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Uma empresa está analisando a função de lucro projetado para um novo produto, modelada pela função quadrática f (x )=2x2−8x+6, onde x representa o número de unidades vendidas, e f (x ) o lucro em milhares de reais. O gráfico dessa função é uma parábola, e o ponto de vértice indica o número de unidades que maximiza ou minimiza o lucro, dependendo da concavidade da parábola. Para os gestores tomarem a decisão correta sobre a quantidade de unidades a serem produzidas, é essencial determinar as coordenadas do vértice dessa parábola. Esse ponto não só informa a quantidade ideal de unidades a ser produzida como também o lucro correspondente.
Sobre a situação descrita, assinale a alternativa que apresenta as coordenadas do vértice desta parábola.
a. x v=2, y v=−10
b. x v=−2, y v=6
c. x v=3, y v=0
d. x v=1, y v=2
e. x v=2, y v=−2

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Para encontrar as coordenadas do vértice da parábola dada pela função quadrática \( f(x) = 2x^2 - 8x + 6 \), podemos usar a fórmula do vértice, que é dada por: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] onde \( a \) e \( b \) são os coeficientes da função quadrática \( ax^2 + bx + c \). No seu caso: - \( a = 2 \) - \( b = -8 \) Substituindo na fórmula: \[ x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \] Agora, para encontrar \( y_v \), substituímos \( x_v \) na função \( f(x) \): \[ f(2) = 2(2^2) - 8(2) + 6 \] \[ = 2(4) - 16 + 6 \] \[ = 8 - 16 + 6 \] \[ = -2 \] Portanto, as coordenadas do vértice são \( (x_v, y_v) = (2, -2) \). A alternativa correta é: e) \( x_v = 2, y_v = -2 \).

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Uma equipe de engenheiros está analisando o comportamento de uma ponte suspensa submetida a diferentes cargas. Para modelar a deformação da ponte em função da carga aplicada, os engenheiros utilizam uma função quadrática do tipo f (x ) = ax 2+ bx + c . O sinal do coeficiente a determina se a deformação da ponte será para cima ou para baixo o que é crucial para a segurança estrutural.
Com relação a este contexto e sobre o conteúdo estudado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. O gráfico de uma função quadrática f (x ) = ax 2+ bx + c com a> 0 é uma parábola cujo vértice representará um ponto de mínimo da função.
II. O sinal do coeficiente a determina a concavidade da parábola, e, para a> 0 , a parábola se abre para cima, de forma que todos os valores de f (x ) fora do vértice serão maiores que o valor mínimo da função.
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
b. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
c. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
d. As asserções I e II são falsas.
e. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.

Uma empresa de tecnologia analisa a rentabilidade mensal de um de seus produtos utilizando uma função de 1° grau. A função que modela a receita líquida f (x ) da empresa em milhares de reais, com base no número de unidades vendidas x , é dada por f (x )=2x−8. A interpretação gráfica dessa função é representada por uma reta no plano cartesiano, onde x representa o número de unidades vendidas e f (x ) a receita líquida. Para uma análise mais detalhada, é necessário determinar os pontos exatos onde essa reta cruza os eixos x e y , que indicam, respectivamente, o ponto em que a receita líquida se torna nula e o valor da receita quando nenhuma unidade é vendida.
Sobre a situação descrita, assinale a alternativa que apresenta os pontos de cruzamento do eixo x e y da reta descrita.
a. A reta cruza o eixo x no ponto (8,0) e o eixo y no ponto (0,-8).
b. A reta cruza o eixo x no ponto (−4,0) e o eixo y no ponto (0,−8).
c. A reta cruza o eixo x no ponto (4,0) e o eixo y no ponto (0,8).
d. A reta cruza o eixo x no ponto (4,0) e o eixo y no ponto (0,4).
e. A reta cruza o eixo x no ponto (4,0) e o eixo y no ponto (0,−8).

Uma empresa de tecnologia está analisando o lucro L (x ) em função do número de unidades x vendidas de um novo dispositivo eletrônico. A função que modela o lucro é dada por L (x )=−5x2+50x−80, onde x representa o número de unidades vendidas, e L (x ) é o lucro em milhares de reais. Como essa é uma função quadrática com coeficiente a=−5, sabemos que o gráfico é uma parábola que se abre para baixo, indicando que a função possui um valor máximo. Esse valor máximo representa o maior lucro possível que a empresa pode obter com as vendas do dispositivo.
Sobre a situação descrita, assinale a alternativa que apresenta o valor máximo de L (x ) :
a. O valor máximo é de 15 mil reais.
b. O valor máximo é de 45 mil reais.
c. O valor máximo é de 60 mil reais.
d. O valor máximo é de 150 mil reais.
e. O valor máximo é de 10 mil reais.

Leia o trecho a seguir: A função polinomial de 1º grau é uma das funções mais simples que existem. Sua forma geral é dada por f (x )=ax+b , onde a e b são constantes. O valor de a é o coeficiente angular, enquanto b é o coeficiente linear, que determina o ponto de interseção da reta com o(a) [preencher 1]. Além disso, a raiz da função, ou seja, o valor de x para o qual f (x )=0, pode ser encontrado resolvendo-se a equação ax+b=0, onde a raiz será x = [preencher 2]. Graficamente, essa função é sempre representada por uma [preencher 3].
Os termos [preencher 1], [preencher 2] e [preencher 3] são corretamente substituídos por:
a. 1) eixo x; 2) −b/a; 3) linha curva.
b. 1) eixo y; 2) −b/a; 3) círculo.
c. 1) ponto x = 0; 2) b; 3) linha reta.
d. 1) eixo y; 2) −b/a; 3) reta.
e. 1) origem; 2) b/a; 3) parábola.

Em matemática, as funções são classificadas de acordo com a relação que estabelecem entre os elementos de seus domínios e contradomínios. Funções injetoras, sobrejetoras, e bijetoras possuem características específicas que determinam como os elementos do domínio se correspondem com os elementos do contradomínio. Sobre as classificações e propriedades das funções, assinale a alternativa que contém uma possível definição de função injetora. a. Uma função é injetora se seu domínio for diferente de seu contradomínio. b. Uma função é injetora se cada elemento de seu contradomínio é atingido por pelo menos um elemento de seu domínio. c. Uma função é injetora se cada elemento de seu domínio tem uma mesma imagem no contradomínio. d. Uma função é injetora se sua imagem abrange todo o seu contradomínio, sem deixar nenhum elemento de fora. e. Uma função é injetora se diferentes elementos de seu domínio são mapeados em diferentes elementos de seu contradomínio.

As equações de segundo grau, ou quadráticas, são equações polinomiais de grau 2 na forma ax 2+ bx + c = 0, onde a , b e c são coeficientes reais e x é a variável. O discriminante Δ=b2−4ac determina não apenas o número de soluções reais da equação, mas também como o gráfico da função associada, y = ax 2+ bx + c , interage com o eixo x.
Diante do apresentado, assinale a alternativa que apresenta a relação entre o discriminante de uma equação de segundo grau e o comportamento do gráfico da função quadrática em relação ao eixo x.
a. Se o discriminante de uma equação de segundo grau é negativo, o gráfico da função associada toca o eixo x em exatamente um ponto.
b. Se o discriminante de uma equação de segundo grau é zero, o gráfico da função associada toca o eixo x em dois pontos distintos.
c. Se o discriminante de uma equação de segundo grau é zero, o gráfico da função associada não toca o eixo x.
d. Se o discriminante de uma equação de segundo grau é positivo, o gráfico da função associada toca o eixo x em dois pontos distintos.
e. Se o discriminante de uma equação de segundo grau é positivo, o gráfico da função associada não toca o eixo x.