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Juros compostosTécnico em Transações Imobiliárias 1
JUROS 
COMPOSTOS
Técnico em Transações ImobiliáriasJuros compostos2
Cubos de tamanhos diferentes 
com percentuais representando 
as taxas de juros.
Os juros compostos são o resultado das 
taxas de juros, que vão sendo aplicadas a 
cada mês, sempre sobre o somatório do 
mês anterior, ou seja, a taxa vai incidindo 
sempre sobre o valor devedor total. Estes 
são os famosos juros sobre juros. 
O juro composto é geralmente o mais usado 
nas operações comerciais. O juro do mês 
é incorporado ao capital, constituindo um 
novo capital a cada mês para o cálculo de 
novos juros. 
Figura 1 – Cubos de juros
Fonte: . 
Acesso em: 22 dez. 2017.
Os juros compostos são muito utilizados no 
nosso cotidiano. A caderneta de poupança 
é um exemplo deste tipo de juros, pois o seu 
rendimento está diretamente relacionado 
com o saldo devedor, ou seja, todo mês 
temos rendimento sobre rendimento.
Quando vamos realizar um empréstimo, 
comprar um carro ou um imóvel os juros 
ficam sempre incidindo sobre o saldo 
devedor. Ou seja, os juros compostos fazem 
parte do nosso cotidiano, mas muitas vezes 
não percebemos.
Esse tipo de juros é sempre fixado por 
taxas percentuais, que se referem a uma 
unidade de tempo que pode ser: dia, mês, 
trimestre, semestre ou ano.
JUROS COMPOSTOS
Conceitos e fundamentos
Técnico em Transações Imobiliárias
Juros compostos
Juros compostosTécnico em Transações Imobiliárias 3
J é igual a M menos C.
M é igual a C, 
multiplicado por, 
abre parênteses, 
um mais i, fecha 
parênteses, elevado 
a t.
Mês 1
M = C x (1 + i)
Mês 2
M = C x (1+i) x (1+i)
Mês 3
M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1+i)
Mês 4
M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Mês 5
M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Para resumir todas estas equações, podemos representar a fórmula dos 
juros compostos da seguinte forma:
M = C x (1 + i)t
O cálculo dos juros é obtido pela seguinte fórmula:
J = M - C
Sendo:
J = juro total
M = montante que pode 
ser calculado pela fórmula
C = capital ou valor inicial
Considerando:
M = montante final
i = taxa de juros aplicada
C = capital ou valor inicial
T = tempo
Juros compostosTécnico em Transações Imobiliárias 3
Técnico em Transações ImobiliáriasJuros compostos4
Quando aplicamos a fórmula para cálculo dos juros, devemos 
respeitar algumas regras. Observe:
Se a taxa i for ao ano, o tempo t deve ser reduzido à 
unidade de ano.
Se a taxa i for ao mês, o tempo t deve ser reduzido à 
unidade de mês.
Se a taxa i for ao dia, o tempo t deve ser reduzido à 
unidade de dia.
Todos devem ser escritos em decimal.
Na aplicação de R$ 2.000,00 durante 6 meses, a taxa 
de juros de 3% ao mês. Sendo que temos contada uma 
capitalização mensal de 6 períodos de capitalização, ou 
seja, a aplicação inicial vai render x.
Observando o crescimento do capital a cada período de 
capitalização, temos:
Exemplos
1.º período: 100% - 2000,00
103% - m - R$ 2.060,00 (essa é a nova 
base de cálculo para o período seguinte)
Capital – montante:
2.º período: R$ 2.060,00 × 1,03 = R$ 2.121,80
3.º período: R$ 2.121,80 × 1,03 = R$ 2.185,45
4.º período: R$ 2.185,45 × 1,03 = R$ 2.251,01
5.º período: R$ 2.251,01 × 1,03 = R$ 2.318,54
6.º período: R$ 2.318,54 × 1,03 = R$ 2.353,33
Então, o montante ao final dos 6 meses será R$ 2.388,10.
Técnico em Transações ImobiliáriasTécnico em Transações Imobiliárias4
Juros compostosTécnico em Transações Imobiliárias 5
M é igual a C multiplicado por, abre parêntese 
1 mais i, fecha parêntese, multiplicado por tM, 
igual a C multiplicado por, abre parêntese 1 mais 
i, fecha parêntese, multiplicado por t
No cálculo, tivemos:
M = R$ 2.000 × 1,03 × 1,03 × 1,03 × 1,03 × 1,03 × 1,03
M = R$ 2.000 × (1,03)6
M = R$ 2.000 × 1,1940
M = R$ 2.388,10. Este é o montante em um período de 6 
meses.
Para calcular o montante com a taxa de juros compostos, 
vamos usar a seguinte expressão:
M=C× (1+i)t M=C× (1+i)t
M = montante final
i = taxa de juros aplicada
C = capital ou valor inicial
Sendo:
Técnico em Transações Imobiliárias 5Juros compostosTécnico em Transações Imobiliárias 5
Técnico em Transações ImobiliáriasJuros compostos6
 J é igual a R$ 2.388,10 menos R$2.000,00.
J é igual a M menos C.Observação: Quando 
precisamos calcular os juros 
total, deve-se diminuir o 
montante principal pelo 
capital aplicado.
J = M – C
J = R$ 2.388,10 – R$ 2.000,00$$ = R$ 388,10
Então, após 6 meses, o valor a ser pago é R$ 388,10 de juros.
O capital inicial tende a crescer, devido aos juros, segundo 
duas modalidades:
Juros simples: ao longo do tempo, somente o principal 
rende juros.
Juros compostos: após cada período, os juros são 
incorporados ao principal e rendem juros. 
No exemplo a seguir vamos verificar a diferença entre os 
crescimentos de um capital mediante juros simples e juros 
compostos. 
Vamos simular que R$ 100,00 foram aplicados com uma taxa 
de 10% ao ano (a.a.):
Capital principal = 100.00
Taxa = 10% a.a.
 Juros simples Juros composto
N.º de anos Montante simples Montante composto
1 100+0.1(100)=110 100+0.1(100)=110
2 110+0.1(100)=120 110+0.1(110)=121
3 120+0.1(100)=130 121+0.1(121)=133.10
4 130+0.1(100)=140 133.10+0.1(133.10)=146.41
5 140+0.1(100)=150 146.41+0.1(146.41)=161.05
Técnico em Transações Imobiliárias
Juros compostosTécnico em Transações Imobiliárias 7Técnico em Transações Imobiliárias 7
Após esta simulação podemos verificar que o 
juro simples tem um crescimento linear, é um 
juro que se mantém constante, enquanto que 
o juro composto é exponencial, ou seja, ele não 
é constante e seu crescimento se dá de uma 
maneira mais rápida.
Na economia os valores gerados pelas 
aplicações financeiras normalmente são 
reinvestidos. Desta forma, são utilizados os 
juros compostos para esta remuneração, 
pois estes juros são novamente aplicados ao 
montante após o seu rendimento.
Fórmula para o cálculo 
de juros compostos
Considerando o capital inicial (principal P) R$ 18.000,00, 
aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i 
= 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), 
mês a mês: 
Após o 1º mês, teremos: M1 = 18.000 x 1,1 = 
19.800 = 18.000(1 + 0,1)
Após o 2º mês, teremos: M2  = 19.800 x 1,1 = 
21.780 = 19.800(1 + 0,1)2
Após o 3º mês, teremos: M3  = 21.780 x 1,1 = 
23.958 = 21.780(1 + 0,1)3
Após o nº (enésimo) mês, sendo  S  o montante, 
teremos:
M = 18.000(1 + 0,1)n 
Genericamente, teremos 
para um principal P, 
aplicado a uma taxa de 
juros compostos i durante 
o período n:
M = P (1 + i)n
M = montante
P = principal
i = taxa de juros
n = número de períodos que o 
principal P (capital inicial) foi 
aplicado.
Sendo:
As unidades de tempo referentes à 
taxa de juros (i) e do período (n) têm 
de ser necessariamente iguais. 
Juros compostos 7
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VF é igual a VP, abre parênteses, um 
mais im, fecha parênteses, elevado a 12. 
VP, abre parênteses, um mais ia, 
fecha parênteses, é igual a VP, 
abre parênteses, um mais im, 
fecha parênteses, elevado a 12.
Abre parênteses, um mais ia, 
fecha parênteses, é igual a, abre 
parênteses, um mais im, fecha 
parênteses, elevado a 12.
 ia é igual a, abre parênteses 
duplo, um mais im, fecha 
parênteses, elevado a 12, 
fecha parênteses, menos 
um.
VF é igual a VP, abre parênteses, 
um mais ia, fecha parênteses. 
Técnico em Transações Imobiliárias
Equivalência de taxas
Taxas equivalentes são aquelas que 
aplicadas ao mesmo capital P, durante o 
mesmo intervalo de tempo, produzem o 
mesmo montante.
As taxas de juros são equivalentes quando:
Aplicadas ao mesmo capital
Pelo mesmo período de tempo
 Deste modo, estas taxas irão produzir o 
mesmo juro ou montante.
No sistema de juros composto, as taxas 
de juros não são proporcionais, isso quer 
dizer que uma taxa de 12% ao ano não é 
equivalente a 1% ao mês.
Então, podemos entender que setivermos 
um capital inicial VP e aplicarmos a juro 
composto no período de um ano teremos:
VF = VP (1 + ia)
Se aplicando o mesmo capital inicial no mesmo 
período, mas capitalizado mensalmente temos:
 VF = VP (1+ im)12
Para que as taxas sejam equivalentes os 
montantes terão que ser iguais, então:
VP (1 + ia) = VP (1 + im)12
Assim, podemos dizer que:
(1 + ia) = (1 + im)12
Para determinar a taxa anual, quando temos a 
informação da taxa mensal:
ia = { (1+ im)12 ) - 1
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 im é igual a raiz na décima segunda, abre parênteses, um mais ia, fecha parênteses, menos um, 
é igual, abre parênteses duplo, um mais ia, fecha parênteses, elevado na fração um sobre doze, 
fecha parênteses, menos um. 
Um mais im é igual, abre parênteses, um mais id, fecha parênteses elevado a 30.
Um mais ia, é igual, abre parênteses, um mais im, fecha parênteses elevado a 12.
Um mais ia, é igual, abre parênteses, um mais is, fecha parênteses, elevado a 2.
Um mais is, é igual, abre parênteses, um mais im, fecha parênteses, elevado a 6.
it é igual a, abre parênteses duplo, um mais i2a, fecha parênteses, 
elevado a fração 1/8, fecha parênteses, menos um. 
 ia é igual a, abre parênteses duplo, um mais iq, fecha parênteses, elevado 
a 12, fecha parênteses, menos um. 
Um mais ia, é igual, abre parênteses, um mais is, fecha parênteses, elevado a 2.
 iq é igual a, abre parênteses duplo, um mais it, fecha parênteses, 
elevado a q sobre t, fecha parênteses, menos um.
im= - 1= 
Para determinar a taxa mensal, quando temos a taxa anual:
Todas as taxas equivalentes aplicadas a um mesmo capital produzem montantes iguais.
Exemplos
Qual a taxa anual equivalente a 5 % ao semestre?
Teremos: 
Determinar a taxa anual equivalente a 1% à 
quinzena: 
Determinar a taxa trimestral equivalente a 45,50% em 
dois anos:
it = ((1 + i2a)
1/8 )- 1 = (1,4550 )1/8 - 1 = 1,0479 - 1 = 0,0479 = 
4,7% ao trimestre
Podemos perceber que no cotidiano os períodos a que se referem às taxas que se têm e as que se quer 
são bem variados, então, vamos utilizar uma fórmula que pode ser aplicada em qualquer situação:
iq = ((1+it ) 
q/t )-1
Juros compostos 9
1 + im = (1 + id)
30 [porque 1 mês = 30 dias]
1 + ia = (1 + im)12 [porque 1 ano = 12 meses]
 
1 + ia = (1 + is)
2 [porque 1 ano = 2 semestres]
 
1 + is = (1 + im)6 [porque 1 semestre = 6 meses]. 
 Então, quando temos uma taxa mensal ou anual, determina-se a taxa diária e vice-versa. 
As conversões das taxas podem ser feitas de acordo com as seguintes fórmulas:
Como 5% = 0.05, vem: 1 + ia = 1,052 \ ia = 0,1025 = 10,25%
1 + ia = (1 + is)
2
ia = ((1 + iq)
12 )- 1 = (1,01)12 - 1 = 1,1268 - 1 = 0,1268 = 
12,68% ao ano
Técnico em Transações ImobiliáriasJuros compostos10
 Temos:
iq = taxa para o prazo que eu quero
it = taxa para o prazo que eu tenho
q = prazo que eu quero
t = prazo que eu tenho
Exemplos
Determinar a taxa para 550 dias, 
equivalente a 3% ao mês:
i550 = (1 + 0,03)550/30 – 1 = 171,91%
Determinar a taxa para 160 
dias, equivalente a 40% ao ano:
i160 = (1 + 0,40)160/360 – 1 = 15,95%
Determinar a taxa para 20 dias, 
equivalente a 10% ao trimestre:
i27 = (1 + 0,10)20/90 – 1 = 2,11%
Qual a taxa de juros anual 
equivalente a 1% a. m.?
Lembrando que 1% = 1/100 = 0,01 
1 + ia = (1 + 0,01)12 ou 1 + ia = 
1,0112 = 1,1268
Portanto, ia = 1,1268 – 1 = 0,1268 = 12,68% a.a.
Após estes exemplos, 
podemos verificar 
que, no sistema de 
juros compostos, a 
taxa de juros de 1% 
a.m. equivale à taxa 
anual de 12,68% a.a. e 
não a 12% a.a.
Técnico em Transações Imobiliárias10
Juros compostosTécnico em Transações Imobiliárias 11
M é igual C, multiplicado 
por, abre parênteses duplo, 
um mais i, fecha parênteses, 
elevado a t, fecha parênteses, 
multiplicado por, abre 
parênteses, um mais, abre 
parênteses, p/t, fecha 
parênteses, multiplicado por 
i, fecha parênteses.
M é igual C multiplicado, abre 
parênteses duplo, um mais i, fecha 
parênteses, elevado a t, fecha 
parênteses, multiplicado por, 
abre parênteses, um mais, abre 
parênteses, p/t, fecha parênteses, 
multiplicado por i, fecha parênteses.
Sendo:
Convenção linear 
e exponencial
Convenção linear é a utilização de juro 
composto e juro simples ao mesmo tempo. O 
juro composto se aplica à parte inteira do tempo, 
e o juro simples à parte fracionária dele. 
M= C× ((1 + i)t )× (1+(p/q) × i)
p/q = parte fracionária do prazo
M = montante, valor futuro, 
também representado por VF 
C = capital inicial, valor inicial, 
também representado por VP
Exemplo
Se você aplica R$ 5.000,00 por 40 meses a uma 
taxa de 10% a.a., qual é o montante recebido, 
considerando-se a convenção linear?
 
C = 5000; t = 40m = 3a 4m = 3 1/3 a; i = 10% a.a. 
M = 5000 × (1 + 10%)3 × (1 + (1/3. 10%)) 
M = 5000 × 1,3310 × 1,0333 
M = 6876,61
Juros compostosTécnico em Transações Imobiliárias 11
M = C × (1 + i)t × (1+( p/q) × i )
Técnico em Transações ImobiliáriasJuros compostos12
 M é igual C, multiplicado por, 
abre parênteses, um mais i, fecha 
parênteses, elevado a t, mais, abre 
parênteses, p/q, fecha parênteses.
M é igual C, multiplicado por, 
abre parênteses, um mais i, 
fecha parênteses, elevado a 
t, mais, abre parênteses, p/q, 
fecha parênteses.
Convenção exponencial é o 
juro composto aplicado a um tempo 
que não pode ser expressado em 
números inteiros.
M = C × (1 + i)t+(p/q)
Sendo:
p/q = parte fracionária do prazo
M = montante, valor futuro, 
também representado por VF 
C = capital inicial, valor inicial, 
também representado por VP
Exemplo
Se você aplica R$ 5.000,00 por 40 meses a uma 
taxa de 10% a.a., qual é o montante recebido, 
considerando-se a convenção exponencial? 
Técnico em Transações ImobiliáriasJuros compostos12
C = 5000; t = 40m = 3a 4m = 3 1/3 a; i = 10% a.a.
M= C ×(1 + i)t+(p/q)
M = 5000 × (1 + 10%)3+(1/3) 
M = 5000 × (1 + 0,1)3,33 
M = 5000 × 1,3735 
M = 6867,50
Juros compostosTécnico em Transações Imobiliárias 13
 Dt é igual a VF, multiplicado, 
abre parênteses, um menos, abre 
parênteses, um menos i, fecha 
parênteses, elevado a n, fecha 
parênteses.
D é igual a N menos A. 
Desconto 
composto
No mercado financeiro os descontos são operações 
financeiras bastantes utilizadas, pois são o abatimento 
que se recebe quando um titulo á pago antes da sua 
data de vencimento detreminada. 
Ao realizar uma aplicação, o dinheiro é submetido a 
um fator de capitalização, o qual irá variar de acordo 
com o valor da taxa de juros e do tempo da aplicação. 
O desconto composto pode ser de dois tipos:
Desconto comercial composto 
Desconto racional composto
Usaremos alguns símbolos que 
neste contexto representam o 
seguinte:
Dc = desconto comercial composto
D = desconto racional composto
N = valor nominal
A = valor atual racional
Ac = valor atual comercial
I = taxa de desconto composto racional
ic = taxa de desconto composto comercial
n = prazo de antecipação
A formula de desconto para o valor atual é:
O desconto comercial composto também é 
conhecido como desconto bancário composto e a 
base de cálculo dele é o juro composto. 
O desconto acontece na diferença entre o 
montante (ou valor futuro) e capital inicial (é o 
valor inicial) do negócio, isto é, a data em que se 
propõe que seja feito o desconto.
O desconto corresponde à quantia a ser deduzida 
do valor nominal, e o valor descontado é a 
diferença entre o valor nominal e o desconto.
Então, temos:
D = desconto realizado sobre o título
A = valor atual ou valor presente de um título
N = valor nominal ou valor futuro de um 
título
I = taxa de desconto
n = tempo 
Dt = VF.(1 - (1- i)n)
Juros compostosTécnico em Transações Imobiliárias 13
D = N - A
Técnico em Transações ImobiliáriasJuros compostos14
VF é igual a VP, dividido 
por, abre parênteses, um 
menos i, fecha parênteses, 
elevado a n.
 VP é igual a FV, multiplicado por, abre 
parênteses, um menos i, fecha parênteses, 
elevado a n.
Dt é igual a FV, multiplicado por, 
abre parênteses, um menos, abre 
parênteses,um menos i, fecha 
parênteses, elevado a menos n, fecha 
parênteses.
O desconto composto racional é a diferença entre o 
valor nominal e o valor atual, e eles são determinados 
com base no sistema de capitalização composta.
As aplicações financeiras e empréstimos são realizados 
por muitas pessoas que utilizam os produtos oferecidos 
pelo mercado financeiro, tais como: promissórias, 
letras de câmbio, ações de empresas, títulos do tesouro 
nacional, financiamentos, leasing, consórcios, entre 
outros. 
Dt = VF.(1 - (1+i)-n)
Exemplos
Calcular o valor atual de um titulo 
de R$12.809,02 descontando, um 
ano antes do vencimento, à taxa 
de desconto composto de 6% 
ao trimestre, com capitalização 
trimestral.
Qual é o valor nominal de um título 
que foi resgatado 1 ano antes de seu 
vencimento por R$ 10.000,00, à taxa 
de desconto bancário composto de 
6% ao trimestre?
VP = FV × (1-i)n VF = VP / (1-i) n
Técnico em Transações ImobiliáriasJuros compostos14
VP = 12.809,02 (1-0,06) 12/3
VP = 12.809,02× (0,94)4
VP =12.809,02× 0,7807
VP = 10.000, 62
VF =10.000,00 / (1-0,06) 12/3
VF = 10.000,00 / (0,94) 4
VF = 10.000,00 / 0,7807
VF=12.809,02