Se \(\sin(x) = \frac{3}{5}\), qual é o valor de \(\tan(2x)\)? A) \(\frac{24}{9}\) B) \(\frac{24}{16}\) C) \(\frac{24}{25}\) D) \(\frac{16}{9}\)

Para encontrar o valor de \(\tan(2x)\) dado que \(\sin(x) = \frac{3}{5}\), podemos usar a fórmula da tangente do ângulo duplo: \[ \tan(2x) = \frac{2 \tan(x)}{1 - \tan^2(x)} \] Primeiro, precisamos encontrar \(\tan(x)\). Sabemos que: \[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \] Calculando \(\cos(x)\): \[ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] Portanto, \(\cos(x) = \frac{4}{5}\) (considerando o primeiro quadrante). Agora, podemos calcular \(\tan(x)\): \[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \] Agora, substituímos \(\tan(x)\) na fórmula de \(\tan(2x)\): \[ \tan(2x) = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{6}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{6}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{6}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{96}{28} = \frac{24}{7} \] No entanto, parece que não temos essa opção. Vamos verificar as alternativas novamente. Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado que encontramos. Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas ou na interpretação do problema. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!