Vamos resolver passo a passo. Dado: Hamiltoniano de um oscilador harmônico unidimensional clássico: \[ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \] a) Calcular a função de partição \( z_1 \) para um oscilador e para \( N \) osciladores. --- Passo 1: Função de partição para um oscilador clássico A função de partição canônica para um sistema com Hamiltoniano \( H \) é dada por: \[ z_1 = \frac{1}{h} \int_{-\infty}^{\infty} dp \int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{-\beta H(p,x)} \] onde - \( \beta = \frac{1}{k_B T} \) (inverso da temperatura vezes constante de Boltzmann) - \( h \) é a constante de Planck para normalização da fase (em sistemas clássicos, pode ser usada para tornar a integral adimensional) Substituindo \( H \): \[ z_1 = \frac{1}{h} \int_{-\infty}^{\infty} dp \, e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} \int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{-\beta \frac{1}{2} m \omega^2 x^2} \] --- Passo 2: Resolver as integrais gaussianas Sabemos que: \[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \] Assim: \[ \int_{-\infty}^{\infty} dp \, e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} = \sqrt{2 \pi m / \beta} \] \[ \int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{-\beta \frac{1}{2} m \omega^2 x^2} = \sqrt{2 \pi / (\beta m \omega^2)} \] --- Passo 3: Multiplicando as integrais \[ z_1 = \frac{1}{h} \times \sqrt{2 \pi m / \beta} \times \sqrt{2 \pi / (\beta m \omega^2)} = \frac{1}{h} \times \frac{2 \pi}{\beta \omega} \] Simplificando: \[ z_1 = \frac{2 \pi}{h \beta \omega} = \frac{2 \pi k_B T}{h \omega} \] --- Passo 4: Função de partição para N osciladores independentes Como os osciladores são independentes, a função de partição total é o produto das funções de partição individuais: \[ Z_N = z_1^N = \left( \frac{2 \pi k_B T}{h \omega} \right)^N \] --- Resposta final: \[ \boxed{ \begin{cases} z_1 = \frac{2 \pi k_B T}{h \omega} \\ Z_N = \left( \frac{2 \pi k_B T}{h \omega} \right)^N \end{cases} } \] Se precisar de mais ajuda, é só chamar!