calcule a integral 2f0 1f-1 1+6xy2dydx

Para calcular a integral dupla \(\int_0^2 \int_{-1}^{1+6xy^2} dy \, dx\), vamos seguir os passos: 1. Calcular a integral interna (em relação a \(y\)): \[ \int_{-1}^{1+6xy^2} dy = \left[ y \right]_{-1}^{1+6xy^2} = (1 + 6xy^2) - (-1) = 2 + 6xy^2 \] 2. Substituir na integral externa: Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: \[ \int_0^2 (2 + 6xy^2) \, dx \] 3. Calcular a integral externa: Agora, precisamos calcular a integral em relação a \(x\): \[ \int_0^2 (2 + 6xy^2) \, dx = \int_0^2 2 \, dx + \int_0^2 6xy^2 \, dx \] - A primeira parte: \[ \int_0^2 2 \, dx = 2x \bigg|_0^2 = 2(2) - 2(0) = 4 \] - A segunda parte: \[ \int_0^2 6xy^2 \, dx = 6y^2 \int_0^2 x \, dx = 6y^2 \left( \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_0^2 = 6y^2 \left( \frac{2^2}{2} \right) = 6y^2(2) = 12y^2 \] 4. Combinar os resultados: Agora, somamos os resultados das duas integrais: \[ 4 + 12y^2 \] Portanto, a integral final é: \[ \int_0^2 (2 + 6xy^2) \, dx = 4 + 12y^2 \] Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!