Para resolver a primeira pergunta sobre a probabilidade de um aluno acertar exatamente cinco questões em um teste de matemática com 10 questões, onde cada questão tem 4 alternativas e apenas uma correta, podemos usar a fórmula da distribuição binomial. A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de tentativas (neste caso, 10), - \( k \) é o número de sucessos desejados (neste caso, 5), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (1/4, já que há 4 alternativas), - \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial. Substituindo os valores: - \( n = 10 \) - \( k = 5 \) - \( p = 1/4 \) Calculando: \[ P(X = 5) = \binom{10}{5} \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^{5} \] Calculando o coeficiente binomial \( \binom{10}{5} = 252 \). Agora, substituindo: \[ P(X = 5) = 252 \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^{5} \] \[ P(X = 5) = 252 \cdot \frac{1}{1024} \cdot \frac{243}{1024} \] \[ P(X = 5) = 252 \cdot \frac{243}{1024^2} \] Calculando isso, você encontrará que a probabilidade é aproximadamente 0,078 (ou 7,8%). Portanto, a alternativa correta é: b. 7,10%.