A funcao f(x)=x^4 4x^3 +6x^2 4x+1 possui derivada igual a zero em quais pontos? a) x=0,1 b) x=1 c) x=1,2 d) Nenhum ponto

Para encontrar os pontos onde a derivada da função \( f(x) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \) é igual a zero, precisamos primeiro calcular a derivada da função. A derivada \( f'(x) \) é dada por: \[ f'(x) = 4x^3 + 12x^2 + 12x + 4 \] Agora, vamos igualar a derivada a zero e resolver a equação: \[ 4x^3 + 12x^2 + 12x + 4 = 0 \] Dividindo toda a equação por 4, obtemos: \[ x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0 \] Essa equação pode ser fatorada como: \[ (x + 1)^3 = 0 \] Portanto, a única raiz é \( x = -1 \), o que significa que a derivada é igual a zero apenas nesse ponto. Analisando as alternativas: a) x=0,1 - Incorreto b) x=1 - Incorreto c) x=1,2 - Incorreto d) Nenhum ponto - Incorreto, pois temos um ponto \( x = -1 \). Como nenhuma das alternativas apresenta o ponto correto, a resposta correta é que a derivada é igual a zero em \( x = -1 \), que não está listado nas opções. Portanto, a resposta correta é "Nenhum ponto" se considerarmos as opções dadas.