Para verificar se uma equação diferencial ordinária (EDO) é exata, precisamos analisar a forma geral da EDO e aplicar o teste de exatidão. Uma EDO da forma \( M(t, y) + N(t, y) \frac{dy}{dt} = 0 \) é exata se \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial t}\). Vamos analisar as opções: (a) \( 2ty \frac{dy}{dt} - 2y^2 = 3t \) Aqui, \( M(t, y) = -2y^2 \) e \( N(t, y) = 2ty - 3t \). Calculando as derivadas parciais: - \(\frac{\partial M}{\partial y} = -4y\) - \(\frac{\partial N}{\partial t} = 2y - 3\) Como \(-4y \neq 2y - 3\), a EDO não é exata. (b) \( (t + 2y) \frac{dy}{dt} = -yt - y^2 - y \) Aqui, \( M(t, y) = yt + y^2 + y \) e \( N(t, y) = t + 2y \). Calculando as derivadas parciais: - \(\frac{\partial M}{\partial y} = t + 2y + 1\) - \(\frac{\partial N}{\partial t} = 1\) Como \(t + 2y + 1 \neq 1\), a EDO não é exata. (c) \( -6ty + (4y + 9t^2) \frac{dy}{dt} = 0 \) Aqui, \( M(t, y) = -6ty \) e \( N(t, y) = 4y + 9t^2 \). Calculando as derivadas parciais: - \(\frac{\partial M}{\partial y} = -6t\) - \(\frac{\partial N}{\partial t} = 18t\) Como \(-6t \neq 18t\), a EDO não é exata. Portanto, todas as opções apresentadas não são exatas. Para encontrar um fator integrante que torne a EDO exata, você precisaria aplicar métodos específicos para cada uma delas, mas a questão não fornece informações suficientes para determinar um fator integrante diretamente. Se precisar de ajuda com um fator integrante específico, você terá que criar uma nova pergunta.