Vamos resolver passo a passo. Dados: - Massa da esfera: \( m \) - Raio da esfera: \( r \) - Raio do hemisfério: \( R \) - A esfera rola sem deslizar, partindo do repouso na altura do centro do hemisfério. --- ### 1. Energia potencial inicial A esfera parte do repouso na altura do centro do hemisfério, que está a uma altura \( h = R \) do ponto mais baixo. Energia potencial inicial: \[ E_p = m g h = m g R \] --- ### 2. Energia cinética no ponto mais baixo No ponto mais baixo, toda a energia potencial foi convertida em energia cinética total \( E_c \), que é a soma da energia cinética de translação do centro de massa e da energia cinética de rotação da esfera. \[ E_c = E_{\text{trans}} + E_{\text{rot}} \] --- ### 3. Energia cinética de translação \[ E_{\text{trans}} = \frac{1}{2} m v^2 \] --- ### 4. Energia cinética de rotação Para uma esfera sólida, o momento de inércia em relação ao centro de massa é: \[ I = \frac{2}{5} m r^2 \] Como a esfera rola sem deslizar, a velocidade angular \(\omega\) está relacionada à velocidade do centro de massa \(v\) por: \[ \omega = \frac{v}{r} \] Logo, \[ E_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} m r^2 \times \left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{1}{5} m v^2 \] --- ### 5. Conservação da energia \[ m g R = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{5} m v^2 = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right) m v^2 = \frac{7}{10} m v^2 \] Isolando \(v^2\): \[ v^2 = \frac{10}{7} g R \] --- ### 6. Energia cinética total no ponto mais baixo \[ E_c = m g R \] --- ### 7. Fração da energia cinética devido à rotação e à translação - Energia de translação: \[ E_{\text{trans}} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \times \frac{10}{7} g R = \frac{5}{7} m g R \] - Energia de rotação: \[ E_{\text{rot}} = \frac{1}{5} m v^2 = \frac{1}{5} m \times \frac{10}{7} g R = \frac{2}{7} m g R \] --- ### Resposta final: - Energia cinética total no ponto mais baixo: \[ E_c = m g R \] - Fração da energia cinética devido à translação: \[ \frac{E_{\text{trans}}}{E_c} = \frac{5}{7} \approx 71,4\% \] - Fração da energia cinética devido à rotação: \[ \frac{E_{\text{rot}}}{E_c} = \frac{2}{7} \approx 28,6\% \] --- Se precisar, posso ajudar com a próxima parte do problema!