Se y=x^x, qual e dy/dx? a) x^x(1+ln(x)) b) x^(x-1) c) x^x ln(x) d) x^(x+1)

Para encontrar a derivada de \( y = x^x \), podemos usar a técnica de logaritmos. Vamos seguir os passos: 1. Aplicar logaritmo natural: \[ \ln(y) = \ln(x^x) = x \ln(x) \] 2. Derivar ambos os lados: Usando a regra da cadeia e a regra do produto: \[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(x) + 1 \] 3. Multiplicar ambos os lados por \( y \): \[ \frac{dy}{dx} = y(\ln(x) + 1) \] 4. Substituir \( y \) de volta: \[ \frac{dy}{dx} = x^x(\ln(x) + 1) \] Portanto, a derivada \( \frac{dy}{dx} \) é: \[ \frac{dy}{dx} = x^x(1 + \ln(x)) \] Assim, a alternativa correta é: a) \( x^x(1 + \ln(x)) \)