Dado 𝑛 ∈ ℕ, considere a função 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑥𝑛 . Analise as derivadas 𝑓 subscript 1 prime space left parenthesis 𝑥 right parenthesis space comm...
Dado ? ∈ ℕ, considere a função ??(?) = ?? . Analise as derivadas ? subscript 1 prime space left parenthesis ? right parenthesis space comma space ? subscript 2 space prime prime left parenthesis ? right parenthesis space space comma space ? subscript 3 space prime prime prime left parenthesis ? right parenthesis space space e space ? subscript 4 space prime prime prime prime left parenthesis ? right parenthesise determine uma expressão para a derivada de ordem ? de ??(?), a qual é denotada por ??(?) (?): a. f subscript n superscript left parenthesis n right parenthesis end superscript left parenthesis x right parenthesis equals n factorial x b. f subscript n superscript left parenthesis n right parenthesis end superscript left parenthesis x right parenthesis equals n c. f subscript n superscript left parenthesis n right parenthesis end superscript left parenthesis x right parenthesis equals n factorial d. f subscript n superscript left parenthesis n right parenthesis end superscript left parenthesis x right parenthesis equals n x to the power of n minus 1 end exponent e. f subscript n
Respostas
Ed 
há 4 semanas
Para determinar a derivada de ordem \( n \) da função \( f_n(x) = x^n \), precisamos aplicar a regra de derivação sucessiva. 1. A primeira derivada de \( f_n(x) \) é \( f_n'(x) = n x^{n-1} \). 2. A segunda derivada é \( f_n''(x) = n(n-1)x^{n-2} \). 3. A terceira derivada é \( f_n'''(x) = n(n-1)(n-2)x^{n-3} \). 4. Continuando esse processo, a derivada de ordem \( n \) é dada por \( f_n^{(n)}(x) = n! \) (fatorial de \( n \)), pois todos os termos de \( x \) se anulam. Portanto, a expressão correta para a derivada de ordem \( n \) de \( f_n(x) \) é: c) \( f_n^{(n)}(x) = n! \)
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