Vamos analisar cada uma das afirmações sobre a transformação linear \( T \): a. Se \( u \in E \) e \( T(u) = 0 \), então \( u \in N(T). \) Essa afirmação é verdadeira. O núcleo \( N(T) \) (ou núcleo da transformação) é definido como o conjunto de todos os vetores \( u \in E \) tais que \( T(u) = 0 \). Portanto, se \( T(u) = 0 \), então \( u \) está no núcleo. b. Se \( w \in F \) e existe \( u \in E \), tal que \( T(u) = w \), então \( u \in Im(T). \) Essa afirmação é verdadeira. O conjunto imagem \( Im(T) \) é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela transformação \( T \). Se existe \( u \) tal que \( T(u) = w \), então \( w \) está na imagem de \( T \). c. \( N(T) \) é um subconjunto de \( F \). Essa afirmação é falsa. O núcleo \( N(T) \) é um subconjunto de \( E \), não de \( F \). d. Dados \( u, v \in E \), então \( T(u \cdot v) = T(u) \cdot T(v). \) Essa afirmação é falsa. A operação de transformação linear não é distributiva em relação à multiplicação de vetores. A transformação linear respeita a adição e a multiplicação por escalar, mas não a multiplicação de vetores. e. Se \( T \) é sobrejetora, então \( N(T) = \). Essa afirmação é incompleta. O núcleo \( N(T) \) pode ser não vazio mesmo que \( T \) seja sobrejetora. A sobrejetividade se refere à imagem de \( T \) cobrir todo o espaço \( F \), mas não implica que o núcleo seja vazio. Analisando as afirmações, a correta é a alternativa a: "Se \( u \in E \) e \( T(u) = 0 \), então \( u \in N(T). \)"