Vamos responder cada questão de forma direta e objetiva: Questão 1: Matriz A = \(\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 7 \end{bmatrix}\) Determinante = \(2 \times 7 - 5 \times 1 = 14 - 5 = 9 \neq 0\), logo a inversa existe. A inversa é \(\frac{1}{9} \begin{bmatrix} 7 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\). Alternativa correta: B --- Questão 2: Operador linear não inversível tem matriz com determinante zero. Vamos calcular o determinante das matrizes associadas: A) \(\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}\) → det = \(2 \times 5 - 0 \times 1 = 10 \neq 0\) B) \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 8 \end{bmatrix}\) → det = \(1 \times 8 - 4 \times 2 = 8 - 8 = 0\) C) \(\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\) → det = \(2 \times 5 - 3 \times 1 = 10 - 3 = 7 \neq 0\) D) \(\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 10 & 1 \end{bmatrix}\) → det = \(3 \times 1 - 10 \times (-1) = 3 + 10 = 13 \neq 0\) E) \(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\) → det = \(2 \times 5 - 2 \times 0 = 10 \neq 0\) Alternativa correta: B --- Questão 3: - I: Matrizes formadas pelos vetores das bases admitem inversa → Verdadeiro (bases formam matrizes invertíveis). - II: Matrizes formadas pelos vetores das bases são quadradas → Verdadeiro (bases de espaço vetorial de dimensão 2 formam matrizes 2x2). - III: Matrizes formadas pelos vetores das bases possuem determinante zero → Falso (determinante diferente de zero para bases). Alternativa correta: D (Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras) --- Questão 4: Analisando as alternativas: A) Nulidade é a dimensão do núcleo (ker), e posto é a dimensão da imagem (Im). A alternativa inverte os conceitos → Falsa. B) Im(T) é o conjunto de vetores w para os quais existe v com T(v) = 0? Isso define o núcleo, não a imagem → Falsa. C) T é injetora se, e somente se, ker T = {0}, não ker T = Im(T) → Falsa. D) Teorema da dimensão: dim ker(T) + dim Im(T) = dim V, não subtração → Falsa. E) ker T é subespaço de V → Verdadeira. Alternativa correta: E --- Questão 5: Operador: \(T(x,y) = (a x - y, 2x - 2y)\) Matriz: \(\begin{bmatrix} a & -1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}\) Determinante: \(a \times (-2) - (-1) \times 2 = -2a + 2 = 2 - 2a\) Para ser inversível, det ≠ 0 → \(2 - 2a \neq 0 \Rightarrow a \neq 1\) Alternativa correta: B --- Questão 6: Operador: \(T(x,y) = (-3x + 2y, m x + 2 y)\) Matriz: \(\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ m & 2 \end{bmatrix}\) Determinante: \(-3 \times 2 - m \times 2 = -6 - 2m\) Para ser inversível, det ≠ 0 → \(-6 - 2m \neq 0 \Rightarrow -2m \neq 6 \Rightarrow m \neq -3\) Nenhuma alternativa menciona \(m \neq -3\), mas a alternativa mais próxima é: A) \(m \neq 3\) (não é correto) As outras não correspondem. Como a questão pede o valor para ser inversível, o correto é \(m \neq -3\), que não está listado. Se considerarmos erro de sinal, a alternativa mais próxima é: A (m ≠ 3), mas tecnicamente o correto é \(m \neq -3\). --- Resumo das respostas corretas: 1) B 2) B 3) D 4) E 5) B 6) A (com ressalva)