Vamos analisar passo a passo as afirmativas e a questão sobre a matriz: 1. Transformação linear mantém adição e multiplicação por escalar: Verdadeiro. Por definição, uma transformação linear \( T: V \to W \) satisfaz: - \( T(u + v) = T(u) + T(v) \) para todos \( u, v \in V \) - \( T(cu) = cT(u) \) para todo escalar \( c \) e vetor \( u \in V \) 2. Transformação \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) dada por \( T(x,y) = (x + 4y, -x) \) é linear: Vamos verificar: - Adição: \( T((x_1,y_1) + (x_2,y_2)) = T(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = ((x_1 + x_2) + 4(y_1 + y_2), -(x_1 + x_2)) \) \( = (x_1 + 4y_1, -x_1) + (x_2 + 4y_2, -x_2) = T(x_1,y_1) + T(x_2,y_2) \) - Multiplicação por escalar: \( T(c(x,y)) = T(cx, cy) = (cx + 4cy, -cx) = c(x + 4y, -x) = cT(x,y) \) Portanto, é transformação linear. 3. Se \( T: V \to W \) é linear, então \( T(0) = 0 \): Verdadeiro. A imagem do vetor nulo é o vetor nulo. 4. Matriz como tabela \( m \times n \) usada para sistemas e transformações: Verdadeiro. Matrizes representam transformações lineares e sistemas lineares. 5. Determinante da transposta da matriz \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \): - A transposta \( A^T = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \) - Determinante de \( A^T \): \( \det(A^T) = (-1)(3) - (2)(0) = -3 \) Lembrando que \( \det(A^T) = \det(A) \), então o determinante é \(-3\). Conclusão: Todas as afirmativas estão corretas, e o determinante da transposta da matriz \( A \) é \(-3\).