Considere o seguinte conjunto de dados com cinco pontos: (1, 52); (2, 5); (4, -5), (5, - 40) e (7, 10). Ao empregar o método de Lagrange para interpolação sobre todos os pontos, o valor interpolado em x = 3 é igual a

Question

Considere o seguinte conjunto de dados com cinco pontos: (1, 52); (2, 5); (4, -5), (5, - 40) e (7, 10). Ao empregar o método de Lagrange para inter...

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Para encontrar o valor interpolado em $ x = 3 $ usando o método de Lagrange, você deve usar a fórmula de interpolação de Lagrange:

$$
P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot L_i(x)
$$

onde $ L_i(x) $ é dado por:

$$
L_i(x) = \prod_{\substack{0 \leq j \leq n \ j \neq i}} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}
$$

Para os pontos dados:

- $ (1, 52) $
- $ (2, 5) $
- $ (4, -5) $
- $ (5, -40) $
- $ (7, 10) $

Vamos calcular $ P(3) $:

1. **Calcule $ L_0(3) $** para $ (1, 52) $:
   $$
   L_0(3) = \frac{(3-2)(3-4)(3-5)(3-7)}{(1-2)(1-4)(1-5)(1-7)} = \frac{(1)(-1)(-2)(-4)}{(-1)(-3)(-4)(-6)} = \frac{8}{72} = \frac{1}{9}
   $$

2. **Calcule $ L_1(3) $** para $ (2, 5) $:
   $$
   L_1(3) = \frac{(3-1)(3-4)(3-5)(3-7)}{(2-1)(2-4)(2-5)(2-7)} = \frac{(2)(-1)(-2)(-4)}{(1)(-2)(-3)(-5)} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}
   $$

3. **Calcule $ L_2(3) $** para $ (4, -5) $:
   $$
   L_2(3) = \frac{(3-1)(3-2)(3-5)(3-7)}{(4-1)(4-2)(4-5)(4-7)} = \frac{(2)(1)(-2)(-4)}{(3)(2)(-1)(-3)} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}
   $$

4. **Calcule $ L_3(3) $** para $ (5, -40) $:
   $$
   L_3(3) = \frac{(3-1)(3-2)(3-4)(3-7)}{(5-1)(5-2)(5-4)(5-7)} = \frac{(2)(1)(-1)(-4)}{(4)(3)(1)(-2)} = \frac{8}{-24} = -\frac{1}{3}
   $$

5. **Calcule $ L_4(3) $** para $ (7, 10) $:
   $$
   L_4(3) = \frac{(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)}{(7-1)(7-2)(7-4)(7-5)} = \frac{(2)(1)(-1)(-2)}{(6)(5)(3)(2)} = \frac{4}{180} = \frac{1}{45}
   $$

Agora, substitua os valores de $ y_i $ e $ L_i(3) $ na fórmula de Lagrange:

$$
P(3) = 52 \cdot \frac{1}{9} + 5 \cdot \frac{8}{15} + (-5) \cdot \frac{8}{9} + (-40) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 10 \cdot \frac{1}{45}
$$

Calculando cada termo:

1. $ 52 \cdot \frac{1}{9} = \frac{52}{9} $
2. $ 5 \cdot \frac{8}{15} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3} $
3. $ -5 \cdot \frac{8}{9} = -\frac{40}{9} $
4. $ -40 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{40}{3} $
5. $ 10 \cdot \frac{1}{45} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9} $

Agora, somando tudo:

$$
P(3) = \frac{52}{9} + \frac{24}{9} - \frac{40}{9} + \frac{120}{9} + \frac{2}{9} = \frac{52 + 24 - 40 + 120 + 2}{9} = \frac{158}{9}
$$

Portanto, o valor interpolado em $ x = 3 $ é:

$$
P(3) \approx 17,56
$$

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