Para encontrar o resto da divisão do número 6^2023 por 7, podemos usar a propriedade da aritmética modular conhecida como o teorema de Fermat. O teore

Question

Para encontrar o resto da divisão do número 6^2023 por 7, podemos usar a propriedade da aritmética modular conhecida como o teorema de Fermat. O teorema de Fermat estabelece que, para qualquer número inteiro a e um número primo p, a elevado a (p-1) é congruente a 1 (mod p). Em outras palavras, se escolhermos p = 7 e a = 6, temos 6^(7-1) ≡ 1 (mod 7). A partir dessa ideia, é possível determinar o resto da divisão usando apenas as propriedades desenvolvidas de congruência. Sendo assim, determine qual o resto de 3^33777 + 7^77333 por 5? A ) 6 B ) 1 C ) 0 D ) 2

Ed · Answer

Para resolver a questão, precisamos calcular o resto da divisão de $3^{33777} + 7^{77333}$ por 5.

**Passo 1: Calcular $3^{33777} \mod 5$**

Usamos a propriedade de que $3^4 \equiv 1 \mod 5$ (pelo Teorema de Fermat, já que 5 é primo). Assim, precisamos encontrar $33777 \mod 4$:

$$
33777 \div 4 = 8444 \quad \text{(quociente)}
$$
$$
33777 - (8444 \times 4) = 1 \quad \text{(resto)}
$$

Portanto, $33777 \mod 4 = 1$. Assim, temos:

$$
3^{33777} \equiv 3^1 \equiv 3 \mod 5
$$

**Passo 2: Calcular $7^{77333} \mod 5$**

Note que $7 \equiv 2 \mod 5$. Então, precisamos calcular $2^{77333} \mod 5$. Novamente, usando o Teorema de Fermat, sabemos que $2^4 \equiv 1 \mod 5$. Agora, precisamos encontrar $77333 \mod 4$:

$$
77333 \div 4 = 19333 \quad \text{(quociente)}
$$
$$
77333 - (19333 \times 4) = 1 \quad \text{(resto)}
$$

Portanto, $77333 \mod 4 = 1$. Assim, temos:

$$
7^{77333} \equiv 2^{77333} \equiv 2^1 \equiv 2 \mod 5
$$

**Passo 3: Somar os resultados**

Agora, somamos os resultados:

$$
3^{33777} + 7^{77333} \equiv 3 + 2 \equiv 5 \mod 5
$$

O resto da divisão de $3^{33777} + 7^{77333}$ por 5 é 0.

Portanto, a alternativa correta é: **C) 0**.

Matemática

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