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Considerando o ponto de coordenadas P(6,3,2) pertencente ao plano π e o vetor normal n = (-2,1,5), assinale a alternativa que contém a equação do plano π.

A) 2x – y + 3z + 2 = 0.
B) -2x + y + 5z -1= 0
C) 2x + y + 5z +1= 0
D) x + y + z + 6 = 0.
E) -x - y - 5z -1= 0
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Testando o Conhecimento

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EXERCICIOS RESOLVIDOS 3
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EXERCICIOS RESOLVIDOS 3

Respostas

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há 12 meses

Para encontrar a equação do plano π, podemos usar a forma geral da equação do plano, que é dada por: \[ n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0 \] onde \( (x_0, y_0, z_0) \) é um ponto no plano (neste caso, P(6,3,2)) e \( (n_x, n_y, n_z) \) são as componentes do vetor normal \( n = (-2, 1, 5) \). Substituindo os valores: \[ -2(x - 6) + 1(y - 3) + 5(z - 2) = 0 \] Expandindo a equação: \[ -2x + 12 + y - 3 + 5z - 10 = 0 \] Simplificando: \[ -2x + y + 5z - 1 = 0 \] Agora, podemos comparar com as alternativas dadas: A) \( 2x - y + 3z + 2 = 0 \) B) \( -2x + y + 5z - 1 = 0 \) C) \( 2x + y + 5z + 1 = 0 \) D) \( x + y + z + 6 = 0 \) E) \( -x - y - 5z - 1 = 0 \) A alternativa que corresponde à equação que encontramos é a B) \( -2x + y + 5z - 1 = 0 \). Portanto, a resposta correta é a alternativa B.

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Analise os itens que seguem com base nas propriedades sobre transformada de Laplace. I- A transformada de Laplace da função y(t) = t4 é . II- A transformada de Laplace da função y(t) = cos(2t) é . III- A transformada de Laplace da função y(t) = e2t é . Assinale a alternativa correta.

A) Apenas o item II está correto.
B) Apenas os itens I e III estão corretos.
C) Apenas os itens I e II estão corretos.
D) Apenas o item I está correto.
E) Apenas o item III está correto.

O emprego de mudanças de coordenadas em integrais triplas exige a identificação do jacobiano associado à transformação, relacionando as variáveis do sistema de coordenadas original, que em geral consiste em coordenadas cartesianas, com as variáveis do novo sistema.
Considere as mudanças, com base no sistema de coordenadas cartesianas, dadas por
x = v + w² , y = w + u² , z = u + v²
e que
Assinale a alternativa que indica o jacobiano associado à transformação descrita:
A) J = 1+ 2uvw.
B) J = 1.
C) J = 1+ 8uvw.
D) J = 8uvw.
E) J = 0.

Supondo que para resolver um problema envolvendo o cálculo de uma integral tripla, foi adotada a mudança de variáveis considerando as seguintes relações
x = u² , y = v , z = w²
de modo a converter o sistema de coordenadas cartesianas em um novo sistema. Sabe-se que o jacobiano associado a mudança de variável é dado por:
Considerando as relações apresentadas, assinale a alternativa que contém o jacobiano associado à essa mudança de coordenadas.
A) J = 4uvw.
B) J = 2w.
C) J = 2u.
D) J = 2uw.
E) J = 4uw.

Para o cálculo de integrais triplas é fundamental identificar os limites de integração corretos para as variáveis x ,y e z envolvidas de modo a caracterizar corretamente a região de integração. Com base em informações sobre integrais triplas analise as afirmacoes apresentadas. I- O cálculo da massa de uma lâmina envolve o cálculo da integral tripla da função densidade sobre uma região. II- Centroide é o nome dado ao centro de massa quando a densidade do sólido é uma função qualquer. III- As coordenadas do centro de massa é dada pela razão dos momentos em relação ao três planos coordenados e a massa. Assinale a alternativa correta.

A) Apenas o item II está correto.
B) Apenas o item I está correto.
C) Apenas o item III está correto.
D) Apenas os itens I e II estão corretos.
E) Apenas os itens I e III estão corretos.

As integrais triplas tem aplicações na engenharia, na física entre outras áreas. Uma das aplicações dessas integrais é o cálculo do volume de regiões tridimensionais.
Considere a caixa retangular E = [0,2] x [-3,0] x [-1,1], assinale a alternativa que contém o volume dessa região.
A) 4 u.v.
B) 10 u.v.
C) 9 u.v.
D) 0 u.v.
E) 12 u.v.

O modelo criado por Malthus assume que o crescimento de uma população é proporcional à população em cada instante, e que este se daria por uma progressão geométrica enquanto os meios de sobrevivência cresceriam em progressão aritmética.
A partir desse modelo, considere que a estimativa, daqui a t meses, para a população de certa cidade tem uma variação segundo a taxa de:
pessoas por mês. Sabe-se também que a população atual desta cidade é de 8000 pessoas, sendo esse o instante considerado como o inicial.
Com base nessas informações, qual das seguintes alternativas corresponde aproximadamente à população dessa cidade daqui a 10 meses?
A) 11250
B) 10300
C) 9200
D) 8282 (resposta correta)
E) 15500

A função custo marginal é definida como a taxa de variação de C em relação à x. Sabe-se que o custo marginal (em reais) da produção de x unidades de um eletrodoméstico é dado por 60 + 3x². Se o custo da produção de uma unidade é R$ 100,00, determine a função custo para x = 3.
Assinale a alternativa que contém a resposta correta.
A) R$ 97,00.
B) R$ 246,00.
C) R$ 70,00.
D) R$ 87,00.
E) R$ 125,00.

Com base em informações sobre esse tipo de mudança de coordenadas, analise os itens que seguem. I- A função f(x,y,z) = x+y em coordenadas cilíndricas é representada por . II- A função f(x,y,z) = y em coordenadas cilíndricas é representada por . III- A função f(x,y,z) = x² em coordenadas cilíndricas é representada por . Assinale a alternativa correta.

A) Apenas os itens II e III estão corretos.
B) Apenas os itens I e II estão corretos.
C) Apenas o item I está correto.
D) Apenas o item II está correto.
E) Apenas o item III está correto.

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