Para encontrar a transformada de Laplace da função \( f(t) = t \sen(bt) \), podemos usar a propriedade da transformada de Laplace que relaciona a função \( t^n f(t) \) com a transformada de Laplace de \( f(t) \). A transformada de Laplace de \( \sen(bt) \) é dada por: \[ \mathcal{L}\{\sen(bt)\} = \frac{b}{s^2 + b^2} \] Usando a propriedade da transformada de Laplace para \( t f(t) \): \[ \mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds} \mathcal{L}\{f(t)\} \] Portanto, aplicando isso à função \( f(t) = \sen(bt) \): 1. Primeiro, encontramos a transformada de \( \sen(bt) \): \[ \mathcal{L}\{\sen(bt)\} = \frac{b}{s^2 + b^2} \] 2. Agora, aplicamos a propriedade para \( t \sen(bt) \): \[ \mathcal{L}\{t \sen(bt)\} = -\frac{d}{ds} \left( \frac{b}{s^2 + b^2} \right) \] Calculando a derivada: \[ -\frac{d}{ds} \left( \frac{b}{s^2 + b^2} \right) = -b \cdot \frac{0 \cdot (s^2 + b^2) - b \cdot 2s}{(s^2 + b^2)^2} = \frac{2bs}{(s^2 + b^2)^2} \] Assim, a transformada de Laplace de \( f(t) = t \sen(bt) \) é: \[ F(s) = \frac{2bs}{(s^2 + b^2)^2} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a. \( F(s) = s^2 - b^2 \) b. \( F(s) = (s^2 - b^2)^2 \) c. \( F(s) = (s^2 - b^2)^2 \) d. \( F(s) = \frac{b^2}{2} \) e. \( F(s) = \frac{2bs}{(s^2 - b^2)^2} \) Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à transformada correta que encontramos. Portanto, parece que não há uma opção correta entre as fornecidas. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!