Interpolação e Ajuste de Curvas

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UFMG.ICEx.DCC
Cálculo Numérico
Profa. Letícia Pinto - leticiap@dcc.ufmg.br
Lista de exercícios: interpolação e ajuste de curvas
Q.1) Considere a tabela
x 0 0,15 0,22 0,3 0,4 0,5 0,6 0,75 0,8
ex 1 1,1618 1,2461 1,3499 1,4918 1,6487 1,8221 2,1170 2,2255
(a) Quais pontos da tabela você usaria para estimar o valor ex em x = 0, 45, através de
um polinômio interpolador do segundo grau ? Justifique.
(b) Esta escolha seria diferente, dependendo do polinômio interpolador (Lagrange ou
Newton) empregado ? Justifique.
(c) Avalie e0,45 através de um polinômio interpolador de Lagrange de grau 2, empre-
gando os pontos indentificados em (a).
(d) Estime o erro máximo de interpolação para o valor obtido em c), no intervalo con-
siderado.
Q.2) Considere os pontos na tabela abaixo. O polinômio P3(x) = −2 + 2x + x2 + x3 passa
pelos pontos (xi, yi) para i ∈ {0, 1, 3, 4}.
i 0 1 2 3 4
xi -2 -1 0 1 2
yi -10 -4 -4 2 14
(a) Encontre um polinômio interpolador de grau não superior a 4 que passa por todos
os pontos da tabela, usando o mínimo esforço computacional.
(b) Determine P4(1, 5).
Q.3) Utilize interpolação inversa via polinômio de grau 1, para encontrar uma aproxi-
mação para a raiz de f(x) = x− e−x, considerando os pontos da tabela abaixo:
i 0 1 2 3
xi 0,3 0,4 0,5 0,6
xi − e−xi -0,44082 -0,27032 -0,10653 0,05119
Q.4) Construa as diferenças divididas associadas à tabela abaixo e responda:
i xi yi ⊥∆yi ⊥∆2yi ⊥∆3yi ⊥∆4yi
0 1,0 0,7651
1 1,3 0,6200
2 1,6 0,4554
3 1,9 0,2818
4 2,2 0,1104
1
(a) A tabela de diferenças divididas permite escrever o (único) polinômio interpolador
dos cinco pontos {(xi, yi) : i = 0, 1, . . . , 4} por meio de duas expressões. Quais são
elas ?
(b) Estime o valor da função f(x) em x = 1, 2, por meio de um polinômio de Newton de
grau 2, considerando a escolha apropriada dos pontos de interpolação.
Q.5) Seja f(x) um polinômio de grau p. Considere k pontos {(xi, f(xi)) : i = 0, 1, . . . , k− 1},
onde k ≥ p + 2, tais que xi 6= xj para i 6= j. Qual é o valor das diferenças divididas
f [x0, . . . , xp+1], . . . , f [x0, . . . , xk−1] ? Justifique sua resposta.
Q.6) Considere os pontos apresentados na Questão 2:
i 0 1 2 3 4
xi -2 -1 0 1 2
yi -10 -4 -4 2 14
É possível utilizar o polinômio interpolador de Gregory-Newton para avaliar P2(x)
em x = 1, 5 ? Em caso positivo, apresente o valor de P2(1, 5) utilizando o polinômio de
Gregory-Newton.
Q.7) Considere um conjunto de pares de pontos (xi, yi) obtidos experimentalmente.
Busca-se obter uma relação semideteminística utilizando ajuste de curvas. Foram feitas
4 modelagens matemáticas, em que foram obtidos os seguintes valores mostrados na
tabela abaixo. Qual modelo deve ser escolhido? Justifique sua resposta.
g b0 b1 b2 b3 b4 1−R2 s2
1 4, 222× 100 2, 920× 103 8, 58× 10−4 3, 65× 10−4
2 −6, 513× 101 6, 034× 103 1, 034× 101 9, 86× 10−7 4, 61× 10−7
3 −7, 182× 101 6, 211× 103 1, 151× 101 −1.940× 10−3 9, 83× 10−7 5, 11× 10−7
4 3, 520× 102 −1, 963× 103 −6, 986× 101 2, 676× 10−1 −1, 486× 10−4 9, 72× 10−7 5, 68× 10−7
Q.8) Considere a tabela abaixo, com valores observados de uma função f(t) que repre-
senta o consumo de água em uma cidade no período t = 0, 1, 2, 3, 4. Deseja-se prever o
consumo de água da cidade para t = 5.
(a) Obtenha a reta f(t) = at + b que melhor ajusta o conjunto de pontos dados.
(b) Com a reta obtida, estime f(5).
(c) Calcule a soma dos quadrados dos erros.
(d) Calcule também R2 e s2.
(e) Alguma forma de interpolação polinomial seria adequada para avaliar f(5) ? Justi-
fique.
ti 0 1 2 3 4
f(ti) 11,0 10,5 10,3 10,2 10,8
Q.9) Dado um conjunto de pontos {(xi, yi) : i = 1, . . . , n}:
2
(a) Determine o conjunto de equações normais que permita fazer o ajuste u(x) =
acos(x) + bex + c.
(b) Interprete a equação do sistema de equações normais relativa à derivada parcial
da função desvio em relação ao parâmetro c. Quais são suas consequências geo-
métricas?
(c) O mesmo fato seria observado pelo ajuste se o modelo fosse u(x) = acos(x) + bex?
Q.10) Após uma linearização do modelo y =
1
abx
, escreva as equações normais, ou seja,
o sistema a ser resolvido para ajustar os valores dos parâmetros a e b a um conjunto de
n pontos (x1, y1), . . . , (xn, yn).
Q.11) Considere os pontos:
x -3 -1 1 3 5
y 12,5 1,5 2,5 13,0 38,0
Considere o modelo de regressáo u(x) = bx2. Ache, pelo método dos quadrados míni-
mos, o valor ótimo de b. Calcule u(7).
3
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Cálculo Numérico
Profa. Letícia Pinto - leticiap@dcc.ufmg.br
Lista de exercícios: interpolação e ajuste de curvas
Q.1) Considere a tabela
x 0 0,15 0,22 0,3 0,4 0,5 0,6 0,75 0,8
ex 1 1,1618 1,2461 1,3499 1,4918 1,6487 1,8221 2,1170 2,2255
(a) Quais pontos da tabela você usaria para estimar o valor ex em x = 0,45, através de
um polinômio interpolador do segundo grau ? Justifique.
Para usarmos um polinômio interpolador de grau 2 necessitamos escolher três
pontos. Primeiro escolhemos os pontos 0,4 e 0,5, pois o valor a ser interpolado
(z = 0,45) está contido nesse intervalo. O terceiro ponto, devemos escolher o mais
próximo de 0,45, e nesse caso, tanto faz escolhermos o ponto 0,3 ou o ponto 0,6.
(b) Esta escolha seria diferente, dependendo do polinômio interpolador (Lagrange ou
Newton) empregado ? Justifique.
Não seria, já que, por três pontos específicos existe um único polinômio interpo-
lador de grau 2. Então ao empregarmos ambos os métodos (Lagrange ou Newton)
obteremos o mesmo polinômio.
(c) Avalie e0,45 através de um polinômio interpolador de Lagrange de grau 2, empre-
gando os pontos indentificados em (a).
Via Lagrange, escolhendo os pontos 0,3; 0,4 e 0,5:
L2(x) = y0
(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
+ y1
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
+ y2
(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
L2(0,45) = 1,3499
(0,45− 0,4)(0,45− 0,5)
(0,3− 0,4)(0,3− 0,5)
+ 1,4918
(0,45− 0,3)(0,45− 0,5)
(0,4− 0,3)(0,4− 0,5)
+ 1,6487
(0,45− 0,3)(0,45− 0,4)
(0,5− 0,3)(0,5− 0,4)
L2(0,45) = 1,56837
Escolhendo os pontos 0,4; 0,5 e 0,6, refazendo os cálulos, obtém-se
L2(0,45) = 1,56819.
1
(d) Estime o erro máximo de interpolação para o valor obtido em c), no intervalo con-
siderado.
Usamos um polinômio interpolador de grau n = 2 (foram escolhidos 3 pontos). A
fórmula do erro da interpolação (truncamento) é:
Rn(x) =
fn+1(ξ)
(n+ 1)!
n∏
i=0
(x− xi), x0o que tem certo custo computa-
cional. Uma forma de se resolver o problema, com menos esforço computacional, é
utilizar o polinômio de Newton, acrescentando mais um termo no polinômio P3(x)
já obtido.
2
A fórmula de Newton é dada por
Pn(x) =
n∑
i=0
⊥∆iy0
i−1∏
j=0
(x− xj)
O ponto (x4, y4) = (0,−4) só é necessário no último termo para calcular ⊥∆4y0. Todos
os outros termos da fórmula só depende dos pontos (x0, y0), · · · , (x3, y3). Assim,
podemos reescrever
P4(x) = P3(x) +⊥∆4y0
3∏
j=0
(x− xj)
= P3(x) +⊥∆4y0(x− x0)(x− x1)(x− x2)(x− x3)
= P3(x) +⊥∆4y0(x+ 2)(x+ 1)(x− 1)(x− 2)
= P3(x) +⊥∆4y0(x
2 + 3x+ 2)(x2 − 3x+ 2)
= P3(x) +⊥∆4y0(x
4 − 5x2 + 4)
Para calcular ⊥∆4y0 é necessário construir a tabela de diferenças divididas
i xi yi ⊥∆y0 ⊥∆2y0 ⊥∆3y0 ⊥∆4y0
0 −2 −10 6 −1 1 −1/2
1 −1 −4 3 3 0
2 1 2 12 3
3 2 14 9
4 0 −4
O polinômio de grau 4 é dado por
P4(x) = x3 + x2 + 2x− 2− 1
2
(x4 − 5x2 + 4)
P4(x) = −x
4
2
+ x3 +
7x2
2
+ 2x− 4.
(b) Determine P4(1,5).
P4(x) = −x
4
2
+ x3 +
7x2
2
+ 2x− 4
P4(1,5) = −(1,5)4
2
+ (1,5)3 +
7(1,5)2
2
+ 2(1,5)− 4
P4(1,5) = 7,71875.
Q.3) Utilize interpolação inversa via polinômio de grau 1, para encontrar uma aproxi-
mação para a raiz de f(x) = x− e−x, considerando os pontos da tabela abaixo:
i 0 1 2 3
xi 0,3 0,4 0,5 0,6
xi − e−xi -0,44082 -0,27032 -0,10653 0,05119
3
Como queremos encontrar uma aproximação da raiz de f(x), o valor a ser interpo-
lado é z = f(x) = 0. Como 0 está entre -0,10653 e 0,05119, usaremos os pontos de
abscissas 0,5 e 0,6 para a interpolação linear inversa.
Devemos obter a e b em y = b+ ax, e depois fazer 0 = b+ ax para aproximar a raiz:[
1 0,5
1 0,6
] [
b
a
]
=
[
−0,10653
0,05119
]
A solução é b = −0,89513 e a = 1,57720. A reta é y = −0,89513 + 1,5772x.
A estimativa de raiz é dada por:
−0,89513 + 1,5772x = 0 ; x =
0,89513
1,57720
= 0,5675437
A estimativa da raiz de f(x) = x− e−x é x = 0,5675437.
Q.4) Construa as diferenças divididas associadas à tabela abaixo e responda:
i xi yi ⊥∆yi ⊥∆2yi ⊥∆3yi ⊥∆4yi
0 1,0 0,7651
1 1,3 0,6200
2 1,6 0,4554
3 1,9 0,2818
4 2,2 0,1104
i xi yi ⊥∆yi ⊥∆2yi ⊥∆3yi ⊥∆4yi
0 1,0 0,7651 -0,48367 -0,10833 0,06481 0,0036
1 1,3 0,6200 -0,54867 -0,05000 0,06914
2 1,6 0,4554 -0,57867 0,01222
3 1,9 0,2818 -0,57133
4 2,2 0,1104
(a) A tabela de diferenças divididas permite escrever o (único) polinômio interpolador
dos cinco pontos {(xi, yi) : i = 0, 1, . . . , 4} por meio de duas expressões. Quais são
elas ?
Pode-se usar a fórmula de Newton para interpolação, que usa diretamente a dife-
rença dividida. Pode-se também usar a relação ⊥∆kyi =
∆kyi
k!hk
para obter as diferenças
finitas correspondentes e usar o método de Gregory-Newton, já que os pontos são
igualmente espaçados.
4
(b) Estime o valor da função f(x) em x = 1, 2, por meio de um polinômio de Newton de
grau 2, considerando a escolha apropriada dos pontos de interpolação.
Utilizando 1,2, os pontos ideais são 1,0, 1,3 e 1,6. Dá pra reaproveitar só a parte
superior esquerda da tabela de diferenças divididas. Assim fica:
Pn(x) =
n∑
k=0
⊥∆ky0
k−1∏
j=0
(x− xj)
= y0 +⊥∆1y0(x− x0) +⊥∆2y0(x− x0)(x− x1)
= 0, 7651− 0, 48367(1, 2− 1, 0)− 0, 10833(1, 2− 1, 0)(1, 2− 1, 3)
= 0, 6705326
Q.5) Seja f(x) um polinômio de grau p. Considere k pontos {(xi, f(xi)) : i = 0, 1, . . . , k− 1},
onde k ≥ p + 2, tais que xi 6= xj para i 6= j. Qual é o valor das diferenças divididas
f [x0, . . . , xp+1], . . . , f [x0, . . . , xk−1] ? Justifique sua resposta.
O valor é zero devido ao Teorema 3.1 (ver ALGORITMOS NUMÉRICOS, uma abor-
dagem moderna de Cálculo Numérico - 3a ed.): se y = f(x) for um polinômio de
grau n, então suas diferenças divididas de ordem n+ 1 são identicamente nulas, ou
seja, iguais a zero.
Q.6) Considere os pontos apresentados na Questão 2:
i 0 1 2 3 4
xi -2 -1 0 1 2
yi -10 -4 -4 2 14
É possível utilizar o polinômio interpolador de Gregory-Newton para avaliar P2(x)
em x = 1,5? Em caso positivo, apresente o valor de P2(1,5) utilizando o polinômio de
Gregory-Newton.
Sim, pois os pontos são igualmente espaçados. No caso:
h = 1
ux =
x− x0
h
=
1,5− 0
1
ux = 1,5
Diferenças finitas:
i xi yi ∆yi ∆2yi
0 0 -4 6 6
1 1 2 12
2 2 14
5
O polinômio de Gregory Newton:
Pn(x) =
n∑
i=0
∆iy0
i!
i−1∏
j=0
(ux − j)
P2(x) = y0 + ∆y0ux +
∆2y0
2!
ux(ux − 1)
P2(1,5) = −4 + 6(1,5) +
6
2
(1,5)(1,5− 1)
P2(1,5) = 7,25
Q.7) Considere um conjunto de pares de pontos (xi, yi) obtidos experimentalmente.
Busca-se obter uma relação semideteminística utilizando ajuste de curvas. Foram feitas
4 modelagens matemáticas, em que foram obtidos os seguintes valores mostrados na
tabela abaixo. Qual modelo deve ser escolhido? Justifique sua resposta.
g b0 b1 b2 b3 b4 1−R2 s2
1 4, 222× 100 2, 920× 103 8, 58× 10−4 3, 65× 10−4
2 −6, 513× 101 6, 034× 103 1, 034× 101 9, 86× 10−7 4, 61× 10−7
3 −7, 182× 101 6, 211× 103 1, 151× 101 −1.940× 10−3 9, 83× 10−7 5, 11× 10−7
4 3, 520× 102 −1, 963× 103 −6, 986× 101 2, 676× 10−1 −1, 486× 10−4 9, 72× 10−7 5, 68× 10−7
O modelo 2 deve ser escolhido pois a ordem de grandeza de 1 − R2 é a mesma dos
outros modelos que usam mais parâmetros e a variância residual começa a oscilar
a partir do terceiro modelo.
Q.8) Considere a tabela abaixo, com valores observados de uma função f(t) que repre-
senta o consumo de água em uma cidade no período t = 0, 1, 2, 3, 4. Deseja-se prever o
consumo de água da cidade para t = 5.
ti 0 1 2 3 4
f(ti) 11,0 10,5 10,3 10,2 10,8
(a) Obtenha a reta f(t) = at+ b que melhor ajusta o conjunto de pontos dados.
6
Ajuste de curvas: ∑
ti 0 1 2 3 4 10
yi 11,0 10,5 10,3 10,2 10,8 52,8
t2i 0 1 4 9 16 30
tiyi 0 10,5 20,6 30,6 43,2 104,9
O sistema de equações normais:[
n
∑
t∑
t
∑
t2
] [
b0
b1
]
=
[ ∑
y∑
ty
]
[
5 10
10 52,8
] [
b0
b1
]
=
[
30
104,9
]
Resolvendo o sistema de equações lineares obtemos b0 = 10,7, b1 = −0,07. A equação
da reta ajustada é f(t) = 10,7− 0,07t
(b) Com a reta obtida, estime f(5).
f(5) = 10,7− 0,07(5) = 10,35.
(c) Calcule a soma dos quadrados dos erros.
A soma dos resíduos:
ti 0 1 2 3 4
yi 11,00 10,50 10,30 10,20 10,80
ui 10,70 10,63 10,56 10,49 10,42
di 0,30 -0,13 -0,26 -0,29 0,38
d2
i 0,09 0,0169 0,0676 0,0841 0,1444∑
d2i = 0,403
(d) Calcule também R2 e s2.
s2 =
0,403
5− 2
= 0,13433
R2 = 1− D(a, b)∑
i
y2i −
1
n
(
∑
i
yi)
2
= 1− 0,403
558,02− 1
5
(52,8)2
= 0,3623
(e) Alguma forma de interpolação polinomial seria adequada para avaliar f(5) ? Justi-
fique.
7
Não seria ideal usar um polinômio interpolador, pois o valor a ser avaliado, f(5),
está fora do intervalo dos pontos x originais.
Q.9) Dado um conjunto de pontos {(xi, yi) : i = 1, . . . , n}:
(a) Determine o conjunto de equações normais que permita fazer o ajuste u(x) =
acos(x) + bex + c.
Impondo que as derivadas parciais do desvio
n∑
i=1
(yi − u(xi))
2 em relação aos parâ-
metros a, b, c (nesta ordem) se anulam obtemos o sistema linear: ∑
i cos2(xi)
∑
i e
xi cos(xi)
∑
i cos(xi)∑
i e
xi cos(xi) e2xi cos(xi)
∑
i e
xi∑
i cos(xi)
∑
i e
xi n
 a
b
c
 =
 ∑
i yi cos(xi)∑
i yie
xi∑
i yi

(b) Interprete a equação do sistema de equações normais relativa à derivada parcial
da função desvio em relação ao parâmetro c. Quais são suas consequências geo-
métricas?
∂D(a, b, c)
∂c
= 0→
∑
i(yi − (acos(xi) + bexi + c)) = 0, logo, a soma dos desvios é nula.
(c) O mesmo fato seria observado pelo ajuste se o modelo fosse u(x) = acos(x) + bex?
Não, pois o sistema de equações normais não envolveria a restrição acima.
Q.10) Após uma linearização do modelo y =
1
abx
, escreva as equações normais, ou seja,
o sistema a ser resolvido para ajustar os valores dos parâmetros a e b a um conjunto de
n pontos (x1, y1), . . . , (xn, yn).
8
Linearizando o modelo:
y =
1
abx
1
y
= abx
ln
1
y
= ln a+ x ln(b)
A matriz de equações normais substituindo y por ln 1
y
, a por ln a e b por ln b, fica:(
n
∑
xi∑
xi
∑
x2i
)(
ln a
ln b
)
=
( ∑
ln 1
yi∑
xi ln 1
yi
)
Q.11) Considere os pontos:
x -3 -1 1 3 5
y 12,5 1,5 2,5 13,0 38,0
Considere o modelo de regressáo u(x) = bx2.Ache, pelo método dos quadrados míni-
mos, o valor ótimo de b. Calcule u(7).
A função de erro é
D(x) =
5∑
i=1
(yi − bx2)2
Derivando em relação a b e igualando a zero:
−2
5∑
i=1
(yi − bx2)x2 = 0
5∑
i=1
(yi − bx2)x2 = 0
b
5∑
i=1
x4 =
5∑
i=1
yix
2
x -3 -1 1 3 5
∑
x = 5
y 12,5 1,5 2,5 13,0 38,0
∑
y = 67, 5
x2 9 1 1 9 25
∑
x2 = 45
x4 81 1 1 81 625
∑
x4 = 789
yx2 112,5 1,5 2,5 117,0 950,0
∑
yx2 = 1183, 5
b = 1183, 5/789 = 1, 5
u(7) = 1, 5× 72 = 73, 5
9