Vamos analisar o problema passo a passo: 1. A pequena esfera de massa m rola sem deslizar dentro de um hemisfério de raio R, partindo do repouso do ponto na altura do centro do hemisfério. 2. No ponto mais baixo da trajetória, queremos saber a força que a esfera exerce sobre o hemisfério. --- Passo 1: Energia no ponto inicial e no ponto mais baixo - No ponto inicial (altura h = R), a esfera está em repouso, então energia potencial é \( E_p = mgR \), energia cinética \( E_c = 0 \). - No ponto mais baixo (altura zero), a esfera tem energia cinética translacional e rotacional. --- Passo 2: Energia cinética da esfera rolando A esfera rola sem deslizar, então: - Energia cinética total: \( E_c = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 \) - Para uma esfera sólida, \( I = \frac{2}{5} m r^2 \) - Como rola sem deslizar, \( v = \omega r \Rightarrow \omega = \frac{v}{r} \) Logo, \[ E_c = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} m r^2 \cdot \left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{5} m v^2 = \frac{7}{10} m v^2 \] --- Passo 3: Conservação da energia Energia inicial = energia final \[ mgR = \frac{7}{10} m v^2 \Rightarrow v^2 = \frac{10}{7} g R \] --- Passo 4: Força que a esfera exerce no hemisfério no ponto mais baixo No ponto mais baixo, a esfera está fazendo uma curva, então a força normal \( N \) que o hemisfério exerce na esfera é maior que o peso. Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial (para cima): \[ N - mg = m \frac{v^2}{R} \] Queremos a força que a esfera exerce no hemisfério, que é a força normal \( N \) (ação e reação). Logo, \[ N = mg + m \frac{v^2}{R} = mg + m \frac{10}{7} g = mg \left(1 + \frac{10}{7}\right) = mg \cdot \frac{17}{7} \] --- Resposta final: A força que a pequena esfera exerce sobre o hemisfério no ponto mais baixo é: \[ \boxed{F = N = \frac{17}{7} mg} \]