Vamos analisar cada uma das igualdades apresentadas: I. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(7x)} = \frac{5}{7} \). Para limites envolvendo funções seno, podemos usar a propriedade que diz que \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k \). Assim, podemos reescrever: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(7x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} \cdot \frac{5x}{7x} \cdot \frac{7x}{\sin(7x)} = \frac{5}{7} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{5}{7}. \] Portanto, a afirmativa I é verdadeira. II. \( \lim_{x \to 0} \frac{-1 - x}{e^x - 1} = 0 \). Para calcular esse limite, podemos usar a expansão de Taylor para \( e^x \) em torno de \( x = 0 \): \[ e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \] Assim, \( e^x - 1 \approx x \) quando \( x \to 0 \). Portanto, temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{-1 - x}{e^x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{-1 - x}{x} = \lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{x} - 1\right). \] Esse limite tende a \( -\infty \), portanto a afirmativa II é falsa. III. \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 + 5x^2 - 1}{2x^3 + 3} = 0 \). Para limites quando \( x \to \infty \), consideramos os termos de maior grau: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^4}{2x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{5}{2} x = \infty. \] Portanto, a afirmativa III é falsa. Resumindo: - I é verdadeira. - II é falsa. - III é falsa. A alternativa correta que contém todos os itens verdadeiros é: I. Portanto, a resposta correta é: I.