Vamos analisar a operação definida como \( x \text{ asterisk times } y = x^y \). A questão pede para encontrar um elemento \( w \) tal que: 1. \( z \text{ asterisk times } w = z \) 2. \( w \text{ asterisk times } z = z \) Isso se traduz nas seguintes equações: 1. \( z^w = z \) 2. \( w^z = z \) Para a primeira equação \( z^w = z \), isso é verdade se \( w = 1 \) (porque qualquer número elevado a 1 é ele mesmo) ou se \( z = 0 \) (porque \( 0^w \) é indefinido para \( w \leq 0 \), mas \( 0^0 \) é uma forma indeterminada). Para a segunda equação \( w^z = z \), se \( w = 1 \), então \( 1^z = 1 \), que só é verdade se \( z = 1 \). Agora, vamos analisar as alternativas: 1. Sim, \( w = z^{-1} \) - Isso não satisfaz as equações para todos os \( z \). 2. Sim, \( w = \ln(z) \) - Isso não satisfaz as equações para todos os \( z \). 3. Sim, \( w = 1 \) - Isso satisfaz as equações para \( z \neq 0 \). 4. Não - Não é uma resposta correta, pois existe uma solução. 5. Sim, \( w = 0 \) - Isso não satisfaz as equações, pois \( 0^w \) é indefinido para \( w \leq 0 \). A alternativa correta é: Sim, \( w = 1 \).