Para resolver essa questão, precisamos considerar a equação da onda unidimensional e as condições de contorno e iniciais dadas. A equação da onda unidimensional é: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \] Com as condições de contorno \(u(0,t) = 0\) e \(u(\pi,t) = 0\), sabemos que a solução será uma combinação de senos, pois as condições de contorno indicam que a corda está fixa nas extremidades. Os autovalores para uma corda fixa nas extremidades são dados por: \[ \lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 \] Como \(L = \pi\), temos: \[ \lambda_n = n^2 \] onde \(n\) é um número inteiro positivo. Agora, analisando as alternativas: a. A solução geral é uma combinação de senos e cossenos, e os autovalores são dados por \(\lambda_n = n^2\), onde \(n\) é um número inteiro positivo. (Correta, pois a solução é uma combinação de senos e os autovalores são \(n^2\).) b. A solução geral é uma combinação de senos e cossenos, mas os autovalores são dados por \(\lambda_n = \frac{n^2}{2}\), onde \(n\) é um número inteiro positivo. (Incorreta, os autovalores não são \(\frac{n^2}{2}\).) c. A solução geral é uma combinação de senos e cossenos, e os autovalores são dados por \(\lambda_n = 2n^2\), onde \(n\) é um número inteiro positivo. (Incorreta, os autovalores não são \(2n^2\).) d. A solução geral é uma combinação de exponenciais, e os autovalores são dados por \(\lambda_n = \frac{n^2}{2}\), onde \(n\) é um número inteiro positivo. (Incorreta, a solução não é uma combinação de exponenciais e os autovalores estão errados.) e. A solução geral é uma combinação de exponenciais, e os autovalores são dados por \(\lambda_n = n^2\), onde \(n\) é um número inteiro positivo. (Incorreta, a solução não é uma combinação de exponenciais.) Portanto, a alternativa correta é: a. A solução geral é uma combinação de senos e cossenos, e os autovalores são dados por \(\lambda_n = n^2\), onde \(n\) é um número inteiro positivo.