Calcule a integral \( \int_1^2 (2x^2 + 3x) \, dx \). a) \( 1 \) b) \( 2 \) c) \( 3 \) d) \( 4 \)

Para calcular a integral definida \( \int_1^2 (2x^2 + 3x) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( 2x^2 + 3x \). 1. A antiderivada de \( 2x^2 \) é \( \frac{2}{3}x^3 \). 2. A antiderivada de \( 3x \) é \( \frac{3}{2}x^2 \). Portanto, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \] Agora, vamos calcular \( F(2) \) e \( F(1) \): \[ F(2) = \frac{2}{3}(2^3) + \frac{3}{2}(2^2) = \frac{2}{3}(8) + \frac{3}{2}(4) = \frac{16}{3} + 6 = \frac{16}{3} + \frac{18}{3} = \frac{34}{3} \] \[ F(1) = \frac{2}{3}(1^3) + \frac{3}{2}(1^2) = \frac{2}{3}(1) + \frac{3}{2}(1) = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} \] Para somar \( \frac{2}{3} + \frac{3}{2} \), precisamos de um denominador comum, que é 6: \[ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \quad \text{e} \quad \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \] Portanto: \[ F(1) = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6} \] Agora, calculamos a integral definida: \[ \int_1^2 (2x^2 + 3x) \, dx = F(2) - F(1) = \frac{34}{3} - \frac{13}{6} \] Para subtrair, precisamos de um denominador comum, que é 6: \[ \frac{34}{3} = \frac{68}{6} \] Assim, temos: \[ \frac{68}{6} - \frac{13}{6} = \frac{55}{6} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( 1 \) b) \( 2 \) c) \( 3 \) d) \( 4 \) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado \( \frac{55}{6} \). Portanto, parece que não há uma resposta correta entre as opções fornecidas. Você pode querer verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.