Resolva a inequação x^2 + 2x - 8 > 0. a) x < -4 ou x > 2 b) -4 < x < 2 c) -2 < x < 8 d) 0 < x < 8

Para resolver a inequação \(x^2 + 2x - 8 > 0\), vamos primeiro encontrar as raízes da equação \(x^2 + 2x - 8 = 0\) usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \(a = 1\), \(b = 2\) e \(c = -8\). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2} \] Isso nos dá duas raízes: \[ x_1 = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \] Agora, temos as raízes \(x = -4\) e \(x = 2\). Para determinar os intervalos onde a inequação é verdadeira, vamos analisar os sinais da função \(f(x) = x^2 + 2x - 8\) nos intervalos definidos pelas raízes: 1. \(x < -4\) 2. \(-4 < x < 2\) 3. \(x > 2\) Testando um valor em cada intervalo: - Para \(x = -5\) (no intervalo \(x < -4\)): \(f(-5) = 25 - 10 - 8 = 7 > 0\) (positivo) - Para \(x = 0\) (no intervalo \(-4 < x < 2\)): \(f(0) = 0 + 0 - 8 = -8 < 0\) (negativo) - Para \(x = 3\) (no intervalo \(x > 2\)): \(f(3) = 9 + 6 - 8 = 7 > 0\) (positivo) Portanto, a inequação \(x^2 + 2x - 8 > 0\) é verdadeira nos intervalos \(x < -4\) e \(x > 2\). Assim, a alternativa correta é: a) \(x < -4\) ou \(x > 2\)