Determine o valor da integral JJs (x+2y)dz dy, sendo S a área definida pelas retas x +y-4 = 0, x=ye 0≤x≤ 3

Para resolver a integral dupla \( J = \int \int_S (x + 2y) \, dz \, dy \), precisamos primeiro entender a região \( S \) definida pelas retas \( x + y - 4 = 0 \) e \( x = y \) no intervalo \( 0 \leq x \leq 3 \). 1. Identificar a região \( S \): - A reta \( x + y - 4 = 0 \) pode ser reescrita como \( y = 4 - x \). - A reta \( x = y \) é uma linha diagonal. 2. Encontrar os pontos de interseção: - Igualando \( y = 4 - x \) e \( y = x \): \[ x = 4 - x \implies 2x = 4 \implies x = 2 \implies y = 2. \] - Os pontos de interseção são \( (0, 0) \) e \( (2, 2) \). 3. Definir os limites da integral: - Para \( x \) variando de \( 0 \) a \( 2 \), \( y \) varia de \( x \) até \( 4 - x \). - Para \( x \) variando de \( 2 \) a \( 3 \), \( y \) varia de \( 0 \) até \( 4 - x \). 4. Escrever a integral: \[ J = \int_0^2 \int_x^{4-x} (x + 2y) \, dy \, dx + \int_2^3 \int_0^{4-x} (x + 2y) \, dy \, dx. \] 5. Calcular a primeira parte: \[ J_1 = \int_0^2 \int_x^{4-x} (x + 2y) \, dy \, dx. \] - Calcule a integral interna: \[ \int (x + 2y) \, dy = xy + y^2 \Big|_x^{4-x} = x(4-x) + (4-x)^2 - (x^2). \] - Simplifique e integre em relação a \( x \). 6. Calcular a segunda parte: \[ J_2 = \int_2^3 \int_0^{4-x} (x + 2y) \, dy \, dx. \] - Calcule a integral interna da mesma forma. 7. Somar os resultados: \[ J = J_1 + J_2. \] Ao final, você terá o valor da integral \( J \). Se precisar de mais detalhes em algum passo específico, é só avisar!