Se \(\sin(x) = \frac{5}{13}\), qual é o valor de \(\cos(2x)\)? A) \(\frac{12}{13}\) B) \(\frac{24}{65}\) C) \(\frac{60}{65}\) D) \(\frac{60}{169}\)

Para encontrar o valor de \(\cos(2x)\) dado que \(\sin(x) = \frac{5}{13}\), podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo duplo: \[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \] Primeiro, precisamos encontrar \(\cos(x)\). Sabemos que: \[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \] Substituindo \(\sin(x)\): \[ \left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2(x) = 1 \] \[ \frac{25}{169} + \cos^2(x) = 1 \] \[ \cos^2(x) = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \] Agora, podemos calcular \(\cos(2x)\): \[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \frac{144}{169} - \frac{25}{169} = \frac{119}{169} \] No entanto, precisamos verificar as opções dadas. Vamos calcular \(\cos(2x)\) usando outra fórmula: \[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \] Substituindo \(\cos^2(x) = \frac{144}{169}\): \[ \cos(2x) = 2 \cdot \frac{144}{169} - 1 = \frac{288}{169} - \frac{169}{169} = \frac{119}{169} \] Parece que houve um erro, pois essa resposta não está nas opções. Vamos verificar as opções novamente. Nenhuma das opções corresponde ao resultado que encontramos. Portanto, parece que a questão pode estar incorreta ou as opções não estão corretas. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!