Para determinar o volume do sólido E limitado pela superfície \( f(x,y) = 2 - x^2 - y^2 \) e pelos planos coordenados, precisamos primeiro entender a região de integração. 1. Identificação da região: A superfície \( f(x,y) = 2 - x^2 - y^2 \) é um paraboloide que se abre para baixo. Os planos coordenados (x=0, y=0, z=0) e os planos x=1 e y=1 limitam a região de integração. 2. Limites de integração: A interseção do paraboloide com o plano z=0 ocorre quando \( 2 - x^2 - y^2 = 0 \), ou seja, \( x^2 + y^2 = 2 \). No entanto, como estamos limitados pelos planos x=1 e y=1, a região de integração será um quadrado no primeiro quadrante com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1). 3. Volume: O volume pode ser calculado pela integral tripla: \[ V = \int_0^1 \int_0^1 (2 - x^2 - y^2) \, dy \, dx \] 4. Cálculo da integral: - Primeiro, integramos em relação a \( y \): \[ V = \int_0^1 \left[ 2y - x^2y - \frac{y^3}{3} \right]_0^1 \, dx = \int_0^1 \left( 2 - x^2 - \frac{1}{3} \right) \, dx = \int_0^1 \left( \frac{6}{3} - \frac{3x^2}{3} - \frac{1}{3} \right) \, dx = \int_0^1 \left( \frac{5 - 3x^2}{3} \right) \, dx \] - Agora, integramos em relação a \( x \): \[ V = \frac{1}{3} \left[ 5x - x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{3} \left( 5 - 1 \right) = \frac{4}{3} \] Portanto, o volume do sólido E é \( \frac{4}{3} \). A alternativa correta é: c) 4/3.