida e quando o 
dividendo é igual a zero o resultado da divisão também será zero. Por exemplo: 5 : 0 = (não possui 
o resultado nos números reais) e 0 : 5 = 0.
Exemplo de aplicação
Confira essa propriedade na prática. Numa calculadora, faça a divisão de qualquer número por zero 
e veja a mensagem que aparece no visor. Por exemplo: 24 : 0.
Por fim, na divisão, todo número dividido por 1 tem como quociente o próprio número. Já quando 
o dividendo e o divisor são o mesmo número, o quociente é igual a 1. Por exemplo: 7 : 1 = 7 e 7 : 7 = 1.
Quanto aos fatos básicos da divisão, podemos dizer que é o inverso da tabuada da multiplicação. 
Assim, enquanto na multiplicação, por meio de uma relação aditiva que se repete, fazemos a 
soma sucessiva de um mesmo número, na divisão encontramos os divisores desse mesmo número. 
Por exemplo: a relação inversa de 6 × 4 = 24 é 24 : 6 = 4.
Observa-se que se na multiplicação usamos a soma sucessiva de um número, na divisão informamos 
em quantas partes iguais um número será dividido. Conclui-se, portanto, o seguinte raciocínio 
lógico-matemático: 6 vezes 4 é igual a 24, porque 24 dividido por 6 é igual a 4. 
Confira a seguir uma tabela completa dos fatos básicos da divisão. Observe que a primeira coluna de 
cada tabuada se refere ao resultado da tabuada da multiplicação, para que então possamos encontrar 
os seus respectivos divisores. Esse aspecto reforça a estreita relação que existe entre as operações de 
multiplicação e divisão.
103
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Tabela 5 – Tabuada da divisão (1 a 9)
Tabuada do 1 Tabuada do 2 Tabuada do 3
1 : 1 = 1 2 : 2 = 1 3 : 3 = 1
2 : 1 = 2 4 : 2 = 2 6 : 3 = 2
3 : 1 = 3 6 : 2 = 3 9 : 3 = 3
4 : 1 = 4 8 : 2 = 4 12 : 3 = 4
5 : 1 = 5 10 : 2 = 5 15 : 3 = 5
6 : 1 = 6 12 : 2 = 6 18 : 3 = 6
7 : 1 = 7 14 : 2 = 7 21 : 3 = 7
8 : 1 = 8 16 : 2 = 8 24 : 3 = 8
9 : 1 = 9 18 : 2 = 9 27 : 3 = 9
Tabuada do 4 Tabuada do 5 Tabuada do 6
4 : 4 = 1 5 : 5 = 1 6 : 6 = 1
8 : 4 = 2 10 : 5 = 2 12 : 6 = 2
12 : 4 = 3 15 : 5 = 3 18 : 6 = 3
16 : 4 = 4 20 : 5 = 4 24 : 6 = 4
20 : 4 = 5 25 : 5 = 5 30 : 6 = 5
24 : 4 = 6 30 : 5 = 6 36 : 6 = 6
28 : 4 = 7 35 : 5 = 7 42 : 6 = 7
32 : 4 = 8 40 : 5 = 8 48 : 6 = 8
36 : 4 = 9 45 : 5 = 9 54 : 6 = 9
Tabuada do 7 Tabuada do 8 Tabuada do 9
7 : 7 = 1 8 : 8 = 1 9 : 9 = 1
14 : 7 = 2 16 : 8 = 2 18 : 9 = 2
21 : 7 = 3 24 : 8 = 3 27 : 9 = 3
28 : 7 = 4 32 : 8 = 4 36 : 9 = 4
35 : 7 = 5 40 : 8 = 5 45 : 9 = 5
42 : 7 = 6 48 : 8 = 6 54 : 9 = 6
49 : 7 = 7 56 : 8 = 7 63 : 9 = 7
56 : 7 = 8 64 : 8 = 8 72 : 9 = 8
63 : 7 = 9 72 : 8 = 9 81 : 9 = 9
Para Coll e Teberosky (2000), existem diferentes tipos de estratégias para resolver uma divisão: 
• Por adição: para calcular 26 : 4, realizamos sucessivas adições do 4 até chegar ao número 
mais próximo possível de 26. Por exemplo: 4 + 4 = 8, 8 + 4 = 12, 12 + 4 = 16, 16 + 4 = 20 e 
20 + 4 = 24. Depois, contamos a quantidade de vezes que o 4 foi repetido. Assim, o quociente é 
6, porque podemos adicioná-lo 6 vezes ao 4 para obter 24, ou seja, o número mais próximo a 26. 
Neste caso, o resto é 2, porque 26 - 24 = 2.
• Por subtração: para resolver a mesma divisão apresentada anteriormente, subtraímos o 4 
tantas vezes possíveis e depois contamos o número de vezesque foi subtraído. Por exemplo: 
104
Unidade II
26 - 4 = 22, 22 - 4 = 18, 18 - 4 = 14, 14 - 4 = 10, 10 - 4 = 6 e 6 - 4 = 2. Assim, é possível 
chegar ao quociente 6 porque de 26 podemos subtrair 6 vezes o 4, sendo o resto 2 porque 
26 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 = 2.
• Por consulta à tabuada: nesta técnica, procuramos na tabuada do 4 o número que multiplicado 
por 4 tenha o quociente mais próximo possível de 26 e menor que ele. Assim, o número encontrado 
é o 6, pois 4 × 6 = 24. Dessa maneira, 6 é o quociente e o resto é 2, pois 26 - 24 = 2.
Exemplo de aplicação
Você costuma usar quais dessas estratégias para resolver divisões? Por adição, por subtração ou 
consultando a tabuada?
Ao lecionar em turmas dos anos iniciais do Ensino Fundamental, você verá que muitas vezes os 
estudantes costumam utilizar essas estratégias mesmo de maneira intuitiva para resolver divisões. 
Adiante, apresentamos com detalhes o passo a passo de alguns métodos utilizados para calcular 
divisões.
Método padrão 
Neste método, escrevemos o divisor à direita do dividendo, separando-os com uma linha vertical 
e outra horizontal. Logo abaixo do divisor, registramos o quociente correspondente ao resultado que 
buscamos, sendo a resposta a essa multiplicação registrada abaixo do dividendo, e na sequência é 
realizada uma subtração para obter o resto. Observe o exemplo a seguir, que representa como é feito na 
prática esse procedimento:
Método padrão
26
- 24
2
Dividendo
Resto
4
6
Divisor
Quociente
O método padrão é eficiente para resolver divisões simples. Entretanto, de acordo com Coll e 
Teberosky (2000, p. 93), “Quando os números que temos de dividir são grandes, os procedimentos 
que consistem em adicionar, subtrair ou por tentativas são muito demorados. Nesses casos, é preciso 
conhecer outras formas de abreviar a divisão”.
Decomposição de divisões exatas
Este método envolve a decomposição de uma divisão em divisões parciais. Baseada na decomposição 
numérica, para dividir 96 : 6, por exemplo, faz-se necessário decompor o dividendo, ou seja, o número 
96 da seguinte maneira: como 96 = 48 + 48, podemos dividir 48 por 6 e depois 48 por 6 novamente, 
adicionando na sequência os dois quocientes.
105
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
= 8 + 8 = 16
48
- 48
00
6
8
48
- 48
00
6
8
Método expandido
Para calcular divisões com dividendo com números maiores que três algarismos, além de recorrer 
à decomposição numérica, este método é fundamentado em uma pergunta-chave muito importante: 
Quantas vezes cabe?
Veja o exemplo a seguir, apresentado por Coll e Teberosky (2000), que descrevem o passo a passo 
para resolver a divisão 765 : 5 por meio do método expandido:
Primeiro, calcula-se quantas vezes o 5 cabe em 700. Como cabe pelo menos 100 vezes, multiplica-se 
100 por 5, chegando a 500. Registra-se 500 abaixo do dividendo 700 e realiza-se a subtração, resultando 
em 200. Obtemos assim um resto parcial:
700
- 500
200
+ 60 + 5
1º passo
5
100
Para continuar a divisão, faz-se necessário adicionar o resto parcial ao próximo número do dividendo, 
ou seja, 200 + 60 = 260. Somente então será possível encontrar o número seguinte do quociente, por 
meio da seguinte pergunta: Quantas vezes 5 cabe em 260? Sabendo que 100 vezes 5 é igual a 500, logo 
descobrimos que cabe a metade desse valor, ou seja, 50, que é igual a 250. Subtraímos então 260 de 250, 
chegando a um novo resto parcial, ou seja, 10:
700
- 500
200
+ 60 + 5
+ 60 = 260
- 250
10
2º passo
5
100 + 50
Novamente faz-se necessário adicionar o resto parcial ao próximo número do dividendo, ou seja, 
10 + 5, que é igual a 15, para então encontrar o próximo quociente, que no caso é igual a 3, pois 
3 × 5 = 15. Sendo o resto igual a zero, chegamos ao resultado da divisão 765 : 5, que corresponde a 153:
700
- 500
200
+ 60 + 5
+ 60 = 260
- 250
10 + 5 = 15
- 15
0
3º passo
5
100 + 50 + 3
106
Unidade II
Ainda de acordo com o método expandido, também podemos representar a divisão sem decompor 
o dividendo, conforme o exemplo de Coll e Teberosky (2000, p. 95):
668
- 400
268
4
100
Quantas vezes o 4 cabe em 
668? 
Mais de 100? Mais de 200?
Estimamos que cabe 100. 
Colocamos 100 no quociente e 
multiplicamos 4 x 100 = 400. 
Colocamos o resultado embaixo 
da 668 e fazemos a subtração. 
O resultado é 268
668
- 400
268
- 240
28
 4
100
60
Quantas vezes o 4 cabe em 
268? 
Mais de 60? Mais de 70?
Estimamos que cabe 60. 
Colocamos 60 no quociente e 
multiplicamos 4 x 60 = 240. 
Colocamos o resultado embaixo 
de 268 e subtraímos. 
O resultado é 28
668
- 400
268
- 240
28
- 28
0
 4
100
60
7
Quantas vezes o 4 cabe em 28? 
Mais de 7? Mais de 8?
Estimamos que cabe 7. 
Colocamos 7 no quociente 
e multiplicamos 4 x 7 = 28. 
Colocamos o resultado embaixo 
de 28 e subtraímos. 
O resultado é 0
668
- 400
268
- 240
28
- 28
0
 4
100
60
+ 7
167
Para finalizar a divisão, 
basta adicionar todos os 
quocientes parciais, isto 
é, 100 + 60 + 7 = 167. 
Agora sabemos que 4 
cabe 167 vezes em 668
Figura 37 
 Saiba mais
Veja como resolver divisões com três algarismos a partir do vídeo:
DIVISÃO com três números na chave: matemática básica. Brasil: Gis 
com Giz Matemática, 2021. 14 min. Disponível em: https://bit.ly/3woHnLr. 
Acesso em: 1º abr. 2022.
Sem dúvida alguma, a divisão é a operação matemática que mais causa dúvidas entre os estudantes. 
Isso se justifica porque, dependendo da técnica de resolução aplicada, para resolver uma divisão 
faz-se necessário articular noções relacionadas às demais operações, ou seja, adição, subtração e 
multiplicação. Além disso, um obstáculo a mais para os estudantes se refere ao fato de as demais 
operações, principalmente quando solucionadas pelo método padrão, iniciarem a resolução da direita 
para a esquerda (unidade, dezena, centena etc.), enquanto na divisão esse procedimento se modifica, 
sendo necessário iniciar a divisão da esquerda para a direta. Assim sendo, se a divisão com números 
compostos de apenas um ou dois algarismos já é um processo complexo, imagine calcular divisões com 
dois números de vários algarismos?
 Saiba mais
Você pode ampliar os conhecimentos sobre as técnicas de resolução das 
quatro operações fundamentais a partir da leitura do livro a seguir:
SMOLE, K. S.; MUNIZ, C. A. A matemática em sala de aula: reflexões 
e propostas para os anos iniciais do Ensino Fundamental. Porto Alegre: 
Penso, 2013.
107
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
5.1.4 Significados, usos e representações dos números racionais
No item 2.1.2, em que estudamos os significados e usos dos números naturais, vimos que os números 
fazem parte do nosso dia a dia. A representação numérica está por toda parte, transmitindo diferentes 
significados e funções. Sendo assim, comumente nos deparamos com números em anúncios, cartazes, 
comprovantes, folders, rótulos, embalagens, entre outros portadores numéricos.
Exemplo de aplicação
Você já observou que no contexto social existem diferentes tipos de representações numéricas? 
Quais são elas?
De acordo com Coll e Teberosky (2000), podemos identificar várias maneiras de comunicar ideias 
relacionadas a quantidades, além daquelas diretamente associadas aos números naturais, por exemplo:
• 12:00, 15:20 e 9:05, que representam horas e frações de hora;
• R$ 20,00, R$ 3.480,50 e R$ 756,00, números que expressam valores associados ao sistema 
monetário brasileiro;
• 1/2 e 1/4 kg, números fracionários que se referem às partes da unidade de medida de massa;
• 10%, 25% e 35%, que representam porcentagem.
Essas representações numéricas são números racionais. Segundo Coll e Teberosky (2000, p. 64), 
“Números racionais são aqueles que expressam unidades e/ou partes de uma unidade. Podem ser escritos 
em forma de frações, como 1/2, 1/4 e 2/1, ou em forma decimal, como 3,10 e 4,45”.
Observa-se, portanto, que “um único número racional pode ser representado por vários símbolos. Esse 
conjunto tem duas representações distintas quesão usadas de acordo com a situação mais apropriada: 
a fracionária e a decimal” (SÃO PAULO, 2019b, p. 109). Essas representações têm finalidades distintas. 
A representação fracionária permite compreender razões, escalas e porcentagens, já a representação 
decimal, comumente utilizada na atualidade, está presente nas informações da mídia e nos negócios. 
Para compreender a origem dos números racionais, faz-se necessário compreender um conceito 
importante da matemática: a grandeza. A definição do conceito de grandeza se inicia pela distinção entre 
os pares de termos discreto e contínuo, que fazem referência a duas ações elementares da matemática: 
contar e medir (VECE, 2020). Para Brolezzi (1996, p. 1), “Discreto é aquilo que exprime objetos distintos, que 
se revela por sinais separados, que se põe à parte. Contínuo é o que está intimamente unido a outra coisa 
(ter junto, manter unido, segurar)”. Dessa maneira, conclui-se que “grandeza se refere a tudo aquilo que 
pode ser contado ou medido. Enquanto as grandezas discretas são consideradas contáveis, as grandezas 
contínuas, por não permitirem uma contagem direta/imediata, são passíveis de medida” (VECE, 2020, p. 60). 
108
Unidade II
No processo de ensino dos números racionais, o mais comum é associá-los às grandezas contínuas, 
ou seja, às situações que envolvem noções sobre medidas. Entretanto, é importante ressaltar que a 
abordagem desses números também envolve noções sobre as grandezas discretas.
Especialmente nos anos iniciais do Ensino Fundamental, período da escolarização responsável por 
introduzir o trabalho com os números racionais, o principal objetivo é que os estudantes percebam que 
em muitas situações cotidianas, os números naturais, amplamente explorados do 1º ao 5º ano, não são 
suficientes para resolver todos os problemas que surgem no dia a dia. Dessa maneira, a proposta de 
trabalho com os números racionais nesse período deve envolver os seus significados, leitura, escrita, 
comparação, ordenação, representações fracionárias e decimais de uso frequente, não sendo necessário 
adentrar em operações com números racionais, conteúdo introduzido a partir do 6º ano.
Quanto às funções e significados dos números racionais a serem trabalhadas especialmente nos 
anos iniciais do Ensino Fundamental, a literatura indica-nos quatro possibilidades, sendo elas: parte-
todo, quociente, medida e razão. Há ainda o significado de número racional como operador. Entretanto, 
pelo fato de tal ideia ser contemplada somente no Ensino Fundamental II, não iremos abordá-la aqui. 
Parte-todo
Este significado está relacionado à divisão de uma quantidade contínua ou a um conjunto discreto 
de objetos em partes de “tamanhos” ou “proporções” iguais (SÃO PAULO, 2019b). Portanto, a função 
parte-todo acontece quando um todo (contínuo ou discreto) se divide em partes iguais, representando, 
assim, a relação estabelecida entre um determinado número de partes e o número total em que o 
todo foi dividido. Por exemplo: comi dois oitavos de uma pizza, ou seja, 2/8 (dois pedaços de oito que 
representa o todo).
Pizza
2/8
Figura 38 – Representação parte-todo
Quociente
Este significado envolve a ideia de partilhar, ou seja, compor agrupamentos em partes iguais, quando, 
por exemplo, um ou alguns objetos ou alimentos precisam ser divididos em partes iguais. Isso significa 
que “conhecido o número de grupos a serem formados, o quociente representa o ‘tamanho’ de cada 
grupo” (SÃO PAULO, 2019b, p. 112). Neste caso, o número racional corresponde ao resultado da divisão, 
109
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
por exemplo, de 2 por 8, ou seja, cada criança recebe dois oitavos. Por exemplo: se uma pizza for dividida 
entre quatro crianças, cada uma irá comer, igualmente, 2/8.
Pizza
Criança 2
Criança 4
Criança 1
Criança 3
Figura 39 – Representação quociente
Exemplo de aplicação
Use a calculadora para calcular 2 : 8.
Depois, observe atentamente no visor a representação numérica do resultado.
Você acabou de descobrir outra maneira de escrever um mesmo número racional. Enquanto 2/8 se 
refere à representação fracionária, 0,25 está representado na forma decimal. 
Medida
O significado de medida do número racional está associado à representação da medida de diferentes 
grandezas, como comprimento, massa, capacidade, tempo etc. Essa noção é estabelecida a partir de um 
termo comparativo para grandezas de mesma natureza, denominado unidade de medida. Assim, por 
exemplo, podemos perceber a relação entre milímetros e centímetros, centímetros e metros, grama e 
quilograma, mililitro e litro, segundos, minutos e horas. Observa-se que a unidade de medida se refere 
ao fracionamento de um todo maior. Por isso, podemos afirmar, por exemplo, que um centímetro cabe 
cem vezes em um metro. 
Razão
Nem sempre um número racional expressa, necessariamente, a relação entras as partes ou 
agrupamentos ao todo. Em alguns casos, são usados para representar a relação entre duas quantidades 
a fim de comparar situações relativas. A noção de relatividade está atrelada a um índice comparativo, 
e não necessariamente a um número. Por exemplo: em uma caixa há duas fichas azuis e quatro fichas 
vermelhas. Se eu retirar da caixa uma ficha, sem olhar, qual é a probabilidade de que seja uma ficha 
azul? Ora, se temos no total 6 fichas e 2 delas são azuis, logo, temos a razão 2/6, ou seja, entre seis 
possibilidades, tenho duas “chances” de retirar uma ficha azul da caixa.
110
Unidade II
A clareza dos diferentes significados dos números racionais em situações de ensino por parte do 
professor é fundamental, pois esse conhecimento do conteúdo pode favorecer o desenvolvimento 
de um trabalho pautado na diversidade desses significados, não restringindo e priorizando algumas 
ideias como a relação parte-todo, que é largamente disseminada e abordada nos anos iniciais do 
Ensino Fundamental. A proposta é que todos os significados – parte-todo, quociente, medida, razão 
e operador – recebam a mesma atenção e tratamento didático, contribuindo para a familiarização e 
ampliação do repertório dos estudantes quanto aos números racionais. Nesse sentido, é importante 
ressaltar que:
 
A representação decimal dos números racionais é usada em inúmeras 
situações do cotidiano: no sistema monetário; em situações esportivas; 
em situações de avaliação com unidades decimais; em situações para 
indicar medidas. Com o advento das calculadoras e dos computadores, 
há indicações curriculares, desde os Parâmetros Curriculares Nacionais 
(1997), de focar o trabalho com os números racionais a partir das 
representações decimais, pois estas são mais próximas das vivências 
dos estudantes. Hoje, o contato com essas representações é mais 
frequente do que as representações na forma fracionária. Na vida 
cotidiana, o uso de frações limita-se a metades, terços, quartos e mais 
pela via da linguagem oral do que das representações. Para ensinar as 
representações decimais, o trabalho com medida e com instrumentos 
de medida (régua, balança, fita métrica, termômetro) é fundamental. 
Outras situações podem envolver a utilização de jornais, revistas, 
folhetos de supermercados, receitas culinárias, rótulos de produtos, 
bulas de remédio etc. É importante a realização da leitura dos números 
racionais quando estes estão representados na forma decimal, como um 
dos fatores que colaboram na compreensão do conceito desse número 
(SÃO PAULO, 2019b, p. 113).
Exemplo de aplicação
A partir de agora, fique atento(a) aos números racionais no cotidiano que circulam na esfera social 
em diferentes portadores numéricos. Procure observar a sua representação fracionária e decimal e 
identificar os seus diferentes significados a partir dos conhecimentos construídos neste item. 
 Lembrete
A unidade temática Números não se restringe ao estudo dos números 
naturais. É um tema amplo e complexo que envolve o processo de 
aprendizagem dos números naturais e racionais e também habilidades 
e procedimentosde cálculos (mental, escrito, aproximado) das quatro 
operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão) a 
partir de situações-problema. 
111
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
6 UNIDADE TEMÁTICA: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
Esta unidade temática agrega, como o próprio nome já diz, dois temas importantes: a probabilidade 
e a estatística.
A introdução da probabilidade nos currículos de matemática brasileiros se justifica pelo atendimento 
de uma demanda social. Sua relevância está pautada na influência desse importante conteúdo nas 
tomadas de decisões em problemas do cotidiano, como decisões relacionadas ao clima, investimentos, 
saúde etc. Um argumento que explicita muito bem a indispensabilidade desse conhecimento se refere ao 
raciocínio de incerteza, inerente ao pensamento probabilístico, que envolve o conceito de risco e o seu 
impacto nas tomadas de decisões diárias. Sendo assim, a probabilidade é uma maneira de interpretar, 
modelar, criar e recriar a realidade.
Paralelamente à probabilidade, diariamente temos contato com inúmeros meios de comunicação, 
por isso é muito comum depararmos com informações sistematizadas a partir de símbolos, listas, gráficos 
e tabelas. As informações estatísticas, por meio de uma linguagem própria, transmitem à população 
dados numéricos e informações de uma maneira diferenciada, organizada, ordenada e agrupada. 
Por outro lado, o vasto acesso aos dados estatísticos não é suficiente para interpretá-los e se faz 
necessário “saber compreender e interpretar as informações para podermos chegar às nossas próprias 
conclusões” (COLL; TEBEROSKY, 2000, p. 234). Essa capacidade de compreensão e interpretação, 
denominada letramento estatístico, evidencia a influência desse conhecimento para o exercício da 
cidadania e para a vida em sociedade. Afinal, o acesso a esse importante conteúdo matemático implica 
não só a compreensão de informações, mas também na maneira como nos posicionamos diante delas, 
analisando, criticando e tomando decisões pessoais.
Uma vez compreendida a relevância da probabilidade e estatística para a formação do cidadão, nos 
itens a seguir, apresentamos conceitos imprescindíveis relacionados a essas duas unidades temáticas, 
que devem ser introduzidas desde os anos iniciais do Ensino Fundamental.
Exemplo de aplicação
Reflita sobre as questões a seguir:
Em que momento do seu processo de escolarização você aprendeu probabilidade e estatística? Como 
você aprendeu os conhecimentos dessas unidades temáticas?
6.1 Ideias probabilísticas
Assim como a álgebra, a probabilidade também foi inserida recentemente nos currículos de 
matemática destinados aos anos iniciais do Ensino Fundamental. Esse tema matemático tem como 
principal desafio ensinar ideias probabilísticas a partir de aplicações práticas no cotidiano que 
contribuam para reflexões que ocorrem por meio da observação da frequência em que os eventos 
112
Unidade II
acontecem (perspectiva frequentista) e também a partir da análise e conclusões particulares sobre um 
determinado fenômeno (perspectiva subjetiva).
A probabilidade surgiu na história da humanidade por meio do conceito de acaso, muito discutido 
em situações de jogos de azar. 
 
A ideia de acaso surge na Antiguidade, com os jogos de azar e as crenças que 
existiam na época. Os povos que viviam na Mesopotâmia ou no Egito Antigo 
relacionavam a ideia do acaso com o sobrenatural. A relação do acaso com o 
sobrenatural perdurou ao longo do tempo. Os jogos de azar eram utilizados 
com objetivos de lazer, mas integravam uma dimensão mística do acaso 
(SÃO PAULO, 2019b, p. 128).
Durante muito tempo, pelo fato de envolver suposições acerca de previsões futuras, a discussão 
sobre o acaso, por ser considerado um termo místico, foi reprimida por questões religiosas. Esse fato, 
por sua vez, resultou na delonga da evolução da própria probabilidade. Sendo assim, “mesmo que 
o homem conviva com situações aleatórias durante toda a sua vida e que a noção de acaso tenha 
surgido com os jogos de azar, a Teoria das Probabilidades ocorreu bem mais tarde” (SÃO PAULO, 
2019b, p. 130).
A Teoria das Probabilidades é um modelo matemático fundamentado na ideia do acaso. Ela estuda 
fenômenos que envolvem os conceitos de incerteza, validando-os por meio de cálculos matemáticos. 
Esses fenômenos podem ser denominados como aleatórios e estocásticos não determinísticos, ou 
seja, situações que se repetidas em condições exatamente iguais produzem resultados diferenciados, 
não sendo possível determinar com precisão o seu resultado, cuja natureza é aleatória. Dessa 
maneira, a probabilidade permite o levantamento da possibilidade do que pode vir a acontecer num 
determinado evento.
Exemplo de aplicação
Pense em situações do cotidiano em que as ideias de acaso, incerteza e aleatoriedade são presentes. 
Por exemplo: não estava previsto na previsão do tempo, mas hoje choveu.
De maneira bem interessante, a probabilidade é uma unidade temática da matemática que aborda 
questões relacionadas às possibilidades, contrapondo-se à ideia de exatidão e precisão historicamente 
arraigada sobre essa área de conhecimento.
Mas, afinal, como apresentar os conceitos de acaso, incerteza e aleatoriedade nos anos iniciais do 
Ensino Fundamental?
Existem diferentes caminhos: o uso de jogos nos quais os estudantes se deparam com situações em 
que, apesar do desejo subjetivo de ganhar, não se tem a certeza de que isso poderá acontecer; sorteios 
de maneira a discutir com os estudantes sobre a probabilidade de um determinado nome, número ou 
113
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
objeto ser sorteado; previsões climáticas, analisando o clima dos dias anteriores e supondo conjecturas 
sobre a possibilidade de chuva ou sol para o dia seguinte etc.
 Saiba mais
Tenha acesso a outros exemplos de atividades probabilísticas, destinadas 
aos anos iniciais do Ensino Fundamental, na plataforma de Planos de Aula 
da Revista Nova Escola. 
Acesse https://planosdeaula.novaescola.org.br/, busque um ano 
específico do Ensino Fundamental, a disciplina Matemática e, na 
sequência, a unidade temática Probabilidade. Então, você terá acesso a 
diversos tipos de atividades de introdução, ampliação e aprofundamento 
do pensamento probabilístico.
6.2 Coleta, organização, representação e interpretação de dados estatísticos 
De acordo com Coll e Teberosky (2000, p. 235), “a Estatística é uma disciplina matemática que trata 
das formas de coletar, organizar, representar, analisar e interpretar os dados de um estudo”. 
 Observação
Você sabia que apesar de a estatística ser contemplada nos currículos 
de matemática como uma unidade temática, é uma ciência que utiliza 
teorias probabilísticas para observar, experimentar e analisar a frequência 
de ocorrência de eventos?
Sendo assim, a estatística enquanto ciência, em sua amplitude, se 
refere a um ramo da matemática, e não necessariamente a uma disciplina 
ou unidade temática dessa área de conhecimento. Podemos dizer que 
os atributos de disciplina e/ou unidade temática são decorrentes da 
matemática escolar.
Desde os tempos mais remotos, a humanidade desenvolveu diferentes tipos de registros para 
facilitar a contagem de seus pertences (animais, alimentos etc.). À medida que as quantidades foram 
aumentando, concomitantemente, surgiu a necessidade de organizá-las, dando origem a um modo 
particular de quantificar, organizar e divulgar informação denominado estatística.
114
Unidade II
 Observação
Você sabia que o termo “estatística” está relacionado à palavra “estado”?
Essa relação se justifica, pois o seu uso mais frequente veio da 
necessidade de se conhecer o número de habitantes – ou seja, o censo – e 
dos diferentes aspectos econômicos das populações. 
O trabalho com a estatística nos anos iniciais do Ensino Fundamental concentra-se no processo 
de coleta, organização e representação de dados estatísticos. Assim, diferentemente da maneira como 
esse conteúdoé abordado nos livros didáticos, restringindo a estatística apenas à leitura de gráficos 
e tabelas, a proposta é que os estudantes possam vivenciar, desde o 1º ano do Ensino Fundamental, 
situações em que seja necessário coletar informações e organizar os dados coletados representando-os 
graficamente em tabelas e gráficos, para então interpretar e compreender as informações transmitidas 
por meio da linguagem estatística.
 Observação
As descrições apresentadas a seguir sobre o ensino da estatística, 
bem como a abordagem proposta na BNCC (BRASIL, 2018), se referem à 
estatística descritiva. 
Adiante, estudaremos os aspectos conceituais e procedimentais presentes em cada uma das etapas 
de tratamento das informações.
Coleta de dados
Esta é a primeira etapa de uma pesquisa estatística. Para responder uma determinada pergunta, 
coletam-se os dados. São chamados de dados quantitativos aqueles que indicam uma quantidade do 
fato ou do objeto observado. Já outros, denominados dados qualitativos, indicam a qualidade do fato 
ou do objeto observado. 
São exemplos de dados quantitativos o número de habitantes de uma determinada cidade, estado 
ou país ou a quantidade de votos de um candidato em uma eleição. São exemplos de dados qualitativos 
a preferência de sabores de sorvete de um determinado grupo ou o gênero musical mais apreciado por 
uma determinada região do território brasileiro.
 Observação
Toda coleta de dados nasce de uma pergunta clara e objetiva cuja 
resposta seja passível de quantificação. Por exemplo: Dentre os sabores de 
gelatina, qual é o seu preferido? Limão, uva, morango ou abacaxi?
115
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Alguma vez você participou de uma pesquisa do censo?
É um tipo de pesquisa realizada para levantamento de dados em que todos os indivíduos de uma 
população-alvo são entrevistados por meio de um questionário composto de questões que investigam as 
principais características do domicílio e de seus moradores. As pesquisas anuais do censo são exemplos 
práticos de como é realizada a coleta de dados estatísticos.
 Saiba mais
Saiba mais sobre as pesquisas de censo demográfico realizadas pelo 
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) no site: 
Disponível em: https://www.ibge.gov.br/. Acesso em: 1º abr. 2022. 
Organização de dados
Após a coleta de dados, é preciso organizá-los, ordenando-os ou agrupando-os em categorias. 
Somente após essa organização é que será possível quantificá-los e representá-los em gráficos e tabelas.
A lista é uma possibilidade de organização de dados coletados. Ela é “uma forma de dispor anotações 
uma após a outra. Uma vez assim dispostas, podemos ordená-las de diferentes formas segundo o critério 
que utilizamos, por exemplo, por ordem alfabética ou numérica” (COLL; TEBEROSKY, 2000, p. 236). 
Observe o exemplo a seguir, que apresenta uma lista de respostas individuais de entrevistados à 
pergunta “Dentre os sabores de gelatina, qual é o seu preferido? Limão, uva, morango ou abacaxi?”:
Abacaxi
Abacaxi
Abacaxi
Abacaxi
Abacaxi
Limão
Limão
Limão
Limão
Morango
Morango
Morango
116
Unidade II
Morango
Morango
Morango
Morango
Uva
Uva
Uva
Uva
Uva
Uva
Uva
Uva
Note que ao organizar as respostas individuais dos entrevistados em ordem alfabética, fica mais 
fácil identificar as preferências do público-alvo pesquisado, mesmo que ainda não se tenha realizado a 
contagem dos dados quantitativos. 
A respeito da organização dos dados, é importante ressaltar que as tecnologias têm contribuído e 
muito para a evolução desse procedimento. Ferramentas e softwares reúnem em questão de segundos 
inúmeros dados.
Representação dos dados
Após a organização inicial das informações coletadas, é possível representá-las por meio de tabelas 
ou gráficos. Sobre o assunto, cabe destacar que “as tabelas organizam informações em linhas e colunas, 
enquanto os gráficos usam imagens (barras, setores, linhas ou elementos pictóricos)” (SÃO PAULO, 
2019b, p. 109).
Socialmente existem diferentes tipos de tabelas (simples e de dupla entrada) e gráficos (de barra, 
de setor, de linha ou com elementos pictóricos), utilizados para representar e comunicar informações, 
dependendo de sua natureza. Desse modo, ambas as representações, dependendo da situação, podem 
ser usadas para comunicar de maneira diferente uma mesma ou as mesmas informações.
A representação de tabelas simples ou de dupla entrada depende das questões/perguntas 
destacadas na pesquisa, ou seja, daquilo que se pretende pesquisar, bem como da distinção do 
público-alvo entrevistado. Vejamos os exemplos de tabelas a seguir, desenvolvidos a partir da lista 
apresentada anteriormente, as quais explicitam bem essa diferença.
117
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Exemplo de tabela simples:
Tabela 6 – Tabela simples dos sabores de 
gelatina preferidos dos entrevistados
Sabores de gelatina Quantidade de entrevistados que preferem
Abacaxi 5
Limão 4
Morango 7
Uva 8
Exemplo de tabela de dupla entrada:
Tabela 7 – Tabela de dupla entrada dos sabores de gelatina 
preferidos de meninos e meninas entrevistados
Sabores
 Entrevistados Abacaxi Limão Morango Uva Total
Meninos 3 1 5 3 12
Meninas 2 3 2 5 12
Total 5 4 7 8 24
Ambas as tabelas foram construídas a partir das informações da lista. Todavia, enquanto na tabela 
simples não há a distinção de meninos e meninas, considerando o total de participantes, bem como 
dos seus respectivos votos, na tabela de dupla entrada, cuja construção e leitura são mais complexas, 
é possível identificar informações que vão além dos aspectos gerais, contemplando dados específicos, 
como a quantidade de meninos e meninas que participaram da pesquisa e a preferência de cada 
público-alvo em relação aos tipos de frutas. 
Conclui-se, portanto, que o uso da tabela simples ou de dupla entrada depende das informações, 
gerais ou específicas, que serão comunicadas, ou seja, divulgadas.
Vimos que as listas e as tabelas auxiliam na organização e representação de informações muito 
diversas. Entretanto, também existem outras formas de apresentar essas mesmas informações, que 
utilizam diferentes tipos de gráficos (pictórico, de barras, de setor e de linhas). Conforme Coll e Teberosky 
(2000, p. 244), “É frequente representar a informação por meio de desenhos que fazem referência à 
variável que estamos estudando. A essa forma de representação chamamos gráfico pictórico, porque 
utiliza desenhos”. 
118
Unidade II
Observe o gráfico pictórico construído a partir da tabela simples apresentada anteriormente:
Limão
Abacaxi
Morango
Uva
Figura 40 – Gráfico pictórico simples: preferência de sabor de gelatina
Adaptada de: https://cutt.ly/sF7zB5z. Acesso em: 11 mar. 2022.
Nesse gráfico pictórico, para representar as quantidades, para cada voto de preferência, desenhamos 
uma gelatina, de acordo com o seu respectivo sabor. Note que as informações são coerentes com a 
tabela de origem.
Agora, observe um gráfico pictórico construído a partir dos dados da tabela de dupla entrada:
Morango
Morango
Limão
Limão
Abacaxi
Abacaxi
Uva
Uva
Figura 41 – Gráfico pictórico a partir da tabela de dupla entrada: preferência de sabor de gelatina
Adaptada de: https://cutt.ly/vF7xiZb; https://cutt.ly/sF7zB5z. Acesso em: 11 mar. 2022.
119
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Diferentemente do gráfico pictórico anterior, nesse gráfico, assim como na tabela de origem de dupla 
entrada, podemos realizar comparações entre as preferências de sabores de gelatina indicadas por meninos 
e meninas participantes da pesquisa e também definir qual é o sabor de gelatina preferido do público-alvo 
como um todo.
 Observação
Por apresentar uma linguagem simples e acessível às crianças, os 
gráficos pictóricos podem ser utilizados para introdução da linguagem 
estatística no 1º e 2º ano do Ensino Fundamental. Além de ler e 
interpretar gráficos desse tipo, as crianças poderão ser convidadas a 
desenharem gráficos a partirde informações concentradas em tabelas 
de simples ou de dupla entrada.
Outra forma de representação é o gráfico de barras. De acordo com Coll e Teberosky (2000, p. 245):
 
Para representar graficamente as frequências dos dados, podemos utilizar 
os gráficos de barras, também chamados diagramas de barras. Para isso, 
desenhamos uma barra ou um segmento cuja altura corresponda à 
frequência do dado que estamos representando. Em geral, os gráficos de 
barras são utilizados para indicar as variáveis qualitativas. Quando tivermos 
poucas variáveis quantitativas, também podemos utilizar o gráfico de barras. 
Nesses gráficos, o tamanho das barras deve ser proporcional à frequência, 
como nos gráficos pictóricos. Os gráficos de barras são matematicamente 
mais precisos que a representação por meio de desenhos.
A mesma pesquisa realizada sobre as preferências dos sabores de gelatina, representada anteriormente 
por meio de tabelas e de gráficos pictóricos, a partir da representação por gráficos de barras, ficaria 
conforme a ilustração a seguir:
9
Abacaxi Limão Morango
Preferência de sabor de gelatina
Uva
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Figura 42 – Gráfico de barras com o resultado total da pesquisa
120
Unidade II
MeninasMeninos
Abacaxi Limão Morango
Preferência de sabor de gelatina por público-alvo
Uva
6
5
4
3
2
1
0
Figura 43 – Gráfico de barras comparativo por público-alvo
Observe que o gráfico de barras é um tipo de representação estatística que favorece a comparação 
de quantidades. Enquanto no primeiro gráfico é possível comparar as semelhanças e diferenças entre as 
preferências de sabores de gelatina, no segundo, além de fazer mesma comparação, podemos verificar 
a relação entre as preferências de meninos e meninas. 
Se unirmos os extremos superiores desses gráficos de barras por meio de uma linha, teremos uma visão 
do comportamento (evolução ou regressão) da variável estudada. Essa forma de representação recebe o 
nome de gráfico de linha e é muito utilizada quando a variável é quantitativa, servindo principalmente 
para analisar a evolução de um fenômeno ao longo de um período. Assim, enquanto as barras facilitam 
ao leitor a visão do nível (quantidade) dos dados obtidos, a linha oferece a evolução de um nível para 
outro (de uma quantidade para outra), de forma que as barras e as linhas se complementem.
Observe os gráficos de linhas a seguir:
9
Abacaxi Limão Morango
Quantidade de entrevistados que 
preferem cada sabor de gelatina
Uva
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Figura 44 – Gráfico de linhas com o resultado total da pesquisa
121
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Abacaxi Limão Morango
Praferência de sabor de gelatina por público-alvo
Uva
6
5
4
3
2
1
0
Figura 45 – Gráfico de linhas comparativo por público-alvo
 Observação
O gráfico de linhas é pouco utilizado no contexto de identificação de 
preferências, como apresentado anteriormente. O seu uso é mais pertinente 
e comum para representação de lucros, de crescimento ou decréscimo 
populacional ou até mesmo de variações da bolsa de valores. O contexto 
deve ser considerado, porque a partir das linhas que unem as diferentes 
barras, é possível representar de forma mais rápida e eficaz a ideia de 
evolução das variáveis analisadas num determinado período.
Outro tipo de gráfico estatístico a ser ensinado nos anos iniciais do Ensino Fundamental – 
preferencialmente, a partir do 4º ano – é denominado gráfico de setores, popularmente conhecido 
como gráfico de “pizza”. Esse tipo de gráfico é usado com frequência para sistematizar informações de 
estudos com poucos elementos. Desse modo, a construção de um gráfico de setor a partir de dados 
de uma tabela de dupla entrada não é possível, diferentemente do gráfico de barras e de linhas, que são 
modelos estatísticos que permitem a comparação entre os dados qualitativos e quantitativos.
33%
29%
17%
21%
Quantidade de entrevistados que 
preferem cada sabor de gelatina
Abacaxi
Limão
Morango
Uva
Figura 46 – Gráfico de setor (pizza) com o resultado total da pesquisa
122
Unidade II
 Observação
No gráfico de setor, é muito comum o uso dos números racionais a 
partir da representação por porcentagem (%).
Sobre o ensino da estatística nos anos iniciais do Ensino Fundamental, a partir dos conceitos 
apresentados ao longo deste item, podemos concluir que além de vivenciar as etapas de coleta, 
organização, representação e interpretação de dados e informações, é imprescindível que os estudantes 
tenham acesso a uma diversidade de representações estatísticas, ou seja, diferentes tipos de listas, 
gráficos e tabelas, proposta que, por sua vez, contribui para o desenvolvimento do letramento estatístico. 
123
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
 Resumo
Nesta unidade, abordamos conceitos fundamentais relacionados às 
unidades temáticas Números e Probabilidade e Estatística.
Em relação aos Números, mediante a sua amplitude e relevância para 
outros temas matemáticos, foram contemplados aspectos relacionados 
aos números naturais, características do sistema de numeração decimal, as 
quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão) 
e também os significados dos números racionais. 
Quanto aos números naturais, vimos que eles estão presente em 
diferentes situações do cotidiano e que o seu uso não se limita 
exclusivamente à quantificação. Os números naturais exercem funções 
distintas: servem para quantificar (função cardinal), ordenar (função 
ordinal), expressar medidas (função de medir) e identificar por meio de 
códigos (função de codificar). Apesar de usarmos frequentemente os 
números no cotidiano, a escrita e a leitura numérica com compreensão 
requerem o domínio das características do sistema de numeração decimal, 
sendo elas: com apenas dez algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) é possível 
compor infinitos números; nosso sistema de numeração é posicional, pois 
dependendo da posição que o algarismo ocupa no número ele tem um 
determinado valor; tem o princípio aditivo, que envolve a composição do 
número a partir do valor posicional do algarismo – por exemplo, vinte e 
três (20 + 3 = 23); também é multiplicativo, pois de acordo com a posição 
que o algarismo ocupa no número ele será multiplicado por dez; e, por 
fim, de base dez, que envolve as trocas e transformações necessárias para 
o funcionamento do sistema. A respeito dessa importante base conceitual, 
vimos que o nosso sistema de numeração decimal é extremamente 
econômico, ocultando aspectos importantes, como o valor posicional, 
o que implica entraves para o processo de aprendizagem dos números. 
Por exemplo: falamos os nomes dos números aditivamente (quarenta e 
seis), porém escrevemos posicionalmente (46). Uma forma de explicitar 
a organização desse sistema numérico é recorrer ao quadro de valor 
posicional que estrutura a escrita numérica em classes e ordens.
No tocante às quatro operações fundamentais (adição, subtração, 
multiplicação e divisão), propusemos uma abordagem desses conteúdos 
de maneira contextualizada a partir de situações-problema do dia a dia 
e também sob a perspectiva de relação e conexão entre elas. Ressaltamos 
também ao longo das nossas explicações as implicações das características 
do sistema de numeração decimal nos mais diversos procedimentos de 
124
Unidade II
cálculos. Compreender com aprofundamento as regularidades do nosso 
sistema numérico é imprescindível para aprender e ensinar as operações 
básicas da matemática.
Acerca do campo aditivo, vimos que se refere a um campo conceitual, 
uma “família” de problemas, que envolve ideias relacionadas à adição e 
também à subtração. Enquanto operações inversas, os princípios aditivos 
e subtrativos estabelecem relações entre si. Sendo assim, como uma única 
adição ou subtração pode expressar diferentes significados, propusemos 
o trabalho com enunciados de problemas que abordam cada um deles. 
O campo aditivo envolve os seguintes tipos desituações: problemas de 
composição (ideias de juntar ou separar), problemas de transformações 
(ideias de acrescentar ou retirar), problemas de comparação (ideia de 
quantos “a mais” ou “a menos”) e composição de transformações (ideias 
sucessivas, como acrescentar, retirar e acrescentar ou retirar, acrescentar 
e acrescentar). Entendemos que a compreensão dessas ideias fundantes 
permite a aplicabilidade da adição e subtração em diferentes situações. 
A respeito dos aspectos conceituais específicos da adição, destacam-se: 
suas partes estruturais, que são compostas de parcelas e total; suas 
propriedades comutativa, associativa e algarismo zero como elemento 
neutro; e fatos fundamentais compostos de parcelas com números de 
apenas um algarismo, como possibilidade de generalização para o cálculo 
de números de grandezas maiores. Sobre a operação de subtração, vimos 
que suas partes são nomeadas como minuendo, subtraendo e diferença 
e que enquanto operação inversa da adição, as propriedades comutativa, 
associativa e zero como elemento neutro não se aplicam para a subtração. 
Em relação aos diferentes tipos de cálculos da adição e subtração (método 
padrão, expandido e por decomposição), destacamos a importância de 
revisar o vocabulário, substituindo expressões verbais muito utilizadas como 
“vai um” e “pegar emprestado”, por “vão dez” e “troca”, respectivamente, 
considerando o valor posicional do algarismo no número e as trocas e 
transformações dos valores dos algarismos que acontecem durante os 
procedimentos de cálculos aditivos e subtrativos.
Sobre o campo multiplicativo, estudamos as relações inerentes às 
operações inversas multiplicação e divisão. Para o trabalho com as ideias 
do campo multiplicativo, propusemos a abordagem de diferentes tipos de 
problemas, sendo eles: problemas de proporcionalidade (relação entre 
razões), problemas de comparação (ideia de dobro, triplo, metade, “duas 
vezes mais” etc.), problemas de configuração retangular (relações espaciais) 
e problemas de combinação (ideia de combinar elementos). As partes da 
multiplicação consistem no multiplicando, multiplicador e produto. Suas 
propriedades são: comutativa, associativa, distributiva e número um como 
elemento neutro. Os fatos fundamentais da multiplicação são denominados 
125
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
popularmente como tabuada. As partes da divisão são denominadas 
dividendo, divisor, resto e quociente, as quais têm propriedades muitos 
específicas e diferenciadas das demais operações, como: o fato de o 
quociente continuar o mesmo ao multiplicarmos o dividendo e o divisor 
por um número diferente de zero; a divisão por zero ser indefinida, e 
quando o dividendo for igual a zero o resultado da divisão também 
ser zero; todo número dividido por um ter como quociente o próprio 
número. Os procedimentos de cálculo da multiplicação e divisão envolvem 
conceitos importantes relacionados à adição e subtração. Enquanto para 
multiplicar se faz necessário compreender a calcular adições, para dividir 
além da adição, o procedimento de subtração também se faz necessário. 
Esse aspecto revela a complexidade do ensino dessas operações, sendo 
necessário abordar diferentes tipos e modelos de cálculos (modelo padrão, 
expandido e por decomposição).
No estudo dos números, avançamos para a compreensão dos números 
racionais a partir do entendimento dos seus diferentes usos e significados. 
Considerando que nem sempre um número natural é capaz de expressar 
todas as situações que envolvem grandezas contínuas (qualidades 
juntas/reunidas) e grandezas discretas (quantitativas separadas), surgem os 
números racionais como forma de representar ideias relacionadas a medida, 
frações, partes de um todo etc. Nesse sentido, o trabalho com os números 
racionais nos anos iniciais do Ensino Fundamental envolve os seguintes 
significados: parte/todo (divisão de um todo em proporções iguais), 
quociente (divisão em partes iguais, mas por agrupamentos), medida 
(representação da medida de diferentes grandezas, como comprimento, 
massa, capacidade etc.) e razão (noção de relatividade). Os números racionais 
podem ser escritos por meio da representação decimal e fracionária.
Ao final da unidade, aprofundamos nossos conhecimentos acerca da 
unidade temática Probabilidade e Estatística. Em relação à probabilidade, 
destacamos a compreensão dos conceitos de acaso, incertezas e eventos 
aleatórios que acontecem em diversas situações cotidianas. Quanto à 
estatística, aprendemos acerca das etapas que antecedem a representação 
de dados por meio de tabelas e gráficos. As etapas do estudo estatístico 
envolvem: coleta, organização, representação e interpretação de dados. 
Vimos também a diferença entre tabela simples e de dupla entrada e os 
tipos de gráficos (de barra, de linha, de setor e pictórico) que circulam 
na esfera social, bem como a pertinência do uso de cada um para cada 
situação específica. 
126
Unidade II
 Exercícios
Questão 1. Leia o texto a seguir:
Diferença entre número, número natural e algarismo
Conheça as diferenças entre os conceitos de número, número natural e algarismo
Na matemática, os conceitos de número, número natural e algarismo exercem papéis diferentes. 
Por isso, faz-se de suma importância compreender as diferenças entre eles. Veja a função de cada um: 
• Número: tem um significado mais amplo, pois envolve diferentes tipos de conjuntos numéricos. 
Por exemplo: os números naturais, números racionais, números inteiros, números negativos etc. 
• Números naturais: os números naturais se referem àqueles comumente utilizados no dia a dia. 
Eles exercem quatro funções fundamentais, sendo elas: 
—― Cardinal: função destinada a contar e representar a quantidade de elementos de uma coleção. 
Exemplos: um, dois, três, quatro, cinco...
— Ordinal: função usada para representar uma ordem, ou seja, uma ordenação hierárquica. 
Exemplo: 1º, 2º, 3º etc.
— Medida: função que envolve a representação de medidas de comprimento, massa, capacidade, 
tempo, temperatura etc. 
— Código: quando o número é utilizado para codificar. Por exemplo: código de barras, números 
de documentos pessoais etc.
• Algarismo: trata-se de símbolos numéricos utilizados para expressar qualquer número, seja ele 
natural, racional, inteiro etc. O sistema de numeração decimal tem dez algarismos principais, que 
são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Com esses algarismos, é possível escrever qualquer número.
Adaptado de: https://cutt.ly/YFWyrJS. Acesso em: 20 mar. 2022.
Com base na leitura e nos seus conhecimentos, avalie as afirmativas:
I – Número, número natural e algarismo são conceitos distintos.
II – Números naturais estão associados aos diferentes tipos de conjuntos numéricos, por exemplo, 
números inteiros e racionais. 
III – As diferentes posições dos algarismos em uma representação numérica não afetam a escrita do 
número natural.
127
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
É correto o que se afirma em:
A) I e II, apenas.
B) II, apenas.
C) III, apenas.
D) I e III, apenas.
E) I, II e III.
Resposta correta: alternativa D.
Análise das afirmativas
I – Afirmativa correta.
Justificativa: número, número natural e algarismo são conceitos distintos. Enquanto os algarismos 
são utilizados para representar diferentes tipos de números, o conceito de número, no seu sentido mais 
amplo, envolve diversos conjuntos numéricos, enquanto o número natural se refere às funções cardinal, 
ordinal, de medida e código. 
II – Afirmativa incorreta.
Justificativa: os números naturais possuem a função cardinal, ordinal, de medida e código. Número 
é o termo utilizado para representar a amplitude de diferentes tipos de conjuntos numéricos, como: 
números naturais, números racionais, números positivos e negativos, números reais etc. 
III – Afirmativa correta.
Justificativa: considerando que algarismos são símbolos utilizados para representar qualquer 
tipo de números, a posição que o algarismo ocupa interferena representação do número natural. 
Por exemplo: 23 laranjas é diferente de 32 laranjas. Neste caso, o número natural, em sua função 
cardinal, necessita ser representado corretamente, conforme a quantidade exata de laranjas, ou seja, 
23 laranjas. 
128
Unidade II
Questão 2. No que se refere à unidade temática Números, avalie as asserções a seguir e a relação 
proposta entre elas:
I – Os conteúdos abordados na unidade temática Números visam fazer com que os estudantes do 
Ensino Fundamental I desenvolvam a capacidade de contar, quantificar, julgar e interpretar argumentos 
baseados em quantidades e tenham noções de aproximação, proporcionalidade, equivalência e ordem.
porque
II – No Ensino Fundamental I, os conteúdos da unidade Números restringem-se à abordagem dos 
números naturais.
Assinale a alternativa correta:
A) As asserções I e II são verdadeiras, e a asserção I justifica a II.
B) As asserções I e II são verdadeiras, e a asserção I não justifica a II.
C) As asserções I e II são falsas.
D) A asserção I é verdadeira, e a asserção II é falsa.
E) A asserção I é falsa, e a asserção II é verdadeira.
Resposta correta: alternativa D.
Análise da questão
A leitura do texto a seguir permite que concluamos que a asserção I é verdadeira e que a 
asserção II é falsa. 
Números
A unidade temática Números tem como principal objetivo desenvolver o pensamento numérico 
relacionado à capacidade de contar, quantificar, julgar e interpretar argumentos baseados em 
quantidades. Também estão presentes nesse eixo as noções de aproximação, proporcionalidade, 
equivalência e ordem.
No Fundamental I
• Os alunos devem tornar-se capazes de resolver problemas envolvendo as operações básicas com 
números naturais e racionais, além de entenderem os significados dessas operações. A BNCC prevê 
que, nesse processo, os alunos também aprendam a argumentar, justificando os procedimentos 
utilizados para a resolução de uma dada questão, e a avaliar se os resultados encontrados deram 
conta do problema proposto.
129
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
• Ao realizar os cálculos, espera-se que os estudantes aprendam a lançar mão de diferentes 
estratégias para obter o resultado desejado, seja por estimativa e cálculo mental, seja por meio da 
aplicação de algoritmos (conta armada, por exemplo) ou mesmo pelo uso de calculadoras.
• Também é fundamental preparar os alunos para ler, escrever e ordenar números naturais e 
racionais positivos, de modo que sejam capazes de identificar e compreender as características 
inerentes a cada sistema, como o valor posicional dos algarismos à esquerda ou à direita da 
unidade, por exemplo.
Disponível em: https://cutt.ly/sFWQ76L. Acesso em: 18 mar. 2022 (com adaptações).