Para resolver a equação diferencial homogênea dada \( y' = \frac{x + y}{2x} \), podemos reescrevê-la na forma padrão e aplicar a técnica de separação de variáveis ou substituição. Primeiro, vamos rearranjar a equação: \[ y' = \frac{1}{2} + \frac{y}{2x} \] Agora, podemos usar a substituição \( v = \frac{y}{x} \), o que implica que \( y = vx \) e \( y' = v + x \frac{dv}{dx} \). Substituindo na equação, obtemos: \[ v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2} + \frac{vx}{2} \] Rearranjando, temos: \[ x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2} - \frac{v}{2} \] Separando as variáveis, obtemos: \[ \frac{2}{1 - v} dv = \frac{1}{x} dx \] Integrando ambos os lados, obtemos: \[ -2 \ln|1 - v| = \ln|x| + C \] Substituindo \( v = \frac{y}{x} \) de volta, chegamos a uma expressão que pode ser manipulada para encontrar a solução geral. Após resolver e simplificar, a solução correta se aproxima da forma que pode ser encontrada nas alternativas. Analisando as opções: a) \( y = x \ln|y| + C \) b) \( y = \frac{4}{3} \ln(x) \) c) \( y = \frac{1}{2} - \ln|y x + 1| \) d) \( \ln|y x + 1| = \frac{1}{2} \ln|x| + C \) e) \( \ln|y| + 1 = \ln|x| + C \) A opção que melhor se alinha com a solução da equação diferencial é a d) \( \ln|y x + 1| = \frac{1}{2} \ln|x| + C \). Portanto, a resposta correta é: d).